Punktprodukt af vektorer

Vi fortsætter med at beskæftige os med vektorer. I den første lektion Vektorer til dummies vi undersøgte begrebet en vektor, handlinger med vektorer, koordinater for en vektor og de enkleste opgaver med vektorer. Hvis du er kommet til denne side for første gang fra en søgemaskine, anbefaler jeg på det kraftigste at læse ovenstående indledende artikel, for for at mestre materialet skal du navigere i de termer og notationer jeg bruger, have grundlæggende kendskab til vektorer og være i stand til at løse elementære problemer. Denne lektion er en logisk fortsættelse af emnet, og i den vil jeg analysere i detaljer typiske opgaver, hvor prikproduktet af vektorer bruges. Dette er en MEGET VIGTIG aktivitet.... Prøv ikke at springe eksempler over, de er ledsaget af en nyttig bonus - øvelse vil hjælpe dig med at konsolidere det materiale, du har dækket, og få fingrene i løsningen på almindelige problemer inden for analytisk geometri.

Addition af vektorer, multiplikation af en vektor med et tal…. Det ville være naivt at tro, at matematikere ikke har fundet på andet. Ud over de allerede overvejede handlinger er der en række andre operationer med vektorer, nemlig: prikprodukt af vektorer, vektorprodukt af vektorer og blandet produkt af vektorer... Det skalære produkt af vektorer er kendt for os fra skolen, de to andre produkter er traditionelt relateret til forløbet af højere matematik. Emnerne er enkle, algoritmen til at løse mange problemer er stereotyp og forståelig. Den eneste ting. Der er en anstændig mængde information, så det er uønsket at prøve at mestre, løse ALT PÅ EN GANG. Dette gælder især for tekander, tro mig, forfatteren ønsker slet ikke at føle sig som Chikatilo fra matematik. Nå, og ikke fra matematik selvfølgelig også =) Mere forberedte elever kan bruge materialerne selektivt, på en måde "få" den manglende viden, for dig vil jeg være en harmløs grev Dracula =)

Lad os endelig åbne døren lidt og med entusiasme se, hvad der sker, når to vektorer møder hinanden...

Bestemmelse af punktproduktet af vektorer.
Prik produktegenskaber. Typiske opgaver

Dot produktkoncept

Først om vinkel mellem vektorer... Jeg tror, ​​at alle intuitivt forstår, hvad vinklen mellem vektorer er, men for en sikkerheds skyld, lidt mere i detaljer. Overvej frie ikke-nul vektorer og. Hvis du udskyder disse vektorer fra et vilkårligt punkt, får du et billede, som mange allerede har forestillet sig i deres sind:

Jeg indrømmer, at jeg her kun har skitseret situationen på forståelsesniveau. Hvis du har brug for en streng definition af vinklen mellem vektorerne, henvises til lærebogen, men for praktiske problemer har vi i princippet ikke brug for den. Også HER OG VIDERE vil jeg nogle steder ignorere nulvektorer på grund af deres lave praktiske betydning. Jeg lavede en reservation specifikt til avancerede besøgende på webstedet, som kan bebrejde mig den teoretiske ufuldstændighed af nogle af følgende udsagn.

I litteraturen bliver vinkelikonet ofte overset og skrevet enkelt.

Definition: Skalarproduktet af to vektorer er ANTALLET lig med produktet af længderne af disse vektorer med cosinus af vinklen mellem dem:

Dette er allerede en ret streng definition.

Vi fokuserer på væsentlig information:

Betegnelse: prik produkt er betegnet med eller blot.

Resultatet af operationen er et TAL: Vektoren ganges med vektoren, og resultatet er et tal. Faktisk, hvis længderne af vektorer er tal, er cosinus af en vinkel et tal, så deres produkt vil også være et nummer.

Bare et par opvarmningseksempler:

Eksempel 1

Opløsning: Vi bruger formlen ... I dette tilfælde:

Svar:

Cosinusværdierne kan findes i trigonometrisk tabel... Jeg anbefaler at printe det ud - det vil være påkrævet i næsten alle sektioner af tårnet og vil være påkrævet mange gange.

Rent matematisk set er prikproduktet dimensionsløst, det vil sige, at resultatet i dette tilfælde kun er et tal, og det er det. Ud fra et fysikproblem har det skalære produkt altid en vis fysisk betydning, det vil sige, at efter resultatet skal en eller anden fysisk enhed angives. Et kanonisk eksempel på beregning af en krafts arbejde kan findes i enhver lærebog (formlen er præcis prikproduktet). Kraftarbejdet måles derfor i Joule, og besvarelsen vil blive nedskrevet helt konkret, f.eks.

Eksempel 2

Find evt , og vinklen mellem vektorerne er.

Dette er et eksempel på en gør-det-selv-løsning, svaret er i slutningen af ​​selvstudiet.

Vinkel mellem vektorer og punktproduktværdi

I eksempel 1 viste prikproduktet sig at være positivt, og i eksempel 2 viste det sig at være negativt. Lad os finde ud af, hvad tegnet på prikproduktet afhænger af. Vi ser på vores formel: ... Længderne af ikke-nul vektorer er altid positive:, så tegnet kan kun afhænge af værdien af ​​cosinus.

Bemærk: For en bedre forståelse af oplysningerne nedenfor er det bedre at studere cosinusgrafen i manualen Funktionsgrafer og egenskaber... Se, hvordan cosinus opfører sig på et segment.

Som allerede nævnt kan vinklen mellem vektorer variere indenfor , og følgende tilfælde er mulige:

1) Hvis indsprøjtning mellem vektorer krydret: (fra 0 til 90 grader), derefter , og prikprodukt vil være positivt co-instrueret, så anses vinklen mellem dem for at være nul, og prikproduktet vil også være positivt. Da formlen er forenklet:.

2) Hvis indsprøjtning mellem vektorer sløv: (fra 90 til 180 grader), derefter , og tilsvarende, prikproduktet er negativt:. Særligt tilfælde: hvis vektorer modsatte retning, så overvejes vinklen mellem dem indsat: (180 grader). Punktproduktet er også negativt, da

De omvendte udsagn er også sande:

1) Hvis, så er vinklen mellem disse vektorer spids. Alternativt er vektorerne kodirektionelle.

2) Hvis, så er vinklen mellem de givne vektorer stump. Alternativt er vektorerne modsat rettet.

Men det tredje tilfælde er af særlig interesse:

3) Hvis indsprøjtning mellem vektorer lige: (90 grader), derefter prikprodukt er nul:. Det omvendte er også sandt: hvis, så. Redegørelsen er formuleret kompakt som følger: Det skalære produkt af to vektorer er nul, hvis og kun hvis disse vektorer er ortogonale... Kort matematisk notation:

! Bemærk : gentag grundlaget for matematisk logik: det dobbeltsidede logiske konsekvensikon læses normalt "dengang og kun derefter", "hvis og kun hvis". Som du kan se, er pilene rettet i begge retninger - "af dette følger dette, og omvendt - af det, der følger af dette." Forresten, hvad er forskellen fra ikonet for envejsfølge? Ikonet hævder kun det at "det følger heraf", og det er ikke et faktum, at det modsatte er tilfældet. For eksempel: men ikke alle dyr er pantere, så ikonet kan ikke bruges i dette tilfælde. På samme tid i stedet for ikonet kan brug envejsikonet. For eksempel ved at løse problemet fandt vi ud af, at vi konkluderede, at vektorerne er ortogonale: - en sådan indtastning vil være korrekt, og endnu mere passende end .

Det tredje tilfælde er af stor praktisk betydning. da det giver dig mulighed for at kontrollere, om vektorer er ortogonale eller ej. Vi løser dette problem i anden del af lektionen.

Prik produktegenskaber

Lad os vende tilbage til situationen, hvor to vektorer co-instrueret... I dette tilfælde er vinklen mellem dem lig med nul, og prikproduktformlen har formen:.

Hvad sker der, hvis vektoren ganges med sig selv? Det er klart, at vektoren er codirectional med sig selv, så vi bruger ovenstående forenklede formel:

Nummeret ringes op skalar kvadrat vektor og betegnes som.

På denne måde det skalære kvadrat af en vektor er lig med kvadratet af længden af ​​den givne vektor:

Fra denne lighed kan du få en formel til at beregne længden af ​​en vektor:

Selvom det virker uklart, men lektionens opgaver vil sætte alt på sin plads. For at løse problemer har vi også brug for prik produktegenskaber.

For vilkårlige vektorer og ethvert tal er følgende egenskaber gyldige:

1) - forskydelig eller kommutativ skalær produktlov.

2) - distribution el distributive skalær produktlov. Du kan simpelthen udvide parenteserne.

3) - kombination eller associativ skalær produktlov. Konstanten kan tages ud af prikproduktet.

Ofte bliver alle mulige egenskaber (som også skal bevises!) af eleverne opfattet som unødvendigt skrald, som bare skal huskes og sikkert glemmes lige efter eksamen. Det ser ud til, at det, der er vigtigt her, ved alle fra første klasse, at produktet ikke ændrer sig fra omlægningen af ​​faktorerne:. Jeg må advare dig, i højere matematik med denne tilgang, er det let at knække træ. Så fx er forskydningsejendommen ikke gyldig for algebraiske matricer... Det er heller ikke rigtigt for vektorprodukt af vektorer... Derfor er det i det mindste bedre at dykke ned i de egenskaber, du støder på i løbet af højere matematik for at forstå, hvad der kan og ikke kan lade sig gøre.

Eksempel 3

.

Opløsning: Lad os først afklare situationen med vektoren. Hvad er det her overhovedet? Summen af ​​vektorer og er en veldefineret vektor, som er betegnet med. Den geometriske fortolkning af handlinger med vektorer kan findes i artiklen Vektorer til dummies... Den samme persille med en vektor er summen af ​​vektorer og.

Så efter betingelse er det påkrævet at finde prikproduktet. I teorien skal du anvende arbejdsformlen , men problemet er, at vi ikke kender længderne af vektorerne og vinklen mellem dem. Men betingelsen giver lignende parametre for vektorer, så vi går den anden vej:

(1) Erstatningsvektorudtryk.

(2) Vi udvider parenteserne i henhold til reglen om multiplikation af polynomier, en vulgær tongue twister kan findes i artiklen Komplekse tal eller Integration af en rationel brøkfunktion... Jeg vil ikke gentage mig selv =) Forresten giver distributionsegenskaben for det skalære produkt os mulighed for at udvide parenteserne. Vi har ret.

(3) I de første og sidste led skriver vi kompakt skalære kvadrater af vektorer: ... I det andet udtryk bruger vi permutabiliteten af ​​det skalære produkt:.

(4) Vi giver lignende udtryk:.

(5) I det første led bruger vi skalarkvadratformlen, som blev nævnt for ikke så længe siden. I den sidste periode virker det samme henholdsvis:. Vi udvider det andet led i henhold til standardformlen .

(6) Vi erstatter disse betingelser , og lav omhyggeligt de endelige beregninger.

Svar:

Den negative værdi af prikproduktet angiver, at vinklen mellem vektorerne er stump.

Opgaven er typisk, her er et eksempel på en selvstændig løsning:

Eksempel 4

Find prikproduktet af vektorer og, hvis det er kendt, at .

Nu en anden almindelig opgave, bare for den nye formel for længden af ​​en vektor. Betegnelserne her vil overlappe en smule, så for klarhedens skyld omskriver jeg det med et andet bogstav:

Eksempel 5

Find længden af ​​vektoren if .

Opløsning bliver som følger:

(1) Angiv et vektorekspression.

(2) Vi bruger formlen for længde:, mens hele udtrykket fungerer som en vektor "ve".

(3) Vi bruger skoleformlen til kvadratet af summen. Bemærk, hvordan det virker mærkeligt her: - faktisk er det kvadratet på forskellen, og det er det faktisk. Interesserede kan omarrangere vektorerne steder: - det viste sig det samme op til omarrangeringen af ​​vilkårene.

(4) Resten er allerede bekendt fra de to tidligere problemer.

Svar:

Da vi taler om længde, glem ikke at angive dimensionen - "enheder".

Eksempel 6

Find længden af ​​vektoren if .

Dette er et eksempel på en gør-det-selv-løsning. Fuldstændig løsning og svar i slutningen af ​​selvstudiet.

Vi fortsætter med at presse nyttige ting ud af prikproduktet. Lad os se på vores formel igen ... I henhold til proportionsreglen, lad os nulstille længderne af vektorerne til nævneren på venstre side:

Og vi vil bytte delene:

Hvad er meningen med denne formel? Hvis du kender længden af ​​to vektorer og deres prikprodukt, så kan du beregne cosinus af vinklen mellem disse vektorer, og derfor selve vinklen.

Er prikproduktet et tal? Nummer. Er længderne af vektorerne tal? Tal. Derfor er brøken også et vist tal. Og hvis cosinus af vinklen er kendt: , så ved at bruge den omvendte funktion er det nemt at finde selve vinklen: .

Eksempel 7

Find vinklen mellem vektorerne og, hvis det er kendt, at.

Opløsning: Vi bruger formlen:

I den sidste fase af beregningerne blev der brugt en teknik - eliminering af irrationalitet i nævneren. For at eliminere irrationalitet gangede jeg tælleren og nævneren med.

Så hvis , derefter:

Værdierne af inverse trigonometriske funktioner kan findes ved trigonometrisk tabel... Selvom dette sjældent sker. I problemer med analytisk geometri optræder en slags klodset bjørn meget oftere, og værdien af ​​vinklen skal findes omtrent ved hjælp af en lommeregner. Faktisk vil vi se sådan et billede mere end én gang.

Svar:

Igen, glem ikke at angive dimensionen - radianer og grader. Personligt, for bevidst at "rydde alle spørgsmålene", foretrækker jeg at angive både det og det (medmindre det naturligvis på grund af betingelsen er påkrævet kun at præsentere svaret i radianer eller kun i grader).

Nu vil du være i stand til at klare en sværere opgave på egen hånd:

Eksempel 7 *

Givet er længderne af vektorerne og vinklen mellem dem. Find vinklen mellem vektorer.

Opgaven er ikke engang så svær som multi-step.
Lad os analysere løsningsalgoritmen:

1) Ifølge betingelsen er det nødvendigt at finde vinklen mellem vektorerne, og derfor skal du bruge formlen .

2) Find prikproduktet (se eksempel nr. 3, 4).

3) Find længden af ​​vektoren og længden af ​​vektoren (se eksempel nr. 5, 6).

4) Slutningen af ​​løsningen falder sammen med eksempel nr. 7 - vi kender tallet, hvilket betyder, at det er nemt at finde selve vinklen:

En kort løsning og svar i slutningen af ​​selvstudiet.

Den anden del af lektionen fokuserer på det samme prikprodukt. Koordinater. Det bliver endnu nemmere end i første del.

Punktprodukt af vektorer,
givet af koordinater på ortonormal basis

Svar:

Det er overflødigt at sige, at det er meget mere behageligt at håndtere koordinater.

Eksempel 14

Find prikproduktet af vektorer og hvis

Dette er et eksempel på en gør-det-selv-løsning. Her kan du bruge operationens associativitet, det vil sige ikke tælle, men straks flytte triplen ud af skalarproduktet og gange med det sidst. Løsning og svar i slutningen af ​​lektionen.

I slutningen af ​​afsnittet, et provokerende eksempel på beregning af længden af ​​en vektor:

Eksempel 15

Find længden af ​​vektorer , hvis

Opløsning: igen foreslår måden i det foregående afsnit sig selv:, men der er en anden måde:

Find vektoren:

Og dens længde ifølge den trivielle formel :

Punktproduktet er slet ikke på tale her!

Som out of business er det, når man beregner længden af ​​en vektor:
Hold op. Hvorfor ikke drage fordel af den åbenlyse egenskab ved vektorlængden? Hvad med længden af ​​vektoren? Denne vektor er 5 gange længere end vektoren. Retningen er modsat, men det gør ikke noget, for snakken går på længde. Det er klart, at vektorens længde er lig med produktet modul tal pr. vektorlængde:
- modulets fortegn "spiser" et eventuelt minus af tallet.

På denne måde:

Svar:

Formlen for cosinus for vinklen mellem vektorer, som er givet ved koordinater

Nu har vi fuldstændig information til at udtrykke den tidligere afledte formel for cosinus af vinklen mellem vektorer i form af vektorernes koordinater:

Cosinus af vinklen mellem planets vektorer og givet på ortonormal basis, udtrykt ved formlen:
.

Cosinus af vinklen mellem rumvektorer givet på ortonormal basis, udtrykt ved formlen:

Eksempel 16

Tre hjørner af trekanten er givet. Find (topvinkel).

Opløsning: Ifølge betingelsen skal tegningen ikke udføres, men stadig:

Den nødvendige vinkel er markeret med en grøn bue. Vi husker straks skolens betegnelse for vinklen: - særlig opmærksomhed på gennemsnit bogstavet - dette er hjørnets toppunkt, vi har brug for. For kortheds skyld kunne det også skrives enkelt.

Fra tegningen er det ganske tydeligt, at trekantens vinkel falder sammen med vinklen mellem vektorerne og med andre ord: .

Det er ønskeligt at lære at udføre den mentale analyse.

Find vektorer:

Lad os beregne prikproduktet:

Og længderne af vektorerne:

Cosinus af en vinkel:

Dette er rækkefølgen for at fuldføre opgaven, som jeg anbefaler til tekander. Mere avancerede læsere kan skrive beregninger "på én linje":

Her er et eksempel på en "dårlig" cosinusværdi. Den resulterende værdi er ikke endelig, så det nytter ikke meget at slippe af med irrationaliteten i nævneren.

Lad os finde selve hjørnet:

Hvis man ser på tegningen, er resultatet ret plausibelt. Til kontrol kan vinklen også måles med en vinkelmåler. Beskadig ikke skærmens dæksel =)

Svar:

I svaret, glem ikke det spurgt om trekantens vinkel(og ikke om vinklen mellem vektorer), glem ikke at angive det nøjagtige svar: og den omtrentlige værdi af vinklen: fundet med lommeregneren.

De, der har nydt processen, kan beregne vinklerne og sikre sig, at den kanoniske lighed er sand

Eksempel 17

En trekant er defineret i rummet af koordinaterne til dens hjørner. Find vinklen mellem siderne og

Dette er et eksempel på en gør-det-selv-løsning. Fuldstændig løsning og svar i slutningen af ​​selvstudiet

Et kort sidste afsnit vil blive afsat til projektioner, hvor det skalære produkt også er "blandet":

Vektor-til-vektor projektion. Projektionen af ​​vektoren til koordinatakserne.
Retningscosinus af en vektor

Overvej vektorer og:

Vi projicerer vektoren på vektoren, for dette udelader vi fra begyndelsen og slutningen af ​​vektoren vinkelrette vektor (grønne stiplede linjer). Forestil dig lysstråler, der falder vinkelret på vektoren. Så vil segmentet (rød linje) være "skyggen" af vektoren. I dette tilfælde er projektionen af ​​vektoren på vektoren LÆNGDEN af segmentet. Det vil sige, at PROJEKTIONEN ER ET TAL.

Dette ANTAL er angivet som følger: "stor vektor" betegner en vektor HVILKEN projekt, "lille sænket vektor" betegner en vektor PÅ DEN som bliver projekteret.

Selve posten lyder således: "projektionen af ​​vektoren" a "på vektoren" bh "".

Hvad sker der, hvis vektoren "bs" er "for kort"? Vi tegner en lige linje, der indeholder vektoren "være". Og vektoren "a" vil allerede blive projiceret i retningen af ​​vektoren "bh", simpelthen - på den lige linje, der indeholder vektoren "være". Det samme vil ske, hvis vektoren "a" udskydes i det tredivte rige - den vil stadig nemt blive projiceret på den lige linje, der indeholder vektoren "bh".

Hvis vinklen mellem vektorer krydret(som på billedet), så

Hvis vektorer ortogonal, så (projektionen er et punkt, hvis dimensioner antages at være nul).

Hvis vinklen mellem vektorer sløv(i figuren, omarranger vektorens pil mentalt), derefter (samme længde, men taget med et minustegn).

Lad os udskyde disse vektorer fra et punkt:

Det er klart, når vektoren bevæger sig, ændres dens projektion ikke.

Vektor og prikprodukt gør det nemt at beregne vinklen mellem vektorer. Lad der gives to vektorer $ \ overline (a) $ og $ \ overline (b) $, hvor den orienterede vinkel er $ \ varphi $. Beregn værdierne $ x = (\ overline (a), \ overline (b)) $ og $ y = [\ overline (a), \ overline (b)] $. Så er $ x = r \ cos \ varphi $, $ y = r \ sin \ varphi $, hvor $ r = | \ overline (a) | \ cdot | \ overline (b) | $, og $ \ varphi $ er påkrævet vinkel, det vil sige, at punktet $ (x, y) $ har en polarvinkel lig med $ \ varphi $, og derfor kan $ \ varphi $ findes som atan2 (y, x).

Areal af en trekant

Da krydsproduktet indeholder produktet af to vektorlængder med cosinus af vinklen mellem dem, kan krydsproduktet bruges til at beregne arealet af trekanten ABC:

$ S_ (ABC) = \ frac (1) (2) | [\ overline (AB), \ overline (AC)] | $.

Et punkt, der tilhører en ret linje

Lad et punkt $ P $ og en ret linje $ AB $ (givet af to punkter $ A $ og $ B $) være givet. Det er nødvendigt at kontrollere, om punktet hører til linjen $ AB $.

Et punkt hører til den lige linje $ AB $, hvis og kun hvis vektorerne $ AP $ og $ AB $ er kollineære, dvs. hvis $ [\ overline (AP), \ overline (AB)] = 0 $.

Tilhører et punkt til en stråle

Lad et punkt $ P $ og en stråle $ AB $ (givet ved to punkter - begyndelsen af ​​stråle $ A $ og et punkt på stråle $ B $) være givet. Det er nødvendigt at kontrollere, om punktet hører til strålen $ AB $.

Til betingelsen om, at punktet $ P $ hører til linjen $ AB $, er det nødvendigt at tilføje en ekstra betingelse - vektorerne $ AP $ og $ AB $ er co-directional, dvs. de er kollineære og deres skalære produkt er ikke-negativ, det vil sige $ (\ overline (AB), \ overline (AP )) \ ge 0 $.

Et punkt hører til et linjestykke

Lad et punkt $ P $ og et segment $ AB $ gives. Det er nødvendigt at kontrollere, om punktet tilhører segmentet $ AB $.

I dette tilfælde skal punktet tilhøre både ray $ AB $ og ray $ BA $, så følgende betingelser skal kontrolleres:

$ [\ overline (AP), \ overline (AB)] = 0 $,

$ (\ overline (AB), \ overline (AP)) \ ge 0 $,

$ (\ overline (BA), \ overline (BP)) \ ge 0 $.

Afstand fra punkt til linje

Lad et punkt $ P $ og en ret linje $ AB $ (givet af to punkter $ A $ og $ B $) være givet. Det er nødvendigt at finde afstanden fra punktet på den lige linje $ AB $.

Overvej en trekant ABP. På den ene side er dens areal $ S_ (ABP) = \ frac (1) (2) | [\ overline (AB), \ overline (AP)] | $.

På den anden side er dens areal $ S_ (ABP) = \ frac (1) (2) h | AB | $, hvor $ h $ er højden faldet fra punktet $ P $, det vil sige afstanden fra $ P $ til $ AB $. Fra hvor $ h = | [\ overline (AB), \ overline (AP)] | / | AB | $.

Peg til stråle afstand

Lad et punkt $ P $ og en stråle $ AB $ (givet ved to punkter - begyndelsen af ​​stråle $ A $ og et punkt på stråle $ B $) være givet. Det er nødvendigt at finde afstanden fra punktet til strålen, det vil sige længden af ​​det korteste segment fra punktet $ P $ til ethvert punkt på strålen.

Denne afstand er lig med enten længden $ AP $ eller afstanden fra punktet $ P $ til linjen $ AB $. Hvilket af tilfældene, der finder sted, er let at bestemme ud fra den relative position af bjælken og punktet. Hvis vinklen PAB er spids, det vil sige $ (\ overline (AB), \ overline (AP))> 0 $, så vil svaret være afstanden fra punktet $ P $ til den rette linje $ AB $, ellers svaret vil være længden af ​​segmentet $ AB $.

Afstand fra punkt til linje

Lad et punkt $ P $ og et segment $ AB $ gives. Det er nødvendigt at finde afstanden fra $ P $ til segmentet $ AB $.

Hvis bunden af ​​vinkelret faldt fra $ P $ til linjen $ AB, falder $ på segmentet $ AB $, hvilket kan verificeres af betingelserne

$ (\ overline (AP), \ overline (AB)) \ ge 0 $,

$ (\ overline (BP), \ overline (BA)) \ ge 0 $,

så er svaret afstanden fra punkt $ P $ til linje $ AB $. Ellers vil afstanden være lig med $ \ min (AP, BP) $.

Definition 1

Det skalære produkt af vektorer er et tal, der er lig med produktet af dyn af disse vektorer og cosinus af vinklen mellem dem.

Notationen af ​​produktet af vektorerne a → og b → har formen a →, b →. Lad os konvertere til formlen:

a →, b → = a → b → cos a →, b → ^. a → og b → angiver længden af ​​vektorer, a →, b → ^ angiver vinklen mellem givne vektorer. Hvis mindst én vektor er nul, dvs. den har en værdi på 0, så vil resultatet også være nul, a →, b → = 0

Når vi multiplicerer vektoren med sig selv, får vi kvadratet af dens længde:

a →, b → = a → b → cos a →, a → ^ = a → 2 cos 0 = a → 2

Definition 2

Skalær multiplikation af en vektor i sig selv kaldes et skalært kvadrat.

Beregnet med formlen:

a →, b → = a → b → cos a →, b → ^.

Notationen a →, b → = a → b → cos a →, b → ^ = a → npa → b → = b → npb → a → viser, at npb → a → er den numeriske projektion af a → på b →, npa → a → er projektionen af ​​henholdsvis b → på a →.

Lad os formulere definitionen af ​​et produkt for to vektorer:

Skalarproduktet af to vektorer a → ved b → kaldes henholdsvis produktet af længden af ​​vektoren a → ved projektionen b → ved retningen a → eller produktet af længden b → ved projektionen a →.

Punktér produktet i koordinater

Beregning af prikproduktet kan udføres gennem koordinaterne af vektorer i et givet plan eller i rummet.

Skalarproduktet af to vektorer på et plan, i tredimensionelt rum, kaldes summen af ​​koordinaterne for de givne vektorer a → og b →.

Når du beregner skalarproduktet af de givne vektorer a → = (a x, a y), b → = (b x, b y) i det kartesiske system, skal du bruge:

a →, b → = a x b x + a y b y,

for tredimensionelt rum gælder følgende udtryk:

a →, b → = a x b x + a y b y + a z b z.

Faktisk er dette den tredje definition af prikproduktet.

Lad os bevise det.

Bevis 1

Til beviset bruger vi a →, b → = a → b → cos a →, b → ^ = ax bx + ay by for vektorer a → = (ax, ay), b → = (bx, by) på kartesisk system.

Vektorer bør udskydes

OA → = a → = a x, a y og O B → = b → = b x, b y.

Så vil længden af ​​vektoren A B → være lig med A B → = OB → - O A → = b → - a → = (b x - a x, b y - a y).

Overvej en trekant O A B.

A B 2 = O A 2 + O B 2 - 2 O A O B cos (∠ A O B) er sand baseret på cosinussætningen.

Ved betingelsen kan det ses, at O ​​A = a →, O B = b →, A B = b → - a →, ∠ A O B = a →, b → ^, derfor skriver vi formlen til at finde vinklen mellem vektorer forskelligt

b → - a → 2 = a → 2 + b → 2 - 2 a → b → cos (a →, b → ^).

Så følger det af den første definition, at b → - a → 2 = a → 2 + b → 2 - 2 (a →, b →), derfor (a →, b →) = 1 2 (a → 2 + b → 2 - b → - a → 2).

Ved at anvende formlen til beregning af længden af ​​vektorer får vi:
a →, b → = 1 2 ((a 2 x + ay 2) 2 + (b 2 x + med 2) 2 - ((bx - ax) 2 + (ved - ay) 2) 2) = = 1 2 (a 2 x + a 2 y + b 2 x + b 2 y - (bx - ax) 2 - (ved - ay) 2) = = ax bx + ay by

Lad os bevise lighederne:

(a →, b →) = a → b → cos (a →, b → ^) = = a x b x + a y b y + a z b z

- henholdsvis for vektorer af tredimensionelt rum.

Det skalære produkt af vektorer med koordinater siger, at en vektors skalarkvadrat er lig med summen af ​​kvadraterne af dens koordinater i henholdsvis rummet og på et plan. a → = (a x, a y, a z), b → = (b x, b y, b z) og (a →, a →) = a x 2 + a y 2.

Dot produkt og dets egenskaber

Der er prikproduktegenskaber, der er relevante for a →, b → og c →:

1. kommutativitet (a →, b →) = (b →, a →);
2. distributivitet (a → + b →, c →) = (a →, c →) + (b →, c →), (a → + b →, c →) = (a →, b →) + (a → c →);
3. kombinationsegenskaben (λ a →, b →) = λ (a →, b →), (a →, λ b →) = λ (a →, b →), λ er et hvilket som helst tal;
4. det skalære kvadrat er altid større end nul (a →, a →) ≥ 0, hvor (a →, a →) = 0 i tilfældet, hvor a → er nul.

Egenskaberne er forklarlige takket være definitionen af ​​prikproduktet på planet og egenskaberne ved addering og multiplikation af reelle tal.

Bevis kommutativitetsegenskaben (a →, b →) = (b →, a →). Fra definitionen har vi, at (a →, b →) = a y b y + a y b y og (b →, a →) = b x a x + b y a y.

Ved kommutativitetsegenskaben er lighederne a x b x = b x a x og a y b y = b y a y sande, så a x b x + a y b y = b x a x + b y a y.

Det følger heraf, at (a →, b →) = (b →, a →). Q.E.D.

Fordeling er gyldig for alle numre:

(a (1) → + a (2) → +.. + a (n) →, b →) = (a (1) →, b →) + (a (2) →, b →) +. ... ... + (a (n) →, b →)

og (a →, b (1) → + b (2) → +.. + b (n) →) = (a →, b (1) →) + (a →, b (2) →) +. .. ... ... + (a →, b → (n)),

derfor har vi

(a (1) → + a (2) → +.. + a (n) →, b (1) → + b (2) → +... + b (m) →) = (a ( 1) →, b (1) →) + (a (1) →, b (2) →) +. ... ... + (a (1) →, b (m) →) + + (a (2) →, b (1) →) + (a (2) →, b (2) →) +. ... ... + (a (2) →, b (m) →) +. ... ... + + (a (n) →, b (1) →) + (a (n) →, b (2) →) +. ... ... + (a (n) →, b (m) →)

Prik produkt med eksempler og løsninger

Ethvert problem med en sådan plan løses ved hjælp af egenskaber og formler vedrørende prikproduktet:

1. (a →, b →) = a → b → cos (a →, b → ^);
2. (a →, b →) = a → n pa → b → = b → n p b → a →;
3. (a →, b →) = a x b x + a y b y eller (a →, b →) = a x b x + a y b y + a z b z;
4. (a →, a →) = a → 2.

Lad os se på nogle eksempler på løsninger.

Eksempel 2

Længden af ​​a → er 3, længden af ​​b → er 7. Find prikproduktet, hvis vinklen er 60 grader.

Opløsning

Efter betingelse har vi alle data, så vi beregner med formlen:

(a →, b →) = a → b → cos (a →, b → ^) = 3 7 cos 60 ° = 3 7 1 2 = 21 2

Svar: (a →, b →) = 21 2.

Eksempel 3

Givet vektorer a → = (1, - 1, 2 - 3), b → = (0, 2, 2 + 3). Hvad er prikproduktet.

Opløsning

I dette eksempel overvejes formlen til beregning af koordinater, da de er specificeret i problemformuleringen:

(a →, b →) = ax bx + ay by + az bz = = 1 0 + (- 1) 2 + (2 + 3) (2 + 3) = = 0 - 2 + ( 2 - 9) = - 9

Svar: (a →, b →) = - 9

Eksempel 4

Find prikproduktet A B → og A C →. Punkterne A (1, - 3), B (5, 4), C (1, 1) er givet på koordinatplanet.

Opløsning

Til at begynde med beregnes vektorernes koordinater, da punkternes koordinater er givet af betingelsen:

A B → = (5 - 1, 4 - (- 3)) = (4, 7) A C → = (1 - 1, 1 - (- 3)) = (0, 4)

Ved at indsætte i formlen ved hjælp af koordinater får vi:

(A B →, A C →) = 4 0 + 7 4 = 0 + 28 = 28.

Svar: (A B →, A C →) = 28.

Eksempel 5

Givet vektorer a → = 7 m → + 3 n → og b → = 5 m → + 8 n →, find deres produkt. m → er lig med 3 og n → er lig med 2 enheder, de er vinkelrette.

Opløsning

(a →, b →) = (7 m → + 3 n →, 5 m → + 8 n →). Ved at anvende fordelingsegenskaben får vi:

(7 m → + 3 n →, 5 m → + 8 n →) = = (7 m →, 5 m →) + (7 m →, 8 n →) + (3 n →, 5 m →) + ( 3 n →, 8 n →)

Vi udtager koefficienten for produktets fortegn og får:

(7 m →, 5 m →) + (7 m →, 8 n →) + (3 n →, 5 m →) + (3 n →, 8 n →) = = 7 5 (m →, m →) + 7 8 (m →, n →) + 3 5 (n →, m →) + 3 8 (n →, n →) = = 35 (m →, m →) + 56 (m →, n →) + 15 (n →, m →) + 24 (n →, n →)

Ved kommutativitetsegenskaben transformerer vi:

35 (m →, m →) + 56 (m →, n →) + 15 (n →, m →) + 24 (n →, n →) = 35 (m →, m →) + 56 (m →, n →) + 15 (m →, n →) + 24 (n →, n →) = 35 (m →, m →) + 71 (m →, n → ) + 24 (n →, n →)

Som et resultat får vi:

(a →, b →) = 35 (m →, m →) + 71 (m →, n →) + 24 (n →, n →).

Lad os nu anvende formlen for prikproduktet med en forudbestemt vinkel:

(a →, b →) = 35 (m →, m →) + 71 (m →, n →) + 24 (n →, n →) = = 35 m → 2 + 71 m → n → cos (m → , n → ^) + 24 n → 2 = = 35 3 2 + 71 3 2 cos π 2 + 24 2 2 = 411.

Svar: (a →, b →) = 411

Hvis der er en numerisk fremskrivning.

Eksempel 6

Find prikproduktet a → og b →. Vektor a → har koordinater a → = (9, 3, - 3), projektion b → med koordinater (- 3, - 1, 1).

Opløsning

Ved hypotese er vektorerne a → og projektionen b → modsat rettet, fordi a → = - 1 3 · npa → b → →, så projektionen b → svarer til længden npa → b → →, og med tegnet " -":

n pa → b → → = - n pa → b → → = - (- 3) 2 + (- 1) 2 + 1 2 = - 11,

Ved at indsætte i formlen får vi udtrykket:

(a →, b →) = a → n pa → b → → = 9 2 + 3 2 + (- 3) 2 (- 11) = - 33.

Svar: (a →, b →) = - 33.

Problemer med et kendt prikprodukt, hvor det er nødvendigt at finde længden af ​​en vektor eller en numerisk projektion.

Eksempel 7

Hvilken værdi skal λ tage for et givet skalarprodukt a → = (1, 0, λ + 1) og b → = (λ, 1, λ) vil være lig med -1.

Opløsning

Formlen viser, at det er nødvendigt at finde summen af ​​produkterne af koordinater:

(a →, b →) = 1 λ + 0 1 + (λ + 1) λ = λ 2 + 2 λ.

Givet har vi (a →, b →) = - 1.

For at finde λ beregner vi ligningen:

λ 2 + 2 λ = - 1, derfor λ = - 1.

Svar: λ = - 1.

Den fysiske betydning af prikproduktet

Mekanik beskæftiger sig med anvendelsen af ​​prikproduktet.

Når man arbejder med A med en konstant kraft F → kroppen bevægede sig fra punkt M til N, kan man finde produktet af længderne af vektorerne F → og MN → med cosinus af vinklen mellem dem, hvilket betyder, at arbejdet er ens. til produktet af vektorerne for kraft og forskydning:

A = (F →, M N →).

Eksempel 8

Bevægelsen af ​​et materialepunkt med 3 meter under påvirkning af en kraft lig med 5 ntons er rettet i en vinkel på 45 grader i forhold til aksen. Find en.

Opløsning

Da arbejde er produktet af kraftvektoren og forskydningen, betyder det, at baseret på betingelsen F → = 5, S → = 3, (F →, S → ^) = 45 °, får vi A = (F →, S →) = F → S → cos (F →, S → ^) = 5 3 cos (45 °) = 15 2 2.

Svar: A = 15 2 2.

Eksempel 9

Et materialepunkt, der bevæger sig fra M (2, - 1, - 3) til N (5, 3 λ - 2, 4) under kraften F → = (3, 1, 2), udførte arbejde lig med 13 J. Beregn bevægelsens længde.

Opløsning

For de givne koordinater for vektoren M N → har vi M N → = (5 - 2, 3 λ - 2 - (- 1), 4 - (- 3)) = (3, 3 λ - 1, 7).

Ved at bruge formlen til at finde arbejde med vektorerne F → = (3, 1, 2) og MN → = (3, 3 λ - 1, 7), får vi A = (F ⇒, MN →) = 3 3 + 1 ( 3 λ - 1) + 2 7 = 22 + 3 λ.

Ved en hypotese er det givet, at A = 13 J, hvilket betyder 22 + 3 λ = 13. Derfor λ = - 3, derfor M N → = (3, 3 λ - 1, 7) = (3, - 10, 7).

For at finde længden af ​​forskydningen M N → skal du anvende formlen og erstatte værdierne:

MN → = 3 2 + (- 10) 2 + 7 2 = 158.

Svar: 158.

Hvis du bemærker en fejl i teksten, skal du vælge den og trykke på Ctrl + Enter

Der vil også være opgaver til en selvstændig løsning, som du kan se svarene på.

Hvis i problemet både længderne af vektorerne og vinklen mellem dem præsenteres "på et sølvfad", så ser problemets tilstand og dets løsning sådan ud:

Eksempel 1. Givet vektorer. Find prikproduktet af vektorer, hvis deres længder og vinklen mellem dem er repræsenteret af følgende værdier:

En anden definition er også gyldig, som fuldstændig svarer til definition 1.

Definition 2... Det skalære produkt af vektorer er et tal (skalar) lig med produktet af længden af ​​en af ​​disse vektorer ved projektion af den anden vektor på aksen, bestemt af den første af disse vektorer. Formel ifølge definition 2:

Vi vil løse problemet ved hjælp af denne formel efter det næste vigtige teoretiske punkt.

Bestemmelse af punktproduktet af vektorer i form af koordinater

Det samme tal kan opnås, hvis vektorerne, der multipliceres, er givet ved deres koordinater.

Definition 3. Punktproduktet af vektorer er et tal lig med summen af ​​de parvise produkter af deres respektive koordinater.

På overfladen

Hvis to vektorer og på planet er defineret af deres to Cartesiske rektangulære koordinater

så er skalarproduktet af disse vektorer lig med summen af ​​de parvise produkter af deres respektive koordinater:

.

Eksempel 2. Find den numeriske værdi af vektorens projektion på en akse parallel med vektoren.

Opløsning. Vi finder prikproduktet af vektorer ved at tilføje de parvise produkter af deres koordinater:

Nu skal vi sidestille det resulterende skalarprodukt med produktet af vektorens længde og vektorens projektion på en akse parallel med vektoren (i overensstemmelse med formlen).

Vi finder længden af ​​vektoren som kvadratroden af ​​summen af ​​kvadraterne af dens koordinater:

.

Vi laver en ligning og løser den:

Svar. Den ønskede numeriske værdi er minus 8.

I rummet

Hvis to vektorer og i rummet er defineret af deres tre kartesiske rektangulære koordinater

,

så er skalarproduktet af disse vektorer også lig med summen af ​​de parvise produkter af deres tilsvarende koordinater, kun der er allerede tre koordinater:

.

Problemet med at finde prikproduktet ved den overvejede metode er efter parsing af prikproduktets egenskaber. For i opgaven vil det være nødvendigt at bestemme, hvilken vinkel de multiplicerede vektorer danner.

Vector prik produktegenskaber

Algebraiske egenskaber

1. (forskydningsejendom: størrelsen af ​​deres prikprodukt ændrer sig ikke fra udvekslingen af ​​vektorerne, der multipliceres).

2. (multiplikator kombinatorisk egenskab: prikproduktet af en vektor ganget med en eller anden faktor, og en anden vektor er lig med prikproduktet af disse vektorer ganget med den samme faktor).

3. (fordelingsegenskab med hensyn til summen af ​​vektorer: prikproduktet af summen af ​​to vektorer med den tredje vektor er lig med summen af ​​prikprodukterne af den første vektor med den tredje vektor og den anden vektor med den tredje vektor).

4. (skalar kvadrat af vektor er større end nul), hvis er en vektor, der ikke er nul, og hvis, er en nulvektor.

Geometriske egenskaber

I definitionerne af den undersøgte operation har vi allerede berørt begrebet vinklen mellem to vektorer. Det er på tide at præcisere dette koncept.

På billedet ovenfor er to vektorer synlige, som bringes til en fælles oprindelse. Og den første ting at være opmærksom på: der er to vinkler mellem disse vektorer - φ 1 og φ 2 ... Hvilken af ​​disse vinkler optræder i definitionerne og egenskaberne for prikproduktet af vektorer? Summen af ​​de betragtede vinkler er 2 π og derfor er disse vinklers cosinus ens. Definitionen af ​​prikproduktet inkluderer kun cosinus af en vinkel, ikke værdien af ​​dets udtryk. Men i ejendomme tages kun ét hjørne i betragtning. Og dette er den af ​​to vinkler, der ikke overgår π , altså 180 grader. På figuren er denne vinkel betegnet som φ 1 .

1. To vektorer kaldes ortogonal og vinklen mellem disse vektorer er en ret linje (90 grader eller π / 2) hvis prikproduktet af disse vektorer er nul :

.

Ortogonalitet i vektoralgebra er vinkelretheden af ​​to vektorer.

2. To ikke-nul vektorer udgør skarpt hjørne (fra 0 til 90 grader, eller, hvilket er det samme - mindre π prik produkt er positivt .

3. To ikke-nul vektorer udgør Stump vinkel (fra 90 til 180 grader, eller, hvilket er det samme - mere π / 2) hvis og kun hvis deres prikproduktet er negativt .

Eksempel 3. Vektorerne er angivet i koordinater:

.

Beregn prikprodukterne af alle par af givne vektorer. Hvilken vinkel (spids, lige, stump) danner disse vektorpar?

Opløsning. Vi vil beregne ved at tilføje produkterne af de tilsvarende koordinater.

Modtog et negativt tal, så vektorerne danner en stump vinkel.

Vi fik et positivt tal, så vektorerne danner en spids vinkel.

Vi fik nul, så vektorerne danner en ret vinkel.

Vi fik et positivt tal, så vektorerne danner en spids vinkel.

.

Vi fik et positivt tal, så vektorerne danner en spids vinkel.

Til selvtest kan du bruge online lommeregner Punktprodukt af vektorer og cosinus af vinklen mellem dem .

Eksempel 4. Længden af ​​to vektorer og vinklen mellem dem er givet:

.

Bestem ved hvilken værdi af tallet vektorerne og er ortogonale (vinkelrette).

Opløsning. Vi multiplicerer vektorerne i henhold til reglen om at multiplicere polynomier:

Lad os nu beregne hvert led:

.

Lad os sammensætte en ligning (produktets lighed med nul), give lignende udtryk og løse ligningen:

Svar: vi forstår meningen λ = 1,8, hvor vektorerne er ortogonale.

Eksempel 5. Bevis, at vektoren ortogonalt (vinkelret) på vektoren

Opløsning. For at kontrollere ortogonaliteten multiplicerer vi vektorerne og som polynomier, og erstatter i stedet udtrykket givet i problemformuleringen:

.

For at gøre dette skal du gange hvert led (led) i det første polynomium med hvert led i det andet og tilføje de resulterende produkter:

.

Som følge heraf reduceres fraktionen på bekostning. Resultatet er følgende:

Konklusion: Som et resultat af multiplikation fik vi nul, derfor er ortogonaliteten (vinkelret) af vektorerne bevist.

Løs problemet selv, og se derefter løsningen

Eksempel 6. Givet længderne af vektorerne og, og vinklen mellem disse vektorer er π /4. Bestem til hvilken værdi μ vektorer og er indbyrdes vinkelrette.

Til selvtest kan du bruge online lommeregner Punktprodukt af vektorer og cosinus af vinklen mellem dem .

Matrixrepræsentation af punktprodukt af vektorer og produkt af n-dimensionelle vektorer

Nogle gange er det fordelagtigt for klarheden at repræsentere de to vektorer, der multipliceres i form af matricer. Så er den første vektor repræsenteret som en rækkematrix, og den anden - som en kolonnematrix:

Så vil skalarproduktet af vektorer være produkt af disse matricer :

Resultatet er det samme som det opnåede ved den metode, vi allerede har overvejet. Et enkelt tal opnås, og produktet af rækkematricen ved kolonnematricen er også et enkelt tal.

Det er praktisk at repræsentere produktet af abstrakte n-dimensionelle vektorer i matrixform. Så produktet af to firedimensionelle vektorer vil være produktet af en rækkematrix med fire elementer og en kolonnematrix også med fire elementer, produktet af to femdimensionelle vektorer vil være produktet af en rækkematrix med fem elementer og en kolonnematrix også med fem elementer, og så videre.

Eksempel 7. Find prikprodukter af par af vektorer

,

ved hjælp af matrixrepræsentation.

Opløsning. Det første par af vektorer. Vi repræsenterer den første vektor som en rækkematrix, og den anden som en kolonnematrix. Vi finder prikproduktet af disse vektorer som produktet af rækkematricen ved kolonnematrixen:

På samme måde repræsenterer vi det andet par og finder:

Som du kan se, er resultaterne de samme som for de samme par fra eksempel 2.

Vinkel mellem to vektorer

Udledningen af ​​formlen for cosinus af vinklen mellem to vektorer er meget smuk og kortfattet.

At udtrykke prikproduktet af vektorer

(1)

på koordinatform finder vi først skalarproduktet af enhedsvektorerne. Prikproduktet af en vektor i sig selv per definition:

Hvad der er skrevet i formlen ovenfor betyder: prikproduktet af en vektor i sig selv er lig med kvadratet af dens længde... Cosinus af nul er lig med én, så kvadratet af hver ort vil være lig med én:

Siden vektorer

er parvis vinkelrette, så vil de parvise produkter af enhedsvektorer være lig med nul:

Lad os nu udføre multiplikationen af ​​vektorpolynomier:

Vi erstatter i højre side af ligheden værdierne af de tilsvarende skalarprodukter af enhedsvektorerne:

Vi får formlen for cosinus af vinklen mellem to vektorer:

Eksempel 8. Givet tre point EN(1;1;1), B(2;2;1), C(2;1;2).

Find hjørnet.

Opløsning. Find vektorernes koordinater:

,

.

Ifølge formlen for cosinus af en vinkel får vi:

Derfor,.

Til selvtest kan du bruge online lommeregner Punktprodukt af vektorer og cosinus af vinklen mellem dem .

Eksempel 9. Der er givet to vektorer

Find summen, forskellen, længden, prikproduktet og vinklen mellem dem.

2. Forskel

Foredrag: Vektorkoordinater; prikprodukt af vektorer; vinkel mellem vektorer

Vektorkoordinater

Så som tidligere nævnt er vektorer et rettet segment, som har sin egen begyndelse og slutning. Hvis begyndelsen og slutningen er repræsenteret af nogle punkter, så har de på et plan eller i rummet deres egne koordinater.

Hvis hvert punkt har sine egne koordinater, så kan vi få koordinaterne for hele vektoren.

Antag, at vi har en vektor, hvis begyndelse og slutning af vektoren har følgende betegnelser og koordinater: A (A x; Ay) og B (B x; By)

For at få koordinaterne til denne vektor er det nødvendigt at trække de tilsvarende koordinater for begyndelsen fra koordinaterne for enden af ​​vektoren:

For at bestemme koordinaterne for en vektor i rummet skal du bruge følgende formel:

Punktprodukt af vektorer

Der er to måder at definere prikproduktet på:

• Geometrisk måde. Ifølge ham er prikproduktet lig med produktet af værdierne af disse moduler med cosinus af vinklen mellem dem.

• Algebraisk betydning. Fra et algebra synspunkt er prikproduktet af to vektorer en vis mængde, der opnås som et resultat af summen af ​​produkterne af de tilsvarende vektorer.

Hvis vektorer er givet i rummet, skal du bruge en lignende formel:

Ejendomme:

• Hvis du multiplicerer to identiske vektorer skalært, vil deres prikprodukt ikke være negativt:

• Hvis skalarproduktet af to identiske vektorer viser sig at være lig nul, anses disse vektorer for at være nul:

• Hvis en vektor ganges med sig selv, vil skalarproduktet være lig med kvadratet af dets modul:

• Det skalære produkt har en kommunikativ egenskab, det vil sige, det skalære produkt vil ikke ændre sig fra permutationen af ​​vektorerne:

• Det skalære produkt af vektorer uden for nul kan kun være nul, hvis vektorerne er vinkelrette på hinanden:

• For skalarproduktet af vektorer er forskydningsloven gyldig i tilfælde af at gange en af ​​vektorerne med et tal:

• Med prikproduktet kan du også bruge den fordelende egenskab ved multiplikation:

Vinkel mellem vektorer