कोपयेवस्काया ग्रामीण माध्यमिक विद्यालय

द्विघात समीकरणों को हल करने के 10 तरीके

प्रमुख: गैलिना अनातोल्येवना पेट्रीकेयेवा,

गणित शिक्षक

कोपयेवो गांव, 2007

1. द्विघात समीकरणों के विकास का इतिहास

1.1 प्राचीन बेबीलोन में द्विघात समीकरण

1.2 डायोफैंटस ने द्विघात समीकरणों को कैसे संकलित और हल किया?

1.3 भारत में द्विघात समीकरण

1.4 अल-खोरेज़मी . से द्विघात समीकरण

1.5 यूरोप में द्विघात समीकरण XIII - XVII सदियों

1.6 विएटा के प्रमेय के बारे में

2. द्विघात समीकरणों को हल करने की विधियाँ

निष्कर्ष

साहित्य

1. द्विघात समीकरणों के विकास का इतिहास

1.1 प्राचीन बेबीलोन में द्विघात समीकरण

न केवल पहली, बल्कि दूसरी डिग्री के समीकरणों को हल करने की आवश्यकता, यहां तक ​​\u200b\u200bकि पुरातनता में भी, एक सैन्य प्रकृति के भूमि और भूकंप के क्षेत्रों को खोजने के साथ-साथ खगोल विज्ञान के विकास से जुड़ी समस्याओं को हल करने की आवश्यकता के कारण हुई थी। गणित ही। वे 2000 ईसा पूर्व के आसपास द्विघात समीकरणों को हल करने में सक्षम थे। इ। बेबीलोनियाई।

आधुनिक बीजगणितीय संकेतन का उपयोग करते हुए, हम कह सकते हैं कि उनके क्यूनिफॉर्म ग्रंथों में अधूरे लोगों के अलावा, उदाहरण के लिए, पूर्ण द्विघात समीकरण हैं:

एक्स 2 + एक्स = ¾; एक्स 2 - एक्स = 14,5

इन समीकरणों को हल करने का नियम, बेबीलोन के ग्रंथों में निर्धारित किया गया है, अनिवार्य रूप से आधुनिक के साथ मेल खाता है, लेकिन यह ज्ञात नहीं है कि बेबीलोनियों को यह नियम कैसे मिला। अब तक पाए गए लगभग सभी क्यूनिफॉर्म ग्रंथ केवल व्यंजनों के रूप में निर्धारित समाधानों के साथ समस्याएँ देते हैं, बिना निर्देश के कि वे कैसे पाए गए।

बेबीलोन में बीजगणित के विकास के उच्च स्तर के बावजूद, क्यूनिफॉर्म ग्रंथों में ऋणात्मक संख्या की अवधारणा और द्विघात समीकरणों को हल करने के सामान्य तरीकों का अभाव है।

1.2 डायोफैंटस ने द्विघात समीकरणों को कैसे संकलित और हल किया।

डायोफैंटस के "अरिथमेटिक" में बीजगणित की कोई व्यवस्थित प्रस्तुति नहीं है, लेकिन इसमें समस्याओं की एक व्यवस्थित श्रृंखला होती है, जिसमें स्पष्टीकरण के साथ और विभिन्न डिग्री के समीकरणों को बनाकर हल किया जाता है।

समीकरण बनाते समय, डायोफैंटस समाधान को सरल बनाने के लिए कुशलता से अज्ञात को चुनता है।

यहाँ, उदाहरण के लिए, उनके कार्यों में से एक है।

समस्या 11."दो संख्याएँ ज्ञात कीजिए, यह जानते हुए कि उनका योग 20 है और गुणनफल 96 है"

डायोफैंटस का तर्क इस प्रकार है: समस्या की स्थिति से यह निम्नानुसार है कि मांगी गई संख्याएँ समान नहीं हैं, क्योंकि यदि वे समान थीं, तो उनका उत्पाद 96 नहीं, बल्कि 100 के बराबर होगा। इस प्रकार, उनमें से एक उनके आधे से अधिक होगा योग, यानी ... 10 + x, दूसरा कम है, अर्थात। 10 - एक्स... उनके बीच का अंतर 2x .

इसलिए समीकरण:

(10 + x) (10 - x) = 96

100 - x 2 = 96

एक्स 2 - 4 = 0 (1)

यहां से एक्स = 2... आवश्यक संख्याओं में से एक है 12 , अन्य 8 ... समाधान एक्स = -2डायोफैंटस के लिए मौजूद नहीं है, क्योंकि ग्रीक गणित केवल सकारात्मक संख्या जानता था।

यदि हम अज्ञात के रूप में आवश्यक संख्याओं में से किसी एक को चुनकर इस समस्या को हल करते हैं, तो हम समीकरण के समाधान पर आते हैं

वाई (20 - वाई) = 96,

वाई 2 - 20y + 96 = 0. (2)

यह स्पष्ट है कि, मांगी गई संख्याओं के आधे-अंतर को अज्ञात के रूप में चुनना, डायोफैंटस समाधान को सरल करता है; वह एक अपूर्ण द्विघात समीकरण (1) को हल करने के लिए समस्या को कम करने का प्रबंधन करता है।

1.3 भारत में द्विघात समीकरण

भारतीय गणितज्ञ और खगोलशास्त्री आर्यभट्ट द्वारा 499 में संकलित खगोलीय पथ "आर्यभट्टियम" में द्विघात समीकरणों की समस्याएं पहले ही सामने आ चुकी हैं। एक अन्य भारतीय विद्वान, ब्रह्मगुप्त (सातवीं शताब्दी) ने द्विघात समीकरणों को हल करने के लिए सामान्य नियम की रूपरेखा तैयार की, जिसे एक एकल विहित रूप में घटाया गया:

आह 2 + बी एक्स = सी, ए> 0. (1)

समीकरण (1) में, गुणांक, को छोड़कर ए, नकारात्मक हो सकता है। ब्रह्मगुप्त शासन अनिवार्य रूप से हमारे जैसा ही है।

प्राचीन भारत में, कठिन समस्याओं को हल करने के लिए सार्वजनिक प्रतिस्पर्धा आम थी। प्राचीन भारतीय पुस्तकों में से एक ऐसी प्रतियोगिताओं के बारे में निम्नलिखित कहती है: "जैसे सूर्य अपनी चमक के साथ सितारों को ग्रहण करता है, वैसे ही एक विद्वान व्यक्ति लोकप्रिय सभाओं में दूसरे की महिमा को ग्रहण करेगा, बीजगणितीय समस्याओं का प्रस्ताव और समाधान करेगा।" कार्यों को अक्सर काव्यात्मक रूप में पहना जाता था।

यहाँ बारहवीं शताब्दी के प्रसिद्ध भारतीय गणितज्ञ के कार्यों में से एक है। भास्कर।

समस्या 13.

"बंदरों का डरावना झुंड और लताओं के ऊपर बारह ...

सत्ता खाने के बाद मजे ले रहे हैं। वे कूदने लगे, लटक गए ...

एक वर्ग में इनका आठवां भाग है, कितने बन्दर थे,

मैं समाशोधन में खुद का मनोरंजन कर रहा था। तुम बताओ, इस पैक में?"

भास्कर का हल बताता है कि वह द्विघात समीकरणों के दो-मूल्यवान मूलों के बारे में जानता था (चित्र 3)।

समस्या 13 के अनुरूप समीकरण:

( एक्स /8) 2 + 12 = एक्स

भास्कर की आड़ में लिखते हैं:

x 2 - 64x = -768

और, इस समीकरण के बाएँ पक्ष को एक वर्ग में पूरा करने के लिए, दोनों पक्षों को जोड़ता है 32 2 , फिर प्राप्त करना:

x 2 - 64x + 32 2 = -768 + 1024,

(एक्स - 32) 2 = 256,

एक्स - 32 = ± 16,

एक्स 1 = 16, एक्स 2 = 48।

1.4 अल - खोरेज़मी के लिए द्विघात समीकरण

बीजगणितीय ग्रंथ अल-खोरेज़मी में, रैखिक और द्विघात समीकरणों का वर्गीकरण दिया गया है। लेखक 6 प्रकार के समीकरणों की गणना करता है, उन्हें इस प्रकार व्यक्त करता है:

1) "वर्ग मूल के बराबर होते हैं", अर्थात। कुल्हाड़ी 2 + सी = बी एक्स।

2) "वर्ग एक संख्या के बराबर होते हैं", अर्थात। कुल्हाड़ी 2 = सी।

3) "मूल संख्या के बराबर हैं", अर्थात। आह = सी।

4) "वर्ग और संख्याएं जड़ों के बराबर हैं", अर्थात कुल्हाड़ी 2 + सी = बी एक्स।

5) "वर्ग और मूल एक संख्या के बराबर हैं", अर्थात। आह 2 + बीएक्स = एस.

6) "मूल और संख्याएँ वर्गों के बराबर होती हैं", अर्थात। बीएक्स + सी = कुल्हाड़ी 2.

अल-खोरेज़मी के लिए, जो ऋणात्मक संख्याओं का उपयोग करने से बचते हैं, इनमें से प्रत्येक समीकरण के पद जोड़ होते हैं, घटाए नहीं जाते। इस मामले में, जिन समीकरणों का सकारात्मक समाधान नहीं होता है, उन्हें निश्चित रूप से ध्यान में नहीं रखा जाता है। लेखक अल-जबर और अल-मुक़ाबल की तकनीकों का उपयोग करके इन समीकरणों को हल करने के तरीकों की रूपरेखा तैयार करता है। उनका निर्णय, निश्चित रूप से, पूरी तरह से हमारे साथ मेल नहीं खाता है। इस तथ्य के अलावा कि यह विशुद्ध रूप से अलंकारिक है, यह ध्यान दिया जाना चाहिए, उदाहरण के लिए, पहले प्रकार के अपूर्ण द्विघात समीकरण को हल करते समय

अल - खोरेज़मी, 17 वीं शताब्दी तक के सभी गणितज्ञों की तरह, शून्य समाधान को ध्यान में नहीं रखते हैं, शायद इसलिए कि यह विशिष्ट व्यावहारिक समस्याओं में कोई फर्क नहीं पड़ता। पूर्ण द्विघात समीकरणों को हल करते समय, अल - खोरेज़मी, विशेष संख्यात्मक उदाहरणों का उपयोग करते हुए, हल करने के लिए नियम निर्धारित करता है, और फिर ज्यामितीय प्रमाण।

समस्या 14."वर्ग और संख्या 21 10 जड़ों के बराबर हैं। जड़ खोजें " (समीकरण x 2 + 21 = 10x की जड़ का अर्थ है)।

लेखक का समाधान कुछ इस तरह पढ़ता है: जड़ों की संख्या को आधे में विभाजित करें, आपको 5 मिलता है, 5 को अपने आप से गुणा करें, उत्पाद से 21 घटाएं, 4 होगा। 4 की जड़ निकालें, आपको 2 मिलता है। 5 से 2 घटाएं , आपको 3 मिलते हैं, यह वांछित जड़ होगी। या 2 से 5 जोड़ें, जो 7 देता है, यह भी एक जड़ है।

ग्रंथ अल-खोरेज़मी पहली पुस्तक है जो हमारे पास आई है, जिसमें द्विघात समीकरणों का वर्गीकरण व्यवस्थित रूप से प्रस्तुत किया गया है और उनके समाधान के सूत्र दिए गए हैं।

1.5 यूरोप में द्विघात समीकरण तेरहवें - Xvii सीसी

यूरोप में अल-खोरेज़मी के मॉडल पर द्विघात समीकरणों को हल करने के सूत्र पहली बार "अबेकस की पुस्तक" में प्रस्तुत किए गए थे, जिसे 1202 में इतालवी गणितज्ञ लियोनार्डो फिबोनाची द्वारा लिखा गया था। यह विशाल कार्य, जो इस्लाम और प्राचीन ग्रीस दोनों देशों में गणित के प्रभाव को दर्शाता है, प्रस्तुति की पूर्णता और स्पष्टता दोनों से प्रतिष्ठित है। लेखक ने स्वतंत्र रूप से समस्याओं को हल करने के कुछ नए बीजगणितीय उदाहरण विकसित किए और यूरोप में ऋणात्मक संख्याओं की शुरूआत करने वाले पहले व्यक्ति थे। उनकी पुस्तक ने न केवल इटली में, बल्कि जर्मनी, फ्रांस और अन्य यूरोपीय देशों में भी बीजीय ज्ञान के प्रसार में योगदान दिया। "अबेकस की पुस्तक" की कई समस्याओं को 16वीं - 17वीं शताब्दी की लगभग सभी यूरोपीय पाठ्यपुस्तकों में स्थानांतरित कर दिया गया था। और आंशिक रूप से XVIII।

द्विघात समीकरणों को हल करने का सामान्य नियम एकल विहित रूप में घटाया गया:

एक्स 2 + बीएक्स = एस,

बाधाओं के सभी संभावित संयोजनों के साथ बी , साथयूरोप में केवल 1544 में एम. स्टीफेल द्वारा तैयार किया गया था।

सामान्य रूप में द्विघात समीकरण को हल करने के लिए सूत्र की व्युत्पत्ति वियतनाम में उपलब्ध है, हालांकि, वियतनाम ने केवल सकारात्मक जड़ों को मान्यता दी है। इतालवी गणितज्ञ टार्टाग्लिया, कार्डानो, बॉम्बेली 16वीं शताब्दी में सबसे पहले थे। सकारात्मक और नकारात्मक जड़ों के अलावा विचार करें। केवल 17वीं शताब्दी में। गिरार्ड, डेसकार्टेस, न्यूटन और अन्य वैज्ञानिकों के काम के लिए धन्यवाद, द्विघात समीकरणों को हल करने की विधि एक आधुनिक रूप लेती है।

1.6 विएटा के प्रमेय के बारे में

एक द्विघात समीकरण के गुणांकों और इसकी जड़ों के बीच संबंध को व्यक्त करने वाला एक प्रमेय, जिसे विएटा नाम दिया गया था, पहली बार उनके द्वारा 1591 में निम्नानुसार तैयार किया गया था: "यदि बी + डीसे गुणा ए - ए 2 , बराबर बीडी, फिर एबराबरी वीऔर बराबर डी ».

वियत को समझने के लिए याद रखना चाहिए कि ए, किसी भी स्वर की तरह, उसके लिए अज्ञात (हमारी .) एक्स), स्वरों वी, डी- अज्ञात के लिए गुणांक। आधुनिक बीजगणित की भाषा में, विएटा के उपरोक्त सूत्रीकरण का अर्थ है: if

(ए + बी ) एक्स - एक्स 2 = अब ,

एक्स 2 - (ए + बी ) एक्स + ए बी = 0,

एक्स 1 = ए, एक्स 2 = बी .

प्रतीकों का उपयोग करके लिखे गए सामान्य सूत्रों द्वारा समीकरणों के मूल और गुणांक के बीच संबंध व्यक्त करते हुए, वियतनाम ने समीकरणों को हल करने के तरीकों में एकरूपता स्थापित की। हालाँकि, विएटा का प्रतीकवाद अभी भी अपने आधुनिक रूप से दूर है। उन्होंने ऋणात्मक संख्याओं को नहीं पहचाना और इसलिए, समीकरणों को हल करते समय, उन्होंने केवल उन मामलों पर विचार किया जब सभी मूल सकारात्मक हों।

2. द्विघात समीकरणों को हल करने की विधियाँ

द्विघात समीकरण वह आधार है जिस पर बीजगणित की भव्य इमारत टिकी हुई है। त्रिकोणमितीय, घातांक, लघुगणक, अपरिमेय और अनुवांशिक समीकरणों और असमानताओं को हल करने में द्विघात समीकरणों का व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है। हम सभी जानते हैं कि स्कूल (ग्रेड 8) से लेकर ग्रेजुएशन तक, द्विघात समीकरणों को कैसे हल किया जाता है।

आधुनिक समाज में, चर वर्ग वाले समीकरणों के साथ क्रिया करने की क्षमता गतिविधि के कई क्षेत्रों में उपयोगी हो सकती है और व्यापक रूप से वैज्ञानिक और तकनीकी विकास में अभ्यास में उपयोग की जाती है। इसका प्रमाण समुद्र और नदी के जहाजों, हवाई जहाजों और मिसाइलों के डिजाइन से मिलता है। इस तरह की गणनाओं की मदद से, अंतरिक्ष वस्तुओं सहित विभिन्न प्रकार के पिंडों की गति के प्रक्षेपवक्र निर्धारित किए जाते हैं। द्विघात समीकरणों के समाधान के उदाहरणों का उपयोग न केवल आर्थिक पूर्वानुमान में, इमारतों के डिजाइन और निर्माण में, बल्कि सबसे सामान्य रोजमर्रा की परिस्थितियों में भी किया जाता है। कैंपिंग ट्रिप पर, खेल आयोजनों में, खरीदारी करते समय दुकानों में और अन्य बहुत ही सामान्य स्थितियों में उनकी आवश्यकता हो सकती है।

आइए अभिव्यक्ति को इसके घटक कारकों में तोड़ें

किसी समीकरण की घात उस चर की घात के अधिकतम मान से निर्धारित होती है जिसमें दिए गए व्यंजक में होते हैं। यदि यह 2 के बराबर है, तो ऐसे समीकरण को वर्ग कहा जाता है।

यदि हम सूत्रों की भाषा का उपयोग करते हैं, तो ये अभिव्यक्तियाँ, चाहे वे कैसी भी दिखती हों, हमेशा उस रूप में कम की जा सकती हैं जब व्यंजक के बाईं ओर तीन पद होते हैं। उनमें से: कुल्हाड़ी 2 (अर्थात, इसके गुणांक के साथ एक चर वर्ग), बीएक्स (एक अज्ञात वर्ग के बिना इसके गुणांक के साथ) और सी (एक मुक्त घटक, यानी एक साधारण संख्या)। दायीं ओर यह सब 0 के बराबर होता है। उस स्थिति में जब एक समान बहुपद में कुल्हाड़ी 2 के अपवाद के साथ अपने एक घटक पद का अभाव होता है, इसे अपूर्ण द्विघात समीकरण कहा जाता है। ऐसी समस्याओं के समाधान के उदाहरण, चरों का मान जिसमें खोजना आसान है, पहले विचार किया जाना चाहिए।

यदि व्यंजक इस तरह से दिखता है कि व्यंजक के दाईं ओर दो पद हैं, अधिक सटीक रूप से ax 2 और bx, तो चर को कोष्ठक के बाहर रखकर x को खोजना सबसे आसान है। अब हमारा समीकरण इस तरह दिखेगा: x (ax + b)। इसके अलावा, यह स्पष्ट हो जाता है कि या तो x = 0, या समस्या निम्न व्यंजक से एक चर खोजने के लिए कम हो जाती है: ax + b = 0। यह गुणन के गुणों में से एक द्वारा निर्धारित किया जाता है। नियम यह है कि दो कारकों के गुणनफल का परिणाम 0 होता है, यदि उनमें से एक शून्य के बराबर हो।

उदाहरण

एक्स = 0 या 8x - 3 = 0

नतीजतन, हमें समीकरण की दो जड़ें मिलती हैं: 0 और 0.375।

इस प्रकार के समीकरण गुरुत्वाकर्षण की क्रिया के तहत पिंडों की गति का वर्णन कर सकते हैं, जो मूल के रूप में लिए गए एक निश्चित बिंदु से आगे बढ़ना शुरू हुआ। यहाँ गणितीय संकेतन निम्नलिखित रूप लेता है: y = v 0 t + gt 2/2। आवश्यक मानों को प्रतिस्थापित करते हुए, दाईं ओर को 0 के बराबर करके और संभावित अज्ञातों को ढूंढते हुए, आप शरीर के उठने के क्षण से लेकर गिरने तक के समय के साथ-साथ कई अन्य मात्राओं का पता लगा सकते हैं। लेकिन हम इस बारे में बाद में बात करेंगे।

एक अभिव्यक्ति फैक्टरिंग

ऊपर वर्णित नियम इन समस्याओं को अधिक जटिल मामलों में हल करना संभव बनाता है। आइए इस प्रकार के द्विघात समीकरणों को हल करने वाले उदाहरणों पर विचार करें।

एक्स 2 - 33x + 200 = 0

यह वर्ग त्रिपद पूर्ण है। पहले, आइए व्यंजक को रूपांतरित करें और उसका गुणनखंड करें। उनमें से दो हैं: (x-8) और (x-25) = 0. नतीजतन, हमारे पास दो जड़ें 8 और 25 हैं।

ग्रेड 9 में द्विघात समीकरणों के समाधान के उदाहरण इस पद्धति को न केवल दूसरे, बल्कि तीसरे और चौथे क्रम के भी व्यंजकों में एक चर खोजने की अनुमति देते हैं।

उदाहरण के लिए: 2x 3 + 2x 2 - 18x - 18 = 0. जब एक चर वाले कारकों में दाहिनी ओर फ़ैक्टर करते हैं, तो उनमें से तीन होते हैं, अर्थात (x + 1), (x-3) और (x + 3))।

परिणामस्वरूप, यह स्पष्ट हो जाता है कि इस समीकरण के तीन मूल हैं: -3; -एक; 3.

वर्गमूल का निष्कर्षण

अपूर्ण दूसरे क्रम के समीकरण का एक अन्य मामला अक्षरों की भाषा में इस तरह से दर्शाया गया एक व्यंजक है कि दाहिनी ओर घटक कुल्हाड़ी 2 और सी से बनाया गया है। यहां, चर का मान प्राप्त करने के लिए, मुक्त शब्द को दाईं ओर स्थानांतरित किया जाता है, और फिर समानता के दोनों पक्षों से वर्गमूल निकाला जाता है। यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि इस मामले में, आमतौर पर समीकरण की दो जड़ें होती हैं। एकमात्र अपवाद समानताएं हैं जिनमें सी शब्द बिल्कुल भी शामिल नहीं है, जहां चर शून्य के बराबर है, साथ ही साथ अभिव्यक्ति के रूप भी हैं जब दाहिनी ओर नकारात्मक हो जाता है। बाद के मामले में, कोई समाधान नहीं हैं, क्योंकि उपरोक्त क्रियाओं को जड़ों से नहीं किया जा सकता है। इस प्रकार के द्विघात समीकरणों के समाधान के उदाहरणों पर विचार किया जाना चाहिए।

इस मामले में, समीकरण की जड़ें संख्या -4 और 4 होंगी।

भूमि भूखंड के क्षेत्रफल की गणना

इस तरह की गणना की आवश्यकता प्राचीन काल में दिखाई दी, क्योंकि उन दूर के समय में गणित का विकास कई मायनों में भूमि भूखंडों के क्षेत्रों और परिधि को सबसे बड़ी सटीकता के साथ निर्धारित करने की आवश्यकता के कारण था।

इस प्रकार की समस्याओं के आधार पर संकलित द्विघात समीकरणों के समाधान के उदाहरणों पर हमें विचार करना चाहिए।

तो, मान लीजिए कि एक आयताकार भूमि है, जिसकी लंबाई चौड़ाई से 16 मीटर अधिक है। साइट की लंबाई, चौड़ाई और परिधि पाएं यदि यह ज्ञात है कि इसका क्षेत्रफल 612 मीटर 2 है।

व्यापार के लिए नीचे उतरना, आइए पहले आवश्यक समीकरण तैयार करें। चलो खंड की चौड़ाई x से निरूपित करते हैं, तो इसकी लंबाई (x + 16) होगी। जो लिखा गया है उससे यह पता चलता है कि क्षेत्रफल व्यंजक x (x + 16) से निर्धारित होता है, जो कि हमारी समस्या की स्थिति के अनुसार 612 है। इसका अर्थ है कि x (x + 16) = 612।

पूर्ण द्विघात समीकरणों का हल, और यह व्यंजक बस यही है, उसी तरह नहीं किया जा सकता है। क्यों? हालांकि इसके बाईं ओर अभी भी दो कारक हैं, उत्पाद 0 के बराबर नहीं है, इसलिए अन्य विधियां यहां लागू होती हैं।

विभेदक

सबसे पहले, हम आवश्यक परिवर्तन करेंगे, फिर इस अभिव्यक्ति की उपस्थिति इस तरह दिखेगी: x 2 + 16x - 612 = 0। इसका मतलब है कि हमें पहले से संकेतित मानक के अनुरूप एक अभिव्यक्ति प्राप्त हुई है, जहां ए = 1, बी = 16, सी = -612।

यह विवेचक के माध्यम से द्विघात समीकरणों को हल करने का एक उदाहरण हो सकता है। यहाँ योजना के अनुसार आवश्यक गणनाएँ की जाती हैं: D = b 2 - 4ac। यह सहायक मात्रा न केवल दूसरे क्रम के समीकरण में आवश्यक मात्राओं को खोजना संभव बनाती है, यह संभावित विकल्पों की संख्या निर्धारित करती है। यदि डी> 0, उनमें से दो हैं; D = 0 के लिए एक मूल है। अगर डी<0, никаких шансов для решения у уравнения вообще не имеется.

जड़ों और उनके सूत्र के बारे में

हमारे मामले में, विवेचक है: 256 - 4 (-612) = 2704। यह इंगित करता है कि हमारी समस्या का उत्तर है। यदि आप k जानते हैं, तो निम्न सूत्र का उपयोग करके द्विघात समीकरणों का हल जारी रखना चाहिए। यह आपको जड़ों की गणना करने की अनुमति देता है।

इसका मतलब है कि प्रस्तुत मामले में: x 1 = 18, x 2 = -34। इस दुविधा में दूसरा विकल्प समाधान नहीं हो सकता, क्योंकि भूमि भूखंड के आयामों को ऋणात्मक मानों में नहीं मापा जा सकता है, जिसका अर्थ है x (अर्थात भूखंड की चौड़ाई) 18 मीटर है। यहां से हम लंबाई की गणना करते हैं: 18 + 16 = 34, और परिधि 2 (34+ 18) = 104 (एम 2)।

उदाहरण और कार्य

हम द्विघात समीकरणों का अध्ययन जारी रखते हैं। उनमें से कई के उदाहरण और विस्तृत समाधान नीचे दिए जाएंगे।

1) 15x 2 + 20x + 5 = 12x 2 + 27x + 1

हम सब कुछ समानता के बाईं ओर स्थानांतरित करते हैं, एक परिवर्तन करते हैं, अर्थात, हमें समीकरण का रूप मिलता है, जिसे आमतौर पर मानक कहा जाता है, और इसे शून्य के बराबर करते हैं।

15x 2 + 20x + 5 - 12x 2 - 27x - 1 = 0

समान जोड़ने पर, हम विभेदक को परिभाषित करते हैं: डी = 49 - 48 = 1. इसका मतलब है कि हमारे समीकरण की दो जड़ें होंगी। आइए उपरोक्त सूत्र के अनुसार उनकी गणना करें, जिसका अर्थ है कि उनमें से पहला 4/3 के बराबर होगा, और दूसरा 1.

2) अब हम एक अलग तरह की पहेलियों का खुलासा करेंगे।

आइए जानें कि क्या यहां कोई मूल हैं x 2 - 4x + 5 = 1? एक विस्तृत उत्तर प्राप्त करने के लिए, आइए बहुपद को उपयुक्त परिचित रूप में लाएं और विवेचक की गणना करें। इस उदाहरण में, द्विघात समीकरण का हल आवश्यक नहीं है, क्योंकि समस्या का सार इसमें बिल्कुल नहीं है। इस मामले में, डी = 16 - 20 = -4, जिसका अर्थ है कि वास्तव में कोई जड़ें नहीं हैं।

विएटा का प्रमेय

उपरोक्त सूत्रों और विवेचक का उपयोग करके द्विघात समीकरणों को हल करना सुविधाजनक होता है, जब वर्गमूल को बाद वाले के मान से निकाला जाता है। पर यह मामला हमेशा नहीं होता। हालांकि, इस मामले में चर के मान प्राप्त करने के कई तरीके हैं। उदाहरण: विएटा के प्रमेय द्वारा द्विघात समीकरणों को हल करना। उसका नाम एक ऐसे व्यक्ति के नाम पर रखा गया है जो 16 वीं शताब्दी के फ्रांस में रहता था और अदालत में अपनी गणितीय प्रतिभा और कनेक्शन के लिए एक शानदार करियर बनाया था। उनका चित्र लेख में देखा जा सकता है।

प्रसिद्ध फ्रांसीसी द्वारा देखा गया पैटर्न इस प्रकार था। उन्होंने साबित किया कि योग में समीकरण की जड़ें संख्यात्मक रूप से -p = b / a के बराबर होती हैं, और उनका उत्पाद q = c / a से मेल खाता है।

अब आइए विशिष्ट कार्यों को देखें।

3x 2 + 21x - 54 = 0

सादगी के लिए, आइए अभिव्यक्ति को रूपांतरित करें:

एक्स 2 + 7x - 18 = 0

हम विएटा के प्रमेय का उपयोग करेंगे, इससे हमें निम्नलिखित मिलेगा: जड़ों का योग -7 है, और उनका उत्पाद -18 है। इससे हमें पता चलता है कि समीकरण की जड़ें संख्या -9 और 2 हैं। एक जाँच करने के बाद, हम यह सुनिश्चित करेंगे कि चर के ये मान वास्तव में अभिव्यक्ति में फिट हों।

परवलय ग्राफ और समीकरण

द्विघात फलन और द्विघात समीकरण की अवधारणाएँ आपस में घनिष्ठ रूप से संबंधित हैं। इसके उदाहरण पहले भी दिए जा चुके हैं। आइए अब कुछ गणित की पहेलियों को थोड़ा और विस्तार से देखें। वर्णित प्रकार के किसी भी समीकरण की कल्पना की जा सकती है। ग्राफ के रूप में खींचे गए इस तरह के संबंध को परवलय कहा जाता है। इसके विभिन्न प्रकार नीचे दिए गए चित्र में दिखाए गए हैं।

किसी भी परवलय का एक शीर्ष होता है, अर्थात वह बिंदु जहाँ से उसकी शाखाएँ निकलती हैं। यदि a> 0, वे अनंत तक उच्च जाते हैं, और जब a<0, они рисуются вниз. Простейшим примером подобной зависимости является функция y = x 2 . В данном случае в уравнении x 2 =0 неизвестное может принимать только одно значение, то есть х=0, а значит существует только один корень. Это неудивительно, ведь здесь D=0, потому что a=1, b=0, c=0. Выходит формула корней (точнее одного корня) квадратного уравнения запишется так: x = -b/2a.

कार्यों के दृश्य निरूपण द्विघात सहित किसी भी समीकरण को हल करने में मदद करते हैं। इस विधि को ग्राफिकल कहा जाता है। और चर x का मान भुज निर्देशांक उन बिंदुओं पर होता है जहां ग्राफ़ रेखा 0x के साथ प्रतिच्छेद करती है। शीर्ष के निर्देशांक दिए गए सूत्र x 0 = -b / 2a द्वारा ज्ञात किए जा सकते हैं। और, परिणामी मान को फ़ंक्शन के मूल समीकरण में प्रतिस्थापित करते हुए, आप y 0 का पता लगा सकते हैं, जो कि परवलय के शीर्ष का दूसरा निर्देशांक है, जो कोटि अक्ष से संबंधित है।

एब्सिस्सा अक्ष के साथ परवलय की शाखाओं का प्रतिच्छेदन

द्विघात समीकरणों को हल करने के कई उदाहरण हैं, लेकिन सामान्य पैटर्न भी हैं। आइए उन पर विचार करें। यह स्पष्ट है कि a> 0 के लिए 0x अक्ष के साथ ग्राफ का प्रतिच्छेदन तभी संभव है जब y 0 ऋणात्मक मान लेता है। और एक के लिए<0 координата у 0 должна быть положительна. Для указанных вариантов D>0. अन्यथा, डी<0. А когда D=0, вершина параболы расположена непосредственно на оси 0х.

जड़ों को परवलय ग्राफ से भी निर्धारित किया जा सकता है। इसका उलटा भी सच है। अर्थात्, यदि द्विघात फलन की दृश्य छवि प्राप्त करना आसान नहीं है, तो आप व्यंजक के दाईं ओर को 0 के बराबर कर सकते हैं और परिणामी समीकरण को हल कर सकते हैं। और 0x अक्ष के साथ प्रतिच्छेदन के बिंदुओं को जानकर, ग्राफ बनाना आसान हो जाता है।

इतिहास से

एक चर वर्ग वाले समीकरणों की सहायता से, पुराने दिनों में उन्होंने न केवल गणितीय गणना की और ज्यामितीय आकृतियों के क्षेत्रों को निर्धारित किया। पूर्वजों को भौतिकी और खगोल विज्ञान के क्षेत्र में भव्य खोजों के साथ-साथ ज्योतिषीय पूर्वानुमान बनाने के लिए ऐसी गणनाओं की आवश्यकता थी।

जैसा कि आधुनिक वैज्ञानिक मानते हैं, बाबुल के निवासी द्विघात समीकरणों को हल करने वाले पहले लोगों में से थे। यह हमारे युग से चार शताब्दी पहले हुआ था। बेशक, उनकी गणना मौलिक रूप से वर्तमान में स्वीकृत लोगों से अलग थी और बहुत अधिक आदिम निकली। उदाहरण के लिए, मेसोपोटामिया के गणितज्ञों को ऋणात्मक संख्याओं के अस्तित्व के बारे में कोई जानकारी नहीं थी। वे उन अन्य सूक्ष्मताओं से भी अपरिचित थे जिन्हें हमारे समय का कोई स्कूली बच्चा जानता है।

शायद बाबुल के वैज्ञानिकों से भी पहले भारत के ऋषि बौधायम ने द्विघात समीकरणों का हल निकाला था। यह ईसा के युग के आगमन से लगभग आठ शताब्दी पहले हुआ था। सच है, दूसरे क्रम के समीकरण, हल करने के तरीके जो उन्होंने दिए, वे सबसे सरल थे। उनके अलावा, चीनी गणितज्ञ भी पुराने दिनों में इसी तरह के प्रश्नों में रुचि रखते थे। यूरोप में, द्विघात समीकरणों को केवल 13वीं शताब्दी की शुरुआत में हल किया जाना शुरू हुआ, लेकिन बाद में न्यूटन, डेसकार्टेस और कई अन्य जैसे महान वैज्ञानिकों द्वारा उनके कार्यों में उनका उपयोग किया गया।

द्विघात समीकरण - हल करने में आसान! * आगे "केयू" पाठ में।दोस्तों, ऐसा प्रतीत होता है, गणित में ऐसे समीकरण को हल करने से आसान क्या हो सकता है। लेकिन कुछ ने मुझे बताया कि बहुतों को उससे समस्या है। मैंने यह देखने का फैसला किया कि प्रति माह कितने इंप्रेशन यांडेक्स। यहाँ क्या हुआ, एक नज़र डालें:

इसका क्या मतलब है? इसका मतलब है कि हर महीने लगभग 70,000 लोग इस जानकारी की तलाश में हैं, और शैक्षणिक वर्ष के मध्य में क्या होगा - इसके लिए दोगुने अनुरोध होंगे। यह आश्चर्य की बात नहीं है, क्योंकि वे लड़के और लड़कियां जिन्होंने बहुत पहले स्कूल से स्नातक किया है और एकीकृत राज्य परीक्षा की तैयारी कर रहे हैं, वे इस जानकारी की तलाश में हैं, और स्कूली बच्चे भी इसे अपनी याद में ताज़ा करना चाहते हैं।

इस तथ्य के बावजूद कि बहुत सारी साइटें हैं जो आपको बताती हैं कि इस समीकरण को कैसे हल किया जाए, मैंने भी अपना काम करने और सामग्री को प्रकाशित करने का फैसला किया। सबसे पहले, मैं चाहता हूं कि आगंतुक इस अनुरोध के लिए मेरी साइट पर आएं; दूसरे, अन्य लेखों में, जब "केयू" भाषण आएगा, तो मैं इस लेख का लिंक दूंगा; तीसरा, मैं आपको उनके समाधान के बारे में अन्य साइटों पर आमतौर पर बताए गए से थोड़ा अधिक बताऊंगा। आएँ शुरू करें!लेख की सामग्री:

द्विघात समीकरण रूप का एक समीकरण है:

जहां गुणांक ए,बीऔर मनमानी संख्या के साथ, 0 के साथ।

स्कूल के पाठ्यक्रम में, सामग्री निम्नलिखित रूप में दी गई है - समीकरणों को सशर्त रूप से तीन वर्गों में विभाजित किया गया है:

1. इनकी दो जड़ें होती हैं।

2. *केवल एक जड़ हो।

3. कोई जड़ नहीं है। यहां यह ध्यान देने योग्य है कि उनकी कोई वैध जड़ें नहीं हैं।

जड़ों की गणना कैसे की जाती है? अभी - अभी!

हम विवेचक की गणना करते हैं। इस "भयानक" शब्द के नीचे एक बहुत ही सरल सूत्र है:

मूल सूत्र इस प्रकार हैं:

*इन सूत्रों को दिल से जानने की जरूरत है।

आप तुरंत लिख सकते हैं और निर्णय ले सकते हैं:

उदाहरण:

1. यदि D> 0, तो समीकरण के दो मूल हैं।

2. यदि D = 0 है, तो समीकरण का एक मूल है।

3. यदि डी< 0, то уравнение не имеет действительных корней.

आइए समीकरण पर एक नज़र डालें:

इस संबंध में जब विवेचक शून्य होता है, तो स्कूल के पाठ्यक्रम में कहा जाता है कि एक जड़ प्राप्त होती है, यहाँ यह नौ के बराबर है। सब कुछ सही है, लेकिन...

यह प्रतिनिधित्व कुछ हद तक गलत है। वास्तव में, दो जड़ें हैं। हां, हां, आश्चर्यचकित न हों, यह दो समान जड़ों को प्राप्त करता है, और गणितीय रूप से सटीक होने के लिए, उत्तर को दो जड़ों में लिखा जाना चाहिए:

एक्स 1 = 3 एक्स 2 = 3

लेकिन ऐसा है - एक छोटा विषयांतर। स्कूल में, आप लिख सकते हैं और कह सकते हैं कि एक जड़ है।

अब अगला उदाहरण:

जैसा कि हम जानते हैं, ऋणात्मक संख्या का मूल नहीं निकाला जाता है, इसलिए इस मामले में कोई समाधान नहीं है।

वह पूरी समाधान प्रक्रिया है।

द्विघात फंक्शन।

यहां बताया गया है कि समाधान ज्यामितीय रूप से कैसा दिखता है। यह समझना अत्यंत महत्वपूर्ण है (भविष्य में, हम एक लेख में वर्ग असमानता के समाधान का विस्तार से विश्लेषण करेंगे)।

यह प्रपत्र का एक कार्य है:

जहाँ x और y चर हैं

a, b, c - दी गई संख्याएँ, a 0 . के साथ

ग्राफ एक परवलय है:

यही है, यह पता चला है कि शून्य के बराबर "y" के साथ द्विघात समीकरण को हल करके, हम x-अक्ष के साथ परवलय के चौराहे के बिंदु पाते हैं। इनमें से दो बिंदु हो सकते हैं (विभेदक सकारात्मक है), एक (विभेदक शून्य है) और कोई नहीं (विभेदक नकारात्मक है)। द्विघात फलन के बारे में अधिक जानकारी आप देख सकते हैंइन्ना फेल्डमैन द्वारा लेख।

आइए कुछ उदाहरणों पर विचार करें:

उदाहरण 1: हल करें 2x 2 +8 एक्स–192=0

ए = 2 बी = 8 सी = -192

डी = बी 2 -4ac = 8 2 -4 ∙ 2 (-192) = 64 + 1536 = 1600

उत्तर: x 1 = 8 x 2 = -12

* समीकरण के बाएँ और दाएँ पक्षों को तुरंत 2 से विभाजित करना, यानी इसे सरल बनाना संभव था। गणना आसान हो जाएगी।

उदाहरण 2: निर्णय करना एक्स 2–22 एक्स + 121 = 0

ए = 1 बी = -22 सी = 121

डी = बी 2 -4 एसी = (- 22) 2 -4 ∙ 1 ∙ 121 = 484-484 = 0

हमें प्राप्त हुआ कि x 1 = 11 और x 2 = 11

उत्तर में x = 11 लिखने की अनुमति है।

उत्तर: एक्स = 11

उदाहरण 3: निर्णय करना x 2 -8x + 72 = 0

ए = 1 बी = -8 सी = 72

डी = बी 2 -4 एसी = (- 8) 2 -4 ∙ 1 ∙ 72 = 64-288 = -224

विवेचक ऋणात्मक है, वास्तविक संख्या में कोई हल नहीं है।

उत्तर: कोई समाधान नहीं

विभेदक नकारात्मक है। एक समाधान है!

यहां हम उस मामले में समीकरण को हल करने के बारे में बात करेंगे जब एक नकारात्मक विवेचक प्राप्त होता है। क्या आप सम्मिश्र संख्याओं के बारे में कुछ जानते हैं? मैं यहां विस्तार से नहीं जाऊंगा कि वे क्यों और कहां से आए और गणित में उनकी विशिष्ट भूमिका और आवश्यकता क्या है, यह एक बड़े अलग लेख का विषय है।

एक जटिल संख्या की अवधारणा।

थोड़ा सिद्धांत।

एक सम्मिश्र संख्या z, रूप की एक संख्या है

जेड = ए + द्वि

जहाँ a और b वास्तविक संख्याएँ हैं, i तथाकथित काल्पनिक इकाई है।

एक + द्वि एक एकल संख्या है, जोड़ नहीं।

काल्पनिक इकाई माइनस वन के मूल के बराबर होती है:

अब समीकरण पर विचार करें:

हमें दो संयुग्मी जड़ें मिली हैं।

अधूरा द्विघात समीकरण।

विशेष मामलों पर विचार करें, यह तब होता है जब गुणांक "बी" या "सी" शून्य के बराबर होता है (या दोनों शून्य के बराबर होते हैं)। वे बिना किसी भेदभाव के आसानी से हल हो जाते हैं।

स्थिति 1. गुणांक b = 0.

समीकरण रूप लेता है:

आइए रूपांतरित करें:

उदाहरण:

4x 2 -16 = 0 => 4x 2 = 16 => x 2 = 4 => x 1 = 2 x 2 = -2

स्थिति 2. गुणांक = 0 के साथ।

समीकरण रूप लेता है:

हम रूपांतरित करते हैं, गुणनखंड करते हैं:

* उत्पाद शून्य के बराबर होता है जब कम से कम एक कारक शून्य के बराबर होता है।

उदाहरण:

9x 2 -45x = 0 => 9x (x - 5) = 0 => x = 0 या x - 5 = 0

एक्स 1 = 0 एक्स 2 = 5

स्थिति 3. गुणांक b = 0 और c = 0।

यहाँ यह स्पष्ट है कि समीकरण का हल हमेशा x = 0 होगा।

गुणांक के उपयोगी गुण और पैटर्न।

ऐसे गुण हैं जो आपको बड़े गुणांक वाले समीकरणों को हल करने की अनुमति देते हैं।

एएक्स 2 + बीएक्स+ सी=0 समानता रखती है

ए + बी+ सी = 0,फिर

- यदि समीकरण के गुणांकों के लिए एएक्स 2 + बीएक्स+ सी=0 समानता रखती है

ए+ सी =बी, फिर

ये गुण एक निश्चित प्रकार के समीकरण को हल करने में मदद करते हैं।

उदाहरण 1: 5001 एक्स 2 –4995 एक्स – 6=0

ऑड्स का योग 5001+ है ( – 4995)+(– 6) = 0, इसलिए

उदाहरण 2: 2501 एक्स 2 +2507 एक्स+6=0

समानता मिलती है ए+ सी =बी, साधन

गुणांक की नियमितता।

1. यदि समीकरण में कुल्हाड़ी 2 + बीएक्स + सी = 0 गुणांक "बी" बराबर है (ए 2 +1), और गुणांक "सी" संख्यात्मक रूप से गुणांक "ए" के बराबर है, तो इसकी जड़ें हैं

कुल्हाड़ी 2 + (ए 2 +1) + а = 0 => х 1 = –ए х 2 = -1 / ए।

उदाहरण। समीकरण 6x 2 + 37x + 6 = 0 पर विचार करें।

x 1 = -6 x 2 = -1/6।

2. यदि समीकरण कुल्हाड़ी 2 - बीएक्स + सी = 0 में गुणांक "बी" बराबर है (ए 2 +1), और गुणांक "सी" संख्यात्मक रूप से गुणांक "ए" के बराबर है, तो इसकी जड़ें हैं

कुल्हाड़ी 2 - (ए 2 +1) एक्स + ए = 0 => एक्स 1 = ए एक्स 2 = 1 / ए।

उदाहरण। समीकरण 15x 2 -226x +15 = 0 पर विचार करें।

एक्स 1 = 15 एक्स 2 = 1/15।

3. यदि समीकरण मेंकुल्हाड़ी 2 + बीएक्स - सी = 0 गुणांक "बी" के बराबर है (a 2 -1), और गुणांक "सी" संख्यात्मक रूप से गुणांक "ए" के बराबर, तो इसकी जड़ें बराबर होती हैं

कुल्हाड़ी 2 + (ए 2 -1) - ए = 0 => х 1 = - ए 2 = 1 / ए।

उदाहरण। समीकरण 17x 2 + 288x - 17 = 0 पर विचार करें।

x 1 = - 17 x 2 = 1/17।

4. यदि समीकरण कुल्हाड़ी 2 - बीएक्स - सी = 0 में गुणांक "बी" बराबर (ए 2 - 1) है, और गुणांक सी संख्यात्मक रूप से गुणांक "ए" के बराबर है, तो इसकी जड़ें हैं

एएक्स 2 - (ए 2 -1) - ए = 0 => х 1 = ए х 2 = - 1 / ए।

उदाहरण। समीकरण 10x 2 - 99x -10 = 0 पर विचार करें।

x 1 = 10 x 2 = - 1/10

विएटा का प्रमेय।

विएटा के प्रमेय का नाम प्रसिद्ध फ्रांसीसी गणितज्ञ फ्रांकोइस विएटा के नाम पर रखा गया है। विएटा के प्रमेय का उपयोग करके, कोई व्यक्ति अपने गुणांक के संदर्भ में एक मनमाना KE की जड़ों के योग और उत्पाद को व्यक्त कर सकता है।

45 = 1∙45 45 = 3∙15 45 = 5∙9.

कुल मिलाकर, संख्या 14 केवल 5 और 9 देती है। ये मूल हैं। एक निश्चित कौशल के साथ, प्रस्तुत प्रमेय का उपयोग करके, आप कई द्विघात समीकरणों को मौखिक रूप से हल कर सकते हैं।

Vieta के प्रमेय, इसके अलावा। इसमें सुविधाजनक है कि द्विघात समीकरण को सामान्य तरीके से (विभेदक के माध्यम से) हल करने के बाद, प्राप्त जड़ों की जाँच की जा सकती है। मैं इसे हर समय करने की सलाह देता हूं।

स्थानांतरण विधि

इस पद्धति के साथ, गुणांक "ए" को मुक्त शब्द से गुणा किया जाता है, जैसे कि इसे "फेंका" जाता है, इसलिए इसे कहा जाता है "स्थानांतरण" के माध्यम से।इस पद्धति का उपयोग तब किया जाता है जब आप विएटा के प्रमेय का उपयोग करके समीकरण की जड़ों को आसानी से ढूंढ सकते हैं और सबसे महत्वपूर्ण बात यह है कि जब विवेचक एक सटीक वर्ग होता है।

अगर ए± बी + सी 0, तब स्थानांतरण तकनीक का उपयोग किया जाता है, उदाहरण के लिए:

2एक्स 2 – 11एक्स + 5 = 0 (1) => एक्स 2 – 11एक्स + 10 = 0 (2)

समीकरण (2) में विएटा के प्रमेय द्वारा यह निर्धारित करना आसान है कि x 1 = 10 x 2 = 1

समीकरण की प्राप्त जड़ों को 2 से विभाजित किया जाना चाहिए (चूंकि दो को x 2 से "फेंक दिया गया"), हम प्राप्त करते हैं

एक्स 1 = 5 एक्स 2 = 0.5।

तर्क क्या है? देखिए क्या हो रहा है।

समीकरण (1) और (2) के विवेचक बराबर हैं:

यदि आप समीकरणों की जड़ों को देखते हैं, तो केवल अलग-अलग हर प्राप्त होते हैं, और परिणाम x 2 पर गुणांक पर सटीक रूप से निर्भर करता है:

दूसरी (संशोधित) जड़ें 2 गुना बड़ी होती हैं।

इसलिए, हम परिणाम को 2 से विभाजित करते हैं।

* अगर हम तीन को फिर से रोल करते हैं, तो हम परिणाम को 3 से विभाजित करते हैं, आदि।

उत्तर: x 1 = 5 x 2 = 0.5

वर्ग उर-तु और परीक्षा।

मैं इसके महत्व के बारे में संक्षेप में कहूंगा - आप जल्दी और बिना किसी हिचकिचाहट के हल करने में सक्षम होना चाहिए, जड़ों के सूत्र और विवेचक को दिल से जानना चाहिए। USE कार्यों को बनाने वाले बहुत से कार्यों को द्विघात समीकरण (ज्यामितीय सहित) को हल करने के लिए कम कर दिया जाता है।

क्या ध्यान देने योग्य है!

1. समीकरण लिखने का रूप "अंतर्निहित" हो सकता है। उदाहरण के लिए, निम्नलिखित प्रविष्टि संभव है:

15+ 9x 2 - 45x = 0 या 15x + 42 + 9x 2 - 45x = 0 या 15 -5x + 10x 2 = 0।

आपको इसे एक मानक रूप में लाने की आवश्यकता है (ताकि हल करते समय भ्रमित न हों)।

2. याद रखें कि x एक अज्ञात राशि है और इसे किसी अन्य अक्षर - t, q, p, h और अन्य द्वारा निरूपित किया जा सकता है।

", यानी पहली डिग्री के समीकरण। इस पाठ में हम विश्लेषण करेंगे द्विघात समीकरण किसे कहते हैंऔर इसे कैसे हल करें।

द्विघात समीकरण किसे कहते हैं

जरूरी!

समीकरण की डिग्री सबसे बड़ी डिग्री से निर्धारित होती है जिसमें अज्ञात खड़ा होता है।

यदि अज्ञात की अधिकतम घात "2" है, तो आपके पास द्विघात समीकरण है।

द्विघात समीकरणों के उदाहरण

• 5x 2 - 14x + 17 = 0
• −x 2 + x +

  1

  3

  = 0
• एक्स 2 + 0.25x = 0
• एक्स 2 - 8 = 0

जरूरी! द्विघात समीकरण का सामान्य दृश्य इस तरह दिखता है:

ए एक्स 2 + बी एक्स + सी = 0

• "ए" - पहला या सबसे महत्वपूर्ण गुणांक;
• "बी" दूसरा गुणांक है;
• "सी" एक स्वतंत्र सदस्य है।

"ए", "बी" और "सी" खोजने के लिए आपको द्विघात समीकरण "कुल्हाड़ी 2 + बीएक्स + सी = 0" के सामान्य रूप के साथ अपने समीकरण की तुलना करने की आवश्यकता है।

आइए द्विघात समीकरणों में गुणांक "ए", "बी" और "सी" को परिभाषित करने का अभ्यास करें।

• ए = -1
• बी = 1
• सी =

  1

  3

• ए = 1
• बी = 0.25
• सी = 0

• ए = 1
• बी = 0
• सी = −8

द्विघात समीकरणों को कैसे हल करें

रैखिक समीकरणों के विपरीत, द्विघात समीकरणों को हल करने के लिए, एक विशेष जड़ों को खोजने का सूत्र.

याद रखना!

द्विघात समीकरण को हल करने के लिए आपको चाहिए:

• द्विघात समीकरण को सामान्य रूप "ax 2 + bx + c = 0" में लाएं। यानी दायीं तरफ सिर्फ "0" ही रहना चाहिए;
• जड़ों के लिए सूत्र का प्रयोग करें:

आइए एक उदाहरण लेते हैं कि द्विघात समीकरण की जड़ों को खोजने के लिए सूत्र का उपयोग कैसे करें। आइए द्विघात समीकरण को हल करें।

एक्स 2 - 3x - 4 = 0

समीकरण "x 2 - 3x - 4 = 0" को पहले ही सामान्य रूप "ax 2 + bx + c = 0" में घटा दिया गया है और इसके लिए अतिरिक्त सरलीकरण की आवश्यकता नहीं है। इसे हल करने के लिए, हमें बस आवेदन करने की आवश्यकता है द्विघात समीकरण के मूल ज्ञात करने का सूत्र.

आइए इस समीकरण के लिए गुणांक "ए", "बी" और "सी" परिभाषित करें।

इसकी सहायता से कोई भी द्विघात समीकरण हल किया जाता है।

सूत्र "x 1; 2 =" में कट्टरपंथी अभिव्यक्ति को अक्सर बदल दिया जाता है
"B 2 - 4ac" अक्षर "D" के साथ और विवेचक कहलाता है। "विभेदक क्या है" पाठ में विवेचक की अवधारणा पर अधिक विस्तार से चर्चा की गई है।

द्विघात समीकरण के एक अन्य उदाहरण पर विचार करें।

एक्स 2 + 9 + एक्स = 7x

इस रूप में गुणांक "ए", "बी" और "सी" निर्धारित करना मुश्किल है। आइए पहले समीकरण को सामान्य रूप "ax 2 + bx + c = 0" पर लाएं।

एक्स 2 + 9 + एक्स = 7x
एक्स 2 + 9 + एक्स - 7x = 0
एक्स 2 + 9 - 6x = 0
एक्स 2 - 6x + 9 = 0

अब आप मूल सूत्र का उपयोग कर सकते हैं।

एक्स 1; 2 =
एक्स 1; 2 =
एक्स 1; 2 =
एक्स 1; 2 =
एक्स =

ऐसे समय होते हैं जब द्विघात समीकरणों में कोई जड़ें नहीं होती हैं। यह स्थिति तब होती है जब सूत्र में मूल के नीचे ऋणात्मक संख्या पाई जाती है।

इस गणित कार्यक्रम के साथ, आप कर सकते हैं द्विघात समीकरण हल करें.

कार्यक्रम न केवल समस्या का उत्तर देता है, बल्कि समाधान प्रक्रिया को दो तरीकों से प्रदर्शित करता है:
- विवेचक का उपयोग करना
- विएटा के प्रमेय का उपयोग करना (यदि संभव हो)।

इसके अलावा, उत्तर सटीक प्रदर्शित होता है, अनुमानित नहीं।
उदाहरण के लिए, समीकरण \ (81x ^ 2-16x-1 = 0 \) के लिए, उत्तर इस रूप में प्रदर्शित होता है:

गणित और बीजगणित में कई समस्याओं के समाधान को नियंत्रित करने के लिए माता-पिता के लिए परीक्षा से पहले ज्ञान की जाँच करते समय, परीक्षा और परीक्षा की तैयारी में माध्यमिक विद्यालयों के वरिष्ठ छात्रों के लिए यह कार्यक्रम उपयोगी हो सकता है। या हो सकता है कि आपके लिए ट्यूटर किराए पर लेना या नई पाठ्यपुस्तकें खरीदना बहुत महंगा हो? या क्या आप अपना गणित या बीजगणित का होमवर्क जल्द से जल्द पूरा करना चाहते हैं? इस मामले में, आप विस्तृत समाधान के साथ हमारे कार्यक्रमों का भी उपयोग कर सकते हैं।

इस प्रकार आप अपने छोटे भाई-बहनों के अध्यापन और/या शिक्षण का संचालन स्वयं कर सकते हैं, जबकि समस्याओं के समाधान के क्षेत्र में शिक्षा का स्तर बढ़ जाता है।

यदि आप वर्ग बहुपद में प्रवेश करने के नियमों से परिचित नहीं हैं, तो हम अनुशंसा करते हैं कि आप उनसे परिचित हों।

वर्ग बहुपद में प्रवेश करने के नियम

किसी भी लैटिन अक्षर को एक चर के रूप में इस्तेमाल किया जा सकता है।
उदाहरण के लिए: \ (x, y, z, a, b, c, o, p, q \) आदि।

संख्याओं को पूर्ण या भिन्नात्मक संख्याओं के रूप में दर्ज किया जा सकता है।
इसके अलावा, भिन्नात्मक संख्याओं को न केवल दशमलव के रूप में, बल्कि एक साधारण भिन्न के रूप में भी दर्ज किया जा सकता है।

दशमलव अंशों को दर्ज करने के नियम।
दशमलव भिन्नों में, पूर्ण से भिन्नात्मक भाग को एक बिंदु या अल्पविराम द्वारा अलग किया जा सकता है।
उदाहरण के लिए, आप इस तरह दशमलव अंश दर्ज कर सकते हैं: 2.5x - 3.5x ^ 2

साधारण भिन्नों को दर्ज करने के नियम।
अंश, हर और भिन्न के पूरे भाग के रूप में केवल एक पूर्णांक का उपयोग किया जा सकता है।

भाजक ऋणात्मक नहीं हो सकता।

एक संख्यात्मक अंश में प्रवेश करते समय, अंश को भाजक से हर से अलग किया जाता है: /
एम्परसेंड द्वारा पूरे भाग को भिन्न से अलग किया जाता है: &
इनपुट: 3 और 1/3 - 5 और 6 / 5z + 1 / 7z ^ 2
परिणाम: \ (3 \ फ़्रेक (1) (3) - 5 \ फ़्रेक (6) (5) z + \ फ़्रेक (1) (7) z ^ 2 \)

व्यंजक दर्ज करते समय कोष्ठक का उपयोग किया जा सकता है... इस मामले में, द्विघात समीकरण को हल करते समय, प्रस्तुत अभिव्यक्ति को पहले सरल बनाया जाता है।
उदाहरण के लिए: 1/2 (y-1) (y + 1) - (5y-10 और 1/2)

यह पाया गया कि इस समस्या को हल करने के लिए आवश्यक कुछ लिपियों को लोड नहीं किया गया था, और हो सकता है कि प्रोग्राम काम न करे।
शायद आपके पास एडब्लॉक सक्षम है।
इस मामले में, इसे अक्षम करें और पृष्ठ को ताज़ा करें।

चूंकि बहुत सारे लोग हैं जो समस्या को हल करना चाहते हैं, आपका अनुरोध कतार में है।
कुछ सेकंड के बाद, समाधान नीचे दिखाई देगा।
कृपया प्रतीक्षा करें सेकंड ...

यदि तुम निर्णय में त्रुटि देखी गई, तो आप इसके बारे में फीडबैक फॉर्म में लिख सकते हैं।
मत भूलो इंगित करें कि कौन सा कार्यआप तय करें और क्या खेतों में प्रवेश करें.

हमारे खेल, पहेलियाँ, अनुकरणकर्ता:

थोड़ा सिद्धांत।

द्विघात समीकरण और इसकी जड़ें। अपूर्ण द्विघात समीकरण

प्रत्येक समीकरण
\ (- x ^ 2 + 6x + 1,4 = 0, \ क्वाड 8x ^ 2-7x = 0, \ क्वाड x ^ 2- \ frac (4) (9) = 0 \)
रूप है
\ (कुल्हाड़ी ^ 2 + बीएक्स + सी = 0, \)
जहाँ x एक चर है, a, b और c संख्याएँ हैं।
पहले समीकरण में a = -1, b = 6 और c = 1.4, दूसरे में a = 8, b = -7 और c = 0, तीसरे में a = 1, b = 0 और c = 4/9। ऐसे समीकरण कहलाते हैं द्विघातीय समीकरण.

परिभाषा।
द्विघात समीकरण ax 2 + bx + c = 0 के रूप का एक समीकरण है, जहाँ x एक चर है, a, b और c कुछ संख्याएँ हैं, और \ (a \ neq 0 \)।

संख्याएँ a, b और c द्विघात समीकरण के गुणांक हैं। संख्या a को पहला गुणांक कहा जाता है, संख्या b - दूसरा गुणांक, और संख्या c - मुक्त पद।

फॉर्म के प्रत्येक समीकरण में ax 2 + bx + c = 0, जहां \ (a \ neq 0 \), चर x की सबसे बड़ी शक्ति वर्ग है। इसलिए नाम: द्विघात समीकरण।

ध्यान दें कि द्विघात समीकरण को दूसरी डिग्री का समीकरण भी कहा जाता है, क्योंकि इसका बायां भाग दूसरी डिग्री का बहुपद है।

एक द्विघात समीकरण जिसमें x 2 पर गुणांक 1 होता है, कहलाता है घटा हुआ द्विघात समीकरण... उदाहरण के लिए, कम द्विघात समीकरण समीकरण हैं
\ (x ^ 2-11x + 30 = 0, \ क्वाड x ^ 2-6x = 0, \ क्वाड x ^ 2-8 = 0 \)

यदि द्विघात समीकरण में ax 2 + bx + c = 0 कम से कम एक गुणांक b या c शून्य के बराबर हो, तो ऐसा समीकरण कहलाता है अधूरा द्विघात समीकरण... अतः समीकरण -2x 2 + 7 = 0, 3x 2 -10x = 0, -4x 2 = 0 अपूर्ण द्विघात समीकरण हैं। उनमें से पहले में b = 0, दूसरे में c = 0, तीसरे में b = 0 और c = 0.

अपूर्ण द्विघात समीकरण तीन प्रकार के होते हैं:
1) कुल्हाड़ी 2 + सी = 0, जहां \ (सी \ neq 0 \);
2) कुल्हाड़ी 2 + बीएक्स = 0, जहां \ (बी \ neq 0 \);
3) कुल्हाड़ी 2 = 0.

आइए इनमें से प्रत्येक प्रकार के समीकरणों के हल पर विचार करें।

\ (c \ neq 0 \) के लिए ax 2 + c = 0 रूप के अपूर्ण द्विघात समीकरण को हल करने के लिए, इसके मुक्त पद को दाईं ओर स्थानांतरित करें और समीकरण के दोनों पक्षों को a से विभाजित करें:
\ (x ^ 2 = - \ फ्रैक (सी) (ए) \ दायां तीर x_ (1,2) = \ अपराह्न \ sqrt (- \ फ्रैक (सी) (ए)) \)

चूँकि \ (c \ neq 0 \), तब \ (- \ frac (c) (a) \ neq 0 \)

यदि \ (- \ frac (c) (a)> 0 \), तो समीकरण के दो मूल हैं।

यदि \ (- \ फ्रैक (सी) (ए) फॉर्म के एक अपूर्ण द्विघात समीकरण को हल करने के लिए कुल्हाड़ी 2 + बीएक्स = 0 \ (बी \ neq 0 \) के साथ इसके बाईं ओर कारक है और समीकरण प्राप्त करें
\ (x (कुल्हाड़ी + बी) = 0 \ दायां तीर \ बाएं \ (\ प्रारंभ (सरणी) (एल) x = 0 \\ ax + b = 0 \ अंत (सरणी) \ दायां। \ दायां तीर \ बाएं \ (\ प्रारंभ (सरणी) (एल) x = 0 \\ x = - \ फ्रैक (बी) (ए) \ अंत (सरणी) \ दाएं। \)

इसका अर्थ यह है कि \ (b \ neq 0 \) के लिए ax 2 + bx = 0 के रूप में अपूर्ण द्विघात समीकरण के हमेशा दो मूल होते हैं।

कुल्हाड़ी 2 = 0 के रूप का एक अधूरा द्विघात समीकरण समीकरण x 2 = 0 के बराबर है और इसलिए इसका एक अद्वितीय मूल 0 है।

द्विघात समीकरण के मूलों का सूत्र

आइए अब विचार करें कि द्विघात समीकरणों को कैसे हल किया जाता है जिसमें अज्ञात के गुणांक और मुक्त पद दोनों अशून्य होते हैं।

आइए द्विघात समीकरण को सामान्य रूप में हल करें और परिणामस्वरूप हमें जड़ों के लिए सूत्र मिलता है। फिर इस सूत्र को किसी भी द्विघात समीकरण को हल करने के लिए लागू किया जा सकता है।

द्विघात समीकरण को हल करें ax 2 + bx + c = 0

इसके दोनों भागों को a से भाग देने पर, हमें तुल्य घटा हुआ द्विघात समीकरण प्राप्त होता है
\ (एक्स ^ 2 + \ फ़्रेक (बी) (ए) एक्स + \ फ़्रेक (सी) (ए) = 0 \)

हम द्विपद का वर्ग चुनकर इस समीकरण को रूपांतरित करते हैं:
\ (x ^ 2 + 2x \ cdot \ frac (b) (2a) + \ बाएँ (\ frac (b) (2a) \ दाएँ) ^ 2- \ बाएँ (\ frac (b) (2a) \ दाएँ) ^ 2 + \ फ़्रेक (सी) (ए) = 0 \ दायां तीर \)

मूलक अभिव्यक्ति कहलाती है द्विघात समीकरण का विवेचककुल्हाड़ी 2 + बीएक्स + सी = 0 (लैटिन में "विभेदक" - विवेचक)। इसे अक्षर D द्वारा निरूपित किया जाता है, अर्थात।
\ (डी = बी ^ 2-4ac \)

अब, विवेचक के संकेतन का उपयोग करते हुए, हम द्विघात समीकरण की जड़ों के लिए सूत्र को फिर से लिखते हैं:
\ (x_ (1,2) = \ frac (-b \ pm \ sqrt (D)) (2a) \), जहां \ (D = b ^ 2-4ac \)

यह स्पष्ट है कि:
1) यदि D> 0 है, तो द्विघात समीकरण के दो मूल हैं।
2) यदि D = 0 है, तो द्विघात समीकरण का एक मूल \ (x = - \ frac (b) (2a) \) है।
3) यदि डी इस प्रकार, विवेचक के मूल्य के आधार पर, द्विघात समीकरण के दो मूल हो सकते हैं (डी> 0 के लिए), एक मूल (डी = 0 के लिए) या जड़ें नहीं हैं (डी के लिए इसका उपयोग करके द्विघात समीकरण को हल करते समय सूत्र, इस प्रकार आगे बढ़ना उचित है:
1) विवेचक की गणना करें और इसकी तुलना शून्य से करें;
2) यदि विवेचक धनात्मक है या शून्य के बराबर है, तो मूल सूत्र का उपयोग करें, यदि विवेचक ऋणात्मक है, तो लिख लें कि कोई मूल नहीं है।

विएटा का प्रमेय

दिए गए द्विघात समीकरण ax 2 -7x + 10 = 0 के मूल 2 और 5 हैं। मूलों का योग 7 है और गुणनफल 10 है। हम देखते हैं कि मूलों का योग विपरीत के साथ लिए गए दूसरे गुणांक के बराबर है। चिन्ह है, और मूलों का गुणनफल मुक्त पद के बराबर है। जड़ों के साथ दिया गया कोई भी द्विघात समीकरण यह गुण रखता है।

दिए गए द्विघात समीकरण के मूलों का योग विपरीत चिह्न से लिए गए दूसरे गुणांक के बराबर होता है और मूलों का गुणनफल मुक्त पद के बराबर होता है।

वे। विएटा के प्रमेय में कहा गया है कि कम द्विघात समीकरण x 2 + px + q = 0 के मूल x 1 और x 2 में गुण हैं:
\ (\ बाएँ \ (\ प्रारंभ (सरणी) (l) x_1 + x_2 = -p \\ x_1 \ cdot x_2 = q \ अंत (सरणी) \ दाएँ। \)