Kuinka lisätä vääriä murtolukuja. Toiminnot murtoluvuilla

Koti / Rakkaus

Tämä oppitunti käsittelee eri nimittäjillä olevien algebrallisten murtolukujen yhteen- ja vähennyslaskua. Tiedämme jo, kuinka yhteisiä murtolukuja lisätään ja vähennetään eri nimittäjillä. Tätä varten murtoluvut on vähennettävä yhteiseksi nimittäjäksi. Osoittautuu, että algebralliset murtoluvut noudattavat samoja sääntöjä. Lisäksi tiedämme jo kuinka algebralliset murtoluvut saatetaan yhteiseen nimittäjään. Murtolukujen yhteen- ja vähentäminen eri nimittäjillä on yksi tärkeimmistä ja vaikeimmista aiheista 8. luokan kurssilla. Lisäksi tämä aihe löytyy monista algebrakurssin aiheista, joita opiskelet tulevaisuudessa. Osana oppituntia tutkimme eri nimittäjien algebrallisten murtolukujen yhteen- ja vähennyssääntöjä sekä analysoimme useita tyypillisiä esimerkkejä.

Tarkastellaan yksinkertaisinta esimerkkiä tavallisille murtoluvuille.

Esimerkki 1. Lisää jakeet:.

Ratkaisu:

Muistetaan murtolukujen lisäämissääntö. Aluksi murtoluvut on saatettava yhteiseen nimittäjään. Tavallisten murtolukujen yhteinen nimittäjä on vähiten yhteinen kerrannainen(LCM) alkuperäiset nimittäjät.

Määritelmä

Pienin luonnollinen luku, joka on jaollinen luvuilla ja samaan aikaan.

LCM:n löytämiseksi on tarpeen laajentaa nimittäjät alkutekijöiksi ja valita sitten kaikki alkutekijät, jotka sisältyvät molempien nimittäjien laajennukseen.

; ... Sitten lukujen LCM:n tulee sisältää kaksi kakkosta ja kaksi kolmoa:.

Kun yhteinen nimittäjä on löydetty, on tarpeen löytää lisätekijä jokaiselle murtoluvulle (itse asiassa jakaa yhteinen nimittäjä vastaavan murtoluvun nimittäjällä).

Sitten jokainen murto-osa kerrotaan saadulla lisäkertoimella. Saadaan murtoluvut, joilla on sama nimittäjä, joita opimme lisäämään ja vähentämään edellisillä tunneilla.

Saamme: .

Vastaus:.

Harkitse nyt eri nimittäjien algebrallisten murtolukujen lisäämistä. Harkitse ensin murtolukuja, joiden nimittäjät ovat numeroita.

Esimerkki 2. Lisää jakeet:.

Ratkaisu:

Ratkaisualgoritmi on täysin samanlainen kuin edellinen esimerkki. Näille murtoluvuille on helppo löytää yhteinen nimittäjä: ja lisätekijät jokaiselle.

Vastaus:.

Joten muotoillaan Algoritmi eri nimittäjillä olevien algebrallisten murtolukujen yhteen- ja vähentämiseen:

1. Etsi murtolukujen pienin yhteinen nimittäjä.

2. Etsi lisäkertoimia kullekin murtoluvulle (jakamalla yhteinen nimittäjä annetun murtoluvun nimittäjällä).

3. Kerro osoittajat vastaavilla lisäkertoimilla.

4. Lisää tai vähennä murtolukuja käyttämällä samalla nimittäjällä olevien murtolukujen yhteen- ja vähennyssääntöjä.

Tarkastellaan nyt esimerkkiä murtoluvuista, joiden nimittäjässä on kirjaimellisia lausekkeita.

Esimerkki 3. Lisää jakeet:.

Ratkaisu:

Koska kirjaimelliset lausekkeet molemmissa nimittäjissä ovat samat, sinun pitäisi löytää yhteinen nimittäjä numeroille. Lopullinen yhteinen nimittäjä on:. Siten ratkaisu tähän esimerkkiin näyttää tältä:

Vastaus:.

Esimerkki 4. Vähennä murtoluvut:.

Ratkaisu:

Jos et voi "huijata" valittaessa yhteistä nimittäjää (et voi kertoa sitä tai käyttää lyhennettyjä kertolaskukaavoja), sinun on otettava molempien murtolukujen nimittäjien tulo yhteiseksi nimittäjäksi.

Vastaus:.

Yleensä tällaisia esimerkkejä ratkaistaessa vaikein tehtävä on löytää yhteinen nimittäjä.

Katsotaanpa monimutkaisempaa esimerkkiä.

Esimerkki 5. Yksinkertaistaa:.

Ratkaisu:

Kun etsit yhteistä nimittäjää, sinun on ensin yritettävä laskea pois alkuperäisten murtolukujen nimittäjät (yhteisen nimittäjän yksinkertaistamiseksi).

Tässä nimenomaisessa tapauksessa:

Sitten on helppo määrittää yhteinen nimittäjä: .

Määritämme lisätekijät ja ratkaisemme tämän esimerkin:

Vastaus:.

Korjataan nyt eri nimittäjien murtolukujen yhteen- ja vähennyssäännöt.

Esimerkki 6. Yksinkertaistaa:.

Ratkaisu:

Vastaus:.

Esimerkki 7. Yksinkertaistaa:.

Ratkaisu:

Vastaus:.

Tarkastellaan nyt esimerkkiä, jossa ei lisätä kahta, vaan kolmea murtolukua (loppujen lopuksi useamman murtoluvun yhteen- ja vähennyssäännöt pysyvät samoina).

Esimerkki 8. Yksinkertaistaa:.

Tarkastellaan yksinkertaisinta esimerkkiä tavallisille murtoluvuille.

Esimerkki 1. Lisää jakeet:.

Ratkaisu:

Määritelmä

Pienin luonnollinen luku, joka on jaollinen luvuilla ja samaan aikaan.

LCM:n löytämiseksi on tarpeen laajentaa nimittäjät alkutekijöiksi ja valita sitten kaikki alkutekijät, jotka sisältyvät molempien nimittäjien laajennukseen.

; ... Sitten lukujen LCM:n tulee sisältää kaksi kakkosta ja kaksi kolmoa:.

Kun yhteinen nimittäjä on löydetty, on tarpeen löytää lisätekijä jokaiselle murtoluvulle (itse asiassa jakaa yhteinen nimittäjä vastaavan murtoluvun nimittäjällä).

Sitten jokainen murto-osa kerrotaan saadulla lisäkertoimella. Saadaan murtoluvut, joilla on sama nimittäjä, joita opimme lisäämään ja vähentämään edellisillä tunneilla.

Saamme: .

Vastaus:.

Harkitse nyt eri nimittäjien algebrallisten murtolukujen lisäämistä. Harkitse ensin murtolukuja, joiden nimittäjät ovat numeroita.

Esimerkki 2. Lisää jakeet:.

Ratkaisu:

Ratkaisualgoritmi on täysin samanlainen kuin edellinen esimerkki. Näille murtoluvuille on helppo löytää yhteinen nimittäjä: ja lisätekijät jokaiselle.

Vastaus:.

Joten muotoillaan Algoritmi eri nimittäjillä olevien algebrallisten murtolukujen yhteen- ja vähentämiseen:

1. Etsi murtolukujen pienin yhteinen nimittäjä.

2. Etsi lisäkertoimia kullekin murtoluvulle (jakamalla yhteinen nimittäjä annetun murtoluvun nimittäjällä).

3. Kerro osoittajat vastaavilla lisäkertoimilla.

4. Lisää tai vähennä murtolukuja käyttämällä samalla nimittäjällä olevien murtolukujen yhteen- ja vähennyssääntöjä.

Tarkastellaan nyt esimerkkiä murtoluvuista, joiden nimittäjässä on kirjaimellisia lausekkeita.

Esimerkki 3. Lisää jakeet:.

Ratkaisu:

Vastaus:.

Esimerkki 4. Vähennä murtoluvut:.

Ratkaisu:

Vastaus:.

Yleensä tällaisia esimerkkejä ratkaistaessa vaikein tehtävä on löytää yhteinen nimittäjä.

Katsotaanpa monimutkaisempaa esimerkkiä.

Esimerkki 5. Yksinkertaistaa:.

Ratkaisu:

Kun etsit yhteistä nimittäjää, sinun on ensin yritettävä laskea pois alkuperäisten murtolukujen nimittäjät (yhteisen nimittäjän yksinkertaistamiseksi).

Tässä nimenomaisessa tapauksessa:

Sitten on helppo määrittää yhteinen nimittäjä: .

Määritämme lisätekijät ja ratkaisemme tämän esimerkin:

Vastaus:.

Korjataan nyt eri nimittäjien murtolukujen yhteen- ja vähennyssäännöt.

Esimerkki 6. Yksinkertaistaa:.

Ratkaisu:

Vastaus:.

Esimerkki 7. Yksinkertaistaa:.

Ratkaisu:

Vastaus:.

Tarkastellaan nyt esimerkkiä, jossa ei lisätä kahta, vaan kolmea murtolukua (loppujen lopuksi useamman murtoluvun yhteen- ja vähennyssäännöt pysyvät samoina).

Esimerkki 8. Yksinkertaistaa:.

Murtolausekkeita on lapsen vaikea ymmärtää. Useimmille liittyy vaikeuksia. Tutkiessaan aihetta "murtolukujen lisääminen kokonaislukuihin", lapsi joutuu umpikujaan, ja hänen on vaikea ratkaista tehtävää. Monissa esimerkeissä on suoritettava useita laskutoimituksia ennen toiminnon suorittamista. Muunna esimerkiksi murto-osia tai muunna väärä murto oikeaksi.

Selitetään lapselle visuaalisesti. Otetaan kolme omenaa, joista kaksi on kokonaisia ja kolmas leikataan 4 osaan. Erottelemme leikatusta omenasta yhden viipaleen ja laitamme kolme muuta kahden kokonaisen hedelmän viereen. Saamme ¼ omenaa toiselle puolelle ja 2 ¾ toiselle. Jos yhdistämme ne, saamme kolme kokonaista omenaa. Yritetään vähentää 2 ¾ omenaa ¼:llä, eli poistamalla vielä yksi siivu, saamme 2 2/4 omenaa.

Tarkastellaan lähemmin toimintoja, joissa murtoluvut sisältävät kokonaislukuja:

Aluksi muistetaan laskentasääntö murto-osalausekkeille, joilla on yhteinen nimittäjä:

Ensi silmäyksellä kaikki on helppoa ja yksinkertaista. Mutta tämä koskee vain lausekkeita, jotka eivät vaadi muuntamista.

Kuinka löytää merkitys ilmaukselle, jonka nimittäjät ovat erilaisia

Joissakin tehtävissä on tarpeen löytää merkitys lausekkeelle, jossa nimittäjät ovat erilaisia. Tarkastellaanpa yksittäistä tapausta:
3 2/7+6 1/3

Löydämme tämän lausekkeen arvon, tälle löydämme yhteisen nimittäjän kahdelle murtoluvulle.

Numeroille 7 ja 3 - tämä on 21. Jätämme kokonaiset osat ennalleen ja murto-osat vähennetään 21:een, tätä varten kerromme ensimmäisen murto-osan 3:lla, toisen 7:llä, saamme:
21.6. + 21.7., älä unohda, että kokonaisia osia ei voi muuntaa. Tuloksena saadaan kaksi murto-osaa yhdellä nimittäjällä ja lasketaan niiden summa:
3 6/21+6 7/21=9 15/21
Entä jos yhteenlasku johtaa väärään murto-osaan, jossa on jo kokonaislukuosa:
2 1/3+3 2/3
Tässä tapauksessa lisäämme kokonaiset osat ja murto-osat, saamme:
5 3/3, kuten tiedät, 3/3 on yksikkö, joten 2 1/3 + 3 2/3 = 5 3/3 = 5 + 1 = 6

Summan löytämisessä kaikki on selvää, analysoidaan vähennys:

Kaikesta sanotusta seuraa toimintojen sääntö sekalukujen kanssa, joka kuulostaa tältä:

Jos murtolausekkeesta on vähennettävä kokonaisluku, toista lukua ei tarvitse esittää murtolukuna, riittää, että suoritat toiminnon vain kokonaislukuosille.

Yritetään laskea lausekkeiden arvo itse:

Katsotaanpa tarkemmin esimerkkiä kirjaimen "m" alla:

4 5 / 11-2 8/11, ensimmäisen murtoluvun osoittaja on pienempi kuin toisen. Tätä varten otamme yhden kokonaisluvun ensimmäisestä murtoluvusta, saamme
3 5/11 + 11/11 = 3 kokonaista 16/11, vähennä toinen ensimmäisestä murto-osasta:
3 16 / 11-2 8/11 = 1 kokonaisluku 8/11

Ole varovainen suorittaessasi tehtävää, älä unohda muuntaa epäsäännölliset jakeet sekoitettuiksi korostaen koko osaa. Tätä varten sinun on jaettava osoittajan arvo nimittäjän arvolla, jolloin tapahtui koko osan tilalle, loppuosa on osoittaja, esimerkiksi:

19/4 = 4 ¾, tarkista: 4 * 4 + 3 = 19, nimittäjässä 4 pysyy ennallaan.

Yhteenveto:

Ennen kuin ryhdytään murtolukuihin liittyvään tehtävään, on analysoitava, millainen lauseke se on, mitä muunnoksia murtoluvulle pitää tehdä, jotta ratkaisu olisi oikea. Etsi järkevämpi ratkaisu. Älä valitse vaikeita polkuja. Suunnittele kaikki toimet, päätä ensin luonnoksessa ja siirrä sitten kouluvihkoon.

Jotta vältytään sekaannuksista murto-osalausekkeita ratkaistaessa, sinun on noudatettava järjestyssääntöä. Päätä kaikki huolellisesti, ilman kiirettä.

Yksi tärkeimmistä tieteistä, jonka soveltamista voidaan nähdä esimerkiksi kemiassa, fysiikassa ja jopa biologiassa, on matematiikka. Tämän tieteen tutkimuksen avulla voit kehittää joitain henkisiä ominaisuuksia, parantaa ja keskittyä. Yksi erityistä huomiota ansaitsevista aiheista "Matematiikka" -kurssilla on murtolukujen yhteen- ja vähennyslasku. Monille opiskelijoille sen oppiminen on vaikeaa. Ehkä artikkelimme auttaa sinua ymmärtämään tätä aihetta paremmin.

Kuinka vähentää murtolukuja samoilla nimittäjillä

Murtoluvut ovat samoja lukuja, joilla voit suorittaa erilaisia toimintoja. Ne eroavat kokonaisluvuista nimittäjän läsnä ollessa. Siksi, kun suoritat toimintoja murtoluvuilla, sinun on tutkittava joitain niiden ominaisuuksia ja sääntöjä. Yksinkertaisin tapaus on tavallisten murtolukujen vähentäminen, joiden nimittäjät esitetään samana lukuna. Tämä toimenpide ei ole vaikea, jos tiedät yksinkertaisen säännön:

Toisen vähentämiseksi yhdestä murtoluvusta on vähennettävän murtoluvun osoittaja vähennettävä vähennetyn murtoluvun osoittajasta. Kirjoitamme tämän luvun eron osoittajaan ja jätämme nimittäjäksi saman: k / m - b / m = (k-b) / m.

Esimerkkejä murto-osien vähentämisestä, joiden nimittäjät ovat samat

7/19 - 3/19 = (7 - 3)/19 = 4/19.

Vähennetään vähennetyn murtoluvun "3" osoittaja vähennetyn murto-osan "7" osoittajasta, saadaan "4". Kirjoitamme tämän luvun vastauksen osoittajaan, ja nimittäjään laitamme saman luvun, joka oli ensimmäisen ja toisen murtoluvun nimittäjissä - "19".

Alla olevassa kuvassa on muita samanlaisia esimerkkejä.

Harkitse monimutkaisempaa esimerkkiä, jossa murtoluvut, joilla on sama nimittäjä, vähennetään:

29/47 - 3/47 - 8/47 - 2/47 - 7/47 = (29 - 3 - 8 - 2 - 7)/47 = 9/47.

Vähennetyn murtoluvun "29" osoittajasta vähentämällä vuorotellen kaikkien myöhempien murtolukujen osoittajat - "3", "8", "2", "7". Seurauksena on, että saamme tuloksen "9", jonka kirjoitamme vastauksen osoittajaan, ja nimittäjään kirjoitamme numeron, joka on kaikkien näiden murtolukujen nimittäjissä - "47".

Murtolukujen lisääminen samalla nimittäjällä

Tavallisten murto-osien yhteenlasku ja vähentäminen suoritetaan saman periaatteen mukaisesti.

Jotta voit lisätä murtolukuja, joiden nimittäjät ovat samat, sinun on lisättävä osoittajat. Tuloksena oleva luku on summan osoittaja, ja nimittäjä pysyy samana: k / m + b / m = (k + b) / m.

Katsotaanpa, miltä se näyttää esimerkissä:

1/4 + 2/4 = 3/4.

Murtoluvun ensimmäisen termin osoittajaan - "1" - lisätään murto-osan toisen termin osoittaja - "2". Tulos - "3" - kirjoitetaan summan osoittajaan, ja nimittäjä on sama kuin murtoluvuissa - "4".

Murtoluvut eri nimittäjillä ja niiden vähentäminen

Olemme jo tarkastelleet toimintoa murtoluvuilla, joilla on sama nimittäjä. Kuten näet, yksinkertaiset säännöt tuntemalla tällaisia esimerkkejä on melko helppo ratkaista. Mutta entä jos sinun on suoritettava toiminto murtoluvuilla, joilla on erilaiset nimittäjät? Monet lukiolaiset ovat hämmentyneitä näistä esimerkeistä. Mutta jopa täällä, jos tiedät ratkaisun periaatteen, esimerkit eivät enää aiheuta sinulle vaikeuksia. Täällä on myös sääntö, jota ilman tällaisten jakeiden ratkaiseminen on yksinkertaisesti mahdotonta.

Jos haluat vähentää murto-osia, joilla on eri nimittäjä, sinun on saatettava ne samaan pienimpään nimittäjään.

Puhumme tarkemmin kuinka tämä tehdään.

Murto-omaisuus

Jotta useita murtolukuja saadaan samaan nimittäjään, sinun on käytettävä murto-osan pääominaisuutta ratkaisussa: jakamalla tai kertomalla osoittaja ja nimittäjä samalla luvulla, saat murto-osan, joka on yhtä suuri kuin annettu.

Joten esimerkiksi murto-osalla 2/3 voi olla sellaisia nimittäjiä kuin "6", "9", "12" jne., eli sillä voi olla minkä tahansa luvun muoto, joka on "3":n kerrannainen. Kun olemme kertoneet osoittajan ja nimittäjän "2:lla", saamme murto-osan 4/6. Kun kerromme alkuperäisen murtoluvun osoittajan ja nimittäjän "3":lla, saamme 6/9, ja jos suoritamme saman toiminnon numerolla "4", saamme 8/12. Yhdellä yhtälöllä se voidaan kirjoittaa näin:

2/3 = 4/6 = 6/9 = 8/12…

Kuinka muuntaa useita murtolukuja samaksi nimittäjäksi

Harkitsemme kuinka saada useita murtolukuja samaan nimittäjään. Otetaan esimerkiksi alla olevassa kuvassa näkyvät murtoluvut. Ensin sinun on määritettävä, mikä numero voi tulla niiden kaikkien nimittäjäksi. Helpottaaksemme otamme huomioon käytettävissä olevat nimittäjät.

Nimittäjää 1/2 ja 2/3 ei voi kertoa. Nimittäjällä 7/9 on kaksi tekijää 7/9 = 7 / (3 x 3), murto-osan nimittäjä 5/6 = 5 / (2 x 3). Nyt sinun on määritettävä, mitkä tekijät ovat pienimmät kaikille näille neljälle jakeelle. Koska nimittäjän ensimmäinen murtoluku sisältää luvun "2", mikä tarkoittaa, että sen on oltava kaikissa nimittäjissä, 7/9 murto-osassa on kaksi kolmoisosaa, mikä tarkoittaa, että molempien tulee olla myös nimittäjässä. Yllä olevan perusteella päätämme, että nimittäjä koostuu kolmesta tekijästä: 3, 2, 3 ja on yhtä kuin 3 x 2 x 3 = 18.

Harkitse ensimmäistä murto-osaa - 1/2. Sen nimittäjä sisältää "2", mutta siinä ei ole yhtä numeroa "3", mutta sen pitäisi olla kaksi. Tätä varten kerrotaan nimittäjä kahdella kolminkertaisella, mutta murto-osan ominaisuuden mukaan meidän on kerrottava osoittaja kahdella kolminkertaisella:
1/2 = (1 x 3 x 3) / (2 x 3 x 3) = 9/18.

Samalla tavalla suoritamme toimintoja jäljellä olevien murtolukujen kanssa.

2/3 - nimittäjästä puuttuu yksi kolme ja yksi kaksi:
2/3 = (2 x 3 x 2) / (3 x 3 x 2) = 12/18.
7/9 tai 7 / (3 x 3) - nimittäjästä puuttuu kaksi:
7/9 = (7 x 2) / (9 x 2) = 14/18.
5/6 tai 5 / (2 x 3) - nimittäjästä puuttuu kolmio:
5/6 = (5 x 3) / (6 x 3) = 15/18.

Yhdessä se näyttää tältä:

Kuinka vähentää ja lisätä murtolukuja eri nimittäjillä

Kuten edellä mainittiin, eri nimittäjillä olevien murtolukujen lisäämiseksi tai vähentämiseksi ne on vähennettävä samaan nimittäjään ja sitten on käytettävä sääntöjä saman nimittäjän murtolukujen vähentämiseksi, mikä on jo kuvattu.

Katsotaanpa esimerkkiä: 4/18 - 3/15.

Etsi lukujen 18 ja 15 kerrannainen:

Numero 18 koostuu 3 x 2 x 3:sta.
Numero 15 koostuu 5 x 3:sta.
Yhteinen kerrannainen on 5 x 3 x 3 x 2 = 90.

Kun nimittäjä on löydetty, on tarpeen laskea kerroin, joka on erilainen jokaiselle murtoluvulle, eli numero, jolla ei vain nimittäjä, vaan myös osoittaja on kerrottava. Tätä varten löydetty luku (yhteinen kerrannainen) jaetaan sen murto-osan nimittäjällä, jolle on määritettävä lisätekijöitä.

90 jaettuna 15:llä. Tuloksena oleva luku "6" on kerroin 3/15.
90 jaettuna 18:lla. Tuloksena oleva luku "5" on kertoimella 4/18.

Seuraava askel ratkaisussamme on tuoda jokainen murto-osa nimittäjään "90".

Olemme jo keskustelleet siitä, kuinka tämä tehdään. Katsotaanpa, kuinka tämä kirjoitetaan esimerkissä:

(4 x 5) / (18 x 5) - (3 x 6) / (15 x 6) = 20/90 - 18/90 = 2/90 = 1/45.

Jos murtoluvut ovat pieniä lukuja, niin yhteinen nimittäjä voidaan määrittää alla olevan kuvan esimerkin mukaisesti.

Samalla tavalla se tuotetaan ja sillä on erilaiset nimittäjät.

Vähennys ja kokonaisten osien saaminen

Olemme jo käsitelleet murtolukujen vähentämistä ja niiden yhteenlaskua yksityiskohtaisesti. Mutta kuinka vähennät, jos murtoluvulla on kokonaislukuosa? Käytetään jälleen muutamia sääntöjä:

Kaikki murtoluvut, joissa on kokonaislukuosa, tulee muuntaa vääriksi. Yksinkertaisesti sanottuna poista koko osa. Voit tehdä tämän kertomalla kokonaisluvun osan numeron murto-osan nimittäjällä, lisäämällä tuloksena saatu tulo osoittajaan. Näiden toimien jälkeen saatu luku on väärän murtoluvun osoittaja. Nimittäjä pysyy ennallaan.
Jos murtoluvuilla on eri nimittäjät, ne tulee muuttaa samaksi.
Lisää tai vähennä samoilla nimittäjillä.
Jos saat väärän murtoluvun, valitse koko osa.

On myös toinen tapa, jolla voit lisätä ja vähentää murtolukuja kokonaisilla osilla. Tätä varten toiminnot suoritetaan erikseen kokonaisilla osilla ja erikseen toiminnot murtoluvuilla, ja tulokset kirjataan yhteen.

Yllä oleva esimerkki koostuu murtoluvuista, joilla on sama nimittäjä. Siinä tapauksessa, että nimittäjät ovat erilaisia, ne on vähennettävä samoiksi ja suoritettava sitten toiminnot esimerkin mukaisesti.

Murtolukujen vähentäminen kokonaisluvusta

Toinen murtolukujen toimintotyypeistä on tapaus, jossa murto-osa on vähennettävä luvusta Ensi silmäyksellä tämä esimerkki näyttää vaikealta ratkaista. Täällä kaikki on kuitenkin melko yksinkertaista. Sen ratkaisemiseksi on tarpeen muuntaa kokonaisluku murto-osaksi ja samalla nimittäjällä, joka on vähennettävässä murtoluvussa. Seuraavaksi teemme vähennyksen, joka on samanlainen kuin vähentäminen samoilla nimittäjillä. Se näyttää esimerkiksi tältä:

7 - 4/9 = (7 x 9) / 9 - 4/9 = 53/9 - 4/9 = 49/9.

Tässä artikkelissa annettu murto-osien vähentäminen (luokka 6) on perusta monimutkaisempien esimerkkien ratkaisemiseen, joita tarkastellaan seuraavissa luokissa. Tämän aiheen tietoja käytetään myöhemmin funktioiden, johdannaisten ja niin edelleen ratkaisemiseen. Siksi on erittäin tärkeää ymmärtää ja ymmärtää edellä käsitellyt toiminnot murtoluvuilla.

§ 87. Murtolukujen lisääminen.

Murtolukusummalla on monia yhtäläisyyksiä kokonaislukujen yhteenlaskemiseen. Murtolukujen yhteenlasku on toimenpide, joka koostuu siitä, että useita annettuja lukuja (termejä) yhdistetään yhdeksi luvuksi (summaksi), joka sisältää kaikki termien yksiköt ja yksiköiden murto-osat.

Käsittelemme kolmea tapausta peräkkäin:

1. Murtolukujen lisääminen samoilla nimittäjillä.
2. Eri nimittäjillä olevien murtolukujen lisääminen.
3. Sekalukujen lisääminen.

1. Murtolukujen lisääminen samoilla nimittäjillä.

Harkitse esimerkkiä: 1/5 + 2/5.

Ota segmentti AB (kuva 17), ota se yksikkönä ja jaa se 5 yhtä suureen osaan, jolloin tämän segmentin osa AC on yhtä suuri kuin 1/5 segmentistä AB ja saman segmentin CD osa on yhtä suuri kuin 2/5 AB.

Piirustus osoittaa, että jos otat segmentin AD, se on yhtä suuri kuin 3/5 AB; mutta segmentti AD on vain segmenttien AC ja CD summa. Siksi voimme kirjoittaa:

1 / 5 + 2 / 5 = 3 / 5

Nämä termit ja tuloksena oleva summa huomioon ottaen näemme, että summan osoittaja saatiin termien osoittajien yhteenlaskemisesta ja nimittäjä pysyi ennallaan.

Tästä saamme seuraavan säännön: lisätäksesi murto-osia, joilla on sama nimittäjä, lisää niiden osoittajat ja jätä sama nimittäjä.

Tarkastellaanpa esimerkkiä:

2. Eri nimittäjillä olevien murtolukujen lisääminen.

Lisäämme murtoluvut: 3/4 + 3/8 Ensin ne on vähennettävä alimpaan yhteiseen nimittäjään:

Välilinkkiä 6/8 + 3/8 ei voitu kirjoittaa; kirjoitimme sen tänne selvyyden vuoksi.

Jotta voit lisätä murtolukuja eri nimittäjillä, sinun on ensin saatava ne alimmalle yhteiselle nimittäjälle, lisättävä niiden osoittajat ja allekirjoitettava yhteinen nimittäjä.

Harkitse esimerkkiä (kirjoitamme lisätekijöitä vastaavien murtolukujen päälle):

3. Sekalukujen lisääminen.

Lisää numerot: 2 3/8 + 3 5/6.

Ensin tuomme lukujemme murto-osat yhteiseen nimittäjään ja kirjoitamme ne uudelleen:

Lisätään nyt kokonaiset ja murto-osat peräkkäin:

§ 88. Murtolukujen vähentäminen.

Murtolukujen vähentäminen määritellään samalla tavalla kuin kokonaislukujen vähentäminen. Tämä on toiminto, jolla tietylle kahden ehdon ja yhden ehdon summalle löydetään toinen termi. Tarkastellaan kolmea tapausta peräkkäin:

1. Saman nimittäjän murtolukujen vähentäminen.
2. Eri nimittäjillä olevien murtolukujen vähentäminen.
3. Sekalukujen vähentäminen.

1. Saman nimittäjän murtolukujen vähentäminen.

Tarkastellaanpa esimerkkiä:

13 / 15 - 4 / 15

Ota segmentti AB (kuva 18), ota se yksikkönä ja jaa se 15 yhtä suureen osaan; silloin osa tämän segmentin AC:sta on 1/15 AB:sta ja osa saman segmentin AD:sta vastaa 13/15 AB:tä. Laitetaan sivuun segmentti ED, yhtä suuri kuin 4/15 AB.

Meidän on vähennettävä 4/15 luvusta 13/15. Piirustuksessa tämä tarkoittaa, että segmentistä AD on vähennettävä segmentti ED. Tämän seurauksena segmentti AE säilyy, mikä on 9/15 segmentistä AB. Joten voimme kirjoittaa:

Esimerkkimme osoittaa, että eron osoittaja saadaan vähentämällä osoittajat, mutta nimittäjä pysyy samana.

Siksi, jos haluat vähentää murto-osia, joilla on sama nimittäjä, sinun on vähennettävä vähennetyn osoittaja vähennetyn osoittajasta ja jätettävä sama nimittäjä.

2. Eri nimittäjillä olevien murtolukujen vähentäminen.

Esimerkki. 4.3 - 8.5

Ensin tuomme nämä murtoluvut pienimpään yhteiseen nimittäjään:

Välitaso 6/8 - 5/8 on kirjoitettu tähän selvyyden vuoksi, mutta se voidaan jättää pois jäljempänä.

Joten murto-osan vähentämiseksi murtoluvusta sinun on ensin saatava ne alimmalle yhteiselle nimittäjälle, sitten vähennettävä vähennetyn osoittaja vähennetyn osoittajasta ja allekirjoitettava yhteinen nimittäjä niiden eron alle.

Tarkastellaanpa esimerkkiä:

3. Sekalukujen vähentäminen.

Esimerkki. 10 3/4 - 7 2/3.

Viedään pelkistetyn ja vähennetyn murto-osat alimpaan yhteiseen nimittäjään:

Vähennämme kokonaisuuden kokonaisuudesta ja murto-osan murto-osasta. Mutta on aikoja, jolloin vähennetyn murto-osa on suurempi kuin vähennetyn murto-osa. Tällaisissa tapauksissa sinun on otettava yksi yksikkö pienennetyn kokonaisesta osasta, jaettava se niihin osiin, joissa murto-osa ilmaistaan, ja lisätään se pienennetyn osan murto-osaan. Ja sitten vähennys tehdään samalla tavalla kuin edellisessä esimerkissä:

§ 89. Murtolukujen kertolasku.

Kun tutkitaan murtolukujen kertomista, harkitsemme seuraavia kysymyksiä:

1. Murtoluvun kertominen kokonaisluvulla.
2. Tietyn luvun murto-osan löytäminen.
3. Kokonaisluvun kertominen murtoluvulla.
4. Murtoluvun kertominen murtoluvulla.
5. Sekalukujen kertolasku.
6. Kiinnostuksen käsite.
7. Tietyn luvun prosenttiosuuden löytäminen. Tarkastellaan niitä peräkkäin.

1. Murtoluvun kertominen kokonaisluvulla.

Murtoluvun kertomisella kokonaisluvulla on sama merkitys kuin kokonaisluvun kertomisella kokonaisluvulla. Murtoluvun (kertoimen) kertominen kokonaisluvulla (kertoimella) tarkoittaa samojen termien summan muodostamista, jossa jokainen termi on yhtä suuri kuin kertoja ja termien määrä on yhtä suuri kuin kertoja.

Joten, jos sinun on kerrottava 1/9 luvulla 7, tämä voidaan tehdä seuraavasti:

Tuloksen saimme helposti, koska toiminta rajoittui samojen nimittäjien murtolukujen lisäämiseen. Siten,

Tämän toiminnon tarkastelu osoittaa, että murtoluvun kertominen kokonaisluvulla vastaa tämän murtoluvun kasvattamista niin monta kertaa kuin kokonaisluvussa on yksiköitä. Ja koska murto-osan kasvu saavutetaan joko lisäämällä sen osoittajaa

tai pienentämällä sen nimittäjää , niin voimme joko kertoa osoittajan kokonaisluvulla tai jakaa nimittäjän sillä, jos tällainen jako on mahdollista.

Täältä saamme säännön:

Jos haluat kertoa murto-osan kokonaisluvulla, kerro osoittaja tällä kokonaisluvulla ja jätä nimittäjä ennalleen tai, jos mahdollista, jaa nimittäjä tällä luvulla, jolloin osoittaja ei muutu.

Kerrottaessa lyhenteet ovat mahdollisia, esimerkiksi:

2. Tietyn luvun murto-osan löytäminen. On monia tehtäviä, joiden ratkaisussa sinun on löydettävä tai laskettava osa annetusta luvusta. Näiden tehtävien ero muihin on se, että ne antavat joidenkin esineiden tai mittayksiköiden lukumäärän ja tästä numerosta on löydettävä osa, joka on myös osoitettu tietyllä murtoluvulla. Ymmärtämisen helpottamiseksi annamme ensin esimerkkejä tällaisista ongelmista ja sitten esittelemme sinulle tavan ratkaista ne.

Tavoite 1. Minulla oli 60 ruplaa; Käytin 1/3 näistä rahoista kirjojen ostoon. Paljonko kirjat maksoivat?

Tavoite 2. Junan tulee kulkea kaupunkien A ja B välinen matka, joka on 300 km. Hän on jo ajanut 2/3 tästä matkasta. Kuinka monta kilometriä se on?

Tavoite 3. Kylässä on 400 taloa, joista 3/4 on tiilitaloa, loput puuta. Kuinka monta tiilitaloa siellä on?

Tässä on joitain monista ongelmista, jotka meidän on kohdattava tietyn luvun murto-osan löytämisessä. Niitä kutsutaan yleensä tietyn luvun murto-osien löytämisen ongelmiksi.

Ratkaisu ongelmaan 1. Alkaen 60 ruplaa. Vietin kirjoihin 1/3; Joten saadaksesi selville kirjojen hinnan, sinun on jaettava luku 60 kolmella:

Ratkaisu ongelmaan 2. Ongelman tarkoitus on, että sinun on löydettävä 2/3 300 km: stä. Lasketaan ensimmäinen 1/3 300:sta; tämä saavutetaan jakamalla 300 km kolmella:

300: 3 = 100 (tämä on 1/3 300:sta).

Löytääksesi kaksi kolmasosaa luvusta 300, sinun on kaksinkertaistettava saatu osamäärä eli kerrottava kahdella:

100 x 2 = 200 (tämä on 2/3 300:sta).

Ratkaisu ongelmaan 3. Tässä sinun on määritettävä tiilitalojen lukumäärä, jotka ovat 3/4 400:sta. Etsitään ensimmäinen 1/4 400:sta,

400: 4 = 100 (tämä on 1/4 400:sta).

Kolmen neljäsosan laskemiseksi 400:sta saatu osamäärä on kolminkertaistettava, eli kerrottava 3:lla:

100 x 3 = 300 (tämä on 3/4 400:sta).

Näiden ongelmien ratkaisun perusteella voimme johtaa seuraavan säännön:

Tietyn luvun murto-osan arvon löytämiseksi sinun on jaettava tämä luku murto-osan nimittäjällä ja kerrottava tuloksena oleva osamäärä sen osoittajalla.

3. Kokonaisluvun kertominen murtoluvulla.

Aikaisemmin (26 §) on todettu, että kokonaislukujen kertolasku on ymmärrettävä samojen termien yhteenlaskuksi (5 x 4 = 5 + 5 + 5 + 5 = 20). Tässä kappaleessa (kohta 1) todettiin, että murtoluvun kertominen kokonaisluvulla tarkoittaa, että samojen ehtojen summa on yhtä suuri kuin tämä murtoluku.

Molemmissa tapauksissa kertolasku koostui samojen termien summan löytämisestä.

Siirrymme nyt kokonaisluvun kertomiseen murtoluvulla. Täällä tapaamme esimerkiksi kertolaskun: 9 2/3. On aivan ilmeistä, että edellinen kertolasku ei sovi tähän tapaukseen. Tämä näkyy siitä tosiasiasta, että emme voi korvata tällaista kertolaskua laskemalla yhteen keskenään yhtä suuret luvut.

Tästä johtuen joudumme antamaan kertomiselle uuden määritelmän, eli toisin sanoen vastaamaan kysymykseen, mitä murtoluvulla kertomisella pitäisi ymmärtää, miten tämä toiminta pitäisi ymmärtää.

Kokonaisluvun murtoluvulla kertomisen merkitys selviää seuraavasta määritelmästä: kokonaisluvun (kertoimen) kertominen murtoluvulla (kertoimella) tarkoittaa kertojan tämän murto-osan löytämistä.

Nimittäin 9:n kertominen 2/3:lla tarkoittaa 2/3:n löytämistä yhdeksästä yksiköstä. Edellisessä kappaleessa sellaiset tehtävät ratkaistiin; joten on helppo päätellä, että saamme lopulta 6.

Mutta nyt herää mielenkiintoinen ja tärkeä kysymys: miksi tällaisia näennäisesti erilaisia toimia, kuten yhtäläisten lukujen summan löytämistä ja luvun murto-osan löytämistä, kutsutaan aritmetiikassa samalla sanalla "kertominen"?

Tämä johtuu siitä, että edellinen toiminto (luvun toistaminen summalla useita kertoja) ja uusi toiminta (luvun murto-osan löytäminen) antavat vastauksen homogeenisiin kysymyksiin. Tämä tarkoittaa, että tässä lähdetään siitä ajatuksesta, että homogeeniset kysymykset tai ongelmat ratkaistaan samalla toiminnalla.

Tämän ymmärtämiseksi harkitse seuraavaa ongelmaa: "1 metri kangasta maksaa 50 ruplaa. Kuinka paljon 4 metriä tällaista kangasta maksaa?"

Tämä ongelma ratkaistaan kertomalla ruplamäärä (50) metrien määrällä (4), eli 50 x 4 = 200 (ruplaa).

Otetaan sama ongelma, mutta siinä kankaan määrä ilmaistaan murtolukuna: "1 m kangasta maksaa 50 ruplaa. Kuinka paljon 3/4 m tällaista kangasta maksaa?"

Tämä ongelma on myös ratkaistava kertomalla ruplamäärä (50) metrien määrällä (3/4).

On mahdollista ja useita kertoja, muuttamatta ongelman merkitystä, muuttaa siinä olevia numeroita, esimerkiksi ottaa 9/10 m tai 2 3/10 m jne.

Koska näillä tehtävillä on sama sisältö ja ne eroavat vain numeroista, kutsumme niiden ratkaisemiseen käytettyjä toimintoja samalla sanalla - kertolasku.

Miten kokonaisluku kerrotaan murtoluvulla?

Otetaan viimeisessä tehtävässä havaitut numerot:

Määritelmän mukaan meidän on löydettävä 3/4 50:stä. Ensin löydetään 1/4 50:stä ja sitten 3/4.

1/4 luvusta 50 on 50/4;

3/4 luvusta 50 on.

Siten.

Harkitse toista esimerkkiä: 12 5/8 =?

1/8/12 on 12/8,

5/8 luvusta 12 on.

Siten,

Täältä saamme säännön:

Jos haluat kertoa kokonaisluvun murtoluvulla, sinun on kerrottava kokonaisluku murto-osan osoittajalla ja tehtävä tästä tuotteesta osoittaja ja allekirjoitettava tämän murtoluvun nimittäjä nimittäjäksi.

Kirjoitetaan tämä sääntö kirjaimilla:

Jotta tämä sääntö olisi täysin selvä, on muistettava, että murtolukua voidaan tarkastella osamääränä. Siksi löydettyä sääntöä on hyödyllistä verrata luvun 38 §:ssä esitettyyn luvun kertolasku sääntöön.

On muistettava, että ennen kertolaskua sinun tulee tehdä (jos mahdollista) vähennyksiä, Esimerkiksi:

4. Murtoluvun kertominen murtoluvulla. Murtoluvun kertominen murtoluvulla on sama merkitys kuin kokonaisluvun kertominen murtoluvulla, eli kun murto-osa kerrotaan murtoluvulla, sinun on löydettävä kertoimen murto-osa ensimmäisestä murtoluvusta (kerroin).

Nimittäin 3/4:n kertominen 1/2:lla (puoli) tarkoittaa puolet 3/4:stä.

Miten murto-osan kertominen murtoluvulla tapahtuu?

Otetaan esimerkki: 3/4 kertaa 5/7. Tämä tarkoittaa, että sinun on löydettävä 5/7 3/4:stä. Etsi ensin 1/7 3/4:stä ja sitten 5/7

1/7/3/4 ilmaistaan näin:

5/7/3/4 ilmaistaan näin:

Tällä tavalla,

Toinen esimerkki: 5/8 kertaa 4/9.

1/9/5/8 on,

4/9 luvusta 5/8 on.

Tällä tavalla,

Kun otetaan huomioon nämä esimerkit, voidaan päätellä seuraava sääntö:

Jos haluat kertoa murto-osan murtoluvulla, sinun on kerrottava osoittaja osoittajalla ja nimittäjä nimittäjällä, ja ensimmäisestä tuotteesta on tehtävä osoittaja ja toisesta tuotteen nimittäjä.

Yleisesti ottaen tämä sääntö voidaan kirjoittaa seuraavasti:

Kerrottaessa on tarpeen tehdä (jos mahdollista) vähennyksiä. Tarkastellaanpa joitain esimerkkejä:

5. Sekalukujen kertolasku. Koska sekaluvut voidaan helposti korvata väärillä murtoluvuilla, tätä seikkaa käytetään yleensä sekalukujen kertomisessa. Tämä tarkoittaa, että tapauksissa, joissa kerroin tai tekijä tai molemmat tekijät ilmaistaan sekaluvuilla, ne korvataan väärillä murtoluvuilla. Kerrotaan esimerkiksi sekaluvut: 2 1/2 ja 3 1/5. Muunnetaan jokainen niistä epäsäännölliseksi murtoluvuksi ja kerrotaan sitten saadut murtoluvut säännön mukaisesti, jossa murto-osa kerrotaan murtoluvulla:

Sääntö. Jos haluat kertoa sekaluvut, sinun on ensin muutettava ne vääriksi murtoluvuiksi ja kerrottava ne sitten säännön mukaisesti, jossa murtoluku kerrotaan murtoluvulla.

Merkintä. Jos yksi tekijöistä on kokonaisluku, kertolasku voidaan suorittaa jakautumislain perusteella seuraavasti:

6. Kiinnostuksen käsite. Tehtäessä ratkaisuja ja erilaisia käytännön laskelmia, käytämme kaikenlaisia murtolukuja. Mutta on pidettävä mielessä, että monet suuret eivät salli niille mitään, vaan luonnollisia alajakoja. Voit esimerkiksi ottaa sadasosan (1/100) ruplaa, se on kopeikka, kaksi sadasosaa on 2 kopekkaa, kolme sadasosaa - 3 kopekkaa. Voit ottaa 1/10 ruplaa, se on "10 kopekkaa tai penniä. Voit ottaa neljäsosa ruplaa, eli 25 kopekkaa, puoli ruplaa, eli 50 kopekkaa (viisikymmentä kopekkaa). Mutta he eivät käytännössä ota esimerkiksi 2/7 ruplaa, koska ruplaa ei jaeta seitsemäsosaan.

Painon mittayksikkö eli kilogramma sallii ennen kaikkea desimaalijaot, esimerkiksi 1/10 kg tai 100 g. Ja kilon murto-osat kuten 1/6, 1/11, 1/13 ovat harvinaisia.

Yleensä (metriset) mittamme ovat desimaalilukuja ja sallivat desimaalijaon.

On kuitenkin huomattava, että on erittäin hyödyllistä ja kätevää useissa tapauksissa käyttää samaa (yhtenäistä) menetelmää määrien jakamiseen. Monien vuosien kokemus on osoittanut, että tällainen hyvin todistettu jako on "sadas" jako. Harkitse muutamia esimerkkejä monilta ihmisen käytännön alueilta.

1. Kirjojen hinta on laskenut 12/100 edellisestä hinnasta.

Esimerkki. Kirjan edellinen hinta on 10 ruplaa. Se laski 1 ruplalla. 20 kopekkaa

2. Säästöpankit maksavat tallettajille 2/100 vuoden aikana säästämiseen osoitetusta määrästä.

Esimerkki. Kassalla on 500 ruplaa, tulot tästä summasta vuodelle ovat 10 ruplaa.

3. Yhden koulun valmistuneiden määrä oli 5/100 opiskelijoiden kokonaismäärästä.

ESIMERKKI Koulussa opiskeli vain 1 200 opiskelijaa, joista 60 valmistui koulusta.

Luvun sadasosaa kutsutaan prosentiksi..

Sana "prosentti" on lainattu latinan kielestä ja sen juuri "sentti" tarkoittaa sataa. Yhdessä prepositiolla (pro centum) tämä sana tarkoittaa "yli sataa". Tämän ilmaisun merkitys johtuu siitä tosiasiasta, että alun perin antiikin Roomassa korkoa kutsuttiin rahaksi, jonka velallinen maksoi lainanantajalle "jokaista sataa kohden". Sana "sentti" kuullaan niin tutuilla sanoilla: centner (sata kiloa), senttimetri (sanottu senttimetri).

Esimerkiksi sen sijaan, että väittäisimme, että viime kuukauden tehdas antoi romua 1/100 kaikista tuotteistaan, sanomme näin: viimeisen kuukauden tehdas antoi yhden prosentin romusta. Sen sijaan, että sanoisi: tehdas tuotti 4/100 enemmän kuin suunniteltu suunnitelma, sanomme: tehdas ylitti suunnitelman 4 prosentilla.

Yllä olevat esimerkit voidaan ilmaista toisin:

1. Kirjojen hinta on laskenut 12 prosenttia edellisestä hinnasta.

2. Säästöpankit maksavat tallettajille 2 prosenttia vuodessa säästämiseen osoitetusta määrästä.

3. Yhdestä koulusta valmistuneiden määrä oli 5 prosenttia koulun kaikista oppilaista.

Kirjaimen lyhentämiseksi on tapana kirjoittaa %-symboli sanan "prosentti" sijaan.

On kuitenkin muistettava, että laskelmissa %-merkkiä ei yleensä kirjoiteta, vaan se voidaan kirjoittaa tehtävään ja lopputulokseen. Kun suoritat laskelmia, sinun on kirjoitettava murto-osa, jonka nimittäjä on 100 tällä merkillä varustetun kokonaisluvun sijaan.

Sinun on voitava korvata kokonaisluku ilmoitetulla kuvakkeella murtoluvulla, jonka nimittäjä on 100:

Päinvastoin, sinun on totuttava kirjoittamaan kokonaisluku ilmoitetulla merkillä sen sijaan, että murto-osa, jonka nimittäjä on 100:

7. Tietyn luvun prosenttiosuuden löytäminen.

Tavoite 1. Koulu sai 200 kuutiota. m polttopuuta, josta koivupolttopuun osuus 30 %. Kuinka monta koivupolttopuuta siellä oli?

Tämän ongelman tarkoitus on, että koivupolttopuuta oli vain osa koululle toimitetusta polttopuusta, ja tämä osa ilmaistaan murto-osana 30/100. Tämä tarkoittaa, että meidän edessämme on löytää luvun murto-osa. Sen ratkaisemiseksi meidän on kerrottava 200 luvulla 30/100 (luvun murto-osan löytämisen ongelmat ratkaistaan kertomalla luku murtoluvulla.).

Tämä tarkoittaa, että 30 % 200:sta on 60.

Tässä ongelmassa havaittu murto-osa 30/100 voidaan pienentää 10:llä. Tämä vähennys olisi voitu tehdä alusta alkaen; ongelman ratkaisu ei olisi muuttunut.

Tavoite 2. Leirillä oli 300 eri-ikäistä lasta. 11-vuotiaiden osuus oli 21 %, 12-vuotiaiden osuus 61 % ja lopuksi 13-vuotiaiden osuus 18 %. Kuinka monta lasta kutakin ikäluokkaa oli leirillä?

Tässä tehtävässä sinun on suoritettava kolme laskutoimitusta, eli peräkkäin löydettävä 11-vuotiaiden, sitten 12-vuotiaiden ja lopuksi 13-vuotiaiden lasten lukumäärä.

Tämä tarkoittaa, että tässä sinun on löydettävä luvun murto-osa kolme kertaa. Tehdään se:

1) Kuinka monta lasta oli 11-vuotias?

2) Kuinka monta lasta oli 12-vuotiaita?

3) Kuinka monta lasta oli 13-vuotiaita?

Tehtävän ratkaisemisen jälkeen on hyödyllistä lisätä löydetyt numerot; niiden summan pitäisi olla 300:

63 + 183 + 54 = 300

Kannattaa myös kiinnittää huomiota siihen, että ongelmatilanteessa annettu korkojen summa on 100:

21% + 61% + 18% = 100%

Tämä viittaa siihen, että leirillä olevien lasten kokonaismääräksi otettiin 100 %.

3 tapaus 3. Työntekijä sai 1200 ruplaa kuukaudessa. Näistä hän käytti ruokaan 65 %, asuntoon ja lämmitykseen 6 %, kaasuun, sähköön ja radioon 4 %, kulttuuritarpeisiin 10 % ja säästöihin 15 %. Kuinka paljon rahaa käytettiin tehtävässä ilmoitettuihin tarpeisiin?

Tämän ongelman ratkaisemiseksi sinun on löydettävä luvun 1 200 murto-osa 5 kertaa. Tehdään se.

1) Kuinka paljon rahaa käytettiin ruokaan? Ongelma sanoo, että tämä kulu on 65 % kokonaisansioista, eli 65/100 luvusta 1200. Tehdään laskelma:

2) Kuinka paljon rahaa maksettiin lämmitetystä asunnosta? Päätellen kuten edellinen, päädymme seuraavaan laskelmaan:

3) Kuinka paljon maksoit kaasusta, sähköstä ja radiosta?

4) Kuinka paljon rahaa käytettiin kulttuuritarpeisiin?

5) Kuinka paljon työntekijä säästi?

On hyödyllistä lisätä näiden 5 kysymyksessä olevat numerot testattavaksi. Summan tulee olla 1 200 ruplaa. Kaikki tulot lasketaan 100 %:ksi, mikä on helppo tarkistaa laskemalla yhteen ongelmalausekkeessa annetut prosenttiosuudet.

Olemme ratkaisseet kolme ongelmaa. Huolimatta siitä, että nämä ongelmat koskivat eri asioita (polttopuiden toimitus koululle, eri-ikäisten lasten määrä, työntekijän kulut), ne ratkesivat samalla tavalla. Tämä tapahtui, koska kaikissa tehtävissä oli tarpeen löytää muutama prosentti annetuista luvuista.

§ 90. Murtolukujako.

Kun tutkimme murto-osien jakoa, harkitsemme seuraavia asioita:

1. Kokonaisluvun jako kokonaisluvulla.
2. Murtoluvun jako kokonaisluvulla
3. Kokonaisluvun jakaminen murto-osaan.
4. Murto-osan jakaminen murto-osaksi.
5. Sekalukujen jako.
6. Lukujen löytäminen annetulle murtoluvulle.
7. Numeron löytäminen sen prosentteina.

Tarkastellaan niitä peräkkäin.

1. Kokonaisluvun jako kokonaisluvulla.

Kuten kokonaislukujen osiossa todettiin, jako on toimenpide, joka koostuu siitä, että kahden tekijän (jaollinen) ja yhden näistä tekijöistä (jakaja) tietylle tulolle löydetään toinen tekijä.

Tarkastelimme kokonaisluvun jakoa kokonaisluvulla kokonaislukujen osastossa. Tapasimme siellä kaksi jakotapausta: jako ilman jäännöstä tai "kokonaan" (150: 10 = 15) ja jako jäännösosalla (100: 9 = 11 ja 1 jäljellä). Voidaan siis sanoa, että kokonaislukujen alalla tarkka jako ei aina ole mahdollista, koska osinko ei aina ole jakajan tulo kokonaisluvulla. Murtoluvulla kertomisen käyttöönoton jälkeen voimme pitää minkä tahansa kokonaislukujen jakamistapauksen mahdollisena (ainoastaan nollalla jako on poissuljettu).

Esimerkiksi luvun 7 jakaminen 12:lla tarkoittaa sellaisen luvun löytämistä, jonka tulo 12:lla olisi 7. Tämä luku on 7/12, koska 7/12 12 = 7. Toinen esimerkki: 14:25 = 14/25, koska 14/25 25 = 14.

Näin ollen, jotta voit jakaa kokonaisluvun kokonaisluvulla, sinun on muodostettava murtoluku, jonka osoittaja on osinko ja nimittäjä on jakaja.

2. Murtoluvun jako kokonaisluvulla.

Jaa murto-osa 6/7 3:lla. Yllä annetun jakomääritelmän mukaan tässä on tulo (6/7) ja yksi tekijöistä (3); on löydettävä sellainen toinen tekijä, joka kertomalla 3:lla antaisi annetulle tulolle 6/7. Ilmeisesti sen pitäisi olla kolme kertaa pienempi kuin tämä kappale. Tämä tarkoittaa, että meille asetettu tehtävä oli pienentää murto-osaa 6/7 3 kertaa.

Tiedämme jo, että murtoluvun pienentäminen voidaan suorittaa joko pienentämällä sen osoittajaa tai suurentamalla sen nimittäjää. Siksi voi kirjoittaa:

Tässä tapauksessa 6:n osoittaja on jaollinen kolmella, joten osoittajaa tulee pienentää 3 kertaa.

Otetaan toinen esimerkki: jaa 5/8 kahdella. Tässä 5:n osoittaja ei ole tasaisesti jaollinen kahdella, joten sinun on kerrottava nimittäjä tällä numerolla:

Tämän perusteella voimme muotoilla säännön: jakaaksesi murtoluvun kokonaisluvulla, sinun on jaettava murtoluvun osoittaja tällä kokonaisluvulla(jos mahdollista), Jätä sama nimittäjä tai kerro murto-osan nimittäjä tällä luvulla jättäen saman osoittajan.

3. Kokonaisluvun jakaminen murto-osaan.

Oletetaan, että 5 on jaettava 1/2:lla, eli löydettävä luku, joka kertomalla 1/2:lla antaa tulon 5. On selvää, että tämän luvun on oltava suurempi kuin 5, koska 1/2 on säännöllinen murtoluku, ja kun luku kerrotaan säännöllisellä murtoluvulla, tulon on oltava pienempi kuin kertottava. Selvyyden vuoksi kirjoitetaan toimintamme seuraavasti: 5: 1/2 = X , joten x 1/2 = 5.

Meidän on löydettävä tällainen numero X , joka kerrottuna 1/2:lla antaisi 5. Koska jonkun luvun kertominen 1/2:lla - tämä tarkoittaa 1/2:n löytämistä tästä luvusta, niin siis 1/2 tuntemattomasta luvusta X on yhtä suuri kuin 5 ja kokonaisluku X kaksi kertaa niin paljon, eli 5 2 = 10.

Joten 5: 1/2 = 5 2 = 10

Tarkistetaan:

Otetaan toinen esimerkki. Oletetaan, että haluat jakaa luvun 6 luvulla 2/3. Yritetään ensin löytää haluttu tulos piirustuksen avulla (kuva 19).

Kuva 19

Piirretään jana AB, joka vastaa noin 6 yksikköä, ja jaetaan kukin yksikkö 3 yhtä suureen osaan. Jokaisessa yksikössä kolme kolmasosaa (3/3) koko segmentissä AB on 6 kertaa enemmän, ts. e. 18/3. Yhdistämme pienten sulujen avulla 18 saatua segmenttiä 2; tulee vain 9 segmenttiä. Tämä tarkoittaa, että murto-osa 2/3 sisältyy 6 yksikköön 9 kertaa, eli toisin sanoen murto-osa 2/3 on 9 kertaa pienempi kuin 6 kokonaista yksikköä. Siten,

Kuinka voit saada tämän tuloksen ilman suunnitelmaa käyttämällä vain laskelmia? Väittelemme seuraavasti: 6 on jaettava 2/3:lla, eli on vastattava kysymykseen, kuinka monta kertaa 2/3 sisältyy 6:een. Selvitetään ensin: kuinka monta kertaa 1/3 on sisältyy 6? Kokonaisessa yksikössä - 3 kolmasosaa ja 6 yksikössä - 6 kertaa enemmän, eli 18 kolmasosaa; Tämän luvun löytämiseksi meidän on kerrottava 6 kolmella. Tämä tarkoittaa, että 1/3 sisältyy 6 yksikköön 18 kertaa ja 2/3 sisältyy 6:een ei 18 kertaa, vaan puolet niin monta kertaa, eli 18: 2 = 9. Siksi, kun jaamme 6:lla 2/3, teimme seuraavaa:

Tästä saamme säännön kokonaisluvun jakamisesta murtoluvulla. Jos haluat jakaa kokonaisluvun murto-osaan, sinun on kerrottava tämä kokonaisluku annetun murto-osan nimittäjällä ja tehtyään tästä tuotteesta osoittaja ja jaettava se annetun murto-osan osoittajalla.

Kirjoitetaan sääntö kirjaimilla:

Jaettaessa lyhenteet ovat mahdollisia, esimerkiksi:

4. Murto-osan jakaminen murto-osaksi.

Oletetaan, että haluat jakaa 3/4 luvulla 3/8. Mikä on luku, joka on jaon tulos? Se vastaa kysymykseen, kuinka monta kertaa murto-osa 3/8 sisältyy murto-osaan 3/4. Ymmärtääksesi tämän ongelman, tehdään piirustus (kuva 20).

Ota segmentti AB, ota se yksikkönä, jaa se 4 yhtä suureen osaan ja merkitse 3 tällaista osaa. AC-segmentti on yhtä suuri kuin 3/4 AB-segmentistä. Jaetaan nyt kukin neljästä alkusegmentistä puoliksi, sitten AB-segmentti jaetaan 8 yhtä suureen osaan ja jokainen tällainen osa on yhtä suuri kuin 1/8 AB-segmentistä. Yhdistäkäämme 3 tällaista segmenttiä kaarilla, jolloin kukin segmenteistä AD ja DC on yhtä suuri kuin 3/8 segmentistä AB. Piirustus osoittaa, että segmentti, joka on yhtä suuri kuin 3/8, sisältyy segmenttiin, joka on yhtä suuri kuin 3/4, täsmälleen 2 kertaa; joten jaon tulos voidaan kirjoittaa seuraavasti:

3 / 4: 3 / 8 = 2

Otetaan toinen esimerkki. Jaetaan 15/16 luvulla 3/32:

Voimme ajatella näin: sinun on löydettävä luku, joka kerrottuna 3/32:lla antaa tuotteen, joka on yhtä suuri kuin 15/16. Kirjoitetaan laskelmat näin:

15 / 16: 3 / 32 = X

3 / 32 X = 15 / 16

3/32 tuntematon numero X ovat 15/16

1/32 tuntemattomasta numerosta X On,

32/32 numerot X meikki.

Siten,

Näin ollen, jotta voit jakaa murto-osan murto-osaan, sinun on kerrottava ensimmäisen murtoluvun osoittaja toisen nimittäjällä ja kerrottava ensimmäisen murtoluvun nimittäjä toisen osoittajalla ja tehtävä ensimmäinen tulo osoittajaksi, ja toinen, nimittäjä.

Kirjoitetaan sääntö kirjaimilla:

Jaettaessa lyhenteet ovat mahdollisia, esimerkiksi:

5. Sekalukujen jako.

Sekalukuja jaettaessa ne on ensin muutettava vääriksi murtoluvuiksi ja jaettava sitten saadut murtoluvut murtolukujen jakamissääntöjen mukaisesti. Tarkastellaanpa esimerkkiä:

Muunnetaan sekaluvut vääriksi murtoluvuiksi:

Jaetaan nyt:

Siksi sekalukujen jakamiseksi sinun on muutettava ne vääriksi murtoluvuiksi ja jaettava sitten murtolukujen jakosäännöllä.

6. Lukujen löytäminen annetulle murtoluvulle.

Murtolukujen erilaisten ongelmien joukossa on joskus sellaisia, joissa on annettu tuntemattoman luvun murto-osan arvo ja tämä luku on löydettävä. Tämän tyyppinen ongelma on käänteinen suhteessa ongelmaan, joka koskee tietyn luvun murto-osan löytämistä; siellä annettiin luku ja sen piti löytää tietty murto-osa tästä luvusta, tässä luvun murto-osa on annettu ja se on löydettävä itse. Tämä ajatus tulee entistä selvemmäksi, jos käännymme tämäntyyppisten ongelmien ratkaisuun.

Tavoite 1. Ensimmäisenä päivänä lasittajat lasittivat 50 ikkunaa, mikä on 1/3 rakennetun talon ikkunoista. Kuinka monta ikkunaa tässä talossa on?

Ratkaisu. Ongelma kertoo, että 50 lasitettua ikkunaa on 1/3 talon kaikista ikkunoista, mikä tarkoittaa, että ikkunoita on yhteensä 3 kertaa enemmän, ts.

Talossa oli 150 ikkunaa.

Tavoite 2. Jauhoja myytiin 1 500 kg, mikä on 3/8 myymälän jauhotarjonnasta. Mikä oli kaupan alkuperäinen jauhotarjonta?

Ratkaisu. Ongelmapuheenvuorosta käy ilmi, että myyty 1500 kg jauhoja muodostaa 3/8 kokonaisvarastosta; Tämä tarkoittaa, että 1/8 tästä varastosta on 3 kertaa pienempi, eli sen laskemiseksi sinun on vähennettävä 1500 3 kertaa:

1 500: 3 = 500 (se on 1/8 osakkeesta).

Ilmeisesti koko varasto on 8 kertaa suurempi. Siten,

500 8 = 4000 (kg).

Alkuperäinen jauhovarasto myymälässä oli 4000 kg.

Tämän ongelman tarkastelun perusteella voidaan päätellä seuraava sääntö.

Numeron löytämiseksi tietylle murto-osan arvolle riittää jakaa tämä arvo murtoluvun osoittajalla ja kertoa tulos murtoluvun nimittäjällä.

Olemme ratkaisseet kaksi tehtävää löytää luku annetusta murtoluvusta. Tällaiset ongelmat, kuten jälkimmäisestä erityisen selvästi näkyy, ratkaistaan kahdella toimenpiteellä: jakamalla (kun yksi osa löytyy) ja kertomalla (kun kokonaisluku löytyy).

Kuitenkin, kun olemme tutkineet murto-osien jakoa, edellä mainitut ongelmat voidaan ratkaista yhdellä toimella, nimittäin: jakamalla murtoluvulla.

Esimerkiksi viimeinen tehtävä voidaan ratkaista yhdessä vaiheessa seuraavasti:

Tulevaisuudessa ratkaisemme ongelman löytää luku sen murto-osalla yhdessä toiminnossa - jaossa.

7. Numeron löytäminen sen prosentteina.

Näissä tehtävissä sinun on löydettävä luku, joka tietää muutaman prosentin tästä numerosta.

Tavoite 1. Tämän vuoden alussa sain säästöpankista 60 ruplaa. tuloa siitä summasta, jonka laitoin säästöihin vuosi sitten. Kuinka paljon rahaa laitoin säästöpankkiin? (Kassat antavat rahoittajille 2 % tuloa vuodessa.)

Ongelman tarkoitus on, että talletin tietyn summan rahaa säästöpankkiin ja pysyi siellä vuoden. Vuoden kuluttua sain häneltä 60 ruplaa. tulot, jotka ovat 2/100 sijoittamistani rahoista. Kuinka paljon rahaa laitoin?

Siksi, kun tiedämme osan tästä rahasta ilmaistuna kahdella tavalla (ruplina ja murto-osina), meidän on löydettävä koko, toistaiseksi tuntematon summa. Tämä on tavallinen tehtävä löytää luku sen murto-osan perusteella. Seuraavat tehtävät ratkaistaan jakamalla:

Tämä tarkoittaa, että säästöpankkiin laitettiin 3000 ruplaa.

Tavoite 2. Kalastajat täyttivät kuukausisuunnitelman kahdessa viikossa 64 % saamalla 512 tonnia kalaa. Mikä oli heidän suunnitelmansa?

Ongelmaselvityksestä tiedetään, että kalastajat ovat toteuttaneet osan suunnitelmasta. Tämä osa on 512 tonnia, mikä on 64% suunnitelmasta. Emme tiedä kuinka monta tonnia kalaa pitää valmistaa suunnitelman mukaan. Tämän numeron löytäminen on ratkaisu ongelmaan.

Tällaiset tehtävät ratkaistaan jakamalla:

Tämä tarkoittaa, että suunnitelman mukaan kalaa on valmistettava 800 tonnia.

Tavoite 3. Juna kulki Riiasta Moskovaan. Kun hän ohitti 276. kilometrin, yksi matkustajista kysyi ohikulkijalta, minkä osan tiestä he olivat jo ohittaneet. Tähän konduktööri vastasi: "Olemme käyneet jo 30% koko reitistä." Mikä on etäisyys Riika ja Moskova välillä?

Ongelmapuheenvuorosta voidaan nähdä, että 30 % reitistä Riiasta Moskovaan on 276 km. Meidän on löydettävä koko etäisyys näiden kaupunkien välillä, eli tietyn osan osalta löydettävä kokonaisuus:

§ 91. Keskinäiset käänteisluvut. Korvaa jako kertolaskulla.

Ota murto-osa 2/3 ja siirrä osoittaja nimittäjään, niin saat 3/2. Saimme tämän murtoluvun käänteisen.

Saadaksesi annetun murtoluvun käänteisluvun, sinun on asetettava sen osoittaja nimittäjän tilalle ja nimittäjä osoittajan tilalle. Tällä tavalla voimme saada minkä tahansa murtoluvun käänteisluvun. Esimerkiksi:

3/4, käänteinen 4/3; 5/6, käänteinen 6/5

Kaksi murtolukua, joiden ominaisuus on, että ensimmäisen osoittaja on toisen ja ensimmäisen osoittaja on toisen osoittaja, kutsutaan keskenään käänteisesti.

Mietitään nyt mikä murtoluku on 1/2:n käänteinen. Ilmeisesti se on 2/1 tai vain 2. Etsimällä annetun murtoluvun käänteislukua, saimme kokonaisluvun. Ja tämä tapaus ei ole yksittäinen; päinvastoin, kaikille murtoluvuille, joissa on osoittaja 1 (yksi), kokonaisluvut ovat käänteisiä, esimerkiksi:

1/3, käänteinen 3; 1/5, käänteinen 5

Koska käänteismurtolukuja etsiessämme tapasimme myös kokonaislukuja, seuraavassa ei puhuta käänteismurtoluvuista, vaan käänteisluvuista.

Selvitetään, kuinka kirjoitetaan kokonaisluvun käänteisluku. Murtoluvuille tämä voidaan ratkaista yksinkertaisesti: sinun on asetettava nimittäjä osoittajan tilalle. Samalla tavalla voit saada käänteisen luvun kokonaisluvulle, koska minkä tahansa kokonaisluvun nimittäjä voi olla 1. Näin ollen luvun käänteisluku 7:ään tulee olemaan 1/7, koska 7 = 7/1; luvulle 10 käänteisarvo on 1/10, koska 10 = 10/1

Tämä ajatus voidaan ilmaista toisella tavalla: tietyn luvun käänteisarvo saadaan jakamalla yksi annetulla luvulla... Tämä väite pätee paitsi kokonaislukuihin myös murtolukuihin. Todellakin, jos haluamme kirjoittaa murtoluvun 5/9 käänteisluvun, voimme ottaa 1:n ja jakaa sen luvulla 5/9, ts.

Nostetaan nyt esiin yksi omaisuutta keskinäiset vastavuoroiset numerot, joista on meille hyötyä: keskenään käänteislukujen tulo on yhtä suuri kuin yksi. Todellakin:

Käyttämällä tätä ominaisuutta voimme löytää käänteisluvut seuraavalla tavalla. Oletetaan, että sinun on löydettävä luvun 8 käänteisarvo.

Merkitään se kirjaimella X , sitten 8 X = 1, siis X = 1/8. Etsitään toinen luku, 7/12:n käänteisluku, merkitään kirjaimella X , sitten 12.7 X = 1, siis X = 1: 7/12 tai X = 12 / 7 .

Otimme tähän käyttöön vastavuoroisten lukujen käsitteen täydentääksemme hieman murtolukujakoa koskevia tietoja.

Kun jaamme luvun 6 3/5:llä, teemme seuraavaa:

Kiinnitä huomiota ilmaisuun ja vertaa sitä annettuun lauseeseen:.

Jos otamme lausekkeen erikseen, ilman yhteyttä edelliseen, on mahdotonta ratkaista kysymystä, mistä se tuli: jakamalla 6 luvulla 3/5 tai kertomalla 6 luvulla 5/3. Molemmissa tapauksissa tulos on sama. Joten voimme sanoa että yhden luvun jakaminen toisella voidaan korvata kertomalla osinko jakajan käänteisluvulla.

Alla antamamme esimerkit tukevat täysin tätä päätelmää.

Tarkastellaan lähemmin toimintoja, joissa murtoluvut sisältävät kokonaislukuja:

Kuinka löytää merkitys ilmaukselle, jonka nimittäjät ovat erilaisia

Kuinka vähentää murtolukuja samoilla nimittäjillä

Esimerkkejä murto-osien vähentämisestä, joiden nimittäjät ovat samat

Murtolukujen lisääminen samalla nimittäjällä

Murtoluvut eri nimittäjillä ja niiden vähentäminen

Murto-omaisuus

Kuinka muuntaa useita murtolukuja samaksi nimittäjäksi

Kuinka vähentää ja lisätä murtolukuja eri nimittäjillä

Vähennys ja kokonaisten osien saaminen

Murtolukujen vähentäminen kokonaisluvusta

Toimittajan valinta