Mantika üçün loqarifmik tənliklərin həlli. Logaritmik tənliklərin həlli

İbtidai siniflərdən gələn tənliklər hamımıza məlumdur. Orada da ən sadə nümunələri həll etməyi öyrəndik və tətbiqlərini daha yüksək riyaziyyatda da tapdıqlarını etiraf etməliyik. Denklemlərlə, hər şey kvadrat, o cümlədən sadədir. Bu mövzu ilə bağlı probleminiz varsa, onu təkrarlamağınızı tövsiyə edirik.

Yəqin ki, loqarifmləri artıq keçmisiniz. Buna baxmayaraq, hələ bilməyənlər üçün bunun nə olduğunu izah etməyi vacib hesab edirik. Logaritma, loqaritma işarəsinin sağındakı rəqəmi almaq üçün bazanın qaldırılmalı olduğu dərəcəyə bərabərləşdirilir. Bir nümunə verək, buna əsasən hər şey sizin üçün aydın olacaq.

Dördüncü gücə 3 qaldırsanız, 81 alacaqsınız. İndi rəqəmləri bənzətmə ilə əvəzləyin və nəhayət loqarifmlərin necə həll olunduğunu başa düşəcəksiniz. İndi yalnız düşünülmüş iki anlayışı birləşdirmək qalır. Başlanğıcda vəziyyət son dərəcə çətin görünür, ancaq daha yaxından araşdırıldıqdan sonra çəki yerinə düşür. Əminik ki, bu qısa məqalədən sonra imtahanın bu hissəsində problem yaşamayacaqsınız.

Bu gün bu cür strukturları həll etmək üçün bir çox yol var. Sizə ən sadə, ən təsirli və tətbiq olunan USE tapşırıqları haqqında məlumat verəcəyik. Logaritmik tənliklərin həlli ən sadə nümunədən başlamalıdır. Ən sadə loqarifmik tənliklər bir funksiyadan və içindəki bir dəyişkəndən ibarətdir.

X-in arqumentin içində olduğunu qeyd etmək vacibdir. A və b rəqəmlər olmalıdır. Bu vəziyyətdə, funksiyanı bir ədədi bir güc üçün ifadə edə bilərsiniz. Belə görünür.

Əlbəttə, loqaritmik tənliyi bu şəkildə həll etmək sizi düzgün cavaba aparacaqdır. Bu vəziyyətdə tələbələrin böyük əksəriyyətinin problemi, bunun nədən və haradan gəldiyini anlamamalarıdır. Nəticədə səhvlərə dözməli və istədiyiniz balları toplamamalısınız. Ən təhqiredici səhv yerdəki hərfləri qarışdırsanız olacaq. Tənliyi bu şəkildə həll etmək üçün bu standart məktəb düsturunu əzbərləməlisiniz, çünki onu anlamaq çətindir.

Bunu asanlaşdırmaq üçün başqa bir üsula müraciət edə bilərsiniz - kanonik forma. Fikir çox sadədir. Yenidən problemə diqqət yetirin. Unutmayın ki, a hərfi bir rəqəmdir, funksiya və ya dəyişən deyil. A sıfıra bərabər və ya daha böyük deyil. B-də heç bir məhdudiyyət yoxdur. İndi bütün formullardan birini xatırlayırıq. B aşağıdakı şəkildə ifadə edilə bilər.

Buradan belə çıxır ki, loqarifmlərlə bütün orijinal tənliklər aşağıdakı kimi təqdim edilə bilər:

İndi loqarifmləri ata bilərik. Nəticə, əvvəllər gördüyümüz sadə bir tikintidır.

Bu formulun rahatlığı ondan ibarətdir ki, bu, yalnız ən sadə dizaynlar üçün deyil, müxtəlif hallarda da istifadə edilə bilər.

OOF üçün narahat olmayın!

Bir çox təcrübəli riyaziyyatçı, tərif sahəsinə əhəmiyyət vermədiyimizi görəcəkdir. Qayda F (x) -ın mütləq 0-dan çox olması ilə azaldılıb. Xeyr, bu anı qaçırmadıq. İndi kanonik formanın başqa bir ciddi üstünlüyündən danışırıq.

Burada əlavə köklər yaranmayacaq. Dəyişən yalnız bir yerdə görünəcəksə, əhatə dairəsi lazım deyil. Avtomatik olaraq işləyir. Bu ifadəni təsdiqləmək üçün bir neçə sadə nümunəni həll etməyi düşünün.

Fərqli əsasları olan loqarifmik tənliklər necə həll edilir

Bunlar onsuz da mürəkkəb loqaritmik tənliklərdir və onların həllinə yanaşma xüsusi olmalıdır. Nadir hallarda bədnam kanonik forma ilə məhdudlaşır. Ətraflı hekayəmizə başlayaq. Aşağıdakı dizaynımız var.

Kəsirə diqqət yetirin. Bu loqaritma ehtiva edir. Tapşırıqda bunu görürsənsə, maraqlı bir hiylə xatırlamağa dəyər.

Bunun mənası nədi? Hər bir loqaritma, əlverişli bir bazaya sahib iki loqarifmin bir hissəsi kimi təmsil edilə bilər. Və bu düsturun bu nümunə ilə tətbiq oluna bilən xüsusi bir vəziyyəti var (mənası c = b olduqda).

Bu, nümunəmizdə gördüyümüz kəsrdir. Bu minvalla.

Əslində, kəsiri çevirdilər və daha rahat bir ifadə əldə etdilər. Bu alqoritmi xatırlayın!

İndi loqaritmik tənliyin fərqli əsaslar içerməməsi lazımdır. Gəlin bazanı bir hissə kimi təsəvvür edək.

Riyaziyyatda bazadan dərəcə ala biləcəyiniz bir qayda var. Aşağıdakı tikinti çıxır.

Göründüyü kimi, indi ifadəmizi kanonik bir forma çevirməyə və elementar bir şəkildə həll etməyə nə mane olur? Çox sadə deyil. Logaritmanın qarşısında heç bir kəsir olmamalıdır. Bu vəziyyəti düzəldirik! Fraksiya dərəcə kimi aparılmasına icazə verilir.

Müvafiq olaraq.

Əsaslar eynidirsə, loqarifmləri çıxarıb ifadələrin özlərini bərabərləşdirə bilərik. Beləliklə, vəziyyət olduğundan daha asan olacaq. Hər birimizin 8-ci, hətta 7-ci sinifdə həll edə bildiyi bir elementar tənlik qalacaq. Hesablamaları özünüz edə bilərsiniz.

Bu loqaritmik tənliyin yeganə əsl kökünə sahib olduq. Bir loqaritmik tənliyi həll etmək üçün nümunələr olduqca sadədir, elə deyilmi? İndi imtahanı hazırlamaq və keçmək üçün ən çətin tapşırıqları belə müstəqil olaraq müəyyən edə biləcəksiniz.

Alt xətt nədir?

Hər hansı bir loqaritmik tənlik vəziyyətində çox vacib bir qaydaya əsaslanırıq. İfadəni mümkün olan ən sadə formaya gətirəcək şəkildə hərəkət etmək lazımdır. Bu vəziyyətdə, tapşırığı düzgün həll etməklə yanaşı, mümkün qədər sadə və məntiqli etmək üçün daha çox şansınız olacaq. Riyaziyyatçılar həmişə belə edirlər.

Xüsusilə bu vəziyyətdə sizi çətin yollar axtarmaqdan çəkindiririk. Hər hansı bir ifadəni dəyişdirməyə imkan verəcək bir neçə sadə qaydaları xatırlayın. Məsələn, bir bazaya iki və ya üç loqaritma gətirin və ya bazadan bir dərəcə çıxarın və bunun üzərində qazanın.

Logaritmik tənliklərin həllində daim məşq etməyiniz lazım olduğunu da xatırlamaq lazımdır. Tədricən getdikcə daha mürəkkəb dizaynlara keçəcəksiniz və bu sizi imtahandakı problemlərin bütün variantlarını inamla həll etməyə aparacaqdır. İmtahanlarınıza əvvəlcədən hazırlaşın və uğurlar!

Logaritmik tənliklərin həlli. Hissə 1.

Logaritmik tənlik logaritmanın işarəsi altında (xüsusən loqarifmanın təməlində) bilinməyənin olduğu bir tənlikdir.

Ən sadə loqarifmik tənlik oxşayır:

Hər hansı bir loqaritmik tənliyə həll loqarifmlərdən loqoritm işarəsi altındakı ifadələrə keçidi əhatə edir. Ancaq bu hərəkət, tənliyin qəbul edilə bilən dəyərlərini genişləndirir və kənar köklərin meydana gəlməsinə səbəb ola bilər. Xarici köklərin görünməməsi üçün, üç yoldan birini edə bilərsiniz:

1. Ekvivalent bir keçid edin orijinal tənlikdən sistemə daxil olmaqla

hansı bərabərsizliyin daha sadə və ya daha sadə olmasından asılı olaraq.

Əgər tənlik loqarifmin əsasında bilinməz bir şey varsa:

sonra sistemə gedirik:

2. Tənliyin qəbul edilə bilən dəyərlər aralığını ayrıca tapın, sonra tənliyi həll edin və tapılmış həllərin tənliyi qane etdiyini yoxlayın.

3. Dənliyi həll edin və sonra yoxlamaq: tapılmış həlləri orijinal tənliyə əvəz edin və düzgün bərabərliyi əldə edib-etmədiyimizi yoxlayın.

Hər hansı bir mürəkkəblik səviyyəsinin loqaritmik tənliyi nəticədə həmişə ən sadə loqaritmik tənliyə enir.

Bütün loqaritmik tənliklər təxminən dörd növə bölünə bilər:

1 ... Yalnız birinci dərəcəyə qədər loqaritma ehtiva edən tənliklər. Dəyişikliklərin və istifadənin köməyi ilə onlar forma endirilir

Misal... Gəlin tənliyi həll edək:

Logaritma işarəsi altındakı ifadələri bərabərləşdirək:

Kökümüzün tənliyi təmin etdiyini yoxlayaq:

Bəli elədir.

Cavab: x = 5

2 ... 1-dən başqa bir dərəcəyə qədər logaritma ehtiva edən tənliklər (xüsusən də bir hissənin məxrəcində). Bu cür tənliklər istifadə edilərək həll olunur dəyişən dəyişikliyin tətbiqi.

Misal. Gəlin tənliyi həll edək:

Tənlikin ODZ'sini tapaq:

Tənlik kvadrat şəklində loqarifmləri ehtiva edir, buna görə dəyişən dəyişdirilərək həll olunur.

Vacibdir! Əvəzetmə tətbiq etməzdən əvvəl, tənliyə daxil olan loqarifmləri loqoritmaların xüsusiyyətlərindən istifadə edərək “kərpic” halına gətirmək lazımdır.

Logaritmləri "çəkərkən" loqaritmaların xüsusiyyətlərini çox diqqətlə tətbiq etmək vacibdir:

Bundan əlavə, burada başqa bir incə məqam da var və ümumi bir səhvdən qaçmaq üçün aralıq bir bərabərlikdən istifadə edəcəyik: loqarifma dərəcəsini bu formada yazırıq:

Oxşar,

Yaranan ifadələri orijinal tənliyə əvəz edin. Əldə edirik:

İndi bilinmir ki, kompozisiyadakı tənlikdədir. Əvəzini təqdim edək:. Hər hansı bir real dəyər ala bildiyindən dəyişənə heç bir məhdudiyyət qoymuruq.

Bu dərsdə loqarifmlər haqqında əsas nəzəri həqiqətləri nəzərdən keçirəcəyik və ən sadə loqaritmik tənliklərin həllini nəzərdən keçirəcəyik.

Mərkəzi tərifi - loqarifmin tərifini xatırlayaq. Eksponent tənliyin həlli ilə əlaqələndirilir. Bu tənliyin tək bir kökü var, a əsasını qoymaq üçün b-nin loqarifması deyilir:

Tərif:

B rəqəminin a bazasına loqarifması, b rəqəmini almaq üçün a əsasının qaldırılması lazım olan göstəricidir.

Xatırladaq əsas loqaritmik şəxsiyyət.

İfadə (ifadə 1) tənliyin köküdür (ifadə 2). X ifadəsini 1 ifadəsindən x ifadəsini 2 ifadəsinə əvəz edin və əsas loqaritmik kimliyi əldə edin:

Beləliklə, hər bir dəyərə bir dəyər verildiyini görürük. B-i x (), c-ni y ilə işarələyirik və beləliklə loqaritmik funksiya əldə edirik:

Misal üçün:

Logaritmik funksiyanın əsas xüsusiyyətlərini xatırlayaq.

Bir daha diqqət yetirək, burada, çünki loqoritmanın altında loqoritmanın əsası kimi qəti bir müsbət ifadə ola bilər.

Şek. 1. Müxtəlif əsaslarda loqarifmik funksiyanın qrafiki

Üçün funksiya qrafası qara ilə göstərilir. Şek. 1. Mübahisə sıfırdan sonsuzluğa qədər artarsa, funksiya mənfi ilə artı sonsuzluğa qədər artır.

Üçün funksiya qrafiki qırmızı ilə göstərilir. Şek. bir.

Bu funksiyanın xüsusiyyətləri:

Domen:;

Dəyərlər diapazonu :;

Funksiya tərif sahəsi daxilində monotonikdir. Monoton (ciddi şəkildə) artdıqda, arqumentin daha böyük bir dəyəri funksiyanın daha böyük bir dəyərinə uyğun gəlir. Monoton (qəti olaraq) azaldıqda, arqumentin daha böyük dəyəri funksiyanın kiçik dəyərinə uyğun gəlir.

Logaritmik funksiyanın xüsusiyyətləri müxtəlif loqarifmik tənliklərin həllində açardır.

Ən sadə loqarifmik tənliyi nəzərdən keçirin, bütün digər loqaritmik tənliklər, bir qayda olaraq, bu formaya salınır.

Logaritmlərin əsasları ilə loqarifmaların özləri bərabər olduğundan loqaritma altındakı funksiyalar da bərabərdir, lakin tərif sahəsini qaçırmamalıyıq. Logaritmanın altında yalnız müsbət bir rəqəm dayana bilər, bizdə:

F və g funksiyalarının bərabər olduğunu öyrəndik, bu səbəbdən DHS ilə uyğunlaşmaq üçün hər hansı bir bərabərsizliyi seçmək kifayətdir.

Beləliklə, bir tənlik və bərabərsizliyin olduğu qarışıq bir sistem əldə etdik:

Bir qayda olaraq, bir bərabərsizliyi həll etmək lazım deyil, tənliyi həll etmək və tapılmış kökləri bərabərsizliyə əvəzləmək, beləliklə bir yoxlama aparmaq kifayətdir.

Ən sadə loqaritmik tənliklərin həlli üçün bir metod hazırlayaq:

Loqarifmlərin əsaslarını bərabərləşdirmək;

Alt loqaritmik funksiyaları bərabərləşdirin;

Yoxlayın.

Konkret nümunələrə baxaq.

Nümunə 1 - tənliyi həll edin:

Logaritmaların əsasları əvvəlcə bərabərdir, alt loqaritmik ifadələri eyniləşdirmək hüququmuz var, ODZ-ni unutma, bərabərsizliyi tərtib etmək üçün ilk loqarifmanı seçəcəyik:

Nümunə 2 - tənliyi həll edin:

Bu tənlik əvvəlki ilə müqayisədə loqarifmlərin əsaslarının birdən az olması ilə fərqlənir, lakin bu həlli heç bir şəkildə təsir etmir:

Kökünü tapın və bərabərsizliyə qoyun:

Yanlış bərabərsizliyi əldə etdik, yəni tapılan kök ODV-ni qane etmir.

Nümunə 3 - Tənliyi həll edin:

Logaritmaların əsasları əvvəlcə bərabərdir, alt loqaritmik ifadələri eyniləşdirmək hüququmuz var, ODZ-ni unutma, bərabərsizliyi qurmaq üçün ikinci loqarifmanı seçəcəyik:

Kökünü tapın və bərabərsizliyə qoyun:

Aydındır ki, yalnız ilk kök ODV-ni qane edir.

Logaritmik ifadələr, nümunələrin həlli. Bu yazıda loqarifmlərin həlli ilə bağlı problemləri nəzərdən keçirəcəyik. Tapşırıqlarda bir ifadənin mənasını tapmaq barədə sual qaldırılır. Qeyd etmək lazımdır ki, bir loqaritma anlayışı bir çox tapşırıqda istifadə olunur və mənasını başa düşmək son dərəcə vacibdir. İmtahana gəldikdə, loqaritma tənliklər həll edilərkən, tətbiq olunan məsələlərdə və funksiyaların öyrənilməsi ilə bağlı tapşırıqlarda istifadə olunur.

Logaritmin mənasını başa düşmək üçün bəzi nümunələr:

Əsas loqaritmik şəxsiyyət:

Həmişə xatırlanmalı olan loqarifmaların xüsusiyyətləri:

* Məhsulun loqarifması, amillərin loqarifmlərinin cəmidir.

* * *

* Kəmiyyətin (kəsrin) loqarifması faktorların loqarifmləri arasındakı fərqə bərabərdir.

* * *

* Güc loqarifması, göstəricinin bazasının loqoritması ilə hasilinə bərabərdir.

* * *

* Yeni bazaya keçid

* * *

Daha çox əmlak:

* * *

Logaritmaların hesablanması, göstəricilərin xüsusiyyətlərinin istifadəsi ilə sıx bağlıdır.

Bəzilərini sadalayaq:

Bu xassənin mahiyyəti ondadır ki, paylayıcı məxrəcə köçürüldükdə və əksinə, göstəricinin işarəsi əksinə dəyişir. Misal üçün:

Bu əmlakın nəticəsi:

* * *

Bir gücə bir güc artırarkən, baza eyni qalır və göstəricilər artır.

* * *

Gördüyünüz kimi, loqaritma anlayışı çox sadədir. Əsas odur ki, müəyyən bir bacarıq verən yaxşı təcrübəyə ehtiyacınız var. Əlbəttə ki, düsturlar barədə məlumat tələb olunur. İbtidai logaritmləri çevirmək bacarığı formalaşmırsa, sadə tapşırıqları həll edərkən asanlıqla səhv edə bilərsiniz.

Təcrübə edin, əvvəlcə riyaziyyat kursundan ən sadə nümunələri həll edin, sonra daha çətin olanlara keçin. Gələcəkdə sizə "çirkin" loqarifmaların necə həll olunduğunu mütləq göstərəcəyəm, imtahanda belə loqaritmalar olmayacaq, amma maraq doğurur, qaçırmayın!

Hamısı budur! Uğur!

Hörmətlə, Alexander Krutitskikh

P.S: Sayt haqqında bizə sosial şəbəkələrdə məlumat versəniz minnətdar olardım.

Riyaziyyat üzrə son testə hazırlıq vacib bir bölmə - "Logarithms" daxildir. Bu mövzudan tapşırıqlar mütləq imtahanda yer alır. Ötən illərin təcrübəsi göstərir ki, loqaritmik tənliklər bir çox məktəblilər üçün çətinlik yaratmışdır. Buna görə də, müxtəlif səviyyəli hazırlığı olan tələbələr düzgün cavabı necə tapacağını başa düşməli və onlarla tez öhdəsindən gəlməlidir.

"Shkolkovo" təhsil portalından istifadə edərək sertifikatlaşdırma sınağından uğurla keçin!

Vahid dövlət imtahanına hazırlaşarkən lisey məzunları test problemlərinin uğurlu həlli üçün ən tam və dəqiq məlumat verən etibarlı mənbəyə ehtiyac duyurlar. Bununla birlikdə, dərslik həmişə əllərdə deyil və lazımi qaydaları və düsturları İnternetdə tapmaq çox vaxt aparır.

"Shkolkovo" təhsil portalı istənilən vaxt istənilən yerdə vahid dövlət imtahanına hazırlaşmağa imkan verir. Saytımız logaritmlər haqqında, eyni zamanda bir və ya bir neçə bilinməyənlər barədə çoxlu məlumatların təkrarlanması və mənimsənilməsinə ən uyğun yanaşmanı təklif edir. Asan tənliklərlə başlayın. Onlarla asanlıqla məşğul olsanız, daha mürəkkəb olanlara keçin. Müəyyən bir bərabərsizliyi həll etməkdə probleminiz varsa, daha sonra qayıtmaq üçün onu Sevimlilərinizə əlavə edə bilərsiniz.

Tapşırığı yerinə yetirmək üçün lazımi düsturları tapa bilərsiniz, "Nəzəri istinad" bölməsinə baxaraq standart loqarifmik tənliyin kökünün hesablanması üçün xüsusi halları və metodları təkrarlaya bilərsiniz. Şkolkovo müəllimləri müvəffəqiyyətli çatdırılma üçün lazım olan bütün materialları ən sadə və anlaşılan formada topladılar, sistemləşdirdilər və təqdim etdilər.

Hər hansı bir mürəkkəbliyin öhdəsindən asanlıqla gəlmək üçün portalımızda bəzi tipik loqaritmik tənliklərin həlli ilə tanış ola bilərsiniz. Bunu etmək üçün "Kataloqlar" bölməsinə keçin. Riyaziyyatdan imtahan profil səviyyəsinin tənlikləri daxil olmaqla çox sayda nümunə təqdim etdik.

Rusiyadakı məktəblərdən olan tələbələr portalımızdan istifadə edə bilərlər. Başlamaq üçün sistemdə qeydiyyatdan keçin və tənliklərin həllinə başlayın. Nəticələri birləşdirmək üçün hər gün Shkolkovo veb saytına qayıtmağınızı məsləhət görürük.