Теория на елементарните функции. Основни елементарни функции

знание основни елементарни функции, техните свойства и графикине по-малко важно от познаването на таблицата за умножение. Те са като основата, всичко се основава на тях, всичко се гради от тях и всичко се свежда до тях.

В тази статия ще изброим всички основни елементарни функции, ще предоставим техните графики и ще дадем без заключение или доказателство свойства на основните елементарни функциипо схемата:

• поведение на функция на границите на областта на дефиниция, вертикални асимптоти (ако е необходимо, вижте статията класификация на точките на прекъсване на функция);
• четно и нечетно;
• интервали на изпъкналост (изпъкналост нагоре) и вдлъбнатост (изпъкналост надолу), точки на инфлексия (ако е необходимо, вижте статията изпъкналост на функция, посока на изпъкналост, точки на инфлексия, условия на изпъкналост и инфлексия);
• наклонени и хоризонтални асимптоти;
• особени точки на функции;
• специални свойства на някои функции (например най-малкият положителен период на тригонометричните функции).

Ако се интересувате от или, тогава можете да отидете на тези раздели на теорията.

Основни елементарни функцииса: постоянна функция (константа), n-ти корен, степенна функция, експоненциална, логаритмична функция, тригонометрични и обратни тригонометрични функции.

Навигация в страницата.

Постоянна функция.

Константна функция е дефинирана върху множеството от всички реални числа по формулата , където C е някакво реално число. Константна функция свързва всяка реална стойност на независимата променлива x със същата стойност на зависимата променлива y - стойността C. Постоянната функция се нарича още константа.

Графиката на постоянна функция е права линия, успоредна на оста x и минаваща през точка с координати (0,C). Като пример ще покажем графики на константни функции y=5, y=-2 и, които на фигурата по-долу съответстват съответно на черна, червена и синя линия.

Свойства на константна функция.

• Домейн: цялото множество от реални числа.
• Постоянната функция е четна.
• Диапазон от стойности: набор, състоящ се от единствено число C.
• Постоянната функция е ненарастваща и ненамаляваща (затова е постоянна).
• Няма смисъл да говорим за изпъкналост и вдлъбнатост на константа.
• Няма асимптоти.
• Функцията минава през точката (0,C) на координатната равнина.

Корен от n-та степен.

Нека разгледаме основната елементарна функция, която е дадена с формулата , където n е естествено число, по-голямо от едно.

Корен от степен n, n е четно число.

Нека започнем с n-тата коренна функция за четни стойности на коренния показател n.

Като пример, ето снимка с изображения на функционални графики и съответстват на черни, червени и сини линии.

Графиките на коренните функции с четна степен имат подобен вид за други стойности на експонента.

Свойства на n-тата коренна функция за четно n.

Коренът n, n е нечетно число.

Коренната функция n с нечетен степенен корен n е дефинирана върху целия набор от реални числа. Например, ето графиките на функциите и съответстват на черни, червени и сини криви.

За други нечетни стойности на коренния експонент графиките на функциите ще имат подобен вид.

Свойства на n-та коренна функция за нечетно n.

Силова функция.

Степенната функция е дадена с формула от вида .

Нека разгледаме формата на графиките на степенна функция и свойствата на степенна функция в зависимост от стойността на експонента.

Нека започнем със степенна функция с цяло число а. В този случай външният вид на графиките на степенните функции и свойствата на функциите зависят от четността или нечетността на показателя, както и от неговия знак. Следователно първо ще разгледаме степенните функции за нечетни положителни стойности на експонента a, след това за четни положителни експоненти, след това за нечетни отрицателни експоненти и накрая за четни отрицателни a.

Свойствата на степенните функции с дробни и ирационални показатели (както и вида на графиките на такива степенни функции) зависят от стойността на показателя a. Ще ги разгледаме, първо, за a от нула до едно, второ, за по-голямо от едно, трето, за a от минус едно до нула, четвърто, за по-малко от минус едно.

В края на този раздел, за пълнота, ще опишем степенна функция с нулев показател.

Степенна функция с нечетен положителен показател.

Нека разгледаме степенна функция с нечетен положителен показател, т.е. с a = 1,3,5,....

Фигурата по-долу показва графики на степенни функции - черна линия, - синя линия, - червена линия, - зелена линия. За a=1 имаме линейна функция y=x.

Свойства на степенна функция с нечетен положителен показател.

Степенна функция с четен положителен показател.

Нека разгледаме степенна функция с четен положителен показател, тоест за a = 2,4,6,....

Като пример даваме графики на степенни функции – черна линия, – синя линия, – червена линия. За a=2 имаме квадратна функция, чиято графика е квадратна парабола.

Свойства на степенна функция с четен положителен показател.

Степенна функция с нечетен отрицателен показател.

Погледнете графиките на степенната функция за нечетни отрицателни стойности на степента, тоест за a = -1, -3, -5,....

Фигурата показва графики на степенни функции като примери - черна линия, - синя линия, - червена линия, - зелена линия. За a=-1 имаме обратна пропорционалност, чиято графика е хипербола.

Свойства на степенна функция с нечетен отрицателен показател.

Степенна функция с четен отрицателен показател.

Нека преминем към степенната функция при a=-2,-4,-6,….

Фигурата показва графики на степенни функции – черна линия, – синя линия, – червена линия.

Свойства на степенна функция с четен отрицателен показател.

Степенна функция с рационален или ирационален показател, чиято стойност е по-голяма от нула и по-малка от единица.

Забележка!Ако a е положителна дроб с нечетен знаменател, тогава някои автори смятат, че областта на дефиниране на степенната функция е интервалът. Посочено е, че показателят a е несъкратима дроб. Сега авторите на много учебници по алгебра и принципи на анализа НЕ ДЕФИНИРАТ степенни функции с показател под формата на дроб с нечетен знаменател за отрицателни стойности на аргумента. Ние ще се придържаме именно към този възглед, т.е. ще считаме множеството за области на дефиниране на степенни функции с дробни положителни показатели. Препоръчваме на учениците да разберат мнението на вашия учител по този тънък момент, за да избегнат разногласия.

Нека разгледаме степенна функция с рационален или ирационален показател a и .

Нека представим графики на степенни функции за a=11/12 (черна линия), a=5/7 (червена линия), (синя линия), a=2/5 (зелена линия).

Степенна функция с нецелочислен рационален или ирационален показател, по-голям от едно.

Нека разгледаме степенна функция с нецелочислен рационален или ирационален показател a и .

Нека представим графики на степенни функции, дадени от формулите (съответно черни, червени, сини и зелени линии).

За други стойности на експонента a, графиките на функцията ще имат подобен вид.

Свойства на степенната функция при .

Степенна функция с реален показател, който е по-голям от минус едно и по-малък от нула.

Забележка!Ако a е отрицателна дроб с нечетен знаменател, тогава някои автори смятат, че областта на дефиниция на степенна функция е интервалът . Посочено е, че показателят a е несъкратима дроб. Сега авторите на много учебници по алгебра и принципи на анализа НЕ ДЕФИНИРАТ степенни функции с показател под формата на дроб с нечетен знаменател за отрицателни стойности на аргумента. Ние ще се придържаме именно към този възглед, т.е. ще считаме областите на дефиниране на степенни функции с дробни дробни отрицателни показатели съответно за множество. Препоръчваме на учениците да разберат мнението на вашия учител по този тънък момент, за да избегнат разногласия.

Да преминем към степенната функция, kgod.

За да имате добра представа за формата на графиките на степенните функции за , ние даваме примери за графики на функции (съответно черни, червени, сини и зелени криви).

Свойства на степенна функция с показател a, .

Степенна функция с нецелочислен реален показател, който е по-малък от минус едно.

Нека дадем примери за графики на степенни функции за , те са изобразени съответно с черни, червени, сини и зелени линии.

Свойства на степенна функция с нецяло число отрицателен показател, по-малък от минус едно.

Когато a = 0, имаме функция - това е права линия, от която точката (0;1) е изключена (беше договорено да не се придава никакво значение на израза 0 0).

Експоненциална функция.

Една от основните елементарни функции е експоненциалната функция.

Графиката на експоненциалната функция, където и приема различни форми в зависимост от стойността на основата a. Нека разберем това.

Първо, разгледайте случая, когато основата на експоненциалната функция приема стойност от нула до едно, т.е.

Като пример представяме графики на експоненциалната функция за a = 1/2 – синя линия, a = 5/6 – червена линия. Графиките на експоненциалната функция имат подобен вид за други стойности на основата от интервала.

Свойства на експоненциална функция с основа по-малка от единица.

Нека преминем към случая, когато основата на експоненциалната функция е по-голяма от единица, т.е.

Като илюстрация представяме графики на експоненциални функции - синя линия и - червена линия. За други стойности на основата, по-големи от едно, графиките на експоненциалната функция ще имат подобен вид.

Свойства на експоненциална функция с основа по-голяма от единица.

Логаритмична функция.

Следващата основна елементарна функция е логаритмичната функция, където , . Логаритмичната функция е дефинирана само за положителни стойности на аргумента, тоест за.

Графиката на логаритмична функция има различни форми в зависимост от стойността на основата a.

Пълен списък на основните елементарни функции

Класът на основните елементарни функции включва следното:

1. Константна функция $y=C$, където $C$ е константа. Такава функция приема същата стойност $C$ за всеки $x$.
2. Степенна функция $y=x^(a) $, където показателят $a$ е реално число.
3. Експоненциална функция $y=a^(x) $, където основата е степен $a>0$, $a\ne 1$.
4. Логаритмична функция $y=\log _(a) x$, където основата на логаритъма е $a>0$, $a\ne 1$.
5. Тригонометрични функции $y=\sin x$, $y=\cos x$, $y=tg\, x$, $y=ctg\, x$, $y=\sec x$, $y=A>\ сек\,x$.
6. Обратни тригонометрични функции $y=\arcsin x$, $y=\arccos x$, $y=arctgx$, $y=arcctgx$, $y=arc\sec x$, $y=arc\, \cos ec\ , x$.

Силови функции

Ще разгледаме поведението на степенната функция $y=x^(a) $ за тези най-прости случаи, когато нейният експонент определя целочислено степенуване и извличане на корен.

Случай 1

Показателят на функцията $y=x^(a) $ е естествено число, т.е. $y=x^(n) $, $n\in N$.

Ако $n=2\cdot k$ е четно число, тогава функцията $y=x^(2\cdot k) $ е четно и нараства неограничено, сякаш аргументът $\left(x\to +\infty \ right )$ и с неограниченото му намаляване $\left(x\to -\infty \right)$. Това поведение на функцията може да се опише с изразите $\mathop(\lim )\limits_(x\to +\infty ) x^(2\cdot k) =+\infty $ и $\mathop(\lim )\ limits_(x\to -\infty ) x^(2\cdot k) =+\infty $, което означава, че функцията и в двата случая нараства без ограничение ($\lim $ е границата). Пример: графика на функцията $y=x^(2) $.

Ако $n=2\cdot k-1$ е нечетно число, тогава функцията $y=x^(2\cdot k-1) $ е нечетно, расте неограничено с увеличаването на аргумента за неопределено време и намалява неограничено с аргумента намалява за неопределено време. Това поведение на функцията може да се опише с изразите $\mathop(\lim )\limits_(x\to +\infty) x^(2\cdot k-1) =+\infty $ и $\mathop(\lim )\limits_(x \to -\infty ) x^(2\cdot k-1) =-\infty $. Пример: графика на функцията $y=x^(3) $.

Случай 2

Показателят на функцията $y=x^(a) $ е цяло отрицателно число, тоест $y=\frac(1)(x^(n) ) $, $n\in N$.

Ако $n=2\cdot k$ е четно число, тогава функцията $y=\frac(1)(x^(2\cdot k) ) $ е четно и асимптотично (постепенно) се доближава до нула, както при неограничен аргумент за увеличаване , и с неограниченото му намаляване. Това поведение на функцията може да се опише с един израз $\mathop(\lim )\limits_(x\to \infty ) \frac(1)(x^(2\cdot k) ) =0$, което означава, че при неограничено нарастване на аргумента по абсолютна стойност границата на функцията е нула. В допълнение, тъй като аргументът клони към нула както отляво $\left(x\to 0-0\right)$, така и отдясно $\left(x\to 0+0\right)$, функцията нараства без лимит. Следователно изразите $\mathop(\lim )\limits_(x\to 0-0) \frac(1)(x^(2\cdot k) ) =+\infty $ и $\mathop(\lim )\ границите_ са валидни (x\to 0+0) \frac(1)(x^(2\cdot k) ) =+\infty $, което означава, че функцията $y=\frac(1)(x^(2 \cdot k ) ) $ и в двата случая има безкраен лимит, равен на $+\infty $. Пример: графика на функцията $y=\frac(1)(x^(2) ) $.

Ако $n=2\cdot k-1$ е нечетно число, тогава функцията $y=\frac(1)(x^(2\cdot k-1) ) $ е нечетно и асимптотично се доближава до нула, сякаш и двете, когато аргументът нараства и когато намалява неограничено. Това поведение на функцията може да се опише с един израз $\mathop(\lim )\limits_(x\to \infty) \frac(1)(x^(2\cdot k-1) ) =0$. В допълнение, когато аргументът се доближава до нула отляво, функцията намалява без ограничение, а когато аргументът се доближава до нула отдясно, функцията нараства без ограничение, тоест $\mathop(\lim )\limits_(x\to 0-0) \frac(1)(x ^(2\cdot k-1) ) =-\infty $ и $\mathop(\lim )\limits_(x\to 0+0) \frac(1)( x^(2\cdot k-1) ) =+\infty $. Пример: графика на функцията $y=\frac(1)(x) $.

Случай 3

Показателят на функцията $y=x^(a) $ е обратната на естественото число, т.е. $y=\sqrt[(n)](x) $, $n\in N$.

Ако $n=2\cdot k$ е четно число, тогава функцията $y=\pm \sqrt[(2\cdot k)](x) $ е двузначна и е дефинирана само за $x\ge 0 $. При неограничено увеличение на аргумента, стойността на функцията $y=+\sqrt[(2\cdot k)](x) $ нараства неограничено, а стойността на функцията $y=-\sqrt[(2\ cdot k)](x) $ намалява неограничено, т.е. $\mathop(\lim )\limits_(x\to +\infty) \left(+\sqrt[(2\cdot k)](x) \right )=+\infty $ и $\mathop( \lim )\limits_(x\to +\infty ) \left(-\sqrt[(2\cdot k)](x) \right)=-\infty $. Пример: графика на функцията $y=\pm \sqrt(x) $.

Ако $n=2\cdot k-1$ е нечетно число, тогава функцията $y=\sqrt[(2\cdot k-1)](x) $ е нечетно, нараства неограничено с неограничено увеличение на аргумента и намалява неограничено, когато е неограничено, намалява, тоест $\mathop(\lim )\limits_(x\to +\infty) \sqrt[(2\cdot k-1)](x) =+\infty $ и $\mathop(\ lim )\limits_(x\to -\infty ) \sqrt[(2\cdot k-1)](x) =-\infty $. Пример: графика на функцията $y=\sqrt[(3)](x) $.

Експоненциални и логаритмични функции

Експоненциалната $y=a^(x) $ и логаритмичната $y=\log _(a) x$ функции са взаимно обратни. Техните графики са симетрични спрямо общата ъглополовяща на първия и третия координатен ъгъл.

Когато аргументът $\left(x\to +\infty \right)$ нараства неограничено, експоненциалната функция или $\mathop(\lim )\limits_(x\to +\infty ) a^(x) =+\infty $ нараства неограничено, ако $a>1$, или асимптотично се доближава до нула $\mathop(\lim)\limits_(x\to +\infty) a^(x) =0$, ако $a1$, или $\mathop нараства без ограничение (\lim )\limits_(x\to -\infty) a^(x) =+\infty $, ако $a

Характеристичната стойност за функцията $y=a^(x) $ е стойността $x=0$. В този случай всички експоненциални функции, независимо от $a$, задължително пресичат оста $Oy$ при $y=1$. Примери: графики на функции $y=2^(x) $ и $y = \left (\frac(1)(2) \right)^(x) $.

Логаритмичната функция $y=\log _(a) x$ е дефинирана само за $x > 0$.

Тъй като аргументът $\left(x\to +\infty \right)$ нараства безкрайно, логаритмичната функция или $\mathop(\lim )\limits_(x\to +\infty ) \log _(a) x=+ \ увеличава неограничено infty $, ако $a>1$, или намалява без ограничение $\mathop(\lim )\limits_(x\to +\infty) \log _(a) x=-\infty $, ако $a1 $ или без ограничение $\mathop(\lim )\limits_(x\to 0+0) \log _(a) x=+\infty $ нараства, ако $a

Характеристичната стойност за функцията $y=\log _(a) x$ е стойността $y=0$. В този случай всички логаритмични функции, независимо от $a$, задължително пресичат оста $Ox$ при $x=1$. Примери: графики на функциите $y=\log _(2) x$ и $y=\log _(1/2) x$.

Някои логаритмични функции имат специална нотация. По-специално, ако основата на логаритъма е $a=10$, тогава такъв логаритъм се нарича десетичен и съответната функция се записва като $y=\lg x$. И ако ирационалното число $e=2.7182818\ldots $ е избрано като основа на логаритъма, тогава такъв логаритъм се нарича естествен и съответната функция се записва като $y=\ln x$. Неговата обратна функция е $y=e^(x) $, наречена експонента.

Разделът съдържа справочен материал за основните елементарни функции и техните свойства. Дадена е класификация на елементарните функции. По-долу има връзки към подсекции, които обсъждат свойствата на конкретни функции - графики, формули, производни, първоизводни (интеграли), разширения на редове, изрази чрез комплексни променливи.

Референтни страници за основни функции

Класификация на елементарни функции

Алгебрична функцияе функция, която удовлетворява уравнението:
,
където е полином в зависимата променлива y и независимата променлива x. Може да се запише като:
,
където са полиноми.

Алгебричните функции се делят на полиноми (цели рационални функции), рационални функции и ирационални функции.

Цялата рационална функция, което се нарича още полиномили полином, се получава от променливата x и краен брой числа с помощта на аритметичните операции събиране (изваждане) и умножение. След отваряне на скобите полиномът се редуцира до канонична форма:
.

Дробна рационална функция, или просто рационална функция, се получава от променливата x и краен брой числа с помощта на аритметичните операции събиране (изваждане), умножение и деление. Рационалната функция може да се сведе до формата
,
където и са полиноми.

Ирационална функцияе алгебрична функция, която не е рационална. По правило ирационална функция се разбира като корени и техните композиции с рационални функции. Корен от степен n се определя като решение на уравнението
.
Той се обозначава, както следва:
.

Трансцендентални функциисе наричат ​​неалгебрични функции. Това са експоненциални, тригонометрични, хиперболични и техните обратни функции.

Преглед на основните елементарни функции

Всички елементарни функции могат да бъдат представени като краен брой операции събиране, изваждане, умножение и деление, извършвани върху израз от формата:
z t.
Обратните функции също могат да бъдат изразени чрез логаритми. Основните елементарни функции са изброени по-долу.

Функция мощност:
y(x) = x p,
където p е степента. Зависи от основата на степен х.
Обратната на степенната функция също е степенна функция:
.
За цяло число, неотрицателна стойност на експонента p, това е полином. За целочислена стойност p - рационална функция. С рационално значение – ирационална функция.

Трансцендентални функции

Експоненциална функция:
y(x) = a x,
където a е основата на степента. Зависи от показателя x.
Обратната функция е логаритъм по основа а:
x = log a y.

Експонента, e на степен x:
y(x) = e x,
Това е експоненциална функция, чиято производна е равна на самата функция:
.
Основата на експонентата е числото e:
≈ 2,718281828459045... .
Обратната функция е натурален логаритъм - логаритъм при основата на числото e:
x = ln y ≡ log e y.

Тригонометрични функции:
Синус: ;
Косинус: ;
Тангенса: ;
Котангенс: ;
Тук i е въображаемата единица, i 2 = -1.

Обратни тригонометрични функции:
Аркуссинус: x = arcsin y, ;
Аркосинус: x = arccos y, ;
Арктангенс: x = арктан y, ;
Аркутангенс: x = arcctg y, .

Основни елементарни функцииса: постоянна функция (константа), корен н-та степен, степенна функция, експоненциална, логаритмична функция, тригонометрични и обратни тригонометрични функции.

Постоянна функция.

Дадена е постоянна функция върху множеството от всички реални числа по формулата , където ° С– някакво реално число. Константна функция присвоява всяка действителна стойност на независимата променлива хсъщата стойност на зависимата променлива г- значение СЪС. Постоянната функция се нарича още константа.

Графиката на постоянна функция е права линия, успоредна на оста x и минаваща през точката с координати (0,C). Например, нека покажем графики на постоянни функции y=5,y=-2и , които на фигурата по-долу съответстват съответно на черните, червените и сините линии.

Свойства на постоянна функция.

Домейн: цялото множество от реални числа.

Постоянната функция е четна.

Диапазон от стойности: набор, състоящ се от единствено число СЪС.

Постоянната функция е ненарастваща и ненамаляваща (затова е постоянна).

Няма смисъл да говорим за изпъкналост и вдлъбнатост на константа.

Няма асимптоти.

Функцията минава през точката (0,C)координатна равнина.

Корен от n-та степен.

Нека разгледаме основната елементарна функция, която е дадена с формулата, където н– естествено число, по-голямо от едно.

Коренът n, n е четно число.

Нека започнем с функцията root н-та степен за четни стойности на коренния показател н.

Като пример, ето снимка с изображения на функционални графики и съответстват на черни, червени и сини линии.

Графиките на коренните функции с четна степен имат подобен вид за други стойности на експонента.

Свойства на кореновата функциян -та степен за четнон .

Коренът n, n е нечетно число.

Коренна функция н-та степен с нечетен степенен корен не дефинирано върху цялото множество от реални числа. Например, ето графиките на функциите и съответстват на черни, червени и сини криви.