- Dette er en multifacetteret figur, ved bunden af \u200b\u200bhvilken en polygon løgner, og resten af \u200b\u200bansigtet er repræsenteret af trekanter med et totalt vertex.

Hvis pladsen er pladsen, kaldes pyramiden quadrangular.Hvis en trekant er da trekantet. Pyramidens højde udføres fra dets vertex vinkelret på basen. Også til beregning af området anvendes apothem. - Højden af \u200b\u200bsidekanten, sænket fra sine hjørner.
Formlen på pyramidens sideoverflade er summen af \u200b\u200bområderne af dens sideflader, der er lig med hinanden. Denne beregningsmetode anvendes dog meget sjældent. Dybest set beregnes området af pyramiden ved omkredsen af \u200b\u200bbasen og Apophem:

Overvej et eksempel på beregning af området af pyramidens sideoverflade.

Lad pyramiden gives med bunden af \u200b\u200bABCDE og Vertex F. AB \u003d BC \u003d CD \u003d DE \u003d EA \u003d 3 cm. APOFEM A \u003d 5 cm. Find sideoverfladen af \u200b\u200bpyramiden.
Vi finder omkredsen. Da alle ansigterne af basen er ens, vil perimeteren af \u200b\u200bPentagon være lig med:
Nu kan du finde sideområdet af pyramiden:

Firkantet af højre trekantet pyramide

Den korrekte trekantede pyramide består af en base, hvor den korrekte trekant ligger hos de tre sideflader, der er ens i området.
Formlen på sideoverfladen af \u200b\u200bden korrekte trekantede pyramide kan beregnes på forskellige måder. Du kan anvende den sædvanlige beregningsformel gennem omkredsen og Apophem, og du kan finde området af et ansigt og formere det til tre. Da pyramidens overflade er en trekant, så anvender vi en trekantsområde formel. Det vil kræve en apophem og længden af \u200b\u200bbasen. Overvej et eksempel på beregning af sideoverfladen af \u200b\u200bden korrekte trekantede pyramide.

Pyramid med Apophey A \u003d 4 cm og base base B \u003d 2 cm. Find sideoverfladen af \u200b\u200bpyramiden.
For det første finder vi området af en af \u200b\u200bsidefladene. I dette tilfælde vil det være:
Vi erstatter værdierne i formlen:
Siden i den højre pyramide er alle sider de samme, pyramidens sideoverfladeareal vil være lig med summen af \u200b\u200bområdet af de tre ansigter. Henholdsvis:

Square trunkeret pyramid

Trunkeret Pyramiden kaldes en polyhedron, som dannes af pyramiden og dets tværsnit, parallelt med basen.
Formlen på sideoverfladen af \u200b\u200ben trunkeret pyramide er meget enkel. Området er lig med produktet af halvdelen af \u200b\u200bbunden af \u200b\u200bbasen på Apophem:

Pyramidoverfladeareal. I denne artikel vil vi overveje med dig opgaven med de rigtige pyramider. Lad mig minde om, at den korrekte pyramide er en pyramide, hvis fundament er den rigtige polygon, pyramidens top projiceres i midten af \u200b\u200bdenne polygon.

Sidefladen af \u200b\u200ben sådan pyramide er en ækvigible trekant.Højden af \u200b\u200bdenne trekant, udført fra toppen af \u200b\u200bhøjre pyramide, kaldes Apophey, SF - Apophem:

Følgende typer opgaver er påkrævet for at finde overfladearealet af hele pyramiden eller dets sideoverfladeareal. Et par opgaver med de rigtige pyramider er allerede blevet diskuteret på bloggen, hvor spørgsmålet blev rejst om at finde elementer (højde, base ribben, sidekant) ,.

I EGE's opgaver, som regel, overvejes de rigtige trekantede, quadricular og sekskantede pyramider. Opgaver med de rigtige Pentagonal og syv-vinklede pyramider mødte ikke.

Formlen på området af hele overfladen er enkel - det er nødvendigt at finde mængden af \u200b\u200bområdet af bunden af \u200b\u200bpyramiden og området af dens sideoverflade:

Overvej opgaverne:

Basissiden af \u200b\u200bden korrekte quadrangulære pyramide er 72, sider ribbenene er lig med 164. Find overfladearealet af denne pyramide.

Pyramidens overfladeareal er lig med summen af \u200b\u200bsideoverfladen og bunden:

* Sideoverfladen består af fire lige i området af trekanter. Basen af \u200b\u200bpyramiden er en firkant.

Pyramidens sidelæns kan beregnes ved anvendelse af:

Således er overfladearealet af pyramiden lig med:

Svar: 28224.

Basissiden af \u200b\u200bden korrekte sekskantede pyramide er lig med 22, siderbibberne er 61. Find sideoverfladen af \u200b\u200bdenne pyramide.

Grundlaget for den korrekte hexagonale pyramide er den korrekte sekskant.

Sideoverfladen af \u200b\u200bdenne pyramide består af seks områder af lige trekanter med parter 61,61 og 22:

Find Triangle-området, vi bruger Gerona-formel:

Således er sideoverfladensarealet:

Svar: 3240.

* I ovenstående opgaver kunne siden af \u200b\u200blateral ansigtet findes ved hjælp af en anden formel af trekanten, men for dette skal du beregne Apophem.

27155. Find overfladearealet af den korrekte quadrangulære pyramide, hvis basisside er lig med 6, og højden er 4.

For at finde overfladearealet af pyramiden skal vi kende grundområdet og sideoverfladen:

Basisområdet er lig med 36, da dette er en firkant med en side af 6.

Sideoverfladen består af fire ansigter, der er lig med trekanter. For at finde området for en sådan trekant er det nødvendigt at kende sin base og højde (Apophem):

* Triangelområdet er lig med halvdelen af \u200b\u200bproduktet af basen og højden udført til denne base.

Grundlaget er kendt, det er lig med seks. Find en højde. Overvej en rektangulær trekant (den er fremhævet med gul):

En rulle er 4, da dette er højden af \u200b\u200bpyramiden, er den anden 3, da det er lig med halvdelen af \u200b\u200bbundens ribbe. Vi kan finde hypotenuse, ifølge Pythagora-sætningen:

Det betyder, at sideoverfladen af \u200b\u200bpyramiden er:

Således er overfladearealet af hele pyramiden:

Svar: 96.

27069. Basiserne af bunden af \u200b\u200bden højre firkantede pyramide er lig med 10, siderbibsne er lig med 13. Find overfladearealet af denne pyramid.

27070. Grundlaget for fundamentet for den korrekte sekskantede pyramide er lig med 10, sider ribbenene er lig med 13. Find sideoverfladen af \u200b\u200bdenne pyramide.

Der er stadig formler af sideoverfladen af \u200b\u200bhøjre pyramide. I den højre pyramide er basen en ortogonal fremspring af sidefladen, så:

P. - Stiftelsens omkreds, l. - Appehem Pyramid.

* Denne formel er baseret på en Triangle Area formel.

Hvis du vil vide mere om, hvordan disse formler vises, må du ikke gå glip af, følg publikationen af \u200b\u200bartikler.Det er alt. Succes til dig!

Med venlig hilsen Alexander Krutitsky.

P.S: Jeg vil være taknemmelig, hvis du fortæller om webstedet på sociale netværk.

Kort om det vigtigste

Overfladeareal (2019)

Overfladeareal prisme

Er der en generel formel? Nej, generelt nej. Du skal bare kigge efter sidefladerne og opsummere dem.

Formlen kan skrives til Direkte prisme:

Hvor er omkredsen af \u200b\u200bbasen.

Men det er stadig meget lettere at folde hele pladsen i hvert enkelt tilfælde end at huske yderligere formler. For eksempel overveje den fulde overflade af den korrekte hexagonale prisme.

Alle sideflader er rektangler. Så.

Det blev allerede vist, når du beregner lydstyrken.

Så vi får:

Overfladeoverflade Pyramid.

For pyramiden er der også en generel regel:

Lad os nu overveje overfladen af \u200b\u200bde mest populære pyramider.

Overfladeoverfladen af \u200b\u200bden korrekte trekantede pyramide

Lad basissiden lig med, og sidekanten er ens. Nødt til at finde og.

Husk nu det.

Dette er området af den rigtige trekant.

Og endda husk, hvordan man skal kigge efter dette område. Vi bruger formlen Square:

Vi "" - dette, og "" er også, men.

Nu finder vi.

Ved hjælp af hovedformlen på pladsen og Pythagora Teorem finder vi os

Opmærksomhed: Hvis du har den rigtige tetrahedron (dvs.), så er formlen opnået:

Overfladeoverfladen af \u200b\u200bden rigtige kvadranulære pyramide

Lad basissiden lig med, og sidekanten er ens.

Baseret på pladsen og derfor.

Det forbliver at finde en sidelæns

Overfladeoverfladen af \u200b\u200bhøjre sekskantet pyramide.

Lad basissiden lige, og sidekanten.

Hvordan finder man? Hexagon består af nøjagtigt de seks af de samme korrekte trekanter. Området af den rigtige trekant, vi allerede søgte efter at tælle overfladearealet af den korrekte trekantede pyramide, her bruger vi den fundne formel.

Nå, og det side ansigt område vi allerede søgte efter allerede to gange

Nå, emnet er færdigt. Hvis du læser disse linjer, så er du meget cool.

Fordi kun 5% af folk er i stand til at beherske noget alene. Og hvis du læser til slutningen, så kom du ind i disse 5%!

Nu er det vigtigste.

Du regnede ud af teorien om dette emne. Og jeg gentager, det ... det er bare super! Du er bedre end det absolutte flertal af dine jævnaldrende.

Problemet er, at dette måske ikke er nok ...

For hvad?

For en vellykket beståelse af brugen, til optagelse til instituttet på budgettet og vigtigst af alt for livet.

Jeg vil ikke overbevise dig noget, jeg vil bare sige en ting ...

Folk, der modtog en god uddannelse, tjene meget mere end dem, der ikke modtog det. Disse er statistikker.

Men det er ikke det vigtigste.

Det vigtigste er, at de er lykkeligere (der er sådan forskning). Måske fordi der er meget flere muligheder for fordel for dem, og livet bliver lysere? Jeg ved ikke...

Men tror mig selv ...

Hvad du skal være sikker på at være bedre end andre på eksamen og være i sidste ende ... lykkeligere?

Fyld en hånd ved at løse opgaver på dette emne.

Du vil ikke spørge teorien om eksamen.

Du får brug for løs opgaver i et stykke tid.

Og hvis du ikke løste dem (meget!), Vær helt sikkert en tåbelig fejl eller bare ikke har tid.

Det er ligesom i sport - du skal gentage mange gange for at vinde sikkert.

Find hvor du vil have en samling, obligatorisk med løsninger, detaljeret analyse Og beslutte, beslutte, beslutte!

Du kan bruge vores opgaver (ikke nødvendigvis), og vi anbefaler selvfølgelig dem.

For at udfylde hånden ved hjælp af vores opgaver skal du hjælpe med at udvide livet til lærebog dig, som du læser nu.

Hvordan? Der er to muligheder:

1. Åbn adgang til alle skjulte opgaver i denne artikel - 299 Gnid.
2. Åbn adgang til alle skjulte opgaver i alle 99 artikler i lærebogen - 999 Gnid.

Ja, vi har 99 sådanne artikler i vores lærebog og adgang til alle opgaver, og alle skjulte tekster kan åbnes med det samme.

I det andet tilfælde vi vil give dig Simulatoren "6000 opgaver med løsninger og svar, for hvert emne, for alle niveauer af kompleksitet." Det er sikkert nok at fylde hånden på at løse opgaver for ethvert emne.

Faktisk er det meget mere end blot en simulator - et helt træningsprogram. Hvis du har brug for, vil du være i stand til at bruge det på samme måde.

Adgang til alle tekster og programmer leveres til hele eksistensen af \u200b\u200bwebstedet.

Afslutningsvis...

Hvis vores opgaver ikke kan lide, finder andre. Bare stop ikke på teorien.

"Jeg forstår" og "Jeg kan bestemme" er helt forskellige færdigheder. Du har brug for begge dele.

Find opgaven og beslut dig!

Pyramide - en af \u200b\u200bsorterne af en polygonal genereret fra polygoner og trekanter, som ligger i bunden og er dets ansigter.

Desuden kombineres på toppen af \u200b\u200bpyramiden (dvs. på et tidspunkt) alle versene.

For at beregne pyramidområdet er det værd at bestemme, at dets sideoverflade består af flere trekanter. Og deres plads, vi nemt kan finde ved hjælp af

forskellige formler. Afhængigt af hvilke data af trekanter vi ved, søger vi deres område.

Vi angiver nogle formler, som du kan finde området for trekanter:

1. S \u003d (A * H) / 2 . I dette tilfælde kender vi højden af \u200b\u200btrekanten h. der sænkes til siden eN. .
2. S \u003d a * b * sinp . Her er siderne af trekanten eN. , b. , og vinklen mellem dem - β .
3. S \u003d (R * (A + B + C)) / 2 . Her er siderne af trekanten a, B, C . Cirkelens radius, som er indskrevet i trekanten - r. .
4. S \u003d (A * B * C) / 4 * R . Den radius beskrevne cirkel omkring trekanten - R. .
5. S \u003d (A * B) / 2 \u003d R² + 2 * r * r . Denne formel skal kun anvendes, hvis trekanten er rektangulær.
6. S \u003d (A² * √3) / 4 . Denne formel påføres en ligesidet trekant.

Først efter beregningerne af området for alle trekanter, som er kanterne af vores pyramide, kan beregnes området af dens sideoverflade. Til dette vil vi bruge ovenstående formler.

For at beregne skiverens sideoverflade af pyramiden opstår der ingen problemer: Du skal kende mængden af \u200b\u200bområdet for alle trekanter. Udtryk denne formel:

Sp \u003d Σsi.

Her Si. er området af den første trekant, og S. p. - firkantet side overflade af pyramiden.

Overvej på eksemplet. Den højre pyramide er givet, hvor siderne dannes af flere ensidige trekanter,

« Geometri er det mest kraftfulde værktøj til sofistikeret af vores mentale evner.».

Galileo Galilei.

og pladsen er bunden af \u200b\u200bpyramiden. Desuden har ribbenpyramiderne en længde på 17 cm. Vi finder sideoverfladen af \u200b\u200bdenne pyramide.

Vi argumenterer som dette: Vi ved, at kanterne af pyramiden er trekanter, de er lige såættede. Vi ved også, hvad længden af \u200b\u200bribben har denne pyramide. Herfra viser det sig, at alle trekanter har lige sidesider, deres længde er 17 cm.

For at beregne området for hver af disse trekanter kan du bruge en sådan formel:

S \u003d (172 * √3) / 4 \u003d (289 * 1.732) / 4 \u003d 125.137 cm²

Så vi ved, at pladsen ligger i bunden af \u200b\u200bpyramiden, det kommer ud, at vi har fire ligevidste trekanter. Dette betyder, at området for pyramidens sideoverflade er let at beregne i overensstemmelse med følgende formel: 125.137 cm² * 4 \u003d 500.548 cm²

Vores svar er som følger: 500.548 cm² - dette er området af sideoverfladen af \u200b\u200bdenne pyramide.

• Opgave 1. Find området for den fulde overflade af pyramiden
• Opgave 2. Find sideoverfladen af \u200b\u200bden korrekte trekantede pyramide

Opgave 1.. Find det fulde overfladeareal i højre pyramide

Afgørelse.

Baseret på den højre trekantede pyramide ligger en ligesidet trekant.
Derfor, for at løse problemet, bruger vi egenskaberne af den rigtige trekant:

Vi kender højden af \u200b\u200btrekanten, hvor det er muligt at finde sit område.
h \u003d √3 / 2 a
A \u003d H / (√3 / 2)
A \u003d 3 / (√3 / 2)
A \u003d 6 / √3

Hvorfra basisområdet vil være lig med:
S \u003d √3 / 4 A 2
S \u003d √3 / 4 (6 / √3) 2
S \u003d 3√3.

For at finde siden af \u200b\u200bsidekanten beregne højden på km. Okm vinkel under betingelsen af \u200b\u200bproblemet er 45 grader.
På denne måde:
Ok / mk \u003d cos 45
Vi bruger tabel med værdier af trigonometriske funktioner og erstatning af kendte værdier.

Ok / mk \u003d √2 / 2

Vi tager højde for, at det er lig med radius af den indskrevne cirkel. Derefter
Ok \u003d √3 / 6 a
OK \u003d √3 / 6 * 6 / √3 \u003d 1

Derefter
Ok / mk \u003d √2 / 2
1 / mk \u003d √2 / 2
Mk \u003d 2 / √2

Sideens side er så lig med halvdelen af \u200b\u200bhøjden på bunden af \u200b\u200btrekanten.
SBOK \u003d 1/2 (6 / √3) (2 / √2) \u003d 6 / √6

Således vil området af den fulde overflade af pyramiden være lig med
S \u003d 3√3 + 3 * 6 / √6
S \u003d 3√3 + 18 / √6

Svar: 3√3 + 18/√6

Opgave 2.. Find sideoverfladen af \u200b\u200bhøjre pyramide

Afgørelse.

Da bunden af \u200b\u200bden korrekte trekantede pyramide er en ligesidet trekant, så er AO en radius beskrevet omkring bunden af \u200b\u200bcirklen.
(Det følger af)

Radius af cirklen beskrevet omkring den samme advarsel vil finde fra dets egenskaber.

Hvorfra kantlængden af \u200b\u200bden korrekte trekantede pyramide vil være lig med:
AM 2 \u003d MO 2 + AO 2
Højden af \u200b\u200bpyramiden er kendt ved tilstand (10 cm), AO \u003d 16√3 / 3
AM 2 \u003d 100 + 256/3
AM \u003d √ (556/3)

Hver af siderne af pyramiden er en kæde trekant. Området af en ligevibried trekant vil finde fra den første formel nedenfor

S \u003d 1/2 * 16 SQRT ((√ (556/3) + 8) (√ (556/3) - 8))
S \u003d 8 SQRT ((556/3) - 64)
S \u003d 8 SQRT (364/3)
S \u003d 16 SQRT (91/3)

Da alle tre ansigter på højre pyramide er lige, vil sideoverfladen være lig med
3S \u003d 48 √ (91/3)

Svar: 48 √(91/3)

Opgave 3. Find området for den fulde overflade af højre pyramide

Siden af \u200b\u200bden korrekte trekantede pyramide er 3 cm, og vinklen mellem sidefladen og bunden af \u200b\u200bpyramiden er 45 grader. Find det fulde overfladeareal af pyramiden.

Afgørelse.
Da pyramiden er korrekt, er den ligesidet trekant i dets fundament. Derfor er basisområdet lige


Så \u003d 9 * √3 / 4

For at finde siden af \u200b\u200bsidekanten beregne højden på km. Okm vinkel under betingelsen af \u200b\u200bproblemet er 45 grader.
På denne måde:
Ok / mk \u003d cos 45
Vi bruger