Noppa verkossa. Kätevä nopanmuodostin

Online-noppageneraattorin etu tavallisiin noppiin nähden on ilmeinen - se ei koskaan eksy! Virtuaalinen kuutio selviää toiminnoistaan \u200b\u200bpaljon paremmin kuin todellinen - tulosten manipulointi on täysin suljettu pois, ja voi vain toivoa Hänen Majesteettinsa mahdollisuudesta. Noppa verkossa on muun muassa hauskaa vapaa-ajalla. Tuloksen luominen kestää kolme sekuntia, mikä lämmittää pelaajien jännitystä ja kiinnostusta. Nopparullien simuloimiseksi sinun tarvitsee vain painaa näppäimistön "1" -painiketta, jolloin voit olla häiritsemättä esimerkiksi jännittävää lautapeliä.

Noppien määrä:

Auta palvelua yhdellä napsautuksella: Kerro ystävillesi generaattorista!

Kun kuulemme sellaisen lauseen kuin "Noppa", tulee heti kasinoyhdistys, jossa he eivät yksinkertaisesti voi tehdä ilman niitä. Aluksi muista vain vähän mitä tämä kohde on.

Nopat ovat kuutioita, joiden kummallakin puolella numerot 1 - 6. edustavat pisteitä. Heitettäessä ne ovat aina toivossa, että suunnittelemamme ja toivomamme numero putoaa. Mutta on aikoja, jolloin reunaan putoava kuutio ei näytä numeroa. Tämä tarkoittaa, että joka heitti, voi valita kenen tahansa.

Sattuu myös, että kuutio voi rullata sängyn tai vaatekaapin alle, ja kun se poistetaan sieltä, numero muuttuu vastaavasti. Tällöin luu heitetään uudestaan, jotta kaikki näkevät numeron selvästi.

Online-nopparulla yhdellä napsautuksella

Pelissä, jossa on tavalliset noppat, on helppo huijata. Halutun numeron saamiseksi sinun on laitettava kuution tämä puoli päälle ja kierrettävä niin, että se pysyy samana (vain sivuosa pyörii). Tämä ei ole täydellinen takuu, mutta voittoprosentti on seitsemänkymmentäviisi prosenttia.

Jos käytät kahta noppaa, mahdollisuudet pienenevät kolmekymmentä, mutta tämä on huomattava prosenttiosuus. Petosten takia monet pelaajakampanjat eivät halua käyttää noppaa.

Upea palvelumme toimii juuri sellaisten tilanteiden välttämiseksi. Kanssamme on mahdotonta huijata, koska online-nopparullaa ei voida väärentää. Numero 1-6 ilmestyy sivulle täysin satunnaisella ja hallitsemattomalla tavalla.

Kätevä nopanmuodostin

Erittäin suuri etu on, että online-noppageneraattoria ei voi hukata (varsinkin kun se voidaan lisätä kirjanmerkkeihin), ja tavallinen pieni noppaa voi helposti kadota jonnekin. Valtava plus on myös se, että tulosten manipulointi on täysin suljettu pois. Generaattorilla on toiminto, jonka avulla voit valita yhdestä kolmeen noppaa kerralla.

Online-noppageneraattori on erittäin mielenkiintoinen viihde, yksi tapa kehittää intuitiota. Käytä palvelumme ja saat välittömät ja luotettavat tulokset.

Yleisin muoto on kuutio, jonka kummallakin puolella on esitetty numerot yhdestä kuuteen. Pelaaja heittää sen tasaiselle pinnalle ja näkee tuloksen yläreunalla. Luut ovat todellinen suupala sattumalle, onnelle tai huonolle onnelle.

Satunnaisuus.
Kuutiot (luut) ovat olleet jo pitkään, mutta perinteinen kuusisivuinen ilme hankittiin noin 2600 eKr. e. Muinaiset kreikkalaiset rakastivat leikkiä noppilla, ja legendoissaan sankaria Palamedia, jota Odysseus syyttää perusteettomasti maanpetoksesta, kutsutaan heidän keksijöksi. Legendan mukaan hän keksi tämän pelin viihdyttääkseen sotilaita, jotka piirittivät Troojaa, jonka valtava puuhevonen vangitsi. Roomalaiset nauttivat Julius Caesarin aikana myös erilaisista noppapeleistä. Latinaksi kuutiota kutsuttiin datumiksi, mikä tarkoittaa "annettu".

Kiellot.
Keskiajalla, noin 1100-luvulla, noppapelistä tuli hyvin suosittua Euroopassa: kuutiot, jotka voit ottaa mukaan kaikkialle, ovat suosittuja sekä sotureiden että talonpoikien keskuudessa. Sanotaan, että siellä oli yli kuusisataa erilaista peliä! Nopan tuottamisesta on tulossa erillinen ammatti. Ristiretkeltä palattu kuningas Louis IX (1214-1270) ei hyväksynyt uhkapelejä ja määräsi noppien tuotannon kieltävän koko valtakunnassa. Enemmän kuin itse peli, viranomaiset olivat tyytymättömiä siihen liittyviin mellakoihin - sitten he pelasivat pääasiassa tavernoissa ja osapuolet päättyivät usein taisteluihin ja puukotuksiin. Mikään kielto ei kuitenkaan ole estänyt noppaa selviämästä aikaa ja elämästä tähän päivään saakka.

Luut "latauksella"!
Muotorullan tulos on aina satunnainen, mutta jotkut huijarit yrittävät muuttaa sitä. Poraamalla reikä kuutioon ja kaatamalla lyijyä tai elohopeaa siihen, voit saavuttaa saman tuloksen joka kerta kun heität. Tällaista kuutiota kutsutaan "varatuksi". Valmistettu eri materiaaleista, olipa se kulta, kivi, kristalli, luu, noppilla voi olla erilainen muoto. Suuret pyramidit rakentaneiden egyptiläisten faraoiden haudoista on löydetty pieniä pyramidin (tetraedrin) muotoisia noppia! Eri aikoina luita tehtiin 8, 10, 12, 20 ja jopa 100 sivua. Yleensä niihin käytetään numeroita, mutta kirjaimet tai kuvat voivat myös ilmestyä niiden tilalle, mikä antaa tilaa mielikuvitukselle.

Kuinka heittää noppaa.
Nopat eivät ole vain eri muotoisia, mutta niillä on myös erilaisia \u200b\u200btapoja pelata. Jotkut pelit edellyttävät heittoa tietyllä tavalla, yleensä lasketun heiton välttämiseksi tai estääkseen muotin pysähtymisen kaltevassa asennossa. Joskus niihin kiinnitetään erityinen lasi, jotta vältetään huijaaminen tai putoaminen pöydältä. Englanninkielisessä kreppipelissä kaikkien kolmen noppan on välttämättä osuma pelipöytään tai seinään estääkseen huijareita väärentämästä heittoa yksinkertaisesti siirtämällä noppaa, muttei kääntämällä sitä.

Satunnaisuus ja todennäköisyys.
Muotti antaa aina satunnaisen tuloksen, jota ei voida ennustaa. Yhdellä kuolla pelaajalla on yhtä monta mahdollisuutta heittää 1 kuin 6 - kaikki määräytyy sattumalta. Kahdella noppalla päinvastoin satunnaisuuden taso laskee, koska pelaajalla on enemmän tietoa tuloksesta: esimerkiksi kahdella noppalla numero 7 voidaan saada monin tavoin - heittämällä 1 ja 6, 5 ja 2 tai 4 ja 3 ... Mutta mahdollisuus saada numero 2 on vain yksi: rullaa kahdesti 1. Todennäköisyys saada 7 on suurempi kuin saada 2! Tätä kutsutaan todennäköisyysteoriaksi. Tähän periaatteeseen liittyy monia pelejä, etenkin käteispelejä.

Nopan käytöstä.
Noppa voi olla itsenäinen peli ilman muita elementtejä. Ainoa asia, jota käytännössä ei ole, on pelit yhdelle nopalle. Säännöt edellyttävät vähintään kahta (esimerkiksi kreppiä). Noppapokerin pelaamiseen tarvitaan viisi noppaa, kynä ja paperi. Tavoitteena on täyttää yhdistelmiä, jotka muistuttavat saman nimisen korttipelin yhdistelmiä kirjoittamalla heille pisteitä erityiseen taulukkoon. Lisäksi kuutio on erittäin suosittu osa lautapelejä, jolloin voit siirtää pelimerkkejä tai päättää pelitaistelujen lopputuloksen.

Die on valettu.
Vuonna 49 eKr. e. nuori Julius Caesar valloitti Gallian ja palasi Pompejiin. Mutta hänen voimansa herättivät huolta senaattoreista, jotka päättivät hajottaa armeijansa ennen paluutaan. Saapuessaan tasavallan rajoille tuleva keisari päättää rikkoa järjestystä ylittämällä sen armeijan kanssa. Ennen kuin ylitti Rubiconin (joki, joka oli raja), hän sanoi legioonareilleen "Alea jacta est" ("arpa on heitetty"). Tästä sanasta on tullut saalislause, jonka merkitys on, että kuten pelissä, ei ole enää mahdollista peruuttaa joidenkin päätösten tekemisen jälkeen.

Menetelmä sävellystä löyhällä äänitekstillä; itsenäisenä tapana säveltää musiikki muotoutui XX vuosisadalla. A. tarkoittaa säveltäjän täydellistä tai osittaista kieltäytymistä tiukasta musiikkitekstin valvonnasta tai jopa säveltäjätekijä-luokan poistamista perinteisessä mielessä. A.: n innovaatio on musiikkitekstin vakiintuneiden osien korreloinnissa tarkoituksellisesti tuotun musiikkiaineen satunnaisuuden, mielivaltaisen liikkuvuuden kanssa. A.-käsite voi viitata sekä esseen osien yleiseen järjestykseen (muotoon) että kudoksen rakenteeseen. E: n mukaan Denisov,kudoksen ja muodon vakauden ja liikkuvuuden välinen vuorovaikutus antaa neljä päätyyppistä yhdistelmää, joista kolme - 2., 3. ja 4. - ovat aleatorisia: 1. Vakaa kudos - vakaa muoto (tavanomainen perinteinen koostumus, opus perfectum et absolutum; (esimerkiksi Tšaikovskin kuusi sinfoniaa); 2. Vakaa kangas - liikkuva muoto; V. Lutoslavsin mukaan “A. muodot ”(P. Boulez, 3. sonaatti pianolle, 1957); 3. kangas on liikkuva - muoto on vakaa; tai Lutoslavskyn mukaan ”A. tekstuurit ”(Lutoslawski, Jousikvartetti, 1964, Pääliike); 4. liikkuva kangas - liikkuva muoto; tai “A. Häkki "(useiden esiintyjien kollektiivisella improvisaatiolla). Nämä ovat A.-menetelmän solmukohdat, joiden ympärillä on monia erityyppisiä rakennetyyppejä ja tapauksia, erilaiset upotustasot A: han; lisäksi metabololit ("modulaatiot") ovat myös luonnollisia - siirtyminen tyypistä tai tyypistä toiseen, myös stabiiliksi tekstiksi tai siitä.

A. tuli laajalle levinneeksi 1950 - luvulta lähtien ilmestyessään (yhdessä sonorics),erityisesti reaktio musiikkirakenteen äärimmäiseen orjuuttamiseen moniparametrisessa sarjallisuudessa (katso: Dodekafonia).Sillä välin rakenteiden vapauden periaatteella on tavalla tai toisella ikivanhat juuret. Pohjimmiltaan kansanmusiikki on äänivirta eikä yksilöllisesti jäsennelty oopus. Tästä seuraa kansanmusiikin epävakaus, "uusinkertaisuus", vaihtelevuus, varianssi ja improvisaatio siinä. Pyytämätön, parannettavissa oleva muoto on ominaista Intian, Kaukoidän, Afrikan kansojen, perinteiselle musiikille. Siksi A.: n edustajat luottavat aktiivisesti ja tietoisesti itämaisen ja kansanmusiikin keskeisiin periaatteisiin. A.-elementtejä oli myös eurooppalaisessa klassisessa musiikissa. Esimerkiksi wieniläisten klassikoiden joukossa, joka eliminoi yleisen bassoa koskevan periaatteen ja teki musiikkitekstistä täysin vakaan (I. Haydnin sinfoniat ja kvartetit), terävä kontrasti oli "kadenssi" instrumentaalikonsertin muodossa - virtuoosi soolo, jonka osan säveltäjä ei säveltänyt, mutta tarjosi esittäjän harkinnan mukaan (A. muotoelementti). Tunnetut koomiset "aleatoriset" menetelmät yksinkertaisten kappaleiden (menuettien) säveltämiseksi yhdistämällä musiikkikappaleet nopille (Würfelspiel) Haydnin ja Mozartin päivinä (tutkielma J. F. Kirnberger "Milloin tahansa valmis säveltäjä polonaisista ja menueteista", Berlin, 1757).

1900-luvulla. muodossa "yksittäisen projektin" periaate alkoi ehdottaa työn tekstiversioiden (eli A.) hyväksyttävyyttä. Vuonna 1907. Amerikkalainen säveltäjä Charles Ives sävelsi pianokvintetin "Hallwe" en (\u003d "Kaikkien pyhien aattona"), jonka teksti konsertissa esitettynä olisi soitettava eri tavoin neljä kertaa peräkkäin. Häkkisäveltänyt vuonna 1951. "Muutosten musiikki" pianolle, jonka teksti sävelsi "manipuloimalla onnettomuuksia" (säveltäjän sanat), käyttäen tähän kiinalaista "Muutosten kirjaa". Luokitus-

esimerkki A. - "Piano Piece XI", kirjoittanut K. Stockhausen,1957. Paperiarkille noin. 0,5 neliömetriä M. 19 musiikkikappaletta on järjestetty satunnaisessa järjestyksessä. Pianisti aloittaa mistä tahansa heistä ja soittaa ne satunnaisessa järjestyksessä, seuraten satunnaisesti pudotettua katseen; edellisen kappaleen loppuun on kirjoitettu, millä tempolla ja missä äänenvoimakkuudella seuraava soitetaan. Kun pianistille näyttää siltä, \u200b\u200bettä hän on soittanut kaikki fragmentit tällä tavalla, ne tulisi toistaa uudelleen samassa satunnaisessa järjestyksessä, mutta kirkkaammalla äänellä. Toisen kierroksen jälkeen peli päättyy. Paremman vaikutuksen saavuttamiseksi on suositeltavaa toistaa aleatorinen teos yhdessä konsertissa - kuuntelijalle esitetään toinen sävellys samasta materiaalista. A. -menetelmää käytetään laajalti nykyaikaisissa säveltäjissä (Boulez, Stockhausen,Lutoslavsky, A.Volkonsky, Denisov, Schnittkejne.).

A. lähtökohta XX vuosisadalla. uusia lakeja ilmestyi harmoniaja siitä johtuvat taipumukset uusien muotojen etsimiseen, jotka vastaavat musiikkimateriaalin uutta tilaa ja ominaista avantgarde.Aleatorinen rakenne oli täysin käsittämätön ennen emansipaatiota dissonanssi,atonaalisen musiikin kehitys (katso: Dodekafonia)."Rajoitetun ja hallitun" kannattaja A. Lutoslavsky näkee siinä kiistattoman arvon: avasi minulle uusia ja odottamattomia näkökulmia. Ensinnäkin on valtava rytmi, jota ei voida saavuttaa muiden tekniikoiden avulla. " Denisov, joka perustelee "satunnaisuuden elementtien tuomista musiikkiin", väittää, että se "antaa meille suuremman vapauden työskennellä musiikkiaineen kanssa ja antaa meille mahdollisuuden saada uusia äänitehosteita<...>, mutta liikkuvuuden ideat voivat tuottaa hyviä tuloksia vain, jos<... >jos liikkuvuuteen piilotetut tuhoavat taipumukset eivät tuhoa minkä tahansa taidemuodon olemassaololle välttämätöntä rakentavuutta. "

Jotkut muut musiikin menetelmät ja muodot leikkaavat A: ta. Ensinnäkin nämä ovat: 1. improvisaatio -pelin aikana sävelletyn teoksen esitys; 2. graafinen musiikki, jonka esittäjä improvisoi edessään olevan piirustuksen visuaalisten kuvien mukaan (esimerkiksi I. Brown, Folio ", 1952), kääntämällä ne äänikuviksi tai säveltäjän luoman musikaali-aleatorisen grafiikan mukaan paperin arkkiin (S. Bussotti, Intohimo puutarhaan, 1966); 3. tapahtuu- improvisoitu (tässä mielessä aleatorinen) toiminta (Varastossa)osallistumalla mielivaltaisen (lähes) juoni-musiikkiin (esimerkiksi A.Volkonskyn tapahtuma “Remark” ”Madrigal-yhtyeeltä kaudella 1970/71); 4. avoimet musiikin muodot - toisin sanoen ne, joiden teksti ei ole vakaasti kiinteä, mutta joka kerta, kun se saadaan esityksen aikana. Nämä ovat sävellystyyppejä, jotka eivät periaatteessa ole suljettuja ja mahdollistavat loputtoman jatkamisen (esimerkiksi jokaisen uuden esityksen yhteydessä), Eng. Työn alla. P. Boulezille yksi kannustimista, joka käänsi hänet avoimeen muotoon, oli J. Joyce("Ulysses") ja S. Mallarmé ("Le Livre"). Esimerkki avoimesta sävellyksestä on "Available Forms II", mikä tarkoittaa Irl Brownin "Potential Forms" 98 soittimelle ja kahdelle johtimelle (1962). Brown itse osoittaa yhteyden avoimen muodonsa ja kuvataiteen matkapuhelinten välillä (katso: Kineettinen taide),erityisesti A. Calder ("Calder Piece" 4 rumpalalle ja Calderin mo-bil, 1965). Lopuksi "Gesamtkunst" -toiminta on läpäisty aleatorisiin periaatteisiin (katso: Gezamtkunstwerk).5. Multimedia, jonka spesifisyys on synkronointi asennuksetuseita taiteita (esimerkiksi: konsertti + näyttely maalauksesta ja veistoksesta + runo-ilta missä tahansa taiteen yhdistelmässä jne.). Siten A.: n ydin on sovittaa yhteen perinteisesti vakiintunut taiteellinen järjestys ja virkistävä entsyymi arvaamattomuudesta, sattumasta - tendenssistä, joka on ominaista 1900-luvun taiteellinen kulttuuri.yleensä ja ei-klassinen estetiikka.

Kirjaimellisesti: Denisov E.V.Stabiilit ja liikkuvat musiikillisen muodon osat ja niiden vuorovaikutus // Musiikkimuotojen ja tyylilajien teoreettiset ongelmat. M., 1971; Kogutek C.Sävellystekniikka 1900-luvun musiikissa. M., 1976; Lutoslavsky V.Artikkelit, ei

harmaat hiukset, muistoja. M., 1995; BoulezP. Alea // Darmstädter Beiträge zur Neuen Musik. L, Mainz, 1958; Boulez R.Zu meiner III Sonate // Ibid, III. 1960; Schäffer B.Nowa muzyka (1958). Krakova, 1969; Schäffer B.Malý informátor muzyki XX wieku (1958). Krakova, 1975; Stockhausen K.Musik und Grafik (1960) // Texte, Bd. L, Köln, 1963; Böhmer K. Theorie der offenen -muoto musikaalisessa muodossa. Darmstadt, 1967.

Einsteinin väite, jonka mukaan Jumala ei pelaa noppaa maailmankaikkeuden kanssa, on tulkittu väärin

Harvat Einsteinin lausekkeista on lainattu yhtä laajalti kuin hänen huomautuksensa, jonka mukaan Jumala ei pelaa noppaa maailmankaikkeuden kanssa. Ihmiset pitävät tätä hänen nokkelaa kommenttinsa luonnollisesti todisteena siitä, että hän vastusti dogmaattisesti kvanttimekaniikkaa, joka pitää satunnaisuutta fyysisen maailman tunnusmerkkinä. Kun radioaktiivisen elementin ydin hajoaa, se tapahtuu spontaanisti, ei ole sääntöä, joka kerro tarkalleen milloin tai miksi se tapahtuu. Kun valopartikkeli osuu puoliläpinäkyvään peiliin, se joko heijastuu siitä tai kulkee sen läpi. Lopputulos voi olla mikä tahansa, kunnes tapahtuma tapahtui. Ja sinun ei tarvitse mennä laboratorioon nähdäksesi tällaisen prosessin: monet Internet-sivustot näyttävät satunnaislukujoukkoja, jotka Geiger-laskurit tai kvanttioptiikka tuottavat. Vaikka nämäkin numerot ovat periaatteessa arvaamattomia, ne ovat ihanteellisia salaukseen, tilastoihin ja online-pokeriturnauksiin.

Einstein, kuten tavallinen legenda sanoo. kieltäytyi hyväksymästä sitä tosiasiaa, että jotkut tapahtumat eivät ole luonteeltaan deterministisiä. - ne vain tapahtuvat, eikä mitään voida tehdä selvittääkseen miksi. Hän pysyi käytännöllisesti katsoen loistavassa eristyksessä ikäisensä ympäröimänä, ja hän tarttui molemmin käsin klassisen fysiikan mekaaniseen maailmankaikkeuteen mittaamalla mekaanisesti sekunteja, joissa jokainen hetki määrittää seuraavan tapahtuman. Noppaputkesta tuli osoitus hänen elämänsä toisesta puolesta: Tragedia vallankumouksellisesta kääntyneestä taantumuksellisesta, joka mullisti fysiikan suhteellisuusteoriallaan, mutta - kuten Niels Bohr diplomaattisesti sanoi - kvanttiteorian edessä hän "meni illalliselle".

Vuosien mittaan monet historioitsijat, filosofit ja fyysikot ovat kuitenkin kyseenalaistaneet tämän tarinan tulkinnan. Kun he syöksyivät kaiken Einsteinin oikeastaan \u200b\u200bsanoman mereen, he havaitsivat, että hänen tuomionsa arvaamattomuudesta olivat radikaalisempia ja sävyjen laajempi kuin tavallisesti. "Todellisen tarinan kaivaamisesta tulee eräänlainen lähetystyö", sanoo Notre Damen yliopiston historioitsija Don A. Howard. "On hämmästyttävää, kun kaivaa syvemmälle arkistoon ja näet ristiriidan tavanomaisen viisauden kanssa." Kuten hän ja muut tieteen historioitsijat ovat osoittaneet, Einstein tunnusti kvanttimekaniikan ei-deterministisen luonteen - mikä ei ole yllättävää, koska juuri hän löysi sen epämääräisyyden. Hän ei koskaan myöntänyt, että määrittelemättömyys on luonteeltaan perustavaa laatua. Kaikki tämä osoitti, että ongelma syntyy syvemmällä todellisuuden tasolla, jota teoria ei heijastanut. Hänen kritiikkinsä ei ollut mystinen, vaan keskittyi erityisiin tieteellisiin ongelmiin, jotka ovat edelleen ratkaisemattomia tähän päivään asti.

Kysymys siitä, onko kellojärjestelmä maailmankaikkeus vai noppapöytä, hajottaa fysiikan mielestämme olevan perustan: yksinkertaisten sääntöjen etsiminen, jotka ovat luonnon hämmästyttävän monimuotoisuuden taustalla. Jos jotain tapahtuu ilman syytä, se lopettaa järkevän tutkimuksen. "Perusteellinen epämääräisyys tarkoittaisi tieteen loppua", sanoo Andrew S. Friedman, kosmologi Massachusettsin teknillisestä instituutista. Silti filosofit ovat koko historian ajan uskoneet, että indeterminismi on välttämätön edellytys ihmisen vapaalle tahdolle. Joko olemme kaikki kellomekanismin hammaspyörät, ja siksi kaikki tekemämme on ennalta määritelty, tai olemme oman kohtalomme vaikuttava voima, jolloin Universumin ei silti pitäisi olla deterministinen.

Tällä kahtiajaolla oli hyvin todellisia seurauksia, jotka ilmenivät tavasta, jolla yhteiskunta saa ihmiset vastuuseen teoistaan. Oikeusjärjestelmämme perustuu oletukseen vapaasta tahdosta; jotta syytetty voidaan todeta syylliseksi, hänen oli toimittava tarkoituksella. Tuomioistuimet ajavat jatkuvasti aivojaan kysymykseen: entä jos henkilö on syytön hulluuden, nuorekas impulsiivisuuden tai mätänneen sosiaalisen ympäristön takia?

Kuitenkin aina, kun ihmiset puhuvat kaksisuuntaisuudesta, he pyrkivät yleensä paljastamaan sen väärinkäsityksenä. Monet filosofit uskovat, että on turhaa puhua siitä, onko maailmankaikkeus deterministinen vai ei-deterministinen. Se voi olla molempia, riippuen siitä, kuinka suuri tai monimutkainen tutkimuskohde on: hiukkaset, atomit, molekyylit, solut, organismit, psyyke, yhteisöt. "Ero determinismin ja indeterminismin välillä on ero riippuen ongelman tutkimisesta", sanoo Christian List, filosofi Lontoon kauppakorkeakoulusta. indeterminismillä sekä korkeammalla että alemmalla tasolla. " Aivojemme atomit voivat käyttäytyä ehdottomasti deterministisesti, samalla kun ne antavat meille vapauden toimia, kun atomit ja elimet toimivat eri tasoilla.

Samoin Einstein pyrki deterministiseen subkvanttitasoon, kieltämättä kuitenkaan kvanttitason todennäköisyyttä.

Mitä Einstein vastusti

Kuinka Einstein ansaitsi kvanttiteorian vastustajan leiman, on melkein yhtä suuri mysteeri kuin itse kvanttimekaniikka. Kvantin - erillisen energiayksikön - käsite oli hänen pohdintojensa hedelmä vuonna 1905, ja hän seisoi puolitoista vuosikymmentä käytännössä yksin puolustuksessaan. Einstein ehdotti sitä. mitä fyysikot pitävät nykyään kvanttifysiikan perusominaisuuksina, kuten valon omituista kykyä toimia hiukkasena ja aallona, \u200b\u200bja aallofysiikan pohdinnoista Erwin Schrödinger kehitti 1920-luvulla yleisesti hyväksytyn kvanttiteorian muotoilun. Einstein ei ollut myöskään sattuman vastustaja. Vuonna 1916 hän osoitti, että kun atomit lähettävät fotoneja, säteilyn aika ja suunta ovat satunnaisia \u200b\u200bmääriä.

"Tämä on vastoin Einsteinin suosittua esitystä todennäköisyysperiaatteen vastustajana", väittää Jan von Plateau Helsingin yliopistosta. Mutta Einstein ja hänen aikalaisensa kohtasivat vakavan ongelman. Kvantti-ilmiöt ovat satunnaisia, mutta itse kvanttiteoria ei ole. Schrödingerin yhtälö on 100% deterministinen. Siinä kuvataan hiukkasia tai hiukkasjärjestelmää ns. Aaltofunktion avulla, joka käyttää hiukkasten aaltoluonnetta ja selittää aaltomaisen kuvion, joka muodostaa kokoelman hiukkasia. Yhtälö ennustaa, mitä aaltofunktiolle tapahtuu kulloinkin, täysin varmasti. Monin tavoin tämä yhtälö on deterministisempi kuin Newtonin liikelakit: se ei johda sekaannukseen, kuten singulariteetti (jossa suuruuksista tulee ääretön ja siksi mahdotonta kuvata) tai kaaos (jossa liike muuttuu arvaamattomaksi).

Saalis on, että Schrödinger-yhtälön determinismi on aaltofunktiota, eikä aaltofunktiota voida havaita suoraan, toisin kuin hiukkasten sijainti ja nopeudet. Sen sijaan aaltofunktio määrittää havaittavat määrät ja kunkin mahdollisen vaihtoehdon todennäköisyyden. Teoria jättää avoimia kysymyksiä siitä, mikä aaltofunktio itsessään on ja pitäisikö sitä pitää kirjaimellisesti todellisena aallona aineellisessa maailmassa. Näin ollen seuraava kysymys on edelleen avoin: onko havaittu satunnaisuus luonnon olennainen sisäinen ominaisuus vai onko se vain sen julkisivu? "Väitetään, että kvanttimekaniikka ei ole determinististä, mutta tämä on liian hätäinen johtopäätös", sanoo filosofi Christian Wuthrich Geneven yliopistosta Sveitsistä.

Werner Heisenberg, toinen kvanttiteorian perustan asettaneista tienraivaajista, kuvitteli aaltotoiminnan potentiaalisen olemassaolon sumuna. Jos ei ole mahdollista ilmoittaa selvästi ja yksiselitteisesti hiukkasen sijaintia, se johtuu siitä, että hiukkasia ei todellakaan löydy missään tietyssä paikassa. Vasta kun havaitset hiukkasen, se materialisoituu jonnekin avaruudessa. Aaltofunktio voisi olla hämärtynyt valtavalla avaruusalueella, mutta sillä hetkellä, kun havainto tehdään, se romahtaa heti, supistuu kapeaksi pisteeksi, joka sijaitsee yhdessä tietyssä paikassa, ja yhtäkkiä ilmestyy siellä hiukkanen. Mutta vaikka katsot hiukkasia - bang! - hän yhtäkkiä lakkaa käyttäytymästä deterministisesti ja hyppää lopulliseen tilaan, kuten lapsi, joka tarttuu tuoliin "musiikkituolien" pelissä. (Peli koostuu siitä, että lapset tanssivat pyöreässä tanssissa tuolien ympärillä, joiden lukumäärä on yksi vähemmän kuin pelaajien määrä, ja yrittävät istua tyhjälle istuimelle heti, kun musiikki lakkaa.)

Ei ole lakia, joka hallitsisi tätä romahtamista. Hänelle ei ole yhtälöä. Se vain tapahtuu - siinä kaikki! Romahduksesta tuli keskeinen osa Kööpenhaminan tulkintaa: näkymä kvanttimekaniikasta, joka nimettiin kaupungille, jossa Bohr ja hänen instituuttinsa yhdessä Heisenbergin kanssa tekivät suurimman osan perustyöstä. (Paradoksaalisesti Bohr itse ei tunnistanut aaltofunktion romahtamista.) Kööpenhaminan koulu pitää kvanttifysiikan havaittua satunnaisuutta nimellisenä ominaisuutena, mikä ei tarkoita sitä. Suurin osa fyysikoista on samaa mieltä, yksi syy tähän on psykologiasta tunnettu nk. Ankkurivaikutus eli ankkurivaikutus: tämä on täysin tyydyttävä selitys, ja se ilmestyi ensin. Vaikka Einstein ei vastustanut kvanttimekaniikkaa, hän vastusti ehdottomasti sen Kööpenhaminan tulkintaa. Hän lähti ajatuksesta, että mittaustoiminta aiheuttaa repeämän fyysisen järjestelmän jatkuvassa evoluutiossa, ja juuri tässä yhteydessä hän alkoi ilmaista vastustavansa luiden jumalallista heittämistä. "Tämä on juuri kohta, jossa Einstein valittaa vuonna 1926, eikä kaiken kattavan metafyysisen väitteen takia, että determinismi on ehdottoman välttämätön edellytys", Howard sanoo. "Hän on erityisen aktiivinen kiivassa keskustelussa siitä, johtaako aaltofunktion romahtaminen epäjatkuvuuteen. ".

Todellisuuden moninaisuus.Ja vielä - onko maailma deterministinen vai ei? Vastaus tähän kysymykseen riippuu paitsi liikkeen peruslaeista myös tasosta, jolla kuvaamme järjestelmää. Tarkastellaan viittä atomia atomissa, jotka liikkuvat deterministisesti (yläkaavio). He aloittavat matkansa melkein samasta paikasta ja eroavat vähitellen. Makroskooppisella tasolla (pohjakaavio) ei kuitenkaan ole näkyvissä yksittäisiä atomeja, vaan amorfinen virtaus kaasussa. Jonkin ajan kuluttua kaasu todennäköisesti jakautuu satunnaisesti useisiin virtauksiin. Tämä makrotason satunnaisuus on sivutuote tarkkailijan tietämättömyydestä mikrotason laeista, se on luonnon objektiivinen ominaisuus, joka heijastaa atomien yhdistymisen tapaa. Samoin Einstein ehdotti, että maailmankaikkeuden deterministinen sisäinen rakenne johtaa kvanttimaailman todennäköisyysluonteeseen.

Romahdus tuskin voi olla todellinen prosessi, Einstein väitti. Tämä edellyttäisi välitöntä toimintaa etäisyydellä - salaperäinen mekanismi, jolla sanotaan, että aaltotoiminnon sekä vasen että oikea puoli romahtavat samaan pieneen pisteeseen, vaikka mikään voima ei vastaa heidän käyttäytymistään. Einsteinin lisäksi jokainen fyysikko aikanaan uskoi, että tällainen prosessi on mahdoton, sen on tapahduttava nopeammin kuin valon nopeus, mikä on selvästi ristiriidassa suhteellisuusteorian kanssa. Itse asiassa kvanttimekaniikka ei vain laita noppaa käsiisi - se antaa sinulle paria noppaa, jotka putoavat aina samoille kasvoille, vaikka heittäisit yhden heistä Vegasissa ja toisen Vegassa. Einsteinille tuntui itsestäänselvyydeltä, että noppien on oltava huijaavia, mikä antaa piilotetulla tavalla mahdollisuuden vaikuttaa heittojen tulokseen etukäteen. Mutta Kööpenhaminan koulu kieltää tällaisen mahdollisuuden, mikä viittaa siihen, että rystyset vaikuttavat välittömästi toisiinsa avaruuden avaruudessa. Lisäksi Einstein oli huolissaan voimasta, jonka Kööpenhaminan kansalaiset omistivat mittaukselle. Loppujen lopuksi mikä on ulottuvuus? Voisiko se olla jotain, jota vain tuntevat olennot voivat tehdä, tai jopa vain kokopäiväiset professorit? Heisenberg ja muut Kööpenhaminan koulun edustajat eivät koskaan määrittäneet tätä käsitettä. Jotkut ihmiset ehdottavat, että luomme mielessämme ympäröivän todellisuuden havainnoinnin aikana - ajatus, joka näyttää runolliselta, ehkä jopa liian runolliselta. Einstein piti myös Kööpenhaminan röyhkeyttä väittää, että kvanttimekaniikka oli täydellinen, että se oli lopullinen teoria, jota toinen ei koskaan korvaisi. Hän piti kaikkia teorioita, myös omiaan, siltana vielä suurempaan.

Itse asiassa. Howard väittää, että Einstein ottaisi mielellään vastaan \u200b\u200bepämääräisyyden, jos hänellä olisi vastauksia kaikkiin ongelmiin, jotka on ratkaistava - jos esimerkiksi joku pystyy selkeästi ilmaisemaan, mikä on mittaus ja miten hiukkaset voivat pysyä synkronoituina ilman pitkän kantaman toimintaa. Viite siitä, että Einstein piti epämääräisyyttä toissijaisena ongelmana, on se, että hän esitti samat vaatimukset ja hylkäsi deterministiset vaihtoehdot Kööpenhaminan koululle. Toinen historioitsija, Arthur Fine Washingtonin yliopistosta. uskoo. Että Howard liioittelee Einsteinin alttiutta määrittelemättömyydelle, mutta on samaa mieltä siitä, että hänen tuomionsa perustuvat vankempaan pohjaan kuin useat fyysikkosukupolvet ovat uskoneet, perustuen hänen noppaa koskeviin sanoituksiinsa.

Satunnaisia \u200b\u200bajatuksia

Jos vedät sotaa Kööpenhaminan koulun puolelle, Einstein uskoi, huomaat, että kvanttihäiriö on kuin kaikki muutkin fysiikan häiriöt: se on syvemmän oivalluksen tuote. Pienien pölyhiukkasten tanssi valonsäteessä paljastaa molekyylien monimutkaisen liikkeen, ja fotonien emissio tai ytimien radioaktiivinen hajoaminen on samanlainen prosessi, Einstein uskoi. Hänen mielestään kvanttimekaniikka on arvioiva teoria, joka ilmaisee luonnon rakennusosien yleisen käyttäytymisen, mutta jolla ei ole riittävää resoluutiota yksittäisten yksityiskohtien kaappaamiseen.

Syvempi, täydellisempi teoria selittää liikkeen täysin - ilman mitään salaperäisiä hyppyjä. Tästä näkökulmasta aaltofunktio on kollektiivinen kuvaus, koska lausunto siitä, että oikea kuolla, jos sitä heitetään toistuvasti, putoaa suunnilleen yhtä monta kertaa kummallekin puolelle. Aaltofunktion romahdus ei ole fyysinen prosessi, vaan tiedon hankkiminen. Jos heität kuusisuuntaisen kärjen ja keksit esimerkiksi neljän, valintaväli yhdestä kuuteen kutistuu tai voisi sanoa, että se romahtaa neljän todelliseen arvoon. Jumalallinen demoni, joka kykenee jäljittämään atomirakenteen yksityiskohdat, jotka vaikuttavat luun putoamisen tulokseen (ts. Mittaamalla tarkalleen kuinka kätesi työntää ja pyörittää kuutiota ennen pudottamista pöydälle), ei koskaan puhu romahduksesta.

Einsteinin intuitiota vahvisti hänen varhainen työ molekyyliliikkeen kollektiivisesta vaikutuksesta, jota tutkittiin fysiikan kentällä, jota kutsutaan tilastolliseksi mekaniikaksi, jossa hän osoitti, että fysiikka voi olla todennäköisyydellinen myös silloin, kun ilmiö perustuu deterministiseen todellisuuteen. Vuonna 1935 Einstein kirjoitti filosofille Karl Popperille: "En usko, että olet oikeassa lausunnossasi, että on mahdotonta tehdä tilastollisia johtopäätöksiä deterministisen teorian perusteella. Otetaan esimerkiksi klassinen tilastomekaniikka (kaasuteoria tai Brownin liikkeen teoria)". Todennäköisyydet Einsteinin ymmärryksessä olivat yhtä todellisia kuin Kööpenhaminan koulun tulkinnassa. Ne ilmenevät liikkeen peruslaeissa ja heijastavat ympäröivän maailman muita ominaisuuksia, eivätkä ne ole vain ihmisen tietämättömyyden esineitä. Einstein ehdotti Popperille esimerkiksi harkitsemaan hiukkasia, joka liikkuu ympyrässä tasaisella nopeudella; todennäköisyys löytää hiukkanen tietystä ympyränkaaren osasta heijastaa sen liikeradan symmetriaa. Samoin on todennäköisyys, että muotti laskeutuu tietylle kasvolle, on kuudesosa, koska siinä on kuusi samanlaista puolta. "Hän ymmärsi paremmin kuin tuolloin useimmat, että tärkeä fyysinen kokonaisuus sisältyy tilastollis-mekaanisen todennäköisyyden yksityiskohtiin", Howard sanoo.

Toinen tilastomekaniikan oppitunti oli, että tarkkailemamme suuruudet eivät välttämättä ole syvemmällä tasolla. Esimerkiksi kaasulla on lämpötila, mutta ei ole järkevää puhua yksittäisen kaasumolekyylin lämpötilasta. Vastaavasti Einstein tuli siihen vakaumukseen, että subkvanttiteoria vaaditaan radikaalin tauon merkitsemiseksi kvanttimekaniikkaan. Vuonna 1936 hän kirjoitti: ”Ei ole epäilystäkään siitä, että kvanttimekaniikka on vanginnut totuuden kauniin elementin<...> En kuitenkaan usko, että kvanttimekaniikka olisi lähtökohta tämän perustan etsimisessä, aivan kuten päinvastoin, termodynamiikasta (vastaavasti tilastomekaniikasta) ei voida siirtyä mekaniikan perustuksiin. "Täyttääkseen tämän syvemmän tason Einstein jatkoi etsimistä kohti yhtenäistä teoriaa kenttä, jossa hiukkaset ovat johdannaisia \u200b\u200brakenteista, jotka eivät muistuta hiukkasia lainkaan. Lyhyesti sanottuna yleinen käsitys siitä, että Einstein kieltäytyi tunnustamasta kvanttifysiikan todennäköisyyttä, on väärä. Hän yritti selittää satunnaisuutta sen sijaan, että näyttäisi siltä, \u200b\u200bettei sitä ole ollenkaan.

Tee tasostasi paras

Vaikka Einsteinin projekti yhtenäisen teorian luomiseksi epäonnistui, hänen intuitiivisen satunnaisuuteen perustuvan lähestymistavansa perusajatukset pitävät edelleen paikkansa: indeterminismi voi johtua determinismistä. Kvantti- ja subkvanttitasot - tai mikä tahansa muu luonnonhierarkian tasopari - koostuvat erilaisista rakenteista, joten ne noudattavat erityyppisiä lakeja. Yhden tason hallitseva laki voi luonnollisesti sallia satunnaisuuden, vaikka alemman tason lait ovat täysin säänneltyjä. "Deterministinen mikrofysiikka ei aiheuta determinististä makrofysiikkaa", sanoo filosofi Jeremy Butterfield Cambridgen yliopistosta.

Kuvittele kuolema atomitasolla. Kuutio voi koostua käsittämättömän suuresta joukosta atomien kokoonpanoja, jotka eivät ole täysin erotettavissa toisistaan \u200b\u200bpaljaalla silmällä. Jos seuraat mitä tahansa näistä kokoonpanoista muotin pyöriessä, se johtaa tiettyyn lopputulokseen - ehdottomasti deterministiseen. Joissakin kokoonpanoissa muotti pysähtyy yhdestä pisteestä yläreunasta, toisissa kahdesta. jne. Siksi yksi makroskooppinen tila (jos saat kuution pyörimään) voi johtaa useisiin mahdollisiin makroskooppisiin tuloksiin (yksi kuudesta kasvosta on yläosassa). "Jos kuvailemme noppaa makrotasolla, voimme ajatella sitä stokastisena järjestelmänä, joka sallii objektiivisen satunnaisuuden", kertoo List, joka tutkii konjugaatiota ranskalaisen Cergy-Pontoisen yliopiston matemaatikon Marcus Pivaton kanssa.

Vaikka ylempi taso rakentuu alemmalle tasolle, se on itsenäinen. Nopan kuvaamiseksi sinun on työskenneltävä tasolla, jolla noppat ovat sinänsä, ja kun teet tämän, et voi olla unohtamatta atomeja ja niiden dynamiikkaa. Jos ylität yhden tason toisen kanssa, huijaat korvaamalla luokan: se on kuin kysyttäisi lohileivän poliittisesta sitoutumisesta (käyttää esimerkkinä filosofia David Albertia Columbian yliopistosta). "Kun meillä on ilmiö, jota voidaan kuvata eri tasoilla, meidän on oltava käsitteellisesti hyvin varovaisia, ettemme sekoita tasoja", List kertoo. Tästä syystä noppien heittämisen tulos ei näytä vain satunnaiselta. Se on todella satunnaista. Jumalankaltainen demoni voi ylpeillä tietävän tarkalleen mitä tapahtuu, mutta tietää vain mitä tapahtuu atomille. Hän ei edes epäile, mikä noppaa on, koska se on korkeamman tason tietoa. Demoni ei koskaan näe metsää, vain puita. Hän on kuin argentiinalaisen kirjailijan Jorge Luis Borgesin tarinan "Memorable Funes" päähenkilö - mies, joka muistaa kaiken, mutta ei ymmärrä mitään. "Ajattelu tarkoittaa unohdtaa eron, yleistää, abstraktiota", Borges kirjoittaa. Demoni, jotta hän tietää, mihin puolelle noppaa putoaa, on selitettävä, mitä etsiä. "Demoni pystyy ymmärtämään mitä tapahtuu ylimmällä tasolla vain, jos hänelle annetaan yksityiskohtainen kuvaus kuinka määritämme tason välisen rajan", List kertoo. Tämän jälkeen demonista tulee todennäköisesti kateellinen siitä, että olemme kuolevaisia.

Tasologiikka toimii myös vastakkaiseen suuntaan. Epämääräinen mikrofysiikka voi johtaa deterministiseen makrofysiikkaan. Baseball voidaan valmistaa hiukkasista, joilla on kaoottista käyttäytymistä, mutta sen lento on täysin ennustettavissa; kvanttisatunnaisuus, keskiarvo. katoaa. Samoin kaasut koostuvat molekyyleistä, jotka tekevät erittäin monimutkaisia \u200b\u200b- ja käytännössä ei-deterministisiä - liikkeitä, mutta niiden lämpötila ja muut ominaisuudet noudattavat yhtä yksinkertaisia \u200b\u200blakeja kuin kaksi tai kaksi. Spekulatiivisemmin jotkut fyysikot, kuten Robert Laughlin Stanfordin yliopistosta, ehdottavat, että alemmalla tasolla ei ole mitään merkitystä. Rakennuspalikat voivat olla mitä tahansa, ja silti heidän kollektiivinen käyttäytymisensä on sama. Loppujen lopuksi järjestelmät, jopa erilaiset järjestelmät kuin vesimolekyylit, tähdet galaksissa ja autot moottoritiellä, noudattavat samoja nestevirtauksen lakeja.

Vihdoin vapaa

Kun ajattelet tasoilla, huoli siitä, että indeterminismi todennäköisesti merkitsee tieteen loppua, katoaa. Ympärillämme ei ole korkeaa muuria, joka suojaisi lakia noudattavaa maailmankaikkeuden fragmenttia anarkian aiheelta ja muulta käsittämättömältä. Itse asiassa maailma on determinismin ja indeterminismin kerrostettu kakku. Esimerkiksi maapallon ilmastoa säätelevät Nyotonin deterministiset liikelakit, mutta sääennuste on todennäköinen, ja samaan aikaan kausiluonteiset ja pitkäaikaiset ilmastotrendit ovat jälleen ennustettavissa. Biologia seuraa myös deterministisestä fysiikasta, mutta organismit ja ekosysteemit vaativat muita kuvausmenetelmiä, kuten Darwinin evoluutio. "Determinismi ei selitä ehdottomasti kaikkea", sanoo Tuftsin yliopiston filosofi Daniel Dennett. "Miksi kirahvit ilmestyivät? Koska joku määritti: olkoon niin?"

Ihmiset ovat täynnä tämän lehtikakun sisällä. Meillä on voimakas vapaan tahdon tunne. Teemme usein arvaamattomia ja enimmäkseen elintärkeitä päätöksiä, ymmärrämme, että olisimme voineet tehdä toisin (ja valitettavasti emme ole tehneet sitä). Vuosituhansien ajan niin kutsutut libertaristit, vapaan tahdon filosofisen opin kannattajat (ei pidä sekoittaa poliittiseen suuntaukseen!) Väittivät, että ihmisen vapaus vaatii hiukkasen vapauden. Jotain pitäisi tuhota deterministinen tapahtumien kulku, esimerkiksi kvanttisatunnaisuus tai "poikkeamat", joiden, kuten jotkut muinaiset filosofit uskoivat, atomit voisivat kokea liikkumisensa aikana (Lucretius otti käsityksen vahingossa tapahtuvasta arvaamattomasta atomin poikkeamisesta alkuperäisestä liikeradastaan \u200b\u200bsuojellakseen Epikuroksen atomia) ...

Tämän perustelun pääongelma on, että se vapauttaa hiukkaset, mutta jättää meidät orjiksi. Sillä ei ole väliä onko päätöksesi ennalta määrätty alkuräjähdyksen vai pienen hiukkasen aikana, se ei silti ole sinun päätöksesi. Jotta voisimme olla vapaita, tarvitsemme määrittelemättömyyden ei hiukkasten tasolla vaan ihmisen tasolla. Ja tämä on mahdollista, koska ihmisen ja hiukkasten taso ovat toisistaan \u200b\u200briippumattomia. Vaikka kaikki tekemäsi voidaan jäljittää jo ensimmäisiin vaiheisiin, sinä olet tekojesi päällikkö, koska et sinäkään eikä tekosi ole aineen tasolla, vaan vain tietoisuuden makrotasolla. "Tämä mikrodeterminismiin perustuva makroindeterminismi takaa todennäköisesti vapaan tahdon", Butterfield sanoi. Makroindeterminismi ei ole syy päätöksillesi. Tämä on sinun päätöksesi.

Jotkut ihmiset todennäköisesti vastustavat ja kertovat sinulle, että olet edelleen nukke ja että luonnon lait toimivat nukketeatterina ja että vapautesi ei ole muuta kuin illuusio. Mutta juuri sana "illuusio" herättää puoliksi sahattujen autiomaiden ja naisten muistiin: kaikkea tätä ei ole todellisuudessa. Makroindeterminismi ei ole lainkaan sama. Se on varsin todellinen, vain ei ole perustavanlaatuista. Sitä voidaan verrata elämään. Yksittäiset atomit ovat ehdottoman eloton aine, mutta niiden valtava massa voi elää ja hengittää. "Kaikella, mikä liittyy tekijöihin, heidän aikomuksiinsa, heidän päätöksiinsä ja valintoihinsä - millään näistä yhteisöistä ei ole mitään tekemistä perusfysiikan käsitteellisen työkalupaketin kanssa, mutta tämä ei tarkoita, etteivätkö nämä ilmiöt ole todellisia", Liszt toteaa. tarkoittaa vain sitä, että ne kaikki ovat paljon korkeamman tason ilmiöitä. "

Olisi kategorinen virhe, ellei täydellinen tietämättömyys, kuvata inhimillisiä päätöksiä atomien liikkumisen mekaanikon avulla. Sen sijaan on välttämätöntä käyttää kaikkia psykologian käsitteitä: halu, mahdollisuus, aikomus. Miksi join vettä eikä viiniä? Koska halusin. Haluni selittävät tekoni. Useimmissa tapauksissa, kun esitämme kysymyksen "Miksi?", Etsimme yksilön motivaatiota eikä hänen fyysistä taustaansa. Psykologiset selitykset mahdollistavat tietynlaisen määrittelemättömyyden, josta List puhuu. Esimerkiksi peliteoreetikot mallintavat ihmisen päätöksentekoa asettamalla joukon vaihtoehtoja ja selittämällä, minkä valitset, jos toimit järkevästi. Vapautesi valita tietty vaihtoehto ajaa valintasi, vaikka et koskaan tyydyisi siihen.

Luonnollisesti Listin argumentit eivät täysin selitä vapaata tahtoa. Tasojen hierarkia avaa vapaan tahdon tilaa, erottaa psykologian fysiikasta ja antaa meille mahdollisuuden tehdä odottamattomia asioita. Mutta meidän on käytettävä tätä tilaisuutta. Jos esimerkiksi teemme kaikki päätökset heittämällä kolikkoa, sitä pidettäisiin silti makroindeterminisminä, mutta tuskin olisi mahdollista luokitella sitä vapaaksi tahdoksi missään merkityksellisessä mielessä. Toisaalta joidenkin ihmisten päätöksenteko voi olla niin uuvuttavaa, ettei heidän voida sanoa toimivan vapaasti.

Tämä lähestymistapa determinismin ongelmaan antaa merkityksen ja tulkinnan kvanttiteorialle, jota ehdotettiin muutama vuosi Einsteinin kuoleman jälkeen vuonna 1955. Sitä kutsutaan monimaailmalliseksi tulkinnaksi tai Everettin tulkinnaksi. Sen kannattajat väittävät, että kvanttimekaniikka kuvaa rinnakkaisuniversumien kokoelmaa - multiversumia, joka kokonaisuutena käyttäytyy deterministisesti, mutta ei näytä meille deterministiseltä, koska voimme nähdä vain yhden universumin. Esimerkiksi atomi voi lähettää fotonin oikealle tai vasemmalle; kvanttiteoria jättää tapahtuman lopputuloksen avoimeksi. Monien maailmojen tulkinnan mukaan tällainen kuva havaitaan, koska täsmälleen sama tilanne esiintyy loputtomassa määrässä rinnakkaisuniversumeita: joissakin niistä fotoni lentää deterministisesti vasemmalle ja loput oikealle. Voimme sanoa tarkalleen missä universumeissa olemme, emme voi ennustaa mitä tapahtuu, joten tämä tilanne näyttää sisältä käsin selittämättömältä. "Avaruudessa ei ole todellista satunnaisuutta, mutta tapahtumat voivat näyttää satunnaisilta tarkkailijan silmissä", selittää MIT: n kosmologi Max Tegmark, tämän kannan tunnettu kannattaja. "Satunnaisuus heijastaa kyvyttömyytesi määrittää missä olet."

Se on kuin sanoa, että kuolla tai aivot voidaan rakentaa mistä tahansa lukemattomasta atomikokoonpanosta. Tämä kokoonpano itsessään voi olla deterministinen, mutta koska emme voi tietää, mikä vastaa noppaa tai aivojamme, meidän on pakko olettaa, että lopputulos ei ole deterministinen. Rinnakkaisuniversumit eivät siis ole mikään eksoottinen idea, joka kelluu sairaassa mielikuvituksessa. Kehomme ja aivomme ovat pieni multiversumi, juuri mahdollisuuksien monimuotoisuus tarjoaa meille vapauden.

Kirjoittanut suunnittelija Tyler Sigman, Gamasutralla. Kutsun sitä mielelläni "hiuksiksi orkin sieraimiin", mutta se tekee melko hyvää työtä asettamalla pelien todennäköisyyksien perusteet.

Tämän viikon aihe

Tähän asti melkein kaikki, josta olemme puhuneet, on ollut determinististä, ja viime viikolla tarkastelimme tarkasti transitiivista mekaniikkaa ja lajittelimme sen niin yksityiskohtaisesti kuin pystyn selittämään. Mutta toistaiseksi emme ole kiinnittäneet huomiota monien pelien valtavaan piirteeseen, nimittäin ei-deterministisiin näkökohtiin, toisin sanoen satunnaisuuteen. Satunnaisuuden luonteen ymmärtäminen on erittäin tärkeää pelisuunnittelijoille, koska luomme järjestelmiä, jotka vaikuttavat pelaajan kokemukseen tietyssä pelissä, joten meidän on tiedettävä, miten nämä järjestelmät toimivat. Jos järjestelmässä on satunnaisuutta, sinun on ymmärrettävä luontotämä satunnaisuus ja miten sitä voidaan muuttaa tarvitsemiemme tulosten saamiseksi.

Noppa

Aloitetaan jollakin yksinkertaisella: noppien heittäminen. Kun useimmat ihmiset ajattelevat noppaa, he ajattelevat kuudenpuolista kuolemaa, joka tunnetaan nimellä d6. Mutta useimmat pelaajat ovat nähneet monia muita noppia: tetraedrinen (d4), oktaedrinen (d8), kaksitoista (d12), kaksikymmentä (d20) ... ja jos esittäägeek, sinulla voi olla 30- tai 100-puolisia luita jossain. Jos et ole perehtynyt tähän terminologiaan, ”d” tarkoittaa kuolemaa ja sen jälkeistä lukua, kuinka monta kasvoa sillä on. Jos ennen"D" tarkoittaa lukua, niin se tarkoittaa määrä noppaa heitettäessä. Esimerkiksi monopolissa heität 2d6.

Joten tässä tapauksessa ilmaisu "noppaa" on tavanomainen nimitys. On olemassa valtava määrä muita satunnaislukugeneraattoreita, jotka eivät ole muovikokonaisuuden muotoisia, mutta suorittavat saman toiminnon satunnaisluvun generoimiseksi välillä 1 - n. Tavallisen kolikon voidaan ajatella olevan myös d2-kaksoiskappale. Näin kaksi seitsemänpuolisen noppan mallia: yksi näytti noppaa ja toinen enemmän kuin seitsemänpuolinen puukynä. Tetraedrinen dreidel (tunnetaan myös nimellä titotum) on analoginen tetraedrisen luun kanssa. Pelikenttä pyörivällä nuolella pelissä "Chutes & Ladders", jossa tulos voi olla 1-6, vastaa kuutio-noppaa. Tietokoneen satunnaislukugeneraattori voi luoda minkä tahansa numeron 1: stä 19: een, jos suunnittelija pyytää tällaista komentoa, vaikka tietokoneessa ei ole 19-puolisia noppia (puhun yleensä tarkemmin numeroiden saamisen todennäköisyydestä tietokoneella osoitteessa seuraavaviikko). Vaikka nämä tuotteet näyttävät kaikki erilaisilta, ne ovat itse asiassa samat: sinulla on samat mahdollisuudet saada yksi useista tuloksista.

Nopalla on mielenkiintoisia ominaisuuksia, joista meidän on tiedettävä. Ensinnäkin minkä tahansa pinnan putoamisen todennäköisyys on sama (oletan, että pyörit oikean muotin, ei epäsäännöllisen geometrisen muodon kanssa). Joten jos haluat tietää tarkoittaa heitto (tunnetaan myös niiden keskuudessa, jotka pitävät todennäköisyysaiheesta "matemaattisena odotuksena"), summaa kaikkien reunojen arvot ja jaa tämä summa määräkasvot. Keskimääräinen rulla tavalliselle kuusisivuiselle muotille on 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 \u003d 21, jaa se reunojen lukumäärällä (6), jolloin saadaan keskiarvo 21/6 \u003d 3,5. Tämä on erityistapaus, koska oletamme, että kaikki tulokset ovat yhtä todennäköisiä.

Entä jos sinulla on erityisiä noppia? Näin esimerkiksi pelin, jossa oli kuusikulmainen noppaa ja reunoilla erityiset tarrat: 1, 1, 1, 2, 2, 3, joten se käyttäytyy kuin outo kolmion muotoinen noppaa, jolla on paremmat mahdollisuudet saada numero 1 kuin 2 2 kuin 3. Mikä on keskimääräinen rullan arvo tälle kärjelle? Joten 1 + 1 + 1 + 2 + 2 + 3 \u003d 10, jaetaan 6: lla, on 5/3 tai noin 1,66. Joten jos sinulla on niin erityinen kuolla ja pelaajat heittävät kolme noppaa ja lisäävät tulokset yhteen, tiedät, että heidän likimääräinen kokonaissummansa on noin 5, ja voit tasapainottaa pelin tämän oletuksen perusteella.

Noppa ja itsenäisyys

Kuten sanoin, lähdemme siitä oletuksesta, että kukin kasvot putoavat yhtä todennäköisesti. Ei ole väliä kuinka monta noppaa heität. Jokainen noppapala aivan sama, tämä tarkoittaa, että edelliset heitot eivät vaikuta seuraavien heittojen tuloksiin. Tarpeeksi riittävästi kokeita ilmoitus "Numerosarja", kuten putoaminen enimmäkseen suuremmista tai pienemmistä arvoista tai muista ominaisuuksista, ja puhumme siitä myöhemmin, mutta se ei tarkoita, että nopat ovat "kuumia" tai "kylmiä". Jos heität tavallisen kuusisivumuotin ja numero 6 nousee kaksi kertaa peräkkäin, todennäköisyys, että seuraava rulla johtaa 6: een, on myös 1/6. Todennäköisyyttä ei lisää se, että kuutio "lämmitetään". Todennäköisyys ei vähene, koska numero 6 putosi kaksi kertaa peräkkäin, mikä tarkoittaa, että nyt toinen kasvot putoavat. (Tietenkin, jos heität noppaa kaksikymmentä kertaa ja joka kerta kun numero 6 tulee esiin, mahdollisuudet saada 6 kahdenkymmenenensimmäisellä kerralla ovat melko korkeat ... koska ehkä se tarkoittaa, että sinulla on väärä noppu!) Mutta jos sinulla on oikea noppaa, todennäköisyys pudota jokaisesta kasvosta on sama riippumatta muiden rullien tuloksista. Voit myös kuvitella, että joka kerta, kun vaihdamme muotin, joten jos numero 6 tulee esiin kaksi kertaa peräkkäin, poista "kuuma" muotti pelistä ja korvaa se uudella kuusikulmaisella muotilla. Pahoittelen, jos joku teistä tiesi jo tästä, mutta minun oli selvitettävä asia ennen kuin jatkan.

Kuinka saada noppat putoamaan enemmän tai vähemmän satunnaisesti

Puhutaan siitä, kuinka saada erilaisia \u200b\u200btuloksia eri noppilla. Jos heität noppaa vain kerran tai muutaman kerran, peli tuntuu satunnaisemmalta, jos noppilla on enemmän reunoja. Mitä enemmän noppaa heität tai mitä enemmän noppaa heität, sitä enemmän tulokset ovat lähempänä keskiarvoa. Esimerkiksi, jos heität 1d6 + 4 (eli tavanomainen kuusiokolikko kerran ja lisäät tulokseen 4), keskiarvo on 5-10. Jos heität 5d2, keskiarvo on myös 5-10. Mutta heittäessäsi kuusisivuisia noppia, todennäköisyys saada numerot 5, 8 tai 10 on sama. 5d2 heiton tulos on lähinnä numerot 7 ja 8, harvemmin muut arvot. Sama sarja, jopa sama keskiarvo (molemmissa tapauksissa 7,5), mutta satunnaisuuden luonne on erilainen.

Odota hetki. Enkö vain sanonut, että nopat eivät kuumene tai jäähtyisi? Nyt sanon, että jos heität paljon noppaa, ovatko sämpylät lähellä keskiarvoa? Miksi?

Anna minun selittää. Jos heität yksinoppaa, todennäköisyys pudota jokaisesta kasvosta on sama. Tämä tarkoittaa, että jos heität useita noppia, kukin kasvot putoavat suunnilleen yhtä monta kertaa ajan myötä. Mitä enemmän noppaa heität, sitä enemmän kumulatiivinen tulos tulee lähemmäksi keskiarvoa. Tämä ei johdu siitä, että pudonnut numero "tekee" toisen numeron, joka ei ole vielä pudonnut. Mutta koska pienellä sarjalla 6 (tai 20, tai jokin muu numero) ei ole loppujen lopuksi merkitystä, jos heität noppaa vielä kymmenentuhatta kertaa ja keskimäärin putoaa ... ehkä nyt sinulla on muutama numero korkea arvo, mutta ehkä myöhemmin jotkut pieniarvoiset luvut ja ajan mittaan ne lähestyvät keskiarvoa. Ei siksi, että edelliset rullat vaikuttavat noppiin (vakavasti, noppaa tehdään muovi-, hänellä ei ole aivoja ajatella: "Voi, sitä ei ole rullattu pitkään aikaan"), mutta koska näin tapahtuu yleensä suurella määrällä noppapaloja. Pieni toistuvien numeroiden sarja on melkein näkymätön useissa tuloksissa.

Siten yhden satunnaisen noppapalan laskeminen on melko suoraviivaista, ainakin siltä osin kuin on kyse keskimääräisen rullan laskemisesta. On myös tapoja laskea "kuinka satunnainen" jokin on, tapa sanoa, että 1d6 + 4: n vierityksen tulokset ovat "satunnaisempia" kuin 5d2, 5d2: lle tulosten jakauma on tasaisempi, yleensä tähän lasketaan keskihajonta, ja mitä enemmän arvo, sitä satunnaisemmat tulokset ovat, mutta tämä vaatii enemmän laskelmia kuin haluaisin antaa tänään (selitän tämän aiheen myöhemmin). Ainoa asia, jonka pyydän teitä tietämään, on se, että pääsääntöisesti, mitä vähemmän noppaa heitetään, sitä suurempi on satunnaisuus. Ja vielä yksi lisäys tästä aiheesta: mitä enemmän kasvoja noppalla on, sitä enemmän satunnaisuutta, koska sinulla on enemmän vaihtoehtoja.

Kuinka lasketaan todennäköisyys laskemalla

Saatat miettiä: kuinka voimme laskea tarkan todennäköisyyden saada tietty tulos? Tämä on oikeastaan \u200b\u200bmelko tärkeää monissa peleissä, koska jos heität noppaa, on todennäköisesti aluksi optimaalinen tulos. Vastaus on: meidän on laskettava kaksi arvoa. Laske ensin noppien maksimimäärä tuloksia (riippumatta lopputuloksesta). Laske sitten myönteisten tulosten määrä. Jakamalla toinen arvo ensimmäisellä saat haluamasi todennäköisyyden. Saadaksesi prosenttiosuuden, kerro tulos 100: lla.

Esimerkkejä:

Tässä on hyvin yksinkertainen esimerkki. Haluat vähintään 4: n nousevan ja heittävän kuusikulmion kerran. Tulosten enimmäismäärä on 6 (1, 2, 3, 4, 5, 6). Näistä 3 lopputulosta (4, 5, 6) ovat suotuisia. Joten laskeaksesi todennäköisyyden, jaa 3 6: lla ja saa 0,5 tai 50%.

Tässä on esimerkki, joka on hieman monimutkaisempi. Haluat saada parillisen numeron 2d6-rullalle. Tulosten enimmäismäärä on 36 (6 kutakin kuolemaa kohden, ja koska yksi kuolema ei vaikuta toiseen, kerrotaan 6 tulosta 6: lla, jotta saadaan 36). Tämäntyyppisen kysymyksen vaikeus on se, että se on helppo laskea kahdesti. Esimerkiksi 2d6-rullan 3 tulokselle on oikeastaan \u200b\u200bkaksi vaihtoehtoa: 1 + 2 ja 2 + 1. Ne näyttävät samoilta, mutta ero on siinä, mikä numero näytetään ensimmäisessä kuolla ja mikä toisessa. Voit myös kuvitella, että nopat ovat eri värejä, joten esimerkiksi tässä tapauksessa yksi noppa on punainen ja toinen sininen. Laske sitten parillisen luvun vaihtoehtojen määrä: 2 (1 + 1), 4 (1 + 3), 4 (2 + 2), 4 (3 + 1), 6 (1 + 5), 6 (2 + 4), 6 (3 + 3), 6 (4 + 2), 6 (5 + 1), 8 (2 + 6), 8 (3 + 5), 8 (4 + 4), 8 (5 + 3), 8 (6 + 2), 10 (4 + 6), 10 (5 + 5), 10 (6 + 4), 12 (6 + 6). Osoittautuu, että suotuisalle lopputulokselle on 18 vaihtoehtoa 36: sta, kuten edellisessä tapauksessa todennäköisyys on 0,5 tai 50%. Ehkä odottamaton, mutta melko tarkka.

Monte Carlo -simulaatio

Entä jos sinulla on liian monta noppaa laskettavaksi? Haluat esimerkiksi tietää, mikä on todennäköisyys sille, että vähintään 15 kpl rullataan 8d6-rullalle. Kahdeksalle noppalle on olemassa monia erilaisia \u200b\u200byksittäisiä tuloksia, ja niiden laskeminen manuaalisesti vie hyvin kauan. Vaikka löydämme hyvän ratkaisun erilaisten nopparullien ryhmittelemiseen, laskeminen vie silti hyvin kauan. Tässä tapauksessa helpoin tapa laskea todennäköisyys ei ole laskea sitä manuaalisesti, vaan käyttää tietokonetta. On kaksi tapaa laskea todennäköisyydet tietokoneella.

Ensimmäistä menetelmää voidaan käyttää tarkan vastauksen saamiseen, mutta siihen liittyy pieni ohjelmointi tai komentosarja. Pohjimmiltaan tietokone tutkii jokaista mahdollisuutta, arvioi ja laskee iterointien kokonaismäärän ja haluttua tulosta vastaavien iteraatioiden määrän ja antaa sitten vastaukset. Koodisi voi näyttää tältä:

int wincount \u003d 0, totalcount \u003d 0;

varten (int i \u003d 1; i<=6; i++) {

varten (int j \u003d 1; j<=6; j++) {

for (int k \u003d 1; k<=6; k++) {

… // lisää lisää silmukoita tähän

jos (i + j + k +…\u003e \u003d 15) (

kelluva todennäköisyys \u003d wincount / totalcount;

Jos et ole perehtynyt ohjelmointiin ja tarvitset vain epätarkan, mutta likimääräisen vastauksen, voit simuloida tätä tilannetta Excelissä, jossa heität 8d6 useita tuhansia kertoja ja saat vastauksen. Suoratoista 1d6 Excelissä käyttämällä seuraavaa kaavaa:

Lattia (RAND () * 6) +1

On olemassa nimi tilanteelle, jossa et tiedä vastausta ja yrität vain monta kertaa - monte Carlon simulointija tämä on loistava ratkaisu käytettäväksi, kun yrität laskea todennäköisyyttä, ja se on liian vaikeaa. Hienoa on, että tässä tapauksessa meidän ei tarvitse ymmärtää, miten matemaattinen laskenta toimii, ja tiedämme, että vastaus on "melko hyvä", koska kuten jo tiedämme, mitä enemmän heittoja on, sitä enemmän tulos lähestyy keskiarvoa.

Kuinka yhdistää riippumattomia testejä

Jos kysyt useista toistuvista mutta itsenäisistä haasteista, yhden heiton tulos ei vaikuta muiden heittojen tulokseen. Tähän tilanteeseen on vielä yksi yksinkertainen selitys.

Kuinka erottaa toisistaan \u200b\u200briippuvainen ja riippumaton? Pohjimmiltaan, jos pystyt erottamaan jokaisen noppapallon (tai rullasarjan) erillisenä tapahtumana, se on riippumaton. Esimerkiksi, jos haluamme 15: n liikkuvan 8d6: lla, tätä tapausta ei voida jakaa useisiin itsenäisiin nopparulliin. Koska tulokseen lasketaan kaikkien noppien arvojen summa, yhdelle noppalle pudotettu tulos vaikuttaa tuloksiin, joiden pitäisi pudota toiselle noppalle, koska vain lisäämällä kaikki arvot saat halutun tuloksen.

Tässä on esimerkki itsenäisistä heitoista: pelaat noppilla ja heität heksanoppaita useita kertoja. Pysyäkseen pelissä ensimmäisen rullasi on oltava vähintään 2. Toista rullaa varten vähintään 3. Kolmas vaatii vähintään 4, neljäs vähintään 5 ja viides 6. Jos kaikki viisi heittoa onnistuvat, voitat. Tässä tapauksessa kaikki rullat ovat itsenäisiä. Kyllä, jos yksi heitto ei onnistu, se vaikuttaa koko pelin lopputulokseen, mutta yksi heitto ei vaikuta toiseen heittoon. Esimerkiksi, jos toinen heittosi on erittäin onnistunut, se ei millään tavoin vaikuta todennäköisyyteen, että seuraavat heitot ovat yhtä onnistuneita. Siksi voimme tarkastella kunkin noppanheiton todennäköisyyttä erikseen.

Jos sinulla on erilliset, riippumattomat todennäköisyydet ja haluat tietää, mikä todennäköisyys siinä on kaikki tapahtumia tulee, määrität kukin yksittäisen todennäköisyyden ja kerrot ne. Toinen tapa: jos käytät yhdistettä “ja” kuvaamaan useita ehtoja (esimerkiksi mikä on satunnaisen tapahtuman todennäköisyys) ja jokin muu itsenäinen satunnaistapahtuma?), laske yksittäiset todennäköisyydet ja kerro ne.

Ei ole väliä mitä ajattelet ei koskaanÄlä lisää itsenäisiä todennäköisyyksiä. Tämä on yleinen virhe. Kuvittele tilanne, jossa käännät 50/50 kolikkoa, ymmärtääksesi miksi tämä on väärin, haluat tietää kuinka todennäköinen on, että kaksi kertaa peräkkäin "päätä". Kummankin sivun osumien todennäköisyys on 50%, joten jos lisäät nämä kaksi todennäköisyyttä, sinulla on 100% mahdollisuus lyödä päätä, mutta tiedämme, että tämä ei ole totta, koska kaksi kertaa peräkkäin se voi saada päät. Jos kerrot nämä kaksi todennäköisyyttä, saat 50% * 50% \u003d 25%, mikä on oikea vastaus laskettaessa todennäköisyyttä lyödä päitä kahdesti peräkkäin.

Esimerkki

Palataan takaisin peliin kuusisivuisilla noppilla, jossa sinun on ensin saatava suurempi numero kuin 2, sitten korkeampi kuin 3 jne. jopa 6. Mitkä ovat mahdollisuudet, että tietyssä 5 heiton sarjassa kaikki tulokset ovat suotuisia?

Kuten edellä todettiin, nämä ovat itsenäisiä testejä, joten laskemme jokaisen rullan todennäköisyydet ja kerrotaan ne sitten. Todennäköisyys, että ensimmäisen heiton tulos on suotuisa, on 5/6. Toinen on 4/6. Kolmas on 3/6. Neljäs - 2/6, viides - 1/6. Laskemme kaikki nämä tulokset ja saamme noin 1,5% ... Siten voittaminen tässä pelissä on melko harvinaista, joten jos lisäät tämän elementin peliin, tarvitset melko suuren jättipotin.

Negation

Tässä on toinen hyödyllinen vihje: joskus on vaikea laskea tapahtuman todennäköisyyttä, mutta on helpompaa määrittää, mitkä ovat mahdollisuudet tapahtumaan eivät tule.

Oletetaan esimerkiksi, että meillä on toinen peli ja heität 6d6, ja jos ainakin kerran 6 on heitetty, voitat. Mikä on todennäköisyys voittaa?

Tässä tapauksessa on monia vaihtoehtoja laskea. On mahdollista, että yksi numero 6 pudotetaan, ts. yhdelle noppapelistä numero 6 heitetään ja muille numeroille 1-5, ja on 6 vaihtoehtoa siitä, kumpi noppaa on numero 6. Sitten saat numeron 6 kahdella noppalla tai kolmella tai seuraavalla vielä enemmän, ja joka kerta meidän on tehtävä erillinen laskenta, joten on helppo hämmentyä tästä.

Mutta on toinen tapa ratkaista tämä ongelma, katsotaanpa sitä toiselta puolelta. Sinä menettääjos ei mitään numero 6. ei putoa noppaa. Tässä tapauksessa meillä on kuusi itsenäistä koketta, joista jokaisen todennäköisyys on 5/6 (mikä tahansa muu luku paitsi 6 voidaan pudottaa noppiin). Kerro ne ja saat noin 33%. Joten häviämisen todennäköisyys on yksi kolmesta.

Siksi voiton todennäköisyys on 67% (tai 2-3).

Tästä esimerkistä on ilmeistä jos otat huomioon todennäköisyyden, ettei tapahtumaa tapahdu, sinun on vähennettävä tulos 100%: sta. Jos todennäköisyys voittaa on 67%, niin todennäköisyys menettää — 100% miinus 67% tai 33%. Ja päinvastoin. Jos yhtä todennäköisyyttä on vaikea laskea, mutta päinvastainen on helppo laskea, laske päinvastainen ja vähennä sitten 100 prosentista.

Ehtojen yhdistäminen yhdeksi riippumattomaksi testiksi

Sanoin juuri edellä, että sinun ei pitäisi koskaan laskea yhteen todennäköisyyksiä riippumattomissa testeissä. Onko olemassa tapauksia, joissa voisumma todennäköisyydet? - Kyllä, yhdessä erityistilanteessa.

Jos haluat laskea useiden etuyhteydettömien myönteisten tulosten todennäköisyyden samassa kokeessa, lisää kunkin suotuisan tuloksen todennäköisyys. Esimerkiksi todennäköisyys saada numerot 4, 5 tai 6 kohtaan 1d6 on summa todennäköisyys saada luku 4, todennäköisyys saada luku 5 ja todennäköisyys saada numero 6. Voit myös kuvitella tämän tilanteen seuraavasti: jos käytät todennäköisyyskysymyksessä konjunktiota "tai" (esimerkiksi mikä on todennäköisyys, että tai mikä on yhden satunnaisen tapahtuman muu tulos?), lasketaan yksittäiset todennäköisyydet ja summataan ne yhteen.

Huomaa, että kun lisäät kaikki mahdolliset tulokset kaikkien todennäköisyyksien summan on oltava yhtä suuri kuin 100%. Jos summa ei ole 100%, laskusi oli väärä. Tämä on hyvä tapa tarkistaa laskelmat uudelleen. Esimerkiksi, jos olet analysoinut todennäköisyyttä saada kaikki kädet pokerissa, ja jos lasket kaikki saadut tulokset, sinun pitäisi saada täsmälleen 100% (tai ainakin arvo, joka on melko lähellä 100%, jos käytät laskinta, sinulla saattaa olla pieni pyöristysvirhe. , mutta jos lisäät tarkat numerot käsin, sen pitäisi toimia.) Jos summa ei ole summa, niin et todennäköisesti ottanut huomioon joitain yhdistelmiä tai laskenut joidenkin yhdistelmien todennäköisyyksiä väärin, ja sinun on tarkistettava laskelmat uudelleen.

Epätasainen todennäköisyys

Tähän asti olemme olettaneet, että nopan kukin pinta putoaa samalla taajuudella, koska noppat toimivat näin. Mutta joskus kohtaat tilanteen, jossa erilaiset tulokset ovat mahdollisia ja niillä on eri mahdollisuudet pudota. Esimerkiksi yhdessä Nuclear War -korttipelin lisäosassa on nuolikenttä, josta raketin laukaisun tulos riippuu: periaatteessa se aiheuttaa normaalia vahinkoa, vahvempaa tai heikompaa, mutta joskus vahinko kasvaa kaksi tai kolme kertaa, tai raketti räjähtää laukaisualustalla ja satuttaa sinua tai tapahtuu jokin muu tapahtuma. Toisin kuin nuolinäppäimet "Chutes & Ladders" tai "A Game of Life", "Ydinsodan" pelikentän tulokset ovat epätasaiset. Jotkut pelikentän osat ovat suurempia ja nuoli pysähtyy niihin useammin, kun taas toiset osiot ovat hyvin pieniä ja nuoli pysähtyy niihin harvoin.

Joten ensi silmäyksellä luu näyttää tältä: 1, 1, 1, 2, 2, 3; puhuimme jo siitä, se on jotain painotettua 1d3, joten meidän on jaettava kaikki nämä osiot yhtä suuriksi osiksi, löydettävä pienin mittayksikkö, joka on moninkertainen kaikesta, ja sitten edustettava tilannetta muodossa d522 (tai jokin muu ), jossa nopan monet kasvot edustavat samaa tilannetta, mutta enemmän tuloksia. Ja tämä on yksi tapa ratkaista ongelma, ja se on teknisesti mahdollista, mutta on myös helpompi tapa.

Palataan takaisin normaaliin kuusikulmaiseen noppaan. Sanoimme, että normaalin muotin keskimääräisen rullan arvon laskemiseksi sinun on laskettava yhteen kaikkien reunojen arvot ja jaettava ne reunojen määrällä, mutta miten tarkalleenselvitys on käynnissä? Voit sanoa sen toisin. Kuusikulmaisen suuttimen todennäköisyys jokaisen pinnan putoamisesta on tarkalleen 1/6. Nyt me lisääntymme exoduskaikki kasvot todennäköisyys tämä tulos (tässä tapauksessa 1/6 kummallekin kasvolle), sitten lasketaan yhteen saadut arvot. Joten yhteenveto (1 * 1/6) + (2 * 1/6) + (3 * 1/6) + (4 * 1/6) + (5 * 1/6) + (6 * 1/6) ), saamme saman tuloksen (3.5) kuin yllä olevassa laskelmassa. Itse asiassa laskemme tämän joka kerta: kerrotaan jokainen tulos sen todennäköisyydellä.

Voimmeko tehdä saman laskelman ampujalle pelikentällä ydinsodassa? Tietenkin me voimme. Ja jos laskemme yhteen kaikki löydetyt tulokset, saamme keskiarvon. Meidän on vain laskettava taululla olevan nuolen kunkin tuloksen todennäköisyys ja kerrottava tuloksella.

Toinen esimerkki

Tämä menetelmä keskiarvon laskemiseksi kertomalla kukin tulos yksilöllisellä todennäköisyydellä on myös sopiva, jos tulokset ovat yhtä todennäköisiä, mutta niillä on erilaisia \u200b\u200betuja, esimerkiksi jos heität muotin ja voitat enemmän joillakin reunoilla kuin toiset. Otetaan esimerkiksi kasinopeli: panostat ja heität 2d6. Jos tulee kolme numeroa, joilla on pienin arvo (2, 3, 4) tai neljä suurinta arvoa (9, 10, 11, 12), voitat panoksesi määrän. Luvut, joilla on pienin ja korkein arvo, ovat erityisiä: jos 2 tai 12 tulee esiin, voitat kaksi kertaa niin paljonkuin korko. Jos jokin muu numero putoaa (5, 6, 7, 8), menetät panoksesi. Se on melko yksinkertainen peli. Mutta mikä on todennäköisyys voittaa?

Aloitetaan laskemalla kuinka monta kertaa voit voittaa:

• 2d6-rullan enimmäismäärä tuloksia on 36. Kuinka monta myönteistä tulosta on?
• Yksi vaihtoehto kahdelle ja yksi vaihtoehto kahdelletoista.
• Kolme ja yksitoista on kaksi vaihtoehtoa.
• Neljä vaihtoehtoa on 3 ja kymmenen vaihtoehtoa kolme.
• Yhdeksälle vaihtoehdolle on neljä vaihtoehtoa.
• Yhteenvetona kaikista vaihtoehdoista saadaan suotuisten tulosten lukumäärä 16 36: sta.

Joten voitat normaaleissa olosuhteissa 16 kertaa 36 mahdollisesta ... todennäköisyys voittaa on hieman alle 50%.

Mutta kahdessa tapauksessa näistä 16 voitat kaksinkertaisen määrän eli se on kuin voittaa kahdesti! Jos pelaat tätä peliä 36 kertaa, vedonlyönti $ 1 joka kerta, ja kaikki mahdolliset tulokset tulevat esiin kerran, voitat 18 dollaria (itse asiassa voitat 16 kertaa, mutta kaksi kertaa lasketaan kahtena voitot). Jos pelaat 36 kertaa ja voitat 18 dollaria, eikö tämä tarkoita sitä, että sillä on tasavertaiset mahdollisuudet?

Älä kiirehdi. Jos lasket menetysten lukumäärän, saat 20, ei 18. Jos pelaat 36 kertaa, lyöt vetoa $ 1 joka kerta, voitat yhteensä 18 dollaria kaikista suotuisista tuloksista ... mutta menetät yhteensä 20 dollarin määrä kaikilla 20 haittatuloksella! Tämän seurauksena olet hieman jäljessä: menetät keskimäärin 2 dollaria nettoa jokaista 36 peliä kohden (voit myös sanoa, että menetät keskimäärin 1/18 dollaria päivässä). Nyt voit nähdä, kuinka helppoa on tässä tapauksessa tehdä virhe ja laskea todennäköisyys väärin!

Permutaatio

Tähän asti olemme olettaneet, että numeroiden järjestyksellä noppaa heitettäessä ei ole merkitystä. 2 + 4 rulla on sama kuin 4 + 2 rulla. Useimmissa tapauksissa laskemme manuaalisesti myönteisten tulosten määrän, mutta joskus tämä menetelmä on epäkäytännöllinen ja on parempi käyttää matemaattista kaavaa.

Esimerkki tilanteesta on pelistä, jossa on noppaa “Farkle”. Kullakin uudella kierroksella heität 6d6. Jos sinulla on onni saada kaikki mahdolliset tulokset 1-2-3-4-5-6 ("suora"), saat suuren bonuksen. Kuinka todennäköistä tämä tapahtuu? Tässä tapauksessa tälle yhdistelmälle on monia vaihtoehtoja!

Ratkaisu näyttää tältä: yhdellä noppaa (ja vain yhdellä) pitäisi olla numero 1! Kuinka monta numeron 1 muunnosta yhdellä nopalla? Kuusi, koska noppia on kuusi ja jokaisella voi olla numero 1. Ota siis yksi noppu ja aseta se sivuun. Nyt yhdellä jäljellä olevista noppista pitäisi olla numero 2. Tähän on viisi vaihtoehtoa. Ota toinen noppu ja aseta se sivuun. Sitten seuraa, että neljästä jäljellä olevasta noppasta numero 3 voi pudota, kolmesta jäljellä olevasta noppasta numero 4 voi pudota, kahdesta - numero 5, ja tuloksena on yksi noppaa, jolle luvun 6 tulisi pudota (jälkimmäisessä tapauksessa kuolee on yksi eikä ole muuta vaihtoehtoa). Suoran yhdistelmän edullisten tulosten määrän laskemiseksi kerrotaan kaikki erilaiset, riippumattomat vaihtoehdot: 6x5x4x3x2x1 \u003d 720 - näyttää siltä, \u200b\u200bettä vaihtoehtoja on melko paljon, mitä tämä yhdistelmä keksi.

Suoran saamisen todennäköisyyden laskemiseksi meidän on jaettava 720 kaikkien mahdollisten 6d6-rullan tulosten määrällä. Mikä on kaikkien mahdollisten tulosten määrä? Jokaisella muotilla on 6 kasvoa, joten kerrotaan 6x6x6x6x6x6 \u003d 46656 (luku on paljon suurempi!). Jaamme 720/46656 ja todennäköisyys on noin 1,5%. Jos suunnittelisit tätä peliä, sinun olisi hyödyllistä tietää, että voit luoda sopivan pisteytysjärjestelmän. Nyt ymmärrämme, miksi Farkle-pelissä saat niin suuren bonuksen, jos saat yhdistelmän "suora", koska tämä tilanne on melko harvinainen!

Tulos on mielenkiintoinen myös toisesta syystä. Esimerkki osoittaa, kuinka harvoin todennäköisyyttä vastaava tulos esiintyy lyhyessä ajassa. Tietenkin, jos heitettäisiin useita tuhansia noppia, noppien eri kasvot putosivat melko usein. Mutta kun heitämme vain kuutta noppaa, melkein ei koskaanei tapahdu, että kaikki kasvot putoavat! Tästä eteenpäin käy selväksi, että on typerää odottaa, että nyt putoavat uudet kasvot, jotka eivät ole vielä pudonneet, "koska emme ole saaneet numeroa 6 pitkään aikaan, mikä tarkoittaa, että se putoaa nyt".

Kuuntele, satunnaislukugeneraattorisi on rikki ...

Tämä johtaa meidät yleiseen väärinkäsitykseen todennäköisyydestä: olettamuksesta, että kaikilla tuloksilla on sama taajuus. lyhyeksi ajaksimikä ei todellakaan ole kyse. Jos heitämme noppaa useita kertoja, kummankin kasvon taajuus ei ole sama.

Jos olet koskaan työskennellyt verkkopelissä jonkinlaisen satunnaislukugeneraattorin kanssa, olet todennäköisesti törmännyt tilanteeseen, jossa pelaaja kirjoittaa tekniselle tuelle sanomalla, että satunnaislukugeneraattorisi on rikki eikä näytä satunnaislukuja. ja hän tuli tähän johtopäätökseen, koska hän oli juuri tappanut 4 hirviötä peräkkäin ja saanut 4 täysin samanlaista palkintoa, ja näiden palkkioiden pitäisi pudota vain 10 prosentissa tapauksista, joten tämä melkein ikinä ei pitäisi tapahtuu, mikä tarkoittaa sitä ilmeisestiettä satunnaislukugeneraattorisi on rikki.

Teet matemaattista laskutoimitusta. 1/10 * 1/10 * 1/10 * 1/10 vastaa yhtä 10000: sta, mikä tarkoittaa, että kyseessä on melko harvinainen tapaus. Sitä pelaaja yrittää kertoa sinulle. Onko tässä tapauksessa ongelmia?

Kaikki riippuu olosuhteista. Kuinka monta pelaajaa on palvelimellasi nyt? Oletetaan, että sinulla on melko suosittu peli ja 100 000 ihmistä pelaa sitä päivittäin. Kuinka monta pelaajaa tappaa neljä hirviötä peräkkäin? Kaikki on mahdollista, useita kertoja päivässä, mutta oletetaan, että puolet heistä yksinkertaisesti vaihtaa erilaisia \u200b\u200besineitä huutokaupoissa tai kirjoittaa uudelleen RP-palvelimille tai suorittaa muita pelitoimintoja, joten vain puolet heistä todella metsästää hirviöitä. Mikä on sen todennäköisyys jollekulle Pudotetaanko sama palkkio? Tässä tilanteessa voit odottaa, että sama palkkio voi pudota ainakin useita kertoja päivässä!

Muuten, joten näyttää siltä, \u200b\u200bettä ainakin muutaman viikon välein joku voittaa arpajaiset, vaikka joku ei koskaanei sinä tai ystäväsi. Jos tarpeeksi ihmisiä pelaa joka viikko, on todennäköistä, että ainakin tulee olemaan yksionnekas ... mutta jos sinäarpajaisten pelaaminen on vähemmän todennäköistä, että voitat työpaikan Infinity Wardissa.

Kartat ja riippuvuus

Olemme keskustelleet itsenäisistä tapahtumista, kuten noppien heittämisestä, ja nyt tiedämme monia tehokkaita työkaluja satunnaisuuden analysointiin monissa peleissä. Todennäköisyyden laskeminen on hieman hankalampaa, kun on kyse korttien poistamisesta pakasta, koska jokainen nostamamme kortti vaikuttaa kannen jäljellä oleviin korteihin. Jos sinulla on tavallinen 52 kortin pakkaus ja vedät esimerkiksi 10 sydäntä ja haluat tietää todennäköisyyden, että seuraava kortti on samanlainen, todennäköisyys on muuttunut, koska olet jo poistanut yhden kortin sydänpuvusta kannelta. Jokainen poistamasi kortti muuttaa seuraavan kannen todennäköisyyttä pakassa. Koska tässä tapauksessa edellinen tapahtuma vaikuttaa seuraavaan, kutsumme tätä todennäköisyyttä riippuvainen.

Huomaa, että kun sanon "kortit", tarkoitan minkä tahansa pelimekaniikka, jossa on joukko esineitä ja poistat yhden esineistä korvaamatta sitä, ”korttipakka” on tässä tapauksessa analoginen merkkipussiin, josta otat yhden merkin pois, et korvaa sitä, tai urnalla, josta otat värillisiä pallot (itse asiassa en ole koskaan nähnyt peliä, jossa olisi ollut urna värillisten pallojen ottamiseksi, mutta näyttää siltä, \u200b\u200bettä todennäköisyysteorian opettajat pitävät jostain syystä tätä esimerkkiä mieluummin).

Riippuvuusominaisuudet

Haluaisin selventää, että kun kyseessä on kortit, oletan, että vedät kortteja, katsot niitä ja poistat ne kannelta. Jokainen näistä toimista on tärkeä ominaisuus.

Jos minulla olisi paketti, esimerkiksi kuusi korttia, joiden numerot ovat 1–6, sekaisin ne ja otin yhden kortin ja sekoitin sitten kaikki kuusi korttia uudelleen, se olisi kuin heittäisi kuusisivuinen kuolla; yksi tulos ei vaikuta seuraavaan. Vain jos piirrän kortteja enkä vaihda niitä, tulos siitä, että piirrän kortin numerolla 1, lisää todennäköisyyttä, että seuraavan kerran kun vedän kortin numerolla 6 (todennäköisyys kasvaa, kunnes lopulta otan tämän kortin tai kunnes sekoitan kortteja).

Se, että me katsokorteissa on myös tärkeää. Jos otan kortin ulos kannesta enkä katso sitä, minulla ei ole lisätietoja, eikä todellisuus todennäköisesti muutu. Tämä saattaa kuulostaa epäluuloiselta. Kuinka yksinkertainen kortin kääntäminen voi maagisesti muuttaa todennäköisyyttä? Mutta tämä on mahdollista, koska voit laskea tuntemattomien objektien todennäköisyyden vain sen perusteella, että sinä tiedät kyllä... Esimerkiksi, jos sekoitat tavallisen korttipakan, paljastat 51 korttia ja mikään niistä ei ole seurojen kuningatar, tiedät 100% varmuudella, että jäljellä oleva kortti on klubien kuningatar. Jos sekoitat tavallisen korttipakan ja vedät 51 korttia, huolimattaheillä todennäköisyys siitä, että jäljellä oleva kortti on klubien kuningatar, on edelleen 1/52. Avaamalla jokaisen kortin saat lisätietoja.

Riippuvien tapahtumien todennäköisyyden laskeminen noudattaa samoja periaatteita kuin itsenäisten tapahtumien kohdalla, paitsi että se on hieman vaikeampi, koska todennäköisyydet muuttuvat, kun avaat kortteja. Siksi sinun on kerrottava useita eri arvoja saman arvon kertomisen sijaan. Tämä tarkoittaa itse asiassa sitä, että meidän on yhdistettävä kaikki tekemämme laskelmat yhdeksi yhdistelmäksi.

Esimerkki

Sekoitat tavallisen 52 kortin pakan ja vedät kaksi korttia. Mikä on mahdollisuus, että otat parin? Tämän todennäköisyyden laskemiseksi on useita tapoja, mutta ehkä yksinkertaisin on seuraava: Mikä on todennäköisyys, että kun otat yhden kortin, et voi vetää paria? Tämä todennäköisyys on nolla, joten sillä ei ole merkitystä, minkä ensimmäisen kortin vedät, kunhan se vastaa toista. Ei ole väliä kumpi kortti otetaan ensin, meillä on vielä mahdollisuus ottaa pari, joten todennäköisyys, että voimme ottaa parin ensimmäisen kortin ottamisen jälkeen, on 100%.

Mikä on todennäköisyys, että toinen kortti vastaa ensimmäistä? Kannessa on jäljellä 51 korttia ja 3 niistä yhtyy ensimmäisen kortin kanssa (oikeastaan \u200b\u200bniitä olisi 4 52: stä, mutta poistat jo yhden vastaavista korteista, kun otit ensimmäisen kortin!), Joten todennäköisyys on 1/17. (Joten seuraavan kerran, kun Texas Hold'emia pelaava poikasi poikasi sanoo: "Siisti, vielä yksi pari? Olen onnekas tänään", tiedät, että on melko suuri mahdollisuus bluffata.)

Entä jos lisäämme kaksi jokeria ja nyt meillä on 54 korttia pakassa, ja haluamme tietää, mikä on todennäköisyys ottaa pari pois? Ensimmäinen kortti voi olla jokeri, ja sitten pakkaus sisältää vain yksinkortti, ei kolme, jotka sopivat yhteen. Kuinka löydät todennäköisyyden tässä tapauksessa? Jaamme todennäköisyydet ja kerrotaan kukin mahdollisuus.

Ensimmäinen korttimme voi olla jokeri tai jokin muu kortti. Jokerin piirtämisen todennäköisyys on 2/54, minkä tahansa muun kortin vetämisen todennäköisyys on 52/54.

Jos ensimmäinen kortti on jokeri (2/54), todennäköisyys toisen kortin osumiselle ensimmäisen kanssa on 1/53. Kerro arvot (voimme kertoa ne, koska nämä ovat erillisiä tapahtumia ja haluamme molemmattapahtui) ja saamme 1/1431 - alle kymmenesosa prosentista.

Jos vedät ensin jonkin muun kortin (52/54), sattuman todennäköisyys toisen kortin kanssa on 3/53. Kerro arvot ja saa 78/1431 (hieman yli 5,5%).

Mitä teemme näillä kahdella tuloksella? Ne eivät ole päällekkäisiä, ja haluamme tietää todennäköisyyden kukinniistä, joten laskemme yhteen arvot! Saamme lopputuloksen 79/1431 (silti noin 5,5%).

Jos haluaisimme olla varmoja vastauksen oikeellisuudesta, voisimme laskea kaikkien muiden mahdollisten tulosten todennäköisyyden: ottamalla jokeri pois ja sovittamatta toista korttia tai vetämällä jonkin muun kortin ja ottamatta toisen kortin yhteen, ja summaamalla ne kaikki voiton todennäköisyydellä sai täsmälleen 100%. En anna matemaattista laskutoimitusta tässä, mutta voit yrittää laskea sen tarkistamaan.

Monty Hallin paradoksi

Tämä johtaa meidät melko tunnettuun paradoksiin, joka usein hämmentää monia - Monty Hallin paradoksi. Paradoksi on nimetty ”Let’s Make a Deal” -isännän Monty Hallin mukaan. Jos et ole koskaan nähnyt tätä ohjelmaa, se oli päinvastoin The Price Is Right TV -ohjelmaa. Kohteessa "Hinta on oikea" isäntä (aiemmin Bob Barker, nyt ... Drew Carey? Joka tapauksessa ...) on ystäväsi. onko hän haluaajoten voit voittaa rahaa tai hyviä palkintoja. Hän yrittää antaa sinulle kaikki mahdollisuudet voittaa, jos voit arvata, kuinka paljon sponsorien ostamat tavarat todella maksavat.

Monty Hall käyttäytyi eri tavalla. Hän oli kuin Bob Barkerin paha kaksos. Hänen tavoitteenaan oli saada sinut näyttämään idiootilta kansallisessa televisiossa. Jos olit näyttelyssä, hän oli vastustajasi, pelasit häntä vastaan, ja voittokerroin oli hänen hyväkseen. Olen ehkä liian ankara, mutta kun mahdollisuus tulla valituksi kilpailijaksi näyttää olevan suorassa suhteessa siihen, onko sinulla naurettavaa pukua vai ei, pääsen tällaiseen johtopäätökseen.

Mutta yksi näyttelyn tunnetuimmista meemeistä oli tämä: edessäsi oli kolme ovea, ja niitä kutsuttiin oveksi numero 1, ovi numero 2 ja ovi numero 3. Voit valita minkä tahansa oven ... ilmaiseksi! Yhden näistä ovista takana oli suuri palkinto, kuten uusi henkilöauto. Muiden ovien takana ei ollut palkintoja, näillä kahdella ovella ei ollut arvoa. Heidän tarkoituksenaan oli nöyryyttää sinua, ja siksi ei ollut, ettei heidän takanaan ollut mitään, heidän takanaan oli jotain tyhmää, esimerkiksi heidän takanaan oli vuohi tai valtava hammastahnaputki tai jotain ... jotain, mikä oli ei uusi henkilöauto.

Valitsit yhden ovista ja Monty oli avaamassa sitä, jotta tiedät voititko vai ei ... mutta odota, ennen kuin tiedämme, katsotaanpa yksi nuo ovet sinulle ei valittu... Koska Monty tietää, minkä oven takana palkinto on, ja palkintoja on vain yksi ja kaksi ovet, joita et ole valinnut, ei väliä mitä tahansa, hän voi aina avata oven, jolle ei ole palkintoa. "Valitsetko oven numero 3? Avaa sitten ovi 1 osoittaaksemme, ettei sen takana ollut palkintoa. " Ja nyt anteliaisuudesta hän tarjoaa sinulle mahdollisuuden vaihtaa valittu ovi numero 3 oven 2 takana olevalle ovelle. Tässä vaiheessa herää kysymys todennäköisyydestä: lisääkö mahdollisuus valita toinen ovi voittaa vai vähentääkö sitä, vai pysyykö se samana? Mitä mieltä sinä olet?

Oikea vastaus: kyky valita toinen ovi kasvaatodennäköisyys voittaa välillä 1/3 - 2/3. Tämä on epäloogista. Jos et ole aiemmin törmännyt tähän paradoksiin, ajattelet todennäköisesti: odota, avaamalla yhden oven, muutimme maagisesti todennäköisyyttä? Mutta kuten olemme jo nähneet esimerkissä yllä olevista korteista, tämä on tarkalleenmitä tapahtuu, kun saamme lisätietoja. On selvää, että todennäköisyys voittaa ensimmäisen kerran valitsemasi on 1/3, ja oletan, että kaikki ovat samaa mieltä. Kun yksi ovi avautuu, se ei muuta lainkaan todennäköisyyttä voittaa ensimmäisellä valinnalla, se on kuitenkin todennäköisyys 1/3, mutta tämä tarkoittaa, että todennäköisyys, että toinenoikea ovi on nyt 2/3.

Katsotaanpa tätä esimerkkiä toisesta näkökulmasta. Valitset oven. Todennäköisyys voittaa on 1/3. Ehdotan, että muutat kaksimuut ovet, mitä Monty Hall todella ehdottaa. Tietenkin hän avaa yhden ovista osoittaakseen, ettei sen takana ole palkintoa, mutta hän on ainavoi tehdä sen, joten se ei todellakaan muuta mitään. Tietysti haluat valita toisen oven!

Jos et ole aivan selvä tässä kysymyksessä ja tarvitset vakuuttavamman selityksen, napsauta tätä linkkiä siirtyäksesi upeaan pieneen Flash-sovellukseen, jonka avulla voit tutustua tähän paradoksiin tarkemmin. Voit pelata alkaen noin 10 ovesta ja siirtyä sitten vähitellen peliin, jossa on kolme ovea; siellä on myös simulaattori, jossa voit valita minkä tahansa määrän ovia 3-50 ja pelata tai suorittaa useita tuhansia simulaatioita ja nähdä kuinka monta kertaa voitit jos pelasit.

Huomautus korkeamman matematiikan opettajalta ja pelitasapainon asiantuntijalta Maxim Soldatovilta, jota Schreiberillä ei tietenkään ollut, mutta jota ilman on melko vaikea ymmärtää tätä maagista muutosta:

Valitse ovi, yksi kolmesta, todennäköisyys "voittaa" on 1/3. Nyt sinulla on kaksi strategiaa: vaihda väärän oven avaamisen jälkeen tai ei. Jos et muuta valintasi, todennäköisyys pysyy 1/3, koska valinta on vasta ensimmäisessä vaiheessa, ja sinun täytyy arvailla heti, jos muutat, voit voittaa, jos valitset väärän oven ensin (sitten ne avaavat toisen väärän, pysyy uskollisena, muutat päätöstäsi ja vain tee se)
Todennäköisyys valita väärä ovi alussa on 2/3, joten käy ilmi, että muuttamalla päätöstäsi voit voittaa 2 kertaa enemmän

Ja jälleen Monty Hallin paradoksista

Itse näyttelystä Monty Hall tiesi tämän, koska vaikka hänen kilpailijansa eivät olisikaan hyvät matematiikassa, hän ymmärtää sen hyvin. Tässä hän teki muuttaakseen peliä hieman. Jos valitsit oven, jonka takana palkinto sijaitsi, todennäköisyys on 1/3, se on ainatarjosi sinulle mahdollisuuden valita toinen ovi. Loppujen lopuksi valitsit henkilöauton ja vaihdat sen sitten vuoheksi ja näytät melko typerältä, mitä hän tarvitsee, koska hän on eräänlainen paha kaveri. Mutta jos valitset oven, jonka takana palkintoa ei tulevain puolivälissä Tällaisissa tapauksissa hän tarjoaa sinulle valita toisen oven, ja muissa tapauksissa hän yksinkertaisesti näyttää sinulle uuden vuohesi, ja sinä poistut lavalta. Analysoidaan tämä uusi peli, jossa Monty Hall voi valitatarjota sinulle mahdollisuuden valita toinen ovi vai ei.

Oletetaan, että hän noudattaa tätä algoritmia: jos valitset oven, jolla on palkinto, hän tarjoaa sinulle aina mahdollisuuden valita toinen ovi, muuten todennäköisyys, että hän tarjoaa sinulle valita toisen oven tai antaa vuohen, on 50/50. Mikä on voittosi todennäköisyys?

Yhdessä kolmesta vaihtoehdosta valitset heti oven, jonka takana palkinto sijaitsee, ja isäntä kutsuu sinut valitsemaan toisen oven.

Kahdesta muusta vaihtoehdosta kolmesta (valitset aluksi oven ilman palkintoa), puolessa tapauksista isäntä tarjoaa sinulle mahdollisuuden valita toinen ovi, ja toisessa puolessa tapauksista ei. Puolet 2/3 on 1/3, ts. yhdessä tapauksessa kolmesta saat vuohen, yhdessä tapauksessa kolmesta valitset väärän oven ja isäntä tarjoaa sinulle valita toisen ja yhdessä kolmesta valitset oikea ovi, ja hän pyytää sinua valitsemaan toisen oven.

Jos johtaja tarjoaa valita toisen oven, tiedämme jo, että yhtä tapausta kolmesta, kun hän antaa meille vuohen ja lähdemme, ei tapahtunut. Tämä on hyödyllistä tietoa, koska se tarkoittaa, että mahdollisuutemme voittaa ovat muuttuneet. Kahdessa tapauksessa kolmesta, kun meillä on mahdollisuus valita, yhdessä tapauksessa se tarkoittaa, että arvasimme oikein, ja toisessa arvasimme oikein, joten jos meille tarjottiin mahdollisuus valita ollenkaan, se tarkoittaa, että voittomme todennäköisyys on 50 / 50, eikä sitä ole matemaattinen edut, pysy valintasi kanssa tai valitse toinen ovi.

Kuten pokeri, se on nyt psykologinen peli, ei matemaattinen. Monty tarjosi sinulle valinnanvaraa, koska hän uskoo sinun olevan yksinkertainen ihminen, joka ei tiedä, että toisen oven valitseminen on ”oikea” päätös ja että pidät itsepäisesti valinnastasi kiinni, koska psykologisesti tilanne, kun valitsit auton, ja sitten menetti sen, kovemmin? Vai ajatteleeko hän, että olet älykäs ja valitset toisen oven, ja tarjoaa sinulle tämän mahdollisuuden, koska hän tietää, että arvasit alun perin oikein ja että olet koukussa ja loukussa? Tai ehkä hän on epätyypillisesti ystävällinen itselleen ja ajaa sinut tekemään jotain henkilökohtaisen edun vuoksi, koska hän ei ole antanut autoa pitkään aikaan, ja hänen tuottajansa kertovat hänelle, että yleisö kyllästyy ja olisi parempi, jos hän antaisi ison palkinnon pian jotta luokitukset eivät putoa?

Täten Monty onnistuu tarjoamaan valinnan (joskus) ja yleinen voittotodennäköisyys on edelleen 1/3. Muista, että todennäköisyys hävitä heti on 1/3. Todennäköisyys saada se heti on 1/3, ja 50% näistä tapauksista voitat (1/3 x 1/2 \u003d 1/6). Todennäköisyys arvata aluksi väärin, mutta sitten sinulla on mahdollisuus valita toinen ovi, on 1/3, ja 50% näistä tapauksista voitat (myös 1/6). Lisää kaksi itsenäistä voittomahdollisuutta, niin saat todennäköisyyden, joka on yhtä suuri kuin 1/3, joten ei ole väliä, pysytkö valinnassasi tai valitset toisen oven, voittosi todennäköisyys koko pelin ajan on yhtä suuri kuin 1/3 ... todennäköisyys ei tule suurempi kuin tilanteessa, jossa arvaat oven ja juontaja näyttää sinulle, mikä on tämän oven takana, ilman mahdollisuutta valita toista ovea! Joten mahdollisuus valita toinen ovi ei ole todennäköisyyden muuttaminen, vaan päätöksentekoprosessin tekeminen hauskemmaksi TV-katseluille.

Muuten, tämä on yksi syy siihen, miksi pokeri voi olla niin mielenkiintoinen: useimmissa kierrosten välisissä muodoissa, kun vedot tehdään (esimerkiksi floppi, turn ja river Texas Hold'emissa), kortit paljastuvat vähitellen, ja jos sinulla on sellainen pelin alussa todennäköisyys voittaa, sitten jokaisen panoskierroksen jälkeen, kun useampia kortteja on auki, tämä todennäköisyys muuttuu.

Poika ja tyttö -paradoksi

Tämä johtaa meidät toiseen tunnettuun paradoksiin, joka yleensä hämmentää kaikkia - pojan ja tytön paradoksi. Ainoa asia, josta kirjoitan tänään, ei liity suoraan peleihin (vaikka oletan, että tämä tarkoittaa vain sitä, että minun pitäisi viedä sinut luomaan sopiva pelimekaniikka). Se on enemmän palapeli, mutta mielenkiintoinen, ja sen ratkaisemiseksi sinun on ymmärrettävä ehdollinen todennäköisyys, josta puhuimme edellä.

Haaste: Minulla on ystävä, jolla on kaksi lasta, ainakin yksi lapsi on tyttö. Mikä on todennäköisyys, että toinen lapsi myöstyttö? Oletetaan, että missä tahansa perheessä tytön tai pojan mahdollisuus on 50/50, ja tämä pätee jokaiselle lapselle (itse asiassa joillakin miehillä on enemmän siittiöitä, joissa siemennesteessä on X- tai Y-kromosomi, joten todennäköisyys muuttuu hieman, jos tiedät sen yksi lapsi on tyttö, tytön syntymisen todennäköisyys on hieman suurempi, lisäksi on muitakin ehtoja, esimerkiksi hermafroditismi, mutta tämän ongelman ratkaisemiseksi emme ota tätä huomioon ja oletamme, että lapsen syntymä on itsenäinen tapahtuma ja todennäköisyys pojan syntymälle tai syntymälle. tytöt ovat samat).

Koska puhumme 1/2 mahdollisuudesta, odotamme intuitiivisesti vastauksen todennäköisimmin 1/2 tai 1/4 tai jonkin muun pyöreän kerrannaisen kahdesta. Mutta vastaus on: 1/3 ... Odota miksi?

Tässä tapauksessa vaikeus on, että meillä oleva tieto vähentää mahdollisuuksien määrää. Oletetaan, että vanhemmat ovat Seesamikadun faneja, ja riippumatta siitä, onko poika vai tyttö syntynyt, he nimeivät lapsensa A: ksi ja B: ksi. Normaaleissa olosuhteissa on neljä yhtä todennäköistä mahdollisuutta: A ja B ovat kaksi poikaa, A ja B ovat kaksi tyttöä, A on poika ja B on tyttö, A on tyttö ja B on poika. Koska tiedämme sen ainakin yksi lapsi on tyttö, voimme poistaa mahdollisuuden, että A ja B ovat kaksi poikaa, joten meille jää kolme (edelleen yhtä todennäköistä) mahdollisuutta. Jos kaikki mahdollisuudet ovat yhtä todennäköisiä ja niitä on kolme, tiedämme, että kunkin todennäköisyys on 1/3. Vain yhdessä näistä kolmesta vaihtoehdosta molemmat lapset ovat kaksi tyttöä, joten vastaus on 1/3.

Ja vielä kerran pojan ja tytön paradoksista

Ongelman ratkaisusta tulee vieläkin epäloogisempi. Kuvittele, jos kerron sinulle, että ystäväni on kaksi lasta ja yksi lapsi - tyttö, joka syntyi tiistaina... Oletetaan, että normaaleissa olosuhteissa todennäköisyys saada vauva jonain viikon seitsemästä päivästä on sama. Kuinka todennäköinen on, että toinen lapsi on myös tyttö? Saatat ajatella, että vastaus olisi edelleen 1/3; mitä tiistai tarkoittaa? Mutta tässä tapauksessa intuitio pettää meidät. Vastaus: 13/27 mikä ei ole vain intuitiivista, se on hyvin outoa. Mikä hätänä tässä tapauksessa?

Itse asiassa tiistai muuttaa todennäköisyyttä, koska emme tiedä kumpilapsi syntyi tiistaina tai mahdollisesti kaksi lasta syntyivät tiistaina. Tässä tapauksessa käytämme samaa logiikkaa kuin yllä, laskemme kaikki mahdolliset yhdistelmät, kun ainakin yksi lapsi on tyttö, joka syntyi tiistaina. Kuten edellisessä esimerkissä, oletetaan, että lapsille on annettu nimi A ja B, yhdistelmät ovat seuraavat:

• A - tiistaina syntynyt tyttö, B - poika (tässä tilanteessa on 7 mahdollisuutta, yksi jokaiselle viikonpäivälle, jolloin poika voisi syntyä).
• B - tyttö, joka syntyi tiistaina, A - poika (myös 7 mahdollisuutta).
• A - tyttö, joka syntyi tiistaina, B - tyttö, joka syntyi muut viikonpäivä (6 mahdollisuutta).
• B - tyttö, joka syntyi tiistaina, A - tyttö, joka ei ollut syntynyt tiistaina (myös 6 todennäköisyyttä).
• A ja B - kaksi tyttöä, jotka ovat syntyneet tiistaina (yksi mahdollisuus, sinun on kiinnitettävä tähän huomiota, jotta ei lasketa kahdesti).

Tiivistämme ja saamme 27 erilaista yhtä mahdollista yhdistelmää lasten syntymästä ja päivistä, ainakin yhdellä mahdollisuudella saada tyttö tiistaina. Näistä 13 on mahdollisuus, kun kaksi tyttöä syntyy. Se näyttää myös täysin epäloogiselta, ja näyttää siltä, \u200b\u200bettä tämä tehtävä luotiin vain aiheuttamaan päänsärkyä. Jos olet edelleen hämmentynyt tästä esimerkistä, peliteoreetikko Jesper Yule on selittänyt asian verkkosivustollaan.

Jos työskentelet parhaillaan pelin parissa ...

Jos suunnittelemassasi pelissä on satunnaisuutta, tämä on loistava tilaisuus analysoida sitä. Valitse jokin elementti, jonka haluat analysoida. Ensinnäkin kysy itseltäsi, mitä odotat tietyn elementin todennäköisyyden olevan, minkä uskot sen olevan pelin yhteydessä. Esimerkiksi, jos luot RPG: tä ja mietit, kuinka todennäköisen pelaajan on voittaa hirviö taistelussa, kysy itseltäsi, mikä prosenttiosuus voitosta näyttää sinulle oikealta. Yleensä konsoli-RPG: tä pelatessaan pelaajat turhautuvat häviämisen yhteydessä, joten on parasta, että he eivät menetä usein ... ehkä 10% ajasta tai vähemmän? Jos olet RPG-suunnittelija, tiedät todennäköisesti paremmin kuin minä, mutta sinulla on oltava perusajatus siitä, minkä todennäköisyyden pitäisi olla.

Kysy sitten itseltäsi, onko tämä jotain riippuvainen(kuten kortit) tai riippumaton(kuten noppaa). Tarkista kaikki mahdolliset tulokset ja niiden todennäköisyydet. Varmista, että kaikkien todennäköisyyksien summa on 100%. Lopuksi tietysti vertaa saavutettuja tuloksia odotuksiisi. Heitätkö noppaa tai piirrät kortteja haluamallasi tavalla, tai huomaat, että sinun on mukautettava arvoja. Ja tietenkin, jos sinä löytömitä on säädettävä, voit käyttää samoja laskelmia määrittääksesi, kuinka paljon sinun on mukautettava jotain!

Kotitehtävät

Tämän viikon "kotitehtäväsi" auttavat sinua hioa todennäköisiä työtaitojasi. Tässä on kaksi noppapeliä ja korttipeli, joita analysoit todennäköisyyden avulla, sekä outo pelimekaanikko, jonka kehitin kerran ja jonka avulla voit testata Monte Carlon menetelmää.

Peli numero 1 - Lohikäärmeen luut

Tämä on noppapeli, jonka keksimme kerran kollegojemme kanssa (kiitos Jeb Havensille ja Jesse Kingille!) Ja joka ottaa tarkoituksellisesti ihmisten aivot pois. Tämä on yksinkertainen kasinopeli nimeltä "Dragon Bones", ja se on uhkapelien noppakilpailu pelaajan ja talon välillä. Sinulle annetaan tavallinen 1d6 kuolla. Pelin tarkoituksena on heittää numero taloa korkeammalle. Tomille annetaan epätyypillinen 1d6 - sama kuin sinun, mutta toisella puolella olevan kuvan sijaan Dragon-kuva (kasinolla on siis Dragon-2-3-4-5-6-kuutio). Jos talo saa lohikäärmeen, se voittaa automaattisesti ja menetät. Jos saat molemmat saman numeron, se on tasapeli ja heität noppaa uudelleen. Eniten voittaja.

Kaikki ei tietenkään mene kokonaan pelaajan eduksi, koska kasinolla on etu Dragon's Edgen muodossa. Mutta onko se todella niin? Sinun täytyy selvittää se. Mutta ennen sitä tarkista intuitiosi. Oletetaan, että voitot ovat 2-1. Joten jos voitat, pidät panoksesi ja tuplaat. Esimerkiksi, jos lyöt vetoa $ 1 ja voitat, pidät sen dollarin ja saat 2 lisää ylhäältä yhteensä $ 3. Jos häviät, menetät vain panoksesi. Pelaisitko? Joten tunnetko intuitiivisesti, että todennäköisyys on suurempi kuin 2: 1, vai luuletko silti, että se on pienempi? Toisin sanoen, odotatko keskimäärin 3 ottelussa voittavan useammin kuin kerran, vähemmän tai kerran?

Kun intuitiosi on selvitetty, käytä matematiikkaa. Molemmille nopoille on vain 36 mahdollista paikkaa, joten voit laskea ne kaikki ilman ongelmia. Jos et ole varma tästä 2: 1-lauseesta, ajattele tätä: Oletetaan, että pelasit peliä 36 kertaa (vedonlyönti $ 1 joka kerta). Jokaisesta voitosta saat 2 dollaria, jokaisesta tappiosta menetät 1 dollarin, ja tasapeli ei muuta mitään. Laske kaikki todennäköiset voitot ja tappiot ja päätä, menetätkö jonkin verran dollareita vai voittoja. Kysy sitten itseltäsi, kuinka oikea intuitiosi oli. Ja sitten - ymmärrä mikä konna olen.

Ja kyllä, jos olet jo miettinyt tätä kysymystä - sekaan sinua tarkoituksellisesti vääristämällä nopapelien todellista mekaniikkaa, mutta olen varma, että voit voittaa tämän esteen vain hyvin paljon ajatellen. Yritä ratkaista tämä ongelma itse. Lähetän kaikki vastaukset tänne ensi viikolla.

Peli # 2 - Onnenheitto

Tämä on Lucky Roll -niminen noppapeli (myös Birdcage, koska joskus noppaa ei heitetä, vaan sijoitetaan suureen Bingo-häkkiä muistuttavaan lankahäkkiin). Se on yksinkertainen peli, joka supistuu tuollaiseksi: laita esimerkiksi 1 dollari luvulle 1-6. Sitten heität 3d6. Jokaisesta numeroon osuvasta kuolemasta saat $ 1 (ja pidä alkuperäinen panoksesi). Jos numerosi ei näy millään noppaa, kasino saa dollarin ja et saa mitään. Jos siis lyöt vetoa yhdestä ja saat 1 reunoilla kolme kertaa, saat 3 dollaria.

Intuitiivisesti tällä pelillä näyttää olevan yhtäläiset mahdollisuudet. Jokainen kuolla on yksilöllinen 1/6-voittomahdollisuus, joten kaikkien kolmen voiton mahdollisuutesi on 3–6. Muista kuitenkin tietysti, että lisäät kolme erillistä noppaa, ja voit lisätä vain, jos me puhumme saman kuoleman erillisistä voittoyhdistelmistä. Sinun on kerrottava jotain.

Kun olet selvittänyt kaikki mahdolliset tulokset (tämä on todennäköisesti helpompaa tehdä Excelissä kuin käsin, koska niitä on 216), peli näyttää silti oudolta ja tasaiselta ensi silmäyksellä. Mutta itse asiassa kasinolla on vielä enemmän mahdollisuuksia voittaa - kuinka paljon enemmän? Erityisesti kuinka paljon rahaa odotat keskimäärin menettävän jokaisesta pelikierroksesta? Sinun tarvitsee vain laskea kaikkien 216 tuloksen voitot ja tappiot ja jakaa sitten 216: lla, jonka pitäisi olla melko helppoa ... Mutta kuten näette, voit pudota muutamaan karhuun, minkä vuoksi kerron sinulle: jos luulet voittokertoimien olevan samat tässä pelissä, olet väärässä.

Peli # 3 - 5 Card Stud Poker

Jos olet lämmennyt edellisissä peleissä, tarkistetaan, mitä tiedämme ehdollisesta todennäköisyydestä tällä korttipelillä. Kuvitellaan erityisesti pokeria, jossa on 52 kortin pakkaus. Kuvitellaan myös 5 Card Stud, jossa jokainen pelaaja saa vain 5 korttia. Et voi hylätä korttia, et voi piirtää uutta, ei yhteistä pakkaa - saat vain 5 korttia.

Royal Flush on 10-J-Q-K-A toisessa kädessä, kaikkiaan on neljä, joten on neljä mahdollista tapaa saada Royal Flush. Laske todennäköisyys, että saat yhden tällaisen yhdistelmän.

Minun on varoitettava sinua yhdestä asiasta: muista, että voit piirtää nämä viisi korttia missä tahansa järjestyksessä. Eli aluksi voit piirtää ässän tai kymmenen, sillä ei ole väliä. Joten laskettaessa tätä, pidä mielessä, että on todella enemmän kuin neljä tapaa saada Royal Flush, jos kortit jaettiin kunnossa!

Peli nro 4 - IMF: n arpajaiset

Neljännen ongelman ratkaiseminen ei ole helppoa menetelmillä, joista puhuimme tänään, mutta voit simuloida tilannetta helposti ohjelmoinnin tai Excelin avulla. Tämän ongelman esimerkin avulla voit selvittää Monte Carlon menetelmän.

Mainitsin aiemmin pelin "Chron X", jonka parissa työskentelin, ja siellä oli yksi erittäin mielenkiintoinen kortti - IMF: n arpajaiset. Näin se toimi: käytit sitä pelissä. Kierroksen päättymisen jälkeen kortit jaettiin uudelleen, ja oli 10% mahdollisuus, että kortti poistuu pelistä ja että satunnainen pelaaja saa 5 yksikköä kutakin resurssityyppiä, jonka tunnus oli tällä kortilla. Kortti pantiin peliin ilman yhtä merkkiä, mutta joka kerta, kun se pysyi pelissä seuraavan kierroksen alussa, se sai yhden merkin. Joten oli 10% mahdollisuus, että tuot sen peliin, kierros päättyy, kortti poistuu pelistä, eikä kukaan saa mitään. Jos näin ei tapahdu (90%: n todennäköisyydellä), on 10% mahdollisuus (oikeastaan \u200b\u200b9%, koska tämä on 10% 90%: sta), että seuraavalla kierroksella hän jättää pelin ja joku saa 5 resurssia. Jos kortti lähtee pelistä yhden kierroksen jälkeen (10% käytettävissä olevasta 81%, joten todennäköisyys on 8,1%), joku saa 10 yksikköä, toisen kierroksen jälkeen - 15, toinen - 20 ja niin edelleen. Kysymys: Mikä on yleinen odotettu arvo resurssien määrälle, jonka saat tältä kortilta, kun se lopulta poistuu pelistä?

Tyypillisesti yritämme ratkaista tämän ongelman etsimällä kunkin tuloksen mahdollisuuden ja kertomalla kaikkien tulosten lukumäärällä. Joten on 10% mahdollisuus, että saat 0 (0,1 * 0 \u003d 0). 9% siitä, että saat 5 resurssiyksikköä (9% * 5 \u003d 0,45 resurssia). 8,1% siitä, mitä saat 10: stä (8,1% * 10 \u003d 0,81 kokonaisresursseja, odotettu arvo). Jne. Ja sitten laskisimme kaiken yhteen.

Nyt ongelma on sinulle ilmeinen: kortilla on aina mahdollisuus ei jättää pelin, jotta hän voi pysyä pelissä aina ja ikuisesti, lukemattomille kierroksille niin, että laskentamahdollisuudet kaikki mahdollisuudet ei ole olemassa. Tänään oppimamme menetelmät eivät anna meille mahdollisuutta laskea ääretöntä rekursiota, joten meidän on luotava se keinotekoisesti.

Jos olet tarpeeksi hyvä ohjelmoinnissa, kirjoita ohjelma, joka simuloi tätä korttia. Sinulla tulisi olla aikasilmukka, joka tuo muuttujan takaisin alkuperäiseen nolla-asentoonsa, näyttää satunnaisluvun ja on 10% mahdollisuus muuttujan menemiseen silmukasta. Muuten se lisää muuttujaan 5 ja silmukka toistaa. Kun se lopulta irtoaa silmukasta, lisää kokeilujen kokonaismäärää yhdellä ja resurssien kokonaismäärällä (kuinka paljon riippuu siitä, missä muuttuja pysähtyi). Nollaa sitten muuttuja ja aloita alusta. Suorita ohjelma useita tuhansia kertoja. Viime kädessä jaa kokonaisresurssit kokonaisajoilla - tämä on odotettavissa oleva Monte Carlon arvo. Suorita ohjelma useita kertoja varmistaaksesi, että saamasi numerot ovat suunnilleen samat; Jos leviäminen on edelleen suuri, lisää ulkosilmukan toistojen määrää, kunnes alat saada otteluita. Voit olla varma, että lopputuloksesi ovat suunnilleen oikeat.

Jos et tunne ohjelmointia (ja vaikka olisitkin perehtynyt), tässä on pieni harjoitus sinulle Excel-taitojesi lämmittämiseen. Jos olet pelisuunnittelija, Excel-taidot eivät ole koskaan tarpeettomia.

IF- ja RAND-toiminnot ovat nyt hyödyllisiä. RAND ei vaadi arvoja, se antaa vain satunnaisen desimaaliluvun välillä 0 ja 1. Yleensä yhdistämme sen FLOOR: n ja hyvien ja huonojen puolien kanssa simuloimaan muotin rullaa, jonka mainitsin aiemmin. Tässä tapauksessa jätämme kuitenkin vain 10%: n todennäköisyyden kortin poistumisesta pelistä, joten voimme vain tarkistaa, onko RAND-arvo alle 0,1, eikä enää vaivautua siihen.

IF: llä on kolme merkitystä. Järjestyksessä ehto, joka on joko totta tai ei, arvo, joka palautetaan, jos ehto on tosi, ja arvo, joka palautetaan, jos ehto ei ole totta. Joten seuraava toiminto palauttaa 5% ajasta ja 0 muuta 90% ajasta:
\u003d JOS (RAND ()<0.1,5,0)

Tämän komennon asettamiseksi on monia tapoja, mutta käytän tällaista kaavaa ensimmäistä kierrosta edustavalle solulle, sanotaan, että se on solu A1:

JOS (RAND ()<0.1,0,-1)

Tässä käytän negatiivista muuttujaa tarkoittaakseni "tämä kortti ei ole poistunut pelistä eikä ole vielä antanut resursseja". Joten jos ensimmäinen kierros on ohi ja kortti on poissa pelistä, A1 on 0; muuten se on -1.

Seuraava toista kierrosta edustava solu:

JOS (A1\u003e -1, A1, JOS (RAND ()<0.1,5,-1))

Joten jos ensimmäinen kierros on ohi ja kortti poistuu pelistä välittömästi, A1 on 0 (resurssien määrä), ja tämä solu yksinkertaisesti kopioi kyseisen arvon. Päinvastaisessa tapauksessa A1 on -1 (kortti ei ole vielä poistunut pelistä), ja tämä solu liikkuu edelleen satunnaisesti: 10% ajasta se palauttaa 5 yksikköä resursseja, lopun ajan sen arvo on edelleen -1. Jos sovellamme tätä kaavaa muihin soluihin, saamme lisää kierroksia, ja kumpi tahansa solu putoaa sinulle lopussa, saat lopullisen tuloksen (tai -1, jos kortti ei ole poistunut pelistä kaikkien pelattujen kierrosten jälkeen).

Ota tämä solurivi, joka on ainoa kierros tällä kortilla, ja kopioi ja liitä useita satoja (tai tuhansia) rivejä. Emme ehkä pysty siihen loputontesti Excelille (taulukossa on rajoitettu määrä soluja), mutta ainakin voimme kattaa useimmat tapaukset. Valitse sitten yksi solu, johon sijoitat kaikkien kierrosten tulosten keskiarvon (Excel tarjoaa ystävällisesti AVERAGE () -toiminnon tälle).

Windowsissa voit ainakin painaa F9 laskeaksesi kaikki satunnaisluvut. Kuten aiemmin, tee tämä useita kertoja ja katso, ovatko saamasi arvot samat. Jos leviäminen on liian leveä, kaksinkertaista ajoiden määrä ja yritä uudelleen.

Ratkaisemattomat tehtävät

Jos sinulla sattuu olemaan tohtorintodennäköisyys todennäköisyydessä ja yllä olevat ongelmat vaikuttavat sinulle liian helpoilta, tässä on kaksi ongelmaa, joista olen ollut hämmentävää vuosien ajan, mutta valitettavasti en ole niin hyvä matematiikassa niiden ratkaisemiseksi. Jos tiedät yhtäkkiä ratkaisun, lähetä se tänne kommentteihin, luen sen mielelläni.

Ratkaisematon ongelma numero 1: ArpajaisetIMF

Ensimmäinen ratkaisematon ongelma on edellinen kotitehtävä. Pystyn soveltamaan helposti Monte Carlon menetelmää (käyttäen C ++ tai Excel), ja olen varma vastauksesta kysymykseen "kuinka paljon resursseja pelaaja saa", mutta en tiedä tarkalleen, kuinka antaa tarkka todistettavissa oleva vastaus matemaattisesti (tämä on loputon sarja ). Jos tiedät vastauksen, lähetä se tähän ... tietysti tarkistettuasi sen Monte Carlon menetelmällä.

Ratkaisematon ongelma # 2: Muotojen sekvenssit

Tämä ongelma (ja jälleen kerran se menee paljon pidemmälle kuin tässä blogissa ratkaistut tehtävät) heitti minulle tuttu pelaaja yli 10 vuotta sitten. Hän huomasi yhden mielenkiintoisen ominaisuuden pelatessaan blackjackia Vegasissa: kun hän otti kengistään kortteja kahdeksalle kannelle, hän näki kymmenen kappaletta peräkkäin (pala tai pala kortti - 10, Joker, King tai Queen, joten tavallisessa 52 kortin pakassa on niitä 16, joten 416 kortin kengässä on 128). Mikä on todennäköisyys, että tässä kengässä vähintään yksi jakso kymmenen tai enemmänluvut? Oletetaan, että ne sekoitettiin rehellisesti, satunnaisessa järjestyksessä. (Tai jos pidät siitä paremmin, mikä on sen todennäköisyys ei tapahdu missään kymmenen tai useamman muodon sarja?)

Voimme yksinkertaistaa tehtävää. Tässä on 416-osainen sekvenssi. Jokainen kappale on 0 tai 1. Sekvenssissä on satunnaisesti hajallaan 128 kappaletta ja 288 nollaa. Kuinka monta tapaa leikata satunnaisesti 128 yksikköä 288 nollalla, ja kuinka monta kertaa näillä menetelmillä on vähintään yksi kymmenen tai useamman ryhmän ryhmä?

Joka kerta kun aloin ratkaista tätä ongelmaa, se tuntui minusta helpolta ja ilmeiseltä, mutta heti kun käsittelin yksityiskohtia, se yhtäkkiä hajosi ja näytti minulle vain mahdottomalta. Älä siis kiirehdi hämärtämään vastausta: istu alas, ajattele huolellisesti, tutki ongelman olosuhteita, yritä korvata reaaliluvut, koska kaikki ihmiset, joiden kanssa puhuin tästä ongelmasta (mukaan lukien useat tällä alalla työskentelevät jatko-opiskelijat) reagoivat suunnilleen samaan "Se on täysin selvää ... oi, ei, odota, ei lainkaan ilmeistä." Juuri tässä tapauksessa minulla ei ole tapaa laskea kaikkia vaihtoehtoja. Voisin varmasti raa'asti pakottaa ongelman tietokonealgoritmin avulla, mutta olisi paljon uteliaampaa tietää matemaattinen tapa ratkaista tämä ongelma.

Käännös - Y. Tkachenko, I. Mikheeva