आसन्न कोने और उनके गुण क्या हैं। किस कोण को आसन्न कहा जाता है? दो आसन्न कोणों का योग क्या है

ज्यामिति एक बहुविध विज्ञान है। वह तर्क, कल्पना और बुद्धि विकसित करता है। बेशक, इसकी जटिलता और प्रमेयों और स्वयंसिद्धों की एक बड़ी संख्या के कारण, स्कूली बच्चे हमेशा इसे पसंद नहीं करते हैं। इसके अलावा, आम तौर पर स्वीकृत मानकों और नियमों का उपयोग करके अपने निष्कर्षों को लगातार साबित करने की आवश्यकता है।

आसन्न और ऊर्ध्वाधर कोने ज्यामिति के अभिन्न अंग हैं। निश्चित रूप से कई स्कूली बच्चे बस उन्हें इस कारण से मानते हैं कि उनके गुण स्पष्ट और साबित करने में आसान हैं।

कोनों का निर्माण

कोई भी कोण दो सीधी रेखाओं के चौराहे या एक बिंदु से दो किरणों को खींचकर बनता है। उन्हें या तो एक अक्षर या तीन कहा जा सकता है, जो कोने के निर्माण के बिंदुओं को लगातार नामित करते हैं।

कोणों को डिग्री में मापा जाता है और उनके मूल्य के आधार पर अलग-अलग कहा जा सकता है। तो, एक सही कोण है, तीव्र, अप्रिय और प्रकट। प्रत्येक नाम एक निश्चित डिग्री माप या उसके अंतराल से मेल खाता है।

एक कोण को तीव्र कहा जाता है यदि इसका माप 90 डिग्री से अधिक नहीं होता है।

एक ऑब्सट्यूज कोण 90 डिग्री से अधिक है।

किसी कोण को एक समकोण कहा जाता है जब इसका डिग्री माप 90 होता है।

मामले में जब यह एक ठोस रेखा द्वारा बनता है, और इसकी डिग्री माप 180 होती है, तो इसे अनफोल्डेड कहा जाता है।

कोण जिनका एक सामान्य पक्ष होता है, जिनमें से दूसरा पक्ष एक दूसरे को जारी रखता है, आसन्न कहा जाता है। वे या तो तेज या कुंद हो सकते हैं। रेखा का चौराहा आसन्न कोनों बनाता है। उनके गुण निम्नानुसार हैं:

1. इन कोणों का योग 180 डिग्री होगा (यह सिद्ध करने वाला एक प्रमेय है)। इसलिए, उनमें से एक की गणना आसानी से की जा सकती है यदि दूसरा ज्ञात है।
2. पहले बिंदु से यह इस प्रकार है कि आसन्न कोनों को दो ऑब्सट या दो तीव्र कोनों द्वारा नहीं बनाया जा सकता है।

इन गुणों के लिए धन्यवाद, आप हमेशा एक कोण के डिग्री माप की गणना कर सकते हैं, दूसरे कोण का मूल्य, या कम से कम उनके बीच का अनुपात।

ऊर्ध्वाधर कोने

कोण जिनके किनारे एक-दूसरे की निरंतरता हैं उन्हें ऊर्ध्वाधर कहा जाता है। उनकी कोई भी किस्म ऐसी जोड़ी के रूप में कार्य कर सकती है। ऊर्ध्वाधर कोण हमेशा एक दूसरे के बराबर होते हैं।

वे सीधी रेखाओं के चौराहे पर बनते हैं। आसन्न कोने हमेशा उनके साथ मौजूद होते हैं। एक कोण एक साथ एक के समीप और दूसरे से लंबवत हो सकता है।

एक मनमानी रेखा को पार करते समय, कई और प्रकार के कोणों पर भी विचार किया जाता है। इस तरह की रेखा को एक धर्मनिरपेक्ष कहा जाता है, और यह एक, एक तरफा और क्रॉस-झूठ वाले कोण बनाती है। वे बराबर हैं। उन्हें उन गुणों के प्रकाश में देखा जा सकता है जो ऊर्ध्वाधर और आसन्न कोण हैं।

इस प्रकार, कोणों का विषय काफी सरल और सीधा लगता है। उनके सभी गुणों को याद रखना और साबित करना आसान है। समस्याओं को हल करना तब तक कठिन नहीं लगता, जब तक कि कोण एक संख्यात्मक मूल्य के अनुरूप न हों। पहले से ही आगे, जब पाप और ब्रह्मांड का अध्ययन शुरू होता है, तो आपको कई जटिल सूत्र, उनके निष्कर्ष और परिणाम याद करने होंगे। उस समय तक, आप बस आसान कार्यों का आनंद ले सकते हैं जिसमें आपको आसन्न कोनों को खोजने की आवश्यकता होती है।

दो कोनों को आसन्न कहा जाता है यदि उनके पास एक तरफ आम है, और इन कोनों के दूसरे पक्ष अतिरिक्त किरणें हैं। चित्र 20 में, कोण AOB और BOC समीप हैं।

आसन्न कोणों का योग 180 ° है

प्रमेय 1. आसन्न कोणों का योग 180 ° है।

साक्ष्य। ओबी बीम (चित्र 1 देखें) सामने वाले कोने के किनारों के बीच से गुजरता है। इसलिये ∠ AOB + \u003d BOS \u003d 180 °.

थियोरम 1 से यह इस प्रकार है कि यदि दो कोण समान हैं, तो उनके समीप के कोण समान हैं।

ऊर्ध्वाधर कोण समान हैं

यदि एक कोने के किनारे दूसरे के किनारों की पूरक किरणें हों तो दो कोनों को लंबवत कहा जाता है। दो सीधी रेखाओं के चौराहे पर बनने वाले कोण AOB और COD, BOD और AOC, वर्टिकल (चित्र 2) हैं।

प्रमेय 2. ऊर्ध्वाधर कोण बराबर हैं।

साक्ष्य। ऊर्ध्वाधर कोण AOB और COD पर विचार करें (चित्र 2 देखें)। कोने BOD कोनों AOB और COD में से प्रत्येक के निकट है। प्रमेय 1 के अनुसार, + AOB + 180 BOD \u003d 180 °, or COD + ° BOD \u003d 180 °।

इसलिए हम यह निष्कर्ष निकालते हैं कि \u003d AOB \u003d। COD।

कोरोलरी 1. एक समकोण से समकोण एक समकोण है।

दो चौराहों पर सीधी रेखाओं पर विचार करें AC और BD (चित्र 3)। वे चार कोने बनाते हैं। यदि उनमें से एक सीधा है (छवि 1 में कोण 1), तो अन्य कोण भी सही हैं (कोण 1 और 2, 1 और 4 आसन्न हैं, कोण 1 और 3 ऊर्ध्वाधर हैं)। इस मामले में, वे कहते हैं कि ये रेखाएं समकोण पर काटती हैं और लंबवत (या परस्पर लंबवत) कहलाती हैं। सीधी रेखाएँ AC और BD की लम्बाई निम्नानुसार निर्दिष्ट है: AC end BD।

किसी खंड के मध्य बिंदु सीधा इस खंड के लिए सीधी रेखा है और इसके मध्य बिंदु से होकर गुजरता है।

एएच - एक सीधी रेखा के लंबवत

एक सीधी रेखा और एक बिंदु ए पर विचार करें जो उस पर झूठ नहीं करता है (छवि 4)। आइए एक सीधी रेखा पर बिंदु H के साथ एक खंड के साथ बिंदु A को कनेक्ट करें। खंड AH को बिंदु A से रेखा पर खींची गई लम्बवत रेखा कहा जाता है, यदि AH और रेखाएँ लंबवत हों। बिंदु H को लम्ब का आधार कहा जाता है।

वर्ग आकर्षित करना

निम्नलिखित प्रमेय सत्य है।

प्रमेय 3. किसी भी बिंदु से जो एक रेखा पर नहीं पड़ता है, कोई भी इस रेखा के लंबवत आकर्षित कर सकता है, और इसके अलावा, केवल एक।

ड्राइंग में एक बिंदु से एक सीधा खींचने के लिए, एक ड्राइंग वर्ग (छवि 5) का उपयोग करें।

टिप्पणी। प्रमेय के कथन में आमतौर पर दो भाग होते हैं। एक हिस्सा यह बताता है कि क्या दिया गया है। इस भाग को प्रमेय की स्थिति कहा जाता है। एक और हिस्सा इस बारे में बात करता है कि क्या साबित होना चाहिए। इस भाग को प्रमेय का निष्कर्ष कहा जाता है। उदाहरण के लिए, प्रमेय 2 की स्थिति यह है कि कोण ऊर्ध्वाधर हैं; निष्कर्ष - ये कोण बराबर हैं।

किसी भी प्रमेय को शब्दों में विस्तार से व्यक्त किया जा सकता है, ताकि इसकी स्थिति "यदि" शब्द से शुरू हो, और निष्कर्ष - तब शब्द के साथ। उदाहरण के लिए, प्रमेय 2 को विस्तार से कहा जा सकता है: "यदि दो कोण लंबवत हैं, तो वे समान हैं।"

उदाहरण 1। आसन्न कोणों में से एक 44 ° है। अन्य के बराबर क्या है?

फेसला। हम एक्स द्वारा दूसरे कोण के डिग्री माप को निरूपित करते हैं, फिर प्रमेय 1 के अनुसार।
44 ° + x \u003d 180 °।
परिणामी समीकरण को हल करते हुए, हम पाते हैं कि x \u003d 136 °। इसलिए, अन्य कोण 136 ° है।

उदाहरण 2। बता दें कि चित्र 21 में COD कोण 45 ° है। कोण AOB और AOC क्या हैं?

फेसला। कोण COD और AOB लंबवत हैं, इसलिए, प्रमेय 1.2 द्वारा, वे समान हैं, अर्थात,। AOB \u003d 45 °। कोण AOC कोण COD के समीप है, इसलिए, प्रमेय 1 द्वारा।
\u003d AOC \u003d 180 ° - D COD \u003d 180 ° - 45 ° \u003d 135 °।

उदाहरण 3। आसन्न कोनों को ढूंढें यदि एक दूसरे से 3 गुना है।

फेसला। चलो x के माध्यम से छोटे कोण के डिग्री माप को निरूपित करते हैं। फिर बड़े कोण का डिग्री माप Zx होगा। चूँकि आसन्न कोणों का योग 180 ° (प्रमेय 1) है, तो x + 3x \u003d 180 °, जहाँ x \u003d 45 ° है।
इसका मतलब है कि आसन्न कोण 45 ° और 135 ° हैं।

उदाहरण 4। दो ऊर्ध्वाधर कोणों का योग 100 ° है। चार कोणों में से प्रत्येक का परिमाण ज्ञात कीजिए।

फेसला। चित्र 2 समस्या की स्थिति के अनुरूप है। सीओडी से एओबी के ऊर्ध्वाधर कोण बराबर हैं (सिद्धांत 2), इसलिए, उनकी डिग्री के उपाय भी बराबर हैं। इसलिए,, COD \u003d \u003d AOB \u003d 50 ° (स्थिति के अनुसार उनकी राशि 100 °) है। बीओडी कोण (एओसी कोण भी) सीओडी कोण के निकट है, और इसलिए, प्रमेय द्वारा 1
- BOD \u003d \u003d AOC \u003d 180 ° - 50 ° \u003d 130 °।

एंगल्स से शुरुआत करना

हमें दो मनमानी किरणें दी जाएं। आइए उन्हें एक-दूसरे के ऊपर रखें। फिर

परिभाषा 1

कोण का अर्थ होगा दो किरणें जिनका मूल एक ही है।

परिभाषा २

वह बिंदु जो परिभाषा 3 में किरणों की उत्पत्ति है, उस कोण का शीर्ष कहलाता है।

कोण को निम्नलिखित तीन बिंदुओं द्वारा निरूपित किया जाएगा: एक शीर्ष, एक किरण पर एक बिंदु और दूसरी किरण पर एक बिंदु, और कोण का शीर्ष इसके पदनाम (छवि 1) के बीच में लिखा गया है।

आइए अब यह निर्धारित करें कि कोण का मान क्या है।

ऐसा करने के लिए, आपको कुछ प्रकार के "संदर्भ" कोण चुनने की आवश्यकता है, जिसे हम एक इकाई के रूप में लेंगे। सबसे अधिक बार, यह कोण एक कोण है जो चपटा कोण के $ \\ frac (1) (180) $ भाग के बराबर है। इस मान को डिग्री कहा जाता है। इस तरह के कोण को चुनने के बाद, हम इसके साथ कोणों की तुलना करते हैं, जिसके मूल्य को खोजने की आवश्यकता है।

4 प्रकार के कोण हैं:

परिभाषा ३

एक कोण को तीव्र कहा जाता है यदि यह $ 90 ^ 0 $ से कम है।

परिभाषा ४

यदि इसे $ 90 ^ 0 $ से अधिक हो तो कोण को obtuse कहा जाता है।

परिभाषा ५

यदि यह $ 180 ^ 0 $ के बराबर है, तो एक कोण को प्रकट नहीं किया जाता है।

परिभाषा 6

यदि कोण $ 90 ^ 0 $ के बराबर है, तो इसे सही कहा जाता है।

ऊपर वर्णित कोणों के प्रकारों के अलावा, आप एक दूसरे के संबंध में कोणों के प्रकारों का चयन कर सकते हैं, अर्थात्, ऊर्ध्वाधर और आसन्न कोनों।

बगल के कोने

सामने आया $ COB $ कोने पर विचार करें। इसके शीर्ष से किरण $ OA $ आकर्षित करें। यह किरण मूल को दो कोणों में विभाजित करेगी। फिर

परिभाषा 7

यदि उनके किनारों में से एक जोड़ी एक विकसित कोण है, और दूसरी जोड़ी मेल खाती है (दो। छवि) को दो कोण कहा जाएगा।

इस मामले में, कोने $ सीओए $ और $ बीओए $ आसन्न हैं।

प्रमेय १

आसन्न कोणों का योग $ 180 ^ 0 $ है।

साक्ष्य।

चित्र 2 पर विचार करें।

परिभाषा 7 के अनुसार, इसमें $ COB $ कोण $ 180 ^ 0 $ होगा। चूंकि आसन्न कोनों के पक्षों की दूसरी जोड़ी मेल खाती है, इसलिए $ OA $ रे अनफोल्डेड कोण को 2 से विभाजित करेगा, इसलिए

$ ^COA + ABOA \u003d 180 ^ 0 $

प्रमेय सिद्ध है।

इस अवधारणा का उपयोग करके किसी समस्या को हल करने पर विचार करें।

उदाहरण 1

नीचे दिए गए चित्र से कोण $ C $ का पता लगाएं

परिभाषा 7 से, हम देखते हैं कि कोण $ BDA $ और $ ADC $ आसन्न हैं। इसलिए, प्रमेय 1 के द्वारा, हम प्राप्त करते हैं

$ ^BDA + CADC \u003d 180 ^ 0 $

$ ∠ADC \u003d 180 ^ 0-∠BDA \u003d 180 ^ 0-59 ^ 0 \u003d 121 ^ 0 $

एक त्रिकोण में कोणों के योग पर प्रमेय द्वारा, हमारे पास है

$ ∠A + ∠ADC + 180C \u003d 180 ^ 0 $

$ -C \u003d 180 ^ 0-∠A-CADC \u003d 180 ^ 0-19 ^ 0-121 ^ 0 \u003d 1 ^ $

उत्तर: $ 40 ^ 0 $।

ऊर्ध्वाधर कोने

सामने के कोनों $ AOB $ और $ MOC $ पर विचार करें। आइए हम एक दूसरे के साथ उनके कोने को संरेखित करें (अर्थात, बिंदु $ O "$ को बिंदु $ O $ पर रखें) ताकि इन कोनों के किनारों में से कोई भी संयोग न हो। फिर।

परिभाषा 8

दो कोणों को लंबवत कहा जाएगा यदि उनके किनारों के जोड़ अनकहे कोण हैं, और उनके मान मेल खाते हैं (चित्र 3)।

इस मामले में, कोने $ MOA $ और $ BOC $ ऊर्ध्वाधर हैं और कोने $ MOB $ और $ AOC $ भी लंबवत हैं।

प्रमेय २

ऊर्ध्वाधर कोण एक दूसरे के बराबर हैं।

साक्ष्य।

चित्र 3 पर विचार करें। उदाहरण के लिए, यह साबित करें कि कोण $ MOA $ कोण BOC $ के बराबर है।

एक सीधी रेखा पर स्थित दो कोनों और एक शीर्ष पर स्थित होने को आसन्न कहा जाता है।

अन्यथा, यदि एक सीधी रेखा पर दो कोणों का योग 180 डिग्री है और उनका एक पक्ष सामान्य है, तो ये आसन्न कोण हैं।

1 आसन्न कोण + 1 आसन्न कोण \u003d 180 डिग्री।

आसन्न कोने दो कोने हैं जिसमें एक पक्ष सामान्य है और अन्य दो पक्ष आम तौर पर एक सीधी रेखा बनाते हैं।

दो आसन्न कोणों का योग हमेशा 180 डिग्री होता है। उदाहरण के लिए, यदि एक कोण 60 डिग्री है, तो दूसरा जरूरी 120 डिग्री (180-60) के बराबर होगा।

कोण AOC और BOC आसन्न कोण हैं, क्योंकि आसन्न कोणों की विशेषताओं के लिए सभी शर्तें पूरी की जाती हैं:

1.ओएस दो कोनों का सामान्य पक्ष है

2. एओ कोण एओसी का पक्ष है, ओवी कोण बीओसी का पक्ष है। साथ में, ये पक्ष एक सीधी रेखा AOB बनाते हैं।

3. कोण दो है और उनका योग 180 डिग्री है।

स्कूल ज्यामिति पाठ्यक्रम को याद करते हुए, हम आसन्न कोणों के बारे में निम्नलिखित कह सकते हैं:

आसन्न कोनों में एक तरफ आम है, और अन्य दो पक्ष एक ही सीधी रेखा के हैं, यानी वे एक ही सीधी रेखा पर हैं। यदि आंकड़े के अनुसार, तो सीओबी और बीओए के कोण आसन्न कोण हैं, जिनमें से योग हमेशा 180 होता है, क्योंकि वे अनफोल्डेड कोण को साझा करते हैं, और अनफोल्डेड कोण हमेशा 180 होता है।



आसन्न कोण ज्यामिति में एक आसान अवधारणा है। आसन्न कोण, कोण प्लस कोण 180 डिग्री तक जोड़ते हैं।

दो आसन्न कोने - यह एक खुला कोने होगा।

कई और गुण हैं। आसन्न कोनों के साथ समस्याओं और प्रमेयों को हल करना आसान है।

आसन्न कोण तब बनते हैं जब एक किरण को एक सीधी रेखा पर एक मनमाना बिंदु से खींचा जाता है। फिर यह मनमाना बिंदु कोण का शीर्ष बन जाता है, किरण आसन्न कोणों का सामान्य पक्ष है, और सीधी रेखा जिससे किरण खींची जाती है, आसन्न कोणों के दो शेष भाग हैं। समीपस्थ कोण या तो लंबवत के मामले में समान हो सकते हैं या तिरछे बीम के मामले में भिन्न हो सकते हैं। यह समझना आसान है कि आसन्न कोणों का योग 180 डिग्री है, या बस एक सीधी रेखा है। दूसरे तरीके से, इस कोण को एक सरल उदाहरण द्वारा समझाया जा सकता है - आप पहली बार एक दिशा में एक सीधी रेखा में चले गए, फिर अपना दिमाग बदल दिया, वापस जाने का फैसला किया और 180 डिग्री पर मुड़कर उसी सीधी रेखा के साथ सेट हो गए उल्टी दिशा।



तो आसन्न कोना क्या है? परिभाषा:

आसन्न एक सामान्य शीर्ष और एक आम पक्ष के साथ दो कोने हैं, और इन कोनों के अन्य दो पक्ष एक ही सीधी रेखा पर स्थित हैं।



और एक छोटा सा वीडियो सबक, जहां यह समझदारी से आसन्न कोणों, ऊर्ध्वाधर कोणों के बारे में दिखाया गया है, साथ ही सीधा सीधी रेखाओं के बारे में, जो आसन्न और ऊर्ध्वाधर कोणों का एक विशेष मामला है

आसन्न कोने कोने हैं जहां एक तरफ आम है और दूसरे में एक लाइन है।

आसन्न कोण कोण हैं जो एक दूसरे पर निर्भर करते हैं। यही है, अगर आम पक्ष थोड़ा घुमाया जाता है, तो एक कोण कुछ डिग्री तक घट जाएगा और स्वचालित रूप से दूसरा कोण उसी डिग्री से बढ़ जाएगा। आसन्न कोणों की यह संपत्ति विभिन्न समस्याओं को हल करने और ज्यामिति में विभिन्न प्रमेयों को साबित करने की अनुमति देती है।

आसन्न कोणों का कुल योग हमेशा 180 डिग्री होता है।



ज्यामिति पाठ्यक्रम से, (जहां तक \u200b\u200bमुझे ग्रेड 6 में याद है), दो कोणों को आसन्न कहा जाता है, जिसमें एक पक्ष सामान्य है, और दूसरे पक्ष अतिरिक्त किरणें हैं, आसन्न कोणों का योग 180 है। प्रत्येक दो आसन्न कोण दूसरे को एक विकसित कोण पर पूरक करता है। आसन्न कोनों का उदाहरण:



आसन्न कोण एक आम शीर्ष के साथ दो कोने हैं, जिनमें से एक पक्ष आम है, और शेष पक्ष एक सीधी रेखा (संयोग नहीं) पर झूठ बोलते हैं। आसन्न कोणों का योग एक सौ अस्सी डिग्री है। सामान्य तौर पर, यह सब Google या एक ज्यामिति पाठ्यपुस्तक में खोजना बहुत आसान है।

1. आसन्न कोने।

यदि हम किसी भी कोने के किनारे को उसके शीर्ष से आगे बढ़ाते हैं, तो हमें दो कोण मिलते हैं (चित्र। 72): SABS और andСВD, जिसमें एक तरफ ईसा पूर्व आम है, और दूसरे दो, एबी और बीडी, एक सीधी रेखा बनाते हैं।

दो कोने जिनमें एक पक्ष सामान्य है और अन्य दो एक सीधी रेखा से सटे कोने कहलाते हैं।

आसन्न कोणों को इस तरह से प्राप्त किया जा सकता है: अगर किसी सीधी रेखा के कुछ बिंदु से हम एक किरण खींचते हैं (इस सीधी रेखा पर झूठ नहीं बोल रहे हैं), तो हम आसन्न कोण प्राप्त करते हैं।

उदाहरण के लिए, exampleADF और ∠FDB आसन्न कोण हैं (चित्र 73)।

आसन्न कोनों की एक विस्तृत विविधता हो सकती है (अंजीर। 74)।

आसन्न कोण एक सपाट कोण तक जोड़ते हैं, इसलिए दो आसन्न कोणों का योग 180 ° है

यहां से, एक समकोण को इसके समीप के कोण के बराबर कोण के रूप में परिभाषित किया जा सकता है।

आसन्न कोणों में से एक के मूल्य को जानने के बाद, हम दूसरे आसन्न कोण का मूल्य जान सकते हैं।

उदाहरण के लिए, यदि आसन्न कोणों में से एक 54 ° है, तो दूसरा कोण होगा:

180 ° - 54 ° \u003d l26 °।

2. ऊर्ध्वाधर कोण।

यदि हम इसके शीर्ष से परे कोने के किनारों का विस्तार करते हैं, तो हमें ऊर्ध्वाधर कोने मिलते हैं। चित्र 75 में, कोण EOF और AOC ऊर्ध्वाधर हैं; कोण AOE और COF भी लंबवत हैं।

यदि एक कोने के किनारे दूसरे कोने के विस्तार हैं, तो दो कोनों को लंबवत कहा जाता है।

आज्ञा दें )1 \u003d \\ (\\ frac (7) (8) \\) \\ 90 ° (छवि 76)। आसन्न will2 180 ° होगा - \\ (\\ frac (7) (8) \\) is 90 °, अर्थात 1 \\ (\\ frac (1) (8) \\) ∠ 90 °।

उसी तरह, आप गणना कर सकते हैं कि same3 और are4 किसके बराबर हैं।

∠3 \u003d 180 ° - 1 \\ (\\ frac (1) (8) \\) ° 90 ° \u003d \\ (\\ frac (7) (8) \\) ° 90 °;

∠4 \u003d 180 ° - \\ (\\ frac (7) (8) \\) \u003d 90 ° \u003d 1 \\ (\\ frac (1) (8) \\) (90 ° (चित्र। 77)।

हम देखते हैं कि ∠1 \u003d ∠3 और \u003d2 \u003d ∠4।

आप एक ही समस्या के कई और समाधान कर सकते हैं, और हर बार आपको एक ही परिणाम मिलता है: ऊर्ध्वाधर कोण एक दूसरे के बराबर होते हैं।

हालांकि, यह सुनिश्चित करने के लिए कि ऊर्ध्वाधर कोण हमेशा समान होते हैं, यह व्यक्तिगत संख्यात्मक उदाहरणों पर विचार करने के लिए पर्याप्त नहीं है, क्योंकि विशेष उदाहरणों से निकाले गए निष्कर्ष कभी-कभी गलत हो सकते हैं।

प्रमाण द्वारा ऊर्ध्वाधर कोणों की संपत्ति की वैधता को सत्यापित करना आवश्यक है।

प्रमाण को निम्नानुसार किया जा सकता है (चित्र 78):

∠ए +∠सी \u003d 180 °;

∠बी +∠सी \u003d 180 °;

(चूंकि आसन्न कोणों का योग 180 ° है)।

∠ए +∠सी = ∠बी +∠सी

(चूँकि इस समानता का बाँया भाग 180 ° के बराबर है, और इसका दाहिना भाग भी 180 ° के बराबर है)।

इस समानता में समान कोण शामिल हैं से.

यदि हम समान मूल्यों से समान रूप से घटाते हैं, तो यह समान रूप से रहेगा। परिणाम होगा: ∠ए = ∠ख, वह है, ऊर्ध्वाधर कोण एक दूसरे के बराबर हैं।

3. कोणों का योग जिसमें एक सामान्य शीर्ष है।

ड्राइंग में 79 ,1, ∠2, and3 और located4 एक सीधी रेखा के एक तरफ स्थित हैं और इस सीधी रेखा पर एक आम शीर्ष है। साथ में, ये कोण तैनात कोण बनाते हैं, अर्थात।

∠1 + ∠2 + +3 + 1804 \u003d 180 °।

ड्राइंग में, 80 1, ∠2, ,3, ,4, और ,5 में एक सामान्य शीर्ष है। ये कोण पूर्ण कोण तक जोड़ते हैं, अर्थात् +1 + ∠2 + ∠3 + ∠4 + °5 \u003d 360 °।