Mitkä ovat siihen liittyvät kulmat ja niiden ominaisuudet. Mitä kulmia kutsutaan viereiseksi? Mikä on kahden vierekkäisen kulman summa

Geometria on hyvin monipuolinen tiede. Se kehittää logiikkaa, mielikuvitusta ja älykkyyttä. Tietenkin sen monimutkaisuuden ja valtava määrä teoreemia ja aksiomia, se ei aina pidä koululaisista. Lisäksi on tarpeen todistaa päätelmät jatkuvasti käyttämällä yleisesti hyväksyttyjä standardeja ja sääntöjä.

Liittyvät ja pystysuorat kulmat ovat olennainen osa geometriaa. Totisesti monet koululaiset yksinkertaisesti rakastavat heitä siitä syystä, että niiden ominaisuudet ovat selkeitä ja yksinkertaisia \u200b\u200btodisteita.

Kulmanmuodostus

Kaikki kulma muodostetaan ylittämällä kaksi suoraa tai kaksi palkkia yhdestä pisteestä. Niitä voidaan kutsua joko yhdeksi kirjeeksi tai kolmeksi, mikä on johdonmukaisesti merkitty kulman rakentamisen kohta.

Kulmat mitataan asteina ja voivat (riippuen niiden arvosta) kutsutaan eri tavalla. Joten, on suorakulma, terävä, tyhmä ja avattu. Jokainen nimike vastaa tiettyä määrää tai sen aukkoa.

Terävää kutsutaan kulmaksi, jonka mitta ei ylitä 90 astetta.

Tyhmä on yli 90 astetta.

Kulmaa kutsutaan suoraan siinä tapauksessa, kun sen asteen mitta on 90.

Siinä tapauksessa, kun se muodostuu yhdestä kiinteästä suoraviivasta ja sen asteen mitta on 180, sitä kutsutaan laajentuneeksi.

Kulmat, joilla on yhteinen puoli, jonka toinen puoli jatkuu toisiaan, kutsutaan vierekkäiseksi. Ne voivat olla sekä teräviä ja typeriä. Linjan ylittäminen muodostaa vierekkäiset kulmat. Ominaisuudet ovat seuraavat:

1. Tällaisten näkökulmien summa on 180 astetta (on lause, joka todistaa sen). Siksi voit helposti laskea yhden niistä, jos toinen tunnetaan.
2. Ensimmäisestä erästä seuraa, että vierekkäisiä kulmia ei voi muodostaa kahdella typerillä tai kahdella terävällä kulmalla.

Näiden ominaisuuksien ansiosta voit aina laskea kulman aste, jolla on toinen kulma tai ainakin niiden välinen suhde.

Pystysuorat kulmat

Kulmat, joiden aasit ovat toistensa jatkamista, kutsutaan pystysuoraan. Sellaisena pari voi suorittaa jokin niiden lajikkeet. Pystysuorat kulmat ovat aina yhtä suuria.

Ne on muodostettu ylittäessä suoria viivoja. Järjestetyt kulmat ovat aina mukana. Kulma voi olla samanaikaisesti vierekkäin toiselle ja pystysuoralle toiselle.

Kun ylittäessä mielivaltainen linja, useat useammat kulmat harkitsevat myös. Tällaista linjaa kutsutaan secantiksi, se muodostaa sopivia, yksipuolisia ja kulkevia kulmia. Ne ovat yhtä kuin toisilleen. Niitä voidaan harkita ominaisuuksien valossa, joissa on pystysuorat ja vierekkäiset kulmat.

Näin ollen kulmien teema on melko yksinkertainen ja ymmärrettävä. Kaikki niiden ominaisuudet on helppo muistaa ja todistaa. Tehtävien ratkaisu ei ole monimutkainen, ennen kuin kulmat vastaavat numeerista arvoa. Jo edelleen, kun synti ja cos alkaa, sinun on muistettava monia monimutkaisia \u200b\u200bkaavoja, päätelmiä ja seurauksia. Ja siihen asti voit yksinkertaisesti nauttia kevyistä haasteista, joissa vierekkäiset kulmat sinun täytyy löytää.

Kaksi kulmaa kutsutaan vierekkäisiksi, jos niillä on toinen sivu yhteinen ja muut näiden kulmien osapuolet ovat lisäsäteitä. Kuviossa 20 Aovin ja Brean liittyvien kulmat.

Viereiden kulmien summa on 180 °

Lause 1. Viereisten kulmien summa on 180 °.

Todisteita. Ra du (katso kuvio 1) kulkee laajennetun kulman sivujen välillä. siksi ∠ AOV + ∠ BREA \u003d 180 °.

Lauseesta 1 seuraa, että jos kaksi kulmaa ovat yhtä suuria, vierekkäiset kulmat ovat yhtä suuret.

Pystysuorat kulmat ovat yhtä suuria

Kaksi kulmaa kutsutaan pystysuoraksi, jos saman kulman sivut ovat muiden sivujen lisäradeja. AV- ja COD-, BOD- ja AOC-kulmat, jotka on muodostettu kahden suoran leikkauspisteen kanssa, ovat pystysuorat (kuvio 2).

Lause 2. pystysuorat kulmat ovat yhtä suuria.

Todisteita. Harkitse AOS: n ja turskan pystysuorat kulmat (katso kuvio 2). Käsi kulma on kunkin AOS: n ja turskan kulman vieressä. Teoreella 1 ∠ AOS + ∠ BOD \u003d 180 °, ∠ COD + ∠ BOD \u003d 180 °.

Täältä päätämme, että ∠ Ah \u003d ∠ COD.

Corollary 1. Kulma, vierekkäinen kulma on suora kulma.

Harkitse kahta leikkaavaa suoraa AC ja BD (kuva 3). Ne muodostavat neljä kulmaa. Jos yksi niistä on suora (kulma 1 kuviossa 3), jäljellä olevat kulmat ovat myös suorat (kulmat 1 ja 2, 1 ja 4 - vierekkäiset, kulmat 1 ja 3 - pystysuorat). Tässä tapauksessa he sanovat, että nämä suorat leikkaavat suorassa kulmassa ja niitä kutsutaan kohtisuoriksi (tai keskenään kohtisuoraan). Suorien puhujien ja BD: n kohtisuoraus on esitetty seuraavasti: AC ⊥ BD.

Segmentin kohtisuorassa olevaa keskeistä kutsutaan suoraan, kohtisuoraan tähän segmenttiin ja kulkee keskellä.

En - kohtisuora suoraan

Harkitse suoraa A- ja kohta A, joka ei makaa siinä (kuva 4). Liitä segmentin kohta suoralla pisteellä a. Segmenttiä kutsutaan kohtisuoraan, joka on tehty pisteestä A ohjaamaan A, jos suora ja kohtisuora. Piste H kutsutaan kohtisuoran pohjaksi.

Piirustus

Seuraava teoremi on voimassa.

Lause 3. Mistä tahansa pisteestä, joka ei ole linjalla, voit suorittaa kohtisuorassa tämän suoran linjan ja vain yhden.

Suorita kohtisuorassa piirustuksessa pisteestä suoralle viidalle, käytetään piirustuspakkausta (kuvio 5).

Kommentti. Teoreen formulaatio koostuu tavallisesti kahdesta osasta. Yhdessä osassa sanotaan, että se annetaan. Tätä osaa kutsutaan teoreen tilaan. Toisessa osassa sanotaan, että se olisi osoitettava. Tätä osaa kutsutaan teorian päätyttyä. Esimerkiksi teoremin 2 tila - pystysuoran kulmat; Päätelmä - nämä kulmat ovat yhtä suuria.

Kaikki teorema voidaan ilmaista yksityiskohtaisesti sanoina niin, että sen tila alkaa sanan "jos", ja johtopäätös on sana "että". Esimerkiksi teorem 2 voidaan ilmaista yksityiskohtaisesti tämän: "Jos kaksi kulmaa pystysuoraan, ne ovat yhtä suuret."

Esimerkki 1. Yksi viereisistä kulmista on 44 °. Mikä on toinen?

Päätös. Merkitse toisen kulman aste X: n kautta, sitten teoremin 1 mukaan.
44 ° + X \u003d 180 °.
Tuloksena olevan yhtälön ratkaiseminen havaitsemme, että X \u003d 136 °. Näin ollen toinen kulma on 136 °.

Esimerkki 2. Oletetaan kuviossa 21, turiskulma on 45 °. Mitkä ovat AOS: n ja AOS: n kulmat?

Päätös. COD- ja AOG-pystysuorat kulmat, joten teoremin 1.2 mukaan ne ovat yhtä suuret, eli ∠ AOS \u003d 45 °. COD-kulman vieressä oleva AOC tarkoittaa, että teorema 1.
∠ AOC \u003d 180 ° - ∠ COD \u003d 180 ° - 45 ° \u003d 135 °.

Esimerkki 3. Löydä vierekkäiset kulmat, jos yksi niistä on 3 kertaa enemmän kuin toinen.

Päätös. Merkitsee astetta pienempi kulma X: n kautta. Sitten suuremman kulman aste on sq. Koska vierekkäisten kulmien summa on 180 ° (lause 1), sitten x + зх \u003d 180 °, jossa x \u003d 45 °.
Joten vierekkäiset kulmat ovat 45 ° ja 135 °.

Esimerkki 4. Kahden pystysuuntaisen kulman summa on 100 °. Etsi kunkin neljän kulman suuruus.

Päätös. Antakaa ongelma vastaa ongelmaa 2. AOS: n pystysuorat turskaa kulmat ovat yhtä suuret (lause 2), mikä tarkoittaa, että niiden tutkintotoimenpiteet ovat yhtä suuret. Siksi ∠ COD \u003d ∠ AO \u003d 50 ° (niiden summa tila on 100 °). BOD-kulma (myös AOS: n kulma), joka vieressä COD-kulma, ja siksi lause 1
∠ BOD \u003d ∠ AOS \u003d 180 ° - 50 ° \u003d 130 °.

Alkuperäiset kulmat tiedot

Anna meille kaksi mielivaltaista säteilyä. Jätämme heidät toisiinsa. Sitten

Määritelmä 1.

Kulmaa kutsutaan kahdeksi palkkeiksi, joilla on sama alku.

Määritelmä 2.

Piste, joka on säteiden alku määritelmän 3 puitteissa, kutsutaan tämän kulman yläreunaan.

Kulma merkitään seuraavalla kolmella pinnalla: Vertex, piste yhdellä säteellä ja toisella säteellä oleva kohta ja kulman yläosa kirjoitetaan sen nimeämisen keskelle (kuvio 1).

Määrittelemme nyt, mitä kulman suuruus on.

Tehdä tämä, sinun on valittava jonkinlainen "viite" kulma, jota otamme yksikköä kohti. Useimmiten tämä kulma on kulma, joka on yhtä suuri kuin $ + frac (1) (180) $ osat laajennetusta kulmasta. Tällaista suuruutta kutsutaan asteiksi. Kun olet valinnut tällaisen kulman, vietämme kulmien vertailun, jonka arvo on löytää.

On 4 erilaista kulmaa:

Määritelmä 3.

Kulmaa kutsutaan teräväksi, jos se on alle 90 dollaria ^ 0 dollaria.

Määritelmä 4.

Kulmaa kutsutaan tyhmäksi, jos se on yli 90 dollaria ^ 0 $.

Määritelmä 5.

Kulmaa kutsutaan avautumattomaksi, jos se on 180 dollaria ^ 0 $.

Määritelmä 6.

Kulmaa kutsutaan suoraan, jos se on 90 dollaria ^ 0 $.

Tällaisten edellä kuvattujen kulmien lisäksi kulmatyypit voidaan erottaa suhteessa toisiinsa, nimittäin pystysuoraan ja vierekkäisiin kulmiin.

Liittyvät kulmat

Harkitse yksityiskohtaista kulmaa $ COB $. Hänen huipput suoritetaan $ OA $. Tämä säde jaetaan kahteen kulmaan. Sitten

Määritelmä 7.

Kaksi kulmaa kutsutaan vierekkäiseksi, jos yksi pari niiden sivuista on yksityiskohtainen kulma ja toinen pari vastaa (kuvio 2).

Tässä tapauksessa COA $ ja $ Boa $ kulmat ovat vieressä.

Teorem 1.

Viereiden kulmien summa on 180 dollaria ^ 0 $.

Todisteita.

Harkitse kuva 2.

Määritelmällä 7 $ Cob $ kulma on 180 dollaria ^ 0 $. Koska vierekkäisten kulmien sivun toinen pari on samansuuntainen, sitten $ OA $ Ray jaetaan yksityiskohtaisella kulmalla 2: llä

$ ∠Coa + ∠boa \u003d 180 ^ 0 $

Teorem on osoitettu.

Harkitse ratkaisua ongelmaan tämän konseptin kanssa.

Esimerkki 1.

Etsi kulma $ c $ alla olevasta kuvasta

Määritelmällä 7 saamme, että $ BDA $ ja $ ADC $ kulmat ovat vieressä. Näin ollen lause 1, saamme

$ ∠bda + ∠adc \u003d 180 ^ 0 $

$ ∠Adc \u003d 180 ^ 0-∠bda \u003d 180〗 0-59 ^ 0 \u003d 121 ^ 0 $

Teoreja kolmiossa kulmien määrästä, meillä on

$ ∠A + ∠ADC + ∠C \u003d 180 ^ 0 $

$ ∠c \u003d 180 ^ 0-∠A-∠Adc \u003d 180 ^ 0-19 ^ 0-121 ^ 0 \u003d 40 ^ 0 $

Vastaus: $ 40 ^ 0 $.

Pystysuorat kulmat

Harkitse markkina-arvot $ AOB $ ja $ MOC $. Yhteensopivat yläosat keskenään (toisin sanoen rikkomme pisteen $ O "$ per piste $ O $), jotta näiden kulmien sivuja ei ole samansuuntaisia. Sitten

Määritelmä 8.

Kaksi kulmaa kutsutaan pystysuoraksi, jos niiden osapuolten parit avautuvat kulmat ja niiden arvot ovat samat (kuvio 3).

Tässä tapauksessa Corners of $ MOA $ ja $ BOC $ ovat vertikaalisia ja kulmia $ mob $ ja $ AOC $ myös pystysuora.

Teorem 2.

Pystysuorat kulmat ovat keskenään.

Todisteita.

Harkitse kuva 3. Todista esimerkiksi $ MOA $ -kulma on yhtä suuri kuin $ BOC $.

Kaksi kulmaa sijoitetaan yhteen suoralle linjalle ja jolla on yksi kärki, jota kutsutaan viereiseksi.

Muussa tapauksessa, jos kahden kulman summa yhdellä suoralla linjalla on 180 astetta ja yksi puoli on yleinen, niin nämä ovat vierekkäisiä kulmia.

1 vierekkäinen kulma + 1 vierekkäinen kulma \u003d 180 astetta.

Liittyvät kulmat ovat kaksi kulmaa, jossa toinen puoli on yleinen ja kaksi muuta osapuolta muodostavat yleensä suoran linjan.

Kahden vierekkäisen kulman summa on aina 180 astetta. Esimerkiksi, jos yksi kulma on 60 astetta, toinen on välttämättä 120 astetta (180-60).

AC- ja VOS-kulmat ovat vierekkäisiä kulmia, koska kaikki viereisten kulmien ominaisuudet havaitaan:

1. Kahden kulman merikappale

2.Ao-foror AOC: n kulman, Os-ydinkulman kulman. Yhdessä nämä osapuolet muodostavat suoran AOS: n.

3. Kaksi ja niiden summa on 180 astetta.

Geometrian koulukurssin muistaminen voimme sanoa vierekkäisistä kulmista seuraavasti:

viereisissä kulmissa - yksi puoli on yleinen, ja muut kaksi osapuolta kuuluu yhteen suoralle linjalle, eli on yksi suoraviiva. Jos kuvassa, pöllöiden ja WA: n kulmat ovat vierekkäisiä kulmia, joiden summa on aina 180, koska ne erottavat yksityiskohtaisen kulman ja yksityiskohtainen kulma on aina 180.



Liittyvät kulmat valon käsitteen geometryssä. Liittyvät kulmat, kulma ja kulma antaa yhteensä 180 astetta.

Kaksi vierekkäistä kulmaa - se on yksi yksityiskohtainen kulma.

On olemassa useita muita ominaisuuksia. Viereisiin kulmiin, tehtävä on ratkaista ja teoreet osoittavat helposti.

Liittyvät kulmat muodostuvat palkin aikana mielivaltaisesta pisteestä suoraan. Sitten tämä mielivaltainen kohta osoittautuu kulman huippu, säde - viereisten kulmien yleinen puoli ja jonka säde tapahtuu vierekkäisten kulmien kaksi jäljellä olevaa sivua. Liittyvät kulmat voivat olla yhtä samankaltaisia \u200b\u200bkohtisuorassa ja eroavat kaltevuudesta. On helppoa ymmärtää, että vierekkäisten kulmien summa on 180 astetta tai yksinkertaisesti suoraviiva. Toisessa kulmassa voidaan selittää yksinkertaisella esimerkillä - siirtyi ensin yhdestä suunnasta suorassa linjassa, sitten muutti mieleni, päätti palata ja käyttöön 180 astetta samaan suuntaan.



Joten, mikä on viereinen kulma? Määritelmä:

Viereinen on kaksi kulmaa, jolla on yhteinen kärki ja yksi yhteinen puoli, jossa kaksi muuta sivua näistä kulmista makaa yhdellä suoralla linjalla.



Ja pieni video-oppitunti, jossa järkevä näkyy viereisistä kulmista, pystysuorista kulmasta ja kohtisuorista suorista viivoista, jotka ovat erityisiä vierekkäisiä ja pystysuoraisia \u200b\u200bkulmia

Liittyvät kulmat ovat kulmat, joita toinen puoli on yleinen ja toinen on yksi rivi.

Liittyvät kulmat ovat kulmia, jotka riippuvat toisistaan. Toisin sanoen, jos koko stron pyörii hieman, yksi kulma laskee millä tahansa asteella ja automaattisesti toinen kulma lisää samoja tutkintoja. Tämä vierekkäisten kulmien ominaisuus mahdollistaa geometrian ratkaista erilaisia \u200b\u200btehtäviä ja käyttää todisteita eri teoreemista.

Viereisten kulmien kokonaismäärä on aina 180 astetta.



Geometrian kulusta (niin paljon kuin muistan luokan 6) vierekkäinen on kaksi kulmaa, jossa toinen puoli on yleinen ja muut osapuolet ovat lisäsäteitä, vierekkäisten kulmien summa on 180. Kukin kahdesta vierekkäisestä kulmasta täydentävät muut ennen laajennettua kulmaa. Esimerkki viereisistä kulmista:



Liittyvät kulmat ovat kaksi kulmaa, joilla on yhteinen kärki, jonka toinen puoli on yleinen ja jäljellä olevat osapuolet sijaitsevat yhdellä suoralla linjalla (ei samaan aikaan). Viereisten kulmien määrä on yhtä sata kahdeksankymmentä astetta. Yleensä kaikki tämä on hyvin helposti Googlessa tai oppikirjan geometriassa.

1. Liittyvät kulmat.

Jos jatkamme sen yläosassa olevaa sivua, saamme kaksi kulmaa (kuva 72): ∠AVs ja ∠svd, joilla on toinen puoli aurinkoa, ja kaksi muuta, AB ja CD muodostavat a suora viiva.

Kaksi kulmaa, jossa yksi puoli on yleinen ja kaksi muuta muodostavat suora viiva, kutsutaan vierekkäisiin kulmiin.

Liittyvät kulmat voidaan saada ja siten: Jos jossakin vaiheessa on palkki (ei makaa tällä linjalla), saamme sitten vierekkäisiä kulmia.

Esimerkiksi ∠ADF ja ∠FDV ovat vierekkäisiä kulmia (kuva 73).

Liittyvät kulmat voivat olla monenlaisia \u200b\u200bpaikkoja (kuva 74).

Viereiset kulmat summa muodostavat laajennetun kulman kahden vierekkäisen kulman summa on 180 °

Täältä suorakulma voidaan määritellä kulmaan, joka on yhtä suuri kuin sen viereinen kulma.

Tietäen yhden vierekkäisen kulman suuruuden, voimme löytää toisen kulman koon.

Esimerkiksi jos jokin vierekkäisistä kulmista on 54 °, toinen kulma on yhtä suuri kuin:

180 ° - 54 ° \u003d L26 °.

2. Pystysuorat kulmat.

Jos jatkamme nurkan sivua sen yläosassa, saamme pystysuorat kulmat. Kuviossa 75, EOF-kulmat ja AOS pystysuorat; Kulmat ovat OO ja Co - myös pystysuora.

Kaksi kulmaa kutsutaan pystysuoraksi, jos saman kulman sivut ovat muiden kulmien sivujen jatkuminen.

Olkoon ∠1 \u003d \\ (\\ frac (7) (8) \\) ⋅ 90 ° (kuva 76). Sen vieressä oleva ∠2 on 180 ° - (1 frac (7) (8)) ⋅ 90 °, toisin sanoen 1 \\ (\\ frac (1) (8) \\ t ⋅ 90 °.

Samalla tavalla voit laskea, mikä on ∠3 ja ∠4.

∠3 \u003d 180 ° - 1 \\ (1 frac (1) (8) \\) ⋅ 90 ° \u003d \\ (7) (8) \\ t ⋅ 90 °;

∠4 \u003d 180 ° - ((7) (8)) ⋅ 90 ° \u003d 1 \\ (1 \\ (1) (8) \\) ⋅ 90 ° (kuva 77).

Näemme, että ∠1 \u003d ∠3 ja ∠2 \u003d ∠4.

Voit ratkaista lisää samoista tehtävistä ja joka kerta, kun sama tulos saadaan: pystysuorat kulmat ovat yhtä suuria kuin toisiaan.

Varmista kuitenkin, että pystysuorat kulmat ovat aina yhtä kuin toisilleen, ei riitä pohtimaan erillisiä numeerisia esimerkkejä, koska yksityisten esimerkkien perusteella tehdyt päätelmät voivat joskus olla virheellisiä.

Varmista, että pystysuorakulmien ominaisuuksien oikeus on välttämätöntä todisteena.

Todiste voidaan suorittaa seuraavasti (kuva 78):

∠a +.∠c. \u003d 180 °;

∠b +.∠c. \u003d 180 °;

(Koska viereisten kulmien summa on 180 °).

∠a +.∠c. = ∠b +.∠c.

(Koska tämän tasa-arvon vasen puoli on 180 ° ja sen oikea osa on myös 180 °).

Tämä tasa-arvo sisältää saman kulman. peräkkäin.

Jos olemme yhtä suuret yhtä suuret arvot, se pysyy yhtä lailla. Tämän seurauksena se osoittautuu: ∠a. = ∠b., ts. Vertikaaliset kulmat ovat yhtä suuria.

3. Kulmien summa, jolla on yhteensä kärki.

Piirustuksessa 79 ∠1, ∠2, ∠3 ja ∠4 sijaitsevat suoran toisella puolella ja niillä on yhteensä kärki tässä suorassa. Näiden kulmien määrässä on laajennettu kulma, ts.

∠1 + ∠2 + ∠3 + ∠4 \u003d 180 °.

Piirustuksessa 80 ∠1, ∠2, ∠3, ∠4 ja ∠5 on täydellinen kärki. Määrässä nämä kulmat muodostavat täydellisen kulman, eli ∠1 + ∠2 + ∠3 + ∠4 + ∠5 \u003d 360 °.