تعليمات

10, 30, 90, 270...

مطلوب للعثور على مقام التقدم الهندسي.
قرار:

الخيار 1. لنأخذ مصطلحًا تعسفيًا للتقدم (على سبيل المثال ، 90) ونقسمه على المصطلح السابق (30): 90/30 \u003d 3.

إذا كنت تعرف مجموع العديد من أعضاء التقدم الهندسي أو مجموع كل أعضاء التقدم الهندسي المتناقص ، فعندئذٍ للعثور على مقام التقدم ، استخدم الصيغ المناسبة:
Sn \u003d b1 * (1-q ^ n) / (1-q) ، حيث Sn هو مجموع المصطلحات n الأولى للتقدم الهندسي و
S \u003d b1 / (1-q) ، حيث S هو مجموع التقدم الهندسي المتناقص بلا حدود (مجموع كل أعضاء التقدم بمقام أقل من واحد).
مثال.

الحد الأول من التقدم الهندسي المتناقص يساوي واحدًا ، ومجموع كل أعضائه يساوي اثنين.

مطلوب لتحديد مقام هذا التقدم.
قرار:

أدخل البيانات من المشكلة في الصيغة. اتضح:
2 \u003d 1 / (1-q) ، من أين - q \u003d 1/2.

التقدم هو سلسلة من الأرقام. في التقدم الهندسي ، يتم الحصول على كل مصطلح لاحق بضرب المصطلح السابق في عدد ما q ، يسمى مقام التقدم.

تعليمات

إذا كان هناك حدان متجاوران للهندسة b (n + 1) و b (n) معروفين ، من أجل الحصول على المقام ، يجب تقسيم الرقم الذي يحتوي على أكبر واحد على الرقم الذي يسبقه: q \u003d b (n + 1) / ب (ن). هذا يتبع من تعريف التقدم ومقامه. الشرط المهم هو عدم المساواة في المصطلح الأول ومقام التقدم إلى الصفر ، وإلا فإنه يعتبر غير محدد.

لذلك ، يتم إنشاء العلاقات التالية بين أعضاء التقدم: b2 \u003d b1 q ، b3 \u003d b2 q ، ... ، b (n) \u003d b (n-1) q. باستخدام الصيغة b (n) \u003d b1 q ^ (n-1) ، يمكن حساب أي حد من التقدم الهندسي ، حيث يُعرف المقام q والمصطلح b1. أيضًا ، كل تقدم في المعامل يساوي متوسط \u200b\u200bأعضائه المجاورين: | ب (ن) | \u003d √ ، ومن ثم حصل التقدم الخاص به.

التناظرية للتقدم الهندسي هي أبسط دالة أسية y \u003d a ^ x ، حيث x في الأس و a عدد. في هذه الحالة ، يتطابق مقام التقدم مع المصطلح الأول ويساوي الرقم أ. يمكن فهم قيمة الدالة y على أنها المصطلح n من التقدم إذا تم أخذ الوسيطة x كرقم طبيعي n (عداد).

موجود لمجموع أول n من المصطلحات للتقدم الهندسي: S (n) \u003d b1 (1-q ^ n) / (1-q). هذه الصيغة صالحة لـ q ≠ 1. إذا كانت q \u003d 1 ، فسيتم حساب مجموع مصطلحات n الأولى بواسطة الصيغة S (n) \u003d n b1. بالمناسبة ، سيُطلق على التقدم زيادة عندما تكون q أكبر من واحد وتكون b1 موجبة. إذا كان مقام التقدم لا يتجاوز واحدًا في القيمة المطلقة ، فسيتم استدعاء التقدم بالتناقص.

حالة خاصة للتقدم الهندسي هي التدرج الهندسي المتناقص بلا حدود (b.d.p.). الحقيقة هي أن شروط التدرج الهندسي المتناقص ستنخفض مرارًا وتكرارًا ، لكنها لن تصل إلى الصفر أبدًا. على الرغم من ذلك ، يمكنك العثور على مجموع كل أعضاء مثل هذا التقدم. يتم تحديده بواسطة الصيغة S \u003d b1 / (1-q). العدد الإجمالي للأعضاء n لا نهائي.

لتخيل كيف يمكنك إضافة عدد لا حصر له من الأرقام وليس الحصول على ما لا نهاية ، اخبز كعكة. اقطع نصف هذا. ثم قطع 1/2 من النصف ، وهكذا. القطع التي ستحصل عليها ليست أكثر من أعضاء في تناقص متناقص بشكل لا نهائي مع مقام 1/2. إذا قمت بإضافة كل هذه القطع ، تحصل على الكعكة الأصلية.

مشاكل الهندسة هي نوع خاص من التمارين التي تتطلب التفكير المكاني. إذا كنت لا تستطيع حل الشكل الهندسي مهمةحاول اتباع القواعد أدناه.

تعليمات

اقرأ بيان المشكلة بعناية شديدة ، إذا كنت لا تتذكر شيئًا أو تفهمه ، فأعد قراءته مرة أخرى.

حاول تحديد نوع المشكلات الهندسية ، على سبيل المثال: المشكلات الحسابية ، عندما تحتاج إلى معرفة بعض القيمة ، المشكلات التي تتطلب سلسلة منطقية من التفكير ، مشاكل البناء باستخدام البوصلة والمسطرة. المزيد من المشاكل المختلطة. بمجرد معرفة نوع المشكلة ، حاول التفكير بشكل منطقي.

قم بتطبيق النظرية اللازمة لهذه المشكلة ، ولكن إذا كانت هناك شكوك أو لا توجد خيارات على الإطلاق ، فحاول أن تتذكر النظرية التي مررت بها حول الموضوع ذي الصلة.

ارسم حل المشكلة أيضًا في مسودة. حاول استخدام الطرق المعروفة لاختبار صحة قرارك.

املأ حل المشكلة بدقة في دفتر ملاحظات ، بدون بقع وشطب ، والأهم من ذلك - قد يستغرق الأمر وقتًا وجهدًا لحل المشكلات الهندسية الأولى. ومع ذلك ، بمجرد إتقان هذه العملية ، ستبدأ في النقر فوق المهام ، مثل المكسرات ، والاستمتاع!

التقدم الهندسي هو سلسلة من الأرقام b1 ، b2 ، b3 ، ... ، b (n-1) ، b (n) مثل b2 \u003d b1 * q ، b3 \u003d b2 * q ، ... ، b ( ن) \u003d ب (ن -1) * ف ، ب 1 0 ، ف ≠ 0. بمعنى آخر ، يتم الحصول على كل مصطلح في التقدم من المصطلح السابق بضربه في مقام غير صفري للتقدم q.

تعليمات

غالبًا ما يتم حل مشكلات التقدم عن طريق إنشاء واتباع نظام متعلق بالمصطلح الأول من التقدم b1 ومقام التقدم q. من المفيد تذكر بعض الصيغ لكتابة المعادلات.

كيفية التعبير عن المصطلح n من التقدم من خلال المصطلح الأول للتقدم ومقام التقدم: b (n) \u003d b1 * q ^ (n-1).

ضع في اعتبارك الحالة | q | بشكل منفصل<1. Если знаменатель прогрессии по модулю меньше единицы, имеем бесконечно убывающую геометрическую . Сумма первых n членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии ищется так же, как и для неубывающей геометрической прогрессии. Однако в случае бесконечно убывающей геометрической прогрессии можно найти также сумму всех членов этой прогрессии, поскольку при бесконечном n будет бесконечно уменьшаться значение b(n), и сумма всех членов будет стремиться к определенному пределу. Итак, сумма всех членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии

درس وعرض تقديمي حول موضوع: "التسلسل الرقمي. التقدم الهندسي"

مواد إضافية
أعزائي المستخدمين ، لا تنسوا ترك تعليقاتكم وآرائكم ورغباتكم! تم فحص جميع المواد بواسطة برنامج مكافحة الفيروسات.

الوسائل التعليمية وأجهزة المحاكاة في المتجر الإلكتروني Integral للصف التاسع
الدرجات والجذور الوظائف والرسوم البيانية

يا رفاق ، اليوم سنتعرف على نوع آخر من التقدم.
موضوع درس اليوم هو التقدم الهندسي.

المتوالية الهندسية

مثال. 1،2،4،8،16 ... التقدم الهندسي الذي فيه المصطلح الأول يساوي واحدًا ، و $ q \u003d 2 $.

مثال. 8،8،8،8 ... تسلسل هندسي يكون فيه الحد الأول ثمانية ،
و $ q \u003d 1 دولار.

مثال. 3 ، -3.3 ، -3.3 ... التقدم الهندسي ، حيث يكون المصطلح الأول يساوي ثلاثة ،
و $ q \u003d -1 دولار.

التقدم الهندسي له خصائص الرتابة.
إذا كان $ b_ (1)\u003e 0 $ ، $ q\u003e 1 $ ،
ثم التسلسل تصاعدي.
إذا كان $ b_ (1)\u003e 0 $ ، 0 $ يُشار إلى التسلسل عادةً على النحو التالي: $ b_ (1) ، b_ (2) ، b_ (3) ، ... ، b_ (n) ، ... $.

كما هو الحال في التقدم الحسابي ، إذا كان عدد العناصر محدودًا في التقدم الهندسي ، فإن التقدم يسمى التقدم الهندسي المحدود.

$ b_ (1) ، b_ (2) ، b_ (3) ، ... ، b_ (n-2) ، b_ (n-1) ، b_ (n) $.
لاحظ ، إذا كان التسلسل تقدمًا هندسيًا ، فإن تسلسل مربعات الأعضاء هو أيضًا تقدم هندسي. بالنسبة للتسلسل الثاني ، الحد الأول هو $ b_ (1) ^ 2 $ ، والمقام هو $ q ^ 2 $.

صيغة الحد n من التقدم الهندسي

دعنا نعود إلى الأمثلة لدينا.

مثال. 1،2،4،8،16 ... التدرج الهندسي ، الذي فيه المصطلح الأول يساوي واحدًا ،
و $ q \u003d 2 دولار.
$ b_ (n) \u003d 1 * 2 ^ (n) \u003d 2 ^ (n-1) $.

مثال. 16،8،4،2،1،1 / 2 ... تقدم هندسي يكون فيه المصطلح الأول ستة عشر و $ q \u003d \\ frac (1) (2) $.
$ b_ (n) \u003d 16 * (\\ frac (1) (2)) ^ (n-1) $.

مثال. 8،8،8،8 ... تقدم هندسي يكون فيه الحد الأول ثمانية و $ q \u003d 1 $.
$ b_ (n) \u003d 8 * 1 ^ (n-1) \u003d 8 دولارات.

مثال. 3، -3.3، -3.3 ... تقدم هندسي يكون فيه الحد الأول ثلاثة و $ q \u003d -1 $.
$ b_ (n) \u003d 3 * (- 1) ^ (n-1) $.

مثال. يتم منحك تقدمًا هندسيًا $ b_ (1) ، b_ (2) ، ... ، b_ (n) ، ... $.
أ) من المعروف أن $ b_ (1) \u003d 6 ، q \u003d 3 $. ابحث عن $ b_ (5) $.
ب) من المعروف أن $ b_ (1) \u003d 6، q \u003d 2، b_ (n) \u003d 768 $. تجد n.
ج) من المعروف أن $ q \u003d -2، b_ (6) \u003d 96 $. ابحث عن $ b_ (1) $.
د) من المعروف أن $ b_ (1) \u003d - 2، b_ (12) \u003d 4096 $. ابحث عن q.

قرار.
أ) $ b_ (5) \u003d b_ (1) * q ^ 4 \u003d 6 * 3 ^ 4 \u003d 486 دولار.
ب) $ b_n \u003d b_1 * q ^ (n-1) \u003d 6 * 2 ^ (n-1) \u003d 768 دولار.
$ 2 ^ (n-1) \u003d \\ frac (768) (6) \u003d 128 $ منذ $ 2 ^ 7 \u003d 128 \u003d\u003e n-1 \u003d 7 ؛ ن \u003d 8 دولارات.
ج) $ b_ (6) \u003d b_ (1) * q ^ 5 \u003d b_ (1) * (- 2) ^ 5 \u003d -32 * b_ (1) \u003d 96 \u003d\u003e b_ (1) \u003d - 3 $.
د) $ b_ (12) \u003d b_ (1) * q ^ (11) \u003d - 2 * q ^ (11) \u003d 4096 \u003d\u003e q ^ (11) \u003d - 2048 \u003d\u003e q \u003d -2 دولار.

مثال. الفرق بين الحد السابع والخامس للتقدم الهندسي هو 192 ، ومجموع الحدين الخامس والسادس من التقدم هو 192. أوجد الحد العاشر من هذا التقدم.

قرار.
نعلم أن: $ b_ (7) -b_ (5) \u003d 192 $ و $ b_ (5) + b_ (6) \u003d 192 $.
نعلم أيضًا: $ b_ (5) \u003d b_ (1) * q ^ 4 $ ؛ $ b_ (6) \u003d b_ (1) * q ^ 5 $ ؛ $ b_ (7) \u003d b_ (1) * q ^ 6 $.
ثم:
$ b_ (1) * q ^ 6-b_ (1) * q ^ 4 \u003d 192 دولار.
$ b_ (1) * q ^ 4 + b_ (1) * q ^ 5 \u003d 192 دولار.
حصلنا على نظام المعادلات:
$ \\ start (الحالات) b_ (1) * q ^ 4 (q ^ 2-1) \u003d 192 \\\\ b_ (1) * q ^ 4 (1 + q) \u003d 192 \\ end (cases) $.
معادلة ، تحصل معادلاتنا على:
$ b_ (1) * q ^ 4 (q ^ 2-1) \u003d b_ (1) * q ^ 4 (1 + q) $.
$ q ^ 2-1 \u003d q + 1 $.
$ q ^ 2-q-2 \u003d 0 دولار.
حصلنا على حلين q: $ q_ (1) \u003d 2 ، q_ (2) \u003d - 1 $.
عوض بالتسلسل في المعادلة الثانية:
$ b_ (1) * 2 ^ 4 * 3 \u003d 192 \u003d\u003e b_ (1) \u003d 4 دولارات.
$ b_ (1) * (- 1) ^ 4 * 0 \u003d 192 \u003d\u003e $ لا توجد حلول.
لقد حصلنا على ذلك: $ b_ (1) \u003d 4 ، q \u003d 2 $.
أوجد الحد العاشر: $ b_ (10) \u003d b_ (1) * q ^ 9 \u003d 4 * 2 ^ 9 \u003d 2048 $.

مجموع التقدم الهندسي المحدود

لنفترض تقدمًا هندسيًا محدودًا: $ b_ (1)، b_ (2)، ...، b_ (n-1)، b_ (n) $.
دعونا نقدم تدوين مجموع أعضائها: $ S_ (n) \u003d b_ (1) + b_ (2) + ⋯ + b_ (n-1) + b_ (n) $.
في الحالة التي يكون فيها $ q \u003d 1 $. جميع أعضاء التقدم الهندسي متساوون مع المصطلح الأول ، ومن ثم فمن الواضح أن $ S_ (n) \u003d n * b_ (1) $.
ضع في اعتبارك الآن الحالة $ q ≠ 1 $.
اضرب المجموع أعلاه في q.
$ S_ (n) * q \u003d (b_ (1) + b_ (2) + ⋯ + b_ (n-1) + b_ (n)) * q \u003d b_ (1) * q + b_ (2) * q + ⋯ + b_ (n-1) * q + b_ (n) * q \u003d b_ (2) + b_ (3) + ⋯ + b_ (n) + b_ (n) * q $.
ملحوظة:
$ S_ (n) \u003d b_ (1) + (b_ (2) + ⋯ + b_ (n-1) + b_ (n)) $.
$ S_ (n) * q \u003d (b_ (2) + ⋯ + b_ (n-1) + b_ (n)) + b_ (n) * q $.

$ S_ (n) * q-S_ (n) \u003d (b_ (2) + ⋯ + b_ (n-1) + b_ (n)) + b_ (n) * q-b_ (1) - (b_ (2) ) + ⋯ + b_ (n-1) + b_ (n)) \u003d b_ (n) * q-b_ (1) $.

$ S_ (n) (q-1) \u003d b_ (n) * q-b_ (1) $.

$ S_ (n) \u003d \\ frac (b_ (n) * q-b_ (1)) (q-1) \u003d \\ frac (b_ (1) * q ^ (n-1) * q-b_ (1)) (q-1) \u003d \\ frac (b_ (1) (q ^ (n) -1)) (q-1) $.

$ S_ (n) \u003d \\ frac (b_ (1) (q ^ (n) -1)) (q-1) $.

حصلنا على صيغة مجموع التقدم الهندسي المحدود.

قرار.
$ S_ (7) \u003d \\ frac (4 * (3 ^ (7) -1)) (3-1) \u003d 2 * (3 ^ (7) -1) \u003d 4372 دولار.

مثال.
أوجد الحد الخامس للتقدم الهندسي المعروف: $ b_ (1) \u003d - 3 $؛ $ b_ (n) \u003d - 3072 $ ؛ $ S_ (ن) \u003d - 4095 دولار.

قرار.
$ b_ (n) \u003d (- 3) * q ^ (n-1) \u003d - 3072 دولار.
$ q ^ (n-1) \u003d 1024 دولار.
$ q ^ (n) \u003d 1024q دولار.

$ S_ (n) \u003d \\ frac (-3 * (q ^ (n) -1)) (q-1) \u003d - 4095 دولار.
-4095 دولارًا (q-1) \u003d - 3 * (q ^ (n) -1) دولار.
-4095 دولار (q-1) \u003d - 3 * (1024q-1) دولار.
1365 ك -1365 دولارًا \u003d 1024 ك -1 دولار.
341Q \u003d 1364 دولارًا أمريكيًا.
q دولار \u003d 4 دولارات.
$ b_5 \u003d b_1 * q ^ 4 \u003d -3 * 4 ^ 4 \u003d -3 * 256 \u003d -768 دولار.

خاصية مميزة للتقدم الهندسي

التسلسل العددي هو تقدم هندسي فقط عندما يكون مربع كل عضو مساويًا لمنتج عضوين متجاورين من التقدم. لا تنس أنه بالنسبة للتقدم المحدود ، لا يتم استيفاء هذا الشرط للأعضاء الأول والأخير.

الوحدة النمطية لأي عضو في التقدم الهندسي تساوي المتوسط \u200b\u200bالهندسي لعضوين مجاورين لها.

قرار.
دعنا نستخدم الخاصية المميزة:
$ (2x + 2) ^ 2 \u003d (x + 2) (3x + 3) $.
4 س ^ 2 + 8 س + 4 \u003d 3 س ^ 2 + 3 س + 6 س + 6 دولار.
$ x ^ 2-x-2 \u003d 0 دولار.
$ x_ (1) \u003d 2 $ و $ x_ (2) \u003d - 1 $.
التعويض بالتسلسل في التعبير الأصلي ، حلولنا:
مع $ x \u003d 2 $ ، حصلنا على التسلسل: 4 ؛ 6 ؛ 9 - تقدم هندسي ، حيث $ q \u003d 1.5 $.
مع $ x \u003d -1 $ ، حصلنا على التسلسل: 1 ؛ 0 ؛ 0.
الإجابة: $ x \u003d 2. $

مهام الحل المستقل

يعد التقدم الهندسي ، جنبًا إلى جنب مع الحساب ، سلسلة أرقام مهمة ، يتم دراستها في مقرر الجبر المدرسي في الصف التاسع. في هذه المقالة ، سننظر في مقام التقدم الهندسي وكيف تؤثر قيمته على خصائصه.

تعريف التقدم الهندسي

أولاً ، دعنا نعطي تعريف سلسلة الأرقام هذه. التقدم الهندسي عبارة عن سلسلة من الأرقام المنطقية التي تتكون عن طريق الضرب المتسلسل لعنصرها الأول في رقم ثابت يسمى المقام.

على سبيل المثال ، الأرقام في الصف 3 ، 6 ، 12 ، 24 ، ... هي تسلسل هندسي ، لأنك إذا ضربت 3 (العنصر الأول) في 2 ، فستحصل على 6. إذا ضربت 6 في 2 ، فستحصل 12 ، وهلم جرا.

عادةً ما يُشار إلى أعضاء التسلسل قيد النظر بالرمز ai ، حيث يمثل i عددًا صحيحًا يشير إلى رقم عنصر في الصف.

يمكن كتابة التعريف أعلاه للتقدم بلغة الرياضيات على النحو التالي: a \u003d bn-1 * a1 ، حيث b هو المقام. من السهل التحقق من هذه الصيغة: إذا كان n \u003d 1 ، إذن b1-1 \u003d 1 ، ونحصل على a1 \u003d a1. إذا كان n \u003d 2 ، ثم an \u003d b * a1 ، ونصل مرة أخرى إلى تعريف سلسلة الأرقام قيد الدراسة. يمكن الاستمرار في التفكير المماثل لقيم n الكبيرة.

مقام التقدم الهندسي

يحدد الرقم b تمامًا الحرف الذي ستتضمنه سلسلة الأرقام بأكملها. يمكن أن يكون المقام b موجبًا أو سالبًا أو أكبر من واحد أو أقل. كل هذه الخيارات تؤدي إلى تسلسلات مختلفة:

• ب\u003e 1. هناك سلسلة متزايدة من الأرقام المنطقية. على سبيل المثال ، 1 ، 2 ، 4 ، 8 ، ... إذا كان العنصر a1 سالبًا ، فإن التسلسل الكامل سيزداد فقط في القيمة المطلقة ، ولكنه ينخفض \u200b\u200bمع مراعاة علامة الأرقام.
• ب \u003d 1. غالبًا لا تسمى مثل هذه الحالة تقدمًا ، نظرًا لوجود سلسلة عادية من الأرقام المنطقية المتطابقة. على سبيل المثال ، -4 ، -4 ، -4.

صيغة للمبلغ

قبل الشروع في النظر في مشاكل محددة باستخدام مقام النوع المدروس من التقدم ، يجب إعطاء صيغة مهمة لمجموع عناصرها الأولى n. الصيغة هي: Sn \u003d (bn - 1) * a1 / (b - 1).

يمكنك الحصول على هذا التعبير بنفسك إذا كنت تفكر في تسلسل متكرر لأعضاء التقدم. لاحظ أيضًا أنه في الصيغة أعلاه ، يكفي معرفة العنصر الأول والمقام فقط للعثور على مجموع عدد تعسفي من المصطلحات.

التسلسل المتناقص بلا حدود

أعطي شرحا لما هو عليه. الآن ، بعد معرفة صيغة Sn ، قم بتطبيقها على سلسلة الأرقام هذه. نظرًا لأن أي عدد لا يتجاوز معامله 1 يميل إلى الصفر عند رفعه إلى حد كبير ، أي ب∞ \u003d\u003e 0 ، إذا -1

نظرًا لأن الفرق (1 - ب) سيكون دائمًا موجبًا ، بغض النظر عن قيمة المقام ، فإن علامة مجموع التدرج اللامتناهي المتناقص لـ S∞ الهندسي يتم تحديدها بشكل فريد من خلال علامة العنصر الأول لها a1.

الآن سننظر في العديد من المهام ، حيث سنعرض كيفية تطبيق المعرفة المكتسبة على أرقام محددة.

المشكلة رقم 1. حساب العناصر المجهولة للتقدم و المجموع

يتم إعطاؤك تقدمًا هندسيًا ، ومقام التقدم هو 2 ، والعنصر الأول هو 3. ما هو حديها السابع والعاشر ، وما مجموع عناصرها السبعة الأولية؟

تتكون حالة المشكلة بكل بساطة وتفترض الاستخدام المباشر للصيغ أعلاه. لذلك ، لحساب العنصر بالرقم n ، نستخدم التعبير an \u003d bn-1 * a1. بالنسبة للعنصر السابع ، لدينا: a7 \u003d b6 * a1 ، مع استبدال البيانات المعروفة ، نحصل على: a7 \u003d 26 * 3 \u003d 192. ونفعل الشيء نفسه بالنسبة للحد العاشر: a10 \u003d 29 * 3 \u003d 1536.

دعنا نستخدم الصيغة المعروفة للمجموع ونحدد هذه القيمة للعناصر السبعة الأولى من السلسلة. لدينا: S7 \u003d (27-1) * 3 / (2-1) \u003d 381.

المشكلة رقم 2. تحديد مجموع العناصر التعسفية للتقدم

لنفترض أن -2 هو مقام التقدم الأسي bn-1 * 4 ، حيث n عدد صحيح. من الضروري تحديد المبلغ من العنصر الخامس إلى العنصر العاشر من هذه السلسلة ، ضمناً.

لا يمكن حل المشكلة المطروحة مباشرة باستخدام الصيغ المعروفة. يمكن حلها بطريقتين مختلفتين. من أجل الاكتمال ، نقدم كلاهما.

الطريقة الأولى: فكرتها بسيطة: من الضروري حساب الجمعين المتناظرين للمصطلحين الأول ، ثم طرح الآخر من أحدهما. نحسب المبلغ الأصغر: S10 \u003d ((-2) 10-1) * 4 / (-2-1) \u003d -1364. الآن نحسب المبلغ الكبير: S4 \u003d ((-2) 4-1) * 4 / (-2-1) \u003d -20. لاحظ أنه تم جمع 4 مصطلحات فقط في التعبير الأخير ، حيث تم تضمين المصطلح الخامس بالفعل في المجموع الذي يجب حسابه وفقًا لبيان المشكلة. أخيرًا ، خذ الفرق: S510 \u003d S10 - S4 \u003d -1364 - (-20) \u003d -1344.

الطريقة الثانية: قبل استبدال الأرقام والحساب ، يمكنك الحصول على صيغة للمجموع بين العضوين m و n للسلسلة المعنية. نفعل نفس الشيء تمامًا كما في الطريقة 1 ، فقط نعمل أولاً مع التمثيل الرمزي للمجموع. لدينا: Snm \u003d (bn - 1) * a1 / (b - 1) - (bm-1 - 1) * a1 / (b - 1) \u003d a1 * (bn - bm-1) / (b - 1) . في التعبير الناتج ، يمكنك استبدال الأرقام المعروفة وحساب النتيجة النهائية: S105 \u003d 4 * ((-2) 10 - (-2) 4) / (-2-1) \u003d -1344.

رقم المشكلة 3. ما هو المقام؟

لنفترض أن a1 \u003d 2 ، أوجد مقام التقدم الهندسي ، بشرط أن يكون مجموعها اللامتناهي 3 ، ومن المعروف أن هذه سلسلة متناقصة من الأرقام.

حسب حالة المشكلة ، من السهل تخمين الصيغة التي يجب استخدامها لحلها. بالطبع ، لمجموع التقدم يتناقص بشكل لا نهائي. لدينا: S∞ \u003d a1 / (1 - ب). من حيث نعبر عن المقام: b \u003d 1 - a1 / S∞. يبقى استبدال القيم المعروفة والحصول على الرقم المطلوب: ب \u003d 1 - 2/3 \u003d -1 / 3 أو -0.333 (3). يمكن التحقق من هذه النتيجة نوعياً إذا تذكرنا أنه بالنسبة لهذا النوع من التسلسل ، يجب ألا يتجاوز المعامل b 1. كما ترى ، | -1 / 3 |

المشكلة رقم 4. استعادة سلسلة من الأرقام

دعنا نعطي عنصرين من سلسلة عددية ، على سبيل المثال ، الخامس يساوي 30 والعاشر يساوي 60. من الضروري إعادة بناء السلسلة بأكملها من هذه البيانات ، مع العلم أنها تفي بخصائص التقدم الهندسي.

لحل المسألة ، عليك أولاً كتابة التعبير المقابل لكل مصطلح معروف. لدينا: a5 \u003d b4 * a1 and a10 \u003d b9 * a1. الآن نقسم التعبير الثاني على الأول ، نحصل على: a10 / a5 \u003d b9 * a1 / (b4 * a1) \u003d b5. من هنا نحدد المقام بأخذ الجذر الخامس لنسبة الحدود المعروفة من بيان المشكلة ، ب \u003d 1.148698. نستبدل الرقم الناتج بأحد تعبيرات العنصر المعروف ، نحصل على: a1 \u003d a5 / b4 \u003d 30 / (1.148698) 4 \u003d 17.2304966.

وهكذا ، وجدنا ما هو مقام التقدم bn ، والتقدم الهندسي bn-1 * 17.2304966 \u003d an ، حيث b \u003d 1.148698.

أين يتم استخدام التعاقب الهندسي؟

إذا لم يكن هناك تطبيق لسلسلة الأرقام هذه في الممارسة العملية ، فسيتم تقليل دراستها إلى اهتمام نظري بحت. لكن مثل هذا التطبيق موجود.

فيما يلي أشهر 3 أمثلة:

• تم حل مفارقة زينو ، حيث لا يستطيع أخيل الذكي اللحاق بالسلحفاة البطيئة ، باستخدام مفهوم تسلسل الأرقام المتناقص بلا حدود.
• إذا وضعت حبات القمح على كل مربع من رقعة الشطرنج بحيث يتم وضع حبة واحدة في المربع الأول ، و 2 - في الثاني ، و 3 - في الثالث ، وما إلى ذلك ، فستكون هناك حاجة إلى 18446744073709551615 حبة لملء جميع المربعات في المربع الأول. مجلس!
• في لعبة Tower of Hanoi ، من أجل إعادة ترتيب الأقراص من قضيب إلى آخر ، من الضروري إجراء عمليات 2n - 1 ، أي أن عددهم ينمو أضعافًا مضاعفة مع عدد الأقراص n المستخدمة.

مستوى اول

المتوالية الهندسية. دليل شامل بأمثلة (2019)

التسلسل الرقمي

لذلك دعونا نجلس ونبدأ في كتابة بعض الأرقام. على سبيل المثال:

يمكنك كتابة أي أرقام ، ويمكن أن يكون هناك ما تريد (في حالتنا ، هم). بغض النظر عن عدد الأعداد التي نكتبها ، يمكننا دائمًا تحديد أي واحد هو الأول ، وما هو الثاني وما إلى ذلك إلى الأخير ، أي يمكننا ترقيمها. هذا مثال على تسلسل رقمي:

التسلسل الرقمي هي مجموعة من الأرقام ، يمكن تخصيص رقم فريد لكل منها.

على سبيل المثال ، بالنسبة لتسلسلنا:

الرقم المخصص محدد لرقم تسلسل واحد فقط. بمعنى آخر ، لا توجد ثلاثة أرقام ثانية في التسلسل. الرقم الثاني (مثل الرقم -th) دائمًا واحد.

الرقم الذي يحتوي على الرقم يسمى العضو العاشر في التسلسل.

عادة ما نطلق على التسلسل بأكمله بعض الأحرف (على سبيل المثال ،) ، وكل عضو في هذا التسلسل هو نفس الحرف مع فهرس يساوي رقم هذا العضو :.

في حالتنا هذه:

أكثر أنواع التقدم شيوعًا هي العمليات الحسابية والهندسية. في هذا الموضوع سنتحدث عن النوع الثاني - المتوالية الهندسية.

لماذا نحتاج إلى تقدم هندسي وتاريخ نشأته.

حتى في العصور القديمة ، كان عالم الرياضيات الإيطالي ليوناردو من بيزا (المعروف باسم فيبوناتشي) منخرطًا في حل الاحتياجات العملية للتجارة. واجه الراهب مهمة التحديد بمساعدة أقل قدر ممكن من الأوزان يمكن وزن البضائع؟ في كتاباته ، يثبت فيبوناتشي أن نظام الأوزان هذا هو الأمثل: هذه واحدة من المواقف الأولى التي كان على الناس أن يواجهوا فيها تقدمًا هندسيًا ، والذي ربما سمعت عنه بالفعل ولديك على الأقل مفهوم عام. بمجرد أن تفهم الموضوع تمامًا ، فكر في سبب كون هذا النظام هو الأمثل؟

في الوقت الحاضر ، في ممارسة الحياة ، يتجلى التقدم الهندسي عند استثمار الأموال في أحد البنوك ، عندما يتم تحميل مبلغ الفائدة على المبلغ المتراكم في الحساب للفترة السابقة. بمعنى آخر ، إذا قمت بوضع أموال على وديعة لأجل في بنك ادخار ، فستزيد الوديعة في غضون عام بأكثر من المبلغ الأصلي ، أي سيكون المبلغ الجديد مساويًا للإيداع مضروبًا في. في عام آخر ، سيزداد هذا المبلغ بمقدار ، أي سيتم مضاعفة المبلغ الذي تم الحصول عليه في ذلك الوقت مرة أخرى وهكذا. يتم وصف حالة مماثلة في مشاكل حساب ما يسمى ب الفائدة المركبة - يتم احتساب النسبة في كل مرة من المبلغ على الحساب مع مراعاة الفائدة السابقة. سنتحدث عن هذه المهام بعد قليل.

هناك العديد من الحالات البسيطة التي يتم فيها استخدام التقدم الهندسي. على سبيل المثال ، انتشار الإنفلونزا: شخص ما أصاب شخصًا ، وقام بدوره بإصابة شخص آخر ، وبالتالي فإن الموجة الثانية من العدوى هي شخص ، وهم بدورهم يصابون بآخر ... وهكذا .. .

بالمناسبة ، الهرم المالي ، نفس MMM ، هو حساب بسيط وجاف يعتمد على خصائص التقدم الهندسي. مثير للاهتمام؟ دعونا نفهم ذلك.

المتوالية الهندسية.

لنفترض أن لدينا تسلسلًا رقميًا:

سوف تجيب على الفور أن هذا أمر سهل وأن اسم مثل هذا التسلسل هو تقدم حسابي مع اختلاف أعضائه. وماذا عن هذا:

إذا قمت بطرح الرقم السابق من الرقم التالي ، فسترى أنه في كل مرة يتم الحصول على اختلاف جديد (وما إلى ذلك) ، ولكن التسلسل موجود بالتأكيد ومن السهل ملاحظة ذلك - كل رقم تالي أكبر من الرقم السابق. واحد!

يسمى هذا النوع من التسلسل الرقمي المتوالية الهندسية ويشار إليها بواسطة.

التقدم الهندسي () هو متتالية عددية ، الحد الأول منها غير صفري ، وكل حد ، بدءًا من الثاني ، يساوي السابق ، مضروبًا في نفس العدد. هذا الرقم يسمى مقام التقدم الهندسي.

القيود على أن المصطلح الأول () ليس مساويًا وليس عشوائيًا. لنفترض أنهم غائبون ، وأن المصطلح الأول لا يزال متساويًا ، و q تساوي ، hmm .. دعونا ، ثم اتضح:

توافق على أن هذا لم يعد تقدمًا.

كما تفهم ، سنحصل على نفس النتائج إذا كان أي رقم بخلاف الصفر ، و. في هذه الحالات ، لن يكون هناك ببساطة تقدم ، لأن سلسلة الأرقام بأكملها ستكون إما جميع الأصفار ، أو رقم واحد ، وجميع الأصفار الأخرى.

الآن دعنا نتحدث بمزيد من التفصيل عن مقام التقدم الهندسي ، أي الأب.

دعنا نكرر: هو رقم ، كم مرة يتغير كل مصطلح لاحق المتوالية الهندسية.

ما رأيك يمكن أن يكون؟ بشكل صحيح ، إيجابي وسالب ، لكن ليس صفرًا (تحدثنا عن هذا أعلاه فقط).

لنفترض أن لدينا واحدة موجبة. دعونا في حالتنا كذلك. ما هو المصطلح الثاني و؟ يمكنك بسهولة الإجابة على ما يلي:

كل شيء صحيح. وفقًا لذلك ، إذا كان لدى جميع الأعضاء اللاحقين في التقدم نفس العلامة - هم إيجابي.

ماذا لو سلبية؟ على سبيل المثال ، أ. ما هو المصطلح الثاني و؟

هذه قصة مختلفة تماما

حاول أن تحسب مصطلح هذا التقدم. كم لم تحصل عليه؟ أملك. وبالتالي ، إذا ، فإن علامات أعضاء التقدم الهندسي تتناوب. أي ، إذا رأيت تقدمًا بعلامات بديلة على أعضائها ، فإن قاسمها يكون سالبًا. يمكن أن تساعدك هذه المعرفة في اختبار نفسك عند حل المشكلات المتعلقة بهذا الموضوع.

لنتدرب الآن قليلاً: حاول تحديد أي تسلسل رقمي يمثل تقدمًا هندسيًا وأيها حسابي:

فهمت؟ دعنا نقارن إجاباتنا:

• التقدم الهندسي - 3 ، 6.
• التقدم الحسابي - 2 ، 4.
• إنها ليست حسابية ولا هندسية - 1 ، 5 ، 7.

دعنا نعود إلى تقدمنا \u200b\u200bالأخير ، ونحاول إيجاد المصطلح بنفس الطريقة كما في الحساب. كما قد تتخيل ، هناك طريقتان للعثور عليه.

نضرب كل حد على التوالي في.

لذا ، فإن العضو العاشر في التقدم الهندسي الموصوف متساوٍ.

كما قد تتخيل ، ستشتق الآن معادلة تساعدك في العثور على أي عضو في التقدم الهندسي. أو هل سبق لك أن أخرجته بنفسك ، واصفة كيفية العثور على العضو خطوة بخطوة؟ إذا كان الأمر كذلك ، فتحقق من صحة منطقك.

دعونا نوضح ذلك بمثال العثور على العضو العاشر في تقدم معين:

بعبارة أخرى:

اكتشف لنفسك قيمة عضو في تقدم هندسي معين.

حدث؟ دعنا نقارن إجاباتنا:

يرجى ملاحظة أنك تحصل على نفس الرقم تمامًا كما في الطريقة السابقة ، عندما نضرب على التوالي في كل مصطلح سابق من التقدم الهندسي.
دعنا نحاول "نزع الطابع الشخصي" عن هذه الصيغة - سنضعها في شكل عام ونحصل على:

الصيغة المشتقة صحيحة لجميع القيم ، الموجبة والسالبة. تحقق من ذلك بنفسك عن طريق حساب أعضاء التقدم الهندسي بالشروط التالية: ، أ.

هل تحسبها؟ دعونا نقارن النتائج التي تم الحصول عليها:

توافق على أنه سيكون من الممكن العثور على عضو في التقدم بنفس طريقة العضو ، ومع ذلك ، هناك احتمال لسوء التقدير. وإذا وجدنا بالفعل الحد الخامس للتقدم الهندسي ، فما الذي يمكن أن يكون أسهل من استخدام الجزء "المقطوع" من الصيغة.

تقدم هندسي متناقص بشكل لا نهائي.

في الآونة الأخيرة ، تحدثنا عن حقيقة أنه يمكن أن يكون إما أكبر أو أقل من الصفر ، ومع ذلك ، هناك قيم خاصة يسمى التقدم الهندسي عندها تناقص لا نهائي.

لماذا تعتقد أن هذا الاسم؟
أولاً ، دعنا نكتب بعض التقدم الهندسي المكون من الأعضاء.
افترض ، إذن:

نرى أن كل مصطلح لاحق أقل من السابق بعامل واحد ، ولكن هل سيكون هناك أي رقم؟ سوف تجيب على الفور - لا. وهذا هو سبب تناقصه بلا حدود - فهو يتناقص وينقص ولا يصبح صفراً.

لفهم كيف تبدو بصريًا بوضوح ، دعنا نحاول رسم رسم بياني لتقدمنا. لذلك ، في حالتنا ، تأخذ الصيغة الشكل التالي:

من المعتاد بالنسبة لنا بناء الاعتماد على الرسوم البيانية ، لذلك:

لم يتغير جوهر التعبير: في الإدخال الأول ، أظهرنا اعتماد قيمة عضو التقدم الهندسي على الرقم الترتيبي ، وفي الإدخال الثاني ، أخذنا ببساطة قيمة مصطلح التقدم الهندسي كـ ، و تم تعيين الرقم الترتيبي ليس كيف ، ولكن كيف. كل ما يتبقى هو بناء رسم بياني.
دعونا نرى ما تحصل عليه. هذا هو الرسم البياني الذي حصلت عليه:

نرى؟ تتناقص الدالة ، وتميل إلى الصفر ، ولكنها لا تتجاوزها أبدًا ، لذا فهي تتناقص بلا حدود. دعونا نحدد نقاطنا على الرسم البياني ، وفي نفس الوقت ما هو الإحداثي والمعنى:

حاول رسم تخطيطي لرسم بياني للتقدم الهندسي عند ، إذا كان المصطلح الأول متساويًا أيضًا. حلل ، ما هو الفرق مع الرسم البياني السابق؟

هل تستطيع فعلها؟ هذا هو الرسم البياني الذي حصلت عليه:

الآن بعد أن فهمت تمامًا أساسيات موضوع التقدم الهندسي: أنت تعرف ما هو ، تعرف كيفية العثور على المصطلح ، وتعرف أيضًا ما هو التقدم الهندسي المتناقص بشكل لا نهائي ، دعنا ننتقل إلى خاصيته الرئيسية.

خاصية التقدم الهندسي.

هل تتذكر خاصية أعضاء التقدم الحسابي؟ نعم ، نعم ، كيف تجد قيمة عدد معين من التقدم ، عندما تكون هناك قيم سابقة ولاحقة لأعضاء تقدم معين. يتذكر؟ هذه:

الآن نحن نواجه نفس السؤال بالضبط لأعضاء التقدم الهندسي. لاشتقاق صيغة مماثلة ، فلنبدأ في الرسم والاستدلال. سترى ، الأمر سهل للغاية ، وإذا نسيت ، يمكنك إخراجه بنفسك.

لنأخذ تقدمًا هندسيًا بسيطًا آخر نعرفه و. كيف تجد؟ مع التقدم الحسابي ، يكون الأمر سهلًا وبسيطًا ، ولكن ماذا عن هنا؟ في الواقع ، في الهندسة أيضًا ، لا يوجد شيء معقد - تحتاج فقط إلى كتابة كل قيمة معطاة لنا باستخدام صيغة.

أنت تسأل ، ماذا سنفعل بهذا الآن؟ انها بسيطة جدا. بادئ ذي بدء ، سوف نصور هذه الصيغ في الشكل ، ونحاول القيام بمعالجات مختلفة معهم للوصول إلى قيمة.

نحن نستخلص من الأرقام التي قدمناها ، سنركز فقط على التعبير عنها من خلال صيغة. علينا إيجاد القيمة المميزة باللون البرتقالي ، مع معرفة الأعضاء المجاورة لها. دعنا نحاول القيام بأعمال مختلفة معهم ، ونتيجة لذلك يمكننا أن نتلقى.

إضافة.
دعنا نحاول إضافة تعبيرين ونحصل على:

من هذا التعبير ، كما ترى ، لا يمكننا التعبير بأي شكل من الأشكال ، لذلك سنحاول خيارًا آخر - الطرح.

الطرح.

كما ترى ، لا يمكننا التعبير عن ذلك أيضًا ، لذلك سنحاول ضرب هذه التعبيرات ببعضها البعض.

عمليه الضرب.

انظر الآن بعناية إلى ما لدينا ، وضرب أعضاء التقدم الهندسي المعطى لنا مقارنة بما يجب إيجاده:

خمن ما أتحدث عنه؟ بشكل صحيح ، للعثور على ذلك ، نحتاج إلى أخذ الجذر التربيعي لأرقام التقدم الهندسي المجاورة للعدد المطلوب مضروبًا في بعضها البعض:

ها أنت ذا. أنت نفسك استنتجت خاصية التقدم الهندسي. حاول كتابة هذه الصيغة بشكل عام. حدث؟

هل نسيت شرط؟ فكر في سبب أهميتها ، على سبيل المثال ، حاول حسابها بنفسك ، إذا. ما يحدث في هذه الحالة؟ هذا صحيح ، هراء كامل لأن الصيغة تبدو كما يلي:

وعليه لا تنسى هذا القيد.

لنحسب الآن ما يساوي

اجابة صحيحة - ! إذا لم تنسَ القيمة الثانية المحتملة ، عند الحساب ، فأنت زميل رائع ويمكنك المتابعة فورًا إلى التدريب ، وإذا نسيت ، اقرأ ما تم تفكيكه أكثر وانتبه إلى سبب ضرورة تدوين كليهما الجذور في الجواب.

دعنا نرسم كلاً من التسلسل الهندسي - أحدهما له معنى والآخر ذو معنى ونتحقق مما إذا كان كلاهما له الحق في الوجود:

من أجل التحقق مما إذا كان مثل هذا التقدم الهندسي موجودًا أم لا ، من الضروري معرفة ما إذا كان هو نفسه بين جميع أعضائه المعينين؟ احسب q للحالتين الأولى والثانية.

ترى لماذا علينا أن نكتب إجابتين؟ لأن علامة المصطلح المطلوب تعتمد على ما إذا كانت موجبة أم سلبية! وبما أننا لا نعرف ما هو عليه ، فعلينا كتابة كلتا الإجابتين بعلامة زائد وناقص.

الآن بعد أن أتقنت النقاط الرئيسية واستنتجت صيغة لخاصية التقدم الهندسي ، ابحث عن ، وعلم و

قارن الإجابات المستلمة بالإجابات الصحيحة:

ما رأيك ، ماذا لو لم يتم إعطاؤنا قيم أعضاء التقدم الهندسي المجاور للعدد المطلوب ، ولكن على مسافة متساوية منه. على سبيل المثال ، نحن بحاجة إلى إيجاد وإعطاء و. هل يمكننا في هذه الحالة استخدام الصيغة التي اشتقناها؟ حاول تأكيد أو رفض هذا الاحتمال بنفس الطريقة ، اكتب ما تتكون منه كل قيمة ، كما فعلت عند اشتقاق الصيغة في البداية.
ماذا فعلت؟

الآن ننظر عن كثب مرة أخرى.
وفي المقابل:

من هذا يمكننا أن نستنتج أن الصيغة تعمل ليس فقط مع الجوار بالشروط المطلوبة للتقدم الهندسي ، ولكن أيضًا مع متساوي البعد من الأعضاء المطلوبين.

وهكذا ، تأخذ صيغتنا الأولية الشكل:

أي ، إذا قلنا ذلك في الحالة الأولى ، فإننا نقول الآن أنه يمكن أن يكون مساويًا لأي عدد طبيعي أقل. الشيء الرئيسي هو أنه هو نفسه لكل من الأرقام المعطاة.

تدرب مع أمثلة محددة ، فقط كن حذرا للغاية!

1. و. لايجاد.
2. و. لايجاد.
3. و. لايجاد.

لقد اتخذت القرار؟ أتمنى أن تكون حذرًا للغاية ولاحظت مشكلة صغيرة.

دعونا نقارن النتائج.

في الحالتين الأوليين ، نطبق الصيغة أعلاه بهدوء ونحصل على القيم التالية:

في الحالة الثالثة ، بعد دراسة دقيقة للأرقام الترتيبية المعطاة لنا ، نفهم أنها ليست متساوية البعد عن الرقم الذي نبحث عنه: إنه الرقم السابق ، ولكن تم إزالته في الموضع ، لذلك لا يمكن لتطبيق الصيغة.

كيف حلها؟ إنه في الواقع ليس صعبًا كما يبدو! دعنا نكتب معك ما يتكون منه كل رقم معطى لنا والعدد المطلوب.

لذلك ، لدينا و. دعونا نرى ما يمكنك فعله معهم؟ أقترح القسمة على. نحن نحصل:

نستبدل بياناتنا في الصيغة:

الخطوة التالية التي يمكننا إيجادها - لهذا علينا أخذ الجذر التكعيبي للعدد الناتج.

والآن ننظر مرة أخرى إلى ما لدينا. لدينا ، لكننا بحاجة إلى العثور عليه ، وهو بدوره يساوي:

وجدنا جميع البيانات اللازمة للحساب. نستبدل بالصيغة:

جوابنا: .

حاول حل مشكلة أخرى مماثلة بنفسك:
معطى:،
لايجاد:

كم لم تحصل عليه؟ أملك - .

كما ترون ، في الواقع ، أنت بحاجة تذكر صيغة واحدة فقط -. كل ما تبقى يمكنك سحب نفسك دون أي صعوبة في أي وقت. للقيام بذلك ، اكتب فقط على قطعة من الورق أبسط تقدم هندسي واكتب ما ، وفقًا للصيغة أعلاه ، كل رقم من أرقامه متساوي.

مجموع أعضاء التقدم الهندسي.

الآن فكر في الصيغ التي تسمح لنا بحساب مجموع أعضاء التقدم الهندسي بسرعة في فترة زمنية معينة:

لاشتقاق صيغة مجموع أعضاء التقدم الهندسي المحدود ، نقوم بضرب جميع أجزاء المعادلة الأعلى في. نحن نحصل:

انظر بعناية: ما هو القاسم المشترك بين الصيغتين الأخيرتين؟ هذا صحيح ، الأعضاء العاديون ، على سبيل المثال ، وما إلى ذلك ، باستثناء العضو الأول والأخير. دعنا نحاول طرح الأول من المعادلة الثانية. ماذا فعلت؟

عبر الآن عن مصطلح التقدم الهندسي من خلال الصيغة واستبدل التعبير الناتج في صيغتنا الأخيرة:

جمّع التعبير. يجب ان تحصل على:

كل ما تبقى هو التعبير عن:

تبعا لذلك ، في هذه الحالة.

ماذا إذا؟ ما الصيغة التي تعمل إذن؟ تخيل تقدمًا هندسيًا عند. كيف تبدو؟ سلسلة من الأرقام المتطابقة بشكل صحيح ، على التوالي ، ستبدو الصيغة كما يلي:

هناك العديد من الأساطير في كل من التقدم الحسابي والهندسي. أحدهم هو أسطورة سيث ، صانع الشطرنج.

يعرف الكثير من الناس أن لعبة الشطرنج اخترعت في الهند. عندما التقى بها الملك الهندوسي ، كان مسرورًا بذكائها وتنوع المواقف الممكنة فيها. عندما علم أنه اخترعها أحد رعاياه ، قرر الملك أن يكافئه شخصيًا. استدعاه المخترع وأمره أن يسأله عما يريده ، واعدًا بتحقيق حتى أمهر الرغبة.

طلب سيتا وقتًا للتفكير ، وعندما ظهر سيتا في اليوم التالي للملك ، فاجأ الملك بتواضع لا مثيل له في طلبه. طلب إعطاء حبة قمح للمربع الأول من رقعة الشطرنج ، وحبة القمح الثانية ، والمربع الثالث ، والرابع ، إلخ.

غضب الملك ودفع سيث بعيدًا ، قائلاً إن طلب الخادم لا يستحق كرم الملك ، لكنه وعد بأن الخادم سيحصل على حبوبه مقابل جميع خلايا اللوحة.

والآن السؤال: باستخدام صيغة مجموع أعضاء التقدم الهندسي ، احسب عدد الحبوب التي يجب أن تتلقاها سيتا؟

لنبدأ في التفكير. نظرًا لأن Seta ، وفقًا للشرط ، طلبت حبة قمح للمربع الأول من رقعة الشطرنج ، للثاني ، للثالث ، للرابع ، إلخ ، نرى أن المشكلة تتعلق بالتقدم الهندسي. ما هو المتساوي في هذه الحالة؟
بشكل صحيح.

مجموع خلايا رقعة الشطرنج. وفقا لذلك،. لدينا جميع البيانات ، ويبقى فقط استبدالها في الصيغة والحساب.

لتمثيل "مقاييس" رقم معين على الأقل تقريبًا ، نقوم بالتحويل باستخدام خصائص الدرجة:

بالطبع ، إذا أردت ، يمكنك أن تأخذ آلة حاسبة وتحسب الرقم الذي ستحصل عليه في النهاية ، وإذا لم يكن كذلك ، فسيتعين عليك أن تأخذ كلامي: القيمة النهائية للتعبير ستكون.
بمعنى آخر:

كوينتيليون كوادريليون تريليون مليار مليون ألف.

فوه) إذا كنت تريد تخيل ضخامة هذا الرقم ، فعليك تقدير الحجم المطلوب للحظيرة لاحتواء كمية الحبوب الكاملة.
مع ارتفاع الحظيرة م وعرضها م ، يجب أن يمتد طولها إلى كيلومتر ، أي ضعف المسافة من الأرض إلى الشمس.

إذا كان القيصر قوياً في الرياضيات ، فيمكنه أن يقترح أن يقوم العالم بحساب عدد الحبوب ، لأنه إذا احتسب مليون حبة ، فسيحتاج على الأقل ليوم واحد من العد الدؤوب ، وبالنظر إلى أنه من الضروري عد الكوينتيليونات ، فإن الحبوب سوف يجب أن تحسب طوال حياته.

لنحل الآن مسألة بسيطة تتعلق بمجموع أعضاء التقدم الهندسي.
فاسيا ، تلميذ في الصف الخامس أ ، مصاب بالأنفلونزا ، لكنه يواصل الذهاب إلى المدرسة. كل يوم يصيب فاسيا شخصين ، يصيبان بدوره شخصين آخرين ، وهكذا دواليك. هناك أناس في الفصل. كم عدد الأيام التي يمرض فيها الفصل بأكمله بالأنفلونزا؟

إذن ، أول عضو في التقدم الهندسي هو فاسيا ، أي شخص. العضو العاشر في التقدم الهندسي ، هذان الشخصان اللذان أصابهما في اليوم الأول من وصوله. إجمالي عدد الأعضاء في التقدم يساوي عدد الطلاب 5A. وفقًا لذلك ، نحن نتحدث عن تقدم يتم فيه:

دعنا نستبدل بياناتنا في صيغة مجموع أعضاء التقدم الهندسي:

سوف يمرض الفصل بأكمله في أيام. ألا تؤمن بالصيغ والأرقام؟ حاول تصوير "إصابة" الطلاب بنفسك. حدث؟ انظر كيف تبدو لي:

احسب لنفسك عدد الأيام التي سيستغرقها التلاميذ للإصابة بالأنفلونزا إذا أصاب كل شخص شخصًا وكان هناك شخص في الفصل.

ما هي القيمة التي حصلت عليها؟ اتضح أن الجميع بدأوا يمرضون بعد يوم.

كما ترون ، مثل هذه المهمة والرسم عليها يشبه الهرم ، حيث "يجلب" كل واحد لاحق أشخاصًا جددًا. ومع ذلك ، عاجلاً أم آجلاً ، تأتي لحظة لا يستطيع فيها الأخير جذب أي شخص. في حالتنا ، إذا تخيلنا أن الفصل معزول ، فإن الشخص من سيغلق السلسلة (). وبالتالي ، إذا كان شخص ما متورطًا في هرم مالي ، حيث تم تقديم المال في حالة إحضار مشاركين آخرين ، فلن يقوم الشخص (أو في الحالة العامة) بإحضار أي شخص ، على التوالي ، فسيخسرون كل شيء استثمرت في هذا الاحتيال المالي.

كل ما قيل أعلاه يشير إلى تقدم هندسي متناقص أو متزايد ، لكن كما تتذكر ، لدينا نوع خاص - تقدم هندسي متناقص بشكل لا نهائي. كيف تحسب مجموع أعضائها؟ ولماذا هذا النوع من التقدم له ميزات معينة؟ دعونا نفرزها معًا.

لذا ، أولاً ، دعنا ننظر مرة أخرى إلى هذا الشكل للتقدم الهندسي المتناقص بشكل لا نهائي من مثالنا:

الآن دعونا نلقي نظرة على صيغة مجموع التقدم الهندسي ، المشتقة قبل ذلك بقليل:
أو

ما الذي نسعى إليه؟ هذا صحيح ، يوضح الرسم البياني أنه يميل إلى الصفر. أي عندما تكون متساوية تقريبًا ، على التوالي ، عند حساب التعبير ، نحصل تقريبًا. في هذا الصدد ، نعتقد أنه عند حساب مجموع التقدم الهندسي المتناقص بشكل لا نهائي ، يمكن إهمال هذه الشريحة ، لأنها ستكون متساوية.

- الصيغة هي مجموع شروط التدرج الهندسي المتناقص بشكل لا نهائي.

الأهمية! نستخدم صيغة مجموع شروط التقدم الهندسي المتناقص بشكل لا نهائي إلا إذا كان الشرط ينص صراحةً على أننا بحاجة إلى إيجاد المجموع بلا نهاية عدد من أعضاء.

إذا تمت الإشارة إلى رقم محدد n ، فإننا نستخدم الصيغة لمجموع حد n ، حتى لو أو.

الآن دعونا نتدرب.

1. أوجد مجموع الحدود الأولى للتقدم الهندسي باستخدام و.
2. أوجد مجموع شروط التدرج الهندسي المتناقص بلا حدود باستخدام و.

أتمنى أن تكون منتبها للغاية. دعنا نقارن إجاباتنا:

الآن أنت تعرف كل شيء عن التقدم الهندسي ، وقد حان الوقت للانتقال من النظرية إلى الممارسة. أكثر مشكلات التقدم الهندسي شيوعًا في الامتحان هي مشكلات الفائدة المركبة. سنتحدث عنهم.

مهام لحساب الفائدة المركبة.

ربما سمعت عن ما يسمى بصيغة الفائدة المركبة. هل تفهم ما تعنيه؟ إذا لم يكن الأمر كذلك ، فلنكتشف ذلك ، لأنك بعد أن أدركت العملية نفسها ، ستفهم على الفور ، وهنا تقدم هندسي.

نذهب جميعًا إلى البنك ونعلم أن هناك شروطًا مختلفة للإيداع: هذا هو المصطلح ، والخدمة الإضافية ، والفائدة بطريقتين مختلفتين لحسابها - بسيطة ومعقدة.

من مصلحة بسيطة كل شيء واضح إلى حد ما: يتم تحصيل الفائدة مرة واحدة في نهاية مدة الإيداع. أي ، إذا قلنا أننا وضعنا 100 روبل لمدة عام أقل ، فسيتم تقييدها فقط في نهاية العام. وفقًا لذلك ، بحلول نهاية الإيداع ، سوف نتلقى روبل.

الفائدة المركبة - هذا هو الخيار الذي رسملة الفائدة، بمعنى آخر. إضافتهم إلى مبلغ الإيداع والحساب اللاحق للدخل ليس من المبلغ الأولي ، ولكن من المبلغ المتراكم للإيداع. لا يحدث الرسملة باستمرار ، ولكن مع بعض التردد. كقاعدة عامة ، تكون هذه الفترات متساوية ، وغالبًا ما تستخدم البنوك شهرًا أو ربعًا أو سنة.

لنفترض أننا وضعنا كل الروبل نفسه بمعدل سنوي ، ولكن مع رسملة شهرية للإيداع. ماذا نحصل؟

هل تفهم كل شيء هنا؟ إذا لم يكن كذلك ، فلنكتشف ذلك على مراحل.

أحضرنا الروبل إلى البنك. بحلول نهاية الشهر ، يجب أن يظهر في حسابنا مبلغ يتكون من روبلنا بالإضافة إلى الفائدة عليه ، أي:

أنا موافق؟

يمكننا وضعه خارج القوس ثم نحصل على:

موافق ، هذه الصيغة تشبه بالفعل الصيغة التي كتبناها في البداية. يبقى التعامل مع الفائدة

في بيان المشكلة ، يتم إخبارنا عن السنوي. كما تعلم ، نحن لا نضرب في - نقوم بتحويل النسب المئوية إلى كسور عشرية ، أي:

يمين؟ الآن تسأل ، من أين أتى الرقم؟ بسيط جدا!
أكرر: بيان المشكلة يقول عنه سنوي الفوائد المستحقة شهريا... كما تعلم ، في غضون عام من الأشهر ، على التوالي ، سيخصم البنك منا جزءًا من الفائدة السنوية شهريًا:

أدرك؟ حاول الآن كتابة الشكل الذي سيبدو عليه هذا الجزء من الصيغة إذا قلت أن الفائدة تحسب يوميًا.
هل تستطيع فعلها؟ لنقارن النتائج:

أتقنه! دعنا نعود إلى مهمتنا: اكتب المبلغ الذي سيتم إيداعه في حسابنا للشهر الثاني ، مع الأخذ في الاعتبار أن الفائدة يتم خصمها على المبلغ المتراكم للإيداع.
هذا ما حصلت عليه:

أو بعبارة أخرى:

أعتقد أنك لاحظت بالفعل نمطًا ورأيت تقدمًا هندسيًا في كل هذا. اكتب ما سيساوي أعضائه ، أو بعبارة أخرى ، مقدار الأموال التي سنحصل عليها في نهاية الشهر.
صنع؟ تدقيق!

كما ترون ، إذا وضعت أموالًا في البنك لمدة عام بفائدة بسيطة ، فستتلقى روبل ، وإذا كانت بفائدة معقدة - روبل. الفائدة صغيرة ، لكن هذا يحدث فقط خلال العام الثالث ، ولكن لفترة أطول ، تكون الرسملة أكثر ربحية:

لنفكر في نوع آخر من المشاكل ذات الفائدة المركبة. بعد ما اكتشفته ، سيكون الأمر أساسيًا بالنسبة لك. إذن المهمة:

بدأت شركة Zvezda الاستثمار في الصناعة في عام 2000 برأس مال بالدولار. في كل عام منذ عام 2001 ، تحقق ربحًا من رأس مال العام السابق. ما مقدار الربح الذي ستحصل عليه شركة Zvezda في نهاية عام 2003 إذا لم يتم سحب الربح من التداول؟

رأس مال شركة "زفيزدا" عام 2000.
- رأس مال شركة "زفيزدا" عام 2001.
- عاصمة شركة "زفيزدا" عام 2002.
- عاصمة شركة "زفيزدا" عام 2003.

أو يمكننا أن نكتب باختصار:

لحالتنا:

2000 و 2001 و 2002 و 2003.

على التوالى:
روبل
لاحظ أنه في هذه المسألة ليس لدينا قسمة إما بواسطة أو بواسطة ، حيث يتم إعطاء النسبة المئوية سنويًا ويتم احتسابها سنويًا. أي عند قراءة مشكلة الفائدة المركبة ، انتبه إلى النسبة المئوية المعطاة ، وفي أي فترة يتم تحصيلها ، وبعد ذلك فقط انتقل إلى الحسابات.
الآن أنت تعرف كل شيء عن التقدم الهندسي.

اكتشف - حل.

1. ابحث عن المصطلح الأسي إذا كان معروفًا ذلك ، و
2. أوجد مجموع المصطلحات الأولى للتقدم الهندسي ، إذا كان معروفًا ذلك ، و
3. بدأت MDM Capital الاستثمار في الصناعة في عام 2003 برأس مال بالدولار. كل عام ، بدءًا من عام 2004 ، تحقق ربحًا من رأس مال العام السابق. بدأت شركة "MSK Cash Flows" الاستثمار في الصناعة في عام 2005 بمبلغ 10000 دولار ، وبدأت في تحقيق ربح في عام 2006 بمبلغ. ما هو عدد الدولارات التي يزيد رأسمال شركة عن الأخرى عليها في نهاية عام 2007 إذا لم يتم سحب الربح من التداول؟

الإجابات:

1. نظرًا لأن بيان المشكلة لا يشير إلى أن التقدم لا نهائي وأنه مطلوب للعثور على مجموع عدد محدد من أعضائه ، يتم إجراء الحساب وفقًا للصيغة:
2. 
   MDM Capital:

   2003 ، 2004 ، 2005 ، 2006 ، 2007.
   - يزيد بنسبة 100٪ ، أي مرتين.
   على التوالى:
   روبل
   التدفقات النقدية ل MSK:

   2005 ، 2006 ، 2007.
   - يزيد بمقدار مرات.
   على التوالى:
   روبل
   روبل

دعونا نلخص.

1) التدرج الهندسي () هو متتالية عددية ، الحد الأول منها غير صفري ، وكل حد ، بدءًا من الثاني ، يساوي السابق ، مضروبًا في نفس العدد. هذا الرقم يسمى مقام التقدم الهندسي.

2) معادلة أعضاء التقدم الهندسي -.

3) يمكن أن تأخذ أي قيم ، باستثناء و.

• إذا ، فإن جميع الأعضاء اللاحقين في التقدم لديهم نفس العلامة - هم إيجابي;
• إذا ، ثم جميع الأعضاء اللاحقين للتقدم علامات بديلة
• في - يسمى التقدم بالتناقص اللانهائي.

4) ، لأنها خاصية للتقدم الهندسي (المصطلحات المجاورة)

أو
، في (شروط متساوية البعد)

عندما تجد ، لا تنسى ذلك يجب أن يكون هناك إجابتان.

على سبيل المثال،

5) يتم حساب مجموع أعضاء التقدم الهندسي بالصيغة:
أو

إذا كان التقدم يتناقص بلا حدود ، إذن:
أو

الأهمية! لا نستخدم صيغة مجموع شروط التقدم الهندسي المتناقص بشكل لا نهائي إلا إذا كان الشرط ينص صراحةً على أنه من الضروري إيجاد مجموع عدد لا نهائي من المصطلحات.

6) يتم أيضًا حساب مشاكل الفائدة المركبة وفقًا لصيغة الفصل -th للتقدم الهندسي ، بشرط ألا يتم سحب الأموال من التداول:

المتوالية الهندسية. باختصار حول الرئيسي

المتوالية الهندسية () عبارة عن متتالية رقمية ، الحد الأول منها غير صفري ، وكل حد ، بدءًا من الثاني ، يساوي السابق ، مضروبًا في نفس الرقم. هذا الرقم يسمى مقام التقدم الهندسي.

المقام الهندسي يمكن أن تأخذ أي قيمة باستثناء و.

• إذا كان لدى جميع الأعضاء اللاحقين في التقدم نفس العلامة - فهي إيجابية ؛
• إذا ، ثم جميع الأعضاء اللاحقين للتقدم علامات بديلة ؛
• في - يسمى التقدم بالتناقص اللانهائي.

معادلة أعضاء التقدم الهندسي - .

مجموع أعضاء التقدم الهندسي محسوبة بالصيغة:
أو

\u003e\u003e الرياضيات: التقدم الهندسي

من أجل راحة القارئ ، يتبع هذا القسم نفس المخطط تمامًا كما اتبعناه في القسم السابق.

1. مفاهيم أساسية.

تعريف. المتتالية العددية ، التي تختلف جميع أعضائها عن 0 وكل عضو ، بدءًا من الثاني ، يتم الحصول عليه من الحد السابق بضربه في نفس الرقم يسمى التقدم الهندسي. في هذه الحالة ، يسمى الرقم 5 مقام التقدم الهندسي.

وبالتالي ، فإن التقدم الهندسي هو تسلسل رقمي (ب ن) يتم تعريفه بشكل متكرر بواسطة العلاقات

هل من الممكن بالنظر إلى التسلسل الرقمي تحديد ما إذا كان تسلسلًا هندسيًا؟ علبة. إذا كنت مقتنعًا بأن نسبة أي عضو في التسلسل إلى العضو السابق ثابتة ، فسيكون لديك تقدم هندسي.
مثال 1.

1, 3, 9, 27, 81,... .
ب 1 \u003d 1 ، ف \u003d 3.

مثال 2.

هذا هو التقدم الهندسي الذي
مثال 3.

هذا هو التقدم الهندسي الذي
مثال 4.

8, 8, 8, 8, 8, 8,....

هذا تسلسل هندسي مع ب 1 - 8 ، ف \u003d 1.

لاحظ أن هذا التسلسل هو أيضًا تقدم حسابي (انظر المثال 3 في الفقرة 15).

مثال 5.

2,-2,2,-2,2,-2.....

هذا تسلسل هندسي يكون فيه b 1 \u003d 2 ، q \u003d -1.

من الواضح أن التقدم الهندسي هو تسلسل متزايد إذا كانت b 1\u003e 0 ، q\u003e 1 (انظر المثال 1) ، ويتناقص إذا كانت b 1\u003e 0 ، 0< q < 1 (см. пример 2).

للإشارة إلى أن التسلسل (ب ن) هو تقدم هندسي ، يكون الترميز التالي مناسبًا في بعض الأحيان:

يحل الرمز محل عبارة "التقدم الهندسي".
دعونا نلاحظ خاصية واحدة غريبة وفي نفس الوقت واضحة تمامًا للتقدم الهندسي:
إذا كان التسلسل هو تسلسل هندسي ، ثم تسلسل المربعات ، أي هو تطور هندسي.
في التدرج الهندسي الثاني ، الحد الأول يساوي a يساوي q 2.
إذا تجاهلنا جميع المصطلحات التالية لـ b n بشكل أسي ، فسنحصل على تقدم هندسي محدود
في الفقرات اللاحقة من هذا القسم ، سننظر في أهم خصائص التقدم الهندسي.

2. صيغة الحد n من التقدم الهندسي.

ضع في اعتبارك التقدم الهندسي المقام ف. نملك:

ليس من الصعب تخمين ذلك لأي رقم ن المساواة

هذه هي صيغة الحد النوني للتقدم الهندسي.

تعليق.

إذا كنت قد قرأت ملاحظة مهمة من الفقرة السابقة وفهمتها ، فحاول إثبات الصيغة (1) بطريقة الاستقراء الرياضي ، تمامًا كما حدث مع صيغة الفصل التاسع للتقدم الحسابي.

دعونا نعيد كتابة صيغة الحد النوني للتقدم الهندسي

ونقدم الترميز: نحصل على y \u003d mq 2 ، أو ، بمزيد من التفصيل ،
المتغير x موجود في الأس ، لذلك يسمى هذا بالدالة الأسية. ومن ثم ، يمكن النظر إلى التقدم الهندسي كدالة أسية محددة في المجموعة N من الأرقام الطبيعية. في التين. يوضح 96 أ الرسم البياني للدالة التين. 966 - الرسم البياني للوظيفة في كلتا الحالتين ، لدينا نقاط معزولة (مع abscissas x \u003d 1 ، x \u003d 2 ، x \u003d 3 ، وما إلى ذلك) ملقاة على منحنى معين (كلا الشكلين يظهران نفس المنحنى ، ويقعان فقط بشكل مختلف ويتم تصويرهما بمقاييس مختلفة). هذا المنحنى يسمى الأسي. سيتم مناقشة المزيد من المعلومات حول الدالة الأسية ورسمها البياني في مقرر الجبر للصف الحادي عشر.

دعنا نعود إلى الأمثلة 1-5 من الفقرة السابقة.

1) 1 ، 3 ، 9 ، 27 ، 81 ، ... هذا تسلسل هندسي ، فيه b 1 \u003d 1 ، q \u003d 3. لنؤلف صيغة الحد النوني
2) هذا تسلسل هندسي ، لنؤلف فيه صيغة الحد التاسع

هذا هو التقدم الهندسي الذي دعنا نؤلف صيغة الحد التاسع
4) 8 ، 8 ، 8 ، ... ، 8 ، .... هذا تسلسل هندسي ، فيه b 1 \u003d 8 ، q \u003d 1. لنؤلف صيغة الحد النوني
5) 2 ، -2 ، 2 ، -2 ، 2 ، -2 ، .... هذا تقدم هندسي يكون فيه b 1 \u003d 2 ، q \u003d -1. دعنا نؤلف صيغة الحد التاسع

مثال 6.

يتم إعطاء تقدم هندسي

في جميع الحالات ، يعتمد الحل على صيغة المصطلح التاسع للتقدم الهندسي

أ) بوضع الحد n من التقدم الهندسي n \u003d 6 في الصيغة ، نحصل على

ب) لدينا

بما أن 512 \u003d 2 9 ، نحصل على n - 1 \u003d 9 ، n \u003d 10.

د) لدينا

مثال 7.

الفرق بين الحد السابع والخامس للتقدم الهندسي هو 48 ، ومجموع الحدين الخامس والسادس للتقدم هو أيضًا 48. أوجد الحد الثاني عشر من هذا التقدم.

الخطوة الأولى. رسم نموذج رياضي.

يمكن كتابة شروط المشكلة باختصار على النحو التالي:

باستخدام صيغة الحد النوني للتقدم الهندسي ، نحصل على:
ثم الشرط الثاني من المسألة (ب 7 - ب 5 \u003d 48) يمكن كتابته بالصيغة

يمكن كتابة الشرط الثالث من المسألة (ب 5 + ب 6 \u003d 48) على هيئة

نتيجة لذلك ، حصلنا على نظام من معادلتين بمتغيرين b 1 و q:

والذي ، بالإضافة إلى الشرط أعلاه 1) ، هو نموذج رياضي للمشكلة.

المرحلة الثانية.

العمل مع النموذج المترجم. معادلة الجانبين الأيسر لكلا المعادلتين في النظام ، نحصل على:

(قسمنا طرفي المعادلة إلى تعبير غير صفري ب 1 ف 4).

من المعادلة q 2 - q - 2 \u003d 0 نجد q 1 \u003d 2 ، q 2 \u003d -1. استبدال القيمة q \u003d 2 في المعادلة الثانية للنظام ، نحصل عليها
بالتعويض عن القيمة q \u003d -1 في المعادلة الثانية للنظام ، نحصل على b 1 1 0 \u003d 48 ؛ هذه المعادلة ليس لها حلول.

إذن ، b 1 \u003d 1 ، q \u003d 2 - هذا الزوج هو حل لنظام المعادلات المكون.

يمكننا الآن كتابة التقدم الهندسي المشار إليه في المشكلة: 1 ، 2 ، 4 ، 8 ، 16 ، 32 ، ...

المرحلة الثالثة.

الجواب على سؤال المشكلة. مطلوب لحساب ب 12. نملك

الجواب: ب 12 \u003d 2048.

3. صيغة مجموع أعضاء التقدم الهندسي المحدود.

دعونا نعطي تقدم هندسي محدود

دع S n تشير إلى مجموع شروطها ، أي

لنشتق صيغة لإيجاد هذا المقدار.

لنبدأ بأبسط حالة ، عندما q \u003d 1. ثم التقدم الهندسي b 1 ، b 2 ، b 3 ، ... ، bn يتكون من n أعداد تساوي b 1 ، أي ، التقدم له شكل ب 1 ، ب 2 ، ب 3 ، ... ، ب 4. مجموع هذه الأرقام هو nb 1.

الآن دع q \u003d 1 للعثور على S n ، نطبق طريقة اصطناعية: إجراء بعض تحويلات التعبير S n q. نملك:

عند إجراء التحويلات ، استخدمنا أولاً تعريف التقدم الهندسي ، وفقًا لذلك (انظر السطر الثالث من التفكير) ؛ ثانيًا ، أضافوا وطرحوا سبب عدم تغيير معنى التعبير بالطبع (انظر السطر الرابع من التفكير) ؛ ثالثًا ، استخدمنا صيغة الحد التاسع للتقدم الهندسي:

من الصيغة (1) نجد:

هذه هي الصيغة لمجموع n حدًا للتقدم الهندسي (للحالة عندما q \u003d 1).

المثال 8.

يتم إعطاء تقدم هندسي محدود

أ) مجموع أعضاء التقدم ؛ ب) مجموع مربعات أعضائها.

ب) أعلاه (انظر ص 132) لاحظنا بالفعل أنه إذا تم تربيع جميع شروط التقدم الهندسي ، فإننا نحصل على تقدم هندسي مع الحد الأول b 2 والمقام q 2. ثم سيتم حساب مجموع ستة أعضاء من التقدم الجديد

المثال 9.

أوجد الحد الثامن للتقدم الهندسي باستخدام

في الواقع ، لقد أثبتنا النظرية التالية.

التسلسل العددي هو تسلسل هندسي إذا وفقط إذا كان مربع كل من أعضائه ، باستثناء النظرية الأولى (والأخيرة ، في حالة التسلسل المحدود) ، مساوياً لمنتج المصطلحات السابقة واللاحقة ( الخاصية المميزة للتقدم الهندسي).