كيفية العثور على كسر مع مقامات مختلفة. ضرب الكسور البسيطة والمختلطة بمقامات مختلفة

الإجراء التالي الذي يمكن تنفيذه بالكسور العادية هو الطرح. في هذه المادة، سننظر في كيفية حساب الفرق بين الكسور ذات المقامات المتشابهة والمختلفة بشكل صحيح، وكيفية طرح كسر من عدد طبيعي والعكس. سيتم توضيح جميع الأمثلة مع المشاكل. دعونا نوضح مسبقًا أننا سنفحص فقط الحالات التي يؤدي فيها اختلاف الكسور إلى رقم موجب.

Yandex.RTB RA-A-339285-1

كيفية العثور على الفرق بين الكسور ذات المقامات المتشابهة

لنبدأ على الفور بمثال واضح: لنفترض أن لدينا تفاحة مقسمة إلى ثمانية أجزاء. دعونا نترك خمسة أجزاء على الطبق ونأخذ اثنين منهم. يمكن كتابة هذا الإجراء على النحو التالي:

ونتيجة لذلك، يتبقى لدينا ثلاثة أثمان، بما أن 5 − 2 = 3. اتضح أن 5 8 - 2 8 = 3 8.

في هذا المثال البسيط، رأينا بالضبط كيف تعمل قاعدة الطرح مع الكسور التي تكون مقاماتها متماثلة. دعونا صياغة ذلك.

التعريف 1

لإيجاد الفرق بين الكسور ذات المقامات المتشابهة، عليك طرح بسط الآخر من بسط أحدهما، وترك المقام كما هو. يمكن كتابة هذه القاعدة بالشكل a b - c b = a - c b.

سوف نستخدم هذه الصيغة في المستقبل.

لنأخذ أمثلة محددة.

مثال 1

اطرح الكسر المشترك 17 15 من الكسر 24 15.

حل

نلاحظ أن هذه الكسور لها نفس المقامات. إذن كل ما علينا فعله هو طرح ١٧ من ٢٤. نحصل على 7 ونضيف إليها المقام، فنحصل على 7 15.

يمكن كتابة حساباتنا على النحو التالي: 24 15 - 17 15 = 24 - 17 15 = 7 15

إذا لزم الأمر، يمكنك تقصير جزء معقد أو تحديد جزء كامل من كسر غير حقيقي لجعل العد أكثر ملاءمة.

مثال 2

أوجد الفرق 37 12 - 15 12.

حل

دعونا نستخدم الصيغة الموضحة أعلاه ونحسب: 37 12 - 15 12 = 37 - 15 12 = 22 12

من السهل ملاحظة أن البسط والمقام يمكن قسمتهما على 2 (تحدثنا عن هذا سابقًا عندما درسنا علامات القسمة). وباختصار الجواب نحصل على 11 6. هذا كسر غير فعلي، وسنختار منه الجزء بأكمله: 11 6 = 1 5 6.

كيفية العثور على الفرق بين الكسور ذات المقامات المختلفة

يمكن اختزال هذه العملية الرياضية إلى ما وصفناه أعلاه. للقيام بذلك، نقوم ببساطة بتقليل الكسور الضرورية إلى نفس المقام. دعونا صياغة تعريف:

التعريف 2

للعثور على الفرق بين الكسور التي لها مقامات مختلفة، عليك اختصارها إلى نفس المقام وإيجاد الفرق بين البسطين.

دعونا نلقي نظرة على مثال لكيفية القيام بذلك.

مثال 3

اطرح الكسر 1 15 من 2 9.

حل

المقامات مختلفة، وتحتاج إلى تقليلها إلى أصغر قيمة مشتركة. في هذه الحالة، LCM هو 45. يتطلب الكسر الأول عاملًا إضافيًا قدره 5، والثاني - 3.

لنحسب: 2 9 = 2 5 9 5 = 10 45 1 15 = 1 3 15 3 = 3 45

لدينا كسران لهما نفس المقام، والآن يمكننا بسهولة إيجاد الفرق بينهما باستخدام الخوارزمية الموضحة سابقًا: 10 45 - 3 45 = 10 - 3 45 = 7 45

يبدو ملخص الحل كما يلي: 2 9 - 1 15 = 10 45 - 3 45 = 10 - 3 45 = 7 45.

لا تهمل تقليل النتيجة أو فصل جزء كامل منها إذا لزم الأمر. في هذا المثال لا نحتاج إلى القيام بذلك.

مثال 4

أوجد الفرق 19 9 - 7 36.

حل

دعونا نختصر الكسور المشار إليها في الحالة إلى أدنى قاسم مشترك 36 ونحصل على التوالي على 76 9 و7 36.

نحسب الجواب: 76 36 - 7 36 = 76 - 7 36 = 69 36

يمكن تخفيض النتيجة بمقدار 3 والحصول على 23 12. البسط أكبر من المقام، مما يعني أنه يمكننا اختيار الجزء بأكمله. الجواب النهائي هو 1 11 12.

ملخص الحل بالكامل هو 19 9 - 7 36 = 1 11 12.

كيفية طرح عدد طبيعي من كسر عادي

يمكن أيضًا اختزال هذا الإجراء بسهولة إلى الطرح البسيط للكسور العادية. ويمكن القيام بذلك عن طريق تمثيل عدد طبيعي ككسر. دعونا نعرض ذلك مع مثال.

مثال 5

أوجد الفرق 83 21 – 3 .

حل

3 هو نفسه 3 1. ثم يمكنك حسابها على النحو التالي: 83 21 - 3 = 20 21.

إذا كان الشرط يتطلب طرح عدد صحيح من كسر غير حقيقي، فمن الملائم أن يتم فصل العدد الصحيح عنه أولاً عن طريق كتابته كرقم مختلط. ثم يمكن حل المثال السابق بشكل مختلف.

من الكسر 83 21، عند فصل الجزء بأكمله، تحصل على 83 21 = 3 20 21.

الآن دعونا نطرح منها 3: 3 20 21 - 3 = 20 21.

كيفية طرح جزء من عدد طبيعي

يتم تنفيذ هذا الإجراء بشكل مشابه للإجراء السابق: نعيد كتابة العدد الطبيعي في صورة كسر، ونجمعهما في مقام واحد ونوجد الفرق. دعونا نوضح هذا بمثال.

مثال 6

أوجد الفرق : 7 - 5 3 .

حل

لنجعل 7 كسرًا 7 1. نقوم بعملية الطرح وتحويل النتيجة النهائية، ونفصل الجزء كله عنها: 7 - 5 3 = 5 1 3.

هناك طريقة أخرى لإجراء الحسابات. ولها بعض المزايا التي يمكن استخدامها في الحالات التي تكون فيها بسط ومقامات الكسور في المسألة أعدادًا كبيرة.

التعريف 3

إذا كان الكسر الذي يجب طرحه صحيحًا، فيجب تمثيل العدد الطبيعي الذي نطرح منه كمجموع رقمين، أحدهما يساوي 1. بعد ذلك، تحتاج إلى طرح الكسر المطلوب من الوحدة والحصول على الجواب.

مثال 7

احسب الفرق 1 065 - 13 62.

حل

الكسر المراد طرحه هو كسر صحيح لأن بسطه أصغر من مقامه. لذلك علينا طرح واحد من 1065 وطرح الكسر المطلوب منه: 1065 - 13 62 = (1064 + 1) - 13 62

الآن نحن بحاجة للعثور على الجواب. باستخدام خصائص الطرح، يمكن كتابة التعبير الناتج بالشكل 1064 + 1 - 13 62. دعونا نحسب الفرق بين قوسين. للقيام بذلك، دعونا نتخيل الوحدة ككسر 1 1.

اتضح أن 1 - 13 62 = 1 1 - 13 62 = 62 62 - 13 62 = 49 62.

الآن دعونا نتذكر الرقم 1064 ونصيغ الإجابة: 1064 49 62.

نحن نستخدم الطريقة القديمة لإثبات أنها أقل ملاءمة. هذه هي الحسابات التي سنتوصل إليها:

1065 - 13 62 = 1065 1 - 13 62 = 1065 62 1 62 - 13 62 = 66030 62 - 13 62 = = 66030 - 13 62 = 66017 62 = 1064 4 6

الجواب هو نفسه، ولكن من الواضح أن الحسابات أكثر تعقيدا.

لقد نظرنا إلى الحالة التي نحتاج فيها إلى طرح كسر حقيقي. إذا كان غير صحيح، نستبدله بعدد كسري ونطرحه وفقًا للقواعد المألوفة.

مثال 8

احسب الفرق 644 - 73 5.

حل

والكسر الثاني كسر غير فعلي، ويجب فصل الجزء كله عنه.

الآن نحسب بشكل مشابه للمثال السابق: 630 - 3 5 = (629 + 1) - 3 5 = 629 + 1 - 3 5 = 629 + 2 5 = 629 2 5

خصائص الطرح عند التعامل مع الكسور

تنطبق خصائص طرح الأعداد الطبيعية أيضًا على حالات طرح الكسور العادية. دعونا نلقي نظرة على كيفية استخدامها عند حل الأمثلة.

مثال 9

أوجد الفرق 24 4 - 3 2 - 5 6.

حل

لقد قمنا بالفعل بحل أمثلة مشابهة عندما نظرنا إلى طرح مجموع من رقم، لذلك نحن نتبع خوارزمية معروفة. أولاً، لنحسب الفرق 25 4 - 3 2، ثم نطرح الكسر الأخير منه:

25 4 - 3 2 = 24 4 - 6 4 = 19 4 19 4 - 5 6 = 57 12 - 10 12 = 47 12

دعونا نحول الإجابة عن طريق فصل الجزء كله عنها. النتيجة - 3 11 12.

ملخص قصير للحل بأكمله:

25 4 - 3 2 - 5 6 = 25 4 - 3 2 - 5 6 = 25 4 - 6 4 - 5 6 = = 19 4 - 5 6 = 57 12 - 10 12 = 47 12 = 3 11 12

إذا كان التعبير يحتوي على كسور وأعداد طبيعية، فمن المستحسن تجميعها حسب النوع عند الحساب.

مثال 10

أوجد الفرق ٩٨ + ١٧ ٢٠ - ٥ + ٣ ٥.

حل

بمعرفة الخصائص الأساسية للطرح والجمع، يمكننا تجميع الأعداد كما يلي: 98 + 17 20 - 5 + 3 5 = 98 + 17 20 - 5 - 3 5 = 98 - 5 + 17 20 - 3 5

لنكمل العمليات الحسابية: 98 - 5 + 17 20 - 3 5 = 93 + 17 20 - 12 20 = 93 + 5 20 = 93 + 1 4 = 93 1 4

إذا لاحظت وجود خطأ في النص، فيرجى تحديده والضغط على Ctrl+Enter

دراسة مسألة طرح الكسور ذات المقامات المختلفة موجودة في مادة الجبر المدرسية في الصف الثامن وتسبب أحيانا صعوبات في الفهم لدى الأطفال. لطرح الكسور ذات المقامات المختلفة، استخدم الصيغة التالية:

يشبه إجراء طرح الكسور عملية الجمع، لأنه ينسخ مبدأ التشغيل تمامًا.

أولًا، نحسب أصغر رقم يمثل مضاعفًا للمقامين.

ثانيًا، نضرب بسط ومقام كل كسر في عدد معين يسمح لنا بتقليل المقام إلى أدنى مقام مشترك محدد.

ثالثا، يحدث إجراء الطرح نفسه، عندما يتم تكرار المقام في النهاية، ويتم طرح بسط الكسر الثاني من الأول.

مثال: 8/3 2/4 = 8/3 1/2 = 16/6 3/6 = 13/6 = 2 كامل 1/6

أولا تحتاج إلى إحضارهم إلى نفس المقام، ثم طرح. على سبيل المثال، 1/2 - 1/4 = 2/4 - 1/4 = 1/4. أو الأكثر صعوبة، 1/3 - 1/5 = 5/15 - 3/15 = 2/15. هل تحتاج إلى شرح كيفية اختزال الكسور إلى قاسم مشترك؟

عند إجراء عمليات مثل جمع أو طرح الكسور العادية ذات المقامات المختلفة، تنطبق قاعدة بسيطة - يتم تقليل مقامات هذه الكسور إلى رقم واحد، ويتم تنفيذ العملية نفسها بالأرقام الموجودة في البسط. أي أن الكسور تتلقى قاسمًا مشتركًا ويبدو أنها مدمجة في واحد. عادةً ما يكون العثور على مقام مشترك للكسور العشوائية هو ضرب كل كسر في مقام الكسر الآخر. ولكن في الحالات الأبسط، يمكنك العثور على الفور على العوامل التي ستؤدي إلى تساوي مقامات الكسور مع نفس الرقم.

مثال لطرح الكسور: 2/3 - 1/7 = 2*7/3*7 - 1*3/7*3 = 14/21 - 3/21 = (14-3)/21 = 11/21

لقد نسي العديد من البالغين بالفعل كيفية طرح الكسور ذات المقامات المختلفةولكن هذا الإجراء يتعلق بالرياضيات الابتدائية.

لطرح الكسور ذات القواسم المختلفة، تحتاج إلى إحضارها إلى قاسم مشترك، أي العثور على المضاعف المشترك الأصغر للمقامات، ثم ضرب البسطين بعوامل إضافية تساوي نسبة المضاعف المشترك الأصغر والمقام.

يتم الحفاظ على علامات الكسر. بمجرد أن يكون للكسور نفس المقامات، يمكنك طرح الكسر ثم تقليل الكسر إن أمكن.

إيلينا، هل قررت إعادة دورة الرياضيات المدرسية؟)))

لطرح الكسور ذات المقامات المختلفة، يجب أولًا اختزالها إلى نفس المقام ثم طرحها. الخيار الأبسط: ضرب بسط ومقام الكسر الأول في مقام الكسر الثاني، وضرب بسط ومقام الكسر الثاني في مقام الكسر الأول. نحصل على كسرين لهما نفس المقامات. الآن نطرح بسط الكسر الثاني من بسط الكسر الأول، ويصبح لهما نفس المقام.

على سبيل المثال، ثلاثة أخماس طرح سبعين يساوي واحدًا وعشرين على ثلاثين طرح عشرة وثلاثين خمسًا، وهذا يساوي أحد عشر على ثلاثين خمسًا.

إذا كانت المقامات أعدادًا كبيرة، فيمكنك العثور على المضاعف المشترك الأصغر لها، على سبيل المثال. الرقم الذي سيكون قابلاً للقسمة على واحد والمقام الآخر. وجلب كلا الكسرين إلى قاسم مشترك (المضاعف المشترك الأصغر)

تعد كيفية طرح الكسور ذات المقامات المختلفة مهمة بسيطة جدًا - حيث نقوم بإحضار الكسور إلى مقام مشترك ثم نقوم بعملية الطرح في البسط.

يواجه الكثير من الأشخاص صعوبات عند وجود أعداد صحيحة بجوار هذه الكسور، لذلك أردت أن أوضح كيفية القيام بذلك باستخدام المثال التالي:

طرح الكسور ذات الأجزاء الكاملة والمقامات المختلفة

أولاً نطرح الأجزاء الكاملة 8-5 = 3 (يبقى الثلاثة بالقرب من الكسر الأول)؛

نأتي بالكسور إلى قاسم مشترك 6 (إذا كان بسط الكسر الأول أكبر من الثاني، نقوم بالطرح ونكتبه بجانب الجزء بأكمله، في حالتنا ننتقل)؛

نحن نحلل الجزء 3 بأكمله إلى 2 و 1؛

نكتب 1 ككسر 6/6؛

نكتب 6/6+3/6-4/6 تحت المقام المشترك 6 ونجري العمليات في البسط؛

اكتب النتيجة التي تم العثور عليها 2 5/6.

من المهم أن تتذكر أنه يتم طرح الكسور إذا كان لها نفس المقام. لذلك، عندما يكون لدينا كسور ذات قواسم مختلفة في الاختلاف، فإنها تحتاج ببساطة إلى الوصول إلى قاسم مشترك، وهو أمر ليس بالأمر الصعب. علينا ببساطة تحليل بسط كل كسر وحساب المضاعف المشترك الأصغر، والذي يجب ألا يساوي الصفر. لا تنس أيضًا ضرب البسط في العوامل الإضافية الناتجة، ولكن إليك مثالًا لسهولة الاستخدام:



إذا كنت تريد طرح الكسور ذات المقامات المختلفة، فسيتعين عليك أولًا إيجاد المقام المشترك للكسرين. ثم اطرح الثاني من بسط الكسر الأول. يتم الحصول على جزء جديد، مع معنى جديد.

بقدر ما أتذكر من دورة الرياضيات للصف الثالث، لطرح الكسور ذات القواسم المختلفة، تحتاج أولاً إلى حساب القاسم المشترك وتقليله إليه، ثم قم ببساطة بطرح البسط من بعضها البعض ويظل المقام كما هو.

لطرح الكسور ذات المقامات المختلفة، علينا أولًا إيجاد المقام المشترك الأصغر لتلك الكسور.

لنلقي نظرة على مثال:



اقسم العدد الأكبر 25 على العدد الأصغر 20. وهو غير قابل للقسمة. هذا يعني أننا نضرب المقام 25 بهذا الرقم، ويمكن تقسيم المجموع الناتج على 20. سيكون هذا الرقم 4. 25x4=100. 100:20=5. وهكذا وجدنا القاسم المشترك الأصغر - 100.

والآن علينا إيجاد العامل الإضافي لكل كسر. للقيام بذلك، قم بتقسيم المقام الجديد على القديم.

اضرب 9 في 4 = 36. اضرب 7 في 5 = 35.

بوجود قاسم مشترك، نقوم بإجراء عملية الطرح كما هو موضح في المثال ونحصل على النتيجة.

لنفترض أن أخيل يجري أسرع بعشر مرات من السلحفاة ويتخلف عنها بألف خطوة. خلال الوقت الذي يستغرقه أخيل في قطع هذه المسافة، ستزحف السلحفاة مائة خطوة في نفس الاتجاه. فعندما يركض أخيل مائة خطوة، تزحف السلحفاة عشر خطوات أخرى، وهكذا. ستستمر العملية إلى ما لا نهاية، ولن يتمكن أخيل من اللحاق بالسلحفاة أبدًا.

أصبح هذا المنطق بمثابة صدمة منطقية لجميع الأجيال اللاحقة. أرسطو، ديوجين، كانط، هيجل، هيلبرت... كلهم ​​اعتبروا معضلة زينون بطريقة أو بأخرى. وكانت الصدمة قوية لدرجة " ... تستمر المناقشات حتى يومنا هذا، ولم يتمكن المجتمع العلمي بعد من التوصل إلى رأي مشترك حول جوهر المفارقات ... وقد شارك التحليل الرياضي، ونظرية المجموعات، والمناهج الفيزيائية والفلسفية الجديدة في دراسة هذه القضية؛ ; ولم يصبح أي منها حلاً مقبولاً بشكل عام للمشكلة ..."[ويكيبيديا، "أبوريا زينو". الجميع يفهم أنه يتم خداعهم، ولكن لا أحد يفهم ما يتكون الخداع.

من وجهة نظر رياضية، أظهر زينون في كتابه المحرج بوضوح الانتقال من الكمية إلى . يتضمن هذا الانتقال التطبيق بدلاً من التطبيقات الدائمة. بقدر ما أفهم، فإن الجهاز الرياضي لاستخدام وحدات القياس المتغيرة إما لم يتم تطويره بعد، أو لم يتم تطبيقه على مفارقة زينون. إن تطبيق منطقنا المعتاد يقودنا إلى الفخ. نحن، بسبب الجمود في التفكير، نطبق وحدات زمنية ثابتة على القيمة المتبادلة. من الناحية الفيزيائية، يبدو أن الزمن يتباطأ حتى يتوقف تمامًا في اللحظة التي يلحق فيها أخيل بالسلحفاة. إذا توقف الزمن، لن يتمكن أخيل من التفوق على السلحفاة.

إذا قلبنا منطقنا المعتاد، فإن كل شيء يقع في مكانه. يجري أخيل بسرعة ثابتة. كل جزء لاحق من طريقه أقصر بعشر مرات من الجزء السابق. وعليه فإن الوقت المستغرق في التغلب عليها أقل بعشر مرات من الوقت السابق. ولو طبقنا مفهوم "اللانهاية" في هذه الحالة، لصح أن نقول "أخيل سوف يلحق بالسلحفاة بسرعة لا متناهية".

كيفية تجنب هذا الفخ المنطقي؟ ابق في وحدات زمنية ثابتة ولا تتحول إلى وحدات متبادلة. في لغة زينو يبدو الأمر كما يلي:

في الوقت الذي يستغرقه أخيل في الجري ألف خطوة، ستزحف السلحفاة مائة خطوة في نفس الاتجاه. خلال الفترة الزمنية التالية المساوية للأولى، سيجري أخيل ألف خطوة أخرى، وستزحف السلحفاة مائة خطوة. والآن يتقدم أخيل على السلحفاة بثمانمائة خطوة.

يصف هذا النهج الواقع بشكل مناسب دون أي مفارقات منطقية. ولكن هذا ليس الحل الكامل للمشكلة. إن عبارة أينشتاين حول عدم مقاومة سرعة الضوء تشبه إلى حد كبير مقولة زينو "أخيل والسلحفاة". لا يزال يتعين علينا دراسة هذه المشكلة وإعادة التفكير فيها وحلها. ويجب البحث عن الحل ليس بأعداد كبيرة بلا حدود، بل بوحدات القياس.

تحكي aporia أخرى مثيرة للاهتمام لزينو عن سهم طائر:

السهم الطائر لا يتحرك، لأنه في كل لحظة من الزمن يكون ساكنًا، وبما أنه ساكن في كل لحظة من الزمن، فهو ساكن دائمًا.

في هذه المعضلة، يتم التغلب على المفارقة المنطقية بكل بساطة - يكفي توضيح أنه في كل لحظة من الزمن يكون السهم الطائر في حالة سكون عند نقاط مختلفة في الفضاء، وهو في الواقع حركة. هناك نقطة أخرى يجب الإشارة إليها هنا. من خلال صورة واحدة لسيارة على الطريق، من المستحيل تحديد حقيقة حركتها أو المسافة إليها. لتحديد ما إذا كانت السيارة تتحرك، تحتاج إلى صورتين تم التقاطهما من نفس النقطة في نقاط زمنية مختلفة، لكن لا يمكنك تحديد المسافة منهما. لتحديد المسافة إلى السيارة، تحتاج إلى صورتين تم التقاطهما من نقاط مختلفة في الفضاء في وقت واحد، ولكن من المستحيل تحديد حقيقة الحركة (بالطبع، لا تزال بحاجة إلى بيانات إضافية للحسابات، وسوف يساعدك علم المثلثات ). وما أريد أن ألفت انتباهًا خاصًا إليه هو أن النقطتين في الزمن ونقطتين في المكان هما شيئان مختلفان ولا ينبغي الخلط بينهما، لأنهما يوفران فرصًا مختلفة للبحث.

الأربعاء 4 يوليو 2018

تم وصف الاختلافات بين المجموعة والمجموعات المتعددة بشكل جيد للغاية على ويكيبيديا. دعنا نرى.

كما ترون، "لا يمكن أن يكون هناك عنصرين متطابقين في مجموعة"، ولكن إذا كان هناك عناصر متطابقة في مجموعة، فإن هذه المجموعة تسمى "مجموعة متعددة". لن تفهم الكائنات العاقلة مثل هذا المنطق السخيف. وهذا هو مستوى الببغاوات الناطقة والقردة المدربة، التي لا ذكاء لها من كلمة "تماماً". يعمل علماء الرياضيات كمدربين عاديين، ويبشروننا بأفكارهم السخيفة.

في يوم من الأيام، كان المهندسون الذين بنوا الجسر في قارب تحت الجسر أثناء اختبار الجسر. وإذا انهار الجسر مات المهندس المتوسط ​​تحت ركام خلقه. وإذا كان الجسر قادرا على تحمل الأحمال، فقد قام المهندس الموهوب ببناء جسور أخرى.

بغض النظر عن مدى إخفاء علماء الرياضيات وراء عبارة "اهتم بي، أنا في المنزل"، أو بالأحرى، "الرياضيات تدرس المفاهيم المجردة"، هناك حبل سري واحد يربطهم بشكل لا ينفصم بالواقع. هذا الحبل السري هو المال. دعونا نطبق نظرية المجموعات الرياضية على علماء الرياضيات أنفسهم.

لقد درسنا الرياضيات جيدًا ونحن الآن نجلس عند ماكينة تسجيل المدفوعات النقدية ونوزع الرواتب. لذلك يأتي إلينا عالم رياضيات من أجل ماله. نحسب له المبلغ بالكامل ونضعه على طاولتنا في أكوام مختلفة، حيث نضع فيها أوراقًا نقدية من نفس الفئة. ثم نأخذ فاتورة واحدة من كل كومة ونعطي عالم الرياضيات "مجموعة الراتب الحسابي". دعونا نوضح لعالم الرياضيات أنه لن يحصل على الأوراق النقدية المتبقية إلا عندما يثبت أن المجموعة التي لا تحتوي على عناصر متطابقة لا تساوي مجموعة ذات عناصر متطابقة. هنا يبدا المرح.

بادئ ذي بدء، سيعمل منطق النواب: "يمكن تطبيق هذا على الآخرين، ولكن ليس علي!" ثم سيبدأون في طمأنتنا بأن الأوراق النقدية من نفس الفئة لها أرقام فواتير مختلفة، مما يعني أنه لا يمكن اعتبارها نفس العناصر. حسنًا، لنحسب الرواتب بالعملات المعدنية - لا توجد أرقام على العملات المعدنية. هنا سيبدأ عالم الرياضيات في تذكر الفيزياء بشكل محموم: العملات المعدنية المختلفة تحتوي على كميات مختلفة من الأوساخ، والتركيب البلوري وترتيب الذرات فريد لكل عملة...

والآن لدي السؤال الأكثر إثارة للاهتمام: أين هو الخط الذي تتحول بعده عناصر المجموعة المتعددة إلى عناصر مجموعة والعكس صحيح؟ مثل هذا الخط غير موجود - كل شيء يقرره الشامان، والعلم ليس قريبًا حتى من الكذب هنا.

انظر هنا. نختار ملاعب كرة القدم بنفس مساحة الملعب. مساحات الحقول هي نفسها - مما يعني أن لدينا مجموعة متعددة. لكن إذا نظرنا إلى أسماء هذه الملاعب نفسها، فسنحصل على الكثير منها، لأن الأسماء مختلفة. كما ترون، نفس مجموعة العناصر هي مجموعة ومتعددة. ايهم صحيح؟ وهنا يقوم عالم الرياضيات الشامان الحاد بسحب الآس من الأوراق الرابحة من جعبته ويبدأ في إخبارنا إما عن مجموعة أو مجموعة متعددة. وفي كل الأحوال سيقنعنا بأنه على حق.

لفهم كيفية عمل الشامان الحديثين مع نظرية المجموعات، وربطها بالواقع، يكفي الإجابة على سؤال واحد: كيف تختلف عناصر مجموعة واحدة عن عناصر مجموعة أخرى؟ سأريكم، دون أي عبارة "لا يمكن تصورها كوحدة واحدة" أو "لا يمكن تصورها ككل واحد".

الأحد 18 مارس 2018

مجموع أرقام الرقم هو رقصة الشامان مع الدف، والتي لا علاقة لها بالرياضيات. نعم، في دروس الرياضيات، يتم تعليمنا كيفية العثور على مجموع أرقام الرقم واستخدامها، ولكن هذا هو السبب في أنهم شامان، لتعليم أحفادهم مهاراتهم وحكمتهم، وإلا فإن الشامان سوف يموتون ببساطة.

هل تحتاج إلى دليل؟ افتح ويكيبيديا وحاول العثور على صفحة "مجموع أرقام الرقم". هي غير موجودة. لا توجد صيغة في الرياضيات يمكن استخدامها لإيجاد مجموع أرقام أي رقم. بعد كل شيء، الأرقام هي رموز رسومية نكتب بها الأرقام، وفي لغة الرياضيات تبدو المهمة كما يلي: "ابحث عن مجموع الرموز الرسومية التي تمثل أي رقم". لا يستطيع علماء الرياضيات حل هذه المشكلة، لكن الشامان يمكنهم حلها بسهولة.

دعونا نتعرف على ماذا وكيف نفعل للعثور على مجموع أرقام رقم معين. إذن، دعونا نحصل على الرقم 12345. ما الذي يجب فعله لإيجاد مجموع أرقام هذا الرقم؟ دعونا نفكر في جميع الخطوات بالترتيب.

1. اكتب الرقم على قطعة من الورق. ماذا فعلنا؟ لقد قمنا بتحويل الرقم إلى رمز رقم رسومي. هذه ليست عملية رياضية.

2. نقوم بقص الصورة الناتجة إلى عدة صور تحتوي على أرقام فردية. إن قطع الصورة ليس عملية رياضية.

3. تحويل الرموز الرسومية الفردية إلى أرقام. هذه ليست عملية رياضية.

4. أضف الأرقام الناتجة. الآن هذه هي الرياضيات.

مجموع أرقام الرقم 12345 هو 15. هذه هي "دورات القطع والخياطة" التي يدرسها الشامان والتي يستخدمها علماء الرياضيات. ولكن هذا ليس كل شيء.

من وجهة نظر رياضية، لا يهم في أي نظام أرقام نكتب رقمًا. لذا، في أنظمة الأرقام المختلفة، سيكون مجموع أرقام نفس الرقم مختلفًا. في الرياضيات، يُشار إلى نظام الأرقام كحرف منخفض على يمين الرقم. مع الرقم الكبير 12345، لا أريد أن أخدع رأسي، فلنفكر في الرقم 26 من المقال الذي عنه. لنكتب هذا الرقم في أنظمة الأرقام الثنائية والثمانية والعشرية والست عشرية. لن ننظر إلى كل خطوة تحت المجهر؛ لقد فعلنا ذلك بالفعل. دعونا ننظر إلى النتيجة.

كما ترون، في أنظمة الأرقام المختلفة، يختلف مجموع أرقام نفس الرقم. هذه النتيجة لا علاقة لها بالرياضيات. الأمر نفسه كما لو حددت مساحة المستطيل بالمتر والسنتيمتر، فستحصل على نتائج مختلفة تمامًا.

يبدو الصفر متماثلًا في جميع أنظمة الأرقام ولا يحتوي على مجموع أرقام. وهذه حجة أخرى لصالح حقيقة ذلك. سؤال لعلماء الرياضيات: كيف يكون الشيء الذي ليس رقما محددا في الرياضيات؟ ماذا، بالنسبة لعلماء الرياضيات لا يوجد شيء سوى الأرقام؟ أستطيع أن أسمح بهذا للشامان، ولكن ليس للعلماء. الواقع لا يتعلق بالأرقام فقط.

يجب اعتبار النتيجة التي تم الحصول عليها دليلاً على أن أنظمة الأرقام هي وحدات قياس للأرقام. ففي نهاية المطاف، لا يمكننا مقارنة الأرقام بوحدات قياس مختلفة. فإذا كانت نفس الأفعال مع وحدات قياس مختلفة لنفس الكمية تؤدي إلى نتائج مختلفة بعد مقارنتها، فهذا لا علاقة له بالرياضيات.

ما هي الرياضيات الحقيقية؟ يحدث هذا عندما لا تعتمد نتيجة العملية الرياضية على حجم الرقم ووحدة القياس المستخدمة وعلى من يقوم بهذا الإجراء.

أوه! أليس هذا هو مرحاض النساء؟
- شابة! هذا مختبر لدراسة قداسة النفوس غير المحببة أثناء صعودها إلى السماء! هالة في الأعلى والسهم لأعلى. ما المرحاض الآخر؟

أنثى... الهالة الموجودة في الأعلى والسهم لأسفل هما ذكران.

إذا كان هذا العمل الفني التصميمي يومض أمام عينيك عدة مرات في اليوم،

إذن ليس من المستغرب أن تجد فجأة رمزًا غريبًا في سيارتك:

أنا شخصياً أبذل جهداً لرؤية سالب أربع درجات في شخص يتغوط (صورة واحدة) (تركيبة من عدة صور: علامة الطرح، الرقم أربعة، تسمية الدرجات). ولا أعتقد أن هذه الفتاة حمقاء ولا تعرف الفيزياء. لديها فقط صورة نمطية قوية لإدراك الصور الرسومية. وعلماء الرياضيات يعلموننا هذا طوال الوقت. هنا مثال.

1A ليس "ناقص أربع درجات" أو "واحد أ". هذا هو "رجل التغوّط" أو الرقم "ستة وعشرون" بالتدوين السداسي العشري. هؤلاء الأشخاص الذين يعملون باستمرار في نظام الأرقام هذا يدركون تلقائيًا الرقم والحرف كرمز رسومي واحد.

الإجراءات مع الكسور.

انتباه!
هناك اضافية
المواد في القسم الخاص 555.
بالنسبة لأولئك الذين هم "ليسوا جدا..."
ولأولئك الذين "كثيرا ...")

إذن، ما هي الكسور، وأنواع الكسور، والتحولات - تذكرنا. دعونا نصل إلى القضية الرئيسية.

ماذا يمكنك أن تفعل مع الكسور؟نعم، كل شيء هو نفسه كما هو الحال مع الأرقام العادية. إضافة، طرح، ضرب، قسمة.

كل هذه التصرفات مع عدد عشريالعمل مع الكسور لا يختلف عن العمل مع الأعداد الصحيحة. في الواقع، هذا هو الشيء الجيد فيها، الأعداد العشرية. الشيء الوحيد هو أنك تحتاج إلى وضع الفاصلة بشكل صحيح.

أرقام مختلطةكما قلت من قبل، ليست ذات فائدة تذكر في معظم الإجراءات. لا تزال بحاجة إلى تحويلها إلى كسور عادية.

لكن الأفعال مع الكسور العاديةسيكونون أكثر دهاءً. والأهم من ذلك بكثير! دعني أذكرك: جميع الأفعال ذات العبارات الكسرية بالأحرف والجيوب والمجهولات وما إلى ذلك لا تختلف عن الأفعال ذات الكسور العادية! العمليات على الكسور العادية هي أساس كل الجبر. ولهذا السبب سنقوم بتحليل كل هذه الحسابات بتفصيل كبير هنا.

جمع وطرح الكسور.

يمكن للجميع إضافة (طرح) الكسور بنفس القواسم (آمل حقًا!). حسنا، اسمحوا لي أن أذكر أولئك الذين ينسون تماما: عند الجمع (الطرح)، لا يتغير المقام. تتم إضافة (طرح) البسط لإعطاء بسط النتيجة. يكتب:

باختصار وبشكل عام:

ماذا لو كانت القواسم مختلفة؟ بعد ذلك، باستخدام الخاصية الأساسية للكسر (وهنا تصبح مفيدة مرة أخرى!) نجعل المقامات متساوية! على سبيل المثال:

هنا كان علينا أن نجعل الكسر 4/10 من الكسر 2/5. لغرض وحيد هو جعل القواسم متماثلة. اسمحوا لي أن أشير، في حالة حدوث ذلك، إلى أن 2/5 و4/10 كذلك نفس الكسر! فقط 2/5 غير مناسب لنا، و4/10 لا بأس بها حقًا.

بالمناسبة، هذا هو جوهر حل أي مشاكل في الرياضيات. عندما نكون من غير مريحنحن نفعل التعبيرات نفس الشيء، ولكن أكثر ملاءمة للحل.

مثال آخر:

الوضع مشابه. هنا نصنع 48 من 16. عن طريق الضرب البسيط في 3. كل هذا واضح. لكننا صادفنا شيئًا مثل:

كيف تكون؟! من الصعب الحصول على تسعة من سبعة! لكننا أذكياء، ونعرف القواعد! دعونا نتحول كلكسر بحيث تكون المقامات متساوية. وهذا ما يسمى "الاختزال إلى قاسم مشترك":

رائع! كيف عرفت عن 63؟ بسيط جدا! 63 هو رقم يقبل القسمة على 7 و 9 في نفس الوقت. يمكن دائمًا الحصول على هذا الرقم عن طريق ضرب المقامات. فإذا ضربنا رقماً في 7 مثلاً، فإن النتيجة ستكون بالتأكيد قابلة للقسمة على 7!

إذا كنت بحاجة إلى إضافة (طرح) عدة كسور، ليست هناك حاجة للقيام بذلك في أزواج، خطوة بخطوة. كل ما عليك فعله هو إيجاد المقام المشترك لجميع الكسور واختزال كل كسر إلى نفس المقام. على سبيل المثال:

وماذا سيكون القاسم المشترك؟ يمكنك، بالطبع، ضرب 2، 4، 8، و16. نحصل على 1024. كابوس. من الأسهل تقدير أن الرقم 16 قابل للقسمة تمامًا على 2 و4 و8. لذلك، من السهل الحصول على 16 من هذه الأرقام. وسيكون هذا الرقم هو القاسم المشترك. دعونا نحول 1/2 إلى 8/16، و3/4 إلى 12/16، وهكذا.

بالمناسبة، إذا كنت تأخذ 1024 كقاسم مشترك، فسوف ينجح كل شيء، وفي النهاية سيتم تخفيض كل شيء. لكن لن يصل الجميع إلى هذه الغاية، بسبب الحسابات...

أكمل المثال بنفسك ليس نوعًا من اللوغاريتم... يجب أن يكون 29/16.

إذن جمع (طرح) الكسور واضح أتمنى؟ بالطبع، من الأسهل العمل في نسخة مختصرة، مع مضاعفات إضافية. لكن هذه المتعة متاحة لمن عمل بأمانة في الصفوف الدنيا... ولم ينس شيئاً.

والآن سنفعل نفس الإجراءات، ولكن ليس بالكسور، ولكن مع التعبيرات الكسرية. سيتم الكشف عن أشعل النار الجديد هنا، نعم...

لذلك، نحن بحاجة إلى إضافة تعبيرين كسريين:

علينا أن نجعل المقامين متساويين. وفقط بمساعدة عمليه الضرب! هذا ما تمليه الخاصية الرئيسية للكسر. لذلك، لا يمكنني إضافة واحد إلى X في الكسر الأول في المقام. (سيكون هذا لطيفا!). ولكن إذا قمت بمضاعفة القواسم، كما ترى، كل شيء ينمو معًا! لذلك نكتب خط الكسر، ونترك مساحة فارغة في الأعلى، ثم نضيفه، ونكتب حاصل ضرب المقامات أدناه، حتى لا ننسى:

وبالطبع، نحن لا نضرب أي شيء على الجانب الأيمن، ولا نفتح القوسين! والآن، بالنظر إلى المقام المشترك على الجانب الأيمن، ندرك: للحصول على المقام x(x+1) في الكسر الأول، تحتاج إلى ضرب بسط هذا الكسر ومقامه في (x+1) . وفي الكسر الثاني - إلى x. هذا هو ما تحصل عليه:

ملحوظة! هنا الأقواس! هذا هو أشعل النار الذي يخطو عليه كثير من الناس. ليس بين قوسين، بطبيعة الحال، ولكن غيابهم. تظهر الأقواس لأننا نقوم بالضرب الجميعالبسط و الجميعالمقام - صفة مشتركة - حالة! وليس قطعهم الفردية..

في بسط الجانب الأيمن نكتب مجموع البسطين، كل شيء كما في الكسور العددية، ثم نفتح الأقواس في بسط الجانب الأيمن، أي. نضرب كل شيء ونعطي أشياء مماثلة. ليست هناك حاجة لفتح الأقواس في المقامات أو ضرب أي شيء! بشكل عام، في القواسم (أي) يكون المنتج دائمًا أكثر متعة! نحن نحصل:

لذلك حصلنا على الجواب. تبدو العملية طويلة وصعبة، ولكنها تعتمد على الممارسة. بمجرد حل الأمثلة، تعتاد عليها، سيصبح كل شيء بسيطًا. أولئك الذين أتقنوا الكسور في الوقت المناسب يقومون بكل هذه العمليات بيد يسرى واحدة تلقائيًا!

وملاحظة أخرى. يتعامل الكثير من الناس بذكاء مع الكسور، لكنهم يتعثرون في الأمثلة جميعأعداد. مثل: 2 + 1/2 + 3/4= ؟ أين يمكن ربط القطعتين؟ لا تحتاج إلى ربطه في أي مكان، بل تحتاج إلى عمل جزء من اثنين. انها ليست سهلة، ولكنها بسيطة جدا! 2=2/1. مثله. يمكن كتابة أي عدد صحيح في صورة كسر. البسط هو الرقم نفسه، والمقام هو واحد. 7 يساوي 7/1، 3 يساوي 3/1 وهكذا. إنه نفس الشيء مع الحروف. (أ+ب) = (أ+ب)/1، س=س/1، إلخ. ثم نتعامل مع هذه الكسور وفقًا لجميع القواعد.

حسنًا، تم تحديث معرفة جمع وطرح الكسور. تم تكرار تحويل الكسور من نوع إلى آخر. يمكنك أيضًا التحقق. هل نسوي الأمر قليلاً؟)

احسب:

الإجابات (في حالة من الفوضى):

71/20; 3/5; 17/12; -5/4; 11/6

ضرب وقسمة الكسور - في الدرس القادم. هناك أيضًا مهام لجميع العمليات مع الكسور.

إذا أعجبك هذا الموقع...

بالمناسبة، لدي موقعين أكثر إثارة للاهتمام بالنسبة لك.)

يمكنك التدرب على حل الأمثلة ومعرفة مستواك. الاختبار مع التحقق الفوري. دعونا نتعلم - باهتمام!)

يمكنك التعرف على الوظائف والمشتقات.

الرياضيات هي واحدة من أهم العلوم، والتي يمكن رؤية تطبيقها في تخصصات مثل الكيمياء والفيزياء وحتى علم الأحياء. دراسة هذا العلم تسمح لك بتنمية بعض الصفات العقلية وتحسين قدرتك على التركيز. من المواضيع التي تستحق اهتمامًا خاصًا في مقرر الرياضيات جمع وطرح الكسور. يجد العديد من الطلاب صعوبة في الدراسة. ربما ستساعد مقالتنا على فهم هذا الموضوع بشكل أفضل.

كيفية طرح الكسور التي مقاماتها هي نفسها

الكسور هي نفس الأرقام التي يمكنك من خلالها إجراء عمليات مختلفة. يكمن اختلافهم عن الأعداد الصحيحة في وجود مقام. لهذا السبب، عند إجراء العمليات مع الكسور، تحتاج إلى دراسة بعض ميزاتها وقواعدها. أبسط حالة هي طرح الكسور العادية التي يتم تمثيل مقاماتها بنفس العدد. لن يكون تنفيذ هذا الإجراء صعبًا إذا كنت تعرف قاعدة بسيطة:

• من أجل طرح ثانية من كسر واحد، من الضروري طرح بسط الكسر المطروح من بسط الكسر الذي يتم اختزاله. نكتب هذا الرقم في بسط الفرق، ونترك المقام كما هو: k/m - b/m = (k-b)/m.

أمثلة على طرح الكسور ذات المقامات نفسها

7/19 - 3/19 = (7 - 3)/19 = 4/19.

من بسط الكسر "7" نطرح بسط الكسر "3" المراد طرحه، نحصل على "4". نكتب هذا الرقم في بسط الإجابة، وفي المقام نضع نفس الرقم الذي كان في مقامي الكسرين الأول والثاني - "19".

توضح الصورة أدناه العديد من الأمثلة المشابهة.

لنفكر في مثال أكثر تعقيدًا حيث يتم طرح الكسور ذات المقامات المتشابهة:

29/47 - 3/47 - 8/47 - 2/47 - 7/47 = (29 - 3 - 8 - 2 - 7)/47 = 9/47.

يتم تقليل بسط الكسر "29" عن طريق طرح بسط جميع الكسور اللاحقة - "3"، "8"، "2"، "7". ونتيجة لذلك، نحصل على النتيجة "9"، والتي نكتبها في بسط الإجابة، وفي المقام نكتب الرقم الموجود في مقامات كل هذه الكسور - "47".

جمع الكسور التي لها نفس المقام

جمع وطرح الكسور العادية يتبع نفس المبدأ.

• من أجل جمع الكسور التي مقاماتها هي نفسها، تحتاج إلى إضافة البسط. الرقم الناتج هو بسط المجموع، وسيظل المقام كما هو: k/m + b/m = (k + b)/m.

دعونا نرى كيف يبدو هذا باستخدام مثال:

1/4 + 2/4 = 3/4.

إلى بسط الحد الأول من الكسر - "1" - أضف بسط الحد الثاني من الكسر - "2". النتيجة - "3" - تُكتب في بسط المجموع، ويُترك المقام كما هو موجود في الكسور - "4".

الكسور ذات المقامات المختلفة وطرحها

لقد تناولنا بالفعل العملية مع الكسور التي لها نفس المقام. كما ترون، معرفة قواعد بسيطة، حل مثل هذه الأمثلة أمر سهل للغاية. ولكن ماذا لو كنت بحاجة إلى إجراء عملية مع الكسور التي لها مقامات مختلفة؟ كثير من طلاب المدارس الثانوية مرتبكون بمثل هذه الأمثلة. ولكن حتى هنا، إذا كنت تعرف مبدأ الحل، فإن الأمثلة لن تكون صعبة بالنسبة لك. هناك أيضًا قاعدة هنا، والتي بدونها يكون حل هذه الكسور أمرًا مستحيلًا.

لطرح الكسور ذات المقامات المختلفة، يجب اختزالها إلى نفس المقام الأصغر.



سنتحدث بمزيد من التفاصيل حول كيفية القيام بذلك.

خاصية الكسر

من أجل جلب عدة كسور إلى نفس المقام، تحتاج إلى استخدام الخاصية الرئيسية للكسر في الحل: بعد قسمة أو ضرب البسط والمقام بنفس الرقم، تحصل على كسر يساوي الكسر المحدد.

لذلك، على سبيل المثال، يمكن أن يكون للكسر 2/3 مقامات مثل "6"، "9"، "12"، وما إلى ذلك، أي أنه يمكن أن يكون له شكل أي رقم يكون من مضاعفات "3". بعد أن نضرب البسط والمقام في "2"، نحصل على الكسر 4/6. وبعد أن نضرب بسط ومقام الكسر الأصلي في "3" نحصل على 6/9، وإذا أجرينا عملية مماثلة مع الرقم "4" نحصل على 8/12. يمكن كتابة المساواة الواحدة على النحو التالي:

2/3 = 4/6 = 6/9 = 8/12…

كيفية تحويل كسور متعددة إلى نفس المقام

دعونا نلقي نظرة على كيفية اختزال الكسور المتعددة إلى نفس المقام. على سبيل المثال، لنأخذ الكسور الموضحة في الصورة أدناه. تحتاج أولاً إلى تحديد الرقم الذي يمكن أن يصبح مقامًا لهم جميعًا. لتسهيل الأمور، دعونا نحلل المقامات الموجودة.

لا يمكن تحليل مقام الكسر 1/2 والكسر 2/3. المقام 7/9 له عاملان 7/9 = 7/(3 × 3)، ومقام الكسر 5/6 = 5/(2 × 3). والآن علينا تحديد العوامل الأصغر لجميع هذه الكسور الأربعة. وبما أن الكسر الأول يحمل الرقم "2" في المقام، فهذا يعني أنه يجب أن يكون موجودًا في جميع المقامات؛ وفي الكسر 7/9 يوجد ثلاثة توائم، مما يعني أن كلاهما يجب أن يكون موجودًا في المقام أيضًا. وبأخذ ما سبق في الاعتبار، نحدد أن المقام يتكون من ثلاثة عوامل: 3، 2، 3 ويساوي 3 × 2 × 3 = 18.



لنفكر في الكسر الأول - 1/2. يوجد "2" في مقامه، ولكن لا يوجد "3" واحد، ولكن يجب أن يكون هناك اثنان. للقيام بذلك، نضرب المقام في مضاعفتين، ولكن وفقًا لخاصية الكسر، يجب علينا ضرب البسط في مضاعفتين:
1/2 = (1 × 3 × 3)/(2 × 3 × 3) = 9/18.

نقوم بنفس العمليات مع الكسور المتبقية.

• 2/3 - واحد ثلاثة وواحد اثنان مفقودان في المقام:
  2/3 = (2 × 3 × 2)/(3 × 3 × 2) = 12/18.
• 7/9 أو 7/(3 × 3) - المقام ينقصه اثنان:
  7/9 = (7 × 2)/(9 × 2) = 14/18.
• 5/6 أو 5/(2 × 3) - المقام ينقصه ثلاثة:
  5/6 = (5 × 3)/(6 × 3) = 15/18.

يبدو الأمر معًا كما يلي:



كيفية طرح وإضافة الكسور التي لها مقامات مختلفة

كما ذكرنا أعلاه، من أجل جمع أو طرح الكسور التي لها مقامات مختلفة، يجب تخفيضها إلى نفس المقام، ثم استخدام قواعد طرح الكسور التي لها نفس المقام، والتي تمت مناقشتها بالفعل.

لننظر إلى هذا كمثال: 18/4 - 15/3.

إيجاد مضاعف العددين 18 و 15:

• الرقم 18 يتكون من 3x2x3
• الرقم 15 يتكون من 5×3
• المضاعف المشترك سيكون العوامل التالية: 5 × 3 × 3 × 2 = 90.

بعد العثور على المقام، من الضروري حساب العامل الذي سيكون مختلفًا لكل كسر، أي الرقم الذي سيكون من الضروري ضرب ليس فقط المقام، ولكن أيضًا البسط. للقيام بذلك، قم بتقسيم الرقم الذي وجدناه (المضاعف المشترك) على مقام الكسر الذي يجب تحديد عوامل إضافية له.

• 90 مقسومة على 15. الرقم الناتج "6" سيكون مضاعفًا لـ 3/15.
• 90 مقسومة على 18. الرقم الناتج "5" سيكون مضاعفًا لـ 4/18.

المرحلة التالية من الحل هي تقليل كل كسر إلى المقام "90".

لقد تحدثنا بالفعل عن كيفية القيام بذلك. دعونا نرى كيف يتم كتابة هذا في مثال:

(4 × 5)/(18 × 5) - (3 × 6)/(15 × 6) = 20/90 - 18/90 = 2/90 = 1/45.

إذا كانت الكسور تحتوي على أرقام صغيرة، فيمكنك تحديد القاسم المشترك، كما في المثال الموضح في الصورة أدناه.



وينطبق الشيء نفسه على أولئك الذين لديهم قواسم مختلفة.

الطرح والحصول على أجزاء صحيحة

لقد ناقشنا بالفعل بالتفصيل طرح الكسور وإضافتها. ولكن كيف يتم الطرح إذا كان الكسر يحتوي على جزء صحيح؟ مرة أخرى، دعونا نستخدم بعض القواعد:

• تحويل جميع الكسور التي تحتوي على جزء صحيح إلى كسور غير صحيحة. بكلمات بسيطة، قم بإزالة جزء كامل. للقيام بذلك، اضرب عدد الجزء الصحيح بمقام الكسر، وأضف المنتج الناتج إلى البسط. الرقم الذي يخرج بعد هذه الإجراءات هو بسط الكسر غير الحقيقي. يبقى القاسم دون تغيير.
• إذا كانت الكسور لها مقامات مختلفة، فيجب اختزالها إلى نفس المقام.
• إجراء عمليات الجمع أو الطرح بنفس المقامات.
• عند استلام كسر غير حقيقي، حدد الجزء بأكمله.



هناك طريقة أخرى يمكنك من خلالها جمع وطرح الكسور ذات الأجزاء الكاملة. للقيام بذلك، يتم تنفيذ الإجراءات بشكل منفصل مع الأجزاء الكاملة، والإجراءات مع الكسور بشكل منفصل، ويتم تسجيل النتائج معًا.



يتكون المثال الموضح من كسور لها نفس المقام. في حالة اختلاف المقامات، يجب إحضارها إلى نفس القيمة، ثم تنفيذ الإجراءات كما هو موضح في المثال.

طرح الكسور من الأعداد الصحيحة

نوع آخر من العمليات مع الكسور هو الحالة التي يجب فيها طرح الكسر للوهلة الأولى، يبدو أن مثل هذا المثال يصعب حله. ومع ذلك، كل شيء بسيط للغاية هنا. لحلها، تحتاج إلى تحويل العدد الصحيح إلى كسر، وبنفس المقام الموجود في الكسر المطروح. بعد ذلك، نقوم بإجراء عملية طرح مشابهة لعملية الطرح ذات المقامات المتماثلة. في مثال يبدو مثل هذا:

7 - 4/9 = (7 × 9)/9 - 4/9 = 53/9 - 4/9 = 49/9.

إن طرح الكسور (الصف 6) المقدمة في هذه المقالة هو الأساس لحل الأمثلة الأكثر تعقيدًا التي يتم تناولها في الدرجات اللاحقة. يتم استخدام المعرفة بهذا الموضوع لاحقًا لحل الوظائف والمشتقات وما إلى ذلك. لذلك، من المهم جدًا فهم وفهم العمليات مع الكسور التي تمت مناقشتها أعلاه.