Լոգարիթմներ քննության օրինակների վրա. Լոգարիթմներ. օրինակներ և լուծումներ

Լոգարիթմական արտահայտություններ, օրինակների լուծում. Այս հոդվածում մենք կանդրադառնանք լոգարիթմների լուծման հետ կապված խնդիրներին: Առաջադրանքները տալիս են արտահայտության իմաստը գտնելու հարց: Հարկ է նշել, որ լոգարիթմ հասկացությունն օգտագործվում է բազմաթիվ առաջադրանքներում, և դրա իմաստը հասկանալը չափազանց կարևոր է։ Ինչ վերաբերում է միասնական պետական ​​քննությանը, ապա լոգարիթմն օգտագործվում է հավասարումներ լուծելիս, կիրառական խնդիրներում, ինչպես նաև ֆունկցիաների ուսումնասիրության հետ կապված առաջադրանքներում։

Լոգարիթմի բուն իմաստը հասկանալու համար բերենք օրինակներ.

Հիմնական լոգարիթմական ինքնությունը.

Լոգարիթմների հատկությունները, որոնք միշտ պետք է հիշել.

*Արտադրյալի լոգարիթմը հավասար է գործոնների լոգարիթմների գումարին։

* * *

*Քաղորդի (կոտորակի) լոգարիթմը հավասար է գործոնների լոգարիթմների տարբերությանը:

* * *

*Ցուցանիշի լոգարիթմը հավասար է ցուցիչի և նրա հիմքի լոգարիթմի արտադրյալին:

* * *

*Անցում նոր հիմքի

* * *

Լրացուցիչ հատկություններ.

* * *

Լոգարիթմների հաշվարկը սերտորեն կապված է ցուցիչների հատկությունների օգտագործման հետ։

Թվարկենք դրանցից մի քանիսը.

Այս հատկության էությունն այն է, որ երբ համարիչը փոխանցվում է հայտարարին և հակառակը, ցուցիչի նշանը փոխվում է հակառակի։ Օրինակ:

Հետևանք այս հատկությունից.

* * *

Հզորությունը հզորության բարձրացնելիս հիմքը մնում է նույնը, բայց աստիճանները բազմապատկվում են:

* * *

Ինչպես տեսաք, լոգարիթմի հասկացությունն ինքնին պարզ է: Հիմնական բանը այն է, որ ձեզ լավ պրակտիկա է պետք, որը ձեզ որոշակի հմտություն է տալիս: Իհարկե, բանաձևերի իմացությունը պարտադիր է։ Եթե ​​տարրական լոգարիթմների փոխակերպման հմտությունը զարգացած չէ, ապա պարզ առաջադրանքներ լուծելիս հեշտությամբ կարող եք սխալվել։

Զբաղվե՛ք, սկզբում լուծե՛ք մաթեմատիկայի դասընթացի ամենապարզ օրինակները, ապա անցե՛ք ավելի բարդներին։ Ապագայում ես անպայման ցույց կտամ, թե ինչպես են լուծվում «սարսափելի» լոգարիթմները, դրանք չեն հայտնվի միասնական պետական ​​քննությանը, բայց դրանք հետաքրքիր են, բաց մի թողեք դրանք:

Այսքանը: Հաջողություն քեզ!

Հարգանքներով՝ Ալեքսանդր Կրուտիցկիխ

P.S. Ես շնորհակալ կլինեմ, եթե ինձ ասեք կայքի մասին սոցիալական ցանցերում:

Մեզ համար կարևոր է ձեր գաղտնիության պահպանումը: Այդ իսկ պատճառով մենք մշակել ենք Գաղտնիության քաղաքականություն, որը նկարագրում է, թե ինչպես ենք մենք օգտագործում և պահպանում ձեր տվյալները: Խնդրում ենք վերանայել մեր գաղտնիության գործելակերպը և եթե հարցեր ունեք, տեղեկացրեք մեզ:

Անձնական տեղեկատվության հավաքագրում և օգտագործում

Անձնական տեղեկատվությունը վերաբերում է այն տվյալներին, որոնք կարող են օգտագործվել կոնկրետ անձի նույնականացման կամ կապ հաստատելու համար:

Ձեզանից կարող է պահանջվել տրամադրել ձեր անձնական տվյալները ցանկացած ժամանակ, երբ դուք կապվեք մեզ հետ:

Ստորև բերված են անձնական տեղեկատվության տեսակների մի քանի օրինակներ, որոնք մենք կարող ենք հավաքել և ինչպես կարող ենք օգտագործել այդպիսի տեղեկատվությունը:

Ինչ անձնական տվյալներ ենք մենք հավաքում.

• Երբ դուք դիմում եք ներկայացնում կայքում, մենք կարող ենք հավաքել տարբեր տեղեկություններ, ներառյալ ձեր անունը, հեռախոսահամարը, էլ.փոստի հասցեն և այլն:

Ինչպես ենք մենք օգտագործում ձեր անձնական տվյալները.

• Մեր հավաքած անձնական տեղեկությունները մեզ թույլ են տալիս կապ հաստատել ձեզ հետ եզակի առաջարկների, առաջխաղացումների և այլ իրադարձությունների և գալիք իրադարձությունների հետ:
• Ժամանակ առ ժամանակ մենք կարող ենք օգտագործել ձեր անձնական տվյալները կարևոր ծանուցումներ և հաղորդակցություններ ուղարկելու համար:
• Մենք կարող ենք նաև օգտագործել անձնական տվյալները ներքին նպատակների համար, ինչպիսիք են աուդիտի, տվյալների վերլուծության և տարբեր հետազոտությունների անցկացումը՝ մեր կողմից տրամադրվող ծառայությունները բարելավելու և ձեզ մեր ծառայությունների վերաբերյալ առաջարկություններ տրամադրելու համար:
• Եթե ​​դուք մասնակցում եք մրցանակների խաղարկության, մրցույթի կամ նմանատիպ ակցիայի, մենք կարող ենք օգտագործել ձեր տրամադրած տեղեկատվությունը նման ծրագրերը կառավարելու համար:

Տեղեկատվության բացահայտում երրորդ անձանց

Մենք ձեզանից ստացված տեղեկատվությունը երրորդ կողմերին չենք բացահայտում:

Բացառություններ.

• Անհրաժեշտության դեպքում՝ օրենքին համապատասխան, դատական ​​կարգով, դատական ​​գործընթացներում և/կամ Ռուսաստանի Դաշնության պետական ​​մարմինների հանրային խնդրանքների կամ խնդրանքների հիման վրա՝ բացահայտել ձեր անձնական տվյալները: Մենք կարող ենք նաև բացահայտել ձեր մասին տեղեկությունները, եթե մենք որոշենք, որ նման բացահայտումն անհրաժեշտ է կամ տեղին է անվտանգության, օրենքի կիրառման կամ հանրային նշանակության այլ նպատակների համար:
• Վերակազմակերպման, միաձուլման կամ վաճառքի դեպքում մենք կարող ենք փոխանցել մեր հավաքած անձնական տվյալները համապատասխան իրավահաջորդ երրորդ կողմին:

Անձնական տեղեկատվության պաշտպանություն

Մենք նախազգուշական միջոցներ ենք ձեռնարկում, ներառյալ վարչական, տեխնիկական և ֆիզիկական, պաշտպանելու ձեր անձնական տվյալները կորստից, գողությունից և չարաշահումից, ինչպես նաև չարտոնված մուտքից, բացահայտումից, փոփոխությունից և ոչնչացումից:

Հարգելով ձեր գաղտնիությունը ընկերության մակարդակով

Ապահովելու համար, որ ձեր անձնական տվյալները անվտանգ են, մենք գաղտնիության և անվտանգության չափանիշները հաղորդում ենք մեր աշխատակիցներին և խստորեն կիրառում ենք գաղտնիության պրակտիկան:

Այս վիդեո ձեռնարկում մենք կանդրադառնանք բավականին լուրջ լոգարիթմական հավասարման լուծմանը, որում ոչ միայն պետք է գտնել արմատները, այլև ընտրել դրանք, որոնք ընկած են տվյալ հատվածի վրա:

Խնդիր C1. Լուծե՛ք հավասարումը. Գտեք այս հավասարման բոլոր արմատները, որոնք պատկանում են միջակայքին:

Նշում լոգարիթմական հավասարումների մասին

Այնուամենայնիվ, տարեցտարի ինձ մոտ ուսանողներ են գալիս, ովքեր փորձում են լուծել այնպիսի, անկեղծ ասած. դժվարին հավասարումներ, բայց միևնույն ժամանակ նրանք չեն կարողանում հասկանալ՝ որտեղի՞ց պետք է սկսել և ինչպե՞ս մոտենալ լոգարիթմներին։ Այս խնդիրը կարող է առաջանալ նույնիսկ ուժեղ, լավ պատրաստված ուսանողների շրջանում:

Արդյունքում շատերը սկսում են վախենալ այս թեմայից, կամ նույնիսկ իրենց հիմար են համարում: Այսպիսով, հիշեք, եթե դուք չեք կարող լուծել նման հավասարումը, դա ամենևին չի նշանակում, որ դուք հիմար եք: Քանի որ, օրինակ, դուք կարող եք կարգավորել այս հավասարումը գրեթե բանավոր.

մատյան 2 x = 4

Եվ եթե դա այդպես չէ, դուք հիմա չէիք կարդալու այս տեքստը, քանի որ զբաղված էիք ավելի պարզ և առօրյա գործերով։ Իհարկե, ինչ-որ մեկը հիմա կառարկի. «Ի՞նչ կապ ունի այս ամենապարզ հավասարումը մեր առողջ կառուցվածքի հետ»: Ես պատասխանում եմ՝ ցանկացած լոգարիթմական հավասարում, որքան էլ այն բարդ լինի, ի վերջո հանգում է այս ամենապարզ կառուցվածքներին, որոնք կարելի է բանավոր լուծել:

Իհարկե, բարդ լոգարիթմական հավասարումներից պետք է անցնել ավելի պարզերի ոչ թե ընտրության կամ դափի հետ պարելու միջոցով, այլ հստակ, երկար սահմանված կանոնների համաձայն, որոնք կոչվում են. լոգարիթմական արտահայտությունների փոխակերպման կանոններ. Իմանալով դրանք՝ դուք հեշտությամբ կարող եք գործ ունենալ մաթեմատիկայի միասնական պետական ​​քննության նույնիսկ ամենաբարդ հավասարումների հետ:

Եվ հենց այս կանոնների մասին կխոսենք այսօրվա դասում։ Գնա՛

Գ1 խնդրի լոգարիթմական հավասարման լուծում

Այսպիսով, մենք լուծում ենք հավասարումը.

Առաջին հերթին, երբ խոսքը վերաբերում է լոգարիթմական հավասարումների, մենք հիշում ենք հիմնական մարտավարությունը, այսպես ասած, լոգարիթմական հավասարումների լուծման հիմնական կանոնը: Այն բաղկացած է հետևյալից.

Կանոնական ձևի թեորեմ. Ցանկացած լոգարիթմական հավասարում, անկախ նրանից, թե ինչ է այն ներառում, անկախ նրանից, թե ինչ լոգարիթմներ, անկախ նրանից, թե ինչ հիմք, և անկախ նրանից, թե ինչ է պարունակում, անպայման պետք է կրճատվի ձևի հավասարման.

log a f (x) = log a g (x)

Եթե ​​նայենք մեր հավասարմանը, անմիջապես նկատում ենք երկու խնդիր.

1. Ձախ կողմում մենք ունենք երկու թվերի գումար, որոնցից մեկն ամենևին էլ լոգարիթմ չէ։
2. Աջ կողմում բավականին լոգարիթմ է, բայց դրա հիմքում արմատ կա: Իսկ ձախ կողմում լոգարիթմը պարզապես 2 է, այսինքն. Ձախ և աջ լոգարիթմների հիմքերը տարբեր են։

Այսպիսով, մենք կազմել ենք խնդիրների այս ցանկը, որոնք բաժանում են մեր հավասարումը դրանից կանոնական հավասարում, որին լուծման գործընթացում պետք է իջեցվի ցանկացած լոգարիթմական հավասարում։ Այսպիսով, այս փուլում մեր հավասարումը լուծելը հանգում է վերը նկարագրված երկու խնդիրների վերացմանը:

Ցանկացած լոգարիթմական հավասարում կարող է արագ և հեշտությամբ լուծվել, եթե այն հասցնեք իր կանոնական ձևին:

Արտադրանքի լոգարիթմների և լոգարիթմների գումարը

Շարունակենք ըստ հերթականության։ Նախ, եկեք նայենք ձախ կողմում գտնվող կառուցվածքին: Ի՞նչ կարող ենք ասել երկու լոգարիթմների գումարի մասին: Հիշենք հրաշալի բանաձևը.

log a f (x) + log a g (x) = log a f (x) g (x)

Բայց արժե հաշվի առնել, որ մեր դեպքում առաջին անդամը ամենևին էլ լոգարիթմ չէ։ Սա նշանակում է, որ մենք պետք է ներկայացնենք միավորը որպես լոգարիթմ 2-ի հիմքում (ճիշտ 2, քանի որ 2-ի լոգարիթմը ձախ կողմում է): Ինչպե՞ս դա անել: Կրկին հիշենք հրաշալի բանաձևը.

a = log b b a

Այստեղ դուք պետք է հասկանաք. երբ մենք ասում ենք «Ցանկացած հիմք b», մենք նկատի ունենք, որ b-ն դեռ չի կարող կամայական թիվ լինել: Եթե ​​թիվ մտցնենք լոգարիթմի մեջ, որոշակի սահմանափակումներ, այն է՝ լոգարիթմի հիմքը պետք է լինի 0-ից մեծ և չպետք է հավասար լինի 1-ի։ Հակառակ դեպքում, լոգարիթմը պարզապես իմաստ չունի։ Եկեք գրենք սա.

0 < b ≠ 1

Տեսնենք, թե ինչ է տեղի ունենում մեր դեպքում.

1 = մատյան 2 2 1 = մատյան 2 2

Հիմա եկեք վերաշարադրենք մեր ամբողջ հավասարումը` հաշվի առնելով այս փաստը: Եվ մենք անմիջապես կիրառում ենք մեկ այլ կանոն՝ լոգարիթմների գումարը հավասար է փաստարկների արտադրյալի լոգարիթմին։ Արդյունքում մենք ստանում ենք.

Մենք ունենք նոր հավասարում. Ինչպես տեսնում ենք, դա արդեն շատ ավելի մոտ է այն կանոնական հավասարմանը, որին մենք ձգտում ենք։ Բայց կա մի խնդիր, մենք դա գրեցինք որպես երկրորդ կետ՝ մեր լոգարիթմները, որոնք գտնվում են աջ և ձախ կողմում, տարբեր պատճառներով. Անցնենք հաջորդ քայլին։

Լոգարիթմից ուժերը հանելու կանոններ

Այսպիսով, ձախ կողմի լոգարիթմն ունի ընդամենը 2 հիմք, իսկ աջ կողմի լոգարիթմը հիմքում ունի արմատ: Բայց սա խնդիր չէ, եթե հիշենք, որ լոգարիթմի փաստարկների հիմքերը կարելի է հասցնել հզորությունների։ Եկեք գրենք այս կանոններից մեկը.

log a b n = n log a b

Թարգմանված է մարդկային լեզվով. կարող եք ուժը հանել լոգարիթմի հիմքից և դնել այն առջևում՝ որպես բազմապատկիչ։ n թիվը լոգարիթմից «գաղթեց» դեպի դուրս և դարձավ գործակից առջևում։

Մենք նույնքան հեշտությամբ կարող ենք ուժը ստանալ լոգարիթմի հիմքից: Այն այսպիսի տեսք կունենա.

Այսինքն, եթե աստիճանը հանեք լոգարիթմի փաստարկից, ապա այս աստիճանը նույնպես գրվում է որպես գործակից լոգարիթմից առաջ, բայց ոչ թե որպես թիվ, այլ որպես փոխադարձ թիվ 1/k։

Այնուամենայնիվ, սա դեռ ամենը չէ: Մենք կարող ենք համատեղել այս երկու բանաձևերը և ստանալ հետևյալ բանաձևը.

Երբ հզորությունը հայտնվում է և՛ հիմքում, և՛ լոգարիթմի արգումենտում, մենք կարող ենք ժամանակ խնայել և պարզեցնել հաշվարկները՝ անմիջապես հեռացնելով հզորությունները և՛ հիմքից, և՛ փաստարկից: Այս դեպքում այն, ինչ կար արգումենտում (մեր դեպքում սա n գործակիցն է), կհայտնվի համարիչում։ Իսկ թե ինչ աստիճան էր հիմքում` a k-ն, կգնա հայտարարին:

Եվ հենց այս բանաձևերն են, որ մենք այժմ կօգտագործենք մեր լոգարիթմները նույն հիմքի վրա իջեցնելու համար:

Նախ ընտրենք քիչ թե շատ գեղեցիկ հիմք։ Ակնհայտ է, որ հիմքում երկուսի հետ աշխատելը շատ ավելի հաճելի է, քան արմատով։ Այսպիսով, եկեք փորձենք կրճատել երկրորդ լոգարիթմը մինչև 2 հիմք: Եկեք այս լոգարիթմը գրենք առանձին.

Ի՞նչ կարող ենք անել այստեղ: Հիշենք հզորության բանաձևը ռացիոնալ ցուցիչով. Այսինքն՝ արմատները կարող ենք գրել որպես ռացիոնալ արտահայտիչ ունեցող ուժ։ Եվ հետո մենք վերցնում ենք 1/2-ի հզորությունը և՛ փաստարկից, և՛ լոգարիթմի հիմքից: Մենք կրճատում ենք երկուսը լոգարիթմի դիմաց կանգնած համարիչի և հայտարարի գործակիցների մեջ.

Ի վերջո, եկեք վերաշարադրենք սկզբնական հավասարումը` հաշվի առնելով նոր գործակիցները.

մատյան 2 2 (9x 2 + 5) = մատյան 2 (8x 4 + 14)

Մենք ստացել ենք կանոնական լոգարիթմական հավասարումը: Ե՛վ ձախ, և՛ աջ կողմում մենք ունենք լոգարիթմ նույն 2-րդ հիմքի վրա: Բացի այս լոգարիթմներից, չկան գործակիցներ, տերմիններ ո՛չ ձախ, ո՛չ աջ:

Հետևաբար, մենք կարող ենք ազատվել լոգարիթմի նշանից։ Իհարկե, հաշվի առնելով սահմանման տիրույթը։ Բայց մինչ դա անելը, վերադառնանք և մի փոքր պարզաբանում անենք կոտորակների վերաբերյալ։

Կոտորակի բաժանումը կոտորակի վրա. Լրացուցիչ նկատառումներ

Ոչ բոլոր ուսանողներն են հասկանում, թե որտեղից են գալիս և ուր են գնում ճիշտ լոգարիթմի առջև գտնվող գործոնները: Եկեք նորից գրենք.

Եկեք պարզենք, թե ինչ է կոտորակը: Եկեք գրենք.

Հիմա հիշենք կոտորակների բաժանման կանոնը՝ 1/2-ի բաժանելու համար անհրաժեշտ է բազմապատկել շրջված կոտորակի վրա.

Իհարկե, հետագա հաշվարկների հարմարության համար մենք կարող ենք երկուսը գրել որպես 2/1, և սա այն է, ինչ մենք դիտարկում ենք որպես լուծման գործընթացի երկրորդ գործակից:

Հուսով եմ, որ հիմա բոլորը հասկանում են, թե որտեղից է գալիս երկրորդ գործակիցը, ուստի եկեք ուղղակիորեն անցնենք մեր կանոնական լոգարիթմական հավասարման լուծմանը:

Ազատվել լոգարիթմի նշանից

Հիշեցնեմ, որ այժմ մենք կարող ենք ազատվել լոգարիթմներից և թողնել հետևյալ արտահայտությունը.

2 (9x 2 + 5) = 8x 4 + 14

Բացենք ձախ կողմի փակագծերը։ Մենք ստանում ենք.

18x 2 + 10 = 8x 4 + 14

Եկեք ամեն ինչ տեղափոխենք ձախից աջ.

8x 4 + 14 − 18x 2 − 10 = 0

Բերենք նմանատիպերը և ստանանք.

8x 4 − 18x 2 + 4 = 0

Գործակիցները պարզեցնելու համար այս հավասարման երկու կողմերը կարող ենք բաժանել 2-ի և ստանում ենք.

4x 4 − 9x 2 + 2 = 0

Մեր առջև սովորական է երկքառակուսի հավասարում, և դրա արմատները հեշտությամբ հաշվարկվում են տարբերակիչի միջոցով։ Այսպիսով, եկեք գրենք տարբերակիչ.

D = 81 − 4 4 2 = 81 − 32 = 49

Հիանալի է, դիսկրիմինանտը «գեղեցիկ» է, դրա արմատը 7 է: Վերջ, եկեք ինքներս հաշվենք X-ը: Բայց այս դեպքում արմատները կլինեն ոչ թե x, այլ x 2, քանի որ մենք ունենք երկքառակուսի հավասարում։ Այսպիսով, մեր տարբերակները.

Խնդրում ենք նկատի ունենալ. մենք արմատները հանեցինք, ուստի երկու պատասխան կլինի, քանի որ... քառակուսի - նույնիսկ գործառույթ. Իսկ եթե գրենք միայն երկուսի արմատը, ապա ուղղակի կկորցնենք երկրորդ արմատը։

Այժմ մենք գրում ենք մեր երկքառակուսի հավասարման երկրորդ արմատը.

Կրկին վերցնում ենք մեր հավասարման երկու կողմերի թվաբանական քառակուսի արմատը և ստանում երկու արմատ։ Այնուամենայնիվ, հիշեք.

Բավական չէ պարզապես հավասարեցնել լոգարիթմների փաստարկները կանոնական ձևով։ Հիշեք սահմանման տիրույթը:

Ընդհանուր առմամբ մենք ստացել ենք չորս արմատ. Դրանք բոլորն իսկապես մեր սկզբնական հավասարման լուծումներն են: Նայեք. մեր սկզբնական լոգարիթմական հավասարման մեջ ներսում լոգարիթմները կամ 9x 2 + 5 են (այս ֆունկցիան միշտ դրական է) կամ 8x 4 + 14, որը նույնպես միշտ դրական է: Հետևաբար, լոգարիթմների սահմանման տիրույթը ամեն դեպքում բավարարվում է, անկախ նրանից, թե ինչ արմատ ենք ստանում, ինչը նշանակում է, որ բոլոր չորս արմատները մեր հավասարման լուծումներն են։

Հիանալի է, հիմա անցնենք խնդրի երկրորդ մասին:

Հատվածի վրա լոգարիթմական հավասարման արմատների ընտրություն

Մեր չորս արմատներից ընտրում ենք [−1; 8/9]։ Մենք վերադառնում ենք մեր ակունքներին, և այժմ կիրականացնենք դրանց ընտրությունը։ Սկսելու համար ես առաջարկում եմ գծել կոորդինատային առանցք և դրա վրա նշել հատվածի ծայրերը.

Երկու կետերն էլ ստվերված կլինեն: Նրանք. Ըստ խնդրի պայմանների՝ մեզ հետաքրքրում է ստվերային հատվածը։ Հիմա եկեք նայենք արմատներին:

Իռացիոնալ արմատներ

Սկսենք իռացիոնալ արմատներից։ Նշենք, որ 8/9< 9/9 = 1. С другой стороны, корень из двух явно больше единицы. Следовательно, наши корни будут находиться на отрезке в таком положении:

Այստեղից հետևում է, որ երկուսի արմատը չի մտնում մեզ հետաքրքրող հատվածի մեջ։ Նմանապես, մենք կստանանք բացասական արմատ. այն −1-ից փոքր է, այսինքն՝ գտնվում է մեզ հետաքրքրող հատվածից ձախ:

Ռացիոնալ արմատներ

Մնացել է երկու արմատ՝ x = 1/2 և x = −1/2: Նկատենք, որ (−1) հատվածի ձախ ծայրը բացասական է, իսկ աջ ծայրը (8/9)՝ դրական։ Հետևաբար, այս ծայրերի միջև ինչ-որ տեղ գտնվում է 0 թիվը: Արմատը x = -1/2 կլինի −1-ի և 0-ի միջև, այսինքն. կավարտվի վերջնական պատասխանում. Մենք նույնն ենք անում x = 1/2 արմատի հետ: Այս արմատը նույնպես գտնվում է դիտարկվող հատվածի վրա:

Կարող եք համոզվել, որ 8/9-ը մեծ է 1/2-ից: Եկեք այս թվերն իրարից հանենք.

Ստացանք 7/18 > 0 կոտորակը, որն ըստ սահմանման նշանակում է, որ 8/9 > 1/2:

Համապատասխան արմատները նշենք կոորդինատային առանցքի վրա.

Վերջնական պատասխանը կլինի երկու արմատ՝ 1/2 և −1/2:

Իռացիոնալ թվերի համեմատություն. ունիվերսալ ալգորիթմ

Եզրափակելով՝ կցանկանայի ևս մեկ անգամ վերադառնալ իռացիոնալ թվերին։ Օգտագործելով նրանց օրինակը, մենք այժմ կանդրադառնանք, թե ինչպես կարելի է համեմատել ռացիոնալ և իռացիոնալ մեծությունները մաթեմատիկայի մեջ: Սկզբից, նրանց միջև կա նման տիզ V՝ «ավելի շատ» կամ «պակաս» նշան, բայց մենք դեռ չգիտենք, թե որ ուղղությամբ է այն ուղղված: Եկեք գրենք.

Ինչու՞ մեզ ընդհանրապես պետք են համեմատության ալգորիթմներ: Փաստն այն է, որ այս հարցում մեր բախտը բերել է. լուծելու ընթացքում առաջացել է բաժանարար թիվ 1-ը, որի մասին միանշանակ կարելի է ասել.

Այնուամենայնիվ, միշտ չէ, որ դուք անմիջապես կտեսնեք նման թիվ: Այսպիսով, եկեք փորձենք համեմատել մեր թվերը ուղղակիորեն:

Ինչպե՞ս է դա արվում: Մենք անում ենք նույնը, ինչ սովորական անհավասարությունների դեպքում.

1. Նախ, եթե ինչ-որ տեղ ունենայինք բացասական գործակիցներ, անհավասարության երկու կողմերը կբազմապատկենք −1-ով։ Իհարկե փոխելով նշանը. Այս նշանը V կփոխվի սրա՝ Λ.
2. Բայց մեր դեպքում երկու կողմերն էլ արդեն դրական են, ուստի պետք չէ ինչ-որ բան փոխել։ Այն, ինչ իսկապես անհրաժեշտ է երկու կողմերից քառակուսիարմատականից ազատվելու համար.

Եթե ​​իռացիոնալ թվերը համեմատելիս հնարավոր չէ անմիջապես ընտրել տարանջատող տարրը, խորհուրդ եմ տալիս նման համեմատություն կատարել «գլխով»՝ այն բնութագրելով որպես սովորական անհավասարություն:

Այն լուծելիս այն ձևակերպվում է այսպես.

Այժմ ամեն ինչ հեշտ է համեմատել: Բանն այն է, որ 64/81թ< 81/81 = 1 < 2. На основании той цепочки преобразований мы заключаем, что 64/81 < 2 и, следовательно, корень больше 8/9.

Վերջ, մենք ստացել ենք խիստ ապացույց, որ բոլոր թվերը x թվային տողի վրա նշված են ճիշտ և ճիշտ այն հաջորդականությամբ, որով իրականում պետք է լինեն։ Ոչ ոք սխալ չի գտնի այս լուծման մեջ, այնպես որ հիշեք. եթե դուք անմիջապես չեք տեսնում բաժանարար թիվը (մեր դեպքում դա 1 է), ապա ազատ զգալ դուրս գրեք վերը նշված կառուցվածքը, բազմապատկեք, քառակուսիացրեք այն, և վերջում դուք կտեսնեք: ստանալ գեղեցիկ անհավասարություն. Այս անհավասարությունից պարզ կլինի, թե որ թիվն է ավելի մեծ, որը՝ պակաս։

Վերադառնալով մեր խնդրին, ուզում եմ ևս մեկ անգամ ձեր ուշադրությունը հրավիրել այն բանի վրա, թե ինչ արեցինք հենց սկզբում մեր հավասարումը լուծելիս։ Մասնավորապես. մենք ուշադիր նայեցինք մեր սկզբնական լոգարիթմական հավասարմանը և փորձեցինք այն իջեցնել կանոնականլոգարիթմական հավասարում. Այնտեղ, որտեղ ձախ և աջ կողմում կան միայն լոգարիթմներ, առանց հավելյալ տերմինների, առջևում գործակիցների և այլն: Մեզ պետք չեն երկու լոգարիթմներ a կամ b-ի վրա, այլ լոգարիթմ, որը հավասար է մեկ այլ լոգարիթմի:

Բացի այդ, լոգարիթմների հիմքերը նույնպես պետք է հավասար լինեն։ Ընդ որում, եթե հավասարումը ճիշտ է կազմված, ապա տարրական լոգարիթմական փոխակերպումների օգնությամբ (լոգարիթմների գումարը, թվի վերածումը լոգարիթմի և այլն) այս հավասարումը կնվազեցնենք կանոնականի։

Հետևաբար, այսուհետ, երբ տեսնում եք լոգարիթմական հավասարում, որը հնարավոր չէ անմիջապես լուծել, չպետք է մոլորվեք կամ փորձեք պարզել պատասխանը: Ձեզ անհրաժեշտ է միայն հետևել հետևյալ քայլերին.

1. Բոլոր ազատ տարրերը փոխակերպեք լոգարիթմի;
2. Այնուհետև ավելացրեք այս լոգարիթմները.
3. Ստացված շինարարության մեջ կրճատեք բոլոր լոգարիթմները նույն հիմքի վրա:

Արդյունքում դուք կստանաք պարզ հավասարում, որը կարելի է լուծել 8-9-րդ դասարանների նյութերից տարրական հանրահաշվի գործիքների միջոցով: Ընդհանրապես մտեք իմ կայք, զբաղվեք լոգարիթմներ լուծելով, ինձ նման լոգարիթմական հավասարումներ լուծեք, ինձնից լավ լուծեք։ Եվ դա ինձ համար ամեն ինչ է: Ձեզ հետ էր Պավել Բերդովը։ Կտեսնվենք!

Ի՞նչ է լոգարիթմը:

Ուշադրություն.
Կան լրացուցիչ
նյութեր 555-րդ հատուկ բաժնում:
Նրանց համար, ովքեր շատ «ոչ շատ ...» են:
Եվ նրանց համար, ովքեր «շատ ...»)

Ի՞նչ է լոգարիթմը: Ինչպե՞ս լուծել լոգարիթմները: Այս հարցերը շփոթեցնում են շատ շրջանավարտների։ Ավանդաբար, լոգարիթմների թեման համարվում է բարդ, անհասկանալի և վախկոտ: Հատկապես լոգարիթմներով հավասարումներ։

Սա բացարձակապես ճիշտ չէ: Բացարձակապես! Չե՞ք հավատում ինձ: Լավ: Այժմ, ընդամենը 10-20 րոպեում դուք.

1. Կհասկանաք ինչ է լոգարիթմը.

2. Սովորեք լուծել էքսպոնենցիալ հավասարումների մի ամբողջ դաս: Նույնիսկ եթե դուք ոչինչ չեք լսել նրանց մասին:

3. Սովորեք հաշվարկել պարզ լոգարիթմներ:

Ընդ որում, դրա համար անհրաժեշտ կլինի իմանալ միայն բազմապատկման աղյուսակը և ինչպես կարելի է թիվը հասցնել ուժի...

Ինձ թվում է, որ դուք կասկածներ ունեք... Դե, լավ, նշեք ժամը։ Գնա՛

Նախ, ձեր գլխում լուծեք այս հավասարումը.

Եթե ​​Ձեզ դուր է գալիս այս կայքը...

Ի դեպ, ես ձեզ համար ևս մի քանի հետաքրքիր կայք ունեմ։)

Դուք կարող եք զբաղվել օրինակներ լուծելով և պարզել ձեր մակարդակը: Փորձարկում ակնթարթային ստուգմամբ: Սովորենք՝ հետաքրքրությամբ։)

Կարող եք ծանոթանալ ֆունկցիաներին և ածանցյալներին։

Ինչպես գիտեք, արտահայտությունները հզորություններով բազմապատկելիս դրանց ցուցիչները միշտ գումարվում են (a b *a c = a b+c): Այս մաթեմատիկական օրենքը ստացվել է Արքիմեդի կողմից, իսկ ավելի ուշ՝ 8-րդ դարում, մաթեմատիկոս Վիրասենը ստեղծեց ամբողջ թվերի ցուցիչների աղյուսակը։ Հենց նրանք էլ ծառայեցին լոգարիթմների հետագա հայտնաբերմանը։ Այս ֆունկցիան օգտագործելու օրինակներ կարելի է գտնել գրեթե ամենուր, որտեղ դուք պետք է պարզեցնեք ծանր բազմապատկումը պարզ գումարման միջոցով: Եթե ​​դուք 10 րոպե ծախսեք այս հոդվածը կարդալու համար, մենք ձեզ կբացատրենք, թե ինչ են լոգարիթմները և ինչպես աշխատել դրանց հետ: Պարզ և մատչելի լեզվով։

Սահմանում մաթեմատիկայի մեջ

Լոգարիթմը հետևյալ ձևի արտահայտությունն է՝ log a b=c, այսինքն՝ ցանկացած ոչ բացասական թվի (այսինքն՝ ցանկացած դրական) լոգարիթմը իր «a» հիմքի նկատմամբ համարվում է «c» հզորություն։ », որի վրա պետք է բարձրացնել «a» հիմքը, որպեսզի ի վերջո ստացվի «b» արժեքը: Օրինակներով վերլուծենք լոգարիթմը, ասենք կա արտահայտություն log 2 8. Ինչպե՞ս գտնել պատասխանը: Դա շատ պարզ է, դուք պետք է այնպիսի հզորություն գտնեք, որ 2-ից մինչև պահանջվող հզորությունը ստանաք 8: Ձեր գլխում որոշ հաշվարկներ կատարելուց հետո մենք ստանում ենք 3 թիվը: Եվ դա ճիշտ է, քանի որ 2-ը 3-ի չափով պատասխան է տալիս որպես 8:

Լոգարիթմների տեսակները

Շատ աշակերտների և ուսանողների համար այս թեման բարդ և անհասկանալի է թվում, բայց իրականում լոգարիթմներն այնքան էլ սարսափելի չեն, գլխավորը հասկանալ դրանց ընդհանուր իմաստը և հիշել դրանց հատկությունները և որոշ կանոններ: Լոգարիթմական արտահայտությունների երեք առանձին տեսակ կա.

1. Բնական լոգարիթմ ln a, որտեղ հիմքը Էյլերի թիվն է (e = 2.7):
2. Տասնորդական a, որտեղ հիմքը 10 է:
3. Ցանկացած b թվի լոգարիթմ՝ a>1 հիմքի վրա:

Դրանցից յուրաքանչյուրը լուծվում է ստանդարտ եղանակով, ներառյալ պարզեցումը, կրճատումը և հետագա կրճատումը մեկ լոգարիթմի՝ օգտագործելով լոգարիթմական թեորեմներ: Լոգարիթմների ճիշտ արժեքները ստանալու համար դրանք լուծելիս պետք է հիշել դրանց հատկությունները և գործողությունների հաջորդականությունը:

Կանոններ և որոշ սահմանափակումներ

Մաթեմատիկայի մեջ կան մի քանի կանոն-սահմանափակումներ, որոնք ընդունված են որպես աքսիոմ, այսինքն՝ քննարկման ենթակա չեն և ճշմարտություն են։ Օրինակ, անհնար է թվերը բաժանել զրոյի, ինչպես նաև անհնար է հանել բացասական թվերի զույգ արմատը։ Լոգարիթմներն ունեն նաև իրենց կանոնները, որոնց հետևելով կարող եք հեշտությամբ սովորել աշխատել նույնիսկ երկար և տարողունակ լոգարիթմական արտահայտություններով.

• «a» հիմքը միշտ պետք է լինի զրոյից մեծ և ոչ թե հավասար 1-ի, այլապես արտահայտությունը կկորցնի իր նշանակությունը, քանի որ «1» և «0» ցանկացած աստիճանի միշտ հավասար են իրենց արժեքներին.
• եթե a > 0, ապա a b >0, ստացվում է, որ «c»-ն նույնպես պետք է մեծ լինի զրոյից:

Ինչպե՞ս լուծել լոգարիթմները:

Օրինակ, առաջադրանք է տրված գտնել 10 x = 100 հավասարման պատասխանը: Սա շատ հեշտ է, դուք պետք է ընտրեք հզորություն՝ բարձրացնելով տասը թիվը, որից մենք ստանում ենք 100: Սա, իհարկե, 10 2 = է: 100.

Այժմ եկեք այս արտահայտությունը ներկայացնենք լոգարիթմական տեսքով։ Մենք ստանում ենք log 10 100 = 2: Լոգարիթմները լուծելիս բոլոր գործողությունները գործնականում միանում են՝ գտնելու այն հզորությունը, որին անհրաժեշտ է մուտքագրել լոգարիթմի հիմքը՝ տրված թիվ ստանալու համար:

Անհայտ աստիճանի արժեքը ճշգրիտ որոշելու համար դուք պետք է սովորեք, թե ինչպես աշխատել աստիճանների աղյուսակի հետ: Այն կարծես այսպիսին է.

Ինչպես տեսնում եք, որոշ ցուցիչներ կարելի է ինտուիտիվ կերպով գուշակել, եթե ունեք տեխնիկական միտք և գիտելիքներ բազմապատկման աղյուսակի վերաբերյալ: Այնուամենայնիվ, ավելի մեծ արժեքների համար ձեզ հարկավոր է էլեկտրական սեղան: Այն կարող է օգտագործվել նույնիսկ նրանց կողմից, ովքեր ընդհանրապես ոչինչ չգիտեն բարդ մաթեմատիկական թեմաների մասին: Ձախ սյունակը պարունակում է թվեր (հիմք ա), թվերի վերին շարքը c հզորության արժեքն է, որին բարձրացվում է a թիվը։ Խաչմերուկում բջիջները պարունակում են թվային արժեքներ, որոնք պատասխան են (a c =b): Վերցնենք, օրինակ, 10 թվով հենց առաջին բջիջը և քառակուսի դարձնենք, ստանում ենք 100 արժեքը, որը նշված է մեր երկու բջիջների հատման կետում։ Ամեն ինչ այնքան պարզ է և հեշտ, որ նույնիսկ ամենաիսկական հումանիստը կհասկանա:

Հավասարումներ և անհավասարություններ

Ստացվում է, որ որոշակի պայմաններում ցուցիչը լոգարիթմն է։ Հետևաբար, ցանկացած մաթեմատիկական թվային արտահայտություն կարող է գրվել որպես լոգարիթմական հավասարություն։ Օրինակ, 3 4 =81 կարելի է գրել որպես 81-ի 3-րդ լոգարիթմ, որը հավասար է չորսին (log 3 81 = 4): Բացասական հզորությունների համար կանոնները նույնն են՝ 2 -5 = 1/32 գրում ենք որպես լոգարիթմ, ստանում ենք log 2 (1/32) = -5։ Մաթեմատիկայի ամենահետաքրքիր բաժիններից մեկը «լոգարիթմների» թեման է։ Հավասարումների օրինակներն ու լուծումները կդիտարկենք ստորև՝ դրանց հատկություններն ուսումնասիրելուց անմիջապես հետո։ Հիմա եկեք տեսնենք, թե ինչ տեսք ունեն անհավասարությունները և ինչպես դրանք տարբերել հավասարումներից:

Տրված է հետևյալ արտահայտությունը՝ log 2 (x-1) > 3 - դա լոգարիթմական անհավասարություն է, քանի որ «x» անհայտ արժեքը գտնվում է լոգարիթմական նշանի տակ։ Եվ նաև արտահայտության մեջ համեմատվում են երկու մեծություններ՝ ցանկալի թվի լոգարիթմը երկու հիմքի նկատմամբ մեծ է երեք թվից։

Լոգարիթմական հավասարումների և անհավասարությունների միջև ամենակարևոր տարբերությունն այն է, որ լոգարիթմներով հավասարումները (օրինակ, լոգարիթմը 2 x = √9) պատասխանում ենթադրում են մեկ կամ մի քանի հատուկ թվային արժեքներ, մինչդեռ անհավասարություն լուծելիս երկուսն էլ ընդունելի միջակայք են: արժեքները և կետերը որոշվում են խախտելով այս ֆունկցիան: Որպես հետևանք, պատասխանը առանձին թվերի պարզ բազմություն չէ, ինչպես հավասարման պատասխանում, այլ շարունակական շարք կամ թվերի բազմություն:

Հիմնական թեորեմներ լոգարիթմների մասին

Լոգարիթմի արժեքները գտնելու պարզունակ խնդիրները լուծելիս նրա հատկությունները կարող են հայտնի չլինել: Այնուամենայնիվ, երբ խոսքը վերաբերում է լոգարիթմական հավասարումների կամ անհավասարություններին, առաջին հերթին անհրաժեշտ է հստակ հասկանալ և գործնականում կիրառել լոգարիթմների բոլոր հիմնական հատկությունները։ Մենք ավելի ուշ կանդրադառնանք հավասարումների օրինակներին, նախ եկեք ավելի մանրամասն նայենք յուրաքանչյուր հատկությանը:

1. Հիմնական ինքնությունն այսպիսի տեսք ունի՝ a logaB =B: Այն կիրառվում է միայն այն դեպքում, երբ a-ն մեծ է 0-ից, հավասար չէ մեկին, իսկ B-ն մեծ է զրոյից:
2. Արտադրանքի լոգարիթմը կարող է ներկայացվել հետևյալ բանաձևով. log d (s 1 * s 2) = log d s 1 + log d s 2: Այս դեպքում պարտադիր պայմանն է՝ d, s 1 և s 2 > 0; a≠1. Այս լոգարիթմական բանաձևի համար կարող եք ապացույցներ տալ՝ օրինակներով և լուծումներով։ Եկեք log a s 1 = f 1 և log a s 2 = f 2, ապա a f1 = s 1, a f2 = s 2: Մենք ստանում ենք, որ s 1 * s 2 = a f1 *a f2 = a f1+f2 (հատկություններ. աստիճաններ ), և այնուհետև ըստ սահմանման. log a (s 1 * s 2) = f 1 + f 2 = log a s1 + log a s 2, ինչը պետք է ապացուցվեր:
3. Քվեորդի լոգարիթմն ունի հետևյալ տեսքը՝ log a (s 1/ s 2) = log a s 1 - log a s 2:
4. Բանաձևի տեսքով թեորեմն ունի հետևյալ ձևը՝ log a q b n = n/q log a b.

Այս բանաձևը կոչվում է «լոգարիթմի աստիճանի հատկություն»: Այն նման է սովորական աստիճանների հատկություններին, և դա զարմանալի չէ, քանի որ բոլոր մաթեմատիկան հիմնված է բնական պոստուլատների վրա։ Եկեք նայենք ապացույցին.

Թող log a b = t, ստացվում է t =b: Եթե ​​երկու մասերն էլ բարձրացնենք մ հզորության՝ a tn = b n ;

բայց քանի որ a tn = (a q) nt/q = b n, հետևաբար log a q b n = (n*t)/t, ապա log a q b n = n/q log a b. Թեորեմն ապացուցված է.

Խնդիրների և անհավասարությունների օրինակներ

Լոգարիթմների վրա խնդիրների ամենատարածված տեսակները հավասարումների և անհավասարությունների օրինակներն են: Դրանք հանդիպում են գրեթե բոլոր պրոբլեմային գրքերում, ինչպես նաև մաթեմատիկայի քննությունների պարտադիր մասն են։ Համալսարան ընդունվելու կամ մաթեմատիկայի ընդունելության քննություններ հանձնելու համար պետք է իմանալ, թե ինչպես ճիշտ լուծել նման առաջադրանքները։

Ցավոք, չկա լոգարիթմի անհայտ արժեքը լուծելու և որոշելու մեկ պլան կամ սխեմա, սակայն որոշակի կանոններ կարող են կիրառվել յուրաքանչյուր մաթեմատիկական անհավասարության կամ լոգարիթմական հավասարման համար։ Առաջին հերթին, դուք պետք է պարզեք, թե արդյոք արտահայտությունը կարող է պարզեցվել կամ կրճատվել ընդհանուր ձևի: Դուք կարող եք պարզեցնել երկար լոգարիթմական արտահայտությունները, եթե ճիշտ օգտագործեք դրանց հատկությունները: Եկեք արագ ծանոթանանք նրանց հետ:

Լոգարիթմական հավասարումներ լուծելիս մենք պետք է որոշենք, թե ինչպիսի լոգարիթմ ունենք. օրինակ արտահայտությունը կարող է պարունակել բնական լոգարիթմ կամ տասնորդական:

Ահա օրինակներ ln100, ln1026: Նրանց լուծումը հանգում է նրան, որ նրանք պետք է որոշեն այն հզորությունը, որով 10-րդ բազան համապատասխանաբար հավասար կլինի 100-ի և 1026-ի: Բնական լոգարիթմները լուծելու համար անհրաժեշտ է կիրառել լոգարիթմական նույնականացումներ կամ դրանց հատկությունները: Դիտարկենք տարբեր տեսակի լոգարիթմական խնդիրների լուծման օրինակներ:

Ինչպես օգտագործել լոգարիթմի բանաձևերը. օրինակներով և լուծումներով

Այսպիսով, եկեք նայենք լոգարիթմների վերաբերյալ հիմնական թեորեմների օգտագործման օրինակներին:

1. Արտադրանքի լոգարիթմի հատկությունը կարող է օգտագործվել այնպիսի առաջադրանքներում, որտեղ անհրաժեշտ է b թվի մեծ արժեքը տարրալուծել ավելի պարզ գործոնների։ Օրինակ՝ log 2 4 + log 2 128 = log 2 (4*128) = log 2 512. Պատասխանը 9 է։
2. log 4 8 = log 2 2 2 3 = 3/2 log 2 2 = 1.5 - ինչպես տեսնում եք, օգտագործելով լոգարիթմի հզորության չորրորդ հատկությունը, մեզ հաջողվեց լուծել բարդ և անլուծելի թվացող արտահայտությունը։ Պարզապես պետք է գործոնավորել հիմքը և այնուհետև լոգարիթմի նշանից հանել ցուցիչի արժեքները:

Առաջադրանքներ միասնական պետական ​​քննությունից

Լոգարիթմները հաճախ հանդիպում են ընդունելության քննություններին, հատկապես լոգարիթմական բազմաթիվ խնդիրներ միասնական պետական ​​քննության ժամանակ (պետական ​​քննություն բոլոր դպրոցների շրջանավարտների համար): Սովորաբար այս առաջադրանքները առկա են ոչ միայն A մասում (քննության ամենահեշտ թեստային մասը), այլ նաև C մասում (ամենաբարդ և ծավալուն առաջադրանքները): Քննությունը պահանջում է «Բնական լոգարիթմներ» թեմայի ճշգրիտ և կատարյալ իմացություն:

Օրինակներ և խնդիրների լուծումներ վերցված են Պետական ​​միասնական քննության պաշտոնական տարբերակներից։ Տեսնենք, թե ինչպես են լուծվում նման խնդիրները։

Տրված է log 2 (2x-1) = 4. Լուծում:
եկեք վերաշարադրենք արտահայտությունը՝ մի փոքր պարզեցնելով այն log 2 (2x-1) = 2 2, լոգարիթմի սահմանմամբ մենք ստանում ենք, որ 2x-1 = 2 4, հետևաբար 2x = 17; x = 8,5:

• Լավագույնն այն է, որ բոլոր լոգարիթմները կրճատվեն նույն հիմքի վրա, որպեսզի լուծումը ծանր ու շփոթեցնող չլինի:
• Լոգարիթմի նշանի տակ գտնվող բոլոր արտահայտությունները նշվում են որպես դրական, հետևաբար, երբ լոգարիթմի նշանի տակ գտնվող արտահայտության ցուցիչը հանվում է որպես բազմապատկիչ, լոգարիթմի տակ մնացած արտահայտությունը պետք է լինի դրական: