एस्चर फॉल्स के बारे में क्या अजीब है। एस्चर - डच ग्राफिक कलाकार

मोरिट्ज़ एस्चर की गणितीय कला फरवरी 28, 2014

मूल से लिया गया imit_omsu द मैथमेटिकल आर्ट ऑफ़ मोरिट्ज़ एचर

"गणितज्ञों ने एक और दुनिया की ओर जाने का दरवाजा खोला, लेकिन उन्होंने खुद इस दुनिया में प्रवेश करने की हिम्मत नहीं की। वे उस रास्ते में अधिक रुचि रखते हैं जिस पर दरवाजा उसके पीछे बगीचे की तुलना में खड़ा है। "
(एम। सी। एस्चर)

लिथोग्राफ "एक दर्पण क्षेत्र के साथ हाथ", स्व-चित्र।

मौरिट्स कॉर्नेलियस एस्चर एक डच ग्राफिक कलाकार है जो हर गणितज्ञ के लिए जाना जाता है।
एस्चर के कार्यों के भूखंडों को तार्किक और प्लास्टिक विरोधाभासों की सरल समझ की विशेषता है।
उन्हें जाना जाता है, सबसे पहले, उन कार्यों के लिए जिसमें उन्होंने विभिन्न गणितीय अवधारणाओं का उपयोग किया था - सीमा से और मोबियस स्ट्रिप से लोबाचेवस्की की ज्यामिति तक।

वुडकट "रेड एंट्स"।

मौरिट्स एचर ने एक विशेष गणितीय शिक्षा प्राप्त नहीं की। लेकिन अपने रचनात्मक कैरियर की शुरुआत से ही, उन्हें अंतरिक्ष के गुणों में दिलचस्पी थी, इसके अप्रत्याशित पक्षों का अध्ययन किया।

"एकता की मर्यादा"।

एस्चर अक्सर 2-डी और 3-डी दुनिया के संयोजन में डब होता है।


लिथोग्राफ "ड्राइंग हैंड्स"।

लिथोग्राफ "रेप्टाइल्स"।

झुका हुआ।

टाइलिंग समतल आकृति में समतल विभाजन है। इस तरह के विभाजन का अध्ययन करने के लिए, एक समरूपता समूह की अवधारणा का पारंपरिक रूप से उपयोग किया जाता है। आइए एक विमान की कल्पना करें जिस पर कुछ टाइलिंग खींची गई है। विमान को एक मनमाना अक्ष के चारों ओर घुमाया और स्थानांतरित किया जा सकता है। ऑफसेट ऑफसेट वेक्टर द्वारा ऑफसेट को परिभाषित किया गया है, और रोटेशन को केंद्र और कोण द्वारा परिभाषित किया गया है। इस तरह के परिवर्तनों को आंदोलनों कहा जाता है। वे कहते हैं कि यह या यह आंदोलन समरूपता है, अगर इसके बाद टाइलिंग स्वयं में गुजरती है।

उदाहरण के लिए, एक विमान, सभी वर्गों में विभाजित - सभी दिशाओं में एक सेल में एक नोटबुक की एक अंतहीन शीट। यदि इस तरह के विमान को किसी भी वर्ग के केंद्र के चारों ओर 90 डिग्री (180, 270 या 360 डिग्री) घुमाया जाता है, तो टाइलिंग स्वयं में बदल जाएगी। वर्गों के एक पक्ष के समानांतर एक वेक्टर द्वारा स्थानांतरित किए जाने पर यह स्वयं में भी बदल जाता है। वेक्टर की लंबाई वर्ग के पक्ष की एक बहु होनी चाहिए।

1924 में जॉर्ज पोलिया (यूएसए ज्यॉर्जी पोल्या जाने से पहले) ने झुकाव के समरूपता समूहों पर एक पत्र प्रकाशित किया, जिसमें उन्होंने एक उल्लेखनीय तथ्य (हालांकि 1891 में रूसी गणितज्ञ इवग्राफ फेडोरोव द्वारा खोजा और बाद में सुरक्षित रूप से भुला दिया गया) साबित हुआ: केवल 17 समूह समरूपताएं हैं, जिनमें कम से कम दो अलग-अलग दिशाओं में बदलाव शामिल हैं। 1936 में, Escher, मूरिश आभूषण में रुचि रखते हैं (एक ज्यामितीय दृष्टिकोण से, फ़र्श का एक प्रकार), पोलिया के काम को पढ़ें। इस तथ्य के बावजूद कि उन्होंने अपने स्वयं के प्रवेश द्वारा, काम के पीछे के सभी गणित को नहीं समझा, एस्चर अपने ज्यामितीय सार को समझने में सक्षम थे। परिणामस्वरूप, सभी 17 समूहों के आधार पर, एस्चर ने 40 से अधिक कार्यों का निर्माण किया।

मोज़ेक।

वुडकट "डे एंड नाइट"।

"विमान IV के नियमित फ़र्श"।

वुडकट "स्काई एंड वॉटर"।

झुका हुआ। समूह कुछ सरल है, जनरेटर: स्लाइडिंग समरूपता और समानांतर स्थानांतरण। लेकिन फ़र्श टाइल्स अद्भुत हैं। और मोबियस पट्टी के संयोजन में, यह बात है।


वुडकट "घुड़सवार"।

एक सपाट और तीन आयामी दुनिया और झुकाव के विषय पर एक और बदलाव।


लिथोग्राफ "मैजिक मिरर"।

एस्चर भौतिकशास्त्री रोजर पेनरोज के साथ दोस्त थे। भौतिकी से अपने खाली समय में, पेनरोज़ गणितीय पहेली को हल करने में लगे हुए थे। एक दिन वह निम्नलिखित विचार के साथ आया: यदि आप एक से अधिक आंकड़ों से मिलकर एक टाइलिंग की कल्पना करते हैं, तो क्या इसका समरूपता समूह पोलिया द्वारा वर्णित लोगों से अलग होगा? जैसा कि यह निकला, इस प्रश्न का उत्तर हाँ है - यह है कि पेनरोज़ मोज़ेक का जन्म कैसे हुआ। 1980 के दशक में, यह पता चला था कि यह क्वैस्क्रिस्टल (रसायन विज्ञान 2011 में नोबेल पुरस्कार) से जुड़ा है।

हालांकि, एस्चर के पास समय नहीं था (या शायद नहीं चाहता था) अपने काम में इस मोज़ेक का उपयोग करें। (लेकिन "पेनरोज़ चिकन्स" का पेनरोज़ का अद्भुत अद्भुत मोज़ेक है, न कि एस्चर ने उन्हें आकर्षित किया।)

लोबाचेव्स्की विमान।

हाइबरग के पुनर्निर्माण में यूक्लिड के "सिद्धांतों" में स्वयंसिद्धों की सूची में पांचवां निम्नलिखित कथन है: यदि दो सीधी रेखाओं को जोड़ने वाली एक सीधी रेखा दो सीधी रेखाओं की तुलना में आंतरिक एक तरफा कोण बनाती है, तो, अनिश्चित काल तक, ये दोनों सीधे बने रहते हैं। रेखाएँ उस तरफ मिलेंगी जहाँ कोण दो सीधी रेखाओं से कम हों ... आधुनिक साहित्य में, एक समकक्ष और अधिक सुरुचिपूर्ण सूत्रीकरण को प्राथमिकता दी जाती है: एक बिंदु के माध्यम से जो एक सीधी रेखा पर नहीं होती है, एक दी गई रेखा के समानांतर एक सीधी रेखा होती है, और, इसके अलावा, केवल एक। लेकिन इस फॉर्मूलेशन में भी, यूक्लिड के बाकी पोस्टुलेट्स के विपरीत स्वयंसिद्ध, बोझिल और भ्रमित करने वाला लगता है - यही कारण है कि, दो हजार वर्षों से, वैज्ञानिक इस कथन को बाकी स्वयंसिद्धों से निकालने की कोशिश कर रहे हैं। यह वास्तव में, एक प्रमेय को एक प्रमेय में बदल देता है।

19 वीं शताब्दी में, गणितज्ञ निकोलाई लोबचेवस्की ने विरोधाभास द्वारा इसे करने की कोशिश की: उन्होंने यह माना कि यह पोस्टआउट गलत था और विरोधाभास खोजने की कोशिश की। लेकिन वह नहीं मिला - और परिणामस्वरूप लोबाचेव्स्की ने एक नई ज्यामिति का निर्माण किया। इसमें, एक बिंदु के माध्यम से जो एक सीधी रेखा पर झूठ नहीं बोलता है, एक अनंत संख्या में विभिन्न सीधी रेखाएं गुजरती हैं जो एक के साथ एक दूसरे को नहीं काटती हैं। लोबाचेव्स्की इस नई ज्यामिति की खोज करने वाले पहले व्यक्ति नहीं थे। लेकिन वह पहले व्यक्ति थे जिन्होंने सार्वजनिक रूप से इसे घोषित करने की हिम्मत की - जिसके लिए, निश्चित रूप से, उनका उपहास किया गया था।

Lobachevsky के कार्यों की मरणोपरांत मान्यता अन्य चीजों के अलावा, उनकी ज्यामिति के मॉडल के उद्भव के लिए हुई - साधारण यूक्लिडियन विमान पर वस्तुओं की प्रणाली जो सभी यूक्लिडियन स्वयंसिद्धों को संतुष्ट करती है, पांचवें पद के अपवाद के साथ। इन मॉडलों में से एक को मैथमैटिशियन और भौतिक विज्ञानी हेनरी पोनकारे ने 1882 में कार्यात्मक और जटिल विश्लेषण की जरूरतों के लिए प्रस्तावित किया था।

एक सर्कल होने दें, जिस सीमा को हम निरपेक्ष कहेंगे। हमारे मॉडल में "अंक" सर्कल के आंतरिक बिंदु होंगे। "सीधी रेखाओं" की भूमिका पूर्ण या लंबवत सीधी रेखाओं द्वारा निभाई जाती है (अधिक सटीक रूप से, उनके चाप जो वृत्त के अंदर आते हैं)। तथ्य यह है कि इस तरह की "सीधी रेखाओं" के लिए पांचवां पद पूरा नहीं होता है व्यावहारिक रूप से स्पष्ट है। तथ्य यह है कि इन वस्तुओं के लिए बाकी की डाक पूरी होती है, यह थोड़ा कम स्पष्ट है, हालांकि, ऐसा है।

यह पता चलता है कि पॉइंटकेयर मॉडल में बिंदुओं के बीच की दूरी निर्धारित करना संभव है। लंबाई की गणना करने के लिए एक Riemannian मीट्रिक की अवधारणा की आवश्यकता होती है। इसके गुण इस प्रकार हैं: पूर्ण के लिए "सीधी रेखा" के बिंदुओं की जोड़ी जितनी अधिक होगी, उनके बीच की दूरी उतनी ही अधिक होगी। इसके अलावा, कोणों को "सीधी रेखाओं" के बीच परिभाषित किया जाता है - ये "सीधी रेखाओं" के चौराहे के बिंदु पर स्पर्शरेखाओं के बीच के कोण हैं।

अब चलो टिल्लिंग पर वापस आते हैं। यदि हम एक ही नियमित बहुभुज (अर्थात, सभी समान पक्षों और कोणों वाले बहुभुज) में पहले से ही इंगित करते हैं, तो वे कैसे दिखेंगे? उदाहरण के लिए, बहुभुज को पूर्ण के करीब होने से छोटा होना चाहिए। इस विचार को "लिमिट-सर्कल" कार्यों की श्रृंखला में एस्चर द्वारा लागू किया गया था। हालांकि, डचमैन ने सही विभाजन का उपयोग नहीं किया, लेकिन उनके अधिक सममित संस्करण। वह मामला जहां सौंदर्य गणितीय सटीकता से अधिक महत्वपूर्ण था।

वुडकट "लिमिट - सर्कल II"।

वुडकट "लिमिट - सर्कल III"।

वुडकट "हेवेन एंड हेल"।

असंभव आंकड़े।

यह असंभव आंकड़ों को विशेष ऑप्टिकल भ्रम कहने के लिए प्रथागत है - वे एक विमान पर कुछ तीन आयामी वस्तु की छवि प्रतीत होते हैं। लेकिन करीबी परीक्षा में, उनकी संरचना में ज्यामितीय विरोधाभास सामने आते हैं। असंभव आंकड़े न केवल गणितज्ञों के लिए दिलचस्प हैं - वे मनोवैज्ञानिकों और डिजाइन विशेषज्ञों में लगे हुए हैं।

असंभव आंकड़ों के महान दादा तथाकथित नेकर क्यूब, एक विमान पर एक घन की एक परिचित छवि है। यह 1832 में स्वीडिश क्रिस्टलोग्राफर लुई नेकर द्वारा प्रस्तावित किया गया था। इस छवि की ख़ासियत यह है कि इसकी व्याख्या अलग-अलग तरीकों से की जा सकती है। उदाहरण के लिए, एक लाल वृत्त द्वारा इस आकृति में इंगित किया गया कोना घन के सभी कोनों से हमारे सबसे करीब हो सकता है, और, इसके विपरीत, सबसे दूर।

इस तरह के पहले सच्चे असंभव आंकड़े 1930 के दशक में एक अन्य स्वीडिश वैज्ञानिक, ऑस्कर रूथर्सवर्ड द्वारा बनाए गए थे। विशेष रूप से, वह क्यूब्स से एक त्रिकोण को इकट्ठा करने के विचार के साथ आया, जो प्रकृति में मौजूद नहीं हो सकता है। स्वतंत्र रूप से रूथर्सवर्ड के पूर्वोक्त रोजर पेनरोज़ ने अपने पिता लियोनेल पेनरोज़ के साथ मिलकर ब्रिटिश जर्नल ऑफ़ साइकोलॉजी में प्रकाशित किया था, जिसमें इम्पॉसिबल ऑब्जेक्ट्स: ए स्पेशल टाइप ऑफ़ ऑप्टिकल इल्यूजन (1956) नामक एक काम था। इसमें, पेनरोज़ ने दो ऐसी वस्तुओं का प्रस्ताव किया - पेनरोज़ त्रिकोण (रूथर्सवर्ड के क्यूब्स के निर्माण का एक ठोस संस्करण) और पेनरोज़ सीढ़ी। उन्होंने अपने काम की प्रेरणा के रूप में मौरिट्स एस्चर को नामित किया।

दोनों वस्तुओं - त्रिकोण और सीढ़ी - बाद में एस्चर के चित्रों में दिखाई दिया।

लिथोग्राफ "सापेक्षता"।

लिथोग्राफ "झरना"।

लिथोग्राफ "बेल्वेडियर"।

लिथोग्राफ "एसेंट एंड डिसेंट"।

गणितीय अर्थ के साथ अन्य कार्य:

स्टार बहुभुज:

वुडकट "सितारे"।

लिथोग्राफ "अंतरिक्ष का घन विभाजन"।

लिथोग्राफ "लहरों से ढकी एक सतह"।

लिथोग्राफ "थ्री वर्ल्ड्स"

भ्रमकारी कलाकृति का एक निश्चित आकर्षण है। वे वास्तविकता पर ललित कला की विजय हैं। भ्रम इतना दिलचस्प क्यों हैं? इतने सारे कलाकार अपनी कला में उनका उपयोग क्यों करते हैं? शायद इसलिए कि वे नहीं दिखाते कि वास्तव में क्या खींचा जाता है। हर कोई लिथोग्राफ को चिह्नित करता है मॉरिस सी। एस्चर द्वारा "वाटरफॉल"... पानी अंतहीन रूप से यहां घूमता है, पहिया के घूमने के बाद यह आगे बहता है और शुरुआती बिंदु पर वापस आ जाता है। यदि इस तरह की संरचना का निर्माण किया जा सकता है, तो एक सतत गति मशीन होगी! लेकिन चित्रकला की बारीकी से जांच करने पर, हम देखते हैं कि कलाकार हमें धोखा दे रहा है, और इस संरचना को बनाने का कोई भी प्रयास असफलता के रूप में है।

सममितीय चित्र

त्रि-आयामी वास्तविकता के भ्रम को व्यक्त करने के लिए, दो-आयामी चित्र (एक सपाट सतह पर चित्र) का उपयोग किया जाता है। आमतौर पर, धोखे में ठोस आंकड़ों के अनुमानों को दर्शाया जाता है, जिसे व्यक्ति अपने व्यक्तिगत अनुभव के अनुसार तीन आयामी वस्तुओं के रूप में दर्शाने की कोशिश करता है।

"परिप्रेक्ष्य" छवि के रूप में वास्तविकता का अनुकरण करने में शास्त्रीय दृष्टिकोण प्रभावी है। यह दृश्य कई कारणों से अधूरा है। यह हमें दृश्य को विभिन्न बिंदुओं से देखने, उसके करीब आने, या चारों तरफ से वस्तु को देखने से रोकता है। यह हमें गहराई का प्रभाव नहीं देता है जो एक वास्तविक वस्तु होती है। गहराई का प्रभाव इस तथ्य से उत्पन्न होता है कि हमारी आंखें एक वस्तु को दो अलग-अलग बिंदुओं से देखती हैं, और हमारा मस्तिष्क उन्हें एक छवि में जोड़ता है। एक फ्लैट ड्राइंग केवल एक विशिष्ट दृष्टिकोण से एक दृश्य का प्रतिनिधित्व करता है। इस तरह की ड्राइंग का एक उदाहरण एक पारंपरिक एककोशिकीय कैमरा के साथ लिया गया फोटो होगा।

इस श्रेणी के भ्रम का उपयोग करते समय, ड्राइंग पहली नज़र में एक सामान्य ठोस शरीर परिप्रेक्ष्य होता है। लेकिन करीब से जांच करने पर, इस तरह के ऑब्जेक्ट के आंतरिक विरोधाभास दिखाई देते हैं। और यह स्पष्ट हो जाता है कि वास्तविकता में ऐसी कोई वस्तु मौजूद नहीं हो सकती है।

पेनरोज भ्रम

एस्चर फॉल्स पेनरोज भ्रम पर आधारित है, जिसे कभी-कभी असंभव त्रिकोण भ्रम कहा जाता है। इस भ्रम को यहाँ सरलतम रूप में चित्रित किया गया है।

ऐसा लगता है कि हम त्रिभुज में तीन वर्ग बार जुड़े हुए देखते हैं। यदि आप इस आकार के किसी भी कोने को कवर करते हैं, तो आप देखेंगे कि सभी तीन बार सही तरीके से जुड़े हुए हैं। लेकिन जब आप बंद कोने से अपना हाथ हटाते हैं, तो धोखे स्पष्ट हो जाते हैं। इस कोने में जो दो बार जुड़ते हैं, वे एक-दूसरे के करीब भी नहीं होने चाहिए।

पेनरोज भ्रम "गलत दृष्टिकोण" का उपयोग करता है। आइसोमेट्रिक प्रतिपादन में गलत दृष्टिकोण का भी उपयोग किया जाता है। कभी-कभी इस परिप्रेक्ष्य को चीनी कहा जाता है (अनुवादक का नोट: रायटर्सवार्ड इस परिप्रेक्ष्य को जापानी कहा जाता है)। चित्रकला की इस पद्धति का उपयोग अक्सर चीनी दृश्य कलाओं में किया गया है। ड्राइंग की इस पद्धति के साथ, ड्राइंग की गहराई अस्पष्ट है।

सममितीय रेखाचित्रों में, सभी समानांतर रेखाएं समानांतर दिखाई देती हैं, भले ही वे पर्यवेक्षकों के संबंध में झुकी हुई हों। दर्शक से दूर झुकी हुई वस्तु ठीक वैसी ही दिखती है, जैसे वह उसी कोण पर दर्शक की ओर झुकी होती है। आधा (मच आकृति) में आयताकार इस अस्पष्टता को स्पष्ट रूप से दर्शाता है। यह आंकड़ा आपको एक खुली किताब की तरह लग सकता है, जैसे कि आप किसी किताब के पन्नों को देख रहे हों, या ऐसा लग सकता है कि आप किसी बंधन के रूप में खोली गई किताब की तरह हैं और आप किताब के कवर को देख रहे हैं। यह आंकड़ा दो समांतर चतुर्भुज के रूप में प्रकट हो सकता है, लेकिन बहुत कम लोग इस आकृति को समांतर चतुर्भुज के रूप में देखेंगे।

थिएरी का चित्र उसी द्वंद्व को दर्शाता है

श्रोएडर सीढ़ी भ्रम पर विचार करें, आइसोमेट्रिक गहराई अस्पष्टता का एक "शुद्ध" उदाहरण। इस आकृति को एक ऐसी सीढ़ी के रूप में माना जा सकता है जिसे दाईं से बाईं ओर चढ़ा जा सकता है, या सीढ़ी के नीचे के दृश्य के रूप में। आकृति की रेखाओं को बदलने का कोई भी प्रयास भ्रम को नष्ट कर देगा।

यह साधारण ड्राइंग क्यूब्स की एक पंक्ति जैसा दिखता है, बाहर से और अंदर से दिखाया गया है। दूसरी ओर, यह ड्राइंग ऊपर और नीचे से दिखाए गए क्यूब्स की एक पंक्ति जैसा दिखता है। लेकिन इस ड्राइंग को केवल समांतर चतुर्भुज के एक सेट के रूप में समझना बहुत मुश्किल है।

आइए कुछ क्षेत्रों को काले रंग से पेंट करें। काले समांतर चतुर्भुज हम नीचे या ऊपर से देख रहे हैं जैसे वे देख सकते हैं। कोशिश करें, यदि आप कर सकते हैं, तो इस तस्वीर को अलग तरह से देखने के लिए, जैसे कि हम नीचे से एक समानांतर चतुर्भुज को देख रहे थे, और ऊपर से दूसरे पर, उन्हें बारी-बारी से। अधिकांश लोग इस तरह से इस तस्वीर को नहीं देख सकते हैं। हम इस तरह से चित्र क्यों नहीं देख पा रहे हैं? मुझे यह सरल भ्रमों में से सबसे कठिन लगता है।

दाईं ओर का चित्रण एक सममितीय शैली में एक असंभव त्रिभुज के भ्रम का उपयोग करता है। यह ऑटोकैड (टीएम) सॉफ्टवेयर "हैच" पैटर्न का एक है। इस नमूने को "एस्चर" कहा जाता है।

एक तार क्यूब संरचना का एक आइसोमेट्रिक ड्राइंग, आइसोमेट्रिक अस्पष्टता दर्शाता है। इस आकृति को कभी-कभी नेकर क्यूब भी कहा जाता है। यदि काला बिंदु घन के एक तरफ के केंद्र में है, तो क्या वह पक्ष आगे या पीछे है? आप यह भी सोच सकते हैं कि बिंदु एक किनारे के निचले दाएं कोने के पास है, लेकिन आप अभी भी यह नहीं बता सकते हैं कि वह पक्ष सामने है या नहीं। आपके पास यह मानने का कोई कारण नहीं हो सकता है कि बिंदु घन की सतह पर या उसके अंदर है, यह सिर्फ घन के सामने और उसके पीछे हो सकता है, क्योंकि हमें बिंदु के वास्तविक आयामों के बारे में कोई जानकारी नहीं है।

यदि आप एक घन के किनारों को लकड़ी के तख्तों के रूप में सोचते हैं, तो आप अप्रत्याशित परिणाम प्राप्त कर सकते हैं। यहां हमने क्षैतिज स्ट्रिप्स के अस्पष्ट कनेक्शन का उपयोग किया, जिस पर नीचे चर्चा की जाएगी। आकृति के इस संस्करण को असंभव बॉक्स कहा जाता है। यह कई समान भ्रमों का आधार है।

एक असंभव बॉक्स को लकड़ी से तैयार नहीं किया जा सकता है। और फिर भी हम यहां लकड़ी से बने एक असंभव बॉक्स की तस्वीर देखते हैं। यह एक झूठ है। दराज पट्टियों में से एक जो दूसरे के पीछे से गुजरती हुई दिखाई देती है, वह वास्तव में दो अलग-अलग ब्रेक बार हैं, एक क्रॉसिंग बार की तुलना में करीब और दूसरी दूर। ऐसा आंकड़ा केवल एक दृष्टिकोण से दिखाई देता है। अगर हमें एक वास्तविक संरचना को देखना था, तो हमारी त्रिविम दृष्टि की मदद से, हम एक चाल देखेंगे, जिसके कारण यह आंकड़ा असंभव हो जाता है। यदि हमने अपना दृष्टिकोण बदल दिया, तो यह चाल और भी अधिक ध्यान देने योग्य हो जाएगी। इसीलिए, जब प्रदर्शनियों और संग्रहालयों में असंभव आंकड़ों का प्रदर्शन किया जाता है, तो आप उन्हें एक आँख से एक छोटे से छेद के माध्यम से देखने के लिए मजबूर होते हैं।

अस्पष्ट कनेक्शन

यह भ्रम किस पर आधारित है? क्या यह मच की किताब में बदलाव है?

वास्तव में, यह माच के भ्रम और लाइनों के अस्पष्ट कनेक्शन का एक संयोजन है। दो किताबें आकृति की एक सामान्य मध्य सतह साझा करती हैं। यह पुस्तक के कवर को अस्पष्ट बनाता है।

स्थिति का भ्रम

Poggendorf भ्रम, या "पार किया गया आयत", हमें इस बात से गुमराह करता है कि A या B में से कौन सी रेखा की निरंतरता है। C. एक अस्पष्ट उत्तर केवल एक शासक को लाइन C से जोड़कर दिया जा सकता है और पता लगा सकता है कि कौन सी रेखा उसके साथ मेल खाती है ।

रूप भ्रम

फॉर्म भ्रम स्थिति भ्रम के साथ निकटता से संबंधित हैं, लेकिन यहां ड्राइंग की बहुत संरचना हमें ड्राइंग के ज्यामितीय रूप के बारे में हमारे निर्णय को बदलने के लिए मजबूर करती है। नीचे दिए गए उदाहरण में, छोटी तिरछी रेखाएं भ्रम देती हैं कि दो क्षैतिज रेखाएं घुमावदार हैं। वास्तव में, ये सीधी समानांतर रेखाएँ हैं।

ये भ्रम छायांकित सतहों सहित दृश्य सूचनाओं को संसाधित करने के लिए हमारे मस्तिष्क की क्षमता का उपयोग करते हैं। एक हैच पैटर्न इतना प्रभावी हो सकता है कि पैटर्न के अन्य तत्व विकृत दिखाई देते हैं।

एक क्लासिक उदाहरण उन पर केंद्रित एक वर्ग के साथ गाढ़ा हलकों का एक सेट है। हालांकि वर्ग के पक्ष बिल्कुल सीधे हैं, वे घुमावदार प्रतीत होते हैं। तथ्य यह है कि वर्ग के पक्ष सीधे होते हैं, उन्हें एक शासक संलग्न करके सत्यापित किया जा सकता है। अधिकांश रूप भ्रम इस प्रभाव पर आधारित हैं।

निम्न उदाहरण उसी सिद्धांत पर काम करता है। हालांकि दोनों सर्कल समान आकार के हैं, उनमें से एक दूसरे की तुलना में छोटा दिखता है। यह कई आकार भ्रमों में से एक है।

इस आशय का एक स्पष्टीकरण तस्वीरों और चित्रों में परिप्रेक्ष्य की हमारी धारणा में पाया जा सकता है। वास्तविक दुनिया में, हम देखते हैं कि दो समानांतर रेखाएँ जैसे-जैसे दूरी बढ़ाती जाती हैं, वैसे-वैसे हम अनुभव करते हैं कि रेखाओं को छूने वाला वृत्त हमसे बहुत दूर है और इसलिए बड़ा होना चाहिए।

यदि आप हलकों को काले रंग से रंगते हैं, तो रेखाओं से बंधे हुए वृत्त और क्षेत्र भ्रम को कमजोर बना देंगे।

ब्रिम की चौड़ाई और टोपी की ऊंचाई समान हैं, हालांकि यह पहली नज़र में नहीं लगता है। छवि को 90 डिग्री तक घुमाने की कोशिश करें। क्या प्रभाव संरक्षित किया गया है? यह तस्वीर के भीतर सापेक्ष आयामों का भ्रम है।

अस्पष्ट दीर्घवृत्त

झुके हुए हलकों को समतल द्वारा विमान पर प्रक्षेपित किया जाता है, और इन दीर्घवृत्त में गहराई अस्पष्टता होती है। यदि आकार (ऊपर) एक झुका हुआ सर्कल है, तो यह जानने का कोई तरीका नहीं है कि शीर्ष चाप हमारे करीब है या नीचे के चाप की तुलना में हमसे आगे है।

अस्पष्ट अंगूठी के भ्रम में लाइनों का एक अस्पष्ट कनेक्शन एक अनिवार्य तत्व है:

एंबिगलेस रिंग, © डोनाल्ड ई। सिमानेक, 1996।

यदि आप चित्र के आधे हिस्से को कवर करते हैं, तो बाकी नियमित रिंग के आधे हिस्से से मिलेंगे।

जब मैं इस आकार के साथ आया, तो मुझे लगा कि यह मूल भ्रम हो सकता है। लेकिन बाद में, मैंने फाइबर-ऑप्टिक कॉरपोरेशन, Canstar के लोगो के साथ एक विज्ञापन देखा। हालांकि कैनस्टार प्रतीक मेरा है, उन्हें एक ही भ्रम वर्ग के तहत वर्गीकृत किया जा सकता है। इस प्रकार, मैंने और निगम ने एक दूसरे को असंभव पहिया के आंकड़े से स्वतंत्र रूप से विकसित किया। मुझे लगता है कि अगर आप गहराई में जाते हैं, तो आप शायद असंभव पहिया के पहले के उदाहरण पा सकते हैं।

अंतहीन सीढ़ी

पेनरोज़ की क्लासिक भ्रम में से एक असंभव सीढ़ी है। उसे अक्सर एक आइसोमेट्रिक ड्राइंग (पेनरोज़ के काम में भी) के रूप में दर्शाया गया है। अनंत सीढ़ी का हमारा संस्करण पेनरोज़ सीढ़ी संस्करण (क्रॉसचैचिंग को छोड़कर) के समान है।

उसे परिप्रेक्ष्य में भी चित्रित किया जा सकता है, जैसा कि एम। के। एस्चर के लिथोग्राफ पर किया गया है।

लिथोग्राफ "एसेंट एंड डिसेंट" में धोखे का निर्माण कुछ अलग तरीके से किया गया है। एस्चर ने इमारत की छत पर सीढ़ी लगाई और नीचे की इमारत को इस तरह से चित्रित किया जैसे कि परिप्रेक्ष्य की छाप को व्यक्त करने के लिए।

कलाकार ने एक छाया के साथ एक अंतहीन सीढ़ी का चित्रण किया। छायांकन की तरह, एक छाया भ्रम को नष्ट कर सकती है। लेकिन कलाकार ने प्रकाश स्रोत को ऐसे स्थान पर रखा कि पेंटिंग के अन्य हिस्सों के साथ छाया अच्छी तरह से मिश्रित हो। शायद सीढ़ियों से छाया अपने आप में एक भ्रम है।

निष्कर्ष

कुछ लोग भ्रामक चित्रों से घिरे नहीं हैं। "यह सिर्फ एक गलत तस्वीर है," वे कहते हैं। कुछ लोग, शायद 1% से भी कम आबादी, उन्हें अनुभव नहीं करते क्योंकि उनके दिमाग सपाट चित्रों को तीन-आयामी छवियों में बदलने में असमर्थ हैं। इन लोगों को पुस्तकों में 3-डी आंकड़ों के तकनीकी चित्र और चित्र समझने में कठिनाई होती है।

अन्य लोग देख सकते हैं कि पेंटिंग में "कुछ गड़बड़" है, लेकिन वे यह पूछने के लिए नहीं सोचते हैं कि धोखा कैसे प्राप्त किया जाता है। इन लोगों को यह समझने की आवश्यकता नहीं है कि प्रकृति कैसे काम करती है, वे प्राथमिक बौद्धिक जिज्ञासा की कमी के लिए विवरण पर ध्यान केंद्रित नहीं कर सकते हैं।

शायद दृश्य विरोधाभास को समझना उस तरह की रचनात्मकता की पहचान है जो सर्वश्रेष्ठ गणितज्ञों, वैज्ञानिकों और कलाकारों के पास है। एम। सी। एस्चर (एम। सी। एचर) के कामों के बीच कई पेंटिंग-भ्रम, साथ ही जटिल ज्यामितीय पेंटिंग भी हैं, जिन्हें कला की तुलना में "बौद्धिक गणितीय खेल" के लिए अधिक श्रेय दिया जा सकता है। हालांकि, वे गणितज्ञों और वैज्ञानिकों को प्रभावित करते हैं।

ऐसा कहा जाता है कि अमेजन द्वीप पर रहने वाले लोग या अमेज़ॅन जंगल में गहरे, जहाँ उन्होंने कभी तस्वीर नहीं देखी है, पहले यह नहीं समझ पाएंगे कि तस्वीर कब दिखाई गई है। इस विशेष प्रकार की छवि की व्याख्या करना एक अर्जित कौशल है। कुछ लोग इस कौशल को बेहतर तरीके से सीखते हैं, अन्य लोग इससे भी बदतर।

फोटोग्राफी के आविष्कार से बहुत पहले कलाकारों ने अपने काम में ज्यामितीय परिप्रेक्ष्य का उपयोग करना शुरू कर दिया था। लेकिन वे विज्ञान की मदद के बिना इसका अध्ययन नहीं कर सकते थे। लेंस आमतौर पर केवल 14 वीं शताब्दी में उपलब्ध हुए। उस समय, वे अंधेरे कैमरों के साथ प्रयोग किए गए थे। एक बड़े लेंस को एक अंधेरे कक्ष की दीवार में एक छेद में रखा गया था ताकि एक उलटा छवि विपरीत दीवार पर प्रदर्शित हो। दर्पण को जोड़ने से फर्श से कैमरे की छत तक छवि डालना संभव हो गया। यह उपकरण अक्सर कलाकारों द्वारा कला में एक नई "यूरोपीय" परिप्रेक्ष्य शैली के साथ प्रयोग किया जाता था। उस समय तक, गणित पहले से ही परिप्रेक्ष्य के लिए एक सैद्धांतिक आधार प्रदान करने के लिए एक जटिल पर्याप्त विज्ञान था, और ये सैद्धांतिक सिद्धांत कलाकारों के लिए पुस्तकों में प्रकाशित किए गए थे।

केवल अपने आप पर भ्रामक चित्र बनाने की कोशिश करके आप इस तरह के धोखे बनाने के लिए आवश्यक सभी सूक्ष्मताओं की सराहना कर सकते हैं। बहुत बार भ्रम की प्रकृति अपनी सीमाएं लादती है, कलाकार पर अपना "तर्क" लादती है। नतीजतन, एक पेंटिंग का निर्माण एक अतार्किक भ्रम की विचित्रता के साथ कलाकार की बुद्धि की लड़ाई बन जाता है।

अब जब हमने कुछ भ्रमों के सार पर चर्चा की है, तो आप उन्हें अपने भ्रम बनाने के लिए उपयोग कर सकते हैं, साथ ही साथ आपके द्वारा सामना किए गए किसी भी भ्रम को वर्गीकृत कर सकते हैं। थोड़ी देर के बाद, आपके पास भ्रम का एक बड़ा संग्रह होगा, और आपको किसी तरह उन्हें प्रदर्शित करने की आवश्यकता होगी। मैंने इसके लिए एक ग्लास डिस्प्ले केस डिजाइन किया।

भ्रम का प्रदर्शन। © डोनाल्ड ई। सिमानेक, 1996।

आप इस ड्राइंग में परिप्रेक्ष्य और ज्यामिति के अन्य पहलुओं में लाइनों के अभिसरण की जांच कर सकते हैं। ऐसी तस्वीरों का विश्लेषण करके, और उन्हें खींचने की कोशिश करके, आप चित्र में उपयोग किए गए धोखे का सार पता लगा सकते हैं। MC Escher ने अपनी पेंटिंग "Belvedere" (नीचे) में इसी तरह की चाल का इस्तेमाल किया।

डोनाल्ड ई। सिमानेक, दिसंबर 1996. अंग्रेजी से अनुवादित

मौरिट्स कॉर्नेलिस एस्चर एक डच ग्राफिक कलाकार हैं, जिन्होंने अपने वैचारिक लिथोग्राफ, लकड़ी और धातु उत्कीर्णन के साथ-साथ पुस्तकों, डाक टिकटों, भित्तिचित्रों और टेपेस्ट्री के लिए चित्रण के साथ सफलता हासिल की है। Imp- कला का सबसे प्रतिभाशाली प्रतिनिधि (असंभव आंकड़ों का चित्रण)।

मौरिट्स एचर का जन्म नीदरलैंड में लोवेंडर शहर में इंजीनियर जॉर्ज अर्नोल्ड एस्चर और मंत्री सारा एड्रियाना ग्लीचमैन-एचर की बेटी के घर में हुआ था। मौरित परिवार में सबसे छोटा और चौथा बच्चा था। जब वह 5 वर्ष का था, तो पूरा परिवार अर्नहेम चला गया, जहाँ उसने अपनी अधिकांश युवावस्था बिताई। हाई स्कूल में प्रवेश के दौरान, भविष्य के कलाकार ने परीक्षाओं को सफलतापूर्वक विफल कर दिया, जिसके लिए उसे हार्लेम में वास्तुकला और सजावटी कला के स्कूल में भेजा गया। एक बार नए स्कूल में, मॉरिटस एचर ने अपनी रचनात्मकता को विकसित करना जारी रखा, साथ ही साथ अपने शिक्षक सैमुअल जेसर्न को कुछ ड्राइंग और लिनोकट्स दिखा रहे थे, जिन्होंने उन्हें सजावट शैली में काम करना जारी रखने के लिए प्रेरित किया। इसके बाद, एस्चर ने अपने पिता को घोषणा की कि वह सजावटी कलाओं का अध्ययन करना चाहता था और वह व्यावहारिक रूप से वास्तुकला में दिलचस्पी नहीं रखता था।

अपनी पढ़ाई पूरी करने के बाद, मॉरिटस एचर इटली की यात्रा पर गए, जहाँ उनकी मुलाकात उनकी भावी पत्नी गेटा विम्कर से हुई। युवा युगल रोम में बस गए, जहां वे 1935 तक रहे। इस समय के दौरान, एस्चर ने नियमित रूप से इटली की यात्रा की और चित्र और रेखाचित्र बनाए। उनमें से कई को बाद में वुडकट्स बनाने के लिए आधार के रूप में उपयोग किया गया था।

1920 के दशक के उत्तरार्ध में, एस्चर नीदरलैंड में काफी लोकप्रिय हो गया और यह तथ्य काफी हद तक कलाकार के माता-पिता से प्रभावित था। 1929 में, उन्होंने हॉलैंड और स्विटजरलैंड में पांच प्रदर्शनियां आयोजित की, जिन्हें आलोचकों से काफी चापलूसी की समीक्षा मिली। इस अवधि के दौरान, एस्चर के चित्रों को पहले यांत्रिक और "तार्किक" कहा जाता था। 1931 में, कलाकार ने वुडकट्स को समाप्त कर दिया। दुर्भाग्य से, कलाकार की सफलता ने उसे बहुत पैसा नहीं दिया, और वह अक्सर वित्तीय मदद के लिए अपने पिता की ओर मुड़ गया। अपने पूरे जीवन में माता-पिता ने अपने सभी प्रयासों में मौरिट्स एचर का समर्थन किया, इसलिए जब उनके पिता की मृत्यु 1939 में हुई और एक साल बाद उनकी माँ, एस्चर ने सर्वोत्तम तरीके से महसूस नहीं किया।

1946 में, कलाकार इंटाग्लियो प्रिंटिंग तकनीक में रुचि रखते थे, जिसे निष्पादन में एक निश्चित जटिलता द्वारा प्रतिष्ठित किया गया था। इस कारण से, 1951 तक एस्चर ने मेजोटिनिंटो तरीके से केवल सात छापें बनाईं और इस तकनीक में दोबारा काम नहीं किया। 1949 में, दो अन्य कलाकारों के साथ एस्चर ने रॉटरडैम में अपने ग्राफिक कार्यों की एक बड़ी प्रदर्शनी का आयोजन किया, जिसके बारे में कई प्रकाशनों के बाद, एस्चर न केवल यूरोप में, बल्कि संयुक्त राज्य अमेरिका में भी जाना जाने लगा। उन्होंने चुने हुए तरीके से काम करना जारी रखा, कला के अधिक से अधिक नए और कभी-कभी अप्रत्याशित कार्यों का निर्माण किया।

एस्चेर के सबसे उल्लेखनीय कार्यों में से एक वाटरफॉल लिथोग्राफ एक असंभव त्रिकोण पर आधारित है। झरना एक स्थायी गति मशीन की भूमिका निभाता है, और टावर्स एक ही ऊंचाई के लगते हैं, हालांकि उनमें से एक एक मंजिल दूसरे की तुलना में कम है। एस्केर के बाद के असंभव आंकड़ों, बेल्वेडियर और गोइंग डाउन और आरोही के दो उत्कीर्णन 1958 और 1961 के बीच बनाए गए थे। बहुत ही मनोरंजक कार्यों में उत्कीर्णन "अप एंड डाउन", "रिलेटिविटी", "मेटामोर्फोसेस I", "मेटामोर्फोसॉसेस II", "मेटामोर्फोसेस III" (सबसे बड़ा काम - 48 मीटर), "स्काई एंड वाटर" या "सरीसृप" शामिल हैं। ...

जुलाई 1969 में, एस्चर ने सांपों की आखिरी लकड़ी की लकड़ी बनाई। और पहले से ही 27 मार्च 1972 को, कलाकार की आंतों के कैंसर से मृत्यु हो गई। अपने जीवन भर में, एस्चर ने 448 लिथोग्राफ, प्रिंट और लकड़ी के बने और 2,000 से अधिक विभिन्न चित्र और रेखाचित्र बनाए। एक और दिलचस्प विशेषता यह थी कि एस्चर अपने कई महान पूर्ववर्तियों (माइकल एंजेलो, लियोनार्डो दा विंची, डेंडर और होलबेन) की तरह, बाएं हाथ के थे।

एस्चर के इस काम में एक विरोधाभास को दर्शाया गया है - झरने का गिरता पानी एक पहिया चलाता है जो झरने के शीर्ष तक पानी को पहुंचाता है। झरना में "असंभव" पेनरोज़ त्रिकोण की संरचना है: लिथोग्राफ को ब्रिटिश जर्नल ऑफ साइकोलॉजी में एक लेख के आधार पर बनाया गया था।

संरचना तीन क्रॉसबार से बनी होती है, जो समकोण पर एक दूसरे के ऊपर रखी जाती हैं। लिथोग्राफी में झरना एक स्थायी गति मशीन की तरह काम करता है। टकटकी की गति के आधार पर, यह वैकल्पिक रूप से प्रकट होता है कि दोनों टॉवर एक समान हैं और दाएं तरफ का टॉवर बाएं टॉवर की तुलना में एक मंजिल कम है।

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जलप्रपात से अंश (लिथोग्राफ)