स्ट्राइकथ्रू विधि. विषय: क्रॉस-आउट विधि

रैखिक प्रोग्रामिंग परिवहन समस्या के समाधान के लिए, यह आवश्यक और पर्याप्त है कि आपूर्तिकर्ताओं की कुल सूची उपभोक्ताओं की कुल मांगों के बराबर हो, यानी। कार्य सही संतुलन के साथ होना चाहिए.

प्रमेय 38.2 परिवहन समस्या की बाधाओं की प्रणाली की संपत्ति

परिवहन समस्या के वैक्टर-स्थितियों की प्रणाली की रैंक N=m+n-1 (m - आपूर्तिकर्ता, n-उपभोक्ता) के बराबर है

परिवहन समस्या का संदर्भ समाधान

परिवहन समस्या का संदर्भ समाधान कोई भी व्यवहार्य समाधान है जिसके लिए सकारात्मक निर्देशांक के अनुरूप स्थिति वैक्टर रैखिक रूप से स्वतंत्र होते हैं।

इस तथ्य के कारण कि परिवहन समस्या के वैक्टर-स्थितियों की प्रणाली की रैंक m+n - 1 के बराबर है, संदर्भ समाधान m+n-1 से अधिक गैर-शून्य निर्देशांक नहीं हो सकते। एक गैर-अपक्षयी संदर्भ समाधान के गैर-शून्य निर्देशांक की संख्या m+n-1 के बराबर है, और एक अपक्षयी संदर्भ समाधान के लिए यह m+n-1 से कम है

चक्रपरिवहन समस्या तालिका (i 1 , j 1), (i 1 , j 2), (i 2 , j 2),...,(i k , j 1) में कोशिकाओं के ऐसे अनुक्रम को कहा जाता है। वे कोशिकाएँ जिनमें दो और केवल दो आसन्न कोशिकाएँ एक पंक्ति या स्तंभ में व्यवस्थित होती हैं, पहली और अंतिम कोशिकाएँ भी एक ही पंक्ति या स्तंभ में होती हैं।

चक्र को एक बंद टूटी हुई रेखा के रूप में परिवहन समस्या की तालिका के रूप में दर्शाया गया है। एक चक्र में, कोई भी कोशिका एक कोने वाली कोशिका होती है जिसमें एक पॉलीलाइन लिंक 90 डिग्री घूमती है। सबसे सरल चक्र चित्र 38.1 में दिखाए गए हैं

प्रमेय 38.3

परिवहन समस्या X=(x ij) का एक स्वीकार्य समाधान एक संदर्भ समाधान है यदि और केवल यदि तालिका की व्याप्त कोशिकाओं से कोई चक्र नहीं बनाया जा सकता है।

क्रॉस-आउट विधि

विलोपन विधि आपको यह जांचने की अनुमति देती है कि परिवहन समस्या का दिया गया समाधान एक संदर्भ समाधान है या नहीं।

परिवहन समस्या का एक स्वीकार्य समाधान, जिसमें m+n-1 गैर-शून्य निर्देशांक हैं, को एक तालिका में लिखा जाए। इस समाधान को एक संदर्भ समाधान बनाने के लिए, सकारात्मक निर्देशांक के साथ-साथ आधार शून्य के अनुरूप स्थिति वैक्टर को रैखिक रूप से स्वतंत्र होना चाहिए। ऐसा करने के लिए, समाधान द्वारा कब्जा की गई तालिका की कोशिकाओं को व्यवस्थित किया जाना चाहिए ताकि उनसे एक चक्र बनाना असंभव हो।

एक व्याप्त सेल वाली तालिका पंक्ति या स्तंभ को किसी भी चक्र में शामिल नहीं किया जा सकता है, क्योंकि एक चक्र में प्रत्येक पंक्ति या स्तंभ में दो और केवल दो सेल होते हैं। इसलिए, सबसे पहले या तो तालिका की सभी पंक्तियों को, जिनमें से प्रत्येक में एक व्याप्त सेल है, या सभी स्तंभों को, जिनमें प्रत्येक में एक व्याप्त सेल है, काट दें, फिर कॉलम (पंक्तियों) पर लौटें और क्रॉस करना जारी रखें।

यदि, हटाने के परिणामस्वरूप, सभी पंक्तियों और स्तंभों को काट दिया जाता है, तो इसका मतलब है कि तालिका के कब्जे वाले कक्षों से एक चक्र बनाने वाले भाग का चयन करना असंभव है, और संबंधित वैक्टर-स्थितियों की प्रणाली रैखिक रूप से स्वतंत्र है, और समाधान एक संदर्भ है.

यदि, हटाने के बाद, कुछ कोशिकाएँ रह जाती हैं, तो ये कोशिकाएँ एक चक्र बनाती हैं, संबंधित वैक्टर-स्थितियों की प्रणाली रैखिक रूप से निर्भर होती है, और समाधान संदर्भ नहीं होता है।

"क्रॉस आउट" (संदर्भ) और "क्रॉस आउट नहीं" (गैर-संदर्भ समाधान) के उदाहरण:

क्रॉस-आउट तर्क:

1. उन सभी स्तंभों को काट दें जिनमें केवल एक व्याप्त सेल है (5 0 0), (0 9 0)
2. उन सभी पंक्तियों को काट दें जिनमें केवल एक व्याप्त सेल है (0 15), (2 0)
3. चक्र दोहराएँ (7) (1)

प्रारंभिक संदर्भ समाधान बनाने की विधियाँ

वायव्य कोण विधि

प्रारंभिक संदर्भ समाधान के निर्माण के लिए कई विधियाँ हैं, जिनमें से सबसे सरल उत्तर-पश्चिम कोने की विधि है।
में यह विधिसंख्या के आधार पर अगले आपूर्तिकर्ता की सूची का उपयोग अगले संख्या वाले उपभोक्ताओं के अनुरोधों को आपूर्ति करने के लिए किया जाता है जब तक कि वे पूरी तरह से समाप्त न हो जाएं, जिसके बाद संख्या के अनुसार अगले आपूर्तिकर्ता की सूची का उपयोग किया जाता है।

परिवहन कार्य तालिका को भरना ऊपरी बाएँ कोने से शुरू होता है, इसीलिए इसे उत्तर-पश्चिम कोने की विधि कहा जाता है।

विधि में कई समान चरण होते हैं, जिनमें से प्रत्येक में, अगले आपूर्तिकर्ता के स्टॉक और अगले उपभोक्ता के अनुरोधों के आधार पर, केवल एक सेल भरा जाता है और तदनुसार, एक आपूर्तिकर्ता या एक उपभोक्ता को विचार से बाहर रखा जाता है। .

वायव्य कोण विधि का उपयोग करके एक समर्थन समाधान बनाएं।

1. हम पहले आपूर्तिकर्ता के स्टॉक वितरित करते हैं।
यदि पहले आपूर्तिकर्ता का भंडार पहले उपभोक्ता के अनुरोध से अधिक है, तो सेल (1,1) में पहले उपभोक्ता के अनुरोध की राशि लिखें और दूसरे उपभोक्ता की ओर बढ़ें। यदि पहले आपूर्तिकर्ता का भंडार पहले उपभोक्ता के अनुरोधों से कम है, तो हम सेल (1,1) में पहले आपूर्तिकर्ता के भंडार की राशि लिखते हैं, पहले आपूर्तिकर्ता को विचार से बाहर कर देते हैं और दूसरे आपूर्तिकर्ता की ओर बढ़ते हैं। .

उदाहरण: चूंकि इसका भंडार ए 1 =100 पहले उपभोक्ता के अनुरोधों से कम है बी 1 =100, तो सेल (1,1) में हम परिवहन x 11 =100 लिखते हैं और आपूर्तिकर्ता को विचार से बाहर कर देते हैं।
हम पहले उपभोक्ता के शेष असंतुष्ट अनुरोधों का निर्धारण करते हैं b 1 = 150-100 = 50।

2.हम दूसरे आपूर्तिकर्ता के स्टॉक वितरित करते हैं।
चूँकि इसका भंडार a 2 = 250 पहले उपभोक्ता के शेष असंतुष्ट अनुरोधों b 1 =50 से अधिक है, तो सेल (2,1) में हम परिवहन x 21 =50 लिखते हैं और पहले उपभोक्ता को विचार से बाहर कर देते हैं।
हम दूसरे आपूर्तिकर्ता की शेष सूची निर्धारित करते हैं a 2 = a 2 - b 1 = 250-50 = 200। चूंकि दूसरे आपूर्तिकर्ता की शेष सूची दूसरे उपभोक्ता की मांगों के बराबर है, हम सेल (2,2) में x 22 = 200 लिखते हैं और अपने विवेक पर दूसरे आपूर्तिकर्ता या दूसरे उपभोक्ता को बाहर कर देते हैं। हमारे उदाहरण में, हमने दूसरे आपूर्तिकर्ता को बाहर कर दिया।
हम दूसरे उपभोक्ता के शेष असंतुष्ट अनुरोधों की गणना करते हैं b 2 =b 2 -a 2 =200-200=0.

3. हम तीसरे आपूर्तिकर्ता के स्टॉक वितरित करते हैं।
महत्वपूर्ण!पिछले चरण में, हमारे पास आपूर्तिकर्ता या उपभोक्ता को बाहर करने का विकल्प था। चूँकि हमने आपूर्तिकर्ता को बाहर कर दिया, दूसरे उपभोक्ता के अनुरोध अभी भी बने हुए हैं (यद्यपि शून्य के बराबर)।
हमें शेष अनुरोधों को सेल (3,2) में शून्य के बराबर लिखना होगा
यह इस तथ्य के कारण है कि यदि परिवहन को तालिका (i, j) के अगले सेल में रखना आवश्यक है, और संख्या i वाले आपूर्तिकर्ता या संख्या j वाले उपभोक्ता के पास शून्य स्टॉक या अनुरोध हैं, तो परिवहन शून्य के बराबर है ( मूल शून्य) को सेल में रखा जाता है, और या तो संबंधित आपूर्तिकर्ता या उपभोक्ता को विचार से बाहर रखा जाता है।
इस प्रकार, तालिका में केवल मूल शून्य दर्ज किए जाते हैं, शून्य परिवहन वाली शेष कोशिकाएँ खाली रहती हैं।

त्रुटियों से बचने के लिए, प्रारंभिक संदर्भ समाधान के निर्माण के बाद, यह जांचना आवश्यक है कि व्याप्त कोशिकाओं की संख्या m+n-1 के बराबर है (आधार शून्य को भी एक व्याप्त कोशिका माना जाता है), और इन कोशिकाओं के अनुरूप स्थिति वैक्टर रैखिक रूप से स्वतंत्र हैं.

चूँकि पिछले चरण में हमने दूसरे आपूर्तिकर्ता को विचार से बाहर कर दिया था, हम सेल (3.2) में x 32 =0 लिखते हैं और दूसरे उपभोक्ता को बाहर कर देते हैं।

आपूर्तिकर्ता 3 की सूची नहीं बदली है। सेल (3.3) में हम x 33 =100 लिखते हैं और तीसरे उपभोक्ता को बाहर कर देते हैं। सेल (3,4) में हम x 34 =100 लिखते हैं। इस तथ्य के कारण कि हमारा कार्य सही संतुलन के साथ है, सभी आपूर्तिकर्ताओं के स्टॉक समाप्त हो गए हैं और सभी उपभोक्ताओं की मांगें पूरी तरह से और एक साथ संतुष्ट हैं।

4. हम संदर्भ समाधान के निर्माण की शुद्धता की जांच करते हैं।
कब्जे वाली कोशिकाओं की संख्या N=m(आपूर्तिकर्ताओं)+m(उपभोक्ता) - 1=3+4 - 1=6 के बराबर होनी चाहिए।
क्रॉस-आउट विधि का उपयोग करके, हम यह सुनिश्चित करते हैं कि पाया गया समाधान "क्रॉस-आउट" है (मूल शून्य को तारांकन के साथ चिह्नित किया गया है)।

नतीजतन, कब्जे वाली कोशिकाओं के अनुरूप स्थिति वैक्टर रैखिक रूप से स्वतंत्र हैं और निर्मित समाधान वास्तव में एक संदर्भ है।

न्यूनतम लागत विधि

न्यूनतम लागत विधि सरल है और आपको एक संदर्भ समाधान बनाने की अनुमति देती है जो इष्टतम के काफी करीब है, क्योंकि यह परिवहन समस्या C=(c ij) के लागत मैट्रिक्स का उपयोग करता है।

उत्तर पश्चिमी कोने की विधि की तरह, इसमें कई समान चरण होते हैं, जिनमें से प्रत्येक में न्यूनतम लागत के अनुरूप तालिका का केवल एक कक्ष भरा जाता है:

और केवल एक पंक्ति (आपूर्तिकर्ता) या एक स्तंभ (उपभोक्ता) को विचार से बाहर रखा गया है। इसके अनुरूप अगला कक्ष उत्तर-पश्चिम कोने की विधि के समान नियमों के अनुसार भरा जाता है। यदि किसी आपूर्तिकर्ता का कार्गो इन्वेंट्री पूरी तरह से उपयोग किया जाता है तो उसे विचार से बाहर रखा जाता है। यदि उपभोक्ता का अनुरोध पूरी तरह से संतुष्ट हो जाता है तो उसे विचार से बाहर कर दिया जाता है। प्रत्येक चरण में, या तो एक आपूर्तिकर्ता या एक उपभोक्ता को हटा दिया जाता है। इसके अलावा, यदि आपूर्तिकर्ता को अभी तक बाहर नहीं किया गया है, लेकिन उसकी सूची शून्य के बराबर है, तो उस चरण में जब इस आपूर्तिकर्ता को माल वितरित करने की आवश्यकता होती है, तालिका के संबंधित सेल में आधार शून्य दर्ज किया जाता है और उसके बाद ही आपूर्तिकर्ता विचार से बाहर रखा गया है। उपभोक्ता के साथ भी ऐसा ही है.

न्यूनतम लागत पद्धति का उपयोग करके, परिवहन समस्या का प्रारंभिक संदर्भ समाधान तैयार करें।

1. आइए न्यूनतम लागत चुनने को अधिक सुविधाजनक बनाने के लिए लागत मैट्रिक्स को अलग से लिखें।

2. लागत मैट्रिक्स के तत्वों में से, सबसे कम लागत C 11 = 1 का चयन करें, इसे एक सर्कल से चिह्नित करें। यह लागत 1 आपूर्तिकर्ता से 1 उपभोक्ता तक माल परिवहन करते समय होती है। उपयुक्त बॉक्स में हम परिवहन की अधिकतम संभव मात्रा लिखते हैं:
x 11 = मिनट (ए 1; बी 1) = मिनट (60; 40) =40वे। पहले आपूर्तिकर्ता के स्टॉक और पहले उपभोक्ता के अनुरोधों के बीच न्यूनतम।

2.1. हम पहले आपूर्तिकर्ता की सूची को 40 तक कम करते हैं।
2.2. हम पहले उपभोक्ता को विचार से बाहर करते हैं, क्योंकि उसके अनुरोध पूरी तरह से संतुष्ट हैं। मैट्रिक्स सी में हम पहले कॉलम को काट देते हैं।

3. मैट्रिक्स सी के शेष भाग में, न्यूनतम लागत लागत सी 14 =2 है। पहले आपूर्तिकर्ता से चौथे उपभोक्ता तक किया जा सकने वाला अधिकतम संभव परिवहन बराबर है x 14 = मिनट (ए 1 "; बी 4 ) = मिनट (20; 60) = 20, जहां प्राइम के साथ 1 पहले आपूर्तिकर्ता की शेष सूची है।
3.1. पहले आपूर्तिकर्ता की आपूर्ति समाप्त हो गई है, इसलिए हम इसे विचार से बाहर करते हैं।
3.2. हम चौथे उपभोक्ता के अनुरोधों को 20 तक कम कर देते हैं।

4. मैट्रिक्स C के शेष भाग में न्यूनतम लागत C 24 =C 32 =3 है। तालिका के दो कक्षों (2.4) या (3.2) में से एक भरें। आइए इसे एक पिंजरे में लिखें x 24 = मिनट (ए 2; बी 4) = मिनट (80; 40) =40 .
4.1. चौथे उपभोक्ता का अनुरोध संतुष्ट कर दिया गया है। हम मैट्रिक्स सी में चौथे कॉलम को काटकर इसे विचार से बाहर कर देते हैं।
4.2. हम दूसरे आपूर्तिकर्ता की सूची को 80-40=40 कम करते हैं।

5. मैट्रिक्स C के शेष भाग में न्यूनतम लागत C 32 =3 है। आइए तालिका के सेल (3,2) में परिवहन लिखें x 32 = मिनट (ए 3; बी 2) = मिनट (100; 60) =60.
5.1. आइए दूसरे उपभोक्ता को विचार से बाहर कर दें। हम मैट्रिक्स सी से दूसरे कॉलम को बाहर कर देते हैं।
5.2. आइए तीसरे आपूर्तिकर्ता की सूची को 100-60=40 कम करें

6. मैट्रिक्स C के शेष भाग में न्यूनतम लागत C 33 = 6 है। आइए तालिका के सेल (3,3) में परिवहन लिखें x 33 = मिनट (ए 3 "; बी 3 ) = मिनट (40; 80) =40
6.1. आइए हम तीसरे आपूर्तिकर्ता को विचार से बाहर कर दें, और तीसरी पंक्ति को मैट्रिक्स सी से बाहर कर दें।
6.2. हम तीसरे उपभोक्ता के शेष अनुरोध 80-40=40 निर्धारित करते हैं।

7. मैट्रिक्स C में बचा एकमात्र तत्व C 23 =8 है। हम तालिका के कक्ष में (2.3) परिवहन X 23 =40 लिखते हैं।

8. हम संदर्भ समाधान के निर्माण की शुद्धता की जांच करते हैं।
तालिका में व्याप्त कोशिकाओं की संख्या N=m+n - 1=3+4 -1 है।
विलोपन विधि का उपयोग करके, हम समाधान के सकारात्मक निर्देशांक के अनुरूप स्थिति वैक्टर की रैखिक स्वतंत्रता की जांच करते हैं। विलोपन का क्रम X मैट्रिक्स में दिखाया गया है:

निष्कर्ष: न्यूनतम लागत विधि (तालिका 38.3) द्वारा समाधान "क्रॉस आउट" है और, इसलिए, संदर्भ है।

टास्क नंबर 4. लेन-देन की संख्या में वृद्धि:

कार्रवाई के लिए क्या कॉल हो सकते हैं? उदाहरण: "अभी कॉल करें", "हमारी वेबसाइट पर विवरण प्राप्त करें", "कॉल करके और अधिक जानकारी प्राप्त करें..."।

पी.एस.यदि आपने अभी यह लेख पढ़ा है और अपने व्यवसाय में राजस्व बढ़ाने के लिए उपरोक्त किसी भी तरीके को लागू नहीं किया है, तो आपने अपना समय बर्बाद किया है।

यदि आप अपने संगठन में बिक्री बढ़ाने के लिए अपने 2-3 पसंदीदा तरीकों को लागू करने जा रहे हैं, तो अच्छे परिणाम आपका इंतजार कर रहे हैं।

यदि आप यहां वर्णित प्रत्येक विधि का उपयोग करने का निर्णय लेते हैं, तो आपके लिए इन्वेंट्री की समस्या समाप्त हो जाएगी। और आप भूल जायेंगे कि यह प्रश्न कभी आपके लिए कितना प्रासंगिक था।

पी.पी.एस.लाभदायक पौधा कौन सा है? यह एक ऐसा उद्यम है जो यह समझता है कि उसके उत्पाद बाज़ार में किस स्थान पर हैं और उनका सक्षमतापूर्वक विपणन करता है! बिक्री के साथ काम करना लीड जनरेशन के समान ही है। बिक्री फ़नल विश्लेषण, ऑनलाइन मार्केटिंग। सब एक जैसे!

विलोपन विधि आपको यह जांचने की अनुमति देती है कि परिवहन समस्या का दिया गया समाधान एक संदर्भ है या नहीं।

मान लीजिए कि परिवहन समस्या का एक स्वीकार्य समाधान, जिसमें m+n-1 गैर-शून्य निर्देशांक हैं, तालिका में लिखा गया है। इस समाधान को एक संदर्भ समाधान बनाने के लिए, सकारात्मक निर्देशांक के अनुरूप स्थिति वैक्टर को रैखिक रूप से स्वतंत्र होना चाहिए। ऐसा करने के लिए, समाधान द्वारा कब्जा की गई तालिका की कोशिकाओं को व्यवस्थित किया जाना चाहिए ताकि उनसे एक चक्र बनाना असंभव हो।

किसी तालिका की एक पंक्ति या स्तंभ को एक व्याप्त सेल के साथ किसी भी चक्र में शामिल नहीं किया जा सकता है, क्योंकि एक चक्र में प्रत्येक पंक्ति या स्तंभ में दो और केवल दो सेल होते हैं। इसलिए, आप पहले या तो तालिका की सभी पंक्तियों को काट सकते हैं जिनमें से प्रत्येक में एक व्याप्त सेल है, या सभी कॉलम जिनमें प्रत्येक में एक व्याप्त सेल है, फिर कॉलम (पंक्तियों) पर वापस लौटें और उन्हें काटना जारी रखें। यदि, हटाने के परिणामस्वरूप, सभी पंक्तियों और स्तंभों को काट दिया जाता है, तो इसका मतलब है कि तालिका के कब्जे वाले कक्षों से एक चक्र बनाने वाले भाग का चयन करना असंभव है, और संबंधित वैक्टर-स्थितियों की प्रणाली रैखिक रूप से स्वतंत्र है, और समाधान एक संदर्भ है. यदि, हटाने के बाद, कुछ कोशिकाएँ रह जाती हैं, तो ये कोशिकाएँ एक चक्र बनाती हैं, संबंधित वैक्टर-स्थितियों की प्रणाली रैखिक रूप से निर्भर होती है, और समाधान संदर्भ नहीं होता है।

नीचे "क्रॉस्ड आउट" (संदर्भ) और "नॉन-क्रॉस्ड आउट" (गैर-समर्थन) समाधानों के उदाहरण दिए गए हैं:

;

"काट दिया गया" "काट नहीं दिया गया"

6. प्रारंभिक संदर्भ समाधान के निर्माण की विधियाँ। वायव्य कोण विधि.

प्रारंभिक संदर्भ समाधान के निर्माण के लिए कई विधियाँ हैं, जिनमें से सबसे सरल उत्तर-पश्चिम कोने की विधि है। इस पद्धति में, अगले आपूर्तिकर्ता के स्टॉक का उपयोग अगले उपभोक्ताओं के अनुरोधों को आपूर्ति करने के लिए किया जाता है जब तक कि वे पूरी तरह से समाप्त न हो जाएं, जिसके बाद अगले आपूर्तिकर्ता के स्टॉक का उपयोग किया जाता है।

परिवहन कार्य तालिका को भरना ऊपरी बाएँ कोने से शुरू होता है और इसमें कई समान चरण होते हैं। प्रत्येक चरण में, अगले आपूर्तिकर्ता के स्टॉक और अगले उपभोक्ता के अनुरोधों के आधार पर, केवल एक सेल भरा जाता है और तदनुसार, एक आपूर्तिकर्ता या उपभोक्ता को विचार से बाहर रखा जाता है। यह इस प्रकार किया जाता है:

शून्य शिपमेंट को तालिका में केवल तभी दर्ज करने की प्रथा है जब वे भरने के लिए सेल (i,j) में आते हैं। यदि परिवहन को तालिका के अगले सेल (i,j) में रखना आवश्यक है, और i-th आपूर्तिकर्ता या j-th उपभोक्ता के पास शून्य सूची या अनुरोध हैं, तो शून्य (मूल शून्य) के बराबर परिवहन रखा गया है सेल, और उसके बाद, हमेशा की तरह, संबंधित आपूर्तिकर्ता या उपभोक्ता को विचार से बाहर रखा जाता है। इस प्रकार, तालिका में केवल मूल शून्य दर्ज किए जाते हैं, शून्य परिवहन वाली शेष कोशिकाएँ खाली रहती हैं।

त्रुटियों से बचने के लिए, प्रारंभिक संदर्भ समाधान के निर्माण के बाद, यह जांचना आवश्यक है कि व्याप्त कोशिकाओं की संख्या m+n-1 के बराबर है और इन कोशिकाओं के अनुरूप स्थिति वैक्टर रैखिक रूप से स्वतंत्र हैं।

प्रमेय4.उत्तर-पश्चिम कोने की विधि द्वारा निर्मित परिवहन समस्या का समाधान संदर्भ है।

सबूत। संदर्भ समाधान द्वारा व्याप्त तालिका कोशिकाओं की संख्या N=m+n-1 के बराबर होनी चाहिए। उत्तर-पश्चिम कोने की विधि का उपयोग करके समाधान के निर्माण के प्रत्येक चरण में, एक सेल भरा जाता है और समस्या तालिका की एक पंक्ति (आपूर्तिकर्ता) या एक कॉलम (उपभोक्ता) को विचार से बाहर रखा जाता है। m+n-2 चरणों के बाद, तालिका में m+n-2 कोशिकाएँ व्याप्त हो जाएँगी। साथ ही, एक पंक्ति और एक कॉलम बिना क्रॉस किए रहेगा, केवल एक खाली सेल रहेगा। जब यह अंतिम सेल भर जाएगा, तो कब्जे वाले सेल की संख्या m+n-2+1=m+n-1 होगी।

आइए जाँच करें कि संदर्भ समाधान द्वारा व्याप्त कोशिकाओं के अनुरूप वेक्टर रैखिक रूप से स्वतंत्र हैं। आइए विलोपन विधि का उपयोग करें। यदि आप ऐसा उसी क्रम में करते हैं जिस क्रम में वे भरी हुई हैं तो सभी कब्जे वाली कोशिकाओं को हटाया जा सकता है।

यह ध्यान में रखना चाहिए कि उत्तर पश्चिमी कोने की विधि परिवहन की लागत को ध्यान में नहीं रखती है, इसलिए इस विधि द्वारा निर्मित संदर्भ समाधान इष्टतम से बहुत दूर हो सकता है।

अनिश्चित गुणांक विधि

आइए इसके लिए सरल भिन्नों में अपघटन ज्ञात करें।

सामान्य फ़ॉर्मइस मामले में विघटन

.

एक सामान्य विभाजक को कम करना और इसे त्यागना, हमारे पास है

x 2 -1=A(x 2 +1) 2 +(Bx+C)x+(Dx+E)(x 2 +1)x

आइए हम x की समान शक्तियों के लिए गुणांकों की बराबरी करें:

इसलिए, आवश्यक विस्तार का रूप है:

.

मान लीजिए कि एक उचित परिमेय भिन्न का हर Q(x) बहुलता के मूल के साथ एक वास्तविक संख्या है। फिर सबसे सरल भिन्नों में से, जिसका योग भिन्न विघटित होता है, एक भिन्न होती है। गुणक , कहाँ .

नियम:गुणांक ए की गणना करने के लिए सबसे सरल अंशगुणन a के बहुपद Q(x) के वास्तविक मूल a के अनुरूप, आपको भिन्न के हर में कोष्ठक को काट देना चाहिए और शेष अभिव्यक्ति में x=a डालें। ध्यान दें कि यह तकनीक केवल Q(x) की वास्तविक जड़ों के अनुरूप सरल भिन्नों की उच्च शक्तियों के गुणांक की गणना करने के लिए लागू है।

विलोपन विधि उस स्थिति में विशेष रूप से प्रभावी होती है जब हर Q(x) के केवल एक ही वास्तविक मूल हों, अर्थात। कब

Q(x)=(x-a 1)(x-a 2)×... ×(x-a n). तब प्रतिनिधित्व सत्य है

,

जिसके सभी गुणांकों की गणना विलोपन विधि का उपयोग करके की जा सकती है। गुणांक A k की गणना करने के लिए, आपको भिन्न के हर में कोष्ठक (x-a k) को काट देना चाहिए और शेष अभिव्यक्ति में x = a k डालना चाहिए।

भिन्न का विस्तार ज्ञात कीजिए

के लिए निमोनिक्स अंग्रेजी में- उन लोगों के लिए एक वास्तविक मोक्ष जिन्हें विदेशी शब्द सीखना कठिन लगता है।

तकनीकों का उद्देश्य शब्दों और छवियों के बीच संबंध बनाना है। इसे बनाने के लिए प्रत्यक्ष और अप्रत्यक्ष संघों का उपयोग किया जाता है। उदाहरण के लिए, शब्द "रात"इस प्रकार सीखा जा सकता है: "रात"अक्षर "N" से शुरू होता है - "N" अक्षर गहरे नीले रंग का है जिसके बीच-बीच में तारे जुड़े हुए हैं। एक बार जब मस्तिष्क संगति को स्वीकार कर लेता है, तो "रात" शब्द का कोई भी उल्लेख आपके दिमाग में एक याद की गई तस्वीर लाएगा।

अंग्रेजी सीखने के लिए निमोनिक्स तकनीक

इसमें हम पहले ही रेमन कॉम्पायो के अनुसार कई स्मृति संबंधी तकनीकें दे चुके हैं

हमारा सुझाव है कि आप नए व्यायाम सीखें:

• अक्षरों को काटने की विधिव्यंजन शब्दों और दृश्य में. आपको छड़ी शब्द सीखने की जरूरत है। एक संबद्ध चित्र बनाएं: आप छड़ी से कांच तोड़ रहे हैं। रूसी में साइन इन करें: "मैं कांच तोड़ता हूं।" ग्लास शब्द में E को I से बदलें, LO काट दें। आपको मिलता है: "मैंने छड़ी तोड़ दी।" दिमाग का सीधा जुड़ाव - इसे आप एक STICK से तोड़ सकते हैं.
• प्रस्ताव लेखन विधिरूसी में एक विदेशी शब्द के अर्थ का उपयोग करना और एक विदेशी शब्द के साथ व्यंजन रूसी शब्द का उपयोग करना। आचरण शब्द का अर्थ है आचरण करना। एक उदाहरण वाक्य: "उसने VKontakte में आने के लिए इंटरनेट नेविगेट किया" (व्यंजन - आचरण)।
• शब्द को ध्वनि के साथ जोड़ो.धनुष - निशानेबाजी के लिए धनुष। कल्पना करें कि आप एक हथियार के साथ खड़े हैं और धीरे-धीरे धनुष की प्रत्यंचा छोड़ रहे हैं। उसी समय आप सुनते हैं बजने की ध्वनि"झुकना।" इसकी ध्वनि, धात्विक कंपन पर ध्यान दें।
• किसी शब्द को किसी भावना के साथ जोड़ना. आँख - आँख. आप एक पेड़ के नीचे लेटे हुए हैं, अचानक आपकी आँख में कुछ चला जाता है। आप चिल्लाए "आउच!" आंख में किसी विदेशी वस्तु की अनुभूति को याद रखें; वह अनुभूति जब एक अप्रत्याशित विस्मयादिबोधक "अय!" फूट पड़ता है।

ग्लाइसिन डी3 लेने वाले लोगों के लिए निमोनिक तकनीक सफल है। सक्रिय पदार्थ मस्तिष्क की गतिविधि को उत्तेजित करता है, जिससे याद की गई जानकारी का स्तर बढ़ जाता है।

अंग्रेजी के लिए स्मरणीय तकनीकों वाला वीडियो

वीडियो उस व्यंजन तकनीक को दर्शाता है जिसके बारे में हमने ऊपर लिखा है और आपको एक पाठ में 10-15 नए शब्द याद करने की अनुमति देता है।

4 स्मरणीय पाठों की एक श्रृंखला: सबसे सरल शब्दों के लिए स्मरणीय तकनीकों का प्रदर्शन करने वाला एक वीडियो।

अंग्रेजी शब्द सीखने के लिए फ़ोन ऐप्स

अंग्रेजी सीखना पूरे दिन के लिए बाधित नहीं होना चाहिए: अपनी जेब में अच्छे ट्यूटोरियल रखने के लिए एक या अधिक ऐप्स डाउनलोड करें।

• "एक सप्ताह में 90% शब्द सीखें!". अंग्रेजी भाषा में 300 शब्द हैं जो दैनिक संचार का आधार बनते हैं। ये वे हैं जिन्हें डेवलपर्स सीखने का प्रस्ताव देते हैं। प्रशिक्षण एक परीक्षण के रूप में संरचित है: आपको अंग्रेजी में एक शब्द दिया जाता है और अनुवाद के विकल्प दिए जाते हैं। आप सही उत्तर चुनें. पाठ के दौरान, प्रत्येक शब्द को 5 बार दिखाया जाता है: यदि उत्तर सही हैं, तो शब्द को सीखा हुआ माना जाता है और उसे एक नए शब्द से बदल दिया जाता है।
• "चित्रों के साथ अंग्रेजी सीखना।"ऐप में 3000 सचित्र शब्द हैं। आप ऑफ़लाइन अध्ययन कर सकते हैं: फ़ोटो पर ध्यान केंद्रित करें, इसे याद रखने के लिए किसी शब्द के साथ संबद्ध करें। जिन उपयोगकर्ताओं ने एप्लिकेशन डाउनलोड किया है उनका दावा है कि यह है सबसे बढ़िया विकल्पअंग्रेज़ी सीखने के लिए।
• ब्रावोलोल।विषयों को विशेष ब्लॉकों में विभाजित किया गया है। याद रखने के लिए, इंटोनेशन के साथ खेलने का सुझाव दिया जाता है - यह स्मरणीय तकनीकों में से एक है। आपको कोई शब्द उस संदेश के आधार पर याद रहता है जिसके साथ वह बोला गया था। उद्घोषक वाक्यों को विनम्रतापूर्वक, क्रोधपूर्वक या प्रसन्नतापूर्वक उच्चारण करने की पेशकश करता है।

यदि आप अंग्रेजी सीखने की दिलचस्प स्मरणीय तकनीक जानते हैं, तो टिप्पणियों में साझा करें! आपका दिन शुभ हो!