ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ವಿಭಾಗಗಳು, ಮಧ್ಯಂತರಗಳು, ಅರ್ಧ ಮಧ್ಯಂತರಗಳು ಮತ್ತು ಕಿರಣಗಳನ್ನು ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಮಧ್ಯಂತರಗಳು ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಮಧ್ಯಂತರಗಳ ಕಾರ್ಯದ ಗ್ರಾಫ್

ಬಿ) ಸಂಖ್ಯೆ ಸಾಲು

ಸಂಖ್ಯಾ ರೇಖೆಯನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ (ಚಿತ್ರ 6):

ಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಗುಂಪನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ

ಪ್ರತಿ ಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಸಂಖ್ಯೆಯ ಅಕ್ಷದ ಮೇಲೆ ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಬಿಂದು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುತ್ತದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಅಂಕಿಗಳನ್ನು ಚಿತ್ರದಲ್ಲಿ ಗುರುತಿಸಲಾಗಿದೆ.

ಅದನ್ನು ಸಾಬೀತು ಮಾಡೋಣ.

ಪುರಾವೆ.ಒಂದು ಭಾಗವಿರಲಿ: . ಈ ಭಾಗವನ್ನು ಕಡಿಮೆ ಮಾಡಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ ಎಂದು ಪರಿಗಣಿಸುವ ಹಕ್ಕನ್ನು ನಾವು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ. ರಿಂದ , ನಂತರ - ಸಂಖ್ಯೆ ಸಮ: - ಬೆಸ. ಅದರ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ಬದಲಿಸಿ, ನಾವು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ: , ಇದು ಸಮ ಸಂಖ್ಯೆ ಎಂದು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. ಹೇಳಿಕೆಯನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸುವ ವಿರೋಧಾಭಾಸವನ್ನು ನಾವು ಪಡೆದುಕೊಂಡಿದ್ದೇವೆ.

ಆದ್ದರಿಂದ, ಸಂಖ್ಯೆಯ ಅಕ್ಷದ ಎಲ್ಲಾ ಬಿಂದುಗಳು ಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುವುದಿಲ್ಲ. ಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸದ ಅಂಕಗಳು ಕರೆಯಲ್ಪಡುವ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುತ್ತವೆ ಅಭಾಗಲಬ್ಧ.

ರೂಪದ ಯಾವುದೇ ಸಂಖ್ಯೆ , ಒಂದು ಪೂರ್ಣಾಂಕ ಅಥವಾ ಅಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆ.

ಸಂಖ್ಯಾ ಮಧ್ಯಂತರಗಳು

ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ವಿಭಾಗಗಳು, ಮಧ್ಯಂತರಗಳು, ಅರ್ಧ ಮಧ್ಯಂತರಗಳು ಮತ್ತು ಕಿರಣಗಳನ್ನು ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಮಧ್ಯಂತರಗಳು ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ಸಾಲಿನಲ್ಲಿ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸೋಣ ಎಮತ್ತು ಬಿ, ಹಾಗೆಯೇ ಸಂಖ್ಯೆ xಅವುಗಳ ನಡುವೆ.

ಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ಪೂರೈಸುವ ಎಲ್ಲಾ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಸೆಟ್ a ≤ x ≤ b, ಎಂದು ಕರೆಯುತ್ತಾರೆ ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ವಿಭಾಗಅಥವಾ ಕೇವಲ ಒಂದು ವಿಭಾಗ. ಇದನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ಗೊತ್ತುಪಡಿಸಲಾಗಿದೆ: [ a; ಬಿ] - ಇದು ಈ ರೀತಿ ಓದುತ್ತದೆ: a ನಿಂದ b ವರೆಗಿನ ವಿಭಾಗ.

ಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ಪೂರೈಸುವ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಸೆಟ್ ಎ< x < b , ಎಂದು ಕರೆಯುತ್ತಾರೆ ಮಧ್ಯಂತರ. ಇದನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ಗೊತ್ತುಪಡಿಸಲಾಗಿದೆ: a; ಬಿ)

ಇದು ಈ ರೀತಿ ಓದುತ್ತದೆ: a ನಿಂದ b ವರೆಗಿನ ಮಧ್ಯಂತರ.

ಷರತ್ತುಗಳನ್ನು ಪೂರೈಸುವ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಸೆಟ್‌ಗಳು a ≤ x< b или ಎ<x ≤ ಬಿ, ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಅರ್ಧ ಮಧ್ಯಂತರಗಳು. ಹುದ್ದೆಗಳು:

ಒಂದು ≤ x ಹೊಂದಿಸಿ< b обозначается так:[a; ಬಿ), ಈ ರೀತಿ ಓದುತ್ತದೆ: ಅರ್ಧ ಮಧ್ಯಂತರದಿಂದ ಎಗೆ ಬಿ, ಸೇರಿದಂತೆ ಎ.

ಅನೇಕ ಎ<x ≤ ಬಿಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ಸೂಚಿಸಲಾಗಿದೆ:( a; ಬಿ], ಈ ರೀತಿ ಓದುತ್ತದೆ: ಅರ್ಧ ಮಧ್ಯಂತರದಿಂದ ಎಗೆ ಬಿ, ಸೇರಿದಂತೆ ಬಿ.

ಈಗ ಕಲ್ಪಿಸಿಕೊಳ್ಳೋಣ ಕಿರಣಒಂದು ಚುಕ್ಕೆಯೊಂದಿಗೆ ಎ, ಬಲ ಮತ್ತು ಎಡಕ್ಕೆ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಸೆಟ್ ಇದೆ.

ಎ, ಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ಪೂರೈಸುವುದು x ≥ a, ಎಂದು ಕರೆಯುತ್ತಾರೆ ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಕಿರಣ.

ಇದನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ಗೊತ್ತುಪಡಿಸಲಾಗಿದೆ: [ a; +∞)-ಈ ರೀತಿ ಓದುತ್ತದೆ: ಒಂದು ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಕಿರಣದಿಂದ ಎಜೊತೆಗೆ ಅನಂತ.

ಒಂದು ಬಿಂದುವಿನ ಬಲಕ್ಕೆ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಸೆಟ್ ಎ, ಅಸಮಾನತೆಗೆ ಅನುಗುಣವಾಗಿ x>a, ಎಂದು ಕರೆಯುತ್ತಾರೆ ತೆರೆದ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಕಿರಣ.

ಇದನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ಗೊತ್ತುಪಡಿಸಲಾಗಿದೆ: a; +∞)-ಈ ರೀತಿ ಓದುತ್ತದೆ: ಒಂದು ತೆರೆದ ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಕಿರಣದಿಂದ ಎಜೊತೆಗೆ ಅನಂತ.

ಎ, ಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ಪೂರೈಸುವುದು x ≤ a, ಎಂದು ಕರೆಯುತ್ತಾರೆ ಮೈನಸ್ ಅನಂತದಿಂದ ಸಂಖ್ಯಾ ಕಿರಣಎ .

ಇದನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ಗೊತ್ತುಪಡಿಸಲಾಗಿದೆ: - ∞; ಎ]-ಈ ರೀತಿ ಓದುತ್ತದೆ: ಮೈನಸ್ ಅನಂತದಿಂದ ಒಂದು ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಕಿರಣ ಎ.

ಬಿಂದುವಿನ ಎಡಭಾಗದಲ್ಲಿರುವ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಸೆಟ್ ಎ, ಅಸಮಾನತೆಗೆ ಅನುಗುಣವಾಗಿ x< a , ಎಂದು ಕರೆಯುತ್ತಾರೆ ಮೈನಸ್ ಇನ್ಫಿನಿಟಿಯಿಂದ ವರೆಗೆ ತೆರೆದ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಕಿರಣಎ .

ಇದನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ಗೊತ್ತುಪಡಿಸಲಾಗಿದೆ: - ∞; ಎ)-ಈ ರೀತಿ ಓದುತ್ತದೆ: ಮೈನಸ್ ಅನಂತದಿಂದ ತೆರೆದ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಕಿರಣ ಎ.

ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಗುಂಪನ್ನು ಸಂಪೂರ್ಣ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ರೇಖೆಯಿಂದ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಅವರು ಅವನನ್ನು ಕರೆಯುತ್ತಾರೆ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಸಾಲು. ಇದನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ಗೊತ್ತುಪಡಿಸಲಾಗಿದೆ: - ∞; + ∞ )

3) ಒಂದು ವೇರಿಯೇಬಲ್ನೊಂದಿಗೆ ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣಗಳು ಮತ್ತು ಅಸಮಾನತೆಗಳು, ಅವುಗಳ ಪರಿಹಾರಗಳು:

ವೇರಿಯೇಬಲ್ ಹೊಂದಿರುವ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಒಂದು ವೇರಿಯೇಬಲ್‌ನೊಂದಿಗೆ ಸಮೀಕರಣ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ, ಅಥವಾ ಒಂದು ಅಜ್ಞಾತದೊಂದಿಗೆ ಸಮೀಕರಣ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಒಂದು ವೇರಿಯೇಬಲ್ ಹೊಂದಿರುವ ಸಮೀಕರಣವು 3(2x+7)=4x-1 ಆಗಿದೆ.

ಸಮೀಕರಣದ ಮೂಲ ಅಥವಾ ಪರಿಹಾರವು ವೇರಿಯಬಲ್‌ನ ಮೌಲ್ಯವಾಗಿದ್ದು, ಸಮೀಕರಣವು ನಿಜವಾದ ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಸಮಾನತೆಯಾಗುತ್ತದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಸಂಖ್ಯೆ 1 2x+5=8x-1 ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಪರಿಹಾರವಾಗಿದೆ. x2+1=0 ಸಮೀಕರಣವು ಯಾವುದೇ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಹೊಂದಿಲ್ಲ, ಏಕೆಂದರೆ ಸಮೀಕರಣದ ಎಡಭಾಗವು ಯಾವಾಗಲೂ ಶೂನ್ಯಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಸಮೀಕರಣವು (x+3)(x-4) =0 ಎರಡು ಬೇರುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ: x1= -3, x2=4.

ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವುದು ಎಂದರೆ ಅದರ ಎಲ್ಲಾ ಬೇರುಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು ಅಥವಾ ಯಾವುದೇ ಬೇರುಗಳಿಲ್ಲ ಎಂದು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸುವುದು.

ಮೊದಲ ಸಮೀಕರಣದ ಎಲ್ಲಾ ಬೇರುಗಳು ಎರಡನೆಯ ಸಮೀಕರಣದ ಬೇರುಗಳಾಗಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು ಪ್ರತಿಯಾಗಿ, ಎರಡನೆಯ ಸಮೀಕರಣದ ಎಲ್ಲಾ ಬೇರುಗಳು ಮೊದಲ ಸಮೀಕರಣದ ಬೇರುಗಳಾಗಿದ್ದರೆ ಅಥವಾ ಎರಡೂ ಸಮೀಕರಣಗಳು ಯಾವುದೇ ಬೇರುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿಲ್ಲದಿದ್ದರೆ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಸಮಾನ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, x-8=2 ಮತ್ತು x+10=20 ಸಮೀಕರಣಗಳು ಸಮಾನವಾಗಿವೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಮೊದಲ ಸಮೀಕರಣದ ಮೂಲ x=10 ಎರಡನೇ ಸಮೀಕರಣದ ಮೂಲವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಎರಡೂ ಸಮೀಕರಣಗಳು ಒಂದೇ ಮೂಲವನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ.

ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವಾಗ, ಈ ಕೆಳಗಿನ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ:

ನೀವು ಒಂದು ಸಮೀಕರಣದಲ್ಲಿ ಒಂದು ಪದವನ್ನು ಒಂದು ಭಾಗದಿಂದ ಇನ್ನೊಂದಕ್ಕೆ ಸರಿಸಿದರೆ, ಅದರ ಚಿಹ್ನೆಯನ್ನು ಬದಲಾಯಿಸಿದರೆ, ನೀವು ಕೊಟ್ಟಿರುವ ಒಂದಕ್ಕೆ ಸಮನಾದ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೀರಿ.

ಸಮೀಕರಣದ ಎರಡೂ ಬದಿಗಳನ್ನು ಒಂದೇ ಶೂನ್ಯವಲ್ಲದ ಸಂಖ್ಯೆಯಿಂದ ಗುಣಿಸಿದರೆ ಅಥವಾ ಭಾಗಿಸಿದರೆ, ನೀವು ನೀಡಿದ ಒಂದಕ್ಕೆ ಸಮನಾದ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೀರಿ.

ax=b ಎಂಬ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು x ಒಂದು ವೇರಿಯೇಬಲ್ ಮತ್ತು a ಮತ್ತು b ಕೆಲವು ಸಂಖ್ಯೆಗಳಾಗಿದ್ದು, ಇದನ್ನು ಒಂದು ವೇರಿಯೇಬಲ್‌ನೊಂದಿಗೆ ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

a¹0 ಆಗಿದ್ದರೆ, ಸಮೀಕರಣವು ವಿಶಿಷ್ಟ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ.

a=0, b=0 ಆಗಿದ್ದರೆ, x ನ ಯಾವುದೇ ಮೌಲ್ಯವು ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪೂರೈಸುತ್ತದೆ.

a=0, b¹0 ಆಗಿದ್ದರೆ, ಸಮೀಕರಣವು ಯಾವುದೇ ಪರಿಹಾರಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿಲ್ಲ, ಏಕೆಂದರೆ ವೇರಿಯೇಬಲ್‌ನ ಯಾವುದೇ ಮೌಲ್ಯಕ್ಕೆ 0x=b ಅನ್ನು ಕಾರ್ಯಗತಗೊಳಿಸಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ.
ಉದಾಹರಣೆ 1. ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ: -8(11-2x)+40=3(5x-4)

ಸಮೀಕರಣದ ಎರಡೂ ಬದಿಗಳಲ್ಲಿ ಬ್ರಾಕೆಟ್ಗಳನ್ನು ತೆರೆಯೋಣ, ಸಮೀಕರಣದ ಎಡಭಾಗಕ್ಕೆ x ನೊಂದಿಗೆ ಎಲ್ಲಾ ಪದಗಳನ್ನು ಸರಿಸಿ ಮತ್ತು ಬಲಭಾಗಕ್ಕೆ x ಅನ್ನು ಹೊಂದಿರದ ಪದಗಳನ್ನು ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:

16x-15x=88-40-12

ಉದಾಹರಣೆ 2. ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ:

x3-2x2-98x+18=0;

ಈ ಸಮೀಕರಣಗಳು ರೇಖಾತ್ಮಕವಾಗಿಲ್ಲ, ಆದರೆ ಅಂತಹ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಹೇಗೆ ಪರಿಹರಿಸಬಹುದು ಎಂಬುದನ್ನು ನಾವು ತೋರಿಸುತ್ತೇವೆ.

3x2-5x=0; x(3x-5)=0. ಉತ್ಪನ್ನವು ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಒಂದು ಅಂಶವು ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿದ್ದರೆ, ನಾವು x1=0 ಅನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ; x2= .

ಉತ್ತರ: 0; .

ಸಮೀಕರಣದ ಎಡಭಾಗವನ್ನು ಅಪವರ್ತಿಸಿ:

x2(x-2)-9(x-2)=(x-2)(x2-9)=(x-2)(x-3)(x-3), i.e. (x-2)(x-3)(x+3)=0. ಈ ಸಮೀಕರಣದ ಪರಿಹಾರಗಳು x1=2, x2=3, x3=-3 ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಎಂದು ಇದು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ.

c) 7x ಅನ್ನು 3x+4x ಎಂದು ಕಲ್ಪಿಸಿಕೊಳ್ಳಿ, ನಂತರ ನಾವು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ: x2+3x+4x+12=0, x(x+3)+4(x+3)=0, (x+3)(x+4)= 0, ಆದ್ದರಿಂದ x1=-3, x2=- 4.

ಉತ್ತರ: -3; - 4.
ಉದಾಹರಣೆ 3. ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ: ½x+1ç+½x-1ç=3.

ಸಂಖ್ಯೆಯ ಮಾಡ್ಯುಲಸ್‌ನ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ನಾವು ನೆನಪಿಸಿಕೊಳ್ಳೋಣ:

ಉದಾಹರಣೆಗೆ: ½3½=3, ½0½=0, ½- 4½= 4.

ಈ ಸಮೀಕರಣದಲ್ಲಿ, ಮಾಡ್ಯುಲಸ್ ಚಿಹ್ನೆಯ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ x-1 ಮತ್ತು x+1 ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿವೆ. x -1 ಕ್ಕಿಂತ ಕಡಿಮೆಯಿದ್ದರೆ, ನಂತರ ಸಂಖ್ಯೆ x+1 ಋಣಾತ್ಮಕವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ನಂತರ ½x+1½=-x-1. ಮತ್ತು x>-1 ಆಗಿದ್ದರೆ, ನಂತರ ½x+1½=x+1. x=-1 ½x+1½=0 ನಲ್ಲಿ.

ಹೀಗಾಗಿ,

ಅಂತೆಯೇ

a) ಈ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ½x+1½+½x-1½=3 x £-1, ಇದು ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ -x-1-x+1=3, -2x=3, x=, ಈ ಸಂಖ್ಯೆಯು ಸೆಟ್‌ಗೆ ಸೇರಿದೆ x £-1.

ಬಿ) ಅವಕಾಶ -1< х £ 1, тогда данное уравнение равносильно уравнению х+1-х+1=3, 2¹3 уравнение не имеет решения на данном множестве.

c) x>1 ಪ್ರಕರಣವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ.

x+1+x-1=3, 2x=3, x= . ಈ ಸಂಖ್ಯೆಯು x>1 ಸೆಟ್‌ಗೆ ಸೇರಿದೆ.

ಉತ್ತರ: x1=-1.5; x2=1.5.
ಉದಾಹರಣೆ 4. ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ: ½x+2½+3½x½=2½x-1½.

ಸಮೀಕರಣದ ಪರಿಹಾರದ ಒಂದು ಸಣ್ಣ ದಾಖಲೆಯನ್ನು ತೋರಿಸೋಣ, ಮಾಡ್ಯುಲಸ್ನ ಚಿಹ್ನೆಯನ್ನು "ಮಧ್ಯಂತರಗಳ ಮೇಲೆ" ಬಹಿರಂಗಪಡಿಸುತ್ತದೆ.

x £-2, -(x+2)-3x=-2(x-1), - 4x=4, x=-2О(-¥; -2]

–2<х£0, х+2-3х=-2(х-1), 0=0, хÎ(-2; 0]

0<х£1, х+2+3х=-2(х-1), 6х=0, х=0Ï(0; 1]

x>1, x+2+3x=2(x-1), 2x=- 4, x=-2П(1; +¥)

ಉತ್ತರ: [-2; 0]
ಉದಾಹರಣೆ 5. ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ: (a-1)(a+1)x=(a-1)(a+2), ನಿಯತಾಂಕದ ಎಲ್ಲಾ ಮೌಲ್ಯಗಳಿಗೆ a.

ಈ ಸಮೀಕರಣದಲ್ಲಿ ವಾಸ್ತವವಾಗಿ ಎರಡು ಅಸ್ಥಿರಗಳಿವೆ, ಆದರೆ x ಅನ್ನು ಅಜ್ಞಾತ ಮತ್ತು a ನಿಯತಾಂಕ ಎಂದು ಪರಿಗಣಿಸಿ. a ನಿಯತಾಂಕದ ಯಾವುದೇ ಮೌಲ್ಯಕ್ಕಾಗಿ ವೇರಿಯಬಲ್ x ಗಾಗಿ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ಅಗತ್ಯವಿದೆ.

a=1 ಆಗಿದ್ದರೆ, ಸಮೀಕರಣವು 0×x=0 ರೂಪವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ, ಯಾವುದೇ ಸಂಖ್ಯೆಯು ಈ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪೂರೈಸುತ್ತದೆ.

a=-1 ಆಗಿದ್ದರೆ, ಸಮೀಕರಣವು 0×x=-2 ನಂತೆ ಕಾಣುತ್ತದೆ; ಈ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಒಂದೇ ಒಂದು ಸಂಖ್ಯೆಯು ಪೂರೈಸುವುದಿಲ್ಲ.

a¹1, a¹-1 ಆಗಿದ್ದರೆ, ಸಮೀಕರಣವು ವಿಶಿಷ್ಟ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ.

ಉತ್ತರ: a=1 ಆಗಿದ್ದರೆ, x ಯಾವುದೇ ಸಂಖ್ಯೆ;

a=-1 ಆಗಿದ್ದರೆ, ಯಾವುದೇ ಪರಿಹಾರಗಳಿಲ್ಲ;

a¹±1 ಆಗಿದ್ದರೆ, ನಂತರ .

ಬಿ) ಒಂದು ವೇರಿಯೇಬಲ್ನೊಂದಿಗೆ ರೇಖೀಯ ಅಸಮಾನತೆಗಳು.

ವೇರಿಯೇಬಲ್ x ಗೆ ಯಾವುದೇ ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ನೀಡಿದರೆ, ನಾವು ನಿಜವಾದ ಅಥವಾ ತಪ್ಪು ಹೇಳಿಕೆಯನ್ನು ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸುವ ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಅಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಅಸಮಾನತೆ 5x-1>3x+2 ಅನ್ನು ನೀಡೋಣ. x=2 ಗಾಗಿ ನಾವು 5·2-1>3·2+2 ಅನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ - ನಿಜವಾದ ಹೇಳಿಕೆ (ನಿಜವಾದ ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಹೇಳಿಕೆ); x=0 ನಲ್ಲಿ ನಾವು 5·0-1>3·0+2 ಅನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ - ತಪ್ಪು ಹೇಳಿಕೆ. ವೇರಿಯಬಲ್‌ನ ಯಾವುದೇ ಮೌಲ್ಯವು ವೇರಿಯೇಬಲ್‌ನೊಂದಿಗೆ ನೀಡಿದ ಅಸಮಾನತೆಯು ನಿಜವಾದ ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಅಸಮಾನತೆಗೆ ತಿರುಗಿದರೆ ಅದನ್ನು ಅಸಮಾನತೆಗೆ ಪರಿಹಾರ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ವೇರಿಯಬಲ್ನೊಂದಿಗೆ ಅಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವುದು ಎಂದರೆ ಅದರ ಎಲ್ಲಾ ಪರಿಹಾರಗಳ ಗುಂಪನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು.

ಒಂದೇ ವೇರಿಯಬಲ್ x ನೊಂದಿಗೆ ಎರಡು ಅಸಮಾನತೆಗಳು ಈ ಅಸಮಾನತೆಗಳಿಗೆ ಪರಿಹಾರಗಳ ಸೆಟ್‌ಗಳು ಹೊಂದಿಕೆಯಾದರೆ ಸಮಾನವೆಂದು ಹೇಳಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಅಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ಮುಖ್ಯ ಆಲೋಚನೆ ಈ ಕೆಳಗಿನಂತಿರುತ್ತದೆ: ನಾವು ಈ ಅಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಇನ್ನೊಂದಕ್ಕೆ ಬದಲಾಯಿಸುತ್ತೇವೆ, ಸರಳವಾದ, ಆದರೆ ಕೊಟ್ಟಿರುವ ಒಂದಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ; ನಾವು ಮತ್ತೆ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ಅಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಅದಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾದ ಸರಳ ಅಸಮಾನತೆಯೊಂದಿಗೆ ಬದಲಾಯಿಸುತ್ತೇವೆ, ಇತ್ಯಾದಿ.

ಕೆಳಗಿನ ಹೇಳಿಕೆಗಳ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ ಅಂತಹ ಬದಲಿಗಳನ್ನು ಮಾಡಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಪ್ರಮೇಯ 1. ಒಂದು ವೇರಿಯೇಬಲ್‌ನೊಂದಿಗೆ ಅಸಮಾನತೆಯ ಯಾವುದೇ ಪದವನ್ನು ಅಸಮಾನತೆಯ ಒಂದು ಭಾಗದಿಂದ ಇನ್ನೊಂದು ಭಾಗಕ್ಕೆ ವಿರುದ್ಧ ಚಿಹ್ನೆಯೊಂದಿಗೆ ವರ್ಗಾಯಿಸಿದರೆ, ಅಸಮಾನತೆಯ ಚಿಹ್ನೆಯನ್ನು ಬದಲಾಗದೆ ಬಿಟ್ಟರೆ, ಕೊಟ್ಟಿರುವ ಒಂದಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾದ ಅಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಪಡೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಪ್ರಮೇಯ 2. ಒಂದು ವೇರಿಯೇಬಲ್ನೊಂದಿಗೆ ಅಸಮಾನತೆಯ ಎರಡೂ ಬದಿಗಳನ್ನು ಒಂದೇ ಧನಾತ್ಮಕ ಸಂಖ್ಯೆಯಿಂದ ಗುಣಿಸಿದರೆ ಅಥವಾ ಭಾಗಿಸಿದರೆ, ಅಸಮಾನತೆಯ ಚಿಹ್ನೆಯನ್ನು ಬದಲಾಗದೆ ಬಿಟ್ಟರೆ, ಕೊಟ್ಟಿರುವ ಒಂದಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾದ ಅಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಪಡೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಪ್ರಮೇಯ 3. ಒಂದು ವೇರಿಯೇಬಲ್‌ನೊಂದಿಗೆ ಅಸಮಾನತೆಯ ಎರಡೂ ಬದಿಗಳನ್ನು ಒಂದೇ ಋಣಾತ್ಮಕ ಸಂಖ್ಯೆಯಿಂದ ಗುಣಿಸಿದರೆ ಅಥವಾ ಭಾಗಿಸಿದರೆ, ಅಸಮಾನತೆಯ ಚಿಹ್ನೆಯನ್ನು ವಿರುದ್ಧವಾಗಿ ಬದಲಾಯಿಸಿದರೆ, ನಂತರ ಕೊಟ್ಟಿರುವ ಒಂದಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾದ ಅಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಪಡೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

ax+b>0 ರೂಪದ ಅಸಮಾನತೆಯನ್ನು ರೇಖೀಯ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ (ಕ್ರಮವಾಗಿ, ax+b<0, ax+b³0, ax+b£0), где а и b – действительные числа, причем а¹0. Решение этих неравенств основано на трех теоремах равносильности изложенных выше.

ಉದಾಹರಣೆ 1. ಅಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ: 2(x-3)+5(1-x)³3(2x-5).

ಬ್ರಾಕೆಟ್‌ಗಳನ್ನು ತೆರೆಯುವಾಗ, ನಾವು 2x-6+5-5x³6x-15 ಅನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ,

"ಗ್ರೇಡ್ 7 ಬೀಜಗಣಿತ ಕೋಷ್ಟಕಗಳು" - ಚೌಕಗಳ ವ್ಯತ್ಯಾಸ. ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳು. ವಿಷಯ. ಬೀಜಗಣಿತದ ವರ್ಕ್‌ಶೀಟ್‌ಗಳು.

“ಸಂಖ್ಯೆಯ ಕಾರ್ಯಗಳು” - ಸೆಟ್ ಎಕ್ಸ್ ಅನ್ನು ನಿಯೋಜನೆಯ ಡೊಮೇನ್ ಅಥವಾ ಎಫ್ ಫಂಕ್ಷನ್‌ನ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಡೊಮೇನ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಇದನ್ನು ಡಿ (ಎಫ್) ನಿಂದ ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಕಾರ್ಯ ಗ್ರಾಫ್. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಪ್ರತಿ ಸಾಲು ಕೆಲವು ಕಾರ್ಯಗಳ ಗ್ರಾಫ್ ಅಲ್ಲ. ಉದಾಹರಣೆ 1. ಒಂದು ಪ್ಯಾರಾಟ್ರೂಪರ್ ತೂಗಾಡುತ್ತಿರುವ ಹೆಲಿಕಾಪ್ಟರ್‌ನಿಂದ ಜಿಗಿಯುತ್ತಾನೆ. ಕೇವಲ ಒಂದು ಸಂಖ್ಯೆ. ಕಾರ್ಯಗಳ ತುಣುಕು ನಿಯೋಜನೆ. ನೈಸರ್ಗಿಕ ವಿದ್ಯಮಾನಗಳು ಪರಸ್ಪರ ನಿಕಟ ಸಂಬಂಧ ಹೊಂದಿವೆ.

"ಸಂಖ್ಯೆ ಅನುಕ್ರಮಗಳು" - ಪಾಠ-ಸಮ್ಮೇಳನ. "ಸಂಖ್ಯೆ ಅನುಕ್ರಮಗಳು". ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಪ್ರಗತಿ. ನಿಯೋಜನೆಯ ವಿಧಾನಗಳು. ಅಂಕಗಣಿತದ ಪ್ರಗತಿ. ಸಂಖ್ಯೆ ಅನುಕ್ರಮಗಳು.

“ಸಂಖ್ಯೆಯ ಅನುಕ್ರಮದ ಮಿತಿ” - ಪರಿಹಾರ: ಅನುಕ್ರಮಗಳನ್ನು ನಿರ್ದಿಷ್ಟಪಡಿಸುವ ವಿಧಾನಗಳು. ಸೀಮಿತ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಅನುಕ್ರಮ. уn ಪ್ರಮಾಣವನ್ನು ಅನುಕ್ರಮದ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪದ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಸಂಖ್ಯೆಯ ಅನುಕ್ರಮದ ಮಿತಿ. ಒಂದು ಹಂತದಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯದ ಮುಂದುವರಿಕೆ. ಉದಾಹರಣೆ: 1, 4, 9, 16, …, p2, … - ಕೆಳಗಿನಿಂದ 1 ರಿಂದ ಸೀಮಿತಗೊಳಿಸಲಾಗಿದೆ. ವಿಶ್ಲೇಷಣಾತ್ಮಕ ಸೂತ್ರವನ್ನು ನಿರ್ದಿಷ್ಟಪಡಿಸುವ ಮೂಲಕ. ಮಿತಿಗಳ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು.

“ಸಂಖ್ಯೆ ಅನುಕ್ರಮ” - ಸಂಖ್ಯೆ ಅನುಕ್ರಮ (ಸಂಖ್ಯೆ ಸರಣಿ): ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಕ್ರಮದಲ್ಲಿ ಬರೆಯಲಾದ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು. 2. ಅನುಕ್ರಮಗಳನ್ನು ನಿರ್ದಿಷ್ಟಪಡಿಸುವ ವಿಧಾನಗಳು. 1. ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ. ಅನುಕ್ರಮ ಪದನಾಮ. ಅನುಕ್ರಮಗಳು. 1. ಅನುಕ್ರಮದ n ನೇ ಸದಸ್ಯನ ಫಾರ್ಮುಲಾ: - ಅನುಕ್ರಮದ ಯಾವುದೇ ಸದಸ್ಯರನ್ನು ಹುಡುಕಲು ನಿಮಗೆ ಅನುಮತಿಸುತ್ತದೆ. 3. ಸಂಖ್ಯೆ ಅನುಕ್ರಮ ಗ್ರಾಫ್.

"ಟೇಬಲ್ಸ್" - ತೈಲ ಮತ್ತು ಅನಿಲ ಉತ್ಪಾದನೆ. ಕೋಷ್ಟಕ 2. ಕೋಷ್ಟಕ 5. ಕೋಷ್ಟಕ ಮಾಹಿತಿ ಮಾದರಿಗಳು. ಓಎಸ್ ಪ್ರಕಾರದ ಟೇಬಲ್ ಅನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸುವ ಕ್ರಮ. ಕೋಷ್ಟಕ 4. ವಾರ್ಷಿಕ ಅಂದಾಜುಗಳು. ಟೇಬಲ್ ಸಂಖ್ಯೆ. "ವಸ್ತುಗಳು - ವಸ್ತುಗಳು" ಪ್ರಕಾರದ ಕೋಷ್ಟಕಗಳು. 10 "ಬಿ" ವರ್ಗದ ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳು. ಟೇಬಲ್ ರಚನೆ. ವಸ್ತು-ಆಸ್ತಿ ಪ್ರಕಾರದ ಕೋಷ್ಟಕಗಳು. ವಸ್ತುಗಳ ಜೋಡಿಗಳನ್ನು ವಿವರಿಸಲಾಗಿದೆ; ಒಂದೇ ಆಸ್ತಿ ಇದೆ.

ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಸೆಟ್‌ಗಳಲ್ಲಿ, ವಸ್ತುಗಳು ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಮಧ್ಯಂತರಗಳಾಗಿರುವ ಸೆಟ್‌ಗಳಿವೆ. ಒಂದು ಸೆಟ್ ಅನ್ನು ಸೂಚಿಸುವಾಗ, ಮಧ್ಯಂತರದಿಂದ ನಿರ್ಧರಿಸಲು ಸುಲಭವಾಗುತ್ತದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಮಧ್ಯಂತರಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ನಾವು ಪರಿಹಾರಗಳ ಸೆಟ್ಗಳನ್ನು ಬರೆಯುತ್ತೇವೆ.

ಈ ಲೇಖನವು ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಮಧ್ಯಂತರಗಳು, ಹೆಸರುಗಳು, ಸಂಕೇತಗಳು, ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ಸಾಲಿನಲ್ಲಿ ಮಧ್ಯಂತರಗಳ ಚಿತ್ರಗಳು, ಅಸಮಾನತೆಗಳ ಪತ್ರವ್ಯವಹಾರದ ಬಗ್ಗೆ ಪ್ರಶ್ನೆಗಳಿಗೆ ಉತ್ತರಗಳನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ. ಅಂತಿಮವಾಗಿ, ಅಂತರ ಕೋಷ್ಟಕವನ್ನು ಚರ್ಚಿಸಲಾಗುವುದು.

ಪ್ರತಿ ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಮಧ್ಯಂತರವನ್ನು ಇವುಗಳಿಂದ ನಿರೂಪಿಸಲಾಗಿದೆ:

• ಹೆಸರು;
• ಸಾಮಾನ್ಯ ಅಥವಾ ಡಬಲ್ ಅಸಮಾನತೆಯ ಉಪಸ್ಥಿತಿ;
• ಹುದ್ದೆ;
• ನೇರ ರೇಖೆಯ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕದಲ್ಲಿ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಚಿತ್ರ.

ಮೇಲಿನ ಪಟ್ಟಿಯಿಂದ ಯಾವುದೇ 3 ವಿಧಾನಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಮಧ್ಯಂತರವನ್ನು ನಿರ್ದಿಷ್ಟಪಡಿಸಲಾಗಿದೆ. ಅಂದರೆ, ಅಸಮಾನತೆ, ಸಂಕೇತ, ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ಸಾಲಿನಲ್ಲಿ ಚಿತ್ರವನ್ನು ಬಳಸುವಾಗ. ಈ ವಿಧಾನವು ಹೆಚ್ಚು ಅನ್ವಯಿಸುತ್ತದೆ.

ಮೇಲೆ ತಿಳಿಸಿದ ಬದಿಗಳೊಂದಿಗೆ ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಮಧ್ಯಂತರಗಳನ್ನು ನಾವು ವಿವರಿಸೋಣ:

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ 2

• ತೆರೆದ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಕಿರಣ.ಅದನ್ನು ಬಿಟ್ಟುಬಿಟ್ಟು, ತೆರೆದು ಬಿಡುವುದರಿಂದ ಈ ಹೆಸರು ಬಂದಿದೆ.

ಈ ಮಧ್ಯಂತರವು ಅನುಗುಣವಾದ ಅಸಮಾನತೆಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ x< a или x >a , ಇಲ್ಲಿ a ಕೆಲವು ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆ. ಅಂದರೆ, ಅಂತಹ ಕಿರಣದಲ್ಲಿ ಒಂದು - (x.) ಗಿಂತ ಕಡಿಮೆ ಇರುವ ಎಲ್ಲಾ ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿವೆ< a) или больше a - (x >a)

x ರೂಪದ ಅಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಪೂರೈಸುವ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಸೆಟ್< a обозначается виде промежутка (− ∞ , a) , а для x >a ನಂತೆ (a , + ∞) .

ತೆರೆದ ಕಿರಣದ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಅರ್ಥವು ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಮಧ್ಯಂತರದ ಉಪಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸುತ್ತದೆ. ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ರೇಖೆಯ ಬಿಂದುಗಳು ಮತ್ತು ಅದರ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ನಡುವೆ ಪತ್ರವ್ಯವಹಾರವಿದೆ, ಈ ಕಾರಣದಿಂದಾಗಿ ರೇಖೆಯನ್ನು ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ರೇಖೆ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ನೀವು ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಹೋಲಿಸಬೇಕಾದರೆ, ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ಸಾಲಿನಲ್ಲಿ ದೊಡ್ಡ ಸಂಖ್ಯೆಯು ಬಲಕ್ಕೆ ಇರುತ್ತದೆ. ನಂತರ x ರೂಪದ ಅಸಮಾನತೆ< a включает в себя точки, которые расположены левее, а для x >a - ಬಲಕ್ಕೆ ಇರುವ ಬಿಂದುಗಳು. ಸಂಖ್ಯೆಯು ಸ್ವತಃ ಪರಿಹಾರಕ್ಕೆ ಸೂಕ್ತವಲ್ಲ, ಆದ್ದರಿಂದ ಅದನ್ನು ಪಂಕ್ಚರ್ಡ್ ಡಾಟ್ ಮೂಲಕ ರೇಖಾಚಿತ್ರದಲ್ಲಿ ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಅಗತ್ಯವಿರುವ ಅಂತರವನ್ನು ಛಾಯೆಯನ್ನು ಬಳಸಿ ಹೈಲೈಟ್ ಮಾಡಲಾಗುತ್ತದೆ. ಕೆಳಗಿನ ಚಿತ್ರವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ.

ಮೇಲಿನ ಅಂಕಿ ಅಂಶದಿಂದ ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಮಧ್ಯಂತರಗಳು ರೇಖೆಯ ಭಾಗಗಳಿಗೆ ಅನುರೂಪವಾಗಿದೆ, ಅಂದರೆ, a ನಲ್ಲಿ ಪ್ರಾರಂಭದೊಂದಿಗೆ ಕಿರಣಗಳು. ಬೇರೆ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಅವುಗಳನ್ನು ಪ್ರಾರಂಭವಿಲ್ಲದೆ ಕಿರಣಗಳು ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಅದಕ್ಕಾಗಿಯೇ ಇದಕ್ಕೆ ತೆರೆದ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಕಿರಣ ಎಂಬ ಹೆಸರು ಬಂದಿದೆ.

ಕೆಲವು ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ನೋಡೋಣ.

ಉದಾಹರಣೆ 1

ಕಟ್ಟುನಿಟ್ಟಾದ ಅಸಮಾನತೆಯನ್ನು x > - 3 ನೀಡಲಾಗಿದೆ, ತೆರೆದ ಕಿರಣವನ್ನು ನಿರ್ದಿಷ್ಟಪಡಿಸಲಾಗಿದೆ. ಈ ನಮೂದನ್ನು ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಬಹುದು (-3, ∞). ಅಂದರೆ, ಇವೆಲ್ಲವೂ ಬಲಕ್ಕೆ ಬಿದ್ದಿರುವ ಬಿಂದುಗಳಾಗಿವೆ - 3.

ಉದಾಹರಣೆ 2

ನಾವು x ರೂಪದ ಅಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ< 2 , 3 , то запись (− ∞ , 2 , 3) является аналогичной при задании открытого числового луча.

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ 3

• ಸಂಖ್ಯೆ ಕಿರಣ.ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಅರ್ಥವೆಂದರೆ ಪ್ರಾರಂಭವನ್ನು ತಿರಸ್ಕರಿಸಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ, ಬೇರೆ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಕಿರಣವು ಅದರ ಉಪಯುಕ್ತತೆಯನ್ನು ಉಳಿಸಿಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ.

x ≤ a ಅಥವಾ x ≥ a ರೂಪದ ಕಟ್ಟುನಿಟ್ಟಾದ ಅಸಮಾನತೆಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಇದರ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಕೈಗೊಳ್ಳಲಾಗುತ್ತದೆ. ಈ ಪ್ರಕಾರಕ್ಕಾಗಿ, ಫಾರ್ಮ್‌ನ ವಿಶೇಷ ಸಂಕೇತಗಳನ್ನು (-∞, a ] ಮತ್ತು [ a , + ∞) ಸ್ವೀಕರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಚೌಕದ ಆವರಣದ ಉಪಸ್ಥಿತಿಯು ಪಾಯಿಂಟ್ ಅನ್ನು ಪರಿಹಾರದಲ್ಲಿ ಅಥವಾ ಸೆಟ್‌ನಲ್ಲಿ ಸೇರಿಸಲಾಗಿದೆ ಎಂದರ್ಥ. ಕೆಳಗಿನ ಚಿತ್ರವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ.

ಸ್ಪಷ್ಟ ಉದಾಹರಣೆಗಾಗಿ, ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಕಿರಣವನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸೋಣ.

ಉದಾಹರಣೆ 3

x ≥ 5 ರೂಪದ ಅಸಮಾನತೆಯು [5 , + ∞) ಸಂಕೇತಕ್ಕೆ ಅನುರೂಪವಾಗಿದೆ, ನಂತರ ನಾವು ಈ ಕೆಳಗಿನ ರೂಪದ ಕಿರಣವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ 4

• ಮಧ್ಯಂತರ.ಮಧ್ಯಂತರಗಳನ್ನು ಬಳಸುವ ಹೇಳಿಕೆಯನ್ನು ಡಬಲ್ ಅಸಮಾನತೆಗಳನ್ನು ಬಳಸಿ ಬರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ a< x < b , где а и b являются некоторыми действительными числами, где a меньше b , а x является переменной. На таком интервале имеется множество точек и чисел, которые больше a , но меньше b . Обозначение такого интервала принято записывать в виде (a , b) . Наличие круглых скобок говорит о том, что число a и b не включены в это множество. Координатная прямая при изображении получает 2 выколотые точки.

ಕೆಳಗಿನ ಚಿತ್ರವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ.

ಉದಾಹರಣೆ 4

ಮಧ್ಯಂತರ ಉದಾಹರಣೆ - 1< x < 3 , 5 говорит о том, что его можно записать в виде интервала (− 1 , 3 , 5) . Изобразим на координатной прямой и рассмотрим.

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ 5

• ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ವಿಭಾಗ.ಈ ಮಧ್ಯಂತರವು ಗಡಿ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುವಲ್ಲಿ ಭಿನ್ನವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ನಂತರ ಅದು ≤ x ≤ b ರೂಪವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. ಅಂತಹ ಕಠಿಣವಲ್ಲದ ಅಸಮಾನತೆಯು ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ವಿಭಾಗದ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಬರೆಯುವಾಗ, ಚದರ ಆವರಣಗಳನ್ನು [a, b] ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ ಅಂಕಗಳನ್ನು ಸೆಟ್‌ನಲ್ಲಿ ಸೇರಿಸಲಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಮಬ್ಬಾಗಿ ಚಿತ್ರಿಸಲಾಗಿದೆ ಎಂದು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ.

ಉದಾಹರಣೆ 5

ವಿಭಾಗವನ್ನು ಪರಿಶೀಲಿಸಿದ ನಂತರ, ನಾವು ರೂಪ 2, 3 ರಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುವ ಡಬಲ್ ಅಸಮಾನತೆ 2 ≤ x ≤ 3 ಅನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಅದರ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವು ಸಾಧ್ಯ ಎಂದು ನಾವು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ. ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ಸಾಲಿನಲ್ಲಿ, ನೀಡಲಾದ ಅಂಕಗಳನ್ನು ದ್ರಾವಣದಲ್ಲಿ ಸೇರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಮಬ್ಬಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ 6 ಉದಾಹರಣೆ 6

ಅರ್ಧ ಮಧ್ಯಂತರ (1, 3] ಇದ್ದರೆ, ಅದರ ಪದನಾಮವು ಎರಡು ಅಸಮಾನತೆಯ ರೂಪದಲ್ಲಿರಬಹುದು 1< x ≤ 3 , при чем на координатной прямой изобразится с точками 1 и 3 , где 1 будет исключена, то есть выколота на прямой.

ಮಧ್ಯಂತರಗಳನ್ನು ಹೀಗೆ ಚಿತ್ರಿಸಬಹುದು:

• ತೆರೆದ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಕಿರಣ;
• ಸಂಖ್ಯೆಯ ಕಿರಣ;
• ಮಧ್ಯಂತರ;
• ಸಂಖ್ಯೆಯ ಸಾಲು;
• ಅರ್ಧ ಮಧ್ಯಂತರ

ಲೆಕ್ಕಾಚಾರದ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯನ್ನು ಸರಳಗೊಳಿಸಲು, ನೀವು ಒಂದು ಸಾಲಿನ ಎಲ್ಲಾ ವಿಧದ ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಮಧ್ಯಂತರಗಳಿಗೆ ಪದನಾಮಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ವಿಶೇಷ ಕೋಷ್ಟಕವನ್ನು ಬಳಸಬೇಕಾಗುತ್ತದೆ.

ಹೆಸರು	ಅಸಮಾನತೆ	ಹುದ್ದೆ	ಚಿತ್ರ
ತೆರೆದ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಕಿರಣ	x< a	- ∞ ,ಎ
	x>a	a , + ∞
ಸಂಖ್ಯೆ ಕಿರಣ	x ≤ a	(-∞ , a ]
	x ≥ a	[a, + ∞)
ಮಧ್ಯಂತರ	ಎ< x < b	a, b
ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ವಿಭಾಗ	a ≤ x ≤ b	a, b
ಅರ್ಧ ಮಧ್ಯಂತರ

ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಮಧ್ಯಂತರಗಳಲ್ಲಿ ಕಿರಣಗಳು, ವಿಭಾಗಗಳು, ಮಧ್ಯಂತರಗಳು ಮತ್ತು ಅರ್ಧ-ಮಧ್ಯಂತರಗಳು ಸೇರಿವೆ.

ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಮಧ್ಯಂತರಗಳ ವಿಧಗಳು

ಕೋಷ್ಟಕದಲ್ಲಿ ಎಮತ್ತು ಬಿಗಡಿ ಬಿಂದುಗಳಾಗಿವೆ, ಮತ್ತು x- ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಮಧ್ಯಂತರಕ್ಕೆ ಸೇರಿದ ಯಾವುದೇ ಬಿಂದುವಿನ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಬಹುದು.

ಬೌಂಡರಿ ಪಾಯಿಂಟ್- ಇದು ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಮಧ್ಯಂತರದ ಗಡಿಯನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುವ ಅಂಶವಾಗಿದೆ. ಗಡಿ ಬಿಂದುವು ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಮಧ್ಯಂತರಕ್ಕೆ ಸೇರಿರಬಹುದು ಅಥವಾ ಇಲ್ಲದಿರಬಹುದು. ರೇಖಾಚಿತ್ರಗಳಲ್ಲಿ, ಪರಿಗಣನೆಯ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಮಧ್ಯಂತರಕ್ಕೆ ಸೇರದ ಗಡಿ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ತೆರೆದ ವೃತ್ತದಿಂದ ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಅವುಗಳಿಗೆ ಸೇರಿದವುಗಳನ್ನು ತುಂಬಿದ ವೃತ್ತದಿಂದ ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

ತೆರೆದ ಮತ್ತು ಮುಚ್ಚಿದ ಕಿರಣ

ತೆರೆದ ಕಿರಣಈ ಸೆಟ್‌ನಲ್ಲಿ ಸೇರಿಸದ ಗಡಿ ಬಿಂದುವಿನ ಒಂದು ಬದಿಯಲ್ಲಿ ಇರುವ ರೇಖೆಯ ಮೇಲಿನ ಬಿಂದುಗಳ ಗುಂಪಾಗಿದೆ. ಕಿರಣವನ್ನು ನಿಖರವಾಗಿ ಮುಕ್ತ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಏಕೆಂದರೆ ಅದು ಸೇರದ ಗಡಿ ಬಿಂದುವಾಗಿದೆ.

ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ಸಾಲಿನಲ್ಲಿ 2 ಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚಿನ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಬಿಂದುಗಳ ಗುಂಪನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸೋಣ ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ, ಪಾಯಿಂಟ್ 2 ರ ಬಲಭಾಗದಲ್ಲಿದೆ:

ಅಂತಹ ಒಂದು ಗುಂಪನ್ನು ಅಸಮಾನತೆಯಿಂದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಬಹುದು x> 2. ತೆರೆದ ಕಿರಣಗಳನ್ನು ಆವರಣಗಳನ್ನು ಬಳಸಿ ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ - (2; +∞), ಈ ನಮೂದು ಈ ರೀತಿ ಓದುತ್ತದೆ: ಎರಡರಿಂದ ಪ್ಲಸ್ ಅನಂತಕ್ಕೆ ತೆರೆದ ಸಂಖ್ಯಾ ಕಿರಣ.

ಅಸಮಾನತೆಯು ಅನುರೂಪವಾಗಿರುವ ಸೆಟ್ x < 2, можно обозначить (-∞; 2) или изобразить в виде луча, все точки которого лежат с левой стороны от точки 2:

ಮುಚ್ಚಿದ ಕಿರಣಕೊಟ್ಟಿರುವ ಸೆಟ್‌ಗೆ ಸೇರಿದ ಗಡಿ ಬಿಂದುವಿನ ಒಂದು ಬದಿಯಲ್ಲಿ ಇರುವ ರೇಖೆಯ ಮೇಲಿನ ಬಿಂದುಗಳ ಗುಂಪಾಗಿದೆ. ರೇಖಾಚಿತ್ರಗಳಲ್ಲಿ, ಪರಿಗಣನೆಯಡಿಯಲ್ಲಿ ಸೆಟ್ಗೆ ಸೇರಿದ ಗಡಿ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ತುಂಬಿದ ವೃತ್ತದಿಂದ ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಮುಚ್ಚಿದ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಕಿರಣಗಳನ್ನು ಕಠಿಣವಲ್ಲದ ಅಸಮಾನತೆಗಳಿಂದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಅಸಮಾನತೆಗಳು x 2 ಮತ್ತು x 2 ಅನ್ನು ಈ ರೀತಿ ಚಿತ್ರಿಸಬಹುದು:

ಈ ಮುಚ್ಚಿದ ಕಿರಣಗಳನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ಗೊತ್ತುಪಡಿಸಲಾಗಿದೆ: , ಇದನ್ನು ಈ ರೀತಿ ಓದಲಾಗುತ್ತದೆ: ಎರಡರಿಂದ ಪ್ಲಸ್ ಅನಂತಕ್ಕೆ ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಕಿರಣ ಮತ್ತು ಮೈನಸ್ ಅನಂತದಿಂದ ಎರಡಕ್ಕೆ ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಕಿರಣ. ಅಂಕಿಅಂಶದಲ್ಲಿನ ಚೌಕ ಬ್ರಾಕೆಟ್ ಪಾಯಿಂಟ್ 2 ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಮಧ್ಯಂತರಕ್ಕೆ ಸೇರಿದೆ ಎಂದು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ.

ವಿಭಾಗ

ವಿಭಾಗಕೊಟ್ಟಿರುವ ಸೆಟ್‌ಗೆ ಸೇರಿದ ಎರಡು ಗಡಿ ಬಿಂದುಗಳ ನಡುವೆ ಇರುವ ರೇಖೆಯ ಮೇಲಿನ ಬಿಂದುಗಳ ಗುಂಪಾಗಿದೆ. ಅಂತಹ ಸೆಟ್ಗಳನ್ನು ಡಬಲ್ ಅಲ್ಲದ ಕಟ್ಟುನಿಟ್ಟಾದ ಅಸಮಾನತೆಗಳಿಂದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ.

ಅಂಕಗಳು -2 ಮತ್ತು 3 ರಲ್ಲಿ ತುದಿಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ರೇಖೆಯ ವಿಭಾಗವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ:

ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ವಿಭಾಗವನ್ನು ರೂಪಿಸುವ ಬಿಂದುಗಳ ಸೆಟ್ ಅನ್ನು ಡಬಲ್ ಅಸಮಾನತೆ -2 ನಿಂದ ನಿರ್ದಿಷ್ಟಪಡಿಸಬಹುದು x 3 ಅಥವಾ ಗೊತ್ತುಪಡಿಸಿ [-2; 3], ಅಂತಹ ದಾಖಲೆಯು ಈ ರೀತಿ ಓದುತ್ತದೆ: ಮೈನಸ್ ಎರಡರಿಂದ ಮೂರರಿಂದ ಒಂದು ವಿಭಾಗ.

ಮಧ್ಯಂತರ ಮತ್ತು ಅರ್ಧ ಮಧ್ಯಂತರ

ಮಧ್ಯಂತರ- ಇದು ಈ ಸೆಟ್‌ಗೆ ಸೇರದ ಎರಡು ಗಡಿ ಬಿಂದುಗಳ ನಡುವೆ ಇರುವ ರೇಖೆಯ ಮೇಲಿನ ಬಿಂದುಗಳ ಗುಂಪಾಗಿದೆ. ಅಂತಹ ಸೆಟ್ಗಳನ್ನು ಡಬಲ್ ಕಟ್ಟುನಿಟ್ಟಾದ ಅಸಮಾನತೆಗಳಿಂದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ.

ಅಂಕಗಳು -2 ಮತ್ತು 3 ರಲ್ಲಿ ತುದಿಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ರೇಖೆಯ ವಿಭಾಗವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ:

ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಮಧ್ಯಂತರವನ್ನು ರೂಪಿಸುವ ಬಿಂದುಗಳ ಗುಂಪನ್ನು ಡಬಲ್ ಅಸಮಾನತೆ -2 ನಿಂದ ನಿರ್ದಿಷ್ಟಪಡಿಸಬಹುದು< x < 3 или обозначить (-2; 3). Такая запись читается так: интервал от минус двух до трёх.

ಅರ್ಧ ಮಧ್ಯಂತರಎರಡು ಬೌಂಡರಿ ಪಾಯಿಂಟ್‌ಗಳ ನಡುವೆ ಇರುವ ರೇಖೆಯ ಮೇಲಿನ ಬಿಂದುಗಳ ಗುಂಪಾಗಿದೆ, ಅದರಲ್ಲಿ ಒಂದು ಸೆಟ್‌ಗೆ ಸೇರಿದೆ ಮತ್ತು ಇನ್ನೊಂದು ಅಲ್ಲ. ಅಂತಹ ಸೆಟ್ಗಳನ್ನು ಡಬಲ್ ಅಸಮಾನತೆಗಳಿಂದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ:

ಈ ಅರ್ಧ ಮಧ್ಯಂತರಗಳನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ಗೊತ್ತುಪಡಿಸಲಾಗಿದೆ: (-2; 3] ಮತ್ತು [-2; 3]. ಇದು ಈ ರೀತಿ ಓದುತ್ತದೆ: ಮೈನಸ್ ಎರಡರಿಂದ ಮೂರು, 3 ಸೇರಿದಂತೆ ಅರ್ಧ-ಮಧ್ಯಂತರ, ಮತ್ತು ಮೈನಸ್ ಎರಡು ಸೇರಿದಂತೆ ಮೈನಸ್ ಎರಡರಿಂದ ಮೂರು.