Eksempler på logaritmiske ulighedsløsninger på højt niveau. Alt om logaritmiske uligheder

Lektionens mål:

Didaktisk:

• Niveau 1 - at lære, hvordan man løser de enkleste logaritmiske uligheder ved hjælp af definitionen af ​​logaritmen, logaritmernes egenskaber;
• Niveau 2 - løs logaritmiske uligheder ved at vælge en løsningsmetode på egen hånd;
• Niveau 3 - kunne anvende viden og færdigheder i ikke-standardiserede situationer.

Udvikler: udvikle hukommelse, opmærksomhed, logisk tænkning, sammenligningsevner, kunne generalisere og drage konklusioner

Uddannelsesmæssigt: at bringe nøjagtighed op, ansvar for den udførte opgave, gensidig bistand.

Undervisningsmetoder: verbal- , billedlig , praktisk , delvis søgning , selvstyre , styring.

Former til organisering af elevers kognitive aktivitet: frontal , individuel , arbejde i par.

Udstyr: et sæt testelementer, baggrundsnoter, blanke ark til løsninger.

Lektionstype: lære nyt stof.

Under timerne

1. Organisatorisk øjeblik. Emnet og målene for lektionen, lektionens skema annonceres: hver elev får udleveret et vurderingsark, som eleven udfylder i løbet af lektionen; for hvert elevpar - trykt materiale med opgaver, opgaver skal udføres i par; blanke ark til løsninger; støtteark: definition af logaritmen; graf af en logaritmisk funktion, dens egenskaber; egenskaber ved logaritmer; algoritme til løsning af logaritmiske uligheder.

Alle afgørelser efter egenvurdering forelægges underviseren.

Elevkarakterark

2. Opdatering af viden.

Lærerens instruktioner. Husk definitionen af ​​en logaritme, grafen for en logaritmisk funktion og dens egenskaber. For at gøre dette skal du læse teksten på side 88-90, 98-101 i lærebogen "Algebra and the beginnings of analysis 10-11", redigeret af Sh.A Alimov, Yu.M. Kolyagin og andre.

Eleverne får udleveret ark, hvorpå der er skrevet: definitionen af ​​logaritmen; viser en graf over en logaritmisk funktion, dens egenskaber; egenskaber ved logaritmer; algoritme til løsning af logaritmiske uligheder, et eksempel på løsning af en logaritmisk ulighed, der reduceres til en kvadratisk.

3. At lære nyt stof.

Løsningen på logaritmiske uligheder er baseret på monotoniteten af ​​den logaritmiske funktion.

Algoritme til løsning af logaritmiske uligheder:

A) Find ulighedsdomænet (sublogaritmisk udtryk er større end nul).
B) Præsenter (hvis muligt) venstre og højre side af uligheden i form af logaritmer på samme base.
C) Bestem om den logaritmiske funktion er stigende eller faldende: hvis t> 1, så er den stigende; hvis 0 1, derefter aftagende.
D) Gå til en enklere ulighed (sublogaritmiske udtryk), idet du tager højde for, at ulighedstegnet forbliver, hvis funktionen øges, og vil ændre sig, hvis den falder.

Læringselement #1.

Formål: at fikse løsningen af ​​de enkleste logaritmiske uligheder

Formen til at organisere elevernes kognitive aktivitet: individuelt arbejde.

Selvstudieopgaver i 10 minutter. For hver ulighed er der flere svarmuligheder, du skal vælge den rigtige og tjekke med nøgle.

NØGLE: 13321, maksimalt antal point - 6 pt.

Læringselement #2.

Formål: at konsolidere løsningen af ​​logaritmiske uligheder ved at anvende logaritmernes egenskaber.

Lærerens instruktioner. Husk logaritmers grundlæggende egenskaber. For at gøre dette skal du læse teksten i lærebogen på side 92, 103–104.

Selvstudieopgaver i 10 minutter.

NØGLE: 2113, maksimalt antal point - 8 pt.

Læringselement #3.

Formål: at studere løsningen af ​​logaritmiske uligheder ved metoden med reduktion til kvadratet.

Lærerens instruktioner: metoden til at reducere ulighed til kvadrat er, at det er nødvendigt at transformere uligheden til en sådan form, at en eller anden logaritmisk funktion betegnes med en ny variabel, og dermed opnår en kvadratulighed med hensyn til denne variabel.

Lad os anvende metoden med intervaller.

Du har bestået det første niveau af assimilering af materialet. Nu skal du selvstændigt vælge en metode til at løse logaritmiske ligninger ved at bruge al din viden og evner.

Læringselement #4.

Formål: at konsolidere løsningen af ​​logaritmiske uligheder ved at vælge en rationel måde at løse selvstændigt på.

Selvstudieopgaver i 10 minutter

Læringselement #5.

Lærerens instruktioner. Godt klaret! Du har mestret at løse ligninger på anden sværhedsgrad. Formålet med dit videre arbejde er at anvende din viden og færdigheder i mere komplekse og ikke-standardiserede situationer.

Selvhjælpsopgaver:

Lærerens instruktioner. Det er dejligt, hvis du har klaret hele opgaven. Godt klaret!

Karakteren for hele lektionen afhænger af antallet af point for alle uddannelseselementer:

• hvis N ≥ 20, får du karakteren "5",
• ved 16 ≤ N ≤ 19 - vurdering "4",
• ved 8 ≤ N ≤ 15 - grad "3",
• hos N< 8 выполнить работу над ошибками к следующему уроку (решения можно взять у учителя).

Giv vurderingsrævene videre til læreren.

5. Hjemmearbejde: hvis du ikke scorede mere end 15 p - færdiggør arbejdet med fejlene (løsninger kan tages fra læreren), hvis du scorede mere end 15 p - fuldfør den kreative opgave om emnet "Logaritmiske uligheder".

LOGARITMISKE ULIGHEDER I BRUG

Sechin Mikhail Alexandrovich

Lille Videnskabsakademi for studerende i Republikken Kasakhstan "Seeker"

MBOU "sovjetisk skole №1", klasse 11, by. Sovetsky Sovetsky-distriktet

Gunko Lyudmila Dmitrievna, lærer i MBOU "sovjetisk skole №1"

sovjetisk distrikt

Formålet med arbejdet: undersøgelse af mekanismen til at løse logaritmiske uligheder C3 ved hjælp af ikke-standardiserede metoder, der afslører interessante fakta om logaritmen.

Undersøgelsens emne:

3) Lær at løse specifikke logaritmiske uligheder C3 ved hjælp af ikke-standardiserede metoder.

Resultater:

Indhold

Indledning ………………………………………………………………………………… .4

Kapitel 1. Baggrund ………………………………………………………… ... 5

Kapitel 2. Indsamling af logaritmiske uligheder ………………………… 7

2.1. Ækvivalente overgange og den generaliserede metode for intervaller ………………… 7

2.2. Rationaliseringsmetode ………………………………………………………… 15

2.3. Ikke-standard substitution ……………… ................................................ ..... 22

2.4. Fældemissioner ………………………………………………………… 27

Konklusion ………………………………………………………………… 30

Litteratur……………………………………………………………………. 31

Introduktion

Jeg går i 11. klasse og planlægger at gå ind på et universitet, hvor matematik er et specialfag. Og derfor arbejder jeg meget med problemerne i del C. I opgave C3 skal du løse en ikke-standardiseret ulighed eller et system af uligheder, som regel forbundet med logaritmer. Mens jeg forberedte mig til eksamen, blev jeg konfronteret med problemet med manglen på metoder og teknikker til at løse de logaritmiske eksamensuligheder, der tilbydes i C3. De metoder, der studeres i skolepensum om dette emne, giver ikke grundlag for at løse opgave C3. Matematikklæreren inviterede mig til at arbejde med C3-opgaverne på egen hånd under hendes vejledning. Derudover var jeg interesseret i spørgsmålet: forekommer logaritmer i vores liv?

Med dette for øje blev emnet valgt:

"Logaritmiske uligheder i eksamen"

Formålet med arbejdet: undersøgelse af mekanismen til at løse C3-problemer ved hjælp af ikke-standardmetoder, der afslører interessante fakta om logaritmen.

Undersøgelsens emne:

1) Find den nødvendige information om ikke-standardiserede metoder til løsning af logaritmiske uligheder.

2) Find flere oplysninger om logaritmer.

3) Lær at løse specifikke C3-problemer ved hjælp af ikke-standardiserede metoder.

Resultater:

Den praktiske betydning ligger i udvidelsen af ​​apparatet til løsning af C3-problemer. Dette materiale kan bruges i nogle lektioner, til cirkler, fritidsaktiviteter i matematik.

Projektets produkt bliver samlingen "Logarithmic C3 uligheder med løsninger".

Kapitel 1. Baggrund

I løbet af det 16. århundrede steg antallet af omtrentlige beregninger hurtigt, primært inden for astronomi. Forbedringen af ​​instrumenter, studiet af planetariske bevægelser og andet arbejde krævede kolossale, nogle gange mange år, beregninger. Astronomi var i reel fare for at drukne i uopfyldte beregninger. Der opstod også vanskeligheder på andre områder, for eksempel i forsikringsbranchen var der behov for tabeller med renters rente for forskellige værdier af rente. Den største vanskelighed var repræsenteret ved multiplikation, division af flercifrede tal, især trigonometriske mængder.

Opdagelsen af ​​logaritmer var baseret på de velkendte egenskaber ved progressioner i slutningen af ​​det 16. århundrede. Arkimedes talte om forbindelsen mellem medlemmerne af den geometriske progression q, q2, q3, ... og den aritmetiske progression af deres eksponenter 1, 2, 3, ... i Salmen. En anden forudsætning var udvidelsen af ​​gradbegrebet til negative og fraktionerede indikatorer. Mange forfattere har påpeget, at multiplikation, division, eksponentiering og ekstraktion af en rod eksponentielt svarer i aritmetikken - i samme rækkefølge - addition, subtraktion, multiplikation og division.

Her var ideen om logaritmen som eksponent.

Flere stadier er gået i historien om udviklingen af ​​læren om logaritmer.

Scene 1

Logaritmer blev opfundet senest i 1594 uafhængigt af den skotske baron Napier (1550-1617) og ti år senere af den schweiziske mekaniker Burghi (1552-1632). Begge ønskede at give et nyt bekvemt middel til aritmetiske beregninger, selvom de nærmede sig dette problem på forskellige måder. Neper udtrykte kinematisk den logaritmiske funktion og trådte dermed ind i et nyt område af funktionsteorien. Burghi forblev på grundlag af at overveje diskrete progressioner. Definitionen af ​​logaritmen for begge minder dog ikke om den moderne. Udtrykket "logaritme" (logaritmus) tilhører Napier. Det opstod fra en kombination af græske ord: logos - "relation" og ariqmo - "antal", som betød "antal relationer". Til at begynde med brugte Napier et andet udtryk: numeri artificiales - "kunstige tal", i modsætning til numeri naturalts - "naturlige tal".

I 1615, i en samtale med Henry Briggs (1561-1631), professor i matematik ved Gresch College i London, foreslog Napier at tage nul for logaritmen af ​​enhed og 100 for logaritmen af ​​ti, eller, hvilket svarer til det samme ting, simpelthen 1. Sådan opstod decimallogaritmer, og de første logaritmiske tabeller blev udskrevet. Senere supplerede den hollandske boghandler og matematiker Andrian Flakk (1600-1667) Briggs-tabellerne. Napier og Briggs, selvom de kom til logaritmer tidligere end nogen anden, udgav deres tabeller senere end andre - i 1620. Log- og Log-tegnene blev indført i 1624 af I. Kepler. Udtrykket "naturlig logaritme" blev introduceret af Mengoli i 1659, efterfulgt af N. Mercator i 1668, og London-læreren John Speidel udgav tabeller over naturlige logaritmer af tal fra 1 til 1000 under titlen "Nye logaritmer".

På russisk blev de første logaritmiske tabeller offentliggjort i 1703. Men i alle logaritmiske tabeller blev der lavet fejl i regnestykket. De første fejlfrie tabeller blev offentliggjort i 1857 i Berlin, bearbejdet af den tyske matematiker K. Bremiker (1804-1877).

Etape 2

Yderligere udvikling af teorien om logaritmer er forbundet med en bredere anvendelse af analytisk geometri og beregningen af ​​infinitesimal. Etableringen af ​​en forbindelse mellem kvadraturen af ​​en ligesidet hyperbel og den naturlige logaritme går tilbage til den tid. Teorien om logaritmer i denne periode er forbundet med navnene på en række matematikere.

Tysk matematiker, astronom og ingeniør Nikolaus Mercator i kompositionen

"Logarithmic engineering" (1668) giver en serie, der giver en udvidelse af ln (x + 1) i

potens af x:

Dette udtryk svarer nøjagtigt til hans tankegang, selv om han naturligvis ikke brugte tegnene d, ..., men mere besværlige symboler. Med opdagelsen af ​​den logaritmiske serie ændredes teknikken til beregning af logaritmer: de begyndte at blive bestemt ved hjælp af uendelige rækker. I sine forelæsninger "Elementær matematik fra det højeste synspunkt", læst i 1907-1908, foreslog F. Klein at bruge formlen som udgangspunkt for at konstruere teorien om logaritmer.

Etape 3

Definition af en logaritmisk funktion som funktion af det inverse

eksponentiel, logaritme som en indikator for graden af ​​en given base

var ikke umiddelbart formuleret. Forfatter Leonard Euler (1707-1783)

En Introduktion til Analysen af ​​det Infinitesimal (1748) tjente som en yderligere

udvikling af teorien om den logaritmiske funktion. Dermed,

134 år er gået siden logaritmer blev introduceret første gang

(tæller fra 1614) før matematikere kom til definitionen

begrebet logaritmen, som nu er grundlaget for skoleforløbet.

Kapitel 2. Indsamling af logaritmiske uligheder

2.1. Ækvivalente overgange og den generaliserede metode for intervaller.

Tilsvarende overgange

hvis a> 1

hvis 0 < а < 1

Generaliseret intervalmetode

Denne metode er den mest alsidige til at løse uligheder af næsten enhver type. Løsningsskemaet ser således ud:

1. Reducer uligheden til den form, hvor funktionen
, og til højre 0.

2. Find funktionens domæne
.

3. Find funktionens nuller
, altså at løse ligningen
(og at løse en ligning er normalt nemmere end at løse en ulighed).

4. Tegn funktionens domæne og nuller på tallinjen.

5. Bestem funktionens tegn
med de opnåede intervaller.

6. Vælg intervaller, hvor funktionen tager de nødvendige værdier, og skriv svaret ned.

Eksempel 1.

Løsning:

Lad os anvende afstandsmetoden

hvor

For disse værdier er alle udtryk under logaritmernes fortegn positive.

Svar:

Eksempel 2.

Løsning:

1 vej . ODZ bestemmes af uligheden x> 3. Tager logaritmen for en sådan x base 10, får vi

Den sidste ulighed kunne løses ved hjælp af nedbrydningsreglerne, dvs. sammenligner faktorerne med nul. Men i dette tilfælde er det let at bestemme intervallerne for funktionens konstanthed

derfor kan afstandsmetoden anvendes.

Fungere f(x) = 2x(x- 3,5) lgǀ x- 3ǀ er kontinuerlig kl x> 3 og forsvinder på punkter x 1 = 0, x 2 = 3,5, x 3 = 2, x 4 = 4. Således definerer vi intervallerne for konstans for funktionen f(x):

Svar:

2. vej . Lad os anvende ideerne om metoden med intervaller direkte på den oprindelige ulighed.

For at gøre dette skal du huske, at udtrykkene -en b - -en c og ( -en - 1)(b- 1) har ét tegn. Så vores ulighed for x> 3 svarer til uligheden

eller

Den sidste ulighed løses ved metoden med intervaller

Svar:

Eksempel 3.

Løsning:

Lad os anvende afstandsmetoden

Svar:

Eksempel 4.

Løsning:

Siden 2 x 2 - 3x+ 3> 0 for alle rigtige x, derefter

For at løse den anden ulighed bruger vi metoden med intervaller

I den første ulighed laver vi udskiftningen

så kommer vi til uligheden 2y 2 - y - 1 < 0 и, применив метод интервалов, получаем, что решениями будут те y der opfylder uligheden -0,5< y < 1.

Hvor, siden

vi opnår uligheden

som udføres med dem x for hvilket 2 x 2 - 3x - 5 < 0. Вновь применим метод интервалов

Nu, under hensyntagen til løsningen af ​​den anden ulighed i systemet, opnår vi endelig

Svar:

Eksempel 5.

Løsning:

Ulighed svarer til et sæt systemer

eller

Lad os anvende metoden med intervaller eller

Svar:

Eksempel 6.

Løsning:

Ulighed svarer til systemet

Lad ske

derefter y > 0,

og den første ulighed

systemet tager form

eller ved at udvide

firkantet trinomium efter faktorer,

Anvender metoden med intervaller til den sidste ulighed,

vi ser, at dets løsninger opfylder betingelsen y> 0 vil være alle y > 4.

Således er den oprindelige ulighed ækvivalent med systemet:

Så løsninger på ulighed er alt

2.2. Rationaliseringsmetode.

Tidligere var metoden til at rationalisere ulighed ikke løst, den var ikke kendt. Dette er "en ny moderne effektiv metode til at løse eksponentielle og logaritmiske uligheder" (citat fra S. I. Kolesnikovas bog)
Og selvom læreren kendte ham, var der betænkeligheder – kender eksaminator ham, og hvorfor bliver han ikke givet i skolen? Der var situationer, hvor læreren sagde til eleven: "Hvor har du det fra? Sæt dig ned - 2."
Metoden er nu bredt fremmet. Og for eksperter er der retningslinjer forbundet med denne metode, og i "De fleste komplette udgaver af standardindstillingerne ..." i løsningen C3 bruges denne metode.
VIDUNDERLIG METODE!

"Tryllebord"

I andre kilder

hvis a> 1 og b> 1, derefter log a b> 0 og (a -1) (b -1)> 0;

hvis a> 1 og 0

hvis 0<-en<1 и b >1, log derefter a b<0 и (a -1)(b -1)<0;