ما هي الزوايا المجاورة وخصائصها. ما هي الزوايا المسماة المجاور؟ ما مجموع زاويتين متجاورتين

الهندسة هي علم متعدد الأوجه. تنمي المنطق والخيال والذكاء. بالطبع ، نظرًا لتعقيدها وعدد كبير من النظريات والبديهيات ، لا يحبها تلاميذ المدارس دائمًا. بالإضافة إلى ذلك ، هناك حاجة لإثبات استنتاجاتك باستمرار باستخدام المعايير والقواعد المقبولة بشكل عام.

الزوايا المتجاورة والعمودية جزء لا يتجزأ من الهندسة. من المؤكد أن العديد من تلاميذ المدارس يعشقونهم ببساطة لأن خصائصهم واضحة ويسهل إثباتها.

تشكيل الزوايا

تتكون أي زاوية من تقاطع خطين مستقيمين أو عن طريق رسم شعاعين من نقطة واحدة. يمكن تسميتها إما بحرف واحد أو ثلاثة ، والتي تحدد على التوالي نقاط بناء الزاوية.

تُقاس الزوايا بالدرجات ويمكن (حسب قيمتها) تسميتها بشكل مختلف. إذن ، هناك زاوية قائمة ، حادة ، منفرجة وغير مطوية. يتوافق كل اسم مع مقياس درجة معين أو فاصل زمني.

تسمى الزاوية حادة إذا كان قياسها لا يتجاوز 90 درجة.

الزاوية المنفرجة أكبر من 90 درجة.

تسمى الزاوية الزاوية القائمة عندما يكون قياس درجتها 90.

في حالة تكوينه بخط متصل واحد ، وقياس درجته 180 ، يطلق عليه اسم موسع.

تسمى الزوايا التي لها ضلع مشترك ، حيث يتواصل ضلعها الآخر مع بعضها البعض ، بالمجاورة. يمكن أن تكون حادة أو حادة. يشكل تقاطع الخط زوايا متجاورة. خصائصها هي كما يلي:

1. مجموع هذه الزوايا سيساوي 180 درجة (هناك نظرية تثبت ذلك). لذلك ، يمكن حساب أحدهما بسهولة إذا كان الآخر معروفًا.
2. من النقطة الأولى ، يترتب على ذلك أن الزوايا المجاورة لا يمكن أن تتشكل بواسطة زاويتين منفرجتين أو زاويتين حادتين.

بفضل هذه الخصائص ، يمكنك دائمًا حساب درجة قياس الزاوية ، أو الحصول على قيمة زاوية أخرى ، أو على الأقل النسبة بينهما.

زوايا عمودية

تسمى الزوايا التي تكون جوانبها امتدادًا لبعضها البعض الرأسي. يمكن لأي من أصنافهم أن يتصرف مثل هذا الزوج. الزوايا الرأسية دائمًا متساوية.

تتشكل عندما تتقاطع الخطوط المستقيمة. الزوايا المجاورة موجودة دائمًا معهم. يمكن أن تكون الزاوية متجاورة مع أحدهما وعموديًا للآخر.

عند عبور خط تعسفي ، يتم أيضًا مراعاة عدة أنواع أخرى من الزوايا. يُطلق على هذا الخط اسم قاطع ، ويشكل زوايا متطابقة أحادية الجانب ومتقاطعة. هم متساوون مع بعضهم البعض. يمكن رؤيتها في ضوء الخصائص التي تتمتع بها الزوايا الرأسية والمجاورة.

وبالتالي ، يبدو أن موضوع الزوايا بسيط للغاية ومباشر. من السهل تذكر جميع خصائصهم وإثباتها. حل المشكلات ليس بالأمر الصعب طالما أن الزوايا تتوافق مع قيمة عددية. علاوة على ذلك ، عندما تبدأ دراسة الخطيئة وجيب التمام ، سيكون عليك حفظ العديد من الصيغ المعقدة واستنتاجاتها وعواقبها. حتى ذلك الوقت ، يمكنك الاستمتاع فقط بالمهام السهلة التي تحتاج فيها إلى إيجاد الزوايا المجاورة.

يسمى الزاويتان المجاورتان إذا كان بينهما جانب واحد مشترك ، والجوانب الأخرى من هذه الزوايا هي أشعة إضافية. في الشكل 20 ، الزاويتان AOB و BOC متجاورتان.

مجموع الزوايا المجاورة 180 درجة

النظرية 1. مجموع الزوايا المتجاورة 180 درجة.

شهادة. تمر حزمة OB (انظر الشكل 1) بين جانبي الزاوية غير المطوية. لذا ∠ AOB + ∠ BOS \u003d 180 درجة.

من النظرية 1 يترتب على ذلك أنه إذا تساوت زاويتان ، فإن الزوايا المجاورة لهما تكون متساوية.

الزوايا الرأسية متساوية

يُطلق على الزاويتين رأسيًا إذا كانت جوانب أحدهما أشعة مكملة لجوانب الجانب الآخر. تكون الزوايا AOB و COD و BOD و AOC ، المتكونة عند تقاطع خطين مستقيمين ، عمودية (الشكل 2).

نظرية 2. الزوايا الرأسية متساوية.

شهادة. ضع في اعتبارك الزوايا الرأسية AOB و COD (انظر الشكل 2). ركن BOD مجاور لكل من زوايا AOB و COD. حسب النظرية 1 ∠ AOB + ∠ BOD \u003d 180 درجة ، ∠ COD + BOD \u003d 180 درجة.

ومن ثم نستنتج أن ∠ AOB \u003d ∠ COD.

النتيجة الطبيعية 1. الزاوية المجاورة للزاوية القائمة هي الزاوية القائمة.

ضع في اعتبارك خطين مستقيمين متقاطعين AC و BD (الشكل 3). هم يشكلون أربع زوايا. إذا كانت إحداهما مستقيمة (الزاوية 1 في الشكل 3) ، فإن الزوايا الأخرى تكون أيضًا قائمة (الزاويتان 1 و 2 و 1 و 4 متجاورتان ، والزاويتان 1 و 3 عموديان). في هذه الحالة ، يقولون إن هذه الخطوط تتقاطع بزوايا قائمة وتسمى عموديًا (أو عموديًا بشكل متبادل). يشار إلى عمودية الخطوط المستقيمة AC و BD على النحو التالي: AC ⊥ BD.

نقطة المنتصف المتعامدة على مقطع ما هي خط عمودي على هذا الجزء ويمر عبر نقطة المنتصف.

AH - عمودي على خط مستقيم

النظر في خط مستقيم ونقطة أ التي لا تقع عليه (الشكل 4). دعنا نربط النقطة أ بمقطع بالنقطة H على خط مستقيم أ. يُطلق على المقطع AH اسم عمودي مرسوم من النقطة A إلى الخط a إذا كانت الخطوط AH و a متعامدة. النقطة H تسمى قاعدة العمود العمودي.

مربع الرسم

النظرية التالية صحيحة.

النظرية 3. من أي نقطة لا تستلقي على خط ، يمكن للمرء أن يرسم عموديًا على هذا الخط ، وعلاوة على ذلك ، واحد فقط.

لرسم عمودي من نقطة إلى خط مستقيم في الرسم ، استخدم مربع الرسم (الشكل 5).

تعليق. يتكون بيان النظرية عادة من جزأين. جزء واحد يتحدث عن ما هو معطى. هذا الجزء يسمى حالة النظرية. يتحدث الجزء الآخر عن ما يجب إثباته. هذا الجزء يسمى خاتمة النظرية. على سبيل المثال ، حالة Theorem 2 هي أن الزوايا رأسية ؛ الاستنتاج - هذه الزوايا متساوية.

يمكن التعبير عن أي نظرية بالتفصيل في الكلمات بحيث يبدأ شرطها بكلمة "إذا" ، والنتيجة - بكلمة "إذن". على سبيل المثال ، يمكن ذكر Theorem 2 بالتفصيل على النحو التالي: "إذا كانت زاويتان عموديتان ، فإنهما متساويتان."

مثال 1. إحدى الزوايا المجاورة قياسها 44 درجة. ما هو الآخر يساوي؟

قرار. دعونا نشير إلى درجة قياس الزاوية الأخرى بواسطة x ، ثم وفقًا للنظرية 1.
44 درجة + س \u003d 180 درجة.
بحل المعادلة الناتجة نجد أن x \u003d 136 °. إذن ، الزاوية الأخرى هي 136 درجة.

مثال 2. دع زاوية COD في الشكل 21 تساوي 45 درجة. ما هي الزوايا AOB و AOC؟

قرار. الزاويتان COD و AOB عموديان ، وبالتالي ، من خلال النظرية 1.2 ، فإنهما متساويتان ، أي ∠ AOB \u003d 45 درجة. الزاوية AOC مجاورة للزاوية COD ، وبالتالي ، من خلال النظرية 1.
∠ AOC \u003d 180 درجة - ∠ COD \u003d 180 درجة - 45 درجة \u003d 135 درجة.

مثال 3. أوجد الزوايا المجاورة إذا كانت إحداهما تساوي 3 أضعاف الأخرى.

قرار. دعنا نشير إلى درجة قياس الزاوية الأصغر عبر x. عندئذٍ يكون قياس درجة الزاوية الأكبر هو Zx. بما أن مجموع الزوايا المجاورة هو 180 درجة (نظرية 1) ، إذن x + 3x \u003d 180 ° ، حيث x \u003d 45 °
هذا يعني أن الزاويتين المتجاورتين هما 45 درجة و 135 درجة.

مثال 4. مجموع الزاويتين الرأسيتين 100 درجة. أوجد مقدار كل زاوية من الزوايا الأربع.

قرار. لنفترض أن الشكل 2 يتوافق مع حالة المشكلة ، والزوايا الرأسية لـ COD إلى AOB متساوية (النظرية 2) ، وبالتالي ، فإن مقاييس درجاتها متساوية أيضًا. لذلك ، ∠ COD \u003d ∠ AOB \u003d 50 ° (مجموعها حسب الشرط هو 100 درجة). زاوية BOD (أيضًا زاوية AOC) مجاورة لزاوية COD ، وبالتالي ، من خلال النظرية 1
∠ BOD \u003d AOC \u003d 180 درجة - 50 درجة \u003d 130 درجة.

الشروع في العمل مع الزوايا

دعونا نعطي شعاعين تعسفيين. دعونا نضعهم فوق بعضهم البعض. ثم

التعريف 1

ستسمى الزاوية شعاعين لهما نفس الأصل.

التعريف 2

النقطة التي هي أصل الأشعة في التعريف 3 تسمى قمة تلك الزاوية.

سيتم الإشارة إلى الزاوية بالنقاط الثلاث التالية: الرأس ، ونقطة على أحد الأشعة ، ونقطة على الشعاع الآخر ، وقمة الزاوية مكتوبة في منتصف تعيينها (الشكل 1).

دعونا الآن نحدد قيمة الزاوية.

للقيام بذلك ، من الضروري اختيار نوع من الزاوية "المرجعية" ، والتي سنتخذها كوحدة. غالبًا ما تكون هذه الزاوية تساوي $ \\ frac (1) (180) $ جزء من الزاوية المسطحة. هذه القيمة تسمى الدرجة. بعد اختيار هذه الزاوية ، نقارن الزوايا بها ، والتي يجب إيجاد قيمتها.

هناك 4 أنواع من الزوايا:

التعريف 3

تسمى الزاوية حادة إذا كانت أقل من $ 90 ^ 0 $.

التعريف 4

تسمى الزاوية منفرجة إذا كانت أكبر من $ 90 ^ 0 $.

التعريف 5

تسمى الزاوية غير مطوية إذا كانت تساوي 180 ^ 0 $.

التعريف 6

تسمى الزاوية الزاوية القائمة إذا كانت تساوي 90 ^ 0 $.

بالإضافة إلى أنواع الزوايا الموضحة أعلاه ، يمكنك تحديد أنواع الزوايا بالنسبة لبعضها البعض ، أي الزوايا الرأسية والمجاورة.

الزوايا المجاورة

ضع في اعتبارك الزاوية $ COB $ غير المطوية. ارسم شعاع $ OA $ من رأسه. سيقسم هذا الشعاع الأصل إلى زاويتين. ثم

التعريف 7

سيطلق على الزاويتين المجاورتين إذا كان أحد جوانبها زاوية متطورة ، والزوج الآخر متطابق (الشكل 2).

في هذه الحالة ، الزاويتان $ COA $ و $ BOA $ متجاورتان.

نظرية 1

مجموع الزوايا المتجاورة هو 180 ^ 0 $.

شهادة.

النظر في الشكل 2.

حسب التعريف 7 ، ستكون زاوية $ COB $ 180 ^ 0 $. نظرًا لأن الزوج الثاني من جوانب الزوايا المجاورة يتطابق ، فإن شعاع $ OA $ سيقسم الزاوية الموسعة على 2 ، لذلك

$ ∠COA + ∠BOA \u003d 180 ^ 0 دولار

تم إثبات النظرية.

فكر في حل مشكلة باستخدام هذا المفهوم.

مثال 1

ابحث عن الزاوية $ C $ من الصورة أدناه

من خلال التعريف 7 ، نرى أن الزاويتين $ BDA $ و $ ADC $ متجاورتان. لذلك ، من خلال النظرية 1 ، نحصل عليها

$ ∠BDA + ∠ADC \u003d 180 ^ 0 دولار

$ ∠ADC \u003d 180 ^ 0-∠BDA \u003d 180 0-59 ^ 0 \u003d 121 ^ 0 دولار

حسب نظرية مجموع الزوايا في المثلث ، لدينا

$ ∠A + ∠ADC + C \u003d 180 ^ 0 دولار

$ ∠C \u003d 180 ^ 0-∠A-∠ADC \u003d 180 ^ 0-19 ^ 0-121 ^ 0 \u003d 40 ^ 0 دولار

الجواب: 40 ^ 0 دولار.

زوايا عمودية

ضع في اعتبارك الزوايا غير المطوية $ AOB $ و $ MOC $. دعونا نحاذي رؤوسهم مع بعضها البعض (أي وضعنا النقطة $ O "$ على النقطة $ O $) بحيث لا تتطابق أي جوانب من هذه الزوايا.

التعريف 8

ستطلق على زاويتين رأسيتين إذا كانت أزواج جوانبها زوايا غير مطوية ، وتطابق قيمها (الشكل 3).

في هذه الحالة ، تكون الزاويتان $ MOA $ و $ BOC $ عمودية والزوايا $ MOB $ و $ AOC $ عمودية أيضًا.

نظرية 2

الزوايا الرأسية متساوية مع بعضها البعض.

شهادة.

انظر إلى الشكل 3. لنثبت ، على سبيل المثال ، أن $ MOA $ يساوي $ BOC $.

زاويتان تقعان على خط مستقيم واحد لهما رأس يسمى المجاور.

خلافًا لذلك ، إذا كان مجموع زاويتين على خط مستقيم واحد يساوي 180 درجة وكان بينهما ضلع واحد مشترك ، فهذه زاويتان متجاورتان.

1 زاوية مجاورة + 1 زاوية مجاورة \u003d 180 درجة.

الزاويتان المتجاورتان هما زاويتان يكون أحدهما مشتركًا فيه ويشكل الجانبان الآخران عمومًا خطًا مستقيمًا.

مجموع زاويتين متجاورتين يساوي دائمًا 180 درجة. على سبيل المثال ، إذا كانت إحدى الزوايا 60 درجة ، فإن الثانية ستكون بالضرورة مساوية لـ 120 درجة (180-60).

الزاويتان AOC و BOC هما زاويتان متجاورتان ، لأن جميع شروط خصائص الزوايا المجاورة مستوفاة:

1.OS هو الجانب المشترك من زاويتين

2.AO هو جانب الزاوية AOC ، OV هو جانب الزاوية BOC. تشكل هذه الجوانب معًا خطًا مستقيمًا AOB.

3. الزاوية قياسها اثنان ومجموعها 180 درجة.

باستدعاء دورة الهندسة المدرسية ، يمكننا أن نقول ما يلي عن الزوايا المجاورة:

الزوايا المجاورة لها جانب واحد مشترك ، والجانبان الآخران ينتميان إلى نفس الخط المستقيم ، أي أنهما على نفس الخط المستقيم. إذا كان وفقًا للشكل ، فإن زوايا COB و BOA هي زوايا متجاورة ، ومجموعها دائمًا 180 ، نظرًا لأنها تشترك في الزاوية غير المطوية ، والزاوية غير المطوية دائمًا 180.



الزوايا المتجاورة مفهوم سهل في الهندسة. الزوايا المتجاورة ، الزاوية زائد الزاوية مجموعهما 180 درجة.

زاويتان متجاورتان - ستكون هذه زاوية واحدة مكشوفة.

هناك العديد من الخصائص. من السهل حل المشاكل والنظريات مع الزوايا المجاورة.

تتشكل الزوايا المجاورة عندما يتم سحب شعاع من نقطة عشوائية على خط مستقيم. ثم يتبين أن هذه النقطة العشوائية هي قمة الزاوية ، والشعاع هو الجانب المشترك للزوايا المجاورة ، والخط المستقيم الذي يتم رسم الشعاع منه هو الضلعان المتبقيان من الزوايا المجاورة. يمكن أن تكون الزوايا المتجاورة إما متماثلة في حالة العمودي أو مختلفة في حالة الحزمة المائلة. من السهل أن نفهم أن مجموع الزوايا المجاورة يساوي 180 درجة ، أو ببساطة خط مستقيم. بطريقة أخرى ، يمكن تفسير هذه الزاوية بمثال بسيط - لقد مشيت أولاً في اتجاه واحد في خط مستقيم ، ثم غيرت رأيك ، وقررت العودة ، وبعد أن استدارت 180 درجة ، انطلقت على نفس الخط المستقيم في الاتجاه المعاكس.



إذن ما هي الزاوية المجاورة؟ تعريف:

يوجد زاويتان متجاورتان برأس مشترك وجانب مشترك ، ويقع الجانبان الآخران من هذه الزوايا على نفس الخط المستقيم.



ودرس فيديو صغير ، حيث يتم عرضه بشكل معقول حول الزوايا المتجاورة ، الزوايا الرأسية ، بالإضافة إلى الخطوط المستقيمة المتعامدة ، وهي حالة خاصة للزوايا المتجاورة والرأسية

الزوايا المجاورة هي الزوايا حيث يكون أحد الجانبين مشتركًا والآخر عبارة عن سطر واحد.

الزوايا المتجاورة هي زوايا تعتمد على بعضها البعض. بمعنى ، إذا تم تدوير الجانب المشترك قليلاً ، فإن إحدى الزوايا ستنخفض ببعض الدرجات وتزداد الزاوية الثانية تلقائيًا بنفس الدرجة. تسمح خاصية الزوايا المتجاورة هذه بحل المشكلات المختلفة وإثبات النظريات المختلفة في الهندسة.

المجموع الكلي للزوايا المتجاورة يساوي دائمًا 180 درجة.



من دورة الهندسة ، (على حد ما أتذكر في الصف 6) ، تسمى زاويتان متجاورتان ، حيث يكون أحد الجانبين مشتركًا ، والجانب الآخر عبارة عن أشعة إضافية ، ومجموع الزوايا المتجاورة هو 180. كل من الزاويتين المتجاورتين الزوايا تكمل الأخرى بزاوية متطورة. مثال على الزوايا المجاورة:



الزاويتان المتجاورتان زاويتان برأس مشترك ، أحد جانبيها مشترك ، والأضلاع المتبقية تقع على خط مستقيم واحد (غير متزامن). مجموع الزوايا المتجاورة يساوي 180 درجة. بشكل عام ، من السهل جدًا العثور على كل هذا في Google أو في كتاب الهندسة.

1. الزوايا المجاورة.

إذا مددنا ضلع أي ركن إلى ما بعد رأسه ، نحصل على زاويتين (الشكل 72): ∠ABS و ∠СВD ، حيث يكون أحد الضلع BC مشتركًا ، والاثنان الآخران ، AB و BD ، يشكلان خطًا مستقيمًا.

الزاويتان اللتان يكون أحدهما مشتركًا والآخران يشكلان خطًا مستقيمًا تسمى الزوايا المجاورة.

يمكن أيضًا الحصول على الزوايا المجاورة بهذه الطريقة: إذا رسمنا شعاعًا من نقطة ما على خط مستقيم (ليس على خط مستقيم معين) ، فسنحصل على الزوايا المجاورة.

على سبيل المثال ، ∠ADF و ∠FDB هما زاويتان متجاورتان (الشكل 73).

يمكن أن يكون للزوايا المجاورة مجموعة متنوعة من المواضع (شكل 74).

الزوايا المتجاورة تضيف ما يصل إلى زاوية مسطحة ، لذلك مجموع زاويتين متجاورتين يساوي 180 درجة

من هنا ، يمكن تعريف الزاوية القائمة على أنها زاوية تساوي الزاوية المجاورة لها.

بمعرفة قيمة إحدى الزاويتين المتجاورتين ، يمكننا إيجاد قيمة الزاوية الأخرى المجاورة.

على سبيل المثال ، إذا كانت إحدى الزوايا المجاورة 54 درجة ، فإن الزاوية الثانية ستكون:

180 درجة - 54 درجة \u003d L26 درجة.

2. الزوايا العمودية.

إذا قمنا بتمديد جانبي الزاوية إلى ما بعد رأسها ، نحصل على زوايا رأسية. في الشكل 75 ، تكون الزوايا EOF و AOC عمودية ؛ زوايا AOE و COF عمودية أيضًا.

يُطلق على الزاويتين رأسيًا إذا كانت جوانب أحدهما امتدادًا لجوانب الزاوية الأخرى.

دع ∠1 \u003d \\ (\\ frac (7) (8) \\) ⋅ 90 درجة (الشكل 76). سيكون المجاور ∠2 يساوي 180 درجة - \\ (\\ frac (7) (8) \\) ⋅ 90 درجة ، أي 1 \\ (\\ frac (1) (8) \\) ⋅ 90 درجة.

بالطريقة نفسها ، يمكنك حساب ما تساوي 3 و ∠4.

∠3 \u003d 180 درجة - 1 \\ (\\ frac (1) (8) \\) ⋅ 90 درجة \u003d \\ (\\ frac (7) (8) \\) ⋅ 90 درجة ؛

∠4 \u003d 180 درجة - \\ (\\ frac (7) (8) \\) ⋅ 90 درجة \u003d 1 \\ (\\ frac (1) (8) \\) ⋅ 90 درجة (الشكل 77).

نرى أن ∠1 \u003d ∠3 و ∠2 \u003d ∠4.

يمكنك حل العديد من المشكلات نفسها ، وفي كل مرة تحصل على نفس النتيجة: الزوايا الرأسية متساوية مع بعضها البعض.

ومع ذلك ، من أجل التأكد من أن الزوايا الرأسية متساوية دائمًا مع بعضها البعض ، لا يكفي النظر في الأمثلة الرقمية الفردية ، لأن الاستنتاجات المستخلصة من أمثلة معينة قد تكون خاطئة في بعض الأحيان.

من الضروري التحقق من صحة خاصية الزوايا الرأسية عن طريق الإثبات.

يمكن إجراء الإثبات على النحو التالي (الشكل 78):

∠أ +∠ج \u003d 180 درجة ؛

∠ب +∠ج \u003d 180 درجة ؛

(حيث أن مجموع الزوايا المجاورة هو 180 درجة).

∠أ +∠ج = ∠ب +∠ج

(نظرًا لأن الجانب الأيسر من هذه المساواة 180 درجة ، والجانب الأيمن أيضًا 180 درجة).

تتضمن هذه المساواة نفس الزاوية من.

إذا طرحنا بالتساوي من القيم المتساوية ، فسيظل متساويًا. ستكون النتيجة: ∠أ = ∠ب، أي أن الزوايا الرأسية متساوية مع بعضها البعض.

3. مجموع الزوايا التي لها رأس مشترك.

في الرسم 79 ∠1 ، 2 ، ∠3 ، 4 تقع على جانب واحد من الخط المستقيم ولها رأس مشترك على هذا الخط المستقيم. تشكل هذه الزوايا معًا الزاوية المنشورة ، أي

∠1 + ∠2 + 3 + 4 \u003d 180 درجة.

في الرسم ، 80 1 و 2 و 3 و ∠4 و 5 لها رأس مشترك. هذه الزوايا تضيف ما يصل إلى الزاوية الكاملة ، أي ∠1 + ∠2 + ∠3 + ∠4 + ∠5 \u003d 360 درجة.