अनुदेश

10, 30, 90, 270...

ज्यामितीय प्रगति के हर को खोजने के लिए यह आवश्यक है।
फेसला:

विकल्प 1। प्रगति का एक मनमाना शब्द लें (उदाहरण के लिए, 90) और इसे पिछले एक (30): 90/30 \u003d 3 से विभाजित करें।

यदि आप एक ज्यामितीय प्रगति के कई सदस्यों का योग या घटती ज्यामितीय प्रगति के सभी सदस्यों का योग जानते हैं, तो प्रगति के हर को खोजने के लिए, उचित सूत्रों का उपयोग करें:
Sn \u003d b1 * (1-q ^ n) / (1-q), जहां Sn ज्यामितीय प्रगति के पहले n शब्दों का योग है और
एस \u003d बी 1 / (1-क्यू), जहां एस एक असीम रूप से घटने वाली ज्यामितीय प्रगति का योग है (एक से कम हर के साथ प्रगति के सभी सदस्यों का योग)।
उदाहरण।

घटती ज्यामितीय प्रगति का पहला शब्द एक के बराबर है, और इसके सभी सदस्यों का योग दो के बराबर है।

इस प्रगति के हर को निर्धारित करने के लिए आवश्यक है।
फेसला:

समस्या से सूत्र में डेटा प्लग करें। यह पता चला जाएगा:
2 \u003d 1 / (1-q), whence - q \u003d 1/2।

प्रगति संख्याओं का एक क्रम है। ज्यामितीय प्रगति में, प्रत्येक बाद के पद को पिछले संख्या में कुछ संख्या q से गुणा करके प्राप्त किया जाता है, जिसे प्रगति का भाजक कहा जाता है।

अनुदेश

यदि आप ज्यामितीय b (n + 1) और b (n) के दो पड़ोसी शब्दों को जानते हैं, तो हरक को प्राप्त करने के लिए, आपको संख्या को उस से पहले वाले एक बड़े भाग से विभाजित करना होगा: q \u003d b (n + 1) / बी (एन)। यह एक प्रगति और इसके हर की परिभाषा से आता है। एक महत्वपूर्ण स्थिति पहले शब्द की असमानता है और प्रगति की संभावना शून्य है, अन्यथा इसे अपरिभाषित माना जाता है।

तो, निम्नलिखित रिश्ते प्रगति के सदस्यों के बीच स्थापित होते हैं: b2 \u003d b1 q, b3 \u003d b2 q,…, b (n) \u003d b (n-1) q। सूत्र b (n) \u003d b1 q ^ (n-1) द्वारा, ज्यामितीय प्रगति के किसी भी शब्द की गणना की जा सकती है, जिसमें भाजक q और पद b1 ज्ञात हैं। इसके अलावा, मापांक में प्रगति का प्रत्येक अपने पड़ोसी सदस्यों के औसत के बराबर है: | b (n) \u003d \u003d progress, इसलिए प्रगति अपने आप हो गई।

ज्यामितीय प्रगति का एक एनालॉग सबसे सरल घातीय फ़ंक्शन y \u003d a ^ x है, जहां एक्स घातांक में है और कुछ संख्या है। इस मामले में, प्रगति का भाजक पहले शब्द के साथ मेल खाता है और संख्या a के बराबर है। फ़ंक्शन y के मान को प्रगति के n-वें शब्द के रूप में समझा जा सकता है यदि तर्क x को प्राकृतिक संख्या n (काउंटर) के रूप में लिया जाता है।

ज्यामितीय प्रगति के पहले n शब्दों के योग के लिए मौजूद है: S (n) \u003d b1 (1-q ^ n) / (1-q)। यह सूत्र q। 1 के लिए मान्य है। यदि q \u003d 1 है, तो पहले n पदों का योग सूत्र S (n) \u003d n b1 द्वारा परिकलित किया जाता है। वैसे, प्रगति को तब बढ़ाना कहा जाएगा जब q एक से अधिक हो और सकारात्मक b1। यदि प्रगति का हर एक निरपेक्ष मान से अधिक नहीं है, तो प्रगति को घटाना कहा जाएगा।

एक ज्यामितीय प्रगति का एक विशेष मामला एक अनंत रूप से घटती ज्यामितीय प्रगति (b.d.p.) है। तथ्य यह है कि घटती ज्यामितीय प्रगति की शर्तें बार-बार घटेंगी, लेकिन वे कभी शून्य तक नहीं पहुंचेंगे। इसके बावजूद, आप ऐसी प्रगति के सभी सदस्यों का योग पा सकते हैं। यह सूत्र S \u003d b1 / (1-q) द्वारा निर्धारित किया जाता है। सदस्यों की कुल संख्या अनंत है।

यह कल्पना करने के लिए कि आप अनंत संख्याओं को कैसे जोड़ सकते हैं और एक ही समय में अनन्तता प्राप्त नहीं कर सकते हैं, एक केक सेंकना। इसमें से आधा काट लें। फिर 1/2 को आधा से काट लें, और इसी तरह। जो टुकड़े आपको मिलेंगे, वे 1/2 के हर के साथ एक असीम रूप से घटती ज्यामितीय प्रगति के सदस्यों से अधिक कुछ नहीं हैं। यदि आप इन सभी टुकड़ों को जोड़ते हैं, तो आपको मूल केक मिलता है।

ज्यामिति समस्याएं एक विशेष प्रकार का व्यायाम है जिसमें स्थानिक सोच की आवश्यकता होती है। यदि आप जियोमेट्रिक हल करने में असमर्थ हैं टास्क, नीचे दिए गए नियमों का पालन करें।

अनुदेश

समस्या का विवरण बहुत सावधानी से पढ़ें, अगर आपको कुछ याद नहीं है या समझ नहीं आ रहा है, तो उसे फिर से पढ़ें।

यह निर्धारित करने की कोशिश करें कि यह किस प्रकार की ज्यामितीय समस्याएं हैं, उदाहरण के लिए: कम्प्यूटेशनल समस्याएं, जब आपको कुछ मूल्य का पता लगाने की आवश्यकता होती है, तो समस्याओं के लिए तर्क की एक तार्किक श्रृंखला, एक कम्पास और शासक का उपयोग करके निर्माण समस्याओं की आवश्यकता होती है। अधिक मिश्रित समस्याएं। एक बार जब आप समस्या के प्रकार का पता लगा लेते हैं, तो तार्किक रूप से सोचने की कोशिश करें।

इस समस्या के लिए आवश्यक प्रमेय लागू करें, लेकिन यदि संदेह या कोई विकल्प नहीं है, तो उस सिद्धांत को याद करने का प्रयास करें जिसे आपने संबंधित विषय पर पारित किया था।

समस्या का समाधान ड्राफ़्ट पर भी करें। सत्यापित करने के लिए ज्ञात विधियों का उपयोग करने का प्रयास करें कि आपका निर्णय सही है।

समस्या का समाधान बड़े पैमाने पर एक नोटबुक में भरें, बिना दाग और पार किए, और सबसे महत्वपूर्ण बात - यह पहली ज्यामितीय समस्याओं को हल करने में समय और प्रयास लग सकता है। हालाँकि, जैसे ही आप इस प्रक्रिया में महारत हासिल करते हैं, आप नट्स जैसे मज़े पर काम शुरू कर देंगे!

एक ज्यामितीय प्रगति संख्याओं का एक क्रम है b1, b2, b3, ..., b (n-1), b (n) जैसे कि b2 \u003d b1 * q, b3 \u003d b2 * q, ..., b (n) ) \u003d बी (एन -1) * क्यू, बी 1 q 0, क्यू। 0। दूसरे शब्दों में, प्रगति के प्रत्येक पद को पिछले एक से प्राप्त किया जाता है, इसे प्रगति संख्या के कुछ गैर-अक्षीय भाजक द्वारा गुणा किया जाता है।

अनुदेश

प्रगति की समस्याओं को सबसे अधिक बार प्रगति बी 1 के पहले शब्द और प्रगति क्ष के हर के सापेक्ष एक प्रणाली के द्वारा तैयार किया जाता है। समीकरण लिखते समय कुछ सूत्र याद रखना मददगार होता है।

प्रगति के पहले कार्यकाल और प्रगति के हर के संदर्भ में n-th शब्द को कैसे व्यक्त करें: b (n) \u003d b1 * q ^ (n-1)।

अलग से मामले पर विचार करें | q |<1. Если знаменатель прогрессии по модулю меньше единицы, имеем бесконечно убывающую геометрическую . Сумма первых n членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии ищется так же, как и для неубывающей геометрической прогрессии. Однако в случае бесконечно убывающей геометрической прогрессии можно найти также сумму всех членов этой прогрессии, поскольку при бесконечном n будет бесконечно уменьшаться значение b(n), и сумма всех членов будет стремиться к определенному пределу. Итак, сумма всех членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии

विषय पर पाठ और प्रस्तुति: "संख्या क्रम। ज्यामितीय प्रगति"

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दोस्तों, आज हम एक और प्रकार की प्रगति से परिचित होंगे।
आज के पाठ का विषय ज्यामितीय प्रगति है।

ज्यामितीय अनुक्रम

उदाहरण। 1,2,4,8,16 ... ज्यामितीय प्रगति, जिसमें पहला शब्द एक के बराबर है, और $ q \u003d 2 $ है।

उदाहरण। 8,8,8,8 ... ज्यामितीय प्रगति, जिसमें पहला पद आठ के बराबर है,
और $ q \u003d 1 $।

उदाहरण। 3, -3.3, -3.3 ... ज्यामितीय प्रगति, जिसमें पहला पद तीन के बराबर है,
और $ q \u003d -1 $।

ज्यामितीय प्रगति में एकरसता के गुण होते हैं।
अगर $ b_ (1)\u003e 0 $, $ q\u003e 1 $,
फिर क्रम आरोही है।
अगर $ b_ (1)\u003e 0 $, $ 0 अनुक्रम को आमतौर पर इस रूप में दर्शाया जाता है: $ b_ (1), b_ (2), b_ (3), ..., b_ (n), ... $।

साथ ही एक अंकगणितीय प्रगति में, यदि ज्यामितीय प्रगति में तत्वों की संख्या परिमित है, तो प्रगति को परिमित ज्यामितीय प्रगति कहा जाता है।

$ b_ (1), b_ (2), b_ (3), ..., b_ (n-2), b_ (n-1), b_ (n) $।
ध्यान दें, यदि अनुक्रम एक ज्यामितीय प्रगति है, तो सदस्यों के वर्गों का अनुक्रम भी एक ज्यामितीय प्रगति है। दूसरे क्रम के लिए, पहला शब्द $ b_ (1) ^ 2 $ है, और हर $ q ^ 2 $ है।

ज्यामितीय प्रगति के एन-वें कार्यकाल का सूत्र

आइए अपने उदाहरणों पर वापस जाएं।

उदाहरण। 1,2,4,8,16 ... ज्यामितीय प्रगति, जिसमें पहला पद एक के बराबर है,
और $ q \u003d 2 $।
$ b_ (n) \u003d 1 * 2 ^ (n) \u003d 2 ^ (n-1) $।

उदाहरण। 16,8,4,2,1,1 / 2 ... एक ज्यामितीय प्रगति जिसमें पहला शब्द सोलह और $ q \u003d \\ frac (1) (2) $ है।
$ b_ (n) \u003d 16 * (\\ frac (1) (2)) ^ (n-1) $।

उदाहरण। 8,8,8,8 ... एक ज्यामितीय प्रगति जिसमें पहला शब्द आठ और $ q \u003d 1 $ है।
$ b_ (n) \u003d 8 * 1 ^ (n-1) \u003d 8 $।

उदाहरण। 3, -3.3, -3.3 ... एक ज्यामितीय प्रगति जिसमें पहला शब्द तीन और $ q \u003d -1 $ है।
$ b_ (n) \u003d 3 * (- 1) ^ (n-1) $।

उदाहरण। आपको एक ज्यामितीय प्रगति $ b_ (1), b_ (2),…, b_ (n),… $ दी जाती है।
a) यह ज्ञात है कि $ b_ (1) \u003d 6, q \u003d 3 $। $ B_ (5) $ का पता लगाएं।
b) यह ज्ञात है कि $ b_ (1) \u003d 6, q \u003d 2, b_ (n) \u003d 768 $। N खोजें।
c) यह ज्ञात है कि $ q \u003d -2, b_ (6) \u003d 96 $। $ B_ (1) $ का पता लगाएं।
d) यह ज्ञात है कि $ b_ (1) \u003d - 2, b_ (12) \u003d 4096 $। क्ष खोजो।

फेसला।
a) $ b_ (5) \u003d b_ (1) * q ^ 4 \u003d 6 * 3 ^ 4 \u003d 486 $।
b) $ b_n \u003d b_1 * q ^ (n-1) \u003d 6 * 2 ^ (n-1) \u003d 768 $।
$ 2 ^ (n-1) \u003d \\ frac (768) (6) \u003d 128 $ चूंकि $ 2 ^ 7 \u003d 128 \u003d\u003e n-1 \u003d 7; n \u003d 8 $।
c) $ b_ (6) \u003d b_ (1) * q ^ 5 \u003d b_ (1) * (- 2) ^ 5 \u003d -32 * b_ (1) \u003d 96 \u003d\u003e b_ (1) \u003d - 3 $।
d) $ b_ (12) \u003d b_ (1) * q ^ (11) \u003d - 2 * q ^ (11) \u003d 4096 \u003d\u003e q ^ (11) \u003d - 2048 \u003d\u003e q \u003d -2 $।

उदाहरण। ज्यामितीय प्रगति की सातवीं और पाँचवीं शर्तों के बीच अंतर 192 है, प्रगति के पांचवें और छठे शब्दों का योग 192 है। इस प्रगति का दसवां शब्द खोजें।

फेसला।
हम जानते हैं कि: $ b_ (7) -b_ (5) \u003d 192 $ और $ b_ (5) + b_ (6) \u003d 192 $।
हम यह भी जानते हैं: $ b_ (5) \u003d b_ (1) * q ^ 4 $; $ b_ (6) \u003d b_ (1) * q ^ 5 $; $ b_ (7) \u003d b_ (1) * q ^ 6 $।
फिर:
$ b_ (1) * q ^ 6-b_ (1) * q ^ 4 \u003d 192 $।
$ b_ (1) * q ^ 4 + b_ (1) * q ^ 5 \u003d 192 $।
हमें समीकरणों की एक प्रणाली मिली:
$ \\ start (मामले) b_ (1) * q ^ 4 (q ^ 2-1) \u003d 192 \\\\ b_ (1) * q ^ 4 (1 + q) \u003d 192 \\ end (मामले) $।
समीकरण के अनुसार, हमारे समीकरण मिलते हैं:
$ b_ (1) * q ^ 4 (q ^ 2-1) \u003d b_ (1) * q ^ 4 (1 + q) $।
$ q ^ 2-1 \u003d q + 1 $।
$ q ^ 2-q-2 \u003d 0 $।
हमें दो समाधान मिले q: $ q_ (1) \u003d 2, q_ (2) \u003d - 1 $।
क्रमिक रूप से दूसरे समीकरण में स्थानापन्न करें:
$ b_ (1) * 2 ^ 4 * 3 \u003d 192 \u003d\u003e b_ (1) \u003d 4 $।
$ b_ (1) * (- 1) ^ 4 * 0 \u003d 192 \u003d\u003e $ कोई समाधान नहीं।
हमें वह मिला: $ b_ (1) \u003d 4, q \u003d 2 $।
दसवां शब्द खोजें: $ b_ (10) \u003d b_ (1) * q ^ 9 \u003d 4 * 2 ^ 9 \u003d 2048 $।

एक परिमित ज्यामितीय प्रगति का योग

एक परिमित ज्यामितीय प्रगति दी जाए: $ b_ (1), b_ (2),…, b_ (n-1), b_ (n) $।
आइए हम इसके सदस्यों की राशि के लिए संकलित करें: $ S_ (n) \u003d b_ (1) + b_ (2) + 2 + b_ (n-1) + b_ (n) $।
मामले में जब $ q \u003d 1 $। ज्यामितीय प्रगति के सभी सदस्य पहले शब्द के बराबर हैं, फिर यह स्पष्ट है कि $ S_ (n) \u003d n * b_ (1) $।
अब मामले पर विचार करें $ q ≠ 1 $।
उपरोक्त योग को q से गुणा करें।
$ S_ (n) * q \u003d (b_ (1) + b_ (2) + b + b_ (n-1) + b_ (n)) * q \u003d b_ (1) * q + b_ (2) * + N + b_ (n-1) * q + b_ (n) * q \u003d b_ (2) + b_ (3) + 3 + b_ (n) + b_ (n) * q $।
ध्यान दें:
$ S_ (n) \u003d b_ (1) + (b_ (2) + (+ b_ (n-1) + b_ (n)) $।
$ S_ (n) * q \u003d (b_ (2) + b + b_ (n-1) + b_ (n)) + b_ (n) * q $।

$ S_ (n) * q-S_ (n) \u003d (b_ (2) + b + b_ (n-1) + b_ (n)) + b_ (n) * q-b_ (1) - (b_ (2) ) + + + B_ (n-1) + b_ (n)) \u003d b_ (n) * q-b_ (1) $।

$ S_ (n) (q-1) \u003d b_ (n) * q-b_ (1) $।

$ S_ (n) \u003d \\ frac (b_ (n) * q-b_ (1)) (q-1) \u003d \\ frac (b_ (1) * q ^ (n-1) * q-b_ (1) (q-1) \u003d \\ frac (b_ (1) (q ^ (n) -1)) (q-1) $।

$ S_ (n) \u003d \\ frac (b_ (1) (q ^ (n) -1)) (q-1) $।

हमें परिमित ज्यामितीय प्रगति के योग का सूत्र मिला।

फेसला।
$ S_ (7) \u003d \\ frac (4 * (3 ^ (7) -1)) (3-1) \u003d 2 * (3 ^ (7) -1) \u003d 4372 $।

उदाहरण।
ज्यामितीय प्रगति का पाँचवाँ शब्द ज्ञात कीजिए, जो ज्ञात है: $ b_ (1) \u003d - 3 $; $ b_ (n) \u003d - 3072 $; $ S_ (n) \u003d - 4095 $।

फेसला।
$ b_ (n) \u003d (- 3) * q ^ (n-1) \u003d - 3072 $।
$ q ^ (n-1) \u003d 1024 $।
$ q ^ (n) \u003d 1024q $।

$ S_ (n) \u003d \\ frac (-3 * (q ^ (n) -1)) (q-1) \u003d - 4095 $।
$ -4095 (q-1) \u003d - 3 * (q ^ (n) -1) $।
$ -4095 (q-1) \u003d - 3 * (1024q-1) $।
$ 1365q-1365 \u003d 1024q-1 $।
$ 341q \u003d $ 1364।
$ q \u003d 4 $।
$ b_5 \u003d b_1 * q ^ 4 \u003d -3 * 4 ^ 4 \u003d -3 * 256 \u003d -768 $।

एक ज्यामितीय प्रगति की विशेषता संपत्ति

एक संख्यात्मक अनुक्रम केवल एक ज्यामितीय प्रगति है जब इसके प्रत्येक सदस्य का वर्ग प्रगति के दो आसन्न सदस्यों के उत्पाद के बराबर होता है। यह मत भूलो कि एक परिमित प्रगति के लिए, यह स्थिति पहले और अंतिम सदस्यों के लिए नहीं मिली है।

ज्यामितीय प्रगति के किसी भी सदस्य का मापांक इसके समीपस्थ दो सदस्यों के ज्यामितीय माध्य के बराबर होता है।

फेसला।
चलो विशेषता संपत्ति का उपयोग करें:
$ (2x + 2) ^ 2 \u003d (x + 2) (3x + 3) $।
$ 4x ^ 2 + 8x + 4 \u003d 3x ^ 2 + 3x + 6x + 6 $।
$ x ^ 2-x-2 \u003d 0 $।
$ x_ (1) \u003d 2 $ और $ x_ (2) \u003d - 1 $।
मूल अभिव्यक्ति, हमारे समाधानों में क्रमिक रूप से प्रतिस्थापित करना:
$ X \u003d 2 $ के साथ, हमें अनुक्रम मिला: 4; 6; 9 - एक ज्यामितीय प्रगति, जिसमें $ q \u003d 1.5 $।
$ X \u003d -1 $ के साथ, हमें अनुक्रम मिला: 1; 0; 0;
उत्तर: $ x \u003d 2. $

स्वतंत्र समाधान के लिए कार्य

ज्यामितीय प्रगति, अंकगणित के साथ, एक महत्वपूर्ण संख्या श्रृंखला है, जिसका 9 वीं कक्षा में स्कूल बीजगणित पाठ्यक्रम में अध्ययन किया जाता है। इस लेख में, हम एक ज्यामितीय प्रगति के भाजक पर विचार करेंगे, और इसका मूल्य इसके गुणों को कैसे प्रभावित करेगा।

एक ज्यामितीय प्रगति का निर्धारण

शुरुआत करने के लिए, आइए इस संख्या श्रृंखला की परिभाषा दें। ज्यामितीय प्रगति तर्कसंगत संख्याओं की एक श्रृंखला है जो क्रमिक रूप से अपने पहले तत्व को एक स्थिर संख्या से गुणा करके बनाई जाती है जिसे भाजक कहा जाता है।

उदाहरण के लिए, पंक्ति 3, 6, 12, 24, ... में संख्याएँ एक ज्यामितीय प्रगति हैं, क्योंकि यदि आप 3 (पहले तत्व) को 2 से गुणा करते हैं, तो आपको 6. मिलता है। यदि आप 6 को 2 से गुणा करते हैं, तो आप प्राप्त करते हैं। 12, और इसी तरह।

विचाराधीन अनुक्रम के सदस्यों को आमतौर पर प्रतीक एआई द्वारा दर्शाया जाता है, जहां मैं एक पूर्णांक है जो पंक्ति में एक तत्व की संख्या को दर्शाता है।

प्रगति की उपरोक्त परिभाषा को गणित की भाषा में निम्न प्रकार से लिखा जा सकता है: a \u003d bn-1 * a1, जहाँ b हर है। इस सूत्र को जांचना आसान है: यदि n \u003d 1, तो b1-1 \u003d 1, और हमें a1 \u003d a1 मिलता है। यदि n \u003d 2, तो a \u003d b * a1, और हम फिर से संख्याओं की मानी गई श्रृंखला की परिभाषा में आते हैं। इसी तरह के तर्क को n के बड़े मूल्यों के लिए जारी रखा जा सकता है।

ज्यामितीय प्रगति का सूत्रधार

संख्या बी पूरी तरह से निर्धारित करती है कि पूरी संख्या श्रृंखला में किस चरित्र का चरित्र होगा। भाजक b धनात्मक, ऋणात्मक या एक या अधिक से अधिक हो सकता है। इन सभी विकल्पों से अलग-अलग अनुक्रम होते हैं:

• b\u003e 1. तर्कसंगत संख्याओं की बढ़ती श्रृंखला है। उदाहरण के लिए, 1, 2, 4, 8, ... यदि तत्व a1 ऋणात्मक है, तो संपूर्ण अनुक्रम केवल निरपेक्ष मूल्य में वृद्धि करेगा, लेकिन संख्याओं के संकेत को ध्यान में रखते हुए घटाएगा।
• b \u003d 1. ऐसे मामले को अक्सर प्रगति नहीं कहा जाता है, क्योंकि समान तर्कसंगत संख्याओं की एक साधारण श्रृंखला होती है। उदाहरण के लिए, -4, -4, -4।

राशि के लिए सूत्र

प्रगति के प्रकार के विचारक का उपयोग करके विशिष्ट समस्याओं के विचार पर आगे बढ़ने से पहले, इसके पहले n तत्वों के योग के लिए एक महत्वपूर्ण सूत्र दिया जाना चाहिए। सूत्र है: Sn \u003d (bn - 1) * a1 / (b - 1)।

आप इस अभिव्यक्ति को स्वयं प्राप्त कर सकते हैं यदि आप प्रगति के सदस्यों के पुनरावर्ती अनुक्रम पर विचार करते हैं। यह भी ध्यान दें कि उपरोक्त सूत्र में, केवल पहले तत्व और हर को जानने के लिए पर्याप्त है, एक मनमाना संख्या का योग खोजने के लिए।

असीम रूप से घटता क्रम

ऊपर यह बताया गया है कि यह क्या है। अब, Sn के फार्मूले को जानते हुए, इसे इस संख्या श्रृंखला पर लागू करें। चूँकि कोई भी संख्या जिसका मापांक 1 से अधिक नहीं होता है, जब बड़ी डिग्री तक उठाया जाता है, तो शून्य हो जाता है, अर्थात b∞ \u003d\u003e 0, यदि -1

चूंकि अंतर (1 - b) हमेशा सकारात्मक होगा, हर के मूल्य की परवाह किए बिना, ज्यामितीय S∞ की असीम रूप से प्रगति के योग का संकेत विशिष्ट रूप से इसके पहले तत्व a1 के संकेत से निर्धारित होता है।

अब हम कई कार्यों पर विचार करेंगे, जहां हम यह दिखाएंगे कि विशिष्ट संख्याओं पर प्राप्त ज्ञान को कैसे लागू किया जाए।

समस्या संख्या 1. प्रगति और राशि के अज्ञात तत्वों की गणना

आपको एक ज्यामितीय प्रगति दी गई है, प्रगति का भाजक 2 है, और इसका पहला तत्व 3 है। इसकी 7 वीं और 10 वीं शर्तें क्या होंगी और इसके सात प्रारंभिक तत्वों का योग क्या है?

समस्या की स्थिति काफी सरल रूप से बनाई गई है और उपरोक्त सूत्रों के प्रत्यक्ष उपयोग को निर्धारित करती है। इसलिए, संख्या n के साथ तत्व की गणना करने के लिए, हम अभिव्यक्ति a \u003d bn-1 * a1 का उपयोग करते हैं। हमारे पास 7 वें तत्व के लिए: a7 \u003d b6 * a1, ज्ञात डेटा को प्रतिस्थापित करते हुए, हमें मिलता है: a7 \u003d 26 * 3 \u003d 192। हम 10 वें कार्यकाल के लिए भी ऐसा ही करते हैं: a10 \u003d 29 * 3 \u003d 1536।

आइए राशि के लिए प्रसिद्ध सूत्र का उपयोग करें और श्रृंखला के पहले 7 तत्वों के लिए इस मान का निर्धारण करें। हमारे पास: S7 \u003d (27 - 1) * 3 / (2 - 1) \u003d 381।

समस्या संख्या 2. प्रगति के मनमाने तत्वों के योग का निर्धारण

आज्ञा देना -2 घातांक प्रगति घातांक bn-1 * 4 है, जहाँ n एक पूर्णांक है। इस श्रृंखला के 5 वें से 10 वें तत्व तक की राशि को निर्धारित करना आवश्यक है, समावेशी।

समस्या का हल ज्ञात सूत्रों का उपयोग करके सीधे हल नहीं किया जा सकता है। इसे 2 अलग-अलग तरीकों से हल किया जा सकता है। पूर्णता के लिए, हम दोनों को प्रस्तुत करते हैं।

विधि 1. इसका विचार सरल है: पहले शर्तों के दो संगत योगों की गणना करना आवश्यक है, और फिर एक दूसरे से घटाना। हम छोटी राशि की गणना करते हैं: S10 \u003d ((-2) 10 - 1) * 4 / (-2 - 1) \u003d -1364। अब हम बड़े योग की गणना करते हैं: S4 \u003d ((-2) 4 - 1) * 4 / (-2 - 1) \u003d -20। ध्यान दें कि अंतिम अभिव्यक्ति में, केवल 4 शब्द सम्\u200dमिलित किए गए थे, क्योंकि 5 वीं पहले से ही उस राशि में सम्\u200dमिलित है, जिसे समस्\u200dया की स्थिति के अनुसार गणना करने की आवश्\u200dयकता है। अंत में, अंतर लें: S510 \u003d S10 - S4 \u003d -1364 - (-20) \u003d -1344।

विधि 2. संख्याओं और गिनती को प्रतिस्थापित करने से पहले, आप विचाराधीन श्रृंखला के सदस्यों और n के बीच योग के लिए एक सूत्र प्राप्त कर सकते हैं। हम विधि 1 के समान ही करते हैं, केवल हम पहले योग के प्रतीकात्मक प्रतिनिधित्व के साथ काम करते हैं। हमारे पास: Snm \u003d (bn - 1) * a1 / (b - 1) - (bm-1 - 1) * a1 / (b - 1) \u003d a1 * (bn - bm-1) / (b - 1) । परिणामी अभिव्यक्ति में, आप ज्ञात संख्याओं को प्रतिस्थापित कर सकते हैं और अंतिम परिणाम की गणना कर सकते हैं: S105 \u003d 4 * (-2) 10 - (-2) 4) / (-2 - 1) \u003d -1344।

समस्या संख्या 3. हर क्या है?

A1 \u003d 2 को, ज्यामितीय प्रगति के हर को ज्ञात करें, बशर्ते कि इसकी अनंत राशि 3 है, और यह ज्ञात है कि यह संख्याओं की घटती श्रृंखला है।

समस्या की स्थिति से, यह अनुमान लगाना आसान है कि इसे हल करने के लिए किस सूत्र का उपयोग किया जाना चाहिए। बेशक, प्रगति के योग के लिए असीम रूप से कम हो रहा है। हमारे पास: S) \u003d a1 / (1 - b)। जहाँ से हम हर को व्यक्त करते हैं: b \u003d 1 - a1 / S den। यह ज्ञात मूल्यों को प्रतिस्थापित करने और आवश्यक संख्या प्राप्त करने के लिए रहता है: बी \u003d 1 - 2/3 \u003d -1 / 3 या -0.333 (3)। इस परिणाम को गुणात्मक रूप से जांचा जा सकता है यदि हम याद रखें कि इस प्रकार के अनुक्रम के लिए मापांक b को 1 से आगे नहीं जाना चाहिए। जैसा कि देख सकते हैं; - -1 / 3 |

समस्या संख्या 4. संख्याओं की एक श्रृंखला पुनर्प्राप्त करना

एक संख्यात्मक श्रृंखला के 2 तत्वों को दें, उदाहरण के लिए, 5 वें 30 के बराबर और 10 वें 60 के बराबर हैं। इन आंकड़ों से पूरी श्रृंखला को फिर से संगठित करना आवश्यक है, यह जानते हुए कि यह एक ज्यामितीय प्रगति के गुणों को संतुष्ट करता है।

समस्या को हल करने के लिए, आपको पहले प्रत्येक ज्ञात पद के लिए संबंधित अभिव्यक्ति को लिखना होगा। हमारे पास: a5 \u003d b4 * a1 और a10 \u003d b9 * a1 है। अब हम दूसरी अभिव्यक्ति को पहले से विभाजित करते हैं, हम प्राप्त करते हैं: a10 / a5 \u003d b9 * a1 / (b4 * a1) \u003d b5। यहाँ से, हम समस्या की स्थिति से ज्ञात शब्दों के अनुपात के पांचवें भाग को लेते हुए भाजक का निर्धारण करते हैं, b \u003d 1.148698। हम ज्ञात तत्व के लिए अभिव्यक्ति में से एक में परिणामी संख्या को प्रतिस्थापित करते हैं, हमें मिलता है: a1 \u003d a5 / b4 \u003d 30 / (1.148698) 4 \u003d 17.2304966।

इस प्रकार, हमने पाया है कि प्रगति बीएन का विभाजक क्या है, और ज्यामितीय प्रगति बीएन -1 * 17.2304966 \u003d ए, जहां बी \u003d 1.148698।

ज्यामितीय प्रगति कहाँ उपयोग की जाती है?

यदि व्यवहार में इस संख्या श्रृंखला का कोई अनुप्रयोग नहीं था, तो इसका अध्ययन विशुद्ध सैद्धांतिक हित में कम हो जाएगा। लेकिन एक ऐसी एप्लीकेशन है।

नीचे 3 सबसे प्रसिद्ध उदाहरण दिए गए हैं:

• ज़ेनो का विरोधाभास, जिसमें चालाक अचिल्स धीमे कछुए के साथ नहीं पकड़ सकते हैं, एक असीम रूप से घटते क्रम की अवधारणा का उपयोग करके हल किया जाता है।
• यदि आप शतरंज के प्रत्येक वर्ग पर गेहूं के दाने डालते हैं ताकि 1 अनाज को 1 वर्ग पर रखा जाए, 2 - 3 पर, 3 पर - और इसी तरह, तब सभी वर्गों को भरने के लिए 18446744073709551615 अनाज चाहिए। मंडल!
• हनोई गेम के टॉवर में, एक रॉड से दूसरे में डिस्क को फिर से व्यवस्थित करने के लिए, आपको 2n - 1 ऑपरेशन करने की आवश्यकता होती है, अर्थात, उनकी संख्या डिस्क एन की संख्या के साथ तेजी से बढ़ती है।

प्रथम स्तर

ज्यामितीय अनुक्रम। उदाहरणों के साथ व्यापक गाइड (2019)

संख्यात्मक क्रम

तो चलो बैठो और कुछ नंबर लिखना शुरू करें। उदाहरण के लिए:

आप किसी भी संख्या को लिख सकते हैं, और जितने चाहें उतने हो सकते हैं (हमारे मामले में, उन्हें)। कोई फर्क नहीं पड़ता कि हम कितने नंबर लिखते हैं, हम हमेशा कह सकते हैं कि कौन सा पहला है, जो दूसरा है, और इसी तरह आखिरी है, यानी हम उन्हें नंबर दे सकते हैं। यह एक संख्यात्मक अनुक्रम का एक उदाहरण है:

संख्यात्मक क्रम संख्याओं का एक समूह है, जिनमें से प्रत्येक को एक अद्वितीय संख्या सौंपी जा सकती है।

उदाहरण के लिए, हमारे अनुक्रम के लिए:

अनुक्रम में निर्दिष्ट संख्या केवल एक संख्या के लिए विशिष्ट है। दूसरे शब्दों में, अनुक्रम में तीन दूसरे नंबर नहीं हैं। दूसरा नंबर (जैसे -th नंबर) हमेशा एक होता है।

संख्या के साथ संख्या को अनुक्रम का वें सदस्य कहा जाता है।

हम आम तौर पर पूरे अनुक्रम को कुछ अक्षर (उदाहरण के लिए) कहते हैं, और इस अनुक्रम का प्रत्येक सदस्य इस पत्र का एक सूचकांक है जिसमें इस सदस्य की संख्या के बराबर है।

हमारे मामले में:

प्रगति के सबसे सामान्य प्रकार अंकगणित और ज्यामितीय हैं। इस सूत्र में, हम दूसरे प्रकार के बारे में बात करेंगे - ज्यामितीय अनुक्रम.

हमें एक ज्यामितीय प्रगति और इसकी उत्पत्ति के इतिहास की आवश्यकता क्यों है।

प्राचीन काल में भी, पीसा के इतालवी गणितज्ञ लियोनार्डो (जिसे फिबोनाची के रूप में जाना जाता है) व्यापार की व्यावहारिक जरूरतों को हल करने में लगे थे। साधु को इस बात का सामना करना पड़ा कि किस वस्तु की सहायता से कम से कम कितनी मात्रा में माल तौलना संभव है? अपने लेखन में, फिबोनाची साबित करता है कि वजन की ऐसी प्रणाली इष्टतम है: यह उन पहली स्थितियों में से एक है जिसमें लोगों को ज्यामितीय प्रगति का सामना करना पड़ा था, जिसके बारे में आपने शायद पहले ही सुना होगा और कम से कम एक सामान्य अवधारणा होगी। एक बार जब आप विषय को पूरी तरह से समझ लेते हैं, तो सोचें कि ऐसी प्रणाली इष्टतम क्यों है?

वर्तमान में, जीवन व्यवहार में, बैंक में पैसा निवेश करते समय एक ज्यामितीय प्रगति दिखाई देती है, जब पिछली अवधि के लिए खाते में जमा राशि पर ब्याज की राशि वसूल की जाती है। दूसरे शब्दों में, यदि आप एक बचत बैंक में सावधि जमा पर पैसा लगाते हैं, तो एक वर्ष में जमा मूल राशि से अधिक बढ़ जाएगी, अर्थात। नई राशि जमा राशि के बराबर होगी। एक और वर्ष में, यह राशि बढ़ जाएगी, अर्थात उस समय प्राप्त राशि को फिर से और इतने पर गुणा किया जाएगा। तथाकथित गणना की समस्याओं में एक समान स्थिति वर्णित है चक्रवृद्धि ब्याज - पिछली बार के ब्याज को ध्यान में रखते हुए, खाते पर राशि से हर बार प्रतिशत लिया जाता है। हम इन कार्यों के बारे में थोड़ी देर बाद बात करेंगे।

कई और सरल मामले हैं जहां ज्यामितीय प्रगति का उपयोग किया जाता है। उदाहरण के लिए, इन्फ्लूएंजा का प्रसार: एक व्यक्ति ने एक व्यक्ति को संक्रमित किया, उन्होंने बदले में, किसी अन्य व्यक्ति को संक्रमित किया, और इस प्रकार संक्रमण की दूसरी लहर एक व्यक्ति है, और वे बदले में, एक और ... और इतने पर संक्रमित हुए। ।

वैसे, वित्तीय पिरामिड, वही एमएमएम, एक ज्यामितीय प्रगति के गुणों के आधार पर एक सरल और शुष्क गणना है। दिलचस्प है? चलिए इसका पता लगाते हैं।

ज्यामितीय अनुक्रम।

मान लें कि हमारे पास एक संख्यात्मक अनुक्रम है:

आप तुरंत जवाब देंगे कि यह आसान है और इस तरह के अनुक्रम का नाम इसके सदस्यों के अंतर के साथ एक अंकगणितीय प्रगति है। इस बारे में कैसा है:

यदि आप पिछली संख्या से पिछले एक को घटाते हैं, तो आप देखेंगे कि हर बार एक नया अंतर प्राप्त होता है (और इसी तरह), लेकिन अनुक्रम निश्चित रूप से मौजूद है और यह नोटिस करना आसान है - प्रत्येक अगली संख्या पिछली से बड़ी है एक!

इस तरह के संख्या अनुक्रम को कहा जाता है ज्यामितीय अनुक्रम और द्वारा इंगित किया गया है।

ज्यामितीय प्रगति () एक संख्यात्मक अनुक्रम है, जिसका पहला शब्द नोनज़रो है, और प्रत्येक शब्द, दूसरे से शुरू होकर, पिछले एक के बराबर है, उसी संख्या से गुणा किया जाता है। इस संख्या को ज्यामितीय प्रगति का भाजक कहा जाता है।

प्रतिबंध कि पहली अवधि () बराबर नहीं है और यादृच्छिक नहीं है। मान लीजिए कि कोई भी नहीं है, और पहला शब्द अभी भी बराबर है, और q बराबर है, हम्म .. चलो, फिर यह निकलता है:

सहमत हूं कि यह अब कोई प्रगति नहीं है।

जैसा कि आप कल्पना कर सकते हैं, हमें वही परिणाम मिलेंगे यदि यह शून्य के अलावा कोई भी संख्या है, और। इन मामलों में, बस एक प्रगति नहीं होगी, क्योंकि पूरी संख्या श्रृंखला या तो सभी शून्य होगी, या एक संख्या, और अन्य सभी शून्य होंगे।

अब आइए ज्यामितीय प्रगति के हर के बारे में अधिक विस्तार से बात करते हैं, अर्थात्, फ्र।

आइए दोहराते हैं: एक संख्या है, प्रत्येक बाद की अवधि कितनी बार बदलती है ज्यामितीय अनुक्रम।

आपको क्या लगता है कि यह हो सकता है? सही, सकारात्मक और नकारात्मक, लेकिन शून्य नहीं (हमने इस बारे में थोड़ी अधिक बात की)।

मान लीजिए कि हमारे पास एक सकारात्मक है। हमारे मामले में, साथ ही। दूसरा कार्यकाल क्या है और आप इसका उत्तर आसानी से दे सकते हैं:

सब कुछ सही है। तदनुसार, यदि, तो प्रगति के सभी बाद के सदस्यों का एक ही संकेत है - वे सकारात्मक.

क्या होगा अगर नकारात्मक? उदाहरण के लिए, ए। दूसरा कार्यकाल क्या है और

यह पूरी तरह से अलग कहानी है।

इस प्रगति की अवधि को गिनने का प्रयास करें। आपको कितना मिला? मेरे पास स। इस प्रकार, यदि, तो ज्यामितीय प्रगति के सदस्यों के संकेत वैकल्पिक हैं। यही है, यदि आप इसके सदस्यों पर वैकल्पिक संकेतों के साथ एक प्रगति देखते हैं, तो इसका भाजक नकारात्मक है। इस विषय पर समस्याओं को हल करते समय यह ज्ञान आपको स्वयं का परीक्षण करने में मदद कर सकता है।

अब थोड़ा अभ्यास करते हैं: यह निर्धारित करने का प्रयास करें कि कौन सी संख्या अनुक्रम ज्यामितीय प्रगति है, और जो अंकगणित हैं:

समझ में आ? आइए हमारे उत्तरों की तुलना करें:

• ज्यामितीय प्रगति - 3, 6।
• अंकगणितीय प्रगति - 2, 4।
• यह न तो अंकगणित है और न ही ज्यामितीय प्रगति - 1, 5, 7।

आइए अपनी अंतिम प्रगति पर लौटते हैं, और अंकगणित की तरह ही इसके शब्द को खोजने की कोशिश करते हैं। जैसा कि आप अनुमान लगा सकते हैं, इसे खोजने के दो तरीके हैं।

हम क्रमिक रूप से प्रत्येक शब्द को गुणा करते हैं।

तो, वर्णित ज्यामितीय प्रगति का वें सदस्य के बराबर है।

जैसा कि आप अनुमान लगा सकते हैं, अब आप स्वयं एक सूत्र प्राप्त करेंगे जो आपको ज्यामितीय प्रगति के किसी भी सदस्य को खोजने में मदद करेगा। या क्या आप पहले से ही अपने लिए इसे बाहर लाए हैं, यह वर्णन करते हुए कि कैसे वें सदस्य को कदम से कदम मिल जाए? यदि ऐसा है, तो अपने तर्क की शुद्धता की जांच करें।

आइए हम इसे दिए गए प्रगति के वें सदस्य को खोजने के उदाहरण से स्पष्ट करते हैं:

दूसरे शब्दों में:

किसी दिए गए ज्यामितीय प्रगति के सदस्य के मूल्य का स्वयं पता लगाएं।

हो गई? आइए हमारे उत्तरों की तुलना करें:

ध्यान दें कि आपको पिछली पद्धति के समान ही नंबर मिला था, जब हमने ज्यामितीय प्रगति के प्रत्येक पिछले कार्यकाल को क्रमिक रूप से गुणा किया था।
आइए इस सूत्र को "प्रतिरूपित" करने का प्रयास करें - हम इसे सामान्य रूप में लाएंगे और प्राप्त करेंगे:

व्युत्पन्न सूत्र सभी मूल्यों के लिए सही है, सकारात्मक और नकारात्मक दोनों। निम्नलिखित स्थितियों के साथ ज्यामितीय प्रगति के सदस्यों की गणना करके इसे स्वयं जांचें :, ए।

क्या आपने इसे गिना? चलो प्राप्त परिणामों की तुलना करें:

सहमत हूं कि एक सदस्य के रूप में उसी तरह प्रगति के सदस्य को ढूंढना संभव होगा, हालांकि, गलत गिनती की संभावना है। और अगर हमने पहले से ही ज्यामितीय प्रगति का वें पद पाया है, तो सूत्र के "कट ऑफ" भाग का उपयोग करने से आसान क्या हो सकता है।

ज्यामितीय प्रगति में एक असीम रूप से कमी।

हाल ही में, हमने इस तथ्य के बारे में बात की कि यह या तो शून्य से अधिक या कम हो सकता है, हालांकि, ऐसे विशेष मूल्य हैं जिन पर एक ज्यामितीय प्रगति कहा जाता है लगातार कम हो रहा है.

आप ऐसा नाम क्यों सोचते हैं?
शुरू करने के लिए, चलिए कुछ ज्यामितीय प्रगति को लिखते हैं जिसमें सदस्य शामिल होते हैं।
मान लीजिए, ए, तब:

हम देखते हैं कि प्रत्येक बाद का कार्यकाल पिछले एक से एक कारक से कम है, लेकिन क्या कोई संख्या होगी? आप तुरंत जवाब नहीं देंगे। इसीलिए असीम रूप से घटता - घटता, घटता और कभी शून्य नहीं होता।

यह स्पष्ट रूप से समझने के लिए कि यह नेत्रहीन कैसे दिखता है, आइए हमारी प्रगति का ग्राफ खींचने की कोशिश करें। तो, हमारे मामले के लिए, सूत्र निम्न रूप लेता है:

यह हमारे लिए चार्ट पर निर्भरता बनाने के लिए प्रथागत है, इसलिए:

अभिव्यक्ति का सार नहीं बदला है: पहली प्रविष्टि में, हमने इसकी क्रमिक संख्या पर एक ज्यामितीय प्रगति सदस्य के मूल्य की निर्भरता को दिखाया, और दूसरी प्रविष्टि में, हमने बस एक ज्यामितीय प्रगति शब्द का मान लिया, और क्रमिक संख्या को निर्दिष्ट नहीं किया गया था कि कैसे, लेकिन कैसे। जो कुछ भी करना बाकी है वह एक ग्राफ बनाना है।
देखते हैं आपको क्या मिलता है। यहाँ ग्राफ मुझे मिला है:

ले देख? फ़ंक्शन कम हो जाता है, शून्य हो जाता है, लेकिन कभी भी इसे पार नहीं करता है, इसलिए यह असीम रूप से कम हो रहा है। चलो ग्राफ पर हमारे बिंदुओं को चिह्नित करते हैं, और एक ही समय में समन्वय और मतलब क्या है:

जब इसकी पहली अवधि भी बराबर हो, तो ज्यामितीय प्रगति के ग्राफ को योजनाबद्ध रूप से चित्रित करने का प्रयास करें। विश्लेषण करें, हमारे पिछले चार्ट में क्या अंतर है?

क्या आप संभाल पाओगे? यहाँ ग्राफ मुझे मिला है:

अब जब आप एक ज्यामितीय प्रगति के विषय की मूल बातें पूरी तरह से समझ गए हैं: आप जानते हैं कि यह क्या है, आप जानते हैं कि इसका शब्द कैसे खोजना है, और आप यह भी जानते हैं कि ज्यामितीय प्रगति में एक असीम रूप से घटने वाली स्थिति क्या है, चलो इसकी मुख्य संपत्ति पर चलते हैं।

एक ज्यामितीय प्रगति की संपत्ति।

एक अंकगणितीय प्रगति के सदस्यों की संपत्ति याद है? हां, हां, एक निश्चित संख्या के मूल्य का पता कैसे लगाया जाए, जब किसी दिए गए प्रगति के सदस्यों के पिछले और बाद के मूल्य हैं। याद आई? इस:

अब हम एक ज्यामितीय प्रगति के सदस्यों के लिए एक ही सवाल के साथ सामना कर रहे हैं। एक समान सूत्र प्राप्त करने के लिए, आइए ड्राइंग और तर्क करना शुरू करें। आप देखेंगे, यह बहुत आसान है, और यदि आप भूल जाते हैं, तो आप इसे अपने दम पर बाहर ला सकते हैं।

चलो एक और सरल ज्यामितीय प्रगति लेते हैं जिसमें हम जानते हैं और। कैसे ढूंढें? एक अंकगणितीय प्रगति के साथ, यह आसान और सरल है, लेकिन यहां क्या है? वास्तव में, ज्यामितीय में कुछ भी जटिल नहीं है - आपको केवल एक सूत्र का उपयोग करके हमें दिए गए प्रत्येक मूल्य को लिखना होगा।

आप पूछते हैं, अब हमें इससे क्या करना चाहिए? यह बहुत सरल है। शुरू करने के लिए, हम इन फॉर्मूलों को चित्र में चित्रित करेंगे, और एक मूल्य पर आने के लिए उनके साथ विभिन्न जोड़तोड़ करने की कोशिश करेंगे।

हम उन संख्याओं से सार करते हैं जो हमें दिए गए हैं, हम केवल एक सूत्र के माध्यम से उन्हें व्यक्त करने पर ध्यान केंद्रित करेंगे। हमें नारंगी में हाइलाइट किए गए मान को खोजने की आवश्यकता है, जो इसके आस-पास के सदस्यों को जानते हैं। आइए उनके साथ विभिन्न क्रियाएं करने का प्रयास करें, जिसके परिणामस्वरूप हम प्राप्त कर सकते हैं।

जोड़।
आइए दो भावों को जोड़ने का प्रयास करें, और हम प्राप्त करते हैं:

इस अभिव्यक्ति से, जैसा कि आप देख सकते हैं, हम किसी भी तरह से व्यक्त नहीं कर सकते हैं, इसलिए, हम एक और विकल्प की कोशिश करेंगे - घटाव।

घटाव।

जैसा कि आप देख सकते हैं, हम भी इससे व्यक्त नहीं कर सकते हैं, इसलिए, हम इन अभिव्यक्तियों को एक दूसरे से गुणा करने का प्रयास करेंगे।

गुणन।

अब ध्यान से देखिए कि हमारे पास क्या है, इसकी तुलना में हमें दी गई ज्यामितीय प्रगति के सदस्यों को गुणा करना होगा:

लगता है कि मैं किस बारे में बात कर रहा हूं? सही रूप से, खोजने के लिए, हमें ज्यामितीय प्रगति संख्याओं के वर्गमूल को वांछित संख्या से सटे एक दूसरे से गुणा करना होगा:

हेयर यू गो। आपने स्वयं एक ज्यामितीय प्रगति की संपत्ति काटा है। इस सूत्र को सामान्य शब्दों में लिखने का प्रयास करें। हो गई?

के लिए शर्त भूल गए? इस बारे में सोचें कि यह महत्वपूर्ण क्यों है, उदाहरण के लिए, इसे स्वयं गणना करने का प्रयास करें, यदि। इस मामले में क्या होता है? यह सही है, पूरा बकवास चूंकि सूत्र इस तरह दिखता है:

तदनुसार, इस सीमा को मत भूलना।

अब गिनते हैं कि क्या बराबर है

सही जवाब - ! यदि आप गणना करते समय दूसरा संभव मूल्य नहीं भूल गए हैं, तो आप एक महान साथी हैं और आप तुरंत प्रशिक्षण के लिए आगे बढ़ सकते हैं, और यदि आप भूल गए हैं, तो नीचे दी गई चर्चा पढ़ें और ध्यान दें कि दोनों जड़ों को नीचे क्यों लिखा जाना चाहिए। उत्तर।

आइए हमारी दोनों ज्यामितीय प्रगति को आकर्षित करें - एक अर्थ के साथ, और दूसरा अर्थ और जाँच के साथ कि क्या उन दोनों को अस्तित्व का अधिकार है:

यह जांचने के लिए कि क्या ऐसी ज्यामितीय प्रगति मौजूद है या नहीं, यह देखना आवश्यक है कि क्या इसके सभी सदस्यों के बीच समान है? पहले और दूसरे मामलों के लिए q की गणना करें।

देखें कि हमें दो उत्तर क्यों लिखने हैं? क्योंकि आवश्यक शब्द का संकेत इस बात पर निर्भर करता है कि यह सकारात्मक है या नकारात्मक! और जब से हम नहीं जानते कि वह क्या है, हमें प्लस और माइनस के साथ उत्तर लिखने की आवश्यकता है।

अब जब आप मुख्य बिंदुओं में महारत हासिल कर चुके हैं और एक ज्यामितीय प्रगति की संपत्ति के लिए सूत्र प्राप्त करते हैं, तो, जानें और

प्राप्त उत्तरों की तुलना सही लोगों से करें:

आप क्या सोचते हैं, क्या होगा अगर हमें वांछित संख्या से सटे ज्यामितीय प्रगति के सदस्यों के मूल्यों को नहीं दिया गया था, लेकिन इससे बराबर है। उदाहरण के लिए, हमें खोजने की जरूरत है, और दिए गए हैं और। क्या हम इस मामले में हमारे द्वारा प्राप्त सूत्र का उपयोग कर सकते हैं? इस संभावना की उसी तरह से पुष्टि या खंडन करने की कोशिश करें, जिसमें यह लिखा हो कि प्रत्येक मूल्य में क्या है, जैसा कि आपने शुरू में सूत्र के लिए व्युत्पन्न करते समय किया था।
क्या किया तुमने?

अब फिर से करीब से देखो।
और इसके बाद:

इससे हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि सूत्र काम करता है पड़ोसी के साथ ही नहीं ज्यामितीय प्रगति की आवश्यक शर्तों के साथ, लेकिन इसके साथ भी समान दूरी मांगे गए सदस्यों से।

इस प्रकार, हमारा प्रारंभिक सूत्र फॉर्म लेता है:

यही है, अगर पहले मामले में हमने कहा कि, अब हम कहते हैं कि यह किसी भी प्राकृतिक संख्या के बराबर हो सकता है जो कम है। मुख्य बात दोनों दी गई संख्याओं के लिए समान होना है।

विशिष्ट उदाहरणों के साथ अभ्यास करें, बस बेहद सावधान रहें!

1. , ढूँढ़ने के लिए।
2. , ढूँढ़ने के लिए।
3. , ढूँढ़ने के लिए।

मैंने फैसला किया है? मुझे आशा है कि आप बेहद चौकस थे और एक छोटे से कैच को देखा।

हम परिणामों की तुलना करते हैं।

पहले दो मामलों में, हम शांतिपूर्वक उपरोक्त फार्मूला लागू करते हैं और निम्नलिखित मूल्य प्राप्त करते हैं:

तीसरे मामले में, हमें दी गई संख्याओं के क्रमिक संख्याओं पर सावधानीपूर्वक विचार करने पर, हम समझते हैं कि वे उस संख्या से समान नहीं हैं जिसकी हम तलाश कर रहे हैं: यह पिछली संख्या है, लेकिन स्थिति में हटा दी गई है, इसलिए यह संभव नहीं है सूत्र लागू करने के लिए।

इसे कैसे हल करें? यह वास्तव में उतना मुश्किल नहीं है जितना लगता है! चलिए आपके साथ लिखते हैं कि हमें दिए गए प्रत्येक नंबर और आवश्यक संख्या में क्या है।

तो, हमारे पास है और। आइए देखें कि आप उनके साथ क्या कर सकते हैं? मैं द्वारा विभाजित करने का प्रस्ताव है। हम पाते हैं:

हम अपने डेटा को सूत्र में प्रतिस्थापित करते हैं:

अगला चरण हम पा सकते हैं - इसके लिए हमें परिणामी संख्या की घनमूल लेने की आवश्यकता है।

और अब हम फिर से वही देखते हैं जो हमारे पास है। हमारे पास यह है, लेकिन हमें इसे खोजने की जरूरत है, और यह, बदले में, इसके बराबर है:

हमने गणना के लिए सभी आवश्यक डेटा पाए। हम सूत्र में स्थानापन्न करते हैं:

हमारा जवाब: .

इसी तरह की समस्या को स्वयं हल करने का प्रयास करें:
दिया हुआ:,
ढूँढ़ने के लिए:

आपको कितना मिला? मेरे पास स - ।

जैसा कि आप देख सकते हैं, वास्तव में, आपको ज़रूरत है सिर्फ एक सूत्र याद रखें - आप किसी भी समय किसी भी कठिनाई के बिना बाकी सभी को वापस ले सकते हैं। ऐसा करने के लिए, बस कागज के एक टुकड़े पर सबसे सरल ज्यामितीय प्रगति लिखें और नीचे लिखें, जो उपरोक्त सूत्र के अनुसार, इसकी प्रत्येक संख्या समान है।

एक ज्यामितीय प्रगति के सदस्यों का योग।

अब उन सूत्रों पर विचार करें जो हमें किसी दिए गए अंतराल में एक ज्यामितीय प्रगति के सदस्यों की राशि की गणना करने की अनुमति देते हैं:

एक परिमित ज्यामितीय प्रगति के सदस्यों के योग के लिए सूत्र प्राप्त करने के लिए, हम उच्च समीकरण के सभी भागों को गुणा करते हैं। हम पाते हैं:

ध्यान से देखें: पिछले दो सूत्र क्या हैं? यह सही है, आम सदस्य, उदाहरण के लिए, और इसी तरह, पहले और अंतिम सदस्य को छोड़कर। 2 समीकरण से 1 को घटाने की कोशिश करते हैं। क्या किया तुमने?

अब सूत्र के माध्यम से ज्यामितीय प्रगति की अवधि को व्यक्त करते हैं और हमारे अंतिम सूत्र में परिणामी अभिव्यक्ति को प्रतिस्थापित करते हैं:

अभिव्यक्ति समूह। आपको मिलना चाहिये:

यह सब करने के लिए छोड़ दिया है व्यक्त:

तदनुसार, इस मामले में।

क्या हो अगर? फिर कौन सा सूत्र काम करता है? पर एक ज्यामितीय प्रगति की कल्पना करो। वह किसके जैसी है? क्रमशः समान संख्याओं की एक श्रृंखला को ठीक करें, सूत्र इस तरह दिखेगा:

अंकगणित और ज्यामितीय प्रगति दोनों में कई किंवदंतियाँ हैं। उनमें से एक शतरंज के निर्माता सेठ की कथा है।

बहुत से लोग जानते हैं कि शतरंज के खेल का आविष्कार भारत में हुआ था। जब हिंदू राजा उससे मिले, तो वह उसकी बुद्धि और उसमें मौजूद विभिन्न स्थितियों से खुश था। यह जानने के बाद कि इसका आविष्कार उनके किसी विषय द्वारा किया गया था, राजा ने उन्हें व्यक्तिगत रूप से पुरस्कृत करने का निर्णय लिया। उसने आविष्कारक को अपने पास बुलाया और उसे आदेश दिया कि जो भी वह चाहता है, वह सबसे कुशल इच्छा को पूरा करने का वादा करते हुए उससे मांगे।

सेता ने सोचने के लिए समय मांगा, और जब अगले दिन सेठ राजा के सामने आया, तो उसने राजा को अपने अनुरोध के अनोखे तरीके से आश्चर्यचकित कर दिया। उन्होंने शतरंज की बिसात के पहले वर्ग के लिए गेहूँ का एक दाना देने के लिए कहा, दूसरे के लिए गेहूँ के दाने के लिए, तीसरे के लिए, चौथे के लिए।

राजा क्रोधित हो गया और उसने सेठ को यह कहकर भगा दिया कि नौकर का अनुरोध शाही उदारता के लिए अयोग्य था, लेकिन उसने वादा किया कि नौकर को बोर्ड की सभी कोशिकाओं के लिए उसके अनाज प्राप्त होंगे।

और अब सवाल: ज्यामितीय प्रगति के सदस्यों के योग के लिए सूत्र का उपयोग करते हुए, गणना करें कि सेटा को कितने अनाज मिलना चाहिए?

आइए तर्क करना शुरू करते हैं। चूंकि, स्थिति के अनुसार, सेता ने शतरंज की बिसात के पहले वर्ग के लिए, दूसरे के लिए, तीसरे के लिए, चौथे के लिए, आदि के लिए गेहूं का अनाज मांगा, हम देखते हैं कि समस्या एक ज्यामितीय प्रगति के बारे में है। इस मामले में क्या बराबर है?
सही ढंग से।

चेसबोर्ड की कुल कोशिकाएं। तदनुसार,। हमारे पास सभी आंकड़े हैं, यह केवल सूत्र में बदलने और गणना करने के लिए बना हुआ है।

दी गई संख्या के कम से कम लगभग "तराजू" का प्रतिनिधित्व करने के लिए, हम डिग्री के गुणों का उपयोग करते हुए रूपांतरित करते हैं:

बेशक, यदि आप चाहें, तो आप एक कैलकुलेटर ले सकते हैं और गणना कर सकते हैं कि आपको अंत में क्या नंबर मिलेगा, और यदि नहीं, तो आपको इसके लिए मेरा शब्द लेना होगा: अभिव्यक्ति का अंतिम मूल्य होगा।
अर्थात:

क्विंटलियन क्वाड्रिलियन ट्रिलियन बिलियन मिलियन हज़ार।

फुह) यदि आप इस संख्या की विशालता की कल्पना करना चाहते हैं, तो अनुमान लगाएं कि अनाज की पूरी मात्रा को शामिल करने के लिए खलिहान की कितनी आवश्यकता होगी।
खलिहान की ऊँचाई m और m की चौड़ाई के साथ, इसकी लंबाई किमी, यानी के लिए बढ़ानी होगी। पृथ्वी से सूर्य की तुलना में दुगुना।

यदि राजा गणित में मजबूत होते, तो वे सुझाव दे सकते थे कि वैज्ञानिक स्वयं अनाज की गिनती करते हैं, क्योंकि एक मिलियन अनाज की गणना करने के लिए, उन्हें कम से कम अथक गिनती के दिन की आवश्यकता होगी, और यह देखते हुए कि क्विंटल, अनाज गिनना आवश्यक है उसके सारे जीवन को गिना जाना चाहिए।

अब चलो एक ज्यामितीय प्रगति के सदस्यों के योग के लिए एक सरल समस्या को हल करते हैं।
कक्षा 5 ए की पुतली वस्या को फ्लू है, लेकिन वह स्कूल जाना जारी रखती है। हर दिन वासा दो लोगों को संक्रमित करता है, जो बदले में, दो और लोगों को संक्रमित करते हैं, और इसी तरह। क्लास में लोग हैं। फ्लू से पूरी कक्षा कितने दिनों में बीमार हो जाएगी?

तो, ज्यामितीय प्रगति का पहला सदस्य वास्या है, जो एक व्यक्ति है। जियोमेट्रिक प्रगति के सदस्य, ये दो लोग हैं जिन्हें उसने अपने आगमन के पहले दिन संक्रमित किया था। प्रगति में सदस्यों की कुल संख्या छात्रों की संख्या 5 ए के बराबर है। तदनुसार, हम एक प्रगति के बारे में बात कर रहे हैं:

आइए अपने डेटा को एक ज्यामितीय प्रगति के सदस्यों के योग के सूत्र में बदलें:

पूरी क्लास दिनों में बीमार हो जाएगी। क्या आप सूत्र और संख्या में विश्वास नहीं करते हैं? छात्रों के "संक्रमण" को स्वयं चित्रित करने का प्रयास करें। हो गई? देखें कि यह मेरे लिए कैसा दिखता है:

अपने लिए गणना करें कि फ्लू होने में कितने दिन लगते हैं यदि प्रत्येक व्यक्ति को संक्रमित करता है और कक्षा में एक व्यक्ति था।

आपको क्या मूल्य मिला? यह पता चला कि हर कोई एक दिन के बाद बीमार होने लगा।

जैसा कि आप देख सकते हैं, इस तरह के एक कार्य और इसे आकर्षित करना एक पिरामिड जैसा दिखता है, जिसमें प्रत्येक बाद के नए लोगों को "लाता है"। हालाँकि, जल्दी या बाद में एक पल आता है जब बाद वाला किसी को आकर्षित नहीं कर सकता है। हमारे मामले में, अगर हम कल्पना करते हैं कि वर्ग अलग-थलग है, तो व्यक्ति श्रृंखला () को बंद कर देगा। इस प्रकार, यदि कोई व्यक्ति एक वित्तीय पिरामिड में शामिल था, जिसमें पैसा इस घटना में दिया गया था कि आप दो अन्य प्रतिभागियों को लाते हैं, तो व्यक्ति (या सामान्य मामले में) किसी को भी नहीं लाएगा, क्रमशः, वे सब कुछ खो देंगे जो वे करते हैं इस वित्तीय घोटाले में निवेश किया।

जो कुछ ऊपर कहा गया था, वह घटती या बढ़ती ज्यामितीय प्रगति को संदर्भित करता है, लेकिन, जैसा कि आप याद करते हैं, हमारे पास एक विशेष प्रकार है - एक असीम रूप से घटती ज्यामितीय प्रगति। इसके सदस्यों की राशि की गणना कैसे करें? और इस प्रकार की प्रगति में कुछ विशेषताएं क्यों हैं? चलो इसे एक साथ सुलझाते हैं।

तो, पहले, आइए हमारे उदाहरण से एक बार फिर से कम हो रही ज्यामितीय प्रगति के इस आंकड़े को देखें:

अब जरा ज्यामितीय प्रगति के योग के सूत्र को देखते हैं, जो पहले थोड़ा सा था:
या

हम किस लिए प्रयास कर रहे हैं? यह सही है, ग्राफ़ दिखाता है कि यह शून्य पर जाता है। यही है, पर, यह लगभग समान होगा, क्रमशः, अभिव्यक्ति की गणना करते समय, हम लगभग प्राप्त करते हैं। इस संबंध में, हम मानते हैं कि जब ज्यामितीय प्रगति के एक असीम रूप से घटने के योग की गणना करते हैं, तो इस ब्रैकेट की उपेक्षा की जा सकती है, क्योंकि यह समान होगा।

- सूत्र एक अनंत रूप से घटती ज्यामितीय प्रगति की शर्तों का योग है।

महत्वपूर्ण! हम एक असीम रूप से कम होने वाली ज्यामितीय प्रगति की शर्तों के योग के लिए सूत्र का उपयोग करते हैं केवल अगर स्थिति स्पष्ट रूप से बताती है कि हमें योग खोजने की आवश्यकता है अनंत सदस्यों की संख्या।

यदि एक विशिष्ट संख्या n इंगित की जाती है, तो हम n शब्दों के योग के लिए सूत्र का उपयोग करते हैं, भले ही या।

अब अभ्यास करते हैं।

1. ज्यामितीय प्रगति के पहले शब्दों का योग ज्ञात कीजिए और
2. जियोमेट्रिक प्रगति के साथ एक असीम रूप से कम होने वाली शर्तों के योग का पता लगाएं और

मुझे उम्मीद है कि आप बेहद चौकस थे। आइए हमारे उत्तरों की तुलना करें:

अब आप ज्यामितीय प्रगति के बारे में सब कुछ जानते हैं, और यह सिद्धांत से अभ्यास के लिए आगे बढ़ने का समय है। परीक्षा में आई सबसे आम ज्यामितीय प्रगति की समस्याएं चक्रवृद्धि ब्याज की समस्याएं हैं। यह उनके बारे में है कि हम बात करेंगे।

चक्रवृद्धि ब्याज की गणना के लिए कार्य।

आपने शायद तथाकथित चक्रवृद्धि ब्याज फार्मूला के बारे में सुना है। क्या आप समझते हैं कि उसका क्या मतलब है? यदि नहीं, तो आइए इसका पता लगाते हैं, क्योंकि प्रक्रिया का एहसास होने के बाद, आप तुरंत समझ जाएंगे, और यहां एक ज्यामितीय प्रगति है।

हम सभी बैंक में जाते हैं और जानते हैं कि जमा के लिए अलग-अलग शर्तें हैं: यह शब्द है, और अतिरिक्त सेवा है, और इसे गणना करने के दो अलग-अलग तरीकों से ब्याज है - सरल और जटिल।

से साधारण ब्याज सब कुछ कम या ज्यादा स्पष्ट है: जमा की अवधि के अंत में एक बार ब्याज की गणना की जाती है। यही है, अगर हम कहते हैं कि हम एक वर्ष के लिए 100 रूबल डालते हैं, तो उन्हें केवल वर्ष के अंत में जमा किया जाएगा। तदनुसार, जमा के अंत तक, हमें रूबल मिलेगा।

चक्रवृद्धि ब्याज - यह एक विकल्प है जिसमें है ब्याज का पूंजीकरण, अर्थात। उनकी जमा राशि और उसके बाद की आय की गणना प्रारंभिक से नहीं, बल्कि जमा राशि से होती है। पूंजीकरण लगातार नहीं होता है, लेकिन कुछ आवृत्ति के साथ। एक नियम के रूप में, इस तरह की अवधि बराबर होती है और अक्सर बैंक एक महीने, तिमाही या वर्ष का उपयोग करते हैं।

मान लीजिए कि हम सभी समान रूबल वार्षिक दरों पर डालते हैं, लेकिन जमा के मासिक पूंजीकरण के साथ। हमें क्या मिलता है?

क्या आप यहाँ सब कुछ समझते हैं? यदि नहीं, तो आइए इसे चरणों में समझें।

हम बैंक में रूबल लाए। महीने के अंत तक, हमारे खाते में हमारे रूबल से अधिक राशि होनी चाहिए, जो उन पर ब्याज है:

मैं सहमत हूँ?

हम इसे ब्रैकेट के बाहर रख सकते हैं और फिर हम प्राप्त कर सकते हैं:

सहमत हूं, यह सूत्र पहले से ही उसी के समान है जो हमने शुरुआत में लिखा था। यह ब्याज से निपटने के लिए बनी हुई है

समस्या कथन में, हमें वार्षिक के बारे में बताया जाता है। जैसा कि आप जानते हैं, हम गुणा नहीं करते हैं - हम प्रतिशत को दशमलव अंशों में बदलते हैं, अर्थात्:

सही? अब आप पूछते हैं कि नंबर कहां से आया? बहुत आसान!
मैं दोहराता हूं: समस्या कथन के बारे में कहता है वार्षिक अर्जित ब्याज महीने के... जैसा कि आप जानते हैं, क्रमशः महीने के एक वर्ष में, बैंक हमसे प्रति माह वार्षिक ब्याज का एक हिस्सा वसूल करेगा:

एहसास हुआ? अब यह लिखने का प्रयास करें कि सूत्र का यह भाग कैसा दिखेगा यदि मैं कहता हूं कि ब्याज की गणना दैनिक रूप से की जाती है।
क्या आप संभाल पाओगे? आइए परिणामों की तुलना करें:

बहुत बढ़िया! आइए हमारी समस्या पर लौटते हैं: यह लिखें कि दूसरे महीने के लिए हमारे खाते में कितना जमा किया जाएगा, यह ध्यान में रखते हुए कि जमा की गई राशि पर ब्याज लिया जाता है।
यहाँ मुझे क्या मिला है:

या, दूसरे शब्दों में:

मुझे लगता है कि आपने पहले से ही एक पैटर्न पर ध्यान दिया है और इस सभी में ज्यामितीय प्रगति देखी है। यह लिखें कि इसका सदस्य, दूसरे शब्दों में, महीने के अंत में हमें कितना पैसा मिलेगा।
बनाया गया? जाँच हो रही है!

जैसा कि आप देख सकते हैं, यदि आप एक साधारण ब्याज पर एक साल के लिए बैंक में पैसा लगाते हैं, तो आपको रूबल मिलेगा, और अगर एक जटिल दर पर - रूबल। लाभ छोटा है, लेकिन यह केवल वर्ष के दौरान होता है, लेकिन लंबी अवधि के लिए, पूंजीकरण अधिक लाभदायक होता है:

आइए चक्रवृद्धि ब्याज के साथ एक और प्रकार की समस्याओं पर विचार करें। आपने जो पता लगाया उसके बाद यह आपके लिए प्राथमिक होगा। तो कार्य:

Zvezda कंपनी ने 2000 में उद्योग में निवेश करना शुरू किया, जिसकी पूंजी डॉलर में थी। 2001 से हर साल, वह एक लाभ कमाती है, जो पिछले वर्ष की राजधानी से है। 2003 के अंत में ज़ुवज़दा कंपनी को कितना लाभ होगा यदि लाभ को संचलन से वापस नहीं लिया गया है?

2000 में कंपनी "Zvezda" की राजधानी।
- 2001 में कंपनी "Zvezda" की राजधानी।
- 2002 में कंपनी "Zvezda" की राजधानी।
- 2003 में कंपनी "Zvezda" की राजधानी।

या हम संक्षेप में लिख सकते हैं:

हमारे मामले के लिए:

2000, 2001, 2002 और 2003।

क्रमशः:
रूबल
ध्यान दें कि इस समस्या में हमारे पास या तो कोई विभाजन नहीं है, क्योंकि प्रतिशत को ANNUALLY दिया गया है और इसकी गणना ANNUALLY है। यही है, जब चक्रवृद्धि ब्याज के लिए समस्या को पढ़ते हैं, तो ध्यान दें कि क्या प्रतिशत दिया जाता है, और किस अवधि में इसे चार्ज किया जाता है, और उसके बाद ही गणना के लिए आगे बढ़ें।
अब आप ज्यामितीय प्रगति के बारे में सब कुछ जानते हैं।

व्यायाम।

1. यदि यह ज्ञात है कि घातीय शब्द ज्ञात करें, और
2. ज्यामितीय प्रगति के पहले शब्दों का योग ज्ञात करें, यदि यह ज्ञात है कि, और
3. एमडीएम कैपिटल ने 2003 में उद्योग में निवेश करना शुरू किया, जिसमें डॉलर में पूंजी थी। प्रत्येक वर्ष, 2004 में शुरू होकर, वह एक लाभ कमाती है, जो पिछले वर्ष की राजधानी से है। कंपनी "एमएसके कैश फ्लो" ने 2005 में उद्योग में $ 10,000 की राशि में निवेश करना शुरू किया, 2006 में राशि में लाभ अर्जित करना शुरू किया। 2007 के अंत में एक डॉलर की पूंजी दूसरे की तुलना में कितने डॉलर अधिक है, अगर लाभ को संचलन से वापस नहीं लिया गया है?

उत्तर:

1. चूंकि समस्या कथन यह नहीं कहता है कि प्रगति अनंत है और इसके सदस्यों की एक विशिष्ट संख्या का योग खोजने के लिए आवश्यक है, गणना सूत्र के अनुसार की जाती है:
2. 
   एमडीएम कैपिटल:

   2003, 2004, 2005, 2006, 2007।
   - 100% यानी 2 गुना बढ़ जाता है।
   क्रमशः:
   रूबल
   MSK कैश फ़्लो:

   2005, 2006, 2007।
   - से बढ़ता है, वह है, समय।
   क्रमशः:
   रूबल
   रूबल

आइए संक्षेप में बताते हैं।

1) ज्यामितीय प्रगति () एक संख्यात्मक अनुक्रम है, जिसका पहला शब्द नोनज़रो है, और प्रत्येक शब्द, दूसरे से शुरू होकर, पिछले एक के बराबर है, उसी संख्या से गुणा किया जाता है। इस संख्या को ज्यामितीय प्रगति का भाजक कहा जाता है।

2) एक ज्यामितीय प्रगति के सदस्यों का समीकरण -।

3) कोई भी मान ले सकता है, को छोड़कर और।

• यदि, तो प्रगति के सभी बाद के सदस्यों का एक ही संकेत है - वे सकारात्मक;
• यदि, तो प्रगति के सभी बाद के सदस्य वैकल्पिक संकेत;
• at - प्रगति को असीम रूप से घटते हुए कहा जाता है।

4), एक ज्यामितीय प्रगति की संपत्ति है (आसन्न शब्द)

या
, (समानतावादी शब्द)

खोजते समय, यह मत भूलो दो उत्तर होने चाहिए.

उदाहरण के लिए,

5) ज्यामितीय प्रगति के सदस्यों के योग की गणना सूत्र द्वारा की जाती है:
या

यदि प्रगति असीम रूप से कम हो रही है, तो:
या

महत्वपूर्ण! हम एक असीम रूप से कम होने वाली ज्यामितीय प्रगति की शर्तों के योग के लिए सूत्र का उपयोग करते हैं केवल यदि स्थिति स्पष्ट रूप से बताती है कि अनंत संख्या के योग को खोजने के लिए आवश्यक है।

6) चक्रवृद्धि ब्याज की समस्याओं की गणना एक ज्यामितीय प्रगति के -थ अवधि के सूत्र के अनुसार की जाती है, बशर्ते कि निधियों को संचलन से वापस नहीं लिया गया हो:

ज्यामितीय अनुक्रम। मुख्य के बारे में संक्षिप्त

ज्यामितीय अनुक्रम () एक संख्यात्मक अनुक्रम है, जिसका पहला शब्द नॉनज़ेरो है, और प्रत्येक शब्द, दूसरे से शुरू होकर, पिछले एक के बराबर है, उसी संख्या से गुणा किया जाता है। इस नंबर को कहा जाता है एक ज्यामितीय प्रगति के हर।

ज्यामितीय प्रगति का सूत्रधार को छोड़कर कोई भी मान ले सकता है।

• यदि, तो प्रगति के सभी बाद के सदस्यों का एक ही संकेत है - वे सकारात्मक हैं;
• यदि, तो प्रगति के सभी बाद के सदस्य वैकल्पिक संकेत;
• at - प्रगति को असीम रूप से घटते हुए कहा जाता है।

एक ज्यामितीय प्रगति के सदस्यों का समीकरण - .

एक ज्यामितीय प्रगति के सदस्यों का योग सूत्र द्वारा गणना:
या

\u003e\u003e गणित: ज्यामितीय प्रगति

पाठक की सुविधा के लिए, यह खंड ठीक उसी योजना का अनुसरण करता है जैसा हमने पिछले भाग में किया था।

1. मूल अवधारणा।

परिभाषा। एक संख्यात्मक अनुक्रम, जिसके सभी सदस्य 0 से भिन्न होते हैं और जिनमें से प्रत्येक शब्द, दूसरे से शुरू होता है, पिछले शब्द से इसे उसी संख्या से गुणा करके प्राप्त किया जाता है जिसे ज्यामितीय प्रगति कहा जाता है। इस स्थिति में, संख्या 5 को ज्यामितीय प्रगति का भाजक कहा जाता है।

इस प्रकार, एक ज्यामितीय प्रगति एक संख्यात्मक अनुक्रम (b n) है जो संबंधों द्वारा पुनरावर्ती रूप से दिया जाता है

क्या यह संभव है, संख्या अनुक्रम को देखकर, यह निर्धारित करने के लिए कि क्या यह एक ज्यामितीय प्रगति है? कर सकते हैं। यदि आप आश्वस्त हैं कि पिछले सदस्य के अनुक्रम के किसी भी सदस्य का अनुपात स्थिर है, तो आपके पास एक ज्यामितीय प्रगति है।
उदाहरण 1।

1, 3, 9, 27, 81,... .
बी 1 \u003d 1, क्यू \u003d 3।

उदाहरण 2।

यह एक ज्यामितीय प्रगति है जिसमें
उदाहरण 3।

यह एक ज्यामितीय प्रगति है जिसमें
उदाहरण 4।

8, 8, 8, 8, 8, 8,....

यह b 1 - 8, q \u003d 1 के साथ एक ज्यामितीय प्रगति है।

ध्यान दें कि यह अनुक्रम एक अंकगणितीय प्रगति भी है (उदाहरण § 15 में उदाहरण 3 देखें)।

उदाहरण 5।

2,-2,2,-2,2,-2.....

यह एक ज्यामितीय प्रगति है जिसमें b 1 \u003d 2, q \u003d -1 है।

जाहिर है, एक ज्यामितीय प्रगति एक बढ़ता क्रम है यदि b 1\u003e 0, q\u003e 1 (उदाहरण 1 देखें), और घटते हुए यदि b 1\u003e 0, 0< q < 1 (см. пример 2).

यह दर्शाने के लिए कि अनुक्रम (b n) एक ज्यामितीय प्रगति है, निम्नलिखित संकेतन कभी-कभी सुविधाजनक होता है:

आइकन "ज्यामितीय प्रगति" वाक्यांश को प्रतिस्थापित करता है।
हमें एक जिज्ञासु और एक ही समय में ज्यामितीय प्रगति की काफी स्पष्ट संपत्ति पर ध्यान दें:
यदि अनुक्रम एक ज्यामितीय प्रगति है, फिर वर्गों का क्रम, अर्थात एक घातीय प्रगति है।
दूसरी ज्यामितीय प्रगति में, पहला शब्द q 2 के बराबर है।
यदि हम b n n के बाद सभी शब्दों को तेजी से खारिज करते हैं, तो हमें एक परिमित ज्यामितीय प्रगति मिलती है
इस खंड के बाद के पैराग्राफ में, हम एक ज्यामितीय प्रगति के सबसे महत्वपूर्ण गुणों पर विचार करेंगे।

2. ज्यामितीय प्रगति के एन-वें कार्यकाल का सूत्र।

एक ज्यामितीय प्रगति पर विचार करें भाजक q। हमारे पास है:

यह अनुमान लगाना कठिन नहीं है कि किसी भी संख्या n समानता के लिए

यह ज्यामितीय प्रगति के नौवें कार्यकाल का सूत्र है।

टिप्पणी।

यदि आपने पिछले पैराग्राफ से एक महत्वपूर्ण टिप्पणी पढ़ी है और इसे समझ लिया है, तो गणितीय इंडक्शन की विधि द्वारा फार्मूला (1) को साबित करने की कोशिश करें, जैसे कि यह अंकगणित की प्रगति के मूल शब्द के लिए किया गया था।

आइए ज्यामितीय प्रगति के नौवें कार्यकाल के लिए सूत्र को फिर से लिखें

और संकेतन प्रस्तुत करें: हमें y \u003d mq 2, या, और अधिक विस्तार से,
तर्क एक्स एक घातांक में निहित है, इसलिए इसे घातांक फ़ंक्शन कहा जाता है। इसका मतलब यह है कि एक ज्यामितीय प्रगति को प्राकृतिक संख्याओं के सेट एन पर परिभाषित एक घातीय फ़ंक्शन के रूप में देखा जा सकता है। अंजीर में। 96a अंजीर में फ़ंक्शन का ग्राफ दिखाता है। 966 - फंक्शन ग्राफ दोनों मामलों में, हमारे पास अलग-अलग बिंदु होते हैं (एब्सिसस एक्स \u003d 1, एक्स \u003d 2, एक्स \u003d 3, आदि के साथ) एक निश्चित वक्र पर झूठ बोलते हैं (दोनों आंकड़े एक ही वक्र को दर्शाते हैं, केवल अलग-अलग स्थित हैं और विभिन्न पैमानों में दर्शाए गए हैं)। इस वक्र को घातांक कहा जाता है। एक्सपोनेंशियल फंक्शन और इसके ग्राफ के बारे में अधिक जानकारी 11 वीं कक्षा के बीजगणित पाठ्यक्रम में चर्चा की जाएगी।

पिछले पैराग्राफ से 1-5 उदाहरणों पर वापस जाते हैं।

1) 1, 3, 9, 27, 81,…। यह एक ज्यामितीय प्रगति है, जिसमें b 1 \u003d 1, q \u003d 3. nth शब्द के लिए सूत्र बनाते हैं
2) यह एक ज्यामितीय प्रगति है, जिसमें nth शब्द के लिए सूत्र की रचना करते हैं

यह एक ज्यामितीय प्रगति है जिसमें चलो nth शब्द के लिए सूत्र की रचना करते हैं
4) 8, 8, 8, ..., 8, ...। यह एक ज्यामितीय प्रगति है, जिसमें b 1 \u003d 8, q \u003d 1. चलो n-th शब्द का सूत्र बनाते हैं
5) 2, -2, 2, -2, 2, -2, .... यह एक ज्यामितीय प्रगति है जिसमें b 1 \u003d 2, q \u003d -1 है। चलो nth शब्द के लिए सूत्र की रचना करते हैं

उदाहरण 6।

एक ज्यामितीय प्रगति दी गई है

सभी मामलों में, समाधान ज्यामितीय प्रगति के nth शब्द के लिए सूत्र पर आधारित है

a) सूत्र में ज्यामितीय प्रगति n \u003d 6 का nth शब्द डालना, हमें मिलता है

b) हमारे पास है

चूंकि 512 \u003d 2 9, हमें n - 1 \u003d 9, n \u003d 10 मिलता है।

d) हमारे पास है

उदाहरण 7।

ज्यामितीय प्रगति के सातवें और पांचवें शब्दों के बीच का अंतर 48 है, प्रगति के पांचवें और छठे शब्दों का योग भी 48 है। इस प्रगति के बारहवें शब्द का पता लगाएं।

पहला कदम। गणितीय मॉडल तैयार करना।

समस्या की स्थितियों को संक्षेप में निम्न प्रकार से लिखा जा सकता है:

ज्यामितीय प्रगति की नौवीं अवधि के लिए सूत्र का उपयोग करना, हमें मिलता है:
फिर समस्या की दूसरी स्थिति (बी 7 - बी 5 \u003d 48) को फॉर्म में लिखा जा सकता है

समस्या की तीसरी स्थिति (b 5 + b 6 \u003d 48) को लिखा जा सकता है

परिणामस्वरूप, हमें दो चर b 1 और q के साथ दो समीकरणों की एक प्रणाली मिलती है:

जो, उपरोक्त स्थिति 1 के संयोजन में), समस्या का एक गणितीय मॉडल है।

दूसरा चरण।

संकलित मॉडल के साथ काम करना। प्रणाली के दोनों समीकरणों के बाएं-हाथ के किनारों को बराबर करते हुए:

(हमने समीकरण के दोनों पक्षों को एक गैर-एक्सप्रेशन बी 1 क्यू 4 में विभाजित किया है)।

समीकरण q 2 - q - 2 \u003d 0 से हम q 1 \u003d 2, q 2 \u003d -1 पाते हैं। मूल्य q \u003d 2 को सिस्टम के दूसरे समीकरण में प्रतिस्थापित करते हुए, हम प्राप्त करते हैं
सिस्टम के दूसरे समीकरण में मूल्य q \u003d -1 को प्रतिस्थापित करते हुए, हमें b 1 1 0 \u003d 48 मिलता है; इस समीकरण का कोई हल नहीं है।

तो, बी 1 \u003d 1, क्यू \u003d 2 - यह जोड़ी समीकरणों की बनाई प्रणाली का एक समाधान है।

अब हम समस्या में निर्दिष्ट ज्यामितीय प्रगति को लिख सकते हैं: 1, 2, 4, 8, 16, 32, ....।

स्टेज तीन।

समस्या के सवाल का जवाब। बी 12 की गणना करना आवश्यक है। हमारे पास है

उत्तर: बी 12 \u003d 2048।

3. एक परिमित ज्यामितीय प्रगति के सदस्यों के योग का सूत्र।

एक परिमित ज्यामितीय प्रगति दी जाए

हम एस एन द्वारा इसकी शर्तों का योग, अर्थात्।

आइए इस राशि को खोजने के लिए एक सूत्र प्राप्त करें।

चलो सबसे सरल मामले से शुरू करते हैं, जब q \u003d 1. तब ज्यामितीय प्रगति b 1, b 2, b 3, ..., bn में n 1, b 1 के बराबर संख्याएँ होती हैं, प्रगति के रूप में बी 1, बी 2, बी 3, ..., बी 4 है। इन संख्याओं का योग nb 1 है।

अब q \u003d 1 को S n को खोजने के लिए हम एक कृत्रिम विधि लागू करते हैं: हम अभिव्यक्ति n n q के कुछ रूपांतरण करते हैं। हमारे पास है:

रूपांतरण करते हुए, हमने, सबसे पहले, ज्यामितीय प्रगति की परिभाषा का उपयोग किया, जिसके अनुसार (तर्क की तीसरी पंक्ति देखें); दूसरे, उन्होंने जोड़ा और घटाया कि अभिव्यक्ति का अर्थ, निश्चित रूप से, क्यों नहीं बदला (देखें तर्क की चौथी पंक्ति); तीसरा, हमने ज्यामितीय प्रगति के मूल शब्द के सूत्र का उपयोग किया:

सूत्र (1) से हम पाते हैं:

यह एक ज्यामितीय प्रगति की n शर्तों के योग का सूत्र है (मामले के लिए जब q \u003d 1)।

उदाहरण 8।

एक परिमित ज्यामितीय प्रगति दी गई है

क) प्रगति के सदस्यों का योग; b) इसके सदस्यों के वर्गों का योग।

बी) ऊपर (देखें। पी। 132) हमने पहले ही नोट किया है कि यदि ज्यामितीय प्रगति के सभी शब्दों को चुकता किया जाता है, तो हमें पहले शब्द बी 2 और भाजक q 2 के साथ ज्यामितीय प्रगति मिलती है। फिर नई प्रगति के छह सदस्यों की गणना द्वारा गणना की जाएगी

उदाहरण 9।

ज्यामितीय प्रगति के 8 वें शब्द का पता लगाएं

वास्तव में, हमने निम्नलिखित प्रमेय को सिद्ध किया है।

एक संख्यात्मक अनुक्रम एक ज्यामितीय प्रगति है अगर और केवल अगर इसके सदस्यों में से प्रत्येक का वर्ग, पहली प्रमेय (और अंतिम, एक अनुक्रम के मामले में) को छोड़कर, पूर्ववर्ती और बाद की शर्तों के उत्पाद के बराबर है एक ज्यामितीय प्रगति की एक विशेषता संपत्ति)।