تعريف. حافة جانبية هو مثلث ، يقع أحد أركانه في أعلى الهرم ، ويتزامن الضلع المقابل مع ضلع القاعدة (المضلع).

تعريف. الضلوع الجانبية - هذه هي الجوانب المشتركة للوجوه الجانبية. للهرم عدد من الحواف يساوي عدد أركان المضلع.

تعريف. ارتفاع الهرم هو عمودي يسقط من أعلى الهرم إلى قاعدته.

تعريف. Apothem هو عمودي على الوجه الجانبي للهرم ، مخفض من أعلى الهرم إلى جانب القاعدة.

تعريف. قسم قطري هو جزء من الهرم بمستوى يمر عبر قمة الهرم وقطري القاعدة.

تعريف. الهرم الصحيح هو هرم تكون قاعدته مضلعًا منتظمًا ، وينخفض \u200b\u200bارتفاعه إلى مركز القاعدة.

حجم ومساحة سطح الهرم

معادلة. حجم الهرم من خلال مساحة القاعدة والارتفاع:

خصائص الهرم

إذا كانت جميع الحواف الجانبية متساوية ، فيمكن وصف دائرة حول قاعدة الهرم ، ويتزامن مركز القاعدة مع مركز الدائرة. أيضًا ، العمود العمودي الساقط من الأعلى يمر عبر مركز القاعدة (الدائرة).

إذا كانت جميع الحواف الجانبية متساوية ، فإنها تميل إلى مستوى القاعدة عند نفس الزوايا.

تكون الحواف الجانبية متساوية عندما تكون زوايا متساوية مع مستوى القاعدة أو إذا كان من الممكن وصف دائرة حول قاعدة الهرم.

إذا كانت الوجوه الجانبية تميل إلى مستوى القاعدة بزاوية واحدة ، فيمكن عندئذٍ إدراج دائرة في قاعدة الهرم ، ويتم إسقاط قمة الهرم في مركزها.

إذا كانت الوجوه الجانبية تميل إلى مستوى القاعدة بنفس الزاوية ، فإن حواف الوجوه الجانبية متساوية.

خصائص الهرم المنتظم

1. قمة الهرم متساوية البعد من جميع زوايا القاعدة.

2. جميع الأضلاع الجانبية متساوية.

3. جميع الأضلاع الجانبية مائلة بنفس زاوية القاعدة.

4. عروش جميع الوجوه الجانبية متساوية.

5. مساحات كل الوجوه الجانبية متساوية.

6. كل الوجوه لها نفس الزوايا ثنائية الأضلاع (المسطحة).

7. يمكن وصف الكرة حول الهرم. سيكون مركز الكرة الموصوفة هو نقطة تقاطع الخطوط العمودية التي تمر عبر منتصف الحواف.

8. يمكن نقش كرة في الهرم. سيكون مركز الكرة المنقوشة نقطة تقاطع المنصفات الناشئة من الزاوية بين الحافة والقاعدة.

9. إذا تزامن مركز الكرة المحيطية مع مركز الكرة المحاصرة ، فإن مجموع الزوايا المسطحة عند الرأس يساوي π أو العكس بالعكس ، فإن إحدى الزوايا تساوي π / n ، حيث n هو الرقم من الزوايا في قاعدة الهرم.

ارتباط الهرم بالكرة

يمكن وصف الكرة حول الهرم عندما يقع متعدد السطوح في قاعدة الهرم الذي يمكن وصف دائرة حوله (شرط ضروري وكاف). سيكون مركز الكرة نقطة تقاطع المستويات التي تمر بشكل عمودي عبر نقاط المنتصف للحواف الجانبية للهرم.

يمكن دائمًا وصف الكرة حول أي هرم ثلاثي أو منتظم.

يمكن نقش كرة في الهرم إذا تقاطعت مستويات المنصف للزوايا ثنائية الأضلاع الداخلية للهرم عند نقطة واحدة (شرط ضروري وكاف). ستكون هذه النقطة مركز الكرة.

اتصال هرم بمخروط

يسمى المخروط منقوشًا في هرم إذا تزامنت رؤوسه ، وقاعدة المخروط منقوشة في قاعدة الهرم.

يمكن نقش المخروط في الهرم إذا كانت أعمدة الهرم متساوية مع بعضها البعض.

يسمى المخروط محاصرًا حول الهرم إذا تزامنت قمته ، وتحيط قاعدة المخروط حول قاعدة الهرم.

يمكن وصف المخروط حول الهرم إذا كانت جميع جوانب الهرم متساوية مع بعضها البعض.

توصيل هرم بأسطوانة

يسمى الهرم منقوشًا في أسطوانة إذا كان قمة الهرم يقع على قاعدة واحدة من الأسطوانة ، وقاعدة الهرم منقوشة في قاعدة أخرى من الأسطوانة.

يمكن وصف الأسطوانة حول الهرم إذا كان بالإمكان وصف دائرة حول قاعدة الهرم.

رباعي الوجوه له أربعة وجوه وأربعة رؤوس وستة حواف ، حيث لا يوجد أي حافتين لهما رؤوس مشتركة ولكنهما لا يتلامسان.

يتكون كل رأس من ثلاثة أوجه وحواف زاوية مثلثة.

يسمى الجزء الذي يربط رأس رباعي السطوح بمركز الوجه المقابل متوسط \u200b\u200bرباعي الوجوه (GM).

بيميديان هو الجزء الذي يربط بين نقاط المنتصف للحواف المعاكسة التي ليست على اتصال (KL).

تتقاطع جميع ذوات البيميديا \u200b\u200bوالوسيط في رباعي الوجوه عند نقطة واحدة (S). في هذه الحالة ، يتم تقسيم ثنائية البيميديا \u200b\u200bإلى نصفين ، والوسيطات بنسبة 3: 1 بدءًا من الأعلى.

تعريف. الهرم ذو الزاوية الحادة هو هرم يزيد طول ضلع القاعدة فيه عن نصف طول ضلع القاعدة.

تعريف. هرم منفرد هو هرم يكون طوله أقل من نصف طول ضلع القاعدة.

تعريف. منتظم رباعي السطوح - رباعي الوجوه تكون فيه جميع الوجوه الأربعة مثلثات متساوية الأضلاع. إنه أحد المضلعات الخمسة المنتظمة. في رباعي السطوح العادي ، تكون جميع الزوايا ثنائية الأضلاع (بين الوجوه) والزوايا ثلاثية السطوح (عند الرأس) متساوية.

تعريف. مستطيل رباعي السطوح يسمى رباعي السطوح بزاوية قائمة بين ثلاثة حواف عند الرأس (الحواف متعامدة). شكل ثلاثة وجوه زاوية مستطيلة الشكل والأوجه مثلثات قائمة الزاوية ، والقاعدة عبارة عن مثلث عشوائي. طول العارضة من أي وجه يساوي نصف جانب القاعدة التي يقع عليها الهيكل.

تعريف. متساوي رباعي السطوح يسمى رباعي الوجوه حيث الوجوه الجانبية متساوية مع بعضها البعض ، والقاعدة عبارة عن مثلث منتظم. في مثل هذا رباعي الوجوه ، تكون الوجوه مثلثات متساوية الساقين.

تعريف. تقويم العظام رباعي السطوح يسمى رباعي السطوح حيث تتقاطع جميع الارتفاعات (العمودية) التي تنخفض من أعلى إلى الوجه المقابل عند نقطة واحدة.

تعريف. هرم النجمة يسمى متعدد السطوح قاعدته نجمة.

هنا يمكنك العثور على معلومات أساسية حول الأهرامات والصيغ والمفاهيم ذات الصلة. تتم دراسة كل منهم مع مدرس الرياضيات استعدادًا للامتحان.

اعتبر مستوى ، مضلع الكذب فيه ونقطة S لا تكمن فيه. قم بتوصيل S بجميع رؤوس المضلع. يسمى متعدد السطوح الناتج هرمًا. تسمى القطع الأضلاع الجانبية. يسمى المضلع بالقاعدة وتسمى النقطة S أعلى الهرم. اعتمادًا على الرقم ن ، يسمى الهرم مثلث (ن \u003d 3) ، رباعي الزوايا (ن \u003d 4) ، خماسي الأضلاع (ن \u003d 5) ، وهكذا. اسم بديل للهرم الثلاثي هو رباعي الوجوه... يُطلق على ارتفاع الهرم اسم عمودي ، وينخفض \u200b\u200bمن قمته إلى مستوى القاعدة.

الهرم يسمى الصحيح إذا مضلع منتظم ، وقاعدة ارتفاع الهرم (قاعدة العمود العمودي) هي مركزه.

تعليق مدرس:
لا تخلط بين مفهوم "الهرم العادي" و "الرباعي السطوح الصحيح". في الهرم العادي ، لا تكون الحواف الجانبية بالضرورة مساوية لحواف القاعدة ، ولكن في رباعي السطوح العادي ، جميع الحواف الستة متساوية. هذا هو تعريفه. من السهل إثبات أن المساواة تعني مصادفة المركز P للمضلع مع قاعدة الارتفاع ، لذلك فإن رباعي الوجوه المنتظم هو هرم منتظم.

ما هو Apothema؟
حجرة الهرم هي ارتفاع وجهه الجانبي. إذا كان الهرم صحيحًا ، فكل أشكاله متساوية. والعكس ليس صحيحا.

مدرس في الرياضيات حول مصطلحاته: العمل مع الأهرامات 80٪ مبني من خلال نوعين من المثلثات:
1) تحتوي على apothem SK والارتفاع SP
2) تحتوي على حافة جانبية SA وإسقاطها PA

لتسهيل الرجوع إلى هذه المثلثات ، من الملائم أكثر لمعلم الرياضيات الاتصال بالمثلثات الأولى صيدلي، والثانية ضلعي... لسوء الحظ ، لن تجد هذه المصطلحات في أي من الكتب المدرسية ، ويجب على المعلم إدخالها من جانب واحد.

معادلة حجم الهرم:
1) ، أين مساحة قاعدة الهرم ، و هي ارتفاع الهرم
2) ، حيث نصف قطر الكرة المنقوشة ، وهي المساحة الكلية للهرم.
3) ، حيث MN هي مسافة أي حافتين متقاطعتين ، وهي مساحة متوازي الأضلاع التي تكونت من نقاط المنتصف للحواف الأربعة المتبقية.

خاصية قاعدة ارتفاع الهرم:

النقطة P (انظر الشكل) تتطابق مع مركز الدائرة المنقوشة عند قاعدة الهرم إذا تم استيفاء أحد الشروط التالية:
1) جميع الصيدليات متساوية
2) تميل جميع الوجوه الجانبية بالتساوي نحو القاعدة
3) جميع الصيدليات تميل بالتساوي إلى ارتفاع الهرم
4) يميل ارتفاع الهرم بالتساوي إلى جميع الوجوه الجانبية

تعليق مدرس الرياضيات: لاحظ أن جميع النقاط لها خاصية مشتركة واحدة: بطريقة أو بأخرى ، الوجوه الجانبية متضمنة في كل مكان (الحروف الرئيسية هي عناصرها). لذلك ، قد يقدم المعلم طريقة أقل دقة ، ولكنها أكثر ملاءمة لصياغة الحفظ: تتطابق النقطة P مع مركز الدائرة المنقوشة في قاعدة الهرم ، إذا كان هناك أي معلومات متساوية حول الوجوه الجانبية. لإثبات ذلك ، يكفي إظهار أن جميع المثلثات العبرية متساوية.

تتطابق النقطة P مع مركز الدائرة الموصوفة بالقرب من قاعدة الهرم ، إذا تحقق أحد الشروط الثلاثة:
1) جميع الحواف الجانبية متساوية
2) تميل جميع الأضلاع الجانبية بالتساوي نحو القاعدة
3) جميع الأضلاع الجانبية تميل بالتساوي إلى الارتفاع

تعريف

هرم هو متعدد السطوح مكون من مضلع \\ (A_1A_2 ... A_n \\) و \\ (n \\) مثلثات برأس مشترك \\ (P \\) (لا يقع في مستوى المضلع) وجوانب متقابلة تتطابق مع جوانب المضلع.
التعيين: \\ (PA_1A_2 ... A_n \\).
مثال: هرم خماسي \\ (PA_1A_2A_3A_4A_5 \\).

مثلثات \\ (PA_1A_2، \\ PA_2A_3 \\) إلخ. وتسمى الوجوه الجانبية الأهرامات ، الأجزاء \\ (PA_1 ، PA_2 \\) ، إلخ. - الضلوع الجانبية، مضلع \\ (A_1A_2A_3A_4A_5 \\) - أساس، نقطة \\ (ف \\) - أعلى.

ارتفاع الأهرامات عمودية تسقط من أعلى الهرم إلى مستوى القاعدة.

يسمى الهرم مع مثلث في قاعدته رباعي الوجوه.

الهرم يسمى تصحيحإذا كانت قاعدته مضلعًا منتظمًا وتم استيفاء أحد الشروط التالية:

\\ ((أ) \\) الجوانب الجانبية للهرم متساوية ؛

\\ ((ب) \\) يمر ارتفاع الهرم عبر مركز الدائرة الموصوفة بالقرب من القاعدة ؛

\\ ((ج) \\) تميل الأضلاع الجانبية إلى مستوى القاعدة بنفس الزاوية.

\\ ((د) \\) تميل الوجوه الجانبية إلى مستوى القاعدة بنفس الزاوية.

منتظم رباعي السطوح هو هرم مثلثي ، وجميع وجوهه مثلثات متساوية الأضلاع.

نظرية

الشروط \\ ((أ) ، (ب) ، (ج) ، (د) \\) متكافئة.

شهادة

لنرسم ارتفاع الهرم \\ (PH \\). دع \\ (\\ alpha \\) هو مستوى قاعدة الهرم.

1) دعنا نثبت أن \\ ((أ) \\) يعني \\ ((ب) \\). دع \\ (PA_1 \u003d PA_2 \u003d PA_3 \u003d ... \u003d PA_n \\).

لان \\ (PH \\ perp \\ alpha \\) ، إذن \\ (PH \\) عمودي على أي خط مستقيم يقع في هذا المستوى ، لذا فإن المثلثات مستطيلة. ومن ثم ، فإن هذه المثلثات متساوية في الساق المشتركة \\ (PH \\) والوتر \\ (PA_1 \u003d PA_2 \u003d PA_3 \u003d ... \u003d PA_n \\). ومن ثم ، \\ (A_1H \u003d A_2H \u003d ... \u003d A_nH \\). هذا يعني أن النقاط \\ (A_1، A_2، ...، A_n \\) على نفس المسافة من النقطة \\ (H \\) ، لذلك تقع على نفس الدائرة مع نصف القطر \\ (A_1H \\). بحكم التعريف ، هذه الدائرة محددة حول المضلع \\ (A_1A_2 ... A_n \\).

2) دعنا نثبت أن \\ ((ب) \\) يعني \\ ((ج) \\).

\\ (PA_1H ، PA_2H ، PA_3H ، ... ، PA_nH \\) مستطيلة ومتساوية في قدمين. ومن ثم ، فإن زواياها متساوية أيضًا ، \\ (\\ زاوية PA_1H \u003d \\ زاوية PA_2H \u003d ... \u003d \\ زاوية PA_nH \\).

3) دعنا نثبت أن \\ ((ج) \\) يعني \\ ((أ) \\).

على غرار النقطة الأولى ، مثلثات \\ (PA_1H ، PA_2H ، PA_3H ، ... ، PA_nH \\) مستطيلة وعلى طول الساق وزاوية حادة. هذا يعني أن الوتر متساوي أيضًا ، أي \\ (PA_1 \u003d PA_2 \u003d PA_3 \u003d ... \u003d PA_n \\).

4) دعنا نثبت أن \\ ((ب) \\) يعني \\ ((د) \\).

لان في المضلع المنتظم تتطابق مراكز الختان والدائرة (بشكل عام ، تسمى هذه النقطة مركز المضلع المنتظم) ، ثم \\ (H \\) هي مركز الدائرة. لنرسم الخطوط العمودية من النقطة \\ (H \\) إلى جانبي القاعدة: \\ (HK_1 ، HK_2 \\) ، إلخ. هذه هي نصف قطر الدائرة المنقوشة (بالتعريف). إذن ، وفقًا لـ TTP (\\ (PH \\) هو عمودي على المستوى ، \\ (HK_1 ، HK_2 \\) ، وما إلى ذلك ، تكون الإسقاطات متعامدة على الجانبين) مائلة \\ (PK_1 ، PK_2 \\) ، إلخ. عمودي على الجانبين \\ (A_1A_2 ، A_2A_3 \\) ، إلخ. على التوالى. ومن ثم ، بحكم التعريف \\ (\\ زاوية PK_1H ، \\ زاوية PK_2H \\) يساوي الزوايا بين الوجوه الجانبية والقاعدة. لان المثلثات \\ (PK_1H، PK_2H، ... \\) متساوية (مثل المستطيل في قدمين) ، ثم الزوايا \\ (\\ زاوية PK_1H ، \\ زاوية PK_2H ، ... \\) متساوية.

5) دعنا نثبت أن \\ ((د) \\) يعني \\ ((ب) \\).

على غرار النقطة الرابعة ، المثلثات \\ (PK_1H ، PK_2H ، ... \\) متساوية (مثل المستطيل على طول الساق والزاوية الحادة) ، مما يعني أن المقاطع \\ (HK_1 \u003d HK_2 \u003d ... \u003d HK_n \\) متساوية. ومن ثم ، بحكم التعريف ، \\ (H \\) هو مركز دائرة منقوشة في القاعدة. لكن منذ بالنسبة للمضلعات المنتظمة ، تتطابق مراكز الدوائر المنقوشة والمحددة ، ثم \\ (H \\) هو مركز الدائرة المحددة. ما.

عاقبة

الوجوه الجانبية للهرم المنتظم هي مثلثات متساوية الساقين.

تعريف

يسمى ارتفاع الوجه الجانبي لهرم عادي مرسوم من قمته صيدلة.
تتساوى حليات كل الوجوه الجانبية للهرم المنتظم مع بعضها البعض وهي أيضًا متوسطات ومنصفات.

ملاحظات هامة

1. يقع ارتفاع الهرم المثلثي المنتظم عند نقطة تقاطع ارتفاعات (أو منصفات ، أو متوسطات) القاعدة (القاعدة عبارة عن مثلث منتظم).

2. ارتفاع هرم منتظم رباعي الزوايا يقع عند نقطة تقاطع أقطار القاعدة (القاعدة مربعة).

3. يقع ارتفاع الهرم السداسي المنتظم عند نقطة تقاطع أقطار القاعدة (القاعدة سداسية منتظمة).

4. يكون ارتفاع الهرم عموديًا على أي خط مستقيم يقع عند القاعدة.

تعريف

الهرم يسمى مستطيليإذا كان أحد حوافه الجانبية متعامدًا مع مستوى القاعدة.

ملاحظات هامة

1. في الهرم المستطيل ، تكون الحافة العمودية على القاعدة هي ارتفاع الهرم. أي ، \\ (SR \\) هو الارتفاع.

2. لأن \\ (SR \\) عمودي على أي خط مستقيم من القاعدة ، إذن \\ (\\ مثلث SRM \\ مثلث SRP \\) - مثلثات قائمة الزاوية.

3. مثلثات \\ (\\ مثلث SRN \\ مثلث SRK \\) - مستطيل أيضا.
أي أن أي مثلث تشكله هذه الحافة والقطر الممتد من قمة هذه الحافة الواقعة عند القاعدة سيكون مستطيلاً.

\\ [(\\ كبير (\\ نص (حجم ومساحة سطح الهرم))) \\]

نظرية

حجم الهرم يساوي ثلث ناتج مساحة القاعدة بارتفاع الهرم: \

عواقب

لنفترض \\ (أ \\) جانب القاعدة ، \\ (ح \\) ارتفاع الهرم.

1. حجم الهرم الثلاثي المنتظم هو \\ (V _ (\\ text (المثلث الأيمن pyr.)) \u003d \\ Dfrac (\\ sqrt3) (12) a ^ 2h \\),

2. حجم الهرم المنتظم هو \\ (V _ (\\ نص (رباعي الأيمن)) \u003d \\ dfrac13a ^ 2h \\).

3. حجم الهرم السداسي المنتظم هو \\ (V _ (\\ نص (عرافة لليمين)) \u003d \\ dfrac (\\ sqrt3) (2) أ ^ 2 س \\).

4. حجم منتظم رباعي السطوح هو \\ (V _ (\\ نص (tet الأيمن)) \u003d \\ Dfrac (\\ sqrt3) (12) أ ^ 3 \\).

نظرية

مساحة السطح الجانبي للهرم المنتظم تساوي نصف حاصل ضرب محيط القاعدة من خلال apothem.

\\ [(\\ كبير (\\ نص (هرم مبتور))) \\]

تعريف

اعتبر هرمًا عشوائيًا \\ (PA_1A_2A_3 ... A_n \\). لنرسم مستوى موازيًا لقاعدة الهرم من خلال نقطة تقع على الحافة الجانبية للهرم. هذا المستوى سوف يقسم الهرم إلى جزأين متعددي السطوح أحدهما هرم (\\ (PB_1B_2 ... B_n \\)) والآخر يسمى هرم مبتور (\\ (A_1A_2 ... A_nB_1B_2 ... B_n \\)).

يحتوي الهرم المقطوع على قاعدتين - المضلعات \\ (A_1A_2 ... A_n \\) و \\ (B_1B_2 ... B_n \\) ، والتي تشبه بعضها البعض.

إن ارتفاع الهرم المقطوع عمودي مرسوم من نقطة ما في القاعدة العلوية إلى مستوى القاعدة السفلية.

ملاحظات هامة

1. جميع أوجه الهرم المقطوع هي شبه منحرف.

2. الجزء الذي يربط بين مراكز قواعد الهرم المنتظم المقطوع (أي الهرم الناتج عن قطع هرم منتظم) هو الارتفاع.

مستوى اول

هرم. دليل مرئي (2019)

ما هو الهرم؟

كيف تبدو؟

ترى: في الهرم أدناه (يقولون " في الأسفل") بعض المضلعات وجميع رؤوس هذا المضلع متصلة بنقطة ما في الفضاء (تسمى هذه النقطة" قمة الرأس»).

هذا الهيكل كله لا يزال وجوه جانبية, الضلوع الجانبية و حواف القاعدة... لنرسم الهرم مرة أخرى مع كل هذه الأسماء:

قد تبدو بعض الأهرامات غريبة للغاية ، لكنها لا تزال أهرامات.

على سبيل المثال ، "مائل" تمامًا هرم.

وأكثر من ذلك بقليل عن الأسماء: إذا كان هناك مثلث عند قاعدة الهرم ، فإن الهرم يسمى مثلث ، إذا كان رباعي الزوايا ، فهو رباعي الزوايا ، وإذا كان شكلًا ، إذن ... نفسك.

في هذه الحالة ، النقطة التي نزل فيها ارتفاعيسمى ارتفاع القاعدة... انتبه إلى أن الأهرامات "الملتوية" ارتفاع قد يكون حتى خارج الهرم. مثله:

وليس هناك حرج في ذلك. يبدو وكأنه مثلث منفرج.

الهرم الصحيح.

كلمات كثيرة صعبة؟ دعونا نفهم: "في الأساس - صحيح" - هذا مفهوم. وتذكر الآن أن المضلع المنتظم له مركز - نقطة هي مركز و ، و.

حسنًا ، الكلمات "الجزء العلوي مُسقط على مركز القاعدة" تعني أن قاعدة الارتفاع تقع في مركز القاعدة تمامًا. انظر كيف تبدو سلسة وجميلة الهرم الصحيح.

سداسي الشكل: عند القاعدة - شكل سداسي منتظم ، يُسقط الجزء العلوي على مركز القاعدة.

رباعي الزوايا: عند القاعدة - مربع ، يُسقط الجزء العلوي عند تقاطع أقطار هذا المربع.

الثلاثي: عند القاعدة - مثلث متساوي الأضلاع ، يُسقط الرأس إلى نقطة تقاطع ارتفاعات هذا المثلث (هم أيضًا متوسطات ومنصفات).

جدا خصائص هامة للهرم المنتظم:

في الهرم الصحيح

• جميع الحواف الجانبية متساوية.
• كل الوجوه هي مثلثات متساوية الساقين وكل هذه المثلثات متساوية.

حجم الهرم

الصيغة الرئيسية لحجم الهرم هي:

من أين أتت بالضبط؟ هذا ليس بهذه البساطة ، وفي البداية عليك فقط أن تتذكر أن الهرم والمخروط لهما حجم في الصيغة ، لكن الأسطوانة ليست كذلك.

الآن دعونا نحسب حجم الأهرامات الأكثر شهرة.

اجعل جانب القاعدة متساويًا وحافة الجانب متساوية. عليك أن تجد و.

هذه هي مساحة المثلث المنتظم.

دعونا نتذكر كيفية إيجاد هذه المنطقة. نستخدم صيغة المنطقة:

لدينا "" - هذا و "" - هذا أيضًا ، و.

الآن سوف نجد.

بواسطة نظرية فيثاغورس ل

ما يساوي؟ هذا هو نصف قطر الدائرة في ، لأن هرمتصحيح وبالتالي المركز.

منذ - نقطة التقاطع والمتوسطات أيضًا.

(نظرية فيثاغورس لـ)

عوّض في صيغة.

واستبدل كل شيء في صيغة الحجم:

انتباه: إذا كان لديك رباعي وجوه منتظم (أي) ، فإن الصيغة هي كما يلي:

اجعل جانب القاعدة متساويًا وحافة الجانب متساوية.

ليست هناك حاجة للبحث هنا ؛ لأن في القاعدة مربع ، وبالتالي.

سنجده. بواسطة نظرية فيثاغورس ل

هل نعلم؟ تقريبا. بحث:

(رأينا هذا من خلال النظر).

نستبدل الصيغة بـ:

والآن نعوض به أيضًا في صيغة الحجم.

اجعل جانب القاعدة متساويًا والحافة الجانبية.

كيف تجد؟ انظر ، الشكل السداسي يتكون من ستة مثلثات منتظمة متطابقة. لقد بحثنا بالفعل عن مساحة المثلث العادي عند حساب حجم الهرم الثلاثي المنتظم ، وهنا نستخدم الصيغة التي تم إيجادها.

الآن دعونا نجد (هذا).

بواسطة نظرية فيثاغورس ل

ولكن ماذا يهم؟ إنه سهل لأن (وكل شخص آخر) صحيح.

نحن نستبدل:

displaystyle V \u003d frac (sqrt (3)) (2) ((a) ^ (2)) sqrt (((b) ^ (2)) - ((a) ^ (2)))

هرم. باختصار حول الرئيسي

الهرم متعدد السطوح يتكون من أي مضلع مسطح () ، نقطة لا تقع في مستوى القاعدة (قمة الهرم) وجميع الأجزاء التي تربط أعلى الهرم بنقاط القاعدة (الجانب) حواف).

عمودي منخفض من أعلى الهرم إلى مستوى القاعدة.

الهرم الصحيح- الهرم الذي يقع في قاعدته مضلع منتظم وقمة الهرم مسقطة لمركز القاعدة.

خاصية الهرم الصحيح:

• في الهرم العادي ، تكون جميع حوافه متساوية.
• جميع أوجه الأضلاع عبارة عن مثلثات متساوية الساقين وجميع هذه المثلثات متساوية.