Eksempler:

\(4^x=32\)
\(5^(2x-1)-5^(2x-3)=4,8\)
\((\sqrt(7))^(2x+2)-50\cdot(\sqrt(7))^(x)+7=0\)

Sådan løses eksponentialligninger

Når vi løser en eksponentiel ligning, stræber vi efter at bringe den til formen \(a ^ (f (x)) \u003d a ^ (g (x)) \), og derefter foretage overgangen til indikatorernes lighed, det vil sige:

\(a^(f(x))=a^(g(x))\) \(⇔\) \(f(x)=g(x)\)

For eksempel:\(2^(x+1)=2^2\) \(⇔\) \(x+1=2\)

Vigtig! Fra samme logik følger to krav til en sådan overgang:
- nummer ind venstre og højre skal være det samme;
- grader venstre og højre skal være "rene", det vil sige, at der ikke skal være nogen, multiplikationer, divisioner osv.

For eksempel:

For at bringe ligningen til formen \(a^(f(x))=a^(g(x))\) og bruges.

Eksempel . Løs eksponentialligningen \(\sqrt(27) 3^(x-1)=((\frac(1)(3)))^(2x)\)
Opløsning:

Første niveau

eksponentielle ligninger. Omfattende vejledning (2019)

Hej! I dag vil vi diskutere med dig, hvordan man løser ligninger, der både kan være elementære (og jeg håber, at efter at have læst denne artikel, vil næsten alle være det for dig), og dem, der normalt får "tilbagefyldning". Tilsyneladende at falde i søvn helt. Men jeg vil forsøge at gøre mit bedste, så du nu ikke kommer i problemer, når du står over for denne type ligninger. Jeg vil ikke længere slå rundt i bushen, men jeg vil straks afsløre en lille hemmelighed: i dag skal vi studere eksponentielle ligninger.

Før jeg går videre til en analyse af måderne at løse dem på, vil jeg straks skitsere dig en cirkel af spørgsmål (ganske lille), som du bør gentage, før du skynder dig at storme dette emne. Så for de bedste resultater, tak gentage:

1. ejendomme og
2. Løsning og ligninger

Gentaget? Fantastiske! Så vil det ikke være svært for dig at bemærke, at roden af ​​ligningen er et tal. Er du sikker på, du forstår, hvordan jeg gjorde det? Sandhed? Så fortsætter vi. Svar mig nu på spørgsmålet, hvad er lig med tredje potens? Du har helt ret: . Otte er hvilken magt af to? Det er rigtigt - den tredje! Fordi. Nå, lad os nu prøve at løse følgende problem: Lad mig gange tallet med sig selv én gang og få resultatet. Spørgsmålet er, hvor mange gange jeg har ganget med mig selv? Du kan selvfølgelig tjekke dette direkte:

\begin(align) & 2=2 \\ & 2\cdot 2=4 \\ & 2\cdot 2\cdot 2=8 \\ & 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2=16 \\ \end( justere)

Så kan du konkludere, at jeg gangede gange af sig selv. Hvordan kan dette ellers verificeres? Og her er hvordan: direkte efter definitionen af ​​graden: . Men, må du indrømme, hvis jeg spurgte, hvor mange gange to skal ganges med sig selv for at få, for eksempel, ville du sige til mig: Jeg vil ikke dumme mig selv og formere mig, før jeg er blå i ansigtet. Og han ville have fuldstændig ret. For hvordan kan du det skriv kort ned alle handlinger(og korthed er talentets søster)

hvor - dette er selve "gange" når du formerer med sig selv.

Jeg tror, ​​at du ved (og hvis du ikke ved, omgående, meget presserende gentag graderne!), at så vil mit problem blive skrevet i formen:

Hvordan kan du med rimelighed konkludere, at:

Så stille og roligt skrev jeg det enkleste ned eksponentiel ligning:

Og endda fundet det rod. Synes du ikke, at alt er ret trivielt? Det er præcis det, jeg også tænker. Her er endnu et eksempel til dig:

Men hvad skal man gøre? Det kan jo ikke skrives som en grad af et (rimeligt) tal. Lad os ikke fortvivle og bemærke, at begge disse tal er perfekt udtrykt i form af kraften af ​​det samme tal. Hvad? Højre: . Derefter transformeres den oprindelige ligning til formen:

Hvorfra, som du allerede forstod, . Lad os ikke trække mere og skrive ned definition:

I vores tilfælde med dig: .

Disse ligninger løses ved at reducere dem til formen:

med efterfølgende løsning af ligningen

Det gjorde vi faktisk i det forrige eksempel: det fik vi. Og vi løste den enkleste ligning med dig.

Det ser ikke ud til at være noget kompliceret, vel? Lad os først øve os på det enkleste. eksempler:

Vi ser igen, at højre og venstre side af ligningen skal repræsenteres som en potens af et tal. Ganske vist er dette allerede blevet gjort til venstre, men til højre er der et nummer. Men det er trods alt okay, og min ligning forvandles mirakuløst til dette:

Hvad skulle jeg her? Hvilken regel? Magt til magt regel som lyder:

Hvad hvis:

Inden vi besvarer dette spørgsmål, lad os udfylde følgende tabel med dig:

Det er ikke svært for os at bemærke, at jo mindre, jo mindre er værdien, men ikke desto mindre er alle disse værdier større end nul. OG DET VIL ALTID VÆRE!!! Den samme egenskab gælder FOR ENHVER BASE MED ENHVER INDEX!! (for enhver og). Hvad kan vi så konkludere om ligningen? Og her er en: den har ingen rødder! Ligesom enhver ligning ikke har nogen rødder. Lad os nu øve os og Lad os løse nogle simple eksempler:

Lad os tjekke:

1. Der kræves intet af dig her, bortset fra at kende kræfternes egenskaber (hvilket jeg i øvrigt bad dig om at gentage!) Som regel fører alt til den mindste base: , . Så vil den oprindelige ligning svare til følgende: Alt jeg behøver er at bruge egenskaberne for potenser: når man multiplicerer tal med samme grundtal, lægges eksponenterne sammen, og når man dividerer, trækkes de fra. Så får jeg: Nå, nu vil jeg med god samvittighed gå fra eksponentialligningen til den lineære: \begin(align)
& 2x+1+2(x+2)-3x=5 \\
& 2x+1+2x+4-3x=5 \\
&x=0. \\
\end(align)

2. I det andet eksempel skal du være mere forsigtig: Problemet er, at vi på venstre side heller ikke kan repræsentere det samme tal som en potens. I dette tilfælde er det nogle gange nyttigt repræsentere tal som et produkt af potenser med forskellige baser, men de samme eksponenter:

Den venstre side af ligningen vil have formen: Hvad gav dette os? Og her er hvad: Tal med forskellige grundtal men samme eksponent kan ganges.I dette tilfælde ganges baserne, men eksponenten ændres ikke:

Anvendt på min situation vil dette give:

\begin(align)
& 4\cdot ((64)^(x))((25)^(x))=6400, \\
& 4\cdot (((64\cdot 25))^(x))=6400, \\
& ((1600)^(x))=\frac(6400)(4), \\
& ((1600)^(x))=1600, \\
&x=1. \\
\end(align)

Ikke dårligt, vel?

3. Jeg kan ikke lide, når jeg har to led på den ene side af ligningen, og ingen på den anden (nogle gange er det selvfølgelig berettiget, men det er ikke tilfældet nu). Flyt minusleddet til højre:

Nu, som før, vil jeg skrive alt gennem det tredobbelte kræfter:

Jeg tilføjer potenserne til venstre og får en ækvivalent ligning

Du kan nemt finde dens rod:

4. Som i eksempel tre, udtrykket med et minus - et sted på højre side!

Til venstre er næsten alt fint med mig, bortset fra hvad? Ja, den "forkerte grad" af toeren generer mig. Men det kan jeg sagtens ordne ved at skrive:. Eureka - til venstre er alle baser forskellige, men alle grader er ens! Vi formerer os hurtigt!

Her er alt klart igen: (hvis du ikke forstod, hvordan jeg på magisk vis fik den sidste ligestilling, så tag en pause i et minut, tag en pause og læs gradens egenskaber igen meget omhyggeligt. Hvem sagde, at du kan springe over grad med en negativ eksponent? Nå, her er jeg omtrent det samme som ingen). Nu får jeg:

\begin(align)
& ((2)^(4\venstre((x) -9 \højre)))=((2)^(-1)) \\
&4((x) -9)=-1 \\
&x=\frac(35)(4). \\
\end(align)

Her er opgaverne for dig at øve dig på, som jeg kun vil give svarene på (men i en "blandet" form). Løs dem, tjek, og vi fortsætter vores forskning!

Parat? Svar som disse:

1. ethvert nummer

Okay, okay, jeg lavede sjov! Her er konturerne af løsningerne (nogle er ret korte!)

Tror du ikke, at det ikke er tilfældigt, at den ene brøkdel til venstre er en "omvendt" anden? Det ville være synd ikke at bruge dette:

Denne regel bruges meget ofte, når man løser eksponentialligninger, husk det godt!

Så bliver den oprindelige ligning:

Ved at løse denne andengradsligning får du følgende rødder:

2. En anden løsning: at dividere begge dele af ligningen med udtrykket til venstre (eller højre). Jeg dividerer med det, der er til højre, så får jeg:

Hvor (hvorfor?!)

3. Jeg vil ikke engang gentage mig selv, alt er allerede blevet "tygget" så meget.

4. svarende til en andengradsligning, rødderne

5. Du skal bruge formlen givet i den første opgave, så får du det:

Ligningen er blevet til en triviel identitet, hvilket gælder for enhver. Så er svaret et hvilket som helst reelt tal.

Nå, her er du og øvet dig i at bestemme de simpleste eksponentialligninger. Nu vil jeg give dig nogle livseksempler, der vil hjælpe dig med at forstå, hvorfor de er nødvendige i princippet. Her vil jeg give to eksempler. Den ene er ret dagligdags, men den anden er mere videnskabelig end praktisk.

Eksempel 1 (merkantil) Lad dig have rubler, men du vil gøre det til rubler. Banken tilbyder dig at tage disse penge fra dig til en årlig rente med en månedlig kapitalisering af renter (månedlig periodisering). Spørgsmålet er, hvor mange måneder skal du åbne et depositum for at få det ønskede endelige beløb? En ganske banal opgave, ikke? Ikke desto mindre er dens løsning forbundet med konstruktionen af ​​den tilsvarende eksponentielle ligning: Lad - det oprindelige beløb, - det endelige beløb, - renten for perioden, - antallet af perioder. Derefter:

I vores tilfælde (hvis satsen er per år, så beregnes den per måned). Hvorfor er det opdelt i? Hvis du ikke kender svaret på dette spørgsmål, så husk emnet ""! Så får vi følgende ligning:

Denne eksponentielle ligning kan i forvejen kun løses med en lommeregner (dens udseende antyder dette, og det kræver kendskab til logaritmerne, som vi vil stifte bekendtskab med lidt senere), hvilket jeg vil gøre: ... Således, mhp. modtager en million, skal vi give et bidrag i en måned (ikke særlig hurtigt, vel?).

Eksempel 2 (temmelig videnskabeligt). På trods af hans, en vis "isolation", anbefaler jeg, at du er opmærksom på ham: han "glider jævnligt ind til eksamen!! (opgaven er taget fra den "rigtige" version) Under henfaldet af en radioaktiv isotop falder dens masse ifølge loven, hvor (mg) er isotopens begyndelsesmasse, (min.) er den tid, der er gået fra indledende øjeblik, (min.) er halveringstiden. I det indledende tidspunkt er isotopens masse mg. Dens halveringstid er min. Om hvor mange minutter vil massen af ​​isotopen være lig med mg? Det er okay: vi tager bare og erstatter alle data i den formel, der er foreslået os:

Lad os dividere begge dele med "i håbet om" at vi til venstre får noget fordøjeligt:

Nå, vi er meget heldige! Den står til venstre, så lad os gå videre til den tilsvarende ligning:

Hvor min.

Som du kan se, har eksponentielle ligninger en meget reel anvendelse i praksis. Nu vil jeg diskutere med dig en anden (simpel) måde at løse eksponentielle ligninger på, som er baseret på at tage den fælles faktor ud af parentes og derefter gruppere termerne. Vær ikke bange for mine ord, du har allerede mødt denne metode i 7. klasse, da du studerede polynomier. For eksempel, hvis du havde brug for at faktorisere udtrykket:

Lad os gruppere: det første og tredje led, såvel som det andet og fjerde. Det er tydeligt, at den første og den tredje er forskellen mellem kvadraterne:

og den anden og fjerde har en fælles faktor på tre:

Så svarer det oprindelige udtryk til dette:

Hvor man kan fjerne den fælles faktor er ikke længere svært:

Følgelig,

Det er omtrent sådan, vi vil agere, når vi løser eksponentialligninger: kig efter "fællesskab" blandt begreberne og tag det ud af parenteserne, og så - hvad der vil, jeg tror på, at vi vil være heldige =)) For eksempel:

Til højre er langt fra magten af ​​syv (jeg tjekkede!) Og til venstre - lidt bedre, kan du selvfølgelig "hakke" faktoren a fra den første term og fra den anden, og derefter beskæftige dig med hvad du har, men lad os gøre mere forsigtigt med dig. Jeg ønsker ikke at beskæftige mig med de fraktioner, der uundgåeligt produceres af "udvælgelse", så burde jeg ikke have det bedre med at holde ud? Så vil jeg ikke have fraktioner: som man siger, både ulvene er mætte og fårene er sikre:

Tæl udtrykket i parentes. Magisk, magisk viser det sig at (overraskende, selvom hvad ellers kan vi forvente?).

Så reducerer vi begge sider af ligningen med denne faktor. Vi får: hvor.

Her er et mere kompliceret eksempel (ganske lidt, egentlig):

Her er problemerne! Vi har ingen fælles fodslag her! Det er ikke helt klart, hvad man skal gøre nu. Og lad os gøre, hvad vi kan: For det første vil vi flytte "firerne" i den ene retning og "femrene" i den anden:

Lad os nu fjerne "fælles" til venstre og højre:

Så hvad nu? Hvad er fordelen ved sådan en dum gruppering? Ved første øjekast er det slet ikke synligt, men lad os se dybere:

Nå, lad os nu gøre det sådan, at vi til venstre kun har udtrykket c, og til højre - alt andet. Hvordan kan vi gøre det? Og sådan gør du: Divider begge sider af ligningen først med (så vi slipper af med eksponenten til højre), og divider derefter begge sider med (så vi slipper for den numeriske faktor til venstre). Endelig får vi:

Utrolig! Til venstre har vi et udtryk, og til højre - bare. Så konkluderer vi med det samme

Her er endnu et eksempel til at forstærke:

Jeg vil give hans korte løsning (gider ikke rigtig at forklare), prøv selv at finde ud af alle "finesser" af løsningen.

Nu er den endelige konsolidering af materialet dækket. Prøv at løse følgende problemer på egen hånd. Jeg vil kun give korte anbefalinger og tips til at løse dem:

1. Lad os tage den fælles faktor ud af parentes:
2. Vi repræsenterer det første udtryk i formen: , divider begge dele med og få det
3. , så konverteres den oprindelige ligning til formen: Nå, nu et tip - se efter, hvor du og jeg allerede har løst denne ligning!
4. Forestil dig hvordan, hvordan, ah, ja, divider så begge dele med, så du får den enkleste eksponentialligning.
5. Tag den ud af parentes.
6. Tag den ud af parentes.

EKSPONERINGSLIGNINGER. GENNEMSNIVEAU

Det går jeg ud fra efter at have læst den første artikel, som fortalte hvad er eksponentialligninger og hvordan man løser dem, har du mestret det nødvendige minimum af viden, der skal til for at løse de enkleste eksempler.

Nu vil jeg analysere en anden metode til at løse eksponentialligninger, det er

"metode til at introducere en ny variabel" (eller substitution). Han løser de fleste af de "svære" problemer, om emnet eksponentielle ligninger (og ikke kun ligninger). Denne metode er en af ​​de mest anvendte i praksis. Først anbefaler jeg, at du sætter dig ind i emnet.

Som du allerede har forstået fra navnet, er essensen af ​​denne metode at introducere en sådan ændring af variabel, at din eksponentielle ligning mirakuløst vil forvandle sig til en, som du allerede nemt kan løse. Alt, der er tilbage for dig efter at have løst denne meget "forenklede ligning" er at lave en "omvendt erstatning": det vil sige at vende tilbage fra det erstattede til det erstattede. Lad os illustrere, hvad vi lige sagde med et meget simpelt eksempel:

Eksempel 1:

Denne ligning løses ved en "simpel substitution", som matematikere nedsættende kalder det. Faktisk er substitutionen her den mest åbenlyse. Det skal bare ses

Så bliver den oprindelige ligning:

Hvis vi derudover forestiller os hvordan, så er det helt klart, hvad der skal udskiftes: selvfølgelig. Hvad bliver så den oprindelige ligning? Og her er hvad:

Du kan nemt finde dens rødder på egen hånd:. Hvad skal vi gøre nu? Det er tid til at vende tilbage til den oprindelige variabel. Hvad har jeg glemt at inkludere? Nemlig: ved udskiftning af en vis grad med en ny variabel (det vil sige ved udskiftning af en type), vil jeg være interesseret i kun positive rødder! Du kan nemt svare på hvorfor. Derfor er vi ikke interesserede i dig, men den anden rod er ret egnet til os:

Så hvor.

Svar:

Som du kan se, i det foregående eksempel, bad erstatningen om vores hænder. Det er desværre ikke altid tilfældet. Lad os dog ikke gå direkte til det triste, men øve os på endnu et eksempel med en ret simpel udskiftning

Eksempel 2

Det er klart, at det højst sandsynligt vil være nødvendigt at erstatte (dette er den mindste af de potenser, der er inkluderet i vores ligning), men før vi indfører en erstatning, skal vores ligning "forberedes" til det, nemlig: , . Så kan du erstatte, som et resultat vil jeg få følgende udtryk:

Åh rædsel: en kubisk ligning med helt forfærdelige formler for dens løsning (nå, i generelle vendinger). Men lad os ikke umiddelbart fortvivle, men tænke over, hvad vi skal gøre. Jeg vil foreslå snyd: vi ved, at for at få et "smukt" svar, skal vi komme i form af en eller anden potens af tre (hvorfor skulle det være, hva?). Og lad os prøve at gætte mindst én rod af vores ligning (jeg vil begynde at gætte ud fra tre potenser).

Første gæt. Er ikke en rod. Ak og åh...

.
Venstre side er lige.
Højre del: !
Der er! Gættede den første rod. Nu bliver tingene nemmere!

Kender du til "hjørne"-delingsordningen? Selvfølgelig ved du, du bruger det, når du dividerer et tal med et andet. Men de færreste ved, at det samme kan gøres med polynomier. Der er en vidunderlig sætning:

Gældende for min situation fortæller det mig, hvad der er deleligt uden en rest med. Hvordan foregår opdelingen? Sådan:

Jeg ser på, hvilket monomer jeg skal gange for at få klart, så:

Jeg trækker det resulterende udtryk fra, får jeg:

Hvad skal jeg nu gange for at få? Det er klart, at på, så får jeg:

og trækker igen det resulterende udtryk fra det resterende:

Nå, det sidste trin multiplicerer jeg med og trækker fra det resterende udtryk:

Hurra, delingen er forbi! Hvad har vi akkumuleret privat? I sig selv:.

Så fik vi følgende udvidelse af det oprindelige polynomium:

Lad os løse den anden ligning:

Det har rødder:

Så den oprindelige ligning:

har tre rødder:

Vi kasserer selvfølgelig den sidste rod, da den er mindre end nul. Og de to første efter den omvendte udskiftning vil give os to rødder:

Svar: ..

Med dette eksempel ville jeg slet ikke skræmme dig, snarere satte jeg mig for at vise, at selvom vi havde en ret simpel erstatning, førte det alligevel til en ret kompleks ligning, hvis løsning krævede nogle specielle færdigheder fra os . Nå, ingen er immune over for dette. Men ændringen i denne sag var ret indlysende.

Her er et eksempel med en lidt mindre indlysende erstatning:

Det er slet ikke klart, hvad vi skal gøre: Problemet er, at i vores ligning er der to forskellige baser, og den ene base kan ikke opnås fra den anden ved at hæve den i nogen (rimelig, naturligt) grad. Men hvad ser vi? Begge baser adskiller sig kun i fortegn, og deres produkt er forskellen mellem kvadrater lig med én:

Definition:

Således er de tal, der er baser i vores eksempel, konjugerede.

I så fald ville det smarte træk være gange begge sider af ligningen med det konjugerede tal.

For eksempel på, så bliver venstre side af ligningen lig, og højre side. Hvis vi foretager en erstatning, vil vores oprindelige ligning med dig blive sådan her:

dets rødder altså, men husker vi det, så får vi det.

Svar: , .

Som regel er erstatningsmetoden nok til at løse de fleste "skole"-eksponentialligninger. Følgende opgaver er taget fra USE C1 (øget sværhedsgrad). Du er allerede dygtig nok til at løse disse eksempler på egen hånd. Jeg vil kun give den nødvendige erstatning.

1. Løs ligningen:
2. Find rødderne til ligningen:
3. Løs ligningen:. Find alle rødderne til denne ligning, der hører til segmentet:

Nu til nogle hurtige forklaringer og svar:

1. Her er det tilstrækkeligt at bemærke, at og. Så vil den oprindelige ligning svare til denne: Denne ligning løses ved at erstatte Lav selv følgende udregninger. I sidste ende vil din opgave blive reduceret til at løse den enkleste trigonometriske (afhængigt af sinus eller cosinus). Vi vil diskutere løsningen af ​​sådanne eksempler i andre afsnit.
2. Her kan du endda undvære erstatning: det er nok at overføre subtrahenden til højre og repræsentere begge baser gennem to potenser: og derefter straks gå til andengradsligningen.
3. Den tredje ligning er også løst på en ret standard måde: forestil dig hvordan. Hvis vi så erstatter, får vi en andengradsligning: derefter,

   Ved du allerede, hvad en logaritme er? Ikke? Så læs straks emnet!

   Den første rod hører naturligvis ikke til segmentet, og den anden er uforståelig! Men det finder vi ud af meget snart! Siden da (dette er en egenskab ved logaritmen!) Lad os sammenligne:

   Træk fra begge dele, så får vi:

   Venstre side kan repræsenteres som:

   gange begge sider med:

   kan så ganges med

   Så lad os sammenligne:

   siden da:

   Så hører den anden rod til det ønskede interval

   Svar:

Som du kan se, udvælgelsen af ​​rødderne til eksponentialligninger kræver et ret dybt kendskab til logaritmers egenskaber, så jeg råder dig til at være så forsigtig som muligt, når du løser eksponentialligninger. Som du ved, i matematik hænger alt sammen! Som min matematiklærer plejede at sige: "Du kan ikke læse matematik som historie fra den ene dag til den anden."

Som regel alle vanskeligheden ved at løse opgaver C1 er netop udvælgelsen af ​​ligningens rødder. Lad os øve os med et andet eksempel:

Det er klart, at selve ligningen er løst ganske enkelt. Efter at have foretaget substitutionen reducerer vi vores oprindelige ligning til følgende:

Lad os først se på den første rod. Sammenlign og: siden da. (egenskab for den logaritmiske funktion, at). Så er det klart, at den første rod heller ikke hører til vores interval. Nu den anden rod:. Det er klart, at (da funktionen er stigende). Det er tilbage at sammenligne og

siden da på samme tid. Dermed kan jeg "drive en pind" mellem og. Denne pind er et nummer. Det første udtryk er mindre end og det andet er større end. Så er det andet udtryk større end det første, og roden hører til intervallet.

Svar: .

Afslutningsvis, lad os se på et andet eksempel på en ligning, hvor erstatningen er ret ikke-standard:

Lad os starte med det samme med, hvad du kan gøre, og hvad - i princippet kan du, men det er bedre ikke at gøre det. Det er muligt - at repræsentere alt gennem magten tre, to og seks. Hvor fører det hen? Ja, og det vil ikke føre til noget: en hodgepodge af grader, hvoraf nogle vil være ret svære at slippe af med. Hvad skal der så til? Lad os bemærke, at a Og hvad vil det give os? Og det faktum, at vi kan reducere løsningen af ​​dette eksempel til løsningen af ​​en ret simpel eksponentialligning! Lad os først omskrive vores ligning som:

Nu opdeler vi begge sider af den resulterende ligning i:

Eureka! Nu kan vi erstatte, vi får:

Nå, nu er det din tur til at løse problemer til demonstration, og jeg vil kun give korte kommentarer til dem, så du ikke kommer på afveje! Held og lykke!

1. Det sværeste! At se en afløser her er åh, hvor grimt! Ikke desto mindre kan dette eksempel løses fuldstændigt vha valg af en hel firkant. For at løse det, er det tilstrækkeligt at bemærke, at:

Så her er din erstatning:

(Bemærk at her, med vores udskiftning, kan vi ikke kassere den negative rod!!! Og hvorfor, hvad synes du?)

For at løse eksemplet skal du løse to ligninger:

Begge er løst af "standardudskiftningen" (men den anden i ét eksempel!)

2. Læg mærke til det og lav en udskiftning.

3. Udvid tallet til coprime-faktorer og forenkle det resulterende udtryk.

4. Divider brøkens tæller og nævner med (eller hvis du foretrækker det) og foretag substitutionen eller.

5. Bemærk, at tallene og er konjugeret.

EKSPONERINGSLIGNINGER. AVANCERET NIVEAU

Derudover, lad os se på en anden måde - løsning af eksponentialligninger ved logaritmemetoden. Jeg kan ikke sige, at løsningen af ​​eksponentielle ligninger ved denne metode er meget populær, men i nogle tilfælde kan det kun føre os til den korrekte løsning af vores ligning. Især ofte bruges det til at løse de såkaldte " blandede ligninger': det vil sige dem, hvor der er funktioner af forskellige typer.

For eksempel en ligning som:

i det generelle tilfælde kan det kun løses ved at tage logaritmen af ​​begge dele (for eksempel ved base), hvor den oprindelige ligning bliver til følgende:

Lad os overveje følgende eksempel:

Det er klart, at vi kun er interesserede i ODZ af den logaritmiske funktion. Dette følger dog ikke kun af logaritmens ODZ, men af ​​en anden grund. Jeg tror, ​​at det ikke vil være svært for dig at gætte hvilken.

Lad os tage logaritmen af ​​begge sider af vores ligning til basen:

Som du kan se, førte logaritmen af ​​vores oprindelige ligning os hurtigt til det korrekte (og smukke!) svar. Lad os øve os med et andet eksempel:

Her er der heller ikke noget at bekymre sig om: vi tager logaritmen af ​​begge sider af ligningen i form af basen, så får vi:

Lad os lave en erstatning:

Vi gik dog glip af noget! Lagde du mærke til, hvor jeg lavede en fejl? Når alt kommer til alt, så:

som ikke opfylder kravet (tænk hvor det kom fra!)

Svar:

Prøv at skrive nedenstående løsning af eksponentialligningerne:

Tjek nu din løsning med denne:

1. Vi logaritmer begge dele til basen, givet at:

(den anden rod passer os ikke på grund af udskiftningen)

2. Logaritme til basen:

Lad os transformere det resulterende udtryk til følgende form:

EKSPONERINGSLIGNINGER. KORT BESKRIVELSE OG GRUNDFORMEL

eksponentiel ligning

Type ligning:

hedder den enkleste eksponentialligning.

Gradegenskaber

Løsningstilgange

• Reduktion til samme base
• Reduktion til samme eksponent
• Variabel substitution
• Forenkle udtrykket og anvend et af ovenstående.

Hvad er en eksponentiel ligning? Eksempler.

Altså, en eksponentiel ligning... En ny unik udstilling på vores generelle udstilling af en bred vifte af ligninger!) Som det næsten altid er tilfældet, er nøgleordet for ethvert nyt matematisk udtryk det tilsvarende adjektiv, der kendetegner det. Så også her. Nøgleordet i udtrykket "eksponentiel ligning" er ordet "demonstrerende". Hvad betyder det? Dette ord betyder, at det ukendte (x) er med hensyn til enhver grad. Og kun der! Dette er ekstremt vigtigt.

For eksempel disse simple ligninger:

3 x +1 = 81

5x + 5x +2 = 130

4 2 2 x -17 2 x +4 = 0

Eller endda disse monstre:

2 sin x = 0,5

Jeg beder dig om straks at være opmærksom på en vigtig ting: i grunde grader (nederst) - kun tal. Men i indikatorer grader (øverst) - en bred vifte af udtryk med x. Absolut alle.) Alt afhænger af den specifikke ligning. Hvis x pludselig kommer ud i ligningen et andet sted, ud over indikatoren (f.eks. 3 x \u003d 18 + x 2), vil en sådan ligning allerede være en ligning blandet type. Sådanne ligninger har ikke klare regler for løsning. Derfor vil vi ikke overveje dem i denne lektion. Til glæde for eleverne.) Her vil vi kun betragte eksponentialligninger i en "ren" form.

Generelt er selv rene eksponentielle ligninger ikke klart løst i alle tilfælde og ikke altid. Men blandt den rige variation af eksponentialligninger er der visse typer, der kan og bør løses. Det er disse typer ligninger, vi vil overveje sammen med dig. Og vi løser helt sikkert eksemplerne.) Så vi sætter os godt til rette og - på farten! Som i computer "skydespil", vil vores rejse gå gennem niveauerne.) Fra elementært til simpelt, fra enkelt til medium og fra medium til komplekst. Undervejs vil du også vente på et hemmeligt niveau - tricks og metoder til at løse ikke-standardiserede eksempler. Dem, som du ikke vil læse om i de fleste skolebøger... Nå, til sidst venter selvfølgelig den endelige chef på dig i form af lektier.)

Niveau 0. Hvad er den enkleste eksponentialligning? Løsning af de simpleste eksponentialligninger.

Til at begynde med, lad os se på nogle ærlige elementære. Du skal starte et sted, ikke? For eksempel denne ligning:

2 x = 2 2

Selv uden nogen teorier, ved simpel logik og sund fornuft, er det klart, at x = 2. Ellers er der ingen måde, vel? Ingen anden værdi af x er god ... Lad os nu vende opmærksomheden mod beslutningsindtastning denne seje eksponentielle ligning:

2 x = 2 2

X = 2

Hvad skete der med os? Og følgende skete. Vi tog faktisk og ... smed bare de samme baser (toer) ud! Fuldstændig smidt ud. Og, hvad der behager, slå i øjnene!

Ja, faktisk, hvis i eksponentialligningen til venstre og højre er det samme tal i enhver grad, så kan disse tal kasseres og blot sidestille eksponenterne. Matematik tillader det.) Og så kan man arbejde separat med indikatorer og løse en meget enklere ligning. Det er fantastisk, ikke?

Her er nøgleideen til at løse enhver (ja, præcis enhver!) eksponentiel ligning: ved hjælp af identiske transformationer er det nødvendigt at sikre, at venstre og højre i ligningen er det samme basistal i forskellige grader. Og så kan du roligt fjerne de samme baser og sidestille eksponenterne. Og arbejde med en enklere ligning.

Og nu husker vi jernreglen: det er muligt at fjerne de samme grundtal, hvis og kun hvis i ligningen til venstre og til højre er grundtallene i stolt ensomhed.

Hvad betyder det, i pragtfuld isolation? Det betyder uden nogen naboer og koefficienter. Jeg forklarer.

For eksempel i ligningen

3 3 x-5 = 3 2 x +1

Du kan ikke fjerne trillinger! Hvorfor? For til venstre har vi ikke bare en ensom treer i grad, men arbejde 3 3 x-5. En ekstra tredobbelt kommer i vejen: en koefficient, forstår du.)

Det samme kan siges om ligningen

5 3 x = 5 2 x +5 x

Også her er alle baser ens - fem. Men til højre har vi ikke en eneste grad på fem: der er summen af ​​graderne!

Kort sagt, vi har kun ret til at fjerne de samme baser, når vores eksponentielle ligning ser sådan ud og kun sådan her:

-enf (x) = et g (x)

Denne type eksponentielligning kaldes den enkleste. Eller videnskabeligt, kanonisk . Og uanset hvad den snoede ligning foran os måtte være, på en eller anden måde, vil vi reducere den til en så simpel (kanonisk) form. Eller i nogle tilfælde til aggregater ligninger af denne art. Derefter kan vores enkleste ligning omskrives i generel form som følger:

F(x) = g(x)

Og det er det. Dette vil være den tilsvarende transformation. Samtidig kan absolut alle udtryk med x bruges som f(x) og g(x). Uanset hvad.

Måske vil en særlig nysgerrig studerende spørge: hvorfor i alverden kasserer vi så let og enkelt de samme baser til venstre og højre og sidestiller eksponenterne? Intuition er intuition, men pludselig, i en eller anden ligning og af en eller anden grund, vil denne tilgang vise sig at være forkert? Er det altid lovligt at smide de samme baser? Desværre, for at få et stringent matematisk svar på dette interessante spørgsmål, er man nødt til at dykke ret dybt og seriøst ind i den generelle teori om funktioners struktur og adfærd. Og lidt mere specifikt – i fænomenet streng monotoni. Især den strenge monotoni eksponentiel funktiony= et x. Da det er eksponentialfunktionen og dens egenskaber, der ligger til grund for løsningen af ​​eksponentialligninger, ja.) Et detaljeret svar på dette spørgsmål vil blive givet i en separat speciallektion, der er viet til at løse komplekse ikke-standardligninger ved hjælp af monotoniteten af ​​forskellige funktioner.)

At forklare dette punkt i detaljer nu er kun at tage hjernen ud af et gennemsnitligt skolebarn og skræmme ham på forhånd med en tør og tung teori. Det vil jeg ikke gøre.) For vores hovedopgave i øjeblikket er lær at løse eksponentialligninger! Det aller simpleste! Derfor, indtil vi sveder og frimodigt smider de samme grunde ud. Dette kan, tag mit ord for det!) Og så løser vi allerede den ækvivalente ligning f (x) = g (x). Som regel er det enklere end den oprindelige eksponentielle.

Det antages selvfølgelig, at folk allerede ved, hvordan man løser mindst , og ligninger, allerede uden x i indikatorer.) Hvem der stadig ikke ved hvordan, er velkommen til at lukke denne side, gå langs de relevante links og udfylde de gamle huller. Ellers får du det svært, ja ...

Jeg er tavs om irrationelle, trigonometriske og andre brutale ligninger, der også kan dukke op i processen med at eliminere baser. Men vær ikke foruroliget, for nu vil vi ikke overveje frank tin med hensyn til grader: det er for tidligt. Vi træner kun på de enkleste ligninger.)

Overvej nu ligninger, der kræver en ekstra indsats for at reducere dem til de enkleste. Lad os kalde dem for at skelne dem simple eksponentialligninger. Så lad os gå videre til næste niveau!

Niveau 1. Simple eksponentialligninger. Genkend grader! naturlige indikatorer.

Nøglereglerne for løsning af eksponentielle ligninger er regler for håndtering af grader. Uden denne viden og færdigheder vil intet fungere. Ak. Så hvis der er problemer med graderne, så er du til en start velkommen. Derudover har vi også brug for . Disse transformationer (så mange som to!) er grundlaget for at løse alle matematikkens ligninger generelt. Og ikke kun udstillingsvinduer. Så den, der har glemt det, så tag også en tur på linket: Jeg sætter dem på af en grund.

Men kun handlinger med kræfter og identiske transformationer er ikke nok. Det kræver også personlig iagttagelse og opfindsomhed. Vi har brug for de samme grunde, ikke? Så vi undersøger eksemplet og leder efter dem i en eksplicit eller forklædt form!

For eksempel denne ligning:

3 2x – 27x +2 = 0

Første kig på grunde. De er forskellige! Tre og syvogtyve. Men det er for tidligt at gå i panik og falde i fortvivlelse. Det er tid til at huske det

27 = 3 3

Nummer 3 og 27 er relative i grad! Desuden pårørende.) Derfor har vi fuld ret til at skrive ned:

27 x +2 = (3 3) x+2

Og nu kobler vi vores viden om handlinger med grader(og jeg advarede dig!). Der er sådan en meget nyttig formel:

(am) n = a mn

Hvis du nu kører det i kurset, viser det sig generelt fint:

27 x +2 = (3 3) x+2 = 3 3 (x +2)

Det originale eksempel ser nu sådan ud:

3 2 x – 3 3(x +2) = 0

Godt, gradernes baser er justeret. Hvad vi stræbte efter. Det halve arbejde er gjort.) Og nu lancerer vi den grundlæggende identitetstransformation - vi overfører 3 3 (x +2) til højre. Ingen annullerede matematikkens elementære handlinger, ja.) Vi får:

3 2 x = 3 3 (x +2)

Hvad giver os denne form for ligning? Og det faktum, at nu er vores ligning reduceret til kanonisk form: til venstre og til højre er de samme tal (tripler) i potenser. Og begge trillinger - i pragtfuld isolation. Vi fjerner modigt trillingerne og får:

2x = 3(x+2)

Vi løser dette og får:

X=-6

Det er alt, hvad der skal til. Dette er det rigtige svar.)

Og nu forstår vi forløbet af beslutningen. Hvad reddede os i dette eksempel? Vi blev reddet af kendskabet til tredobbeltens grader. Hvordan præcist? Vi identificeret nummer 27 krypteret tre! Dette trick (som koder den samme base under forskellige tal) er et af de mest populære i eksponentialligninger! Medmindre det er det mest populære. Ja, og i øvrigt også. Derfor er observation og evnen til at genkende potenser af andre tal i tal så vigtig i eksponentialligninger!

Praktiske råd:

Du skal kende kræfterne i populære tal. I ansigtet!

Selvfølgelig kan enhver hæve to til syvende potens eller tre til femte. Ikke i mine tanker, så i hvert fald på et udkast. Men i eksponentielle ligninger er det meget oftere nødvendigt ikke at hæve til en potens, men tværtimod at finde ud af, hvilket tal og i hvilket omfang der er skjult bag et tal, f.eks. 128 eller 243. Og dette er allerede mere kompliceret end simpel eksponentiering, ser du. Mærk forskellen, som man siger!

Da evnen til at genkende grader i ansigtet vil være nyttig ikke kun på dette niveau, men også på de følgende, er her en lille opgave til dig:

Bestem hvilke potenser og hvilke tal der er tal:

4; 8; 16; 27; 32; 36; 49; 64; 81; 100; 125; 128; 216; 243; 256; 343; 512; 625; 729; 1024.

Svar (naturligvis spredt):

27 2 ; 2 10 ; 3 6 ; 7 2 ; 2 6 ; 9 2 ; 3 4 ; 4 3 ; 10 2 ; 2 5 ; 3 5 ; 7 3 ; 16 2 ; 2 7 ; 5 3 ; 2 8 ; 6 2 ; 3 3 ; 2 9 ; 2 4 ; 2 2 ; 4 5 ; 25 2 ; 4 4 ; 6 3 ; 8 2 ; 9 3 .

Ja Ja! Bliv ikke overrasket over, at der er flere svar end opgaver. For eksempel er 2 8 , 4 4 og 16 2 alle 256.

Niveau 2. Simple eksponentialligninger. Genkend grader! Negative og brøkeksponenter.

På dette niveau bruger vi allerede vores viden om grader fuldt ud. Vi inddrager nemlig negative og fraktionelle indikatorer i denne fascinerende proces! Ja Ja! Vi er nødt til at opbygge magt, ikke?

For eksempel denne frygtelige ligning:

Igen, først se på fundamentet. Baserne er forskellige! Og denne gang ligner de slet ikke hinanden! 5 og 0,04... Og for at eliminere baserne er de samme nødvendige... Hvad skal man gøre?

Det er ok! Faktisk er alt det samme, bare forbindelsen mellem de fem og 0,04 er visuelt dårligt synlig. Hvordan kommer vi ud? Og lad os gå videre til den sædvanlige brøk i tallet 0,04! Og der, ser du, alt er dannet.)

0,04 = 4/100 = 1/25

Wow! Det viser sig, at 0,04 er 1/25! Nå, hvem skulle have troet!)

Nå, hvordan? Nu er sammenhængen mellem tallene 5 og 1/25 nemmere at se? Det er hvad det er...

Og nu, i henhold til reglerne for operationer med beføjelser med negativ indikator kan skrives med fast hånd:

Det er godt. Så vi kom til samme base - fem. Vi erstatter nu det ubehagelige tal 0,04 i ligningen med 5 -2 og får:

Igen, ifølge reglerne for operationer med beføjelser, kan vi nu skrive:

(5 -2) x -1 = 5 -2(x -1)

For en sikkerheds skyld minder jeg dig (pludselig, hvem ved ikke), at de grundlæggende regler for handlinger med grader gælder for nogen indikatorer! Inklusiv for negative.) Så tag og gange gerne indikatorerne (-2) og (x-1) i henhold til den tilsvarende regel. Vores ligning bliver bedre og bedre:

Alt! Ud over de ensomme femmere i graderne til venstre og højre er der ikke andet. Ligningen er reduceret til kanonisk form. Og så - ad det riflede spor. Vi fjerner femtalerne og sidestiller indikatorerne:

x 2 –6 x+5=-2(x-1)

Eksemplet er næsten færdigt. Middelklassens elementære matematik forbliver - vi åbner (korrekt!) parenteserne og samler alt til venstre:

x 2 –6 x+5 = -2 x+2

x 2 –4 x+3 = 0

Vi løser dette og får to rødder:

x 1 = 1; x 2 = 3

Det er alt.)

Lad os nu tænke igen. I dette eksempel skulle vi igen genkende det samme tal i varierende grad! Nemlig at se de krypterede fem i tallet 0,04. Og denne gang i negativ grad! Hvordan gjorde vi det? På farten - ingen måde. Men efter overgangen fra en decimalbrøk på 0,04 til en almindelig brøk på 1/25, blev alt fremhævet! Og så gik hele beslutningen som smurt.)

Derfor endnu et grønt praktisk råd.

Hvis der er decimalbrøker i eksponentialligningen, så går vi fra decimalbrøker til almindelige. I almindelige brøker er det meget lettere at genkende magten i mange populære tal! Efter genkendelsen går vi fra brøker til potenser med negative eksponenter.

Husk på, at sådan en finte i eksponentialligninger forekommer meget, meget ofte! Og personen er ikke med i emnet. Han kigger for eksempel på tallene 32 og 0,125 og bliver ked af det. Det er ukendt for ham, at dette er den samme toer, kun i forskellige grader ... Men du er allerede i emnet!)

Løs ligningen:

I! Det ligner en stille rædsel ... Tilsyneladende bedrager dog. Dette er den enkleste eksponentielle ligning på trods af dens skræmmende udseende. Og nu vil jeg vise dig det.)

Først beskæftiger vi os med alle de tal, der sidder i baserne og i koefficienterne. De er åbenbart forskellige, ja. Men vi tager stadig risikoen og forsøger at lave dem det samme! Lad os prøve at komme til det samme antal i forskellige grader. Og helst antallet af de mindst mulige. Så lad os begynde at tyde!

Nå, alt er klart med de fire på én gang - det er 2 2 . Så allerede noget.)

Med en brøkdel på 0,25 - er det endnu ikke klart. Skal tjekkes. Vi bruger praktiske råd - gå fra decimal til almindelig:

0,25 = 25/100 = 1/4

Allerede meget bedre. For nu er det allerede tydeligt, at 1/4 er 2 -2. Fantastisk, og tallet 0,25 er også beslægtet med en toer.)

Så langt så godt. Men det værste antal af alle er tilbage - kvadratroden af ​​to! Hvad skal man gøre med denne peber? Kan det også repræsenteres som en topotens? Og hvem ved...

Nå, igen kravler vi ind i vores skatkammer af viden om grader! Denne gang forbinder vi desuden vores viden om rødderne. Fra 9. klasses forløb måtte du og jeg tåle, at enhver rod, hvis det ønskes, altid kan forvandles til en grad med en brøkdel.

Sådan her:

I vores tilfælde:

Hvordan! Det viser sig, at kvadratroden af ​​to er 2 1/2. Det er det!

Det er fint! Alle vores ubehagelige numre viste sig faktisk at være en krypteret toer.) Jeg argumenterer ikke, et sted meget sofistikeret krypteret. Men vi øger også vores professionalisme i at løse sådanne cifre! Og så er alt allerede indlysende. Vi erstatter tallene 4, 0,25 og roden af ​​to i vores ligning med en potens af to:

Alt! Grundlaget for alle grader i eksemplet er blevet det samme - to. Og nu bruges standardhandlingerne med grader:

en men n = en m + n

a m:a n = a m-n

(am) n = a mn

Til venstre side får du:

2 -2 (2 2) 5 x -16 = 2 -2+2(5 x -16)

For højre side vil være:

Og nu begyndte vores onde ligning at se sådan ud:

For dem, der ikke har fundet ud af, hvordan præcis denne ligning blev, så handler spørgsmålet ikke om eksponentielle ligninger. Spørgsmålet handler om handlinger med beføjelser. Jeg bad indtrængende om at gentage til dem, der har problemer!

Her er målstregen! Den kanoniske form af eksponentialligningen opnås! Nå, hvordan? Har jeg overbevist dig om, at det ikke er så skræmmende? ;) Vi fjerner toerne og sidestiller indikatorerne:

Det er kun tilbage at løse denne lineære ligning. Hvordan? Ved hjælp af identiske transformationer, selvfølgelig.) Løs det, der allerede er der! Gang begge dele med to (for at fjerne brøken 3/2), flyt termerne med X'er til venstre, uden X'er til højre, bring lignende, tæl - og du vil blive glad!

Alt skal vise sig smukt:

X=4

Lad os nu genoverveje beslutningen. I dette eksempel blev vi reddet af overgangen fra kvadrat rod til grad med eksponent 1/2. Desuden hjalp kun sådan en snedig transformation os overalt med at nå det samme grundlag (deuce), som reddede situationen! Og hvis ikke for det, så ville vi have enhver chance for at fryse for evigt og aldrig klare dette eksempel, ja ...

Derfor forsømmer vi ikke det næste praktiske råd:

Hvis der er rødder i eksponentialligningen, så går vi fra rødder til potenser med brøkeksponenter. Meget ofte er det kun en sådan transformation, der afklarer den videre situation.

Naturligvis er negative og fraktionelle kræfter allerede meget mere komplicerede end naturlige kræfter. I hvert fald med hensyn til visuel perception og især genkendelse fra højre mod venstre!

Det er klart, at det ikke er så stort et problem at hæve f.eks. en to til -3 eller en firer til -3/2. For dem der ved det.)

Men gå for eksempel indse det straks

0,125 = 2 -3

Eller

Her regerer kun øvelse og rig erfaring, ja. Og selvfølgelig et klart overblik, Hvad er en negativ og en brøkeksponent. Og også - praktiske råd! Ja, ja, dem grøn.) Jeg håber, at de alligevel vil hjælpe dig til bedre at navigere i alle de brogede grader og øge dine chancer for succes markant! Så lad os ikke forsømme dem. Det er ikke for ingenting, at jeg nogle gange skriver med grønt.)

På den anden side, hvis du bliver "dig" selv med sådanne eksotiske kræfter som negativ og brøk, så vil dine muligheder for at løse eksponentielle ligninger udvide sig enormt, og du vil allerede være i stand til at håndtere næsten enhver form for eksponentialligninger. Nå, hvis ikke nogen, så 80 procent af alle eksponentielle ligninger - helt sikkert! Ja, ja, jeg laver ikke sjov!

Så vores første del af bekendtskab med eksponentielle ligninger er nået til sin logiske konklusion. Og som en ind imellem træning foreslår jeg traditionelt at løse lidt på egen hånd.)

Øvelse 1.

For at mine ord om at dechifrere negative og brøkkræfter ikke er forgæves, foreslår jeg at spille et lille spil!

Udtryk tallet som en potens af to:

Svar (i uorden):

sket? Bøde! Så laver vi en kampmission - vi løser de enkleste og simpleste eksponentielle ligninger!

Opgave 2.

Løs ligninger (alle svar er noget rod!):

5 2x-8 = 25

2 5x-4 – 16x+3 = 0

Svar:

x=16

x 1 = -1; x 2 = 2

x = 5

sket? Faktisk meget nemmere!

Så løser vi følgende spil:

(2 x +4) x -3 = 0,5 x 4 x -4

35 1-x = 0,2 - x 7 x

Svar:

x 1 = -2; x 2 = 2

x = 0,5

x 1 = 3; x 2 = 5

Og disse eksempler på en venstre? Bøde! Du vokser! Så er her nogle flere eksempler, som du kan snacke med:

Svar:

x = 6

x = 13/31

x = -0,75

x 1 = 1; x 2 = 8/3

Og er det besluttet? Nå, respekt! Jeg tager hatten af.) Så lektionen var ikke forgæves, og det indledende niveau for løsning af eksponentielle ligninger kan anses for at være behersket. Forud - de næste niveauer og mere komplekse ligninger! Og nye teknikker og tilgange. Og ikke-standardiserede eksempler. Og nye overraskelser.) Alt dette - i den næste lektion!

Noget virkede ikke? Så højst sandsynligt er problemerne i . Eller i. Eller begge dele på samme tid. Her er jeg magtesløs. Jeg kan endnu en gang kun tilbyde én ting - vær ikke doven og gå en tur gennem linkene.)

Fortsættes.)

Løsning af eksponentialligninger. Eksempler.

Opmærksomhed!
Der er yderligere
materiale i specialafsnit 555.
For dem, der stærkt "ikke særlig..."
Og for dem, der "meget...")

Hvad er der sket eksponentiel ligning? Dette er en ligning, hvor de ukendte (x) og udtryk med dem er med indikatorer nogle grader. Og kun der! Det er vigtigt.

Der er du eksempler på eksponentialligninger:

3 x 2 x = 8 x + 3

Bemærk! I basis af grader (nedenfor) - kun tal. I indikatorer grader (over) - en bred vifte af udtryk med x. Hvis der pludselig dukker et x op i ligningen et andet sted end indikatoren, for eksempel:

dette vil være en ligning af blandet type. Sådanne ligninger har ikke klare regler for løsning. Vi vil ikke overveje dem lige nu. Her vil vi beskæftige os med løsning af eksponentialligninger i sin reneste form.

Faktisk er selv rene eksponentielle ligninger ikke altid klart løst. Men der er visse typer eksponentielligninger, der kan og bør løses. Det er disse typer, vi vil se på.

Løsning af de simpleste eksponentialligninger.

Lad os starte med noget meget grundlæggende. For eksempel:

Selv uden nogen teori, ved simpel udvælgelse er det klart, at x = 2. Ikke mere, vel!? Ingen andre x værdi ruller. Og lad os nu se på løsningen af ​​denne vanskelige eksponentielle ligning:

Hvad har vi gjort? Vi har faktisk lige smidt de samme bunde ud (tripler). Fuldstændig smidt ud. Og hvad der glæder, ramt målet!

Faktisk, hvis i eksponentialligningen til venstre og til højre er det samme tal i enhver grad, kan disse tal fjernes og lig med eksponenter. Matematik tillader. Det er tilbage at løse en meget enklere ligning. Det er godt, ikke?)

Lad os dog ironisk nok huske: du kan kun fjerne baserne, når grundtallene til venstre og højre er i glimrende isolation! Uden nogen naboer og koefficienter. Lad os sige i ligningerne:

2 x +2 x + 1 = 2 3, eller

Du kan ikke fjerne doubler!

Nå, vi har mestret det vigtigste. Hvordan man bevæger sig fra onde eksponentielle udtryk til simplere ligninger.

"Her er de tider!" - du siger. "Hvem vil give sådan en primitiv på kontrol og eksamener!?"

Tvunget til at være enig. Ingen vil. Men nu ved du, hvor du skal gå hen, når du skal løse forvirrende eksempler. Det er nødvendigt at huske på det, når det samme basisnummer er til venstre - til højre. Så bliver alt nemmere. Faktisk er dette matematikkens klassikere. Vi tager det originale eksempel og transformerer det til det ønskede OS sind. Efter matematikkens regler, selvfølgelig.

Overvej eksempler, der kræver en ekstra indsats for at bringe dem til de enkleste. Lad os ringe til dem simple eksponentialligninger.

Løsning af simple eksponentialligninger. Eksempler.

Ved løsning af eksponentialligninger er hovedreglerne handlinger med beføjelser. Uden viden om disse handlinger vil intet fungere.

Til handlinger med grader skal man tilføje personlig iagttagelse og opfindsomhed. Har vi brug for de samme grundtal? Så vi leder efter dem i eksemplet i en eksplicit eller krypteret form.

Lad os se, hvordan dette gøres i praksis?

Lad os give os et eksempel:

2 2x - 8 x+1 = 0

Første blik kl grunde. De... De er forskellige! To og otte. Men det er for tidligt at blive modløs. Det er tid til at huske det

To og otte er slægtninge i grad.) Det er sagtens muligt at skrive ned:

8 x+1 = (2 3) x+1

Hvis vi husker formlen fra handlinger med kræfter:

(a n) m = a nm ,

det fungerer generelt godt:

8 x+1 = (2 3) x+1 = 2 3(x+1)

Det originale eksempel ser således ud:

2 2x - 2 3(x+1) = 0

Vi overfører 2 3 (x+1) til højre (ingen annullerede matematikkens elementære handlinger!), får vi:

2 2x \u003d 2 3 (x + 1)

Det er praktisk talt alt. Fjernelse af baser:

Vi løser dette monster og får

Dette er det rigtige svar.

I dette eksempel hjalp det os at kende tos kræfter. Vi identificeret i otte, den krypterede toer. Denne teknik (kodning af fælles baser under forskellige tal) er et meget populært trick i eksponentielle ligninger! Ja, selv i logaritmer. Man skal kunne genkende andre tals potenser i tal. Dette er ekstremt vigtigt for at løse eksponentielle ligninger.

Faktum er, at det ikke er et problem at hæve et hvilket som helst tal til enhver magt. Multiplicer, selv på et stykke papir, og det er alt. For eksempel kan alle hæve 3 til femte potens. 243 vil vise sig, hvis du kender multiplikationstabellen.) Men i eksponentialligninger er det meget oftere nødvendigt ikke at hæve til en potens, men omvendt ... hvilket antal i hvilket omfang gemmer sig bag tallet 243, eller f.eks. 343... Ingen lommeregner vil hjælpe dig her.

Du skal kende magten af ​​nogle tal ved synet, ja ... Skal vi øve os?

Bestem hvilke potenser og hvilke tal der er tal:

2; 8; 16; 27; 32; 64; 81; 100; 125; 128; 216; 243; 256; 343; 512; 625; 729, 1024.

Svar (i et rod, selvfølgelig!):

5 4 ; 2 10 ; 7 3 ; 3 5 ; 2 7 ; 10 2 ; 2 6 ; 3 3 ; 2 3 ; 2 1 ; 3 6 ; 2 9 ; 2 8 ; 6 3 ; 5 3 ; 3 4 ; 2 5 ; 4 4 ; 4 2 ; 2 3 ; 9 3 ; 4 5 ; 8 2 ; 4 3 ; 8 3 .

Hvis man ser godt efter, kan man se et mærkeligt faktum. Der er flere svar end spørgsmål! Nå, det sker... For eksempel er 2 6 , 4 3 , 8 2 alle 64.

Lad os antage, at du har noteret dig oplysningerne om bekendtskab med tal.) Lad mig minde dig om, at vi til løsning af eksponentialligninger anvender det hele lager af matematisk viden. Herunder fra de lavere-middelklasser. Du gik ikke direkte i gymnasiet, vel?

For eksempel, når man løser eksponentielle ligninger, hjælper det meget ofte at sætte den fælles faktor ud af parentes (hej til karakter 7!). Lad os se et eksempel:

3 2x+4 -11 9 x = 210

Og igen, det første kig - på grunden! Baserne for graderne er forskellige ... Tre og ni. Og vi ønsker, at de skal være de samme. Nå, i dette tilfælde er ønsket ganske muligt!) Fordi:

9 x = (3 2) x = 3 2x

Efter de samme regler for handlinger med grader:

3 2x+4 = 3 2x 3 4

Det er fantastisk, du kan skrive:

3 2x 3 4 - 11 3 2x = 210

Vi gav et eksempel af samme årsager. Så hvad er det næste!? Treere kan ikke smides ud ... blindgyde?

Slet ikke. Husk den mest universelle og magtfulde beslutningsregel alle matematiske opgaver:

Hvis du ikke ved hvad du skal gøre, så gør hvad du kan!

Du ser, alt er dannet).

Hvad er der i denne eksponentielle ligning kan gøre? Ja, venstre side spørger direkte om parentes! Den fælles faktor på 3 2x antyder tydeligt dette. Lad os prøve, og så får vi se:

3 2x (3 4 - 11) = 210

3 4 - 11 = 81 - 11 = 70

Eksemplet bliver bedre og bedre!

Vi husker, at for at eliminere baser har vi brug for en ren grad uden nogen koefficienter. Tallet 70 generer os. Så vi dividerer begge sider af ligningen med 70, får vi:

Op-pa! Alt har været fint!

Dette er det endelige svar.

Det sker dog, at taxa ud på samme grundlag opnås, men det er deres afvikling ikke. Dette sker i eksponentialligninger af en anden type. Lad os få denne type.

Ændring af variabel ved løsning af eksponentialligninger. Eksempler.

Lad os løse ligningen:

4 x - 3 2 x +2 = 0

Først - som sædvanligt. Lad os gå videre til basen. Til toeren.

4 x = (2 2) x = 2 2x

Vi får ligningen:

2 2x - 3 2 x +2 = 0

Og her hænger vi. De tidligere tricks virker ikke, uanset hvordan du vender og drejer det. Vi bliver nødt til at komme ud af arsenalet af en anden kraftfuld og alsidig måde. Det hedder variabel substitution.

Essensen af ​​metoden er overraskende enkel. I stedet for et komplekst ikon (i vores tilfælde 2 x), skriver vi et andet, enklere (for eksempel t). Sådan en tilsyneladende meningsløs erstatning fører til fantastiske resultater!) Alt bliver bare klart og forståeligt!

Så lad

Derefter 2 2x \u003d 2 x2 \u003d (2 x) 2 \u003d t 2

Vi erstatter i vores ligning alle potenser med x'er med t:

Nå, det gryer?) Har du ikke glemt andengradsligninger endnu? Vi løser gennem diskriminanten, vi får:

Her er det vigtigste ikke at stoppe, som det sker ... Dette er ikke svaret endnu, vi har brug for x, ikke t. Vi vender tilbage til Xs, dvs. lave en udskiftning. Først til t 1:

Det er,

En rod blev fundet. Vi leder efter den anden, fra t 2:

Um... Venstre 2 x, Højre 1... Et hitch? Ja, slet ikke! Det er nok at huske (fra handlinger med grader, ja ...), at en enhed er nogen tal til nul. Nogen. Uanset hvad du har brug for, stiller vi det. Vi skal bruge en toer. Midler:

Nu er det alt. Har 2 rødder:

Dette er svaret.

På løsning af eksponentialligninger til sidst opnås nogle gange et akavet udtryk. Type:

Fra de syv virker en toer til en simpel grad ikke. De er ikke pårørende ... Hvordan kan jeg være her? Nogen kan være forvirret ... Men den person, der læste på dette websted emnet "Hvad er en logaritme?" , smil kun sparsomt og skriv med fast hånd det helt rigtige svar ned:

Der kan ikke være et sådant svar i opgave "B" på eksamen. Der kræves et bestemt antal. Men i opgave "C" - nemt.

Denne lektion giver eksempler på løsning af de mest almindelige eksponentialligninger. Lad os fremhæve den vigtigste.

Praktiske tips:

1. Først og fremmest ser vi på grunde grader. Lad os se, om de ikke kan lade sig gøre det samme. Lad os prøve at gøre dette ved aktivt at bruge handlinger med beføjelser. Glem ikke, at tal uden x også kan omdannes til potenser!

2. Vi forsøger at bringe eksponentialligningen til formen, når venstre og højre er det samme tal i nogen grad. Vi bruger handlinger med beføjelser Og faktorisering. Hvad der kan tælles i tal - vi tæller.

3. Hvis det andet råd ikke virkede, forsøger vi at anvende variabelsubstitutionen. Resultatet kan være en ligning, der let kan løses. Oftest - firkantet. Eller fraktioneret, som også reduceres til en firkant.

4. For at kunne løse eksponentialligninger skal du kende graderne af nogle tal "efter synet".

Som sædvanlig inviteres du i slutningen af ​​lektionen til at løse lidt.) På egen hånd. Fra simpelt til komplekst.

Løs eksponentialligninger:

Sværere:

2 x + 3 - 2 x + 2 - 2 x \u003d 48

9 x - 8 3 x = 9

2 x - 2 0,5 x + 1 - 8 = 0

Find produkt af rødder:

2 3-x + 2 x = 9

sket?

Nå, så det mest komplicerede eksempel (det er dog løst i sindet ...):

7 0,13x + 13 0,7x+1 + 2 0,5x+1 = -3

Hvad er mere interessant? Så er her et dårligt eksempel til dig. Temmelig trække på øget sværhedsgrad. Jeg vil antyde, at i dette eksempel sparer opfindsomhed og den mest universelle regel for løsning af alle matematiske opgaver.)

2 5x-1 3 3x-1 5 2x-1 = 720 x

Et eksempel er enklere til afslapning):

9 2 x - 4 3 x = 0

Og til dessert. Find summen af ​​ligningens rødder:

x 3 x - 9x + 7 3 x - 63 = 0

Ja Ja! Dette er en ligning af blandet type! Hvilket vi ikke overvejede i denne lektion. Og hvad man skal overveje dem, de skal løses!) Denne lektion er ganske nok til at løse ligningen. Nå, opfindsomhed er nødvendig ... Og ja, syvende klasse vil hjælpe dig (dette er et tip!).

Svar (i uorden, adskilt af semikolon):

en; 2; 3; 4; der er ingen løsninger; 2; -2; -fem; 4; 0.

Er alt vellykket? Bøde.

Der er et problem? Intet problem! I Special Section 555 er alle disse eksponentialligninger løst med detaljerede forklaringer. Hvad, hvorfor og hvorfor. Og selvfølgelig er der yderligere værdifuld information om at arbejde med alle mulige eksponentielle ligninger. Ikke kun med disse.)

Et sidste sjovt spørgsmål at overveje. I denne lektion arbejdede vi med eksponentialligninger. Hvorfor sagde jeg ikke et ord om ODZ her? I ligninger er dette i øvrigt en meget vigtig ting ...

Hvis du kan lide denne side...

Forresten har jeg et par flere interessante sider til dig.)

Du kan øve dig i at løse eksempler og finde ud af dit niveau. Test med øjeblikkelig verifikation. Lær - med interesse!)

du kan stifte bekendtskab med funktioner og afledte.