Y er en vektor af outputvariable, Y = t,

Z er vektoren for ydre påvirkninger, Z = t,

t er tidskoordinaten.

Bygning matematisk model består i at bestemme sammenhængene mellem bestemte processer og fænomener, skabe et matematisk apparat, der giver mulighed for kvantitativt og kvalitativt at udtrykke sammenhængen mellem bestemte processer og fænomener, mellem de fysiske mængder af interesse for specialisten, og de faktorer, der påvirker det endelige resultat.

Normalt er der så mange af dem, at det ikke er muligt at introducere hele deres sæt i modellen. Når man bygger matematisk model før undersøgelsen opstår opgaven med at identificere og udelukke faktorer, der i ubetydelig grad påvirker det endelige resultat ( matematisk model omfatter normalt betydeligt færre faktorer end i virkeligheden). Baseret på de eksperimentelle data fremsættes hypoteser om forholdet mellem de værdier, der udtrykker det endelige resultat og de faktorer, der er introduceret i matematisk model... En sådan forbindelse kommer ofte til udtryk ved differentialsystemer partielle differentialligninger(for eksempel i problemer med mekanik af et fast stof, væske og gas, teorien om filtrering, varmeledning, teorien om elektrostatiske og elektrodynamiske felter).

Det ultimative mål for denne fase er formuleringen af ​​et matematisk problem, hvis løsning udtrykker resultaterne af interesse for en specialist med den nødvendige nøjagtighed.

Præsentationsform og principper matematisk model afhænger af mange faktorer.

Efter konstruktionens principper matematiske modeller opdelt i:

1. analytisk;
2. efterligning.

I analytiske modeller er processerne for funktion af virkelige objekter, processer eller systemer skrevet i form af eksplicitte funktionelle afhængigheder.

Den analytiske model er opdelt i typer afhængigt af det matematiske problem:

1. ligninger (algebraiske, transcendentale, differentiale, integrale),
2. tilnærmelsesproblemer (interpolation, ekstrapolation, numerisk integration og differentiering),
3. optimeringsproblemer,
4. stokastiske problemer.

Men efterhånden som modelleringsobjektet bliver mere komplekst, bliver bygningen af ​​en analytisk model til et vanskeligt problem. Så er forskeren tvunget til at bruge simuleringsmodellering.

V simuleringsmodellering funktionen af ​​objekter, processer eller systemer er beskrevet af et sæt algoritmer. Algoritmer simulerer virkelige elementære fænomener, der udgør en proces eller et system, mens de bevarer dem logisk struktur og rækkefølgen af ​​flow i tid. Simuleringsmodellering giver dig mulighed for at få oplysninger om de oprindelige data procestilstande eller systemer på bestemte tidspunkter, men her er det svært at forudsige adfærden af ​​objekter, processer eller systemer. Det kan vi godt sige simuleringsmodeller udføres på en computer beregningsmæssige eksperimenter Med matematiske modeller der efterligner adfærden af ​​virkelige objekter, processer eller systemer.

Afhængig af arten af ​​de undersøgte reelle processer og systemer matematiske modeller måske:

1. deterministisk,
2. stokastisk.

I deterministiske modeller antages det, at der ikke er nogen tilfældige påvirkninger, modellens elementer (variabler, matematiske sammenhænge) er tilstrækkeligt præcist etableret, systemets adfærd kan bestemmes præcist. Ved konstruktion af deterministiske modeller anvendes oftest algebraiske ligninger, integralligninger, matrixalgebra.

Stokastisk model tager højde for den tilfældige karakter af processerne i de undersøgte objekter og systemer, hvilket er beskrevet ved metoderne sandsynlighedsteori og matematisk statistik.

I henhold til typen af ​​inputinformation er modellerne opdelt i:

1. sammenhængende,
2. diskret.

Hvis information og parametre er kontinuerlige, og matematiske sammenhænge er stabile, så er modellen kontinuert. Og omvendt, hvis information og parametre er diskrete, og forbindelserne er ustabile, så matematisk model- diskret.

I henhold til modellernes adfærd i tid er de opdelt i:

1. statisk,
2. dynamisk.

Statiske modeller beskriver opførselen af ​​et objekt, en proces eller et system på et hvilket som helst tidspunkt. Dynamiske modeller afspejler opførselen af ​​et objekt, en proces eller et system over tid.

Efter graden af ​​korrespondance mellem

Ifølge lærebogen af ​​Sovetov og Yakovlev: "en model (lat. Modulus - mål) er et erstatningsobjekt for det originale objekt, som giver studiet af nogle af originalens egenskaber." (s. 6) "At udskifte et objekt med et andet for at få information om de vigtigste egenskaber ved det oprindelige objekt ved hjælp af modelobjektet kaldes modellering." (s. 6) ”Med matematisk modellering mener vi processen med at etablere korrespondance til et givet virkeligt objekt af et matematisk objekt, kaldet en matematisk model, og studiet af denne model, som gør det muligt at opnå karakteristika for det virkelige objekt. under overvejelse. Typen af ​​den matematiske model afhænger både af arten af ​​det virkelige objekt og af opgaverne med at studere objektet og den nødvendige pålidelighed og nøjagtighed til at løse dette problem."

Til sidst den mest kortfattede definition af en matematisk model: "En ligning, der udtrykker en idé."

Modelklassificering

Formel klassificering af modeller

Den formelle klassificering af modeller er baseret på klassificeringen af ​​de anvendte matematiske værktøjer. Ofte bygget i form af dikotomier. For eksempel et af de populære sæt af dikotomier:

etc. Hver konstrueret model er lineær eller ikke-lineær, deterministisk eller stokastisk, ... Naturligvis er blandede typer også mulige: i én henseende, koncentrerede (i forhold til parametre), i en anden, distribuerede modeller osv.

Klassificering efter den måde, objektet præsenteres på

Sammen med den formelle klassifikation adskiller modeller sig i den måde et objekt er repræsenteret på:

• Strukturelle eller funktionelle modeller

Strukturelle modeller repræsenterer et objekt som et system med sin egen struktur og funktionsmekanisme. Funktionelle modeller bruger ikke sådanne repræsentationer og afspejler kun den eksternt opfattede adfærd (funktion) af et objekt. I deres ekstreme udtryk kaldes de også "black box"-modeller. Kombinerede typer af modeller er også mulige, som nogle gange kaldes "grå boks"-modeller.

Indhold og formelle modeller

Næsten alle forfattere, der beskriver processen med matematisk modellering, indikerer, at der først bygges en særlig ideel struktur, meningsfuld model... Der er ingen etableret terminologi her, og andre forfattere kalder dette idealobjekt konceptuel model , spekulativ model eller præmodel... I dette tilfælde kaldes den endelige matematiske konstruktion formel model eller blot en matematisk model opnået som et resultat af formaliseringen af ​​en given meningsfuld model (præ-model). Konstruktionen af ​​en meningsfuld model kan udføres ved hjælp af et sæt færdige idealiseringer, som i mekanik, hvor ideelle fjedre, stive kroppe, ideelle penduler, elastiske medier osv. giver færdige strukturelle elementer til meningsfuld modellering. Men inden for vidensområder, hvor der ikke er fuldt udfyldte formaliserede teorier (forkanten inden for fysik, biologi, økonomi, sociologi, psykologi og de fleste andre områder), bliver skabelsen af ​​meningsfulde modeller meget vanskeligere.

Væsentlig klassificering af modeller

Ingen hypotese i videnskaben er bevist én gang for alle. Richard Feynman udtrykte det meget klart:

"Vi har altid mulighed for at tilbagevise en teori, men læg mærke til, vi kan aldrig bevise, at den er korrekt. Antag, at du har fremsat en vellykket hypotese, beregnet, hvor den fører hen, og fundet ud af, at alle dens konsekvenser bekræftes eksperimentelt. Betyder det, at din teori er korrekt? Nej, det betyder simpelthen, at du har undladt at modbevise det."

Hvis en model af den første type bygges, betyder det, at den midlertidigt genkendes som sand, og du kan koncentrere dig om andre problemer. Dette kan dog ikke være et punkt i forskningen, men kun en midlertidig pause: Status for en model af den første type kan kun være midlertidig.

Type 2: Fænomenologisk model (opføre sig som om…)

Den fænomenologiske model indeholder en mekanisme til at beskrive fænomenet. Denne mekanisme er dog ikke overbevisende nok, kan ikke bekræftes tilstrækkeligt af de tilgængelige data eller stemmer dårligt overens med de eksisterende teorier og akkumuleret viden om objektet. Derfor har fænomenologiske modeller status som midlertidige løsninger. Det menes, at svaret stadig er ukendt, og det er nødvendigt at fortsætte søgningen efter "sande mekanismer". Peierls refererer til den anden type, for eksempel kaloriemodellen og kvarkmodellen af ​​elementarpartikler.

Modellens rolle i forskningen kan ændre sig over tid, det kan ske, at nye data og teorier bekræfter de fænomenologiske modeller, og de vil blive forfremmet til status som en hypotese. Ligeledes kan ny viden gradvist komme i konflikt med hypotetiske modeller af den første type, og de kan oversættes til den anden. Kvarkmodellen går således gradvist over i kategorien hypoteser; atomisme i fysikken opstod som en midlertidig løsning, men gik med historiens gang over i den første type. Men ætermodellerne har fundet vej fra type 1 til type 2, og nu er de uden for videnskaben.

Ideen om forenkling er meget populær, når man bygger modeller. Men forenkling er anderledes. Peierls identificerer tre typer af modelleringsforenklinger.

Type 3: Tilnærmelse (vi betragter noget meget stort eller meget småt)

Hvis det er muligt at konstruere ligninger, der beskriver det undersøgte system, betyder det ikke, at de kan løses selv ved hjælp af en computer. Den generelt accepterede teknik i dette tilfælde er brugen af ​​tilnærmelser (modeller af type 3). Blandt dem lineære responsmodeller... Ligninger erstattes af lineære. Et standardeksempel er Ohms lov.

Og her er type 8, meget brugt i matematiske modeller af biologiske systemer.

Type 8: Demonstration af muligheden (det vigtigste er at vise mulighedens interne sammenhæng)

Disse er også tankeeksperimenter med imaginære entiteter, der viser det påstået fænomen i overensstemmelse med de underliggende principper og internt konsistente. Dette er hovedforskellen fra Type 7-modellerne, som afslører skjulte modsætninger.

Et af de mest berømte sådanne eksperimenter er Lobachevskys geometri (Lobachevsky kaldte det "imaginær geometri"). Et andet eksempel er masseproduktionen af ​​formelle - kinetiske modeller af kemiske og biologiske svingninger, autobølger osv. Einstein - Podolsky - Rosen-paradokset blev udtænkt som en type 7-model for at demonstrere kvantemekanikkens inkonsistens. På en fuldstændig uplanlagt måde blev det med tiden til en Type 8-model - en demonstration af muligheden for kvanteteleportering af information.

Eksempel

Overvej et mekanisk system bestående af en fjeder fastgjort i den ene ende og en vægt m fastgjort til den frie ende af fjederen. Vi vil antage, at belastningen kun kan bevæge sig i retning af fjederaksen (for eksempel sker bevægelsen langs stangen). Lad os bygge en matematisk model af dette system. Vi vil beskrive systemets tilstand ved afstanden x fra midten af ​​lasten til dens ligevægtsposition. Lad os beskrive samspillet mellem fjederen og belastningen vha Hookes lov (F = − kx ) og brug derefter Newtons anden lov til at udtrykke den i form af en differentialligning:

hvor betyder den anden afledte af x Med tiden:.

Den resulterende ligning beskriver den matematiske model af det betragtede fysiske system. Dette mønster kaldes den "harmoniske oscillator".

Ifølge den formelle klassifikation er denne model lineær, deterministisk, dynamisk, koncentreret, kontinuerlig. I processen med at konstruere det, gjorde vi mange antagelser (om fravær af ydre kræfter, fravær af friktion, små afvigelser osv.), som i virkeligheden måske ikke er opfyldt.

I forhold til virkeligheden er der oftest tale om en type 4 model. forenkling("Vi udelader nogle detaljer for klarhedens skyld"), da nogle væsentlige universelle træk (f.eks. dissipation) er udeladt. Til en vis tilnærmelse (f.eks. mens afvigelsen af ​​belastningen fra ligevægt er lille, med lav friktion, i ikke for lang tid og under visse andre forhold), beskriver en sådan model ganske godt et rigtigt mekanisk system, da de kasserede faktorer har en ubetydelig effekt på dens adfærd ... Modellen kan dog finpudses ved at tage højde for nogle af disse faktorer. Dette vil føre til en ny model med et bredere (omend igen begrænset) anvendelsesområde.

Men når modellen raffineres, kan kompleksiteten af ​​dens matematiske forskning øges markant og gøre modellen praktisk talt ubrugelig. Ofte giver en enklere model mulighed for en bedre og dybere undersøgelse af det virkelige system end et mere komplekst (og formelt "mere korrekt").

Hvis vi anvender den harmoniske oscillatormodel på objekter, der er langt fra fysik, kan dens meningsfulde status være anderledes. For eksempel, når man anvender denne model på biologiske populationer, bør den højst sandsynligt klassificeres som type 6 analogi("Lad os kun tage nogle af funktionerne i betragtning").

Hårde og bløde modeller

Harmonic Oscillator er et eksempel på en såkaldt "hård" model. Det opnås som et resultat af en stærk idealisering af et ægte fysisk system. For at løse spørgsmålet om dets anvendelighed er det nødvendigt at forstå, hvor væsentlige de faktorer er, som vi har forsømt. Det er med andre ord nødvendigt at undersøge den "bløde" model, som opnås ved en lille forstyrrelse af den "hårde". Det kan for eksempel gives ved følgende ligning:

Her er en bestemt funktion, som kan tage højde for friktionskraften eller afhængigheden af ​​fjederens stivhedskoefficient på graden af ​​dens forlængelse, er en lille parameter. Eksplicit funktion f vi er ikke interesserede i øjeblikket. Hvis vi beviser, at den bløde models adfærd ikke adskiller sig fundamentalt fra den hårde models adfærd (uanset den eksplicitte form af de forstyrrende faktorer, hvis de er små nok), vil problemet blive reduceret til studiet af det stive. model. Ellers vil anvendelsen af ​​de opnåede resultater i undersøgelsen af ​​den stive model kræve yderligere forskning. For eksempel er løsningen til den harmoniske oscillatorligning funktioner af formen, det vil sige svingninger med konstant amplitude. Følger det heraf, at en rigtig oscillator vil oscillere i uendelig lang tid med en konstant amplitude? Nej, for i betragtning af et system med vilkårlig lille friktion (altid til stede i et rigtigt system), får vi dæmpede svingninger. Systemets adfærd har ændret sig dramatisk.

Hvis et system bevarer sin kvalitative adfærd under små forstyrrelser, siges det at være strukturelt stabilt. En harmonisk oscillator er et eksempel på et strukturelt ustabilt (ikke-groft) system. Ikke desto mindre kan denne model anvendes til at studere processer over begrænsede tidsintervaller.

Alsidighed af modeller

De vigtigste matematiske modeller har normalt en vigtig egenskab universalitet: fundamentalt forskellige virkelige fænomener kan beskrives ved den samme matematiske model. For eksempel beskriver en harmonisk oscillator ikke kun opførselen af ​​en belastning på en fjeder, men også andre oscillatoriske processer, ofte af en helt anden karakter: små svingninger af et pendul, svingninger af væskeniveauet i U-formet kar eller en ændring i strømstyrken i svingningskredsløbet. Når vi studerer en matematisk model, studerer vi på én gang en hel klasse af fænomener beskrevet af den. Det er denne isomorfi af love, udtrykt ved matematiske modeller i forskellige segmenter af videnskabelig viden, at Ludwig von Bertalanffys bedrift at skabe en "generel systemteori".

Direkte og omvendte problemer med matematisk modellering

Der er mange problemer forbundet med matematisk modellering. For det første er det nødvendigt at komme med grundskemaet for det modellerede objekt, for at gengive det inden for rammerne af idealiseringerne af denne videnskab. Så en togvogn bliver til et system af plader og mere komplekse kroppe lavet af forskellige materialer, hvert materiale er indstillet som dets standard mekaniske idealisering (densitet, elasticitetsmoduler, standard styrkekarakteristika), hvorefter ligninger tegnes undervejs nogle detaljer kasseres som uvæsentlige, der foretages beregninger, sammenlignes med målinger, modellen forfines, og så videre. Men for udviklingen af ​​matematiske modelleringsteknologier er det nyttigt at adskille denne proces i dens hovedbestanddele.

Traditionelt er der to hovedklasser af problemer forbundet med matematiske modeller: direkte og omvendt.

Direkte opgave: strukturen af ​​modellen og alle dens parametre anses for kendte, hovedopgaven er at udføre en undersøgelse af modellen for at udtrække nyttig viden om objektet. Hvilken statisk belastning vil broen modstå? Hvordan det vil reagere på en dynamisk belastning (for eksempel på et kompagni af soldaters march eller på passage af et tog ved ikke forskellige hastigheder), hvordan flyet vil overvinde lydmuren, om det vil falde fra hinanden af ​​flagren - det er typiske eksempler på en direkte opgave. At indstille det korrekte direkte problem (at stille det rigtige spørgsmål) kræver særlige færdigheder. Hvis de rigtige spørgsmål ikke stilles, kan broen bryde sammen, selvom der er bygget en god model for dens adfærd. Så i 1879 i England kollapsede en metalbro over Tay, hvis designere byggede en model af broen, beregnede den for en 20-dobbelt sikkerhedsfaktor for nyttelasten, men glemte vinden, der konstant blæser de steder. Og efter halvandet år brød det sammen.

I det enkleste tilfælde (f.eks. én oscillatorligning) er det direkte problem meget simpelt og reduceres til en eksplicit løsning af denne ligning.

Omvendt problem: mange mulige modeller er kendt, du skal vælge en specifik model baseret på yderligere data om objektet. Som oftest er modellens struktur kendt, og nogle ukendte parametre skal bestemmes. Yderligere information kan bestå i yderligere empiriske data eller i kravene til objektet ( design udfordring). Yderligere data kan komme uafhængigt af processen med at løse det omvendte problem ( passiv overvågning) eller være resultatet af et specielt planlagt eksperiment ( aktiv overvågning).

Et af de første eksempler på en virtuos løsning af det omvendte problem med størst mulig brug af de tilgængelige data var metoden til at genoprette friktionskræfter fra de observerede dæmpede svingninger, konstrueret af I. Newton.

Yderligere eksempler

hvor x s- "ligevægts"-populationsstørrelse, hvor fertiliteten nøjagtigt kompenseres af dødeligheden. Populationsstørrelsen i en sådan model har tendens til ligevægtsværdien x s og denne adfærd er strukturelt stabil.

Dette system har en ligevægtstilstand, når antallet af kaniner og ræve er konstant. Afvigelse fra denne tilstand fører til fluktuationer i antallet af kaniner og ræve, analogt med fluktuationer i den harmoniske oscillator. Som i tilfældet med den harmoniske oscillator er denne adfærd ikke strukturelt stabil: En lille ændring i modellen (for eksempel under hensyntagen til de begrænsede ressourcer, som kaniner kræver) kan føre til en kvalitativ ændring i adfærd. For eksempel kan en ligevægtstilstand blive stabil, og udsving i tal vil falme. Den modsatte situation er også mulig, når enhver lille afvigelse fra ligevægtspositionen vil føre til katastrofale konsekvenser, op til den fuldstændige udryddelse af en af ​​arterne. Volterra-Lotka-modellen giver ikke et svar på spørgsmålet om, hvilke af disse scenarier der realiseres: yderligere forskning er påkrævet her.

Noter (rediger)

1. "En matematisk fremstilling af virkeligheden" (Encyclopaedia Britanica)
2. Novik I.B., Om de filosofiske spørgsmål om kybernetisk modellering. M., Viden, 1964.
3. B. Ya. Soviets, S. A. Yakovlev, Systemmodellering: Lærebog. for universiteter - 3. udg., rev. og tilføje. - M .: Højere. shk., 2001 .-- 343 s. ISBN 5-06-003860-2
4. Samarskiy A.A., Mikhailov A.P. Matematisk modellering. Ideer. Metoder. Eksempler. ... - 2. udg., Rev .. - M .: Fizmatlit, 2001. - ISBN 5-9221-0120-X
5. Myshkis A.D., Elementer i teorien om matematiske modeller. - 3. udg., Rev. - M .: KomKniga, 2007 .-- 192 s ISBN 978-5-484-00953-4
6. Wiktionary: matematisk model
7. CliffsNoter
8. Model Reduction and Coarse-Graining Approaches for Multiscale Phenomena, Springer, Complexity series, Berlin-Heidelberg-New York, 2006. XII + 562 pp. ISBN 3-540-35885-4
9. "En teori betragtes som lineær eller ikke-lineær, afhængig af om det er et lineært eller ikke-lineært matematisk apparat, og hvilken slags lineære eller ikke-lineære matematiske modeller den bruger. … Uden negation af sidstnævnte. Hvis en moderne fysiker havde genskabt en definition af en så vigtig essens som ikke-linearitet, ville han højst sandsynligt have handlet anderledes, og ville foretrække ikke-linearitet som den vigtigere og mest udbredte af de to modsætninger, definere linearitet som 'ikke ikke-linearitet' ." Danilov Yu.A., Forelæsninger om ikke-lineær dynamik. En elementær introduktion. Synergetik: fra fortiden til fremtidens serie. Udgave 2. - M .: URSS, 2006 .-- 208 s. ISBN 5-484-00183-8
10. "Dynamiske systemer modelleret af et endeligt antal almindelige differentialligninger kaldes klumpsystemer eller punktsystemer. De er beskrevet ved hjælp af et endeligt dimensionelt faserum og er karakteriseret ved et endeligt antal frihedsgrader. Et og samme system under forskellige forhold kan betragtes som enten koncentreret eller distribueret. Matematiske modeller af distribuerede systemer er partielle differentialligninger, integralligninger eller almindelige ligninger med et haltende argument. Antallet af frihedsgrader for et distribueret system er uendeligt, og der kræves en uendelig mængde data for at bestemme dets tilstand." Anischenko V.S., Dynamiske systemer, Soros pædagogisk tidsskrift, 1997, nr. 11, s. 77-84.
11. ”Afhængig af karakteren af ​​de undersøgte processer i S-systemet kan alle typer modellering opdeles i deterministisk og stokastisk, statisk og dynamisk, diskret, kontinuert og diskret-kontinuerlig. Deterministisk modellering viser deterministiske processer, det vil sige processer, hvor fraværet af tilfældige påvirkninger antages; stokastisk modellering viser probabilistiske processer og hændelser. ... Statisk modellering bruges til at beskrive et objekts adfærd på ethvert tidspunkt, mens dynamisk modellering afspejler et objekts adfærd i tid. Diskret modellering tjener til at beskrive processer, der antages at være diskrete, henholdsvis kontinuert modellering giver dig mulighed for at afspejle kontinuerlige processer i systemer, og diskret-kontinuerlig modellering bruges til tilfælde, hvor du ønsker at fremhæve tilstedeværelsen af ​​både diskrete og kontinuerlige processer." B. Ya. Soviets, S. A. Yakovlev, Systemmodellering: Lærebog. for universiteter - 3. udg., rev. og tilføje. - M .: Højere. shk., 2001 .-- 343 s. ISBN 5-06-003860-2
12. Normalt afspejler den matematiske model strukturen (enheden) af det simulerede objekt, egenskaberne og indbyrdes sammenhænge mellem komponenterne i dette objekt, som er essentielle for forskningsformål; sådan en model kaldes strukturel. Hvis modellen kun afspejler, hvordan et objekt fungerer - for eksempel hvordan det reagerer på ydre påvirkninger - så kaldes det funktionel eller billedligt talt en sort boks. Kombinerede modeller er også mulige. Myshkis A.D., Elementer i teorien om matematiske modeller. - 3. udg., Rev. - M .: KomKniga, 2007 .-- 192 s ISBN 978-5-484-00953-4
13. "En indlysende, men den vigtigste indledende fase i at bygge eller vælge en matematisk model er at få en så klar idé som muligt om det modellerede objekt og afklare dets meningsfulde model baseret på uformelle diskussioner. Man bør ikke spare tid og kræfter på dette stadium, succesen af ​​hele undersøgelsen afhænger i høj grad af det. Det skete mere end én gang, at betydeligt arbejde brugt på at løse et matematisk problem viste sig at være ineffektivt eller endda spildt på grund af utilstrækkelig opmærksomhed på denne side af sagen." Myshkis A.D., Elementer i teorien om matematiske modeller. - 3. udg., Rev. - M .: KomKniga, 2007 .-- 192 s ISBN 978-5-484-00953-4, s. 35.
14. « Beskrivelse af systemets konceptuelle model. På dette delstadium af opbygningen af ​​en model af systemet: a) er den konceptuelle model M beskrevet i abstrakte termer og begreber; b) en beskrivelse af modellen er givet ved brug af standard matematiske skemaer; c) hypoteser og antagelser er endeligt accepteret; d) valget af proceduren for tilnærmelse af reelle processer i konstruktionen af ​​modellen er underbygget." B. Ya. Soviets, S. A. Yakovlev, Systemmodellering: Lærebog. for universiteter - 3. udg., rev. og tilføje. - M .: Højere. shk., 2001 .-- 343 s. ISBN 5-06-003860-2, s. 93.

Model og modelleringskoncept.

Model i bred forstander ethvert billede, analogt, mentalt eller etableret billede, beskrivelse, diagram, tegning, kort osv. af et hvilket som helst volumen, proces eller fænomen, der bruges som dets erstatning eller repræsentant. Selve objektet, processen eller fænomenet kaldes originalen af ​​denne model.

Modellering - er studiet af ethvert objekt eller system af objekter ved at bygge og studere deres modeller. Det er brugen af ​​modeller til at definere eller forfine egenskaberne og rationalisere måderne at konstruere nykonstruerede objekter på.

Enhver metode til videnskabelig forskning er baseret på ideen om modellering, mens der i teoretiske metoder bruges forskellige slags tegn, abstrakte modeller, i eksperimentelle - emnemodeller.

Under forskning erstattes et komplekst virkeligt fænomen med en forenklet kopi eller diagram, nogle gange tjener en sådan kopi kun til at huske og ved det næste møde til at genkende det nødvendige fænomen. Nogle gange afspejler det konstruerede skema nogle væsentlige træk, gør det muligt at forstå fænomenets mekanisme, gør det muligt at forudsige dets ændring. Forskellige modeller kan svare til det samme fænomen.

Forskerens opgave er at forudsige fænomenets karakter og processens forløb.

Nogle gange sker det, at et objekt er tilgængeligt, men eksperimenter med det er dyre eller fører til alvorlige miljømæssige konsekvenser. Viden om sådanne processer opnås gennem modeller.

En vigtig pointe er, at selve naturvidenskaben forudsætter studiet af ikke ét specifikt fænomen, men en bred klasse af beslægtede fænomener. Antager behovet for at formulere nogle generelle kategoriske udsagn, som kaldes love. Naturligvis bliver mange detaljer forsømt med en sådan formulering. For mere tydeligt at identificere mønsteret går de bevidst efter forgrovning, idealisering, skematisk, det vil sige, de studerer ikke selve fænomenet, men en mere eller mindre nøjagtig kopi eller model af det. Alle love er modellove, og derfor er det ikke overraskende, at nogle videnskabelige teorier over tid anses for uegnede. Dette fører ikke til videnskabens sammenbrud, da en model er blevet erstattet af en anden. mere moderne.

Matematiske modeller spiller en særlig rolle i videnskaben, byggematerialet og værktøjerne i disse modeller - matematiske begreber. De har akkumuleret og forbedret i løbet af årtusinder. Moderne matematik giver ekstremt kraftfulde og alsidige forskningsværktøjer. Næsten hvert begreb i matematik, ethvert matematisk objekt, startende fra begrebet et tal, er en matematisk model. Når man konstruerer en matematisk model af objektet eller fænomenet, der undersøges, skelnes der mellem de træk, træk og detaljer, der på den ene side indeholder mere eller mindre fuldstændig information om objektet, og på den anden side tillader matematisk formalisering. Matematisk formalisering betyder, at objektets funktioner og detaljer kan forbindes med passende passende matematiske begreber: tal, funktioner, matricer og så videre. Derefter kan de sammenhænge og sammenhænge, ​​der findes og antages i det undersøgte objekt mellem dets individuelle dele og komponenter, skrives ved hjælp af matematiske relationer: ligheder, uligheder, ligninger. Resultatet er en matematisk beskrivelse af den undersøgte proces eller fænomen, det vil sige dens matematiske model.

Studiet af en matematisk model er altid forbundet med nogle handlingsregler på de genstande, der undersøges. Disse regler afspejler sammenhængen mellem årsager og virkninger.

Opbygning af en matematisk model er en central fase i forskningen eller design af ethvert system. Al efterfølgende analyse af objektet afhænger af modellens kvalitet. Modelbygning er ikke en formel procedure. Det afhænger stærkt af forskeren, hans erfaring og smag, er altid afhængig af bestemt eksperimentelt materiale. Modellen skal være rimelig nøjagtig, passende og behagelig at bruge.

Matematisk modellering.

Klassificering af matematiske modeller.

Matematiske modeller kan væredeterministisk og stokastisk .

Deterministisk model og - disse er modeller, hvor der etableres en en-til-en overensstemmelse mellem de variabler, der beskriver et objekt eller et fænomen.

Denne tilgang er baseret på viden om mekanismen for funktion af objekter. Ofte er det modellerede objekt komplekst, og det kan være meget besværligt og tidskrævende at dechifrere dens mekanisme. I dette tilfælde fortsætter de som følger: eksperimenter udføres på originalen, resultaterne behandles, og uden at dykke ned i mekanismen og teorien for det modellerede objekt ved hjælp af metoderne til matematisk statistik og sandsynlighedsteorien etableres forbindelser mellem variablerne, der beskriver objektet. I dette tilfælde får manstokastisk model . V stokastisk I modellen er forholdet mellem variabler tilfældigt, nogle gange sker det i princippet. Virkningen af ​​et stort antal faktorer, deres kombination fører til et tilfældigt sæt variabler, der beskriver et objekt eller et fænomen. Efter tilstandens natur er modellenstatistisk og dynamisk.

Statistiskmodelomfatter en beskrivelse af sammenhængene mellem hovedvariablerne for det modellerede objekt i steady state uden at tage højde for ændringen i parametre over tid.

V dynamiskmodelrelationerne mellem hovedvariablerne for det modellerede objekt under overgangen fra en tilstand til en anden beskrives.

Modeller er diskret og sammenhængende, såvel som blandet type. V sammenhængende variabler tager værdier fra et bestemt interval, idiskretvariabler antager isolerede værdier.

Lineære modeller- alle funktioner og relationer, der beskriver modellen lineært, afhænger af variablerne ogikke lineærEllers.

Matematisk modellering.

Krav , n meddelt til modellerne.

1. Alsidighed- karakteriserer fuldstændigheden af ​​visningen af ​​de undersøgte egenskaber af det virkelige objekt af modellen.

1. Tilstrækkelighed - evnen til at afspejle de ønskede egenskaber for et objekt med en fejl, der ikke overstiger en given.
2. Nøjagtighed - vurderet ud fra graden af ​​sammenfald mellem værdierne af egenskaberne for et rigtigt objekt og værdierne af disse egenskaber opnået ved hjælp af modellerne.
3. Rentabilitet - bestemmes af omkostningerne ved computerhukommelsesressourcer og tid til implementering og drift.

Matematisk modellering.

De vigtigste stadier af modellering.

1. Beskrivelse af problemet.

Bestemmelse af målet for analysen og måder at opnå det på og udvikle en generel tilgang til det undersøgte problem. Denne fase kræver en dyb forståelse af essensen af ​​den aktuelle opgave. Nogle gange er det ikke mindre vanskeligt at indstille en opgave korrekt end at løse den. Indstilling er ikke en formel proces, der er ingen generelle regler.

2. At studere det teoretiske grundlag og indsamle information om det oprindelige objekt.

På dette stadium udvælges eller udvikles en passende teori. Hvis det ikke eksisterer, etableres årsag-virkning-relationer mellem de variabler, der beskriver objektet. Input og output er defineret, og der laves forenklede antagelser.

3. Formalisering.

Det består i at vælge et system af symboler og bruge dem til at nedskrive relationerne mellem komponenterne i et objekt i form af matematiske udtryk. Der etableres en klasse af problemer, som den opnåede matematiske model af objektet kan henføres til. Værdierne for nogle parametre på dette stadium er muligvis ikke specificeret endnu.

4. Valg af løsningsmetode.

På dette stadium etableres de endelige parametre for modellerne under hensyntagen til betingelserne for objektets drift. Til den opnåede matematiske opgave vælges en løsningsmetode eller udvikles en speciel metode. Når du vælger en metode, tages der hensyn til brugerens viden, hans præferencer samt udviklerens præferencer.

5. Implementering af modellen.

Efter at have udviklet en algoritme, skrives et program, der fejlsøges, testes, og der opnås en løsning på det ønskede problem.

6. Analyse af de modtagne oplysninger.

De opnåede og forventede løsninger sammenlignes, og simuleringsfejlen overvåges.

7. Kontrol af tilstrækkeligheden af ​​det rigtige objekt.

Resultaterne opnået af modellen sammenlignesenten med de oplysninger, der er til rådighed om objektet, eller der udføres et eksperiment, og dets resultater sammenlignes med de beregnede.

Modelleringsprocessen er iterativ. I tilfælde af utilfredsstillende resultater af trinene 6. eller 7. en tilbagevenden til et af de tidlige stadier, hvilket kan føre til udviklingen af ​​en mislykket model, gennemføres. Dette trin og alle efterfølgende raffineres, og en sådan raffinering af modellen sker, indtil acceptable resultater opnås.

En matematisk model er en omtrentlig beskrivelse af en klasse af fænomener eller objekter i den virkelige verden på matematiksproget. Hovedformålet med modellering er at undersøge disse objekter og forudsige resultaterne af fremtidige observationer. Modellering er dog også en metode til at erkende omverdenen, som gør det muligt at kontrollere den.

Matematisk modellering og det tilhørende computereksperiment er uundværligt i tilfælde, hvor et naturligt eksperiment er umuligt eller svært af den ene eller anden grund. For eksempel er det umuligt at opstille et naturligt eksperiment i historien for at kontrollere "hvad der ville være sket, hvis ..." Det er umuligt at verificere rigtigheden af ​​en eller anden kosmologisk teori. I princippet er det muligt, men næppe rimeligt, at eksperimentere med spredning af en sygdom, såsom pest, eller at udføre en atomeksplosion for at undersøge konsekvenserne. Alt dette kan dog gøres på en computer, der tidligere har bygget matematiske modeller af de undersøgte fænomener.

1.1.2 2. De vigtigste stadier af matematisk modellering

1) Opbygning af modellen. På dette stadium er et bestemt "ikke-matematisk" objekt sat - et naturligt fænomen, design, økonomisk plan, produktionsproces osv. I dette tilfælde er en klar beskrivelse af situationen som regel vanskelig. Først identificeres hovedtrækkene ved fænomenet og sammenhængene mellem dem på et kvalitativt niveau. Derefter formuleres de fundne kvalitative afhængigheder i matematikkens sprog, det vil sige, at der bygges en matematisk model. Dette er den sværeste fase af modellering.

2) Løsning af det matematiske problem, som modellen fører til... På dette stadium er der meget opmærksomhed på udviklingen af ​​algoritmer og numeriske metoder til at løse problemet på en computer, ved hjælp af hvilke resultatet kan findes med den nødvendige nøjagtighed og inden for en rimelig tid.

3) Fortolkning af de opnåede konsekvenser fra den matematiske model.Konsekvenserne afledt af modellen i matematiksproget fortolkes i det sprog, der er accepteret i det givne felt.

4) Kontrol af modellens tilstrækkelighed.På dette stadium konstateres det, om forsøgsresultaterne stemmer overens med modellens teoretiske konsekvenser inden for en vis nøjagtighed.

5) Ændring af modellen.På dette stadie er der enten en komplikation af modellen, så den er mere adækvat til virkeligheden, eller dens forenkling for at opnå en praktisk acceptabel løsning.

1.1.3 3. Modelklassificering

Modeller kan klassificeres efter forskellige kriterier. For eksempel kan modellerne i henhold til arten af ​​de problemer, der løses, opdeles i funktionelle og strukturelle. I det første tilfælde udtrykkes alle mængder, der karakteriserer et fænomen eller objekt, kvantitativt. I dette tilfælde betragtes nogle af dem som uafhængige variabler, mens andre - som funktioner af disse mængder. En matematisk model er normalt et system af ligninger af forskellige typer (differential, algebraisk osv.), der etablerer kvantitative sammenhænge mellem de betragtede mængder. I det andet tilfælde karakteriserer modellen strukturen af ​​et komplekst objekt, der består af separate dele, mellem hvilke der er visse forbindelser. Typisk er disse sammenhænge ikke kvantificerbare. Det er praktisk at bruge grafteori til at bygge sådanne modeller. En graf er et matematisk objekt, der er et sæt punkter (hjørnepunkter) på et plan eller i rummet, hvoraf nogle er forbundet med linjer (kanter).

Af arten af ​​de indledende data og forudsigelsesresultater kan modellerne opdeles i deterministiske og probabilistisk-statistiske. Modeller af den første type giver klare, utvetydige forudsigelser. Modeller af den anden type er baseret på statistisk information, og forudsigelserne opnået med deres hjælp er sandsynlige.

MATEMATISK SIMULERING OG UNIVERSEL COMPUTERING ELLER SIMULATIONSMODELLER

Nu, hvor næsten universel computerisering finder sted i landet, er vi nødt til at høre udtalelser fra specialister fra forskellige erhverv: "Hvis vi indfører en computer, så bliver alle opgaver løst med det samme." Dette synspunkt er helt forkert, computere i sig selv uden matematiske modeller af visse processer vil ikke kunne gøre noget, og man kan kun drømme om generel computerisering.

Til støtte for ovenstående vil vi forsøge at underbygge behovet for modellering, herunder matematisk modellering, vi vil afsløre dens fordele i menneskelig erkendelse og transformation af den ydre verden, identificere de eksisterende mangler og gå ... til simulering, dvs. computersimulering. Men alt er i orden.

Lad os først og fremmest besvare spørgsmålet: hvad er en model?

En model er et materielt eller mentalt repræsenteret objekt, der i erkendelsesprocessen (studiet) erstatter det originale og bevarer nogle typiske egenskaber, der er vigtige for denne undersøgelse.

En velkonstrueret model er mere tilgængelig for forskning end et rigtigt objekt. Eksempelvis er forsøg med landets økonomi til uddannelsesøjemed uacceptable, her kan man ikke undvære en model.

Sammenfattende, hvad der er blevet sagt, kan vi besvare spørgsmålet: hvad er modellerne til? For at

• at forstå, hvordan et objekt er indrettet (dets struktur, egenskaber, udviklingslove, interaktion med omverdenen).
• lære at styre objektet (processen) og bestemme de bedste strategier
• forudsige konsekvenserne af påvirkning på objektet.

Hvad er positivt ved enhver model? Det giver dig mulighed for at få ny viden om objektet, men desværre er den i en eller anden grad ufuldstændig.

Modelformuleret i matematiksproget ved hjælp af matematiske metoder kaldes en matematisk model.

Udgangspunktet for dens konstruktion er normalt et problem, for eksempel et økonomisk. Udbredt, både beskrivende og optimeringsmatematisk, karakteriserer forskellige økonomiske processer og fænomener, for eksempel:

• ressourceallokering
• rationel skæring
• transport
• udvidelse af virksomheder
• netværksplanlægning.

Hvordan opbygges en matematisk model?

• Først formuleres mål og emne for forskningen.
• For det andet fremhæves de vigtigste egenskaber svarende til dette mål.
• For det tredje beskrives forholdet mellem elementerne i modellen verbalt.
• Yderligere er forholdet formaliseret.
• Og beregningen er lavet i henhold til den matematiske model og analysen af ​​den opnåede løsning.

Ved hjælp af denne algoritme kan du løse ethvert optimeringsproblem, herunder multikriterier, dvs. et, hvor ikke ét, men flere mål forfølges, herunder modstridende.

Lad os give et eksempel. Køteori er et køproblem. Det er nødvendigt at balancere to faktorer - omkostningerne ved at vedligeholde serviceanordninger og omkostningerne ved at holde sig i kø. Efter at have bygget en formel beskrivelse af modellen, udføres beregninger ved hjælp af analytiske og beregningsmetoder. Hvis modellen er god, så er svarene fundet med dens hjælp tilstrækkelige til modelleringssystemet, hvis det er dårligt, så skal det forbedres og udskiftes. Praksis er kriteriet for tilstrækkelighed.

Optimeringsmodeller, herunder multikriterier, har en fælles egenskab - der er et kendt mål (eller flere mål), for hvis opnåelse man ofte skal forholde sig til komplekse systemer, hvor det ikke så meget handler om at løse optimeringsproblemer som om at researche og forudsige tilstande afhængigt af valgbare ledelsesstrategier. Og her står vi over for vanskelighederne med at gennemføre den tidligere plan. De er som følger:

• et komplekst system indeholder mange forbindelser mellem elementer
• det virkelige system er påvirket af tilfældige faktorer, det er umuligt at tage hensyn til dem analytisk
• muligheden for at sammenligne originalen med modellen eksisterer kun i begyndelsen og efter anvendelsen af ​​det matematiske apparat, da mellemresultaterne har muligvis ikke analoger i det rigtige system.

I forbindelse med de anførte vanskeligheder, der opstod i studiet af komplekse systemer, krævede praksis en mere fleksibel metode, og det viste sig - simuleringsmodellering "Simujationsmodellering".

Normalt forstås en simuleringsmodel som et kompleks af computerprogrammer, der beskriver funktionen af ​​individuelle blokke af systemer og reglerne for interaktion mellem dem. Brugen af ​​tilfældige variable gør det nødvendigt at udføre gentagne forsøg med et simuleringssystem (på en computer) og den efterfølgende statistiske analyse af de opnåede resultater. Et meget almindeligt eksempel på brug af simuleringsmodeller er løsningen af ​​køproblemet ved MONTE – CARLO metoden.

Arbejdet med et simuleringssystem er således et eksperiment udført på en computer. Hvad er fordelene?

–Stor nærhed til det virkelige system end matematiske modeller;

- Blokprincippet gør det muligt at verificere hver blok, før den indgår i det samlede system;

–Brug af afhængigheder af mere kompleks karakter, ikke beskrevet af simple matematiske sammenhænge.

De anførte fordele bestemmer ulemperne

–Byg en simuleringsmodel længere, vanskeligere og dyrere;

- for at arbejde med simuleringssystemet er det nødvendigt at have en computer, der passer til klassen;

- interaktionen mellem brugeren og simuleringsmodellen (grænsefladen) bør ikke være for kompliceret, bekvem og velkendt;

– At bygge en simuleringsmodel kræver et dybere studie af den virkelige proces end matematisk modellering.

Spørgsmålet opstår: kan imitationsmodellering erstatte optimeringsmetoder? Nej, men det supplerer dem bekvemt. En simuleringsmodel er et program, der implementerer en bestemt algoritme, for at optimere styringen af, hvilken optimeringsproblemet først løses.

Så hverken en computer eller en matematisk model eller en algoritme til dens undersøgelse, separat, kan løse et tilstrækkeligt komplekst problem. Men sammen repræsenterer de den kraft, der giver dig mulighed for at kende verden omkring dig, for at styre den i menneskets interesse.

1.2 Modelklassificering

Hvad er en matematisk model?

Begrebet en matematisk model.

En matematisk model er et meget simpelt koncept. Og meget vigtigt. Det er matematiske modeller, der forbinder matematik og det virkelige liv.

Enkelt sagt, en matematisk model er en matematisk beskrivelse af enhver situation. Og det er alt. Modellen kan være primitiv, den kan være super kompleks. Uanset situationen, så er modellen det også.)

I enhver (jeg gentager - i enhver!) forretning, hvor du skal regne noget ud og regne - vi beskæftiger os med matematisk modellering. Også selvom vi ikke engang ved om det.)

R = 2 CB + 3 CM

Denne registrering vil være den matematiske model for omkostningerne ved vores indkøb. Modellen tager ikke højde for emballagens farve, udløbsdatoen, kasserernes høflighed mv. Det er derfor hun model, ikke et rigtigt køb. Men omkostninger, dvs. hvad vi har brug for- det finder vi helt sikkert ud af. Hvis modellen er korrekt, selvfølgelig.

Det er nyttigt at forestille sig, hvad en matematisk model er, men det er ikke nok. Det vigtigste er at kunne bygge disse modeller.

Kompilering (konstruktion) af en matematisk model af problemet.

At sammensætte en matematisk model betyder at oversætte et problems betingelser til en matematisk form. De der. gøre ord til ligning, formel, ulighed osv. Desuden skal du transformere det, så denne matematik strengt svarer til den originale tekst. Ellers ender vi med en matematisk model af et andet, for os ukendt problem.)

Mere specifikt har du brug for

Der er et uendeligt antal opgaver i verden. Derfor for at tilbyde klare trin-for-trin instruktioner til udarbejdelse af en matematisk model nogen opgaver er umulige.

Men der er tre hovedpunkter at være opmærksom på.

1. I ethvert problem er der mærkeligt nok en tekst.) I denne tekst er der som regel eksplicit, åben information. Tal, værdier mv.

2. Ethvert problem har skjulte oplysninger. Dette er en tekst, der forudsætter yderligere viden i hovedet. Uden dem - intet. Derudover er matematisk information ofte skjult bag simple ord og ... glider forbi opmærksomheden.

3. I enhver opgave skal gives kommunikation af data med hinanden. Denne sammenhæng kan gives i almindelig tekst (noget er lig med noget), eller den kan være skjult bag simple ord. Men simple og ligetil fakta bliver ofte overset. Og modellen er ikke kompileret på nogen måde.

Lad mig fortælle dig med det samme: For at anvende disse tre punkter skal problemet læses (og omhyggeligt!) flere gange. Det sædvanlige.

Og nu til eksempler.

Lad os starte med et simpelt problem:

Petrovich vendte tilbage fra fiskeri og præsenterede stolt fangsten for familien. Ved nærmere undersøgelse viste det sig, at 8 fisk er fra de nordlige have, 20% af alle fisk er fra de sydlige, og der er ingen fra den lokale flod, hvor Petrovich fiskede. Hvor mange fisk købte Petrovich i Seafood-butikken?

Alle disse ord skal omdannes til en form for ligning. Til dette har du brug for, jeg gentager, etablere en matematisk forbindelse mellem alle data i problemet.

Hvor skal man begynde? Lad os først trække alle data ud fra opgaven. Lad os starte i rækkefølge:

Vi er opmærksomme på det første øjeblik.

Hvad er her eksplicit matematisk information? 8 fisk og 20%. Ikke meget, men vi har ikke brug for meget.)

Vi henleder opmærksomheden på det andet punkt.

leder efter skjult Information. Hun er her. Disse er ordene: "20% af alle fisk". Her skal du forstå, hvad procenter er, og hvordan de beregnes. Ellers bliver problemet ikke løst. Dette er blot den ekstra information, der burde være i dit hoved.

Der er stadig matematisk information, der er fuldstændig usynlig. Det her opgave spørgsmål: "Hvor mange fisk har jeg købt..." Dette er også et tal. Og uden den kan der ikke laves nogen model. Derfor betegner vi dette nummer med bogstavet "X". Vi ved endnu ikke, hvad x'et er, men en sådan betegnelse vil være meget nyttig for os. For mere information om, hvad man skal tage for X'et, og hvordan man håndterer det, se lektionen Hvordan løser man problemer i matematik? Så skriv med det samme:

x styk - det samlede antal fisk.

I vores opgave er sydlige fisk angivet i procent. Vi skal omsætte dem til stykker. Hvorfor? Så det i nogen modelopgaven skal være i samme mængder. Stykker - så alt er i stykker. Hvis der f.eks. er givet timer og minutter, oversætter vi alt til én ting - enten kun timer eller kun minutter. Det er lige meget hvad. Det er vigtigt at alle værdier var af samme type.

Vi vender tilbage til videregivelse af oplysninger. Hvem ved ikke, hvad en procent er, vil aldrig afsløre, ja ... Og hvem ved, han vil straks sige, at procenten her af det samlede antal fisk er givet. Og vi kender ikke dette tal. Det vil ikke virke!

Det samlede antal fisk (i stykker!) Vi er ikke forgæves med bogstavet "X" udpeget. Vi vil ikke kunne tælle sydlige fisk i stykker, men kan vi skrive det ned? Sådan her:

0,2 x styk - antallet af fisk fra de sydlige hav.

Nu har vi downloadet al information fra problemet. Både eksplicit og skjult.

Lad os være opmærksomme på det tredje punkt.

leder efter matematisk sammenhæng mellem opgavedata. Denne forbindelse er så enkel, at mange ikke lægger mærke til den ... Dette sker ofte. Her er det nyttigt blot at skrive de indsamlede data i en bunke, og endda se, hvad der er hvad.

Hvad har vi? Der er 8 stk nordlige fisk, 0,2 x stk- sydlig fisk og x fisk- i alt. Kan du binde disse data sammen på en eller anden måde? Ja nemt! Samlet antal fisk lige med summen af ​​det sydlige og det nordlige! Nå, hvem skulle have troet ...) Så vi skriver ned:

x = 8 + 0,2x

Denne ligning vil være matematisk model af vores problem.

Bemærk venligst, at i denne opgave vi bliver ikke bedt om at tilføje noget! Vi regnede selv ud fra vores hoveder, at summen af ​​de sydlige og nordlige fisk vil give os totalen. Tingen er så åbenlys, at den glider forbi opmærksomheden. Men uden dette bevis kan en matematisk model ikke kompileres. Sådan her.

Nu kan du bruge al matematikkens magt til at løse denne ligning). Det er derfor, den matematiske model blev udarbejdet. Vi løser denne lineære ligning og får svaret.

Svar: x = 10

Lad os sammensætte en matematisk model af endnu et problem:

De spurgte Petrovich: "Har du mange penge?" Petrovich brød ud i gråd og svarer: "Ja, bare lidt. Hvis jeg bruger halvdelen af ​​alle pengene, men halvdelen af ​​resten, vil der kun være én pose penge tilbage hos mig ..." Hvor mange penge har Petrovich?

Igen arbejder vi på point.

1. Vi leder efter eksplicit information. Her finder du det ikke umiddelbart! Eksplicitte oplysninger er en pengepose. Der er stadig nogle halvdele ... Nå, vi vil analysere dette i andet afsnit.

2. Vi leder efter skjult information. Disse er halvdele. Hvad? Ikke særlig tydeligt. Vi søger videre. Der er også et problemspørgsmål: "Hvor mange penge har Petrovich?" Lad os angive pengebeløbet med bogstavet "X":

x- alle pengene

Og igen læste vi problemet. Allerede ved at Petrovich x penge. Det er her, halvdelene vil fungere! Vi skriver ned:

0,5 x- halvdelen af ​​alle penge.

Resten bliver også halvdelen, dvs. 0,5 x. Og halvdelen af ​​halvdelen kan skrives sådan:

0,5 · 0,5 · x = 0,25x- halvdelen af ​​resten.

Nu er alle de skjulte oplysninger afsløret og registreret.

3. Vi leder efter en sammenhæng mellem de registrerede data. Her kan du blot læse Petrovichs lidelser og skrive dem ned matematisk):

Hvis jeg bruger halvdelen af ​​alle mine penge...

Lad os skrive denne proces ned. Alle pengene - X. Halvt - 0,5 x... At bruge er at tage væk. Udtrykket bliver en rekord:

x - 0,5 x

ja halvdelen af ​​resten...

Lad os trække halvdelen af ​​resten:

x - 0,5 x - 0,25x

så er der kun en pose penge tilbage hos mig ...

Og her er ligestillingen! Efter alle subtraktioner er der en pose penge tilbage:

x - 0,5 x - 0,25x = 1

Her er den, en matematisk model! Dette er igen en lineær ligning, vi løser, vi får:

Et spørgsmål til overvejelse. Fire er hvad? Rubel, dollar, yuan? Og i hvilke enheder er penge skrevet i den matematiske model? I poser! Så fire taske penge fra Petrovich. Også godt.)

Opgaverne er selvfølgelig elementære. Dette er specifikt for at fange essensen af ​​at kompilere en matematisk model. I nogle opgaver kan der være meget mere data, hvilket er nemt at blive forvirret over. Dette sker ofte i den såkaldte. kompetenceopgaver. Hvordan man udtrækker matematisk indhold fra en bunke ord og tal er vist med eksempler.

Endnu en bemærkning. I klassiske skoleproblemer (rør fylder en pool, både sejler et sted osv.), er alle data som regel udvalgt meget omhyggeligt. Der følges to regler:
- der er nok information i problemet til at løse det,
- der er ingen unødvendig information i opgaven.

Dette er et tip. Hvis der er en mængde ubrugt i den matematiske model, så tænk på, om der er en fejl. Hvis der ikke er nok data, er det højst sandsynligt, at ikke alle skjulte oplysninger er blevet identificeret og registreret.

I kompetencebaserede og andre livsopgaver overholdes disse regler ikke strengt. Der er ingen anelse. Men selv sådanne opgaver kan løses. Hvis du selvfølgelig træner på de klassiske.)

Hvis du kan lide denne side...

Forresten har jeg et par flere interessante sider til dig.)

Du kan øve dig i at løse eksempler og finde ud af dit niveau. Øjeblikkelig valideringstest. Lær - med interesse!)

du kan stifte bekendtskab med funktioner og afledte.

Matematisk modellering

1. Hvad er matematisk modellering?

Fra midten af ​​det XX århundrede. inden for forskellige områder af menneskelig aktivitet begyndte matematiske metoder og computere at blive meget brugt. Der er opstået nye discipliner som "matematisk økonomi", "matematisk kemi", "matematisk lingvistik" osv., der studerer matematiske modeller af de tilsvarende objekter og fænomener, samt metoder til at studere disse modeller.

En matematisk model er en omtrentlig beskrivelse af en klasse af fænomener eller objekter i den virkelige verden på matematiksproget. Hovedformålet med modellering er at undersøge disse objekter og forudsige resultaterne af fremtidige observationer. Modellering er dog også en metode til at erkende omverdenen, som gør det muligt at kontrollere den.

Matematisk modellering og det tilhørende computereksperiment er uundværligt i tilfælde, hvor et naturligt eksperiment er umuligt eller svært af den ene eller anden grund. For eksempel er det umuligt at opstille et naturligt eksperiment i historien for at kontrollere "hvad der ville være sket, hvis ..." Det er umuligt at verificere rigtigheden af ​​en eller anden kosmologisk teori. I princippet er det muligt, men næppe rimeligt, at eksperimentere med spredning af en sygdom, såsom pest, eller at udføre en atomeksplosion for at undersøge konsekvenserne. Alt dette kan dog gøres på en computer, der tidligere har bygget matematiske modeller af de undersøgte fænomener.

2. De vigtigste stadier af matematisk modellering

1) Opbygning af modellen... På dette stadium er et bestemt "ikke-matematisk" objekt sat - et naturligt fænomen, design, økonomisk plan, produktionsproces osv. I dette tilfælde er en klar beskrivelse af situationen som regel vanskelig. Først identificeres hovedtrækkene ved fænomenet og sammenhængene mellem dem på et kvalitativt niveau. Derefter formuleres de fundne kvalitative afhængigheder i matematikkens sprog, det vil sige, at der bygges en matematisk model. Dette er den sværeste fase af modellering.

2) Løsning af det matematiske problem, som modellen fører til... På dette stadium er der meget opmærksomhed på udviklingen af ​​algoritmer og numeriske metoder til at løse problemet på en computer, ved hjælp af hvilke resultatet kan findes med den nødvendige nøjagtighed og inden for en rimelig tid.

3) Fortolkning af de opnåede konsekvenser fra den matematiske model. Konsekvenserne afledt af modellen i matematiksproget fortolkes i det sprog, der er accepteret i det givne felt.

4) Kontrol af modellens tilstrækkelighed. På dette stadium konstateres det, om forsøgsresultaterne stemmer overens med modellens teoretiske konsekvenser inden for en vis nøjagtighed.

5) Ændring af modellen. På dette stadie er der enten en komplikation af modellen, så den er mere adækvat til virkeligheden, eller dens forenkling for at opnå en praktisk acceptabel løsning.

3. Klassificering af modeller

Modeller kan klassificeres efter forskellige kriterier. For eksempel kan modellerne i henhold til arten af ​​de problemer, der løses, opdeles i funktionelle og strukturelle. I det første tilfælde udtrykkes alle mængder, der karakteriserer et fænomen eller objekt, kvantitativt. I dette tilfælde betragtes nogle af dem som uafhængige variabler, mens andre - som funktioner af disse mængder. En matematisk model er normalt et system af ligninger af forskellige typer (differential, algebraisk osv.), der etablerer kvantitative sammenhænge mellem de betragtede mængder. I det andet tilfælde karakteriserer modellen strukturen af ​​et komplekst objekt, der består af separate dele, mellem hvilke der er visse forbindelser. Typisk er disse sammenhænge ikke kvantificerbare. Det er praktisk at bruge grafteori til at bygge sådanne modeller. En graf er et matematisk objekt, der er et sæt punkter (hjørnepunkter) på et plan eller i rummet, hvoraf nogle er forbundet med linjer (kanter).

Af arten af ​​de indledende data og forudsigelsesresultater kan modellerne opdeles i deterministiske og probabilistisk-statistiske. Modeller af den første type giver klare, utvetydige forudsigelser. Modeller af den anden type er baseret på statistisk information, og forudsigelserne opnået med deres hjælp er sandsynlige.

4. Eksempler på matematiske modeller

1) Problemer med projektilets bevægelse.

Overvej følgende problem i mekanik.

Projektilet blev affyret fra Jorden med en begyndelseshastighed v 0 = 30 m/s i en vinkel a = 45 ° i forhold til dets overflade; det er nødvendigt at finde banen for dens bevægelse og afstanden S mellem start- og slutpunkterne for denne bane.

Så, som det er kendt fra skolens fysikkursus, beskrives projektilets bevægelse med formlerne:

hvor t er tid, g = 10 m/s 2 er gravitationsacceleration. Disse formler giver en matematisk model af opgaven. Ved at udtrykke t i form af x fra den første ligning og erstatte den med den anden, får vi ligningen for projektilets bane:

Denne kurve (parabel) skærer x-aksen i to punkter: x 1 = 0 (begyndelsen af ​​​​banen) og (stedet hvor projektilet faldt). Ved at erstatte de givne værdier v0 og a i de resulterende formler får vi

svar: y = x - 90x 2, S = 90 m.

Bemærk, at der i konstruktionen af ​​denne model blev brugt en række antagelser: for eksempel antages det, at Jorden er flad, og jordens luft og rotation påvirker ikke projektilets bevægelse.

2) Problemet med en tank med det mindste overfladeareal.

Det er påkrævet at finde højden h 0 og radius r 0 af en bliktank med volumen V = 30 m 3, der har form som en lukket cirkulær cylinder, hvor dens overfladeareal S er minimal (i dette tilfælde den mindste mængden af ​​tin vil blive brugt til dets produktion).

Lad os skrive følgende formler for volumen og overfladeareal af en cylinder med højden h og radius r:

V = p r 2 h, S = 2 p r (r + h).

Udtrykker vi h i form af r og V fra den første formel og substituerer det resulterende udtryk i det andet, får vi:

Fra et matematisk synspunkt er problemet således reduceret til at bestemme en sådan værdi af r, hvor funktionen S (r) når sit minimum. Lad os finde de værdier af r 0, som den afledte for

forsvinder: Du kan kontrollere, at den anden afledede af funktionen S (r) skifter fortegn fra minus til plus, når argumentet r går gennem punktet r 0. Derfor har funktionen S (r) ved punktet r0 et minimum. Den tilsvarende værdi er h 0 = 2r 0. Ved at erstatte den givne værdi V i udtrykket for r 0 og h 0, opnår vi den nødvendige radius og højde

3) Transportproblem.

Der er to mellagre og to bagerier i byen. Hver dag transporteres 50 tons mel fra det første lager, og fra det andet - 70 tons til fabrikker, og til det første - 40 tons og til det andet - 80 tons.

Lad os betegne med -en ij omkostninger ved transport af 1 ton mel fra det i-te lager til det j-te anlæg (i, j = 1,2). Lade

-en 11 = 1,2 s., -en 12 = 1,6 s., -en 21 = 0,8 p., -en 22 = 1 side.

Hvordan skal du planlægge transport, så deres omkostninger er minimale?

Lad os give problemet en matematisk formulering. Lad os med x 1 og x 2 angive mængden af ​​mel, der skal transporteres fra det første lager til den første og anden fabrik, og gennem x 3 og x 4 - fra det andet lager til henholdsvis den første og anden fabrik. Derefter:

x 1 + x 2 = 50, x 3 + x 4 = 70, x 1 + x 3 = 40, x 2 + x 4 = 80. (1)

De samlede omkostninger for al transport bestemmes af formlen

f = 1,2x 1 + 1,6x 2 + 0,8x 3 + x 4.

Ud fra et matematisk synspunkt er opgaven at finde fire tal x 1, x 2, x 3 og x 4, der opfylder alle de givne betingelser og giver minimum af funktionen f. Lad os løse ligningssystemet (1) for xi (i = 1, 2, 3, 4) ved at eliminere de ukendte. Det forstår vi

x 1 = x 4 - 30, x 2 = 80 - x 4, x 3 = 70 - x 4, (2)

og x 4 kan ikke entydigt bestemmes. Da x i і 0 (i = 1, 2, 3, 4), følger det af ligning (2), at 30Ј x 4 Ј 70. Substituerer udtrykket x 1, x 2, x 3 i formlen for f, får vi

f = 148 - 0,2 x 4.

Det er let at se, at minimum af denne funktion nås ved den maksimalt mulige værdi på x 4, det vil sige ved x 4 = 70. De tilsvarende værdier af andre ukendte er bestemt af formlerne (2): x 1 = 40, x 2 = 10, x 3 = 0.

4) Problemet med radioaktivt henfald.

Lad N (0) være det indledende antal atomer af det radioaktive stof, og N (t) antallet af ikke-henfaldne atomer på tidspunktet t. Det er eksperimentelt blevet fastslået, at ændringshastigheden i antallet af disse atomer N "(t) er proportional med N (t), dvs. N" (t) = - l N (t), l> 0 er radioaktivitetskonstant for et givet stof. I skoleforløbet i matematisk analyse er det vist, at løsningen af ​​denne differentialligning har formen N (t) = N (0) e –l t. Tiden T, hvor antallet af initiale atomer er halveret, kaldes halveringstiden og er en vigtig egenskab for et stofs radioaktivitet. For at bestemme T skal man indsætte formlen Derefter For eksempel for radon l = 2,084 · 10 –6, og derfor T = 3,15 dage.

5) Det rejsende sælgerproblem.

En rejsende sælger, der bor i by A 1, skal besøge byerne A 2, A 3 og A 4, hver by præcis én gang, og derefter vende tilbage til A 1. Det er kendt, at alle byer er forbundet i par af veje, og længderne af vejene b ij mellem byerne A i og A j (i, j = 1, 2, 3, 4) er som følger:

b 12 = 30, b 14 = 20, b 23 = 50, b 24 = 40, b 13 = 70, b 34 = 60.

Det er nødvendigt at bestemme rækkefølgen af ​​besøgsbyer, hvor længden af ​​den tilsvarende sti er minimal.

Lad os repræsentere hver by ved et punkt på flyet og markere den med den tilsvarende etiket Ai (i = 1, 2, 3, 4). Lad os forbinde disse punkter med lige linjesegmenter: de vil repræsentere veje mellem byer. For hver "vej" vil vi angive dens længde i kilometer (fig. 2). Resultatet er en graf - et matematisk objekt bestående af et sæt punkter på planet (kaldet toppunkter) og et sæt linjer, der forbinder disse punkter (kaldet kanter). Desuden er denne graf mærket, da nogle etiketter er tildelt dens spidser og kanter - tal (kanter) eller symboler (hjørner). En cyklus på en graf er en sekvens af toppunkter V 1, V 2, ..., V k, V 1, således at toppunkterne V 1, ..., V k er adskilte, og ethvert par af toppunkter V i, V i + 1 (i = 1, ..., k - 1) og parret V 1, V k er forbundet med en kant. Det problem, der overvejes, er således at finde en sådan cyklus på grafen, der passerer gennem alle fire hjørner, hvor summen af ​​alle kantvægte er minimal. Lad os ved en udtømmende søgning finde alle de forskellige cyklusser, der går gennem fire hjørner og starter ved A 1:

1) A1, A4, A3, A2, A1;
2) A1, A3, A2, A4, A1;
3) A 1, A 3, A 4, A 2, A 1.

Lad os nu finde længderne af disse cyklusser (i km): L 1 = 160, L 2 = 180, L 3 = 200. Så ruten med den korteste længde er den første.

Bemærk, at hvis der er n toppunkter i en graf, og alle toppunkter er forbundet parvis med kanter (en sådan graf kaldes komplet), så er antallet af cyklusser, der går gennem alle toppunkterne. Derfor er der i vores tilfælde præcis tre cyklusser.

6) Problemet med at finde sammenhængen mellem stoffers struktur og egenskaber.

Overvej flere kemiske forbindelser kaldet normale alkaner. De består af n carbonatomer og n + 2 hydrogenatomer (n = 1, 2 ...), indbyrdes forbundet som vist i figur 3 for n = 3. Lad de eksperimentelle værdier af disse forbindelsers kogepunkter være kendt:

y e (3) = - 42 °, ye (4) = 0 °, ye (5) = 28 °, ye (6) = 69 °.

Det er nødvendigt at finde en omtrentlig sammenhæng mellem kogepunktet og tallet n for disse forbindelser. Lad os antage, at denne afhængighed har formen

y" -en n + b,

hvor -en, b - konstanter, der skal bestemmes. At finde -en og b erstatter vi n = 3, 4, 5, 6 og de tilsvarende kogepunkter i denne formel i rækkefølge. Vi har:

- 42" 3 -en+ b, 0 "4 -en+ b, 28 "5 -en+ b, 69 "6 -en+ b.

For at bestemme den bedste -en og b der er mange forskellige metoder. Lad os bruge den enkleste af dem. Lad os udtrykke b mht -en fra disse ligninger:

b "- 42 - 3 -en, b "- 4 -en, b "28 - 5 -en, b "69 - 6 -en.

Lad os tage det aritmetiske middelværdi af disse værdier som det krævede b, det vil sige, vi sætter b »16 - 4,5 -en... Vi erstatter denne værdi b og ind i det oprindelige ligningssystem og beregner -en, får vi for -en følgende værdier: -en"37, -en"28, -en"28, -en"36. Tag som krævet -en gennemsnittet af disse tal, det vil sige, vi sætter -en»34. Så den påkrævede ligning har formen

y "34n - 139.

Lad os kontrollere nøjagtigheden af ​​modellen for de første fire forbindelser, for hvilke vi beregner kogepunkterne ved hjælp af den opnåede formel:

y р (3) = - 37 °, y р (4) = - 3 °, y р (5) = 31 °, y р (6) = 65 °.

Således overstiger fejlen ved beregning af denne egenskab for disse forbindelser ikke 5 °. Vi bruger den opnåede ligning til at beregne kogepunktet for en forbindelse med n = 7, som ikke er inkluderet i det oprindelige sæt, som vi erstatter n = 7 i denne ligning: y p (7) = 99 °. Resultatet er ret nøjagtigt: det er kendt, at den eksperimentelle værdi af kogepunktet y e (7) = 98 °.

7) Problemet med at bestemme pålideligheden af ​​et elektrisk kredsløb.

Her vil vi se på et eksempel på en probabilistisk model. Først giver vi nogle oplysninger fra sandsynlighedsteorien - en matematisk disciplin, der studerer mønstrene af tilfældige fænomener observeret med gentagen gentagelse af eksperimentet. Lad os kalde en tilfældig begivenhed A for et muligt udfald af et eksperiment. Begivenheder A 1, ..., A k danner en komplet gruppe, hvis der som følge af forsøget nødvendigvis forekommer en af ​​dem. Begivenheder kaldes inkonsistente, hvis de ikke kan ske samtidigt i den samme oplevelse. Antag, at efter at eksperimentet er gentaget n gange, indtræffer begivenheden A m gange. Hyppigheden af ​​hændelsen A er tallet W =. Det er klart, at værdien af ​​W ikke kan forudsiges nøjagtigt, før man udfører en række af n eksperimenter. Imidlertid er karakteren af ​​tilfældige hændelser sådan, at der i praksis nogle gange observeres følgende effekt: med en stigning i antallet af eksperimenter holder værdien praktisk talt op med at være tilfældig og stabiliserer sig omkring et eller andet ikke-tilfældigt tal P (A), kaldet sandsynlighed for hændelse A. For en umulig hændelse (som aldrig forekommer i eksperimentet) P (A) = 0, og for en pålidelig hændelse (som altid forekommer i forsøget) P (A) = 1. Hvis begivenhederne A 1, ..., A k danner en komplet gruppe af uforenelige begivenheder, så er P (A 1) + ... + P (A k) = 1.

Antag for eksempel, at eksperimentet består i at kaste en terning og observere antallet af tabte punkter X. Så kan vi introducere følgende tilfældige hændelser A i = (X = i), i = 1, ..., 6. De danner en komplet gruppe af uforenelige ligesandsynlige hændelser, derfor P (A i) = (i = 1, ..., 6).

Summen af ​​hændelser A og B kaldes hændelsen A + B, der består i, at mindst én af dem forekommer i oplevelsen. Produktet af begivenheder A og B kaldes begivenheden AB, som består i den samtidige forekomst af disse begivenheder. For uafhængige begivenheder A og B gælder følgende formler:

P (AB) = P (A) P (B), P (A + B) = P (A) + P (B).

8) Overvej nu følgende opgave... Antag, at tre elementer er forbundet i serie i et elektrisk kredsløb, der fungerer uafhængigt af hinanden. Svigtsandsynligheden for 1., 2. og 3. element er henholdsvis P 1 = 0,1, P 2 = 0,15, P 3 = 0,2. Vi vil betragte kredsløbet som pålideligt, hvis sandsynligheden for, at der ikke vil være nogen strøm i kredsløbet, ikke er mere end 0,4. Det er nødvendigt at bestemme, om det givne kredsløb er pålideligt.

Da elementerne er forbundet i serie, vil der ikke være strøm i kredsløbet (hændelse A), hvis mindst et af elementerne svigter. Lad A i være den hændelse, at det i-te element virker (i = 1, 2, 3). Så P (A1) = 0,9, P (A2) = 0,85, P (A3) = 0,8. Det er klart, at A 1 A 2 A 3 er en begivenhed, hvor alle tre elementer fungerer samtidigt, og

P (A 1 A 2 A 3) = P (A 1) P (A 2) P (A 3) = 0,612.

Så P (A) + P (A 1 A 2 A 3) = 1, derfor P (A) = 0,388< 0,4. Следовательно, цепь является надежной.

Afslutningsvis bemærker vi, at de givne eksempler på matematiske modeller (blandt hvilke der er funktionelle og strukturelle, deterministiske og probabilistiske) er illustrative og naturligvis ikke udtømmer hele rækken af ​​matematiske modeller, der opstår i natur- og humanvidenskaberne.