Սինուսների և տանգենտների գումարը տարբեր փաստարկներով: Սինուսների և կոսինուսների գումարը և տարբերությունը. բանաձևերի ստացում, օրինակներ

Երկու α և β անկյունների սինուսների և կոսինուսների գումարի և տարբերության բանաձևերը թույլ են տալիս այս անկյունների գումարից անցնել α + β 2 և α - β 2 անկյունների արտադրյալին: Անմիջապես նկատենք, որ չպետք է շփոթել սինուսների և կոսինուսների գումարի և տարբերության բանաձևերը գումարի և տարբերության սինուսների և կոսինուսների բանաձևերի հետ: Ստորև մենք թվարկում ենք այս բանաձևերը, տալիս ենք դրանց ածանցյալները և ցույց ենք տալիս կոնկրետ խնդիրների կիրառման օրինակներ:

Yandex.RTB R-A-339285-1

Սինուսների և կոսինուսների գումարի և տարբերության բանաձևեր

Եկեք գրենք, թե ինչ տեսք ունեն գումարի և տարբերության բանաձևերը սինուսների և կոսինուսների համար

Սինուսների գումարի և տարբերության բանաձևեր

sin α + sin β = 2 sin α + β 2 cos α - β 2 sin α - sin β = 2 sin α - β 2 cos α + β 2

Կոսինուսների գումարի և տարբերության բանաձևեր

cos α + cos β = 2 cos α + β 2 cos α - β 2 cos α - cos β = - 2 sin α + β 2 cos α - β 2 , cos α - cos β = 2 sin α + β 2 · β - α 2

Այս բանաձևերը վավեր են α և β ցանկացած անկյունների համար: α + β 2 և α - β 2 անկյունները կոչվում են համապատասխանաբար ալֆա և բետա անկյունների կիսագումար և կես տարբերություն։ Եկեք ձևակերպենք յուրաքանչյուր բանաձևի համար:

Սինուսների և կոսինուսների գումարների և տարբերությունների բանաձևերի սահմանումներ

Երկու անկյունների սինուսների գումարըհավասար է այս անկյունների կիսագումարի սինուսի և կես տարբերության կոսինուսի արտադրյալի երկու անգամ։

Երկու անկյունների սինուսների տարբերությունհավասար է այս անկյունների կես տարբերության սինուսի և կիսագումարի կոսինուսի արտադրյալի երկու անգամ:

Երկու անկյունների կոսինուսների գումարըհավասար է այս անկյունների կիսագումարի կոսինուսի և այս անկյունների կիսատև տարբերության կոսինուսի արտադրյալի երկու անգամ:

Երկու անկյունների կոսինուսների տարբերությունհավասար է այս անկյունների կիսագումարի սինուսի և կես տարբերության սինուսի արտադրյալի երկու անգամ՝ վերցված բացասական նշանով։

Սինուսների և կոսինուսների գումարի և տարբերության բանաձևերի ստացում

Երկու անկյունների սինուսների և կոսինուսների գումարի և տարբերության բանաձևեր ստանալու համար օգտագործվում են գումարման բանաձևեր: Թվարկենք դրանք ստորև

մեղք (α + β) = մեղք α · cos β + cos α · մեղք β sin (α - β) = մեղք α · cos β - cos α · մեղք β cos (α + β) = cos α · cos β - մեղք. α sin β cos (α - β) = cos α cos β + sin α sin β

Եկեք պատկերացնենք նաև անկյունները որպես կիսագումարի և կիսատ տարբերությունների գումար:

α = α + β 2 + α - β 2 = α 2 + β 2 + α 2 - β 2 β = α + β 2 - α - β 2 = α 2 + β 2 - α 2 + β 2

Մենք ուղղակիորեն անցնում ենք sin-ի և cos-ի գումարի և տարբերության բանաձևերի ստացմանը:

Սինուսների գումարի բանաձևի ստացում

Sin α + sin β գումարի մեջ α-ն և β-ն փոխարինում ենք վերը նշված այս անկյունների արտահայտություններով: Մենք ստանում ենք

մեղք α + մեղք β = մեղք α + β 2 + α - β 2 + մեղք α + β 2 - α - β 2

Այժմ մենք կիրառում ենք գումարման բանաձևը առաջին արտահայտության վրա, իսկ երկրորդին ՝ անկյունների տարբերությունների սինուսի բանաձևը (տես վերևում գտնվող բանաձևերը)

sin α + β 2 + α - β 2 = մեղք α + β 2 cos α - β 2 + cos α + β 2 sin α - β 2 sin α + β 2 - α - β 2 = մեղք α + β 2 cos α. - β 2 - cos α + β 2 sin α - β 2 sin α + β 2 + α - β 2 + sin α + β 2 - α - β 2 = sin α + β 2 cos α - β 2 + cos α + β 2 sin α - β 2 + sin α + β 2 cos α - β 2 - cos α + β 2 sin α - β 2 Բացեք փակագծերը, ավելացրեք նմանատիպ տերմիններ և ստացեք պահանջվող բանաձևը.

sin α + β 2 cos α - β 2 + cos α + β 2 sin α - β 2 + sin α + β 2 cos α - β 2 - cos α + β 2 sin α - β 2 = = 2 sin α + β 2 cos α - β 2

Մնացած բանաձևերի ստացման քայլերը նման են:

Սինուսների տարբերության բանաձևի ստացում

մեղք α - մեղք β = մեղք α + β 2 + α - β 2 - մեղք α + β 2 - α - β 2 մեղք α + β 2 + α - β 2 - մեղք α + β 2 - α - β 2 = մեղք. α + β 2 cos α - β 2 + cos α + β 2 sin α - β 2 - sin α + β 2 cos α - β 2 - cos α + β 2 sin α - β 2 = = 2 մեղք α - β 2 cos α + β 2

Կոսինուսների գումարի բանաձևի ստացում

cos α + cos β = cos α + β 2 + α - β 2 + cos α + β 2 - α - β 2 cos α + β 2 + α - β 2 + cos α + β 2 - α - β 2 = cos α + β 2 cos α - β 2 - sin α + β 2 sin α - β 2 + cos α + β 2 cos α - β 2 + sin α + β 2 sin α - β 2 = = 2 cos α + β 2 cos α - β 2

Կոսինուսների տարբերության բանաձևի ստացում

cos α - cos β = cos α + β 2 + α - β 2 - cos α + β 2 - α - β 2 cos α + β 2 + α - β 2 - cos α + β 2 - α - β 2 = cos α + β 2 cos α - β 2 - sin α + β 2 sin α - β 2 - cos α + β 2 cos α - β 2 + sin α + β 2 sin α - β 2 = = - 2 sin α + β. 2 sin α - β 2

Գործնական խնդիրների լուծման օրինակներ

Նախ, եկեք ստուգենք բանաձևերից մեկը՝ դրա մեջ փոխարինելով կոնկրետ անկյունային արժեքներ: Թող α = π 2, β = π 6: Եկեք հաշվարկենք այս անկյունների սինուսների գումարի արժեքը: Նախ, մենք կօգտագործենք եռանկյունաչափական ֆունկցիաների հիմնական արժեքների աղյուսակը, այնուհետև կկիրառենք սինուսների գումարի բանաձևը:

Օրինակ 1. Ստուգելով երկու անկյունների սինուսների գումարի բանաձևը

α = π 2, β = π 6 sin π 2 + sin π 6 = 1 + 1 2 = 3 2 sin π 2 + sin π 6 = 2 sin π 2 + π 6 2 cos π 2 - π 6 2 = 2 մեղք π 3 cos π 6 = 2 3 2 3 2 = 3 2

Այժմ դիտարկենք այն դեպքը, երբ անկյունային արժեքները տարբերվում են աղյուսակում ներկայացված հիմնական արժեքներից: Թող α = 165°, β = 75°: Հաշվենք այս անկյունների սինուսների տարբերությունը։

Օրինակ 2. Սինուսների տարբերության բանաձեւի կիրառում

α = 165 °, β = 75 ° մեղք α - մեղք β = մեղք 165 ° - մեղք 75 ° մեղք 165 - մեղք 75 = 2 մեղք 165 ° - մեղք 75 ° 2 cos 165 ° + մեղք 75 ° 2 = = 2 մեղք 45 ° cos 120 ° = 2 2 2 - 1 2 = 2 2

Օգտագործելով սինուսների և կոսինուսների գումարի և տարբերության բանաձևերը, կարող եք գումարից կամ տարբերությունից անցնել եռանկյունաչափական ֆունկցիաների արտադրյալին: Հաճախ այդ բանաձևերը կոչվում են գումարից արտադրանք տեղափոխելու բանաձևեր: Սինուսների և կոսինուսների գումարի և տարբերության բանաձևերը լայնորեն օգտագործվում են եռանկյունաչափական հավասարումներ լուծելիս և եռանկյունաչափական արտահայտությունները փոխակերպելիս։

Եթե ​​տեքստում սխալ եք նկատել, ընդգծեք այն և սեղմեք Ctrl+Enter

Այս էլեկտրոնային ռեսուրսը հիանալի նյութ է ժամանակակից դպրոցներում ինտերակտիվ ուսուցում անցկացնելու համար։ Այն գրված է ճիշտ, ունի հստակ կառուցվածք և համապատասխանում է դպրոցական ծրագրին։ Մանրամասն բացատրությունների շնորհիվ տեսադասում ներկայացված թեման պարզ կդառնա դասարանում հնարավորինս շատ աշակերտների համար։ Ուսուցիչները պետք է հիշեն, որ ոչ բոլոր աշակերտներն ունեն նույն ընկալման աստիճանը, ըմբռնման արագությունը կամ հիմքը: Նման նյութերը կօգնեն ձեզ հաղթահարել դժվարությունները և հասնել ձեր հասակակիցների հետ, բարելավել ձեր ակադեմիական առաջադիմությունը: Նրանց օգնությամբ, հանգիստ տնային միջավայրում, ինքնուրույն կամ դաստիարակի հետ միասին, ուսանողը կարող է հասկանալ որոշակի թեմա, ուսումնասիրել տեսությունը և դիտել որոշակի բանաձևի գործնական կիրառման օրինակներ և այլն:

Այս տեսադասը նվիրված է «Փաստարկների տարբերության սինուսը և կոսինուսը» թեմային: Ենթադրվում է, որ ուսանողներն արդեն սովորել են եռանկյունաչափության հիմունքները, ծանոթ են հիմնական ֆունկցիաներին և դրանց հատկություններին, ուրվականների բանաձևերին և եռանկյունաչափական արժեքների աղյուսակներին:

Բացի այդ, նախքան այս թեմայի ուսումնասիրությանը անցնելը, դուք պետք է հասկանաք փաստարկների գումարի սինուսը և կոսինուսը, իմանաք երկու հիմնական բանաձևեր և կարողանաք օգտագործել դրանք:

Տեսադասի սկզբում հաղորդավարը ուսանողներին հիշեցնում է այս երկու բանաձևերը. Հաջորդը ցուցադրվում է առաջին բանաձևը՝ փաստարկների տարբերության սինուսը։ Բացի նրանից, թե ինչպես է բխում բանաձևը, ցույց է տրվում, թե ինչպես է այն ստացվել մյուսից: Այսպիսով, ուսանողը ստիպված չի լինի անգիր սովորել նոր բանաձեւ՝ առանց այն հասկանալու, ինչը սովորական սխալ է։ Սա շատ կարևոր է այս դասարանի ուսանողների համար։ Դուք միշտ պետք է հիշեք, որ կարող եք ավելացնել + նշան մինուս նշանի դիմաց, իսկ գումարած նշանի վրա մինուսը ի վերջո կվերածվի մինուսի: Այս պարզ քայլով դուք կարող եք օգտագործել գումարի սինուսի բանաձևը և ստանալ արգումենտների տարբերության սինուսի բանաձևը:

Տարբերության կոսինուսի բանաձևը նույն ձևով բխում է փաստարկների գումարի կոսինուսի բանաձևից:

Բանախոսը քայլ առ քայլ բացատրում է ամեն ինչ, և արդյունքում ստացվում է փաստարկների գումարի և տարբերության կոսինուսի և սինուսի ընդհանուր բանաձևը:

Այս տեսադասի գործնական մասի առաջին օրինակն առաջարկում է գտնել Pi/12-ի կոսինուսը: Առաջարկվում է այս արժեքը ներկայացնել որոշակի տարբերության տեսքով, որում minuend-ը և subtrahend-ը կլինեն աղյուսակային արժեքներ։ Այնուհետև կկիրառվի արգումենտների տարբերության կոսինուսի բանաձևը: Արտահայտությունը փոխարինելով՝ կարող եք փոխարինել ստացված արժեքները և ստանալ պատասխանը։ Հաղորդավարը կարդում է պատասխանը, որը ցուցադրվում է օրինակի վերջում:

Երկրորդ օրինակը հավասարում է: Ե՛վ աջ, և՛ ձախ կողմերում մենք տեսնում ենք փաստարկների տարբերությունների կոսինուսները։ Բանախոսը հիշեցնում է ձուլման բանաձևեր, որոնք օգտագործվում են այդ արտահայտությունները փոխարինելու և պարզեցնելու համար։ Այս բանաձևերը գրված են աջ կողմում, որպեսզի ուսանողները կարողանան հասկանալ, թե որտեղից են գալիս որոշակի փոփոխություններ:

Մեկ այլ օրինակ՝ երրորդը, որոշակի կոտորակն է, որտեղ և՛ համարիչում, և՛ հայտարարում ունենք եռանկյունաչափական արտահայտություններ, այն է՝ արտադրյալների տարբերությունները։

Այստեղ նույնպես լուծելիս օգտագործվում են կրճատման բանաձևեր։ Այսպիսով, դպրոցականները կարող են տեսնել, որ եթե եռանկյունաչափության մի թեմա բաց թողնեն, մնացածն ավելի ու ավելի դժվար կլինի հասկանալ:

Եվ վերջապես չորրորդ օրինակը. Սա նույնպես այն հավասարումն է, որտեղ դրանք լուծելիս անհրաժեշտ է օգտագործել նոր սովորած և հին բանաձևեր։

Դուք կարող եք ավելի մանրամասն դիտել վիդեո ձեռնարկում տրված օրինակները և փորձել ինքներդ լուծել այն։ Դրանք կարող են հանձնարարվել որպես տնային աշխատանք դպրոցականներին։

ՏԵՔՍՏԻ վերծանում.

Դասի թեման է «Փաստարկների տարբերության սինուսը և կոսինուսը»:

Նախորդ դասընթացում մեզ ներկայացվեցին երկու եռանկյունաչափական բանաձևեր՝ արգումենտների գումարի սինուս և կոսինուս:

sin(x + y) = sin x cos y + cos x sin y,

cos (x + y) = cos x cos y - sin x sin y.

երկու անկյունների գումարի սինուսը հավասար է առաջին անկյան սինուսի արտադրյալի և երկրորդ անկյան կոսինուսի և առաջին անկյան կոսինուսի և երկրորդ անկյան սինուսի արտադրյալի գումարին.

Երկու անկյունների գումարի կոսինուսը հավասար է այս անկյունների կոսինուսների արտադրյալի և այս անկյունների գումարի արտադրյալի տարբերությանը։

Օգտագործելով այս բանաձևերը, մենք կբերենք արգումենտների տարբերության սինուս և կոսինուս բանաձևերը:

Փաստարկների տարբերության սինուս sin(x-y)

Երկու բանաձև (գումարի սինուս և տարբերության սինուս) կարելի է գրել հետևյալ կերպ.

մեղք (xy) = մեղք x cos ycos x մեղք y.

Նմանապես, մենք բխում ենք տարբերության կոսինուսի բանաձևից.

Փաստարկների տարբերության կոսինուսը վերագրենք որպես գումար և կիրառենք գումարի կոսինուսի արդեն հայտնի բանաձևը՝ cos (x + y) = cosxcosy - sinxsiny:

միայն x և -y արգումենտների համար: Փոխարինելով այս փաստարկները բանաձևի մեջ՝ մենք ստանում ենք cosxcos(- y) - sinxsin(- y):

sin(- y)= - siny). և մենք ստանում ենք cosxcosy + sinxsiny վերջնական արտահայտությունը:

cos (x - y) = cos (x +(- y)) = cos xcos(- y) - sin x sin(- y)= cosx cos y + sin xsin y.

Սա նշանակում է cos (x - y) = cosxcos y + sin xsin y:

Երկու անկյունների տարբերության կոսինուսը հավասար է այս անկյունների կոսինուսների արտադրյալի և այս անկյունների սինուսների արտադրյալի գումարին։

Միավորելով երկու բանաձևեր (գումարի կոսինուս և տարբերության կոսինուս)՝ գրում ենք

cos(xy) = cosxcos y sin xsin y.

Հիշենք, որ բանաձևերը գործնականում կարող են կիրառվել ինչպես ձախից աջ, այնպես էլ հակառակը։

Եկեք նայենք օրինակներին:

ՕՐԻՆԱԿ 1. Հաշվել cos-ը (pi-ի կոսինուսը բաժանված է տասներկուսի):

Լուծում. Գրենք pi-ն՝ բաժանված տասներկուսի, որպես պի-ի երեքի և փի-ի՝ չորսի բաժանված տարբերությունը՝ = - :

Եկեք արժեքները փոխարինենք կոսինուսի տարբերության բանաձևով. cos (x - y) = cosxcosy + sinxsiny, հետևաբար cos = cos (-) = cos cos + sin sin

Մենք գիտենք, որ cos = , cos = sin = , sin = . Ցույց տալ արժեքների աղյուսակը:

Սինուսի և կոսինուսի արժեքը փոխարինում ենք թվային արժեքներով և ստանում ∙ + ∙ կոտորակը կոտորակով բազմապատկելիս, բազմապատկում ենք համարիչները և հայտարարները, ստանում ենք.

cos = cos (-) = cos cos + մեղք մեղք = ∙ + ∙ = = =.

Պատասխան՝ cos =.

ՕՐԻՆԱԿ 2. Լուծե՛ք cos(2π - 5x) = cos(- 5x) հավասարումը (կոսինուսը երկու pi հանած հինգ x հավասար է pi-ի կոսինուսին երկուսով հանած հինգ x):

Լուծում. Հավասարման ձախ և աջ կողմերում մենք կիրառում ենք cos(2π - cos) կրճատման բանաձևերը (կոսինուսը երկու pi հանած ալֆան հավասար է ալֆայի կոսինուսին) և cos(- = sin (pi-ի կոսինուսը երկու հանած ալֆան հավասար է. ալֆայի սինուս), մենք ստանում ենք cos 5x = sin 5x, այն տալիս ենք առաջին աստիճանի միատարր հավասարման ձևին և ստանում ենք cos 5x - sin 5x = 0: Սա առաջին աստիճանի միատարր հավասարում է: Եկեք հավասարման անդամի երկու կողմերը բաժանեք cos 5x-ի: Ունենք.

cos 5x: cos 5x - մեղք 5x: cos 5x = 0, քանի որ cos 5x: cos 5x = 1, և sin 5x: cos 5x = tan 5x, ապա մենք ստանում ենք.

Քանի որ մենք արդեն գիտենք, որ tgt = a հավասարումը ունի t = arctga + πn լուծում, և քանի որ ունենք t = 5x, a = 1, մենք ստանում ենք.

5x = արկտան 1 + πn,

իսկ arctg-ի արժեքը 1 է, ապա tg 1= Ցուցադրել աղյուսակը

Փոխարինեք արժեքը հավասարման մեջ և լուծեք այն.

Պատասխան՝ x = +:

ՕՐԻՆԱԿ 3. Գտե՛ք կոտորակի արժեքը: (համարիչում կա յոթանասունհինգ աստիճանի և վաթսունհինգ աստիճանի կոսինուսների արտադրյալի և յոթանասունհինգ աստիճանի և վաթսունհինգ աստիճանի սինուսների արտադրյալի տարբերությունը, իսկ հայտարարում՝ սինուսի արտադրյալի տարբերությունը. ութսունհինգ աստիճանի և երեսունհինգ աստիճանի կոսինուսի և ութսունհինգ աստիճանի կոսինուսի և երեսունհինգ աստիճանի սինուսի արտադրյալի։

Լուծում. Այս կոտորակի համարիչում տարբերությունը կարող է «փլուզվել» 75° և 65° փաստարկների գումարի կոսինուսի մեջ, իսկ հայտարարում տարբերությունը կարող է «փլուզվել» արգումենտների տարբերության սինուսի մեջ։ 85° և 35°: Մենք ստանում ենք

Պատասխան՝ 1.

ՕՐԻՆԱԿ 4. Լուծե՛ք հավասարումը. cos(-x) + sin(-x) = 1(pi-ի չորսի տարբերության կոսինուսը և x-ին գումարած pi-ի չորսի տարբերության սինուսը և x-ը հավասար է մեկի):

Լուծում. Կիրառենք կոսինուսի տարբերություն և սինուսային տարբերություն բանաձևերը։

Ցույց տալ ընդհանուր տարբերության կոսինուսի բանաձևը

Ապա cos (-x) = cos cos x + sinsinх

Ցույց տվեք սինուսային տարբերության ընդհանուր բանաձևը

եւ sin (-х)= sin cosх - cos sinх

Փոխարինեք այս արտահայտությունները cos(-x) + sin(-x) = 1 հավասարման մեջ և ստացեք.

cos cos x + sinsin x + sin cos x - cos sin x = 1,

Քանի որ cos= և sin= Ցույց տվեք աղյուսակի սինուսի և կոսինուսի նշանակությունը

Մենք ստանում ենք ∙ cos x + ∙ sinx + ∙ cos x - ∙ sinx = 1,

երկրորդ և չորրորդ տերմինները հակադիր են, հետևաբար դրանք ջնջում են միմյանց՝ թողնելով.

∙ cos + ∙ cos = 1,

Եկեք լուծենք այս հավասարումը և ստանանք դա

2∙ ∙ cos x= 1,

Քանի որ մենք արդեն գիտենք, որ cos = a հավասարումը լուծում ունի տ = arcosա+ 2պկ, և քանի որ ունենք t=x, a =, ստանում ենք

x = arccos + 2πn,

և քանի որ արժեքը arccos է, ապա cos =