Monomiaalin käsite. Vakiotyyppinen monomi

Alustavat tiedot monomeista sisältävät selvennyksen, että mikä tahansa monomi voidaan pelkistää vakiomuotoon. Alla olevassa materiaalissa tarkastelemme tätä asiaa yksityiskohtaisemmin: määritämme tämän toiminnon merkityksen, määrittelemme vaiheet, joiden avulla voit asettaa monomin vakiomuodon, ja myös vahvistaa teoriaa ratkaisemalla esimerkkejä.

Monomiaalin vakiomuotoon muuntamisen arvo

Monomiaalin kirjoittaminen vakiomuotoon tekee sen kanssa työskentelemisestä mukavampaa. Monomiaalit annetaan usein epästandardissa muodossa, ja sitten on tarpeen suorittaa identtiset muunnokset tietyn monomin saattamiseksi vakiomuotoon.

Määritelmä 1

Monomiaalin pelkistys vakiomuotoon Onko asianmukaisten toimien (identtisten muunnosten) suorittaminen monomialla sen tallentamiseksi vakiomuotoon.

Menetelmä monomiaalin pelkistämiseksi vakiomuotoon

Määritelmästä seuraa, että epätyypillisen muodon monomi on lukujen, muuttujien ja niiden asteiden tulo, kun taas niiden toisto on mahdollista. Vakiomuotoinen monomi puolestaan ​​sisältää tietueessaan vain yhden luvun ja ei-toistuvia muuttujia tai niiden asteita.

Jos haluat muuttaa epätyypillisen monominin vakiomuotoon, sinun on käytettävä seuraavaa sääntö monomialin pelkistämiseksi vakiomuotoon:

• ensimmäinen askel on ryhmitellä numeeriset tekijät, samat muuttujat ja niiden asteet;
• toinen vaihe on laskea lukujen tulot ja soveltaa asteiden ominaisuutta samoilla kantakantoilla.

Esimerkkejä ja ratkaisuja

Monomiaali annetaan 3 x 2 x 2 . Se on saatettava vakiomuotoon.

Ratkaisu

Ryhmitetään numeeriset tekijät ja kertoimet muuttujalla x, jolloin annettu monomi saa muotoa: (3 2) (x x 2) .

Suluissa oleva tuote on 6. Sovellettaessa potenssien kertomissääntöä samoilla perusteilla esitämme suluissa olevan lausekkeen seuraavasti: x 1 + 2 = x 3... Tuloksena saadaan vakiomuotoinen monomi: 6 · x 3.

Yhteenveto ratkaisusta näyttää tältä: 3 x 2 x 2 = (3 2) (x x 2) = 6 x 3.

Vastaus: 3 x 2 x 2 = 6 x 3.

Esimerkki 2

Monomiaali on annettu: a 5 b 2 a m (- 1) a 2 b. Se on saatettava vakiomuotoon ja ilmoitettava sen kerroin.

Ratkaisu

tietyn monomin merkinnöissä on yksi numeerinen tekijä: - 1, siirrämme sen alkuun. Sitten ryhmitellään tekijät muuttujalla a ja tekijät muuttujalla b. Muuttujaa m ei ole mihinkään ryhmiteltävä, jätämme sen alkuperäiseen muotoonsa. Listattujen toimien tuloksena saamme: - 1 · a 5 · a · a 2 · b 2 · b · m.

Suoritetaan toiminnot potenssien ollessa suluissa, jolloin monomi saa vakiomuodon: (- 1) · a 5 + 1 + 2 · b 2 + 1 · m = (- 1) · a 8 · b 3 · m . Tästä merkinnästä voimme helposti määrittää monomin kertoimen: se on yhtä suuri kuin -1. On täysin mahdollista korvata miinusyksikkö miinusmerkillä: (- 1) · a 8 · b 3 · m = - a 8 · b 3 · m.

Yhteenveto kaikista toimista näyttää tältä:

a 5 b 2 a m (- 1) a 2 b = (- 1) (a 5 a a 2) (b 2 b) m = = (- 1) a 5 + 1 + 2 b 2 + 1 m = (- 1) ) a 8 b 3 m = - a 8 b 3 m

Vastaus:

a 5 b 2 a m (- 1) a 2 b = - a 8 b 3 m, annetun monomin kerroin on - 1.

Jos huomaat tekstissä virheen, valitse se ja paina Ctrl + Enter

Monomiaalit ovat yksi koulun algebran kurssilla tutkituista päälausekkeista. Tässä materiaalissa kerromme, mitä nämä lausekkeet ovat, määrittelemme niiden vakiomuodon ja näytämme esimerkkejä sekä käsittelemme niihin liittyviä käsitteitä, kuten monomin aste ja sen kerroin.

Mikä on monomi

Koulukirjoissa tälle käsitteelle annetaan yleensä seuraava määritelmä:

Määritelmä 1

Monomiaalit sisältävät lukuja, muuttujia sekä niiden asteita luonnollisella indikaattorilla ja niistä koostuvia erilaisia ​​teoksia.

Tämän määritelmän perusteella voimme antaa esimerkkejä tällaisista ilmauksista. Joten kaikki luvut 2, 8, 3004, 0, - 4, - 6, 0, 78, 1 4, - 4 3 7 viittaavat monomeihin. Kaikki muuttujat, esimerkiksi x, a, b, p, q, t, y, z, ovat myös määritelmän mukaan monomialeja. Tämä sisältää myös muuttujien ja lukujen asteet, esimerkiksi 6 3, (- 7, 41) 7, x 2 ja t 15, sekä lausekkeet muodossa 65 x, 9 (- 7) x y 3 6, x x y 3 x y 2 z jne. Huomaa, että monomi voi sisältää joko yhden luvun tai muuttujan tai useita, ja ne voidaan mainita useita kertoja osana yhtä polynomia.

Sellaiset numerotyypit kuin kokonaiset, rationaaliset, luonnolliset viittaavat myös monomeihin. Se voi sisältää myös reaali- ja kompleksilukuja. Joten lausekkeet muotoa 2 + 3 · i · x · z 4, 2 · x, 2 · π · x 3 ovat myös monomeja.

Mikä on monomin vakiomuoto ja kuinka lauseke muunnetaan siihen

Työn helpottamiseksi kaikki monomiaalit johtavat ensin erityiseen muotoon, jota kutsutaan standardiksi. Muotoilkaamme tarkasti, mitä tämä tarkoittaa.

Määritelmä 2

Vakiotyyppinen monomi kutsua sitä sellaiseksi muodoksi, jossa se on numeerisen tekijän ja eri muuttujien luonnollisten potenssien tulos. Numeerinen tekijä, jota kutsutaan myös monomin kertoimeksi, kirjoitetaan yleensä ensin vasemmalle puolelle.

Selvyyden vuoksi valitsemme useita vakiomuotoisia monomialeja: 6 (tämä on monomi ilman muuttujia), 4 · a, - 9 · x 2 · y 3, 2 3 5 · x 7. Tämä sisältää myös ilmaisun x v(tässä kerroin on yhtä suuri kuin 1), - x 3(tässä kerroin on -1).

Nyt annamme esimerkkejä monomeista, jotka on vähennettävä vakiomuotoon: 4 a 2 ja 3(tässä sinun täytyy yhdistää samat muuttujat), 5 x (- 1) 3 v 2(tässä sinun on yhdistettävä vasemmalla olevat numeeriset tekijät).

Yleensä kun monomilla on useita kirjaimin kirjoitettuja muuttujia, kirjaintekijät kirjoitetaan aakkosjärjestyksessä. Esimerkiksi on parempi kirjoittaa 6 a b 4 c z 2, Miten b 4 6 a z 2 c... Järjestys voi kuitenkin olla erilainen, jos laskennan tarkoitus sitä vaatii.

Mikä tahansa monomi voidaan pelkistää vakiomuotoon. Tätä varten sinun on suoritettava kaikki tarvittavat identtiset muunnokset.

Monomiaalin asteen käsite

Mukana oleva monomiasteen käsite on erittäin tärkeä. Kirjoita tämän käsitteen määritelmä muistiin.

Määritelmä 3

Monomiaalinen tutkinto, kirjoitettu vakiomuotoon, on kaikkien sen tietueeseen sisältyvien muuttujien eksponentien summa. Jos siinä ei ole muuttujaa ja itse monomi on eri kuin 0, sen aste on nolla.

Otetaan esimerkkejä monomian asteista.

Esimerkki 1

Siten monomilla a on aste 1, koska a = a 1. Jos meillä on monomi 7, niin sillä on nolla-aste, koska siinä ei ole muuttujia ja se on eri kuin 0. Ja tässä on merkintä 7 a 2 x y 3 a 2 on 8. asteen monomi, koska siihen sisältyvien muuttujien kaikkien asteiden eksponentien summa on yhtä suuri kuin 8: 2 + 1 + 3 + 2 = 8 .

Standardimuotoon pelkistetyllä monomilla ja alkuperäisellä polynomilla on sama aste.

Esimerkki 2

Näytämme kuinka monomiaalin aste lasketaan 3 x 2 v 3 x (- 2) x 5 v... Vakiomuodossaan se voidaan kirjoittaa muodossa - 6 x 8 v 4... Laskemme tutkinnon: 8 + 4 = 12 ... Siksi alkuperäisen polynomin aste on myös 12.

Monomiaalin kertoimen käsite

Jos meillä on vakiomuotoon pelkistetty monomi, joka sisältää vähintään yhden muuttujan, puhumme siitä tuotteena, jolla on yksi numeerinen tekijä. Tätä kerrointa kutsutaan numeeriseksi kertoimeksi tai monomin kertoimeksi. Kirjoitetaan määritelmä ylös.

Määritelmä 4

Monomin kerroin on monomin numeerinen tekijä, joka on pelkistetty standardimuotoon.

Otetaan esimerkiksi erilaisten monomien kertoimet.

Esimerkki 3

Eli ilmaisussa 8 ja 3 kerroin on numero 8 ja in (- 2, 3) x y z he aikovat − 2 , 3 .

Erityistä huomiota tulee kiinnittää kertoimiin, jotka ovat yhtä ja miinus yksi. Niitä ei yleensä mainita erikseen. Uskotaan, että vakiomuotoisessa monomissa, jossa ei ole numeerista tekijää, kerroin on yhtä suuri kuin 1, esimerkiksi lausekkeissa a, xz 3, atx, koska niitä voidaan pitää 1 a, xz 3 - miten 1 x z 3 jne.

Samoin monomeissa, joissa ei ole numeerista kerrointa ja jotka alkavat miinusmerkillä, voimme harkita kerrointa - 1.

Esimerkki 4

Esimerkiksi lausekkeilla - x, - x 3 y z 3 on tällainen kerroin, koska ne voidaan esittää muodossa - x = (- 1) x, - x 3 y z 3 = (- 1) x 3 yz 3 jne. .

Jos monomilla ei ole yhtään kirjaintekijää, niin tässäkin tapauksessa voidaan puhua kertoimesta. Tällaisten monomilukujen kertoimet ovat itse numeroita. Joten esimerkiksi monomin 9 kerroin on 9.

Jos huomaat tekstissä virheen, valitse se ja paina Ctrl + Enter

Tällä oppitunnilla annamme monominin tiukan määritelmän, tarkastelemme erilaisia ​​esimerkkejä oppikirjasta. Muistakaamme säännöt, jotka koskevat asteiden kertomista samoilla perusteilla. Määritetään monomin standardimuoto, monomin kerroin ja sen kirjainosa. Tarkastellaan kahta tyypillistä perustoimintoa monomeilla, nimittäin pelkistämistä vakiomuotoon ja monomin tietyn numeerisen arvon laskemista sen aakkosmuuttujien annetuille arvoille. Muotoilkaamme sääntö monominin pelkistämiseksi vakiomuotoon. Opimme ratkaisemaan tyypillisiä ongelmia millä tahansa monomialilla.

Aihe:Monomiaalit. Aritmeettiset operaatiot monomiaaleille

Oppitunti:Monomiaalin käsite. Vakiotyyppinen monomi

Harkitse joitain esimerkkejä:

3. ;

Etsitään yhteisiä piirteitä annetuille lausekkeille. Kaikissa kolmessa tapauksessa lauseke on potenssiin korotettujen lukujen ja muuttujien tulo. Tämän perusteella annamme monomiaalinen määritelmä : Monomiaali on algebrallinen lauseke, joka koostuu asteiden ja lukujen tulosta.

Annamme nyt esimerkkejä lausekkeista, jotka eivät ole monomialeja:

Etsitään näiden lausekkeiden ero edellisiin verrattuna. Se koostuu siitä, että esimerkeissä 4-7 on yhteen-, vähennys- tai jakooperaatioita, kun taas esimerkeissä 1-3, jotka ovat monomeja, näitä operaatioita ei ole.

Tässä on lisää esimerkkejä:

Lauseke 8 on monomi, koska se on potenssin tulo luvulla, kun taas esimerkki 9 ei ole monomi.

Otetaan nyt selvää toimet monomeilla .

1. Yksinkertaistaminen. Harkitse esimerkkiä #3. ja esimerkki # 2 /

Toisessa esimerkissä näemme vain yhden kertoimen -, jokainen muuttuja esiintyy vain kerran, eli muuttuja " a"Esitetään yhtenä kappaleena, kuten" ", samoin muuttujat" "ja" "esiintyvät vain kerran.

Päinvastoin, esimerkissä # 3 on kaksi eri kerrointa - ja näemme muuttujan "" kahdesti - muodossa "" ja "", samoin muuttuja "" esiintyy kahdesti. Eli tätä ilmaisua pitäisi yksinkertaistaa, joten tulemme siihen ensimmäinen monomille suoritettava toimenpide on saattaa monomi vakiomuotoon ... Tätä varten tuodaan lauseke esimerkistä 3 vakiomuotoon, määritetään sitten tämä operaatio ja opitaan saattamaan mikä tahansa monomi vakiomuotoon.

Joten, harkitse esimerkkiä:

Ensimmäinen vaihe vakiomuotoon muuntamisessa on aina kertoa kaikki numeeriset tekijät:

;

Tämän toiminnon tulosta kutsutaan monomikerroin .

Seuraavaksi sinun on kerrottava asteet. Kerromme muuttujan tehot " X"Asteiden kertomisen säännön mukaan samoilla kantakantoilla, joka sanoo, että kertomalla eksponentit laskevat yhteen:

nyt moninkertaistamme voimat" klo»:

;

Joten tässä on yksinkertaistettu ilmaus:

;

Mikä tahansa monomi voidaan pelkistää vakiomuotoon. Muotoillaan standardointisääntö :

Kerro kaikki numeeriset tekijät;

Aseta tuloksena oleva kerroin ensimmäiseksi;

Kerro kaikki asteet, eli hanki kirjainosa;

Eli jokaiselle monomialle on ominaista kerroin ja kirjainosa. Tulevaisuudessa huomaamme, että monomialeja, joilla on sama kirjainosa, kutsutaan samanlaisiksi.

Nyt sinun täytyy treenata tekniikka, jolla monomiaalit pelkistetään vakiomuotoon ... Harkitse esimerkkejä opetusohjelmasta:

Tehtävä: tuo monomi vakiomuotoon, nimeä kerroin ja kirjainosa.

Tehtävän suorittamiseksi käytämme sääntöä monomialin pelkistämiseksi vakiomuotoon ja asteiden ominaisuuksiin.

1. ;

3. ;

Kommentteja ensimmäisestä esimerkistä: Ensin selvitetään, onko tämä lauseke todella monomi, tätä varten tarkistamme, sisältääkö se lukujen ja potenssien kertomisoperaatioita ja sisältääkö se yhteen-, vähennys- tai jakooperaatioita. Voimme sanoa, että tämä lauseke on monomi, koska yllä oleva ehto täyttyy. Lisäksi monomiaalin vakiomuotoon pelkistämistä koskevan säännön mukaisesti kerromme numeeriset tekijät:

- löysimme tietyn monomin kertoimen;

; ; ; eli lausekkeen kirjaimellinen osa vastaanotetaan :;

kirjoita vastaus ylös:;

Kommentteja toisesta esimerkistä: Sääntöä noudattaen suoritamme:

1) kerro numeeriset tekijät:

2) kerro potenssit:

Muuttujat esitetään yhtenä kappaleena, eli niitä ei voi kertoa millään, ne kirjoitetaan uudelleen ilman muutoksia, aste kerrotaan:

Kirjoitetaan vastaus muistiin:

;

Tässä esimerkissä monomin kerroin on yksi ja aakkosellinen osa on.

Kolmannen esimerkin kommentit: a Taksittain edellisiin esimerkkeihin nähden suoritamme toiminnot:

1) kerro numeeriset tekijät:

;

2) kerro potenssit:

;

kirjoita vastaus:;

Tässä tapauksessa monomin kerroin on "" ja kirjainosa .

Harkitse nyt toinen vakiotoiminto monomeilla ... Koska monomi on algebrallinen lauseke, joka koostuu kirjaimellisista muuttujista, jotka voivat ottaa tiettyjä numeerisia arvoja, meillä on aritmeettinen numeerinen lauseke, joka on laskettava. Eli seuraava polynomien operaatio on laskemalla niiden erityistä numeerista arvoa .

Katsotaanpa esimerkkiä. Monomiaali annetaan:

tämä monomi on jo pelkistetty vakiomuotoon, sen kerroin on yhtä suuri kuin yksi, ja kirjainosa

Aiemmin sanoimme, että algebrallista lauseketta ei aina voida laskea, eli sen sisältämät muuttujat eivät voi saada mitään arvoa. Monomin tapauksessa siihen sisältyvät muuttujat voivat olla mitä tahansa, tämä on monomin ominaisuus.

Joten annetussa esimerkissä on laskettava monomin arvo kohdassa,,,.

Huomasimme, että mikä tahansa monomi voi olla tuoda vakiomuotoon... Tässä artikkelissa selvitetään, mitä kutsutaan monomin vähentämiseksi vakiomuotoon, mitkä toimet mahdollistavat tämän prosessin suorittamisen, ja harkitsemme esimerkkien ratkaisuja yksityiskohtaisilla selityksillä.

Sivulla navigointi.

Mitä monomiaalin saattaminen vakiomuotoon tarkoittaa?

Monomien kanssa on kätevää työskennellä, kun ne on kirjoitettu vakiomuodossa. Monomiaalit annetaan kuitenkin melko usein muussa kuin vakiomuodossa. Näissä tapauksissa voidaan aina siirtyä alkuperäisestä monomiaalista vakiomuotoiseen monomiin suorittamalla identtisiä muunnoksia. Tällaisten muunnosten suorittamisprosessia kutsutaan monomin pelkistämiseksi standardimuotoon.

Yleistetään yllä olevaa päättelyä. Tuo monomi vakiomuotoon- se tarkoittaa sellaisten identtisten muunnosten suorittamista sen kanssa niin, että se saa vakiomuodon.

Kuinka saada monomi vakiomuotoon?

On aika selvittää, kuinka monomiaalit saatetaan vakiomuotoon.

Kuten määritelmästä tiedetään, epästandardit monomit ovat lukujen, muuttujien ja niiden asteiden ja mahdollisesti toistuvien tuloja. Vakiomuotoinen monomi voi sisältää tietueessaan vain yhden luvun ja ei-toistuvia muuttujia tai niiden asteita. Nyt on vielä ymmärrettävä, kuinka ensimmäisen tyypin teokset saatetaan toisen muotoon?

Tätä varten sinun on käytettävä seuraavaa sääntö monomiaalin pelkistämisestä vakiomuotoon koostuu kahdesta vaiheesta:

• Ensin suoritetaan numeeristen tekijöiden ryhmittely, samoin kuin samat muuttujat ja niiden asteet;
• Toiseksi lukujen tulo lasketaan ja sovelletaan.

Soinnillisen säännön soveltamisen seurauksena kaikki monomiaalit pienennetään vakiomuotoon.

Esimerkkejä, ratkaisuja

On vielä opittava soveltamaan edellisen kappaleen sääntöä esimerkkejä ratkaistaessa.

Esimerkki.

Pienennä monomi 3 · x · 2 · x 2 sen vakiomuotoon.

Ratkaisu.

Ryhmitetään numeeriset tekijät ja tekijät muuttujan x kanssa. Ryhmittelyn jälkeen alkuperäinen monomi saa muotoa (3 · 2) · (x · x 2). Ensimmäisissä suluissa olevien lukujen tulo on 6, ja potenssien kertomissääntö samalla kantaluvulla sallii toisissa suluissa olevan lausekkeen esittämisen muodossa x 1 + 2 = x 3. Tuloksena saadaan vakiomuotoinen polynomi 6 · x 3.

Tässä lyhyt yhteenveto ratkaisusta: 3 x 2 x 2 = (3 2) (x x 2) = 6 x 3.

Vastaus:

3 x 2 x 2 = 6 x 3.

Jotta monomi saadaan vakiomuotoon, sinun on osattava ryhmitellä tekijöitä, kertoa luvut ja työskennellä potenssien kanssa.

Materiaalin vahvistamiseksi ratkaisemme vielä yhden esimerkin.

Esimerkki.

Esitä monomi vakiomuodossa ja ilmoita sen kerroin.

Ratkaisu.

Alkuperäisellä monomilla on ainutlaatuinen numeerinen tekijä −1 merkinnöissään, siirrämme sen alkuun. Tämän jälkeen ryhmittelemme tekijät erikseen muuttujalla a, erikseen - muuttujalla b, eikä muuttujaa m ole mihinkään ryhmitellä, jätämme sen sellaisenaan, meillä on ... Suoritettuasi toimintoja, joissa potenssit ovat suluissa, monomi saa tarvitsemamme vakiomuodon, josta näemme monomin kertoimen, joka on yhtä suuri kuin −1. Miinus yksi voidaan korvata miinusmerkillä:.