विभिन्न तर्कों के साथ ज्याओं और स्पर्शरेखाओं का योग। ज्या और कोज्या का योग और अंतर: सूत्रों की व्युत्पत्ति, उदाहरण

दो कोणों α और β के लिए ज्या और कोज्या के योग और अंतर के सूत्र हमें इन कोणों के योग से कोण α + β 2 और α - β 2 के गुणनफल तक जाने की अनुमति देते हैं। आइए हम तुरंत ध्यान दें कि आपको ज्या और कोज्या के योग और अंतर के सूत्रों को योग और अंतर की ज्या और कोज्या के सूत्रों के साथ भ्रमित नहीं करना चाहिए। नीचे हम इन सूत्रों को सूचीबद्ध करते हैं, उनकी व्युत्पत्तियाँ देते हैं और विशिष्ट समस्याओं के लिए अनुप्रयोग के उदाहरण दिखाते हैं।

Yandex.RTB R-A-339285-1

ज्या और कोज्या के योग और अंतर के लिए सूत्र

आइए लिखें कि ज्या और कोज्या के लिए योग और अंतर सूत्र कैसा दिखते हैं

ज्या के लिए योग और अंतर सूत्र

पाप α + पाप β = 2 पाप α + β 2 क्योंकि α - β 2 पाप α - पाप β = 2 पाप α - β 2 क्योंकि α + β 2

कोसाइन के लिए योग और अंतर सूत्र

कॉस α + कॉस β = 2 कॉस α + β 2 कॉस α - β 2 कॉस α - कॉस β = - 2 सिन α + β 2 कॉस α - β 2, कॉस α - कॉस β = 2 सिन α + β 2 · β - α 2

ये सूत्र किसी भी कोण α और β के लिए मान्य हैं। कोण α + β 2 और α - β 2 को क्रमशः कोण अल्फा और बीटा का आधा योग और आधा अंतर कहा जाता है। आइए हम प्रत्येक सूत्र का सूत्रीकरण दें।

ज्या और कोज्या के योग और अंतर के लिए सूत्रों की परिभाषा

दो कोणों की ज्याओं का योगइन कोणों के आधे योग की ज्या और आधे अंतर की कोज्या के गुणनफल के दोगुने के बराबर है।

दो कोणों की ज्याओं का अंतरइन कोणों के आधे अंतर की ज्या और आधे योग की कोज्या के गुणनफल के दोगुने के बराबर है।

दो कोणों की कोज्याओं का योगइन कोणों के आधे योग की कोज्या और आधे अंतर की कोज्या के गुणनफल के दोगुने के बराबर है।

दो कोणों की कोज्या का अंतरऋणात्मक चिन्ह के साथ लिए गए इन कोणों के आधे योग की ज्या और आधे अंतर की कोज्या के गुणनफल के दोगुने के बराबर है।

ज्या और कोज्या के योग और अंतर के लिए सूत्र निकालना

दो कोणों की ज्या और कोज्या के योग और अंतर का सूत्र निकालने के लिए योग सूत्र का उपयोग किया जाता है। आइए उन्हें नीचे सूचीबद्ध करें

पाप (α + β) = पाप α · कॉस β + कॉस α · पाप β पाप (α - β) = पाप α · कॉस β - कॉस α · पाप β कॉस (α + β) = कॉस α · कॉस β - पाप α पाप β क्योंकि (α - β) = क्योंकि α क्योंकि β + पाप α पाप β

आइए, कोणों की भी आधे-जोड़ों और आधे-अंतरों के योग के रूप में कल्पना करें।

α = α + β 2 + α - β 2 = α 2 + β 2 + α 2 - β 2 β = α + β 2 - α - β 2 = α 2 + β 2 - α 2 + β 2

हम सीधे पाप और कॉस के योग और अंतर सूत्र की व्युत्पत्ति के लिए आगे बढ़ते हैं।

ज्याओं के योग के लिए सूत्र की व्युत्पत्ति

पाप α + पाप β के योग में, हम α और β को ऊपर दिए गए इन कोणों के व्यंजकों से प्रतिस्थापित करते हैं। हम पाते हैं

पाप α + पाप β = पाप α + β 2 + α - β 2 + पाप α + β 2 - α - β 2

अब हम पहले व्यंजक में जोड़ सूत्र लागू करते हैं, और दूसरे पर - कोण अंतर की ज्या का सूत्र लागू करते हैं (ऊपर सूत्र देखें)

पाप α + β 2 + α - β 2 = पाप α + β 2 क्योंकि α - β 2 + क्योंकि α + β 2 पाप α - β 2 पाप α + β 2 - α - β 2 = पाप α + β 2 क्योंकि α - β 2 - कॉस α + β 2 सिन α - β 2 सिन α + β 2 + α - β 2 + सिन α + β 2 - α - β 2 = सिन α + β 2 कॉस α - β 2 + कॉस α + β 2 पाप α - β 2 + पाप α + β 2 cos α - β 2 - cos α + β 2 पाप α - β 2 कोष्ठक खोलें, समान पद जोड़ें और आवश्यक सूत्र प्राप्त करें

पाप α + β 2 क्योंकि α - β 2 + क्योंकि α + β 2 पाप α - β 2 + पाप α + β 2 क्योंकि α - β 2 - क्योंकि α + β 2 पाप α - β 2 = = 2 पाप α + β 2 क्योंकि α - β 2

शेष सूत्र प्राप्त करने के चरण समान हैं।

ज्याओं के अंतर के लिए सूत्र की व्युत्पत्ति

पाप α - पाप β = पाप α + β 2 + α - β 2 - पाप α + β 2 - α - β 2 पाप α + β 2 + α - β 2 - पाप α + β 2 - α - β 2 = पाप α + β 2 cos α - β 2 + cos α + β 2 पाप α - β 2 - पाप α + β 2 क्योंकि α - β 2 - cos α + β 2 पाप α - β 2 = = 2 पाप α - β 2 क्योंकि α + β 2

कोज्या के योग के लिए सूत्र की व्युत्पत्ति

कॉस α + कॉस β = कॉस α + β 2 + α - β 2 + कॉस α + β 2 - α - β 2 कॉस α + β 2 + α - β 2 + कॉस α + β 2 - α - β 2 = कॉस α + β 2 क्योंकि α - β 2 - पाप α + β 2 पाप α - β 2 + क्योंकि α + β 2 क्योंकि α - β 2 + पाप α + β 2 पाप α - β 2 = = 2 क्योंकि α + β 2 क्योंकि α - β 2

कोसाइन के अंतर के लिए सूत्र की व्युत्पत्ति

कॉस α - कॉस β = कॉस α + β 2 + α - β 2 - कॉस α + β 2 - α - β 2 कॉस α + β 2 + α - β 2 - कॉस α + β 2 - α - β 2 = कॉस α + β 2 क्योंकि α - β 2 - पाप α + β 2 पाप α - β 2 - क्योंकि α + β 2 क्योंकि α - β 2 + पाप α + β 2 पाप α - β 2 = = - 2 पाप α + β 2 पाप α - β 2

व्यावहारिक समस्याओं को हल करने के उदाहरण

सबसे पहले, आइए किसी एक सूत्र में विशिष्ट कोण मानों को प्रतिस्थापित करके उसकी जाँच करें। माना α = π 2, β = π 6. आइए इन कोणों की ज्याओं के योग का मान ज्ञात करें। सबसे पहले, हम त्रिकोणमितीय फलनों के मूल मानों की तालिका का उपयोग करेंगे, और फिर हम ज्याओं के योग के लिए सूत्र लागू करेंगे।

उदाहरण 1. दो कोणों की ज्याओं के योग के सूत्र की जाँच करना

α = π 2, β = π 6 पाप π 2 + पाप π 6 = 1 + 1 2 = 3 2 पाप π 2 + पाप π 6 = 2 पाप π 2 + π 6 2 कॉस π 2 - π 6 2 = 2 पाप π 3 क्योंकि π 6 = 2 3 2 3 2 = 3 2

आइए अब उस मामले पर विचार करें जब कोण मान तालिका में प्रस्तुत मूल मानों से भिन्न होते हैं। माना α = 165°, β = 75°. आइए इन कोणों की ज्याओं के बीच अंतर की गणना करें।

उदाहरण 2. ज्या सूत्र के अंतर का अनुप्रयोग

α = 165 °, β = 75 ° पाप α - पाप β = पाप 165 ° - पाप 75 ° पाप 165 - पाप 75 = 2 पाप 165 ° - पाप 75 ° 2 कॉस 165 ° + पाप 75 ° 2 = = 2 पाप 45 °cos 120° = 2 2 2 - 1 2 = 2 2

ज्या और कोज्या के योग और अंतर के सूत्रों का उपयोग करके, आप योग या अंतर से त्रिकोणमितीय कार्यों के उत्पाद की ओर बढ़ सकते हैं। अक्सर इन सूत्रों को योग से उत्पाद की ओर बढ़ने के सूत्र कहा जाता है। त्रिकोणमितीय समीकरणों को हल करने और त्रिकोणमितीय अभिव्यक्तियों को परिवर्तित करने में साइन और कोसाइन के योग और अंतर के सूत्रों का व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है।

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यह इलेक्ट्रॉनिक संसाधन आधुनिक स्कूलों में इंटरैक्टिव शिक्षण संचालित करने के लिए एक उत्कृष्ट सामग्री है। यह सही ढंग से लिखा गया है, इसकी स्पष्ट संरचना है और यह स्कूली पाठ्यक्रम से मेल खाता है। विस्तृत स्पष्टीकरण के लिए धन्यवाद, वीडियो पाठ में प्रस्तुत विषय कक्षा में यथासंभव अधिक से अधिक छात्रों के लिए स्पष्ट हो जाएगा। शिक्षकों को यह याद रखना चाहिए कि सभी छात्रों की धारणा, समझने की गति या आधार की डिग्री समान नहीं होती है। ऐसी सामग्रियां आपको कठिनाइयों से निपटने और अपने साथियों के बराबर पहुंचने में मदद करेंगी, आपके शैक्षणिक प्रदर्शन में सुधार करेंगी। उनकी मदद से, एक शांत घर के माहौल में, स्वतंत्र रूप से या एक शिक्षक के साथ मिलकर, एक छात्र किसी विशेष विषय को समझ सकता है, सिद्धांत का अध्ययन कर सकता है और किसी विशेष सूत्र के व्यावहारिक अनुप्रयोग के उदाहरण देख सकता है, आदि।

यह वीडियो पाठ "तर्कों के अंतर की ज्या और कोज्या" विषय पर समर्पित है। यह माना जाता है कि छात्र पहले ही त्रिकोणमिति की मूल बातें सीख चुके हैं, बुनियादी कार्यों और उनके गुणों, भूत सूत्रों और त्रिकोणमितीय मूल्यों की तालिकाओं से परिचित हैं।

साथ ही, इस विषय का अध्ययन करने से पहले, आपको तर्कों के योग की ज्या और कोज्या की समझ होनी चाहिए, दो बुनियादी सूत्रों को जानना चाहिए और उनका उपयोग करने में सक्षम होना चाहिए।

वीडियो पाठ की शुरुआत में, उद्घोषक छात्रों को इन दो सूत्रों की याद दिलाता है। इसके बाद, पहला सूत्र प्रदर्शित किया गया है - तर्कों के अंतर की ज्या। इसके अलावा, सूत्र स्वयं कैसे व्युत्पन्न होता है, यह दिखाया जाता है कि यह दूसरे से कैसे व्युत्पन्न होता है। इस प्रकार, विद्यार्थी को कोई नया फॉर्मूला बिना समझे याद नहीं करना पड़ेगा, जो कि एक सामान्य गलती है। इस कक्षा के विद्यार्थियों के लिए यह बहुत महत्वपूर्ण है। आपको हमेशा याद रखना चाहिए कि आप ऋण चिह्न के सामने + चिह्न जोड़ सकते हैं, और धन चिह्न पर ऋण अंततः ऋण में बदल जाएगा। इस सरल चरण से, आप किसी योग की ज्या के लिए सूत्र का उपयोग कर सकते हैं और तर्कों के अंतर की ज्या के लिए सूत्र प्राप्त कर सकते हैं।

अंतर की कोज्या का सूत्र तर्कों के योग की कोज्या के सूत्र से उसी प्रकार प्राप्त किया जाता है।

वक्ता हर चीज़ को चरण दर चरण समझाता है, और परिणामस्वरूप, तर्क और ज्या के योग और अंतर की कोज्या के लिए सामान्य सूत्र इसी तरह प्राप्त होता है।

इस वीडियो पाठ के व्यावहारिक भाग का पहला उदाहरण Pi/12 की कोज्या ज्ञात करने का सुझाव देता है। इस मान को एक निश्चित अंतर के रूप में प्रस्तुत करने का प्रस्ताव है, जिसमें मीनुएंड और सबट्रेंड सारणीबद्ध मान होंगे। इसके बाद, तर्कों के अंतर के लिए कोज्या सूत्र लागू किया जाएगा। अभिव्यक्ति को प्रतिस्थापित करके, आप परिणामी मानों को प्रतिस्थापित कर सकते हैं और उत्तर प्राप्त कर सकते हैं। उद्घोषक उत्तर पढ़ता है, जो उदाहरण के अंत में प्रदर्शित होता है।

दूसरा उदाहरण एक समीकरण है. दाएं और बाएं दोनों तरफ हम तर्कों के अंतर की कोसाइन देखते हैं। स्पीकर कास्टिंग फ़ॉर्मूले जैसा दिखता है, जिसका उपयोग इन अभिव्यक्तियों को बदलने और सरल बनाने के लिए किया जाता है। ये सूत्र दाहिनी ओर लिखे गए हैं ताकि छात्र समझ सकें कि कुछ परिवर्तन कहाँ से आते हैं।

एक अन्य उदाहरण, तीसरा, एक निश्चित अंश है, जहां अंश और हर दोनों में हमारे पास त्रिकोणमितीय अभिव्यक्तियां हैं, अर्थात्, उत्पादों के अंतर।

यहां भी हल करते समय न्यूनीकरण सूत्रों का प्रयोग किया जाता है। इस प्रकार, स्कूली बच्चे देख सकते हैं कि यदि वे त्रिकोणमिति में एक विषय चूक जाते हैं, तो बाकी को समझना कठिन हो जाएगा।

और अंत में, चौथा उदाहरण। यह भी एक ऐसा समीकरण है जिसे हल करते समय नए सीखे हुए और पुराने फॉर्मूलों का उपयोग करना आवश्यक होता है।

आप वीडियो ट्यूटोरियल में दिए गए उदाहरणों को अधिक विस्तार से देख सकते हैं और इसे स्वयं हल करने का प्रयास कर सकते हैं। इन्हें स्कूली बच्चों को होमवर्क के रूप में सौंपा जा सकता है।

पाठ डिकोडिंग:

पाठ का विषय है "तर्कों के अंतर की ज्या और कोज्या।"

पिछले पाठ्यक्रम में, हमें दो त्रिकोणमितीय सूत्रों से परिचित कराया गया था: तर्कों के योग की ज्या और कोज्या।

पाप(एक्स + वाई) = पाप एक्स कॉस वाई + कॉस एक्स पाप वाई,

कॉस (x + y) = कॉस x कॉस y - सिन x सिन y।

दो कोणों के योग की ज्या पहले कोण की ज्या और दूसरे कोण की ज्या के गुणनफल और पहले कोण की कोज्या और दूसरे कोण की ज्या के गुणनफल के बीच के योग के बराबर होती है;

दो कोणों के योग की कोज्या इन कोणों की कोज्याओं के गुणनफल और इन कोणों के योग के गुणनफल के बीच के अंतर के बराबर होती है।

इन सूत्रों का उपयोग करके, हम तर्कों के अंतर के सूत्र साइन और कोसाइन प्राप्त करेंगे।

तर्कों के अंतर की ज्या पाप(x-y)

दो सूत्र (योग की ज्या और अंतर की ज्या) इस प्रकार लिखे जा सकते हैं:

पाप(xy) = पाप x क्योंकि yक्योंकि x पाप y.

इसी प्रकार, हम अंतर की कोज्या का सूत्र प्राप्त करते हैं:

आइए तर्कों के बीच अंतर की कोज्या को योग के रूप में फिर से लिखें और योग की कोज्या के लिए पहले से ज्ञात सूत्र लागू करें: cos (x + y) = cosxcosy - synxsiny।

केवल तर्क x और -y के लिए। इन तर्कों को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर, हमें cosxcos(- y) - synxsin(- y) प्राप्त होता है।

पाप(- y)= - पाप). और हमें अंतिम अभिव्यक्ति cosxcosy + synxsiny प्राप्त होती है।

cos (x - y) = cos (x +(- y)) = cos xcos(- y) - पाप x पाप(- y)= cosx cos y + पाप xsin y।

इसका मतलब है cos (x - y) = cosxcos y + syn xsin y.

दो कोणों के अंतर की कोज्या इन कोणों की कोज्याओं के गुणनफल और इन कोणों की ज्याओं के गुणनफल के बीच के योग के बराबर होती है।

दो सूत्रों (योग की कोज्या और अंतर की कोज्या) को एक में मिलाकर हम लिखते हैं

क्योंकि(xy) = cosxcos y पाप xsin y।

आइए याद रखें कि व्यवहार में सूत्रों को बाएं से दाएं और इसके विपरीत दोनों तरह से लागू किया जा सकता है।

आइए उदाहरण देखें.

उदाहरण 1. कॉस (पाई की कोज्या को बारह से विभाजित) की गणना करें।

समाधान। आइए पाई को बारह से विभाजित करने पर पाई को तीन से विभाजित करने और पाई को चार से विभाजित करने के अंतर को लिखते हैं: = -।

आइए अंतर कोज्या सूत्र में मानों को प्रतिस्थापित करें: cos (x - y) = cosxcosy + synxsiny, इस प्रकार cos = cos (-) = cos cos + पाप पाप

हम जानते हैं कि cos = , cos = पाप =, पाप =। मानों की तालिका दिखाएँ.

हम ज्या और कोज्या के मान को संख्यात्मक मानों से प्रतिस्थापित करते हैं और ∙ + ∙ प्राप्त करते हैं जब एक भिन्न को एक भिन्न से गुणा करते हैं, हम अंश और हर को गुणा करते हैं, हमें मिलता है

कॉस = कॉस (-) = कॉस कॉस + पाप पाप = ∙ + ∙ = = =।

उत्तर: कॉस =.

उदाहरण 2. समीकरण cos(2π - 5x) = cos(- 5x) को हल करें (दो पाई शून्य पांच x की कोज्या पाई की कोज्या दो शून्य पांच x के बराबर है)।

समाधान। समीकरण के बाएँ और दाएँ पक्षों पर हम कटौती सूत्र लागू करते हैं cos(2π - cos (दो pi की कोज्या घटा अल्फा, अल्फा की कोज्या के बराबर है) और cos(- = syn (pi की कोज्या दो घटा अल्फा के बराबर है) अल्फा की साइन), हमें cos 5x = syn 5x मिलता है, हम इसे पहली डिग्री के सजातीय समीकरण के रूप में देते हैं और हमें cos 5x - syn 5x = 0 मिलता है। यह पहली डिग्री का एक सजातीय समीकरण है। आइए हम समीकरण पद के दोनों पक्षों को cos 5x से विभाजित करें। हमारे पास है:

cos 5x: cos 5x - पाप 5x: cos 5x = 0, क्योंकि cos 5x: cos 5x = 1, और पाप 5x: cos 5x = tan 5x, तो हमें मिलता है:

चूँकि हम पहले से ही जानते हैं कि समीकरण tgt = a का हल t = arctga + πn है, और चूँकि हमारे पास t = 5x, a = 1 है, हमें मिलता है

5x = आर्कटैन 1 + πn,

और arctg का मान 1 है, तो tg 1= तालिका दिखाएँ

समीकरण में मान रखें और इसे हल करें:

उत्तर: एक्स = +.

उदाहरण 3. भिन्न का मान ज्ञात कीजिए। (अंश में पचहत्तर डिग्री और पैंसठ डिग्री की कोज्या के गुणनफल और पचहत्तर डिग्री और पैंसठ डिग्री की ज्या के गुणनफल का अंतर है, और हर में ज्या के गुणनफल का अंतर है (पचासी डिग्री की कोज्या और पैंतीस डिग्री की कोज्या और पैंतीस डिग्री की कोज्या और पैंतीस डिग्री की ज्या का गुणनफल)।

समाधान। इस अंश के अंश में, अंतर को 75° और 65° तर्कों के योग की कोज्या में "संक्षिप्त" किया जा सकता है, और हर में, अंतर को तर्कों के बीच अंतर की ज्या में "संक्षिप्त" किया जा सकता है 85° और 35°. हम पाते हैं

उत्तर 1।

उदाहरण 4. समीकरण को हल करें: cos(-x) + syn(-x) = 1 (pi के अंतर की कोज्या चार और x के योग के साथ पाई के चार और x के अंतर की ज्या एक के बराबर है)।

समाधान। आइए कोज्या अंतर और ज्या अंतर सूत्र लागू करें।

सामान्य अंतर कोसाइन सूत्र दिखाएँ

तब cos (-x) = cos cos x + synsinх

ज्या अंतर का सामान्य सूत्र दिखाएँ

और पाप (-х)= पाप क्योंकि - क्योंकि पाप

इन भावों को समीकरण cos(-x) + syn(-x) = 1 में रखें और प्राप्त करें:

कॉस कॉस x + सिनसिन x + सिन कॉस x - कॉस सिन x = 1,

चूँकि cos= और syn= तालिका में sine और cosine का अर्थ दिखाएँ

हमें ∙ cos x + ∙ synx + ∙ cos x - ∙ synx = 1 मिलता है।

दूसरे और चौथे पद विपरीत हैं, इसलिए वे एक-दूसरे को रद्द करते हुए छोड़ते हैं:

∙ कॉस + ∙ कॉस = 1,

आइए इस समीकरण को हल करें और वह प्राप्त करें

2∙ ∙ क्योंकि x= 1,

चूँकि हम पहले से ही जानते हैं कि समीकरण cos = a का एक हल है टी = आर्कोसए+ 2πक, और चूँकि हमारे पास t=x, a = है, हमें मिलता है

x = आर्ककोस + 2πn,

और चूँकि मान आर्ककोस है, तो cos=