गुणनखंडन बहुपद के उदाहरण. द्विघात त्रिपद का गुणनखंड कैसे करें: सूत्र

एक वर्ग त्रिपद ax^2 + bx + c के रूप का एक बहुपद है, जहाँ x एक चर है, a, b और c कुछ संख्याएँ हैं, और a ≠ 0 है।

किसी त्रिपद का गुणनखंड करने के लिए, आपको उस त्रिपद की जड़ों को जानना होगा। (त्रिनोमियल 5x^2 + 3x- 2 पर एक और उदाहरण)

ध्यान दें: द्विघात त्रिपद 5x^2 + 3x - 2 का मान x के मान पर निर्भर करता है। उदाहरण के लिए: यदि x = 0, तो 5x^2 + 3x - 2 = -2

यदि x = 2, तो 5x^2 + 3x - 2 = 24

यदि x = -1, तो 5x^2 + 3x - 2 = 0

x = -1 पर, वर्ग त्रिपद 5x^2 + 3x - 2 लुप्त हो जाता है, इस स्थिति में संख्या -1 कहलाती है एक वर्ग त्रिपद का मूल.

किसी समीकरण का मूल कैसे प्राप्त करें

आइए हम बताएं कि हमने इस समीकरण का मूल कैसे प्राप्त किया। सबसे पहले, आपको उस प्रमेय और सूत्र को स्पष्ट रूप से जानना होगा जिसके द्वारा हम काम करेंगे:

"यदि x1 और x2 द्विघात त्रिपद ax^2 + bx + c के मूल हैं, तो ax^2 + bx + c = a(x - x1)(x - x2)।"

एक्स = (-b±√(b^2-4ac))/2a \

बहुपद के मूल ज्ञात करने का यह सूत्र सबसे आदिम सूत्र है, जिसके प्रयोग से आप कभी भ्रमित नहीं होंगे।

व्यंजक 5x^2 + 3x – 2 है।

1. शून्य के बराबर: 5x^2 + 3x – 2 = 0

2. द्विघात समीकरण के मूल खोजें, ऐसा करने के लिए हम मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करते हैं (a, X^2 का गुणांक है, b, X का गुणांक है, मुक्त पद, अर्थात, X के बिना का आंकड़ा ):

हम वर्गमूल के सामने धन चिह्न वाला पहला मूल पाते हैं:

Х1 = (-3 + √(3^2 - 4 * 5 * (-2)))/(2*5) = (-3 + √(9 -(-40)))/10 = (-3 + √(9+40))/10 = (-3 + √49)/10 = (-3 +7)/10 = 4/(10) = 0.4

वर्गमूल के सामने ऋण चिह्न वाला दूसरा मूल:

X2 = (-3 - √(3^2 - 4 * 5 * (-2)))/(2*5) = (-3 - √(9- (-40)))/10 = (-3 - √(9+40))/10 = (-3 - √49)/10 = (-3 - 7)/10 = (-10)/(10) = -1

तो हमने द्विघात त्रिपद की जड़ें ढूंढ ली हैं। यह सुनिश्चित करने के लिए कि वे सही हैं, आप जाँच कर सकते हैं: पहले हम समीकरण में पहले मूल को प्रतिस्थापित करते हैं, फिर दूसरे को:

1) 5x^2 + 3x – 2 = 0

5 * 0,4^2 + 3*0,4 – 2 = 0

5 * 0,16 + 1,2 – 2 = 0

2) 5x^2 + 3x – 2 = 0

5 * (-1)^2 + 3 * (-1) – 2 = 0

5 * 1 + (-3) – 2 = 0

5 – 3 – 2 = 0

यदि, सभी मूलों को प्रतिस्थापित करने के बाद, समीकरण शून्य हो जाता है, तो समीकरण सही ढंग से हल हो गया है।

3. अब प्रमेय से सूत्र का उपयोग करें: ax^2 + bx + c = a(x-x1)(x-x2), याद रखें कि X1 और X2 द्विघात समीकरण की जड़ें हैं। तो: 5x^2 + 3x – 2 = 5 * (x - 0.4) * (x- (-1))

5x^2 + 3x– 2 = 5(x - 0.4)(x + 1)

4. यह सुनिश्चित करने के लिए कि अपघटन सही है, आप बस कोष्ठक को गुणा कर सकते हैं:

5(x - 0.4)(x + 1) = 5(x^2 + x - 0.4x - 0.4) = 5(x^2 + 0.6x - 0.4) = 5x^2 + 3 - 2. जो सत्यता की पुष्टि करता है फैसले का.

वर्ग त्रिपद के मूल ज्ञात करने का दूसरा विकल्प

वर्ग त्रिपद की जड़ें खोजने का एक अन्य विकल्प विएट के प्रमेय का व्युत्क्रम प्रमेय है। यहां द्विघात समीकरण के मूल सूत्रों का उपयोग करके पाए जाते हैं: x1 + x2 = -(बी), X1 * x2 = सी. लेकिन यह समझना महत्वपूर्ण है कि इस प्रमेय का उपयोग केवल तभी किया जा सकता है जब गुणांक a = 1, अर्थात x^2 के सामने की संख्या = 1 हो।

उदाहरण के लिए: x^2 – 2x +1 = 0, a = 1, b = - 2, c = 1.

हम हल करते हैं: x1 + x2 = - (-2), x1 + x2 = 2

अब यह सोचना जरूरी है कि उत्पाद में कौन से नंबर दिए जाते हैं? स्वाभाविक रूप से यह 1 * 1 और -1 * (-1) . इन संख्याओं में से हम उन संख्याओं का चयन करते हैं जो अभिव्यक्ति x1 + x2 = 2 के अनुरूप हैं, निश्चित रूप से - यह 1 + 1 है। इसलिए हमने समीकरण की जड़ें पाईं: x1 = 1, x2 = 1। यह जांचना आसान है कि क्या हम अभिव्यक्ति - 2x + 1 = 0 में x^2 रखें।

इस पाठ में हम सीखेंगे कि द्विघात त्रिपदों को रैखिक गुणनखंडों में कैसे गुणनखंडित किया जाए। ऐसा करने के लिए, हमें विएटा के प्रमेय और उसके व्युत्क्रम को याद रखना होगा। यह कौशल हमें तेजी से और आसानी से द्विघात त्रिपदों को रैखिक कारकों में विस्तारित करने में मदद करेगा, और अभिव्यक्तियों से युक्त भिन्नों की कमी को भी सरल बना देगा।

तो आइए द्विघात समीकरण पर वापस जाएं, जहां।

हमारे बाईं ओर जो है उसे द्विघात त्रिपद कहा जाता है।

प्रमेय सत्य है:यदि एक द्विघात त्रिपद की जड़ें हैं, तो पहचान कायम रहती है

अग्रणी गुणांक कहां है, समीकरण की जड़ें हैं।

तो, हमारे पास एक द्विघात समीकरण है - एक द्विघात त्रिपद, जहां द्विघात समीकरण की जड़ों को द्विघात त्रिपद की जड़ें भी कहा जाता है। इसलिए, यदि हमारे पास एक वर्ग त्रिपद की जड़ें हैं, तो इस त्रिपद को रैखिक कारकों में विघटित किया जा सकता है।

सबूत:

सबूत इस तथ्यविएटा के प्रमेय का उपयोग करके प्रदर्शन किया जाता है, जिस पर हमने पिछले पाठों में चर्चा की थी।

आइए याद करें कि विएटा का प्रमेय हमें क्या बताता है:

यदि एक द्विघात त्रिपद की जड़ें हैं जिसके लिए, फिर।

इस प्रमेय से निम्नलिखित कथन निकलता है:

हम देखते हैं कि, विएटा के प्रमेय के अनुसार, यानी, इन मानों को उपरोक्त सूत्र में प्रतिस्थापित करके, हम निम्नलिखित अभिव्यक्ति प्राप्त करते हैं

क्यू.ई.डी.

याद करें कि हमने यह प्रमेय सिद्ध कर दिया है कि यदि एक वर्ग त्रिपद की जड़ें हैं, तो विस्तार वैध है।

आइए अब द्विघात समीकरण का एक उदाहरण याद करें, जिसके लिए हमने विएटा के प्रमेय का उपयोग करके मूलों का चयन किया था। इस तथ्य से हम सिद्ध प्रमेय की बदौलत निम्नलिखित समानता प्राप्त कर सकते हैं:

आइए अब केवल कोष्ठक खोलकर इस तथ्य की सत्यता की जाँच करें:

हम देखते हैं कि हमने सही ढंग से गुणनखंड किया है, और किसी भी त्रिपद को, यदि उसकी जड़ें हैं, तो इस प्रमेय के अनुसार सूत्र के अनुसार रैखिक गुणनखंडों में गुणनखंडित किया जा सकता है।

हालाँकि, आइए देखें कि क्या किसी समीकरण के लिए ऐसा गुणनखंडन संभव है:

उदाहरण के लिए, समीकरण लीजिए। सबसे पहले, आइए विभेदक चिह्न की जाँच करें

और हमें याद है कि हमारे द्वारा सीखे गए प्रमेय को पूरा करने के लिए, D को 0 से बड़ा होना चाहिए, इसलिए इस मामले में, हमारे द्वारा सीखे गए प्रमेय के अनुसार गुणनखंडन असंभव है।

इसलिए, आइए तैयार करें नया प्रमेय: यदि किसी द्विघात त्रिपद का कोई मूल नहीं है, तो इसे रैखिक गुणनखंडों में विभाजित नहीं किया जा सकता है।

इसलिए, हमने विएटा के प्रमेय को देखा है, एक द्विघात त्रिपद को रैखिक कारकों में विघटित करने की संभावना, और अब हम कई समस्याओं का समाधान करेंगे।

कार्य क्रमांक 1

इस समूह में हम वास्तव में प्रस्तुत समस्या के विपरीत समस्या का समाधान करेंगे। हमारे पास एक समीकरण था, और हमने इसे गुणनखंडित करके इसकी जड़ें पाईं। यहां हम इसके विपरीत करेंगे. मान लीजिए कि हमारे पास एक द्विघात समीकरण की जड़ें हैं

व्युत्क्रम समस्या यह है: इसके मूलों का उपयोग करके एक द्विघात समीकरण लिखें।

इस समस्या को हल करने के 2 तरीके हैं।

चूँकि समीकरण की जड़ें हैं, तो एक द्विघात समीकरण है जिसके मूल हैं दिए गए नंबर. अब कोष्ठक खोलें और जांचें:

यह पहला तरीका था जिसमें हमने दिए गए मूलों के साथ एक द्विघात समीकरण बनाया, जिसका कोई अन्य मूल नहीं है, क्योंकि किसी भी द्विघात समीकरण के अधिकतम दो मूल होते हैं।

इस विधि में व्युत्क्रम विएटा प्रमेय का उपयोग शामिल है।

यदि समीकरण की जड़ें हैं, तो वे इस शर्त को पूरा करते हैं कि।

घटे हुए द्विघात समीकरण के लिए , , यानी इस मामले में, और .

इस प्रकार, हमने एक द्विघात समीकरण बनाया है जिसके मूल दिए गए हैं।

कार्य क्रमांक 2

अंश को कम करना आवश्यक है।

हमारे पास अंश में एक त्रिपद और हर में एक त्रिपद है, और त्रिपद को गुणनखंडित किया जा सकता है या नहीं भी। यदि अंश और हर दोनों का गुणनखंड किया जाए, तो उनमें समान गुणनखंड हो सकते हैं जिन्हें कम किया जा सकता है।

सबसे पहले, आपको अंश का गुणनखंड करना होगा।

सबसे पहले, आपको यह जांचना होगा कि क्या इस समीकरण को गुणनखंडित किया जा सकता है, आइए विवेचक का पता लगाएं। चूंकि, चिह्न उत्पाद पर निर्भर करता है (0 से कम होना चाहिए), में इस उदाहरण में, यानी दिए गए समीकरण की जड़ें हैं।

हल करने के लिए, हम विएटा के प्रमेय का उपयोग करते हैं:

इस मामले में, चूँकि हम जड़ों के साथ काम कर रहे हैं, इसलिए केवल जड़ों का चयन करना काफी कठिन होगा। लेकिन हम देखते हैं कि गुणांक संतुलित हैं, अर्थात, यदि हम यह मानते हैं, और इस मान को समीकरण में प्रतिस्थापित करते हैं, तो हमें निम्नलिखित प्रणाली मिलती है:, यानी 5-5=0। इस प्रकार, हमने इस द्विघात समीकरण की जड़ों में से एक को चुना है।

हम समीकरणों की प्रणाली में जो पहले से ज्ञात है उसे प्रतिस्थापित करके दूसरे मूल की तलाश करेंगे, उदाहरण के लिए, यानी। .

इस प्रकार, हमने द्विघात समीकरण की दोनों जड़ें ढूंढ ली हैं और इसे गुणनखंडित करने के लिए उनके मानों को मूल समीकरण में प्रतिस्थापित कर सकते हैं:

आइए मूल समस्या को याद करें, हमें भिन्न को कम करने की आवश्यकता थी।

आइए प्रतिस्थापित करके समस्या को हल करने का प्रयास करें।

यह नहीं भूलना चाहिए कि इस मामले में हर 0 के बराबर नहीं हो सकता, यानी।

यदि ये शर्तें पूरी होती हैं, तो हमने मूल भिन्न को रूप में कम कर दिया है।

समस्या संख्या 3 (पैरामीटर के साथ कार्य)

पैरामीटर के किन मानों पर द्विघात समीकरण के मूलों का योग होता है

यदि इस समीकरण की जड़ें मौजूद हैं, तो , प्रश्न: कब.

इस पाठ में हम सीखेंगे कि द्विघात त्रिपदों को रैखिक गुणनखंडों में कैसे गुणनखंडित किया जाए। ऐसा करने के लिए, हमें विएटा के प्रमेय और उसके व्युत्क्रम को याद रखना होगा। यह कौशल हमें तेजी से और आसानी से द्विघात त्रिपदों को रैखिक कारकों में विस्तारित करने में मदद करेगा, और अभिव्यक्तियों से युक्त भिन्नों की कमी को भी सरल बना देगा।

तो आइए द्विघात समीकरण पर वापस जाएं, जहां।

हमारे बाईं ओर जो है उसे द्विघात त्रिपद कहा जाता है।

प्रमेय सत्य है:यदि एक द्विघात त्रिपद की जड़ें हैं, तो पहचान कायम रहती है

अग्रणी गुणांक कहां है, समीकरण की जड़ें हैं।

तो, हमारे पास एक द्विघात समीकरण है - एक द्विघात त्रिपद, जहां द्विघात समीकरण की जड़ों को द्विघात त्रिपद की जड़ें भी कहा जाता है। इसलिए, यदि हमारे पास एक वर्ग त्रिपद की जड़ें हैं, तो इस त्रिपद को रैखिक कारकों में विघटित किया जा सकता है।

सबूत:

इस तथ्य का प्रमाण विएटा के प्रमेय का उपयोग करके किया जाता है, जिसकी चर्चा हमने पिछले पाठों में की थी।

आइए याद करें कि विएटा का प्रमेय हमें क्या बताता है:

यदि एक द्विघात त्रिपद की जड़ें हैं जिसके लिए, फिर।

इस प्रमेय से निम्नलिखित कथन निकलता है:

हम देखते हैं कि, विएटा के प्रमेय के अनुसार, यानी, इन मानों को उपरोक्त सूत्र में प्रतिस्थापित करके, हम निम्नलिखित अभिव्यक्ति प्राप्त करते हैं

क्यू.ई.डी.

याद करें कि हमने यह प्रमेय सिद्ध कर दिया है कि यदि एक वर्ग त्रिपद की जड़ें हैं, तो विस्तार वैध है।

आइए अब द्विघात समीकरण का एक उदाहरण याद करें, जिसके लिए हमने विएटा के प्रमेय का उपयोग करके मूलों का चयन किया था। इस तथ्य से हम सिद्ध प्रमेय की बदौलत निम्नलिखित समानता प्राप्त कर सकते हैं:

आइए अब केवल कोष्ठक खोलकर इस तथ्य की सत्यता की जाँच करें:

हम देखते हैं कि हमने सही ढंग से गुणनखंड किया है, और किसी भी त्रिपद को, यदि उसकी जड़ें हैं, तो इस प्रमेय के अनुसार सूत्र के अनुसार रैखिक गुणनखंडों में गुणनखंडित किया जा सकता है।

हालाँकि, आइए देखें कि क्या किसी समीकरण के लिए ऐसा गुणनखंडन संभव है:

उदाहरण के लिए, समीकरण लीजिए। सबसे पहले, आइए विभेदक चिह्न की जाँच करें

और हमें याद है कि हमारे द्वारा सीखे गए प्रमेय को पूरा करने के लिए, D को 0 से बड़ा होना चाहिए, इसलिए इस मामले में, हमारे द्वारा सीखे गए प्रमेय के अनुसार गुणनखंडन असंभव है।

इसलिए, हम एक नया प्रमेय बनाते हैं: यदि किसी वर्ग त्रिपद की कोई जड़ें नहीं हैं, तो इसे रैखिक कारकों में विघटित नहीं किया जा सकता है।

इसलिए, हमने विएटा के प्रमेय को देखा है, एक द्विघात त्रिपद को रैखिक कारकों में विघटित करने की संभावना, और अब हम कई समस्याओं का समाधान करेंगे।

कार्य क्रमांक 1

इस समूह में हम वास्तव में प्रस्तुत समस्या के विपरीत समस्या का समाधान करेंगे। हमारे पास एक समीकरण था, और हमने इसे गुणनखंडित करके इसकी जड़ें पाईं। यहां हम इसके विपरीत करेंगे. मान लीजिए कि हमारे पास एक द्विघात समीकरण की जड़ें हैं

व्युत्क्रम समस्या यह है: इसके मूलों का उपयोग करके एक द्विघात समीकरण लिखें।

इस समस्या को हल करने के 2 तरीके हैं।

चूँकि समीकरण की जड़ें हैं, तो एक द्विघात समीकरण है जिसके मूलों में संख्याएँ दी गई हैं। अब कोष्ठक खोलें और जांचें:

यह पहला तरीका था जिसमें हमने दिए गए मूलों के साथ एक द्विघात समीकरण बनाया, जिसका कोई अन्य मूल नहीं है, क्योंकि किसी भी द्विघात समीकरण के अधिकतम दो मूल होते हैं।

इस विधि में व्युत्क्रम विएटा प्रमेय का उपयोग शामिल है।

यदि समीकरण की जड़ें हैं, तो वे इस शर्त को पूरा करते हैं कि।

घटे हुए द्विघात समीकरण के लिए , , यानी इस मामले में, और .

इस प्रकार, हमने एक द्विघात समीकरण बनाया है जिसके मूल दिए गए हैं।

कार्य क्रमांक 2

अंश को कम करना आवश्यक है।

हमारे पास अंश में एक त्रिपद और हर में एक त्रिपद है, और त्रिपद को गुणनखंडित किया जा सकता है या नहीं भी। यदि अंश और हर दोनों का गुणनखंड किया जाए, तो उनमें समान गुणनखंड हो सकते हैं जिन्हें कम किया जा सकता है।

सबसे पहले, आपको अंश का गुणनखंड करना होगा।

सबसे पहले, आपको यह जांचना होगा कि क्या इस समीकरण को गुणनखंडित किया जा सकता है, आइए विवेचक का पता लगाएं। चूँकि, चिह्न गुणनफल पर निर्भर करता है (0 से कम होना चाहिए), इस उदाहरण में, यानी दिए गए समीकरण की जड़ें हैं।

हल करने के लिए, हम विएटा के प्रमेय का उपयोग करते हैं:

इस मामले में, चूँकि हम जड़ों के साथ काम कर रहे हैं, इसलिए केवल जड़ों का चयन करना काफी कठिन होगा। लेकिन हम देखते हैं कि गुणांक संतुलित हैं, अर्थात, यदि हम यह मानते हैं, और इस मान को समीकरण में प्रतिस्थापित करते हैं, तो हमें निम्नलिखित प्रणाली मिलती है:, यानी 5-5=0। इस प्रकार, हमने इस द्विघात समीकरण की जड़ों में से एक को चुना है।

हम समीकरणों की प्रणाली में जो पहले से ज्ञात है उसे प्रतिस्थापित करके दूसरे मूल की तलाश करेंगे, उदाहरण के लिए, यानी। .

इस प्रकार, हमने द्विघात समीकरण की दोनों जड़ें ढूंढ ली हैं और इसे गुणनखंडित करने के लिए उनके मानों को मूल समीकरण में प्रतिस्थापित कर सकते हैं:

आइए मूल समस्या को याद करें, हमें भिन्न को कम करने की आवश्यकता थी।

आइए प्रतिस्थापित करके समस्या को हल करने का प्रयास करें।

यह नहीं भूलना चाहिए कि इस मामले में हर 0 के बराबर नहीं हो सकता, यानी।

यदि ये शर्तें पूरी होती हैं, तो हमने मूल भिन्न को रूप में कम कर दिया है।

समस्या संख्या 3 (पैरामीटर के साथ कार्य)

पैरामीटर के किन मानों पर द्विघात समीकरण के मूलों का योग होता है

यदि इस समीकरण की जड़ें मौजूद हैं, तो , प्रश्न: कब.

किसी उत्पाद को प्राप्त करने के लिए बहुपदों का विस्तार करना कभी-कभी भ्रमित करने वाला लग सकता है। लेकिन अगर आप चरण दर चरण प्रक्रिया को समझें तो यह उतना मुश्किल नहीं है। लेख में विस्तार से वर्णन किया गया है कि द्विघात त्रिपद का गुणनखंड कैसे किया जाए।

बहुत से लोग यह नहीं समझते हैं कि वर्ग त्रिपद का गुणनखंड कैसे किया जाए और ऐसा क्यों किया जाता है। प्रथमदृष्ट्या यह एक निरर्थक अभ्यास जैसा लग सकता है। लेकिन गणित में कुछ भी बिना मतलब के नहीं किया जाता है। अभिव्यक्ति को सरल बनाने और गणना में आसानी के लिए परिवर्तन आवश्यक है।

रूप का एक बहुपद - ax²+bx+c, द्विघात त्रिपद कहा जाता है।शब्द "ए" नकारात्मक या सकारात्मक होना चाहिए। व्यवहार में, इस अभिव्यक्ति को द्विघात समीकरण कहा जाता है। इसलिए, कभी-कभी वे इसे अलग तरह से कहते हैं: द्विघात समीकरण का विस्तार कैसे करें।

दिलचस्प!एक बहुपद को उसकी सबसे बड़ी घात, वर्ग के कारण वर्ग कहा जाता है। और एक त्रिपद - 3 घटकों के कारण।

कुछ अन्य प्रकार के बहुपद:

• रैखिक द्विपद (6x+8);
• घन चतुर्भुज (x³+4x²-2x+9).

एक द्विघात त्रिपद का गुणनखंडन

सबसे पहले, व्यंजक शून्य के बराबर है, फिर आपको मूल x1 और x2 के मान ज्ञात करने होंगे। जड़ें न भी हों, एक या दो जड़ें हो सकती हैं। जड़ों की उपस्थिति विवेचक द्वारा निर्धारित की जाती है। आपको इसका फॉर्मूला दिल से जानना होगा: D=b²-4ac.

यदि परिणाम D ऋणात्मक है, तो कोई जड़ें नहीं हैं। यदि सकारात्मक है, तो दो जड़ें हैं। यदि परिणाम शून्य है, तो मूल एक है। जड़ों की गणना भी सूत्र का उपयोग करके की जाती है।

यदि, विवेचक की गणना करते समय, परिणाम शून्य है, तो आप किसी भी सूत्र का उपयोग कर सकते हैं। व्यवहार में, सूत्र को बस छोटा कर दिया गया है: -बी / 2ए।

के लिए सूत्र विभिन्न अर्थविभेदक भिन्न-भिन्न होते हैं।

यदि D सकारात्मक है:

यदि D शून्य है:

ऑनलाइन कैलकुलेटर

इंटरनेट पर है ऑनलाइन कैलकुलेटर. इसका उपयोग गुणनखंडन करने के लिए किया जा सकता है। कुछ संसाधन चरण दर चरण समाधान देखने का अवसर प्रदान करते हैं। ऐसी सेवाएँ विषय को बेहतर ढंग से समझने में मदद करती हैं, लेकिन आपको इसे अच्छी तरह से समझने का प्रयास करने की आवश्यकता है।

उपयोगी वीडियो: द्विघात त्रिपद का गुणनखंडन

उदाहरण

हम आपको देखने के लिए आमंत्रित करते हैं सरल उदाहरण, द्विघात समीकरण का गुणनखंड कैसे करें।

उदाहरण 1

इससे स्पष्ट रूप से पता चलता है कि परिणाम दो x है क्योंकि D सकारात्मक है। उन्हें सूत्र में प्रतिस्थापित करने की आवश्यकता है। यदि जड़ें ऋणात्मक हो जाती हैं, तो सूत्र में चिह्न विपरीत में बदल जाता है।

हम द्विघात त्रिपद का गुणनखंड करने का सूत्र जानते हैं: a(x-x1)(x-x2)। हम मानों को कोष्ठक में रखते हैं: (x+3)(x+2/3)। किसी घात में किसी पद से पहले कोई संख्या नहीं होती। इसका मतलब यह है कि वहां एक है, वह नीचे चला जाता है.

उदाहरण 2

यह उदाहरण स्पष्ट रूप से दिखाता है कि एक मूल वाले समीकरण को कैसे हल किया जाए।

हम परिणामी मान को प्रतिस्थापित करते हैं:

उदाहरण 3

दिया गया: 5x²+3x+7

सबसे पहले, आइए पिछले मामलों की तरह, विवेचक की गणना करें।

डी=9-4*5*7=9-140= -131.

विवेचक नकारात्मक है, जिसका अर्थ है कि कोई जड़ें नहीं हैं।

परिणाम प्राप्त होने के बाद आपको कोष्ठक खोलकर परिणाम की जांच करनी चाहिए। मूल त्रिपद प्रकट होना चाहिए.

दूसरा तरीका

कुछ लोग विभेदक से कभी दोस्ती नहीं कर पाते। द्विघात त्रिपद को गुणनखंडित करने का एक और तरीका है। सुविधा के लिए, विधि को एक उदाहरण के साथ दिखाया गया है।

दिया गया: x²+3x-10

हम जानते हैं कि हमें 2 ब्रैकेट मिलने चाहिए: (_)(_)। जब अभिव्यक्ति इस तरह दिखती है: x²+bx+c, तो प्रत्येक ब्रैकेट की शुरुआत में हम x: (x_)(x_) डालते हैं। शेष दो संख्याएँ वह गुणनफल हैं जो "सी" देता है, यानी इस मामले में -10। ये कौन सी संख्याएँ हैं इसका पता लगाने का एकमात्र तरीका चयन है। प्रतिस्थापित संख्याएँ शेष पद के अनुरूप होनी चाहिए।

उदाहरण के लिए, निम्नलिखित संख्याओं को गुणा करने पर -10 प्राप्त होता है:

• -1, 10;
• -10, 1;
• -5, 2;
• -2, 5.

1. (x-1)(x+10) = x2+10x-x-10 = x2+9x-10. नहीं।
2. (x-10)(x+1) = x2+x-10x-10 = x2-9x-10. नहीं।
3. (x-5)(x+2) = x2+2x-5x-10 = x2-3x-10. नहीं।
4. (x-2)(x+5) = x2+5x-2x-10 = x2+3x-10. फिट बैठता है.

इसका मतलब यह है कि अभिव्यक्ति x2+3x-10 का परिवर्तन इस तरह दिखता है: (x-2)(x+5)।

महत्वपूर्ण!आपको सावधान रहना चाहिए कि संकेतों को भ्रमित न करें।

एक जटिल त्रिपद का विस्तार

यदि "ए" एक से बड़ा है, तो कठिनाइयाँ शुरू हो जाती हैं। लेकिन सब कुछ उतना मुश्किल नहीं है जितना लगता है।

गुणनखंड करने के लिए, आपको पहले यह देखना होगा कि क्या किसी चीज़ का गुणनखंडन किया जा सकता है।

उदाहरण के लिए, अभिव्यक्ति दी गई: 3x²+9x-30. यहां संख्या 3 को कोष्ठक से हटा दिया गया है:

3(x²+3x-10). परिणाम पहले से ही प्रसिद्ध त्रिपद है। उत्तर इस तरह दिखता है: 3(x-2)(x+5)

यदि वर्ग में जो पद है वह ऋणात्मक है तो विघटित कैसे करें? इस स्थिति में, संख्या -1 को कोष्ठक से हटा दिया जाता है। उदाहरण के लिए: -x²-10x-8. तब अभिव्यक्ति इस प्रकार दिखाई देगी:

यह योजना पिछली योजना से थोड़ी भिन्न है। बस कुछ नई चीजें हैं. मान लीजिए कि अभिव्यक्ति दी गई है: 2x²+7x+3. उत्तर भी 2 कोष्ठकों में लिखा गया है जिन्हें (_)(_) में भरना होगा। दूसरे ब्रैकेट में x लिखा है, और पहले में क्या बचा है। यह इस तरह दिखता है: (2x_)(x_). अन्यथा, पिछली योजना दोहराई जाती है।

संख्या 3 संख्याओं द्वारा दी गई है:

• -1, -3;
• -3, -1;
• 3, 1;
• 1, 3.

हम इन संख्याओं को प्रतिस्थापित करके समीकरण हल करते हैं। अंतिम विकल्प उपयुक्त है. इसका मतलब यह है कि अभिव्यक्ति 2x²+7x+3 का परिवर्तन इस तरह दिखता है: (2x+1)(x+3)।

अन्य मामले

किसी अभिव्यक्ति को परिवर्तित करना हमेशा संभव नहीं होता है। दूसरी विधि से समीकरण को हल करना आवश्यक नहीं है। लेकिन शब्दों को उत्पाद में बदलने की संभावना की जांच विवेचक के माध्यम से ही की जाती है।

निर्णय लेने के लिए अभ्यास करना उचित है द्विघातीय समीकरणताकि सूत्रों का उपयोग करते समय कोई कठिनाई न हो।

उपयोगी वीडियो: त्रिपद का गुणनखंडन

निष्कर्ष

आप इसे किसी भी तरह से इस्तेमाल कर सकते हैं. लेकिन दोनों का अभ्यास तब तक करना बेहतर है जब तक वे स्वचालित न हो जाएं। इसके अलावा, द्विघात समीकरणों और गुणनखंड बहुपदों को अच्छी तरह से हल करना सीखना उन लोगों के लिए आवश्यक है जो अपने जीवन को गणित से जोड़ने की योजना बना रहे हैं। निम्नलिखित सभी गणितीय विषय इसी पर आधारित हैं।

एक द्विघात त्रिपद का गुणनखंडनसमस्या C3 से असमानताओं या पैरामीटर C5 के साथ समस्या को हल करते समय उपयोगी हो सकता है। साथ ही, यदि आप विएटा के प्रमेय को जानते हैं तो कई बी13 शब्द समस्याएं बहुत तेजी से हल हो जाएंगी।

निःसंदेह, इस प्रमेय को 8वीं कक्षा के परिप्रेक्ष्य से माना जा सकता है, जिसमें इसे पहली बार पढ़ाया जाता है। लेकिन हमारा काम एकीकृत राज्य परीक्षा के लिए अच्छी तैयारी करना और परीक्षा कार्यों को यथासंभव कुशलता से हल करना सीखना है। इसलिए, यह पाठ स्कूल के दृष्टिकोण से थोड़ा अलग दृष्टिकोण पर विचार करता है।

विएटा के प्रमेय का उपयोग करके समीकरण की जड़ों के लिए सूत्रबहुत से लोग जानते हैं (या कम से कम देखा है):

$$x_1+x_2 = -\frac(b)(a), \quad x_1 x_2 = \frac(c)(a),$$

जहां `a, b` और `c` द्विघात त्रिपद `ax^2+bx+c` के गुणांक हैं।

प्रमेय का आसानी से उपयोग करना सीखने के लिए, आइए समझें कि यह कहां से आता है (इससे वास्तव में इसे याद रखना आसान हो जाएगा)।

आइए हमारे पास समीकरण `ax^2+ bx+ c = 0` है। अधिक सुविधा के लिए, इसे `a` से विभाजित करें और `x^2+\frac(b)(a) x + \frac(c)(a) = 0` प्राप्त करें। ऐसा समीकरण घटी हुई द्विघात समीकरण कहलाती है।

महत्वपूर्ण पाठ विचार: किसी भी द्विघात बहुपद जिसकी जड़ें हों, को कोष्ठकों में विस्तारित किया जा सकता है।आइए मान लें कि हमारा प्रतिनिधित्व `x^2+\frac(b)(a) x + \frac(c)(a) = (x + k)(x+l)` के रूप में किया जा सकता है, जहां `k` और ` एल` - कुछ स्थिरांक।

आइए देखें कि कोष्ठक कैसे खुलते हैं:

$$(x + k)(x+l) = x^2 + kx+ lx+kl = x^2 +(k+l)x+kl.$$

इस प्रकार, `k+l = \frac(b)(a), kl = \frac(c)(a)`.

यह शास्त्रीय व्याख्या से थोड़ा भिन्न है विएटा का प्रमेय- इसमें हम समीकरण की जड़ों की तलाश करते हैं। मैं इसके लिए शर्तों की तलाश करने का प्रस्ताव करता हूं ब्रैकेट अपघटन- इस तरह आपको सूत्र से ऋण के बारे में याद रखने की आवश्यकता नहीं है (मतलब `x_1+x_2 = -\frac(b)(a)`). यह दो ऐसी संख्याओं का चयन करने के लिए पर्याप्त है, जिनका योग औसत गुणांक के बराबर है, और उत्पाद मुक्त पद के बराबर है।

यदि हमें समीकरण के समाधान की आवश्यकता है, तो यह स्पष्ट है: मूल `x=-k` या `x=-l` (चूंकि इन मामलों में कोष्ठक में से एक शून्य होगा, जिसका अर्थ है कि संपूर्ण अभिव्यक्ति शून्य होगी ).

मैं आपको उदाहरण के तौर पर एल्गोरिदम दिखाऊंगा: एक द्विघात बहुपद को कोष्ठक में कैसे विस्तारित करें।

उदाहरण एक. द्विघात त्रिपद का गुणनखंड करने के लिए एल्गोरिदम

हमारे पास जो पथ है वह एक चतुर्भुज त्रिपद `x^2+5x+4` है।

यह कम हो गया है (`x^2` का गुणांक एक के बराबर है)। उसकी जड़ें हैं. (सुनिश्चित करने के लिए, आप विवेचक का अनुमान लगा सकते हैं और सुनिश्चित कर सकते हैं कि यह शून्य से अधिक है।)

आगे के चरण (आपको सभी प्रशिक्षण कार्यों को पूरा करके उन्हें सीखना होगा):

1. निम्नलिखित प्रविष्टि को पूरा करें: $$x^2+5x+4=(x \ldots)(x \ldots).$$ बिंदुओं के स्थान पर खाली स्थान छोड़ें, हम वहां जोड़ देंगे उपयुक्त संख्याएँऔर संकेत.
2. सभी को देखें संभावित विकल्प, आप संख्या `4` को दो संख्याओं के गुणनफल में कैसे विघटित कर सकते हैं? हमें समीकरण के मूलों के लिए "उम्मीदवारों" के जोड़े मिलते हैं: `2, 2` और `1, 4`।
3. पता लगाएँ कि आप किस जोड़ी से औसत गुणांक प्राप्त कर सकते हैं। जाहिर है यह `1, 4` है।
4. $$x^2+5x+4=(x \quad 4)(x \quad 1)$$ लिखें।
5. अगला चरण सम्मिलित संख्याओं के सामने चिह्न लगाना है।

   कैसे समझें और हमेशा याद रखें कि कोष्ठक में संख्याओं से पहले कौन से चिह्न आने चाहिए? उन्हें (कोष्ठक) खोलने का प्रयास करें। पहली घात के लिए `x` से पहले का गुणांक `(± 4 ± 1)` होगा (हम अभी तक संकेत नहीं जानते हैं - हमें चुनने की आवश्यकता है), और यह `5` के बराबर होना चाहिए। जाहिर है, दो प्लस होंगे $$x^2+5x+4=(x + 4)(x + 1)$$.

   इस ऑपरेशन को कई बार करें (हैलो, प्रशिक्षण कार्य!) और अधिक समस्याएँऐसा कभी नहीं होगा।

अगर आपको समीकरण `x^2+5x+4` को हल करना है तो अब इसे हल करना मुश्किल नहीं होगा। इसकी जड़ें `-4, -1` हैं।

उदाहरण दो. विभिन्न चिह्नों के गुणांकों के साथ एक द्विघात त्रिपद का गुणनखंडन

आइए हमें समीकरण `x^2-x-2=0` को हल करने की आवश्यकता है। ऑफहैंड, विवेचक सकारात्मक है।

हम एल्गोरिथम का पालन करते हैं।

1. $$x^2-x-2=(x \ldots) (x \ldots).$$
2. पूर्णांक गुणनखंडों में दो का केवल एक गुणनखंडन होता है: `2 · 1`।
3. हम इस मुद्दे को छोड़ देते हैं - चुनने के लिए कुछ भी नहीं है।
4. $$x^2-x-2=(x \quad 2) (x \quad 1).$$
5. हमारी संख्याओं का गुणनफल ऋणात्मक है (`-2` मुक्त पद है), जिसका अर्थ है कि उनमें से एक ऋणात्मक होगा और दूसरा धनात्मक होगा।
   चूँकि उनका योग `-1` (`x` का गुणांक) के बराबर है, तो `2` ऋणात्मक होगा (सहज स्पष्टीकरण यह है कि दो दो संख्याओं में से बड़ी है, यह अधिक मजबूती से "खींचेगी" नकारात्मक पक्ष). हमें $$x^2-x-2=(x - 2) (x + 1).$$ मिलता है

तीसरा उदाहरण. एक द्विघात त्रिपद का गुणनखंडन

समीकरण `x^2+5x -84 = 0` है।

1. $$x+ 5x-84=(x \ldots) (x \ldots).$$
2. 84 का पूर्णांक गुणनखंडों में अपघटन: `4 21, 6 14, 12 7, 2 42`।
3. चूँकि हमें संख्याओं का अंतर (या योग) 5 चाहिए, हम एक जोड़ा करेगा `7, 12`.
4. $$x+ 5x-84=(x\quad 12) (x\quad 7).$$
5. $$x+ 5x-84=(x + 12) (x - 7).$$

आशा, इस द्विघात त्रिपद का कोष्ठक में विस्तारयह स्पष्ट है।

यदि आपको किसी समीकरण का समाधान चाहिए, तो यह है: `12, -7`।

प्रशिक्षण कार्य

मैं आपके ध्यान में कुछ उदाहरण लाता हूं जो आसान हैं Vieta के प्रमेय का उपयोग करके हल किया जाता है।(उदाहरण पत्रिका "गणित", 2002 से लिया गया है।)

1. `x^2+x-2=0`
2. `x^2-x-2=0`
3. `x^2+x-6=0`
4. `x^2-x-6=0`
5. `x^2+x-12=0`
6. `x^2-x-12=0`
7. `x^2+x-20=0`
8. `x^2-x-20=0`
9. `x^2+x-42=0`
10. `x^2-x-42=0`
11. `x^2+x-56=0`
12. `x^2-x-56=0`
13. `x^2+x-72=0`
14. `x^2-x-72=0`
15. `x^2+x-110=0`
16. `x^2-x-110=0`
17. `x^2+x-420=0`
18. `x^2-x-420=0`

लेख लिखे जाने के कुछ साल बाद, विएटा के प्रमेय का उपयोग करके द्विघात बहुपद का विस्तार करने के लिए 150 कार्यों का एक संग्रह सामने आया।

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