Vektorların 8 skalyar hasili və onun xassələri. Vektorların nöqtə hasili

ev / Mübahisə

I. Skayar hasil yalnız və yalnız vektorlardan ən azı biri sıfır olduqda və ya vektorlar perpendikulyar olduqda yox olur. Əslində, əgər və ya , ya da sonra .

Əksinə, vurulan vektorlar sıfır deyilsə, o zaman şərtdən

aşağıdakı zaman:

Sıfır vektorunun istiqaməti qeyri-müəyyən olduğundan, sıfır vektoru istənilən vektora perpendikulyar hesab edilə bilər. Buna görə də, skalyar hasilin göstərilən xassəsini daha qısa şəkildə tərtib etmək olar: skalyar hasil yalnız vektorlar perpendikulyar olduqda yox olur.

II. Skayar məhsulun kommutativ xüsusiyyəti var:

Bu xüsusiyyət birbaşa tərifdən irəli gəlir:

çünki eyni bucaq üçün müxtəlif təyinatlar.

III. Dağıtım qanunu son dərəcə vacibdir. Onun tətbiqi adi arifmetikada və ya cəbrdə olduğu kimi böyükdür, burada aşağıdakı kimi tərtib edilir: cəmini çoxaltmaq üçün hər bir termini çoxaltmaq və nəticədə çıxan məhsulları əlavə etmək lazımdır, yəni.

Aydındır ki, arifmetikada çoxqiymətli ədədlərin və ya cəbrdə çoxhədlilərin vurulması bu vurma xassəsinə əsaslanır.

Bu qanun vektor cəbrində eyni əsas əhəmiyyətə malikdir, çünki onun əsasında polinomların vektorlara vurulması üçün adi qayda tətbiq edə bilərik.

İstənilən üç vektor A, B, C üçün aşağıdakı bərabərliyin doğru olduğunu sübut edək:

Skalar məhsulun düsturla ifadə edilən ikinci tərifinə görə alırıq:

İndi § 5-dən 2 proyeksiyanın xassəsini tətbiq edərək tapırıq:

Q.E.D.

IV. Skayar hasil ədədi amillə əlaqədar birləşmək xüsusiyyətinə malikdir; bu xassə aşağıdakı düsturla ifadə edilir:

yəni vektorların skalyar hasilini ədədə vurmaq üçün amillərdən birini bu ədədə vurmaq kifayətdir.

Vektorların nöqtə hasili

Vektorlarla məşğul olmağa davam edirik. İlk dərsdə Butaforlar üçün vektorlar Biz vektor anlayışına, vektorlarla hərəkətlərə, vektor koordinatlarına və vektorlarla bağlı ən sadə məsələlərə baxdıq. Əgər siz bu səhifəyə ilk dəfə axtarış motorundan gəlmisinizsə, yuxarıdakı giriş məqaləsini oxumağı şiddətlə tövsiyə edirəm, çünki materialı mənimsəmək üçün mənim istifadə etdiyim terminlər və qeydlərlə tanış olmalı, vektorlar haqqında əsas biliklərə sahib olmalısınız. əsas məsələləri həll etməyi bacarmalıdır. Bu dərs mövzunun məntiqi davamıdır və mən vektorların skalyar məhsulundan istifadə edən tipik tapşırıqları ətraflı təhlil edəcəyəm. Bu, ÇOX ƏHƏMİYYƏTLİ bir fəaliyyətdir.. Nümunələri qaçırmamağa çalışın, onlar faydalı bir bonusdur - təcrübə sizə əhatə etdiyiniz materialı birləşdirməyə və analitik həndəsədə ümumi problemlərin həllində daha yaxşı olmağa kömək edəcəkdir.

Vektorların toplanması, vektorun ədədə vurulması.... Riyaziyyatçıların başqa bir şey tapmadığını düşünmək sadəlövhlük olardı. Artıq müzakirə olunan hərəkətlərə əlavə olaraq vektorlarla bir sıra digər əməliyyatlar da var, yəni: vektorların nöqtə hasili, vektorların vektor məhsulu Və vektorların qarışıq məhsulu. Vektorların skalyar hasili bizə məktəbdən tanışdır, digər iki məhsul isə ənənəvi olaraq ali riyaziyyat kursuna aiddir. Mövzular sadədir, bir çox məsələlərin həlli alqoritmi sadə və başa düşüləndir. Yeganə şey. Layiqli miqdarda məlumat var, buna görə HƏR ŞEYİ BİRDƏN mənimsəməyə və həll etməyə çalışmaq arzuolunmazdır. Bu, xüsusilə dummies üçün doğrudur, inanın, müəllif özünü riyaziyyatdan Çikatilo kimi hiss etmək istəmir. Yaxşı, riyaziyyatdan deyil, əlbəttə ki, =) Daha hazırlıqlı tələbələr materialları seçərək istifadə edə bilər, müəyyən mənada, sizin üçün zərərsiz bir Count Dracula olacağam;

Gəlin nəhayət, qapını açaq və iki vektor bir-birinə rast gələndə nə baş verdiyini həvəslə izləyək...

Vektorların skalyar hasilinin tərifi.
Skayar məhsulun xassələri. Tipik vəzifələr

Nöqtə məhsulu konsepsiyası

Əvvəlcə haqqında vektorlar arasındakı bucaq. Düşünürəm ki, hər kəs vektorlar arasındakı bucağın nə olduğunu intuitiv şəkildə başa düşür, amma hər halda, bir az daha ətraflı. Sərbəst sıfırdan fərqli vektorları nəzərdən keçirək və . Bu vektorları ixtiyari bir nöqtədən tərtib etsəniz, çoxlarının zehni olaraq təsəvvür etdiyi bir şəkil alacaqsınız:

Etiraf edirəm, burada vəziyyəti ancaq anlayış səviyyəsində təsvir etdim. Vektorlar arasındakı bucağın ciddi tərifinə ehtiyacınız varsa, praktiki məsələlər üçün dərsliyə müraciət edin, prinsipcə, buna ehtiyacımız yoxdur; Həmçinin BURADA VƏ BURADA Mən praktiki əhəmiyyəti az olduğuna görə yerlərdə sıfır vektorlara məhəl qoymayacağam. Bəzi sonrakı ifadələrin nəzəri natamamlığına görə məni məzəmmət edə biləcək qabaqcıl sayt ziyarətçiləri üçün xüsusi olaraq rezervasiya etdim.

daxil olmaqla, 0-dan 180 dərəcəyə (0-dan radana qədər) dəyərlər qəbul edə bilər. Analitik olaraq bu fakt ikiqat bərabərsizlik şəklində yazılır:

və ya

(radianla).

Ədəbiyyatda bucaq simvolu tez-tez atlanır və sadəcə yazılır.

Tərif:İki vektorun skalyar hasili bu vektorların uzunluqlarının hasilinə və aralarındakı bucağın kosinusuna bərabər olan SƏDDdir:

İndi bu, olduqca sərt bir tərifdir.

Əsas məlumatlara diqqət yetiririk:

Təyinat: skalyar hasil və ya sadəcə olaraq işarələnir.

Əməliyyatın nəticəsi NÖMRƏdir: Vektor vektora vurulur və nəticə ədəddir. Həqiqətən, vektorların uzunluqları ədədlərdirsə, bucağın kosinusu ədəddirsə, onda onların məhsulu nömrə də olacaq.

Yalnız bir neçə istiləşmə nümunəsi:

Misal 1

Həll: Formuladan istifadə edirik . Bu halda:

Cavab:

Kosinus dəyərlərini tapa bilərsiniz triqonometrik cədvəl. Mən onu çap etməyi məsləhət görürəm - qüllənin demək olar ki, bütün bölmələrində lazım olacaq və dəfələrlə lazım olacaq.

Sırf riyazi nöqteyi-nəzərdən, skalyar məhsul ölçüsüzdür, yəni nəticə, bu halda, sadəcə bir rəqəmdir və bu qədərdir. Fizika problemləri nöqteyi-nəzərindən skalyar məhsul həmişə müəyyən fiziki məna daşıyır, yəni nəticədən sonra bu və ya digər fiziki vahid göstərilməlidir. Bir qüvvənin işinin hesablanmasının kanonik nümunəsini hər hansı bir dərslikdə tapmaq olar (düstur tam olaraq skalyar məhsuldur). Bir qüvvənin işi Joules ilə ölçülür, buna görə də cavab olduqca xüsusi olaraq yazılacaq, məsələn, .

Misal 2

Əgər tapın , və vektorlar arasındakı bucaq bərabərdir.

Bu, özünüz həll etməyiniz üçün bir nümunədir, cavab dərsin sonundadır.

Vektorlar və nöqtə məhsul dəyəri arasındakı bucaq

1-ci misalda skalyar hasil müsbət, 2-ci misalda isə mənfi oldu. Skayar hasilin işarəsinin nədən asılı olduğunu öyrənək. Düsturumuza baxaq: . Sıfırdan fərqli vektorların uzunluqları həmişə müsbətdir: , ona görə də işarə yalnız kosinusun qiymətindən asılı ola bilər.

Qeyd: Aşağıdakı məlumatları daha yaxşı başa düşmək üçün təlimatda kosinus qrafikini öyrənmək daha yaxşıdır Funksiya qrafikləri və xassələri. Seqmentdə kosinusun necə davrandığına baxın.

Artıq qeyd edildiyi kimi, vektorlar arasındakı bucaq daxilində dəyişə bilər və aşağıdakı hallar mümkündür:

1) Əgər künc vektorlar arasında ədviyyatlı: (0-dan 90 dərəcəyə qədər), sonra , Və nöqtə məhsulu müsbət olacaq birgə rəhbərlik edir, onda onların arasındakı bucaq sıfır hesab olunur və skalyar hasil də müsbət olacaqdır. Çünki düstur sadələşdirir: .

2) Əgər künc vektorlar arasında küt: (90-dan 180 dərəcəyə qədər), sonra , və müvafiq olaraq, nöqtə məhsulu mənfidir: . Xüsusi hal: vektorlar olarsa əks istiqamətlər, sonra onların arasındakı bucaq nəzərə alınır genişlənmişdir: (180 dərəcə). Skayar hasil də mənfidir, çünki

Qarşılıqlı ifadələr də doğrudur:

1) Əgər , onda bu vektorlar arasındakı bucaq itidir. Alternativ olaraq, vektorlar birgə istiqamətlidir.

2) Əgər , onda bu vektorlar arasındakı bucaq kütdür. Alternativ olaraq vektorlar əks istiqamətdədir.

Ancaq üçüncü hal xüsusi maraq doğurur:

3) Əgər künc vektorlar arasında düz: (90 dərəcə), sonra skalyar hasil sıfırdır: . Əksi də doğrudur: əgər , onda . Bəyanat kompakt şəkildə aşağıdakı kimi tərtib edilə bilər: İki vektorun skalyar hasili yalnız və yalnız vektorlar ortoqonal olduqda sıfırdır. Qısa riyaziyyat qeydi:

! Qeyd : Gəlin təkrar edək riyazi məntiqin əsasları: İkitərəfli məntiqi nəticə simvolu adətən "əgər və ancaq əgər", "əgər və ancaq əgər" oxunur. Gördüyünüz kimi, oxlar hər iki istiqamətə yönəldilmişdir - "bundan belə nəticə çıxır və əksinə - bundan sonra bu gəlir." Yeri gəlmişkən, birtərəfli izləmə ikonasından fərqi nədir? İkon qeyd edir yalnız, ki, “bundan belə çıxır” və bunun əksinin doğru olduğu bir həqiqət deyil. Məsələn: , lakin hər heyvan pantera deyil, ona görə də bu halda simvoldan istifadə edə bilməzsiniz. Eyni zamanda, simvol yerinə Bacarmaq birtərəfli simvoldan istifadə edin. Məsələn, problemi həll edərkən vektorların ortoqonal olduğu qənaətinə gəldik: - belə bir giriş düzgün və hətta daha uyğun olacaq .

Üçüncü halın böyük praktiki əhəmiyyəti var, çünki o, vektorların ortoqonal olub olmadığını yoxlamağa imkan verir. Bu problemi dərsin ikinci hissəsində həll edəcəyik.

Nöqtə məhsulunun xüsusiyyətləri

İki vektor olduqda vəziyyətə qayıdaq birgə rəhbərlik edir. Bu halda onların arasındakı bucaq sıfırdır, , və skalyar hasil düsturu formasını alır: .

Bir vektor özünə vurularsa nə olar? Vektorun özü ilə düzüldüyü aydındır, ona görə də yuxarıdakı sadələşdirilmiş düsturdan istifadə edirik:

Nömrə çağırılır skalyar kvadrat vektordur və kimi işarələnir.

Beləliklə, vektorun skalyar kvadratı verilmiş vektorun uzunluğunun kvadratına bərabərdir:

Bu bərabərlikdən vektorun uzunluğunu hesablamaq üçün düstur ala bilərik:

Hələlik aydın görünmür, amma dərsin məqsədləri hər şeyi öz yerinə qoyacaq. Problemləri həll etmək üçün bizə də lazımdır nöqtə məhsulunun xüsusiyyətləri.

İxtiyari vektorlar və istənilən ədəd üçün aşağıdakı xüsusiyyətlər doğrudur:

1) – kommutativ və ya kommutativ skalyar məhsul qanunu.

2) - paylama və ya paylayıcı skalyar məhsul qanunu. Sadəcə olaraq, mötərizələri aça bilərsiniz.

3) – assosiativ və ya assosiativ skalyar məhsul qanunu. Sabit skalyar hasildən alına bilər.

Çox vaxt hər cür xassələr (bunu da sübut etmək lazımdır!) tələbələr tərəfindən lazımsız zibil kimi qəbul edilir, yalnız imtahandan dərhal sonra yadda saxlanılmalı və təhlükəsiz şəkildə unudulmalıdır. Görünür ki, burada vacib olan hər kəs birinci sinifdən bilir ki, amillərin yenidən qurulması məhsulu dəyişmir: . Sizi xəbərdar etməliyəm ki, ali riyaziyyatda belə bir yanaşma ilə işləri qarışdırmaq asandır. Beləliklə, məsələn, kommutativ xüsusiyyət üçün etibarlı deyil cəbri matrislər. üçün də doğru deyil vektorların vektor məhsulu. Buna görə də, ən azı, nəyi edə biləcəyinizi və nəyi edə bilməyəcəyinizi başa düşmək üçün ali riyaziyyat kursunda rastlaşdığınız hər hansı bir xassələri araşdırmaq daha yaxşıdır.

Misal 3

Həll:Əvvəlcə vektorla bağlı vəziyyəti aydınlaşdıraq. Hər halda bu nədir? Vektorların cəmi yaxşı müəyyən edilmiş vektordur və bu ilə işarələnir. Vektorlarla hərəkətlərin həndəsi şərhini məqalədə tapa bilərsiniz Butaforlar üçün vektorlar. Vektorlu eyni cəfəri vektorların cəmidir və .

Deməli, şərtə uyğun olaraq skalyar hasili tapmaq tələb olunur. Teorik olaraq, iş düsturunu tətbiq etməlisiniz , lakin problem ondadır ki, vektorların uzunluqlarını və aralarındakı bucağı bilmirik. Lakin şərt vektorlar üçün oxşar parametrlər verir, ona görə də biz fərqli bir yol tutacağıq:

(1) Vektorların ifadələrini əvəz edin.

(2) Mötərizədə polinomların vurulması qaydasına uyğun olaraq açırıq; Kompleks ədədlər və ya Kəsr-rasional funksiyanın inteqrasiyası. Özümü təkrarlamayacağam =) Yeri gəlmişkən, skalyar hasilin paylanma xüsusiyyəti mötərizələri açmağa imkan verir. Bizim haqqımız var.

(3) Birinci və son şərtlərdə vektorların skalyar kvadratlarını yığcam şəkildə yazırıq: . İkinci termində skalyar hasilin dəyişmə qabiliyyətindən istifadə edirik: .

(4) Biz oxşar terminləri təqdim edirik: .

(5) Birinci termində bir qədər əvvəl qeyd olunan skalyar kvadrat düsturundan istifadə edirik. Son müddətdə, müvafiq olaraq, eyni şey işləyir: . İkinci termini standart düstura görə genişləndiririk .

(6) Bu şərtləri əvəz edin , və son hesablamaları DİQQƏTLƏ aparın.

Cavab:

Skayar hasilin mənfi dəyəri vektorlar arasındakı bucağın küt olduğunu bildirir.

Problem tipikdir, onu özünüz həll etmək üçün bir nümunə:

Misal 4

Vektorların skalyar hasilini tapın və əgər məlumdursa .

İndi başqa bir ümumi tapşırıq, vektorun uzunluğu üçün yeni düstur üçün. Burada qeyd bir az üst-üstə düşəcək, ona görə də aydınlıq üçün onu başqa hərflə yenidən yazacağam:

Misal 5

Əgər vektorun uzunluğunu tapın .

Həll aşağıdakı kimi olacaq:

(1) vektor üçün ifadə təqdim edirik.

(2) Biz uzunluq düsturundan istifadə edirik: , bütün ve ifadəsi “ve” vektoru kimi çıxış edir.

(3) Biz cəmin kvadratı üçün məktəb düsturundan istifadə edirik. Burada maraqlı şəkildə necə işlədiyinə diqqət yetirin: - əslində fərqin kvadratıdır və əslində belədir. Arzu edənlər vektorları yenidən təşkil edə bilərlər: - terminlərin yenidən qurulmasına qədər eyni şey olur.

(4) Aşağıdakılar əvvəlki iki problemdən artıq tanışdır.

Cavab:

Uzunluqdan danışdığımız üçün ölçüsü - "vahidləri" göstərməyi unutmayın.

Misal 6

Əgər vektorun uzunluğunu tapın .

Bu, özünüz həll etməyiniz üçün bir nümunədir. Tam həll və dərsin sonunda cavab.

Biz nöqtə məhsulundan faydalı şeyləri sıxmağa davam edirik. Düsturumuza yenidən baxaq . Mütənasiblik qaydasından istifadə edərək vektorların uzunluqlarını sol tərəfin məxrəcinə qaytarırıq:

Gəlin hissələri dəyişdirək:

Bu formulun mənası nədir? Əgər iki vektorun uzunluqları və onların skalyar hasili məlumdursa, onda bu vektorlar arasındakı bucağın kosinusunu və deməli, bucağın özünü hesablaya bilərik.

Nöqtəli məhsul rəqəmdirmi? Nömrə. Vektor uzunluqları ədədlərdir? Nömrələri. Bu o deməkdir ki, kəsr də ədəddir. Və bucağın kosinusu məlumdursa: , onda tərs funksiyadan istifadə edərək bucağın özünü tapmaq asandır: .

Misal 7

Vektorlar arasındakı bucağı tapın və məlumdursa.

Həll: Formuladan istifadə edirik:

Hesablamaların son mərhələsində texniki texnikadan istifadə edilmişdir - məxrəcdə irrasionallığı aradan qaldırır. Məntiqsizliyi aradan qaldırmaq üçün say və məxrəci vurdum.

Beləliklə əgər , Bu:

Tərs triqonometrik funksiyaların qiymətləri ilə tapıla bilər triqonometrik cədvəl. Baxmayaraq ki, bu nadir hallarda olur. Analitik həndəsə problemlərində daha tez-tez bəzi yöndəmsiz ayılar kimi görünür və bucağın dəyəri təxminən bir kalkulyatordan istifadə edərək tapılmalıdır. Əslində, belə bir mənzərəni bir dəfədən çox görəcəyik.

Cavab:

Yenə ölçüləri - radyanları və dərəcələri göstərməyi unutmayın. Şəxsən, açıq şəkildə "bütün sualları həll etmək" üçün hər ikisini göstərməyi üstün tuturam (şərt, əlbəttə ki, cavabı yalnız radyanla və ya yalnız dərəcələrlə təqdim etməyi tələb etmirsə).

İndi müstəqil olaraq daha mürəkkəb bir işin öhdəsindən gələ bilərsiniz:

Misal 7*

Vektorların uzunluqları və aralarındakı bucaq verilmişdir. , vektorları arasındakı bucağı tapın.

Tapşırıq çox mərhələli olduğu üçün o qədər də çətin deyil.
Həll alqoritminə baxaq:

1) Şərtə uyğun olaraq vektorlar arasındakı bucağı tapmaq lazımdır, ona görə də düsturdan istifadə etmək lazımdır. .

2) Skayar hasilini tapın (bax. Nümunələr № 3, 4).

3) Vektorun uzunluğunu və vektorun uzunluğunu tapın (bax. Nümunələr № 5, 6).

4) Həllin sonu 7 nömrəli Nümunə ilə üst-üstə düşür - biz rəqəmi bilirik, yəni bucağın özünü tapmaq asandır:

Qısa bir həll və dərsin sonunda cavab.

Dərsin ikinci bölməsi eyni skalyar hasilə həsr edilmişdir. Koordinatlar. Birinci hissədən daha asan olacaq.

Vektorların nöqtə hasili,
ortonormal əsasda koordinatlarla verilir

Cavab:

Söz yox ki, koordinatlarla məşğul olmaq çox daha xoşdur.

Misal 14

Vektorların skalyar hasilini tapın və əgər

Bu, özünüz həll etməyiniz üçün bir nümunədir. Burada əməliyyatın assosiativliyindən istifadə edə bilərsiniz, yəni saymayın, ancaq dərhal üçlüyü skalyar hasildən kənara çıxarın və sonuncunu ona vurun. Həll və cavab dərsin sonundadır.

Paraqrafın sonunda vektorun uzunluğunu hesablamaq üçün təxribatçı bir nümunə:

Misal 15

Vektorların uzunluqlarını tapın , Əgər

Həll:Əvvəlki bölmənin metodu yenidən özünü göstərir: lakin başqa bir yol var:

vektoru tapaq:

Və mənasız düstura görə uzunluğu :

Skayar məhsulun burada heç bir əhəmiyyəti yoxdur!

Vektorun uzunluğunu hesablayarkən də faydalı deyil:
Dayan. Vektor uzunluğunun aşkar xüsusiyyətindən istifadə etməli deyilikmi? Vektorun uzunluğu haqqında nə deyə bilərsiniz? Bu vektor vektordan 5 dəfə uzundur. İstiqamət əksinədir, amma bunun əhəmiyyəti yoxdur, çünki biz uzunluqdan danışırıq. Aydındır ki, vektorun uzunluğu məhsula bərabərdir modul vektor uzunluğuna görə ədədlər:
– modul işarəsi ədədin mümkün minusunu “yeyir”.

Beləliklə:

Cavab:

Koordinatlarla təyin olunan vektorlar arasındakı bucağın kosinusu üçün düstur

İndi vektorlar arasındakı bucağın kosinusu üçün əvvəllər əldə edilmiş düsturdan istifadə etmək üçün tam məlumatımız var vektor koordinatları ilə ifadə edin:

Müstəvi vektorlar arasındakı bucağın kosinusu və ortonormal əsasda müəyyən edilmiş, düsturu ilə ifadə edilir:
.

Kosmik vektorlar arasındakı bucağın kosinusu, ortonormal əsasda müəyyən edilir, düsturu ilə ifadə edilir:

Misal 16

Üçbucağın üç təpəsi verilmişdir. Tapın (təpə bucağı).

Həll:Şərtlərə görə, rəsm tələb olunmur, lakin yenə də:

Tələb olunan bucaq yaşıl qövslə qeyd olunur. Məktəbin bucağın təyin edilməsini dərhal xatırlayaq: – xüsusi diqqət orta məktub - bu bizə lazım olan bucağın zirvəsidir. Qısalıq üçün siz sadəcə yaza bilərsiniz.

Rəsmdən aydın olur ki, üçbucağın bucağı vektorlar arasındakı bucaqla üst-üstə düşür və başqa sözlə: .

Təhlili zehni olaraq yerinə yetirməyi öyrənmək məsləhətdir.

vektorları tapaq:

Skayar məhsulu hesablayaq:

Və vektorların uzunluqları:

Bucaq kosinusu:

Bu, dummilər üçün tövsiyə etdiyim tapşırığın yerinə yetirilməsi qaydasıdır. Daha qabaqcıl oxucular hesablamaları "bir sətirdə" yaza bilərlər:

Budur "pis" kosinus dəyərinə bir nümunə. Əldə edilən dəyər yekun deyil, ona görə də məxrəcdəki irrasionallıqdan qurtulmağın mənası yoxdur.

Bucağın özünü tapaq:

Rəsmə baxsanız, nəticə olduqca inandırıcıdır. Yoxlamaq üçün bucağı bir iletki ilə də ölçmək olar. Monitorun qapağını zədələməyin =)

Cavab:

Cavabda bunu unutmuruq üçbucağın bucağı haqqında soruşdu(və vektorlar arasındakı bucaq haqqında deyil), dəqiq cavabı göstərməyi unutmayın: və bucağın təxmini dəyəri: , kalkulyatordan istifadə edərək tapıldı.

Prosesdən həzz alanlar bucaqları hesablaya və kanonik bərabərliyin doğruluğunu yoxlaya bilərlər

Misal 17

Üçbucaq fəzada təpələrinin koordinatları ilə müəyyən edilir. və tərəfləri arasındakı bucağı tapın

Bu, özünüz həll etməyiniz üçün bir nümunədir. Tam həll və dərsin sonunda cavab

Qısa yekun bölmə skalyar məhsulu da əhatə edən proqnozlara həsr olunacaq:

Vektorun vektor üzərinə proyeksiyası. Vektorun koordinat oxlarına proyeksiyası.
Vektorun istiqamət kosinusları

vektorları nəzərdən keçirin və:

Bunu etmək üçün vektoru vektora proyeksiya edək, vektorun əvvəlindən və sonundan çıxırıq; perpendikulyarlar vektora (yaşıl nöqtəli xətlər). Təsəvvür edin ki, işıq şüaları vektora perpendikulyar düşür. Sonra seqment (qırmızı xətt) vektorun "kölgəsi" olacaqdır. Bu halda vektorun vektora proyeksiyası seqmentin UZUNLUĞU olur. Yəni PROKEKSİYA NÖMRƏDİR.

Bu NÖMRƏ aşağıdakı kimi işarələnir: , “böyük vektor” vektoru bildirir HANSI layihə, “kiçik alt işarə vektoru” vektoru bildirir ON hansı proqnozlaşdırılır.

Girişin özü belə oxunur: “a” vektorunun “ol” vektoruna proyeksiyası.”

"Ol" vektoru "çox qısa" olarsa nə olar? “Ol” vektorunu ehtiva edən düz xətt çəkirik. Və “a” vektoru artıq proqnozlaşdırılacaq "ol" vektorunun istiqamətinə, sadəcə olaraq - “ol” vektorunu ehtiva edən düz xəttə. “a” vektoru otuzuncu səltənətdə təxirə salınarsa, eyni şey baş verəcək - yenə də “ol” vektorunu ehtiva edən düz xəttə asanlıqla proqnozlaşdırılacaq.

Əgər bucaq vektorlar arasında ədviyyatlı(şəkildəki kimi), sonra

Əgər vektorlar ortoqonal, onda (proyeksiya ölçüləri sıfır hesab edilən nöqtədir).

Əgər bucaq vektorlar arasında küt(şəkildə vektor oxunu zehni olaraq yenidən düzəldin), sonra (eyni uzunluqda, lakin mənfi işarə ilə götürülür).

Bu vektorları bir nöqtədən çəkək:

Aydındır ki, vektor hərəkət etdikdə onun proyeksiyası dəyişmir

Özünüz həll etməli olduğunuz, cavablarını görə biləcəyiniz problemlər də olacaq.

Əgər məsələdə vektorların həm uzunluqları, həm də aralarındakı bucaq “gümüş nimçədə” təqdim olunursa, problemin vəziyyəti və həlli belə görünür:

Misal 1. Vektorlar verilir. Vektorların uzunluqları və aralarındakı bucaq aşağıdakı qiymətlərlə ifadə edilərsə, onların skalyar hasilini tapın:

Başqa bir tərif də etibarlıdır, 1-ci tərifə tamamilə ekvivalentdir.

Tərif 2. Vektorların skalyar hasili bu vektorlardan birinin uzunluğu ilə digər vektorun bu vektorlardan birincisi ilə təyin olunan oxa proyeksiyasının hasilinə bərabər olan ədəddir (skalar). 2-ci tərifə görə düstur:

Növbəti mühüm nəzəri məqamdan sonra bu düsturdan istifadə edərək problemi həll edəcəyik.

Vektorların skalyar hasilinin koordinatlar baxımından təyini

Əgər vurulan vektorların koordinatları verilsə, eyni ədədi əldə etmək olar.

Tərif 3. Vektorların nöqtə hasili, onların müvafiq koordinatlarının qoşa hasillərinin cəminə bərabər olan ədəddir.

Səthdə

İki vektor və müstəvidə onların ikisi ilə müəyyən edilirsə Kartezyen düzbucaqlı koordinatları

onda bu vektorların skalyar hasili onların uyğun koordinatlarının qoşa hasillərinin cəminə bərabərdir:

Misal 2. Vektorun vektora paralel oxa proyeksiyasının ədədi qiymətini tapın.

Həll. Vektorların koordinatlarının cüt hasillərini əlavə etməklə onların skalyar hasilini tapırıq:

İndi əldə edilən skalyar məhsulu vektorun uzunluğunun hasilinə və vektorun vektora paralel oxa proyeksiyasına bərabərləşdirməliyik (düstura uyğun olaraq).

Vektorun uzunluğunu onun koordinatlarının kvadratlarının cəminin kvadrat kökü kimi tapırıq:

Bir tənlik qururuq və həll edirik:

Cavab verin. Tələb olunan ədədi dəyər mənfi 8-dir.

Kosmosda

Əgər iki vektor və fəzada onların üç dekart düzbucaqlı koordinatları ilə müəyyən edilirsə

onda bu vektorların skalyar hasili də onların müvafiq koordinatlarının qoşa hasillərinin cəminə bərabərdir, yalnız artıq üç koordinat var:

Baxılan metoddan istifadə edərək skalyar hasilin tapılması vəzifəsi skalyar hasilin xüsusiyyətlərini təhlil etdikdən sonradır. Çünki məsələdə vurulan vektorların hansı bucağı əmələ gətirdiyini müəyyən etməli olacaqsınız.

Vektorların skalyar hasilinin xassələri

Cəbri xassələri

1. (kommutativ mülkiyyət: vurulan vektorların yerlərinin tərsinə çevrilməsi onların skalyar hasilinin qiymətini dəyişmir).

2. (ədədi amillə bağlı assosiativ xassə: vektorun müəyyən əmsala vurulan skalyar hasili ilə başqa vektorun eyni əmsala vurulan bu vektorların skalyar hasilinə bərabərdir).

3. (vektorların cəminə nisbətən paylayıcı xassə: iki vektorun cəminin üçüncü vektor üzrə skalyar hasili birinci vektorun üçüncü vektorla, ikinci vektorun üçüncü vektor üzrə skalyar hasillərinin cəminə bərabərdir).

4. (sıfırdan böyük vektorun skalyar kvadratı), if sıfırdan fərqli vektordur və , if sıfır vektorudur.

Həndəsi xassələri

Tədqiq olunan əməliyyatın təriflərində biz artıq iki vektor arasındakı bucaq anlayışına toxunmuşuq. Bu konsepsiyaya aydınlıq gətirməyin vaxtı gəldi.

Yuxarıdakı şəkildə siz ümumi mənşəyə gətirilən iki vektoru görə bilərsiniz. Diqqət etməli olduğunuz ilk şey, bu vektorlar arasında iki bucaq olmasıdır - φ 1 Və φ 2 . Bu bucaqlardan hansı vektorların skalyar hasilinin təriflərində və xassələrində görünür? Nəzərə alınan bucaqların cəmi 2-dir π və buna görə də bu bucaqların kosinusları bərabərdir. Nöqtə məhsulunun tərifi yalnız bucağın kosinusunu ehtiva edir, onun ifadə dəyərini deyil. Ancaq xüsusiyyətlər yalnız bir bucağı nəzərə alır. Və bu, iki bucaqdan biri də keçmir π , yəni 180 dərəcə. Şəkildə bu bucaq kimi göstərilir φ 1 .

1. İki vektor çağırılır ortoqonal Və bu vektorlar arasındakı bucaq düzdür (90 dərəcə və ya π /2 ), əgər bu vektorların skalyar hasili sıfırdır :

Vektor cəbrində ortoqonallıq iki vektorun perpendikulyarlığıdır.

2. Sıfırdan fərqli iki vektor təşkil edir kəskin künc (0-dan 90 dərəcəyə qədər və ya eyni olan - daha az π nöqtə məhsulu müsbətdir .

3. Sıfırdan fərqli iki vektor təşkil edir küt bucaq (90 ilə 180 dərəcə arasında və ya eyni olan - daha çox π /2) yalnız və yalnız əgər onlar nöqtə məhsulu mənfidir .

Misal 3. Koordinatlar vektorlarla verilir:

Verilmiş vektorların bütün cütlərinin skalyar hasillərini hesablayın. Bu vektor cütləri hansı bucağı (kəskin, sağ, küt) əmələ gətirir?

Həll. Müvafiq koordinatların məhsullarını əlavə etməklə hesablayacağıq.

Mənfi ədəd aldıq, buna görə vektorlar küt bucaq əmələ gətirir.

Müsbət ədəd aldıq, buna görə vektorlar kəskin bucaq əmələ gətirir.

Sıfır aldıq, buna görə vektorlar düz bucaq yaradır.

Müsbət ədəd aldıq, buna görə vektorlar kəskin bucaq əmələ gətirir.

Özünü sınamaq üçün istifadə edə bilərsiniz onlayn kalkulyator Vektorların nöqtə məhsulu və aralarındakı bucağın kosinusu.

Misal 4.İki vektorun uzunluqları və aralarındakı bucaq verilmişdir:

Vektorların ədədin hansı qiymətində ortoqonal (perpendikulyar) olduğunu müəyyən edin.

Həll. Polinomların vurulması qaydasından istifadə edərək vektorları çoxaldaq:

İndi hər bir termini hesablayaq:

Gəlin bir tənlik yaradaq (məhsul sıfıra bərabərdir), oxşar şərtləri əlavə edək və tənliyi həll edək:

Cavab: dəyərini aldıq λ = 1.8, vektorlar ortoqonaldır.

Misal 5. vektor olduğunu sübut edin vektora ortoqonal (perpendikulyar).

Həll. Ortoqonallığı yoxlamaq üçün vektorları və çoxhədliləri çoxaldırıq, əvəzinə problemin ifadəsində verilmiş ifadəni əvəz edirik:

Bunu etmək üçün birinci çoxhədlinin hər bir üzvünü (müddətini) ikincinin hər bir üzvünə vurmalı və nəticədə alınan məhsulları əlavə etməlisiniz:

Nəticədə, fraksiya ilə azaldılır. Aşağıdakı nəticə əldə edilir:

Nəticə: vurma nəticəsində sıfır əldə etdik, buna görə vektorların ortoqonallığı (perpendikulyarlığı) sübut edilmişdir.

Problemi özünüz həll edin və sonra həllini görün

Misal 6. ve vektorlarının uzunluqları verilmişdir və bu vektorlar arasındakı bucaqdır π /4. Hansı dəyərdə olduğunu müəyyənləşdirin μ vektordur və qarşılıqlı perpendikulyardır.

Özünü sınamaq üçün istifadə edə bilərsiniz onlayn kalkulyator Vektorların nöqtə məhsulu və aralarındakı bucağın kosinusu.

Vektorların nöqtə hasilinin və n ölçülü vektorların hasilinin matris təsviri

Bəzən aydınlıq üçün iki vurulan vektorun matrislər şəklində təqdim edilməsi faydalıdır. Sonra birinci vektor sətir matrisi, ikincisi isə sütun matrisi kimi təqdim olunur:

Onda vektorların skalyar hasili olacaqdır bu matrislərin məhsulu :

Nəticə artıq nəzərdən keçirdiyimiz üsulla əldə edilənlə eynidir. Tək ədəd aldıq və sətir matrisinin sütun matrisi ilə hasilatı da bir ədəddir.

Abstrakt n-ölçülü vektorların hasilini matris şəklində təqdim etmək rahatdır. Beləliklə, iki dördölçülü vektorun hasili dörd elementli bir sətir matrisinin dörd elementli bir sütun matrisinin hasilinə, iki beşölçülü vektorun hasili isə beş elementli sətir matrisinin hasili olacaqdır. beş elementli sütun matrisi və s.

Misal 7. Cüt vektorların skalyar hasillərini tapın

matris təmsilindən istifadə etməklə.

Həll. İlk vektor cütü. Birinci vektoru sıra matrisi, ikincisini isə sütun matrisi kimi təqdim edirik. Bu vektorların skalyar hasilini sətir matrisinin və sütun matrisinin hasili kimi tapırıq:

Eyni şəkildə ikinci cütü təmsil edirik və tapırıq:

Gördüyünüz kimi, nəticələr 2-ci nümunədəki eyni cütlərlə eyni idi.

İki vektor arasındakı bucaq

İki vektor arasındakı bucağın kosinusu üçün düsturun çıxarılması çox gözəl və yığcamdır.

Vektorların nöqtə hasilini ifadə etmək

(1)

koordinat formasında biz əvvəlcə vahid vektorların skalyar hasilini tapırıq. Tərifinə görə vektorun özü ilə skalyar hasili:

Yuxarıdakı düsturda yazılanlar deməkdir: vektorun özü ilə skalyar hasili onun uzunluğunun kvadratına bərabərdir. Sıfırın kosinusu birə bərabərdir, buna görə də hər bir vahidin kvadratı birə bərabər olacaq: