फ़ंक्शन y पाप x का ग्राफ़। फ़ंक्शन ग्राफ़

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फ़ंक्शन y = पाप x, y = cos x, उनके गुण और ग्राफ़

इस अनुभाग में हम फ़ंक्शन y = syn x, y = cos x के कुछ गुणों पर चर्चा करेंगे और उनके ग्राफ़ बनाएंगे।

1. फलन y = पाप X.

ऊपर, § 20 में, हमने एक नियम तैयार किया जो प्रत्येक संख्या t को लागत t संख्या के साथ संबद्ध करने की अनुमति देता है, अर्थात। फ़ंक्शन y = पाप टी की विशेषता है। आइए इसके कुछ गुणों पर ध्यान दें।

फ़ंक्शन के गुण यू = पाप टी।

परिभाषा का क्षेत्र वास्तविक संख्याओं का समुच्चय K है।
यह इस तथ्य से पता चलता है कि कोई भी संख्या 2 संख्या वृत्त पर एक बिंदु M(1) से मेल खाती है, जिसमें एक अच्छी तरह से परिभाषित कोटि है; यह कोटि लागत t है।

u = पाप t एक विषम फलन है।

यह इस तथ्य से निकलता है कि, जैसा कि § 19 में सिद्ध किया गया था, किसी भी समानता के लिए
इसका मतलब यह है कि फ़ंक्शन यू = पाप टी का ग्राफ़, किसी भी विषम फ़ंक्शन के ग्राफ़ की तरह, आयताकार समन्वय प्रणाली टीओआई में मूल के संबंध में सममित है।

फलन u = syn t अंतराल पर बढ़ता है
यह इस तथ्य से पता चलता है कि जब कोई बिंदु संख्या वृत्त की पहली तिमाही के साथ चलता है, तो कोटि धीरे-धीरे बढ़ती है (0 से 1 तक - चित्र 115 देखें), और जब बिंदु संख्या वृत्त की दूसरी तिमाही के साथ चलती है, कोटि धीरे-धीरे घटती जाती है (1 से 0 तक - चित्र 116 देखें)।

फ़ंक्शन u = synt नीचे और ऊपर दोनों तरफ घिरा हुआ है। यह इस तथ्य से पता चलता है कि, जैसा कि हमने § 19 में देखा, किसी भी टी के लिए असमानता कायम है

(फ़ंक्शन प्रपत्र के किसी भी बिंदु पर इस मान तक पहुंचता है (फ़ंक्शन प्रपत्र के किसी भी बिंदु पर इस मान तक पहुंचता है
प्राप्त गुणों का उपयोग करके, हम अपनी रुचि के फ़ंक्शन का एक ग्राफ़ बनाएंगे। लेकिन (ध्यान दें!) u-sin t के बजाय हम y = syn x लिखेंगे (आखिरकार, हम y = f(x) लिखने के अधिक आदी हैं, न कि u = f(t))। इसका मतलब यह है कि हम सामान्य xOy समन्वय प्रणाली (और tOy नहीं) में एक ग्राफ़ बनाएंगे।

आइए फ़ंक्शन y - syn x के मानों की एक तालिका बनाएं:

टिप्पणी।

आइए हम "साइन" शब्द की उत्पत्ति का एक संस्करण दें। लैटिन में, साइनस का अर्थ है मोड़ (धनुष की डोरी)।

निर्मित ग्राफ कुछ हद तक इस शब्दावली को सही ठहराता है।

वह रेखा जो फ़ंक्शन y = syn x के ग्राफ़ के रूप में कार्य करती है, साइन तरंग कहलाती है। साइनसॉइड का वह भाग जो चित्र में दिखाया गया है। 118 या 119 को साइन तरंग कहा जाता है, और साइन तरंग का वह भाग जो चित्र में दिखाया गया है। 117, को साइन तरंग की अर्ध-तरंग या चाप कहा जाता है।

2. फलन y = cos x.

फ़ंक्शन y = cos x का अध्ययन लगभग उसी योजना के अनुसार किया जा सकता है जिसका उपयोग ऊपर फ़ंक्शन y = syn x के लिए किया गया था। लेकिन हम वह रास्ता चुनेंगे जो लक्ष्य तक तेजी से पहुंचे। सबसे पहले, हम दो सूत्र सिद्ध करेंगे जो अपने आप में महत्वपूर्ण हैं (आप इसे हाई स्कूल में देखेंगे), लेकिन अभी हमारे उद्देश्यों के लिए केवल सहायक महत्व रखते हैं।

टी के किसी भी मूल्य के लिए निम्नलिखित समानताएँ मान्य हैं:

सबूत. मान लें कि संख्या t संख्यात्मक वृत्त n के बिंदु M के अनुरूप है, और संख्या * + - बिंदु P (चित्र 124; सरलता के लिए, हमने पहली तिमाही में बिंदु M लिया है)। चाप AM और BP बराबर हैं, और समकोण त्रिभुज OKM और OLBP संगत रूप से बराबर हैं। इसका मतलब है ओ के = ओबी, एमके = पीबी। इन समानताओं से और समन्वय प्रणाली में त्रिभुज OCM और OBP के स्थान से, हम दो निष्कर्ष निकालते हैं:

1) परिमाण और चिह्न दोनों में बिंदु P की कोटि बिंदु M के भुज के साथ मेल खाती है; यह मतलब है कि

2) बिंदु P का भुज बिंदु M की कोटि के निरपेक्ष मान के बराबर है, लेकिन चिह्न में इससे भिन्न है; यह मतलब है कि

लगभग वही तर्क उन मामलों में किया जाता है जहां बिंदु एम पहली तिमाही से संबंधित नहीं है।
आइए सूत्र का उपयोग करें (यह ऊपर सिद्ध किया गया सूत्र है, लेकिन वेरिएबल t के बजाय हम वेरिएबल x का उपयोग करते हैं)। यह सूत्र हमें क्या देता है? यह हमें यह दावा करने की अनुमति देता है कि कार्य

समान हैं, जिसका अर्थ है कि उनके ग्राफ़ मेल खाते हैं।
आइए फ़ंक्शन को प्लॉट करें ऐसा करने के लिए, आइए एक बिंदु पर मूल के साथ एक सहायक समन्वय प्रणाली पर आगे बढ़ें (बिंदीदार रेखा चित्र 125 में खींची गई है)। आइए फ़ंक्शन y = syn x को नए समन्वय प्रणाली से बांधें - यह फ़ंक्शन का ग्राफ़ होगा (चित्र 125), अर्थात्। फ़ंक्शन y - cos x का ग्राफ़। इसे, फ़ंक्शन y = syn x के ग्राफ़ की तरह, साइन तरंग कहा जाता है (जो काफी स्वाभाविक है)।

फ़ंक्शन के गुण y = cos x.

y = cos x एक सम फलन है।

निर्माण चरणों को चित्र में दिखाया गया है। 126:

1) फ़ंक्शन y = cos x (अधिक सटीक रूप से, एक अर्ध-तरंग) का एक ग्राफ बनाएं;
2) निर्मित ग्राफ़ को 0.5 के कारक के साथ x-अक्ष से खींचकर, हम आवश्यक ग्राफ़ की एक अर्ध-तरंग प्राप्त करते हैं;
3) परिणामी अर्ध-तरंग का उपयोग करके, हम फ़ंक्शन y = 0.5 cos x का संपूर्ण ग्राफ़ बनाते हैं।

समारोहय = पापएक्स

फ़ंक्शन का ग्राफ़ एक साइनसॉइड है।

साइन तरंग के पूर्ण गैर-दोहराए जाने वाले भाग को साइन तरंग कहा जाता है।

आधी साइन तरंग को अर्ध साइन तरंग (या चाप) कहा जाता है।

कार्य गुणय = पापएक्स:

किसी फ़ंक्शन को ग्राफ़ करने के लिए य= पाप एक्सनिम्नलिखित पैमानों का उपयोग करना सुविधाजनक है:

एक वर्ग वाले कागज की शीट पर, हम दो वर्गों की लंबाई को खंड की एक इकाई के रूप में लेते हैं।

अक्ष पर एक्सआइए लंबाई मापें π. वहीं, सुविधा के लिए हम 3.14 को 3 के रूप में प्रस्तुत करते हैं - यानी बिना किसी अंश के। फिर एक सेल में कागज की एक शीट पर π 6 सेल (तीन गुना 2 सेल) होंगे। और प्रत्येक कोशिका को अपना प्राकृतिक नाम प्राप्त होगा (पहली से छठी तक): π/6, π/3, π/2, 2π/3, 5π/6, π। ये हैं अर्थ एक्स.

y-अक्ष पर हम 1 चिह्नित करते हैं, जिसमें दो सेल शामिल हैं।

आइए अपने मूल्यों का उपयोग करके फ़ंक्शन मानों की एक तालिका बनाएं एक्स:

आगे हम एक शेड्यूल बनाएंगे. परिणाम एक अर्ध-तरंग है, जिसका उच्चतम बिंदु (π/2; 1) है। यह फ़ंक्शन का ग्राफ़ है य= पाप एक्सखंड पर. आइए निर्मित ग्राफ़ में एक सममित अर्ध-तरंग जोड़ें (मूल के सापेक्ष सममित, यानी खंड -π पर)। इस अर्ध-तरंग का शिखर निर्देशांक (-1; -1) के साथ x-अक्ष के नीचे है। परिणाम एक लहर होगी. यह फ़ंक्शन का ग्राफ़ है य= पाप एक्सखंड पर [-π; π].

आप तरंग को खंड [π;'' पर बनाकर जारी रख सकते हैं। 3π], [π; 5π], [π; 7π], आदि। इन सभी खंडों पर, फ़ंक्शन का ग्राफ़ खंड [-π; π]. आपको समान तरंगों वाली एक सतत लहरदार रेखा मिलेगी।

समारोहय = ओलएक्स.

किसी फ़ंक्शन का ग्राफ़ एक साइन तरंग है (कभी-कभी इसे कोसाइन तरंग भी कहा जाता है)।

कार्य गुणय = ओलएक्स:

समारोहय = एमएफ(एक्स).

चलिए पिछला फ़ंक्शन लेते हैं य=क्योंकि एक्स. जैसा कि आप पहले से ही जानते हैं, इसका ग्राफ एक साइन तरंग है। यदि हम इस फलन की कोज्या को एक निश्चित संख्या m से गुणा करें, तो तरंग अक्ष से विस्तारित होगी एक्स(या m के मान के आधार पर सिकुड़ जाएगा)।
यह नई तरंग फ़ंक्शन y = mf(x) का ग्राफ़ होगी, जहां m कोई वास्तविक संख्या है।

इस प्रकार, फलन y = mf(x) परिचित फलन y = f(x) को m से गुणा किया जाता है।

अगरएम< 1, то синусоида сжимается к оси एक्सगुणांक द्वाराएम। अगरm > 1, तो साइनसॉइड अक्ष से खिंच जाता हैएक्सगुणांक द्वाराएम।

स्ट्रेचिंग या कंप्रेशन करते समय, आप पहले साइन वेव की केवल एक आधी-तरंग को प्लॉट कर सकते हैं, और फिर पूरे ग्राफ को पूरा कर सकते हैं।

समारोहय = एफ(केएक्स).

यदि फ़ंक्शन य =एमएफ(एक्स) अक्ष से साइनसॉइड के खिंचाव की ओर जाता है एक्सया अक्ष की ओर संपीड़न एक्स, तो फलन y = f(kx) अक्ष से खिंचाव की ओर ले जाता है यया अक्ष की ओर संपीड़न य.

इसके अलावा, k कोई वास्तविक संख्या है।

0 पर< क< 1 синусоида растягивается от оси यगुणांक द्वाराक। अगरk > 1, तब साइनसॉइड अक्ष की ओर संकुचित होता हैयगुणांक द्वाराक।

इस फ़ंक्शन को ग्राफ़ करते समय, आप पहले साइन तरंग की एक अर्ध-तरंग बना सकते हैं, और फिर इसका उपयोग पूरे ग्राफ़ को पूरा करने के लिए कर सकते हैं।

समारोहय = टीजीएक्स.

फ़ंक्शन ग्राफ़ य= टीजी एक्सएक स्पर्शरेखा है.

यह 0 से π/2 के अंतराल में ग्राफ़ का एक हिस्सा बनाने के लिए पर्याप्त है, और फिर आप इसे 0 से 3π/2 के अंतराल में सममित रूप से जारी रख सकते हैं।

कार्य गुणय = टीजीएक्स:

समारोहय = सीटीजीएक्स

फ़ंक्शन ग्राफ़ य=ctg एक्सयह एक स्पर्शरेखा भी है (इसे कभी-कभी कोटैंजेंटॉइड भी कहा जाता है)।

कार्य गुणय = सीटीजीएक्स:

पीछे की ओर आगे की ओर

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बिना उपयोग के ही लोहे में जंग लग जाता है,
खड़ा पानी ठंड में सड़ जाता है या जम जाता है,
और मनुष्य का मन अपने लिए कोई उपयोग न पाकर निस्तेज हो जाता है।
लियोनार्डो दा विंसी

प्रयुक्त प्रौद्योगिकियाँ:समस्या-आधारित शिक्षा, आलोचनात्मक सोच, संचार संचार।

लक्ष्य:

• सीखने में संज्ञानात्मक रुचि का विकास।
• फ़ंक्शन y = syn x के गुणों का अध्ययन करना।
• अध्ययन की गई सैद्धांतिक सामग्री के आधार पर फ़ंक्शन y = पाप x का ग्राफ बनाने में व्यावहारिक कौशल का गठन।

कार्य:

1. विशिष्ट स्थितियों में फ़ंक्शन y = syn x के गुणों के बारे में ज्ञान की मौजूदा क्षमता का उपयोग करें।

2. फ़ंक्शन y = पाप x के विश्लेषणात्मक और ज्यामितीय मॉडल के बीच कनेक्शन की सचेत स्थापना लागू करें।

समाधान खोजने में पहल, एक निश्चित इच्छा और रुचि विकसित करना; निर्णय लेने, वहाँ न रुकने और अपनी बात का बचाव करने की क्षमता।

छात्रों में संज्ञानात्मक गतिविधि, जिम्मेदारी की भावना, एक-दूसरे के प्रति सम्मान, आपसी समझ, आपसी समर्थन और आत्मविश्वास को बढ़ावा देना; संचार की संस्कृति.

कक्षाओं के दौरान

प्रथम चरण। बुनियादी ज्ञान को अद्यतन करना, नई सामग्री सीखने के लिए प्रेरित करना

"पाठ में प्रवेश।"

बोर्ड पर तीन कथन लिखे हुए हैं:

1. त्रिकोणमितीय समीकरण पाप टी = ए का हमेशा समाधान होता है।
2. ओए अक्ष के बारे में समरूपता परिवर्तन का उपयोग करके एक विषम फ़ंक्शन का ग्राफ़ बनाया जा सकता है।
3. एक त्रिकोणमितीय फ़ंक्शन को एक प्रमुख अर्ध-तरंग का उपयोग करके रेखांकन किया जा सकता है।

छात्र जोड़ियों में चर्चा करते हैं: क्या कथन सत्य हैं? (1 मिनट)। प्रारंभिक चर्चा के परिणाम (हाँ, नहीं) फिर "पहले" कॉलम में तालिका में दर्ज किए जाते हैं।

शिक्षक पाठ के लक्ष्य और उद्देश्य निर्धारित करता है।

2. ज्ञान को अद्यतन करना (एक त्रिकोणमितीय वृत्त के मॉडल पर सामने की ओर).

हम फलन s=sin t से पहले ही परिचित हो चुके हैं।

1) वेरिएबल टी कौन से मान ले सकता है। इस फ़ंक्शन का दायरा क्या है?

2) अभिव्यक्ति पाप टी के मान किस अंतराल में निहित हैं? फ़ंक्शन s = syn t का सबसे बड़ा और सबसे छोटा मान ज्ञात करें।

3) समीकरण पाप t = 0 को हल करें।

4) जब कोई बिंदु पहली तिमाही में आगे बढ़ता है तो उसकी कोटि क्या होती है? (कोर्डिनेट बढ़ता है)। जब कोई बिंदु दूसरी तिमाही में आगे बढ़ता है तो उसकी कोटि क्या होती है? (कोर्डेट धीरे-धीरे कम हो जाता है)। यह फ़ंक्शन की एकरसता से कैसे संबंधित है? (फ़ंक्शन s = syn t खंड पर बढ़ता है और खंड पर घटता है)।

5) आइए फ़ंक्शन s = syn t को y = syn x के रूप में लिखें जो हमारे लिए परिचित है (हम इसे सामान्य xOy समन्वय प्रणाली में बनाएंगे) और इस फ़ंक्शन के मानों की एक तालिका संकलित करेंगे।

चरण 2। धारणा, समझ, प्राथमिक समेकन, अनैच्छिक स्मरण

चरण 4. ज्ञान और गतिविधि के तरीकों का प्राथमिक व्यवस्थितकरण, उनका स्थानांतरण और नई स्थितियों में अनुप्रयोग

6. क्रमांक 10.18 (बी,सी)

चरण 5. अंतिम नियंत्रण, सुधार, मूल्यांकन और आत्म-मूल्यांकन

7. हम कथनों (पाठ की शुरुआत) पर लौटते हैं, त्रिकोणमितीय फ़ंक्शन y = पाप x के गुणों का उपयोग करके चर्चा करते हैं, और तालिका में "बाद" कॉलम भरते हैं।

8. डी/जेड: खंड 10, संख्या 10.7(ए), 10.8(बी), 10.11(बी), 10.16(ए)

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स्लाइड कैप्शन:

फ़ंक्शन y = पाप x और y = cos x और उनके ग्राफ़ (पाठ के लिए प्रस्तुति के साथ) कोरपुसोवा तात्याना सर्गेवना गणित शिक्षक एमबीओयू एलएसओएसएच नंबर 2 के नाम पर। एन.एफ.स्ट्रुचेनकोवा ब्रांस्क क्षेत्र।

परिभाषा सूत्र y = syn x और y = cos x द्वारा परिभाषित संख्यात्मक फलन क्रमशः साइन और कोसाइन कहलाते हैं। 11/10/2013 कोरपुसोवा टी.एस.

फलन y=sin x, ग्राफ और गुण। 11/10/2013 कोरपुसोवा टी.एस.

साइन तरंग 1 - π/2 π 2 π 3 π x -3 π/2 - π 0 π/2 3 π/2 5 π/2 -1 11/10/2013 कोरपुसोवा टी.एस.

y = पाप(x+a) उदाहरण y 1 -1 π 2 π - π 11/10/2013 कोरपुसोवा टी.एस.

वाई = पाप एक्स + ए 1) वाई = पाप एक्स + 1; y 1 x - π 0 π 2 π x -1 x 2) y = पाप x - 1 11/10/2013 कोरपुसोवा टी.एस.

आलेख आलेखित करना y=sin(x+m)+l y 1 - π 0 π 2 π 3 π x -1 11/10/2013 कोरपुसोवा टी.एस.

फ़ंक्शन y = cos x, इसके गुण और ग्राफ़। 11/10/2013 कोरपुसोवा टी.एस.

y = cos x y 1 - π/2 π 2 π 3 π x - π 0 π/2 3 π/2 5 π/2 -1 फलन y= cos x का ग्राफ साइनसॉइड को बाईं ओर स्थानांतरित करके प्राप्त किया गया था π/2 11/10/2013 कोरपुसोवा टी.एस.

आलेख आलेखित करना y = cos (x+m)+l 1)y =-cos x; y 2 y x 0 x -1 2)y= cos (x- π/4)+2 11/10/2013 कोरपुसोवा टी.एस.

ग्राफ़ प्लॉट करना y=k·sin x y 2.5 1 x -1 -2.5 11/10/2013 कोरपुसोवा टी.एस.

त्रिकोणमितीय कार्यों की अवधि ढूँढना यदि y=f(x) आवधिक है और सबसे छोटी सकारात्मक अवधि T₁ है, तो फ़ंक्शन y=A· f(kx+b), जहां A, k और b स्थिर हैं, और k ≠ 0 , एक अवधि के साथ आवधिक भी है उदाहरण: 11/10/2013 कोरपुसोवा टी.एस. 1) y=sin 6 x +2, Т₁=2 π T₁=2 π

आवधिक फलनों का रेखांकन आलेखित करना 11/10/2013 कोरपुसोवा टी.एस. y x 1 1 y x 1 1 1)T= 4 2)T= 4 फलन y= f(x) दिया गया है। यदि अवधि ज्ञात हो तो इसका ग्राफ बनाइये। वाई एक्स 1 1 3)टी= 3

फ़ंक्शन का एक ग्राफ़ बनाएं: y=2cos(2x- π/3)-0.5 और फ़ंक्शन की परिभाषा का डोमेन और मानों की सीमा ढूंढें 11/10/2013 KORPUSOVA T.S. y x 1 -1 π - π 2 π -2 π टी= π

विषय पर पाठ और प्रस्तुति: "फ़ंक्शन y=sin(x). परिभाषाएँ और गुण"

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हम क्या अध्ययन करेंगे:

• फ़ंक्शन के गुण Y=sin(X).
• फ़ंक्शन ग्राफ़.
• ग्राफ़ और उसका पैमाना कैसे बनाएं।
• उदाहरण।

साइन के गुण. Y=पाप(X)

दोस्तों, हम संख्यात्मक तर्क के त्रिकोणमितीय कार्यों से पहले ही परिचित हो चुके हैं। क्या आप उन्हें याद करते हैं?

आइए फ़ंक्शन Y=sin(X) पर करीब से नज़र डालें

आइए इस फ़ंक्शन के कुछ गुण लिखें:
1) परिभाषा का क्षेत्र वास्तविक संख्याओं का समुच्चय है।
2) फलन विषम है। आइए एक विषम फलन की परिभाषा याद रखें। यदि समानता है तो एक फ़ंक्शन को विषम कहा जाता है: y(-x)=-y(x)। जैसा कि हम भूत सूत्रों से याद करते हैं: पाप(-x)=-sin(x)। परिभाषा पूरी हो गई है, जिसका अर्थ है कि Y=sin(X) एक विषम फलन है।
3) फ़ंक्शन Y=sin(X) खंड पर बढ़ता है और खंड [π/2; π]. जब हम पहली तिमाही (वामावर्त) में आगे बढ़ते हैं, तो कोटि बढ़ती है, और जब हम दूसरी तिमाही में आगे बढ़ते हैं तो यह घटती है।

4) फलन Y=sin(X) नीचे और ऊपर से सीमित है। यह गुण इस तथ्य से अनुसरण करता है कि
-1 ≤ पाप(एक्स) ≤ 1
5) फ़ंक्शन का सबसे छोटा मान -1 है (x = - π/2+ πk पर)। फ़ंक्शन का सबसे बड़ा मान 1 है (x = π/2+ πk पर)।

आइए फ़ंक्शन Y=sin(X) को प्लॉट करने के लिए गुण 1-5 का उपयोग करें। हम अपने गुणों को लागू करते हुए क्रमिक रूप से अपना ग्राफ़ बनाएंगे। आइए खंड पर एक ग्राफ़ बनाना शुरू करें।

पैमाने पर विशेष ध्यान देना चाहिए। कोर्डिनेट अक्ष पर 2 कोशिकाओं के बराबर एक इकाई खंड लेना अधिक सुविधाजनक है, और भुज अक्ष पर π/3 के बराबर एक इकाई खंड (दो कोशिकाएं) लेना अधिक सुविधाजनक है (आंकड़ा देखें)।

ज्या फलन x, y=sin(x) आलेखित करना

आइए हमारे खंड पर फ़ंक्शन के मानों की गणना करें:

आइए तीसरी संपत्ति को ध्यान में रखते हुए, अपने बिंदुओं का उपयोग करके एक ग्राफ बनाएं।

भूत सूत्रों के लिए रूपांतरण तालिका

आइए दूसरी संपत्ति का उपयोग करें, जो कहती है कि हमारा कार्य विषम है, जिसका अर्थ है कि इसे मूल के संबंध में सममित रूप से प्रतिबिंबित किया जा सकता है:

हम जानते हैं कि पाप(x+ 2π) = पाप(x). इसका मतलब है कि अंतराल पर [- π; π] ग्राफ़ खंड [π;'' जैसा ही दिखता है; 3π] या या [-3π; - π] इत्यादि। हमें बस पिछले चित्र में संपूर्ण x-अक्ष के साथ ग्राफ़ को सावधानीपूर्वक दोबारा बनाना है।

फ़ंक्शन Y=sin(X) के ग्राफ़ को साइनसॉइड कहा जाता है।

आइए निर्मित ग्राफ़ के अनुसार कुछ और गुण लिखें:
6) फ़ंक्शन Y=sin(X) फॉर्म के किसी भी खंड पर बढ़ता है: [- π/2+ 2πk; π/2+ 2πk], k एक पूर्णांक है और फॉर्म के किसी भी खंड पर घटता है: [π/2+ 2πk; 3π/2+ 2πk], k - पूर्णांक।
7) फलन Y=sin(X) एक सतत फलन है। आइए फ़ंक्शन के ग्राफ़ को देखें और सुनिश्चित करें कि हमारे फ़ंक्शन में कोई ब्रेक नहीं है, इसका मतलब निरंतरता है।
8) मानों की सीमा: खंड [- 1; 1]. यह फ़ंक्शन के ग्राफ़ से भी स्पष्ट रूप से दिखाई देता है।
9) फलन Y=sin(X) - आवधिक फलन। आइए ग्राफ़ को फिर से देखें और देखें कि फ़ंक्शन निश्चित अंतराल पर समान मान लेता है।

साइन के साथ समस्याओं के उदाहरण

1. समीकरण पाप(x)=x-π को हल करें

समाधान: आइए फ़ंक्शन के 2 ग्राफ़ बनाएं: y=sin(x) और y=x-π (आंकड़ा देखें)।
हमारे ग्राफ़ एक बिंदु A(π;0) पर प्रतिच्छेद करते हैं, यह उत्तर है: x = π

2. फ़ंक्शन y=sin(π/6+x)-1 को ग्राफ़ करें

समाधान: फ़ंक्शन के ग्राफ़ को बाईं ओर और 1 इकाई नीचे ले जाकर वांछित ग्राफ़ प्राप्त किया जाएगा।

समाधान: आइए फ़ंक्शन को प्लॉट करें और हमारे सेगमेंट पर विचार करें [π/2; 5π/4]।
फ़ंक्शन का ग्राफ़ दिखाता है कि सबसे बड़े और सबसे छोटे मान क्रमशः खंड के अंत में, बिंदु π/2 और 5π/4 पर प्राप्त किए जाते हैं।
उत्तर: पाप(π/2) = 1 - सबसे बड़ा मान, पाप(5π/4) = सबसे छोटा मान।

स्वतंत्र समाधान के लिए साइन समस्याएं

• समीकरण हल करें: पाप(x)= x+3π, पाप(x)= x-5π
• फ़ंक्शन y=sin(π/3+x)-2 को ग्राफ़ करें
• फ़ंक्शन y=sin(-2π/3+x)+1 को ग्राफ़ करें
• खंड पर फ़ंक्शन y=sin(x) का सबसे बड़ा और सबसे छोटा मान ज्ञात करें
• अंतराल [- π/3; पर फ़ंक्शन y=sin(x) का सबसे बड़ा और सबसे छोटा मान ज्ञात करें; 5π/6]