नियम की ऋणात्मक संख्याओं का गुणन। ऋणात्मक संख्याओं का गुणन: नियम, उदाहरण

खुला पाठ विषय: "ऋणात्मक और धनात्मक संख्याओं का गुणन"

दिनांक: 17.03.2017

शिक्षक: वी.वी. कुत्सो

कक्षा: 6 ग्राम

पाठ का उद्देश्य और उद्देश्य:

दो ऋणात्मक संख्याओं और संख्याओं को भिन्न चिह्नों से गुणा करने के नियमों का परिचय दे सकेंगे;

गणितीय भाषण, कार्यशील स्मृति, स्वैच्छिक ध्यान, दृश्य-सक्रिय सोच के विकास को बढ़ावा देना;

बौद्धिक, व्यक्तिगत, भावनात्मक विकास की आंतरिक प्रक्रियाओं का गठन।

ललाट कार्य, व्यक्तिगत और समूह कार्य में व्यवहार की संस्कृति को बढ़ावा देना।

पाठ प्रकार: नए ज्ञान की प्राथमिक प्रस्तुति में एक पाठ

प्रशिक्षण के रूप: ललाट, जोड़ियों में काम करना, समूहों में काम करना, व्यक्तिगत काम।

शिक्षण विधियों: मौखिक (बातचीत, संवाद); दृश्य (उपदेशात्मक सामग्री के साथ काम); निगमनात्मक (विश्लेषण, ज्ञान का अनुप्रयोग, सामान्यीकरण, परियोजना गतिविधियाँ)।

अवधारणाएं और शर्तें : मापांक संख्या, धनात्मक और ऋणात्मक संख्याएँ, गुणन।

नियोजित परिणाम सीख रहा हूँ

अभ्यासों को हल करते समय धनात्मक और ऋणात्मक संख्याओं को गुणा करने का नियम लागू करें, दशमलव और साधारण भिन्नों को गुणा करने के नियमों को समेकित करें।

नियामक - शिक्षक की सहायता से पाठ में एक लक्ष्य को परिभाषित और तैयार करने में सक्षम हो; पाठ में क्रियाओं के क्रम का उच्चारण करना; सामूहिक रूप से तैयार योजना के अनुसार काम करना; कार्रवाई की शुद्धता का मूल्यांकन करें। हाथ में काम के अनुसार अपनी कार्रवाई की योजना बनाएं; कार्रवाई के पूरा होने के बाद, उसके आकलन के आधार पर और की गई गलतियों को ध्यान में रखते हुए आवश्यक समायोजन करना; अपना अनुमान लगाएं।संचारी - अपने विचारों को मौखिक रूप से तैयार करने में सक्षम हो; दूसरों के भाषण को सुनें और समझें; स्कूल में आचरण और संचार के नियमों पर संयुक्त रूप से सहमत हों और उनका पालन करें।

संज्ञानात्मक - अपने ज्ञान की प्रणाली में नेविगेट करने में सक्षम हो, शिक्षक की मदद से पहले से ज्ञात नए ज्ञान को अलग करने के लिए; नया ज्ञान प्राप्त करें; पाठ्यपुस्तक, अपने जीवन के अनुभव और पाठ में प्राप्त जानकारी का उपयोग करके प्रश्नों के उत्तर खोजें।

नई चीजें सीखने के लिए प्रेरणा के आधार पर सीखने के लिए एक जिम्मेदार दृष्टिकोण का गठन;

शैक्षिक गतिविधियों में साथियों के साथ संचार और सहयोग की प्रक्रिया में संचार क्षमता का गठन;

शैक्षिक गतिविधियों की सफलता की कसौटी के आधार पर स्व-मूल्यांकन करने में सक्षम हो; शैक्षिक गतिविधियों में सफलता पर ध्यान दें।

कक्षाओं के दौरान

पाठ के संरचनात्मक तत्व

उपदेशात्मक कार्य

अनुमानित शिक्षक गतिविधि

अनुमानित छात्र गतिविधियाँ

नतीजा

1.संगठनात्मक क्षण

सफल गतिविधि के लिए प्रेरणा

पाठ के लिए तत्परता की जाँच करना।

- शुभ दोपहर मित्रों! बैठिए! जांचें कि क्या पाठ के लिए सब कुछ तैयार है: नोटबुक और पाठ्यपुस्तक, डायरी और लेखन सामग्री।

आज आपको पाठ में अच्छे मूड में देखकर मुझे खुशी हो रही है।

एक-दूसरे की आंखों में देखें, मुस्कुराएं, आंखों से अपने दोस्त के काम करने के अच्छे मूड की कामना करें।

मैं आज भी आपके अच्छे काम की कामना करता हूं।

दोस्तों, आज के पाठ का आदर्श वाक्य फ्रांसीसी लेखक अनातोले फ्रांस का एक उद्धरण होगा:

"सीखना केवल मजेदार हो सकता है। ज्ञान को पचाने के लिए उसे भूख से आत्मसात करना चाहिए।"

दोस्तों, मुझे कौन बता सकता है कि भूख से ज्ञान को अवशोषित करने का क्या मतलब है?

तो आज के पाठ में हम बड़े मजे से ज्ञान को आत्मसात करेंगे, क्योंकि वे भविष्य में हमारे काम आएंगे।

इसलिए, बल्कि, हम नोटबुक खोलते हैं और संख्या लिखते हैं, बहुत अच्छा काम।

भावनात्मक रवैया

- रुचि के साथ, आनंद के साथ।

एक सबक शुरू करने की इच्छा

एक नया विषय सीखने के लिए सकारात्मक प्रेरणा

2. संज्ञानात्मक गतिविधि का सक्रियण

उन्हें नए ज्ञान और क्रिया के तरीकों को आत्मसात करने के लिए तैयार करें।

कवर की गई सामग्री के आधार पर एक फ्रंटल सर्वेक्षण व्यवस्थित करें।

दोस्तों, मुझे कौन बता सकता है कि गणित में सबसे महत्वपूर्ण कौशल क्या है? ( जाँच) सही।

तो मैं अब आपकी जाँच करूँगा कि आप कितनी अच्छी तरह गिन सकते हैं।

अब हम आपके साथ गणितीय अभ्यास करेंगे।

हम हमेशा की तरह काम करते हैं, मौखिक रूप से गिनते हैं, और उत्तर लिखित रूप में लिखते हैं। मैं आपको 1 मिनट देता हूं।

2,9+0,3=-2,6

9+0,3=9,3

6+7,21=13,21

15,22-3,34=-18,56

आइए उत्तरों की जांच करें।

हम उत्तरों की जाँच करेंगे, यदि आप उत्तर से सहमत हैं, तो ताली बजाएँ, यदि आप नहीं मानते हैं, तो अपने पैरों पर मुहर लगाएँ।

अच्छा किया लड़कों।

मुझे बताओ, हमने संख्याओं के साथ क्या कार्रवाई की?

चालान करते समय हमने किस नियम का उपयोग किया?

इन नियमों को तैयार करें।

छोटे-छोटे उदाहरणों को हल करके प्रश्नों के उत्तर दें।

जोड़ना और घटाना।

विभिन्न चिह्नों वाली संख्याएँ जोड़ें, ऋणात्मक चिह्नों वाली संख्याएँ जोड़ें और धनात्मक और ऋणात्मक संख्याओं को घटाएँ।

समस्या को हल करने के तरीके खोजने के लिए छात्रों की एक समस्याग्रस्त प्रश्न उठाने की तत्परता।

3. पाठ का विषय और उद्देश्य निर्धारित करने के लिए प्रेरणा

पाठ के विषय और उद्देश्य को तैयार करने के लिए छात्रों को प्रोत्साहित करें।

जोड़े में काम व्यवस्थित करें।

खैर, यह नई सामग्री सीखने का समय है, लेकिन पहले, आइए पिछले पाठों की सामग्री को दोहराएं। एक गणित पहेली पहेली इसमें हमारी मदद करेगी।

लेकिन यह पहेली पहेली सामान्य नहीं है, इसमें एक एन्क्रिप्टेड कीवर्ड है जो हमें आज के पाठ का विषय बताएगा।

दोस्तों, पहेली पहेली आपकी टेबल पर है, हम इसके साथ जोड़ियों में काम करेंगे। और एक बार जोड़े में, फिर मुझे याद दिलाएं कि यह जोड़े में कैसा है?

हमें जोड़े में काम करने का नियम याद था, लेकिन अब हम वर्ग पहेली को हल करना शुरू कर रहे हैं, मैं आपको 1.5 मिनट देता हूं। सब कुछ कौन करेगा, मेरे देखने के लिए कलम नीचे रखो।

(परिशिष्ट 1)

1. गिनती के लिए किन संख्याओं का प्रयोग किया जाता है?

2. मूल बिन्दु से किसी बिन्दु तक की दूरी कहलाती है?

3. वे संख्याएँ जो भिन्न द्वारा निरूपित की जाती हैं कहलाती हैं?

4. दो संख्याएँ जो केवल चिन्हों में एक दूसरे से भिन्न होती हैं, कहलाती हैं?

5. निर्देशांक रेखा पर शून्य के दाईं ओर कौन-सी संख्याएँ हैं?

6. क्या प्राकृत संख्याएं, विपरीत संख्याएं और शून्य कहलाती हैं?

7. किस संख्या को उदासीन कहा जाता है?

8. एक सीधी रेखा पर किसी बिंदु की स्थिति दर्शाने वाली संख्या?

9. निर्देशांक रेखा पर शून्य के बाईं ओर कौन-सी संख्याएँ हैं?

तो समय हो गया है। चलो पता करते हैं।

हमने पूरी पहेली पहेली को हल कर लिया है और इस प्रकार पिछले पाठों की सामग्री को दोहराया है। हाथ उठाओ, किसने सिर्फ एक गलती की और किसने दो? (तो तुम लोग महान हो)।

खैर, अब हम अपनी पहेली पहेली पर वापस आते हैं। शुरुआत में ही, मैंने कहा था कि इसमें एक एन्क्रिप्टेड शब्द है जो हमें पाठ का विषय बताएगा।

तो हमारे पाठ का विषय क्या है?

और आज हम आपके साथ क्या गुणा करने जा रहे हैं?

आइए सोचते हैं, इसके लिए हम उन संख्याओं के प्रकारों को याद करते हैं जिन्हें हम पहले से जानते हैं।

आइए सोचें, हम पहले से ही किन संख्याओं को गुणा कर सकते हैं?

आज हम किन संख्याओं को गुणा करना सीखेंगे?

पाठ का विषय एक नोटबुक में लिखें: "सकारात्मक और ऋणात्मक संख्याओं का गुणन।"

तो, दोस्तों, हमें पता चला कि आज हम पाठ में किस बारे में बात करने जा रहे हैं।

कृपया मुझे हमारे पाठ का उद्देश्य बताएं, आप में से प्रत्येक को क्या सीखना चाहिए और पाठ के अंत तक आपको क्या सीखने का प्रयास करना चाहिए?

दोस्तों, इस लक्ष्य को प्राप्त करने के लिए हमें आपके साथ कौन से कार्य हल करने होंगे?

बिलकुल सही। ये दो कार्य हैं जिन्हें आज हमें आपके साथ हल करना होगा।

वे जोड़ियों में काम करते हैं, पाठ का विषय और उद्देश्य निर्धारित करते हैं।

1.Natural

2.मॉड्यूल

3. तर्कसंगत

4.विपरीत

5. सकारात्मक

6. पूर्णांक

7. जीरो

8. समन्वय

9. नकारात्मक

- "गुणा"

सकारात्मक और नकारात्मक संख्या

"सकारात्मक और ऋणात्मक संख्याओं का गुणन"

पाठ का उद्देश्य:

सकारात्मक और नकारात्मक संख्याओं को गुणा करना सीखें

सबसे पहले, सकारात्मक और नकारात्मक संख्याओं को गुणा करने का तरीका जानने के लिए, आपको एक नियम प्राप्त करने की आवश्यकता है।

दूसरा, जब हमें नियम मिल जाए, तो हमें आगे क्या करना चाहिए? (उदाहरणों को हल करते समय इसे लागू करना सीखें)।

4. नया ज्ञान और अभिनय के तरीके सीखना

विषय पर नए ज्ञान में महारत हासिल करें।

- समूह कार्य को व्यवस्थित करें (नई सामग्री सीखना)

- अब, अपने लक्ष्य को प्राप्त करने के लिए, हम पहले कार्य पर आगे बढ़ेंगे, सकारात्मक और नकारात्मक संख्याओं को गुणा करने का नियम प्राप्त करेंगे।

और शोध कार्य इसमें हमारी मदद करेगा। और मुझे कौन बताएगा कि इसे शोध क्यों कहा जाता है? - इस काम में हम "सकारात्मक और नकारात्मक संख्याओं के गुणन" के नियमों की खोज करेंगे।

आपका शोध कार्य समूहों में होगा, कुल मिलाकर हमारे पास 5 शोध समूह होंगे।

उन्होंने मेरे दिमाग में दोहराया कि हमें एक समूह में कैसे काम करना चाहिए। अगर कोई भूल गया है तो नियम आपके सामने स्क्रीन पर हैं।

आपके शोध कार्य का उद्देश्य: कार्यों की खोज करते समय, कार्य संख्या 2 में "नकारात्मक और सकारात्मक संख्याओं का गुणन" नियम को धीरे-धीरे घटाएं, कार्य संख्या 1 में आपके पास कुल 4 कार्य हैं। और इन समस्याओं को हल करने के लिए, हमारे थर्मामीटर इसमें आपकी मदद करेंगे, प्रत्येक समूह में एक है।

अपने सभी नोट्स एक कागज के टुकड़े पर बना लें।

जैसे ही समूह के पास पहली समस्या का समाधान होता है, आप उसे बोर्ड पर दिखाते हैं।

आपको काम करने के लिए 5-7 मिनट का समय दिया जाता है।

(परिशिष्ट 2 )

समूहों में काम (तालिका भरें, अनुसंधान करें)

समूहों में काम करना बहुत आसान है

पांच नियमों का पालन करने में सक्षम हो:

पहला: बाधित न करें,

जब बताता है

दोस्त, चारों ओर सन्नाटा होना चाहिए;

दूसरा: जोर से मत चिल्लाओ,

और तर्क दें;

और तीसरा नियम सरल है:

तय करें कि आपके लिए क्या महत्वपूर्ण है;

चौथा: मौखिक रूप से जानना पर्याप्त नहीं है,

दर्ज किया जाना चाहिए;

और पाँचवाँ: योग करो, सोचो,

आप क्या कर सकते थे।

प्रभुत्व

पाठ के उद्देश्यों द्वारा निर्धारित ज्ञान और कार्रवाई के तरीके

5. फ़िज़ी

इस स्तर पर नई सामग्री को आत्मसात करने की शुद्धता स्थापित करें, गलत धारणाओं की पहचान करें और उनका सुधार करें

खैर, मैंने आपके सभी उत्तर तालिका में डाल दिए हैं, अब, आइए अपनी तालिका की प्रत्येक पंक्ति को देखें (प्रस्तुति देखें)

तालिका की जांच करते समय हम क्या निष्कर्ष निकाल सकते हैं।

1 पंक्ति। हम किन संख्याओं को गुणा कर रहे हैं? उत्तर क्या संख्या है?

2 पंक्ति। हम किन संख्याओं को गुणा कर रहे हैं? उत्तर क्या संख्या है?

3 पंक्ति। हम किन संख्याओं को गुणा कर रहे हैं? उत्तर क्या संख्या है?

4 लाइन। हम किन संख्याओं को गुणा कर रहे हैं? उत्तर क्या संख्या है?

और इसलिए आपने उदाहरणों का विश्लेषण किया, और नियम बनाने के लिए तैयार हैं, इसके लिए आपको दूसरे कार्य में अंतराल को भरना था।

किसी ऋणात्मक संख्या को धनात्मक संख्या से गुणा कैसे करें?

- मैं दो ऋणात्मक संख्याओं को कैसे गुणा करूं?

चलो थोड़ा आराम करो।

सकारात्मक उत्तर - बैठो, नकारात्मक - उठो।

5*6

2*2

7*(-4)

2*(-3)

8*(-8)

7*(-2)

5*3

4*(-9)

5*(-5)

9*(-8)

15*(-3)

7*(-6)

धनात्मक संख्याओं को गुणा करने पर उत्तर हमेशा एक धनात्मक संख्या होता है।

ऋणात्मक संख्या को धनात्मक संख्या से गुणा करने पर उत्तर में ऋणात्मक संख्या हमेशा प्राप्त होती है।

ऋणात्मक संख्याओं को गुणा करने पर उत्तर सदैव धनात्मक होता है।

किसी धनात्मक संख्या को ऋणात्मक संख्या से गुणा करने पर ऋणात्मक संख्या उत्पन्न होती है।

दो संख्याओं को भिन्न चिह्नों से गुणा करने के लिए, आपको चाहिएगुणा इन नंबरों के मॉड्यूल और परिणामी संख्या के सामने "-" चिन्ह लगाएं।

- दो ऋणात्मक संख्याओं को गुणा करने के लिए, आपको चाहिएगुणा उनके मॉड्यूल और परिणामी संख्या के सामने एक चिन्ह लगाएं «+».

विद्यार्थी शारीरिक व्यायाम करते हैं, नियमों को पुष्ट करते हैं।

थकान को रोकें

7. नई सामग्री की प्रारंभिक सुरक्षा

अर्जित ज्ञान को व्यवहार में लागू करने की क्षमता में महारत हासिल करना।

कवर की गई सामग्री पर ललाट और स्वतंत्र कार्य व्यवस्थित करें।

आइए नियमों को ठीक करें, और हम एक दूसरे को इन्हीं नियमों के एक जोड़े के रूप में बताएंगे। मैं आपको इसके लिए एक मिनट दूंगा।

मुझे बताओ, क्या अब हम उदाहरणों को हल करने के लिए आगे बढ़ सकते हैं? हाँ हम कर सकते हैं।

उद्घाटन पृष्ठ 192 # 1121

हम सब मिलकर पहली और दूसरी पंक्तियाँ बनाएंगे a) ५ * (- ६) = ३०

बी) 9 * (- 3) = - 27

छ) 0.7 * (- 8) = - 5.6

ज) -0.5 * 6 = -3

n) १.२ * (- १४) = - १६.८

ओ) -20.5 * (- 46) = 943

ब्लैकबोर्ड पर तीन लोग

उदाहरणों को हल करने के लिए आपको 5 मिनट का समय दिया जाता है।

और हम सब कुछ एक साथ जांचते हैं।

जोड़े में रचनात्मक कार्य (परिशिष्ट 3)

संख्याएँ डालें ताकि प्रत्येक मंजिल पर उनका उत्पाद घर की छत पर संख्या के बराबर हो।

प्राप्त ज्ञान को लागू करके उदाहरणों को हल करें

हाथ उठाएं जिनसे कोई गलती नहीं हुई, अच्छा किया….

जीवन में ज्ञान को लागू करने के लिए छात्रों की सक्रिय क्रियाएं।

9. प्रतिबिंब (पाठ सारांश, छात्रों के प्रदर्शन परिणामों का आकलन)

छात्रों का प्रतिबिंब प्रदान करें, अर्थात। उनके प्रदर्शन का आकलन

पाठ का रैप-अप व्यवस्थित करें

हमारा पाठ समाप्त हो गया है, आइए संक्षेप में बताते हैं।

आइए अपने पाठ का विषय फिर से याद करें? हमने क्या लक्ष्य निर्धारित किया? - क्या हमने यह लक्ष्य हासिल किया?

इस विषय ने आपके लिए क्या कठिनाइयाँ पैदा कीं?

- दोस्तों, पाठ में अपने काम का मूल्यांकन करने के लिए, आपको अपनी टेबल पर मौजूद मंडलियों में एक स्माइली चेहरा बनाना चाहिए।

एक मुस्कुराते हुए इमोटिकॉन का मतलब है कि आप सब कुछ समझते हैं। हरे रंग का मतलब है कि आप समझते हैं, लेकिन आपको अभ्यास करने की ज़रूरत है, और एक उदास स्माइली, अगर आपको कुछ भी समझ में नहीं आता है। (मैं आधा मिनट देता हूं)

अच्छा दोस्तों, क्या आप यह दिखाने के लिए तैयार हैं कि आपने आज अपना पाठ कैसे किया? तो, हम उठाते हैं और, मैं भी आपके लिए एक स्माइली उठाता हूं।

मैं आज कक्षा में आपसे बहुत प्रसन्न हूँ! मैं देखता हूं कि हर कोई सामग्री को समझ गया है। दोस्तों, तुम महान हो!

सबक खत्म हो गया है, आपके ध्यान के लिए धन्यवाद!

सवालों के जवाब दें, उनके काम का मूल्यांकन करें

हा हमने किया।

पाठ के सकारात्मक और नकारात्मक पहलुओं की पहचान करने के लिए अपने कार्यों के हस्तांतरण और समझ के लिए छात्रों का खुलापन

10 .होमवर्क की जानकारी

होमवर्क करने के उद्देश्य, सामग्री और तरीके की समझ प्रदान करें

होमवर्क के उद्देश्य की समझ प्रदान करता है।

होम वर्क:

1. गुणन के नियम जानें
2.नंबर 1121 (3 कॉलम)।
3. रचनात्मक कार्य: कई उत्तरों के साथ 5 प्रश्नों का परीक्षण करें।

वे अपना होमवर्क लिखते हैं, समझने और समझने की कोशिश करते हैं।

कार्य और छात्रों के विकास के स्तर के अनुसार सभी छात्रों द्वारा होमवर्क के सफल समापन के लिए शर्तों को प्राप्त करने की आवश्यकता का एहसास

अब चलो निपटते हैं गुणन और भाग.

मान लीजिए कि हम +3 को -4 से गुणा करना चाहते हैं। यह कैसे करना है?

आइए इस मामले पर विचार करें। तीन लोग कर्ज में हैं, और प्रत्येक पर 4 डॉलर का कर्ज है। कुल कर्ज क्या है? इसे खोजने के लिए, आपको तीनों ऋणों को जोड़ना होगा: $ 4 + $ 4 + $ 4 = $ 12। हमने तय किया कि तीन संख्याओं 4 का योग 3 × 4 के रूप में दर्शाया गया है। चूंकि हम इस मामले में कर्ज के बारे में बात कर रहे हैं, इसलिए 4 के सामने "-" है। हम जानते हैं कि कुल कर्ज 12 डॉलर है, इसलिए अब हमारी समस्या 3x (-4) = - 12 जैसी दिखती है।

हमें वही परिणाम मिलेगा, यदि समस्या कथन के अनुसार, चार लोगों में से प्रत्येक पर $ 3 का कर्ज है। दूसरे शब्दों में, (+4) x (-3) = - 12. और चूँकि गुणनखंडों का क्रम मायने नहीं रखता, हमें (-4) x (+3) = - 12 और (+4) x (-3) = - 12 प्राप्त होता है।

आइए परिणामों को संक्षेप में प्रस्तुत करें। जब आप एक धनात्मक और एक ऋणात्मक संख्या को गुणा करते हैं, तो परिणाम हमेशा ऋणात्मक होता है। उत्तर का संख्यात्मक मान वही होगा जो धनात्मक संख्याओं के मामले में होता है। उत्पाद (+4) x (+3) = + 12. "-" चिन्ह की उपस्थिति केवल चिन्ह को प्रभावित करती है, लेकिन संख्यात्मक मान को प्रभावित नहीं करती है।

आप दो ऋणात्मक संख्याओं को कैसे गुणा करते हैं?

दुर्भाग्य से, इस विषय पर जीवन से एक उपयुक्त उदाहरण के साथ आना बहुत मुश्किल है। $ 3 या $ 4 के ऋण की कल्पना करना आसान है, लेकिन एक -4 या -3 व्यक्ति के कर्ज में जाने की कल्पना करना पूरी तरह से असंभव है।

शायद हम दूसरे रास्ते से जाएंगे। गुणन में, जब किसी एक कारक का चिन्ह बदल जाता है, तो उत्पाद का चिन्ह बदल जाता है। यदि हम दोनों गुणकों के चिह्न बदलते हैं, तो हमें दो बार बदलना होगा कार्य चिह्न, पहले सकारात्मक से नकारात्मक की ओर, और फिर इसके विपरीत, ऋणात्मक से धनात्मक की ओर, अर्थात उत्पाद का प्रारंभिक चिह्न होगा।

इसलिए, यह काफी तार्किक है, हालांकि थोड़ा अजीब है, कि (-3) x (-4) = + 12।

चिन्ह की स्थितिगुणा करने पर, इस तरह बदलता है:

• धनात्मक संख्या x धनात्मक संख्या = धनात्मक संख्या;
• ऋणात्मक संख्या x धनात्मक संख्या = ऋणात्मक संख्या;
• धनात्मक संख्या x ऋणात्मक संख्या = ऋणात्मक संख्या;
• ऋणात्मक संख्या x ऋणात्मक संख्या = धनात्मक संख्या।

दूसरे शब्दों में, दो संख्याओं को एक ही चिन्ह से गुणा करने पर हमें एक धनात्मक संख्या प्राप्त होती है. दो संख्याओं को अलग-अलग चिह्नों से गुणा करने पर, हमें एक ऋणात्मक संख्या प्राप्त होती है.

गुणन के विपरीत क्रिया के लिए भी यही नियम सत्य है - के लिए।

आप इसे होल्ड करके आसानी से वेरिफाई कर सकते हैं उलटा गुणन संचालन... यदि ऊपर दिए गए प्रत्येक उदाहरण में, आप भागफल को भाजक से गुणा करते हैं, तो आपको लाभांश मिलता है, और सुनिश्चित करें कि यह एक ही चिन्ह है, उदाहरण के लिए (-3) x (-4) = (+ 12)।

चूंकि सर्दी आ रही है, यह सोचने का समय है कि अपने लोहे के घोड़े के जूते क्या बदलें, ताकि बर्फ पर न फिसलें और सर्दियों की सड़कों पर आत्मविश्वास महसूस करें। उदाहरण के लिए, आप साइट पर योकोहामा टायर ले सकते हैं: mvo.ru या कुछ अन्य, मुख्य बात यह है कि यह उच्च गुणवत्ता का है, आप Mvo.ru वेबसाइट पर अधिक जानकारी और कीमतों का पता लगा सकते हैं।

पीछे आगे

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पाठ मकसद।

विषय:

• ऋणात्मक संख्याओं और संख्याओं को भिन्न-भिन्न चिह्नों से गुणा करने का नियम बनाइए,
• छात्रों को इस नियम को लागू करना सिखाएं।

मेटासब्जेक्ट:

• प्रस्तावित एल्गोरिथ्म के अनुसार काम करने की क्षमता बनाने के लिए, उनके कार्यों का एक योजना-आरेख तैयार करना,
• आत्म-नियंत्रण कौशल विकसित करना।

निजी:

• संचार कौशल विकसित करें,
• छात्रों की संज्ञानात्मक रुचि बनाने के लिए।

उपकरण:कंप्यूटर, स्क्रीन, मल्टीमीडिया प्रोजेक्टर, पॉवरपॉइंट प्रेजेंटेशन, हैंडआउट्स: नियम लिखने के लिए टेबल, टेस्ट।

(पाठ्यपुस्तक एन। हां। विलेनकिन "गणित। ग्रेड 6", एम: "मेनमोसिन", 2013।)

कक्षाओं के दौरान

I. संगठनात्मक क्षण।

पाठ के विषय को पोस्ट करना और छात्रों द्वारा नोटबुक में विषय लिखना।

द्वितीय. प्रेरणा।

स्लाइड नंबर 2। (पाठ का उद्देश्य। पाठ योजना)।

आज हम एक महत्वपूर्ण अंकगणितीय गुण - गुणन का अध्ययन जारी रखेंगे।

आप पहले से ही जानते हैं कि प्राकृतिक संख्याओं का गुणन कैसे किया जाता है - मौखिक रूप से और एक कॉलम में,

दशमलव और भिन्नों को गुणा करना सीखा। आज आप विभिन्न चिन्हों वाली ऋणात्मक संख्याओं और संख्याओं के गुणन का नियम बनाने जा रहे हैं। और न केवल तैयार करना है, बल्कि यह भी सीखना है कि इसे कैसे लागू किया जाए।

III. ज्ञान अद्यतन।

१)स्लाइड नंबर ३.

समीकरणों को हल करें: ए) एक्स: 1.8 = 0.15; बी) वाई: =। (ब्लैकबोर्ड पर छात्र)

निष्कर्ष: ऐसे समीकरणों को हल करने के लिए, आपको विभिन्न संख्याओं को गुणा करने में सक्षम होना चाहिए।

2) घर के स्वतंत्र काम की जाँच करना। दशमलव भिन्नों, भिन्नों और मिश्रित संख्याओं को गुणा करने के नियमों की पुनरावृत्ति। (स्लाइड नंबर 4 और नंबर 5)।

चतुर्थ। नियम का निरूपण।

कार्य 1 (स्लाइड संख्या 6) पर विचार करें।

कार्य 2 (स्लाइड संख्या 7) पर विचार करें।

समस्याओं को हल करने की प्रक्रिया में, हमें विभिन्न चिह्नों और ऋणात्मक संख्याओं के साथ संख्याओं का गुणन करना था। आइए इस गुणन और इसके परिणामों पर करीब से नज़र डालें।

विभिन्न चिह्नों से संख्याओं को गुणा करने पर हमें एक ऋणात्मक संख्या प्राप्त होती है।

आइए एक और उदाहरण देखें। गुणन को समान पदों के योग से प्रतिस्थापित करके (-2) * 3 गुणनफल ज्ञात कीजिए। गुणनफल 3 * (-2) को इसी प्रकार ज्ञात कीजिए। (चेक-स्लाइड नंबर 8)।

प्रशन:

१) विभिन्न चिन्हों से संख्याओं को गुणा करने पर परिणाम का चिन्ह क्या होता है?

2) परिणाम मॉड्यूल कैसे प्राप्त किया जाता है? हम अलग-अलग चिह्नों से संख्याओं को गुणा करने का नियम बनाते हैं और नियम को तालिका के बाएँ कॉलम में लिखते हैं। (स्लाइड संख्या 9 और परिशिष्ट 1)।

ऋणात्मक संख्याओं और संख्याओं को भिन्न चिह्नों से गुणा करने का नियम।

आइए दूसरी समस्या पर वापस जाएं, जिसमें हमने दो ऋणात्मक संख्याओं का गुणन किया था। इस तरह के गुणन को दूसरे तरीके से समझाना मुश्किल है।

आइए 18वीं शताब्दी में महान रूसी वैज्ञानिक (स्विट्जरलैंड के मूल निवासी), गणितज्ञ और मैकेनिक लियोनार्ड यूलर द्वारा दिए गए स्पष्टीकरण का उपयोग करें। (लियोनार्ड यूलर ने न केवल वैज्ञानिक कार्यों को पीछे छोड़ दिया, बल्कि अकादमिक व्यायामशाला के छात्रों के लिए गणित पर कई पाठ्यपुस्तकें भी लिखीं)।

तो, यूलर ने परिणाम को मोटे तौर पर इस प्रकार समझाया। (स्लाइड नंबर 10)।

यह स्पष्ट है कि -2 · 3 = - 6. इसलिए, उत्पाद (-2) · (-3) -6 के बराबर नहीं हो सकता। हालांकि, यह किसी तरह संख्या 6 से संबंधित होना चाहिए। एक संभावना बनी हुई है: (-2) · (-3) = 6..

प्रशन:

१) काम की निशानी क्या है?

2) कार्य मॉड्यूल कैसे प्राप्त किया गया?

हम ऋणात्मक संख्याओं को गुणा करने के लिए नियम बनाते हैं, तालिका के दाहिने कॉलम में भरें। (स्लाइड नंबर 11)।

गुणा करते समय संकेतों के नियम को याद रखना आसान बनाने के लिए, आप पद्य में इसके सूत्रीकरण का उपयोग कर सकते हैं। (स्लाइड नंबर 12)।

प्लस घटाकर, गुणा करना
हम बिना जम्हाई लिए माइनस लगाते हैं।
माइनस को माइनस से गुणा करें
आइए जवाब में एक प्लस डालें!

वी. कौशल निर्माण।

आइए जानें कि इस नियम को गणनाओं पर कैसे लागू किया जाए। आज के पाठ में हम केवल पूर्णांकों और दशमलव भिन्नों के साथ गणना करेंगे।

1) कार्यों की एक योजना तैयार करना।

नियम लागू करने की योजना तैयार की गई है। बोर्ड पर नोट्स बनाए जाते हैं। स्लाइड 13 पर एक अनुमानित आरेख।

2) योजना के अनुसार कार्य करना।

हम पाठ्यपुस्तक संख्या 1121 (बी, सी, यू, के, एन, पी) से हल करते हैं। हम तैयार योजना के अनुसार निर्णय लेते हैं। एक छात्र प्रत्येक उदाहरण की व्याख्या करता है। उसी समय, समाधान को स्लाइड 14 पर प्रदर्शित किया गया है।

3) जोड़े में काम करें।

स्लाइड नंबर 15 पर असाइनमेंट।

छात्र विकल्पों के माध्यम से काम करते हैं। सबसे पहले, विकल्प 1 का छात्र विकल्प 2 को हल करता है और समझाता है, विकल्प 2 से एक छात्र ध्यान से सुनता है, यदि आवश्यक हो तो मदद करता है और सुधार करता है, और फिर छात्र भूमिकाएं बदलते हैं।

उन जोड़ों के लिए अतिरिक्त कार्य जो पहले काम पूरा कर लेते हैं: नंबर 1125।

काम के अंत में, स्लाइड नंबर 15 पर पोस्ट किए गए तैयार समाधान के अनुसार सत्यापन किया जाता है (एनीमेशन का उपयोग किया जाता है)।

यदि कई नंबर 1125 को हल करने में कामयाब रहे, तो (? 1) से गुणा करने पर संख्या के संकेत में परिवर्तन के बारे में निष्कर्ष निकाला जाता है।

4) मनोवैज्ञानिक राहत।

5) स्वतंत्र कार्य।

स्वतंत्र कार्य - स्लाइड नंबर 17 पर पाठ। कार्य पूरा करने के बाद - तैयार समाधान के अनुसार स्व-परीक्षण (स्लाइड नंबर 17 - एनीमेशन, स्लाइड नंबर 18 का हाइपरलिंक)।

वी.आई. अध्ययन की गई सामग्री के आत्मसात करने के स्तर की जाँच करना। प्रतिबिंब।

छात्र परीक्षा देते हैं। उसी कागज के टुकड़े पर, वे पाठ में अपने काम का मूल्यांकन करते हैं, तालिका भरते हैं।

गुणन नियम परीक्षण। विकल्प 1।

1) –13 * 5

ए -75। बी - 65.एच 65.जी 650।

2) –5 * (–33)

ए. 165. बी. -165. एच. 350 जी.-265।

3) –18 * (–9)

ए -162। बी 180.एच 162.जी 172।

4) –7 * (–11) * (–1)

ए. 77. बी. 0. वी. - 77. जी 72.

गुणन नियम परीक्षण। विकल्प 2।

ए. 84. बी. 74. वी.-84. जी. 90.

2) –15 * (–6)

ए 80. बी -90। एच. 60. जी. 90.

ए 115. बी -165। वी. 165.जी.0.

4) –6 * (–12) * (–1)

ए. 60. बी.-72. वी. 72.जी.54.

vii. होम वर्क।

पी. 35, नियम, संख्या 1143 (ए - एच), संख्या 1145 (सी)।

साहित्य।

1) विलेनकिन एन.वाई.ए., झोखोव वी.आई., चेस्नोकोव ए.एस., श्वार्ट्सबर्ड एस.आई. "गणित 6. शैक्षिक संस्थानों के लिए पाठ्यपुस्तक", - एम: "मेनेमोसिन", 2013।

2) चेसनोकोव ए.एस., नेशकोव के.आई. "ग्रेड 6 के लिए गणित में उपदेशात्मक सामग्री", एम: "ज्ञानोदय", 2013।

3) निकोल्स्की एस.एम. और अन्य। "अंकगणित 6": शैक्षणिक संस्थानों के लिए एक पाठ्यपुस्तक, एम: "शिक्षा", 2010।

4) एर्शोवा ए.पी., गोलोबोरोडको वी.वी. "ग्रेड 6 के लिए गणित में स्वतंत्र और टेस्ट पेपर"। एम: "इलेक्सा", 2010।

5) "365 ट्रिकी प्रॉब्लम्स", जी. गोलूबकोवा द्वारा संकलित, एम: "एएसटी-प्रेस", 2006।

6) "सिरिल और मेथोडियस 2010 का महान विश्वकोश", 3 सीडी।

इस लेख में, हम ऋणात्मक संख्याओं को गुणा करने का नियम तैयार करेंगे और समझाएंगे। ऋणात्मक संख्याओं को गुणा करने की प्रक्रिया पर विस्तार से चर्चा की जाएगी। उदाहरण सभी संभावित मामलों को दिखाते हैं।

यांडेक्स.आरटीबी आर-ए-339285-1

ऋणात्मक संख्याओं का गुणन

ऋणात्मक संख्याओं को गुणा करने का नियमयह है कि दो नकारात्मक संख्याओं को गुणा करने के लिए, आपको उनके मॉड्यूल को गुणा करना होगा। यह नियम इस प्रकार लिखा गया है: किसी भी ऋणात्मक संख्या - a, - b के लिए, यह समानता सत्य मानी जाती है।

(- ए) (- बी) = ए बी।

ऊपर दो ऋणात्मक संख्याओं को गुणा करने का नियम है। इसके आधार पर, हम व्यंजक सिद्ध करते हैं: (- a) (- b) = a b। विभिन्न चिह्नों के साथ संख्याओं का लेख गुणन बताता है कि समानताएँ a (- b) = - a b उचित हैं, साथ ही (- a) b = - a b। यह विपरीत संख्याओं के गुण से इस प्रकार निकलता है, जिसके कारण समानताएँ इस प्रकार लिखी जाएँगी:

(- ए) (- बी) = (- ए (- बी)) = - (- (ए बी)) = ए बी।

यहां आप ऋणात्मक संख्याओं को गुणा करने के नियम का प्रमाण स्पष्ट रूप से देख सकते हैं। उदाहरणों के आधार पर, यह स्पष्ट है कि दो ऋणात्मक संख्याओं का गुणनफल एक धनात्मक संख्या होती है। संख्याओं के निरपेक्ष मानों को गुणा करते समय, परिणाम हमेशा एक सकारात्मक संख्या होता है।

यह नियम वास्तविक संख्याओं, परिमेय संख्याओं और पूर्ण संख्याओं के गुणन पर लागू होता है।

अब आइए दो ऋणात्मक संख्याओं को गुणा करने के उदाहरणों पर करीब से नज़र डालें। गणना करते समय, आपको ऊपर लिखे नियम का उपयोग करना चाहिए।

उदाहरण 1

संख्याओं को गुणा करें - 3 और - 5।

समाधान।

मोडुलो डेटा गुणा किया जा रहा है, दो संख्याएं सकारात्मक संख्या 3 और 5 के बराबर हैं। उनके उत्पाद का परिणाम 15 होता है। यह इस प्रकार है कि दी गई संख्याओं का गुणनफल 15 . है

आइए हम संक्षेप में ऋणात्मक संख्याओं के गुणन को ही लिखें:

(- 3) (- 5) = ३ ५ = १५

उत्तर: (- 3) (- 5) = 15.

नकारात्मक परिमेय संख्याओं को गुणा करते समय, विश्लेषण किए गए नियम को लागू करते हुए, आप अंशों को गुणा करने, मिश्रित संख्याओं को गुणा करने, दशमलव अंशों को गुणा करने के लिए स्वयं को जुटा सकते हैं।

उदाहरण 2

उत्पाद की गणना करें (- 0, 125) · (- 6)।

समाधान।

ऋणात्मक संख्याओं को गुणा करने के नियम का प्रयोग करते हुए, हम पाते हैं कि (- 0, 125) (- 6) = 0, 125 6. परिणाम प्राप्त करने के लिए, आपको दशमलव अंश को स्तंभों की प्राकृतिक संख्या से गुणा करना होगा। यह इस तरह दिख रहा है:

हमने पाया कि व्यंजक (- 0, 125) (- 6) = 0, 125 6 = 0, 75 का रूप लेगा।

उत्तर: (- 0, 125) (- 6) = 0, 75।

यदि गुणनखंड अपरिमेय संख्याएँ हैं, तो उनके गुणनफल को संख्यात्मक व्यंजक के रूप में लिखा जा सकता है। आवश्यकता होने पर ही मूल्य की गणना की जाती है।

उदाहरण 3

ऋणात्मक - 2 को गैर-ऋणात्मक लघुगणक 5 1 3 से गुणा करना आवश्यक है।

समाधान

हमें दी गई संख्याओं के मॉड्यूल मिलते हैं:

2 = 2 और लघुगणक 5 1 3 = - लघुगणक 5 3 = लघुगणक 5 3।

ऋणात्मक संख्याओं को गुणा करने के नियमों का पालन करते हुए, हमें परिणाम मिलता है - २ · लॉग ५ १ ३ = - २ · लॉग ५ ३ = २ · लॉग ५ ३। यह अभिव्यक्ति उत्तर है।

उत्तर: - 2 लघुगणक 5 1 3 = - 2 लघुगणक 5 3 = 2 लघुगणक 5 3.

विषय का अध्ययन जारी रखने के लिए, आपको वास्तविक संख्याओं को गुणा करने वाले अनुभाग को दोहराना होगा।

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उद्देश्य १.बिंदु 4 dm की गति से एक सीधी रेखा में बाएँ से दाएँ चलता है। प्रति सेकंड और वर्तमान में बिंदु A से गुजर रहा है। 5 सेकंड के बाद गतिमान बिंदु कहाँ होगा?

यह पता लगाना आसान है कि बिंदु 20 इंच पर होगा। A के दाईं ओर। आइए इस समस्या का हल सापेक्ष संख्याओं में लिखें। ऐसा करने के लिए, हम निम्नलिखित संकेतों में सहमत होंगे:

१) दायीं ओर की गति को + चिन्ह से और बायीं ओर को - चिन्ह से दर्शाया जाएगा, २) A से दायीं ओर गतिमान बिंदु की दूरी को + चिन्ह और बायीं ओर a से दर्शाया जाएगा। - चिन्ह, ३) वर्तमान क्षण के बाद का समय अंतराल a + चिह्न द्वारा और वर्तमान क्षण तक a - चिह्न द्वारा। हमारी समस्या में निम्नलिखित संख्याएँ दी गई हैं: गति = + 4 डीएम। प्रति सेकंड, समय = + 5 सेकंड और यह निकला, जैसा कि उन्होंने अंकगणितीय रूप से निकाला, संख्या + 20 डीएम।, 5 सेकंड में ए से चलती बिंदु की दूरी को व्यक्त करते हुए। समस्या के अर्थ के अनुसार, हम देखते हैं कि यह गुणन को संदर्भित करता है। इसलिए, समस्या का समाधान लिखना सुविधाजनक है:

(+ 4) ∙ (+ 5) = + 20.

उद्देश्य २.बिंदु 4 dm की गति से एक सीधी रेखा में बाएँ से दाएँ चलता है। प्रति सेकंड और वर्तमान में बिंदु A से गुजर रहा है। 5 सेकंड पहले यह बिंदु कहाँ था?

उत्तर स्पष्ट है: बिंदु A के बाईं ओर 20 dm की दूरी पर था।

संकेतों के संबंध में शर्तों के अनुसार समाधान सुविधाजनक है, और यह ध्यान में रखते हुए कि समस्या का अर्थ नहीं बदला है, इसे निम्नानुसार लिखा जा सकता है:

(+ 4) ∙ (– 5) = – 20.

उद्देश्य 3.बिंदु 4 dm की गति से एक सीधी रेखा में दाएँ से बाएँ चलता है। प्रति सेकंड और वर्तमान में बिंदु A से गुजर रहा है। 5 सेकंड के बाद गतिमान बिंदु कहाँ होगा?

उत्तर स्पष्ट है: 20 डीएम। ए के बाईं ओर। इसलिए, संकेतों के संबंध में समान शर्तों के अनुसार, हम इस समस्या का समाधान इस प्रकार लिख सकते हैं:

(– 4) ∙ (+ 5) = – 20.

कार्य 4.बिंदु 4 dm की गति से एक सीधी रेखा में दाएँ से बाएँ चलता है। प्रति सेकंड और वर्तमान में बिंदु A से गुजर रहा है। 5 सेकंड पहले गतिमान बिंदु कहाँ था?

उत्तर स्पष्ट है: 20 इंच की दूरी पर। ए के दाईं ओर। इसलिए, इस समस्या का समाधान इस प्रकार लिखा जाना चाहिए:

(– 4) ∙ (– 5) = + 20.

जिन समस्याओं पर विचार किया गया है, वे बताती हैं कि गुणा की क्रिया को सापेक्ष संख्याओं तक कैसे बढ़ाया जाए। हमारे पास समस्याओं के सभी संभावित संयोजनों के साथ संख्याओं के गुणन के 4 मामले हैं:

1) (+ 4) ∙ (+ 5) = + 20;
2) (+ 4) ∙ (– 5) = – 20;
3) (– 4) ∙ (+ 5) = – 20;
4) (– 4) ∙ (– 5) = + 20.

सभी चार स्थितियों में, इन संख्याओं के निरपेक्ष मानों को गुणा किया जाना चाहिए, गुणनखंडों के समान चिह्न होने पर गुणनफल को + चिह्न दिया जाना चाहिए (पहली और चौथी स्थिति) और चिन्ह - जब गुणकों के अलग-अलग चिन्ह हों(मामले 2 और 3)।

यहाँ से हम देखते हैं कि गुणक और गुणक के क्रमपरिवर्तन से गुणनफल नहीं बदलता है।

व्यायाम।

आइए गणना के लिए एक उदाहरण दें, जिसमें जोड़ और घटाव और गुणा शामिल है।

क्रियाओं के क्रम को भ्रमित न करने के लिए, आइए हम सूत्र पर ध्यान दें

दो जोड़ी संख्याओं के गुणनफल का योग यहाँ लिखा गया है: इसलिए, आपको पहले संख्या a को संख्या b से गुणा करना होगा, फिर संख्या c को संख्या d से गुणा करना होगा और फिर परिणामी उत्पादों को जोड़ना होगा। सूत्र में भी

आपको पहले संख्या b को c से गुणा करना होगा और फिर परिणामी गुणनफल को a से घटाना होगा।

यदि संख्या a और b के गुणनफल को c में जोड़ना और परिणामी योग को d से गुणा करना आवश्यक था, तो कोई लिखेगा: (ab + c) d (सूत्र ab + cd से तुलना करें)।

यदि संख्या a और b के बीच के अंतर को c से गुणा करना आवश्यक था, तो वे (a - b) c (सूत्र a - bc से तुलना करें) लिखेंगे।

इसलिए, हम सामान्य रूप से स्थापित करेंगे कि यदि क्रियाओं का क्रम कोष्ठक द्वारा इंगित नहीं किया गया है, तो हमें पहले गुणा करना होगा, और फिर जोड़ या घटाव करना होगा।

आइए अपनी अभिव्यक्ति की गणना शुरू करें: आइए पहले सभी छोटे कोष्ठकों के अंदर लिखे गए जोड़ को निष्पादित करें, हमें मिलता है:

अब हमें वर्गाकार कोष्ठकों में गुणा करना होगा और फिर परिणामी गुणनफल को इसमें से घटाना होगा:

अब मुड़ कोष्ठक के अंदर की क्रियाएं करते हैं: पहले गुणा और फिर घटाव:

अब जो कुछ बचा है वह गुणा और घटाव करना है:

16. कई कारकों का उत्पाद।इसे खोजने के लिए आवश्यक होने दें

(–5) ∙ (+4) ∙ (–2) ∙ (–3) ∙ (+7) ∙ (–1) ∙ (+5).

यहां पहली संख्या को दूसरे से, परिणामी उत्पाद को तीसरे से गुणा करना आवश्यक है, आदि। पिछले एक के आधार पर यह स्थापित करना मुश्किल नहीं है कि सभी संख्याओं के पूर्ण मूल्यों को एक दूसरे के साथ गुणा किया जाना चाहिए। .

यदि सभी कारक सकारात्मक थे, तो पिछले एक के आधार पर हम पाते हैं कि उत्पाद में + चिह्न भी होना चाहिए। यदि कोई एक कारक नकारात्मक था

जैसे (+2) (+3) (+4) ∙ (-1) ∙ (+5) (+6),

तो इससे पहले के सभी कारकों का गुणनफल + चिह्न देगा (हमारे उदाहरण में, (+2) (+3) (+4) = +24, परिणामी उत्पाद को ऋणात्मक संख्या से गुणा करने पर (हमारे उदाहरण में) , +24 को -1 से गुणा करने पर नए उत्पाद का चिन्ह प्राप्त होगा -; इसे अगले सकारात्मक कारक से गुणा करने पर (हमारे उदाहरण -24 में +5 से), हमें फिर से एक ऋणात्मक संख्या प्राप्त होती है; चूंकि अन्य सभी कारकों को माना जाता है सकारात्मक रहें, उत्पाद का संकेत अब नहीं बदल सकता है।

यदि दो नकारात्मक कारक थे, तो, ऊपर के रूप में बहस करते हुए, वे पाएंगे कि पहले, जब तक वह पहले नकारात्मक कारक तक नहीं पहुंच जाता, तब तक उत्पाद सकारात्मक होगा, इसे पहले नकारात्मक कारक से गुणा करने से नया उत्पाद निकलेगा नकारात्मक हो और ऐसा तब तक रहेगा जब तक हम दूसरे नकारात्मक कारक तक नहीं पहुंच जाते; फिर एक ऋणात्मक संख्या को ऋणात्मक से गुणा करने पर, नया गुणनफल धनात्मक हो जाएगा, जो भविष्य में ऐसा ही रहेगा यदि अन्य कारक धनात्मक हों।

यदि अभी भी कोई तीसरा ऋणात्मक गुणनखंड था, तो इस तीसरे ऋणात्मक गुणनखंड से गुणा करने पर धनात्मक रूप से प्राप्त गुणनफल ऋणात्मक हो जाएगा; यह ऐसा ही रहेगा यदि अन्य कारक सभी सकारात्मक हों। लेकिन अगर अभी भी चौथा नेगेटिव फैक्टर है, तो इससे गुणा करने पर प्रोडक्ट पॉजिटिव हो जाएगा। उसी तरह से बहस करते हुए, हम पाते हैं कि सामान्य तौर पर:

कई कारकों के गुणनफल के चिन्ह का पता लगाने के लिए, आपको यह देखना होगा कि इनमें से कितने कारक ऋणात्मक हैं: यदि कोई भी नहीं है, या यदि उनकी संख्या सम है, तो गुणनफल धनात्मक है: यदि कोई विषम संख्या है नकारात्मक कारकों का, तो उत्पाद नकारात्मक है।

तो अब हम आसानी से पता लगा सकते हैं कि

(–5) ∙ (+4) ∙ (–2) ∙ (–3) ∙ (+7) ∙ (–1) ∙ (+5) = +4200.

(+3) ∙ (–2) ∙ (+7) ∙ (+3) ∙ (–5) ∙ (–1) = –630.

अब यह देखना आसान है कि उत्पाद का चिन्ह, साथ ही उसका निरपेक्ष मूल्य, कारकों के क्रम पर निर्भर नहीं करता है।

उत्पाद को तुरंत खोजने के लिए, भिन्नात्मक संख्याओं के साथ काम करते समय यह सुविधाजनक है:

यह सुविधाजनक है क्योंकि आपको बेकार गुणा करने की आवश्यकता नहीं है, क्योंकि पहले प्राप्त भिन्नात्मक अभिव्यक्ति को जितना संभव हो उतना कम किया जाता है।