Forskellige måder at bevise Pythagoras sætning på. Interessante fakta om Pythagoras sætning: lær nye ting om den berømte sætning

(ifølge papyrus 6619 fra Berlin Museum). Ifølge Cantor harpede harpedonerne, eller "rebspændere", bygget rigtige vinkler ved hjælp af retvinklede trekanter med siderne 3, 4 og 5.

Det er meget let at gengive deres måde at bygge på. Tag et reb på 12 m, og bind det til det langs en farvet strimmel i en afstand af 3 m fra den ene ende og 4 meter fra den anden. Den rigtige vinkel vil være lukket mellem siderne 3 og 4 meter lange. Harpedonapts kan argumentere for, at deres konstruktionsmetode bliver overflødig, hvis du f.eks. Bruger træpladsen, der bruges af alle tømrere. Egentlig kendes egyptiske tegninger, hvor et sådant værktøj findes, for eksempel tegninger, der viser et tømrerværksted.

Noget mere vides om den babylonske pythagorasætning. I en tekst, der går tilbage til Hammurabis tid, det vil sige til 2000 f.Kr. NS. , er en omtrentlig beregning af hypotenusen i en højre trekant givet. Af dette kan vi konkludere, at de i Mesopotamien vidste, hvordan de udførte beregninger med retvinklede trekanter, i hvert fald i nogle tilfælde. Baseret på den ene side på det nuværende vidensniveau om egyptisk og babylonisk matematik og på den anden side på en kritisk undersøgelse af græske kilder konkluderede Van der Waerden (hollandsk matematiker), at der er stor sandsynlighed for, at sætningen om hypotenusens firkant var kendt i Indien allerede omkring 1700 -tallet f.Kr. NS.

Omkring 400 f.Kr. e. ifølge Proclus gav Platon en metode til at finde pythagoranske trillinger ved at kombinere algebra og geometri. Omkring 300 f.Kr. NS. det ældste aksiomatiske bevis for Pythagoras sætning optrådte i Euklides elementer.

Formuleringen

Geometrisk formulering:

I første omgang blev sætningen formuleret således:

Algebraisk formulering:

Det vil sige at angive længden af ​​trekantenes hypotenuse igennem og benlængderne igennem og:

Begge sætninger i sætningen er ækvivalente, men den anden sætning er mere elementær, det kræver ikke områdebegrebet. Det vil sige, at den anden sætning kan kontrolleres uden at vide noget om området og kun måle længderne på siderne af en retvinklet trekant.

Den omvendte Pythagoras sætning:

Bevis

I øjeblikket er 367 beviser for denne sætning blevet registreret i den videnskabelige litteratur. Sandsynligvis er den pythagoranske sætning den eneste sætning med et så imponerende antal beviser. Denne sort kan kun forklares ved den grundlæggende betydning af sætningen for geometri.

Selvfølgelig kan de konceptuelt alle opdeles i et lille antal klasser. Den mest berømte af dem: beviser efter områdemetoden, aksiomatiske og eksotiske beviser (f.eks. Ved hjælp af differentialligninger).

Gennem lignende trekanter

Det følgende bevis på den algebraiske formulering er det enkleste af beviserne, der er bygget direkte fra aksiomerne. Især bruger den ikke begrebet område af en figur.

Lad ske ABC der er en retvinklet trekant med en ret vinkel C... Lad os tegne højden fra C og betegne dens base med H... Trekant ACH som en trekant ABC i to hjørner. Tilsvarende trekant CBH er ens ABC... Introduktion til notationen

vi får

Hvad er ækvivalent

Tilføjelse, vi får

Område bevis

Beviserne herunder, på trods af deres tilsyneladende enkelhed, er slet ikke så enkle. Alle bruger de områdets egenskaber, hvis bevis er vanskeligere end beviset for selve Pythagoras sætning.

Lige komplementaritetsbevis

1. Placer fire lige retvinklede trekanter som vist i figur 1.
2. Firkant med sider c er en firkant, da summen af ​​to spidse vinkler er 90 °, og den udfoldede vinkel er 180 °.
3. Arealet af hele figuren er på den ene side arealet af en firkant med sider (a + b), og på den anden side summen af ​​arealerne på fire trekanter og arealet af den indre firkant.

Q.E.D.

Euklides bevis

Ideen bag Euklids bevis er som følger: lad os prøve at bevise, at halvdelen af ​​arealet af pladsen, der er bygget på hypotenusen, er lig med summen af ​​halvdelene af arealerne på firkanterne, der er bygget på benene, og derefter arealerne af de store og to små firkanter er ens.

Overvej tegningen til venstre. På den byggede vi firkanter på siderne af en retvinklet trekant og tegnede en stråle s fra toppunktet i den rigtige vinkel C vinkelret på hypotenusen AB, den skærer firkanten ABIK, bygget på hypotenusen, i to rektangler - BHJI og HAKJ, henholdsvis. Det viser sig, at arealerne af disse rektangler er nøjagtigt lig med arealerne på firkanterne, der er bygget på de tilsvarende ben.

Lad os prøve at bevise, at arealet af kvadratet DECA er lig med arealet af rektanglet AHJK Til dette bruger vi en hjælpebesøgelse: Arealet af en trekant med samme højde og base som dette rektangel er lige til det halve areal af det givne rektangel. Dette er en konsekvens af definitionen af ​​arealet af en trekant som halvdelen af ​​basens produkt og højden. Af denne observation følger det, at arealet af trekanten ACK er lig med arealet af trekanten AHK (ikke vist på figuren), hvilket igen er lig med halvdelen af ​​arealet af rektanglet AHJK .

Lad os nu bevise, at arealet af trekanten ACK også er lig med halvdelen af ​​kvadratets DECA -areal. Det eneste, der skal gøres for dette, er at bevise lighed mellem trekanterne ACK og BDA (da arealet af trekanten BDA er lig med halvdelen af ​​kvadratets areal i henhold til ovenstående egenskab). Lighed er indlysende: trekanterne er ens på to sider og vinklen mellem dem. Nemlig - AB = AK, AD = AC - ligheden mellem vinklerne CAK og BAD er let at bevise ved bevægelsesmetoden: vi roterer trekanten CAK 90 ° mod uret, så er det indlysende, at de tilsvarende sider af de to trekanter under overvejelse vil falde sammen (da vinklen ved firkantens spids er 90 °).

Begrundelsen om ligestillingen mellem firkantede BCFG -områder og rektanglet BHJI er fuldstændig analog.

Således har vi bevist, at arealet af pladsen, der er bygget på hypotenusen, er summen af ​​arealerne på firkanterne, der er bygget på benene. Ideen bag dette bevis er yderligere illustreret med animationen ovenfor.

Bevis for Leonardo da Vinci

Hovedelementerne i beviset er symmetri og bevægelse.

Overvej tegningen, som det ses af symmetrien, segmentet skærer firkanten i to identiske dele (siden trekanterne og er ens i konstruktionen).

Ved at dreje 90 grader mod uret omkring et punkt, ser vi, at de skraverede figurer og er ens.

Nu er det klart, at arealet af den skraverede figur er lig med summen af ​​halvdelene af arealerne i de små firkanter (bygget på benene) og arealet af den originale trekant. På den anden side er det lig med halvdelen af ​​arealet af den store firkant (bygget på hypotenusen) plus arealet af den originale trekant. Således er halvdelen af ​​summen af ​​arealerne af små firkanter lig med halvdelen af ​​arealet af den store firkant, og derfor er summen af ​​arealerne af firkanterne bygget på benene lig med kvadratets areal bygget på hypotenusen.

Bevis ved metoden infinitesimal

Det følgende bevis ved hjælp af differentialligninger tilskrives ofte den berømte engelske matematiker Hardy, der levede i første halvdel af det 20. århundrede.

Ser man på tegningen vist i figuren og observerer ændringen af ​​siden -en, kan vi skrive følgende forhold for uendeligt små trin på siderne med og -en(ved hjælp af trekanternes lighed):

Ved hjælp af metoden til adskillelse af variabler finder vi

Et mere generelt udtryk for at ændre hypotenusen i tilfælde af trin på begge ben

Integrering af denne ligning og brug af de indledende betingelser opnår vi

Således når vi frem til det ønskede svar

Som det er let at se, vises den kvadratiske afhængighed i den endelige formel på grund af den lineære proportionalitet mellem trekants sider og trinene, mens summen er relateret til de uafhængige bidrag fra trinene i forskellige ben.

Et enklere bevis kan opnås, hvis vi antager, at et af benene ikke oplever et trin (i dette tilfælde benet). Så for den konstante integration, vi opnår

Variationer og generaliseringer

Lignende geometriske former på tre sider

Generalisering for lignende trekanter, område med grønne former A + B = område af blå C

Pythagoras 'sætning ved hjælp af lignende rigtige trekanter

Generaliseringen af ​​Pythagoras sætning blev foretaget af Euclid i sit arbejde Begyndelser, udvide områderne af firkanterne på siderne til områder med lignende geometriske former:

Hvis du bygger lignende geometriske former (se euklidisk geometri) på siderne af en retvinklet trekant, så vil summen af ​​de to mindre figurer være lig med arealet af den større figur.

Hovedideen med denne generalisering er, at arealet af en sådan geometrisk figur er proportional med firkanten af ​​en hvilken som helst af dens lineære dimensioner, og især kvadratet af længden på enhver side. Derfor for lignende tal med områder EN, B og C bygget på sider med længde -en, b og c, vi har:

Men ifølge Pythagoras sætning, -en 2 + b 2 = c 2, så EN + B = C.

Omvendt, hvis vi kan bevise det EN + B = C for tre lignende geometriske figurer uden at bruge Pythagoras sætning, så kan vi bevise selve sætningen, der bevæger sig i den modsatte retning. F.eks. Kan startcentretrekanten genbruges som en trekant C på hypotenusen og to lignende retvinklede trekanter ( EN og B), bygget på de to andre sider, som er dannet som følge af at dividere den centrale trekant med dens højde. Summen af ​​de to mindre områder af trekanterne er så naturligvis lig med arealet af den tredje, således EN + B = C og udfører det tidligere bevis i omvendt rækkefølge, får vi Pythagoras sætning a 2 + b 2 = c 2.

Cosinus sætning

Pythagoras sætning er et specielt tilfælde af den mere generelle cosinus sætning, som relaterer længderne af siderne i en vilkårlig trekant:

hvor θ er vinklen mellem siderne -en og b.

Hvis θ er 90 grader så cos θ = 0 og formlen er forenklet til den sædvanlige Pythagoras sætning.

Vilkårlig trekant

Til ethvert valgt hjørne af en vilkårlig trekant med sider a, b, c skrive en ensartet trekant på en sådan måde, at lige vinkler ved dens bund θ er lig med den valgte vinkel. Antag, at den valgte vinkel θ er modsat den side, der er markeret c... Som et resultat fik vi en trekant ABD med en vinkel θ, som er placeret overfor siden -en og fester r... Den anden trekant dannes af vinklen θ, som er modsat siden b og fester med længden s, som det er vist på billedet. Thabit Ibn Qurrah hævdede, at siderne i disse tre trekanter er forbundet som følger:

Når vinklen θ nærmer sig π / 2, falder bunden af ​​den ensartede trekant, og de to sider r og s overlapper mindre og mindre. Når θ = π / 2, bliver ADB til en højre trekant, r + s = c og vi får den oprindelige pythagoranske sætning.

Lad os overveje en af ​​grundene. Trekant ABC har de samme vinkler som trekant ABD, men i omvendt rækkefølge. (To trekanter har en fælles vinkel ved toppunktet B, begge har en vinkel θ og har også den samme tredje vinkel, ifølge summen af ​​vinklerne i trekanten.) Derfor ligner ABC refleksionen ABD i trekanten DBA, som vist i den nederste figur. Lad os nedskrive forholdet mellem modsatte sider og støder op til vinklen θ,

Også en afspejling af en anden trekant,

Lad os multiplicere brøkerne og tilføje disse to forhold:

Q.E.D.

Generalisering for vilkårlige trekanter via parallelogrammer

Generalisering for vilkårlige trekanter,
område med grønt grund = areal blå

Bevis for tesen, der på billedet ovenfor

Lad os generalisere yderligere til ikke-rektangulære trekanter ved at bruge parallelogrammer på tre sider i stedet for firkanter. (firkanter er et specielt tilfælde.) Den øvre figur viser, at for en spidsvinklet trekant er arealet af parallelogrammet på langsiden lig med summen af ​​parallelogrammerne på de to andre sider, forudsat at parallelogrammet på den lange side er konstrueret som vist på figuren (målene markeret med pile er de samme og bestemmer sider af det nedre parallelogram). Denne udskiftning af firkanter med parallelogrammer har en klar lighed med den oprindelige sætning af Pythagoras, det menes, at den blev formuleret af Pappus fra Alexandria i 4 e.Kr. NS.

Den nederste figur viser bevisets fremskridt. Lad os se på venstre side af trekanten. Det venstre grønne parallelogram har det samme område som venstre side af det blå parallelogram, fordi de har den samme base b og højde h... Derudover har det venstre grønne parallelogram samme område som det venstre grønne parallelogram i den øverste figur, fordi de har en fælles base (den øverste venstre side af trekanten) og en total højde vinkelret på den side af trekanten. På samme måde argumenterer vi for den højre side af trekanten, beviser vi, at det nedre parallelogram har det samme område som de to grønne parallelogrammer.

Komplekse tal

Pythagoras sætning bruges til at finde afstanden mellem to punkter i et kartesisk koordinatsystem, og denne sætning er sand for alle sande koordinater: afstand s mellem to punkter ( a, b) og ( c, d) lige med

Der er ikke noget problem med formlen, hvis du behandler komplekse tal som vektorer med rigtige komponenter x + jeg y = (x, y). ... For eksempel afstanden s mellem 0 + 1 jeg og 1 + 0 jeg vi beregner som vektoren modul (0, 1) − (1, 0) = (−1, 1), eller

Ikke desto mindre er det for operationer med vektorer med komplekse koordinater nødvendigt at foretage en vis forbedring af den pythagoranske formel. Afstand mellem punkter med komplekse tal ( -en, b) og ( c, d); -en, b, c, og d alt komplekst, formulerer vi ved hjælp af absolutte værdier. Afstand s baseret på vektorforskel (-en − c, b − d) i følgende form: lad forskellen -en − c = s+ i q, hvor s- den virkelige del af forskellen q er den imaginære del, og i = √ (−1). Lad ligeledes b − d = r+ i s... Derefter:

hvor er det komplekse konjugerede tal for. For eksempel afstanden mellem punkter (-en, b) = (0, 1) og (c, d) = (jeg, 0) , beregner vi forskellen (-en − c, b − d) = (−jeg, 1) og som følge heraf ville vi få 0, hvis komplekse konjugater ikke blev brugt. Derfor får vi ved hjælp af den forbedrede formel

Modulet er defineret som følger:

Stereometri

En væsentlig generalisering af Pythagoras sætning for tredimensionelt rum er de Guas sætning, opkaldt efter J.-P. de Gua: hvis tetraederet har en ret vinkel (som i en terning), er kvadratet af ansigtets område, der ligger modsat den rigtige vinkel, lig med summen af ​​firkanterne for områderne i de tre andre flader. Denne konklusion kan opsummeres som " n-dimensionel Pythagoras sætning ":

Pythagoras sætning i det tredimensionelle rum forbinder den diagonale AD med tre sider.

En anden generalisering: Pythagoras sætning kan anvendes på stereometri i følgende form. Overvej en rektangulær parallelepiped, som vist på figuren. Lad os finde længden af ​​den diagonale BD efter Pythagoras sætning:

hvor de tre sider danner en retvinklet trekant. Vi bruger den vandrette diagonale BD og den lodrette kant AB til at finde længden af ​​den diagonale AD, til dette bruger vi igen Pythagoras sætning:

eller, hvis alt er skrevet i en ligning:

Dette resultat er et 3D -udtryk til bestemmelse af en vektors størrelse v(diagonal AD) udtrykt i form af dets vinkelrette komponenter ( v k) (tre indbyrdes vinkelrette sider):

Denne ligning kan ses som en generalisering af Pythagoras sætning for multidimensionalt rum. Resultatet er imidlertid faktisk ikke mere end en gentagen anvendelse af Pythagoras sætning på en sekvens af retvinklede trekanter i successivt vinkelrette planer.

Vector plads

I tilfælde af et ortogonalt vektorsystem er ligestillingen gældende, som også kaldes Pythagoras sætning:

Hvis er vektorens projektion på koordinatakserne, falder denne formel sammen med den euklidiske afstand - og betyder, at vektorens længde er lig med kvadratroden af ​​summen af ​​kvadraterne af dens komponenter.

En analog af denne lighed i tilfælde af et uendeligt system af vektorer kaldes Parsevals lighed.

Ikke-euklidisk geometri

Pythagoras sætning er afledt af aksiomerne i den euklidiske geometri og er faktisk ikke gyldig for ikke-euklidisk geometri i den form, som den er skrevet ovenfor. (Det vil sige, at Pythagoras sætning viser sig at være en slags ækvivalent med Euklides postulat om parallelisme) Med andre ord, i ikke-euklidisk geometri vil forholdet mellem siderne af en trekant nødvendigvis være i en anden form end den pythagoranske sætning . For eksempel i sfærisk geometri er alle tre sider af en højre trekant (f.eks -en, b og c), som begrænser oktant (ottende del) af enhedssfæren, har længden π / 2, hvilket modsiger Pythagoras sætning, fordi -en 2 + b 2 ≠ c 2 .

Overvej her to tilfælde af ikke -euklidisk geometri - sfærisk og hyperbolisk geometri; i begge tilfælde, som i det euklidiske rum for retvinklede trekanter, følger resultatet af cosinussætningen.

Imidlertid forbliver den pythagoranske sætning gyldig for hyperbolsk og elliptisk geometri, hvis kravet til trekantens rektangularitet erstattes af den betingelse, at summen af ​​de to vinkler i trekanten skal svare til den tredje, siger EN+B = C... Så ser forholdet mellem siderne sådan ud: summen af ​​områderne med cirkler med diametre -en og b lig arealet af en cirkel med en diameter c.

Sfærisk geometri

For enhver retvinklet trekant på en radiuskugle R(for eksempel hvis vinklen γ i en trekant er en lige linje) med sider -en, b, c forholdet mellem parterne vil se sådan ud:

Denne lighed kan udledes som et specielt tilfælde af den sfæriske cosinussætning, som er sand for alle sfæriske trekanter:

hvor cosh er den hyperboliske cosinus. Denne formel er et specielt tilfælde af den hyperboliske cosinus -sætning, som er gyldig for alle trekanter:

hvor γ er den vinkel, hvis toppunkt er modsat siden c.

hvor g ij kaldes den metriske tensor. Det kan være en funktion af position. Sådanne krumme linier inkluderer Riemannian geometri som et generelt eksempel. Denne formulering er også velegnet til euklidisk rum, når der bruges krumme lineære koordinater. For eksempel for polære koordinater:

Vektor produkt

Pythagoras sætning forbinder to udtryk for størrelsen af ​​et vektorprodukt. En tilgang til at definere et krydsprodukt kræver, at det opfylder ligningen:

denne formel bruger prikprodukt. Den højre side af ligningen kaldes Gram -determinant for -en og b, som er lig med arealet af parallelogrammet dannet af disse to vektorer. Baseret på dette krav samt kravet til vektorproduktets vinkelrethed til dets komponenter -en og b det følger, at med undtagelse af trivielle tilfælde fra 0- og 1-dimensionelt rum, er vektorproduktet kun defineret i tre og syv dimensioner. Vi bruger definitionen af ​​vinklen i n-dimensionalt rum:

denne egenskab af vektorproduktet giver dens værdi i følgende form:

Gennem Pythagoras 'fundamentale trigonometriske identitet opnår vi en anden form for registrering af dens værdi:

En alternativ tilgang til at definere et krydsprodukt bruger et udtryk for dets størrelse. Så argumenterer vi i omvendt rækkefølge, får vi en forbindelse med prikproduktet:

se også

Noter

1. Historieemne: Pythagoras 'sætning i babylonisk matematik
2. (, S. 351) s. 351
3. (Bind I, s.144)
4. En diskussion af historiske fakta er givet i (, s. 351) s. 351
5. Kurt Von Fritz (apr. 1945). "Opdagelsen af ​​uhensigtsmæssighed af Hippasus fra Metapontum." Annalerne i matematik, anden serie(Annals of Mathematics) 46 (2): 242–264.
6. Lewis Carroll, "A Story with Knots", M., Mir, 1985, s. 7
7. Asger aaboe Episoder fra matematikkens tidlige historie. - Mathematical Association of America, 1997. - S. 51. - ISBN 0883856131
8. Pythagoras forslag, af Elisha Scott Loomis
9. Euklids Elementer: Bog VI, Proposition VI 31: "I retvinklede trekanter er figuren på siden, der bøjer den rigtige vinkel, lig med de lignende og tilsvarende beskrevne figurer på siderne, der indeholder den rigtige vinkel."
10. Lawrence S. Leff citeret arbejde... - Barrons Educational Series - S. 326. - ISBN 0764128922
11. Howard Whitley eves§4.8: ... generalisering af Pythagoras sætning // Store øjeblikke i matematik (før 1650). - Mathematical Association of America, 1983. - S. 41. - ISBN 0883853108
12. Tâbit ibn Qorra (fuldt navn Thābit ibn Qurra ibn Marwan Al-Ṣābiʾ al-Ḥarrānī) (826-901 e.Kr.) var en læge, der boede i Bagdad, som skrev udførligt om Euclids elementer og andre matematiske emner.
13. Aydin Sayili (mar. 1960). "Thâbit ibn Qurras generalisering af Pythagoras sætning." Isis 51 (1): 35–37. DOI: 10.1086 / 348837.
14. Judith D. Sally, Paul Sally Opgave 2.10 (ii) // Citeret arbejde. - S. 62. - ISBN 0821844032
15. For detaljer om en sådan konstruktion, se George jennings Figur 1.32: Den generaliserede Pythagoras sætning // Moderne geometri med applikationer: med 150 figurer. - 3.. - Springer, 1997. - S. 23. - ISBN 038794222X
16. Arlen Brown, Carl M. Pearcy Vare C: Norm for en vilkårlig n-dobbelt ... // En introduktion til analyse. - Springer, 1995. - S. 124. - ISBN 0387943692 Se også side 47-50.
17. Alfred Gray, Elsa Abbena, Simon Salamon Moderne differentialgeometri af kurver og overflader med Mathematica. - 3.. - CRC Press, 2006.- S. 194.- ISBN 1584884487
18. Rajendra Bhatia Matrix analyse. - Springer, 1997. - S. 21. - ISBN 0387948465
19. Stephen W. Hawking citeret arbejde... - 2005. - S. 4. - ISBN 0762419229
20. Eric W. Weisstein CRC kortfattet encyklopædi for matematik. - 2.. - 2003. - S. 2147. - ISBN 1584883472
21. Alexander R. Pruss

I en ting kan du være hundrede procent sikker på, at når du bliver spurgt, hvad kvadratet i hypotenusen er, vil enhver voksen modigt svare: "Summen af ​​firkantede ben." Denne sætning er solidt forankret i enhver uddannet persons sind, men det er nok at bede nogen om at bevise det, og så kan der opstå vanskeligheder. Lad os derfor huske og overveje forskellige måder at bevise Pythagoras sætning på.

Kort biografi oversigt

Den pythagoranske sætning er kendt for næsten alle, men af ​​en eller anden grund er biografien om den person, der fødte den, ikke så populær. Dette kan rettes. Derfor, før du studerer de forskellige måder at bevise Pythagoras sætning på, skal du kort stifte bekendtskab med hans personlighed.

Pythagoras er en filosof, matematiker, tænker oprindeligt fra I dag er det meget svært at skelne hans biografi fra de sagn, der er dannet i hukommelsen om denne store mand. Men som følger af hans tilhængeres skrifter blev Pythagoras fra Samos født på øen Samos. Hans far var en almindelig stenskærer, men hans mor kom fra en adelig familie.

Ifølge legenden blev Pythagoras 'fødsel forudsagt af en kvinde ved navn Pythia, i hvis ære drengen blev navngivet. Ifølge hendes forudsigelse burde den fødte dreng have bragt mange fordele og godhed for menneskeheden. Hvilket han faktisk gjorde.

Sætningens fødsel

I sin ungdom flyttede Pythagoras til Egypten for at møde der med berømte egyptiske vismænd. Efter at have mødt dem blev han optaget til at studere, hvor han lærte alle de store præstationer inden for egyptisk filosofi, matematik og medicin.

Sandsynligvis var det i Egypten, at Pythagoras blev inspireret af pyramidernes majestæt og skønhed og skabte hans store teori. Dette kan chokere læsere, men moderne historikere mener, at Pythagoras ikke beviste hans teori. Han videregav kun sin viden til sine tilhængere, som senere gennemførte alle de nødvendige matematiske beregninger.

Uanset hvad, er der i dag ikke én metode til at bevise denne sætning, men flere ad gangen. I dag er det kun at gætte på, hvordan de gamle grækere præcist foretog deres beregninger, så her vil vi overveje forskellige måder at bevise Pythagoras sætning på.

Pythagoras sætning

Inden du starter nogen beregninger, skal du finde ud af, hvilken teori der skal bevises. Pythagoras sætning lyder sådan: "I en trekant, hvor en af ​​vinklerne er 90 °, er summen af ​​benets firkanter lig med hypotenusens firkant."

I alt er der 15 forskellige måder at bevise Pythagoras sætning på. Dette er et ret stort tal, så lad os være opmærksom på den mest populære af dem.

Metode et

Lad os først udpege, hvad der er givet til os. Disse data vil gælde for andre metoder til at bevise Pythagoras sætning, så du skal straks huske al den tilgængelige notation.

Antag, at der er givet en retvinklet trekant med ben a, b og en hypotenuse lig med c. Den første bevismetode er baseret på, at en firkant skal tegnes fra en retvinklet trekant.

For at gøre dette skal du tegne et segment svarende til ben b til benet i længden a og omvendt. Dette skal skabe to lige sider af firkanten. Det er kun tilbage at tegne to parallelle linjer, og firkanten er klar.

Inde i den resulterende figur skal du tegne en anden firkant med en side svarende til hypotenusen i den originale trekant. For at gøre dette, fra hjørnerne ac og sv, skal du tegne to parallelle segmenter, der er lig med c. Således får vi tre sider af firkanten, hvoraf den ene er hypotenusen i den originale retvinklede trekant. Det er kun tilbage at afslutte det fjerde segment.

Baseret på den resulterende figur kan vi konkludere, at arealet af den ydre firkant er (a + b) 2. Hvis du ser inde i figuren, kan du se, at den udover den indre firkant indeholder fire retvinklede trekanter. Arealet af hver er lig med 0,5 av.

Derfor er arealet lig med: 4 * 0,5av + s 2 = 2av + s 2

Derfor (a + b) 2 = 2ab + c 2

Og derfor c 2 = a 2 + b 2

Sætningen er bevist.

Metode to: lignende trekanter

Denne formel for bevis for den pythagoranske sætning blev udledt på grundlag af en erklæring fra geometrisektionen om lignende trekanter. Det siger, at benet på en retvinklet trekant er det proportionelle gennemsnit for dets hypotenuse og segmentet af hypotenusen, der stammer fra toppunktet i 90 ° -vinklen.

De indledende data forbliver de samme, så lad os starte med beviset med det samme. Lad os tegne et segment af SD vinkelret på siden AB. Baseret på ovenstående erklæring er benene på trekanterne:

AC = √AB * HELL, SV = √AB * DV.

For at besvare spørgsmålet om, hvordan man beviser den pythagoranske sætning, skal beviset udfyldes ved at kvadrere begge uligheder.

AC 2 = AB * HELL og SV 2 = AB * DV

Nu skal du tilføje de resulterende uligheder.

AC 2 + SV 2 = AB * (HELL * DV), hvor HELL + DV = AB

Det viser sig at:

AC 2 + SV 2 = AB * AB

Og derfor:

AC 2 + CB 2 = AB 2

Beviset for Pythagoras sætning og forskellige måder at løse det på kræver en alsidig tilgang til dette problem. Denne mulighed er dog en af ​​de enkleste.

En anden beregningsteknik

Beskrivelsen af ​​forskellige måder at bevise Pythagoras sætning siger måske ikke noget, før du begynder at øve på egen hånd. Mange teknikker giver ikke kun matematiske beregninger, men også konstruktion af nye figurer fra den originale trekant.

I dette tilfælde er det nødvendigt at fuldføre en anden retvinklet trekant af VSD fra benet på BC. Således er der nu to trekanter med et fælles ben f.Kr.

Ved at områderne i sådanne figurer har et forhold som firkanter af deres lignende lineære dimensioner, så:

S avd * s 2 - S avd * a 2 = S avd * a 2 - S awd * a 2

S abc * (s 2 -v 2) = a 2 * (S abd -S vd)

s 2 -w 2 = a 2

c 2 = a 2 + b 2

Da denne mulighed næppe er egnet fra forskellige måder at bevise Pythagoras sætning for klasse 8, kan du bruge følgende teknik.

Den nemmeste måde at bevise Pythagoras sætning. Anmeldelser

Historikere mener, at denne metode først blev brugt til at bevise sætningen tilbage i det antikke Grækenland. Det er det enkleste, da det ikke kræver absolut nogen beregninger. Hvis du tegner figuren korrekt, vil beviset på udsagnet om, at et 2 + i 2 = c 2 være klart synligt.

Betingelserne for denne metode vil være lidt forskellige fra den foregående. For at bevise sætningen antages det, at den retvinklede trekant ABC er ensartet.

Vi tager AC hypotenuse som siden af ​​pladsen og opdeler dens tre sider. Derudover er det nødvendigt at tegne to diagonale linjer i den resulterende firkant. Så der inde i den er fire ensartede trekanter.

Til benene AB og CB skal du også tegne i en firkant og tegne en diagonal linje i hver af dem. Den første linje tegnes fra toppunkt A, den anden fra C.

Nu skal du se nærmere på den resulterende tegning. Da der er fire trekanter, der er lig med den originale på AC -hypotenusen, og to på benene, angiver dette sandheden i denne sætning.

Takket være denne metode til bevisning af Pythagoras sætning blev den berømte sætning i øvrigt født: "Pythagorasbukser er lige i alle retninger."

J. Garfields bevis

James Garfield er den 20. præsident i USA. Udover at sætte sit præg på historien som hersker over USA, var han også en begavet autodidakt person.

I begyndelsen af ​​sin karriere var han en almindelig lærer på en folkeskole, men blev hurtigt direktør for en af ​​de højere uddannelsesinstitutioner. Ønsket om selvudvikling tillod ham at foreslå en ny teori for at bevise Pythagoras sætning. Sætningen og et eksempel på dens løsning er som følger.

Først skal du tegne to retvinklede trekanter på et ark papir på en sådan måde, at benet på en af ​​dem er en fortsættelse af den anden. Kanten af ​​disse trekanter skal forbindes for i sidste ende at danne et trapez.

Som du ved, er arealet af en trapezoid lig med produktet af halvsummen af ​​dets baser og højden.

S = a + b / 2 * (a + b)

Hvis vi betragter det resulterende trapezform som en figur bestående af tre trekanter, kan dets område findes som følger:

S = av / 2 * 2 + s 2/2

Nu skal du udligne de to originale udtryk

2av / 2 + s / 2 = (a + b) 2/2

c 2 = a 2 + b 2

Der kan skrives mere end et bind af en lærebog om Pythagoras sætning og metoderne til dens bevis. Men giver det mening, når denne viden ikke kan anvendes i praksis?

Praktisk anvendelse af Pythagoras sætning

Desværre giver moderne skoleplaner kun mulighed for at bruge denne sætning i geometriske problemer. Kandidater forlader snart skolevæggene uden at vide, hvordan de kan anvende deres viden og færdigheder i praksis.

Faktisk kan alle bruge Pythagoras sætning i deres daglige liv. Og ikke kun i professionelle aktiviteter, men også i almindelige huslige gøremål. Lad os overveje flere tilfælde, hvor Pythagoras sætning og metoder til dens bevis kan være yderst nødvendige.

Forbindelsen mellem sætning og astronomi

Det ser ud til, hvordan stjerner og trekanter kan forbindes på papir. Faktisk er astronomi et videnskabeligt område, hvor Pythagoras sætning er meget udbredt.

Overvej f.eks. Bevægelsen af ​​en lysstråle i rummet. Det vides, at lys bevæger sig i begge retninger med samme hastighed. Banen AB, som lysstrålen bevæger sig, kaldes l. Og halvdelen af ​​den tid, det tager for lys at komme fra punkt A til punkt B, lad os ringe t... Og strålens hastighed - c. Det viser sig at: c * t = l

Hvis du ser på netop denne stråle fra et andet plan, for eksempel fra en rumforing, der bevæger sig med en hastighed v, så ændres deres hastighed med en sådan observation af kroppe. I dette tilfælde vil selv stationære elementer bevæge sig med hastigheden v i den modsatte retning.

Lad os sige, at den tegneseriefartøj sejler til højre. Derefter vil punkterne A og B, mellem hvilke strålen kastes, bevæge sig til venstre. Når strålen bevæger sig fra punkt A til punkt B, har punkt A desuden tid til at bevæge sig, og derfor kommer lyset allerede til et nyt punkt C. For at finde halvdelen af ​​den afstand, hvormed punkt A har forskudt, skal du multiplicere foringens hastighed med halvdelen af ​​strålens rejsetid (t ").

Og for at finde ud af, hvor lang afstand en lysstråle kunne rejse i løbet af denne tid, skal du angive halvdelen af ​​stien med et nyt bogstav s og få følgende udtryk:

Hvis vi forestiller os, at lyspunkterne C og B samt rumforingen er hjørnerne i en ensartet trekant, vil segmentet fra punkt A til foringen opdele det i to retvinklede trekanter. Takket være Pythagoras sætning kan du derfor finde afstanden, som en lysstråle kunne tilbagelægge.

Dette eksempel er naturligvis ikke det bedste, da kun få kan være så heldige at prøve det i praksis. Derfor vil vi overveje mere dagligdags anvendelser af denne sætning.

Radius for transmission af et mobilsignal

Det moderne liv er allerede umuligt at forestille sig uden smartphones. Men ville de være til stor nytte, hvis de ikke kunne forbinde abonnenter via mobilkommunikation?!

Kvaliteten af ​​mobilkommunikation afhænger direkte af højden, hvorpå mobiloperatørens antenne er placeret. For at beregne, hvor langt fra det mobile tårn telefonen kan modtage et signal, kan du anvende Pythagoras sætning.

Lad os sige, at du skal finde den omtrentlige højde af et stationært tårn, så det kan udbrede et signal inden for en radius på 200 kilometer.

AB (tårnhøjde) = x;

Fly (signaltransmissionsradius) = 200 km;

OS (jordens radius) = 6380 km;

OB = OA + ABOV = r + x

Ved anvendelse af Pythagoras sætning finder vi ud af, at tårnets minimumshøjde skal være 2,3 kilometer.

Pythagoras sætning i hverdagen

Mærkeligt nok kan den pythagoranske sætning være nyttig, selv i dagligdagsspørgsmål, f.eks. At bestemme højden på et klædeskab. Ved første øjekast er det ikke nødvendigt at bruge sådanne komplekse beregninger, for du kan simpelthen tage målinger med et målebånd. Men mange er overraskede over, hvorfor der opstår visse problemer under samlingsprocessen, hvis alle målinger blev taget mere end præcist.

Faktum er, at garderoben er samlet i en vandret position, og først derefter stiger den og installeres mod væggen. Derfor skal kabinettets side i processen med at løfte strukturen passere frit både i højden og diagonalt af rummet.

Antag, at du har en garderobe med en dybde på 800 mm. Afstanden fra gulv til loft er 2600 mm. En erfaren møbelfabrikant vil fortælle dig, at skabets højde skal være 126 mm mindre end rummets højde. Men hvorfor præcis 126 mm? Lad os se på et eksempel.

Med ideelle dimensioner af kabinettet kontrollerer vi handlingen i Pythagoras sætning:

AC = √AB 2 + √BC 2

AC = √2474 2 +800 2 = 2600 mm - alt konvergerer.

Lad os sige, at skabets højde ikke er 2474 mm, men 2505 mm. Derefter:

AC = √2505 2 + √800 2 = 2629 mm.

Derfor er dette skab ikke egnet til installation i dette rum. Da den kan løftes oprejst, kan den beskadige kroppen.

Efter at have overvejet forskellige måder at bevise pythagoras sætning på af forskellige forskere kan vi måske konkludere, at det er mere end sandt. Nu kan du bruge de modtagne oplysninger i dit daglige liv og være helt sikker på, at alle beregninger ikke kun vil være nyttige, men også korrekte.

Et animeret bevis på den pythagoranske sætning er en af grundlæggende sætninger i den euklidiske geometri, der etablerer forholdet mellem siderne i en retvinklet trekant. Det menes, at det blev bevist af den græske matematiker Pythagoras, efter hvem det blev opkaldt (der er andre versioner, især en alternativ opfattelse, at denne sætning i generel form blev formuleret af den pythagoranske matematiker Hippasus).
Sætningen siger:

I en retvinklet trekant er arealet af firkanten bygget på hypotenusen lig med summen af ​​arealerne på firkanterne, der er bygget på benene.

Angiver længden af ​​trekantens hypotenuse c, og længderne af benene som -en og b, får vi følgende formel:

Således etablerer den pythagoranske sætning et forhold, der giver dig mulighed for at bestemme siden af ​​en højre trekant, idet du kender længderne af de to andre. Pythagoras sætning er et specielt tilfælde af cosinus sætningen, som bestemmer forholdet mellem siderne af en vilkårlig trekant.
Det omvendte udsagn er også bevist (også kaldet den inverse Pythagoras sætning):

For alle tre positive tal a, b og c sådan at a? + b? = c ?, der er en retvinklet trekant med ben a og b og hypotenuse c.

Visuelt bevis for trekanten (3, 4, 5) fra bogen "Chu Pei" 500-200 f.Kr. Sætningens historie kan opdeles i fire dele: viden om de pythagoranske tal, viden om forholdet mellem siderne i en højre trekant, viden om forholdet mellem tilstødende vinkler og bevis for sætningen.
Megalitiske strukturer omkring 2500 f.Kr. i Egypten og Nordeuropa, indeholder retvinklede trekanter med sider af heltal. Bartel Leendert van der Waerden antog, at på det tidspunkt blev de pythagoranske tal fundet algebraisk.
Skrevet mellem 2000 og 1876 f.Kr. papyrus fra det mellem egyptiske rige Berlin 6619 indeholder et problem, hvis løsning er de pythagoranske tal.
Under regeringstiden for Hammurabi den Store, den babylonske tablet Plimpton 322, skrevet mellem 1790 og 1750 f.Kr. indeholder mange poster tæt forbundet med antallet af Pythagoras.
I Budhayana -sutraerne, der ifølge forskellige versioner er dateret til det ottende eller andet århundrede f.Kr. i Indien, indeholder de pythagoranske tal, der er afledt algebraisk, formuleringen af ​​det pythagoranske sætning og et geometrisk bevis for en sagittal højre trekant.
Apastamba sutras (ca. 600 f.Kr.) giver et numerisk bevis på Pythagoras sætning ved hjælp af arealberegninger. Van der Waerden mener, at det var baseret på sine forgængeres traditioner. Ifølge Albert Burko er dette et originalt bevis på sætningen, og han antager, at Pythagoras besøgte Aracons og kopierede det.
Pythagoras, hvis leveår normalt er angivet med 569 - 475 f.Kr. bruger algebraiske metoder til beregning af pythagoranske tal, ifølge Proklovs kommentar til Euklid. Proclus levede imidlertid mellem 410 og 485 e.Kr. Ifølge Thomas Giese er der ingen indikation af forfatterskab til sætningen i fem århundreder efter Pythagoras. Men når forfattere som Plutarch eller Cicero tilskriver sætningen til Pythagoras, gør de det, som om forfatterskabet er bredt kendt og ubestrideligt.
Omkring 400 f.Kr. Ifølge Proclus gav Platon en metode til beregning af de pythagoranske tal ved at kombinere algebra og geometri. Omkring 300 f.Kr., i Begyndelser Euklid, vi har det ældste aksiomatiske bevis, som har overlevet den dag i dag.
Skrevet et sted mellem 500 f.Kr. og 200 f.Kr., den kinesiske matematiske bog "Chu Pei" (????), giver et visuelt bevis på Pythagoras sætning, som i Kina kaldes gugu (????) sætning, for en trekant med sider (3 , 4, 5). Under Han -dynastiets regeringstid, fra 202 f.Kr. før 220 e.Kr. Pythagoranske tal optræder i De ni sektioner af matematisk kunst sammen med omtale af retvinklede trekanter.
Anvendelsen af ​​sætningen blev først registreret i Kina, hvor den er kendt som gugu (????) sætningen, og i Indien, hvor den er kendt som Baskars sætning.
Det er blevet diskuteret, at Pythagoras sætning blev opdaget en eller flere gange. Boyer (1991) mener, at den viden, der findes i Shulba Sutra, kan være af mesopotamisk oprindelse.
Algebraisk bevis
Kvadrater er dannet af fire retvinklede trekanter. Mere end hundrede beviser for den pythagoranske sætning er kendt. Her er beviset baseret på eksistenssætningen for arealet af en figur:

Placer fire identiske retvinklede trekanter som vist på billedet.
Firkant med sider c er en firkant, da summen af ​​to spidse vinkler, En udfoldet vinkel er.
Arealet af hele figuren er på den ene side kvadratets areal med siderne "a + b" og på den anden side summen af ​​arealerne i de fire trekanter og den indre firkant.

Hvilket er det, der skal bevises.
Ved lighed med trekanter
Brug lignende trekanter. Lad ske ABC Er en retvinklet trekant, hvor vinklen C lige som vist på illustrationen. Lad os tegne højden fra punktet C, og lad os ringe H sideskæringspunkt AB. Der dannes en trekant ACH som en trekant ABC, da de begge er rektangulære (efter definition af højde), og de har en fælles vinkel EN, den tredje vinkel vil naturligvis også være den samme i disse trekanter. Tilsvarende mirkuyuchy, trekant CBH også som en trekant ABC. Fra trekanternes lighed: If

Dette kan skrives som

Hvis vi tilføjer disse to ligheder, får vi

HB + c gange AH ​​= c gange (HB + AH) = c ^ 2 ,! Src = "http://upload.wikimedia.org/math/7/0/9/70922f59b11b561621c245e11be0b61b.png"/>

Med andre ord, den pythagoranske sætning:

Euklides bevis
Beviset for Euklid i de euklidiske "elementer", den pythagoranske sætning bevises ved hjælp af parallelogrammetoden. Lad ske A, B, C hjørner af en retvinklet trekant, retvinklet EN. Drop det vinkelrette fra punktet EN til siden modsat hypotenusen på pladsen bygget på hypotenusen. Linjen deler firkanten i to rektangler, der hver har samme areal som firkanterne bygget på benene. Hovedideen i beviset er, at de øvre firkanter bliver til parallellogrammer af det samme område, og så kommer de tilbage og bliver til rektangler i den nederste firkant og igen med det samme område.

Lad os tegne segmenterne CF og AD, vi får trekanter BCF og BDA.
Hjørner CAB og TASKE- lige linjer; henholdsvis point C, A. og G Er kollinære. Samme måde B, A. og H.
Hjørner CBD og FBA- begge lige linjer, derefter vinklen ABD lig med vinklen FBC, da begge er summen af ​​en ret vinkel og en vinkel ABC.
Trekant ABD og FBC niveau på begge sider og hjørnet mellem dem.
Siden punkterne A, K. og L- collinear, arealet af rektanglet BDLK er lig med to områder af trekanten ABD (BDLK = BAGF = AB 2)
På samme måde får vi CKLE = ACIH = AC 2
Det ene sideområde CBDE lig med summen af ​​arealerne af rektanglerne BDLK og CKLE, og på den anden side arealet af pladsen BC 2, eller AB 2 + AC 2 = BC 2.

Brug af differentier
Brug af differentier. Man kan nå frem til Pythagoras sætning, hvis man studerer, hvordan sidegevinsten påvirker hypotenusens værdi som vist i figuren til højre og anvender en lille beregning.
Som følge af stigningen i siden en, af lignende trekanter til uendelige små trin

Integrering får vi

Hvis -en= 0 så c = b, så det "konstante" er b 2. Derefter

Som du kan se, opnås firkanterne på grund af forholdet mellem trinene og siderne, mens summen er resultatet af det uafhængige bidrag fra sidernes trin, ikke tydeligt fra det geometriske bevis. I disse ligninger da og dc- henholdsvis uendeligt små trin på siderne -en og c. Men i stedet for dem bruger vi? -en og? c, så er grænsen for forholdet, hvis de har en tendens til nul da / dc, derivat, og er også lig med c / en, forholdet mellem længderne på siderne af trekanterne, som følge heraf opnår vi en differentialligning.
I tilfælde af et ortogonalt vektorsystem er ligestillingen gældende, som også kaldes Pythagoras sætning:

Hvis - Dette er vektorens projektion på koordinatakserne, falder denne formel sammen med den euklidiske afstand og betyder, at vektorens længde er lig med kvadratroden af ​​summen af ​​kvadraterne af dens komponenter.
En analog af denne lighed i tilfælde af et uendeligt system af vektorer kaldes Parsevals lighed.

Pythagoras sætning

Bevis

I øjeblikket er 367 beviser for denne sætning blevet registreret i den videnskabelige litteratur. Sandsynligvis er den pythagoranske sætning den eneste sætning med et så imponerende antal beviser. Denne sort kan kun forklares ved den grundlæggende betydning af sætningen for geometri.
Selvfølgelig kan de konceptuelt alle opdeles i et lille antal klasser. Den mest berømte af dem: beviser efter områdemetoden, aksiomatiske og eksotiske beviser (f.eks. Ved hjælp af differentialligninger).

Gennem lignende trekanter

Det følgende bevis på den algebraiske formulering er det enkleste af beviserne, der er bygget direkte fra aksiomerne. Især bruger den ikke begrebet område af en figur.
Lad ABC være en retvinklet trekant med ret vinkel C. Tegn højden fra C og betegn dens bund med H. Trekant ACH ligner trekant ABC i to vinkler.
På samme måde ligner trekant CBH ABC. Introduktion til notationen

vi får

Hvad er ækvivalent

Tilføjelse, vi får

eller

Område bevis

Beviserne herunder, på trods af deres tilsyneladende enkelhed, er slet ikke så enkle. Alle bruger de områdets egenskaber, hvis bevis er vanskeligere end beviset for selve Pythagoras sætning.

Lige komplementaritetsbevis

Bevis gennem skalering

Et eksempel på et af sådanne beviser er vist på tegningen til højre, hvor en firkant bygget på hypotenusen transformeres ved permutation til to firkanter bygget på benene.

Euklides bevis

Bevis for Leonardo da Vinci

Hovedelementerne i beviset er symmetri og bevægelse.

Overvej tegningen, som det ses af symmetrien, segmentet CI skærer firkanten ABHJ i to identiske dele (da trekanterne ABC og JHI er ens i konstruktionen). Ved at bruge en 90 graders rotation mod uret ser vi, at de skraverede figurer CAJI og GDAB er ens. Nu er det klart, at arealet af den skraverede figur er lig med summen af ​​halvdelene af firkantens arealer, der er bygget på benene og arealet af den originale trekant. På den anden side er det lig med halvdelen af ​​arealet af pladsen bygget på hypotenusen plus arealet af den originale trekant. Det sidste trin i beviset overlades til læseren.

De mest interessante beviser på PYTHAGORUS TEOREM

Pythagoras sætning er en af ​​de grundlæggende sætninger i euklidisk geometri, der etablerer forholdet mellem siderne i en retvinklet trekant. c2 = a2 + b2 Der er mange måder at bevise denne sætning på, men vi valgte de mest interessante ...

Brudens stol I figuren er firkanterne, der er bygget på benene, placeret i trin ved siden af ​​hinanden. Dette tal, som findes i beviser, der stammer allerede fra det 9. århundrede e.Kr. e., indianere kaldte "brudens stol". Måden at konstruere en firkant på med en side, der er lig med hypotenusen, fremgår tydeligt af tegningen. Den fælles del af to firkanter bygget på benene og en firkant bygget på hypotenusen er en uregelmæssig skyggefuld femkant 5. Ved at fastgøre trekanter 1 og 2 til den får vi begge firkanter bygget på benene; hvis vi erstatter trekanter 1 og 2 med lige store trekanter 3 og 4, så får vi en firkant bygget på hypotenusen. Figurerne herunder viser to forskellige placeringer tæt på den, der er angivet i den første figur.

Bevis for indisk matematiker Bhaskari Overvej den firkant, der er vist på figuren. Firkantens side er lig med b, 4 originale trekanter med ben a og c er lagt oven på firkanten, som vist på figuren. Siden af ​​den lille firkant i midten er c - a, derefter: b2 = 4 * a * c / 2 + (ca) 2 = = 2 * a * c + c2 - 2 * a * c + a2 = = a2 + c2

Det enkleste bevis på den pythagoranske sætning. Overvej firkanten vist på figuren. Firkantens side er a + c. I et tilfælde (venstre) er firkanten opdelt i en firkant med side b og fire retvinklede trekanter med ben a og c. I det andet tilfælde (til højre) er firkanten opdelt i to firkanter med siderne a og c og fire retvinklede trekanter med ben a og c. Således finder vi, at arealet af en firkant med side b er lig med summen af ​​arealerne på firkanter med siderne a og c.

Bevis gennem lignende trekanter Lad ABC være en retvinklet trekant med ret vinkel C. Tegn højden fra C og betegn dens base ved H. Trekant ACH ligner trekant ABC i to vinkler. På samme måde ligner trekant CBH ABC. Når vi introducerer notationen, får vi det, der svarer til. Tilføjelse, vi opnår eller

Hawkins 'bevis Her er endnu et bevis, som er beregningsmæssigt, men er meget forskelligt fra alle de tidligere. Det blev udgivet af englænderen Hawkins i 1909; om det var kendt før, er svært at sige. Drej den retvinklede trekant ABC med ret vinkel C 90 °, så den indtager position A "CB". Lad os forlænge hypotenusen A "B" ud over punkt A ", indtil den skærer linje AB ved punkt D. Segment B" D vil være højden af ​​trekant B "AB. Overvej nu den skyggefulde firkant A" AB "B. Det kan være dekomponeret i to ensartede trekanter CAA "og CBB" (eller to trekanter A "B" A og A "B" B). SCAA "= b² / 2 SCBB" = a² / 2 SA "AB" B = (a² + b²) / 2 Trekanter A "B" A og A "B" B har en fælles base c og højder DA og DB, derfor: SA "AB" B = c * DA / 2 + c * DB / 2 = c (DA + DB ) / 2 = c² / 2 Ved at sammenligne to opnåede udtryk for området får vi: a ² + b ² = c ² Sætningen er bevist.

Woldheims bevis Dette bevis er beregningsmæssigt karakter. For at bevise sætningen ved hjælp af den første figur er det nok at udtrykke trapezens område på to måder. Strapez = (a + b) ² / 2 Strapez = a²b² + c² / 2 Ligestilling af højre side får vi: a² + b² = c² Sætningen er bevist.