Формула длины прямоугольного параллелепипеда. Формулы для нахождения объема параллелепипеда
Введение:
Как вы ду-ма-е-те, что тя-же-лее: 1 кг пуха или 1 кг гвоз-дей? А что за-ни-ма-ет боль-ше места? Вот об этом мы се-год-ня будем го-во-рить. Будем раз-би-рать-ся, в чем же раз-ни-ца между объ-е-мом и мас-сой.
Определение объема
Объем - это то, сколь-ко места в про-стран-стве за-ни-ма-ет объ-ект, а масса - это то, сколь-ко он весит. Вот литр - это объем или масса? И как он свя-зан с ки-ло-грам-мом? В ма-га-зине мо-ло-ко про-да-ет-ся в лит-ро-вых бу-тыл-ках, вода про-да-ет-ся 1,5-2-лит-ро-вых бу-тыл-ках, сме-та-на про-да-ет-ся в бан-ках по 250 грамм. А что такое 0,33 л?
Измерение объема
Итак, да-вай-те возь-мем весы, бу-тыл-ку и на-льем в нее 600 грамм масла. Потом возь-мем дру-гую такую же бу-тыл-ку и на-льем в нее 600 грамм воды. А те-перь мы возь-мем тесто для блин-чи-ков и на-льем в такую же бу-тыл-ку 600 грамм. По-смот-ри-те, мы везде на-ли-ва-ли 600 грамм - одну и ту же массу, а уро-вень жид-ко-стей по-лу-чил-ся раз-ный, но масса не из-ме-ни-лась (см. рис. 1).
Рис. 1. Срав-не-ние уров-ней жид-ко-стей: масла, воды и теста для блин-чи-ков
Что же ме-ня-лось? Ме-ня-лось ко-ли-че-ство за-ни-ма-е-мо-го места. Как раз это - ко-ли-че-ство за-ни-ма-е-мо-го места - на-зы-ва-ют объ-е-мом. Масса у нас везде была одна и та же, а объем по-лу-чил-ся раз-ный.
Так что же такое, спро-си-те вы, литр? Возь-мем колбу и на-льем в нее 1 кг воды. Так вот, 1 кг воды, то есть то место, ко-то-рое за-ни-ма-ет 1 кг воды, до-го-во-ри-лись на-зы-вать лит-ром.
Да-вай-те еще раз сфор-му-ли-ру-ем. Объем - это число, по-ка-зы-ва-ю-щее, сколь-ко места в про-стран-стве за-ни-ма-ет объ-ект. А чем же, кроме лит-ров, ме-ря-ют объ-ект? Так же, как и у длины, и у пло-ща-ди су-ще-ству-ет много раз-ных спе-ци-аль-ных ве-ли-чин из-ме-ре-ния. На-при-мер, бар-рель. Бар-рель - это ко-ли-че-ство нефти, ко-то-рое по-ме-ща-ет-ся в бочку, опре-де-лен-но-го раз-ме-ра (см. рис. 2).
Рис. 2. Бар-рель
Или есть такая ве-ли-чи-на как гал-лон. Гал-лон - это ве-ли-чи-на, ко-то-рой поль-зу-ют-ся для из-ме-ре-ния в Ан-глии и в Аме-ри-ке. Но обыч-но объ-е-мы ме-ря-ют ку-би-че-ски-ми де-ци-мет-ра-ми, ку-би-че-ски-ми сан-ти-мет-ра-ми, ку-би-че-ски-ми мет-ра-ми. А как же со-от-но-сит-ся литр с ку-би-че-ским де-ци-мет-ром или мет-ром? На самом деле литр - это один ку-би-че-ский де-ци-метр (см. рис. 3).
Рис. 3. Литр - ку-би-че-ский де-ци-метр
То есть внутрь этого ку-би-ка по-ме-ща-ет-ся ровно 1 кг воды. Дело не в том, какой формы ко-роб-ка, а сколь-ко туда по-ме-ща-ет-ся. Да-вай-те по-про-бу-ем в ку-би-че-ский де-ци-метр на-сы-пать муки. Или можно пе-ре-сы-пать муку в пакет - и все равно по-лу-чит-ся 1 литр (или 1 ку-би-че-ский де-ци-метр). То, что там внут-ри, будет литр или ку-би-че-ский де-ци-метр, по-то-му что не важно, какой формы, - важно, сколь-ко за-ни-ма-ет места.
Объем прямоугольного параллелепипеда
Очень по-хо-же об-сто-ят дела с объ-е-мом пря-мо-уголь-но-го па-рал-ле-ле-пи-пе-да.
Объем куба со сто-ро-ной 1 еди-ни-ца - это 1 ку-би-че-ская еди-ни-ца. Опять же, ис-ход-ные ли-ней-ные ве-ли-чи-ны могут быть лю-бы-ми: мил-ли-мет-ры, сан-ти-мет-ры, дюймы.
На-при-мер, 1 см3 - это объем куба со сто-ро-ной 1 см, а 1 км3 - это объем куба со сто-ро-ной 1 км.
Най-дем объем пря-мо-уголь-но-го па-рал-ле-ле-пи-пе-да со сто-ро-на-ми 7 см, 5 см, 4 см. (Рис. 7.)
Рис. 7. Пря-мо-уголь-ный па-рал-ле-ле-пи-пед
Ре-ше-ние
Объем на-ше-го пря-мо-уголь-но-го па-рал-ле-ле-пи-пе-да - это ко-ли-че-ство еди-нич-ных кубов, по-ме-ща-ю-щих-ся в него.
Уло-жим на дно ряд еди-нич-ных ку-би-ков со сто-ро-ной 1 см вдоль длин-ной сто-ро-ны. По-ме-сти-лось 7 штук. Уже по опыту ра-бо-ты с пря-мо-уголь-ни-ком мы знаем, что на дно по-ме-стит-ся всего 5 таких рядов, по 7 штук в каж-дом. То есть всего:
На-зо-вем это слой. Сколь-ко таких слоев мы можем уло-жить друг на друга?
Это за-ви-сит от вы-со-ты. Она равна 4 см. Зна-чит, укла-ды-ва-ет-ся 4 слоя в каж-дом по 35 штук. Всего:
А от-ку-да у нас по-яви-лось число 35? Это 75. То есть ко-ли-че-ство ку-би-ков мы по-лу-чи-ли пе-ре-мно-же-ни-ем длин всех трех сто-рон.
Но это и есть объем на-ше-го пря-мо-уголь-но-го па-рал-ле-ле-пи-пе-да.
Ответ: 140
Те-перь мы можем за-пи-сать фор-му-лу и в общем виде. (Рис. 8.)
Рис. 8. Объем па-рал-ле-ле-пи-пе-да
Объем пря-мо-уголь-но-го па-рал-ле-ле-пи-пе-да со сто-ро-на-ми , , равен про-из-ве-де-нию всех трех сто-рон.
Если длины сто-рон даны в сан-ти-мет-рах, то объем по-лу-чит-ся в ку-би-че-ских сан-ти-мет-рах (см3).
Если в мет-рах, то объем в ку-би-че-ских мет-рах (м3).
Ана-ло-гич-но объем может быть из-ме-рен в ку-би-че-ских мил-ли-мет-рах, ки-ло-мет-рах и т. д.
Задача 1
Стек-лян-ный куб со сто-ро-ной 1 м на-пол-нен водой це-ли-ком. Ка-ко-ва масса воды? (Рис. 9.)
Рис. 9. Куб
Ре-ше-ние
Куб яв-ля-ет-ся еди-нич-ным. Сто-ро-на - 1 м. Объем - 1 м3.
Если мы знаем, сколь-ко весит 1 ку-би-че-ский метр воды (со-кра-щен-но го-во-рят ку-бо-метр), то за-да-ча ре-ше-на.
Но если мы этого не знаем, то нетруд-но по-счи-тать.
Длина сто-ро-ны .
По-счи-та-ем объем в дм3.
Но 1 дм3 имеет от-дель-ное на-зва-ние, 1 литр. То есть у нас 1000 лит-ров воды.
Нам всем из-вест-но, что масса од-но-го литра воды равна 1 кг. То есть у нас 1000 кг воды, или 1 тонна.
По-нят-но, что такой куб, на-пол-нен-ный водой, не под силу пе-ре-дви-нуть ни од-но-му обыч-но-му че-ло-ве-ку.
Ответ: 1 т.
Задача 2
Рис. 10. Хо-ло-диль-ник
Хо-ло-диль-ник имеет вы-со-ту 2 метра, ши-ри-ну 60 см и глу-би-ну 50 см. Найти его объем.
Ре-ше-ние
Пре-жде чем мы вос-поль-зу-ем-ся фор-му-лой объ-е-ма - про-из-ве-де-ние длин всех сто-рон - необ-хо-ди-мо пе-ре-ве-сти длины в оди-на-ко-вые еди-ни-цы из-ме-ре-ния.
Мы можем пе-ре-ве-сти все в метры или все в сан-ти-мет-ры.
Со-от-вет-ствен-но, и объем мы по-лу-чим или в ку-би-че-ских мет-рах, или ку-би-че-ских сан-ти-мет-рах.
Сде-ла-ем и так, и так.
Ответ: или
Думаю, вы со-гла-си-тесь, что в ку-би-че-ских мет-рах объем более по-ня-тен.
Че-ло-век на глаз плохо от-ли-ча-ет число с пятью ну-ля-ми от числа с ше-стью ну-ля-ми, а ведь одно в 10 раз боль-ше, чем дру-гое.
Перевод единиц объема
Часто нам нужно пе-ре-ве-сти одну еди-ни-цу объ-е-ма в дру-гую. На-при-мер, ку-бо-мет-ры в ку-би-че-ские де-ци-мет-ры. Тя-же-ло за-пом-нить все эти со-от-но-ше-ния. Но этого и не нужно де-лать. До-ста-точ-но по-нять общий прин-цип.
На-при-мер, сколь-ко ку-би-че-ских сан-ти-мет-ров в ку-би-че-ском метре?
Да-вай-те по-смот-рим, сколь-ко ку-би-ков со сто-ро-ной 1 сан-ти-метр по-ме-стит-ся в куб со сто-ро-ной 1 м. (Рис. 11.)
Рис. 11. Куб
В один ряд укла-ды-ва-ет-ся 100 штук (ведь в одном метре 100 см).
В один слой укла-ды-ва-ет-ся 100 рядов или ку-би-ков.
Всего по-ме-ща-ет-ся 100 слоев.
Таким об-ра-зом,
То есть если ли-ней-ные ве-ли-чи-ны свя-за-ны со-от-но-ше-ни-ем «в одном метре 100 см», то чтобы по-лу-чить со-от-но-ше-ние для ку-би-че-ских ве-ли-чин, нужно воз-ве-сти 100 в 3 сте-пень (). И не нужно каж-дый раз чер-тить кубы.
Урок математики в 5 классе. (Виленкин)
Тема: Объемы. Объем прямоугольного параллелепипеда.
Цель: 1. Закрепить знания по данной теме при решении задач. Подготовить к контрольной работе. Дать соотношение единиц измерения объема.
2. Повторить свойства умножения, упрощение выражений, части параллелепипеда.
3. Воспитывать экологический аспект, внимание.
Оборудование: на доске: тема, задание для устного счета; раздаточный материал: модели параллелепипеда, куба, спичечный коробок; у детей: шпаргалки, линейки, сигнальные двухцветные круги,
Ход урока.
Организационный момент.
Добрый день, веселый час, математика у нас. На парте: линейки, шпаргалки, тетради, учебники.
Устный счет (разминка) № 806 – по рядам «цепочкой»,
— примени распределительное свойство умножения:
(х + 8) 20 на доске
247 123 – 147 123
— упрости:
20а – 19а 4х + х – 2х
13в — в 27 + 13в – 10в
Сообщение темы и цели.
— С какими геометрическими фигурами познакомились? Сегодня повторим, как найти объем прямоугольного параллелепипеда и единицы измерения объема. Готовимся к контрольной работе.
IV . Повторение изученного. Модели куба,
— Показать верхнюю, заднюю, нижнюю и переднюю грани. параллелепипеда
— Показать две грани, имеющие общее ребро,
— Показать вертикальные ребра.
(показывают одновременно 2, 3 ученика)
Игра «Да — нет»
— Любой куб является прямоугольным параллелепипедом (+) сигнальные
— У прямоугольного параллелепипеда 10 вершин (-, 8) круги
— 6 граней (+) — 12 ребер (+)
— Каждая грань куба – квадрат (+)
— Если длина прямоугольного параллелепипеда не равна его высоте, то он не может быть кубом (+)
— Объем прямоугольного параллелепипеда равен произведению трех его измерений (+)
Найди формулу.
— вычисли объем спичечного коробка, куба, параллелепипеда. наглядность
— дополнительный материал «Сколько воздуха необходимо человеку для дыхания»
При каждом вдохе человек вводит в свои легкие за 1 минуту 9 литров воздуха. Это составляет в час 9 * 60, т. е. 540 литров. Округлим до 500 литров или половины кубического метра и узнаем, что за сутки человек вдыхает 12 м³ воздуха. Такой объем равен 14 кг.
За одни сутки человек проводит через свое тело больше воздуха, чем пищи: никто не съедает и 3 кг в сутки, вдыхаем же мы 14 кг. Если учесть, что вдыхаемый воздух состоит на 4/5 из бесполезного для дыхания азота, то кажется, что наше тело потребляет всего 3 кг, т. е. примерно столько же, сколько пищи (твердой и жидкой).
Нужно ли другое доказательство необходимости обновлять воздух в жилой комнате?
— № 804, 801 – на доске,
— Как вычислить объем параллелепипеда, куба?
— В каких единицах измеряется объем?
VI . Соотношение единиц измерения объема. «шпаргалки» Записать в «шпаргалки». форзац
— Игра «Слабое звено» — № 802,
— Задание на карточках.
— Вырази в кубических см:
6 дм³, 287 дм³
5 дм³ 23 см³ 16000 мм³
5 дм³ 635 см³ 2 дм³ 80 см³
— Вырази в кубических дм:
6м³ 580см³ 7м³ 15дм³
VII . Повторение изученного. № 808
VIII . Итог: — Что запомнили с урока?
— Кто поработал на 5? на 4?
IX . Домашнее задание : § 21, № 822 (а, б), № 823.
Математика
5 класс
21. Объёмы.
Если наполнять формочку влажным песком, а потом переворачивать и снимать её, получатся фигуры, имеющие одинаковый объём (рис. 83). Если формочку наполнять водой, то объём воды будет равен объёму каждой фигуры из песка.
Рис. 83
Чтобы сравнить объёмы двух сосудов, можно наполнить один из них водой и перелить её во второй сосуд. Если второй сосуд окажется заполненным, а воды в первом сосуде не останется, то объёмы сосудов равны. Если в первом сосуде вода останется, то его объём больше объёма второго сосуда. А если заполнить водой второй сосуд не удастся, то объём первого сосуда меньше объёма второго.
Для измерения объёмов применяют следующие единицы: кубический миллиметр (мм3), кубический сантиметр (см3), кубический дециметр (дм3), кубический метр (м3), кубический километр (км3).
Например: кубический сантиметр - это объём куба с ребром 1 см (рис. 84).
Рис. 84
Кубический дециметр называют также литром.
Фигура на рисунке 85 состоит из 4 кубиков с ребром 1 см. Значит, её объём равен 4 см3.
Рис. 85
Выведем правило для вычисления объёма прямоугольного параллелепипеда.
Формулы объемов параллелепипеда и куба
Пусть прямоугольный параллелепипед имеет длину 4 см, ширину 3 см и высоту 2 см (рис. 86, а). Разобьём его на два слоя толщиной 1 см (рис. 86, б). Каждый из этих слоёв состоит из 3 столбиков длиной 4 см (рис. 86, в), а каждый столбик - из 4 кубиков с ребром 1 см. (рис. 86, г). Значит, объём каждого столбика равен 4 см3, каждого слоя - 4 3 (см3), а всего прямоугольного параллелепипеда - (4 3) 2, то есть 24 см3.
Рис. 86
Чтобы найти объём прямоугольного параллелепипеда, надо его длину умножить на ширину и на высоту.
Формула объёма прямоугольного параллелепипеда имеет вид
где V - объём; а, Ь, с - измерения.
Если ребро куба равно 4 см, то объём куба равен 4 4 4 = 43 (см3), то есть 64 см3.
Если ребро куба равно а, то объём V куба равен a a a = a3.
Значит, формула объёма куба имеет вид
Именно поэтому запись а3 называют кубом числа а.
Объём куба с ребром 1 м равен 1 м3. А так как 1 м = 10 дм, то 1 м3 = 103 дм3, то есть 1 м3 = 1000 дм3 = 1000 л.
Таким же образом находим, что
1 л = 1 дм3 = 1000 см3; 1 см3 = 1000 мм3;
1 км3 = 1 000 000 000 м3 (см. рисунок).
Вопросы для самопроверки
- Фигура состоит из 19 кубиков со стороной 1 см каждый; чему равен объём этой фигуры?
- Что такое кубический сантиметр; кубический метр?
- Как ещё называют кубический дециметр?
- Скольким кубическим сантиметрам равен 1 литр?
- Скольким литрам равен кубический метр?
- Сколько кубических метров в кубическом километре?
- Напишите формулу объёма прямоугольного параллелепипеда.
- Что означает в этой формуле буква V; буквы а, Ь, с?
- Напишите формулу объёма куба.
Выполните упражнения
819. Из кубиков с ребром 1 см составлены фигуры (рис. 87). Найдите объёмы и площади поверхностей этих фигур.
Рис. 87
820. Найдите объём прямоугольного параллелепипеда, если:
- а) а = 6 см, b = 10 см, с = 5 см;
- б) а = 30 дм, b = 20 дм, с = 30 дм;
- в) а = 8 дм, b = 6 м, с = 12 м;
- г) a = 2 дм 1 см, b = 1 дм 7 см, с = 8 см;
- д) а = 3 м, b = 2 дм, с = 15 см.
821. Площадь нижней грани прямоугольного параллелепипеда равна 24 см2. Определите высоту этого параллелепипеда, если его объём равен 96 см3.
822. Объём комнаты равен 60 м3. Высота комнаты 3 м, ширина 4 м. Найдите длину комнаты и площади пола, потолка, стен.
823. Найдите объём куба, ребро которого 8 дм; 3 дм 6 см.
824. Найдите объём куба, если площадь его поверхности равна 96 см2.
825. Выразите:
- а) в кубических сантиметрах: 5 дм3 635 см3; 2 дм3 80 см3;
- б) в кубических дециметрах: 6 м3 580 дм3; 7 м3 15 дм3;
- в) в кубических метрах и дециметрах: 3270 дм3; 12 540 000 см3.
826. Высота комнаты 3 м, ширина 5 м и длина 6 м. Сколько кубических метров воздуха находится в комнате?
827. Длина аквариума 80 см, ширина 45 см, а высота 55 см. Сколько литров воды надо влить в этот аквариум, чтобы уровень воды был ниже верхнего края аквариума на 10 см?
828. Прямоугольный параллелепипед (рис. 88) разделён на две части. Найдите объём и площадь поверхности всего параллелепипеда и обеих его частей. Равен ли объём параллелепипеда сумме объёмов его частей? Можно ли это сказать о площадях их поверхностей? Объясните почему.
Рис. 88
829. Вычислите устно:
830. Восстановите цепочку вычислений:
831. Найдите значение выражения:
- а) 23 + З2;
- б) 33 + 52;
- в) 43 + 6;
- г) 103 — 10.
832. Сколько десятков получится в частном:
- а) 1652: 7;
- б) 774: 6;
- в) 1632: 12;
- г) 2105: 5?
833. Согласны ли вы с утверждением:
- а) любой куб является и прямоугольным параллелепипедом;
- б) если длина прямоугольного параллелепипеда не равна его высоте, то он не может быть кубом;
- в) каждая грань куба - квадрат?
834. Четыре одинаковые бочки вмещают 26 вёдер воды. Сколько вёдер воды могут вместить 10 таких бочек?
835. Сколькими способами из 7 бусинок разных цветов можно составить ожерелье (с застёжкой)?
836. Назовите в прямоугольном параллелепипеде (рис. 89):
- а) две грани, имеющие общее ребро;
- б) верхнюю, заднюю, переднюю и нижнюю грани;
- в) вертикальные рёбра.
Рис. 89
837. Решите задачу:
- Найдите площадь каждого участка, если площадь первого участка в 5 раз больше площади второго, а площадь второго на 252 га меньше площади первого.
- Найдите площадь каждого участка, если площадь второго участка на 324 га больше площади первого участка, а площадь первого участка в 7 раз меньше площади второго.
838. Выполните действия:
- 668 (3076 + 5081);
- 783 (66 161 — 65 752);
- 2 111 022: (5960 — 5646);
- 2 045 639: (6700 — 6279).
839. На Руси в старину использовались в качестве единиц измерения объёма ведро (около 12 л), штоф (десятая часть ведра), в США, Англии и других странах используются баррель (около 159 л), гяллон (около 4 л), бушель (около 36 л), пинта (от 470 до 568 кубических сантиметров). Сравните эти единицы. Какие из них больше 1 м3?
840. Найдите объёмы фигур, изображённых на рисунке 90. Объём каждого кубика равен 1 см3.
Рис. 90
841. Найдите объём прямоугольного параллелепипеда (рис. 91).
Рис. 91
842. Найдите объём прямоугольного параллелепипеда, если его измерения - 48 дм, 16 дм и 12 дм.
843. Сарай, имеющий форму прямоугольного параллелепипеда, заполнен сеном. Длина сарая 10 м, ширина 6 м, высота 4 м. Найдите массу сена в сарае, если масса 10 м3 сена равна 6 ц.
844. Выразите в кубических дециметрах:
- 2 м3 350 дм3;
- 3 м3 7 дм3;
- 4 м3 30 дм3;
- 18 000 см3;
- 210 000 см3.
845. Объём прямоугольного параллелепипеда 1248 см3. Его длина 13 см, а ширина 8 см. Найдите высоту этого параллелепипеда.
846. С помощью формулы V = abc вычислите:
- а) V, если а — 3 дм, b = 4 дм, с = 5 дм;
- б) а, если V = 2184 см3, b = 12 см, с = 13 см;
- в) b, если V = 9200 см3, а = 23 см, с = 25 см;
- г) аb, если V = 1088 дм3, с = 17 см.
Каков смысл произведения ab?
847. Отец старше сына на 21 год. Запишите формулу, выражающую - возраст отца - через b - возраст сына. Найдите по этой формуле:
- а) а, если b = 10;
- б) а, если b = 18;
- в) b, если а = 48.
848. Найдите значение выражения:
- а) 700 700 — 6054 (47 923 — 47 884) — 65 548;
- б) 66 509 + 141 400: (39 839 — 39 739) + 1985;
- в) (851 + 2331) : 74 — 34;
- г) (14 084: 28 — 23) 27 — 12 060;
- д) (102 + 112 + 122) : 73 + 895;
- е) 2555: (132 + 142) + 35.
849. Подсчитайте по таблице (рис. 92):
- а) сколько раз встречается цифра 9;
- б) сколько всего раз в таблице встречаются цифры 6 и 7 (не считая их по отдельности);
- в) сколько всего раз встречаются цифры 5, 6 и 8 (не считая их по отдельности).
Рис. 92
Рассказы об истории возникновения и развития математики
200 лет назад в разных странах, в том числе и в России, применялись различные системы единиц для измерения длины, массы и других величин. Соотношения между мерами были сложны, существовали разные определения для единиц измерения.
Например, и до сих пор в Великобритании существуют две различные «тонны» (в 2000 и в 2940 фунтов), более 50 различных «бушелей» и т. п. Это затрудняло развитие науки, торговли между странами, поэтому назрела необходимость введения единой системы мер, удобной для всех стран, с простыми соотношениями между единицами.
Такая система - её назвали метрической системой мер - была разработана во Франции. Основную единицу длины, 1 метр (от греческого слова «метрон» - мера), определили как сорокамиллионную долю окружности Земли, основную единицу массы, 1 килограмм - как массу 1 дм3 чистой воды. Остальные единицы определялись через эти две, соотношения между единицами одной величины равнялись 10, 100, 1000 и т. д.
Метрическая система мер принята большинством стран мира, в России её введение началось с 1899 года. Большие заслуги во введении и распространении метрической системы мер в нашей стране принадлежат Дмитрию Ивановичу Менделееву, великому русскому химику.
Однако по традиции и в настоящее время иногда пользуются старыми единицами. моряки измеряют расстояния милями (1852 м) и кабельтовыми (десятая часть мили, то есть около 185 м), скорость - узлами (1 миля в час). Массу алмазов измеряют в каратах (200 мг, то есть пятая часть грамма - масса пшеничного зерна). Объём нефти измеряют в баррелях (159 л) и т. д.
Это можно осуществить разными способами, все зависит от того, какие величины и предметы мы имеем.
Итак, способ первый, который подходит исключительно для прямоугольного параллелепипеда.
Для определения объема параллелепипеда Вам потребуется его высота, ширина и длина.
Поскольку параллелепипед образуют прямоугольники, давайте отметим длину и ширину их буквами а и b соответственно. Тогда площадь прямоугольника будет рассчитана как а*b.
Высотой параллелепипеда называют высоту бокового ребра, и поскольку высота является величиной постоянной, для нахождения объема нужно площадь основания параллелепипеда умножить на высоту. Это выражается следующей формулой: V = а*b*с = S*с, где с – это высота.
Рассмотри м на примере. Допустим, у нас имеется параллелепипед с длиной и шириной основания 5 и 8 см, а его высота составляет 11 см. Необходимо вычислить объем.
Находим площадь основания: 5*8=40 кв. см. Теперь полученное значение умножаем на высоту 40*11=440 куб. см – это объем фигуры.
Второй способ.
Поскольку основанием параллелепипеда является геометрическая фигура параллелограмм, нужно определить его площадь. Для нахождения площади параллелограмма в зависимости от известных данных можно использовать следующие формулы:
- S = а*h, где а является стороной параллелограмма, h – высотой проведенной к а.
- S = а*b*sinα, где а и b это сторона фигуры, α – угол между этими сторонами.
После того. как Вы разобрались. Как найти площадь параллелограмма, можно приступить к нахождению объема нашего параллелепипеда. Для этого используем формулу:
V = S*h, где S – это полученная ранее площадь основания, h – высота нашего параллелепипеда.
Рассмотрим пример.
Нам дан параллелепипед с высотой 50см, основание (параллелограмм) которого имеет сторону равную 23 см и высоту, проведенную именно к этой стороне – 8 см. Подставляем вышеуказанную формулу:
S = 23*8 = 184 кв. cм.
Теперь подставляем формулу для нахождения объема параллелепипеда:
V = 184*50 = 9 200 куб.
Урок математики ‘Объём прямоугольного параллелепипеда’ (5 класс)
Ответ: объем данного параллелепипеда 9200 кубических сантиметров.
Третий способ.
Этот вариант подойдет только для прямоугольного типа параллелепипеда, стороны, основания которого будут равны. Для этого Вам потребуется всего лишь возвести в куб данные стороны.
V = а3, т.е. возведенное в куб.
Дан параллелепипед со стороной основания 12. Значит, объем данной фигуры вычисляется по следующей формуле V = 123 = 1728 куб. см.
Любой из способов является очень простым. Главное вооружиться калькулятором и правильно выполнить все расчеты. Удачи!
объём прямоугольного параллелепипеда
S1*2 + S2*2 + S3*2 = S
Основание параллелепипеда
Калькулятор вычислит и распишет решение подробно и с комментариями. Вам останется только переписать строчное решение параллелепипеда себе в тетрадь. Подробное текстовое решение с разъяснениями позволит найти понимание методики решения таких задач и при необходимости снять вопросы, дав развёрнутый и грамотный ответ.
Расчёты объёма и площадь параллелограмма — это элементарная основа для многих технических и бытовых расчётов!
Объемы. Объем прямоугольного параллелепипеда
Например для расчёта ремонта в комнате, вычисления данных для отопления помещений или их кондиционирования.
прямоугольный параллелограмм
Формула используемая в нашем калькуляторе найдёт объём прямоугольного параллелепипеда . А если ваш параллелепипед имеет косые грани, вместо длины соответствующего косого ребра — необходимо ввести значение высоты этой части фигуры.
Формула объёма прямоугольного параллелепипеда
Чтобы его найти, необходимо знать размеры рёбер: высоту, ширину и длину. По формуле, размеры граней параллелепипеда необходимо перемножить в произвольном порядке.
Объём можно представить в литрах или куб.см., кубических миллиметрах.
Формула площади поверхности параллелепипеда
S1*2 + S2*2 + S3*2 = S
По формуле площади параллелепипеда необходимо найти площади всех сторон параллелепипеда, а затем их сложить. Противоположные стороны, грани, и рёбра параллелепипеда равны между собой, по этому при вычислении площадей можно применять умножение на два.
Основание параллелепипеда
В некоторых случаях бывает известна площадь основания параллелепипеда, тогда для того, что бы найти объём достаточно площадь основания умножить на высоту. ! ВАЖНО! — это верно, только для прямоугольного параллелепипеда.
Как найти объём параллелепипеда?
Проще всего найти объём введя три известных значения в графы онлайн калькулятора объёма! Затем — нажми на кнопу — получишь результат)!
Калькулятор вычислит объём параллелепипеда abcda1b1c1d1 и распишет решение подробно и с комментариями.
Объем прямоугольного параллелепипеда
Вам останется только переписать строчное решение параллелепипеда себе в тетрадь. Подробное текстовое решение с разъяснениями позволит найти понимание методики решения таких задач и при необходимости снять вопросы, дав развёрнутый и грамотный ответ.
Расчёты объёма и площадь параллелограмма — это элементарная основа для многих технических и бытовых расчётов! Например для расчёта ремонта в комнате, вычисления данных для отопления помещений или их кондиционирования.
Параллелограмм это объёмная геометрическая фигура, имеющая шесть сторон, каждая из сторон при этом параллелограмм. Стороны параллелограмма обычно называются гранями. Если все грани параллелепипеда имеют форму прямоугольника — то это уже прямоугольный параллелограмм ! Обозначается эта фигура буквами abcda1b1c1d1.
Фигуры на рисунке 175, а и б состоят из равного количества одинаковых кубиков. О таких фигурах можно сказать, что их объемы равны. Прямоугольные параллелепипеды, изображенные на рисунке 175, в и г, состоят соответственно из 18 и 9 одинаковых кубиков. Поэтому можно сказать, что объем первого из них в два раза больше объема второго.
С такой величиной, как объем, вы часто встречаетесь в повседневной жизни: объем топливного бака, объем бассейна, объем классной комнаты, показатели потребления газа или воды на счетчиках и т.д.
Опыт подсказывает вам, что одинаковые емкости имеют равные объемы. Например, одинаковые бочки имеют равные объемы.
Если емкость разделить на несколько частей, то объем всей емкости равен сумме объемов ее частей. Например, объем двухкамерного холодильника равен сумме объемов его камер.
Эти примеры иллюстрируют следующие свойства объема фигуры .
1 ) Равные фигуры имеют равные объемы.
2 ) Объем фигуры равен сумме объемов фигур, из которых она состоит.
Как и в случаях с другими величинами (длина, площадь), следует ввести единицу измерения объема.
За единицу измерения объема выбираю куб, ребро которого равно единичному отрезку. Такой куб называют единичным .
кубическим миллиметром . Пишут 1 мм 3 .
Объем куба с ребром 1 см называю кубическим сантиметром . Пишут 1 см 3 .
Объем куба с ребром 1 мм называю кубическим дециметром . Пишут 1 дм 3 .
При измерении объемов жидкостей и газов 1 дм 3 называют литром . Пишут: 1 л. Итак, 1 л = 1 дм 3 .
Если объем красного кубика (см. рис. 175, д) принять за единицу, то объемы фигур на рисунке 175, а, б, в и г соответственно равны 5, 5, 18 и 9 кубических единиц.
Если длина, ширина и высота прямоугольного параллелепипеда соответственно равны 5 см, 6 см, 4 см, то этот параллелепипед можно разделить на 5 * 6 * 4 единичных кубов (рис. 176 ). Поэтому его объем равен 5 * 6 * 4 = 120 см 3 .
Объем прямоугольного параллелепипеда равен произведению трех его измерений.
V = abc
где V − объем, a, b, и c − измерения прямоугольного параллелепипеда, выраженные в одних и тех же единицах.
Поскольку у куба все ребра равны, то его объем вычисляют по формуле:
V = a 3
где a − длина ребра куба. Именно поэтому третью степень числа называют кубом числа.
Произведение длины a и ширины b прямоугольного параллелепипеда равно площади S его основания: S = ab (рис. 177 ). Обозначим высоту прямоугольного параллелепипеда буквой h. Тогда объем V прямоугольного параллелепипеда равен V = abh .
V = abh = (ab)h = Sh .
Итак, мы получили еще одну формулу для вычисления объема прямоугольного параллелепипеда:
V = Sh
Объем прямоугольного параллелепипеда равен произведению площади основания на высоту.
Пример. Какой должна быть высота бака, имеющего форму прямоугольного параллелепипеда, чтобы его объем составлял 324 дм 3 , а площадь дна − 54 дм 2 ?
Решение. Из формулы V = Sh следует, что h = V: S. Тогда искомую высоту h бака можно вычислить так:
h = 324 : 54 = 6 (дм).
Ответ: 6 дм.
Прямоугольник - одна из самых простых плоских фигур, а прямоугольный параллелепипед - такая же простая фигура, но в пространстве (рис. 1). Они очень похожи.
Так же похожи, как круг и шар.
Рис. 1. Прямоугольник и параллелепипед
Разговор про площади начинают с площади прямоугольника, а про объемы - с объема прямоугольного параллелепипеда.
Если мы умеем находить площадь прямоугольника, то это нам позволяет найти площадь любой фигуры.
Вот эту фигуру мы можем разбить на 3 прямоугольника и найти площадь каждого, а значит, и всей фигуры. (Рис. 2.)
Рис. 2. Фигура
Рис. 3. Фигура, площадь которой равна семи прямоугольникам
Даже если фигура не разбивается точно на прямоугольники, это можно сделать с любой точностью и площадь посчитать приблизительно.
Площадь этой фигуры (рис. 3) примерно равна сумме площадей семи прямоугольников. Неточность получается за счет верхних маленьких фигур. Если увеличить число прямоугольников, то неточность уменьшится.
То есть прямоугольник - это инструмент для вычисления площадей любых фигур.
Такая же ситуация, когда речь идет об объемах.
Любую фигуру можно выложить прямоугольными параллелепипедами, кирпичиками. Чем мельче будут эти кирпичики, тем точнее мы сможем посчитать объем (рис. 4, рис.5).
Рис. 4. Вычисление площади с помощью прямоугольных параллелепипедов
Прямоугольный параллелепипед является инструментом для вычисления объемов любых фигур.
Рис. 5. Вычисление площади с помощью маленьких параллелепипедов
Давайте немного вспомним.
Квадрат со стороной 1 единица (рис. 6) имеет площадь в 1 квадратную единицу. Исходная линейная единица может быть любой: сантиметр, метр, километр, миля.
Например, 1 см 2 - это площадь квадрата со стороной 1 см.
Рис. 6. Квадрат и прямоугольник
Площадь прямоугольника - это количество таких квадратов, которые в него поместятся. (Рис. 6.)
Уложим единичные квадраты в длину прямоугольника в один ряд. Получилось 5 штук.
В высоту помещается 3 квадрата. Значит, всего помещается три ряда, в каждом по пять квадратов.
Итого площадь равна .
Понятно, что нет нужды каждый раз внутри прямоугольника размещать единичные квадраты.
Достаточно умножить длину одной стороны на длину другой.
Или в общем виде:
Очень похоже обстоят дела с объемом прямоугольного параллелепипеда.
Объем куба со стороной 1 единица - это 1 кубическая единица. Опять же, исходные линейные величины могут быть любыми: миллиметры, сантиметры, дюймы.
Например, 1 см 3 - это объем куба со стороной 1 см, а 1 км 3 - это объем куба со стороной 1 км.
Найдем объем прямоугольного параллелепипеда со сторонами 7 см, 5 см, 4 см. (Рис. 7.)
Рис. 7. Прямоугольный параллелепипед
Объем нашего прямоугольного параллелепипеда - это количество единичных кубов, помещающихся в него.
Уложим на дно ряд единичных кубиков со стороной 1 см вдоль длинной стороны. Поместилось 7 штук. Уже по опыту работы с прямоугольником мы знаем, что на дно поместится всего 5 таких рядов, по 7 штук в каждом. То есть всего:
Назовем это слой. Сколько таких слоев мы можем уложить друг на друга?
Это зависит от высоты. Она равна 4 см. Значит, укладывается 4 слоя в каждом по 35 штук. Всего:
А откуда у нас появилось число 35? Это 75. То есть количество кубиков мы получили перемножением длин всех трех сторон.
Но это и есть объем нашего прямоугольного параллелепипеда.
Ответ: 140
Теперь мы можем записать формулу и в общем виде. (Рис. 8.)
Рис. 8. Объем параллелепипеда
Объем прямоугольного параллелепипеда со сторонами , , равен произведению всех трех сторон.
Если длины сторон даны в сантиметрах, то объем получится в кубических сантиметрах (см 3).
Если в метрах, то объем в кубических метрах (м 3).
Аналогично объем может быть измерен в кубических миллиметрах, километрах и т. д.
Стеклянный куб со стороной 1 м наполнен водой целиком. Какова масса воды? (Рис. 9.)
Рис. 9. Куб
Куб является единичным. Сторона - 1 м. Объем - 1 м 3 .
Если мы знаем, сколько весит 1 кубический метр воды (сокращенно говорят кубометр), то задача решена.
Но если мы этого не знаем, то нетрудно посчитать.
Длина стороны .
Посчитаем объем в дм 3 .
Но 1 дм 3 имеет отдельное название, 1 литр. То есть у нас 1000 литров воды.
Нам всем известно, что масса одного литра воды равна 1 кг. То есть у нас 1000 кг воды, или 1 тонна.
Понятно, что такой куб, наполненный водой, не под силу передвинуть ни одному обычному человеку.
Ответ: 1 т.
Рис. 10. Холодильник
Холодильник имеет высоту 2 метра, ширину 60 см и глубину 50 см. Найти его объем.
Прежде чем мы воспользуемся формулой объема - произведение длин всех сторон - необходимо перевести длины в одинаковые единицы измерения.
Мы можем перевести все в сантиметры.
Соответственно, и объем мы получим в кубических сантиметрах.
Думаю, вы согласитесь, что в кубических метрах объем более понятен.
Человек на глаз плохо отличает число с пятью нулями от числа с шестью нулями, а ведь одно в 10 раз больше, чем другое.
Часто нам нужно перевести одну единицу объема в другую. Например, кубометры в кубические дециметры. Тяжело запомнить все эти соотношения. Но этого и не нужно делать. Достаточно понять общий принцип.
Например, сколько кубических сантиметров в кубическом метре?
Давайте посмотрим, сколько кубиков со стороной 1 сантиметр поместится в куб со стороной 1 м. (Рис. 11.)
Рис. 11. Куб
В один ряд укладывается 100 штук (ведь в одном метре 100 см).
В один слой укладывается 100 рядов или кубиков.
Всего помещается 100 слоев.
Таким образом,
То есть если линейные величины связаны соотношением «в одном метре 100 см», то чтобы получить соотношение для кубических величин, нужно возвести 100 в 3 степень (). И не нужно каждый раз чертить кубы.
Инструкция
Если школьник пытается рассчитать объем прямоугольника, то уточните: о конкретно фигуре идет речь – или его объемном аналоге, прямоугольном . Узнайте также: что именно требуется найти по условиям задачи – объем, или длину. Кроме того, выясните: какая часть рассматриваемой фигуры имеется ввиду – вся фигура, грань, ребро, вершина, сторона или .
Чтобы вычислить объем прямоугольного , перемножьте между собой его длину, ширину и высоту (). То есть воспользуйтесь формулой:
где: a, b и с – длина, ширина и высота параллелепипеда (соответственно), а V – его объем.
Все длины сторон предварительно приведите к одной единице измерения, тогда и объем параллелепипеда получится в соответствующих «кубических» единицах.
Какова будет емкость бака для воды, имеющего размеры:
длина – 2 метра;
ширина – 1 метр 50 сантиметров;
высота – 200 сантиметров.
1. Приводим длины сторон к метрам: 2; 1,5; 2.
2. Перемножаем полученные числа: 2 * 1,5 * 2 = 6 (кубических ).
Если речь в задаче идет все-таки о прямоугольнике, то наверняка требуется вычислить его площадь. Для этого просто умножьте длину прямоугольника на его ширину. То есть примените формулу:
где:
a и b – длины сторон прямоугольника,
S – площадь прямоугольника.
Используйте эту же формулу, если в задаче грань прямоугольного параллелепипеда – согласно определения, она также имеет форму прямоугольника.
Объем куба составляет 27 м³. Чему равна площадь прямоугольника, образуемого гранью куба?
Наклонным называется параллелепипед, боковые грани которого не перпендикулярны граням основания. В этом случае объем равен произведению площади основания на высоту - V=Sh. Высота наклонного параллелепипеда - перпендикулярный отрезок, опущенный из любой верхней вершины на соответствующую сторону основания грани (то есть высота любой боковой грани).
Кубом называется прямой параллелепипед, у которого все ребра равны, а все шесть граней являются . Объем равен произведению площади основания на высоту - V=Sh. Основание - квадрат, площадь основания которого равна произведению двух его сторон, то есть величина стороны в . Высота куба - та же величина, поэтому в данном случае объемом будет величина ребра куба, возведенная в третью - V=a³.
Обратите внимание
Основания параллелепипеда всегда параллельны друг другу, это следует из определения призмы.
Измерения параллелепипеда - это длины его ребер.
Объем всегда равен произведению площади основания на высоту параллелепипеда.
Объем наклонного параллелепипеда может быть вычислен, как произведение величины бокового ребра на площадь перпендикулярного ему сечения.
Чтобы вычислить объем любого тела, нужно знать его линейные размеры. Это касается таких фигур как призма, пирамида, шар, цилиндр и конус. Для каждой из этих фигур есть своя определения объема.
Вам понадобится
- - линейка;
- - знание свойств объемных фигур;
- - формулы площади многоугольника.
Инструкция
Например, для того, чтобы найти объем , основание которой представляет собой прямоугольный треугольник с катетами 4 и 3 см, а высота 7 см произведите такие расчеты:
вычислите площадь прямоугольного , который является основанием призмы. Для этого перемножьте длины катетов, а результат поделите на 2. Sосн=3∙4/2=6 см²;
умножьте площадь основания на высоту, это и будет объем призмы V=6∙7=42 см³.
Чтобы вычислить объем пирамиды, найдите произведения площади ее основания на высоту, а результат умножьте на 1/3 V=1/3∙Sосн∙H. Высота пирамиды – отрезок, опущенный из ее вершины на плоскость основания. Наиболее часто встречаются так называемые правильные пирамиды, вершина проецируется в центр основания, которое представляет собой правильный .
Например, для того, чтобы найти объем пирамиды, в основе которой лежит правильный шестиугольник со стороной 2 см, высота которой составляет 5 см, проделайте такие действия:
по формуле S=(n/4) a² ctg(180º/n), где n – сторон правильного многоугольника, а – длина одной из сторон, найдите площадь основания. S=(6/4) 2² ctg(180º/6)≈10,4 см²;
рассчитайте объем пирамиды по формуле V=1/3∙Sосн∙H=1/3∙10,4∙5≈17,33 см³.
Объем найдите так же, как призмы, через произведение площади одного из оснований на его высоту V=Sосн∙H. При расчетах учитывайте, что основание цилиндра представляет собой круг, площадь которого равна Sосн=2∙π∙R², где π≈3,14, а R – радиус круга, который является основанием цилиндра.
Объем конуса по аналогии с пирамидой найдите по формуле V=1/3∙Sосн∙H. Основанием конуса является круг, площадь которого найдите так, как это описано для цилиндра.
Видео по теме
Шаром называют простейшую объемную фигуру геометрически правильной формы, все точки пространства внутри границ которой удалены от ее центра на расстояние, не превышающее радиуса. Поверхность, образуемая множеством максимально удаленных от центра точек, называется сферой. Для количественного выражения меры пространства, заключенного внутри сферы, предназначен параметр, который называется объемом шара.
Инструкция
Если требуется измерить объем шара не теоретически, а только подручными средствами, то сделать это можно, например, определив объем вытесненной им воды. Этот способ применим в том случае, когда есть возможность поместить шар в какую-либо соразмерную ему емкость - мензурку, стакан, банку, ведро, бочку, бассейн и т.д. В этом случае перед помещением шара отметьте уровень воды, сделайте это повторно после полного его погружения, а затем найдите разность между отметками. Обычно мерная емкость заводского производства имеет деления, показывающие объем в литрах и производных от него единицах - , и т.д. Если полученное значение надо в и кратные ему единицы объема, то исходите из того, что один литр соответствует одному кубическому дециметру или одной тысячной доле кубометра.
Если известен , из которого изготовлен шар, и плотность этого материала можно узнать, например, из справочника, то определить объем можно взвесив этот предмет. Просто разделите результат взвешивания на справочную плотность изготовления: V=m/p.
Если радиус шара известен из условий задачи или его можно измерить, то для вычисления объема можно использовать соответствующую математическую формулу. Умножьте учетверенное число Пи на третью степень радиуса, а полученный результат разделите на тройку: V=4*π*r³/3. Например, при радиусе в 40см объем шара составит 4*3,14*40³/3 = 267946,67см³ ≈ 0,268м³.
Измерить диаметр чаще проще, чем радиус. В этом случае нет необходимости делить его пополам для использования с формулой из предыдущего шага - лучше саму формулу. В соответствии с преобразованной формулой умножьте число Пи на диаметр в третьей степени, а результат разделите на шестерку: V=π*d³/6. Например, в 50см должен иметь объем в 3,14*50³/6 = 65416,67см³ ≈ 0,654м³.
В силу некоторых обстоятельств может возникнуть необходимость из листа прямоугольной формы сделать квадрат , например, во время изготовления многих поделок из бумаги в технике оригами. Но далеко не всегда под рукой есть карандаш и линейка. Однако существуют способы, благодаря которым можно получить квадрат , не имея ничего, кроме смекалки.
Вам понадобится
- - прямоугольник;
- - линейка;
- - карандаш;
- - ножницы.
Инструкция
Прямоугольник – это геометрическая фигура, у которой все четыре угла прямые, а пары сторон параллельны друг другу. Противоположные стороны прямоугольника по длине между собой , а между парами - разные. Квадрат отличается от предыдущей фигуры только тем, что у него все четыре стороны одинаковы.
Для того чтобы квадрат из прямоугольника , можно воспользоваться и карандашом. Например, стороны прямоугольника равны 30 см (длина) и 20 см (ширина). Тогда квадрат будет иметь стороны с меньшим значением, то есть 20 см. Отмерьте на верхней длинной стороне прямоугольника 20 см. Выполните то же действие, но только с нижней стороной. Соедините полученные точки с помощью линейки. В случае надобности отрежьте излишек, в результате чего получится квадрат со сторонами 20 см.
Сделать квадрат из прямоугольника можно даже в том случае, если отсутствуют чертежные принадлежности. Положите перед собой и согните один из его прямых углов (это может быть любой угол) строго пополам. Если поставить полученную фигуру на длинную сторону, то будет прямоугольная трапеция, визуально состоящая из треугольника и другого прямоугольника . Загните полученный прямоугольник на треугольник ( будет двойным за счет сложенной ), загладьте пальцами и отрежьте или аккуратно его оторвите. Разверните бумагу, которая и будет собой представлять квадрат . Из маленького оставшегося прямоугольника можно снова получить квадрат , только меньшего размера. Способы допустимо использовать те же самые.
