ضرب الكسور البسيطة بعدد صحيح. قواعد ضرب وقسمة الكسور على عدد صحيح
آخر مرة تعلمنا فيها كيفية جمع الكسور وطرحها (انظر الدرس "جمع الكسور وطرحها"). كانت أصعب لحظة في تلك الإجراءات هي إعادة الكسور إلى قاسم مشترك.
حان الوقت الآن لمعرفة الضرب والقسمة. والخبر السار هو أن أداء هذه العمليات أسهل من الجمع والطرح. بادئ ذي بدء ، ضع في اعتبارك أبسط حالة عندما يكون هناك كسرين موجبين بدون جزء عدد صحيح مخصص.
لضرب كسرين ، يجب أن تضرب البسط والمقام بشكل منفصل. سيكون الرقم الأول هو بسط الكسر الجديد ، والثاني سيكون المقام.
لقسمة كسرين ، تحتاج إلى ضرب الكسر الأول في الثانية "المقلوبة".
تعيين:
يستنتج من التعريف أن قسمة الكسور تختزل إلى الضرب. "لقلب" كسر ، يكفي تبديل مواضع البسط والمقام. لذلك ، سننظر في الدرس بأكمله بشكل أساسي في الضرب.
نتيجة لعملية الضرب ، يمكن أن ينشأ كسر قابل للإلغاء (وغالبًا ما يظهر) - يجب بالطبع إلغاؤه. إذا تبين ، بعد كل الانقباضات ، أن الكسر غير صحيح ، فيجب تحديد الجزء بالكامل فيه. ولكن ما لن يحدث بالتأكيد مع الضرب هو الاختزال إلى قاسم مشترك: لا توجد طرق متقاطعة ، وعوامل أكبر وأقل مضاعفات مشتركة.
بحكم التعريف ، لدينا:
ضرب الكسور الكاملة والكسور السالبة
إذا كان هناك جزء صحيح في الكسور ، فيجب تحويلها إلى أجزاء غير صحيحة - وبعد ذلك فقط يتم ضربها وفقًا للمخططات الموضحة أعلاه.
إذا كان هناك سالب في بسط الكسر ، في المقام أو أمامه ، فيمكن إزالته من نطاق الضرب أو حتى إزالته وفقًا للقواعد التالية:
- زائد وناقص يعطي سالب ؛
- سلبيتان تؤيدان.
حتى الآن ، لم يتم مواجهة هذه القواعد إلا عند جمع الكسور السالبة وطرحها ، عندما كان مطلوبًا التخلص من الجزء بالكامل. بالنسبة للإنتاج ، يمكن تعميمها على "حرق" عدة عيوب في وقت واحد:
- اشطب السلبيات في أزواج حتى تختفي تمامًا. في الحالة القصوى ، يمكن أن يبقى ناقص واحد - الذي لم يكن هناك زوج ؛
- في حالة عدم وجود أي سلبيات ، تكتمل العملية - يمكنك البدء في الضرب. إذا لم يتم شطب آخر ناقص ، لأنه لم يتم العثور على زوج ، فإننا نحركه خارج حدود الضرب. تحصل على كسر سالب.
مهمة. ابحث عن معنى التعبير:
نترجم كل الكسور إلى كسور غير صحيحة ، ثم نخرج السلبيات خارج نطاق الضرب. ما تبقى ، نضرب وفقًا للقواعد المعتادة. نحن نحصل:
دعني أذكرك مرة أخرى أن الطرح الذي يقف أمام الكسر بجزء صحيح مميز يشير تحديدًا إلى الكسر بأكمله ، وليس فقط إلى الجزء الصحيح (هذا ينطبق على المثالين الأخيرين).
انتبه أيضًا للأرقام السالبة: عند الضرب ، يتم وضعها بين أقواس. يتم ذلك لفصل السلبيات عن علامات الضرب وجعل التدوين بأكمله أكثر دقة.
اختزال الكسور أثناء الطيران
الضرب عملية تستغرق وقتًا طويلاً. تبين أن الأرقام هنا كبيرة جدًا ، ولتسهيل المهمة ، يمكنك محاولة تقليل الكسر أكثر قبل الضرب... في الواقع ، من حيث الجوهر ، فإن البسط والمقام للكسور هي عوامل عادية ، وبالتالي ، يمكن إلغاؤها باستخدام الخاصية الأساسية للكسر. ألق نظرة على الأمثلة:
مهمة. ابحث عن معنى التعبير:
بحكم التعريف ، لدينا:
في جميع الأمثلة ، يتم تمييز الأرقام التي تم تقليلها وما تبقى منها باللون الأحمر.
يرجى ملاحظة: في الحالة الأولى ، تم تقليل المضاعفات تمامًا. بدلاً من ذلك ، لا يوجد سوى عدد قليل يمكن حذفه بشكل عام. في المثال الثاني ، لم يكن من الممكن تحقيق التخفيض الكامل ، لكن المبلغ الإجمالي للحساب لا يزال ينخفض.
ومع ذلك ، لا تستخدم هذه التقنية تحت أي ظرف من الظروف عند جمع الكسور وطرحها! نعم ، في بعض الأحيان توجد أرقام متشابهة هناك تريد فقط تقليلها. هنا ، ألق نظرة:
لا يمكنك فعل ذلك!
يحدث الخطأ بسبب حقيقة أنه عند الجمع ، يظهر المجموع في بسط الكسر وليس ناتج أرقام. لذلك ، من المستحيل تطبيق الخاصية الأساسية لكسر ، لأن هذه الخاصية تتعامل بدقة مع مضاعفة الأرقام.
ببساطة لا يوجد سبب آخر لاختزال الكسور ، لذا فإن الحل الصحيح للمسألة السابقة يبدو كما يلي:
القرار الصحيح:
كما ترى ، تبين أن الإجابة الصحيحة ليست جميلة جدًا. بشكل عام ، كن حذرا.
تجاوز هذه الخليع بالفعل! 🙂
ضرب وقسمة الكسور.
الانتباه!
هناك المزيد
المواد في القسم الخاص 555.
بالنسبة لأولئك الذين ليسوا أقوياء جدا. "
وبالنسبة لأولئك الذين هم "متساوون جدا. ")
هذه العملية أجمل بكثير من الجمع والطرح! لأنه أسهل. دعني أذكرك: لضرب الكسر في كسر ، تحتاج إلى ضرب البسط (سيكون هذا هو بسط النتيجة) والمقام (سيكون هذا هو المقام). هذا هو:
كل شيء بسيط للغاية... ورجاء لا تبحث عن قاسم مشترك! لا تحتاجه هنا ...
لتقسيم الكسر إلى كسر ، عليك أن تقلب ثانيا(هذا مهم!) الكسر واضربهم ، أي:
إذا صادفت عمليات الضرب أو القسمة بأعداد صحيحة وكسور - فلا بأس بذلك. كما هو الحال مع الجمع ، نصنع كسرًا بواحد في المقام من عدد صحيح - ونختفي! على سبيل المثال:
في المدرسة الثانوية ، غالبًا ما يتعين عليك التعامل مع كسور من ثلاثة طوابق (أو حتى أربعة طوابق!). على سبيل المثال:
كيف تجلب هذا الجزء إلى مظهر لائق؟ انه بسيط جدا! استخدم القسمة على نقطتين:
لكن لا تنس ترتيب القسمة! على عكس الضرب ، هذا مهم جدًا هنا! بالطبع ، 4: 2 ، أو 2: 4 ، لن نخلط بيننا. لكن في جزء من ثلاثة طوابق ، من السهل ارتكاب خطأ. ملاحظة ، على سبيل المثال:
في الحالة الأولى (التعبير على اليسار):
في الثاني (التعبير على اليمين):
هل تشعر بالفرق؟ 4 و 1/9!
وماذا يحدد ترتيب القسمة؟ أو أقواس ، أو (كما هو الحال هنا) طول الأعمدة الأفقية. طور عين. وفي حالة عدم وجود أقواس أو شرطات ، مثل:
ثم نقسم وضرب بالترتيب ، من اليسار إلى اليمين!
وخدعة أخرى بسيطة ومهمة للغاية. في الإجراءات بالدرجات ، أوه ، ما مدى فائدة ذلك بالنسبة لك! اقسم الوحدة على أي كسر ، على سبيل المثال ، على 13/15:
لقد انقلب الكسر! ودائما ما يحدث بهذه الطريقة. عند قسمة 1 على أي كسر ، تكون النتيجة هي نفس الكسر ، مقلوب فقط.
هذا كل شيء للكسور. الأمر بسيط للغاية ، لكنه يعطي أخطاء أكثر من كافية. قم بتدوين النصائح العملية ، وسوف يكون هناك عدد أقل من (الأخطاء)!
1. أهم شيء عند التعامل مع التعبيرات الكسرية هو الدقة والعناية! هذه ليست كلمات عامة وليست أمنيات طيبة! هذه ضرورة ماسة! قم بإجراء جميع العمليات الحسابية في الامتحان كمهمة كاملة ، مع التركيز والوضوح. من الأفضل كتابة سطرين إضافيين في المسودة بدلاً من إفسادها عند الحساب في رأسك.
2. في الأمثلة ذات الأنواع المختلفة من الكسور - انتقل إلى الكسور العادية.
3. يتم اختزال جميع الكسور إلى نقطة التوقف.
4. يتم تقليل التعبيرات الكسرية متعددة الطوابق إلى التعبيرات العادية باستخدام القسمة على نقطتين (شاهد ترتيب القسمة!).
فيما يلي المهام التي يجب عليك حلها بالتأكيد. يتم إعطاء الإجابات بعد كل المهام. استخدم المواد الخاصة بهذا الموضوع والنصائح العملية. ضع في اعتبارك عدد الأمثلة التي تمكنت من حلها بشكل صحيح. المرة الأولى! لا آلة حاسبة! وجعل الاستنتاجات الصحيحة.
تذكر - الجواب الصحيح هو المستلمة من المرة الثانية (كلها - الثالثة) - لا تحسب!هذه حياة قاسية.
لذا، نحلها في وضع الامتحان ! بالمناسبة ، هذا هو التحضير للامتحان. نحل المثال ، نتحقق منه ، نحل المثال التالي. قررنا كل شيء - فحصنا مرة أخرى من الأول إلى الأخير. فقط ثمانظر إلى الإجابات.
نحن نبحث عن إجابات تطابق إجابتك. تعمدت كتابتها في حالة من الفوضى ، بعيدًا عن الإغراء ، إذا جاز التعبير. ها هي الإجابات مفصولة بفواصل منقوطة.
0; 17/22; 3/4; 2/5; 1; 25.
والآن نستخلص النتائج. إذا نجح كل شيء ، فأنا سعيد من أجلك! الحسابات الأساسية مع الكسور ليست مشكلتك! يمكنك القيام بأشياء أكثر جدية. ان لم.
إذن لديك واحدة من مشكلتين. أو كلاهما في وقت واحد.) قلة المعرفة و / أو الغفلة. ولكن. هذه قابل للحل مشاكل.
في القسم الخاص 555 "الكسور" يتم تحليل كل هذه الأمثلة (وليس فقط!). مع شرح مفصل لما ولماذا وكيف. مثل هذا التحليل يساعد كثيرا مع نقص المعرفة والمهارات!
نعم ، وفي المشكلة الثانية يوجد شيء ما.) إنها نصيحة عملية تمامًا ، كيف تصبح أكثر انتباهاً... نعم نعم! نصيحة يمكن تطبيقها كل.
بالإضافة إلى المعرفة والانتباه ، يلزم وجود آلية معينة للنجاح. أين يمكنني الحصول عليه؟ أسمع تنهيدة ثقيلة ... نعم ، فقط في الممارسة ، في أي مكان آخر.
يمكنك الذهاب إلى موقع 321start.ru للتدريب. هناك ، في خيار "جرب" ، هناك 10 أمثلة للجميع. مع التحقق الفوري. للمستخدمين المسجلين - 34 أمثلة من البسيط إلى الشديد. انها فقط في الكسور.
إذا كنت تحب هذا الموقع.
بالمناسبة ، لديّ موقعان أكثر تشويقًا لك).
هنا يمكنك التدرب على حل الأمثلة ومعرفة مستواك. اختبار التحقق الفوري. التعلم - باهتمام!)
وهنا يمكنك التعرف على الوظائف والمشتقات.
المادة 1.
لضرب كسر في رقم طبيعي ، عليك أن تضرب بسطه في هذا الرقم ، وترك المقام دون تغيير.
القاعدة 2.
لضرب كسر في كسر ، تحتاج إلى:
1- أوجد حاصل ضرب البسط وحاصل ضرب مقامات هذه الكسور
2. يجب كتابة العمل الأول في البسط ، والثاني - في المقام.
المادة 3.
من أجل ضرب الأعداد الكسرية ، عليك كتابتها في صورة كسور غير فعلية ، ثم استخدام قاعدة ضرب الكسور.
المادة 4.
لقسمة كسر على آخر ، تحتاج إلى ضرب المقسوم في مقلوب المقسوم عليه.
مثال 1.
احسب
مثال 2.
احسب
مثال 3.
احسب
مثال 4.
احسب
الرياضيات. مواد اخرى
رفع رقم إلى قوة عقلانية. (
رفع رقم إلى قوة طبيعية. (
طريقة معممة للفواصل الزمنية لحل التفاوتات الجبرية (المؤلف Kolchanov A.V.)
طريقة استبدال العوامل عند حل التفاوتات الجبرية (المؤلف Kolchanov A.V.)
اختبارات القسمة (Lungu Alena)
اختبر نفسك على "ضرب وقسمة الكسور"
ضرب الكسور
سننظر في ضرب الكسور العادية في عدة إصدارات ممكنة.
ضرب كسر عادي في كسر
هذه أبسط حالة تحتاج فيها إلى استخدام ما يلي قواعد الضرب للكسور.
ل اضرب الكسر في الكسر، من الضروري:
تحقق من إمكانية حذف الكسور قبل ضرب البسط والمقام. سيؤدي تقليل الكسور في حساباتك إلى تسهيل حساباتك كثيرًا.
ضرب كسر في عدد طبيعي
إلى الكسر اضرب في عدد طبيعيتحتاج إلى ضرب بسط الكسر في هذا الرقم ، وترك مقام الكسر كما هو.
إذا تم الحصول على كسر غير صحيح نتيجة الضرب ، فلا تنسَ تحويله إلى رقم مختلط ، أي حدد الجزء بالكامل.
ضرب الأعداد الكسرية
لضرب الأعداد الكسرية ، يجب أولاً تحويلها إلى كسور غير فعلية ثم الضرب وفقًا لقاعدة ضرب الكسور العادية.
طريقة أخرى لضرب الكسر في عدد طبيعي
في بعض الأحيان ، عند الحساب ، يكون من الأنسب استخدام طريقة أخرى لضرب الكسر العادي في رقم.
لضرب كسر في عدد طبيعي ، عليك قسمة مقام الكسر على هذا الرقم ، وترك البسط كما هو.
كما ترى من المثال ، فإن هذا الإصدار من القاعدة يكون أكثر ملاءمة للاستخدام إذا كان مقام الكسر قابلاً للقسمة على رقم طبيعي بدون باقي.
قسمة الكسر على رقم
ما هي أسرع طريقة لقسمة الكسر على رقم؟ دعنا نحلل النظرية ، ونستنتج ، وباستخدام الأمثلة ، نرى كيف يمكن إجراء قسمة الكسر على رقم وفقًا لقاعدة قصيرة جديدة.
عادةً ما يتم قسمة الكسر على رقم وفقًا لقاعدة قسمة الكسور. الرقم الأول (الكسر) مضروب في معكوس الثاني. نظرًا لأن الرقم الثاني عدد صحيح ، فإن معكوسه كسر ، بسطه واحد والمقام هو الرقم المحدد. من الناحية التخطيطية ، تبدو قسمة الكسر على رقم طبيعي كما يلي:
من هنا نستنتج:
لقسمة كسر على رقم ، تحتاج إلى ضرب المقام في هذا الرقم ، وترك البسط كما هو. يمكن صياغة القاعدة بشكل أقصر:
عند قسمة الكسر على رقم ، ينتقل الرقم إلى المقام.
اقسم الكسر على رقم:
لقسمة الكسر على رقم ، أعد كتابة البسط بدون تغيير واضرب المقام في هذا الرقم. اختصر 6 و 3 بمقدار 3.
عند قسمة كسر على رقم ، أعد كتابة البسط واضرب المقام في هذا الرقم. إنقاص 16 و 24 بمقدار 8.
عند قسمة كسر على رقم ، ينتقل الرقم إلى المقام ، لذلك نترك البسط كما هو ، ويضرب المقام في المقسوم عليه. إنقاص 21 و 35 بمقدار 7.
ضرب وقسمة الكسور
آخر مرة تعلمنا فيها كيفية جمع الكسور وطرحها (انظر الدرس "جمع الكسور وطرحها"). كانت أصعب لحظة في تلك الإجراءات هي إعادة الكسور إلى قاسم مشترك.
حان الوقت الآن لمعرفة الضرب والقسمة. والخبر السار هو أن أداء هذه العمليات أسهل من الجمع والطرح. بادئ ذي بدء ، ضع في اعتبارك أبسط حالة عندما يكون هناك كسرين موجبين بدون جزء عدد صحيح مخصص.
لضرب كسرين ، يجب أن تضرب البسط والمقام بشكل منفصل. سيكون الرقم الأول هو بسط الكسر الجديد ، والثاني سيكون المقام.
لقسمة كسرين ، تحتاج إلى ضرب الكسر الأول في الثانية "المقلوبة".
يستنتج من التعريف أن قسمة الكسور تختزل إلى الضرب. "لقلب" كسر ، يكفي تبديل مواضع البسط والمقام. لذلك ، سننظر في الدرس بأكمله بشكل أساسي في الضرب.
نتيجة لعملية الضرب ، يمكن أن ينشأ كسر قابل للإلغاء (وغالبًا ما يظهر) - يجب بالطبع إلغاؤه. إذا تبين ، بعد كل الانقباضات ، أن الكسر غير صحيح ، فيجب تحديد الجزء بالكامل فيه. ولكن ما لن يحدث بالتأكيد مع الضرب هو الاختزال إلى قاسم مشترك: لا توجد طرق متقاطعة ، وعوامل أكبر وأقل مضاعفات مشتركة.
مهمة. ابحث عن معنى التعبير:
بحكم التعريف ، لدينا:
ضرب الكسور الكاملة والكسور السالبة
إذا كان هناك جزء صحيح في الكسور ، فيجب تحويلها إلى أجزاء غير صحيحة - وبعد ذلك فقط يتم ضربها وفقًا للمخططات الموضحة أعلاه.
إذا كان هناك سالب في بسط الكسر ، في المقام أو أمامه ، فيمكن إزالته من نطاق الضرب أو حتى إزالته وفقًا للقواعد التالية:
- زائد وناقص يعطي سالب ؛
- سلبيتان تؤيدان.
- اشطب السلبيات في أزواج حتى تختفي تمامًا. في الحالة القصوى ، يمكن أن يبقى ناقص واحد - الذي لم يكن هناك زوج ؛
- في حالة عدم وجود أي سلبيات ، تكتمل العملية - يمكنك البدء في الضرب. إذا لم يتم شطب آخر ناقص ، لأنه لم يتم العثور على زوج ، فإننا نحركه خارج حدود الضرب. تحصل على كسر سالب.
حتى الآن ، لم يتم مواجهة هذه القواعد إلا عند جمع الكسور السالبة وطرحها ، عندما كان مطلوبًا التخلص من الجزء بالكامل. بالنسبة للإنتاج ، يمكن تعميمها على "حرق" عدة عيوب في وقت واحد:
نترجم كل الكسور إلى كسور غير صحيحة ، ثم نخرج السلبيات خارج نطاق الضرب. ما تبقى ، نضرب وفقًا للقواعد المعتادة. نحن نحصل:
دعني أذكرك مرة أخرى أن الطرح الذي يقف أمام الكسر بجزء صحيح مميز يشير تحديدًا إلى الكسر بأكمله ، وليس فقط إلى الجزء الصحيح (هذا ينطبق على المثالين الأخيرين).
انتبه أيضًا للأرقام السالبة: عند الضرب ، يتم وضعها بين أقواس. يتم ذلك لفصل السلبيات عن علامات الضرب وجعل التدوين بأكمله أكثر دقة.
اختزال الكسور أثناء الطيران
الضرب عملية تستغرق وقتًا طويلاً. تبين أن الأرقام هنا كبيرة جدًا ، ولتسهيل المهمة ، يمكنك محاولة تقليل الكسر أكثر قبل الضرب... في الواقع ، من حيث الجوهر ، فإن البسط والمقام للكسور هي عوامل عادية ، وبالتالي ، يمكن إلغاؤها باستخدام الخاصية الأساسية للكسر. ألق نظرة على الأمثلة:
في جميع الأمثلة ، يتم تمييز الأرقام التي تم تقليلها وما تبقى منها باللون الأحمر.
يرجى ملاحظة: في الحالة الأولى ، تم تقليل المضاعفات تمامًا. بدلاً من ذلك ، لا يوجد سوى عدد قليل يمكن حذفه بشكل عام. في المثال الثاني ، لم يكن من الممكن تحقيق التخفيض الكامل ، لكن المبلغ الإجمالي للحساب لا يزال ينخفض.
ومع ذلك ، لا تستخدم هذه التقنية تحت أي ظرف من الظروف عند جمع الكسور وطرحها! نعم ، في بعض الأحيان توجد أرقام متشابهة هناك تريد فقط تقليلها. هنا ، ألق نظرة:
لا يمكنك فعل ذلك!
يحدث الخطأ بسبب حقيقة أنه عند الجمع ، يظهر المجموع في بسط الكسر وليس ناتج أرقام. لذلك ، من المستحيل تطبيق الخاصية الأساسية لكسر ، لأن هذه الخاصية تتعامل بدقة مع مضاعفة الأرقام.
ببساطة لا يوجد سبب آخر لاختزال الكسور ، لذا فإن الحل الصحيح للمسألة السابقة يبدو كما يلي:
كما ترى ، تبين أن الإجابة الصحيحة ليست جميلة جدًا. بشكل عام ، كن حذرا.
قسمة الكسور.
قسمة الكسر على عدد طبيعي.
أمثلة على قسمة كسر على عدد طبيعي
قسمة عدد طبيعي على كسر.
أمثلة على قسمة عدد طبيعي على كسر
قسمة الكسور العادية.
أمثلة على قسمة الكسور العادية
تقسيم الأعداد الكسرية.
- لقسمة رقم كسري على آخر ، أنت بحاجة إلى:
- تحويل الكسور المختلطة إلى كسور غير مناسبة ؛
- اضرب الكسر الأول في معكوس الثاني ؛
- تقليل الكسر الناتج ؛
- إذا اتضح أنه كسر غير صحيح ، فحول الكسر غير الفعلي إلى كسر مختلط.
- تحويل الكسور المختلطة إلى كسور غير منتظمة ؛
- اضرب البسط والمقام في الكسور ؛
- نقوم بتقليل الكسر.
- إذا حصلت على كسر غير صحيح ، فحول الكسر غير الصحيح إلى كسر مختلط.
- أغنية "Spring Tango" غير الكافية وغير المكتملة (حان الوقت - وصول الطيور من الجنوب) - يفكر. فاليري ميلياييف أسيء فهمه ، أخطأ ، بمعنى أنني لم أخمن ، لم أكتب كل الأفعال بشكل منفصل ، لم أكن أعرف عن البادئة. يحدث ، [...]
- لم يتم العثور على الصفحة في القراءة النهائية الثالثة ، تم اعتماد حزمة من الوثائق الحكومية ، تنص على إنشاء مناطق إدارية خاصة (SAR). نظرًا للخروج من الاتحاد الأوروبي ، لن يتم تضمين المملكة المتحدة في منطقة ضريبة القيمة المضافة الأوروبية و [...]
- ستظهر لجنة التحقيق المشتركة في الخريف. ستظهر لجنة التحقيق المشتركة في الخريف. سيتم جمع التحقيق في جميع هياكل السلطة تحت سقف واحد في المحاولة الرابعة في خريف عام 2014 ، وفقًا لإزفستيا ، الرئيس فلاديمير بوتين [.. .]
- براءة اختراع لخوارزمية كيف تبدو براءة اختراع خوارزمية كيف يتم إعداد براءة اختراع لخوارزمية لا يقدم إعداد الأوصاف التقنية لطرق تخزين ومعالجة ونقل الإشارات و / أو البيانات على وجه التحديد لأغراض تسجيل براءات الاختراع أي شيء محدد. الصعوبات ، و [...]
- ما هو المهم أن تعرف عن مشروع قانون جديد بشأن المعاشات التقاعدية 12 ديسمبر 1993 دستور الاتحاد الروسي (مع الأخذ في الاعتبار التعديلات التي أدخلتها قوانين الاتحاد الروسي بشأن التعديلات على دستور الاتحاد الروسي في 12/30 / 2008 N 6-FKZ ، بتاريخ 30/12/2008 N 7-FKZ ، من [...]
- Chastooshkas عن التقاعد لامرأة ، رائع لبطل اليوم ؛ رجل لبطل اليوم ؛ جوقة لبطل اليوم ؛ الانتباه! إحساس! فقط […]
أمثلة على قسمة الأعداد الكسرية
1 1 2: 2 2 3 = 1 2 + 1 2: 2 3 + 2 3 = 3 2: 8 3 = 3 2 3 8 = 3 3 2 8 = 9 16
2 1 7: 3 5 = 2 7 + 1 7: 3 5 = 15 7: 3 5 = 15 7 5 3 = 15 5 7 3 = 5 5 7 = 25 7 = 7 3 + 4 7 = 3 4 7
ستتم إزالة أي تعليقات فاحشة وإدراج مؤلفيها في القائمة السوداء!
مرحبا بكم في OnlineMSchool.
اسمي ميخائيل دوفجيك. أنا مالك ومؤلف هذا الموقع ، لقد كتبت جميع المواد النظرية ، بالإضافة إلى تمارين وآلات حاسبة مطورة عبر الإنترنت يمكنك استخدامها لدراسة الرياضيات.
الكسور. ضرب وقسمة الكسور.
ضرب كسر عادي في كسر.
لضرب الكسور العادية ، عليك أن تضرب البسط في البسط (نحصل على بسط حاصل الضرب) والمقام في المقام (نحصل على مقام حاصل الضرب).
صيغة ضرب الكسور:
قبل أن تبدأ في ضرب البسط والمقام ، عليك التحقق من إمكانية اختزال الكسر. إذا كان بإمكانك تقليل الكسر ، فسيكون من الأسهل عليك إجراء المزيد من العمليات الحسابية.
ملحوظة! لا داعي للبحث عن قاسم مشترك هنا !!
تقسيم الكسر العادي إلى كسر.
يكون قسمة الكسر العادي على الكسر كما يلي: اقلب الكسر الثاني (أي قم بتغيير البسط والمقام في بعض الأماكن) ثم بعد ذلك يتم ضرب الكسور.
معادلة قسمة الكسور العادية:
ضرب كسر في عدد طبيعي.
ملحوظة!عند ضرب كسر في عدد طبيعي ، يتم ضرب بسط الكسر في العدد الطبيعي ، ويبقى مقام الكسر كما هو. إذا تبين أن نتيجة المنتج هي كسر غير صحيح ، فتأكد من تحديد الجزء بالكامل ، وتحويل الكسر غير الصحيح إلى جزء مختلط.
قسمة الكسور بمشاركة عدد طبيعي.
إنه ليس مخيفًا كما يبدو. كما في حالة الجمع ، قم بتحويل عدد صحيح إلى كسر بواحد في المقام. على سبيل المثال:
ضرب الكسور المختلطة.
قواعد ضرب الكسور (مختلطة):
ملحوظة!لضرب كسر مختلط في كسر مختلط آخر ، عليك أولًا إحضاره إلى صورة الكسور غير الفعلية ، ثم الضرب وفقًا لقاعدة ضرب الكسور العادية.
الطريقة الثانية لضرب كسر في عدد طبيعي.
قد يكون من الأنسب استخدام الطريقة الثانية لضرب الكسر العادي في رقم.
ملحوظة!لضرب كسر في رقم طبيعي ، يجب قسمة مقام الكسر على هذا الرقم ، وترك البسط بدون تغيير.
من المثال أعلاه ، من الواضح أن هذا الخيار يكون أكثر ملاءمة للاستخدام عندما يتم تقسيم مقام الكسر بدون باقي على رقم طبيعي.
كسور متعددة الطوابق.
في المدرسة الثانوية ، غالبًا ما توجد كسور من ثلاثة طوابق (أو أكثر). مثال:
لإحضار هذا الكسر إلى شكله المعتاد ، يتم استخدام القسمة على نقطتين:
ملحوظة!ترتيب القسمة مهم جدًا في قسمة الكسور. كن حذرًا ، من السهل الخلط هنا.
ملحوظة، فمثلا:
عند قسمة واحد على أي كسر ، ستكون النتيجة هي نفس الكسر ، مقلوبًا فقط:
نصائح عملية لضرب الكسور وتقسيمها:
1. أهم شيء في التعامل مع التعبيرات الكسرية هو الدقة والعناية. قم بإجراء جميع الحسابات بعناية وبدقة ، مع التركيز والوضوح. من الأفضل أن تكتب بضعة سطور إضافية في المسودة بدلاً من الخلط بين الحسابات التي تجريها في رأسك.
2. في المهام ذات الأنواع المختلفة من الكسور - انتقل إلى شكل الكسور العادية.
3. اختصر كل الكسور حتى يستحيل اختزالها.
4. يتم تحويل التعبيرات الكسرية متعددة الطوابق إلى تعبيرات عادية ، باستخدام القسمة على نقطتين.
سننظر في ضرب الكسور العادية في عدة إصدارات ممكنة.
ضرب كسر عادي في كسر
هذه أبسط حالة تحتاج فيها إلى استخدام ما يلي قواعد الضرب للكسور.
ل اضرب الكسر في الكسر، من الضروري:
- اضرب بسط الكسر الأول في بسط الكسر الثاني واكتب حاصل ضربه في بسط الكسر الجديد ؛
- يتم ضرب مقام الكسر الأول في مقام الكسر الثاني ويتم كتابة حاصل ضربهم في مقام الكسر الجديد ؛
- جمع الكسور ذات المقام نفسه
- جمع الكسور ذات القواسم المختلفة
تحقق من إمكانية حذف الكسور قبل ضرب البسط والمقام. سيؤدي تقليل الكسور في حساباتك إلى تسهيل حساباتك كثيرًا.
ضرب كسر في عدد طبيعي
إلى الكسر اضرب في عدد طبيعيتحتاج إلى ضرب بسط الكسر في هذا الرقم ، وترك مقام الكسر كما هو.
إذا تم الحصول على كسر غير صحيح نتيجة الضرب ، فلا تنسَ تحويله إلى رقم مختلط ، أي حدد الجزء بالكامل.
ضرب الأعداد الكسرية
لضرب الأعداد الكسرية ، يجب أولاً تحويلها إلى كسور غير فعلية ثم الضرب وفقًا لقاعدة ضرب الكسور العادية.
طريقة أخرى لضرب الكسر في عدد طبيعي
في بعض الأحيان ، عند الحساب ، يكون من الأنسب استخدام طريقة أخرى لضرب الكسر العادي في رقم.
لضرب كسر في عدد طبيعي ، عليك قسمة مقام الكسر على هذا الرقم ، وترك البسط كما هو.
كما ترى من المثال ، فإن هذا الإصدار من القاعدة يكون أكثر ملاءمة للاستخدام إذا كان مقام الكسر قابلاً للقسمة على رقم طبيعي بدون باقي.
الأفعال مع الكسور
جمع الكسور ذات المقام نفسه
هناك نوعان من جمع الكسور:
أولاً ، دعنا ندرس جمع كسور لها نفس القواسم. كل شيء بسيط هنا. لجمع كسور من نفس المقام ، اجمع البسط واترك المقام دون تغيير. على سبيل المثال ، اجمع الكسور و. أضف البسط واترك المقام كما هو:
يمكن فهم هذا المثال بسهولة إذا فكرت في البيتزا المقسمة إلى أربعة أجزاء. إذا أضفت البيتزا إلى البيتزا ، ستحصل على البيتزا:
مثال 2.اجمع الكسور و.
مرة أخرى ، اجمع البسط واترك المقام كما هو:
الجواب هو كسر غير صحيح. إذا جاءت نهاية المشكلة ، فمن المعتاد التخلص من الكسور غير الصحيحة. للتخلص من الكسر غير الصحيح ، تحتاج إلى تحديد الجزء بالكامل فيه. في حالتنا ، يمكن تمييز الجزء بالكامل بسهولة - اثنان مقسومًا على اثنين يساوي واحدًا:
يمكن فهم هذا المثال بسهولة إذا فكرت في البيتزا المقسمة إلى قسمين. إذا أضفت بيتزا إلى البيتزا ، تحصل على بيتزا واحدة كاملة:
مثال 3... اجمع الكسور و.
يمكن فهم هذا المثال بسهولة إذا فكرت في البيتزا المقسمة إلى ثلاثة أجزاء. إذا أضفت بيتزا إلى البيتزا ، تحصل على بيتزا:
مثال 4.أوجد قيمة التعبير 
تم حل هذا المثال بنفس طريقة حل المثال السابق. يجب إضافة البسط ، وترك المقام دون تغيير:
دعنا نحاول تصوير الحل باستخدام صورة. إذا أضفت بيتزا إلى البيتزا وأضفت بيتزا إلى البيتزا ، تحصل على بيتزا واحدة كاملة وأكثر.
كما ترى ، لا يوجد صعوبة في جمع الكسور بنفس القواسم. يكفي فهم القواعد التالية:
- لإضافة كسور من نفس المقام ، اجمع البسط واترك المقام كما هو ؛
- إذا تبين أن الإجابة هي كسر غير صحيح ، فأنت بحاجة إلى تحديد الجزء بالكامل فيه.
- أوجد المضاعف المشترك الأصغر لمقام الكسور ؛
- اقسم المضاعف المشترك الأصغر على مقامه كل كسر واحصل على عامل إضافي لكل كسر ؛
- اضرب البسط والمقام في الكسور بالعوامل الإضافية ؛
- أضف كسورًا لها نفس القواسم ؛
- إذا تبين أن الإجابة هي كسر غير صحيح ، فحدد الجزء بالكامل ؛
- طرح كسور من نفس المقام
- طرح الكسور ذات القواسم المختلفة
جمع الكسور ذات القواسم المختلفة
لنتعلم الآن كيفية جمع كسور ذات مقامات مختلفة. عند جمع الكسور ، يجب أن تكون مقامات تلك الكسور متساوية. لكنهم ليسوا دائما نفس الشيء.
على سبيل المثال ، يمكنك الجمع والكسور لأن لهما نفس القواسم.
لكن لا يمكن إضافة الكسور على الفور ، لأن هذه الكسور لها مقامات مختلفة. في مثل هذه الحالات ، يجب اختزال الكسور إلى نفس المقام (المشترك).
توجد عدة طرق لجعل الكسور في نفس المقام. اليوم سننظر في واحدة منها فقط ، لأن باقي الطرق قد تبدو صعبة للمبتدئين.
يتمثل جوهر هذه الطريقة في البحث أولاً عن المضاعف المشترك الأصغر (LCM) لمقامتي كلا الكسرين. ثم يتم قسمة المضاعف المشترك الأصغر على مقام الكسر الأول ويتم الحصول على العامل الإضافي الأول. افعل الشيء نفسه مع الكسر الثاني - يُقسم المضاعف المشترك الأصغر على مقام الكسر الثاني ويتم الحصول على عامل إضافي ثانٍ.
ثم يتم ضرب البسط والمقام في الكسور في عواملها الإضافية. نتيجة لهذه الإجراءات ، يتم تحويل الكسور ذات القواسم المختلفة إلى كسور لها نفس القواسم. ونحن نعلم بالفعل كيفية جمع هذه الكسور.
مثال 1... اجمع الكسور و
هذه الكسور لها مقامات مختلفة ، لذا عليك تقريبها إلى نفس المقام (المشترك).
أولًا ، نجد المضاعف المشترك الأصغر لمقام كلا الكسرين. مقام الكسر الأول هو 3 ، ومقام الكسر الثاني هو 2. المضاعف المشترك الأصغر لهذه الأعداد هو 6
المضاعف المشترك الأصغر (2 و 3) = 6
الآن نعود إلى الكسور و. أولًا ، قسّم المضاعف المشترك الأصغر على مقام الكسر الأول واحصل على العامل الإضافي الأول. المضاعف المشترك الأصغر هو الرقم 6 ، ومقام الكسر الأول هو الرقم 3. قسّم 6 على 3 ، نحصل على 2.
الرقم الناتج 2 هو العامل الإضافي الأول. نكتبه حتى الكسر الأول. للقيام بذلك ، ارسم خطًا مائلًا صغيرًا فوق الكسر واكتب العامل الإضافي الموجود فوقه:
نفعل الشيء نفسه مع الكسر الثاني. نقسم المضاعف المشترك الأصغر على مقام الكسر الثاني ونحصل على العامل الإضافي الثاني. المضاعف المشترك الأصغر هو الرقم 6 ، ومقام الكسر الثاني هو الرقم 2. قسّم 6 على 2 ، نحصل على 3.
الرقم الناتج 3 هو العامل الإضافي الثاني. نكتبه حتى الكسر الثاني. مرة أخرى ، نرسم خطًا مائلًا صغيرًا فوق الكسر الثاني ونكتب العامل الإضافي الموجود فوقه:
نحن الآن جاهزون للإضافة. يبقى ضرب البسط والمقام في الكسور بالعوامل الإضافية:
انظر عن كثب إلى ما وصلنا إليه. توصلنا إلى استنتاج مفاده أن الكسور ذات المقامات المختلفة تحولت إلى كسور لها نفس القواسم. ونحن نعلم بالفعل كيفية جمع هذه الكسور. لننهي هذا المثال حتى النهاية:
وهكذا ينتهي المثال. اتضح أن تضيف.
دعنا نحاول تصوير الحل باستخدام صورة. إذا أضفت بيتزا إلى البيتزا ، تحصل على بيتزا واحدة كاملة وبيتزا سادسة أخرى:
يمكن أيضًا تصوير اختزال الكسور إلى نفس المقام (المشترك) باستخدام صورة. اختزال الكسور إلى قاسم مشترك ، حصلنا على الكسور و. سيتم تمثيل هذين الكسرين بنفس شرائح البيتزا. الاختلاف الوحيد هو أنه سيتم تقسيمها هذه المرة إلى حصص متساوية (يتم تقليلها إلى نفس المقام).
تصور الصورة الأولى كسرًا (أربعة من ستة قطع) ، والصورة الثانية تصور كسرًا (ثلاثة من ست قطع). بتجميع هذه القطع معًا نحصل على (سبع قطع من ستة). هذا الكسر غير صحيح ، لذلك اخترنا الجزء بأكمله فيه. نتيجة لذلك ، حصلنا على (بيتزا واحدة كاملة وبيتزا سادسة أخرى).
لاحظ أننا وصفنا هذا المثال بتفصيل كبير جدًا. في المؤسسات التعليمية ، ليس من المعتاد الكتابة بهذه الطريقة التفصيلية. يجب أن تكون قادرًا على العثور بسرعة على المضاعف المشترك الأصغر لكل من المقامات والعوامل الإضافية لهما ، بالإضافة إلى الضرب السريع للعوامل الإضافية التي تم العثور عليها في البسط والمقام. أثناء وجودنا في المدرسة ، يجب أن نكتب هذا المثال على النحو التالي:
ولكن هناك أيضًا جانب سلبي للعملة. إذا لم تقم بتدوين ملاحظات مفصلة في المراحل الأولى من دراسة الرياضيات ، فستبدأ أسئلة من هذا النوع في الظهور "من أين أتى هذا الرقم؟" "لماذا تتحول الكسور فجأة إلى كسور مختلفة تمامًا؟ «.
لتسهيل إضافة الكسور ذات القواسم المختلفة ، يمكنك استخدام التعليمات التالية خطوة بخطوة:
مثال 2.أوجد قيمة التعبير 
.
دعنا نستخدم المخطط الذي قدمناه أعلاه.
الخطوة 1. أوجد المضاعف المشترك الأصغر لمقام الكسور
أوجد المضاعف المشترك الأصغر لمقام كلا الكسرين. مقامات الكسور هي الأرقام 2 و 3 و 4. تحتاج إلى إيجاد المضاعف المشترك الأصغر لهذه الأرقام:
الخطوة 2. قسّم المضاعف المشترك الأصغر على مقام كل كسر واحصل على عامل إضافي لكل كسر
نقسم المضاعف المشترك الأصغر على مقام الكسر الأول. المضاعف المشترك الأصغر هو الرقم 12 ، ومقام الكسر الأول هو الرقم 2. نقسم 12 على 2 ، نحصل على 6. حصلنا على العامل الإضافي الأول 6. نكتبه على الكسر الأول:
الآن نقسم المضاعف المشترك الأصغر على مقام الكسر الثاني. المضاعف المشترك الأصغر هو الرقم 12 ، ومقام الكسر الثاني هو الرقم 3. نقسم 12 على 3 ، نحصل على 4. حصلنا على العامل الإضافي الثاني 4. نكتبه على الكسر الثاني:
الآن نقسم المضاعف المشترك الأصغر على مقام الكسر الثالث. المضاعف المشترك الأصغر هو الرقم 12 ، ومقام الكسر الثالث هو الرقم 4. اقسم 12 على 4 ، نحصل على 3. حصلنا على العامل الإضافي الثالث 3. نكتبه على الكسر الثالث:
الخطوة 3. اضرب البسط والمقام في العوامل الإضافية
نضرب البسط والمقام في العوامل الإضافية:
الخطوة 4. اجمع الكسور التي لها نفس المقام
توصلنا إلى استنتاج مفاده أن الكسور ذات المقامات المختلفة تحولت إلى كسور لها نفس القواسم (المشتركة). يبقى إضافة هذه الكسور. نضيف:
لم يتم احتواء الإضافة في سطر واحد ، لذلك قمنا بنقل المقدار المتبقي إلى السطر التالي. هذا مسموح به في الرياضيات. عندما لا يتلاءم التعبير مع سطر واحد ، يتم نقله إلى السطر التالي ، ويجب عليك دائمًا وضع علامة يساوي (=) في نهاية السطر الأول وفي بداية السطر الجديد. تشير علامة التساوي في السطر الثاني إلى أن هذا استمرار للتعبير الذي كان في السطر الأول.
الخطوة 5. إذا تبين أن الإجابة هي كسر غير صحيح ، فحدد الجزء بالكامل
حصلنا على الكسر الخطأ في إجابتنا. علينا أن نختار الجزء كله منه. تسليط الضوء:
تلقى إجابة
طرح كسور من نفس المقام
هناك نوعان من طرح الكسور:
أولاً ، دعنا ندرس طرح الكسور ذات المقام نفسه. كل شيء بسيط هنا. لطرح آخر من كسر واحد ، عليك أن تطرح بسط الكسر الثاني من بسط الكسر الأول ، وتترك المقام كما هو.
على سبيل المثال ، لنجد قيمة التعبير. لحل هذا المثال ، عليك طرح بسط الكسر الثاني من بسط الكسر الأول وترك المقام كما هو. لنفعلها اذا:
يمكن فهم هذا المثال بسهولة إذا فكرت في البيتزا المقسمة إلى أربعة أجزاء. إذا قطعت البيتزا من البيتزا ، ستحصل على البيتزا:
مثال 2.أوجد قيمة التعبير.
مرة أخرى ، اطرح بسط الكسر الثاني من بسط الكسر الأول ، واترك المقام كما هو:
يمكن فهم هذا المثال بسهولة إذا فكرت في البيتزا المقسمة إلى ثلاثة أجزاء. إذا قطعت البيتزا من البيتزا ، ستحصل على البيتزا:
مثال 3.أوجد قيمة التعبير 
تم حل هذا المثال بنفس طريقة حل المثال السابق. من بسط الكسر الأول ، عليك طرح بسط الكسور المتبقية:
الجواب هو كسر غير صحيح. إذا كان المثال كاملاً ، فمن المعتاد التخلص من الكسر غير الصحيح. دعونا نتخلص من الكسر الخطأ في الإجابة. للقيام بذلك ، حدد الجزء بالكامل:
كما ترى ، لا يوجد صعوبة في طرح الكسور التي لها نفس المقامات. يكفي فهم القواعد التالية:
طرح الكسور ذات القواسم المختلفة
على سبيل المثال ، يمكنك طرح كسر من كسر ، لأن هذه الكسور لها نفس المقام. لكن لا يمكنك طرح كسر من الكسر ، لأن هذه الكسور لها مقامات مختلفة. في مثل هذه الحالات ، يجب اختزال الكسور إلى نفس المقام (المشترك).
تم إيجاد المقام المشترك وفقًا لنفس المبدأ الذي استخدمناه عند جمع الكسور ذات المقامات المختلفة. أولًا ، أوجد المضاعف المشترك الأصغر لمقام كلا الكسرين. ثم يتم قسمة المضاعف المشترك الأصغر على مقام الكسر الأول ويتم الحصول على العامل الإضافي الأول ، والذي يتم كتابته على الكسر الأول. وبالمثل ، يتم قسمة المضاعف المشترك الأصغر على مقام الكسر الثاني ويتم الحصول على عامل إضافي آخر ، يتم كتابته على الكسر الثاني.
ثم يتم ضرب الكسور في عواملها الإضافية. نتيجة لهذه العمليات ، يتم تحويل الكسور ذات المقامات المختلفة إلى كسور لها نفس القواسم. نحن نعلم بالفعل كيفية طرح مثل هذه الكسور.
مثال 1.أوجد قيمة التعبير:
أولًا ، نوجد المضاعف المشترك الأصغر لمقام كلا الكسرين. مقام الكسر الأول هو 3 ، ومقام الكسر الثاني هو 4. المضاعف المشترك الأصغر لهذه الأعداد هو 12
المضاعف المشترك الأصغر (3 و 4) = 12
الآن نعود إلى الكسور و
لنجد عاملًا إضافيًا للكسر الأول. للقيام بذلك ، نقسم المضاعف المشترك الأصغر على مقام الكسر الأول. المضاعف المشترك الأصغر هو الرقم 12 ، ومقام الكسر الأول هو الرقم 3. اقسم 12 على 3 ، نحصل على 4. اكتب الأربعة على الكسر الأول:
نفعل الشيء نفسه مع الكسر الثاني. نقسم المضاعف المشترك الأصغر على مقام الكسر الثاني. المضاعف المشترك الأصغر هو الرقم 12 ، ومقام الكسر الثاني هو الرقم 4. اقسم 12 على 4 ، نحصل على 3. اكتب الثلاثة على الكسر الثاني:
نحن الآن جاهزون للطرح. يبقى ضرب الكسور بعواملها الإضافية:
توصلنا إلى استنتاج مفاده أن الكسور ذات المقامات المختلفة تحولت إلى كسور لها نفس القواسم. نحن نعلم بالفعل كيفية طرح مثل هذه الكسور. لننهي هذا المثال حتى النهاية:
تلقى إجابة
دعنا نحاول تصوير الحل باستخدام صورة. إذا قطعت البيتزا من البيتزا ، تحصل على البيتزا
هذه نسخة مفصلة من الحل. في المدرسة ، سيتعين علينا حل هذا المثال بطريقة أقصر. سيبدو هذا الحل على النحو التالي:
يمكن أيضًا تصوير اختزال الكسور إلى قاسم مشترك باستخدام الشكل. وبتحول هذين الكسور إلى مقام مشترك ، حصلنا على الكسور و. سيتم تمثيل هذه الكسور بنفس شرائح البيتزا ، ولكن هذه المرة سيتم تقسيمها إلى أجزاء متساوية (يتم اختزالها إلى نفس المقام):
يصور الرسم الأول كسرًا (ثمانية من اثني عشر قطعة) ، والرسم الثاني يصور جزءًا (ثلاثة من اثني عشر قطعة). بقطع ثلاث قطع من ثماني قطع ، نحصل على خمس قطع من اثني عشر. كسر ويصف هذه القطع الخمس.
مثال 2.أوجد قيمة التعبير 
هذه الكسور لها مقامات مختلفة ، لذا عليك أولًا تقريبها إلى نفس المقام (المشترك).
فلنوجد المضاعف المشترك الأصغر لمقام هذه الكسور.
مقامات الكسور هي 10 و 3 و 5. والمضاعف المشترك الأصغر لهذه الأعداد هو 30
المضاعف المشترك الأصغر (10، 3، 5) = 30
الآن نجد عوامل إضافية لكل كسر. للقيام بذلك ، نقسم المضاعف المشترك الأصغر على مقام كل كسر.
لنجد عاملًا إضافيًا للكسر الأول. المضاعف المشترك الأصغر هو الرقم 30 ، ومقام الكسر الأول هو 10. اقسم 30 على 10 ، نحصل على العامل الإضافي الأول 3. نكتبه على الكسر الأول:
نوجد الآن عاملًا إضافيًا للكسر الثاني. اقسم المضاعف المشترك الأصغر على مقام الكسر الثاني. المضاعف المشترك الأصغر هو الرقم 30 ، ومقام الكسر الثاني هو الرقم 3. نقسم 30 على 3 ، نحصل على العامل الإضافي الثاني 10. نكتبه على الكسر الثاني:
نوجد الآن عاملًا إضافيًا للكسر الثالث. اقسم المضاعف المشترك الأصغر على مقام الكسر الثالث. المضاعف المشترك الأصغر هو الرقم 30 ، ومقام الكسر الثالث هو 5. نقسم 30 على 5 ، نحصل على العامل الإضافي الثالث 6. نكتبه على الكسر الثالث:
كل شيء جاهز الآن للطرح. يبقى ضرب الكسور بعواملها الإضافية:
توصلنا إلى استنتاج مفاده أن الكسور ذات المقامات المختلفة تحولت إلى كسور لها نفس القواسم (المشتركة). نحن نعلم بالفعل كيفية طرح مثل هذه الكسور. لننهي هذا المثال.
لن يتناسب استمرار المثال مع سطر واحد ، لذلك ننقل المتابعة إلى السطر التالي. لا تنسَ علامة المساواة (=) في سطر جديد:
في الإجابة ، حصلنا على الكسر الصحيح ، ويبدو أن كل شيء يناسبنا ، لكنه مرهق جدًا وقبيح. يجب أن تكون أبسط وأكثر إرضاء من الناحية الجمالية. ماذا يمكن ان يفعل؟ يمكنك تقصير هذا الكسر. تذكر أن حذف الكسر هو قسمة البسط والمقام على أكبر عامل مشترك للبسط والمقام.
لتقليل الكسر بشكل صحيح ، تحتاج إلى قسمة البسط والمقام على القاسم المشترك الأكبر (GCD) للرقمين 20 و 30.
لا ينبغي الخلط بين GCD و NOC. الخطأ الأكثر شيوعًا الذي يرتكبه العديد من المبتدئين. GCD هو القاسم المشترك الأكبر. نجدها لتقليل الكسر.
والمضاعف المشترك الأصغر هو المضاعف المشترك الأصغر. نجده من أجل تقريب الكسور إلى نفس المقام (المشترك).
الآن سنجد القاسم المشترك الأكبر (GCD) للعددين 20 و 30.
إذن ، نجد GCD للأرقام 20 و 30:
GCD (20 و 30) = 10
عد الآن إلى مثالنا واقسم بسط الكسر ومقامه على 10:
لقد حصلنا على إجابة لطيفة
ضرب الكسر في رقم
لضرب كسر في رقم ، عليك أن تضرب بسط هذا الكسر في هذا الرقم ، وتترك المقام كما هو.
مثال 1... اضرب الكسر ب 1.
اضرب بسط الكسر في 1
يمكن فهم التسجيل على أنه يستغرق نصف مرة. على سبيل المثال ، إذا تناولت البيتزا مرة واحدة ، فستحصل على البيتزا
نعلم من قوانين الضرب أنه إذا تم عكس المضاعف والعامل ، فلن يتغير المنتج. إذا تمت كتابة التعبير كـ ، فسيظل المنتج مساويًا. مرة أخرى ، تعمل قاعدة ضرب عدد صحيح وكسر:
يمكن فهم هذا السجل على أنه يأخذ نصف واحد. على سبيل المثال ، إذا كان هناك بيتزا واحدة كاملة وأخذنا نصفها ، فسنحصل على بيتزا:
مثال 2... أوجد قيمة التعبير
اضرب بسط الكسر في 4
يمكن فهم التعبير على أنه أخذ ربعين أربع مرات. على سبيل المثال ، إذا تناولت بيتزا 4 مرات ، فستحصل على نوعين من البيتزا الكاملة.
وإذا قمنا بتبديل المضاعف والمضاعف في أماكن ، فسنحصل على المقدار. سيكون أيضًا مساويًا لـ 2. يمكن فهم هذا التعبير على أنه أخذ اثنين من البيتزا من أربع بيتزا كاملة:
ضرب الكسور
لضرب الكسور ، عليك ضرب البسط والمقام. إذا تبين أن الإجابة هي كسر غير صحيح ، فأنت بحاجة إلى تحديد الجزء بالكامل فيه.
مثال 1.أوجد قيمة التعبير.
حصلنا على إجابة. من المستحسن تقصير هذا الكسر. يمكن تقليل الكسر بمقدار 2. ثم يتخذ القرار النهائي الشكل التالي:
يمكن فهم التعبير على أنه أخذ بيتزا من نصف البيتزا. لنفترض أن لدينا نصف بيتزا:
كيف تحصل على ثلثي هذا النصف؟ أولاً ، عليك تقسيم هذا النصف إلى ثلاثة أجزاء متساوية:
وخذ قطعتين من هذه القطع الثلاث:
سنصنع بيتزا. تذكر شكل البيتزا عند تقسيمها إلى ثلاثة أجزاء:
شريحة واحدة من هذه البيتزا والشريحتين اللتين أخذناهما سيكون لها نفس الأبعاد:
بعبارة أخرى ، نحن نتحدث عن نفس حجم البيتزا. لذلك ، فإن قيمة التعبير هي
مثال 2... أوجد قيمة التعبير
نضرب بسط الكسر الأول في بسط الكسر الثاني ، ومقام الكسر الأول في مقام الكسر الثاني:
الجواب هو كسر غير صحيح. دعنا نختار الجزء الكامل فيه:
مثال 3.أوجد قيمة التعبير
الإجابة هي كسر صحيح ، لكنها ستكون جيدة إذا قللتها. لتقليل هذا الكسر ، يجب تقسيمه على GCD للبسط والمقام. إذن ، لنجد GCD للأعداد 105 و 450:
GCD لـ (105 و 150) هي 15
الآن نقسم بسط ومقام إجابتنا على GCD:
تمثيل الكسر لعدد صحيح
يمكن تمثيل أي عدد صحيح في صورة كسر. على سبيل المثال ، يمكن تمثيل الرقم 5 كـ. من هذا ، لن يغير الخمسة من قيمتها ، لأن التعبير يعني "العدد خمسة مقسومًا على واحد" ، وهذا كما تعلمون يساوي خمسة:
أرقام عكسية
الآن سوف نتعرف على موضوع مثير للاهتمام في الرياضيات. يطلق عليه "الأرقام الخلفية".
تعريف. معكوس الرقم أ هو رقم عندما يضرب في أ يعطي واحد.
لنعوض بهذا التعريف بدلاً من المتغير أرقم 5 وحاول قراءة التعريف:
معكوس الرقم 5 هو رقم عندما يضرب في 5 يعطي واحد.
هل يمكنك إيجاد رقم يعطي واحدًا عند ضربه في 5؟ اتضح أنك تستطيع. دعنا نمثل الخمسة في صورة كسر:
ثم اضرب هذا الكسر في نفسه ، فقط بدل البسط والمقام. بعبارة أخرى ، اضرب الكسر في نفسه ، مقلوبًا فقط:
ماذا ستكون نتيجة هذا؟ إذا واصلنا حل هذا المثال ، فسنحصل على واحد:
هذا يعني أن معكوس 5 هو رقم ، لأنه عندما يتم ضرب 5 في ، نحصل على واحد.
يمكن أيضًا إيجاد المقلوب لأي عدد صحيح آخر.
- مقلوب 3 هو الكسر
- معكوس 4 هو الكسر
يمكنك أيضًا إيجاد مقلوب أي كسر آخر. للقيام بذلك ، فقط اقلبه.
ضرب وقسمة الكسور.
الانتباه!
هناك المزيد
المواد في القسم الخاص 555.
بالنسبة لأولئك الذين هم "ليسوا جدا ..."
ولأولئك الذين هم "متساوون جدًا ...")
هذه العملية أجمل بكثير من الجمع والطرح! لأنه أسهل. دعني أذكرك: لضرب الكسر في كسر ، تحتاج إلى ضرب البسط (سيكون هذا هو بسط النتيجة) والمقام (سيكون هذا هو المقام). هذا هو:
على سبيل المثال:
كل شيء بسيط للغاية... ورجاء لا تبحث عن قاسم مشترك! لا تحتاجه هنا ...
لتقسيم الكسر إلى كسر ، عليك أن تقلب ثانيا(هذا مهم!) الكسر واضربهم ، أي:
على سبيل المثال:
إذا صادفت عمليات الضرب أو القسمة بأعداد صحيحة وكسور - فلا بأس بذلك. كما هو الحال مع الجمع ، نصنع كسرًا بواحد في المقام من عدد صحيح - ونختفي! على سبيل المثال:
في المدرسة الثانوية ، غالبًا ما يتعين عليك التعامل مع كسور من ثلاثة طوابق (أو حتى أربعة طوابق!). على سبيل المثال:
كيف تجلب هذا الجزء إلى مظهر لائق؟ انه بسيط جدا! استخدم القسمة على نقطتين:
لكن لا تنس ترتيب القسمة! على عكس الضرب ، هذا مهم جدًا هنا! بالطبع ، 4: 2 ، أو 2: 4 ، لن نخلط بيننا. لكن في جزء من ثلاثة طوابق ، من السهل ارتكاب خطأ. ملاحظة ، على سبيل المثال:
في الحالة الأولى (التعبير على اليسار):
في الثاني (التعبير على اليمين):
هل تشعر بالفرق؟ 4 و 1/9!
وماذا يحدد ترتيب القسمة؟ أو أقواس ، أو (كما هو الحال هنا) طول الأعمدة الأفقية. طور عين. وفي حالة عدم وجود أقواس أو شرطات ، مثل:
ثم نقسم وضرب بالترتيب ، من اليسار إلى اليمين!
وخدعة أخرى بسيطة ومهمة للغاية. في الإجراءات بالدرجات ، أوه ، ما مدى فائدة ذلك بالنسبة لك! اقسم الوحدة على أي كسر ، على سبيل المثال ، على 13/15:
لقد انقلب الكسر! ودائما ما يحدث بهذه الطريقة. عند قسمة 1 على أي كسر ، تكون النتيجة هي نفس الكسر ، مقلوب فقط.
هذا كل شيء للكسور. الأمر بسيط للغاية ، لكنه يعطي أخطاء أكثر من كافية. قم بتدوين النصائح العملية ، وسوف يكون هناك عدد أقل من (الأخطاء)!
نصائح عملية:
1. أهم شيء عند التعامل مع التعبيرات الكسرية هو الدقة والعناية! هذه ليست كلمات عامة وليست أمنيات طيبة! هذه ضرورة ماسة! قم بإجراء جميع العمليات الحسابية في الامتحان كمهمة كاملة ، مع التركيز والوضوح. من الأفضل كتابة سطرين إضافيين في المسودة بدلاً من إفسادها عند الحساب في رأسك.
2. في الأمثلة ذات الأنواع المختلفة من الكسور - انتقل إلى الكسور العادية.
3. يتم اختزال جميع الكسور إلى نقطة التوقف.
4. يتم تقليل التعبيرات الكسرية متعددة الطوابق إلى التعبيرات العادية باستخدام القسمة على نقطتين (شاهد ترتيب القسمة!).
5. قسّم الوحدة إلى كسر عقليًا ، ببساطة اقلب الكسر.
فيما يلي المهام التي يجب عليك حلها بالتأكيد. يتم إعطاء الإجابات بعد كل المهام. استخدم المواد الخاصة بهذا الموضوع والنصائح العملية. ضع في اعتبارك عدد الأمثلة التي تمكنت من حلها بشكل صحيح. المرة الأولى! لا آلة حاسبة! وجعل الاستنتاجات الصحيحة ...
تذكر - الجواب الصحيح هو المستلمة من المرة الثانية (كلها - الثالثة) - لا تحسب!هذه حياة قاسية.
لذا، نحلها في وضع الامتحان ! بالمناسبة ، هذا هو التحضير للامتحان. نحل المثال ، نتحقق منه ، نحل المثال التالي. قررنا كل شيء - فحصنا مرة أخرى من الأول إلى الأخير. فقط ثمانظر إلى الإجابات.
احسب:
هل قمت بحلها؟
نحن نبحث عن إجابات تطابق إجابتك. تعمدت كتابتها في حالة من الفوضى ، بعيدًا عن الإغراء ، إذا جاز التعبير ... ها هي الإجابات ، مفصولة بفواصل منقوطة.
0; 17/22; 3/4; 2/5; 1; 25.
والآن نستخلص النتائج. إذا نجح كل شيء ، فأنا سعيد من أجلك! الحسابات الأساسية مع الكسور ليست مشكلتك! يمكنك القيام بأشياء أكثر جدية. ان لم...
إذن لديك واحدة من مشكلتين. أو كلاهما في وقت واحد.) قلة المعرفة و / أو الغفلة. لكن هذا قابل للحل مشاكل.
إذا أعجبك هذا الموقع ...
بالمناسبة ، لديّ موقعان أكثر تشويقًا لك).
يمكنك التدرب على حل الأمثلة ومعرفة مستواك. اختبار التحقق الفوري. التعلم - باهتمام!)
يمكنك التعرف على الوظائف والمشتقات.
) والمقام بالمقام (نحصل على مقام حاصل الضرب).
صيغة ضرب الكسور:
على سبيل المثال:
قبل أن تبدأ في ضرب البسط والمقام ، عليك التحقق من إمكانية اختزال الكسر. إذا كان بإمكانك تقليل الكسر ، فسيكون من الأسهل عليك إجراء المزيد من العمليات الحسابية.
تقسيم الكسر العادي إلى كسر.
قسمة الكسور بمشاركة عدد طبيعي.
إنه ليس مخيفًا كما يبدو. كما في حالة الجمع ، قم بتحويل عدد صحيح إلى كسر بواحد في المقام. على سبيل المثال:
ضرب الكسور المختلطة.
قواعد ضرب الكسور (مختلطة):
- تحويل الكسور المختلطة إلى كسور غير منتظمة ؛
- اضرب البسط والمقام في الكسور ؛
- نقوم بتقليل الكسر.
- إذا حصلت على كسر غير صحيح ، فحول الكسر غير الصحيح إلى كسر مختلط.
ملحوظة!لضرب كسر مختلط في كسر مختلط آخر ، عليك أولًا إحضاره إلى صورة الكسور غير الفعلية ، ثم الضرب وفقًا لقاعدة ضرب الكسور العادية.
الطريقة الثانية لضرب كسر في عدد طبيعي.
قد يكون من الأنسب استخدام الطريقة الثانية لضرب الكسر العادي في رقم.
ملحوظة!لضرب كسر في رقم طبيعي ، يجب قسمة مقام الكسر على هذا الرقم ، وترك البسط بدون تغيير.
من المثال أعلاه ، من الواضح أن هذا الخيار يكون أكثر ملاءمة للاستخدام عندما يتم تقسيم مقام الكسر بدون باقي على رقم طبيعي.
كسور متعددة الطوابق.
في المدرسة الثانوية ، غالبًا ما توجد كسور من ثلاثة طوابق (أو أكثر). مثال:
لإحضار هذا الكسر إلى شكله المعتاد ، يتم استخدام القسمة على نقطتين:
ملحوظة!ترتيب القسمة مهم جدًا في قسمة الكسور. كن حذرًا ، من السهل الخلط هنا.
ملحوظة، فمثلا:
عند قسمة واحد على أي كسر ، ستكون النتيجة هي نفس الكسر ، مقلوبًا فقط:
نصائح عملية لضرب الكسور وتقسيمها:
1. أهم شيء في التعامل مع التعبيرات الكسرية هو الدقة والعناية. قم بإجراء جميع الحسابات بعناية وبدقة ، مع التركيز والوضوح. من الأفضل أن تكتب بضعة سطور إضافية في المسودة بدلاً من الخلط بين الحسابات التي تجريها في رأسك.
2. في المهام ذات الأنواع المختلفة من الكسور - انتقل إلى شكل الكسور العادية.
3. اختصر كل الكسور حتى يستحيل اختزالها.
4. يتم تحويل التعبيرات الكسرية متعددة الطوابق إلى تعبيرات عادية ، باستخدام القسمة على نقطتين.
5. قسّم الوحدة إلى كسر عقليًا ، ببساطة اقلب الكسر.
