Funksiyaların diferensiallığı. diferensiallanan funksiyanın davamlılığı

ev / Mübahisə

Teorem.Əgər funksiya bir nöqtədə x = x 0-ın (sonlu) törəməsi var , Bu

1) funksiya artımı kimi göstərilə bilər

ya da bir sözlə, , Harada a D-dən asılı olan kəmiyyətdir x və onunla birlikdə sıfıra meyl edən, yəni. ;

2) funksiya bu nöqtədə mütləq davamlıdır.

Sübut. 1) törəmənin tərifinə görə, . Həddi bu həddin cəmi ilə sonsuz kiçik olan funksiyanın təsviri haqqında teoremdən istifadə edərək yazırıq.

, Harada .

Buradan müəyyən edən D y, (3.6) düsturuna çatırıq.

2) Funksiyanın davamlılığını sübut etmək üçün (3.6) ifadəsini nəzərdən keçirək. D-də x®0 (3.6)-nın sağ tərəfindəki məbləğ yox olur. Beləliklə, , və ya , yəni nöqtədəki funksiya x 0 davamlıdır.

Sübut edilmiş teoremdən belə nəticə çıxır ki, verilmiş nöqtədə törəməsi olan funksiya həmin nöqtədə fasiləsiz olacaqdır. Bununla belə, müəyyən bir nöqtədə davamlı funksiyanın həmişə həmin nöqtədə törəməsi olmur. Bəli, nöqtədə x 0 = 1 xüsusiyyət y=|x– 1| davamlıdır, lakin bu nöqtədə törəməsi yoxdur. Bu o deməkdir ki, bu şərt yalnız zəruridir.

Mürəkkəb funksiyanın törəməsi

Teorem. 1) funksiyası olsun v=j(x) nə vaxtsa var x törəmə , 2) funksiya y=f(v) müvafiq nöqtəyə malikdir v törəmə Sonra kompleks funksiya y = f(j(x)) qeyd olunan nöqtədə X həm də törəmə funksiyaların hasilinə bərabər törəmə olacaq f(v) Və j(x): [f(j(x)) ]" = və ya daha qısa

Sübut. verək X ixtiyari artım Δ X; qoy Δ v uyğun funksiya artımıdır v=j(x) və nəhayət Δ saat– funksiya artımı y=f(v) artımı Δ səbəb olur v. Əvəz etməklə (3.6) münasibətindən istifadə edək x haqqında v, şəklində yenidən yazın (aΔ-dan asılıdır v və onunla sıfıra meyl edir. Müddətə görə onu D-yə bölmək x, alırıq

Əgər D x sıfıra meyllidir, onda (3.6)-a uyğun olaraq (bu şərtlə y = v), sıfıra meyl edəcək və Δ v, və sonra, bildiyimiz kimi, Δ-dan asılı v böyüklük a. Buna görə də bir məhdudiyyət var

istənilən törəmədir.

Beləliklə, mürəkkəb funksiyanın törəməsi xarici funksiyanın törəməsi ilə daxili funksiyanın törəməsinin hasilinə bərabərdir.

Bir neçə superpozisiya nəticəsində alınan mürəkkəb funksiya halı (3.7) qaydasının ardıcıl tətbiqi ilə tükənir. Beləliklə əgər y = f(u), u = j(v), v = y(x), Yəni

Nümunələr. 1. Qoy y= log a günah x,başqa sözlə, y= log a v, Harada v= günah x. Qaydaya görə (3.7)

2. , yəni. y = e u,u=v 2 , v= günah x. Qaydaya görə (3.8)

1.7. Törəmə eksponensialdır– güc funksiyası

Qoy u = u(x) > 0 və v=v(x) sabit nöqtədə törəmələri olan funksiyalardır x. Funksiyanın törəməsini tapaq y = u v. Bu bərabərliyin loqarifmini götürsək, alırıq: ln y=v ln u.

Gəlin bu bərabərliyin hər iki tərəfini fərqləndirək x:

Buradan və ya

Beləliklə, eksponensial güc funksiyasının törəməsi iki hədddən ibarətdir: birinci hədd o halda alınır ki, diferensiallaşdırarkən fərz etsək ki, Və-dən bir funksiya var X, A v sabitdir (yəni nəzərə alın u v güc funksiyası kimi); İkinci termini fərz etməklə əldə edilir v-dən bir funksiya var X, A u = const(yəni düşünün u v eksponensial funksiya kimi).

Nümunələr. 1. Əgər y = x tg x, sonra, fərz edirik u=x,v = tg x, (3.9)-a görə bizdə var

= tg x x tg x - 1 + x tg x ln x san 2 x.

Bu halda törəməni tapmaq üçün istifadə olunan və ilk növbədə nəzərdən keçirilən funksiyanın loqarifminin törəməsinin tapılmasından ibarət olan texnika diferensiallaşma funksiyalarında geniş istifadə olunur: funksiyanın törəməsi tapılarkən bu funksiyalar əvvəlcə loqarifmləşdirilir, sonra isə funksiyanın loqarifmini diferensiallaşdırdıqdan sonra alınan bərabərlik, törəmə funksiyaları təyin edin. Belə bir əməliyyat deyilir loqarifmik fərqləndirmə.

2. Funksiyanın törəməsini tapmaq tələb olunur

Loqarifmləri götürərək tapırıq:

ln y= 2 milyon ( x + 1) + ln( x– 1) – 3 ln( x + 4) – x.

Son bərabərliyin hər iki hissəsini fərqləndiririk:

ilə vurulur saat və əvəz edir əvəzinə saat, alırıq.

Funksiya y = f(x)çağırdı diferensiallaşan bir nöqtədə x 0 bu nöqtədə müəyyən bir törəmə varsa, yəni. əlaqənin həddi mövcud olduqda və sonlu olarsa.

Əgər funksiya hansısa seqmentin hər nöqtəsində diferensiallana bilirsə [ A; b] və ya interval ( A; b), sonra bunu deyirlər diferensiallaşan seqmentdə [ A; b] və ya müvafiq olaraq intervalda ( A; b).

Diferensiallanan və davamlı funksiyalar arasında əlaqə quran aşağıdakı teorem etibarlıdır.

Teorem.Əgər funksiyası y = f(x) müəyyən nöqtədə fərqlənə bilər x0, onda bu nöqtədə davamlıdır.

Beləliklə, funksiyanın diferensiallığı onun davamlılığını nəzərdə tutur.

Sübut. Əgər, onda

burada α sonsuz kiçik qiymətdir, yəni. Δ-da sıfıra meylli kəmiyyət x→0. Amma sonra

Δ y=f "(x0) Δ x+αΔ x=> Δ y→ Δ-da 0 x→0, yəni. f(x) - f(x0)→ 0 x→x 0 deməkdir ki, funksiya f(x) nöqtədə davamlıdır x 0 . Q.E.D.

Beləliklə, kəsilmə nöqtələrində funksiyanın törəməsi ola bilməz. Əks müddəa doğru deyil: bəzi nöqtələrdə diferensiallaşa bilməyən davamlı funksiyalar var (yəni onların bu nöqtələrdə törəməsi yoxdur).

Şəkildəki nöqtələri nəzərdən keçirin a, b, c.

nöqtədə aΔ-da x→0 əlaqənin həddi yoxdur (çünki birtərəfli limitlər Δ üçün fərqlidir x→0-0 və ∆ x→0+0). nöqtədə A qrafikdə müəyyən edilmiş tangens yoxdur, lakin yamaclı iki fərqli birtərəfli tangens var Kimə 1 və Kimə 2. Bu tip nöqtəyə künc nöqtəsi deyilir.

nöqtədə bΔ-da x→0 nisbəti sabit işarəli sonsuz böyük dəyərdir. Funksiyanın sonsuz törəməsi var. Bu nöqtədə qrafik şaquli tangensə malikdir. Nöqtə növü - şaquli tangens ilə "əyilmə nöqtəsi".

nöqtədə c birtərəfli törəmələr müxtəlif işarələrin sonsuz böyük miqdarlarıdır. Bu nöqtədə qrafikdə iki birləşmiş şaquli tangens var. Tip - şaquli bir tangens ilə "cusp" - bir künc nöqtəsinin xüsusi bir vəziyyəti.

Nümunələr.

1. Funksiyanı nəzərdən keçirək y=|x|. Bu funksiya nöqtədə davamlıdır x= 0, çünki .

Gəlin göstərək ki, onun bu nöqtədə törəməsi yoxdur.

f(0+Δ x) = f(Δ x) = |Δ x|. Buna görə də, Δ y = f(Δ x) - f(0) = |Δ x|

Amma sonra Δ üçün x< 0 (т.е. при Δx soldan 0-a meyl)

Və Δ x > 0

Beləliklə, Δ-da nisbət x→ sağda və solda 0 fərqli hədlərə malikdir, yəni əlaqənin heç bir limiti yoxdur, yəni. funksiya törəməsi y=|x| nöqtədə x= 0 mövcud deyil. Həndəsi olaraq, bu nöqtədə deməkdir x= 0 bu "əyri"nin dəqiq tangensi yoxdur (bu nöqtədə onlardan ikisi var).

2. Funksiya müəyyən edilmiş və bütün real xətt üzrə davamlıdır. Bu funksiyanın törəməsinin olub olmadığını öyrənək x= 0.

Buna görə də, nəzərdən keçirilən funksiya nöqtədə diferensiallaşmır x= 0. Bu nöqtədə əyriyə toxunan x oxu ilə p/2 bucağı əmələ gətirir, yəni. oxu ilə üst-üstə düşür ay.

Elementar funksiyaların törəmələri.

1.
y = x n .Əgər n Nyutonun binom düsturundan istifadə edərək müsbət tam ədəddir:

(a + b) n = a n+ n a n-1 b + 1/2?n(n - 1)a n-2? b 2 + 1/(2?3)?n(n - 1)(n - 2)a n-3 b 3 +…+ b n ,

bunu sübut etmək olar

Beləliklə əgər xΔ artımını alır x, Bu f(x+Δ x) = (x + Δ x)n, və deməli

Formula 3 və 5 özünüzü sübut edir.

Əgər funksiyası y = f(x) müəyyən nöqtədə diferensiallaşır x = x 0, onda bu nöqtədə davamlıdır.

Beləliklə, kəsilmə nöqtələrində funksiyanın törəməsi ola bilməz. Əks nəticə yanlışdır, yəni. ki, nə vaxtsa x = x 0 funksiyası y = f(x) davamlıdır, ondan bu nöqtədə diferensiallaşdığı çıxmır. Məsələn, funksiya y = |x| hamı üçün davamlı x (–< X < ), но в точке x= 0-ın törəməsi yoxdur. Bu nöqtədə qrafikə heç bir tangens yoxdur. Sağ tangens və sol tangens var, lakin onlar uyğun gəlmir.

21 Qaydaların tapılması. istehsal məbləğlər

Qayda 1Əgər y \u003d f (x) və y \u003d g (x) funksiyalarının x nöqtəsində törəməsi varsa, onların cəminin də x nöqtəsində törəməsi var və cəmin törəməsi onların cəminə bərabərdir. törəmələri:
(f (x) + 8 (x))" \u003d f (x) + (x).
Praktikada bu qayda daha qısa şəkildə tərtib edilir: cəminin törəməsi törəmələrin cəminə bərabərdir.
Misal üçün,
Qayda 2Əgər y \u003d f (x) funksiyasının x nöqtəsində törəməsi varsa, y \u003d kf (x) funksiyasının x nöqtəsində törəməsi var və:

Təcrübədə bu qayda daha qısa şəkildə tərtib edilir: daimi amil törəmənin işarəsindən çıxarıla bilər. Misal üçün,

Qayda 3Əgər y \u003d f (x) və y \u003d g (x) funksiyalarının x nöqtəsində törəməsi varsa, onların məhsulunun da x nöqtəsində törəməsi var və:

Təcrübədə bu qayda aşağıdakı kimi tərtib edilir: iki funksiyanın hasilinin törəməsi iki həddin cəminə bərabərdir. Birinci hədd birinci funksiya ilə ikinci funksiyanın törəməsinin hasilidir, ikinci həd birinci funksiyanın törəməsi ilə ikinci funksiyanın törəməsidir.
Misal üçün:
Qayda 4Əgər y \u003d f (x) və y \u003d g (x) funksiyalarının o zaman törəməsi varsa və hissənin x nöqtəsində törəməsi varsa, üstəlik:

Kompleks törəmələr cədvəli

22 Fərq. funkt. nöqtədə

Funksiya y=f(x) nöqtədə diferensiallanan adlanır x 0 artımı Δ olarsa y(x 0,Δ x) kimi təmsil oluna bilər

Δ y(x 0,Δ x)=AΔ x+o(Δ x).

Əsas xətti hissə AΔ x artımlar Δ y nöqtədə bu funksiyanın diferensialı adlanır xΔ artımına uyğun 0 x, və simvolu ilə işarələnir dy(x 0,Δ x).

Funksiya üçün y=f(x) nöqtədə diferensiallaşdı x 0, törəmə olması zəruri və kifayətdir f′( x 0), bərabərlik olarkən A=f′( x 0).

Diferensial üçün ifadə formaya malikdir

dy(x 0,dx)=f′( x 0)dx,

Harada dx=Δ x.

23 Prod. Fərq. Funksiyalar

Mürəkkəb funksiyanın törəməsi. Parametrik olaraq təyin edilmiş funksiyanın törəməsi

Qoy y - mürəkkəb funksiya x, yəni. y = f(u), u = g(x), və ya

Əgər g(x) Və f(u) nöqtələrdə onların arqumentlərinin diferensiallanan funksiyalarıdır x Və u = g(x), onda kompleks funksiya da nöqtədə diferensiallaşır x və düsturla tapılır

Parametrik verilmiş funksiyanın törəməsi.

24 Məhsul və fərq. Daha yüksək sifariş

İndi üçüncü dərəcəli törəmə nöqtənin hansısa qonşuluğunda təyin olunsun və diferensiallaşdırılsın. Sonra

Əgər funksiyanın hansısa D sahəsində dəyişənlərdən birinə nisbətən qismən törəməsi varsa, o zaman adlandırılmış törəmə özü funksiyası olmaqla, müəyyən nöqtədə eyni və ya hər hansı digər dəyişənə görə qismən törəmələrə malik ola bilər. Orijinal funksiya üçün bu törəmələr ikinci dərəcəli qismən törəmələr (və ya ikinci qismən törəmələr) olacaqdır.

Müxtəlif dəyişənlərə münasibətdə götürülmüş ikinci və ya daha yüksək dərəcəli qismən törəmə qarışıq qismən törəmə adlanır. Misal üçün,

sifariş diferensial n, Harada n > 1, hansısa nöqtədə funksiyanın nizamlı diferensialın bu nöqtəsindəki diferensialı adlanır (n - 1), yəni

Bir dəyişəndən asılı olan funksiya üçün ikinci və üçüncü diferensiallar belə görünür:

Buradan diferensialın ümumi formasını əldə edə bilərik n-funksiyanın sifarişi:

25 Ferma, Rol, Lanqraj teoremləri

v Fermat teoremi: Funksiya müəyyən edilsin və maksimum və minimum qiymətlərinə çatsın ( M Və m) bəzilərində. -də törəmə varsa, o, mütləq 0-a bərabərdir.

Sübut: var. İki hal mümkündür:

1) , => , => .

2) , => , => .

1) və 2)-dən belə çıxır

v Rol teoremi (törəmənin kökləri haqqında): Funksiya davamlı və diferensiallana bilən olsun və seqmentin sonunda eyni dəyərləri götürün: . Onda törəməsi olan ən azı bir nöqtə var.

v Sübut: Davamlı uzanır M Və m. Sonra iki hal mümkündür:

2) ən böyük qiymət Fermat teoreminə uyğun olaraq interval daxilində əldə edilir.

v Lanqrej teoremi (sonlu artımlar haqqında): Funksiya kəsilməz və üzərində diferensial olsun. Onda aşağıdakı bərabərliyin təmin olunduğu ən azı biri mövcuddur: .

Sübut: Gəlin funksiyanı təqdim edək. (davamlı və diferensiallana bilər).

Funksiya Rol teoremini ödəyir, bunun üçün mövcuddur: , , , .

Funksiya çağırılır ciddi şəkildə artırəgər varsa

Funksiya çağırılır azalanəgər varsa

Funksiya çağırılır ciddi şəkildə azalırəgər varsa

Məqalənin məzmunu

TÖRƏVVƏ-funksiyanın törəməsi y = f(x) müəyyən intervalda ( a, b) nöqtəsində x bu interval funksiyanın artımının nisbətinin meyl etdiyi hədd adlanır f həmin nöqtədə arqumentin artımı sıfıra yaxınlaşdıqca arqumentin müvafiq artımına.

Törəmə adətən aşağıdakı kimi işarələnir:

Digər qeydlər də geniş istifadə olunur:

Ani sürət.

Qoy nöqtə olsun M düz bir xətt üzrə hərəkət edir. Məsafə s hərəkət nöqtəsi, bəzi başlanğıc mövqedən sayılır M 0 , zamandan asılıdır t, yəni. s zamanın funksiyasıdır t: s= f(t). Zamanın bir nöqtəsində icazə verin t hərəkət nöqtəsi M məsafədə idi s başlanğıc mövqeyindən M 0 və növbəti anda t+ D t mövqedə idi M 1 - məsafədə s+ D s ilkin mövqedən ( şəklə bax.).

Beləliklə, bir müddət D t məsafə s D dəyəri ilə dəyişdirildi s. Bu halda deyirik ki, D vaxt intervalı ərzində t böyüklük s artım D s.

Orta sürət bütün hallarda nöqtənin hərəkət sürətini dəqiq xarakterizə edə bilməz. M vaxtında t. Əgər, məsələn, D intervalının əvvəlində bədən tçox tez hərəkət etdi və sonunda çox yavaş, onda orta sürət nöqtənin hərəkətinin göstərilən xüsusiyyətlərini əks etdirə bilməyəcək və hazırda onun hərəkətinin əsl sürəti haqqında fikir verə bilməyəcəkdir. t. Orta sürətdən istifadə edərək həqiqi sürəti daha dəqiq ifadə etmək üçün daha kiçik D vaxtını götürməlisiniz t. Bu anda bir nöqtənin hərəkət sürətini ən tam şəkildə xarakterizə edir t orta sürətin D-də meyl etdiyi hədd t® 0. Bu hədd verilmiş andakı hərəkət sürəti adlanır:

Beləliklə, müəyyən bir anda hərəkət sürəti D yolunun artımının nisbətinin həddidir s zaman artımına D t zaman artımı sıfıra meyl etdikdə. Çünki

Törəmənin həndəsi qiyməti. Funksiya qrafikinə tangens.

Tangenslərin qurulması diferensial hesabın yaranmasına səbəb olan problemlərdən biridir. Leybniz tərəfindən yazılan diferensial hesaba dair ilk nəşr olunmuş əsərin adı verilmişdir Nə kəsr, nə də irrasional kəmiyyətlərin maneə törətmədiyi maksimum və minimumların, eləcə də tangenslərin yeni üsulu və bunun üçün xüsusi hesablama növü..

Əyri funksiyanın qrafiki olsun y =f(x) düzbucaqlı koordinat sistemində ( santimetr. düyü.).

Bəzi dəyər üçün x funksiyası vacibdir y =f(x). Bu dəyərlər x Və yəyri üzərində nöqtə M 0(x, y). Əgər mübahisə x vermək artım D x, sonra arqumentin yeni dəyəri x+ D x funksiyanın yeni dəyərinə uyğundur y+ D y = f(x + D x). Əyrinin müvafiq nöqtəsi nöqtə olacaqdır M 1(x+ D x,y+ D y). Bir sekant çəksək M 0M 1 və j ilə işarələyin müsbət ox istiqaməti olan sekantın yaratdığı bucaq öküz, rəqəmdən birbaşa görünür ki .

Əgər indi D x sıfıra, sonra nöqtəyə meyl edir M 1 nöqtəyə yaxınlaşaraq əyri boyunca hərəkət edir M 0 və bucaq j Dəyişiklik ilə dəyişir x. At Dx® 0 j bucağı müəyyən a limitinə və nöqtədən keçən xəttə meyl edir M 0 və absis oxunun müsbət istiqaməti olan komponent a bucağı istənilən tangens olacaqdır. Onun yamacı:

Beləliklə, f´( x) = tga

olanlar. törəmə dəyər f´( x) arqumentin verilmiş dəyəri üçün x funksiyanın qrafikinə tangensin yaratdığı bucağın tangensinə bərabərdir f(x) müvafiq nöqtədə M 0(x,y) müsbət oxu istiqaməti ilə öküz.

Funksiyaların diferensiallığı.

Tərif. Əgər funksiyası y = f(x) nöqtəsində törəmə var x = x 0, onda funksiya bu nöqtədə diferensiallana bilər.

Törəmə olan funksiyanın davamlılığı. Teorem.

Əgər funksiyası y = f(x) müəyyən nöqtədə diferensiallaşır x = x 0, onda bu nöqtədə davamlıdır.

Beləliklə, kəsilmə nöqtələrində funksiyanın törəməsi ola bilməz. Əks nəticə yanlışdır, yəni. ki, nə vaxtsa x = x 0 funksiyası y = f(x) davamlıdır, ondan bu nöqtədə diferensiallaşdığı çıxmır. Məsələn, funksiya y = |x| hamı üçün davamlı x(–Ґ x x = 0-ın törəməsi yoxdur. Bu nöqtədə qrafikə toxunan yoxdur. Sağ tangens və sol tangens var, lakin onlar üst-üstə düşmür.

Diferensiallanan funksiyalar haqqında bəzi teoremlər. Törəmənin kökləri haqqında teorem (Roll teoremi).Əgər funksiyası f(x) seqmentdə davamlıdır [a,b], bu seqmentin bütün daxili nöqtələrində və uclarında fərqlənir x = a Və x = b yox olur ( f(a) = f(b) = 0), sonra seqment daxilində [ a,b] ən azı bir nöqtə var x= ilə, a c b, hansı törəmə fў( x) yox olur, yəni. fў( c) = 0.

Sonlu artım teoremi (Laqranj teoremi).Əgər funksiyası f(x) seqmentdə davamlıdır [ a, b] və bu seqmentin bütün daxili nöqtələrində, sonra seqmentin daxilində [[ a, b] ən azı bir nöqtə var ilə, a c b ki

f(b) – f(a) = fў( c)(b– a).

İki funksiyanın artımlarının nisbəti haqqında teorem (Koşi teoremi).Əgər f(x) Və g(x) seqmentdə davamlı iki funksiyadır [a, b] və bu seqmentin bütün daxili nöqtələrində diferensiallana bilir və gў( x) bu seqmentin daxilində, sonra seqmentin daxilində heç bir yerdə yox olmur. a, b] belə bir məqam var x = ilə, a c b ki

Müxtəlif sifarişlərin törəmələri.

Qoy funksiya olsun y =f(x) müəyyən intervalda diferensiallaşır [ a, b]. Törəmə dəyərlər f ў( x), ümumiyyətlə, asılıdır x, yəni. törəmə f ў( x) də funksiyasıdır x. Bu funksiya diferensiallaşdırıldıqda funksiyanın ikinci törəməsi deyilən şey alınır f(x), işarələnmişdir f ўў ( x).

törəmə n- funksiyanın sırası f(x) törəmənin törəməsi (birinci dərəcəli) adlanır n- 1- th və simvolu ilə işarələnir y(n) = (y(n– 1))ў.

Müxtəlif sifarişlərin diferensialları.

Funksiya diferensialı y = f(x), Harada x müstəqil dəyişəndir, yəni dy = f ў( x)dx, -dən bəzi funksiyalar x, amma dan x yalnız birinci amil asılı ola bilər f ў( x), ikinci amil isə ( dx) müstəqil dəyişənin artımıdır x və bu dəyişənin qiymətindən asılı deyil. Çünki dy-dən bir funksiya var x, onda bu funksiyanın diferensialını təyin edə bilərik. Funksiyanın diferensialının diferensialına bu funksiyanın ikinci və ya ikinci dərəcəli diferensialı deyilir və işarə olunur. d 2y:

d(dx) = d 2y = f ўў( x)(dx) 2 .

Diferensial n- sıraya diferensialın birinci diferensialı deyilir n- 1- sifariş:

d n y = d(d n–1y) = f(n)(x)dx(n).

Şəxsi törəmə.

Əgər funksiya birdən deyil, bir neçə arqumentdən asılıdırsa x i(i 1-dən dəyişir n,i= 1, 2,… n),f(x 1,x 2,… x n), sonra diferensial hesablamada yalnız bir arqument dəyişdikdə bir neçə dəyişənin funksiyasının dəyişmə sürətini xarakterizə edən qismən törəmə anlayışı təqdim olunur, məsələn, x i. ilə bağlı 1-ci dərəcəli qismən törəmə x i adi törəmə kimi müəyyən edilir, istisna olmaqla bütün arqumentlərin olduğu güman edilir x i, sabit dəyərləri saxlayın. Qismən törəmələr üçün qeydi təqdim edirik

Bu şəkildə müəyyən edilmiş 1-ci dərəcəli qismən törəmələr (eyni arqumentlərin funksiyaları kimi) öz növbəsində qismən törəmələrə də sahib ola bilər, bunlar ikinci dərəcəli qismən törəmələrdir və s. Müxtəlif arqumentlərə münasibətdə belə törəmələr qarışıq adlanır. Eyni tərtibli davamlı qarışıq törəmələr diferensiasiya qaydasından asılı deyil və bir-birinə bərabərdir.

Anna Çuqaynova

Hərəkət edən nöqtənin sürəti problemi

Maddi nöqtənin düzxətli hərəkəti qanunu olsun. Zaman nöqtəsinin keçdiyi yol və zamanın keçdiyi yol ilə işarələyin. Sonra, zaman keçdikcə, nöqtə bərabər bir yolu əhatə edəcək: . Nisbət nöqtənin --dən -ə qədər olan vaxtda orta sürəti adlanır. Nə qədər az, yəni. -ə qədər olan vaxt intervalı nə qədər qısa olarsa, orta sürət zaman anında nöqtənin hərəkətini bir o qədər yaxşı xarakterizə edir. Buna görə də, müəyyən bir anda sürət anlayışını təqdim etmək təbiidir, onu nə vaxta qədər olan interval üçün orta sürətin həddi kimi müəyyənləşdirir:

Dəyər verilən anda nöqtənin ani sürəti adlanır.

Verilmiş əyriyə tangens problemi

Tənliklə müstəvidə davamlı əyri verilsin. Nöqtədə verilmiş əyriyə qeyri-şaquli tangens çəkmək tələb olunur . Tangens nöqtəsi verildiyi üçün məsələni həll etmək üçün tangensin yamacını tapmaq lazımdır. Həndəsədən məlumdur ki, , oxun müsbət istiqamətinə tangensin meyl bucağı haradadır (şək. bax). nöqtələr vasitəsilə Və sekant çəkmək , burada oxun müsbət istiqaməti ilə kəsicinin yaratdığı bucaqdır . Şəkildən də görünür ki , harada . Nöqtədə verilmiş əyriyə toxunanın yamacını aşağıdakı tərif əsasında tapmaq olar.

Bir nöqtədə əyriyə toxunan nöqtə nöqtəyə meyl edərkən sekantın məhdudlaşdırıcı mövqeyidir. . Buna görə də belə çıxır .

Törəmə tərifi

Yuxarıda müzakirə olunan məsələləri həll etmək üçün tələb olunan riyazi əməliyyat eynidir. Gəlin bu əməliyyatın analitik mahiyyətini, ona səbəb olan konkret suallardan mücərrəd çıxaraq aydınlaşdıraq.

Funksiya hansısa intervalda müəyyən edilsin. Bu intervaldan qiymət götürək. Gəlin bir qədər artım verək (müsbət və ya mənfi). Arqumentin bu yeni dəyəri funksiyanın yeni dəyərinə uyğundur , Harada.

Gəlin münasibət quraq , funksiyasıdır.

Bir nöqtədəki dəyişənə münasibətdə funksiyanın törəməsi, ixtiyari olduqda, bu nöqtədə funksiyanın artımının ona səbəb olan arqumentin artımına nisbətinin həddidir:

Şərh. Hesab olunur ki, düsturun sağ tərəfindəki limit mövcud olduqda və sonludur və dəyişənin artımının 0-a (sola və ya sağa) necə meyl etməsindən asılı deyilsə, funksiyanın nöqtədə törəməsi mövcuddur.

Funksiyanın törəməsinin tapılması prosesinə onun diferensiallaşdırılması deyilir.

Tərifə görə bəzi funksiyaların törəmələrinin tapılması

a) Sabitin törəməsi.

Qoy , sabit haradadır, çünki bu funksiyanın dəyərləri hamı üçün eynidir, onda onun artımı sıfırdır və buna görə də

Beləliklə, sabitin törəməsi sıfıra bərabərdir, yəni. .

b) funksiyanın törəməsi.

Funksiyanın artımını edək:

Törəmə tapılarkən funksiyaların hasilinin həddi, birinci əlamətdar həddi və funksiyanın davamlılığı xassəsindən istifadə edilmişdir.

Beləliklə, .

Funksiyanın diferensiallığı ilə onun davamlılığı arasında əlaqə

Nöqtədə törəməsi olan funksiya həmin nöqtədə diferensiallanan adlanır. Hansısa intervalın bütün nöqtələrində törəməsi olan funksiya bu intervalda diferensiallanan adlanır.

Teorem. Funksiya bir nöqtədə diferensiallana bilirsə, o nöqtədə davamlıdır.

Sübut. Gəlin arqumentə ixtiyari artım verək. Sonra funksiya artırılacaq. Gəlin bərabərliyi yazaq və sol və sağ tərəfdəki limitə keçək:

Davamlı funksiya üçün arqumentin sonsuz kiçik artımı funksiyanın sonsuz kiçik artımına uyğun gəldiyi üçün teorem sübut edilmiş hesab edilə bilər.

Şərh. Əks iddia doğru deyil, yəni. bir nöqtədə funksiyanın davamlılığı, ümumiyyətlə, həmin nöqtədə diferensiallığı nəzərdə tutmur. Məsələn, funksiya hamı üçün davamlıdır, lakin -də diferensiallaşmır. Həqiqətən:

Limit sonsuzdur, bu o deməkdir ki, funksiya nöqtədə diferensiallaşmır.

Elementar funksiyaların törəmələri cədvəli

Şərh. Funksiyaların diferensiallaşdırılmasında istifadə olunan səlahiyyətlərin və köklərin xüsusiyyətlərini xatırlayın:

Törəmələrin tapılmasına dair nümunələr verək.

1) .

Mürəkkəb funksiyanın törəməsi

Qoy . Onda funksiya mürəkkəb funksiyadan olacaq x.

Funksiya bir nöqtədə diferensiallanarsa x, və funksiya nöqtədə diferensiallanır u, onda o da nöqtədə diferensiallaşır x, və

O zaman təxmin edirik. Beləliklə

Kifayət qədər bacarıqla, ara dəyişən u yalnız zehni olaraq girərək yazmayın.

Diferensial

Nöqtədə fasiləsiz funksiyanın qrafikinə bir tangens çəkin MT, vasitəsilə ifadə edir j onun oxun müsbət istiqamətinə meyl bucağı Oh. dan, sonra üçbucaqdan MEF bunu izləyir

Qeydi təqdim edirik

Bu ifadə deyilir diferensial funksiyaları. Belə ki

Bunu nəzərə alaraq, yəni. müstəqil dəyişənin diferensialının artımına bərabər olduğunu alırıq

Beləliklə, funksiyanın diferensialı onun törəməsinin hasilinə və müstəqil dəyişənin diferensialına (və ya artımına) bərabərdir.

Sonuncu düsturdan belə çıxır ki, yəni. funksiyanın törəməsi bu funksiyanın diferensialının arqumentin diferensialına nisbətinə bərabərdir.

Funksiya diferensialı dy həndəsi olaraq D arqumentinin artımına uyğun olan tangensin ordinatının artımını təmsil edir. X.

Şəkildən görünə bilər ki, kifayət qədər kiçik D üçün X mütləq dəyərdə funksiyanın artımını təxminən onun diferensialına bərabər qəbul etmək olar, yəni.

Mürəkkəb funksiyanı nəzərdən keçirək, burada , və ilə əlaqədar olaraq diferensiallanır u, və - tərəfindən X. Mürəkkəb funksiyanın diferensiasiya qaydasına görə

Bu tənliyi ilə çarpaq dx:

Çünki (diferensialın tərifinə görə), onda

Beləliklə, mürəkkəb funksiyanın diferensialı dəyişən olduqda eyni formaya malikdir u aralıq arqument deyil, müstəqil dəyişən idi.

Diferensialın bu xassəsinə deyilir dəyişməzlik(dəyişməzlik) diferensial formaları.

Misal. .

Bütün fərqləndirmə qaydaları diferensiallar üçün yazıla bilər.

Qoy bir nöqtədə fərqlənirlər X. Sonra

İkinci qaydanı sübut edək.

Gizli funksiyanın törəməsi

və dəyişənləri ilə əlaqəli formada bir tənlik verilsin. , (nisbi həll etmək) vasitəsilə açıq şəkildə ifadə etmək mümkün deyilsə, belə bir funksiya çağırılır dolayısı ilə verilir. Belə bir funksiyanın törəməsini tapmaq üçün tənliyin hər iki tərəfi funksiyası kimi nəzərə alınmaqla -ə görə diferensiallaşdırılmalıdır. Yaranan yeni tənlikdən tapın.