Metoder til løsning af trigonometriske ligninger ved hjælp af specifikke eksempler. Grundlæggende metoder til løsning af trigonometriske ligninger

Du kan bestille en detaljeret løsning på dit problem !!!

En lighed indeholdende en ukendt under tegnet på en trigonometrisk funktion (`sin x, cos x, tan x` eller` ctg x`) kaldes en trigonometrisk ligning, og vi vil overveje deres formler yderligere.

De enkleste ligninger kaldes `sin x = a, cos x = a, tg x = a, ctg x = a`, hvor` x` er den vinkel, der skal findes, `a 'er et hvilket som helst tal. Lad os nedskrive rodformlerne for hver af dem.

1. Ligning `sin x = a`.

For '| a |> 1' har ingen løsninger.

For `| a | \ leq 1` har et uendeligt antal løsninger.

Rodformel: `x = (- 1) ^ n bue i a + \ pi n, n \ i Z`

2. Ligningen `cos x = a`

For `| a |> 1` - som i tilfælde af sinus, har den ingen løsninger blandt reelle tal.

For `| a | \ leq 1` har et uendeligt antal løsninger.

Rodformel: `x = \ pm arccos a + 2 \ pi n, n \ i Z`

Særlige tilfælde for sinus og cosinus i grafer.

3. Ligningen `tg x = a`

Har et uendeligt antal løsninger til alle værdier af 'a'.

Rodformel: `x = arctan a + \ pi n, n \ i Z`

4. Ligning `ctg x = a`

Har også et uendeligt antal løsninger til eventuelle værdier af 'a'.

Rodformel: `x = arcctg a + \ pi n, n \ i Z`

Formler til rødder af trigonometriske ligninger i en tabel

Til sinus:
For cosinus:
For tangent og cotangent:
Formler til løsning af ligninger, der indeholder inverse trigonometriske funktioner:

Metoder til løsning af trigonometriske ligninger

Løsningen på enhver trigonometrisk ligning består af to faser:

• ved hjælp af konvertere det til det enkleste;
• løse den opnåede enkleste ligning ved hjælp af ovenstående skrevne rodformler og tabeller.

Lad os se på eksemplerne på de vigtigste metoder til løsning.

Algebraisk metode.

I denne metode udføres variabel udskiftning og substitution i ligestilling.

Eksempel. Løs ligningen: `2cos ^ 2 (x + \ frac \ pi 6) -3sin (\ frac \ pi 3 - x) + 1 = 0`

`2cos ^ 2 (x + \ frac \ pi 6) -3cos (x + \ frac \ pi 6) + 1 = 0`,

vi foretager ændringen: `cos (x + \ frac \ pi 6) = y`, derefter` 2y ^ 2-3y + 1 = 0`,

finder vi rødderne: `y_1 = 1, y_2 = 1/2 ', hvorfra to tilfælde følger:

1.` cos (x + \ frac \ pi 6) = 1`, `x + \ frac \ pi 6 = 2 \ pi n`,` x_1 = - \ frac \ pi 6 + 2 \ pi n`.

2.` cos (x + \ frac \ pi 6) = 1 / 2`, `x + \ frac \ pi 6 = \ pm arccos 1/2 + 2 \ pi n`,` x_2 = \ pm \ frac \ pi 3- \ frac \ pi 6 + 2 \ pi n`.

Svar: `x_1 = - \ frac \ pi 6 + 2 \ pi n`,` x_2 = \ pm \ frac \ pi 3- \ frac \ pi 6 + 2 \ pi n`.

Faktorisering.

Eksempel. Løs ligningen: `sin x + cos x = 1`.

Løsning. Flyt alle vilkårene for lighed til venstre: `sin x + cos x-1 = 0`. Brug, transformer og faktor venstre side:

`sin x - 2sin ^ 2 x / 2 = 0`,

`2sin x / 2 cos x / 2-2sin ^ 2 x / 2 = 0 ',

`2sin x / 2 (cos x / 2-sin x / 2) = 0`,

1. `sin x / 2 = 0`,` x / 2 = \ pi n`, `x_1 = 2 \ pi n`.
2. `cos x / 2-sin x / 2 = 0`,` tg x / 2 = 1`, `x / 2 = arctan 1+ \ pi n`,` x / 2 = \ pi / 4 + \ pi n` , `x_2 = \ pi / 2 + 2 \ pi n`.

Svar: `x_1 = 2 \ pi n`,` x_2 = \ pi / 2 + 2 \ pi n`.

Reduktion til en homogen ligning

Først skal du bringe denne trigonometriske ligning til en af ​​to typer:

`a sin x + b cos x = 0` (homogen ligning af den første grad) eller` a sin ^ 2 x + b sin x cos x + c cos ^ 2 x = 0` (homogen ligning af anden grad).

Derefter divideres begge dele med 'cos x \ ne 0' - for det første tilfælde og med 'cos ^ 2 x \ ne 0' - for det andet. Vi får ligninger for 'tg x': 'a tg x + b = 0' og 'a tg ^ 2 x + b tg x + c = 0', som skal løses ved kendte metoder.

Eksempel. Løs ligningen: `2 sin ^ 2 x + sin x cos x - cos ^ 2 x = 1`.

Løsning. Omskriv højre side som '1 = sin ^ 2 x + cos ^ 2 x':

`2 sin ^ 2 x + sin x cos x - cos ^ 2 x =` `sin ^ 2 x + cos ^ 2 x`,

`2 sin ^ 2 x + sin x cos x - cos ^ 2 x -`` sin ^ 2 x - cos ^ 2 x = 0`

`sin ^ 2 x + sin x cos x - 2 cos ^ 2 x = 0`.

Dette er en homogen trigonometrisk ligning af anden grad, vi deler dens venstre og højre side med 'cos ^ 2 x \ ne 0', vi får:

`\ frac (sin ^ 2 x) (cos ^ 2 x) + \ frac (sin x cos x) (cos ^ 2 x) - \ frac (2 cos ^ 2 x) (cos ^ 2 x) = 0`

`tg ^ 2 x + tg x - 2 = 0`. Vi introducerer erstatningen `tg x = t`, som et resultat,` t ^ 2 + t - 2 = 0`. Rødderne i denne ligning er 't_1 = -2' og 't_2 = 1'. Derefter:

1. `tg x = -2`,` x_1 = arctg (-2) + \ pi n`, `n \ i Z`
2. `tg x = 1`,` x = arctan 1+ \ pi n`, `x_2 = \ pi / 4 + \ pi n`,` n \ i Z`.

Svar. `x_1 = arctg (-2) + \ pi n`,` n \ i Z`, `x_2 = \ pi / 4 + \ pi n`,` n \ i Z`.

Går til det halve hjørne

Eksempel. Løs ligningen: `11 sin x - 2 cos x = 10`.

Løsning. Anvend dobbeltvinkelformlerne som følge heraf: `22 sin (x / 2) cos (x / 2) -`` 2 cos ^ 2 x / 2 + 2 sin ^ 2 x / 2 =` `10 sin ^ 2 x / 2 +10 cos ^ 2 x / 2 '

`4 tg ^ 2 x / 2 - 11 tg x / 2 + 6 = 0`

Ved at anvende ovenstående algebraiske metode får vi:

1. `tg x / 2 = 2`,` x_1 = 2 arctan 2 + 2 \ pi n`, `n \ i Z`,
2. `tg x / 2 = 3/4`,` x_2 = arctan 3/4 + 2 \ pi n`, `n \ i Z`.

Svar. `x_1 = 2 arctan 2 + 2 \ pi n, n \ i Z`,` x_2 = arctan 3/4 + 2 \ pi n`, `n \ i Z`.

Indførelse af en hjælpevinkel

I den trigonometriske ligning `a sin x + b cos x = c`, hvor a, b, c er koefficienter, og x er en variabel, deler vi begge sider med` sqrt (a ^ 2 + b ^ 2) `:

`\ frac a (sqrt (a ^ 2 + b ^ 2)) sin x +` `\ frac b (sqrt (a ^ 2 + b ^ 2)) cos x = '' \ frac c (sqrt (a ^ 2 + b ^ 2)) `.

Koefficienterne i venstre side har egenskaberne for sinus og cosinus, nemlig summen af ​​deres firkanter er lig med 1, og deres absolutte værdier er ikke større end 1. Vi betegner dem som følger: `\ frac a (sqrt ( a ^ 2 + b ^ 2)) = cos \ varphi`, `\ frac b (sqrt (a ^ 2 + b ^ 2)) = sin \ varphi`,` \ frac c (sqrt (a ^ 2 + b ^ 2)) = C`, derefter:

`cos \ varphi sin x + sin \ varphi cos x = C`.

Lad os se nærmere på følgende eksempel:

Eksempel. Løs ligningen: `3 sin x + 4 cos x = 2`.

Løsning. Opdel begge sider af ligestillingen med `sqrt (3 ^ 2 + 4 ^ 2)`, får vi:

`\ frac (3 sin x) (sqrt (3 ^ 2 + 4 ^ 2)) +` `\ frac (4 cos x) (sqrt (3 ^ 2 + 4 ^ 2)) = '' \ frac 2 (sqrt (3 ^ 2 + 4 ^ 2)) `

`3/5 sin x + 4/5 cos x = 2/5 '.

Lad os betegne `3/5 = cos \ varphi`,` 4/5 = sin \ varphi`. Da `sin \ varphi> 0`,` cos \ varphi> 0`, tager vi `\ varphi = arcsin 4 / 5` som en hjælpevinkel. Så skriver vi vores ligestilling i formen:

`cos \ varphi sin x + sin \ varphi cos x = 2/5`

Ved at anvende formlen for summen af ​​vinklerne for sinus, skriver vi vores ligestilling i følgende form:

`sin (x + \ varphi) = 2/5`,

`x + \ varphi = (- 1) ^ n bue i 2/5 + \ pi n`,` n \ i Z`,

`x = (- 1) ^ n arcsin 2/5-` `arcsin 4/5 + \ pi n`,` n \ in Z`.

Svar. `x = (- 1) ^ n arcsin 2/5-` `arcsin 4/5 + \ pi n`,` n \ in Z`.

Fraktionelt-rationelle trigonometriske ligninger

Disse er ligheder med brøker med trigonometriske funktioner i tællerne og nævnerne.

Eksempel. Løs ligningen. `\ frac (sin x) (1 + cos x) = 1-cos x`.

Løsning. Multiplicer og divider den højre side af ligestillingen med `(1 + cos x)`. Som et resultat får vi:

`\ frac (sin x) (1 + cos x) =` `\ frac ((1-cos x) (1 + cos x)) (1 + cos x)`

`\ frac (sin x) (1 + cos x) =` `\ frac (1-cos ^ 2 x) (1 + cos x)`

`\ frac (sin x) (1 + cos x) =` `\ frac (sin ^ 2 x) (1 + cos x)`

`\ frac (sin x) (1 + cos x) -`` \ frac (sin ^ 2 x) (1 + cos x) = 0`

`\ frac (sin x-sin ^ 2 x) (1 + cos x) = 0`

I betragtning af at nævneren ikke kan være lig med nul, får vi `1 + cos x \ ne 0`,` cos x \ ne -1`, `x \ ne \ pi + 2 \ pi n, n \ i Z`.

Læg tælleren for brøkdelen til nul: `sin x-sin ^ 2 x = 0`,` sin x (1-sin x) = 0`. Derefter 'sin x = 0' eller '1-sin x = 0'.

1. `sin x = 0`,` x = \ pi n`, `n \ i Z`
2. `1 -sin x = 0`,` sin x = -1`, `x = \ pi / 2 + 2 \ pi n, n \ i Z`.

I betragtning af at `x \ ne \ pi + 2 \ pi n, n \ i Z` er løsningerne` x = 2 \ pi n, n \ i Z` og` x = \ pi / 2 + 2 \ pi n` , 'n \ i Z'.

Svar. `x = 2 \ pi n`,` n \ i Z`, `x = \ pi / 2 + 2 \ pi n`,` n \ i Z`.

Trigonometri og især trigonometriske ligninger bruges inden for næsten alle områder inden for geometri, fysik, teknik. Studiet begynder i klasse 10, der er helt sikkert opgaver til eksamen, så prøv at huske alle formlerne for trigonometriske ligninger - de vil helt sikkert komme godt med!

Du behøver dog ikke engang at huske dem, det vigtigste er at forstå essensen og være i stand til at udlede. Det er ikke så svært, som det lyder. Se selv ved at se videoen.

Kræver viden om trigonometriens grundformler - summen af ​​sine og cosinus kvadrater, tangentens udtryk gennem sinus og cosinus og andre. For dem, der har glemt dem eller ikke ved det, anbefaler vi at læse artiklen "".
Så vi kender de grundlæggende trigonometriske formler, det er på tide at bruge dem i praksis. Løsning af trigonometriske ligninger med den rigtige tilgang er det en ganske spændende aktivitet, som f.eks. at løse en Rubiks terning.

Baseret på selve navnet er det klart, at en trigonometrisk ligning er en ligning, hvor det ukendte er under tegn på den trigonometriske funktion.
Der er de såkaldte enkleste trigonometriske ligninger. Sådan ser de ud: sinx = a, cos x = a, tg x = a. Overveje hvordan man løser sådanne trigonometriske ligninger For klarhedens skyld vil vi bruge den allerede velkendte trigonometriske cirkel.

sinx = a

cos x = a

tg x = a

barneseng x = a

Enhver trigonometrisk ligning løses i to faser: vi bringer ligningen til den enkleste form og løser den derefter som den enkleste trigonometriske ligning.
Der er 7 hovedmetoder, hvorved trigonometriske ligninger løses.

1. Variabel substitution og substitutionsmetode

Løs ligningen 2cos 2 (x + / 6) - 3sin ( / 3 - x) +1 = 0

Ved hjælp af reduktionsformlerne får vi:

2cos 2 (x + / 6) - 3cos (x + / 6) +1 = 0

Erstat cos (x + / 6) med y for enkelhed og få den sædvanlige kvadratiske ligning:

2y 2 - 3y + 1 + 0

Hvis rødder y 1 = 1, y 2 = 1/2

Lad os nu gå i omvendt rækkefølge

Vi erstatter de fundne y -værdier, og vi får to svar:

2. Løsning af trigonometriske ligninger gennem faktorisering

Hvordan løses ligningen sin x + cos x = 1?

Flyt alt til venstre, så 0 forbliver til højre:

sin x + cos x - 1 = 0

Lad os bruge ovenstående identiteter til at forenkle ligningen:

sin x - 2 sin 2 (x / 2) = 0

Vi foretager faktoriseringen:

2sin (x / 2) * cos (x / 2) - 2 sin 2 (x / 2) = 0

2sin (x / 2) * = 0

Vi får to ligninger

3. Reduktion til en homogen ligning

En ligning er homogen med hensyn til sinus og cosinus, hvis alle dens termer med hensyn til sinus og cosinus er den samme kraft i samme vinkel. Gør følgende for at løse en homogen ligning:

a) overføre alle dets medlemmer til venstre side

b) tage alle fælles faktorer ud af parenteser;

c) sidestiller alle faktorer og parenteser med 0;

d) en homogen ligning af en mindre grad opnås i parentes, den er igen opdelt i sinus eller cosinus i den højeste grad;

e) løse den resulterende ligning for tg.

Løs ligningen 3sin 2 x + 4 sin x cos x + 5 cos 2 x = 2

Lad os bruge formlen sin 2 x + cos 2 x = 1 og slippe af med de åbne to til højre:

3sin 2 x + 4 sin x cos x + 5 cos x = 2sin 2 x + 2cos 2 x

sin 2 x + 4 sin x cos x + 3 cos 2 x = 0

Divider med cos x:

tg 2 x + 4 tg x + 3 = 0

Erstat tg x med y og få en kvadratisk ligning:

y 2 + 4y +3 = 0, hvis rødder y 1 = 1, y 2 = 3

Herfra finder vi to løsninger på den oprindelige ligning:

x 2 = arctan 3 + k

4. Løsning af ligninger ved at gå til en halv vinkel

Løs ligningen 3sin x - 5cos x = 7

Gå videre til x / 2:

6sin (x / 2) * cos (x / 2) - 5cos 2 (x / 2) + 5sin 2 (x / 2) = 7sin 2 (x / 2) + 7cos 2 (x / 2)

Flyt alt til venstre:

2sin 2 (x / 2) - 6sin (x / 2) * cos (x / 2) + 12cos 2 (x / 2) = 0

Divider med cos (x / 2):

tg 2 (x / 2) - 3tg (x / 2) + 6 = 0

5. Indførelse af en hjælpevinkel

Til overvejelse skal du tage en ligning af formen: a sin x + b cos x = c,

hvor a, b, c er nogle vilkårlige koefficienter, og x er ukendt.

Vi deler begge sider af ligningen i:



Nu har ligningens koefficienter ifølge de trigonometriske formler egenskaberne sin og cos, nemlig: deres modul er ikke mere end 1 og summen af ​​kvadrater = 1. Lad os betegne dem som henholdsvis cos og sin, hvor er såkaldt hjælpevinkel. Så vil ligningen have formen:

cos * sin x + sin * cos x = С

eller sin (x +) = C

Løsningen på denne enkleste trigonometriske ligning er

x = (-1) k * arcsin С - + k, hvor



Bemærk, at cos og synd bruges i flæng.

Løs ligningen sin 3x - cos 3x = 1

I denne ligning er koefficienterne:

a =, b = -1, så vi deler begge sider med = 2

Løsning af de enkleste trigonometriske ligninger.

Løsningen af ​​trigonometriske ligninger af ethvert kompleksitetsniveau kommer i sidste ende ned på at løse de enkleste trigonometriske ligninger. Og i dette viser den trigonometriske cirkel sig at være den bedste hjælper igen.

Lad os huske definitionerne på cosinus og sinus.

Cosinus for en vinkel er abscissen (det vil sige koordinaten langs aksen) af et punkt på enhedscirklen svarende til en rotation med en given vinkel.

Sinus for en vinkel er ordinaten (det vil sige koordinaten langs aksen) for et punkt på enhedscirklen svarende til en rotation med en given vinkel.

Den positive bevægelsesretning i den trigonometriske cirkel er bevægelse mod uret. En rotation på 0 grader (eller 0 radianer) svarer til et punkt med koordinater (1; 0)

Vi vil bruge disse definitioner til at løse de enkleste trigonometriske ligninger.

1. Lad os løse ligningen

Denne ligning opfyldes af alle sådanne værdier af rotationsvinklen, som svarer til cirkelens punkter, hvis ordinat er lig med.

Lad os markere punktet med ordinaten på ordinataksen:

Lad os tegne en vandret linje parallelt med abscisseaksen, indtil den skærer med cirklen. Vi får to punkter, der ligger på en cirkel og har en ordinat. Disse punkter svarer til rotationsvinklerne med og radianer:

Hvis vi forlader det punkt, der svarer til rotationsvinklen med radianer, går rundt om en hel cirkel, så kommer vi til det punkt, der svarer til rotationsvinklen med radianer og har den samme ordinat. Det vil sige, at denne rotationsvinkel også opfylder vores ligning. Vi kan lave så mange "inaktive" revolutioner, som vi vil, og vende tilbage til det samme punkt, og alle disse vinklers værdier tilfredsstiller vores ligning. Antallet af "inaktive" omdrejninger angives med bogstavet (eller). Da vi kan foretage disse revolutioner både i positiv og negativ retning, kan (eller) tage alle heltalsværdier.

Det vil sige, at den første række løsninger til den originale ligning har formen:

,, er mængden af ​​heltal (1)

Tilsvarende er den anden række løsninger:

, hvor , . (2)

Som du måske har gættet, er denne række løsninger baseret på det punkt i cirklen, der svarer til rotationsvinklen med.

Disse to serier af løsninger kan kombineres til en post:

Hvis vi optager denne rekord (det vil sige lige), så får vi den første række løsninger.

Hvis vi optager denne rekord (det vil sige ulige), får vi den anden række løsninger.

2. Lad os nu løse ligningen

Siden er abscissen for punktet i enhedscirklen opnået ved at dreje i en vinkel, markerer du punktet med abscissen på aksen:

Tegn en lodret linje parallelt med aksen, indtil den skærer med cirklen. Vi får to punkter liggende på en cirkel og har en abscisse. Disse punkter svarer til rotationsvinklerne med og radianer. Husk, at når vi bevæger os med uret, får vi en negativ rotationsvinkel:

Lad os skrive to serier af løsninger ned:

,

,

(Vi kommer til det ønskede punkt, der går fra den fulde cirkel, det vil sige.

Lad os kombinere disse to serier til en post:

3. Løs ligningen

Tangentlinjen passerer gennem punktet med koordinater (1,0) af enhedscirklen parallelt med OY -aksen

Vi markerer et punkt på det med en ordinat lig med 1 (vi leder efter tangenten, hvis vinkler er 1):

Lad os forbinde dette punkt med oprindelsen af ​​koordinater med en lige linje og markere skæringspunkterne for den lige linje med enhedscirklen. Skæringspunkterne for den lige linje og cirklen svarer til rotationsvinklerne på og:

Da de punkter, der svarer til rotationsvinklerne, der tilfredsstiller vores ligning, ligger i en radians afstand fra hinanden, kan vi skrive løsningen på denne måde:

4. Løs ligningen

Linjen af ​​cotangenter passerer gennem punktet med koordinaterne for enhedscirklen parallelt med aksen.

Lad os markere et punkt med cotangents linje med abscissa -1:

Lad os forbinde dette punkt med oprindelsen af ​​koordinaterne for en lige linje og fortsætte det til krydset med cirklen. Denne linje skærer cirklen på de punkter, der svarer til rotationsvinklerne med og radianer:

Da disse punkter er i en afstand, der er lig med hinanden, kan vi skrive den generelle løsning af denne ligning som følger:

I de givne eksempler, der illustrerer løsningen af ​​de enkleste trigonometriske ligninger, blev tabelværdier for trigonometriske funktioner brugt.

Men hvis der ikke er en tabelværdi på højre side af ligningen, erstatter vi værdien i den generelle løsning af ligningen:

SÆRLIGE LØSNINGER:

Bemærk på punkterne, hvis ordinat er lig med 0:

Lad os markere et enkelt punkt på cirklen, hvis ordinat er lig med 1:

Lad os markere det eneste punkt på cirklen, hvis ordinat er lig med -1:

Da det er sædvanligt at angive de værdier, der er tættest på nul, skriver vi løsningen som følger:

Bemærk på punkterne, hvis abscisse er lig med 0:

5.
Lad os markere det eneste punkt på cirklen, hvis abscisse er lig med 1:

Lad os markere det eneste punkt på cirklen, hvis abscisse er -1:

Og lidt mere komplekse eksempler:

1.

Sinussen er én, hvis argumentet er

Argumentet for vores sinus er lig, så vi får:

Opdel begge sider af ligestillingen med 3:

Svar:

2.

Cosinus er nul, hvis cosinusens argument er

Argumentet for vores cosinus er lig, så vi får:

Lad os udtrykke, for dette bevæger vi os først til højre med det modsatte tegn:

Lad os forenkle den højre side:

Del begge dele med -2:

Bemærk, at tegnet ikke ændres foran udtrykket, da k kan tage alle heltalsværdier.

Svar:

Og endelig kan du se videotutorialen "Valg af rødder i en trigonometrisk ligning ved hjælp af en trigonometrisk cirkel"

Dette afslutter samtalen om løsning af de enkleste trigonometriske ligninger. Næste gang taler vi om, hvordan man løser.

Begrebet løsning af trigonometriske ligninger.

• For at løse en trigonometrisk ligning skal du konvertere den til en eller flere grundlæggende trigonometriske ligninger. At løse en trigonometrisk ligning kommer i sidste ende ned på at løse fire grundlæggende trigonometriske ligninger.