साधारण भिन्नों को विभाजित करना: नियम, उदाहरण, समाधान। भिन्न

अंश संपूर्ण का एक या अधिक भाग होता है, जिसे आमतौर पर एक (1) माना जाता है। प्राकृतिक संख्याओं की तरह, आप भिन्नों के साथ सभी बुनियादी अंकगणितीय ऑपरेशन (जोड़, घटाव, भाग, गुणा) कर सकते हैं; ऐसा करने के लिए, आपको भिन्नों के साथ काम करने की विशेषताओं को जानना होगा और उनके प्रकारों के बीच अंतर करना होगा। भिन्न कई प्रकार की होती हैं: दशमलव और साधारण, या सरल। प्रत्येक प्रकार के भिन्न की अपनी विशिष्टताएँ होती हैं, लेकिन एक बार जब आप अच्छी तरह से समझ जाते हैं कि उन्हें कैसे संभालना है, तो आप भिन्न के साथ किसी भी उदाहरण को हल करने में सक्षम होंगे, क्योंकि आप भिन्न के साथ अंकगणितीय गणना करने के बुनियादी सिद्धांतों को जान लेंगे। आइए विभिन्न प्रकार के भिन्नों का उपयोग करके किसी भिन्न को पूर्ण संख्या से विभाजित करने के उदाहरण देखें।

दशमलव को पूर्ण संख्या से कैसे विभाजित करें?
दशमलव एक भिन्न है जो एक इकाई को दस, एक हजार, इत्यादि भागों में विभाजित करके प्राप्त किया जाता है। दशमलव के साथ अंकगणितीय संक्रियाएँ काफी सरल हैं।

आइए एक उदाहरण देखें कि भिन्न को पूर्ण संख्या से कैसे विभाजित किया जाए। मान लीजिए कि हमें दशमलव अंश 0.925 को प्राकृतिक संख्या 5 से विभाजित करने की आवश्यकता है।

• किसी दशमलव अंश को किसी प्राकृतिक संख्या से विभाजित करने के लिए दीर्घ विभाजन का उपयोग किया जाता है;
  
• जब लाभांश के पूरे भाग का विभाजन पूरा हो जाता है तो भागफल में अल्पविराम लगाया जाता है।
  

गणित और भौतिकी पाठ्यक्रमों की विभिन्न समस्याओं को हल करने के लिए, आपको भिन्नों को विभाजित करना होगा। यदि आप इस गणितीय संक्रिया को निष्पादित करने के कुछ नियम जानते हैं तो यह करना बहुत आसान है।

इससे पहले कि हम भिन्नों को विभाजित करने का नियम बनाने के लिए आगे बढ़ें, आइए कुछ गणितीय शब्दों को याद रखें:

1. भिन्न के ऊपरी भाग को अंश तथा निचले भाग को हर कहा जाता है।
2. विभाजित करते समय, संख्याओं को इस प्रकार कहा जाता है: लाभांश: भाजक = भागफल

भिन्नों को कैसे विभाजित करें: सरल भिन्न

दो साधारण भिन्नों को विभाजित करने के लिए, भाजक के व्युत्क्रम से लाभांश को गुणा करें। इस भिन्न को उल्टा भी कहा जाता है क्योंकि यह अंश और हर की अदला-बदली करके प्राप्त किया जाता है। उदाहरण के लिए:

3/77: 1/11 = 3 /77 * 11 /1 = 3/7

भिन्नों को कैसे विभाजित करें: मिश्रित भिन्न

यदि हमें मिश्रित भिन्नों को विभाजित करना है तो यहां भी सब कुछ काफी सरल और स्पष्ट है। सबसे पहले, हम मिश्रित भिन्न को नियमित अनुचित भिन्न में परिवर्तित करते हैं। ऐसा करने के लिए, ऐसे भिन्न के हर को एक पूर्णांक से गुणा करें और परिणामी उत्पाद में अंश जोड़ें। परिणामस्वरूप, हमें मिश्रित भिन्न का एक नया अंश प्राप्त हुआ, लेकिन इसका हर अपरिवर्तित रहेगा। इसके अलावा, भिन्नों का विभाजन बिल्कुल उसी तरह किया जाएगा जैसे साधारण भिन्नों का विभाजन किया जाता है। उदाहरण के लिए:

10 2/3: 4/15 = 32/3: 4/15 = 32/3 * 15 /4 = 40/1 = 40

किसी भिन्न को किसी संख्या से कैसे विभाजित करें

किसी साधारण भिन्न को किसी संख्या से विभाजित करने के लिए, बाद वाले को भिन्न (अनियमित) के रूप में लिखा जाना चाहिए। ऐसा करना बहुत आसान है: यह संख्या अंश के स्थान पर लिखी जाती है, और ऐसे भिन्न का हर एक के बराबर होता है। आगे का विभाजन सामान्य तरीके से किया जाता है। आइए इसे एक उदाहरण से देखें:

5/11: 7 = 5/11: 7/1 = 5/11 * 1/7 = 5/77

दशमलव को कैसे विभाजित करें

अक्सर किसी वयस्क को कैलकुलेटर की सहायता के बिना किसी पूर्ण संख्या या दशमलव अंश को दशमलव अंश से विभाजित करने में कठिनाई होती है।

इसलिए, दशमलव को विभाजित करने के लिए, आपको बस भाजक में अल्पविराम को हटाना होगा और उस पर ध्यान देना बंद करना होगा। लाभांश में, अल्पविराम को ठीक उतने ही स्थानों पर दाईं ओर ले जाना चाहिए जितना कि यह भाजक के भिन्नात्मक भाग में था, यदि आवश्यक हो तो शून्य जोड़ें। और फिर वे एक पूर्णांक से सामान्य विभाजन करते हैं। इसे और अधिक स्पष्ट करने के लिए, निम्नलिखित उदाहरण पर विचार करें।

पिछली बार हमने भिन्नों को जोड़ना और घटाना सीखा था (पाठ "भिन्नों को जोड़ना और घटाना" देखें)। उन कार्यों का सबसे कठिन हिस्सा भिन्नों को एक सामान्य हर में लाना था।

अब गुणा और भाग से निपटने का समय आ गया है। अच्छी खबर यह है कि ये संक्रियाएँ जोड़ और घटाव से भी अधिक सरल हैं। सबसे पहले, आइए सबसे सरल मामले पर विचार करें, जब एक अलग पूर्णांक भाग के बिना दो सकारात्मक भिन्न होते हैं।

दो भिन्नों को गुणा करने के लिए, आपको उनके अंश और हर को अलग-अलग गुणा करना होगा। पहली संख्या नए भिन्न का अंश होगी, और दूसरी हर होगी।

दो भिन्नों को विभाजित करने के लिए, आपको पहले भिन्न को "उल्टे" दूसरे भिन्न से गुणा करना होगा।

पद का नाम:

परिभाषा से यह निष्कर्ष निकलता है कि भिन्नों को विभाजित करने से गुणन हो जाता है। किसी भिन्न को "फ़्लिप" करने के लिए, बस अंश और हर की अदला-बदली करें। इसलिए, पूरे पाठ में हम मुख्य रूप से गुणन पर विचार करेंगे।

गुणन के परिणामस्वरूप, एक कम करने योग्य अंश उत्पन्न हो सकता है (और अक्सर उत्पन्न होता है) - निस्संदेह, इसे कम किया जाना चाहिए। यदि सभी कटौती के बाद अंश गलत हो जाता है, तो पूरे भाग को हाइलाइट किया जाना चाहिए। लेकिन गुणन के साथ जो निश्चित रूप से नहीं होगा वह एक सामान्य हर में कमी है: कोई क्रॉस-क्रॉस विधियां नहीं, सबसे बड़ा कारक और सबसे छोटा सामान्य गुणक।

परिभाषा के अनुसार हमारे पास है:

भिन्नों को पूर्ण भागों और ऋणात्मक भिन्नों से गुणा करना

यदि भिन्नों में पूर्णांक भाग होता है, तो उन्हें अनुचित भागों में परिवर्तित किया जाना चाहिए - और उसके बाद ही ऊपर उल्लिखित योजनाओं के अनुसार गुणा किया जाना चाहिए।

यदि किसी भिन्न के अंश में, हर में या उसके सामने ऋण चिह्न हो तो उसे निम्नलिखित नियमों के अनुसार गुणन से निकाला जा सकता है या पूरी तरह से हटाया जा सकता है:

1. प्लस माइनस से माइनस देता है;
2. दो नकारात्मक एक सकारात्मक बनाते हैं।

अब तक, ये नियम केवल ऋणात्मक भिन्नों को जोड़ने और घटाने पर ही सामने आए हैं, जब पूरे भाग से छुटकारा पाना आवश्यक था। किसी कार्य के लिए, उन्हें एक साथ कई नुकसानों को "जलाने" के लिए सामान्यीकृत किया जा सकता है:

1. हम नकारात्मकताओं को जोड़े में तब तक काटते हैं जब तक वे पूरी तरह से गायब नहीं हो जातीं। चरम मामलों में, एक ऋण जीवित रह सकता है - वह जिसके लिए कोई साथी नहीं था;
2. यदि कोई माइनस नहीं बचा है, तो ऑपरेशन पूरा हो गया है - आप गुणा करना शुरू कर सकते हैं। यदि अंतिम ऋण को पार नहीं किया गया है क्योंकि इसके लिए कोई जोड़ा नहीं था, तो हम इसे गुणन की सीमा से बाहर ले जाते हैं। परिणाम एक ऋणात्मक अंश है.

काम। अभिव्यक्ति का अर्थ खोजें:

हम सभी भिन्नों को अनुचित भिन्नों में बदलते हैं, और फिर गुणन से ऋण निकाल देते हैं। जो बचता है उसे हम सामान्य नियमों के अनुसार गुणा करते हैं। हम पाते हैं:

मैं आपको एक बार फिर से याद दिला दूं कि हाइलाइट किए गए पूर्ण भाग के साथ भिन्न के सामने दिखाई देने वाला ऋण विशेष रूप से संपूर्ण भिन्न को संदर्भित करता है, न कि केवल उसके पूरे भाग को (यह पिछले दो उदाहरणों पर लागू होता है)।

ऋणात्मक संख्याओं पर भी ध्यान दें: गुणा करते समय, वे कोष्ठक में संलग्न होते हैं। ऐसा गुणन चिह्नों से ऋणों को अलग करने और संपूर्ण अंकन को अधिक सटीक बनाने के लिए किया जाता है।

तुरंत अंशों को कम करना

गुणन एक अत्यंत श्रमसाध्य कार्य है। यहां संख्याएं काफी बड़ी हैं, और समस्या को सरल बनाने के लिए, आप भिन्न को और कम करने का प्रयास कर सकते हैं गुणन से पहले. वास्तव में, संक्षेप में, भिन्नों के अंश और हर सामान्य गुणनखंड हैं, और इसलिए, उन्हें भिन्न के मूल गुण का उपयोग करके कम किया जा सकता है। उदाहरणों पर एक नज़र डालें:

काम। अभिव्यक्ति का अर्थ खोजें:

परिभाषा के अनुसार हमारे पास है:

सभी उदाहरणों में, जो संख्याएँ कम कर दी गई हैं और जो बची हैं उन्हें लाल रंग में चिह्नित किया गया है।

कृपया ध्यान दें: पहले मामले में, गुणक पूरी तरह से कम हो गए थे। उनके स्थान पर ऐसी इकाइयाँ बनी रहती हैं, जिन्हें सामान्यतः लिखने की आवश्यकता नहीं होती। दूसरे उदाहरण में, पूर्ण कमी हासिल करना संभव नहीं था, लेकिन गणना की कुल मात्रा फिर भी कम हो गई।

हालाँकि, भिन्नों को जोड़ते और घटाते समय कभी भी इस तकनीक का उपयोग न करें! हाँ, कभी-कभी ऐसी ही संख्याएँ होती हैं जिन्हें आप कम करना चाहते हैं। यहाँ, देखो:

आप ऐसा नहीं कर सकते!

त्रुटि इसलिए होती है क्योंकि जोड़ते समय, अंश का अंश योग उत्पन्न करता है, संख्याओं का गुणनफल नहीं। परिणामस्वरूप, भिन्न के मूल गुण को लागू करना असंभव है, क्योंकि यह गुण विशेष रूप से संख्याओं के गुणन से संबंधित है।

भिन्नों को कम करने का कोई अन्य कारण नहीं है, इसलिए पिछली समस्या का सही समाधान इस प्रकार दिखता है:

सही समाधान:

जैसा कि आप देख सकते हैं, सही उत्तर उतना सुंदर नहीं निकला। सामान्य तौर पर सावधान रहें.

अब जब हमने सीख लिया है कि अलग-अलग भिन्नों को कैसे जोड़ना और गुणा करना है, तो हम अधिक जटिल संरचनाओं को देख सकते हैं। उदाहरण के लिए, क्या होगा यदि उसी समस्या में भिन्नों को जोड़ना, घटाना और गुणा करना शामिल हो?

सबसे पहले, आपको सभी भिन्नों को अनुचित अंशों में बदलना होगा। फिर हम आवश्यक क्रियाएं क्रमिक रूप से करते हैं - सामान्य संख्याओं के समान क्रम में। अर्थात्:

1. घातांकीकरण पहले किया जाता है - घातांक वाले सभी भावों से छुटकारा पाएं;
2. फिर - विभाजन और गुणा;
3. अंतिम चरण जोड़ और घटाव है।

बेशक, यदि अभिव्यक्ति में कोष्ठक हैं, तो संचालन का क्रम बदल जाता है - कोष्ठक के अंदर जो कुछ भी है उसे पहले गिना जाना चाहिए। और अनुचित भिन्नों के बारे में याद रखें: आपको पूरे भाग को तभी उजागर करने की आवश्यकता है जब अन्य सभी क्रियाएं पहले ही पूरी हो चुकी हों।

आइए पहले व्यंजक से सभी भिन्नों को अनुचित भिन्नों में बदलें, और फिर निम्नलिखित चरण निष्पादित करें:

आइए अब दूसरे व्यंजक का मान ज्ञात करें। पूर्णांक भाग के साथ कोई भिन्न नहीं होती है, लेकिन कोष्ठक होते हैं, इसलिए पहले हम जोड़ करते हैं, और उसके बाद ही विभाजन करते हैं। ध्यान दें कि 14 = 7 · 2. तब:

अंत में, तीसरे उदाहरण पर विचार करें। यहां कोष्ठक और एक डिग्री हैं - उन्हें अलग से गिनना बेहतर है। यह मानते हुए कि 9 = 3 3, हमारे पास है:

अंतिम उदाहरण पर ध्यान दें. किसी भिन्न को घात तक बढ़ाने के लिए, आपको अंश को इस घात तक अलग से और हर को अलग से बढ़ाना होगा।

आप अलग-अलग निर्णय ले सकते हैं. यदि हम डिग्री की परिभाषा को याद करें, तो समस्या भिन्नों के सामान्य गुणन तक कम हो जाएगी:

मल्टीस्टोरी अंश

अब तक, हमने केवल "शुद्ध" भिन्नों पर विचार किया है, जब अंश और हर साधारण संख्याएँ होते हैं। यह पहले पाठ में दी गई संख्या भिन्न की परिभाषा के बिल्कुल अनुरूप है।

लेकिन यदि आप अंश या हर में अधिक जटिल वस्तु डाल दें तो क्या होगा? उदाहरण के लिए, एक और संख्यात्मक अंश? ऐसे निर्माण अक्सर सामने आते हैं, खासकर जब लंबे भावों के साथ काम करते हैं। यहां कुछ उदाहरण दिए गए हैं:

बहु-स्तरीय भिन्नों के साथ काम करने का केवल एक ही नियम है: आपको उनसे तुरंत छुटकारा पाना होगा। यदि आपको याद है कि स्लैश का मतलब मानक विभाजन ऑपरेशन है तो "अतिरिक्त" फर्श को हटाना काफी सरल है। इसलिए, किसी भी भिन्न को इस प्रकार पुनः लिखा जा सकता है:

इस तथ्य का उपयोग करते हुए और प्रक्रिया का पालन करते हुए, हम आसानी से किसी भी बहुमंजिला अंश को एक साधारण अंश में बदल सकते हैं। उदाहरणों पर एक नज़र डालें:

काम। मल्टीस्टोरी भिन्नों को साधारण अंशों में बदलें:

प्रत्येक मामले में, हम विभाजन रेखा को विभाजन चिह्न से प्रतिस्थापित करते हुए, मुख्य अंश को फिर से लिखते हैं। यह भी याद रखें कि किसी भी पूर्णांक को 1 के हर वाले भिन्न के रूप में दर्शाया जा सकता है 12 = 12/1; 3 = 3/1. हम पाते हैं:

पिछले उदाहरण में, अंतिम गुणन से पहले भिन्नों को रद्द कर दिया गया था।

बहु-स्तरीय भिन्नों के साथ कार्य करने की विशिष्टताएँ

बहु-स्तरीय भिन्नों में एक सूक्ष्मता है जिसे हमेशा याद रखना चाहिए, अन्यथा आपको गलत उत्तर मिल सकता है, भले ही सभी गणनाएँ सही हों। नज़र रखना:

1. अंश में एकल संख्या 7 होती है, और हर में भिन्न 12/5 होता है;
2. अंश में भिन्न 7/12 होता है, और हर में अलग संख्या 5 होती है।

तो, एक रिकॉर्डिंग के लिए हमें दो पूरी तरह से अलग-अलग व्याख्याएँ मिलीं। गिनोगे तो उत्तर भी अलग-अलग होंगे:

यह सुनिश्चित करने के लिए कि रिकॉर्ड हमेशा स्पष्ट रूप से पढ़ा जाता है, एक सरल नियम का उपयोग करें: मुख्य अंश की विभाजन रेखा नेस्टेड अंश की रेखा से अधिक लंबी होनी चाहिए। अधिमानतः कई बार.

यदि आप इस नियम का पालन करते हैं, तो उपरोक्त भिन्नों को इस प्रकार लिखा जाना चाहिए:

हाँ, यह शायद भद्दा है और बहुत अधिक जगह लेता है। लेकिन आप सही गिनती करेंगे. अंत में, कुछ उदाहरण जहां बहु-कहानी अंश वास्तव में उत्पन्न होते हैं:

काम। भावों के अर्थ खोजें:

तो, आइए पहले उदाहरण के साथ काम करें। आइए सभी भिन्नों को अनुचित भिन्नों में बदलें, और फिर जोड़ और विभाजन संक्रियाएँ करें:

आइए दूसरे उदाहरण के साथ भी ऐसा ही करें। आइए सभी भिन्नों को अनुचित अंशों में बदलें और आवश्यक संक्रियाएँ निष्पादित करें। पाठक को बोर न करने के लिए, मैं कुछ स्पष्ट गणनाएँ छोड़ दूँगा। हमारे पास है:

इस तथ्य के कारण कि मूल भिन्नों के अंश और हर में योग होता है, बहु-कहानी भिन्न लिखने का नियम स्वचालित रूप से मनाया जाता है। इसके अलावा, पिछले उदाहरण में, हमने विभाजन करने के लिए जानबूझकर 46/1 को भिन्न रूप में छोड़ दिया।

मैं यह भी नोट करूंगा कि दोनों उदाहरणों में भिन्न पट्टी वास्तव में कोष्ठक को प्रतिस्थापित करती है: सबसे पहले, हमने योग पाया, और उसके बाद ही भागफल पाया।

कुछ लोग कहेंगे कि दूसरे उदाहरण में अनुचित भिन्नों में परिवर्तन स्पष्ट रूप से अनावश्यक था। शायद ये सच है. लेकिन ऐसा करके हम गलतियों के प्रति खुद को सुरक्षित रखते हैं, क्योंकि अगली बार उदाहरण और अधिक जटिल हो सकता है। अपने लिए चुनें कि क्या अधिक महत्वपूर्ण है: गति या विश्वसनीयता।

§ 87. भिन्नों का योग.

भिन्नों को जोड़ने में पूर्ण संख्याओं को जोड़ने के समान कई समानताएँ होती हैं। भिन्नों का योग एक ऐसी क्रिया है जिसमें कई दी गई संख्याओं (पदों) को एक संख्या (योग) में संयोजित किया जाता है, जिसमें पदों की इकाइयों की सभी इकाइयाँ और भिन्न शामिल होते हैं।

हम क्रमिक रूप से तीन मामलों पर विचार करेंगे:

1. समान हर वाली भिन्नों का योग।
2. विभिन्न हर वाली भिन्नों का योग।
3. मिश्रित संख्याओं का योग.

1. समान हर वाली भिन्नों का योग।

एक उदाहरण पर विचार करें: 1/5 + 2/5।

आइए खंड AB (चित्र 17) लें, इसे एक मानें और इसे 5 बराबर भागों में विभाजित करें, फिर इस खंड का भाग AC खंड AB के 1/5 के बराबर होगा, और उसी खंड CD का भाग बराबर होगा 2/5 एबी.

चित्र से यह स्पष्ट है कि यदि हम खंड AD लें, तो यह 3/5 AB के बराबर होगा; लेकिन खंड AD बिल्कुल खंड AC और CD का योग है। तो हम लिख सकते हैं:

1 / 5 + 2 / 5 = 3 / 5

इन पदों और परिणामी योग पर विचार करने पर, हम देखते हैं कि योग का अंश पदों के अंशों को जोड़कर प्राप्त किया गया था, और हर अपरिवर्तित रहा।

इससे हमें निम्नलिखित नियम प्राप्त होता है: समान हर वाली भिन्नों को जोड़ने के लिए, आपको उनके अंशों को जोड़ना होगा और हर को समान छोड़ना होगा।

आइए एक उदाहरण देखें:

2. विभिन्न हर वाली भिन्नों का योग।

आइए भिन्नों को जोड़ें: 3 / 4 + 3 / 8 सबसे पहले उन्हें सबसे कम सामान्य विभाजक तक कम करने की आवश्यकता है:

मध्यवर्ती लिंक 6/8 + 3/8 लिखा नहीं जा सका; हमने इसे स्पष्टता के लिए यहां लिखा है।

इस प्रकार, अलग-अलग हर वाले भिन्नों को जोड़ने के लिए, आपको पहले उन्हें सबसे कम सामान्य हर तक कम करना होगा, उनके अंश जोड़ना होगा और सामान्य हर को लेबल करना होगा।

आइए एक उदाहरण पर विचार करें (हम संगत भिन्नों के ऊपर अतिरिक्त गुणनखंड लिखेंगे):

3. मिश्रित संख्याओं का योग.

आइए संख्याएँ जोड़ें: 2 3/8 + 3 5/6।

आइए सबसे पहले अपनी संख्याओं के भिन्नात्मक भागों को एक सामान्य हर में लाएँ और उन्हें फिर से लिखें:

अब हम पूर्णांक और भिन्नात्मक भागों को क्रमिक रूप से जोड़ते हैं:

§ 88. भिन्नों का घटाव।

भिन्नों को घटाना पूर्ण संख्याओं को घटाने की तरह ही परिभाषित किया गया है। यह एक ऐसी क्रिया है जिसकी सहायता से दो पदों और उनमें से एक का योग करने पर दूसरा पद ज्ञात किया जाता है। आइए लगातार तीन मामलों पर विचार करें:

1. समान हर वाली भिन्नों को घटाना।
2. विभिन्न हर वाली भिन्नों को घटाना।
3. मिश्रित संख्याओं का घटाव।

1. समान हर वाली भिन्नों को घटाना।

आइए एक उदाहरण देखें:

13 / 15 - 4 / 15

आइए खंड AB (चित्र 18) लें, इसे एक इकाई के रूप में लें और इसे 15 बराबर भागों में विभाजित करें; तो इस खंड का भाग AC, AB के 1/15 का प्रतिनिधित्व करेगा, और उसी खंड का भाग AD, 13/15 AB के अनुरूप होगा। आइए 4/15 एबी के बराबर एक और खंड ईडी को अलग रखें।

हमें भिन्न 4/15 को 13/15 से घटाना है। ड्राइंग में, इसका मतलब है कि खंड ईडी को खंड एडी से घटाया जाना चाहिए। परिणामस्वरूप, खंड AE बना रहेगा, जो खंड AB का 9/15 है। तो हम लिख सकते हैं:

हमने जो उदाहरण बनाया, उससे पता चलता है कि अंशों को घटाकर अंतर का अंश प्राप्त किया गया था, लेकिन हर वही रहा।

इसलिए, समान हर वाली भिन्नों को घटाने के लिए, आपको उपअंक के अंश को लघुअंत के अंश से घटाना होगा और हर को समान छोड़ना होगा।

2. विभिन्न हर वाली भिन्नों को घटाना।

उदाहरण। 3/4 - 5/8

सबसे पहले, आइए इन भिन्नों को न्यूनतम सामान्य हर तक घटाएँ:

मध्यवर्ती 6 / 8 - 5 / 8 यहां स्पष्टता के लिए लिखा गया है, लेकिन बाद में इसे छोड़ा जा सकता है।

इस प्रकार, किसी भिन्न में से भिन्न को घटाने के लिए, आपको पहले उन्हें न्यूनतम सामान्य हर तक कम करना होगा, फिर लघुअंत के अंश को लघुअंक के अंश से घटाना होगा और उनके अंतर के तहत सामान्य हर पर हस्ताक्षर करना होगा।

आइए एक उदाहरण देखें:

3. मिश्रित संख्याओं का घटाव।

उदाहरण। 10 3/4 - 7 2/3.

आइए हम न्यूनतम के भिन्नात्मक भागों को कम करें और निम्नतम सामान्य हर को घटाएँ:

हमने पूर्ण में से पूर्ण और भिन्न में से भिन्न को घटा दिया। लेकिन ऐसे मामले भी होते हैं जब सबट्रेंड का भिन्नात्मक भाग मीनूएंड के भिन्नात्मक भाग से अधिक होता है। ऐसे मामलों में, आपको मीनूएंड के पूरे भाग से एक इकाई लेने की ज़रूरत है, इसे उन हिस्सों में विभाजित करें जिनमें भिन्नात्मक भाग व्यक्त किया गया है, और इसे मीनूएंड के भिन्नात्मक भाग में जोड़ें। और फिर घटाव पिछले उदाहरण की तरह ही किया जाएगा:

§ 89. भिन्नों का गुणन।

भिन्न गुणन का अध्ययन करते समय, हम निम्नलिखित प्रश्नों पर विचार करेंगे:

1. किसी भिन्न को पूर्ण संख्या से गुणा करना।
2. किसी दी गई संख्या का भिन्न ज्ञात करना।
3. किसी पूर्ण संख्या को भिन्न से गुणा करना।
4. भिन्न को भिन्न से गुणा करना।
5. मिश्रित संख्याओं का गुणन।
6. रुचि की अवधारणा.
7. किसी दी गई संख्या का प्रतिशत ज्ञात करना। आइए इन पर सिलसिलेवार विचार करें।

1. किसी भिन्न को पूर्ण संख्या से गुणा करना।

किसी भिन्न को किसी पूर्ण संख्या से गुणा करने का वही अर्थ होता है जो किसी पूर्ण संख्या को पूर्णांक से गुणा करने का होता है। किसी भिन्न (गुणक) को पूर्णांक (कारक) से गुणा करने का अर्थ है समान पदों का योग बनाना, जिसमें प्रत्येक पद गुणक के बराबर होता है, और पदों की संख्या गुणक के बराबर होती है।

इसका मतलब यह है कि यदि आपको 1/9 को 7 से गुणा करना है, तो यह इस प्रकार किया जा सकता है:

हमने आसानी से परिणाम प्राप्त कर लिया, क्योंकि क्रिया को समान हर वाले भिन्नों को जोड़ने तक सीमित कर दिया गया था। इस तरह,

इस क्रिया पर विचार करने से पता चलता है कि किसी भिन्न को किसी पूर्ण संख्या से गुणा करना इस भिन्न को उतनी बार बढ़ाने के बराबर है जितनी पूर्ण संख्या में इकाइयाँ हों। और चूंकि भिन्न को बढ़ाना या तो उसके अंश को बढ़ाकर प्राप्त किया जाता है

या इसके हर को कम करके , तो हम या तो अंश को पूर्णांक से गुणा कर सकते हैं या हर को उससे विभाजित कर सकते हैं, यदि ऐसा विभाजन संभव है।

यहाँ से हमें नियम मिलता है:

किसी भिन्न को किसी पूर्ण संख्या से गुणा करने के लिए, आप अंश को उस पूर्ण संख्या से गुणा करें और हर को वही छोड़ दें, या, यदि संभव हो, तो हर को उस संख्या से विभाजित करें, अंश को अपरिवर्तित छोड़ दें।

गुणा करते समय, संक्षिप्ताक्षर संभव हैं, उदाहरण के लिए:

2. किसी दी गई संख्या का भिन्न ज्ञात करना।ऐसी कई समस्याएं हैं जिनमें आपको किसी दी गई संख्या का भाग ढूंढना या गणना करना होता है। इन समस्याओं और अन्य समस्याओं के बीच अंतर यह है कि वे कुछ वस्तुओं या माप की इकाइयों की संख्या देते हैं और आपको इस संख्या का एक भाग खोजने की आवश्यकता होती है, जिसे यहां एक निश्चित अंश द्वारा भी दर्शाया गया है। समझने की सुविधा के लिए, हम पहले ऐसी समस्याओं के उदाहरण देंगे, और फिर उन्हें हल करने की एक विधि पेश करेंगे।

कार्य 1।मेरे पास 60 रूबल थे; मैंने इस पैसे का 1/3 हिस्सा किताबें खरीदने पर खर्च किया। किताबों की कीमत कितनी थी?

कार्य 2.ट्रेन को शहर A और B के बीच 300 किमी के बराबर दूरी तय करनी होगी। वह इस दूरी का 2/3 भाग पहले ही तय कर चुका है। यह कितने किलोमीटर है?

कार्य 3.गाँव में 400 घर हैं, उनमें से 3/4 ईंट के हैं, बाकी लकड़ी के हैं। कुल कितने ईंट के घर हैं?

ये उन कई समस्याओं में से कुछ हैं जिनका सामना हम किसी दी गई संख्या का भाग ढूंढने में करते हैं। इन्हें आमतौर पर किसी दी गई संख्या का भिन्न ज्ञात करने की समस्याएँ कहा जाता है।

समस्या का समाधान 1. 60 रूबल से। मैंने किताबों पर 1/3 खर्च किया; इसका मतलब यह है कि किताबों की कीमत जानने के लिए आपको संख्या 60 को 3 से विभाजित करना होगा:

समस्या का समाधान 2.समस्या की बात यह है कि आपको 300 किमी का 2/3 भाग ढूंढना होगा। आइए पहले 300 में से 1/3 की गणना करें; यह 300 किमी को 3 से विभाजित करके प्राप्त किया जाता है:

300: 3 = 100 (अर्थात 300 का 1/3)।

300 का दो-तिहाई निकालने के लिए, आपको परिणामी भागफल को दोगुना करना होगा, यानी 2 से गुणा करना होगा:

100 x 2 = 200 (अर्थात 300 का 2/3)।

समस्या का समाधान 3.यहां आपको ईंट के मकानों की संख्या निर्धारित करने की आवश्यकता है जो 400 में से 3/4 बनाते हैं। आइए पहले 400 में से 1/4 खोजें,

400: 4 = 100 (अर्थात् 400 का 1/4)।

400 के तीन चौथाई की गणना करने के लिए, परिणामी भागफल को तीन गुना करना होगा, यानी 3 से गुणा करना होगा:

100 x 3 = 300 (अर्थात् 400 का 3/4)।

इन समस्याओं के समाधान के आधार पर, हम निम्नलिखित नियम प्राप्त कर सकते हैं:

किसी दी गई संख्या से भिन्न का मान ज्ञात करने के लिए, आपको इस संख्या को भिन्न के हर से विभाजित करना होगा और परिणामी भागफल को उसके अंश से गुणा करना होगा।

3. किसी पूर्ण संख्या को भिन्न से गुणा करना।

पहले (§ 26) यह स्थापित किया गया था कि पूर्णांकों के गुणन को समान पदों के योग के रूप में समझा जाना चाहिए (5 x 4 = 5+5 +5+5 = 20)। इस पैराग्राफ (बिंदु 1) में यह स्थापित किया गया था कि किसी भिन्न को पूर्णांक से गुणा करने का अर्थ है इस भिन्न के बराबर समान पदों का योग ज्ञात करना।

दोनों मामलों में, गुणन में समान पदों का योग ज्ञात करना शामिल था।

अब हम किसी पूर्ण संख्या को भिन्न से गुणा करने की ओर बढ़ते हैं। यहां हमारा सामना होगा, उदाहरण के लिए, गुणन: 9 2 / 3। यह स्पष्ट है कि गुणन की पिछली परिभाषा इस मामले पर लागू नहीं होती है। यह इस तथ्य से स्पष्ट है कि हम ऐसे गुणन को समान संख्याएँ जोड़कर प्रतिस्थापित नहीं कर सकते।

इस कारण हमें गुणन की एक नयी परिभाषा देनी होगी अर्थात् दूसरे शब्दों में इस प्रश्न का उत्तर देना होगा कि भिन्न से गुणा करने पर क्या समझा जाना चाहिए, इस क्रिया को किस प्रकार समझा जाना चाहिए।

किसी पूर्ण संख्या को भिन्न से गुणा करने का अर्थ निम्नलिखित परिभाषा से स्पष्ट है: एक पूर्णांक (गुणक) को एक भिन्न (गुणक) से गुणा करने का अर्थ है गुणक के इस अंश को ज्ञात करना।

अर्थात्, 9 को 2/3 से गुणा करने का अर्थ है नौ इकाइयों में से 2/3 ज्ञात करना। पिछले पैराग्राफ में, ऐसी समस्याओं का समाधान किया गया था; इसलिए यह पता लगाना आसान है कि हम 6 पर समाप्त होंगे।

लेकिन अब एक दिलचस्प और महत्वपूर्ण सवाल उठता है: समान संख्याओं का योग ज्ञात करना और किसी संख्या का भिन्न ज्ञात करना जैसे अलग-अलग प्रतीत होने वाले कार्यों को अंकगणित में एक ही शब्द "गुणा" क्यों कहा जाता है?

ऐसा इसलिए होता है क्योंकि पिछली क्रिया (किसी संख्या को पदों के साथ कई बार दोहराना) और नई क्रिया (किसी संख्या का भिन्न ज्ञात करना) सजातीय प्रश्नों के उत्तर देती है। इसका मतलब यह है कि हम यहां इस विचार से आगे बढ़ते हैं कि सजातीय प्रश्न या कार्य एक ही क्रिया द्वारा हल किए जाते हैं।

इसे समझने के लिए, निम्नलिखित समस्या पर विचार करें: “1 मीटर कपड़े की कीमत 50 रूबल है। ऐसे 4 मीटर कपड़े की लागत कितनी होगी?

इस समस्या को रूबल की संख्या (50) को मीटर की संख्या (4) से गुणा करके हल किया जाता है, यानी 50 x 4 = 200 (रूबल)।

आइए वही समस्या लें, लेकिन इसमें कपड़े की मात्रा को एक अंश के रूप में व्यक्त किया जाएगा: “1 मीटर कपड़े की कीमत 50 रूबल है। ऐसे 3/4 मीटर कपड़े की लागत कितनी होगी?”

इस समस्या को रूबल की संख्या (50) को मीटर की संख्या (3/4) से गुणा करके भी हल करने की आवश्यकता है।

आप समस्या का अर्थ बदले बिना इसमें संख्याओं को कई बार बदल सकते हैं, उदाहरण के लिए, 9/10 मीटर या 2 3/10 मीटर आदि लें।

चूँकि इन समस्याओं की विषय-वस्तु समान है और केवल संख्याओं में अंतर है, इसलिए इन्हें हल करने में प्रयुक्त क्रियाओं को हम एक ही शब्द - गुणन कहते हैं।

आप किसी पूर्ण संख्या को भिन्न से कैसे गुणा करते हैं?

आइए अंतिम समस्या में सामने आए नंबरों को लें:

परिभाषा के अनुसार, हमें 50 का 3/4 खोजना होगा। आइए पहले 50 का 1/4 निकालें, और फिर 3/4।

50 का 1/4, 50/4 है;

संख्या 50 का 3/4 है।

इस तरह।

आइए एक और उदाहरण पर विचार करें: 12 5 / 8 =?

संख्या 12 का 1/8, 12/8 है,

संख्या 12 का 5/8 है।

इस तरह,

यहाँ से हमें नियम मिलता है:

किसी पूर्ण संख्या को भिन्न से गुणा करने के लिए, आपको पूर्ण संख्या को भिन्न के अंश से गुणा करना होगा और इस गुणनफल को अंश बनाना होगा, और इस भिन्न के हर पर हर के रूप में हस्ताक्षर करना होगा।

आइए इस नियम को अक्षरों का उपयोग करके लिखें:

इस नियम को पूर्णतः स्पष्ट करने के लिए यह याद रखना चाहिए कि भिन्न को भागफल माना जा सकता है। इसलिए, किसी संख्या को भागफल से गुणा करने के नियम के साथ पाए गए नियम की तुलना करना उपयोगी है, जो § 38 में निर्धारित किया गया था

यह याद रखना महत्वपूर्ण है कि गुणा करने से पहले आपको (यदि संभव हो तो) करना चाहिए। कटौती, उदाहरण के लिए:

4. भिन्न को भिन्न से गुणा करना।किसी भिन्न को किसी भिन्न से गुणा करने का वही अर्थ होता है जो किसी पूर्ण संख्या को भिन्न से गुणा करने का होता है, यानी, किसी भिन्न को भिन्न से गुणा करते समय, आपको पहले भिन्न (गुणक) से गुणनखंड में मौजूद भिन्न को ढूंढना होगा।

अर्थात्, 3/4 को 1/2 (आधा) से गुणा करने का अर्थ है 3/4 का आधा ज्ञात करना।

आप भिन्न को भिन्न से कैसे गुणा करते हैं?

आइए एक उदाहरण लें: 3/4 को 5/7 से गुणा करें। इसका मतलब है कि आपको 3/4 में से 5/7 ढूंढना होगा। आइए पहले 3/4 का 1/7 निकालें, और फिर 5/7 निकालें

संख्या 3/4 का 1/7 भाग इस प्रकार व्यक्त किया जाएगा:

5/7 संख्या 3/4 को इस प्रकार व्यक्त किया जाएगा:

इस प्रकार,

दूसरा उदाहरण: 5/8 को 4/9 से गुणा किया गया।

5/8 का 1/9 है,

संख्या 5/8 का 4/9 है।

इस प्रकार,

इन उदाहरणों से निम्नलिखित नियम निकाला जा सकता है:

किसी भिन्न को भिन्न से गुणा करने के लिए, आपको अंश को अंश से और हर को हर से गुणा करना होगा, और पहले गुणनफल को अंश और दूसरे गुणनफल को गुणनफल का हर बनाना होगा।

इस नियम को सामान्य रूप में इस प्रकार लिखा जा सकता है:

गुणा करते समय (यदि संभव हो तो) कटौती करना आवश्यक है। आइए उदाहरण देखें:

5. मिश्रित संख्याओं का गुणन।चूंकि मिश्रित संख्याओं को आसानी से अनुचित भिन्नों द्वारा प्रतिस्थापित किया जा सकता है, इसलिए इस परिस्थिति का उपयोग आमतौर पर मिश्रित संख्याओं को गुणा करते समय किया जाता है। इसका मतलब यह है कि ऐसे मामलों में जहां गुणक, या गुणक, या दोनों कारकों को मिश्रित संख्याओं के रूप में व्यक्त किया जाता है, उन्हें अनुचित भिन्नों द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है। आइए, उदाहरण के लिए, मिश्रित संख्याओं को गुणा करें: 2 1/2 और 3 1/5। आइए उनमें से प्रत्येक को एक अनुचित भिन्न में बदलें और फिर परिणामी भिन्न को भिन्न से भिन्न को गुणा करने के नियम के अनुसार गुणा करें:

नियम।मिश्रित संख्याओं को गुणा करने के लिए, आपको पहले उन्हें अनुचित भिन्नों में बदलना होगा और फिर भिन्नों को भिन्नों से गुणा करने के नियम के अनुसार उन्हें गुणा करना होगा।

टिप्पणी।यदि कारकों में से एक पूर्णांक है, तो वितरण कानून के आधार पर गुणन निम्नानुसार किया जा सकता है:

6. रुचि की अवधारणा.समस्याओं को हल करते समय और विभिन्न व्यावहारिक गणनाएँ करते समय, हम सभी प्रकार के भिन्नों का उपयोग करते हैं। लेकिन यह ध्यान में रखना चाहिए कि कई मात्राएँ किसी भी प्रकार की नहीं, बल्कि उनके लिए प्राकृतिक विभाजन की अनुमति देती हैं। उदाहरण के लिए, आप एक रूबल का सौवां हिस्सा (1/100) ले सकते हैं, यह एक कोपेक होगा, दो सौवां हिस्सा 2 कोपेक है, तीन सौवां हिस्सा 3 कोपेक है। आप एक रूबल का 1/10 हिस्सा ले सकते हैं, यह "10 कोपेक, या दस-कोपेक का टुकड़ा होगा। आप एक चौथाई रूबल, यानी 25 कोपेक, आधा रूबल, यानी 50 कोपेक (पचास कोपेक) ले सकते हैं। लेकिन वे व्यावहारिक रूप से इसे नहीं लेते हैं, उदाहरण के लिए, रूबल का 2/7 क्योंकि रूबल सातवें में विभाजित नहीं है।

वजन की इकाई, यानी किलोग्राम, मुख्य रूप से दशमलव विभाजन की अनुमति देती है, उदाहरण के लिए 1/10 किलोग्राम, या 100 ग्राम। और किलोग्राम के ऐसे अंश जैसे 1/6, 1/11, 1/13 आम नहीं हैं।

सामान्य तौर पर, हमारे (मीट्रिक) माप दशमलव होते हैं और दशमलव विभाजन की अनुमति देते हैं।

हालाँकि, यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि विभिन्न प्रकार के मामलों में मात्राओं को उप-विभाजित करने की एक ही (समान) विधि का उपयोग करना बेहद उपयोगी और सुविधाजनक है। कई वर्षों के अनुभव से पता चला है कि इतना उचित विभाजन "सौवां" विभाजन है। आइए मानव अभ्यास के सबसे विविध क्षेत्रों से संबंधित कई उदाहरणों पर विचार करें।

1. किताबों की कीमत पिछली कीमत से 12/100 कम हो गई है।

उदाहरण। किताब की पिछली कीमत 10 रूबल थी. इसमें 1 रूबल की कमी आई। 20 कोप्पेक

2. बचत बैंक जमाकर्ताओं को वर्ष के दौरान बचत के लिए जमा की गई राशि का 2/100 भुगतान करते हैं।

उदाहरण। कैश रजिस्टर में 500 रूबल जमा किए जाते हैं, इस राशि से वर्ष के लिए आय 10 रूबल है।

3. एक स्कूल से स्नातकों की संख्या कुल छात्रों की संख्या का 5/100 थी।

उदाहरण स्कूल में केवल 1,200 छात्र थे, जिनमें से 60 ने स्नातक की उपाधि प्राप्त की।

किसी संख्या का सौवाँ भाग प्रतिशत कहलाता है.

शब्द "प्रतिशत" लैटिन भाषा से लिया गया है और इसके मूल "सेंट" का अर्थ है एक सौ। पूर्वसर्ग (प्रो सेंटम) के साथ, इस शब्द का अर्थ है "सौ के लिए।" इस अभिव्यक्ति का अर्थ इस तथ्य से पता चलता है कि प्रारंभ में प्राचीन रोम में ब्याज उस पैसे को दिया गया नाम था जिसे देनदार ऋणदाता को "प्रत्येक सौ के लिए" चुकाता था। शब्द "सेंट" ऐसे परिचित शब्दों में सुना जाता है: सेंटनर (एक सौ किलोग्राम), सेंटीमीटर (सेंटीमीटर कहें)।

उदाहरण के लिए, यह कहने के बजाय कि पिछले महीने में संयंत्र ने उत्पादित सभी उत्पादों में से 1/100 उत्पाद ख़राब थे, हम यह कहेंगे: पिछले महीने में संयंत्र ने एक प्रतिशत ख़राब उत्पादन किया। यह कहने के बजाय: संयंत्र ने स्थापित योजना से 4/100 अधिक उत्पादों का उत्पादन किया, हम कहेंगे: संयंत्र ने योजना से 4 प्रतिशत अधिक उत्पाद तैयार किए।

उपरोक्त उदाहरणों को अलग ढंग से व्यक्त किया जा सकता है:

1. किताबों की कीमत पिछली कीमत से 12 फीसदी कम हो गई है.

2. बचत बैंक जमाकर्ताओं को बचत में जमा राशि पर प्रति वर्ष 2 प्रतिशत का भुगतान करते हैं।

3. एक स्कूल से स्नातक करने वालों की संख्या सभी स्कूली छात्रों की 5 प्रतिशत थी।

अक्षर को छोटा करने के लिए "प्रतिशत" शब्द के स्थान पर % चिन्ह लिखने की प्रथा है।

हालाँकि, आपको यह याद रखना होगा कि गणना में % चिह्न आमतौर पर नहीं लिखा जाता है; इसे समस्या विवरण और अंतिम परिणाम में लिखा जा सकता है। गणना करते समय, आपको इस प्रतीक के साथ पूर्ण संख्या के बजाय 100 के हर के साथ एक अंश लिखना होगा।

आपको संकेतित चिह्न वाले पूर्णांक को 100 के हर वाले भिन्न से बदलने में सक्षम होना चाहिए:

इसके विपरीत, आपको 100 के हर वाले भिन्न के बजाय संकेतित प्रतीक के साथ एक पूर्णांक लिखने की आदत डालनी होगी:

7. किसी दी गई संख्या का प्रतिशत ज्ञात करना।

कार्य 1।स्कूल को 200 घन मीटर पानी मिला। मी जलाऊ लकड़ी, जिसमें बर्च जलाऊ लकड़ी 30% है। वहां कितनी बर्च जलाऊ लकड़ी थी?

इस समस्या का अर्थ यह है कि बर्च जलाऊ लकड़ी स्कूल में पहुंचाई गई जलाऊ लकड़ी का केवल एक हिस्सा है, और यह हिस्सा 30/100 अंश में व्यक्त किया गया है। इसका मतलब है कि हमारे पास किसी संख्या का भिन्न ज्ञात करने का कार्य है। इसे हल करने के लिए, हमें 200 को 30/100 से गुणा करना होगा (किसी संख्या का भिन्न ज्ञात करने की समस्याएँ उस संख्या को भिन्न से गुणा करने से हल हो जाती हैं।)

इसका मतलब है कि 200 का 30% 60 के बराबर है।

इस समस्या में आने वाले अंश 30/100 को 10 से कम किया जा सकता है। यह कमी शुरू से ही करना संभव होगा; समस्या का समाधान नहीं बदला होता.

कार्य 2.शिविर में विभिन्न उम्र के 300 बच्चे थे। 11 साल के बच्चे 21%, 12 साल के बच्चे 61% और अंततः 13 साल के बच्चे 18% हैं। शिविर में प्रत्येक आयु के कितने बच्चे थे?

इस समस्या में आपको तीन गणनाएँ करने की आवश्यकता है, अर्थात् क्रमिक रूप से 11 वर्ष, फिर 12 वर्ष और अंत में 13 वर्ष के बच्चों की संख्या ज्ञात करें।

इसका मतलब है कि यहां आपको किसी संख्या का भिन्न तीन बार निकालना होगा। चलो यह करते हैं:

1) वहां 11 साल के कितने बच्चे थे?

2) 12 साल के कितने बच्चे थे?

3) वहां 13 साल के कितने बच्चे थे?

समस्या को हल करने के बाद, पाए गए नंबरों को जोड़ना उपयोगी होता है; उनका योग 300 होना चाहिए:

63 + 183 + 54 = 300

यह भी ध्यान दिया जाना चाहिए कि समस्या विवरण में दिए गए प्रतिशत का योग 100 है:

21% + 61% + 18% = 100%

इससे पता चलता है कि शिविर में बच्चों की कुल संख्या 100% मानी गई।

3 ए डी ए एच ए 3.कर्मचारी को प्रति माह 1,200 रूबल मिलते थे। इसमें से उन्होंने 65% भोजन पर, 6% अपार्टमेंट और हीटिंग पर, 4% गैस, बिजली और रेडियो पर, 10% सांस्कृतिक जरूरतों पर और 15% बचाया। कार्य में दर्शाई गई आवश्यकताओं पर कितना धन व्यय किया गया?

इस समस्या को हल करने के लिए आपको 1,200 का भिन्न 5 बार ज्ञात करना होगा। आइए ऐसा करते हैं।

1) खाने पर कितना पैसा खर्च हुआ? समस्या कहती है कि यह खर्च कुल कमाई का 65% है, यानी 1,200 की संख्या का 65/100। आइए गणना करें:

2) हीटिंग वाले अपार्टमेंट के लिए आपने कितना पैसा चुकाया? पिछले वाले के समान तर्क करते हुए, हम निम्नलिखित गणना पर पहुंचते हैं:

3) गैस, बिजली और रेडियो के लिए आपने कितना पैसा दिया?

4) सांस्कृतिक जरूरतों पर कितना पैसा खर्च किया गया?

5) कर्मचारी ने कितना पैसा बचाया?

जाँच करने के लिए, इन 5 प्रश्नों में पाए गए अंकों को जोड़ना उपयोगी है। राशि 1,200 रूबल होनी चाहिए। सभी कमाई को 100% माना जाता है, जिसे समस्या विवरण में दिए गए प्रतिशत संख्याओं को जोड़कर जांचना आसान है।

हमने तीन समस्याओं का समाधान किया. इस तथ्य के बावजूद कि ये समस्याएं अलग-अलग चीजों (स्कूल के लिए जलाऊ लकड़ी की डिलीवरी, विभिन्न उम्र के बच्चों की संख्या, कार्यकर्ता के खर्च) से संबंधित थीं, उन्हें उसी तरह हल किया गया था। ऐसा इसलिए हुआ क्योंकि सभी समस्याओं में दी गई संख्याओं का कई प्रतिशत ज्ञात करना आवश्यक था।

§ 90. भिन्नों का विभाजन।

जब हम भिन्नों के विभाजन का अध्ययन करते हैं, तो हम निम्नलिखित प्रश्नों पर विचार करेंगे:

1. एक पूर्णांक को एक पूर्णांक से विभाजित करें।
2. किसी भिन्न को पूर्ण संख्या से भाग देना
3. किसी पूर्ण संख्या को भिन्न से भाग देना।
4. भिन्न को भिन्न से भाग देना।
5. मिश्रित संख्याओं का विभाजन.
6. किसी संख्या को उसके दिए गए भिन्न से ज्ञात करना।
7. किसी संख्या को उसके प्रतिशत से ज्ञात करना।

आइए इन पर सिलसिलेवार विचार करें।

1. एक पूर्णांक को एक पूर्णांक से विभाजित करें।

जैसा कि पूर्णांकों के विभाग में संकेत दिया गया था, विभाजन वह क्रिया है जिसमें यह तथ्य शामिल होता है कि, दो कारकों (लाभांश) और इनमें से एक कारक (भाजक) के उत्पाद को देखते हुए, एक और कारक पाया जाता है।

हमने पूर्णांक वाले अनुभाग में एक पूर्णांक को एक पूर्णांक से विभाजित करने पर विचार किया। हमें वहां विभाजन के दो मामलों का सामना करना पड़ा: शेषफल के बिना विभाजन, या "संपूर्ण रूप से" (150: 10 = 15), और शेषफल के साथ विभाजन (100: 9 = 11 और 1 शेष)। इसलिए हम कह सकते हैं कि पूर्णांकों के क्षेत्र में, सटीक विभाजन हमेशा संभव नहीं होता है, क्योंकि लाभांश हमेशा पूर्णांक द्वारा भाजक का उत्पाद नहीं होता है। भिन्न से गुणा शुरू करने के बाद, हम पूर्णांकों को विभाजित करने के किसी भी मामले पर विचार कर सकते हैं (केवल शून्य से विभाजन को बाहर रखा गया है)।

उदाहरण के लिए, 7 को 12 से विभाजित करने का अर्थ है एक ऐसी संख्या ज्ञात करना जिसका 12 से गुणनफल 7 के बराबर होगा। ऐसी संख्या भिन्न 7/12 है क्योंकि 7/12 12 = 7. दूसरा उदाहरण: 14: 25 = 14 / 25, क्योंकि 14 / 25 25 = 14।

इस प्रकार, किसी पूर्ण संख्या को पूर्ण संख्या से विभाजित करने के लिए, आपको एक भिन्न बनाना होगा जिसका अंश लाभांश के बराबर हो और हर भाजक के बराबर हो।

2. किसी भिन्न को पूर्ण संख्या से भाग देना।

भिन्न 6/7 को 3 से विभाजित करें। ऊपर दी गई विभाजन की परिभाषा के अनुसार, हमारे पास यहां गुणनफल (6/7) और गुणनखंड (3) में से एक है; दूसरा गुणनखंड खोजना आवश्यक है, जिसे 3 से गुणा करने पर दिया गया उत्पाद 6/7 प्राप्त होगा। जाहिर है, यह इस उत्पाद से तीन गुना छोटा होना चाहिए। इसका मतलब यह है कि हमारे सामने रखा गया कार्य भिन्न 6/7 को 3 गुना कम करना था।

हम पहले से ही जानते हैं कि भिन्न को कम करना या तो उसके अंश को कम करके या उसके हर को बढ़ाकर किया जा सकता है। इसलिए आप लिख सकते हैं:

इस स्थिति में, अंश 6, 3 से विभाज्य है, इसलिए अंश को 3 गुना कम किया जाना चाहिए।

चलिए एक और उदाहरण लेते हैं: 5/8 को 2 से विभाजित किया जाता है। यहां अंश 5, 2 से विभाज्य नहीं है, जिसका अर्थ है कि हर को इस संख्या से गुणा करना होगा:

इसके आधार पर एक नियम बनाया जा सकता है: किसी भिन्न को पूर्ण संख्या से विभाजित करने के लिए, आपको भिन्न के अंश को उस पूर्ण संख्या से विभाजित करना होगा।(अगर संभव हो तो), एक ही हर छोड़कर, या एक ही अंश छोड़कर भिन्न के हर को इस संख्या से गुणा करें।

3. किसी पूर्ण संख्या को भिन्न से भाग देना।

मान लीजिए कि 5 को 1/2 से विभाजित करना आवश्यक है, यानी एक ऐसी संख्या खोजें, जिसे 1/2 से गुणा करने पर गुणनफल 5 आए। जाहिर है, यह संख्या 5 से बड़ी होनी चाहिए, क्योंकि 1/2 एक उचित भिन्न है , और किसी संख्या को गुणा करते समय उचित भिन्न का गुणनफल गुणा किए जाने वाले गुणनफल से कम होना चाहिए। इसे स्पष्ट करने के लिए, आइए अपने कार्यों को इस प्रकार लिखें: 5: 1 / 2 = एक्स , जिसका अर्थ है x 1/2 = 5.

हमें ऐसी संख्या ढूंढनी होगी एक्स , जिसे यदि 1/2 से गुणा किया जाए, तो 5 प्राप्त होगा। चूँकि किसी निश्चित संख्या को 1/2 से गुणा करने का अर्थ है इस संख्या का 1/2 ज्ञात करना, इसलिए, अज्ञात संख्या का 1/2 एक्स 5 के बराबर है, और पूर्ण संख्या एक्स दोगुना, यानी 5 2 = 10.

तो 5: 1 / 2 = 5 2 = 10

की जाँच करें:

आइए एक और उदाहरण देखें. मान लीजिए कि आप 6 को 2/3 से विभाजित करना चाहते हैं। आइए सबसे पहले ड्राइंग (चित्र 19) का उपयोग करके वांछित परिणाम खोजने का प्रयास करें।

चित्र.19

आइए हम 6 इकाइयों के बराबर एक खंड एबी बनाएं और प्रत्येक इकाई को 3 बराबर भागों में विभाजित करें। प्रत्येक इकाई में, संपूर्ण खंड AB का तीन तिहाई (3/3) 6 गुना बड़ा है, अर्थात। ई. 18/3. छोटे कोष्ठकों का उपयोग करके, हम 2 के 18 परिणामी खंडों को जोड़ते हैं; केवल 9 खंड होंगे। इसका मतलब यह है कि अंश 2/3 6 इकाइयों में 9 बार समाहित है, या, दूसरे शब्दों में, अंश 2/3 6 पूर्ण इकाइयों से 9 गुना कम है। इस तरह,

अकेले गणनाओं का उपयोग करके बिना ड्राइंग के यह परिणाम कैसे प्राप्त करें? आइए इस प्रकार तर्क करें: हमें 6 को 2/3 से विभाजित करने की आवश्यकता है, यानी हमें इस प्रश्न का उत्तर देने की आवश्यकता है कि 6 में 2/3 कितनी बार समाहित है। आइए पहले जानें: 6 में 1/3 कितनी बार समाहित है? एक पूरी इकाई में 3 तिहाई होते हैं, और 6 इकाइयों में 6 गुना अधिक, यानी 18 तिहाई होते हैं; इस संख्या को खोजने के लिए हमें 6 को 3 से गुणा करना होगा। इसका मतलब है कि 1/3 b इकाइयों में 18 बार समाहित है, और 2/3 b इकाइयों में 18 बार नहीं, बल्कि आधी बार समाहित है, यानी 18: 2 = 9 .इसलिए, 6 को 2/3 से विभाजित करते समय हमने निम्नलिखित कार्य किया:

यहां से हमें किसी पूर्ण संख्या को भिन्न से विभाजित करने का नियम मिलता है। किसी पूर्ण संख्या को भिन्न से विभाजित करने के लिए, आपको इस पूर्ण संख्या को दिए गए भिन्न के हर से गुणा करना होगा और, इस उत्पाद को अंश बनाकर, इसे दिए गए भिन्न के अंश से विभाजित करना होगा।

आइए अक्षरों का उपयोग करके नियम लिखें:

इस नियम को पूर्णतः स्पष्ट करने के लिए यह याद रखना चाहिए कि भिन्न को भागफल माना जा सकता है। इसलिए, किसी संख्या को भागफल से विभाजित करने के नियम के साथ पाए गए नियम की तुलना करना उपयोगी है, जो § 38 में निर्धारित किया गया था। कृपया ध्यान दें कि वहां भी वही सूत्र प्राप्त हुआ था।

विभाजित करते समय, संक्षिप्ताक्षर संभव हैं, उदाहरण के लिए:

4. भिन्न को भिन्न से भाग देना।

मान लीजिए कि हमें 3/4 को 3/8 से विभाजित करना है। विभाजन से प्राप्त संख्या का क्या अर्थ होगा? यह इस प्रश्न का उत्तर देगा कि भिन्न 3/8 कितनी बार भिन्न 3/4 में समाहित होता है। इस मुद्दे को समझने के लिए, आइए एक चित्र बनाएं (चित्र 20)।

आइए एक खंड AB लें, इसे एक मानें, इसे 4 बराबर भागों में विभाजित करें और ऐसे 3 भागों को चिह्नित करें। खंड AC खंड AB के 3/4 के बराबर होगा। आइए अब हम चारों मूल खंडों में से प्रत्येक को आधा-आधा विभाजित करें, फिर खंड AB को 8 बराबर भागों में विभाजित किया जाएगा और ऐसा प्रत्येक भाग खंड AB के 1/8 के बराबर होगा। आइए ऐसे 3 खंडों को चापों से जोड़ें, फिर प्रत्येक खंड AD और DC खंड AB के 3/8 के बराबर होंगे। चित्र से पता चलता है कि 3/8 के बराबर एक खंड 3/4 के बराबर खंड में ठीक 2 गुना समाहित है; इसका मतलब यह है कि विभाजन का परिणाम इस प्रकार लिखा जा सकता है:

3 / 4: 3 / 8 = 2

आइए एक और उदाहरण देखें. मान लीजिए कि हमें 15/16 को 3/32 से विभाजित करने की आवश्यकता है:

हम इस तरह तर्क कर सकते हैं: हमें एक संख्या ढूंढनी होगी, जिसे 3/32 से गुणा करने पर 15/16 के बराबर गुणनफल मिलेगा। आइए गणनाएँ इस प्रकार लिखें:

15 / 16: 3 / 32 = एक्स

3 / 32 एक्स = 15 / 16

3/32 अज्ञात नंबर एक्स 15/16 हैं

अज्ञात संख्या का 1/32 एक्स है ,

32 / 32 नंबर एक्स पूरा करना ।

इस तरह,

इस प्रकार, एक भिन्न को भिन्न से विभाजित करने के लिए, आपको पहले भिन्न के अंश को दूसरे भिन्न के हर से गुणा करना होगा, और पहले भिन्न के हर को दूसरे के अंश से गुणा करना होगा, और पहले गुणनफल को अंश बनाना होगा, और दूसरा हर.

आइए अक्षरों का उपयोग करके नियम लिखें:

विभाजित करते समय, संक्षिप्ताक्षर संभव हैं, उदाहरण के लिए:

5. मिश्रित संख्याओं का विभाजन.

मिश्रित संख्याओं को विभाजित करते समय, उन्हें पहले अनुचित भिन्नों में परिवर्तित किया जाना चाहिए, और फिर परिणामी भिन्नों को भिन्नों को विभाजित करने के नियमों के अनुसार विभाजित किया जाना चाहिए। आइए एक उदाहरण देखें:

आइए मिश्रित संख्याओं को अनुचित भिन्नों में बदलें:

अब विभाजित करते हैं:

इस प्रकार, मिश्रित संख्याओं को विभाजित करने के लिए, आपको उन्हें अनुचित भिन्नों में बदलना होगा और फिर भिन्नों को विभाजित करने के नियम का उपयोग करके विभाजित करना होगा।

6. किसी संख्या को उसके दिए गए भिन्न से ज्ञात करना।

विभिन्न भिन्न समस्याओं में से कभी-कभी ऐसी भी होती हैं जिनमें किसी अज्ञात संख्या के किसी भिन्न का मान दिया जाता है और आपको यह संख्या ज्ञात करने की आवश्यकता होती है। इस प्रकार की समस्या किसी दी गई संख्या का भिन्न ज्ञात करने की समस्या का उलटा होगा; वहां एक संख्या दी गई थी और इस संख्या का कुछ अंश खोजना आवश्यक था, यहां एक संख्या का एक अंश दिया गया था और इस संख्या का कुछ अंश खोजना आवश्यक था। यदि हम इस प्रकार की समस्या के समाधान की ओर मुड़ें तो यह विचार और भी स्पष्ट हो जाएगा।

कार्य 1।पहले दिन, ग्लेज़ियर्स ने 50 खिड़कियों को चमकाया, जो निर्मित घर की सभी खिड़कियों का 1/3 है। इस घर में कितनी खिड़कियाँ हैं?

समाधान।समस्या कहती है कि 50 चमकदार खिड़कियाँ घर की सभी खिड़कियों का 1/3 हिस्सा बनाती हैं, जिसका मतलब है कि कुल मिलाकर 3 गुना अधिक खिड़कियाँ हैं, यानी।

घर में 150 खिड़कियाँ थीं।

कार्य 2.स्टोर ने 1,500 किलोग्राम आटा बेचा, जो स्टोर के कुल आटे के स्टॉक का 3/8 हिस्सा है। स्टोर में आटे की प्रारंभिक आपूर्ति क्या थी?

समाधान।समस्या की स्थितियों से यह स्पष्ट है कि बेचा गया 1,500 किलोग्राम आटा कुल स्टॉक का 3/8 है; इसका मतलब है कि इस रिजर्व का 1/8 हिस्सा 3 गुना कम होगा, यानी इसकी गणना करने के लिए आपको 1500 को 3 गुना कम करना होगा:

1,500: 3 = 500 (यह रिजर्व का 1/8 है)।

जाहिर है, पूरी सप्लाई 8 गुना ज्यादा होगी. इस तरह,

500 8 = 4,000 (किग्रा)।

स्टोर में आटे का शुरुआती स्टॉक 4,000 किलो था.

इस समस्या पर विचार करने से निम्नलिखित नियम निकाला जा सकता है।

किसी संख्या को उसके भिन्न के दिए गए मान से खोजने के लिए, इस मान को भिन्न के अंश से विभाजित करना और परिणाम को भिन्न के हर से गुणा करना पर्याप्त है।

हमने किसी संख्या को उसके भिन्न से ज्ञात करने की दो समस्याएं हल कीं। ऐसी समस्याएं, जैसा कि विशेष रूप से पिछले एक से स्पष्ट रूप से देखा जाता है, दो क्रियाओं द्वारा हल की जाती हैं: विभाजन (जब एक भाग पाया जाता है) और गुणा (जब पूरी संख्या पाई जाती है)।

हालाँकि, जब हमने भिन्नों का विभाजन सीख लिया, तो उपरोक्त समस्याओं को एक क्रिया से हल किया जा सकता है, अर्थात्: भिन्न से विभाजन।

उदाहरण के लिए, अंतिम कार्य को इस प्रकार एक क्रिया में हल किया जा सकता है:

भविष्य में, हम किसी संख्या को उसके भिन्न से ज्ञात करने की समस्याओं को एक क्रिया - विभाजन से हल करेंगे।

7. किसी संख्या को उसके प्रतिशत से ज्ञात करना।

इन समस्याओं में आपको उस संख्या का कुछ प्रतिशत जानकर एक संख्या खोजने की आवश्यकता होगी।

कार्य 1।इस वर्ष की शुरुआत में मुझे बचत बैंक से 60 रूबल मिले। उस राशि से आय जो मैंने एक वर्ष पहले बचत में लगाई थी। मैंने बचत बैंक में कितना पैसा रखा है? (कैश डेस्क जमाकर्ताओं को प्रति वर्ष 2% रिटर्न देते हैं।)

समस्या की बात यह है कि मैंने एक निश्चित राशि बचत बैंक में डाल दी और एक साल तक वहीं रहा। एक साल बाद मुझे उससे 60 रूबल मिले। आय, जो मेरे द्वारा जमा किये गये धन का 2/100 है। मैंने कितना पैसा लगाया?

नतीजतन, इस पैसे का हिस्सा जानने के बाद, दो तरीकों से (रूबल और अंशों में) व्यक्त किया जाता है, हमें पूरी, अभी तक अज्ञात, राशि का पता लगाना चाहिए। किसी संख्या को उसके भिन्न से ज्ञात करने की यह एक सामान्य समस्या है। विभाजन द्वारा निम्नलिखित समस्याओं का समाधान किया जाता है:

इसका मतलब है कि बचत बैंक में 3,000 रूबल जमा किए गए थे।

कार्य 2.मछुआरों ने दो सप्ताह में 64% तक मासिक योजना पूरी की, 512 टन मछली का उत्पादन किया। उनकी योजना क्या थी?

समस्या की स्थिति से ज्ञात होता है कि मछुआरों ने योजना का कुछ भाग पूरा कर लिया है। यह भाग 512 टन के बराबर है, जो योजना का 64% है। हमें नहीं पता कि योजना के मुताबिक कितनी टन मछली तैयार करने की जरूरत है. इस नंबर को ढूंढना ही समस्या का समाधान होगा.

ऐसी समस्याओं का समाधान विभाजन द्वारा किया जाता है:

इसका मतलब है कि योजना के मुताबिक 800 टन मछली तैयार करने की जरूरत है.

कार्य 3.ट्रेन रीगा से मॉस्को तक गई. जब वह 276वां किलोमीटर पार कर गया, तो यात्रियों में से एक ने पास से गुजर रहे कंडक्टर से पूछा कि वे कितनी यात्रा तय कर चुके हैं। इस पर कंडक्टर ने जवाब दिया: "हम पूरी यात्रा का 30% हिस्सा पहले ही तय कर चुके हैं।" रीगा से मास्को की दूरी कितनी है?

समस्या की स्थिति से यह स्पष्ट है कि रीगा से मॉस्को तक का 30% मार्ग 276 किमी है। हमें इन शहरों के बीच की पूरी दूरी ज्ञात करनी होगी, यानी, इस भाग के लिए, संपूर्ण दूरी ज्ञात करनी होगी:

§ 91. पारस्परिक संख्याएँ। भाग को गुणन से बदलना.

आइए भिन्न 2/3 लें और हर के स्थान पर अंश बदलें, हमें 3/2 मिलता है। हमें इस भिन्न का व्युत्क्रम प्राप्त हुआ।

किसी दिए गए भिन्न का व्युत्क्रम प्राप्त करने के लिए, आपको उसके अंश को हर के स्थान पर और हर को अंश के स्थान पर रखना होगा। इस प्रकार हम किसी भिन्न का व्युत्क्रम प्राप्त कर सकते हैं। उदाहरण के लिए:

3/4, उल्टा 4/3; 5/6, उलटा 6/5

दो भिन्न जिनमें यह गुण होता है कि पहले का अंश दूसरे का हर है, और पहले का हर दूसरे का अंश है, कहलाते हैं परस्पर विपरीत.

अब आइए विचार करें कि 1/2 का व्युत्क्रम कौन सा भिन्न होगा। जाहिर है, यह 2/1 या सिर्फ 2 होगा। दिए गए अंश के व्युत्क्रम भिन्न को खोजने पर, हमें एक पूर्णांक प्राप्त हुआ। और यह मामला अलग-थलग नहीं है; इसके विपरीत, 1 (एक) के अंश वाले सभी भिन्नों के लिए, व्युत्क्रम पूर्णांक होंगे, उदाहरण के लिए:

1/3, उल्टा 3; 1/5, उलटा 5

चूँकि व्युत्क्रम भिन्नों को खोजने में हमें पूर्णांकों का भी सामना करना पड़ा, इसलिए आगे हम व्युत्क्रम भिन्नों के बारे में नहीं, बल्कि व्युत्क्रम संख्याओं के बारे में बात करेंगे।

आइए जानें कि पूर्णांक का व्युत्क्रम कैसे लिखें। भिन्नों के लिए, इसे सरलता से हल किया जा सकता है: आपको अंश के स्थान पर हर लगाना होगा। उसी प्रकार, आप किसी पूर्णांक के लिए व्युत्क्रम संख्या प्राप्त कर सकते हैं, क्योंकि किसी भी पूर्णांक का हर 1 हो सकता है। इसका मतलब यह है कि 7 की व्युत्क्रम संख्या 1/7 होगी, क्योंकि 7 = 7/1; संख्या 10 के लिए व्युत्क्रम 1/10 होगा, क्योंकि 10 = 10/1

इस विचार को अलग ढंग से व्यक्त किया जा सकता है: किसी दी गई संख्या का व्युत्क्रम एक को दी गई संख्या से विभाजित करके प्राप्त किया जाता है. यह कथन न केवल पूर्ण संख्याओं के लिए, बल्कि भिन्नों के लिए भी सत्य है। दरअसल, अगर हमें भिन्न का व्युत्क्रम 5/9 लिखना हो तो हम 1 ले सकते हैं और इसे 5/9 से विभाजित कर सकते हैं, यानी।

अब एक बात बता दें संपत्तिपारस्परिक संख्याएँ, जो हमारे लिए उपयोगी होंगी: व्युत्क्रम संख्याओं का गुणनफल एक के बराबर होता है।वास्तव में:

इस गुण का उपयोग करके हम निम्नलिखित तरीके से व्युत्क्रम संख्याएँ ज्ञात कर सकते हैं। मान लीजिए कि हमें 8 का व्युत्क्रम ज्ञात करना है।

आइए इसे अक्षर द्वारा निरूपित करें एक्स , फिर 8 एक्स = 1, अत: एक्स = 1/8. आइए एक अन्य संख्या खोजें जो 7/12 का व्युत्क्रम है और इसे अक्षर से निरूपित करें एक्स , फिर 7/12 एक्स = 1, अत: एक्स = 1:7/12 या एक्स = 12 / 7 .

भिन्नों को विभाजित करने के बारे में जानकारी को थोड़ा पूरक करने के लिए हमने यहां पारस्परिक संख्याओं की अवधारणा प्रस्तुत की है।

जब हम संख्या 6 को 3/5 से विभाजित करते हैं, तो हम निम्नलिखित कार्य करते हैं:

अभिव्यक्ति पर विशेष ध्यान दें और इसकी तुलना दिए गए अभिव्यक्ति से करें: .

यदि हम पिछले एक से संबंध के बिना, अभिव्यक्ति को अलग से लेते हैं, तो इस प्रश्न को हल करना असंभव है कि यह कहां से आया: 6 को 3/5 से विभाजित करने से या 6 को 5/3 से गुणा करने से। दोनों ही मामलों में एक ही बात होती है. इसलिए हम कह सकते हैं कि एक संख्या को दूसरे से विभाजित करने पर भाजक के व्युत्क्रम से लाभांश को गुणा करके प्रतिस्थापित किया जा सकता है।

नीचे दिए गए उदाहरण इस निष्कर्ष की पूरी तरह पुष्टि करते हैं।