त्रिकोणमितीय समीकरण कैसे हल करें. त्रिकोणमितीय समीकरण
त्रिकोणमितीय समीकरण कोई आसान विषय नहीं है। वे बहुत विविध हैं।) उदाहरण के लिए, ये:
पाप 2 x + cos3x = ctg5x
पाप(5x+π /4) = cot(2x-π /3)
synx + cos2x + tg3x = ctg4x
वगैरह...
लेकिन इन (और अन्य सभी) त्रिकोणमितीय राक्षसों में दो सामान्य और अनिवार्य विशेषताएं हैं। पहला - आप इस पर विश्वास नहीं करेंगे - समीकरणों में त्रिकोणमितीय फलन हैं।) दूसरा: x के साथ सभी अभिव्यक्तियाँ पाई जाती हैं इन्हीं कार्यों के अंतर्गत.और केवल वहाँ! यदि X कहीं दिखाई देता है बाहर,उदाहरण के लिए, पाप2x + 3x = 3,यह पहले से ही मिश्रित प्रकार का समीकरण होगा। ऐसे समीकरणों के लिए व्यक्तिगत दृष्टिकोण की आवश्यकता होती है। हम यहां उन पर विचार नहीं करेंगे.
हम इस पाठ में बुरे समीकरणों को भी हल नहीं करेंगे।) यहां हम निपटेंगे सबसे सरल त्रिकोणमितीय समीकरण.क्यों? हाँ क्योंकि समाधान कोईत्रिकोणमितीय समीकरण में दो चरण होते हैं। पहले चरण में, विभिन्न परिवर्तनों के माध्यम से दुष्ट समीकरण को सरल बना दिया जाता है। दूसरे पर, यह सरलतम समीकरण हल हो गया है। कोई दूसरा रास्ता नहीं।
इसलिए, यदि आपको दूसरे चरण में समस्या है, तो पहले चरण का कोई खास मतलब नहीं है।)
प्रारंभिक त्रिकोणमितीय समीकरण कैसे दिखते हैं?
सिनएक्स = ए
कॉसक्स = ए
टीजीएक्स = ए
सीटीजीएक्स = ए
यहाँ ए किसी भी संख्या को दर्शाता है. कोई भी।
वैसे, किसी फ़ंक्शन के अंदर शुद्ध X नहीं, बल्कि कुछ प्रकार की अभिव्यक्ति हो सकती है, जैसे:
cos(3x+π /3) = 1/2
वगैरह। यह जीवन को जटिल बनाता है, लेकिन त्रिकोणमितीय समीकरण को हल करने की विधि को प्रभावित नहीं करता है।
त्रिकोणमितीय समीकरण कैसे हल करें?
त्रिकोणमितीय समीकरणों को दो तरीकों से हल किया जा सकता है। पहला तरीका: तर्क और त्रिकोणमितीय वृत्त का उपयोग करना। हम यहां इस रास्ते को देखेंगे. दूसरे तरीके - स्मृति और सूत्रों का उपयोग - पर अगले पाठ में चर्चा की जाएगी।
पहला तरीका स्पष्ट, विश्वसनीय और भूलना मुश्किल है।) यह त्रिकोणमितीय समीकरणों, असमानताओं और सभी प्रकार के पेचीदा गैर-मानक उदाहरणों को हल करने के लिए अच्छा है। तर्क स्मृति से अधिक मजबूत है!)
त्रिकोणमितीय वृत्त का उपयोग करके समीकरणों को हल करना।
हम प्राथमिक तर्क और त्रिकोणमितीय वृत्त का उपयोग करने की क्षमता शामिल करते हैं। पता नहीं कैसे? हालाँकि... आपको त्रिकोणमिति में कठिन समय लगेगा...) लेकिन इससे कोई फर्क नहीं पड़ता। "त्रिकोणमितीय वृत्त...... यह क्या है?" पाठ पर एक नज़र डालें। और "त्रिकोणमितीय वृत्त पर कोण मापना।" वहां सब कुछ सरल है. पाठ्यपुस्तकों के विपरीत...)
ओह आप जानते हैं!? और यहां तक कि "त्रिकोणमितीय वृत्त के साथ व्यावहारिक कार्य" में भी महारत हासिल है!? बधाई हो। यह विषय आपके करीब और समझने योग्य होगा।) विशेष रूप से प्रसन्न करने वाली बात यह है कि त्रिकोणमितीय वृत्त को इस बात की परवाह नहीं है कि आप कौन सा समीकरण हल करते हैं। ज्या, कोज्या, स्पर्शरेखा, कोटैंजेंट - उसके लिए सब कुछ समान है। समाधान का एक ही सिद्धांत है.
तो हम कोई प्रारंभिक त्रिकोणमितीय समीकरण लेते हैं। कम से कम यह:
cosx = 0.5
हमें एक्स ढूंढना होगा. मानवीय भाषा में बोलना, आपको चाहिए वह कोण (x) ज्ञात कीजिए जिसकी कोज्या 0.5 है।
हमने पहले वृत्त का उपयोग कैसे किया था? हमने इस पर एक कोण बनाया. डिग्री या रेडियन में. और तुरंत देखा इस कोण के त्रिकोणमितीय फलन. अब चलो इसके विपरीत करें। आइए वृत्त पर 0.5 के बराबर और तुरंत एक कोज्या बनाएं हम देखेंगे कोना। जो कुछ बचा है वह उत्तर लिखना है।) हाँ, हाँ!
एक वृत्त बनाएं और कोसाइन को 0.5 के बराबर चिह्नित करें। निश्चित रूप से, कोसाइन अक्ष पर। इस कदर:
अब आइए वह कोण बनाएं जो यह कोसाइन हमें देता है। अपने माउस को चित्र पर घुमाएँ (या अपने टेबलेट पर चित्र को स्पर्श करें), और आप देखेंगेयही कोना एक्स।
किस कोण की कोज्या 0.5 है?
एक्स = π /3
ओल 60°= क्योंकि( π /3) = 0,5
कुछ लोग संदेहपूर्वक हँसेंगे, हाँ... जैसे, क्या यह एक घेरा बनाने के लायक था जब सब कुछ पहले से ही स्पष्ट है... आप निश्चित रूप से हँस सकते हैं...) लेकिन तथ्य यह है कि यह एक गलत उत्तर है। या यों कहें, अपर्याप्त. वृत्त के जानकार समझते हैं कि यहां अन्य कोणों का एक पूरा समूह है जो 0.5 की कोज्या भी देते हैं।
यदि आप गतिमान पक्ष OA को मोड़ते हैं पूर्ण मोड़, बिंदु A अपनी मूल स्थिति में वापस आ जाएगा। 0.5 के बराबर समान कोज्या के साथ। वे। कोण बदल जायेगा 360° या 2π रेडियन द्वारा, और कोसाइन - नहीं.नया कोण 60° + 360° = 420° भी हमारे समीकरण का एक समाधान होगा, क्योंकि
ऐसी अनंत संख्या में पूर्ण क्रांतियाँ की जा सकती हैं... और ये सभी नए कोण हमारे त्रिकोणमितीय समीकरण के समाधान होंगे। और उन सभी को प्रतिक्रिया में किसी न किसी तरह से लिखने की आवश्यकता है। सभी।अन्यथा, निर्णय मायने नहीं रखता, हाँ...)
गणित यह काम सरलता और सुंदरता से कर सकता है। एक संक्षिप्त उत्तर में लिखिए अनंत सेटनिर्णय. यह हमारे समीकरण के लिए कैसा दिखता है:
x = π /3 + 2π n, n ∈ Z
मैं इसे समझ लूंगा. फिर भी लिखो सार्थकयह मूर्खतापूर्ण तरीके से कुछ रहस्यमय अक्षर खींचने से कहीं अधिक सुखद है, है ना?)
π /3 - यह वही कोना है जहां हम हैं देखावृत्त पर और दृढ़ निश्चय वालाकोसाइन तालिका के अनुसार.
2π रेडियन में एक पूर्ण क्रांति है।
एन - यह पूर्ण लोगों की संख्या है, अर्थात। साबुतआरपीएम यह स्पष्ट है कि एन 0, ±1, ±2, ±3.... इत्यादि के बराबर हो सकता है। जैसा कि संक्षिप्त प्रविष्टि से संकेत मिलता है:
एन ∈ जेड
एन संबंधित ( ∈ ) पूर्णांकों का समुच्चय ( जेड ). वैसे, पत्र के बजाय एन अक्षरों का अच्छी तरह से उपयोग किया जा सकता है के, एम, टी वगैरह।
इस अंकन का अर्थ है कि आप कोई भी पूर्णांक ले सकते हैं एन . कम से कम -3, कम से कम 0, कम से कम +55। जो तुम्हे चाहिये। यदि आप इस संख्या को उत्तर में प्रतिस्थापित करते हैं, तो आपको एक विशिष्ट कोण मिलेगा, जो निश्चित रूप से हमारे कठोर समीकरण का समाधान होगा।)
या, दूसरे शब्दों में, एक्स = π /3 अनंत समुच्चय का एकमात्र मूल है। अन्य सभी जड़ें प्राप्त करने के लिए, π /3 में पूर्ण क्रांतियों की किसी भी संख्या को जोड़ना पर्याप्त है ( एन ) रेडियन में। वे। 2πn रेडियन.
सभी? नहीं। मैं जानबूझकर आनंद को लम्बा खींचता हूँ। बेहतर ढंग से याद रखने के लिए।) हमें अपने समीकरण के उत्तरों का केवल एक भाग प्राप्त हुआ। मैं समाधान का पहला भाग इस प्रकार लिखूंगा:
x 1 = π /3 + 2π n, n ∈ Z
एक्स 1 - केवल एक जड़ नहीं, बल्कि जड़ों की एक पूरी शृंखला, जिसे संक्षिप्त रूप में लिखा गया है।
लेकिन ऐसे कोण भी हैं जो 0.5 की कोज्या भी देते हैं!
आइए अपनी उस तस्वीर पर लौटते हैं जिससे हमने उत्तर लिखा था। ये रही वो:
अपने माउस को छवि पर घुमाएँ और हम देखते हैंदूसरा कोण वह 0.5 की कोज्या भी देता है।आपको क्या लगता है यह किसके बराबर है? त्रिभुज वही हैं... हाँ! यह कोण के बराबर है एक्स , केवल नकारात्मक दिशा में विलंब हुआ। यह कोना है -एक्स। लेकिन हम पहले ही x की गणना कर चुके हैं। π /3 या 60°. इसलिए, हम सुरक्षित रूप से लिख सकते हैं:
एक्स 2 = - π /3
खैर, निःसंदेह, हम उन सभी कोणों को जोड़ते हैं जो पूर्ण क्रांतियों के माध्यम से प्राप्त होते हैं:
x 2 = - π /3 + 2π n, n ∈ Z
अब बस इतना ही।) त्रिकोणमितीय वृत्त पर हम देखा(बेशक, जो समझता है)) सभीकोण जो 0.5 की कोज्या देते हैं। और हमने इन कोणों को संक्षिप्त गणितीय रूप में लिखा। उत्तर के परिणामस्वरूप जड़ों की दो अनंत श्रृंखलाएँ प्राप्त हुईं:
x 1 = π /3 + 2π n, n ∈ Z
x 2 = - π /3 + 2π n, n ∈ Z
यह सही जवाब है।
आशा, त्रिकोणमितीय समीकरणों को हल करने का सामान्य सिद्धांतएक वृत्त का उपयोग करना स्पष्ट है। हम एक वृत्त पर दिए गए समीकरण से कोज्या (ज्या, स्पर्शज्या, कोटैंजेंट) अंकित करते हैं, उसके अनुरूप कोण बनाते हैं और उत्तर लिखते हैं।निःसंदेह, हमें यह पता लगाने की जरूरत है कि हम कौन से कोने में हैं देखावृत्त पर. कभी-कभी यह इतना स्पष्ट नहीं होता. खैर, मैंने कहा कि यहां तर्क की आवश्यकता है।)
उदाहरण के लिए, आइए एक अन्य त्रिकोणमितीय समीकरण देखें:
कृपया ध्यान रखें कि संख्या 0.5 समीकरणों में एकमात्र संभावित संख्या नहीं है!) मेरे लिए इसे जड़ों और भिन्नों की तुलना में लिखना अधिक सुविधाजनक है।
हम सामान्य सिद्धांत के अनुसार काम करते हैं। हम एक वृत्त खींचते हैं, निशान लगाते हैं (साइन अक्ष पर, निश्चित रूप से!) 0.5। हम इस ज्या के संगत सभी कोण एक साथ बनाते हैं। हमें यह चित्र मिलता है:
आइए पहले कोण से निपटें एक्स पहली तिमाही में. हम ज्या की तालिका को याद करते हैं और इस कोण का मान निर्धारित करते हैं। यह एक साधारण बात है:
एक्स = π /6
हम पूर्ण मोड़ों को याद करते हैं और स्पष्ट विवेक के साथ उत्तरों की पहली श्रृंखला लिखते हैं:
x 1 = π /6 + 2π n, n ∈ Z
आधा काम हो चुका है. लेकिन अब हमें तय करने की जरूरत है दूसरा कोना...यह कोसाइन का उपयोग करने से अधिक पेचीदा है, हाँ... लेकिन तर्क हमें बचाएगा! दूसरा कोण कैसे निर्धारित करें एक्स के माध्यम से? हाँ आसान! चित्र में त्रिकोण समान हैं, और लाल कोना है एक्स कोण के बराबर एक्स . इसे केवल कोण π से ऋणात्मक दिशा में गिना जाता है। इसीलिए यह लाल है।) और उत्तर के लिए हमें सकारात्मक अर्ध-अक्ष OX से सही ढंग से मापा गया एक कोण चाहिए, यानी। 0 डिग्री के कोण से.
हम ड्राइंग पर कर्सर घुमाते हैं और सब कुछ देखते हैं। मैंने पहला कोना हटा दिया ताकि चित्र जटिल न हो। जिस कोण में हमारी रुचि है (हरे रंग में खींचा गया) वह इसके बराबर होगा:
π - एक्स
एक्स हम यह जानते हैं π /6 . इसलिए, दूसरा कोण होगा:
π - π /6 = 5π /6
फिर से हम पूर्ण क्रांतियों को जोड़ने के बारे में याद करते हैं और उत्तरों की दूसरी श्रृंखला लिखते हैं:
x 2 = 5π /6 + 2π n, n ∈ Z
बस इतना ही। एक पूर्ण उत्तर में जड़ों की दो श्रृंखलाएँ होती हैं:
x 1 = π /6 + 2π n, n ∈ Z
x 2 = 5π /6 + 2π n, n ∈ Z
त्रिकोणमितीय समीकरणों को हल करने के लिए समान सामान्य सिद्धांत का उपयोग करके स्पर्शरेखा और कोटैंजेंट समीकरणों को आसानी से हल किया जा सकता है। यदि, निश्चित रूप से, आप जानते हैं कि त्रिकोणमितीय वृत्त पर स्पर्शरेखा और कोटैंजेंट कैसे खींचना है।
उपरोक्त उदाहरणों में, मैंने साइन और कोसाइन के तालिका मान का उपयोग किया: 0.5। वे। उन अर्थों में से एक जो विद्यार्थी जानता है अवश्य।आइए अब अपनी क्षमताओं का विस्तार करें अन्य सभी मूल्य.तय करो, तो फैसला करो!)
तो, मान लीजिए कि हमें इस त्रिकोणमितीय समीकरण को हल करने की आवश्यकता है:
छोटी तालिकाओं में ऐसा कोई कोसाइन मान नहीं है। हम इस भयानक तथ्य को बेरुखी से नजरअंदाज कर देते हैं। एक वृत्त बनाएं, कोज्या अक्ष पर 2/3 अंकित करें और संगत कोण बनाएं। हमें यह चित्र मिलता है.
आइए, सबसे पहले, पहली तिमाही के कोण पर नजर डालें। यदि हमें पता होता कि x किसके बराबर है, तो हम तुरंत उत्तर लिख देते! हम नहीं जानते... विफलता!? शांत! गणित अपने ही लोगों को मुसीबत में नहीं छोड़ता! वह इस मामले के लिए आर्क कोसाइन लेकर आई। नहीं जानतीं? व्यर्थ। पता लगाएँ, यह जितना आप सोचते हैं उससे कहीं ज़्यादा आसान है। इस लिंक पर "व्युत्क्रम त्रिकोणमितीय फलन" के बारे में एक भी पेचीदा मंत्र नहीं है... यह इस विषय में अनावश्यक है।
यदि आप जानते हैं, तो बस अपने आप से कहें: "X एक कोण है जिसकी कोज्या 2/3 के बराबर है।" और तुरंत, विशुद्ध रूप से आर्क कोसाइन की परिभाषा से, हम लिख सकते हैं:
हम अतिरिक्त क्रांतियों के बारे में याद करते हैं और शांति से अपने त्रिकोणमितीय समीकरण की जड़ों की पहली श्रृंखला लिखते हैं:
x 1 = आर्ककोस 2/3 + 2π एन, एन ∈ जेड
दूसरे कोण के लिए जड़ों की दूसरी श्रृंखला लगभग स्वचालित रूप से लिखी जाती है। सब कुछ वैसा ही है, केवल X (arccos 2/3) माइनस के साथ होगा:
x 2 = - आर्ककोस 2/3 + 2π एन, एन ∈ जेड
और बस! यह सही जवाब है। तालिका मानों से भी आसान। कुछ भी याद रखने की आवश्यकता नहीं है।) वैसे, सबसे चौकस व्यक्ति ध्यान देगा कि यह चित्र आर्क कोसाइन के माध्यम से समाधान दिखाता है संक्षेप में, समीकरण cosx = 0.5 के चित्र से अलग नहीं।
बिल्कुल! सामान्य सिद्धांत बस इतना ही है! मैंने जानबूझकर दो लगभग एक जैसी तस्वीरें खींचीं। वृत्त हमें कोण दिखाता है एक्स इसके कोसाइन द्वारा. यह सारणीबद्ध कोसाइन है या नहीं यह सभी के लिए अज्ञात है। यह किस प्रकार का कोण है, π /3, या चाप कोज्या क्या है - यह हमें तय करना है।
साइन के साथ एक ही गाना. उदाहरण के लिए:
फिर से एक वृत्त बनाएं, ज्या को 1/3 के बराबर चिह्नित करें, कोण बनाएं। यह वह चित्र है जो हमें मिलता है:
और फिर से तस्वीर लगभग समीकरण जैसी ही है सिनक्स = 0.5.फिर से हम पहले क्वार्टर में कोने से शुरुआत करते हैं। यदि X की ज्या 1/3 है तो X किसके बराबर है? कोई बात नहीं!
अब जड़ों का पहला पैक तैयार है:
x 1 = आर्कसिन 1/3 + 2π एन, एन ∈ जेड
आइए दूसरे कोण से निपटें। 0.5 के तालिका मान वाले उदाहरण में, यह इसके बराबर था:
π - एक्स
यहाँ भी बिल्कुल वैसा ही होगा! केवल x भिन्न है, आर्क्सिन 1/3। तो क्या हुआ!? आप जड़ों के दूसरे पैक को सुरक्षित रूप से लिख सकते हैं:
x 2 = π - आर्क्सिन 1/3 + 2π n, n ∈ Z
यह बिल्कुल सही उत्तर है. हालाँकि यह बहुत परिचित नहीं लगता. लेकिन यह स्पष्ट है, मुझे आशा है।)
इस प्रकार एक वृत्त का उपयोग करके त्रिकोणमितीय समीकरण हल किए जाते हैं। यह रास्ता स्पष्ट और समझने योग्य है. यह वह है जो किसी दिए गए अंतराल पर जड़ों के चयन के साथ त्रिकोणमितीय समीकरणों को बचाता है, त्रिकोणमितीय असमानताओं में - वे आम तौर पर लगभग हमेशा एक सर्कल में हल किए जाते हैं। संक्षेप में, किसी भी कार्य में जो मानक कार्यों की तुलना में थोड़ा अधिक कठिन होता है।
आइए ज्ञान को व्यवहार में लागू करें?)
त्रिकोणमितीय समीकरण हल करें:
पहला, सरल, सीधे इस पाठ से।
अब यह और अधिक जटिल है.
संकेत: यहां आपको वृत्त के बारे में सोचना होगा। व्यक्तिगत रूप से।)
और अब वे बाह्य रूप से सरल हैं... उन्हें विशेष मामले भी कहा जाता है।
सिनक्स = 0
सिनक्स = 1
cosx = 0
cosx = -1
संकेत: यहां आपको एक वृत्त में यह पता लगाने की आवश्यकता है कि कहां उत्तरों की दो श्रृंखलाएं हैं और कहां एक है... और उत्तरों की दो श्रृंखलाओं के बजाय एक कैसे लिखा जाए। हाँ, ताकि अनंत संख्या में से एक भी मूल नष्ट न हो!)
खैर, बहुत सरल):
सिनक्स = 0,3
cosx = π
टीजीएक्स = 1,2
सीटीजीएक्स = 3,7
संकेत: यहां आपको यह जानना होगा कि आर्कसाइन और आर्ककोसाइन क्या हैं? आर्कटैन्जेंट, आर्ककोटेंजेंट क्या है? सबसे सरल परिभाषाएँ. लेकिन आपको किसी तालिका मान को याद रखने की आवश्यकता नहीं है!)
बेशक, उत्तर गड़बड़ हैं):
एक्स 1= arcsin0,3 + 2π n, n ∈ Z
एक्स 2= π - आर्कसिन0.3 + 2
सब कुछ काम नहीं करता? ह ाेती है। पाठ को दोबारा पढ़ें. केवल सोच समजकर(ऐसा ही एक पुराना शब्द है...) और लिंक का अनुसरण करें। मुख्य लिंक वृत्त के बारे में हैं। इसके बिना, त्रिकोणमिति आंखों पर पट्टी बांधकर सड़क पार करने जैसा है। कभी-कभी यह काम करता है।)
यदि आपको यह साइट पसंद है...
वैसे, मेरे पास आपके लिए कुछ और दिलचस्प साइटें हैं।)
आप उदाहरणों को हल करने का अभ्यास कर सकते हैं और अपने स्तर का पता लगा सकते हैं। त्वरित सत्यापन के साथ परीक्षण। आइए जानें - रुचि के साथ!)
आप फ़ंक्शंस और डेरिवेटिव से परिचित हो सकते हैं।
अधिक जटिल त्रिकोणमितीय समीकरण
समीकरण
पाप एक्स = ए,
ओल एक्स = ए,
टीजी एक्स = ए,
सीटीजी एक्स = ए
सबसे सरल त्रिकोणमितीय समीकरण हैं. इस अनुभाग में, हम विशिष्ट उदाहरणों का उपयोग करके अधिक जटिल त्रिकोणमितीय समीकरणों को देखेंगे। उनका समाधान, एक नियम के रूप में, सबसे सरल त्रिकोणमितीय समीकरणों को हल करने के लिए आता है।
उदाहरण 1 . प्रश्न हल करें
पाप 2 एक्स=क्योंकि एक्सपाप 2 एक्स.
इस समीकरण के सभी पदों को बाईं ओर स्थानांतरित करने और परिणामी अभिव्यक्ति का गुणनखंड करने पर, हम प्राप्त करते हैं:
पाप 2 एक्स(1 - कॉस एक्स) = 0.
दो अभिव्यक्तियों का उत्पाद शून्य के बराबर है यदि और केवल यदि कम से कम एक कारक शून्य के बराबर है, और दूसरा कोई भी संख्यात्मक मान लेता है, जब तक कि यह परिभाषित हो।
अगर पाप 2 एक्स = 0 , फिर 2 एक्स= एन π ; एक्स = π / 2एन.
अगर 1 - क्योंकि एक्स = 0 , फिर क्योंकि एक्स = 1; एक्स = 2kπ .
तो, हमें जड़ों के दो समूह मिले: एक्स
= π /
2एन; एक्स
= 2kπ
. जड़ों का दूसरा समूह स्पष्ट रूप से पहले में समाहित है, क्योंकि n = 4k के लिए अभिव्यक्ति एक्स
= π /
2एनबन जाता है
एक्स
= 2kπ
.
इसलिए, उत्तर एक सूत्र में लिखा जा सकता है: एक्स = π / 2एन, कहाँ एन- कोई भी पूर्णांक.
ध्यान दें कि इस समीकरण को पाप 2 से घटाकर हल नहीं किया जा सकता है एक्स. वास्तव में, कटौती के बाद हमें 1 - cos x = 0 मिलेगा, जहाँ से एक्स= 2k π . उदाहरण के लिए, तो हम कुछ जड़ें खो देंगे π / 2 , π , 3π / 2 .
उदाहरण 2.प्रश्न हल करें
एक भिन्न तभी शून्य के बराबर होती है जब उसका अंश शून्य के बराबर हो।
इसीलिए पाप 2 एक्स = 0
, कहाँ से 2 एक्स= एन π
; एक्स
= π /
2एन.
इन मूल्यों से एक्स
आपको उन मूल्यों को अप्रासंगिक मानकर बाहर फेंकना होगा जिन पर पापएक्स
शून्य पर चला जाता है (शून्य हर वाले भिन्नों का कोई अर्थ नहीं होता: शून्य से विभाजन अपरिभाषित होता है)। ये मान वे संख्याएँ हैं जो के गुणज हैं π
. सूत्र में
एक्स
= π /
2एनवे सम के लिए प्राप्त किये जाते हैं एन. इसलिए, इस समीकरण की जड़ें संख्याएँ होंगी
एक्स = π / 2 (2k + 1),
जहाँ k कोई पूर्णांक है.
उदाहरण 3 . प्रश्न हल करें
2 पाप 2 एक्स+ 7cos एक्स - 5 = 0.
आइए व्यक्त करें पाप 2 एक्स के माध्यम से ओलएक्स : पाप 2 एक्स = 1 - क्योंकि 2एक्स . तब इस समीकरण को इस प्रकार पुनः लिखा जा सकता है
2 (1 - कॉस 2 एक्स) + 7cos एक्स - 5 = 0 , या
2cos 2 एक्स- 7 कोस एक्स + 3 = 0.
तय किया ओलएक्स के माध्यम से पर, हम द्विघात समीकरण पर पहुंचते हैं
2у 2 - 7у + 3 = 0,
जिनकी जड़ें संख्या 1/2 और 3 हैं। इसका मतलब है कि या तो कॉस एक्स= 1/2, या क्योंकि एक्स= 3. हालाँकि, उत्तरार्द्ध असंभव है, क्योंकि किसी भी कोण की कोज्या निरपेक्ष मान में 1 से अधिक नहीं होती है।
यह स्वीकार करना बाकी है ओल एक्स = 1 / 2 , कहाँ
एक्स = ± 60° + 360° एन.
उदाहरण 4 . प्रश्न हल करें
2 पाप एक्स+ 3cos एक्स = 6.
पाप के बाद से एक्सऔर क्योंकि एक्सनिरपेक्ष मान में 1 से अधिक नहीं है, तो अभिव्यक्ति
2 पाप एक्स+ 3cos एक्स
से अधिक मान नहीं ले सकते 5
. इसलिए, इस समीकरण की कोई जड़ नहीं है।
उदाहरण 5 . प्रश्न हल करें
पाप एक्स+क्योंकि एक्स = 1
इस समीकरण के दोनों पक्षों का वर्ग करने पर, हमें प्राप्त होता है:
पाप 2 एक्स+ 2 पाप एक्सओल एक्स+ क्योंकि 2 एक्स = 1,
लेकिन पाप 2 एक्स
+ क्योंकि 2 एक्स
= 1
. इसीलिए 2 पाप एक्सओल एक्स
= 0
. अगर पाप एक्स
= 0
, वह एक्स
= एनπ
; अगर
ओल एक्स
, वह एक्स
= π /
2
+ कπ
. समाधानों के इन दो समूहों को एक सूत्र में लिखा जा सकता है:
एक्स = π / 2एन
चूँकि हमने इस समीकरण के दोनों पक्षों का वर्ग किया है, इसलिए संभव है कि हमें प्राप्त जड़ों में से कुछ बाहरी जड़ें भी हों। इसीलिए इस उदाहरण में, पिछले सभी उदाहरणों के विपरीत, जाँच करना आवश्यक है। सभी अर्थ
एक्स = π / 2एन 4 समूहों में विभाजित किया जा सकता है
1) एक्स = 2kπ . |
(एन = 4के) | |
2) एक्स = π / 2 + 2kπ . |
(एन = 4के + 1) | |
3) एक्स = π + 2kπ . |
(एन = 4k + 2) | |
4) एक्स = 3π / 2 + 2kπ . |
(एन = 4के + 3) |
पर एक्स = 2kπपाप एक्स+क्योंकि एक्स= 0 + 1 = 1. इसलिए, एक्स = 2kπइस समीकरण की जड़ें हैं.
पर एक्स = π / 2 + 2kπ. पाप एक्स+क्योंकि एक्स= 1 + 0 = 1 अतः एक्स = π / 2 + 2kπ- इस समीकरण की जड़ें भी.
पर एक्स = π + 2kπपाप एक्स+क्योंकि एक्स= 0 - 1 = - 1. इसलिए, मान एक्स = π + 2kπइस समीकरण की जड़ें नहीं हैं. इसी प्रकार यह दर्शाया गया है एक्स = 3π / 2 + 2kπ. जड़ें नहीं हैं.
इस प्रकार, इस समीकरण के निम्नलिखित मूल हैं: एक्स = 2kπऔर एक्स = π / 2 + 2mπ।, कहाँ कऔर एम- कोई भी पूर्णांक.
कई को हल करते समय गणितीय समस्याएँ, विशेष रूप से वे जो कक्षा 10 से पहले घटित होते हैं, किए गए कार्यों का क्रम जो लक्ष्य तक ले जाएगा, स्पष्ट रूप से परिभाषित है। ऐसी समस्याओं में शामिल हैं, उदाहरण के लिए, रैखिक और द्विघात समीकरण, रैखिक और द्विघात असमानताएँ, भिन्नात्मक समीकरण और समीकरण जो द्विघात समीकरण को कम करते हैं। उल्लिखित प्रत्येक समस्या को सफलतापूर्वक हल करने का सिद्धांत इस प्रकार है: आपको यह स्थापित करने की आवश्यकता है कि आप किस प्रकार की समस्या का समाधान कर रहे हैं, कार्यों के आवश्यक अनुक्रम को याद रखें जो वांछित परिणाम की ओर ले जाएगा, अर्थात। उत्तर दें और इन चरणों का पालन करें।
यह स्पष्ट है कि किसी विशेष समस्या को हल करने में सफलता या विफलता मुख्य रूप से इस बात पर निर्भर करती है कि हल किए जा रहे समीकरण का प्रकार कितनी सही ढंग से निर्धारित किया गया है, इसके समाधान के सभी चरणों का क्रम कितना सही ढंग से पुन: प्रस्तुत किया गया है। बेशक, इस मामले में समान परिवर्तन और गणना करने का कौशल होना आवश्यक है।
के साथ स्थिति अलग है त्रिकोणमितीय समीकरण.इस तथ्य को स्थापित करना बिल्कुल भी मुश्किल नहीं है कि समीकरण त्रिकोणमितीय है। क्रियाओं के अनुक्रम को निर्धारित करते समय कठिनाइयाँ उत्पन्न होती हैं जो सही उत्तर की ओर ले जाएँगी।
किसी समीकरण की उपस्थिति के आधार पर उसका प्रकार निर्धारित करना कभी-कभी कठिन होता है। और समीकरण के प्रकार को जाने बिना, कई दर्जन त्रिकोणमितीय सूत्रों में से सही को चुनना लगभग असंभव है।
त्रिकोणमितीय समीकरण को हल करने के लिए, आपको प्रयास करने की आवश्यकता है:
1. समीकरण में शामिल सभी कार्यों को "समान कोण" पर लाएँ;
2. समीकरण को "समान फलन" पर लाएँ;
3. समीकरण के बाएँ पक्ष का गुणनखंड करें, आदि।
चलो गौर करते हैं त्रिकोणमितीय समीकरणों को हल करने की बुनियादी विधियाँ।
I. सरलतम त्रिकोणमितीय समीकरणों में कमी
समाधान आरेख
स्टेप 1।ज्ञात घटकों के संदर्भ में एक त्रिकोणमितीय फ़ंक्शन को व्यक्त करें।
चरण दो।सूत्रों का उपयोग करके फ़ंक्शन तर्क खोजें:
क्योंकि x = ए; x = ±arccos a + 2πn, n ЄZ।
पाप एक्स = ए; x = (-1) n arcsin a + πn, n Є Z.
टैन एक्स = ए; एक्स = आर्कटान ए + πएन, एन Є जेड।
सीटीजी एक्स = ए; x = arcctg a + πn, n Є Z.
चरण 3।अज्ञात चर ज्ञात कीजिए।
उदाहरण।
2 cos(3x – π/4) = -√2.
समाधान।
1) cos(3x – π/4) = -√2/2.
2) 3x – π/4 = ±(π – π/4) + 2πn, n Є Z;
3x – π/4 = ±3π/4 + 2πn, n Є Z.
3) 3x = ±3π/4 + π/4 + 2πn, n Є Z;
x = ±3π/12 + π/12 + 2πn/3, n Є Z;
x = ±π/4 + π/12 + 2πn/3, n Є Z.
उत्तर: ±π/4 + π/12 + 2πn/3, n Є Z.
द्वितीय. परिवर्तनीय प्रतिस्थापन
समाधान आरेख
स्टेप 1।त्रिकोणमितीय कार्यों में से किसी एक के संबंध में समीकरण को बीजगणितीय रूप में कम करें।
चरण दो।परिणामी फ़ंक्शन को वेरिएबल t द्वारा निरूपित करें (यदि आवश्यक हो, तो t पर प्रतिबंध लगाएं)।
चरण 3।परिणामी बीजगणितीय समीकरण को लिखें और हल करें।
चरण 4।उलटा प्रतिस्थापन करें.
चरण 5.सरलतम त्रिकोणमितीय समीकरण हल करें.
उदाहरण।
2cos 2 (x/2) – 5sin (x/2) – 5 = 0.
समाधान।
1) 2(1 – पाप 2 (x/2)) – 5 पाप (x/2) – 5 = 0;
2sin 2 (x/2) + 5sin (x/2) + 3 = 0.
2) माना पाप (x/2) = t, जहाँ |t| ≤ 1.
3) 2t 2 + 5t + 3 = 0;
t = 1 या e = -3/2, शर्त को पूरा नहीं करता |t| ≤ 1.
4) पाप(x/2) = 1.
5) x/2 = π/2 + 2πn, n Є Z;
x = π + 4πn, n Є Z.
उत्तर: x = π + 4πn, n Є Z.
तृतीय. समीकरण क्रम घटाने की विधि
समाधान आरेख
स्टेप 1।डिग्री कम करने के सूत्र का उपयोग करके, इस समीकरण को एक रैखिक समीकरण से बदलें:
पाप 2 x = 1/2 · (1 – cos 2x);
cos 2 x = 1/2 · (1 + cos 2x);
टीजी 2 एक्स = (1 - कॉस 2x) / (1 + कॉस 2x)।
चरण दो।विधि I और II का उपयोग करके परिणामी समीकरण को हल करें।
उदाहरण।
cos 2x + cos 2 x = 5/4.
समाधान।
1) cos 2x + 1/2 · (1 + cos 2x) = 5/4.
2) cos 2x + 1/2 + 1/2 · cos 2x = 5/4;
3/2 cos 2x = 3/4;
2x = ±π/3 + 2πn, n Є Z;
x = ±π/6 + πn, n Є Z.
उत्तर: x = ±π/6 + πn, n Є Z.
चतुर्थ. सजातीय समीकरण
समाधान आरेख
स्टेप 1।इस समीकरण को इस रूप में घटाएँ
ए) ए पाप एक्स + बी कॉस एक्स = 0 (पहली डिग्री का सजातीय समीकरण)
या दृश्य के लिए
बी) ए पाप 2 एक्स + बी पाप एक्स · कॉस एक्स + सी कॉस 2 एक्स = 0 (दूसरी डिग्री का सजातीय समीकरण)।
चरण दो।समीकरण के दोनों पक्षों को इससे विभाजित करें
ए) क्योंकि x ≠ 0;
बी) क्योंकि 2 x ≠ 0;
और tan x के लिए समीकरण प्राप्त करें:
ए) ए टैन एक्स + बी = 0;
बी) ए टैन 2 एक्स + बी आर्कटैन एक्स + सी = 0।
चरण 3।ज्ञात विधियों का उपयोग करके समीकरण को हल करें।
उदाहरण।
5sin 2 x + 3sin x cos x – 4 = 0.
समाधान।
1) 5sin 2 x + 3sin x · cos x – 4(sin 2 x + cos 2 x) = 0;
5sin 2 x + 3sin x · cos x – 4sin² x – 4cos 2 x = 0;
पाप 2 x + 3 पाप x · cos x - 4cos 2 x = 0/cos 2 x ≠ 0.
2) टीजी 2 एक्स + 3टीजी एक्स – 4 = 0.
3) मान लीजिए tg x = t, तो
टी 2 + 3टी – 4 = 0;
t = 1 या t = -4, जिसका अर्थ है
टीजी एक्स = 1 या टीजी एक्स = -4.
पहले समीकरण से x = π/4 + πn, n Є Z; दूसरे समीकरण x = -arctg 4 + से πk, k Є Z.
उत्तर: x = π/4 + πn, n Є Z; x = -arctg 4 + πk, k Є Z.
V. त्रिकोणमितीय सूत्रों का उपयोग करके समीकरण को बदलने की विधि
समाधान आरेख
स्टेप 1।सभी संभावित त्रिकोणमितीय सूत्रों का उपयोग करके, इस समीकरण को I, II, III, IV विधियों द्वारा हल किए गए समीकरण में बदलें।
चरण दो।ज्ञात विधियों का उपयोग करके परिणामी समीकरण को हल करें।
उदाहरण।
पाप x + पाप 2x + पाप 3x = 0.
समाधान।
1) (पाप x + पाप 3x) + पाप 2x = 0;
2sin 2x क्योंकि x + पाप 2x = 0.
2) पाप 2x (2cos x + 1) = 0;
पाप 2x = 0 या 2cos x + 1 = 0;
पहले समीकरण से 2x = π/2 + πn, n Є Z; दूसरे समीकरण से क्योंकि x = -1/2.
हमारे पास x = π/4 + πn/2, n Є Z है; दूसरे समीकरण से x = ±(π – π/3) + 2πk, k Є Z.
परिणामस्वरूप, x = π/4 + πn/2, n Є Z; x = ±2π/3 + 2πk, k Є Z.
उत्तर: x = π/4 + πn/2, n Є Z; x = ±2π/3 + 2πk, k Є Z.
त्रिकोणमितीय समीकरणों को हल करने की क्षमता एवं कौशल बहुत होता है महत्वपूर्ण, उनके विकास के लिए छात्र और शिक्षक दोनों की ओर से महत्वपूर्ण प्रयास की आवश्यकता होती है।
त्रिकोणमिति समीकरणों को हल करने के साथ स्टीरियोमेट्री, भौतिकी आदि की कई समस्याएं जुड़ी हुई हैं। ऐसी समस्याओं को हल करने की प्रक्रिया में कई ज्ञान और कौशल शामिल हैं जो त्रिकोणमिति के तत्वों का अध्ययन करके हासिल किए जाते हैं।
सामान्य तौर पर गणित सीखने और व्यक्तिगत विकास की प्रक्रिया में त्रिकोणमितीय समीकरण एक महत्वपूर्ण स्थान रखते हैं।
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त्रिकोणमिति के मूल सूत्रों का ज्ञान आवश्यक है - साइन और कोसाइन के वर्गों का योग, साइन और कोसाइन के माध्यम से स्पर्शरेखा की अभिव्यक्ति, और अन्य। उन लोगों के लिए जो उन्हें भूल गए हैं या नहीं जानते हैं, हम लेख "" पढ़ने की सलाह देते हैं।
तो, हम बुनियादी त्रिकोणमितीय सूत्रों को जानते हैं, अब उन्हें अभ्यास में उपयोग करने का समय आ गया है। त्रिकोणमितीय समीकरणों को हल करनासही दृष्टिकोण के साथ, यह काफी रोमांचक गतिविधि है, जैसे, उदाहरण के लिए, रूबिक क्यूब को हल करना।
नाम के आधार पर ही स्पष्ट है कि त्रिकोणमितीय समीकरण एक ऐसा समीकरण है जिसमें अज्ञात त्रिकोणमितीय फलन के चिन्ह के नीचे होता है।
तथाकथित सरलतम त्रिकोणमितीय समीकरण हैं। वे इस तरह दिखते हैं: सिनएक्स = ए, कॉस एक्स = ए, टैन एक्स = ए। चलो गौर करते हैं ऐसे त्रिकोणमितीय समीकरणों को कैसे हल करें, स्पष्टता के लिए हम पहले से ही परिचित त्रिकोणमितीय वृत्त का उपयोग करेंगे।
सिनएक्स = ए
क्योंकि x = ए
टैन एक्स = ए
खाट x = ए
किसी भी त्रिकोणमितीय समीकरण को दो चरणों में हल किया जाता है: हम समीकरण को उसके सरलतम रूप में घटाते हैं और फिर इसे एक सरल त्रिकोणमितीय समीकरण के रूप में हल करते हैं।
ऐसी 7 मुख्य विधियाँ हैं जिनके द्वारा त्रिकोणमितीय समीकरणों को हल किया जाता है।
परिवर्तनीय प्रतिस्थापन और प्रतिस्थापन विधि
गुणनखंडन के माध्यम से त्रिकोणमितीय समीकरणों को हल करना
एक सजातीय समीकरण में कमी
आधे कोण में संक्रमण के माध्यम से समीकरणों को हल करना
सहायक कोण का परिचय
समीकरण 2cos 2 (x + /6) – 3sin( /3 – x) +1 = 0 को हल करें
कटौती सूत्रों का उपयोग करके हमें प्राप्त होता है:
2cos 2 (x + /6) – 3cos(x + /6) +1 = 0
सरल बनाने और सामान्य द्विघात समीकरण प्राप्त करने के लिए cos(x + /6) को y से बदलें:
2y 2 – 3y + 1 + 0
जिसके मूल y 1 = 1, y 2 = 1/2 हैं
अब उल्टे क्रम में चलते हैं
हम y के पाए गए मानों को प्रतिस्थापित करते हैं और दो उत्तर विकल्प प्राप्त करते हैं:
समीकरण syn x + cos x = 1 को कैसे हल करें?
आइए सब कुछ बाईं ओर ले जाएं ताकि 0 दाईं ओर रहे:
पाप x + cos x – 1 = 0
आइए समीकरण को सरल बनाने के लिए ऊपर चर्चा की गई सर्वसमिकाओं का उपयोग करें:
पाप x - 2 पाप 2 (x/2) = 0
आइए गुणनखंड करें:
2sin(x/2) * cos(x/2) - 2sin 2 (x/2) = 0
2sin(x/2) * = 0
हमें दो समीकरण मिलते हैं
एक समीकरण ज्या और कोज्या के संबंध में सजातीय होता है यदि उसके सभी पद एक ही कोण की समान डिग्री की ज्या और कोज्या के सापेक्ष हों। एक सजातीय समीकरण को हल करने के लिए, निम्नानुसार आगे बढ़ें:
ए) अपने सभी सदस्यों को बाईं ओर स्थानांतरित करें;
बी) सभी सामान्य कारकों को कोष्ठक से बाहर निकालें;
ग) सभी कारकों और कोष्ठकों को 0 के बराबर करें;
डी) कोष्ठक में निम्न डिग्री का एक सजातीय समीकरण प्राप्त होता है, जो बदले में उच्च डिग्री के साइन या कोसाइन में विभाजित होता है;
ई) टीजी के लिए परिणामी समीकरण को हल करें।
समीकरण 3sin 2 x + 4 syn x cos x + 5 cos 2 x = 2 को हल करें
आइए सूत्र पाप 2 x + cos 2 x = 1 का उपयोग करें और दाईं ओर खुले दो से छुटकारा पाएं:
3sin 2 x + 4 syn x cos x + 5 cos x = 2sin 2 x + 2cos 2 x
पाप 2 x + 4 पाप x क्योंकि x + 3 क्योंकि 2 x = 0
cos x से विभाजित करें:
टीजी 2 एक्स + 4 टीजी एक्स + 3 = 0
tan x को y से बदलें और एक द्विघात समीकरण प्राप्त करें:
y 2 + 4y +3 = 0, जिसका मूल y 1 =1, y 2 = 3 है
यहां से हमें मूल समीकरण के दो समाधान मिलते हैं:
x 2 = आर्कटान 3 + के
समीकरण 3sin x – 5cos x = 7 को हल करें
चलिए x/2 पर चलते हैं:
6sin(x/2) * cos(x/2) – 5cos 2 (x/2) + 5sin 2 (x/2) = 7sin 2 (x/2) + 7cos 2 (x/2)
आइए सब कुछ बाईं ओर ले जाएँ:
2sin 2 (x/2) – 6sin(x/2) * cos(x/2) + 12cos 2 (x/2) = 0
cos(x/2) से विभाजित करें:
टीजी 2 (एक्स/2) – 3टीजी(एक्स/2) + 6 = 0
विचार के लिए, आइए इस रूप का एक समीकरण लें: a पाप x + b cos x = c,
जहां ए, बी, सी कुछ मनमाना गुणांक हैं, और एक्स एक अज्ञात है।
आइए समीकरण के दोनों पक्षों को इस प्रकार विभाजित करें:
अब समीकरण के गुणांक, त्रिकोणमितीय सूत्रों के अनुसार, गुण पाप और कॉस हैं, अर्थात्: उनका मापांक 1 से अधिक नहीं है और वर्गों का योग = 1. आइए हम उन्हें क्रमशः कॉस और पाप के रूप में निरूपित करें, जहां - यह है तथाकथित सहायक कोण. तब समीकरण इस प्रकार बनेगा:
कॉस * सिन एक्स + सिन * कॉस एक्स = सी
या पाप(x + ) = C
इस सरलतम त्रिकोणमितीय समीकरण का हल है
x = (-1) k * आर्क्सिन C - + k, कहाँ
यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि संकेतन कॉस और पाप विनिमेय हैं।
समीकरण पाप 3x – cos 3x = 1 को हल करें
इस समीकरण में गुणांक हैं:
a = , b = -1, इसलिए दोनों पक्षों को = 2 से विभाजित करें
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