Murtolukulausekkeen logaritmi. Luonnollinen logaritmi, ln x -funktio

Koti / Pettävä vaimo

Jatkamme logaritmien tutkimista. Tässä artikkelissa puhumme logaritmien laskeminen, tätä prosessia kutsutaan logaritmi. Ensin käsitellään logaritmien laskentaa määritelmän mukaan. Mieti seuraavaksi, kuinka logaritmien arvot löydetään niiden ominaisuuksien avulla. Sen jälkeen keskitymme logaritmien laskemiseen muiden logaritmien alun perin annettujen arvojen kautta. Lopuksi opitaan käyttämään logaritmitaulukoita. Koko teoria sisältää esimerkkejä yksityiskohtaisine ratkaisuineen.

Sivulla navigointi.

Logaritmien laskeminen määritelmän mukaan

Yksinkertaisimmissa tapauksissa on mahdollista suorittaa nopeasti ja helposti logaritmin löytäminen määritelmän mukaan. Katsotaanpa tarkemmin, kuinka tämä prosessi tapahtuu.

Sen ydin on esittää lukua b muodossa a c, jolloin logaritmin määritelmän mukaan luku c on logaritmin arvo. Eli määritelmän mukaan logaritmin löytäminen vastaa seuraavaa yhtälöketjua: log a b=log a a c =c .

Joten logaritmin laskenta perustuu määritelmän mukaan sellaisen luvun c löytämiseen, että a c \u003d b, ja itse luku c on logaritmin haluttu arvo.

Ottaen huomioon edellisten kappaleiden tiedot, kun logaritmin merkin alla oleva luku annetaan logaritmin perustan tietyllä asteella, voit heti osoittaa, mikä logaritmi on yhtä suuri - se on yhtä suuri kuin eksponentti. Näytämme esimerkkejä.

Esimerkki.

Etsi log 2 2 −3 ja laske myös e:n luonnollinen logaritmi 5.3 .

Ratkaisu.

Logaritmin määritelmän avulla voimme heti sanoa, että log 2 2 −3 = −3 . Todellakin, logaritmin etumerkin alla oleva luku on yhtä suuri kuin -3 potenssin kanta 2.

Samalla tavalla löydämme toisen logaritmin: lne 5.3 =5.3.

Vastaus:

log 2 2 −3 = −3 ja lne 5,3 =5,3 .

Jos logaritmin merkin alla olevaa lukua b ei anneta logaritmin kannan potenssina, sinun on harkittava huolellisesti, onko mahdollista saada luku b esitys muodossa a c . Usein tämä esitys on melko ilmeinen, varsinkin kun logaritmin etumerkin alla oleva luku on yhtä suuri kuin kanta luvun 1, 2 tai 3 potenssiin ...

Esimerkki.

Laske logaritmit log 5 25 , ja .

Ratkaisu.

On helppo nähdä, että 25=5 2 , jolloin voit laskea ensimmäisen logaritmin: log 5 25=log 5 5 2 =2 .

Jatkamme toisen logaritmin laskemista. Luku voidaan esittää 7:n potenssina: (katso tarvittaessa). Siten, .

Kirjoitetaan kolmas logaritmi uudelleen seuraavaan muotoon. Nyt voit nähdä sen , mistä päättelemme sen . Siksi logaritmin määritelmän mukaan .

Lyhyesti, ratkaisu voitaisiin kirjoittaa seuraavasti:

Vastaus:

log 5 25=2 , ja .

Kun riittävän suuri luonnollinen luku on logaritmin merkin alla, ei ole haittaa sen jakamisesta alkutekijöiksi. Usein on hyödyllistä esittää tällainen luku logaritmin kantapään potenssina ja siksi laskea tämä logaritmi määritelmän mukaan.

Esimerkki.

Etsi logaritmin arvo.

Ratkaisu.

Joidenkin logaritmien ominaisuuksien avulla voit määrittää logaritmien arvon välittömästi. Näitä ominaisuuksia ovat ykkösen logaritmin ominaisuus ja kantaa vastaavan luvun logaritmin ominaisuus: log 1 1=log a a 0 =0 ja log a a=log a a 1 =1 . Eli kun luku 1 tai luku a on logaritmin merkin alla, yhtä suuri kuin logaritmin kanta, niin näissä tapauksissa logaritmit ovat vastaavasti 0 ja 1.

Esimerkki.

Mitkä ovat logaritmit ja lg10?

Ratkaisu.

Koska , se seuraa logaritmin määritelmästä .

Toisessa esimerkissä logaritmin etumerkin alla oleva luku 10 on sama kuin sen kanta, joten kymmenen desimaalilogaritmi on yhtä suuri kuin yksi, eli lg10=lg10 1 =1 .

Vastaus:

JA lg10=1.

Huomaa, että logaritmien laskeminen määritelmän mukaan (jota käsittelimme edellisessä kappaleessa) edellyttää yhtälön log a a p =p käyttöä, joka on yksi logaritmien ominaisuuksista.

Käytännössä, kun logaritmin etumerkin alla oleva luku ja logaritmin kanta esitetään helposti jonkin luvun potenssina, on erittäin kätevää käyttää kaavaa , joka vastaa yhtä logaritmien ominaisuuksista. Harkitse esimerkkiä logaritmin löytämisestä, joka kuvaa tämän kaavan käyttöä.

Esimerkki.

Laske logaritmi .

Ratkaisu.

Vastaus:

Laskennassa käytetään myös logaritmien ominaisuuksia, joita ei ole mainittu yllä, mutta puhumme tästä seuraavissa kappaleissa.

Logaritmien etsiminen muiden tunnettujen logaritmien perusteella

Tämän kappaleen tiedot jatkavat aihetta logaritmien ominaisuuksien käytöstä laskennassa. Mutta tässä suurin ero on se, että logaritmien ominaisuuksia käytetään ilmaisemaan alkuperäinen logaritmi toisella logaritmilla, jonka arvo tunnetaan. Otetaan esimerkki selvyyden vuoksi. Oletetaan, että tiedämme, että log 2 3≈1.584963 , niin voimme löytää esimerkiksi log 2 6 tekemällä pienen muunnoksen logaritmin ominaisuuksilla: log 2 6=log 2 (2 3)=log 2 2+log 2 3≈ 1+1,584963=2,584963 .

Yllä olevassa esimerkissä meille riitti käyttää tuotteen logaritmin ominaisuutta. Kuitenkin paljon useammin joudut käyttämään laajempaa logaritmien ominaisuuksien arsenaalia laskeaksesi alkuperäisen logaritmin annetuilla.

Esimerkki.

Laske logaritmi luvusta 27 kantaan 60, jos tiedetään, että log 60 2=a ja log 60 5=b .

Ratkaisu.

Joten meidän on löydettävä loki 60 27 . On helppo nähdä, että 27=3 3 , ja alkuperäinen logaritmi voidaan asteen logaritmin ominaisuuden vuoksi kirjoittaa uudelleen muotoon 3·log 60 3 .

Katsotaan nyt kuinka log 60 3 voidaan ilmaista tunnetuilla logaritmeilla. Kantalukua vastaavan luvun logaritmin ominaisuus mahdollistaa yhtälön logarin kirjoittamisen 60 60=1 . Toisaalta log 60 60=log60(2 2 3 5)= log 60 2 2 +log 60 3+log 60 5= 2 log 60 2+log 60 3+log 60 5 . Tällä tavalla, 2 log 60 2+log 60 3+log 60 5=1. Siten, log 60 3=1-2 log 60 2-log 60 5=1-2 a-b.

Lopuksi lasketaan alkuperäinen logaritmi: log 60 27=3 log 60 3= 3 (1−2 a−b)=3−6 a−3 b.

Vastaus:

log 60 27=3 (1–2 a–b)=3–6 a–3 b.

Erikseen on syytä mainita kaavan merkitys siirtymiselle muodon logaritmin uuteen kantaan . Sen avulla voit siirtyä logaritmeista millä tahansa kantalla logaritmeihin, joilla on tietty kanta, joiden arvot ovat tiedossa tai ne on mahdollista löytää. Yleensä alkuperäisestä logaritmista siirtymäkaavan mukaan ne siirtyvät logaritmeihin jossakin kannassa 2, e tai 10, koska näille kamille on logaritmitaulukot, jotka mahdollistavat niiden arvojen laskemisen tietyssä määrin. tarkkuudesta. Seuraavassa osiossa näytämme, kuinka tämä tehdään.

Logaritmitaulukot, niiden käyttö

Logaritmien arvojen likimääräiseen laskemiseen voidaan käyttää logaritmitaulukot. Yleisimmin käytettyjä ovat 2 kanta logaritmitaulukko, luonnollinen logaritmitaulukko ja desimaalilogaritmitaulukko. Desimaalilukujärjestelmässä työskennellessä on kätevää käyttää logaritmien taulukkoa kymmenen perustana. Sen avulla opimme löytämään logaritmien arvot.

Esitetyn taulukon avulla voidaan löytää kymmenen tuhannesosan tarkkuudella lukujen desimaalilogaritmien arvot välillä 1.000 - 9.999 (kolmen desimaalin tarkkuudella). Analysoimme logaritmin arvon löytämisen periaatetta käyttämällä desimaalilogaritmien taulukkoa tietyllä esimerkillä - se on selkeämpi. Etsitään lg1,256.

Desimaalilogaritmien taulukon vasemmasta sarakkeesta löydämme luvun 1,256 kaksi ensimmäistä numeroa, eli löydämme 1,2 (tämä luku on ympyröity sinisellä selvyyden vuoksi). Numeron 1.256 kolmas numero (numero 5) löytyy ensimmäiseltä tai viimeiseltä riviltä kaksoisrivin vasemmalla puolella (tämä numero on ympyröity punaisella). Alkuperäisen luvun 1.256 neljäs numero (numero 6) löytyy ensimmäiseltä tai viimeiseltä riviltä kaksoisrivin oikealla puolella (tämä numero on ympyröity vihreällä). Nyt löydämme numerot logaritmitaulukon soluista merkityn rivin ja merkittyjen sarakkeiden leikkauspisteestä (nämä numerot on korostettu oranssilla). Merkittyjen lukujen summa antaa desimaalilogaritmin halutun arvon neljänteen desimaaliin asti, eli log1.236≈0.0969+0.0021=0.0990.

Onko mahdollista löytää yllä olevan taulukon avulla desimaalilogaritmien arvot numeroista, joissa on enemmän kuin kolme numeroa desimaalipilkun jälkeen ja jotka ylittävät myös rajat 1 - 9,999? Kyllä sinä voit. Näytämme esimerkin avulla, miten tämä tehdään.

Lasketaan lg102.76332 . Ensin sinun täytyy kirjoittaa numero vakiomuodossa: 102.76332=1.0276332 10 2 . Sen jälkeen mantissa tulee pyöristää ylöspäin kolmanteen desimaaliin 1,0276332 10 2 ≈1,028 10 2, kun taas alkuperäinen desimaalilogaritmi on suunnilleen yhtä suuri kuin tuloksena olevan luvun logaritmi, eli otamme lg102.76332≈lg1.028·10 2 . Käytä nyt logaritmin ominaisuuksia: lg1,028 10 2 = lg1,028+lg10 2 = lg1,028+2. Lopuksi löydetään logaritmin lg1.028 arvo desimaalilogaritmien taulukon mukaan lg1.028≈0.0086+0.0034=0.012. Tämän seurauksena koko logaritmin laskentaprosessi näyttää tältä: lg102.76332=lg1.0276332 10 2 ≈lg1.028 10 2 = lg1,028+lg10 2 = lg1,028+2≈0,012+2=2,012.

Lopuksi on syytä huomata, että desimaalilogaritmien taulukon avulla voit laskea minkä tahansa logaritmin likimääräisen arvon. Tätä varten riittää, että käytät siirtymäkaavaa siirtyäksesi desimaalilogaritmiin, löytääksesi niiden arvot taulukosta ja suorittaaksesi loput laskelmat.

Lasketaan esimerkiksi log 2 3 . Logaritmin uuteen kantaan siirtymisen kaavan mukaan meillä on . Desimaalilogaritmien taulukosta löydämme lg3≈0,4771 ja lg2≈0,3010. Tällä tavalla, .

Bibliografia.

Kolmogorov A.N., Abramov A.M., Dudnitsyn Yu.P. ja muut Algebra ja analyysin alku: Oppikirja yleisten oppilaitosten luokille 10-11.
Gusev V.A., Mordkovich A.G. Matematiikka (käsikirja teknisiin kouluihin hakijoille).

Logaritmiset lausekkeet, esimerkkien ratkaisu. Tässä artikkelissa tarkastellaan logaritmien ratkaisemiseen liittyviä ongelmia. Tehtävissä nostetaan esiin kysymys ilmaisun merkityksen löytämisestä. On huomattava, että logaritmin käsitettä käytetään monissa tehtävissä ja on erittäin tärkeää ymmärtää sen merkitys. Tentin osalta logaritmia käytetään yhtälöiden ratkaisemisessa, sovellettavissa tehtävissä sekä funktioiden tutkimiseen liittyvissä tehtävissä.

Tässä on joitain esimerkkejä logaritmin merkityksen ymmärtämiseksi:

Logaritmisen perusidentiteetti:

Logaritmien ominaisuudet, jotka tulee aina muistaa:

* Tuloksen logaritmi on tekijöiden logaritmien summa.

* * *

* Osamäärän (murto-osan) logaritmi on yhtä suuri kuin tekijöiden logaritmien välinen erotus.

* * *

* Potentin logaritmi on yhtä suuri kuin eksponentin tulo sen kantaluvun logaritmilla.

* * *

* Siirtyminen uuteen tukikohtaan

* * *

Lisää kiinteistöjä:

* * *

Logaritmien laskenta liittyy läheisesti eksponenttiominaisuuksien käyttöön.

Luettelemme joitain niistä:

Tämän ominaisuuden ydin on, että kun osoittaja siirretään nimittäjään ja päinvastoin, eksponentin etumerkki käännetään. Esimerkiksi:

Tämän ominaisuuden seuraus:

* * *

Kun teho nostetaan tehoon, kanta pysyy samana ja indikaattorit kerrotaan.

* * *

Kuten olet nähnyt, logaritmin käsite on yksinkertainen. Pääasia, että tarvitset hyvää harjoitusta, joka antaa tietyn taidon. Tietysti kaavojen tuntemus vaaditaan. Jos alkeislogaritmien muuntamisen taitoa ei muodostu, voit helposti tehdä virheen ratkaiseessasi yksinkertaisia tehtäviä.

Harjoittele, ratkaise ensin matematiikan kurssin yksinkertaisimmat esimerkit ja siirry sitten vaikeampiin. Tulevaisuudessa näytän sinulle ehdottomasti, kuinka "rumat" logaritmit ratkaistaan, tällaisia logaritmeja ei kokeessa ole, mutta ne ovat mielenkiintoisia, älä missaa sitä!

Siinä kaikki! Onnea sinulle!

Ystävällisin terveisin Alexander Krutitskikh

P.S: Olisin kiitollinen, jos kertoisit sivustosta sosiaalisessa mediassa.

Yksityisyytesi on meille tärkeää. Tästä syystä olemme kehittäneet tietosuojakäytännön, joka kuvaa kuinka käytämme ja säilytämme tietojasi. Lue tietosuojakäytäntömme ja kerro meille, jos sinulla on kysyttävää.

Henkilötietojen kerääminen ja käyttö

Henkilötiedoilla tarkoitetaan tietoja, joiden avulla voidaan tunnistaa tietty henkilö tai ottaa häneen yhteyttä.

Sinua voidaan pyytää antamaan henkilötietosi milloin tahansa, kun otat meihin yhteyttä.

Seuraavassa on esimerkkejä siitä, minkä tyyppisiä henkilötietoja voimme kerätä ja kuinka voimme käyttää näitä tietoja.

Mitä henkilötietoja keräämme:

Kun lähetät hakemuksen sivustolla, voimme kerätä erilaisia tietoja, kuten nimesi, puhelinnumerosi, sähköpostiosoitteesi jne.

Kuinka käytämme henkilötietojasi:

Keräämiemme henkilötietojen avulla voimme ottaa sinuun yhteyttä ja ilmoittaa sinulle ainutlaatuisista tarjouksista, kampanjoista ja muista tapahtumista ja tulevista tapahtumista.
Ajoittain voimme käyttää henkilötietojasi tärkeiden ilmoitusten ja viestien lähettämiseen.
Saatamme myös käyttää henkilötietoja sisäisiin tarkoituksiin, kuten auditointiin, data-analyysiin ja erilaisiin tutkimuksiin parantaaksemme tarjoamiamme palveluita ja tarjotaksemme sinulle palveluitamme koskevia suosituksia.
Jos osallistut arvontaan, kilpailuun tai vastaavaan kannustimeen, voimme käyttää antamiasi tietoja tällaisten ohjelmien hallinnointiin.

Tietojen paljastaminen kolmansille osapuolille

Emme luovuta sinulta saatuja tietoja kolmansille osapuolille.

Poikkeukset:

Ilmoita henkilötietosi siinä tapauksessa, että se on tarpeen - lain, oikeusjärjestyksen, oikeuskäsittelyn mukaisesti ja/tai Venäjän federaation alueella olevien julkisten pyyntöjen tai valtion elinten pyyntöjen perusteella. Saatamme myös paljastaa tietoja sinusta, jos katsomme, että tällainen paljastaminen on tarpeellista tai tarkoituksenmukaista turvallisuus-, lainvalvonta- tai muihin yleisen edun mukaisiin tarkoituksiin.
Uudelleenjärjestelyn, sulautumisen tai myynnin yhteydessä voimme siirtää keräämämme henkilötiedot asianomaiselle kolmannelle osapuolelle.

Henkilötietojen suojaaminen

Ryhdymme varotoimiin - mukaan lukien hallinnolliset, tekniset ja fyysiset - suojellaksemme henkilökohtaisia tietojasi katoamiselta, varkaudelta ja väärinkäytöltä sekä luvattomalta käytöltä, paljastamiselta, muuttamiselta ja tuhoutumiselta.

Yksityisyytesi säilyttäminen yritystasolla

Varmistaaksemme henkilötietojesi turvallisuuden tuomme työntekijöillemme luottamuksellisuutta ja turvallisuutta koskevat säännöt ja valvomme tarkasti toteutumista.

Meillä on siis kahden voimat. Jos otat numeron alariviltä, voit helposti löytää tehon, johon sinun on nostettava kaksi saadaksesi tämän luvun. Esimerkiksi saadaksesi 16, sinun on korotettava kaksi neljänteen potenssiin. Ja saadaksesi 64, sinun on korotettava kaksi kuudenteen potenssiin. Tämä näkyy taulukosta.

Ja nyt - itse asiassa logaritmin määritelmä:

Argumentin x logaritmi kantaan a on potenssi, johon luku a on nostettava, jotta saadaan luku x .

Merkintä: log a x \u003d b, missä a on kanta, x on argumentti, b on itse asiassa mikä logaritmi on yhtä suuri.

Esimerkiksi 2 3 = 8 ⇒ log 2 8 = 3 (8:n kanta-2 logaritmi on kolme, koska 2 3 = 8). Voisi yhtä hyvin kirjata 2 64 = 6, koska 2 6 = 64.

Operaatiota luvun logaritmin löytämiseksi tiettyyn kantaan kutsutaan logaritmiksi. Lisätään siis uusi rivi taulukkoomme:

2 1	2 2	2 3	2 4	2 5	2 6
2	4	8	16	32	64
log 2 2 = 1	log 2 4 = 2	log 2 8 = 3	log 2 16 = 4	log 2 32 = 5	log 2 64 = 6

Valitettavasti kaikkia logaritmeja ei oteta huomioon niin helposti. Yritä esimerkiksi löytää loki 2 5 . Numero 5 ei ole taulukossa, mutta logiikka sanelee, että logaritmi on jossain segmentissä. Koska 22< 5 < 2 3 , а чем больше степень двойки, тем больше получится число.

Tällaisia lukuja kutsutaan irrationaalisiksi: desimaalipilkun jälkeisiä lukuja voidaan kirjoittaa loputtomasti, eivätkä ne koskaan toistu. Jos logaritmi osoittautuu irrationaaliseksi, on parempi jättää se näin: log 2 5 , log 3 8 , log 5 100 .

On tärkeää ymmärtää, että logaritmi on lauseke, jossa on kaksi muuttujaa (kanta ja argumentti). Aluksi monet ihmiset sekoittavat, missä on perusta ja missä on argumentti. Välttääksesi ärsyttäviä väärinkäsityksiä, katso vain kuvaa:

Edessämme ei ole muuta kuin logaritmin määritelmä. Muistaa: logaritmi on teho, jolle sinun on nostettava perusta saadaksesi argumentin. Se on pohja, joka nostetaan tehoon - kuvassa se on korostettu punaisella. Osoittautuu, että pohja on aina pohjassa! Kerron tämän upean säännön oppilailleni heti ensimmäisellä oppitunnilla - eikä siinä ole hämmennystä.

Selvitimme määritelmän - on vielä opittava laskemaan logaritmeja, ts. päästä eroon "tuki"-merkistä. Aluksi huomautamme, että määritelmästä seuraa kaksi tärkeää tosiasiaa:

Argumentin ja kantaluvun tulee aina olla suurempi kuin nolla. Tämä seuraa asteen määrittelystä rationaalisen eksponentin avulla, johon logaritmin määritelmä pelkistyy.
Kanta on erilainen kuin yksikkö, koska yksikkö mihin tahansa tehoon on silti yksikkö. Tästä syystä kysymys "mihin valtaan yksi on nostettava saadakseen kaksi" on merkityksetön. Sellaista tutkintoa ei ole!

Tällaisia rajoituksia kutsutaan voimassa oleva alue(ODZ). Osoittautuu, että logaritmin ODZ näyttää tältä: log a x = b ⇒ x > 0 , a > 0 , a ≠ 1 .

Huomaa, että lukua b (logaritmin arvo) ei ole rajoitettu. Esimerkiksi logaritmi voi hyvinkin olla negatiivinen: log 2 0,5 \u003d -1, koska 0,5 = 2-1.

Nyt tarkastelemme kuitenkin vain numeerisia lausekkeita, joissa ei vaadita logaritmin ODZ:n tuntemista. Ongelman laatijat ovat jo ottaneet kaikki rajoitukset huomioon. Mutta kun logaritmiset yhtälöt ja epäyhtälöt tulevat peliin, DHS:n vaatimuksista tulee pakollisia. Pohjassa ja argumentissa voi todellakin olla erittäin vahvoja rakenteita, jotka eivät välttämättä vastaa yllä olevia rajoituksia.

Harkitse nyt yleistä logaritmien laskentajärjestelmää. Se koostuu kolmesta vaiheesta:

Ilmaise kanta a ja argumentti x potenssina, jonka pienin mahdollinen kanta on suurempi kuin yksi. Matkan varrella on parempi päästä eroon desimaalimurtoluvuista;
Ratkaise muuttujan b yhtälö: x = a b ;
Tuloksena oleva luku b on vastaus.

Siinä kaikki! Jos logaritmi osoittautuu irrationaaliseksi, se näkyy jo ensimmäisessä vaiheessa. Vaatimus, että kanta on suurempi kuin yksi, on erittäin tärkeä: tämä vähentää virheen todennäköisyyttä ja yksinkertaistaa laskelmia huomattavasti. Samoin desimaalilukujen kanssa: jos muutat ne heti tavallisiksi, virheitä tulee monta kertaa vähemmän.

Katsotaanpa, kuinka tämä malli toimii erityisillä esimerkeillä:

Tehtävä. Laske logaritmi: log 5 25

Esitetään kanta ja argumentti viiden potenssina: 5 = 5 1 ; 25 = 52;

Tehdään ja ratkaistaan yhtälö:
log 5 25 = b ⇒ (5 1) b = 5 2 ⇒ 5 b = 5 2 ⇒ b = 2 ;

Sain vastauksen: 2.

Tehtävä. Laske logaritmi:

Tehtävä. Laske logaritmi: log 4 64

Esitetään kanta ja argumentti kahden potenssina: 4 = 2 2 ; 64 = 26;
Tehdään ja ratkaistaan yhtälö:
log 4 64 = b ⇒ (2 2) b = 2 6 ⇒ 2 2b = 2 6 ⇒ 2b = 6 ⇒ b = 3 ;
Sain vastauksen: 3.

Tehtävä. Laske logaritmi: log 16 1

Esitetään kanta ja argumentti kahden potenssina: 16 = 2 4 ; 1 = 20;
Tehdään ja ratkaistaan yhtälö:
log 16 1 = b ⇒ (2 4) b = 2 0 ⇒ 2 4b = 2 0 ⇒ 4b = 0 ⇒ b = 0 ;
Sai vastauksen: 0.

Tehtävä. Laske logaritmi: log 7 14

Esitetään kanta ja argumentti seitsemän potenssina: 7 = 7 1 ; 14 ei ole esitetty seitsemän potenssina, koska 7 1< 14 < 7 2 ;
Edellisestä kappaleesta seuraa, että logaritmia ei oteta huomioon;
Vastaus ei muutu: loki 7 14.

Pieni huomautus viimeiseen esimerkkiin. Kuinka varmistaa, että luku ei ole toisen luvun tarkka potenssi? Hyvin yksinkertaista - hajota se vain päätekijöiksi. Jos laajennuksessa on vähintään kaksi erillistä tekijää, luku ei ole tarkka teho.

Tehtävä. Selvitä ovatko luvun tarkat potenssit: 8; 48; 81; 35; 14.

8 \u003d 2 2 2 \u003d 2 3 - tarkka tutkinto, koska on vain yksi kerroin;
48 = 6 8 = 3 2 2 2 2 = 3 2 4 ei ole tarkka potenssi, koska siinä on kaksi tekijää: 3 ja 2;
81 \u003d 9 9 \u003d 3 3 3 3 \u003d 3 4 - tarkka tutkinto;
35 = 7 5 - ei taaskaan tarkka tutkinto;
14 \u003d 7 2 - ei taaskaan tarkkaa tutkintoa;

Huomaa myös, että alkuluvut itsessään ovat aina itsensä tarkkoja tehoja.

Desimaalilogaritmi

Jotkut logaritmit ovat niin yleisiä, että niillä on erityinen nimi ja nimitys.

X-argumentin desimaalilogaritmi on 10 kantalogaritmi, ts. teho, johon sinun täytyy nostaa numero 10 saadaksesi luvun x. Nimitys: lg x .

Esimerkiksi log 10 = 1; log 100 = 2; lg 1000 = 3 - jne.

Tästä lähtien, kun näet oppikirjassa lauseen, kuten "Etsi lg 0.01", tiedä, että tämä ei ole kirjoitusvirhe. Tämä on desimaalilogaritmi. Jos et kuitenkaan ole tottunut sellaiseen nimitykseen, voit aina kirjoittaa sen uudelleen:
log x = log 10 x

Kaikki mikä on totta tavallisille logaritmeille, pätee myös desimaaleille.

luonnollinen logaritmi

On toinen logaritmi, jolla on oma merkintätapansa. Tietyssä mielessä se on jopa tärkeämpi kuin desimaali. Tämä on luonnollinen logaritmi.

X:n luonnollinen logaritmi on e-kantalogaritmi, ts. potenssi, johon luku e on nostettava, jotta saadaan luku x. Nimitys: ln x .

Monet kysyvät: mikä muu on numero e? Tämä on irrationaalinen luku, sen tarkkaa arvoa ei voida löytää ja kirjoittaa ylös. Tässä vain ensimmäiset numerot:
e = 2,718281828459...

Emme ota kantaa siihen, mikä tämä numero on ja miksi sitä tarvitaan. Muista vain, että e on luonnollisen logaritmin kanta:
ln x = log e x

Siten ln e = 1 ; loge2 = 2; ln e 16 = 16 - jne. Toisaalta ln 2 on irrationaalinen luku. Yleensä minkä tahansa rationaaliluvun luonnollinen logaritmi on irrationaalinen. Paitsi tietysti yhtenäisyys: ln 1 = 0.

Luonnollisille logaritmeille pätevät kaikki säännöt, jotka pätevät tavallisille logaritmeille.

perusominaisuudet.

logax + logay = log(x y);
logax − logay = log(x: y).

samoilla perusteilla

log6 4 + log6 9.

Monimutkaistaan nyt tehtävää hieman.

Esimerkkejä logaritmien ratkaisemisesta

Entä jos logaritmin kanta tai argumentti perustuu asteeseen? Sitten tämän asteen eksponentti voidaan ottaa pois logaritmin etumerkistä seuraavien sääntöjen mukaisesti:

Tietenkin kaikki nämä säännöt ovat järkeviä, jos ODZ-logaritmia noudatetaan: a > 0, a ≠ 1, x >

Tehtävä. Etsi lausekkeen arvo:

Siirtyminen uudelle perustalle

Olkoon logaritmin logaksi annettu. Sitten mille tahansa luvulle c, jonka c > 0 ja c ≠ 1, yhtälö on tosi:

Tehtävä. Etsi lausekkeen arvo:

Katso myös:

Logaritmin perusominaisuudet

1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.

Eksponentti on 2,718281828…. Eksponentin muistamiseksi voit tutkia sääntöä: eksponentti on 2,7 ja kaksi kertaa Leo Tolstoin syntymävuosi.

Logaritmien perusominaisuudet

Kun tiedät tämän säännön, tiedät sekä eksponentin tarkan arvon että Leo Tolstoin syntymäajan.

Esimerkkejä logaritmeista

Ota lausekkeiden logaritmi

Esimerkki 1.
a). x = 10ac^2 (a>0, c>0).

Ominaisuuksilla 3,5 lasketaan

4. missä .

Esimerkki 2 Etsi x jos

Esimerkki 3. Annetaan logaritmien arvot

Laske log(x), jos

Logaritmien perusominaisuudet

Logaritmeja, kuten kaikkia lukuja, voidaan lisätä, vähentää ja muuntaa kaikin tavoin. Mutta koska logaritmit eivät ole aivan tavallisia lukuja, tässä on säännöt, joita kutsutaan perusominaisuudet.

On välttämätöntä tietää nämä säännöt - mitään vakavaa logaritmista ongelmaa ei voida ratkaista ilman niitä. Lisäksi niitä on hyvin vähän - kaikki voidaan oppia yhdessä päivässä. Joten aloitetaan.

Logaritmien yhteen- ja vähennyslasku

Tarkastellaan kahta logaritmia, joilla on sama kanta: logaksi ja logarit. Sitten ne voidaan lisätä ja vähentää, ja:

logax + logay = log(x y);
logax − logay = log(x: y).

Joten logaritmien summa on yhtä suuri kuin tuotteen logaritmi, ja ero on osamäärän logaritmi. Huomaa: avainkohta tässä on - samoilla perusteilla. Jos syyt ovat erilaiset, nämä säännöt eivät toimi!

Nämä kaavat auttavat laskemaan logaritmisen lausekkeen, vaikka sen yksittäisiä osia ei otettaisi huomioon (katso oppitunti "Mikä on logaritmi"). Katso esimerkkejä - ja katso:

Koska logaritmien kantaluvut ovat samat, käytämme summakaavaa:
log6 4 + log6 9 = log6 (4 9) = log6 36 = 2.

Tehtävä. Etsi lausekkeen arvo: log2 48 − log2 3.

Perusteet ovat samat, käytämme erokaavaa:
log2 48 − log2 3 = log2 (48: 3) = log2 16 = 4.

Tehtävä. Etsi lausekkeen arvo: log3 135 − log3 5.

Perusteet ovat taas samat, joten meillä on:
log3 135 − log3 5 = log3 (135: 5) = log3 27 = 3.

Kuten näet, alkuperäiset lausekkeet koostuvat "huonoista" logaritmeista, joita ei lasketa erikseen. Mutta muunnosten jälkeen saadaan melko normaaleja lukuja. Monet testit perustuvat tähän tosiasiaan. Kyllä, kontrolli - samanlaisia ilmaisuja kaikessa vakavuudessa (joskus - käytännössä ilman muutoksia) tarjotaan kokeessa.

Eksponentin poistaminen logaritmista

On helppo nähdä, että viimeinen sääntö noudattaa kahta ensimmäistä. Mutta on parempi muistaa se kaikki samana - joissakin tapauksissa se vähentää merkittävästi laskennan määrää.

Tietysti kaikki nämä säännöt ovat järkeviä, jos ODZ-logaritmia noudatetaan: a > 0, a ≠ 1, x > 0. Ja vielä yksi asia: opi soveltamaan kaikkia kaavoja paitsi vasemmalta oikealle, myös päinvastoin, ts. voit syöttää logaritmin etumerkin edessä olevat luvut itse logaritmiin. Tätä vaaditaan useimmiten.

Tehtävä. Etsi lausekkeen arvo: log7 496.

Päätetään eroon argumentin asteesta käyttämällä ensimmäistä kaavaa:
log7 496 = 6 log7 49 = 6 2 = 12

Tehtävä. Etsi lausekkeen arvo:

Huomaa, että nimittäjä on logaritmi, jonka kanta ja argumentti ovat tarkat potenssit: 16 = 24; 49 = 72. Meillä on:

Mielestäni viimeinen esimerkki kaipaa selvennystä. Mihin logaritmit ovat kadonneet? Viimeiseen hetkeen asti työskentelemme vain nimittäjällä.

Logaritmien kaavat. Logaritmit ovat esimerkkejä ratkaisuista.

Esitimme siellä seisovan logaritmin kannan ja argumentin asteiden muodossa ja toimme esiin indikaattorit - saimme "kolmikerroksisen" murto-osan.

Katsotaan nyt perusmurtolukua. Osoittajalla ja nimittäjällä on sama luku: log2 7. Koska log2 7 ≠ 0, voimme pienentää murto-osaa - 2/4 jää nimittäjään. Aritmeettisten sääntöjen mukaan neljä voidaan siirtää osoittajaan, mikä tehtiin. Tuloksena oli vastaus: 2.

Siirtyminen uudelle perustalle

Puhuessani logaritmien yhteen- ja vähennyssäännöistä korostin erityisesti, että ne toimivat vain samoilla kanoilla. Entä jos syyt ovat erilaiset? Entä jos ne eivät ole täsmälleen saman luvun potenssit?

Uudelle perustalle siirtymisen kaavat tulevat apuun. Muotoilkaamme ne lauseen muodossa:

Olkoon logaritmin logaksi annettu. Sitten mille tahansa luvulle c, jonka c > 0 ja c ≠ 1, yhtälö on tosi:

Erityisesti, jos laitamme c = x, saamme:

Toisesta kaavasta seuraa, että logaritmin kantaa ja argumenttia voidaan vaihtaa, mutta tässä tapauksessa koko lauseke on "käänteinen", ts. logaritmi näkyy nimittäjässä.

Näitä kaavoja löytyy harvoin tavanomaisista numeerisista lausekkeista. Niiden käyttökelpoisuutta on mahdollista arvioida vain logaritmiset yhtälöitä ja epäyhtälöitä ratkaistaessa.

On kuitenkin tehtäviä, jotka eivät yleensä ratkea muutoin kuin siirtymällä uudelle perustalle. Harkitse paria näistä:

Tehtävä. Etsi lausekkeen arvo: log5 16 log2 25.

Huomaa, että molempien logaritmien argumentit sisältävät tarkat asteet. Otetaan indikaattorit pois: log5 16 = log5 24 = 4log5 2; log2 25 = log2 52 = 2log2 5;

Nyt "käännetään" toinen logaritmi:

Koska tulo ei muutu tekijöiden permutaatiosta, kerroimme rauhallisesti neljä ja kaksi ja sitten käsittelimme logaritmit.

Tehtävä. Etsi lausekkeen arvo: log9 100 lg 3.

Ensimmäisen logaritmin kanta ja argumentti ovat tarkkoja asteita. Kirjoitetaan tämä muistiin ja päästään eroon mittareista:

Nyt päästään eroon desimaalilogaritmista siirtymällä uuteen kantaan:

Peruslogaritminen identiteetti

Usein ratkaisuprosessissa on esitettävä luku logaritmina tiettyyn kantaan. Tässä tapauksessa kaavat auttavat meitä:

Ensimmäisessä tapauksessa luvusta n tulee argumentin eksponentti. Luku n voi olla mitä tahansa, koska se on vain logaritmin arvo.

Toinen kaava on itse asiassa parafrasoitu määritelmä. Sitä kutsutaan näin:

Todellakin, mitä tapahtuu, jos lukua b korotetaan siinä määrin, että tämän asteen luku b antaa luvun a? Aivan oikein: tämä on sama numero a. Lue tämä kappale huolellisesti uudelleen - monet ihmiset "roikkuvat" siinä.

Kuten uudet perusmuunnoskaavat, logaritminen perusidentiteetti on joskus ainoa mahdollinen ratkaisu.

Tehtävä. Etsi lausekkeen arvo:

Huomaa, että log25 64 = log5 8 - juuri poisti neliön kannasta ja logaritmin argumentin. Ottaen huomioon säännöt asteiden kertomisesta samalla kantalla, saamme:

Jos joku ei ole perillä, tämä oli oikea tehtävä yhtenäisestä valtiokokeesta 🙂

Logaritminen yksikkö ja logaritminen nolla

Lopuksi annan kaksi identiteettiä, joita tuskin voi kutsua ominaisuuksiksi - pikemminkin ne ovat seurauksia logaritmin määritelmästä. Heitä löytyy jatkuvasti ongelmista ja yllättäen ne aiheuttavat ongelmia jopa "edenneille" opiskelijoille.

logaa = 1 on. Muista kerta kaikkiaan: logaritmi mihin tahansa kantaan a itse tästä kannasta on yhtä suuri kuin yksi.
loga 1 = 0 on. Kanta a voi olla mikä tahansa, mutta jos argumentti on yksi, logaritmi on nolla! Koska a0 = 1 on määritelmän suora seuraus.

Siinä kaikki ominaisuudet. Muista harjoitella niiden toteuttamista käytännössä! Lataa huijauslehti oppitunnin alussa, tulosta se ja ratkaise ongelmat.

Katso myös:

Luvun b logaritmi kantaan a tarkoittaa lauseketta. Logaritmin laskeminen tarkoittaa sellaisen potenssin x () löytämistä, jolla yhtälö on tosi

Logaritmin perusominaisuudet

Yllä olevat ominaisuudet on tunnettava, koska niiden perusteella lähes kaikki tehtävät ja esimerkit ratkaistaan logaritmien perusteella. Loput eksoottiset ominaisuudet voidaan johtaa matemaattisilla manipuloinneilla näillä kaavoilla

1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.

Laskettaessa kaavoja logaritmien summalle ja erolle (3.4) kohdataan melko usein. Loput ovat melko monimutkaisia, mutta monissa tehtävissä ne ovat välttämättömiä monimutkaisten lausekkeiden yksinkertaistamiseksi ja niiden arvojen laskemiseksi.

Yleisiä logaritmien tapauksia

Jotkut yleisimmistä logaritmeista ovat sellaisia, joissa kanta on jopa kymmenen, eksponentiaalinen tai kakkonen.
Kymmenen kantalogaritmia kutsutaan yleensä kymmenen kantalogaritmiksi ja sitä merkitään yksinkertaisesti lg(x).

Tietueesta näkyy, että perusasiat eivät ole tietueessa kirjoitettuja. Esimerkiksi

Luonnollinen logaritmi on logaritmi, jonka perusta on eksponentti (merkitty ln(x)).

Eksponentti on 2,718281828…. Eksponentin muistamiseksi voit tutkia sääntöä: eksponentti on 2,7 ja kaksi kertaa Leo Tolstoin syntymävuosi. Kun tiedät tämän säännön, tiedät sekä eksponentin tarkan arvon että Leo Tolstoin syntymäajan.

Ja toinen tärkeä kahden peruslogaritmi on

Funktion logaritmin derivaatta on yhtä suuri kuin yksi jaettuna muuttujalla

Integraali tai antideriivatiivinen logaritmi määräytyy riippuvuuden mukaan

Yllä oleva materiaali riittää sinulle ratkaisemaan laajan luokan logaritmeihin ja logaritmeihin liittyviä ongelmia. Aineiston omaksumiseksi annan vain muutaman yleisen esimerkin koulun opetussuunnitelmasta ja yliopistoista.

Esimerkkejä logaritmeista

Ota lausekkeiden logaritmi

Esimerkki 1.
a). x = 10ac^2 (a>0, c>0).

Ominaisuuksilla 3,5 lasketaan

2.
Logaritmien erotusominaisuudella meillä on

3.
Käyttämällä ominaisuuksia 3.5 löydämme

4. missä .

Näennäisesti monimutkainen lauseke, jossa käytetään useita sääntöjä, yksinkertaistetaan muotoon

Logaritmiarvojen löytäminen

Esimerkki 2 Etsi x jos

Ratkaisu. Laskennassa hyödynnetään ominaisuuksia 5 ja 13 viimeiseen termiin asti

Korvaa pöytäkirjassa ja sure

Koska emäkset ovat yhtä suuret, yhtälöimme lausekkeet

Logaritmit. Ensimmäinen taso.

Olkoon logaritmien arvot annettu

Laske log(x), jos

Ratkaisu: Kirjoita muuttujan logaritmi termien summan läpi

Tämä on vasta alkua logaritmiin ja niiden ominaisuuksiin tutustumiselle. Harjoittele laskelmia, rikasta käytännön taitojasi - tarvitset pian hankittua tietoa logaritmisen yhtälöiden ratkaisemiseen. Tutkittuamme perusmenetelmiä tällaisten yhtälöiden ratkaisemiseksi, laajennamme tietämyksesi toiselle yhtä tärkeälle aiheelle - logaritmisille epäyhtälöille ...

Logaritmien perusominaisuudet

Logaritmien yhteen- ja vähennyslasku

Tarkastellaan kahta logaritmia, joilla on sama kanta: logaksi ja logarit. Sitten ne voidaan lisätä ja vähentää, ja:

logax + logay = log(x y);
logax − logay = log(x: y).

Nämä kaavat auttavat laskemaan logaritmisen lausekkeen, vaikka sen yksittäisiä osia ei otettaisi huomioon (katso oppitunti "Mikä on logaritmi"). Katso esimerkkejä - ja katso:

Tehtävä. Etsi lausekkeen arvo: log6 4 + log6 9.

Koska logaritmien kantaluvut ovat samat, käytämme summakaavaa:
log6 4 + log6 9 = log6 (4 9) = log6 36 = 2.

Tehtävä. Etsi lausekkeen arvo: log2 48 − log2 3.

Perusteet ovat samat, käytämme erokaavaa:
log2 48 − log2 3 = log2 (48: 3) = log2 16 = 4.

Tehtävä. Etsi lausekkeen arvo: log3 135 − log3 5.

Perusteet ovat taas samat, joten meillä on:
log3 135 − log3 5 = log3 (135: 5) = log3 27 = 3.

Eksponentin poistaminen logaritmista

Monimutkaistaan nyt tehtävää hieman. Entä jos logaritmin kanta tai argumentti perustuu asteeseen? Sitten tämän asteen eksponentti voidaan ottaa pois logaritmin etumerkistä seuraavien sääntöjen mukaisesti:

On helppo nähdä, että viimeinen sääntö noudattaa kahta ensimmäistä. Mutta on parempi muistaa se kaikki samana - joissakin tapauksissa se vähentää merkittävästi laskennan määrää.

Kuinka ratkaista logaritmit

Tätä vaaditaan useimmiten.

Tehtävä. Etsi lausekkeen arvo: log7 496.

Päätetään eroon argumentin asteesta käyttämällä ensimmäistä kaavaa:
log7 496 = 6 log7 49 = 6 2 = 12

Tehtävä. Etsi lausekkeen arvo:

Huomaa, että nimittäjä on logaritmi, jonka kanta ja argumentti ovat tarkat potenssit: 16 = 24; 49 = 72. Meillä on:

Mielestäni viimeinen esimerkki kaipaa selvennystä. Mihin logaritmit ovat kadonneet? Viimeiseen hetkeen asti työskentelemme vain nimittäjällä. Esitimme siellä seisovan logaritmin kannan ja argumentin asteiden muodossa ja toimme esiin indikaattorit - saimme "kolmikerroksisen" murto-osan.

Siirtyminen uudelle perustalle

Uudelle perustalle siirtymisen kaavat tulevat apuun. Muotoilkaamme ne lauseen muodossa:

Olkoon logaritmin logaksi annettu. Sitten mille tahansa luvulle c, jonka c > 0 ja c ≠ 1, yhtälö on tosi:

Erityisesti, jos laitamme c = x, saamme:

Toisesta kaavasta seuraa, että logaritmin kantaa ja argumenttia voidaan vaihtaa, mutta tässä tapauksessa koko lauseke on "käänteinen", ts. logaritmi näkyy nimittäjässä.

Näitä kaavoja löytyy harvoin tavanomaisista numeerisista lausekkeista. Niiden käyttökelpoisuutta on mahdollista arvioida vain logaritmiset yhtälöitä ja epäyhtälöitä ratkaistaessa.

On kuitenkin tehtäviä, jotka eivät yleensä ratkea muutoin kuin siirtymällä uudelle perustalle. Harkitse paria näistä:

Tehtävä. Etsi lausekkeen arvo: log5 16 log2 25.

Huomaa, että molempien logaritmien argumentit sisältävät tarkat asteet. Otetaan indikaattorit pois: log5 16 = log5 24 = 4log5 2; log2 25 = log2 52 = 2log2 5;

Nyt "käännetään" toinen logaritmi:

Koska tulo ei muutu tekijöiden permutaatiosta, kerroimme rauhallisesti neljä ja kaksi ja sitten käsittelimme logaritmit.

Tehtävä. Etsi lausekkeen arvo: log9 100 lg 3.

Ensimmäisen logaritmin kanta ja argumentti ovat tarkkoja asteita. Kirjoitetaan tämä muistiin ja päästään eroon mittareista:

Nyt päästään eroon desimaalilogaritmista siirtymällä uuteen kantaan:

Peruslogaritminen identiteetti

Usein ratkaisuprosessissa on esitettävä luku logaritmina tiettyyn kantaan. Tässä tapauksessa kaavat auttavat meitä:

Ensimmäisessä tapauksessa luvusta n tulee argumentin eksponentti. Luku n voi olla mitä tahansa, koska se on vain logaritmin arvo.

Toinen kaava on itse asiassa parafrasoitu määritelmä. Sitä kutsutaan näin:

Kuten uudet perusmuunnoskaavat, logaritminen perusidentiteetti on joskus ainoa mahdollinen ratkaisu.

Tehtävä. Etsi lausekkeen arvo:

Huomaa, että log25 64 = log5 8 - juuri poisti neliön kannasta ja logaritmin argumentin. Ottaen huomioon säännöt asteiden kertomisesta samalla kantalla, saamme:

Jos joku ei ole perillä, tämä oli oikea tehtävä yhtenäisestä valtiokokeesta 🙂

Logaritminen yksikkö ja logaritminen nolla

logaa = 1 on. Muista kerta kaikkiaan: logaritmi mihin tahansa kantaan a itse tästä kannasta on yhtä suuri kuin yksi.
loga 1 = 0 on. Kanta a voi olla mikä tahansa, mutta jos argumentti on yksi, logaritmi on nolla! Koska a0 = 1 on määritelmän suora seuraus.

Siinä kaikki ominaisuudet. Muista harjoitella niiden toteuttamista käytännössä! Lataa huijauslehti oppitunnin alussa, tulosta se ja ratkaise ongelmat.

Logaritmien laskeminen määritelmän mukaan

Logaritmien etsiminen muiden tunnettujen logaritmien perusteella

Logaritmitaulukot, niiden käyttö

Henkilötietojen kerääminen ja käyttö

Tietojen paljastaminen kolmansille osapuolille

Henkilötietojen suojaaminen

Yksityisyytesi säilyttäminen yritystasolla

Desimaalilogaritmi

luonnollinen logaritmi

Esimerkkejä logaritmien ratkaisemisesta

Siirtyminen uudelle perustalle

Logaritmin perusominaisuudet

Logaritmien perusominaisuudet

Esimerkkejä logaritmeista

Ota lausekkeiden logaritmi

Logaritmien perusominaisuudet

Logaritmien yhteen- ja vähennyslasku

Eksponentin poistaminen logaritmista

Logaritmien kaavat. Logaritmit ovat esimerkkejä ratkaisuista.

Siirtyminen uudelle perustalle

Peruslogaritminen identiteetti

Logaritminen yksikkö ja logaritminen nolla

Logaritmin perusominaisuudet

Yleisiä logaritmien tapauksia

Esimerkkejä logaritmeista

Ota lausekkeiden logaritmi

Logaritmiarvojen löytäminen

Logaritmit. Ensimmäinen taso.

Logaritmien perusominaisuudet

Logaritmien yhteen- ja vähennyslasku

Eksponentin poistaminen logaritmista

Kuinka ratkaista logaritmit

Siirtyminen uudelle perustalle

Peruslogaritminen identiteetti

Logaritminen yksikkö ja logaritminen nolla

Toimittajan valinta