साइन अनुपात के बराबर है। साइन, कोसाइन, स्पर्शरेखा, एक तीव्र कोण का सहवर्ती
भाषण: साइन, कोसाइन, स्पर्शरेखा, एक मनमाना कोण का सहवर्ती
एक मनमाने कोण के साइन, कोसाइन
त्रिकोणमितीय कार्य क्या हैं, यह समझने के लिए, आइए इकाई त्रिज्या के साथ वृत्त की ओर मुड़ें। यह वृत्त समन्वित तल पर मूल में केंद्रित है। दिए गए कार्यों को निर्धारित करने के लिए, हम त्रिज्या वेक्टर का उपयोग करेंगे याजो वृत्त और बिंदु के केंद्र में शुरू होता है आर चक्र का बिंदु है। यह त्रिज्या वेक्टर अक्ष के साथ एक कोण अल्फा बनाता है ओह... चूंकि सर्कल में एक के बराबर त्रिज्या है, फिर ओपी \u003d आर \u003d १.
अगर बिंदु से आर अक्ष के लंबवत कम करें ओह, फिर हमें एक समकोण त्रिभुज मिलता है जिसमें एक के बराबर कर्ण होता है।
यदि त्रिज्या वेक्टर दक्षिणावर्त चलती है, तो इस दिशा को कहा जाता है नकारात्मक, अगर यह वामावर्त चलता है - सकारात्मक.
साइन कोण या, बिंदु का समन्वय है आर एक सर्कल में वैक्टर।
यही है, किसी दिए गए कोण अल्फा के साइन मूल्य प्राप्त करने के लिए, समन्वय को निर्धारित करना आवश्यक है है सतह पर।
यह मूल्य कैसे प्राप्त किया गया था? चूँकि हम जानते हैं कि एक समकोण त्रिभुज में एक मनमाना कोण का साइन कर्ण के विपरीत पैर का अनुपात है, हम इसे प्राप्त करते हैं
और तबसे आर \u003d 1तब फिर sin (α) \u003d y 0 .
यूनिट सर्कल में, ऑर्डिनेट का मान -1 से कम और 1 से अधिक नहीं हो सकता है, जिसका अर्थ है कि
इकाई चक्र की पहली और दूसरी तिमाही में साइन सकारात्मक है, और तीसरे और चौथे में नकारात्मक है।
कोसाइन कोण त्रिज्या वेक्टर द्वारा गठित एक दिया गया चक्र या, बिंदु का फरार है आर एक सर्कल में वैक्टर।
यही है, किसी दिए गए कोण अल्फा के कोसाइन के मूल्य को प्राप्त करने के लिए, समन्वय को निर्धारित करना आवश्यक है एक्स सतह पर।
एक समकोण त्रिभुज में एक मनमाना कोण का कोस आसन्न पैर का अनुपात कर्ण के लिए होता है, जो हमें मिलता है
और तबसे आर \u003d 1तब फिर cos (α) \u003d x 0 .
यूनिट सर्कल में, एब्सिस्सा का मान -1 से कम और 1 से अधिक नहीं हो सकता है, जिसका अर्थ है कि
कोसाइन यूनिट सर्कल के पहले और चौथे क्वार्टर में सकारात्मक है, और दूसरे और तीसरे में नकारात्मक है।
स्पर्शरेखा मनमाना कोण कोसाइन टू साइन का अनुपात माना जाता है।
यदि हम एक समकोण त्रिभुज पर विचार करते हैं, तो यह आसन्न के विपरीत पैर का अनुपात है। अगर हम यूनिट सर्कल के बारे में बात कर रहे हैं, तो यह अनुपस्थिति के लिए तालमेल का अनुपात है।
इन अनुपातों को देखते हुए, कोई यह समझ सकता है कि यदि अनुपस्थित मान शून्य है, अर्थात 90 डिग्री के कोण पर स्पर्शरेखा मौजूद नहीं हो सकती। स्पर्शरेखा अन्य सभी मूल्यों को ले सकती है।
स्पर्शरेखा इकाई सर्कल के पहले और तीसरे तिमाही में सकारात्मक है, और दूसरे और चौथे में नकारात्मक है।
त्रिकोणमिति, एक विज्ञान के रूप में, प्राचीन पूर्व में उत्पन्न हुई। पहले त्रिकोणमितीय अनुपात खगोलविदों द्वारा एक सटीक कैलेंडर और स्टार अभिविन्यास बनाने के लिए निकाले गए थे। गोलाकार त्रिकोणमिति से संबंधित ये गणनाएँ, जबकि स्कूली पाठ्यक्रम में वे समतल त्रिभुज के पहलू अनुपात और कोण का अध्ययन करते हैं।
त्रिकोणमिति गणित की एक शाखा है जो त्रिकोणमितीय कार्यों के गुणों और त्रिकोण के पक्षों और कोणों के बीच के संबंधों से संबंधित है।
पहली सहस्राब्दी ईस्वी की संस्कृति और विज्ञान के दौरान, ज्ञान प्राचीन पूर्व से ग्रीस तक फैल गया। लेकिन त्रिकोणमिति की मुख्य खोजों में अरब खलीफा के पुरुषों की योग्यता है। विशेष रूप से, तुर्कमेन वैज्ञानिक अल-मरज़वी ने स्पर्शरेखा और कॉटैंगेंट जैसे कार्यों को पेश किया, जो साइन, टेंगेंट्स और कॉटैंगेंट्स के मूल्यों के पहले तालिकाओं को संकलित किया। साइन और कोसाइन की अवधारणा भारतीय वैज्ञानिकों द्वारा पेश की गई थी। यूक्लिड, आर्किमिडीज़ और एराटोस्थनीज़ के रूप में पुरातनता के ऐसे महान आंकड़ों के कामों में त्रिकोणमिति पर बहुत ध्यान दिया जाता है।
त्रिकोणमिति की मूल मात्रा
एक संख्यात्मक तर्क के मूल त्रिकोणमितीय कार्य साइन, कोसाइन, स्पर्शरेखा और कॉटेजेंट हैं। उनमें से प्रत्येक का अपना ग्राफ है: साइन, कोसाइन, स्पर्शरेखा और कॉटंगेंट।
इन राशियों के मूल्यों की गणना करने के सूत्र पाइथागोरस प्रमेय पर आधारित हैं। स्कूली बच्चों को शब्दांकन में यह बेहतर पता है: "पायथागॉरियन पैंट, सभी दिशाओं में बराबर", क्योंकि प्रमाण समद्विबाहु समकोण त्रिभुज के उदाहरण पर दिया गया है।
साइन, कोसाइन और अन्य निर्भरताएं तीव्र कोण और किसी भी समकोण त्रिभुज के पक्षों के बीच संबंध स्थापित करती हैं। चलो कोण ए के लिए इन मूल्यों की गणना के लिए सूत्र देते हैं और त्रिकोणमितीय कार्यों के संबंध का पता लगाते हैं:
जैसा कि आप देख सकते हैं, tg और ctg उल्टे कार्य हैं। यदि हम पैर को पाप ए और कर्ण के उत्पाद के रूप में दर्शाते हैं, और पैर बी को कॉस ए * सी के रूप में देखते हैं, तो हमें स्पर्शरेखा और अपंग के लिए निम्नलिखित सूत्र मिलते हैं:
त्रिकोणमितीय वृत्त
आलेखीय रूप से, इन राशियों के अनुपात को निम्नानुसार दर्शाया जा सकता है:
सर्कल, इस मामले में, कोण α के सभी संभावित मूल्यों का प्रतिनिधित्व करता है - 0 ° से 360 ° तक। जैसा कि आप आंकड़ा से देख सकते हैं, प्रत्येक फ़ंक्शन कोण के आधार पर नकारात्मक या सकारात्मक मान लेता है। उदाहरण के लिए, पाप α एक "+" संकेत के साथ होगा यदि α एक सर्कल के I और II तिमाहियों से संबंधित है, अर्थात, 0 ° से 180 ° की सीमा में है। जब α 180 ° से 360 ° (III और IV तिमाहियों) तक होता है, तो पाप α केवल नकारात्मक हो सकता है।
आइए विशिष्ट कोणों के लिए त्रिकोणमितीय तालिकाओं का निर्माण करने का प्रयास करें और मात्राओं का मूल्य ज्ञात करें।
Α का मान ३० °, ४५ °, ६० °, ९ ० °, १ so० ° और इसी तरह के मामलों को विशेष मामले कहा जाता है। उनके लिए त्रिकोणमितीय कार्यों के मूल्यों की गणना और विशेष तालिकाओं के रूप में प्रस्तुत की जाती है।
इन कोणों को संयोग से नहीं चुना गया था। तालिकाओं में पदनाम π रेडियन के लिए खड़ा है। रेड वह कोण है जिस पर एक गोलाकार चाप की लंबाई इसकी त्रिज्या से मेल खाती है। यह मूल्य एक सार्वभौमिक निर्भरता स्थापित करने के लिए पेश किया गया था, जब रेडियन में गणना की जाती है, तो सेमी में त्रिज्या की वास्तविक लंबाई कोई फर्क नहीं पड़ता।
त्रिकोणमितीय कार्यों के लिए तालिकाओं में कोण रेडियन के मूल्यों के अनुरूप हैं:
इसलिए, यह अनुमान लगाना मुश्किल नहीं है कि 2π एक पूर्ण चक्र या 360 ° है।
त्रिकोणमितीय कार्यों के गुण: साइन और कोसाइन
साइन और कोसाइन के मुख्य गुणों पर विचार करने और तुलना करने के लिए, स्पर्शरेखा और कॉटेजेंट, उनके कार्यों को आकर्षित करना आवश्यक है। यह एक द्वि-आयामी समन्वय प्रणाली में स्थित वक्र के रूप में किया जा सकता है।
साइन वेव और कोसाइन वेव के लिए गुणों की तुलनात्मक तालिका पर विचार करें:
| sinusoid | कोज्या |
|---|---|
| य \u003d पाप x | y \u003d cos x |
| ODZ [-1; एक] | ODZ [-1; एक] |
| पाप x \u003d 0, x \u003d πk के लिए, जहां k for Z | cos x \u003d 0, x \u003d π / 2 + ,k के लिए, जहां k for Z |
| पाप x \u003d 1, x \u003d π / 2 + 2 ,k के लिए, जहां k for Z | cos x \u003d 1, x \u003d 2πk के लिए, जहां k for Z |
| sin x \u003d - 1, x \u003d 3π / 2 + 2 ,k के लिए, जहां k - Z | cos x \u003d - 1, x \u003d π + 2 ,k के लिए, जहां k, Z |
| sin (-x) \u003d - sin x, अर्थात फ़ंक्शन विषम है | cos (-x) \u003d cos x, अर्थात फ़ंक्शन सम है |
| फ़ंक्शन आवधिक है, सबसे छोटी अवधि 2, है | |
| पाप x ›0, I और II तिमाहियों से संबंधित x के लिए या 0 ° से 180 ° (2πk, π +,,,) | cos x ›0, x से I और IV चतुर्थांश के लिए या 270 ° से 90 ° (- π / 2 + 2πk, π / 2 + 2πk) |
| पाप x 0, III और IV तिमाही से संबंधित x या 180 ° से 360 ° (π + 2πk, 2π + 2πk) के लिए | cos x 0, x का संबंध II और III क्वार्टर से है या 90 ° से 270 ° (π / 2 + 2πk, 3π / 2 + 2πk) |
| अंतराल पर वृद्धि [- [/ 2 + 2 ,k, 2/2 + 2 interk] | अंतराल पर वृद्धि [-π + 2πk, 2 ]k] |
| अंतराल पर घट जाती है [inter / 2 + 2 ,k, 3 2/2 + 2πk] | अंतराल में कम हो जाती है |
| व्युत्पन्न (पाप x) '\u003d cos x | व्युत्पन्न (cos x) '\u003d - पाप x |
यह निर्धारित करना कि कोई फ़ंक्शन समान है या नहीं, बहुत सरल है। त्रिकोणमितीय मात्राओं के संकेतों के साथ त्रिकोणमितीय सर्कल की कल्पना करना पर्याप्त है और ओएक्स अक्ष के बारे में ग्राफ को मानसिक रूप से "जोड़ना" है। यदि संकेत मेल खाते हैं, तो फ़ंक्शन समान है, अन्यथा यह विषम है।
रेडियंस का परिचय और एक साइनसॉइड और कोसाइन के मुख्य गुणों की गणना हमें निम्नलिखित पैटर्न देने की अनुमति देती है:
यह सुनिश्चित करना बहुत आसान है कि सूत्र सही है। उदाहरण के लिए, x \u003d π / 2 के लिए साइन 1 है, जैसा कि कोजाइन x \u003d 0. है। चेक को टेबलों के संदर्भ में या दिए गए मानों के लिए फ़ंक्शंस के कर्व्स को ट्रेस करके किया जा सकता है।
स्पर्शज्या और कोटेन्गेंटोइड गुण
स्पर्शरेखा और कॉटेजेंट कार्यों के भूखंड साइन और कोसाइन से काफी भिन्न होते हैं। Tg और ctg मान एक दूसरे के विपरीत होते हैं।
- य \u003d तग x।
- Tangensoid x \u003d 2/2 + butk पर y-मानों पर जाता है, लेकिन कभी भी उन तक नहीं पहुंचता है।
- स्पर्शरेखा का सबसे छोटा सकारात्मक काल of है।
- Tg (- x) \u003d - tg x, अर्थात, फ़ंक्शन विषम है।
- Tg x \u003d 0, x \u003d xk के लिए।
- कार्य बढ़ रहा है।
- Tg x\u003e 0, x ϵ (,k, 2/2 + ›k) के लिए।
- Tg x 0, x ϵ (- 2/2 + πk, ‹k) के लिए।
- व्युत्पन्न (टीजी x) '\u003d 1 / cos 2 gx।
पाठ में नीचे एक खाटिका के चित्रमय प्रतिनिधित्व पर विचार करें।
एक कोटेन्जेंसॉइड के मुख्य गुण:
- Y \u003d ctg x।
- साइन और कोसाइन फ़ंक्शन के विपरीत, स्पर्शरेखा में Y सभी वास्तविक संख्याओं के सेट के मूल्यों को ले सकता है।
- Cotangensoid x \u003d butk पर y के मानों पर जाता है, लेकिन कभी भी उन तक नहीं पहुंचता है।
- एक कोटिजेन्सॉइड की सबसे छोटी सकारात्मक अवधि of है।
- Ctg (- x) \u003d - ctg x, अर्थात फ़ंक्शन विषम है।
- सीटीजी एक्स \u003d 0, एक्स \u003d π / 2 + .k के लिए।
- फलन घट रहा है।
- Ctg x\u003e 0, x ϵ (,k, 2/2 + ›k) के लिए।
- सीटीजी एक्स 0, एक्स ϵ (2/2 + πk, ‹k) के लिए।
- व्युत्पन्न (ctg x) '\u003d - 1 / पाप 2 rectx सही
साइन को कैसे खोजें?
ज्यामिति का अध्ययन सोच को विकसित करने में मदद करता है। यह विषय स्कूल प्रशिक्षण में आवश्यक रूप से शामिल है। जीवन में, इस विषय का ज्ञान उपयोगी हो सकता है - उदाहरण के लिए, जब एक अपार्टमेंट की योजना बना रहे हों।
इतिहास से
ज्यामिति पाठ्यक्रम के भाग के रूप में, त्रिकोणमिति का भी अध्ययन किया जाता है, जो त्रिकोणमितीय कार्यों की जाँच करता है। त्रिकोणमिति में, हम कोण की साइन, कोसाइन, स्पर्शरेखा और कॉटैंगेंट्स का अध्ययन करते हैं।
लेकिन अभी के लिए, आइए सबसे सरल बात से शुरू करें - साइन। आइए बहुत पहले अवधारणा पर करीब से नज़र डालें - ज्यामिति में एक कोण की साइन। साइन क्या है और आप इसे कैसे ढूंढते हैं?
"साइन कोण" और साइनसोइड्स की अवधारणा
कोण का साइन विपरीत पैर के मूल्यों और दाएं त्रिभुज के कर्ण का अनुपात है। यह एक प्रत्यक्ष त्रिकोणमितीय फ़ंक्शन है, जिसे "sin (x)" के रूप में लिखा जाता है, जहां (x) त्रिकोण का कोण है।
ग्राफ पर, एक कोण की साइन को एक साइनसॉइड द्वारा अपनी विशेषताओं के साथ निरूपित किया जाता है। एक साइनसॉइड एक निरंतर लहराती रेखा की तरह दिखता है जो समन्वय विमान पर कुछ सीमाओं के भीतर होता है। फ़ंक्शन विषम है, इसलिए यह समन्वय विमान पर 0 के संबंध में सममित है (यह निर्देशांक की उत्पत्ति को छोड़ देता है)।
इस समारोह का दायरा कार्टेशियन समन्वय प्रणाली में -1 से +1 तक है। साइन कोण फ़ंक्शन की अवधि 2 पाई है। इसका मतलब है कि हर 2 पीआई पैटर्न को दोहराया जाता है और साइनसॉइड एक पूर्ण चक्र से गुजरता है।
साइनसॉइड समीकरण
- पाप x \u003d a / c
- जहां एक त्रिकोण के कोण के विपरीत पैर है
- सी - एक सही त्रिकोण का कर्ण
साइन एंगल गुण
- sin (x) \u003d - sin (x)। यह सुविधा दर्शाती है कि फ़ंक्शन सममित है, और यदि हम दोनों दिशाओं में समन्वय प्रणाली पर x और (-x) के मानों को बंद कर देते हैं, तो इन बिंदुओं के निर्देशांक विपरीत होंगे। वे एक-दूसरे से समानतावादी होंगे।
- इस फ़ंक्शन की एक और विशेषता यह है कि फ़ंक्शन का ग्राफ अंतराल पर बढ़ता है [- पी / 2 + 2 पीएन]; [संख्या / 2 + 2 आरईजीएन], जहां n कोई पूर्णांक है। कोण के साइन के ग्राफ में कमी सेगमेंट पर देखी जाएगी: [पी / 2 + 2 पीएन]; [३ पी / २ + २ पीएन]।
- पाप (x)\u003e 0 जब x सीमा में होता है (2Пn, П + 2Пn)
- (एक्स)< 0, когда х находится в диапазоне (-П+2Пn, 2Пn)
कोण की सीन्स का मान विशेष तालिकाओं के अनुसार निर्धारित किया जाता है। ऐसी तालिकाएँ जटिल सूत्रों और समीकरणों की गणना की प्रक्रिया को सुविधाजनक बनाने के लिए बनाई गई हैं। इसका उपयोग करना आसान है और इसमें न केवल पाप (x) फ़ंक्शन के मान शामिल हैं, बल्कि अन्य कार्यों के मूल्य भी हैं।
इसके अलावा, इन कार्यों के मानक मूल्यों की तालिका को अनिवार्य मेमोरी अध्ययन में गुणा तालिका के रूप में शामिल किया गया है। यह शारीरिक और गणितीय पूर्वाग्रह वाली कक्षाओं के लिए विशेष रूप से सच है। तालिका में आप त्रिकोणमिति में प्रयुक्त मुख्य कोणों के मान देख सकते हैं: 0, 15, 30, 45, 60, 75, 90, 120, 135, 150, 180, 270 और 360 डिग्री।
एक तालिका भी है जो गैर-मानक कोणों के त्रिकोणमितीय कार्यों के मूल्यों को निर्धारित करती है। विभिन्न तालिकाओं का उपयोग करके, आप आसानी से कुछ कोणों के साइन, कोसाइन, स्पर्शरेखा और कॉटेजेंट की गणना कर सकते हैं।
त्रिकोणमितीय कार्यों के साथ समीकरणों की रचना की जाती है। यदि आप सरल त्रिकोणमितीय पहचान और कार्यों के रूपांतरणों को जानते हैं, तो इन समीकरणों को हल करना आसान है, उदाहरण के लिए, जैसे कि पाप (P / 2 + x) \u003d cos (x) और अन्य। ऐसी जातियों के लिए एक अलग तालिका भी संकलित की गई है।
एक कोण की साइन को कैसे खोजें
जब कार्य किसी कोण की साइन को खोजने के लिए होता है, और शर्त के अनुसार हमारे पास केवल एक कोण के कोसाइन, स्पर्शरेखा या कॉटेजेंट होते हैं, तो हम आसानी से गणना कर सकते हैं कि हमें त्रिकोणमितीय पहचान का उपयोग करके क्या चाहिए।
- sin 2 x + cos 2 x \u003d 1
इस समीकरण के आधार पर, हम साइन और कोज़ीन दोनों पा सकते हैं, जिसके आधार पर अज्ञात है। हमें एक अज्ञात के साथ एक त्रिकोणमितीय समीकरण मिलता है:
- पाप 2 x \u003d 1 - cos 2 x
- sin x \u003d ± √ 1 - cos 2 x
- ctg 2 x + 1 \u003d 1 / sin 2 x
इस समीकरण से, आप कोण के कॉटेजेंट के मूल्य को जानकर साइन वैल्यू पा सकते हैं। सरलता के लिए, पाप 2 x \u003d y को बदलें, और फिर आपके पास एक सरल समीकरण है। उदाहरण के लिए, कॉटेजेंट वैल्यू 1 है, तब:
- 1 + 1 \u003d 1 / y
- 2 \u003d 1 / वाई
- 2y \u003d 1
- y \u003d १/२
अब हम खेल के रिवर्स प्रतिस्थापन करते हैं:
- पाप 2 x \u003d ½
- पाप x \u003d 1 / √2
चूंकि हमने मानक कोण (45 0) के लिए कॉटंगेंट मान लिया, प्राप्त मानों को तालिका के खिलाफ जांच की जा सकती है।
यदि आपको स्पर्शरेखा का मान दिया जाता है, लेकिन आपको साइन खोजने की आवश्यकता है, तो एक और त्रिकोणमितीय पहचान मदद करेगी:
- tg x * ctg x \u003d 1
यह इस प्रकार है कि:
- ctg x \u003d 1 / tg x
गैर-मानक कोण की साइन को खोजने के लिए, उदाहरण के लिए, 240 0, आपको कोण घटाने के सूत्र का उपयोग करने की आवश्यकता है। हम जानते हैं कि π 180 0 से मेल खाती है। इस प्रकार, हम विस्तार द्वारा मानक कोणों के संदर्भ में अपनी समानता व्यक्त करेंगे।
- 240 0 = 180 0 + 60 0
हमें निम्नलिखित खोजने की आवश्यकता है: पाप (180 0 + 60 0)। त्रिकोणमिति में ऐसे सूत्र होते हैं जो इस मामले में काम आते हैं। यह सूत्र है:
- sin () + x) \u003d - sin (x)
इस प्रकार, 240 डिग्री के कोण का साइन है:
- sin (180 0 + 60 0) \u003d - sin (60 0) \u003d - 23/2
हमारे मामले में, x \u003d 60, और P, क्रमशः 180 डिग्री। हमने मानक कोणों के कार्यों के मूल्यों की तालिका से मूल्य (-found3 / 2) पाया।
इस तरह, गैर-मानक कोणों का विस्तार किया जा सकता है, उदाहरण के लिए: 210 \u003d 180 + 30।
साइनस एक समकोण त्रिभुज का तीव्र कोण α अनुपात है सामने कर्ण को पैर।
इसे इस रूप में निर्दिष्ट किया गया है: पाप α।
कोज्या एक समकोण त्रिभुज का तीव्र कोण α कर्ण के निकटवर्ती पैर का अनुपात है।
इसे इस रूप में निर्दिष्ट किया गया है: cos α।
स्पर्शरेखा तीव्र कोण α आसन्न पैर के विपरीत पैर का अनुपात है।
इसे निम्नानुसार नामित किया गया है: tg α।
खटिया तीव्र कोण α विपरीत पैर के आसन्न पैर का अनुपात है।
इसे निम्नानुसार नामित किया गया है: ctg α।
कोण के साइन, कोसाइन, स्पर्शरेखा और कॉटेजेंट केवल कोण के परिमाण पर निर्भर करते हैं।
नियम:
एक सही त्रिकोण में बुनियादी त्रिकोणमितीय पहचान:
(α - पैर के विपरीत एक तीव्र कोण ख और पैर से सटे हुए ए ... पक्ष से - कर्ण। β दूसरा तीव्र कोण है)।
ख | sin 2 α + cos 2 α \u003d 1 | |
ए | 1 | |
ख | 1 | |
ए | 1 1 | |
पाप α |
बढ़ते तीव्र कोण के साथपाप α औरtg α वृद्धि, औरcos α घटता है।
किसी भी तीव्र कोण के लिए α:
sin (90 ° - α) \u003d cos α
cos (90 ° - α) \u003d sin α
उदाहरण स्पष्टीकरण:
एक समकोण त्रिभुज ABC में दें
एबी \u003d 6,
बीसी \u003d 3,
कोण A \u003d 30 A।
कोण A की कोण और कोण B की कोज्या ज्ञात कीजिए।
फेसला ।
1) सबसे पहले, हम कोण बी का मान पाते हैं। सब कुछ सरल है: चूंकि समकोण त्रिभुज में तीव्र कोण का योग 90 ° है, तो कोण B \u003d 60 °:
बी \u003d 90º - 30º \u003d 60º।
2) पाप ए की गणना करें। हम जानते हैं कि साइन कर्ण के विपरीत पैर के अनुपात के बराबर है। कोण ए के लिए, विपरीत पैर ई.पू. इसलिए:
ईसा पूर्व ३ १
पाप ए \u003d - \u003d - \u003d -
एबी ६ २
3) अब हम cos B. की गणना करते हैं। हम जानते हैं कि cosine, आसन्न पैर के कर्ण के अनुपात के बराबर है। कोण बी के लिए, आसन्न पैर बीसी एक ही पक्ष है। इसका अर्थ है कि हमें फिर से AB को AB से विभाजित करने की आवश्यकता है - अर्थात, कोण A के साइन की गणना करते समय उसी क्रिया को करें:
ईसा पूर्व ३ १
cos B \u003d - \u003d - \u003d -
एबी ६ २
परिणाम है:
sin A \u003d cos B \u003d 1/2।
sin 30 sin \u003d cos 60º \u003d 1/2।
यह इस प्रकार है कि एक समकोण त्रिभुज में एक तीव्र कोण की साइन दूसरे तीव्र कोण के कोसाइन के बराबर है - और इसके विपरीत। यह हमारे दो सूत्रों का मतलब है:
sin (90 ° - α) \u003d cos α
cos (90 ° - α) \u003d sin α
चलिए फिर से यह सुनिश्चित करते हैं:
1) α \u003d 60º। साइन सूत्र में α के मान को प्रतिस्थापित करते हुए, हमें यह मिलता है:
sin (90º - 60º) \u003d cos 60º।
sin 30 sin \u003d cos 60º।
2) आज्ञा दें α \u003d 30º। Α के मूल्य को कोसाइन सूत्र में प्रतिस्थापित करते हुए, हम प्राप्त करते हैं:
cos (90 ° - 30 °) \u003d पाप 30 °।
cos 60 ° \u003d sin 30 °।
(त्रिकोणमिति पर अधिक जानकारी के लिए, बीजगणित अनुभाग देखें)
हम एक समकोण त्रिभुज के साथ त्रिकोणमिति का अध्ययन शुरू करेंगे। आइए परिभाषित करें कि साइन और कोज़ाइन क्या हैं, साथ ही साथ एक तीव्र कोण के स्पर्शरेखा और कॉटंगेंट भी हैं। ये त्रिकोणमिति की मूल बातें हैं।
याद करें कि समकोण 90 डिग्री का कोण है। दूसरे शब्दों में, एक चपटा कोने का आधा हिस्सा।
तेज़ कोने - 90 डिग्री से कम।
अधिक कोण - 90 डिग्री से अधिक। जब इस तरह के कोने पर लागू किया जाता है, तो "गूंगा" अपमान नहीं है, लेकिन एक गणितीय शब्द है :-)
चलो एक सही त्रिकोण बनाते हैं। एक समकोण आमतौर पर इंगित किया जाता है। ध्यान दें कि कोने के विपरीत पक्ष को एक ही अक्षर द्वारा दर्शाया गया है, केवल छोटा। तो, कोने ए के विपरीत पक्ष को निरूपित किया जाता है।
कोण को संबंधित ग्रीक अक्षर द्वारा इंगित किया गया है।
कर्ण समकोण त्रिभुज समकोण के विपरीत भुजा है।
पैर- किनारे नुकीले कोने वाले।
कोने के विपरीत पैर को कहा जाता है विरोध करने (कोने के संबंध में)। एक और पैर, जो कोने के एक तरफ स्थित है, कहा जाता है सटा हुआ.
साइनस एक समकोण त्रिभुज में एक तीव्र कोण विपरीत पैर के कर्ण के अनुपात है:
कोज्या समकोण त्रिभुज में एक तीव्र कोण समीपस्थ पैर के कर्ण के अनुपात है:
स्पर्शरेखा समकोण त्रिभुज में एक तीव्र कोण समीपवर्ती वाले के विपरीत पैर का अनुपात है:
एक और (समतुल्य) परिभाषा: एक तीव्र कोण की स्पर्शरेखा एक कोण के साइन के अनुपात से उसके कोसाइन:
खटिया समकोण त्रिभुज में एक तीव्र कोण समीपवर्ती पैर के विपरीत एक का अनुपात है (या, जो कि एक ही है, कोसाइन को साइन का अनुपात):
नीचे साइन, कोसाइन, स्पर्शरेखा और खाट के लिए बुनियादी संबंधों पर ध्यान दें। समस्याओं को हल करते समय वे हमारे लिए उपयोगी होंगे।
आइए उनमें से कुछ को साबित करते हैं।
ठीक है, हमने सूत्रों को परिभाषित और लिखा है। और साइन, कोसाइन, स्पर्शरेखा और कॉटंगेंट क्या हैं?
हम जानते हैं कि किसी भी त्रिभुज के कोण का योग है.
हम दोनों के बीच संबंध जानते हैं दलों सही त्रिकोण। यह पाइथागोरस प्रमेय है:।
यह पता चला है कि एक त्रिकोण में दो कोणों को जानने के बाद, आप तीसरे को पा सकते हैं। एक समकोण त्रिभुज में दो पक्षों को जानने के बाद, आप तीसरा पा सकते हैं। इसका मतलब है कि कोनों के लिए - इसका अपना अनुपात, पक्षों के लिए - इसका अपना। लेकिन क्या होगा यदि एक समकोण त्रिभुज में एक कोण ज्ञात होता है (दायें को छोड़कर) और एक तरफ, लेकिन आपको अन्य पक्षों को खोजने की आवश्यकता है?
लोगों ने अतीत में इसका सामना किया, क्षेत्र और तारों वाले आकाश के नक्शे बनाए। आखिरकार, एक त्रिकोण के सभी पक्षों को सीधे मापना हमेशा संभव नहीं होता है।
साइन, कोसाइन और स्पर्शरेखा - उन्हें भी कहा जाता है एक कोण के त्रिकोणमितीय कार्य - बीच का रिश्ता दें दलों तथा कोनों त्रिकोण। कोण को जानने के बाद, आप विशेष तालिकाओं का उपयोग करके इसके सभी त्रिकोणमितीय फ़ंक्शन पा सकते हैं। और एक त्रिभुज के कोणों की साइन, कोसाइन और स्पर्शरेखाओं को जानते हुए, आप इसके बाकी हिस्सों को पा सकते हैं।
हम "अच्छे" कोणों के लिए साइन, कोसाइन, स्पर्शरेखा और कॉटंगेंट मानों की एक तालिका भी बनाएंगे।
तालिका में दो लाल डैश पर ध्यान दें। स्पर्शरेखा और कॉटेजेंट संबंधित कोण के लिए मौजूद नहीं हैं।
आइए FIPI टास्क बैंक से कई त्रिकोणमिति कार्यों का विश्लेषण करें।
1. एक त्रिकोण में, कोण है,। का पता लगाएं।
समस्या चार सेकंड में हल हो जाती है।
जहां तक \u200b\u200bकि , ।
२। एक त्रिभुज में, कोण है ,,। का पता लगाएं।
पाइथागोरस प्रमेय द्वारा खोजें।
समस्या सुलझा ली गई है।
कोनों और या कोनों के साथ त्रिकोण अक्सर समस्याओं में सामना किया जाता है। उनके लिए मूल अनुपात याद रखें!
कोनों के साथ एक त्रिकोण के लिए और कोण बी के विपरीत एक पैर के बराबर है कर्ण का आधा भाग.
कोनों के साथ एक त्रिकोण और समद्विबाहु है। इसमें, कर्ण पैर से कई गुना बड़ा है।
हमने समकोण त्रिभुजों को हल करने की समस्या की जांच की - अर्थात अज्ञात पक्षों या कोणों को खोजना। लेकिन वह सब नहीं है! गणित में परीक्षा के संस्करणों में, कई समस्याएं हैं जहां त्रिकोण के बाहरी कोने में साइन, कोसाइन, स्पर्शरेखा या कॉटेजेंट दिखाई देता है। इसके बारे में अगले लेख में।
