भाषण: वेक्टर निर्देशांक; वैक्टर का डॉट उत्पाद; वैक्टर के बीच का कोण

वेक्टर निर्देशांक

इसलिए, जैसा कि पहले उल्लेख किया गया है, वैक्टर एक निर्देशित खंड हैं, जिसकी अपनी शुरुआत और अंत है। यदि शुरुआत और अंत को कुछ बिंदुओं द्वारा दर्शाया जाता है, तो एक विमान या अंतरिक्ष में उनके अपने निर्देशांक होते हैं।

यदि प्रत्येक बिंदु के अपने निर्देशांक हैं, तो हम पूरे वेक्टर के निर्देशांक प्राप्त कर सकते हैं।

मान लीजिए कि हमारे पास कुछ वेक्टर हैं जिनके वेक्टर की शुरुआत और अंत में निम्नलिखित पदनाम और निर्देशांक हैं: ए (ए एक्स; एई) और बी (बी एक्स; बाय)

इस वेक्टर के निर्देशांक प्राप्त करने के लिए, शुरुआत के संबंधित निर्देशांक को वेक्टर के अंत के निर्देशांक से घटाना आवश्यक है:

अंतरिक्ष में एक वेक्टर के निर्देशांक निर्धारित करने के लिए, निम्न सूत्र का उपयोग करें:

वैक्टर का डॉट उत्पाद

डॉट उत्पाद को परिभाषित करने के दो तरीके हैं:

• ज्यामितीय तरीका। उनके अनुसार, डॉट उत्पाद उनके बीच के कोण के कोसाइन द्वारा इन मॉड्यूल के मूल्यों के उत्पाद के बराबर है।

• बीजगणितीय अर्थ। बीजगणित के दृष्टिकोण से, दो वैक्टरों का डॉट उत्पाद एक निश्चित मात्रा है जो संबंधित वैक्टर के उत्पादों के योग के परिणामस्वरूप प्राप्त होता है।

यदि सदिश अंतरिक्ष में दिए गए हैं, तो आपको एक समान सूत्र का उपयोग करना चाहिए:

गुण:

• यदि आप दो समान सदिशों को स्केलर से गुणा करते हैं, तो उनका डॉट उत्पाद ऋणात्मक नहीं होगा:

• यदि दो समान सदिशों का अदिश गुणनफल शून्य हो जाता है, तो इन सदिशों को शून्य माना जाता है:

• यदि एक सदिश को स्वयं से गुणा किया जाता है, तो अदिश गुणन उसके मापांक के वर्ग के बराबर होगा:

• अदिश उत्पाद में एक संचारी गुण होता है, अर्थात अदिश उत्पाद वैक्टर के क्रमपरिवर्तन से नहीं बदलेगा:

• शून्येतर सदिशों का अदिश गुणन शून्य तभी हो सकता है जब सदिश एक दूसरे के लंबवत हों:

• सदिशों के अदिश गुणनफल के लिए, सदिशों में से किसी एक को किसी संख्या से गुणा करने पर विस्थापन नियम मान्य होता है:

• डॉट उत्पाद के साथ, आप गुणन के वितरण गुण का भी उपयोग कर सकते हैं:

वैक्टर के बीच का कोण

परिभाषा 1

सदिशों का अदिश गुणनफल एक संख्या होती है जो इन सदिशों के dyn और उनके बीच के कोण की कोज्या के गुणनफल के बराबर होती है।

वैक्टर a → और b → के गुणनफल के संकेतन का रूप a →, b → है। आइए सूत्र में परिवर्तित करें:

a →, b → = a → b → cos a →, b → ^। a → और b → सदिशों की लंबाई को निरूपित करते हैं, a →, b → ^ दिए गए सदिशों के बीच के कोण को निरूपित करते हैं। यदि कम से कम एक सदिश शून्य हो, अर्थात उसका मान 0 हो, तो परिणाम भी शून्य होगा, a →, b → = 0

सदिश को स्वयं से गुणा करने पर, हमें उसकी लंबाई का वर्ग प्राप्त होता है:

a →, b → = a → b → cos a →, a → ^ = a → 2 cos 0 = a → 2

परिभाषा 2

किसी सदिश का अपने आप में अदिश गुणन करना अदिश वर्ग कहलाता है।

सूत्र द्वारा परिकलित:

a →, b → = a → b → cos a →, b → ^।

संकेतन a →, b → = a → b → cos a →, b → ^ = a → npa → b → = b → npb → a → दर्शाता है कि npb → a → b → पर a → का संख्यात्मक प्रक्षेपण है, npa → a → क्रमशः a → पर b → का प्रक्षेपण है।

आइए हम दो वैक्टरों के लिए उत्पाद की परिभाषा तैयार करें:

दो सदिशों a → by b → के अदिश गुणन को सदिश a → प्रक्षेपण b → दिशा a → या लंबाई b → के गुणनफल का गुणनफल क्रमशः प्रक्षेपण a → द्वारा कहा जाता है।

निर्देशांक में डॉट उत्पाद

डॉट उत्पाद की गणना किसी दिए गए विमान या अंतरिक्ष में वैक्टर के निर्देशांक के माध्यम से की जा सकती है।

एक तल पर त्रिविमीय समष्टि में दो सदिशों के अदिश गुणन को दिए गए सदिशों a → और b → के निर्देशांकों का योग कहते हैं।

कार्तीय प्रणाली में दिए गए वैक्टर a → = (a x, a y), b → = (b x, b y) के अदिश गुणनफल की गणना करते समय, उपयोग करें:

ए →, बी → = ए एक्स बी एक्स + ए वाई बी वाई,

त्रि-आयामी स्थान के लिए, निम्नलिखित व्यंजक लागू होता है:

ए →, बी → = ए एक्स बी एक्स + ए वाई बी वाई + ए जेड बी जेड।

वास्तव में, यह डॉट उत्पाद की तीसरी परिभाषा है।

आइए इसे साबित करें।

सबूत 1

प्रमाण के लिए, हम कार्तीय पर a →, b → = a → b → cos a →, b → ^ = ax bx + ay by सदिश a → = (ax, ay), b → = (bx, by) का उपयोग करते हैं। प्रणाली।

वैक्टर को स्थगित कर दिया जाना चाहिए

ओ ए → = ए → = ए एक्स, ए वाई और ओ बी → = बी → = बी एक्स, बी वाई।

तब सदिश A B → की लंबाई A B → = O B → - O A → = b → - a → = (b x - a x, b y - a y) के बराबर होगी।

एक त्रिभुज O A B पर विचार करें।

कोज्या प्रमेय के आधार पर A B 2 = O A 2 + O B 2 - 2 O A O B cos (∠ A O B) सत्य है।

स्थिति से, यह देखा जा सकता है कि ओ ए = ए →, ओ बी = बी →, ए बी = बी → - ए →, ए ओ बी = ए →, बी → ^, इसलिए, हम वैक्टर के बीच कोण को अलग तरीके से खोजने के लिए सूत्र लिखते हैं

बी → - ए → 2 = ए → 2 + बी → 2 - 2 ए → बी → कॉस (ए →, बी → ^)।

फिर यह पहली परिभाषा से निकलता है कि बी → - ए → 2 = ए → 2 + बी → 2 - 2 (ए →, बी →), इसलिए (ए →, बी →) = 1 2 (ए → 2 + बी → 2 - बी → - ए → 2)।

वैक्टर की लंबाई की गणना के लिए सूत्र का उपयोग करते हुए, हम प्राप्त करते हैं:
a →, b → = 1 2 ((a 2 x + ay 2) 2 + (b 2 x + by 2) 2 - ((bx - ax) 2 + (by - ay) 2) 2) = = 1 2 (a 2 x + a 2 y + b 2 x + b 2 y - (bx - ax) 2 - (by - ay) 2) = = ax bx + ay by

आइए हम समानताएं सिद्ध करें:

(a →, b →) = a → b → cos (a →, b → ^) = = a x b x + a y b y + a z b z

- क्रमशः त्रि-आयामी अंतरिक्ष के वैक्टर के लिए।

निर्देशांक वाले सदिशों का अदिश गुणन कहता है कि एक सदिश का अदिश वर्ग अंतरिक्ष में और समतल पर उसके निर्देशांकों के वर्गों के योग के बराबर होता है। a → = (a x, a y, a z), b → = (b x, b y, b z) और (a →, a →) = a x 2 + a y 2.

डॉट उत्पाद और उसके गुण

डॉट उत्पाद गुण हैं जो a →, b →, और c → के लिए लागू होते हैं:

1. कम्यूटेटिविटी (ए →, बी →) = (बी →, ए →);
2. वितरण (ए → + बी →, सी →) = (ए →, सी →) + (बी →, सी →), (ए → + बी →, सी →) = (ए →, बी →) + (ए → , सी →);
3. संयोजन गुण (λ a →, b →) = λ (a →, b →), (a →, b →) = λ (a →, b →), कोई भी संख्या है;
4. अदिश वर्ग हमेशा शून्य से बड़ा होता है (a →, a →) ≥ 0, जहाँ (a →, a →) = 0 उस स्थिति में जब a → शून्य हो।

गुण विमान पर डॉट उत्पाद की परिभाषा और वास्तविक संख्याओं को जोड़ने और गुणा करने पर गुणों की व्याख्या करने योग्य हैं।

कम्यूटेटिविटी गुण साबित करें (ए →, बी →) = (बी →, ए →)। परिभाषा से हमारे पास है कि (a →, b →) = a y b y + a y b y और (b →, a →) = b x a x + b y a y।

क्रमपरिवर्तन गुण के अनुसार, समानताएं a x b x = b x a x और a y b y = b y a y सत्य हैं, इसलिए a x b x + a y b y = b x a x + b y a y।

यह इस प्रकार है कि (ए →, बी →) = (बी →, ए →)। क्यू.ई.डी.

वितरण किसी भी संख्या के लिए मान्य है:

(ए (1) → + ए (2) → +.. + ए (एन) →, बी →) = (ए (1) →, बी →) + (ए (2) →, बी →) +। ... ... + (ए (एन) →, बी →)

और (ए →, बी (1) → + बी (2) → +.. + बी (एन) →) = (ए →, बी (1) →) + (ए →, बी (2) →) +। .. ... ... + (ए →, बी → (एन)),

इसलिए हमारे पास है

(ए (1) → + ए (2) → +.. + ए (एन) →, बी (1) → + बी (2) → +... + बी (एम) →) = (ए (1) →, बी (1) →) + (ए (1) →, बी (2) →) +। ... ... + (ए (1) →, बी (एम) →) + + (ए (2) →, बी (1) →) + (ए (2) →, बी (2) →) +। ... ... + (ए (2) →, बी (एम) →) +। ... ... + + (ए (एन) →, बी (1) →) + (ए (एन) →, बी (2) →) +। ... ... + (ए (एन) →, बी (एम) →)

उदाहरण और समाधान के साथ डॉट उत्पाद

ऐसी योजना की किसी भी समस्या को डॉट उत्पाद से संबंधित गुणों और सूत्रों का उपयोग करके हल किया जाता है:

1. (ए →, बी →) = ए → बी → कॉस (ए →, बी → ^);
2. (ए →, बी →) = ए → एन पी ए → बी → = बी → एन पी बी → ए →;
3. (a →, b →) = a x b x + a y b y या (a →, b →) = a x b x + a y b y + a z b z;
4. (ए →, ए →) = ए → 2।

आइए कुछ समाधान उदाहरण देखें।

उदाहरण 2

a → की लंबाई 3 है, b → की लंबाई 7 है। यदि कोण 60 डिग्री है तो डॉट उत्पाद खोजें।

समाधान

शर्त के अनुसार, हमारे पास सभी डेटा हैं, इसलिए हम सूत्र द्वारा गणना करते हैं:

(a →, b →) = a → b → cos (a →, b → ^) = 3 7 cos 60 ° = 3 7 1 2 = 21 2

उत्तर: (ए →, बी →) = 21 2.

उदाहरण 3

दिए गए सदिश a → = (1, - 1, 2 - 3), b → = (0, 2, 2 + 3)। डॉट उत्पाद क्या है।

समाधान

इस उदाहरण में, निर्देशांक द्वारा गणना के सूत्र पर विचार किया जाता है, क्योंकि वे समस्या विवरण में निर्दिष्ट हैं:

(a →, b →) = ax bx + ay by + az bz = = 1 0 + (- 1) 2 + (2 + 3) (2 + 3) = = 0 - 2 + ( 2 - 9) = - 9

उत्तर: (ए →, बी →) = - 9

उदाहरण 4

डॉट उत्पाद ए बी → और ए सी → खोजें। निर्देशांक तल पर बिंदु A (1, - 3), B (5, 4), C (1, 1) दिए गए हैं।

समाधान

आरंभ करने के लिए, वैक्टर के निर्देशांक की गणना की जाती है, क्योंकि बिंदुओं के निर्देशांक शर्त द्वारा दिए जाते हैं:

ए बी → = (5 - 1, 4 - (- 3)) = (4, 7) ए सी → = (1 - 1, 1 - (- 3)) = (0, 4)

निर्देशांक का उपयोग करके सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर, हम प्राप्त करते हैं:

(ए बी →, ए सी →) = 4 0 + 7 4 = 0 + 28 = 28।

उत्तर: (ए बी →, ए सी →) = 28।

उदाहरण 5

दिए गए सदिश a → = 7 m → + 3 n → और b → = 5 m → + 8 n → उनका गुणनफल ज्ञात कीजिए। m → 3 के बराबर है और n → 2 इकाई के बराबर है, वे लंबवत हैं।

समाधान

(ए →, बी →) = (7 मीटर → + 3 एन →, 5 मीटर → + 8 एन →)। वितरण संपत्ति को लागू करने पर, हम प्राप्त करते हैं:

(7 मीटर → + 3 एन →, 5 मीटर → + 8 एन →) = = (7 मीटर →, 5 मीटर →) + (7 मीटर →, 8 एन →) + (3 एन →, 5 मीटर →) + ( 3 एन →, 8 एन →)

हम उत्पाद के संकेत के लिए गुणांक निकालते हैं और प्राप्त करते हैं:

(7 मीटर →, 5 मीटर →) + (7 मीटर →, 8 एन →) + (3 एन →, 5 मीटर →) + (3 एन →, 8 एन →) = = 7 5 (एम →, एम →) + 7 8 (एम →, एन →) + 3 5 (एन →, एम →) + 3 8 (एन →, एन →) = = 35 (एम →, एम →) + 56 (एम →, एन →) + 15 (एन →, एम →) + 24 (एन →, एन →)

कम्यूटेटिविटी प्रॉपर्टी से हम रूपांतरित करते हैं:

35 (m →, m →) + 56 (m →, n →) + 15 (n →, m →) + 24 (n →, n →) = 35 (m →, m →) + 56 (m →, एन →) + 15 (एम →, एन →) + 24 (एन →, एन →) = 35 (एम →, एम →) + 71 (एम →, एन →) + 24 (एन →, एन →)

परिणामस्वरूप, हमें मिलता है:

(ए →, बी →) = 35 (एम →, एम →) + 71 (एम →, एन →) + 24 (एन →, एन →)।

अब एक पूर्व निर्धारित कोण के साथ डॉट उत्पाद के लिए सूत्र लागू करते हैं:

(ए →, बी →) = 35 (एम →, एम →) + 71 (एम →, एन →) + 24 (एन →, एन →) = = 35 मीटर → 2 + 71 मीटर → एन → कॉस (एम → , n → ^) + 24 n → 2 = = 35 3 2 + 71 3 2 cos 2 + 24 2 2 = 411।

उत्तर: (ए →, बी →) = 411

यदि कोई संख्यात्मक प्रक्षेपण है।

उदाहरण 6

डॉट उत्पाद ए → और बी → खोजें। सदिश a → में निर्देशांक a → = (9, 3, - 3), प्रक्षेपण b → निर्देशांक (- 3, - 1, 1) के साथ हैं।

समाधान

परिकल्पना द्वारा, वैक्टर a → और प्रक्षेपण b → विपरीत दिशा में निर्देशित होते हैं, क्योंकि a → = - 1 3 · npa → b → →, इसलिए प्रक्षेपण b → लंबाई npa → b → → से मेल खाती है, और संकेत के साथ " -":

एन पी ए → बी → → = - एन पी ए → बी → → = - (- 3) 2 + (- 1) 2 + 1 2 = - 11,

सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर, हमें व्यंजक प्राप्त होता है:

(ए →, बी →) = ए → एन पी ए → बी → → = 9 2 + 3 2 + (- 3) 2 (- 11) = - 33।

उत्तर: (ए →, बी →) = - 33।

ज्ञात डॉट उत्पाद के साथ समस्याएं, जहां एक वेक्टर या संख्यात्मक प्रक्षेपण की लंबाई का पता लगाना आवश्यक है।

उदाहरण 7

किसी दिए गए अदिश उत्पाद के लिए λ को क्या मान लेना चाहिए a → = (1, 0, + 1) और b → = (λ, 1, λ) -1 के बराबर होगा।

समाधान

सूत्र दर्शाता है कि निर्देशांक के उत्पादों का योग ज्ञात करना आवश्यक है:

(ए →, बी →) = 1 λ + 0 1 + (λ + 1) λ = λ 2 + 2 ।

दिया गया है कि हमारे पास (a →, b →) = -1 है।

खोजने के लिए, हम समीकरण की गणना करते हैं:

2 + 2 λ = - 1, इसलिए = - 1.

उत्तर: =-1.

डॉट उत्पाद का भौतिक अर्थ

यांत्रिकी डॉट उत्पाद के अनुप्रयोग से संबंधित है।

एक स्थिर बल F → के साथ काम करते समय शरीर बिंदु M से N तक चला जाता है, आप वैक्टर F → और MN → की लंबाई के उत्पाद को उनके बीच के कोण के कोसाइन के साथ पा सकते हैं, जिसका अर्थ है कि कार्य बराबर है बल और विस्थापन के वैक्टर के उत्पाद के लिए:

ए = (एफ →, एम एन →)।

उदाहरण 8

5 एनटन के बराबर बल की क्रिया के तहत एक भौतिक बिंदु की गति 3 मीटर तक धुरी के सापेक्ष 45 डिग्री के कोण पर निर्देशित होती है। लगता है।

समाधान

चूँकि कार्य बल सदिश और विस्थापन का गुणनफल है, इसका अर्थ है कि F → = 5, S → = 3, (F →, S → ^) = 45 ° की स्थिति के आधार पर, हमें A = (F →, S →) = F → S → cos (F →, S → ^) = 5 3 cos (45 °) = 15 2 2.

उत्तर: ए = 15 2 2.

उदाहरण 9

एक भौतिक बिंदु, F → = (3, 1, 2) बल के तहत M (2, - 1, - 3) से N (5, 3 - 2, 4) की ओर बढ़ते हुए, 13 J के बराबर कार्य करता है। आंदोलन की लंबाई।

समाधान

वेक्टर एम एन → के दिए गए निर्देशांक के लिए हमारे पास एम एन → = (5 - 2, 3 λ - 2 - (- 1), 4 - (- 3)) = (3, 3 λ - 1, 7) है।

वैक्टर F → = (3, 1, 2) और MN → = (3, 3 λ - 1, 7) के साथ काम खोजने के लिए सूत्र का उपयोग करके, हम प्राप्त करते हैं A = (F , MN →) = 3 3 + 1 ( 3 - 1) + 2 7 = 22 + 3 ।

परिकल्पना द्वारा यह दिया गया है कि A = 13 J, जिसका अर्थ 22 + 3 λ = 13 है। अत: = - 3, अत: एम एन → = (3, 3 - 1, 7) = (3, - 10, 7)।

विस्थापन M N → की लंबाई ज्ञात करने के लिए, सूत्र लागू करें और मानों को प्रतिस्थापित करें:

एम एन → = 3 2 + (- 10) 2 + 7 2 = 158।

उत्तर: 158.

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एक स्वतंत्र समाधान के लिए कार्य भी होंगे, जिनके उत्तर आप देख सकते हैं।

यदि समस्या में वैक्टर की लंबाई और उनके बीच के कोण दोनों को "चांदी की थाली पर" प्रस्तुत किया जाता है, तो समस्या की स्थिति और उसका समाधान इस तरह दिखता है:

उदाहरण 1।वैक्टर दिया। वैक्टर के डॉट उत्पाद का पता लगाएं यदि उनकी लंबाई और उनके बीच के कोण को निम्नलिखित मानों द्वारा दर्शाया गया है:

एक अन्य परिभाषा भी मान्य है, जो पूरी तरह से परिभाषा 1 के बराबर है।

परिभाषा 2... सदिशों का अदिश गुणनफल एक संख्या (अदिश) है जो इन सदिशों में से किसी एक की लंबाई के गुणनफल के बराबर होता है, जो पहले संकेतित सदिशों द्वारा निर्धारित अक्ष पर दूसरे सदिश के प्रक्षेपण द्वारा होता है। परिभाषा 2 के अनुसार सूत्र:

हम अगले महत्वपूर्ण सैद्धांतिक बिंदु के बाद इस सूत्र का उपयोग करके समस्या का समाधान करेंगे।

निर्देशांक के संदर्भ में वैक्टर के डॉट उत्पाद का निर्धारण

वही संख्या प्राप्त की जा सकती है यदि गुणा किए जा रहे सदिशों को उनके निर्देशांकों द्वारा दिया जाता है।

परिभाषा 3.सदिशों का डॉट गुणनफल एक संख्या होती है जो उनके संबंधित निर्देशांकों के युग्म के उत्पादों के योग के बराबर होती है।

सतह पर

यदि दो वैक्टर और विमान पर उनके दो द्वारा परिभाषित किए जाते हैं कार्तीय आयताकार निर्देशांक

तब इन सदिशों का अदिश गुणन उनके संबंधित निर्देशांकों के युग्म के उत्पादों के योग के बराबर होता है:

.

उदाहरण 2।सदिश के समांतर अक्ष पर सदिश प्रक्षेपण का संख्यात्मक मान ज्ञात कीजिए।

समाधान। हम वैक्टर के डॉट उत्पाद को उनके निर्देशांक के जोड़ीदार उत्पादों को जोड़कर पाते हैं:

अब हमें परिणामी स्केलर उत्पाद को वेक्टर की लंबाई के उत्पाद और वेक्टर के समानांतर अक्ष पर वेक्टर के प्रक्षेपण (सूत्र के अनुसार) के बराबर करने की आवश्यकता है।

हम वेक्टर की लंबाई को उसके निर्देशांक के वर्गों के योग के वर्गमूल के रूप में पाते हैं:

.

हम एक समीकरण बनाते हैं और इसे हल करते हैं:

उत्तर। वांछित संख्यात्मक मान माइनस 8 है।

अंतरिक्ष में

यदि दो सदिश और अन्तरिक्ष में उनके तीन कार्तीय आयताकार निर्देशांक द्वारा परिभाषित हैं

,

तो इन वैक्टरों का स्केलर उत्पाद भी उनके संबंधित निर्देशांक के जोड़ीदार उत्पादों के योग के बराबर होता है, केवल पहले से ही तीन निर्देशांक होते हैं:

.

माना विधि द्वारा डॉट उत्पाद को खोजने की समस्या डॉट उत्पाद के गुणों को पार्स करने के बाद है। क्योंकि कार्य में यह निर्धारित करना आवश्यक होगा कि गुणा किए गए वैक्टर किस कोण पर बनते हैं।

वेक्टर डॉट उत्पाद गुण

बीजीय गुण

1. (विस्थापन संपत्ति: उनके डॉट उत्पाद का परिमाण गुणा किए जा रहे सदिशों की अदला-बदली से नहीं बदलता है)।

2. (गुणक संयोजन गुण: एक वेक्टर के डॉट उत्पाद को किसी कारक से गुणा किया जाता है और दूसरा वेक्टर इन वैक्टर के डॉट उत्पाद को उसी कारक से गुणा करने के बराबर होता है)।

3. (वैक्टर के योग के संबंध में वितरण संपत्ति: तीसरे वेक्टर द्वारा दो वैक्टर के योग का डॉट उत्पाद तीसरे वेक्टर द्वारा पहले वेक्टर के डॉट उत्पादों और तीसरे वेक्टर द्वारा दूसरे वेक्टर के योग के बराबर है)।

4. (सदिश का अदिश वर्ग शून्य से बड़ा होता है), यदि एक शून्येतर सदिश है, और, यदि, एक शून्य सदिश है।

ज्यामितीय गुण

अध्ययनाधीन संक्रिया की परिभाषाओं में, हम पहले ही दो सदिशों के बीच के कोण की अवधारणा पर विचार कर चुके हैं। इस अवधारणा को स्पष्ट करने का समय आ गया है।

ऊपर की तस्वीर में, दो वैक्टर दिखाई दे रहे हैं, जिन्हें एक सामान्य मूल में लाया गया है। और पहली बात जिस पर ध्यान देना चाहिए: इन वैक्टरों के बीच दो कोण होते हैं - φ 1 तथा φ 2 ... इनमें से कौन सा कोण वैक्टर के डॉट उत्पाद की परिभाषाओं और गुणों में प्रकट होता है? माना कोणों का योग 2 . है π और इसलिए इन कोणों की कोज्या बराबर हैं। डॉट उत्पाद की परिभाषा में केवल कोण की कोज्या शामिल है, न कि उसके व्यंजक का मान। लेकिन गुणों में एक ही कोना माना जाता है। और यह दो कोणों में से एक है जो पार नहीं करता है π यानी 180 डिग्री। आकृति में, इस कोण को के रूप में नामित किया गया है φ 1 .

1. दो सदिश कहलाते हैं ओर्थोगोनल तथा इन सदिशों के बीच का कोण एक सीधी रेखा है (90 डिग्री या π / 2) अगर इन वैक्टर का डॉट उत्पाद शून्य है :

.

वेक्टर बीजगणित में ऑर्थोगोनैलिटी दो वैक्टरों की लंबवतता है।

2. दो शून्येतर सदिश बनाते हैं तेज़ कोने (0 से 90 डिग्री तक, या, जो समान हो - कम .) π डॉट उत्पाद सकारात्मक है .

3. दो शून्येतर सदिश बनते हैं अधिक कोण (90 से 180 डिग्री, या, जो समान है - अधिक .) π / 2) यदि और केवल यदि उनके डॉट उत्पाद नकारात्मक है .

उदाहरण 3.वैक्टर निर्देशांक में दिए गए हैं:

.

दिए गए वैक्टर के सभी जोड़े के डॉट उत्पादों की गणना करें। ये सदिश युग्म किस कोण (तीव्र, सीधे, अधिक) से बनते हैं?

समाधान। हम संबंधित निर्देशांक के उत्पादों को जोड़कर गणना करेंगे।

एक ऋणात्मक संख्या प्राप्त हुई, इसलिए सदिश एक अधिक कोण बनाते हैं।

हमें एक धनात्मक संख्या मिली है, इसलिए सदिश एक न्यून कोण बनाते हैं।

हमें शून्य मिला है, इसलिए सदिश एक समकोण बनाते हैं।

हमें एक धनात्मक संख्या मिली है, इसलिए सदिश एक न्यून कोण बनाते हैं।

.

हमें एक धनात्मक संख्या मिली है, इसलिए सदिश एक न्यून कोण बनाते हैं।

स्व-परीक्षण के लिए, आप उपयोग कर सकते हैं ऑनलाइन कैलकुलेटर वैक्टर के डॉट उत्पाद और उनके बीच के कोण की कोज्या .

उदाहरण 4.दो सदिशों की लंबाई और उनके बीच का कोण दिया गया है:

.

निर्धारित करें कि संख्या के किस मूल्य पर वैक्टर और ऑर्थोगोनल (लंबवत) हैं।

समाधान। हम बहुपदों को गुणा करने के नियम के अनुसार सदिशों को गुणा करते हैं:

आइए अब प्रत्येक पद की गणना करें:

.

आइए एक समीकरण (उत्पाद की समानता शून्य) की रचना करें, समान शब्द दें और समीकरण को हल करें:

उत्तर: हमें अर्थ मिल गया λ = 1.8, जिसके लिए सदिश लंबकोणीय हैं।

उदाहरण 5.सिद्ध कीजिए कि सदिश ओर्थोगोनल (लंबवत) वेक्टर के लिए

समाधान। ओर्थोगोनैलिटी की जांच करने के लिए, हम वैक्टर और बहुपद के रूप में गुणा करते हैं, इसके बजाय समस्या कथन में दिए गए व्यंजक को प्रतिस्थापित करते हैं:

.

ऐसा करने के लिए, आपको पहले बहुपद के प्रत्येक पद (अवधि) को दूसरे के प्रत्येक पद से गुणा करना होगा और परिणामी उत्पादों को जोड़ना होगा:

.

नतीजतन, अंश खर्च पर कम हो जाता है। परिणाम निम्नलिखित है:

निष्कर्ष: गुणन के परिणामस्वरूप, हमें शून्य प्राप्त हुआ, इसलिए, सदिशों की ओर्थोगोनैलिटी (लंबवत) सिद्ध होती है।

समस्या को स्वयं हल करें, और फिर समाधान देखें

उदाहरण 6.वैक्टर की लंबाई और इन वैक्टरों के बीच का कोण दिया गया है π /4. निर्धारित करें कि किस मूल्य पर μ वैक्टर और परस्पर लंबवत हैं।

स्व-परीक्षण के लिए, आप उपयोग कर सकते हैं ऑनलाइन कैलकुलेटर वैक्टर के डॉट उत्पाद और उनके बीच के कोण की कोज्या .

वैक्टर के डॉट उत्पाद और एन-आयामी वैक्टर के उत्पाद का मैट्रिक्स प्रतिनिधित्व

कभी-कभी स्पष्टता के लिए मैट्रिसेस के रूप में गुणा किए जा रहे दो वैक्टरों का प्रतिनिधित्व करना फायदेमंद होता है। फिर पहले वेक्टर को एक पंक्ति मैट्रिक्स के रूप में दर्शाया जाता है, और दूसरा - एक कॉलम मैट्रिक्स के रूप में:

तब सदिशों का अदिश गुणनफल होगा इन मैट्रिक्स का उत्पाद :

परिणाम वही है जो उस विधि से प्राप्त होता है जिस पर हम पहले ही विचार कर चुके हैं। एक एकल संख्या प्राप्त होती है, और स्तंभ मैट्रिक्स द्वारा पंक्ति मैट्रिक्स का उत्पाद भी एक एकल संख्या होती है।

मैट्रिक्स रूप में सार एन-आयामी वैक्टर के उत्पाद का प्रतिनिधित्व करना सुविधाजनक है। तो, दो चार-आयामी वैक्टर का उत्पाद चार तत्वों के साथ एक पंक्ति मैट्रिक्स का उत्पाद होगा और एक कॉलम मैट्रिक्स भी चार तत्वों के साथ होगा, दो पांच-आयामी वैक्टर का उत्पाद पांच तत्वों के साथ एक पंक्ति मैट्रिक्स का उत्पाद होगा और एक कॉलम मैट्रिक्स भी पांच तत्वों के साथ, और इसी तरह।

उदाहरण 7.वैक्टर के जोड़े के डॉट उत्पाद खोजें

,

मैट्रिक्स प्रतिनिधित्व का उपयोग करना

समाधान। वैक्टर की पहली जोड़ी। हम पहले वेक्टर को एक पंक्ति मैट्रिक्स के रूप में और दूसरे को एक कॉलम मैट्रिक्स के रूप में प्रस्तुत करते हैं। हम इन वैक्टरों के डॉट उत्पाद को कॉलम मैट्रिक्स द्वारा पंक्ति मैट्रिक्स के उत्पाद के रूप में पाते हैं:

इसी तरह, हम दूसरी जोड़ी का प्रतिनिधित्व करते हैं और पाते हैं:

जैसा कि आप देख सकते हैं, परिणाम वही हैं जो उदाहरण 2 से समान जोड़े के हैं।

दो सदिशों के बीच का कोण

दो सदिशों के बीच के कोण की कोज्या के सूत्र की व्युत्पत्ति बहुत सुंदर और संक्षिप्त है।

वैक्टर के डॉट उत्पाद को व्यक्त करने के लिए

(1)

निर्देशांक रूप में, हम सबसे पहले इकाई सदिशों का अदिश गुणनफल पाते हैं। परिभाषा के अनुसार वेक्टर का डॉट उत्पाद अपने आप में:

उपरोक्त सूत्र में जो लिखा है उसका अर्थ है: एक सदिश का डॉट गुणनफल अपने आप में उसकी लंबाई के वर्ग के बराबर होता है... शून्य की कोज्या एक के बराबर है, इसलिए प्रत्येक ऑर्ट का वर्ग एक के बराबर होगा:

चूंकि वैक्टर

जोड़ीवार लंबवत हैं, तो यूनिट वैक्टर के जोड़ीदार उत्पाद शून्य के बराबर होंगे:

अब सदिश बहुपदों का गुणन करते हैं:

हम समानता के दाईं ओर इकाई वैक्टर के संबंधित स्केलर उत्पादों के मूल्यों को प्रतिस्थापित करते हैं:

हमें दो सदिशों के बीच के कोण की कोज्या का सूत्र प्राप्त होता है:

उदाहरण 8.तीन अंक दिए गए ए(1;1;1), बी(2;2;1), सी(2;1;2).

कोने का पता लगाएं।

समाधान। वैक्टर के निर्देशांक खोजें:

,

.

कोण की कोज्या के सूत्र के अनुसार, हम प्राप्त करते हैं:

इसलिये, ।

स्व-परीक्षण के लिए, आप उपयोग कर सकते हैं ऑनलाइन कैलकुलेटर वैक्टर के डॉट उत्पाद और उनके बीच के कोण की कोज्या .

उदाहरण 9.दो सदिश दिए गए हैं

उनके बीच का योग, अंतर, लंबाई, डॉट उत्पाद और कोण खोजें।

2. अंतर:

वेक्टर और डॉट उत्पाद वैक्टर के बीच के कोण की गणना करना आसान बनाता है। मान लीजिए कि दो सदिश $ \ overline (a) $ और $ \ overline (b) $ दिए गए हैं, जिनके बीच का ओरिएंटेड कोण $ \ varphi $ है। मानों की गणना करें $ x = (\ overline (a), \ overline (b)) $ और $ y = [\ overline (a), \ overline (b)] $। फिर $ x = r \ cos \ varphi $, $ y = r \ sin \ varphi $, जहां $ r = | \ overline (a) | \ cdot | \ overline (b) | $, और $ \ varphi $ है आवश्यक कोण, यानी बिंदु $ (x, y) $ का ध्रुवीय कोण $ \ varphi $ के बराबर होता है, और इसलिए $ \ varphi $ को atan2 (y, x) के रूप में पाया जा सकता है।

त्रिभुज का क्षेत्रफल

चूंकि क्रॉस उत्पाद में उनके बीच के कोण के कोसाइन द्वारा दो वेक्टर लंबाई का उत्पाद होता है, इसलिए क्रॉस उत्पाद का उपयोग त्रिभुज एबीसी के क्षेत्र की गणना के लिए किया जा सकता है:

$ एस_ (एबीसी) = \ फ्रैक (1) (2) | [\ ओवरलाइन (एबी), \ ओवरलाइन (एसी)] | $.

एक सीधी रेखा से संबंधित बिंदु

मान लीजिए एक बिंदु $ P $ और एक सीधी रेखा $ AB $ (दो बिंदुओं $ A $ और $ B $ द्वारा दिया गया) दिया गया है। यह जांचना आवश्यक है कि बिंदु $AB$ रेखा से संबंधित है या नहीं।

एक बिंदु सीधी रेखा $ AB $ से संबंधित है यदि और केवल यदि वैक्टर $ AP $ और $ AB $ संरेख हैं, अर्थात, यदि $ [\ overline (AP), \ overline (AB)] = 0 $।

एक बिंदु से एक किरण के संबंध में

मान लीजिए कि एक बिंदु $ P $ और एक किरण $ AB $ (दो बिंदुओं द्वारा दिया गया है - किरण $ A $ की शुरुआत और किरण $ B $ पर एक बिंदु) दिया गया है। यह जांचना आवश्यक है कि बिंदु किरण $AB $ का है या नहीं।

इस शर्त के लिए कि बिंदु $ P $ लाइन $ AB $ से संबंधित है, एक अतिरिक्त शर्त जोड़ना आवश्यक है - वैक्टर $ AP $ और $ AB $ सह-दिशात्मक हैं, अर्थात, वे कॉललाइनर और उनके स्केलर उत्पाद हैं गैर-ऋणात्मक है, यानी $ (\ overline (AB), \ overline (AP )) \ ge 0 $।

एक बिंदु एक रेखा खंड के अंतर्गत आता है

मान लीजिए एक बिंदु $ P $ और एक खंड $ AB $ दिया गया है। यह जांचना आवश्यक है कि क्या बिंदु $ AB $ खंड से संबंधित है।

इस मामले में, बिंदु किरण $ AB $ और किरण $ BA $ दोनों से संबंधित होना चाहिए, इसलिए निम्नलिखित स्थितियों की जाँच की जानी चाहिए:

$ [\ ओवरलाइन (एपी), \ ओवरलाइन (एबी)] = 0 $,

$ (\ overline (AB), \ overline (AP)) \ ge 0 $,

$ (\ ओवरलाइन (बीए), \ ओवरलाइन (बीपी)) \ जीई 0 $।

बिंदु से रेखा की दूरी

मान लीजिए एक बिंदु $ P $ और एक सीधी रेखा $ AB $ (दो बिंदुओं $ A $ और $ B $ द्वारा दिया गया) दिया गया है। सीधी रेखा $AB$ के बिंदु से दूरी ज्ञात करना आवश्यक है।

एक त्रिभुज ABP पर विचार करें। एक ओर इसका क्षेत्रफल $S_ (ABP) = \ frac (1) (2) | [\ overline (AB), \ overline (AP)] | $ है।

दूसरी ओर, इसका क्षेत्रफल $S_ (ABP) = \ frac (1) (2) h | AB | $ है, जहाँ $ h $ बिंदु $ P $ से गिराई गई ऊँचाई है, अर्थात $ से दूरी पी $ से $ एबी $। जहां से $ h = | [\ overline (AB), \ overline (AP)] | / | AB | $.

बीम की दूरी को इंगित करें

मान लीजिए कि एक बिंदु $ P $ और एक किरण $ AB $ (दो बिंदुओं द्वारा दिया गया है - किरण $ A $ की शुरुआत और किरण $ B $ पर एक बिंदु) दिया गया है। बिंदु से किरण तक की दूरी, यानी बिंदु $ P $ से किरण पर किसी भी बिंदु तक सबसे छोटे खंड की लंबाई का पता लगाना आवश्यक है।

यह दूरी या तो लंबाई $ AP $ के बराबर है, या बिंदु $ P $ से रेखा $ AB $ तक की दूरी के बराबर है। कौन सा मामला होता है, यह बीम और बिंदु की सापेक्ष स्थिति से निर्धारित करना आसान होता है। यदि कोण PAB न्यून है, अर्थात् $ (\ overline (AB), \ overline (AP))> 0 $, तो उत्तर बिंदु $ P $ से सीधी रेखा $ AB $ की दूरी होगी, अन्यथा उत्तर खंड $ AB $ की लंबाई होगी।

बिंदु से रेखा की दूरी

मान लीजिए एक बिंदु $ P $ और एक खंड $ AB $ दिया गया है। $ P $ से खंड $ AB $ तक की दूरी ज्ञात करना आवश्यक है।

यदि लंब का आधार $ P $ से रेखा $ AB $ पर गिरा, तो $ AB $ खंड पर पड़ता है, जिसे शर्तों द्वारा सत्यापित किया जा सकता है

$ (\ overline (AP), \ overline (AB)) \ ge 0 $,

$ (\ overline (BP), \ overline (BA)) \ ge 0 $,

तो उत्तर बिंदु $ P $ से रेखा $ AB $ की दूरी है। अन्यथा, दूरी $\ min (AP, BP) $ के बराबर होगी।

वैक्टर का डॉट उत्पाद

हम वैक्टर से निपटना जारी रखते हैं। पहले पाठ में डमी के लिए वेक्टरहमने एक वेक्टर की अवधारणा, वैक्टर के साथ क्रियाओं, एक वेक्टर के निर्देशांक और वैक्टर के साथ सबसे सरल कार्यों की जांच की। यदि आप किसी खोज इंजन से पहली बार इस पृष्ठ पर आए हैं, तो मैं उपरोक्त प्रारंभिक लेख को पढ़ने की अत्यधिक अनुशंसा करता हूं, क्योंकि सामग्री को मास्टर करने के लिए, आपको मेरे द्वारा उपयोग किए जाने वाले शब्दों और नोटेशन में नेविगेट करने की आवश्यकता है, वैक्टर का बुनियादी ज्ञान होना चाहिए और होना चाहिए प्राथमिक समस्याओं को हल करने में सक्षम। यह पाठ विषय की तार्किक निरंतरता है, और इसमें मैं उन विशिष्ट कार्यों का विस्तार से विश्लेषण करूंगा जिनमें वैक्टर के डॉट उत्पाद का उपयोग किया जाता है। यह एक बहुत ही महत्वपूर्ण गतिविधि है।... उदाहरणों को छोड़ने की कोशिश न करें, वे एक उपयोगी बोनस के साथ हैं - अभ्यास आपको आपके द्वारा कवर की गई सामग्री को समेकित करने और विश्लेषणात्मक ज्यामिति में सामान्य समस्याओं के समाधान पर अपना हाथ प्राप्त करने में मदद करेगा।

सदिशों का योग, किसी सदिश का किसी संख्या से गुणा…. यह सोचना भोला होगा कि गणितज्ञ कुछ और नहीं लेकर आए हैं। पहले से विचार की गई कार्रवाइयों के अलावा, वैक्टर के साथ कई अन्य ऑपरेशन भी हैं, अर्थात्: वैक्टर का डॉट उत्पाद, वैक्टर का वेक्टर उत्पादतथा वैक्टर का मिश्रित उत्पाद... वैक्टर के अदिश उत्पाद हमें स्कूल से परिचित हैं, अन्य दो उत्पाद पारंपरिक रूप से उच्च गणित के पाठ्यक्रम से संबंधित हैं। विषय सरल हैं, कई समस्याओं को हल करने के लिए एल्गोरिथ्म रूढ़िबद्ध और समझने योग्य है। एकमात्र वस्तु। जानकारी की एक अच्छी मात्रा है, इसलिए मास्टर करने की कोशिश करना अवांछनीय है, सब कुछ एक बार में हल करें। यह चायदानी के लिए विशेष रूप से सच है, मेरा विश्वास करो, लेखक गणित से चिकोटिलो की तरह बिल्कुल भी महसूस नहीं करना चाहता है। खैर, और गणित से नहीं, निश्चित रूप से भी =) अधिक तैयार छात्र सामग्री का चयन चुनिंदा रूप से कर सकते हैं, एक अर्थ में, लापता ज्ञान "प्राप्त" करें, आपके लिए मैं एक हानिरहित काउंट ड्रैकुला होगा =)

अंत में, हम थोड़ा दरवाजा खोलते हैं और उत्साह के साथ देखते हैं कि क्या होता है जब दो वैक्टर एक दूसरे से मिलते हैं…।

वैक्टर के डॉट उत्पाद का निर्धारण।
डॉट उत्पाद गुण। विशिष्ट कार्य

डॉट उत्पाद अवधारणा

पहले के बारे में वैक्टर के बीच का कोण... मुझे लगता है कि हर कोई सहज रूप से समझता है कि वैक्टर के बीच का कोण क्या है, लेकिन सिर्फ मामले में, थोड़ा और विस्तार से। मुक्त गैर-शून्य वैक्टर पर विचार करें और। यदि आप इन वैक्टरों को मनमाने बिंदु से स्थगित करते हैं, तो आपको एक ऐसी तस्वीर मिलती है, जिसकी कई लोगों ने अपने दिमाग में कल्पना की है:

मैं स्वीकार करता हूँ कि यहाँ मैंने स्थिति को केवल समझ के स्तर पर रेखांकित किया है। यदि आपको वैक्टर के बीच के कोण की सख्त परिभाषा की आवश्यकता है, तो कृपया पाठ्यपुस्तक देखें, लेकिन व्यावहारिक समस्याओं के लिए, हमें, सिद्धांत रूप में, इसकी आवश्यकता नहीं है। इसके अलावा यहाँ और आगे मैं शून्य वैक्टर को उनके कम व्यावहारिक महत्व के कारण अनदेखा कर दूंगा। मैंने विशेष रूप से उन्नत साइट विज़िटर के लिए आरक्षण किया है जो निम्नलिखित में से कुछ कथनों की सैद्धांतिक अपूर्णता के लिए मुझे फटकार सकते हैं।

साहित्य में, कोण चिह्न को अक्सर अनदेखा किया जाता है और सरलता से लिखा जाता है।

परिभाषा:दो सदिशों का अदिश गुणनफल उनके बीच के कोण की कोज्या द्वारा इन सदिशों की लंबाई के गुणनफल के बराबर NUMBER है:

यह पहले से ही काफी सख्त परिभाषा है।

हम आवश्यक जानकारी पर ध्यान केंद्रित करते हैं:

पद:डॉट उत्पाद को या बस द्वारा निरूपित किया जाता है।

ऑपरेशन का परिणाम एक NUMBER . है: सदिश को सदिश से गुणा किया जाता है, और परिणाम एक संख्या होती है। वास्तव में, यदि सदिशों की लंबाइयाँ संख्याएँ हैं, कोण की कोज्या एक संख्या है, तो उनका गुणनफल संख्या भी होगी।

गर्मजोशी के कुछ उदाहरण:

उदाहरण 1

समाधान:हम सूत्र का उपयोग करते हैं ... इस मामले में:

उत्तर:

कोसाइन मान में पाया जा सकता है त्रिकोणमितीय तालिका... मैं इसे प्रिंट करने की सलाह देता हूं - टॉवर के लगभग सभी वर्गों में इसकी आवश्यकता होगी और कई बार इसकी आवश्यकता होगी।

विशुद्ध रूप से गणितीय दृष्टिकोण से, डॉट उत्पाद आयाम रहित है, अर्थात, इस मामले में परिणाम, केवल एक संख्या है और बस इतना ही। भौतिकी की समस्याओं के दृष्टिकोण से, अदिश उत्पाद का हमेशा एक निश्चित भौतिक अर्थ होता है, अर्थात, परिणाम के बाद, एक या दूसरी भौतिक इकाई को इंगित किया जाना चाहिए। बल के कार्य की गणना का एक विहित उदाहरण किसी भी पाठ्यपुस्तक में पाया जा सकता है (सूत्र बिल्कुल डॉट उत्पाद है)। इसलिए, बल का कार्य जूल में मापा जाता है, और उत्तर को विशेष रूप से नीचे लिखा जाएगा, उदाहरण के लिए,।

उदाहरण 2

खोजें अगर , और सदिशों के बीच का कोण है।

यह स्वयं करें समाधान के लिए एक उदाहरण है, इसका उत्तर ट्यूटोरियल के अंत में है।

वैक्टर और डॉट उत्पाद मूल्य के बीच का कोण

उदाहरण 1 में, डॉट उत्पाद सकारात्मक निकला, और उदाहरण 2 में, यह नकारात्मक निकला। आइए जानें कि डॉट उत्पाद का चिन्ह किस पर निर्भर करता है। हम अपने सूत्र को देखते हैं: ... गैर-शून्य वैक्टर की लंबाई हमेशा सकारात्मक होती है: इसलिए संकेत केवल कोसाइन के मूल्य पर निर्भर हो सकता है।

ध्यान दें: नीचे दी गई जानकारी की बेहतर समझ के लिए, मैनुअल में कोसाइन ग्राफ का अध्ययन करना बेहतर है फ़ंक्शन ग्राफ़ और गुण... देखें कि कोसाइन एक खंड पर कैसे व्यवहार करता है।

जैसा कि पहले ही उल्लेख किया गया है, वैक्टर के बीच का कोण भिन्न हो सकता है , और निम्नलिखित मामले संभव हैं:

1) अगर इंजेक्शनवैक्टर के बीच मसालेदार: (0 से 90 डिग्री से), तब , तथा डॉट उत्पाद सकारात्मक होगा सह-निर्देशन किया, तो उनके बीच का कोण शून्य माना जाता है, और डॉट उत्पाद भी सकारात्मक होगा। चूंकि, सूत्र सरल है:।

2) अगर इंजेक्शनवैक्टर के बीच कुंद: (90 से 180 डिग्री से), तब , और तदनुसार, डॉट उत्पाद नकारात्मक है:. विशेष मामला: यदि वैक्टर उल्टी दिशा, तो उनके बीच का कोण माना जाता है तैनात: (180 डिग्री)। डॉट उत्पाद भी ऋणात्मक है, क्योंकि

विलोम कथन भी सत्य हैं:

1) यदि, तो इन सदिशों के बीच का कोण न्यूनकोण है। वैकल्पिक रूप से, वैक्टर कोडायरेक्शनल हैं।

2) यदि, तो दिए गए सदिशों के बीच का कोण अधिक है। वैकल्पिक रूप से, वैक्टर विपरीत रूप से निर्देशित होते हैं।

लेकिन तीसरा मामला विशेष रुचि का है:

3) अगर इंजेक्शनवैक्टर के बीच सीधा: (90 डिग्री), तब डॉट उत्पाद शून्य है:. विलोम भी सत्य है: यदि, तो। इस कथन को संक्षेप में निम्नानुसार तैयार किया गया है: दो सदिशों का अदिश गुणनफल शून्य होता है यदि और केवल यदि ये सदिश लंबकोणीय हों... लघु गणित संकेतन:

! ध्यान दें : दोहराना गणितीय तर्क की नींव: दो तरफा तार्किक परिणाम आइकन आमतौर पर "तब और केवल तब", "अगर और केवल अगर" पढ़ा जाता है। जैसा कि आप देख सकते हैं, तीर दोनों दिशाओं में निर्देशित होते हैं - "इससे इसका अनुसरण होता है, और इसके विपरीत - इससे क्या होता है।" वैसे वन-वे फॉलो आइकन से क्या अंतर है? आइकन का दावा उतना हीकि "यह इस से अनुसरण करता है", और यह एक तथ्य नहीं है कि विपरीत सत्य है। उदाहरण के लिए: लेकिन हर जानवर एक तेंदुआ नहीं है, इसलिए इस मामले में आइकन का उपयोग नहीं किया जा सकता है। उसी समय, आइकन के बजाय कर सकते हैंवन-वे आइकन का उपयोग करें। उदाहरण के लिए, समस्या को हल करते हुए, हमने पाया कि हमने निष्कर्ष निकाला है कि वैक्टर ऑर्थोगोनल हैं: - ऐसी प्रविष्टि सही होगी, और उससे भी अधिक उपयुक्त होगी .

तीसरा मामला बहुत व्यावहारिक महत्व का है।चूंकि यह आपको यह जांचने की अनुमति देता है कि वैक्टर ऑर्थोगोनल हैं या नहीं। हम इस समस्या को पाठ के दूसरे भाग में हल करेंगे।

डॉट उत्पाद गुण

आइए उस स्थिति पर लौटते हैं जब दो वैक्टर सह-निर्देशन किया... इस मामले में, उनके बीच का कोण शून्य के बराबर है, और डॉट उत्पाद सूत्र रूप लेता है:।

यदि सदिश को स्वयं से गुणा किया जाए तो क्या होगा? यह स्पष्ट है कि वेक्टर स्वयं के साथ सह-दिशा है, इसलिए हम उपरोक्त सरलीकृत सूत्र का उपयोग करते हैं:

नंबर कहा जाता है अदिश वर्गवेक्टर, और के रूप में निरूपित।

इस तरह, एक वेक्टर का अदिश वर्ग दिए गए वेक्टर की लंबाई के वर्ग के बराबर होता है:

इस समानता से, आप एक सदिश की लंबाई की गणना के लिए एक सूत्र प्राप्त कर सकते हैं:

हालांकि यह अस्पष्ट लगता है, लेकिन पाठ के कार्य सब कुछ अपनी जगह पर रख देंगे। समस्याओं को हल करने के लिए हमें भी चाहिए डॉट उत्पाद गुण.

मनमानी वैक्टर और किसी भी संख्या के लिए, निम्नलिखित गुण मान्य हैं:

1) - विस्थापित करने योग्य या विनिमेयअदिश उत्पाद कानून।

2) - वितरण या विभाजित करनेवालाअदिश उत्पाद कानून। बस, आप कोष्ठक का विस्तार कर सकते हैं।

3) - संयोजन या जोड़नेवालाअदिश उत्पाद कानून। स्थिरांक को डॉट उत्पाद से निकाला जा सकता है।

अक्सर, सभी प्रकार की संपत्तियां (जिन्हें साबित करने की भी आवश्यकता होती है!) छात्रों द्वारा अनावश्यक कचरे के रूप में माना जाता है, जिसे परीक्षा के ठीक बाद याद रखने और सुरक्षित रूप से भूल जाने की आवश्यकता होती है। ऐसा लगता है कि यहां क्या महत्वपूर्ण है, हर कोई पहली कक्षा से जानता है कि उत्पाद कारकों की पुनर्व्यवस्था से नहीं बदलता है:। मुझे आपको चेतावनी देनी चाहिए, उच्च गणित में इस दृष्टिकोण के साथ, लकड़ी को तोड़ना आसान है। इसलिए, उदाहरण के लिए, विस्थापन गुण के लिए मान्य नहीं है बीजीय आव्यूह... यह भी सच नहीं है वैक्टर का वेक्टर उत्पाद... इसलिए, यह समझने के लिए कि क्या किया जा सकता है और क्या नहीं, यह समझने के लिए कम से कम किसी भी गुण में तल्लीन करना बेहतर है जो आपको उच्च गणित के पाठ्यक्रम में आता है।

उदाहरण 3

.

समाधान:सबसे पहले, आइए वेक्टर के साथ स्थिति को स्पष्ट करें। आखिर यह क्या है? सदिशों का योग और एक सुपरिभाषित सदिश है, जिसे किसके द्वारा निरूपित किया जाता है। वैक्टर के साथ क्रियाओं की ज्यामितीय व्याख्या लेख में पाई जा सकती है डमी के लिए वेक्टर... एक वेक्टर के साथ एक ही अजमोद वैक्टर का योग है और।

तो, शर्त के अनुसार डॉट उत्पाद ढूंढना आवश्यक है। सिद्धांत रूप में, आपको कार्य सूत्र लागू करने की आवश्यकता है , लेकिन परेशानी यह है कि हम वैक्टर की लंबाई और उनके बीच के कोण को नहीं जानते हैं। लेकिन स्थिति वैक्टर के लिए समान पैरामीटर देती है, इसलिए हम दूसरी तरफ जाएंगे:

(1) स्थानापन्न सदिश व्यंजक।

(2) हम बहुपदों के गुणन के नियम के अनुसार कोष्ठक का विस्तार करते हैं, लेख में एक अशिष्ट जीभ जुड़वा पाया जा सकता है जटिल आंकड़ेया भिन्नात्मक परिमेय फलन का एकीकरण... मैं खुद को नहीं दोहराऊंगा =) वैसे, अदिश उत्पाद की वितरण संपत्ति हमें कोष्ठक का विस्तार करने की अनुमति देती है। हमें अधिकार है।

(3) पहले और अंतिम शब्दों में, हम वैक्टर के अदिश वर्ग को संक्षेप में लिखते हैं: ... दूसरे पद में, हम अदिश उत्पाद की क्रमपरिवर्तनीयता का उपयोग करते हैं:।

(4) हम समान शब्द देते हैं:।

(5) पहले पद में, हम अदिश वर्ग सूत्र का उपयोग करते हैं, जिसका उल्लेख बहुत पहले नहीं किया गया था। अंतिम पद में, क्रमशः, वही काम करता है:। हम मानक सूत्र के अनुसार दूसरे पद का विस्तार करते हैं .

(6) हम इन शर्तों को प्रतिस्थापित करते हैं , और सावधानी से अंतिम गणना करें।

उत्तर:

डॉट उत्पाद का ऋणात्मक मान इस तथ्य को बताता है कि सदिशों के बीच का कोण अधिक है।

कार्य विशिष्ट है, यहाँ एक स्वतंत्र समाधान के लिए एक उदाहरण है:

उदाहरण 4

सदिशों का डॉट गुणनफल ज्ञात कीजिए और, यदि यह ज्ञात हो कि .

अब एक और सामान्य कार्य, बस एक सदिश की लंबाई के लिए नए सूत्र के लिए। यहां पदनाम थोड़ा ओवरलैप करेंगे, इसलिए स्पष्टता के लिए, मैं इसे एक अलग अक्षर के साथ फिर से लिखूंगा:

उदाहरण 5

वेक्टर की लंबाई पाएं यदि .

समाधानइस प्रकार होगा:

(1) एक वेक्टर अभिव्यक्ति की आपूर्ति करें।

(2) हम लंबाई के सूत्र का उपयोग करते हैं:, जबकि संपूर्ण व्यंजक एक सदिश "ve" के रूप में कार्य करता है।

(3) हम योग के वर्ग के लिए स्कूल के सूत्र का उपयोग करते हैं। ध्यान दें कि यह यहाँ कैसे काम करता है: - वास्तव में, यह अंतर का वर्ग है, और वास्तव में, यह है। रुचि रखने वाले वैक्टर को स्थानों में पुनर्व्यवस्थित कर सकते हैं: - यह शर्तों के पुनर्व्यवस्था तक समान हो गया।

(4) बाकी पिछली दो समस्याओं से पहले से ही परिचित हैं।

उत्तर:

चूंकि हम लंबाई के बारे में बात कर रहे हैं, इसलिए आयाम - "इकाइयों" को इंगित करना न भूलें।

उदाहरण 6

वेक्टर की लंबाई पाएं यदि .

यह स्वयं करें समाधान के लिए एक उदाहरण है। ट्यूटोरियल के अंत में पूरा समाधान और उत्तर दें।

हम उपयोगी चीजों को डॉट उत्पाद से बाहर निकालना जारी रखते हैं। आइए हमारे सूत्र को फिर से देखें ... अनुपात के नियम के अनुसार, आइए वैक्टर की लंबाई को बाईं ओर के हर पर रीसेट करें:

और हम भागों की अदला-बदली करेंगे:

इस सूत्र का अर्थ क्या है? यदि आप दो वैक्टरों की लंबाई और उनके डॉट उत्पाद को जानते हैं, तो आप इन वैक्टरों के बीच के कोण के कोसाइन की गणना कर सकते हैं, और इसलिए, कोण ही।

क्या डॉट उत्पाद एक संख्या है? संख्या। सदिश संख्याओं की लंबाई हैं? अंक। अतः भिन्न भी एक निश्चित संख्या है। और यदि कोण की कोज्या ज्ञात हो: , फिर व्युत्क्रम फ़ंक्शन का उपयोग करके कोण को स्वयं खोजना आसान है: .

उदाहरण 7

सदिशों के बीच का कोण ज्ञात कीजिए और, यदि यह ज्ञात हो।

समाधान:हम सूत्र का उपयोग करते हैं:

गणना के अंतिम चरण में, एक तकनीक का उपयोग किया गया था - हर में तर्कहीनता का उन्मूलन। अपरिमेयता को समाप्त करने के लिए, मैंने अंश और हर को इससे गुणा किया।

तो यदि , फिर:

व्युत्क्रम त्रिकोणमितीय कार्यों के मूल्यों को पाया जा सकता है त्रिकोणमितीय तालिका... हालांकि ऐसा कम ही होता है। विश्लेषणात्मक ज्यामिति की समस्याओं में, किसी प्रकार का अनाड़ी भालू अधिक बार प्रकट होता है, और कोण का मान लगभग एक कैलकुलेटर का उपयोग करके पाया जाना है। दरअसल, ऐसी तस्वीर हम एक से ज्यादा बार देखेंगे।

उत्तर:

फिर से, आयाम - रेडियन और डिग्री इंगित करना न भूलें। व्यक्तिगत रूप से, जानबूझकर "सभी प्रश्नों को साफ़ करने" के लिए, मैं वह और वह दोनों को इंगित करना पसंद करता हूं (जब तक, निश्चित रूप से, शर्त के अनुसार, केवल रेडियन में या केवल डिग्री में उत्तर प्रस्तुत करना आवश्यक है)।

अब आप अपने दम पर अधिक कठिन कार्य का सामना करने में सक्षम होंगे:

उदाहरण 7 *

वैक्टर की लंबाई और उनके बीच का कोण दिया गया है। सदिशों के बीच का कोण ज्ञात कीजिए।

यह कार्य इतना कठिन भी नहीं है जितना कि बहु-चरणीय।
आइए समाधान एल्गोरिदम का विश्लेषण करें:

1) शर्त के अनुसार, सदिशों के बीच का कोण ज्ञात करना आवश्यक है और इसलिए, आपको सूत्र का उपयोग करने की आवश्यकता है .

2) डॉट उत्पाद खोजें (उदाहरण संख्या 3, 4 देखें)।

3) वेक्टर की लंबाई और वेक्टर की लंबाई पाएं (उदाहरण संख्या 5, 6 देखें)।

4) समाधान का अंत उदाहरण संख्या 7 के साथ मेल खाता है - हम संख्या जानते हैं, जिसका अर्थ है कि कोण को स्वयं खोजना आसान है:

ट्यूटोरियल के अंत में एक संक्षिप्त समाधान और उत्तर।

पाठ का दूसरा खंड उसी डॉट उत्पाद पर केंद्रित है। निर्देशांक। यह पहले भाग की तुलना में और भी आसान होगा।

वैक्टर का डॉट उत्पाद,
एक ऑर्थोनॉर्मल आधार में निर्देशांक द्वारा दिया गया

उत्तर:

कहने की जरूरत नहीं है, निर्देशांक से निपटना ज्यादा सुखद है।

उदाहरण 14

सदिशों का डॉट गुणनफल ज्ञात कीजिए और, यदि

यह स्वयं करें समाधान के लिए एक उदाहरण है। यहां आप ऑपरेशन की सहयोगीता का उपयोग कर सकते हैं, यानी गिनती न करें, लेकिन तुरंत स्केलर उत्पाद से ट्रिपल को हटा दें और इसके द्वारा गुणा करें। पाठ के अंत में समाधान और उत्तर।

पैराग्राफ के अंत में, वेक्टर की लंबाई की गणना करने का एक उत्तेजक उदाहरण:

उदाहरण 15

वैक्टर की लंबाई पाएं , अगर

समाधान:फिर से पिछले खंड का तरीका खुद ही सुझाता है:, लेकिन एक और तरीका है:

वेक्टर खोजें:

और इसकी लंबाई तुच्छ सूत्र के अनुसार :

डॉट उत्पाद यहाँ बिल्कुल भी सवाल से बाहर है!

व्यवसाय से बाहर होने पर यह वेक्टर की लंबाई की गणना करते समय होता है:
विराम। वेक्टर लंबाई की स्पष्ट संपत्ति का लाभ क्यों न लें? वेक्टर की लंबाई के बारे में क्या? यह वेक्टर वेक्टर से 5 गुना लंबा है। दिशा विपरीत है, लेकिन इससे कोई फर्क नहीं पड़ता, क्योंकि बात लंबाई की है। जाहिर है, वेक्टर की लंबाई उत्पाद के बराबर होती है मापांकसंख्या प्रति वेक्टर लंबाई:
- मॉड्यूल का संकेत संख्या के संभावित माइनस को "खाता है"।

इस तरह:

उत्तर:

सदिशों के बीच के कोण की कोज्या का सूत्र, जो निर्देशांक द्वारा दिया जाता है

अब हमारे पास सदिशों के बीच के कोण की कोज्या के लिए पहले से व्युत्पन्न सूत्र को सदिशों के निर्देशांकों के रूप में व्यक्त करने के लिए पूरी जानकारी है:

समतल के सदिशों के बीच के कोण की कोज्याऔर एक ऑर्थोनॉर्मल आधार पर दिया गया है, सूत्र द्वारा व्यक्त किया गया:
.

अंतरिक्ष सदिशों के बीच कोण की कोज्याएक ऑर्थोनॉर्मल आधार पर दिया गया, सूत्र द्वारा व्यक्त किया गया:

उदाहरण 16

त्रिभुज के तीन शीर्ष दिए गए हैं। खोजें (शीर्ष कोण)।

समाधान:शर्त के अनुसार, ड्राइंग करने की आवश्यकता नहीं है, लेकिन फिर भी:

आवश्यक कोण को हरे चाप से चिह्नित किया गया है। हम कोण के स्कूल पदनाम को तुरंत याद करते हैं: - विशेष ध्यान औसतपत्र - यह उस कोने का शीर्ष है जिसकी हमें आवश्यकता है। संक्षिप्तता के लिए, इसे सरलता से भी लिखा जा सकता है।

ड्राइंग से यह बिल्कुल स्पष्ट है कि त्रिभुज का कोण वैक्टर के बीच के कोण से मेल खाता है और दूसरे शब्दों में: .

यह सीखना वांछनीय है कि मानसिक रूप से किए गए विश्लेषण को कैसे किया जाए।

वैक्टर खोजें:

आइए डॉट उत्पाद की गणना करें:

और वैक्टर की लंबाई:

कोण की कोज्या:

यह उस कार्य को पूरा करने का क्रम है जो मैं चायदानी को सुझाता हूं। अधिक उन्नत पाठक "एक पंक्ति में" संगणना लिख ​​सकते हैं:

यहां "खराब" कोसाइन मान का एक उदाहरण दिया गया है। परिणामी मूल्य अंतिम नहीं है, इसलिए हर में तर्कहीनता से छुटकारा पाने का कोई मतलब नहीं है।

आइए स्वयं कोना खोजें:

यदि आप ड्राइंग को देखते हैं, तो परिणाम काफी प्रशंसनीय है। जाँच के लिए कोण को प्रोट्रैक्टर से भी मापा जा सकता है। मॉनिटर के कवर को नुकसान न पहुंचाएं =)

उत्तर:

उत्तर में, यह न भूलें कि त्रिभुज के कोण के बारे में पूछा(और वैक्टर के बीच के कोण के बारे में नहीं), सटीक उत्तर इंगित करना न भूलें: और कोण का अनुमानित मान: कैलकुलेटर के साथ मिला।

जिन लोगों ने इस प्रक्रिया का आनंद लिया है, वे कोणों की गणना कर सकते हैं और सुनिश्चित कर सकते हैं कि विहित समानता सत्य है

उदाहरण 17

एक त्रिभुज को अंतरिक्ष में उसके शीर्षों के निर्देशांक द्वारा परिभाषित किया जाता है। भुजाओं के बीच का कोण ज्ञात कीजिए तथा

यह स्वयं करें समाधान के लिए एक उदाहरण है। ट्यूटोरियल के अंत में पूरा समाधान और उत्तर दें

एक संक्षिप्त अंतिम खंड अनुमानों के लिए समर्पित होगा, जिसमें अदिश उत्पाद भी "मिश्रित" होता है:

वेक्टर-से-वेक्टर प्रक्षेपण। निर्देशांक अक्षों के लिए वेक्टर का प्रक्षेपण।
एक वेक्टर की दिशा कोज्या

वैक्टर पर विचार करें और:

हम वेक्टर को वेक्टर पर प्रोजेक्ट करते हैं, इसके लिए हम वेक्टर की शुरुआत और अंत से छोड़ देते हैं लंबवतप्रति वेक्टर (हरी बिंदीदार रेखाएं)। वेक्टर के लंबवत गिरने वाली प्रकाश की किरणों की कल्पना करें। तब खंड (लाल रेखा) वेक्टर की "छाया" होगी। इस मामले में, वेक्टर पर वेक्टर का प्रक्षेपण खंड की लंबाई है। यानी प्रोजेक्शन एक नंबर है।

इस NUMBER को इस प्रकार दर्शाया गया है: "बड़ा वेक्टर" एक वेक्टर को दर्शाता है के जोप्रोजेक्ट, "छोटा सबस्क्रिप्ट वेक्टर" एक वेक्टर को दर्शाता है परजिसे प्रक्षेपित किया जा रहा है।

रिकॉर्ड स्वयं इस तरह पढ़ता है: "वेक्टर का प्रक्षेपण" ए "वेक्टर पर" बीएच ""।

क्या होगा यदि वेक्टर "बीएस" "बहुत छोटा" है? हम वेक्टर "बी" युक्त एक सीधी रेखा खींचते हैं। और वेक्टर "ए" पहले से ही प्रक्षेपित किया जाएगा वेक्टर "बीएच" की दिशा में, बस - वेक्टर "बी" युक्त सीधी रेखा पर। ऐसा ही होगा यदि सदिश "ए" को तीसवें राज्य में स्थगित कर दिया जाता है - यह अभी भी वेक्टर "बीएच" वाली सीधी रेखा पर आसानी से प्रक्षेपित किया जाएगा।

अगर कोणवैक्टर के बीच मसालेदार(जैसा कि चित्र में है), तब

अगर वैक्टर ओर्थोगोनल, तब (प्रक्षेपण एक ऐसा बिंदु है जिसका आयाम शून्य माना जाता है)।

अगर कोणवैक्टर के बीच कुंद(आकृति में, मानसिक रूप से वेक्टर के तीर को पुनर्व्यवस्थित करें), फिर (समान लंबाई, लेकिन ऋण चिह्न के साथ लिया गया)।

आइए इन वैक्टरों को एक बिंदु से स्थगित करें:

जाहिर है, जब वेक्टर चलता है, तो उसका प्रक्षेपण नहीं बदलता है।