भग्न। फ्रैक्टल सेट प्राप्त करने के लिए कोच वक्र प्रक्रियाएं

कोच वक्र की तीन प्रतियां, एक नियमित त्रिभुज के किनारों पर निर्मित (उनके बिंदुओं को बाहर की ओर रखते हुए), अनंत लंबाई का एक बंद वक्र बनाती हैं जिसे कहा जाता है कोच की बर्फ़ का टुकड़ा.

यह आंकड़ा वैज्ञानिकों द्वारा अध्ययन किए गए पहले फ्रैक्टल्स में से एक है। यह तीन प्रतियों से आता है कोच वक्र, जो पहली बार 1904 में स्वीडिश गणितज्ञ हेल्गे वॉन कोच के एक पेपर में छपा था। इस वक्र का आविष्कार एक सतत रेखा के उदाहरण के रूप में किया गया था जो किसी भी बिंदु पर स्पर्शरेखा नहीं हो सकती। इस संपत्ति वाली रेखाएं पहले से ज्ञात थीं (कार्ल वीयरस्ट्रैस ने 1872 में अपना उदाहरण बनाया था), लेकिन कोच वक्र अपने डिजाइन की सादगी के लिए उल्लेखनीय है। यह कोई संयोग नहीं है कि उनके लेख को "स्पर्शरेखा के बिना एक सतत वक्र पर, जो प्राथमिक ज्यामिति से उत्पन्न होता है" कहा जाता है।

ड्राइंग और एनीमेशन पूरी तरह से दिखाते हैं कि कोच वक्र का निर्माण चरण दर चरण कैसे किया जाता है। पहला पुनरावृत्ति केवल प्रारंभिक खंड है। फिर इसे तीन बराबर भागों में विभाजित किया जाता है, केंद्रीय भाग को एक नियमित त्रिकोण बनाने के लिए पूरा किया जाता है और फिर बाहर फेंक दिया जाता है। परिणाम दूसरा पुनरावृत्ति है - चार खंडों से युक्त एक टूटी हुई रेखा। उनमें से प्रत्येक पर समान ऑपरेशन लागू किया जाता है, और निर्माण का चौथा चरण प्राप्त होता है। इसी भावना को जारी रखते हुए, आप अधिक से अधिक नई लाइनें प्राप्त कर सकते हैं (वे सभी टूटी हुई लाइनें होंगी)। और सीमा में जो होता है (यह पहले से ही एक काल्पनिक वस्तु होगी) उसे कोच वक्र कहा जाता है।

1. यह सतत है, लेकिन कहीं भी भिन्न नहीं है। मोटे तौर पर, यही कारण है कि इसका आविष्कार किया गया था - इस तरह के गणितीय "शैतान" के एक उदाहरण के रूप में।

2. अनंत लंबाई होती है. मान लें कि मूल खंड की लंबाई 1 के बराबर है। प्रत्येक निर्माण चरण में, हम रेखा बनाने वाले प्रत्येक खंड को एक टूटी हुई रेखा से बदल देते हैं, जो 4/3 गुना लंबी होती है। इसका मतलब यह है कि प्रत्येक चरण पर पूरी टूटी हुई रेखा की लंबाई को 4/3 से गुणा किया जाता है: संख्या के साथ रेखा की लंबाई एन(4/3) के बराबर एन-1 . इसलिए, सीमा रेखा के पास अनंत रूप से लंबी होने के अलावा कोई विकल्प नहीं है।

3. कोच का हिमखंड परिमित क्षेत्र को सीमित करता है। और यह इस तथ्य के बावजूद कि इसकी परिधि अनंत है। यह संपत्ति विरोधाभासी प्रतीत हो सकती है, लेकिन यह स्पष्ट है - एक बर्फ का टुकड़ा पूरी तरह से एक सर्कल में फिट बैठता है, इसलिए इसका क्षेत्र स्पष्ट रूप से सीमित है। क्षेत्रफल की गणना की जा सकती है, और इसके लिए आपको विशेष ज्ञान की भी आवश्यकता नहीं है - एक त्रिभुज के क्षेत्रफल और एक ज्यामितीय प्रगति के योग के सूत्र स्कूल में पढ़ाए जाते हैं। रुचि रखने वालों के लिए, गणना नीचे बारीक अक्षरों में सूचीबद्ध है।

माना कि मूल नियमित त्रिभुज की भुजा बराबर है ए. तो इसका क्षेत्रफल है. पहले पक्ष 1 है और क्षेत्रफल है: . पुनरावृत्ति बढ़ने पर क्या होता है? हम मान सकते हैं कि छोटे समबाहु त्रिभुज मौजूदा बहुभुज से जुड़े हुए हैं। पहली बार उनमें से केवल 3 हैं, और हर अगली बार पिछले वाले की तुलना में 4 गुना अधिक हैं। वह है, पर एनवां चरण पूरा हो जाएगा तमिलनाडु= 3 4 एन-1 त्रिकोण. उनमें से प्रत्येक की भुजा की लंबाई पिछले चरण में पूर्ण हुए त्रिभुज की भुजा की एक तिहाई है। तो यह (1/3) के बराबर है एन. क्षेत्रफल भुजाओं के वर्गों के समानुपाती होते हैं, इसलिए प्रत्येक त्रिभुज का क्षेत्रफल होता है . बड़े मूल्यों के लिए एनवैसे ये बहुत कम है. हिमकण के क्षेत्रफल में इन त्रिभुजों का कुल योगदान है तमिलनाडु · एस एन= 3/4 · (4/9) एन · एस 0 . इसलिए बाद में एन-चरण, आकृति का क्षेत्रफल योग के बराबर होगा एस 0 + टी 1 · एस 1 + टी 2 · एस 2 + ... +तमिलनाडुएस एन = . अनंत चरणों के बाद एक बर्फ़ का टुकड़ा प्राप्त होता है, जो इसके अनुरूप होता है एन→ ∞. परिणाम एक अनंत योग है, लेकिन यह घटती ज्यामितीय प्रगति का योग है; इसके लिए एक सूत्र है: . हिमकण का क्षेत्रफल है.

4. फ्रैक्टल आयाम log4/log3 = log 3 4 ≈ 1.261859... के बराबर है। सटीक गणना के लिए काफी प्रयास और विस्तृत स्पष्टीकरण की आवश्यकता होगी, इसलिए यहां फ्रैक्टल आयाम की परिभाषा का एक उदाहरण दिया गया है। शक्ति नियम सूत्र से एन(δ ) ~ (1/δ )डी, कहाँ एन- प्रतिच्छेदी वर्गों की संख्या, δ - उनका आकार, और डीआयाम है, वह हमें मिलता है डी= लॉग 1/ δ एन. यह समानता एक अचर के योग तक सत्य है (सभी के लिए समान)। δ ). आंकड़े कोच वक्र के निर्माण की पांचवीं पुनरावृत्ति दिखाते हैं; इसके साथ प्रतिच्छेद करने वाले ग्रिड वर्ग हरे रंग में छायांकित हैं। मूल खंड की लंबाई 1 है, इसलिए ऊपरी आकृति में वर्गों की भुजा की लंबाई 1/9 है। 12 वर्ग छायांकित हैं, लॉग 9 12 ≈ 1.130929...। अभी तक 1.261859 के समान नहीं है...। आइए आगे देखें. मध्य चित्र में, वर्ग आधे आकार के हैं, उनका आकार 1/18 है, छायांकित 30। लॉग 18 30 ≈ 1.176733...। पहले से बेहतर. नीचे, वर्ग अभी भी आधे बड़े हैं; 72 टुकड़ों को पहले ही चित्रित किया जा चुका है। लॉग 72 30 ≈ 1.193426...। और भी करीब। फिर आपको पुनरावृत्ति संख्या बढ़ाने और साथ ही वर्गों को कम करने की आवश्यकता है, फिर कोच वक्र के आयाम का "अनुभवजन्य" मान लगातार लॉग 3 4 तक पहुंच जाएगा, और सीमा में यह पूरी तरह से मेल खाएगा।

यदि हम मूल समबाहु त्रिभुज के अंदर कोच वक्र का निर्माण करते हैं तो कोच स्नोफ्लेक "इसके विपरीत" प्राप्त होता है।

सिजेरो लाइन्स. समबाहु त्रिभुजों के स्थान पर 60° से 90° के आधार कोण वाले समद्विबाहु त्रिभुजों का उपयोग किया जाता है। चित्र में, कोण 88° है।

वर्गाकार विकल्प. यहां चौक पूरे हो गए हैं.

स्नोफ्लेक कोच

कैनवास(
बॉर्डर: 1px धराशायी काला;
}

वर कॉस = 0.5,
पाप = गणित.वर्ग(3)/2,
डिग्री = गणित.पीआई/180;
कैनव, सीटीएक्स;

फ़ंक्शन रेब्रो(एन, लेन) (
ctx.save(); // वर्तमान परिवर्तन सहेजें
यदि (n == 0) ( // गैर-पुनरावर्ती मामला - एक रेखा खींचें
ctx.lineTo(len, 0);
}
अन्य(
ctx.scale(1 / 3, 1 / 3); // 3 बार ज़ूम आउट करें
रेब्रो(एन-1, लेन); //किनारे पर पुनरावृत्ति
ctx.rotate(60*डिग्री);
रेब्रो(एन-1, लेन);
ctx.rotate(-120 * डिग्री);
रेब्रो(एन-1, लेन);
ctx.rotate(60*डिग्री);
रेब्रो(एन-1, लेन);
}
ctx.restore(); // परिवर्तन पुनर्स्थापित करें
ctx.translate(len, 0); // किनारे के अंत तक जाएं
}

फ़ंक्शन ड्रॉकोचस्नोफ्लेक(x, y, len, n) (
एक्स = एक्स - लेन / 2;
y = y + len / 2 * Math.sqrt(3)/3;
ctx.save();
ctx.beginPath();
ctx.translate(x, y);
ctx.moveTo(0, 0);
रेब्रो(एन, लेन); ctx.rotate(-120 * डिग्री); //RECUUUURSION पहले से ही एक त्रिकोण है
रेब्रो(एन, लेन); ctx.rotate(-120 * डिग्री);
रेब्रो(एन, लेन); ctx.closePath();
ctx.strokeStyle = "#000";
ctx.स्ट्रोक();
ctx.restore();
}

फ़ंक्शन क्लियरकैनवास())( //कैनवास साफ़ करें
ctx.save();
ctx.beginPath();

// कैनवास साफ़ करते समय पहचान मैट्रिक्स का उपयोग करें
ctx.setTransform(1, 0, 0, 1, 0, 0);
ctx.clearRect(0, 0, कैनवास1.चौड़ाई, कैनवास1.ऊंचाई);

// परिवर्तन पुनर्स्थापित करें
ctx.restore();
}

फ़ंक्शन रन() (
canv = document.getElementById('canvas1');
ctx = canv.getContext('2d');
var numberiter = document.getElementById("qty").value;
ड्राकोचस्नोफ्लेक(canv.width/2, canv.height/2, 380, numberiter);

Ctx.स्ट्रोक(); //प्रतिपादन
}

कोच का बर्फ़ का टुकड़ा - उदाहरण

बोस्टन में असामान्य रूप से गर्म सर्दी थी, लेकिन हम अभी भी पहली बर्फबारी का इंतजार कर रहे थे। खिड़की से बर्फ गिरते हुए देखकर, मैंने बर्फ के टुकड़ों के बारे में सोचा और उनकी संरचना का गणितीय रूप से वर्णन करना बिल्कुल भी आसान नहीं है। हालाँकि एक विशेष प्रकार का हिमकण है, जिसे कोच हिमकण के नाम से जाना जाता है, जिसका वर्णन अपेक्षाकृत सरलता से किया जा सकता है। आज हम देखेंगे कि COMSOL मल्टीफ़िज़िक्स एप्लिकेशन बिल्डर का उपयोग करके इसका आकार कैसे बनाया जा सकता है।

जैसा कि हमने पहले ही अपने ब्लॉग में बताया है, फ्रैक्टल्स का उपयोग किया जा सकता है। स्नोफ्लेक कोचएक भग्न है, जो उल्लेखनीय है कि इसे बनाने की एक बहुत ही सरल पुनरावृत्तीय प्रक्रिया है:

बर्फ के टुकड़े को खींचने के पहले चार पुनरावृत्तियों के लिए इस प्रक्रिया को नीचे दिए गए चित्र में दिखाया गया है।

कोच स्नोफ्लेक के पहले चार पुनरावृत्तियाँ। छवि Wxs द्वारा - स्वयं का कार्य। विकिमीडिया कॉमन्स के माध्यम से CC BY-SA 3.0 के तहत लाइसेंस प्राप्त।

चूँकि अब हम जानते हैं कि किस एल्गोरिदम का उपयोग करना है, आइए देखें कि COMSOL मल्टीफ़िज़िक्स एप्लिकेशन बिल्डर का उपयोग करके ऐसी संरचना कैसे बनाई जाए। हम एक नई फ़ाइल खोलेंगे और एक 2डी ऑब्जेक्ट बनाएंगे ज्यामिति भागनोड पर वैश्विक परिभाषाएँ. इस ऑब्जेक्ट के लिए, हम पांच इनपुट पैरामीटर सेट करेंगे: एक समबाहु त्रिभुज की भुजा की लंबाई; एक्स- और य- आधार के मध्यबिंदु के निर्देशांक; और सामान्य वेक्टर के घटक आधार के मध्य से विपरीत शीर्ष तक निर्देशित होते हैं, जैसा कि नीचे दिए गए आंकड़ों में दिखाया गया है।

समबाहु त्रिभुज के आकार, स्थिति और अभिविन्यास को निर्धारित करने के लिए पांच मापदंडों का उपयोग किया जाता है।

ज्यामितीय भाग के इनपुट पैरामीटर सेट करना।
एक समबाहु त्रिभुज के निर्माण के लिए बहुभुज आदिम का उपयोग किया जाता है।

वस्तु निचले किनारे के केंद्र के चारों ओर घूम सकती है।

किसी वस्तु को मूल के सापेक्ष स्थानांतरित किया जा सकता है।

अब जब हमने ज्यामितीय भाग को परिभाषित कर लिया है, तो हम इसे अनुभाग में एक बार उपयोग करते हैं ज्यामिति. यह एकल त्रिकोण कोच स्नोफ्लेक के शून्य पुनरावृत्ति के बराबर है, और अब अधिक जटिल स्नोफ्लेक बनाने के लिए एप्लिकेशन बिल्डर का उपयोग करें।

एप्लिकेशन का उपयोगकर्ता इंटरफ़ेस बहुत सरल है। इसमें केवल दो घटक शामिल हैं जिनके साथ उपयोगकर्ता इंटरैक्ट कर सकता है: स्लाइडर (स्लाइडर)(नीचे दिए गए चित्र में 1 के रूप में चिह्नित), जिसके साथ आप स्नोफ्लेक बनाने के लिए आवश्यक पुनरावृत्तियों की संख्या निर्धारित कर सकते हैं, और बटन(लेबल 2), जिस पर क्लिक करके परिणामी ज्यामिति बनाई और प्रदर्शित की जाती है। वे भी हैं पाठ शिलालेख(लेबल 3) और डेटा का प्रदर्शन (प्रदर्शन)।(लेबल 4), जो निर्दिष्ट पुनरावृत्तियों की संख्या, साथ ही विंडो भी दिखाता है चार्ट(लेबल 5), जो अंतिम ज्यामिति प्रदर्शित करता है।

एप्लिकेशन में पांच घटकों वाला एक एकल प्रपत्र है।

एप्लिकेशन में दो हैं परिभाषाएं, जिनमें से एक Iterations नामक पूर्णांक मान को परिभाषित करता है, जो डिफ़ॉल्ट रूप से शून्य होता है लेकिन उपयोगकर्ता द्वारा बदला जा सकता है। सेंटर नामक डबल्स की एक 1D सरणी भी परिभाषित की गई है। सरणी में एकल तत्व का मान 0.5 है, जिसका उपयोग प्रत्येक किनारे के केंद्र बिंदु को खोजने के लिए किया जाता है। यह मान कभी नहीं बदलता.

दो परिभाषाओं के लिए सेटिंग्स.

यूआई में स्लाइडर घटक पूर्णांक, पुनरावृत्ति पैरामीटर के मान को नियंत्रित करता है। नीचे दिया गया स्क्रीनशॉट "स्लाइडर" और मानों के लिए सेटिंग्स दिखाता है, जो 0 और 5 के बीच की सीमा में पूर्णांक के रूप में सेट हैं। वही स्रोत (स्लाइडर के लिए) घटक के लिए भी चुना गया है डेटा प्रदर्शनएप्लिकेशन स्क्रीन पर निर्दिष्ट पुनरावृत्तियों की संख्या प्रदर्शित करने के लिए। हम संभावित उपयोगकर्ता को पांच पुनरावृत्तियों तक सीमित करते हैं क्योंकि उपयोग किया गया एल्गोरिदम उप-इष्टतम है और बहुत कुशल नहीं है, लेकिन कार्यान्वयन और प्रदर्शन के लिए काफी सरल है।

"स्लाइडर" घटक के लिए सेटिंग्स.

इसके बाद, आइए हमारे बटन की सेटिंग्स को देखें, जो नीचे स्क्रीनशॉट में दिखाया गया है। जब बटन दबाया जाता है, तो दो कमांड निष्पादित होते हैं। सबसे पहले, CreateSnowFlake विधि को कॉल किया जाता है। परिणामी ज्यामिति फिर ग्राफ़िक्स विंडो में प्रदर्शित होती है।

बटन सेटिंग्स.

हमने अब अपने एप्लिकेशन के उपयोगकर्ता इंटरफ़ेस को देखा है और हम देख सकते हैं कि किसी भी स्नोफ्लेक ज्यामिति का निर्माण नामक विधि के माध्यम से होना चाहिए। आइए इस विधि के लिए कोड देखें, बाईं ओर लाइन नंबरिंग जोड़ी गई है और स्ट्रिंग स्थिरांक लाल रंग में हाइलाइट किए गए हैं:

1 model.geom('geom1' ).feature().clear(); 2 model.geom('geom1' ).create('pi1' , 'PartInstance' ); 3 model.geom('geom1' ).run('fin' ); 4 के लिए (int iter = 1; iter "geom1" ).getNEdges()+1; 6 यूनियनलिस्ट = "पीआई" + इटर; 7 के लिए (इंट एज = 1; एज "जियोम1") .getNEdges(); एज++) (8 स्ट्रिंग न्यूपार्टइंस्टेंस = "पीआई" + इटर + एज; 9 मॉडल.जियोम("जियोम1") .क्रिएट(न्यूपार्टइंस्टेंस, "पार्टइंस्टेंस") .सेट("पार्ट" , "पार्ट1" ); 10 विद(मॉडल. जियोम("geom1" ).feature(newPartInstance)); 11 सेटएंट्री("inputexpr" , "Length" , toString(Math.pow(1.0/3.0, iter))); 12 setEntry("inputexpr" , "px" , model.geom("geom1" ).edgeX(edge, केंद्र)); 13 setEntry("inputexpr" , "py" , model.geom("geom1" ).edgeX(edge, केंद्र)); 14 setEntry("inputexpr " , "nx" , model.geom("geom1") .edgeNormal(edge, केंद्र)); ; 16 एंडविथ(); 17 यूनियनलिस्ट = न्यूपार्टइंस्टेंस; 18 ) 19 model.geom('geom1' ).create('pi' +(iter+1), 'Union' ).selection('input' ).set(UnionList ); 20 model.geom('geom1' ).feature('pi' +(iter+1)).set('intbnd' , 'off' ); 21 model.geom('geom1' ).run('fin' ); 22)

आइए यह समझने के लिए कि प्रत्येक पंक्ति क्या कार्य करती है, कोड पंक्ति दर पंक्ति देखें:

इस प्रकार, हमने अपने एप्लिकेशन के सभी पहलुओं और तत्वों को कवर कर लिया है। आइए नतीजों पर नजर डालें!

कोच स्नोफ्लेक के निर्माण के लिए हमारा सरल अनुप्रयोग।

हम किसी फ़ाइल में ज्यामिति लिखने के लिए अपने एप्लिकेशन का विस्तार कर सकते हैं, या सीधे अतिरिक्त विश्लेषण भी कर सकते हैं। उदाहरण के लिए, हम एक फ्रैक्टल एंटीना डिज़ाइन कर सकते हैं। यदि आप एंटीना के डिज़ाइन में रुचि रखते हैं, तो हमारा उदाहरण देखें, या फिर शुरुआत से इसका लेआउट भी बनाएं।

यदि आप इस एप्लिकेशन को स्वयं बनाना चाहते हैं, लेकिन अभी तक एप्लिकेशन बिल्डर पूरा नहीं किया है, तो आपको निम्नलिखित संसाधन उपयोगी लग सकते हैं:

• गाइड डाउनलोड करें अंग्रेजी में अनुप्रयोग विकास पर्यावरण का परिचय
• ये वीडियो देखें और सीखें कि कैसे उपयोग करें
• सिमुलेशन अनुप्रयोगों का उपयोग कैसे किया जाता है, इससे परिचित होने के लिए इन विषयों को पढ़ें

एक बार जब आप इस सामग्री को कवर कर लेंगे, तो आप देखेंगे कि कैसे ऐप की कार्यक्षमता को बर्फ के टुकड़े का आकार बदलने, बनाई गई ज्यामिति निर्यात करने, क्षेत्र और परिधि का अनुमान लगाने और बहुत कुछ करने के लिए विस्तारित किया जा सकता है।

आप COMSOL मल्टीफ़िज़िक्स में किस प्रकार का एप्लिकेशन बनाना चाहेंगे? मदद के लिए।

फ्रैक्टल स्नोफ्लेक, सबसे प्रसिद्ध और रहस्यमय ज्यामितीय वस्तुओं में से एक, हमारी सदी की शुरुआत में हेल्गा वॉन कोच द्वारा वर्णित किया गया था। परंपरा के अनुसार हमारे साहित्य में इसे कोच का हिमकण कहा जाता है। यह एक बहुत ही "कांटेदार" ज्यामितीय आकृति है, जिसे लाक्षणिक रूप से डेविड के सितारे के बार-बार "गुणा" होने के परिणाम के रूप में देखा जा सकता है। इसकी छह मुख्य किरणें अनंत संख्या में बड़ी और छोटी "सुइयों" के शीर्षों से ढकी हुई हैं। बर्फ के टुकड़े की रूपरेखा का प्रत्येक सूक्ष्म टुकड़ा एक फली में दो मटर की तरह होता है, और बड़े बीम में, बदले में, समान सूक्ष्म टुकड़ों की अनंत संख्या होती है।

1994 में वर्ना में गणितीय मॉडलिंग की पद्धति पर एक अंतरराष्ट्रीय संगोष्ठी में, मुझे बल्गेरियाई लेखकों के काम के बारे में पता चला, जिन्होंने अंतरिक्ष की विभाज्यता की समस्या को चित्रित करने के लिए हाई स्कूल के पाठों में कोच के बर्फ के टुकड़े और अन्य समान वस्तुओं का उपयोग करने के अपने अनुभव का वर्णन किया था और ज़ेनो के दार्शनिक एपोरिया। इसके अलावा, शैक्षिक दृष्टिकोण से, मेरी राय में, नियमित भग्न ज्यामितीय संरचनाओं के निर्माण का सिद्धांत बहुत दिलचस्प है - मूल तत्व के पुनरावर्ती गुणन का सिद्धांत। यह अकारण नहीं है कि प्रकृति भग्न रूपों को "प्यार" करती है। यह इस तथ्य से सटीक रूप से समझाया गया है कि वे सरल पुनरुत्पादन और एक निश्चित प्राथमिक बिल्डिंग ब्लॉक के आकार को बदलकर प्राप्त किए जाते हैं। जैसा कि आप जानते हैं, प्रकृति विभिन्न कारणों से आगे नहीं बढ़ती है और जहां संभव हो, सबसे सरल एल्गोरिथम समाधानों से काम चलाती है। पत्तियों की आकृति को ध्यान से देखें और कई मामलों में आप कोच स्नोफ्लेक की आकृति के साथ एक स्पष्ट संबंध पाएंगे।

फ्रैक्टल ज्यामितीय संरचनाओं का दृश्यावलोकन केवल कंप्यूटर की सहायता से ही संभव है। तीसरे क्रम के ऊपर मैन्युअल रूप से कोच स्नोफ्लेक का निर्माण करना पहले से ही बहुत मुश्किल है, लेकिन आप वास्तव में अनंत में देखना चाहते हैं! इसलिए, क्यों न एक उपयुक्त कंप्यूटर प्रोग्राम विकसित करने का प्रयास किया जाए। रूनेट में आप त्रिकोणों से कोच स्नोफ्लेक बनाने के लिए सिफारिशें पा सकते हैं। इस एल्गोरिदम का परिणाम प्रतिच्छेदी रेखाओं की गड़बड़ी जैसा दिखता है। इस आकृति को "टुकड़ों" से जोड़ना अधिक दिलचस्प है। कोच स्नोफ्लेक के समोच्च में क्षैतिज x-अक्ष के संबंध में 0°, 60° और 120° पर झुके हुए समान लंबाई के खंड होते हैं। यदि हम उन्हें क्रमशः 1, 2 और 3 दर्शाते हैं, तो किसी भी क्रम का एक हिमकण क्रमिक त्रिक से मिलकर बनेगा - 1, 2, 3, 1, 2, 3, 1, 2, 3...आदि। इन तीन प्रकारों में से प्रत्येक खंडों को एक या दूसरे छोर पर पिछले वाले से जोड़ा जा सकता है। इस परिस्थिति को ध्यान में रखते हुए, हम मान सकते हैं कि बर्फ के टुकड़े की रूपरेखा में छह प्रकार के खंड होते हैं। आइए उन्हें 0, 1, 2, 3, 4, 5 से निरूपित करें। इस प्रकार, हमें 6 अंकों का उपयोग करके किसी भी क्रम की रूपरेखा को एन्कोड करने का अवसर मिलता है (आंकड़ा देखें)।

प्रत्येक किनारे को चार किनारों से प्रतिस्थापित करके, मुड़ी हुई हथेलियों (_/\_) की तरह जोड़कर, निचले क्रम के पूर्ववर्ती से एक उच्च-क्रम वाला बर्फ का टुकड़ा प्राप्त किया जाता है। तालिका के अनुसार किनारे प्रकार 0 को चार किनारों 0, 5, 1, 0 इत्यादि से बदल दिया गया है:

एक साधारण समबाहु त्रिभुज को शून्य-क्रम कोच स्नोफ्लेक के रूप में माना जा सकता है। वर्णित एन्कोडिंग प्रणाली में, यह प्रविष्टि 0, 4, 2 से मेल खाती है। बाकी सब कुछ वर्णित प्रतिस्थापन द्वारा प्राप्त किया जा सकता है। मैं यहां प्रक्रिया कोड प्रदान नहीं करूंगा और इस प्रकार आपको अपना स्वयं का कार्यक्रम विकसित करने के आनंद से वंचित कर दूंगा। इसे लिखते समय स्पष्ट पुनरावर्ती कॉल का उपयोग करना बिल्कुल भी आवश्यक नहीं है। इसे नियमित चक्र से बदला जा सकता है। काम की प्रक्रिया में, आपके पास पुनरावृत्ति और हमारे आस-पास की दुनिया के अर्ध-फ्रैक्टल रूपों के निर्माण में इसकी भूमिका के बारे में सोचने का एक और कारण होगा, और पथ के अंत में (यदि, निश्चित रूप से, आप बहुत आलसी नहीं हैं) इसके माध्यम से अंत तक जाने के लिए) आप एक भग्न बर्फ के टुकड़े की आकृति के जटिल पैटर्न की प्रशंसा करने में सक्षम होंगे, और अंत में अनंत के चेहरे को भी देख पाएंगे।

विषय: भग्न।

1 परिचय। फ्रैक्टल्स पर संक्षिप्त ऐतिहासिक पृष्ठभूमि। 2. फ्रैक्टल प्रकृति में ज्यामिति के तत्व हैं।

3. प्रकृति में भग्न गुणों वाली वस्तुएँ। 4. "फ्रैक्टल्स" शब्दावली की परिभाषा।

5. भग्नों की श्रेणियाँ।

6. भग्न प्रक्रियाओं का विवरण। 7. फ्रैक्टल सेट प्राप्त करने की प्रक्रियाएँ।

8.1 टूटा हुआ कोखा (प्राप्त करने की प्रक्रिया)।

8.2 कोच स्नोफ्लेक (कोच फ्रैक्टल)।

8.3 मेन्जर स्पंज।

9. फ्रैक्टल के उपयोग के उदाहरण।

फ्रैक्टल पृथक गणित की एक युवा शाखा है।

1904 में, स्वेड कोच एक सतत वक्र लेकर आए, जिसका कहीं भी कोई स्पर्शरेखा नहीं है - कोच वक्र।

1918 में, फ्रांसीसी जूलिया ने फ्रैक्टल्स के एक पूरे परिवार का वर्णन किया।

1938 में, पियरे लेवी ने लेख "समतल और स्थानिक वक्र और संपूर्ण के समान भागों से बनी सतहें" प्रकाशित किया।

1982 में, बेनोइट मैंडेलब्रॉट ने "द फ्रैक्टल ज्योमेट्री ऑफ नेचर" पुस्तक प्रकाशित की।

सरल निर्माणों और सूत्रों का उपयोग करके, छवियां बनाई जाती हैं। "फ्रैक्टल पेंटिंग" दिखाई दी।

1993 से, वर्ल्ड साइंटिफिक ने "फ्रैक्टल्स" पत्रिका प्रकाशित की है।

फ्रैक्टल्स पर्वत श्रृंखलाओं के मॉडल, ऊबड़-खाबड़ समुद्र तट, कई केशिकाओं और वाहिकाओं की संचार प्रणाली, पेड़ों के मुकुट, झरने के झरने, कांच पर ठंढे पैटर्न जैसी वस्तुओं का वर्णन करने का एक साधन हैं।

या ये: फ़र्न का पत्ता, बादल, धब्बा।

ऐसी वस्तुओं की छवियों को फ्रैक्टल ग्राफिक्स का उपयोग करके दर्शाया जा सकता है।

कोरलस्टारफिश और अर्चिन्ससी शैल

फूल और पौधे (ब्रोकोली, पत्तागोभी) फल (अनानास)

पेड़ों के मुकुट और पौधों की पत्तियाँ निर्जीव प्रकृति में लोगों और जानवरों की परिसंचरण प्रणाली और ब्रांकाई:

भौगोलिक वस्तुओं की सीमाएँ (देश, क्षेत्र, शहर) तटरेखाएँ पर्वत श्रृंखलाएँ बर्फ के टुकड़े बादल बिजली

कांच के क्रिस्टल स्टैलेक्टाइट्स, स्टैलेग्माइट्स, हेलिक्टाइट्स पर बने पैटर्न।

फ्रैक्टल ज्यामितीय आकृतियाँ हैं जो निम्नलिखित में से एक या अधिक गुणों को संतुष्ट करती हैं:

इसमें किसी भी आवर्धन (सभी पैमाने पर) पर एक जटिल गैर-तुच्छ संरचना है; यह (लगभग) स्व-समान है।

इसमें आंशिक हॉसडॉर्फ (फ्रैक्टल) आयाम है या टोपोलॉजिकल आयाम से अधिक है; पुनरावर्ती प्रक्रियाओं द्वारा इसका निर्माण किया जा सकता है।

वृत्त, दीर्घवृत्त, या किसी चिकने फलन के ग्राफ जैसे नियमित आंकड़ों के लिए, बहुत बड़े पैमाने पर एक छोटा टुकड़ा एक सीधी रेखा के टुकड़े के समान होता है। फ्रैक्टल के लिए, स्केल बढ़ाने से संरचना का सरलीकरण नहीं होता है; सभी स्केलों के लिए हम समान रूप से जटिल चित्र देखेंगे।

फ्रैक्टल एक संरचना है जिसमें संपूर्ण के समान भाग (उपसंरचनाएं) होते हैं।

कुछ भग्न, प्रकृति के तत्वों के रूप में, ज्यामितीय (रचनात्मक) भग्न के रूप में वर्गीकृत किए जा सकते हैं।

शेष को गतिशील भग्न (बीजगणितीय) के रूप में वर्गीकृत किया जा सकता है।

फ्रैक्टल वक्र प्राप्त करने के लिए यह एक सरल पुनरावर्ती प्रक्रिया है: एक सीमित संख्या में लिंक के साथ एक मनमानी टूटी हुई रेखा निर्दिष्ट करें - एक जनरेटर। इसके बाद, जनरेटर के प्रत्येक खंड को इसमें बदल दिया जाता है। फिर इसमें प्रत्येक खंड को फिर से एक जनरेटर द्वारा बदल दिया जाता है, और इसी तरह अनंत काल तक।

दिखाया गया है: एक इकाई खंड को 3 भागों (ए) में विभाजित करना, एक इकाई वर्ग क्षेत्र को 9 भागों (बी) में विभाजित करना, एक इकाई घन को 27 भागों (सी) और 64 भागों (डी) में विभाजित करना। भागों की संख्या n है, स्केलिंग कारक k है, और स्थान का आयाम d है। हमारे निम्नलिखित संबंध हैं: n = kd,

यदि n = 3, k = 3, तो d = 1; यदि n = 9, k = 3, तो d = 2; यदि n = 27, k = 3, तो d = 3.

यदि n = 4, k = 4, तो d = 1; यदि n = 16, k = 4, तो d = 2; यदि n = 64, k = 4, तो d = 3। अंतरिक्ष का आयाम पूर्णांकों में व्यक्त किया गया है: d = 1, 2, 3; n = 64 के लिए, d का मान है

कोच पॉलीलाइन के निर्माण के पांच चरण दिखाए गए हैं: इकाई लंबाई (ए) का एक खंड, तीन भागों में विभाजित (के = 3), चार भागों से (एन = 4) - एक टूटी हुई रेखा (बी); प्रत्येक सीधा खंड तीन भागों में विभाजित है (k2 = 9) और 16 भागों में से (n2 = 16) - एक टूटी हुई रेखा (c); प्रक्रिया k3 = 27 और n3 = 64 - टूटी हुई रेखा (g) के लिए दोहराई जाती है; k5 = 243 और n5 = 1024 के लिए - टूटी हुई रेखा (डी)।

आयाम

यह एक आंशिक या फ्रैक्टल आयाम है.

1904 में हेल्ग वॉन कोच द्वारा प्रस्तावित कोच पॉलीलाइन, एक फ्रैक्टल के रूप में कार्य करती है जो समुद्र तट की ऊबड़-खाबड़ता के मॉडलिंग के लिए उपयुक्त है। मैंडेलब्रॉट ने समुद्र तट निर्माण एल्गोरिदम में यादृच्छिकता का एक तत्व पेश किया, जिसने, हालांकि, समुद्र तट की लंबाई के संबंध में मुख्य निष्कर्ष को प्रभावित नहीं किया। क्योंकि सीमा

तट की अंतहीन बीहड़ता के कारण समुद्र तट की लंबाई अनंत हो जाती है।

अधिक विस्तृत पैमाने से कम विस्तृत पैमाने की ओर बढ़ने पर समुद्र तट को सुचारू करने की प्रक्रिया, अर्थात्।

निर्माण के आधार के रूप में, आप इकाई लंबाई के खंड नहीं, बल्कि एक समबाहु त्रिभुज ले सकते हैं, जिसके प्रत्येक पक्ष पर आप अनियमितताओं को गुणा करने की प्रक्रिया को बढ़ा सकते हैं। इस मामले में, हमें एक कोच स्नोफ्लेक (चित्र), और तीन प्रकार का मिलता है: नवगठित त्रिकोण केवल पिछले त्रिकोण (ए) और (बी) से बाहर की ओर निर्देशित होते हैं; केवल अंदर (अंदर); बेतरतीब ढंग से या तो बाहर या अंदर की ओर (डी) और (ई)। आप कोच फ्रैक्टल के निर्माण की प्रक्रिया कैसे निर्धारित कर सकते हैं?

चावल। स्नोफ्लेक कोच

चित्र में. दो वेक्टर आरेख दिखाए गए हैं; तीरों के ऊपर की संख्याएँ संभवतः यह प्रश्न उठाएँगी: उनका क्या मतलब है? वेक्टर 0 एब्सिस्सा अक्ष की सकारात्मक दिशा के साथ मेल खाता है, क्योंकि इसका चरण कारक exp (i2πl/6) l = 0 पर अपनी दिशा बरकरार रखता है। वेक्टर 1 को वेक्टर 0 के सापेक्ष 2π/6 के कोण से घुमाया जाता है, जब l= 1. वेक्टर 5 का एक चरण कारक exp (i2π5/6), l = 5 होता है। अंतिम वेक्टर का चरण कारक पहले के समान ही होता है ( एल = 0). पूर्णांक एल इकाई वेक्टर के चरण कारक के कोण को दर्शाते हैं।

पहला चरण (चित्र) सभी बाद के चरणों के लिए और विशेष रूप से दूसरे चरण (चित्र) के लिए एक पुनरावर्ती प्रक्रिया निर्दिष्ट करता है। संख्याओं के समूह φ1 = (0 1 5 0) से φ2 = (0 1 5 0 1 2 0 1 5 0 4 5 0 1 5 0) तक कैसे जाएं? उत्तर: प्रत्यक्ष मैट्रिक्स गुणन के माध्यम से, जब एक मैट्रिक्स के प्रत्येक तत्व को मूल मैट्रिक्स से गुणा किया जाता है। चूँकि इस मामले में हम एक-आयामी सरणी के साथ काम कर रहे हैं, अर्थात। चूँकि मैट्रिक्स वेक्टर हैं, एक मैट्रिक्स-वेक्टर का प्रत्येक तत्व दूसरे मैट्रिक्स-वेक्टर के सभी तत्वों से गुणा होता है। इसके अलावा, मैट्रिक्स-वेक्टर φ1 के तत्वों में घातीय फ़ंक्शन exp (i2πl/6) शामिल हैं, इसलिए, संख्या h को गुणा करते समय 10 को मॉड (6) के अनुसार जोड़ना आवश्यक होगा, और गुणा नहीं करना होगा।

कोच स्नोफ्लेक का ज्यामितीय आकार इस तरह दिखता है



कोच स्नोफ्लेक कैसे बनाएं



और वहाँ कोच पिरामिड भी है



आप नीचे दिए गए वीडियो से अधिक विस्तार से जान सकते हैं कि कोच स्नोफ्लेक कैसे बनाएं। कोई समझे, मैंने हार मान ली।

सबसे पहले, आइए इस कोच स्नोफ्लेक को देखें। नीचे दिया गया चित्र हमें सबसे अच्छा दिखाएगा।



अर्थात्, किसी दिए गए बर्फ के टुकड़े को खींचने के लिए, आपको व्यक्तिगत ज्यामितीय आकृतियों का उपयोग करने की आवश्यकता होती है, जो इस ज्यामितीय भग्न को बनाते हैं।



हमारे चित्र का आधार एक समबाहु त्रिभुज है। प्रत्येक भुजा को तीन खंडों में विभाजित किया गया है, जिससे अगले, छोटे, समबाहु त्रिभुज बनाए जाते हैं। परिणामी त्रिभुजों के साथ एक ही ऑपरेशन कई बार किया जाता है।

कोच का हिमकण वैज्ञानिकों द्वारा अध्ययन किए गए पहले भग्नों में से एक है। कोच वक्र की तीन प्रतियों से एक बर्फ का टुकड़ा प्राप्त होता है, इस खोज की जानकारी 1904 में स्वीडिश गणितज्ञ हेल्गे वॉन कोच के एक लेख में छपी थी। मूलतः, एक वक्र का आविष्कार एक सतत रेखा के उदाहरण के रूप में किया गया था जिसके किसी भी बिंदु पर स्पर्शरेखा रेखा नहीं खींची जा सकती। कोच वक्र अपने डिज़ाइन में सरल है।

एक उदाहरण, चरण-दर-चरण ड्राइंग के साथ कोच स्नोफ्लेक की तस्वीर का फोटो-ड्राइंग।



इस आरेख में आप उन रेखाओं की विस्तार से जांच कर सकते हैं जो बाद में कोच स्नोफ्लेक बनाएंगी।

और यह कोच के बर्फ के टुकड़े पर आधारित एक नए बर्फ के टुकड़े की व्याख्या है।



इससे पहले कि आप समझें कि कोच स्नोफ्लेक कैसे बनाएं, आपको यह निर्धारित करना होगा कि यह क्या है।

तो, कोच स्नोफ्लेक एक ज्यामितीय छवि है - एक भग्न।

कोच के स्नोफ्लेक की पूरी परिभाषा नीचे चित्र में दी गई है।