ಉಪನ್ಯಾಸ: ವೆಕ್ಟರ್ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳು; ವಾಹಕಗಳ ಡಾಟ್ ಉತ್ಪನ್ನ; ವಾಹಕಗಳ ನಡುವಿನ ಕೋನ

ವೆಕ್ಟರ್ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳು

ಆದ್ದರಿಂದ, ಮೊದಲೇ ಹೇಳಿದಂತೆ, ವಾಹಕಗಳು ನಿರ್ದೇಶಿತ ವಿಭಾಗವಾಗಿದೆ, ಅದು ತನ್ನದೇ ಆದ ಆರಂಭ ಮತ್ತು ಅಂತ್ಯವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ಪ್ರಾರಂಭ ಮತ್ತು ಅಂತ್ಯವನ್ನು ಕೆಲವು ಬಿಂದುಗಳಿಂದ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಿದರೆ, ನಂತರ ಸಮತಲದಲ್ಲಿ ಅಥವಾ ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶದಲ್ಲಿ ಅವರು ತಮ್ಮದೇ ಆದ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದಾರೆ.

ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಬಿಂದುವು ತನ್ನದೇ ಆದ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ, ನಾವು ಸಂಪೂರ್ಣ ವೆಕ್ಟರ್ನ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ಪಡೆಯಬಹುದು.

ನಾವು ಕೆಲವು ವೆಕ್ಟರ್ ಅನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ ಎಂದು ಭಾವಿಸೋಣ, ಅದರ ಪ್ರಾರಂಭ ಮತ್ತು ವೆಕ್ಟರ್ನ ಅಂತ್ಯವು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಪದನಾಮಗಳು ಮತ್ತು ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ: A (A x; Ay) ಮತ್ತು B (B x; By)

ಈ ವೆಕ್ಟರ್‌ನ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ಪಡೆಯಲು, ವೆಕ್ಟರ್‌ನ ಅಂತ್ಯದ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳಿಂದ ಪ್ರಾರಂಭದ ಅನುಗುಣವಾದ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ಕಳೆಯುವುದು ಅವಶ್ಯಕ:

ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶದಲ್ಲಿ ವೆಕ್ಟರ್ನ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಲು, ಈ ಕೆಳಗಿನ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಿ:

ವಾಹಕಗಳ ಡಾಟ್ ಉತ್ಪನ್ನ

ಡಾಟ್ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲು ಎರಡು ಮಾರ್ಗಗಳಿವೆ:

• ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಮಾರ್ಗ. ಅವರ ಪ್ರಕಾರ, ಡಾಟ್ ಉತ್ಪನ್ನವು ಈ ಮಾಡ್ಯೂಲ್‌ಗಳ ಮೌಲ್ಯಗಳ ಉತ್ಪನ್ನಕ್ಕೆ ಅವುಗಳ ನಡುವಿನ ಕೋನದ ಕೊಸೈನ್‌ನಿಂದ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

• ಬೀಜಗಣಿತ ಅರ್ಥ. ಬೀಜಗಣಿತದ ದೃಷ್ಟಿಕೋನದಿಂದ, ಎರಡು ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳ ಡಾಟ್ ಉತ್ಪನ್ನವು ಅನುಗುಣವಾದ ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳ ಉತ್ಪನ್ನಗಳ ಮೊತ್ತದ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ಪಡೆಯಲಾದ ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಪ್ರಮಾಣವಾಗಿದೆ.

ವಾಹಕಗಳನ್ನು ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶದಲ್ಲಿ ನೀಡಿದರೆ, ನೀವು ಇದೇ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಬೇಕು:

ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು:

• ನೀವು ಎರಡು ಒಂದೇ ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳನ್ನು ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಆಗಿ ಗುಣಿಸಿದರೆ, ಅವುಗಳ ಡಾಟ್ ಉತ್ಪನ್ನವು ಋಣಾತ್ಮಕವಾಗಿರುವುದಿಲ್ಲ:

• ಎರಡು ಒಂದೇ ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳ ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಉತ್ಪನ್ನವು ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿದ್ದರೆ, ಈ ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳನ್ನು ಶೂನ್ಯವೆಂದು ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ:

• ವೆಕ್ಟರ್ ಅನ್ನು ಸ್ವತಃ ಗುಣಿಸಿದರೆ, ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಉತ್ಪನ್ನವು ಅದರ ಮಾಡ್ಯುಲಸ್ನ ವರ್ಗಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ:

• ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಉತ್ಪನ್ನವು ಸಂವಹನ ಆಸ್ತಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ, ಅಂದರೆ, ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳ ಕ್ರಮಪಲ್ಲಟನೆಯಿಂದ ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಉತ್ಪನ್ನವು ಬದಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ:

• ವಾಹಕಗಳು ಪರಸ್ಪರ ಲಂಬವಾಗಿದ್ದರೆ ಮಾತ್ರ ಶೂನ್ಯ ವಾಹಕಗಳ ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಉತ್ಪನ್ನವು ಶೂನ್ಯವಾಗಿರುತ್ತದೆ:

• ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳ ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಉತ್ಪನ್ನಕ್ಕಾಗಿ, ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದನ್ನು ಸಂಖ್ಯೆಯಿಂದ ಗುಣಿಸಿದಾಗ ಸ್ಥಳಾಂತರ ಕಾನೂನು ಮಾನ್ಯವಾಗಿರುತ್ತದೆ:

• ಡಾಟ್ ಉತ್ಪನ್ನದೊಂದಿಗೆ, ನೀವು ಗುಣಾಕಾರದ ವಿತರಣಾ ಆಸ್ತಿಯನ್ನು ಸಹ ಬಳಸಬಹುದು:

ವಾಹಕಗಳ ನಡುವಿನ ಕೋನ

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ 1

ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳ ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಉತ್ಪನ್ನವು ಈ ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳ ಡೈನ್‌ನ ಉತ್ಪನ್ನಕ್ಕೆ ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ನಡುವಿನ ಕೋನದ ಕೊಸೈನ್‌ಗೆ ಸಮಾನವಾದ ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿದೆ.

a → ಮತ್ತು b → ವಾಹಕಗಳ ಉತ್ಪನ್ನದ ಸಂಕೇತವು a →, b → ರೂಪವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ಸೂತ್ರಕ್ಕೆ ಪರಿವರ್ತಿಸೋಣ:

a →, b → = a → b → cos a →, b → ^. a → ಮತ್ತು b → ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳ ಉದ್ದವನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತವೆ, a →, b → ^ ಕೊಟ್ಟಿರುವ ವಾಹಕಗಳ ನಡುವಿನ ಕೋನವನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. ಕನಿಷ್ಠ ಒಂದು ವೆಕ್ಟರ್ ಶೂನ್ಯವಾಗಿದ್ದರೆ, ಅಂದರೆ, ಅದು 0 ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ, ನಂತರ ಫಲಿತಾಂಶವು ಶೂನ್ಯವಾಗಿರುತ್ತದೆ, a →, b → = 0

ವೆಕ್ಟರ್ ಅನ್ನು ಸ್ವತಃ ಗುಣಿಸಿದಾಗ, ನಾವು ಅದರ ಉದ್ದದ ವರ್ಗವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:

a →, b → = a → b → cos a →, a → ^ = a → 2 cos 0 = a → 2

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ 2

ವೆಕ್ಟರ್‌ನ ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಗುಣಾಕಾರವನ್ನು ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಸ್ಕ್ವೇರ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಸೂತ್ರದಿಂದ ಲೆಕ್ಕಹಾಕಲಾಗಿದೆ:

a →, b → = a → b → cos a →, b → ^.

a →, b → = a → b → cos a →, b → ^ = a → npa → b → = b → npb → a → ಸಂಕೇತವು npb → a → ಸಂಖ್ಯಾ ಯೋಜನೆಯ ಮೇಲೆ npb → a → ಎಂದು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ npa → a → ಕ್ರಮವಾಗಿ a → ಮೇಲೆ b → ನ ಪ್ರಕ್ಷೇಪಣವಾಗಿದೆ.

ಎರಡು ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳಿಗೆ ಉತ್ಪನ್ನದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ನಾವು ರೂಪಿಸೋಣ:

a → by b → ಎರಡು ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳ ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಸದಿಶದ ಉದ್ದದ ಉತ್ಪನ್ನ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ a → ಪ್ರೊಜೆಕ್ಷನ್ b → ದಿಕ್ಕಿನ ಮೂಲಕ a → ಅಥವಾ ಉದ್ದದ ಉತ್ಪನ್ನ b → ಪ್ರೊಜೆಕ್ಷನ್ a → ಮೂಲಕ ಕ್ರಮವಾಗಿ.

ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳಲ್ಲಿ ಡಾಟ್ ಉತ್ಪನ್ನ

ಡಾಟ್ ಉತ್ಪನ್ನದ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರವನ್ನು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸಮತಲದಲ್ಲಿ ಅಥವಾ ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶದಲ್ಲಿ ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳ ಮೂಲಕ ನಿರ್ವಹಿಸಬಹುದು.

ಮೂರು ಆಯಾಮದ ಜಾಗದಲ್ಲಿ ಸಮತಲದಲ್ಲಿರುವ ಎರಡು ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳ ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು a → ಮತ್ತು b → ನೀಡಿದ ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳ ಮೊತ್ತ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಕೊಟ್ಟಿರುವ ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳ ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುವಾಗ a → = (a x, a y), b → = (b x, b y) ಕಾರ್ಟೇಶಿಯನ್ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಲ್ಲಿ, ಬಳಸಿ:

a →, b → = a x b x + a y b y,

ಮೂರು ಆಯಾಮದ ಜಾಗಕ್ಕೆ, ಈ ಕೆಳಗಿನ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿ ಅನ್ವಯಿಸುತ್ತದೆ:

a →, b → = a x b x + a y b y + a z b z.

ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ಇದು ಡಾಟ್ ಉತ್ಪನ್ನದ ಮೂರನೇ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವಾಗಿದೆ.

ಅದನ್ನು ಸಾಬೀತು ಮಾಡೋಣ.

ಪುರಾವೆ 1

ಪುರಾವೆಗಾಗಿ, ನಾವು ಕಾರ್ಟೇಸಿಯನ್‌ನಲ್ಲಿ →, b → = a → b → cos a →, b → ^ = ax bx + ay by ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳಿಗೆ a → = (ax, ay), b → = (bx, by) ವ್ಯವಸ್ಥೆ.

ವಾಹಕಗಳನ್ನು ಮುಂದೂಡಬೇಕು

O A → = a → = a x, a y ಮತ್ತು O B → = b → = b x, b y.

ನಂತರ A B → ವೆಕ್ಟರ್‌ನ ಉದ್ದವು A B → = O B → - O A → = b → - a → = (b x - a x, b y - a y) ಗೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ.

O A B ತ್ರಿಕೋನವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ.

A B 2 = O A 2 + O B 2 - 2 O A O B cos (∠ A O B) ಕೊಸೈನ್ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಆಧರಿಸಿ ನಿಜವಾಗಿದೆ.

ಷರತ್ತಿನ ಮೂಲಕ, O A = a →, O B = b →, A B = b → - a →, ∠ A O B = a →, b → ^ ಎಂದು ನೋಡಬಹುದು, ಆದ್ದರಿಂದ, ನಾವು ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳ ನಡುವಿನ ಕೋನವನ್ನು ವಿಭಿನ್ನವಾಗಿ ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬರೆಯುತ್ತೇವೆ

b → - a → 2 = a → 2 + b → 2 - 2 a → b → cos (a →, b → ^).

ನಂತರ ಇದು ಮೊದಲ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದಿಂದ ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ b → - a → 2 = a → 2 + b → 2 - 2 (a →, b →), ಆದ್ದರಿಂದ (a →, b →) = 1 2 (a → 2 + b → 2 - ಬಿ → - ಎ → 2).

ವಾಹಕಗಳ ಉದ್ದವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಲು ಸೂತ್ರವನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸಿ, ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:
a →, b → = 1 2 ((a 2 x + ay 2) 2 + (b 2 x + by 2) 2 - ((bx - ax) 2 + (by - ay) 2) 2) = = 1 2 (a 2 x + a 2 y + b 2 x + b 2 y - (bx - ax) 2 - (by - ay) 2) = = ax bx + ay ಮೂಲಕ

ಸಮಾನತೆಗಳನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸೋಣ:

(a →, b →) = a → b → cos (a →, b → ^) = = a x b x + a y b y + a z b z

- ಕ್ರಮವಾಗಿ ಮೂರು ಆಯಾಮದ ಜಾಗದ ವಾಹಕಗಳಿಗೆ.

ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳೊಂದಿಗೆ ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳ ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಉತ್ಪನ್ನವು ವೆಕ್ಟರ್‌ನ ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಚೌಕವು ಕ್ರಮವಾಗಿ ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶದಲ್ಲಿ ಮತ್ತು ಸಮತಲದಲ್ಲಿ ಅದರ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳ ವರ್ಗಗಳ ಮೊತ್ತಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ ಎಂದು ಹೇಳುತ್ತದೆ. a → = (a x, a y, a z), b → = (b x, b y, b z) ಮತ್ತು (a →, a →) = a x 2 + a y 2.

ಡಾಟ್ ಉತ್ಪನ್ನ ಮತ್ತು ಅದರ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು

a →, b →, ಮತ್ತು c → ಗೆ ಅನ್ವಯಿಸುವ ಡಾಟ್ ಉತ್ಪನ್ನ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳಿವೆ:

1. ಕಮ್ಯುಟಾಟಿವಿಟಿ (a →, b →) = (b →, a →);
2. ವಿತರಣೆ (a → + b →, c →) = (a →, c →) + (b →, c →), (a → + b →, c →) = (a →, b →) + (a → , ಸಿ →);
3. ಸಂಯೋಜನೆಯ ಆಸ್ತಿ (λ a →, b →) = λ (a →, b →), (a →, λ b →) = λ (a →, b →), λ ಯಾವುದೇ ಸಂಖ್ಯೆ;
4. ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಚೌಕವು ಯಾವಾಗಲೂ ಶೂನ್ಯಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚಾಗಿರುತ್ತದೆ (a →, a →) ≥ 0, ಅಲ್ಲಿ (a →, a →) = 0 ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ a → ಶೂನ್ಯವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಪ್ಲೇನ್‌ನಲ್ಲಿನ ಡಾಟ್ ಉತ್ಪನ್ನದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ ಮತ್ತು ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸುವಾಗ ಮತ್ತು ಗುಣಿಸುವಾಗ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳಿಗೆ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ವಿವರಿಸಬಹುದು.

ಕಮ್ಯುಟಾಟಿವಿಟಿ ಆಸ್ತಿಯನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿ (a →, b →) = (b →, a →). ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದಿಂದ ನಾವು (a →, b →) = a y b y + a y b y ಮತ್ತು (b →, a →) = b x a x + b y a y.

ಕಮ್ಯುಟಾಟಿವಿಟಿ ಆಸ್ತಿಯಿಂದ, ಸಮಾನತೆಗಳು a x b x = b x a x ಮತ್ತು a y b y = b y a y ಸರಿ, ಆದ್ದರಿಂದ a x b x + a y b y = b x a x + b y a y.

ಇದು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ (a →, b →) = (b →, a →). ಕ್ಯೂ.ಇ.ಡಿ.

ವಿತರಣೆಯು ಯಾವುದೇ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಗೆ ಮಾನ್ಯವಾಗಿರುತ್ತದೆ:

(a (1) → + a (2) → +.. + a (n) →, b →) = (a (1) →, b →) + (a (2) →, b →) +. ... ... + (a (n) →, b →)

ಮತ್ತು (a →, b (1) → + b (2) → +.. + b (n) →) = (a →, b (1) →) + (a →, b (2) →) + . .. ... ... + (a →, b → (n)),

ಆದ್ದರಿಂದ ನಾವು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ

(a (1) → + a (2) → +.. + a (n) →, b (1) → + b (2) → +... + b (m) →) = (a ( 1) →, b (1) →) + (a (1) →, b (2) →) +. ... ... + (a (1) →, b (m) →) + + (a (2) →, b (1) →) + (a (2) →, b (2) →) +. ... ... + (a (2) →, b (m) →) +. ... ... + + (a (n) →, b (1) →) + (a (n) →, b (2) →) +. ... ... + (a (n) →, b (m) →)

ಉದಾಹರಣೆಗಳು ಮತ್ತು ಪರಿಹಾರಗಳೊಂದಿಗೆ ಡಾಟ್ ಉತ್ಪನ್ನ

ಅಂತಹ ಯೋಜನೆಯ ಯಾವುದೇ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಡಾಟ್ ಉತ್ಪನ್ನಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು ಮತ್ತು ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಪರಿಹರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ:

1. (a →, b →) = a → b → cos (a →, b → ^);
2. (a →, b →) = a → n p a → b → = b → n p b → a →;
3. (a →, b →) = a x b x + a y b y ಅಥವಾ (a →, b →) = a x b x + a y b y + a z b z;
4. (a →, a →) = a → 2.

ಕೆಲವು ಪರಿಹಾರ ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ನೋಡೋಣ.

ಉದಾಹರಣೆ 2

a → ನ ಉದ್ದವು 3 ಆಗಿದೆ, b → ನ ಉದ್ದವು 7 ಆಗಿದೆ. ಕೋನವು 60 ಡಿಗ್ರಿಗಳಾಗಿದ್ದರೆ ಡಾಟ್ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.

ಪರಿಹಾರ

ಷರತ್ತಿನ ಪ್ರಕಾರ, ನಾವು ಎಲ್ಲಾ ಡೇಟಾವನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ನಾವು ಸೂತ್ರದ ಮೂಲಕ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುತ್ತೇವೆ:

(a →, b →) = a → b → cos (a →, b → ^) = 3 7 cos 60 ° = 3 7 1 2 = 21 2

ಉತ್ತರ: (a →, b →) = 21 2.

ಉದಾಹರಣೆ 3

ವಾಹಕಗಳನ್ನು ನೀಡಲಾಗಿದೆ a → = (1, - 1, 2 - 3), b → = (0, 2, 2 + 3). ಡಾಟ್ ಉತ್ಪನ್ನ ಯಾವುದು.

ಪರಿಹಾರ

ಈ ಉದಾಹರಣೆಯಲ್ಲಿ, ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳ ಮೂಲಕ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುವ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಅವುಗಳನ್ನು ಸಮಸ್ಯೆ ಹೇಳಿಕೆಯಲ್ಲಿ ನಿರ್ದಿಷ್ಟಪಡಿಸಲಾಗಿದೆ:

(a →, b →) = ax bx + ay by + az bz = = 1 0 + (- 1) 2 + (2 + 3) (2 + 3) = = 0 - 2 + ( 2 - 9) = - 9

ಉತ್ತರ: (a →, b →) = - 9

ಉದಾಹರಣೆ 4

ಡಾಟ್ ಉತ್ಪನ್ನ A B → ಮತ್ತು A C → ಅನ್ನು ಹುಡುಕಿ. A (1, - 3), B (5, 4), C (1, 1) ಅಂಕಗಳನ್ನು ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ಸಮತಲದಲ್ಲಿ ನೀಡಲಾಗಿದೆ.

ಪರಿಹಾರ

ಮೊದಲಿಗೆ, ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ಲೆಕ್ಕಹಾಕಲಾಗುತ್ತದೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಬಿಂದುಗಳ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ಷರತ್ತುಗಳಿಂದ ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆ:

A B → = (5 - 1, 4 - (- 3)) = (4, 7) A C → = (1 - 1, 1 - (- 3)) = (0, 4)

ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಸೂತ್ರಕ್ಕೆ ಬದಲಿಯಾಗಿ, ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:

(A B →, A C →) = 4 0 + 7 4 = 0 + 28 = 28.

ಉತ್ತರ: (ಎ ಬಿ →, ಎ ಸಿ →) = 28.

ಉದಾಹರಣೆ 5

ವಾಹಕಗಳು a → = 7 m → + 3 n → ಮತ್ತು b → = 5 m → + 8 n →, ಅವುಗಳ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ. m → 3 ಮತ್ತು n → 2 ಘಟಕಗಳಿಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಅವು ಲಂಬವಾಗಿರುತ್ತವೆ.

ಪರಿಹಾರ

(a →, b →) = (7 m → + 3 n →, 5 m → + 8 n →). ವಿತರಣಾ ಆಸ್ತಿಯನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸುವುದರಿಂದ, ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:

(7 m → + 3 n →, 5 m → + 8 n →) = = (7 m →, 5 m →) + (7 m →, 8 n →) + (3 n →, 5 m →) + ( 3 n →, 8 n →)

ಉತ್ಪನ್ನದ ಚಿಹ್ನೆಗಾಗಿ ನಾವು ಗುಣಾಂಕವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:

(7 m →, 5 m →) + (7 m →, 8 n →) + (3 n →, 5 m →) + (3 n →, 8 n →) = = 7 5 (m →, m →) + 7 8 (m →, n →) + 3 5 (n →, m →) + 3 8 (n →, n →) = = 35 (m →, m →) + 56 (m →, n →) + 15 (n →, m →) + 24 (n →, n →)

ಕಮ್ಯುಟಿವಿಟಿ ಆಸ್ತಿಯಿಂದ ನಾವು ರೂಪಾಂತರಗೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ:

35 (m →, m →) + 56 (m →, n →) + 15 (n →, m →) + 24 (n →, n →) = 35 (m →, m →) + 56 (m →, n →) + 15 (m →, n →) + 24 (n →, n →) = 35 (m →, m →) + 71 (m →, n → ) + 24 (n →, n →)

ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ, ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:

(a →, b →) = 35 (m →, m →) + 71 (m →, n →) + 24 (n →, n →).

ಈಗ ಪೂರ್ವನಿರ್ಧರಿತ ಕೋನದೊಂದಿಗೆ ಡಾಟ್ ಉತ್ಪನ್ನಕ್ಕಾಗಿ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸೋಣ:

(a →, b →) = 35 (m →, m →) + 71 (m →, n →) + 24 (n →, n →) = = 35 m → 2 + 71 m → n → cos (m , n → ^) + 24 n → 2 = = 35 3 2 + 71 3 2 cos π 2 + 24 2 2 = 411.

ಉತ್ತರ: (a →, b →) = 411

ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಪ್ರೊಜೆಕ್ಷನ್ ಇದ್ದರೆ.

ಉದಾಹರಣೆ 6

a → ಮತ್ತು b → ಡಾಟ್ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಹುಡುಕಿ. ವೆಕ್ಟರ್ a → ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳೊಂದಿಗೆ a → = (9, 3, - 3), ಪ್ರೊಜೆಕ್ಷನ್ b → ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ (- 3, - 1, 1).

ಪರಿಹಾರ

ಊಹೆಯ ಮೂಲಕ, ವಾಹಕಗಳು a → ಮತ್ತು ಪ್ರೊಜೆಕ್ಷನ್ b → ವಿರುದ್ಧವಾಗಿ ನಿರ್ದೇಶಿಸಲಾಗಿದೆ, ಏಕೆಂದರೆ a → = - 1 3 · npa → b → →, ಆದ್ದರಿಂದ ಪ್ರೊಜೆಕ್ಷನ್ b → npa → b → → ಉದ್ದಕ್ಕೆ ಅನುರೂಪವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಚಿಹ್ನೆಯೊಂದಿಗೆ " -":

n p a → b → → = - n p a → b → → = - (- 3) 2 + (- 1) 2 + 1 2 = - 11,

ಸೂತ್ರಕ್ಕೆ ಬದಲಿಯಾಗಿ, ನಾವು ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿ ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:

(a →, b →) = a → n p a → b → → = 9 2 + 3 2 + (- 3) 2 (- 11) = - 33.

ಉತ್ತರ: (a →, b →) = - 33.

ತಿಳಿದಿರುವ ಡಾಟ್ ಉತ್ಪನ್ನದೊಂದಿಗಿನ ತೊಂದರೆಗಳು, ಅಲ್ಲಿ ವೆಕ್ಟರ್ ಅಥವಾ ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಪ್ರೊಜೆಕ್ಷನ್‌ನ ಉದ್ದವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು ಅವಶ್ಯಕ.

ಉದಾಹರಣೆ 7

ಕೊಟ್ಟಿರುವ ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಉತ್ಪನ್ನಕ್ಕೆ λ ಯಾವ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಬೇಕು a → = (1, 0, λ + 1) ಮತ್ತು b → = (λ, 1, λ) -1 ಗೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಪರಿಹಾರ

ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳ ಉತ್ಪನ್ನಗಳ ಮೊತ್ತವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು ಅವಶ್ಯಕ ಎಂದು ಸೂತ್ರವು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ:

(a →, b →) = 1 λ + 0 1 + (λ + 1) λ = λ 2 + 2 λ.

ನಮಗೆ ನೀಡಲಾಗಿದೆ (a →, b →) = - 1.

λ ಅನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು, ನಾವು ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುತ್ತೇವೆ:

λ 2 + 2 λ = - 1, ಆದ್ದರಿಂದ λ = - 1.

ಉತ್ತರ: λ = - 1.

ಡಾಟ್ ಉತ್ಪನ್ನದ ಭೌತಿಕ ಅರ್ಥ

ಮೆಕ್ಯಾನಿಕ್ಸ್ ಡಾಟ್ ಉತ್ಪನ್ನದ ಅನ್ವಯದೊಂದಿಗೆ ವ್ಯವಹರಿಸುತ್ತದೆ.

A ಸ್ಥಿರ ಬಲದೊಂದಿಗೆ ಕೆಲಸ ಮಾಡುವಾಗ F → ದೇಹವು ಪಾಯಿಂಟ್ M ನಿಂದ N ಗೆ ಚಲಿಸುತ್ತದೆ, ನೀವು ವೆಕ್ಟರ್ F → ಮತ್ತು MN → ಉದ್ದಗಳ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಅವುಗಳ ನಡುವಿನ ಕೋನದ ಕೊಸೈನ್‌ನೊಂದಿಗೆ ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬಹುದು, ಅಂದರೆ ಕೆಲಸವು ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಬಲ ಮತ್ತು ಸ್ಥಳಾಂತರದ ವಾಹಕಗಳ ಉತ್ಪನ್ನಕ್ಕೆ:

A = (F →, M N →).

ಉದಾಹರಣೆ 8

5 ಟನ್‌ಗಳಿಗೆ ಸಮಾನವಾದ ಬಲದ ಕ್ರಿಯೆಯ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ 3 ಮೀಟರ್‌ಗಳಷ್ಟು ವಸ್ತು ಬಿಂದುವಿನ ಚಲನೆಯನ್ನು ಅಕ್ಷಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ 45 ಡಿಗ್ರಿ ಕೋನದಲ್ಲಿ ನಿರ್ದೇಶಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಎ ಹುಡುಕಿ.

ಪರಿಹಾರ

ಕೆಲಸವು ಬಲ ವೆಕ್ಟರ್ ಮತ್ತು ಸ್ಥಳಾಂತರದ ಉತ್ಪನ್ನವಾಗಿರುವುದರಿಂದ, ಇದರರ್ಥ, ಸ್ಥಿತಿಯ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ F → = 5, S → = 3, (F →, S → ^) = 45 °, ನಾವು A = (F →, S →) = F → S → cos (F →, S → ^) = 5 3 cos (45 °) = 15 2 2.

ಉತ್ತರ: A = 15 2 2.

ಉದಾಹರಣೆ 9

ಎಫ್ → = (3, 1, 2) ಬಲದ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ M (2, - 1, - 3) ನಿಂದ N (5, 3 λ - 2, 4) ಗೆ ಚಲಿಸುವ ವಸ್ತು ಬಿಂದು, 13 J ಗೆ ಸಮಾನವಾದ ಕೆಲಸವನ್ನು ನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತದೆ. ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಚಲನೆಯ ಉದ್ದ.

ಪರಿಹಾರ

ವೆಕ್ಟರ್ M N → ನೀಡಿದ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳಿಗಾಗಿ ನಾವು M N → = (5 - 2, 3 λ - 2 - (- 1), 4 - (- 3)) = (3, 3 λ - 1, 7) ಅನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ.

ವೆಕ್ಟರ್ ಎಫ್ → = (3, 1, 2) ಮತ್ತು MN → = (3, 3 λ - 1, 7) ನೊಂದಿಗೆ ಕೆಲಸವನ್ನು ಹುಡುಕುವ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಿ, ನಾವು A = (F ⇒, MN →) = 3 3 + 1 ( 3 λ - 1) + 2 7 = 22 + 3 λ.

ಊಹೆಯ ಮೂಲಕ, A = 13 J, ಅಂದರೆ 22 + 3 λ = 13 ಎಂದು ನೀಡಲಾಗಿದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ λ = - 3, ಆದ್ದರಿಂದ M N → = (3, 3 λ - 1, 7) = (3, - 10, 7).

M N → ಸ್ಥಳಾಂತರದ ಉದ್ದವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು, ಸೂತ್ರವನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸಿ ಮತ್ತು ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಬದಲಿಸಿ:

M N → = 3 2 + (- 10) 2 + 7 2 = 158.

ಉತ್ತರ: 158.

ನೀವು ಪಠ್ಯದಲ್ಲಿ ದೋಷವನ್ನು ಗಮನಿಸಿದರೆ, ದಯವಿಟ್ಟು ಅದನ್ನು ಆಯ್ಕೆಮಾಡಿ ಮತ್ತು Ctrl + Enter ಅನ್ನು ಒತ್ತಿರಿ

ಸ್ವತಂತ್ರ ಪರಿಹಾರಕ್ಕಾಗಿ ಕಾರ್ಯಗಳು ಸಹ ಇರುತ್ತದೆ, ಅದಕ್ಕೆ ನೀವು ಉತ್ತರಗಳನ್ನು ನೋಡಬಹುದು.

ಸಮಸ್ಯೆಯಲ್ಲಿ ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳ ಉದ್ದಗಳು ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ನಡುವಿನ ಕೋನ ಎರಡನ್ನೂ "ಬೆಳ್ಳಿಯ ತಟ್ಟೆಯಲ್ಲಿ" ಪ್ರಸ್ತುತಪಡಿಸಿದರೆ, ಸಮಸ್ಯೆಯ ಸ್ಥಿತಿ ಮತ್ತು ಅದರ ಪರಿಹಾರವು ಈ ರೀತಿ ಕಾಣುತ್ತದೆ:

ಉದಾಹರಣೆ 1.ವಾಹಕಗಳನ್ನು ನೀಡಲಾಗಿದೆ. ಅವುಗಳ ಉದ್ದಗಳು ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ನಡುವಿನ ಕೋನವನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಮೌಲ್ಯಗಳಿಂದ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಿದರೆ ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳ ಡಾಟ್ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ:

ಮತ್ತೊಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವು ಸಹ ಮಾನ್ಯವಾಗಿದೆ, ಇದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ 1 ಕ್ಕೆ ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ 2... ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳ ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಉತ್ಪನ್ನವು ಈ ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದರ ಉದ್ದದ ಉತ್ಪನ್ನಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾದ ಸಂಖ್ಯೆ (ಸ್ಕೇಲಾರ್) ಇತರ ವೆಕ್ಟರ್‌ನ ಪ್ರಕ್ಷೇಪಣದಿಂದ ಸೂಚಿಸಲಾದ ಮೊದಲ ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳಿಂದ ನಿರ್ಧರಿಸಲ್ಪಟ್ಟ ಅಕ್ಷದ ಮೇಲೆ. ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ 2 ರ ಪ್ರಕಾರ ಸೂತ್ರ:

ಮುಂದಿನ ಪ್ರಮುಖ ಸೈದ್ಧಾಂತಿಕ ಬಿಂದುವಿನ ನಂತರ ನಾವು ಈ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುತ್ತೇವೆ.

ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳ ಪರಿಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳ ಡಾಟ್ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸುವುದು

ಗುಣಿಸಿದಾಗ ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳನ್ನು ಅವುಗಳ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳಿಂದ ನೀಡಿದರೆ ಅದೇ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಪಡೆಯಬಹುದು.

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ 3.ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳ ಡಾಟ್ ಉತ್ಪನ್ನವು ಅವುಗಳ ಆಯಾ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳ ಜೋಡಿಯಾಗಿ ಉತ್ಪನ್ನಗಳ ಮೊತ್ತಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾದ ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿದೆ.

ಮೇಲ್ಮೈ ಮೇಲೆ

ಎರಡು ವಾಹಕಗಳು ಮತ್ತು ಸಮತಲದಲ್ಲಿ ಅವುಗಳ ಎರಡು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಿದರೆ ಕಾರ್ಟೇಶಿಯನ್ ಆಯತಾಕಾರದ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳು

ನಂತರ ಈ ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳ ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಉತ್ಪನ್ನವು ಆಯಾ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳ ಜೋಡಿಯಾಗಿ ಉತ್ಪನ್ನಗಳ ಮೊತ್ತಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ:

.

ಉದಾಹರಣೆ 2.ವೆಕ್ಟರ್‌ಗೆ ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿರುವ ಅಕ್ಷದ ಮೇಲೆ ವೆಕ್ಟರ್‌ನ ಪ್ರೊಜೆಕ್ಷನ್‌ನ ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.

ಪರಿಹಾರ. ಅವುಗಳ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳ ಜೋಡಿಯಾಗಿ ಉತ್ಪನ್ನಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸುವ ಮೂಲಕ ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳ ಡಾಟ್ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ನಾವು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ:

ಈಗ ನಾವು ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ವೆಕ್ಟರ್‌ನ ಉದ್ದದ ಉತ್ಪನ್ನಕ್ಕೆ ಮತ್ತು ವೆಕ್ಟರ್‌ನ ಪ್ರೊಜೆಕ್ಷನ್ ಅನ್ನು ವೆಕ್ಟರ್‌ಗೆ ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿರುವ ಅಕ್ಷಕ್ಕೆ (ಸೂತ್ರಕ್ಕೆ ಅನುಗುಣವಾಗಿ) ಸಮೀಕರಿಸಬೇಕಾಗಿದೆ.

ನಾವು ವೆಕ್ಟರ್‌ನ ಉದ್ದವನ್ನು ಅದರ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳ ವರ್ಗಗಳ ಮೊತ್ತದ ವರ್ಗಮೂಲವಾಗಿ ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ:

.

ನಾವು ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ರಚಿಸುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ಅದನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುತ್ತೇವೆ:

ಉತ್ತರ. ಅಪೇಕ್ಷಿತ ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಮೌಲ್ಯವು ಮೈನಸ್ 8 ಆಗಿದೆ.

ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶದಲ್ಲಿ

ಎರಡು ವಾಹಕಗಳು ಮತ್ತು ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶದಲ್ಲಿ ಅವುಗಳ ಮೂರು ಕಾರ್ಟಿಸಿಯನ್ ಆಯತಾಕಾರದ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳಿಂದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲ್ಪಟ್ಟರೆ

,

ನಂತರ ಈ ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳ ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಉತ್ಪನ್ನವು ಅವುಗಳ ಅನುಗುಣವಾದ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳ ಜೋಡಿಯಾಗಿ ಉತ್ಪನ್ನಗಳ ಮೊತ್ತಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಈಗಾಗಲೇ ಮೂರು ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳಿವೆ:

.

ಡಾಟ್ ಉತ್ಪನ್ನದ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಪಾರ್ಸ್ ಮಾಡಿದ ನಂತರ ಪರಿಗಣಿಸಲಾದ ವಿಧಾನದಿಂದ ಡಾಟ್ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವ ಸಮಸ್ಯೆ. ಏಕೆಂದರೆ ಕಾರ್ಯದಲ್ಲಿ ಗುಣಿಸಿದ ವಾಹಕಗಳು ಯಾವ ಕೋನವನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತವೆ ಎಂಬುದನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಲು ಅಗತ್ಯವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ವೆಕ್ಟರ್ ಡಾಟ್ ಉತ್ಪನ್ನ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು

ಬೀಜಗಣಿತದ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು

1. (ಸ್ಥಳಾಂತರ ಆಸ್ತಿ: ಗುಣಿಸಿದಾಗ ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳ ವಿನಿಮಯದಿಂದ ಅವುಗಳ ಡಾಟ್ ಉತ್ಪನ್ನದ ಪ್ರಮಾಣವು ಬದಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ).

2. (ಗುಣಕ ಸಂಯೋಜಿತ ಆಸ್ತಿ: ವೆಕ್ಟರ್‌ನ ಡಾಟ್ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಕೆಲವು ಅಂಶದಿಂದ ಗುಣಿಸಿದರೆ ಮತ್ತು ಇನ್ನೊಂದು ವೆಕ್ಟರ್ ಅದೇ ಅಂಶದಿಂದ ಗುಣಿಸಿದಾಗ ಈ ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳ ಡಾಟ್ ಉತ್ಪನ್ನಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ).

3. (ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳ ಮೊತ್ತಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ವಿತರಣಾ ಆಸ್ತಿ: ಮೂರನೇ ವೆಕ್ಟರ್‌ನಿಂದ ಎರಡು ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳ ಮೊತ್ತದ ಡಾಟ್ ಉತ್ಪನ್ನವು ಮೂರನೇ ವೆಕ್ಟರ್‌ನಿಂದ ಮೊದಲ ವೆಕ್ಟರ್‌ನ ಡಾಟ್ ಉತ್ಪನ್ನಗಳ ಮೊತ್ತಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಮೂರನೇ ವೆಕ್ಟರ್‌ನಿಂದ ಎರಡನೇ ವೆಕ್ಟರ್).

4. (ವೆಕ್ಟರ್ನ ಸ್ಕೇಲಾರ್ ವರ್ಗವು ಶೂನ್ಯಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚಾಗಿರುತ್ತದೆ), ಶೂನ್ಯ ವೆಕ್ಟರ್ ಆಗಿದ್ದರೆ, ಮತ್ತು, ಶೂನ್ಯ ವೆಕ್ಟರ್ ಆಗಿದ್ದರೆ.

ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು

ಅಧ್ಯಯನದ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಯ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಗಳಲ್ಲಿ, ನಾವು ಈಗಾಗಲೇ ಎರಡು ವಾಹಕಗಳ ನಡುವಿನ ಕೋನದ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ಸ್ಪರ್ಶಿಸಿದ್ದೇವೆ. ಈ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ಸ್ಪಷ್ಟಪಡಿಸುವ ಸಮಯ ಇದು.

ಮೇಲಿನ ಚಿತ್ರದಲ್ಲಿ, ಎರಡು ವಾಹಕಗಳು ಗೋಚರಿಸುತ್ತವೆ, ಇವುಗಳನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯ ಮೂಲಕ್ಕೆ ತರಲಾಗುತ್ತದೆ. ಮತ್ತು ಗಮನ ಕೊಡಬೇಕಾದ ಮೊದಲ ವಿಷಯ: ಈ ವಾಹಕಗಳ ನಡುವೆ ಎರಡು ಕೋನಗಳಿವೆ - φ 1 ಮತ್ತು φ 2 ... ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳ ಡಾಟ್ ಉತ್ಪನ್ನದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಗಳು ಮತ್ತು ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳಲ್ಲಿ ಈ ಯಾವ ಕೋನಗಳು ಗೋಚರಿಸುತ್ತವೆ? ಪರಿಗಣಿಸಲಾದ ಕೋನಗಳ ಮೊತ್ತವು 2 ಆಗಿದೆ π ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ ಈ ಕೋನಗಳ ಕೋಸೈನ್‌ಗಳು ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಡಾಟ್ ಉತ್ಪನ್ನದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವು ಕೋನದ ಕೊಸೈನ್ ಅನ್ನು ಮಾತ್ರ ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತದೆ, ಅದರ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯ ಮೌಲ್ಯವಲ್ಲ. ಆದರೆ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದು ಮೂಲೆಯನ್ನು ಮಾತ್ರ ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಮತ್ತು ಇದು ಮೀರದ ಎರಡು ಕೋನಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದಾಗಿದೆ π , ಅಂದರೆ, 180 ಡಿಗ್ರಿ. ಚಿತ್ರದಲ್ಲಿ, ಈ ಕೋನವನ್ನು ಗೊತ್ತುಪಡಿಸಲಾಗಿದೆ φ 1 .

1. ಎರಡು ವಾಹಕಗಳನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಆರ್ಥೋಗೋನಲ್ ಮತ್ತು ಈ ವಾಹಕಗಳ ನಡುವಿನ ಕೋನವು ನೇರ ರೇಖೆಯಾಗಿದೆ (90 ಡಿಗ್ರಿ ಅಥವಾ π / 2) ವೇಳೆ ಈ ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳ ಡಾಟ್ ಉತ್ಪನ್ನವು ಶೂನ್ಯವಾಗಿರುತ್ತದೆ :

.

ವೆಕ್ಟರ್ ಬೀಜಗಣಿತದಲ್ಲಿ ಆರ್ಥೋಗೋನಾಲಿಟಿ ಎಂದರೆ ಎರಡು ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳ ಲಂಬತೆ.

2. ಎರಡು ಶೂನ್ಯ ವಾಹಕಗಳು ರೂಪಿಸುತ್ತವೆ ಚೂಪಾದ ಮೂಲೆಯಲ್ಲಿ (0 ರಿಂದ 90 ಡಿಗ್ರಿ, ಅಥವಾ, ಇದು ಒಂದೇ - ಕಡಿಮೆ π ಡಾಟ್ ಉತ್ಪನ್ನವು ಧನಾತ್ಮಕವಾಗಿದೆ .

3. ಎರಡು ಶೂನ್ಯ ವಾಹಕಗಳು ರೂಪಿಸುತ್ತವೆ ಚೂಪಾದ ಕೋನ (90 ರಿಂದ 180 ಡಿಗ್ರಿ, ಅಥವಾ, ಇದು ಒಂದೇ - ಹೆಚ್ಚು π / 2) ಅವರಾಗಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು ಮಾತ್ರ ಡಾಟ್ ಉತ್ಪನ್ನವು ಋಣಾತ್ಮಕವಾಗಿದೆ .

ಉದಾಹರಣೆ 3.ವಾಹಕಗಳನ್ನು ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳಲ್ಲಿ ನೀಡಲಾಗಿದೆ:

.

ನೀಡಿರುವ ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳ ಎಲ್ಲಾ ಜೋಡಿಗಳ ಡಾಟ್ ಉತ್ಪನ್ನಗಳನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಿ. ಈ ಜೋಡಿ ವಾಹಕಗಳು ಯಾವ ಕೋನವನ್ನು (ತೀವ್ರವಾದ, ನೇರವಾದ, ಚೂಪಾದ) ರೂಪಿಸುತ್ತವೆ?

ಪರಿಹಾರ. ಅನುಗುಣವಾದ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳ ಉತ್ಪನ್ನಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸುವ ಮೂಲಕ ನಾವು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುತ್ತೇವೆ.

ಋಣಾತ್ಮಕ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಸ್ವೀಕರಿಸಲಾಗಿದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ವಾಹಕಗಳು ಚೂಪಾದ ಕೋನವನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತವೆ.

ನಾವು ಧನಾತ್ಮಕ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಪಡೆದುಕೊಂಡಿದ್ದೇವೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ವಾಹಕಗಳು ತೀವ್ರ ಕೋನವನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತವೆ.

ನಾವು ಶೂನ್ಯವನ್ನು ಪಡೆದುಕೊಂಡಿದ್ದೇವೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ವಾಹಕಗಳು ಲಂಬ ಕೋನವನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತವೆ.

ನಾವು ಧನಾತ್ಮಕ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಪಡೆದುಕೊಂಡಿದ್ದೇವೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ವಾಹಕಗಳು ತೀವ್ರ ಕೋನವನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತವೆ.

.

ನಾವು ಧನಾತ್ಮಕ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಪಡೆದುಕೊಂಡಿದ್ದೇವೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ವಾಹಕಗಳು ತೀವ್ರ ಕೋನವನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತವೆ.

ಸ್ವಯಂ ಪರೀಕ್ಷೆಗಾಗಿ, ನೀವು ಬಳಸಬಹುದು ಆನ್‌ಲೈನ್ ಕ್ಯಾಲ್ಕುಲೇಟರ್ ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳ ಡಾಟ್ ಉತ್ಪನ್ನ ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ನಡುವಿನ ಕೋನದ ಕೊಸೈನ್ .

ಉದಾಹರಣೆ 4.ಎರಡು ವಾಹಕಗಳ ಉದ್ದಗಳು ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ನಡುವಿನ ಕೋನವನ್ನು ನೀಡಲಾಗಿದೆ:

.

ವಾಹಕಗಳು ಮತ್ತು ಆರ್ಥೋಗೋನಲ್ (ಲಂಬ) ಯಾವ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಮೌಲ್ಯದಲ್ಲಿ ನಿರ್ಧರಿಸಿ.

ಪರಿಹಾರ. ಬಹುಪದೋಕ್ತಿಗಳನ್ನು ಗುಣಿಸುವ ನಿಯಮದ ಪ್ರಕಾರ ನಾವು ವಾಹಕಗಳನ್ನು ಗುಣಿಸುತ್ತೇವೆ:

ಈಗ ಪ್ರತಿ ಪದವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡೋಣ:

.

ನಾವು ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ರಚಿಸೋಣ (ಉತ್ಪನ್ನದ ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮಾನತೆ), ಇದೇ ರೀತಿಯ ಪದಗಳನ್ನು ನೀಡಿ ಮತ್ತು ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ:

ಉತ್ತರ: ನಾವು ಅರ್ಥವನ್ನು ಪಡೆದುಕೊಂಡಿದ್ದೇವೆ λ = 1.8, ಇದಕ್ಕಾಗಿ ವಾಹಕಗಳು ಆರ್ಥೋಗೋನಲ್ ಆಗಿರುತ್ತವೆ.

ಉದಾಹರಣೆ 5.ವೆಕ್ಟರ್ ಎಂದು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿ ವೆಕ್ಟರ್ಗೆ ಆರ್ಥೋಗೋನಲ್ (ಲಂಬವಾಗಿ).

ಪರಿಹಾರ. ಆರ್ಥೋಗೋನಾಲಿಟಿಯನ್ನು ಪರಿಶೀಲಿಸಲು, ನಾವು ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳನ್ನು ಮತ್ತು ಬಹುಪದೋಕ್ತಿಗಳಾಗಿ ಗುಣಿಸುತ್ತೇವೆ, ಬದಲಿಗೆ ಸಮಸ್ಯೆ ಹೇಳಿಕೆಯಲ್ಲಿ ನೀಡಲಾದ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ಬದಲಿಸುತ್ತೇವೆ:

.

ಇದನ್ನು ಮಾಡಲು, ನೀವು ಮೊದಲ ಬಹುಪದೋಕ್ತಿಯ ಪ್ರತಿ ಪದವನ್ನು (ಅವಧಿ) ಎರಡನೆಯ ಪದದಿಂದ ಗುಣಿಸಬೇಕು ಮತ್ತು ಫಲಿತಾಂಶದ ಉತ್ಪನ್ನಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸಬೇಕು:

.

ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ, ಭಾಗವು ವೆಚ್ಚದಲ್ಲಿ ಕಡಿಮೆಯಾಗುತ್ತದೆ. ಫಲಿತಾಂಶವು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತಿರುತ್ತದೆ:

ತೀರ್ಮಾನ: ಗುಣಾಕಾರದ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ, ನಾವು ಶೂನ್ಯವನ್ನು ಪಡೆದುಕೊಂಡಿದ್ದೇವೆ, ಆದ್ದರಿಂದ, ವಾಹಕಗಳ ಆರ್ಥೋಗೋನಾಲಿಟಿ (ಲಂಬವಾಗಿ) ಸಾಬೀತಾಗಿದೆ.

ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ನೀವೇ ಪರಿಹರಿಸಿ, ತದನಂತರ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ನೋಡಿ

ಉದಾಹರಣೆ 6.ವಾಹಕಗಳ ಉದ್ದಗಳು ಮತ್ತು, ಮತ್ತು ಈ ವಾಹಕಗಳ ನಡುವಿನ ಕೋನವನ್ನು ನೀಡಲಾಗಿದೆ π /4. ಯಾವ ಮೌಲ್ಯದಲ್ಲಿ ನಿರ್ಧರಿಸಿ μ ವಾಹಕಗಳು ಮತ್ತು ಪರಸ್ಪರ ಲಂಬವಾಗಿರುತ್ತವೆ.

ಸ್ವಯಂ ಪರೀಕ್ಷೆಗಾಗಿ, ನೀವು ಬಳಸಬಹುದು ಆನ್‌ಲೈನ್ ಕ್ಯಾಲ್ಕುಲೇಟರ್ ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳ ಡಾಟ್ ಉತ್ಪನ್ನ ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ನಡುವಿನ ಕೋನದ ಕೊಸೈನ್ .

ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳ ಡಾಟ್ ಉತ್ಪನ್ನದ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯ ಮತ್ತು ಎನ್-ಡೈಮೆನ್ಷನಲ್ ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳ ಉತ್ಪನ್ನ

ಮಾತೃಕೆಗಳ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಗುಣಿಸಲ್ಪಡುವ ಎರಡು ವಾಹಕಗಳನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುವುದು ಕೆಲವೊಮ್ಮೆ ಸ್ಪಷ್ಟತೆಗೆ ಅನುಕೂಲಕರವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ನಂತರ ಮೊದಲ ವೆಕ್ಟರ್ ಅನ್ನು ಸಾಲು ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಎಂದು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಎರಡನೆಯದು - ಕಾಲಮ್ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಆಗಿ:

ನಂತರ ವಾಹಕಗಳ ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಉತ್ಪನ್ನವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಈ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಉತ್ಪನ್ನ :

ನಾವು ಈಗಾಗಲೇ ಪರಿಗಣಿಸಿದ ವಿಧಾನದಿಂದ ಪಡೆದ ಫಲಿತಾಂಶವು ಒಂದೇ ಆಗಿರುತ್ತದೆ. ಒಂದೇ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಪಡೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ಕಾಲಮ್ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್‌ನಿಂದ ಸಾಲಿನ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್‌ನ ಉತ್ಪನ್ನವು ಒಂದೇ ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿದೆ.

ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಅಮೂರ್ತ n-ಆಯಾಮದ ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಲು ಅನುಕೂಲಕರವಾಗಿದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಎರಡು ನಾಲ್ಕು ಆಯಾಮದ ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳ ಉತ್ಪನ್ನವು ನಾಲ್ಕು ಅಂಶಗಳೊಂದಿಗೆ ಸಾಲು ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಮತ್ತು ನಾಲ್ಕು ಅಂಶಗಳೊಂದಿಗೆ ಕಾಲಮ್ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್‌ನ ಉತ್ಪನ್ನವಾಗಿದೆ, ಎರಡು ಐದು ಆಯಾಮದ ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳ ಉತ್ಪನ್ನವು ಐದು ಅಂಶಗಳೊಂದಿಗೆ ಸಾಲು ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್‌ನ ಉತ್ಪನ್ನವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಐದು ಅಂಶಗಳೊಂದಿಗೆ ಕಾಲಮ್ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್, ಇತ್ಯಾದಿ.

ಉದಾಹರಣೆ 7.ಜೋಡಿ ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳ ಡಾಟ್ ಉತ್ಪನ್ನಗಳನ್ನು ಹುಡುಕಿ

,

ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯವನ್ನು ಬಳಸುವುದು.

ಪರಿಹಾರ. ವಾಹಕಗಳ ಮೊದಲ ಜೋಡಿ. ನಾವು ಮೊದಲ ವೆಕ್ಟರ್ ಅನ್ನು ಸಾಲು ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಆಗಿ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ಎರಡನೆಯದನ್ನು ಕಾಲಮ್ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಆಗಿ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುತ್ತೇವೆ. ಈ ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳ ಡಾಟ್ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಕಾಲಮ್ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್‌ನಿಂದ ರೋ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್‌ನ ಉತ್ಪನ್ನವಾಗಿ ನಾವು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ:

ಅಂತೆಯೇ, ನಾವು ಎರಡನೇ ಜೋಡಿಯನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ:

ನೀವು ನೋಡುವಂತೆ, ಫಲಿತಾಂಶಗಳು ಉದಾಹರಣೆ 2 ರಿಂದ ಒಂದೇ ಜೋಡಿಗಳಂತೆಯೇ ಇರುತ್ತವೆ.

ಎರಡು ವಾಹಕಗಳ ನಡುವಿನ ಕೋನ

ಎರಡು ವಾಹಕಗಳ ನಡುವಿನ ಕೋನದ ಕೊಸೈನ್‌ನ ಸೂತ್ರದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವು ತುಂಬಾ ಸುಂದರ ಮತ್ತು ಸಂಕ್ಷಿಪ್ತವಾಗಿದೆ.

ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳ ಡಾಟ್ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಲು

(1)

ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ರೂಪದಲ್ಲಿ, ನಾವು ಮೊದಲು ಯುನಿಟ್ ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳ ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ. ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದಿಂದ ಸ್ವತಃ ವೆಕ್ಟರ್ನ ಡಾಟ್ ಉತ್ಪನ್ನ:

ಮೇಲಿನ ಸೂತ್ರದಲ್ಲಿ ಏನು ಬರೆಯಲಾಗಿದೆ ಎಂದರೆ: ವೆಕ್ಟರ್‌ನ ಡಾಟ್ ಉತ್ಪನ್ನವು ಅದರ ಉದ್ದದ ಚೌಕಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ... ಸೊನ್ನೆಯ ಕೊಸೈನ್ ಒಂದಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಪ್ರತಿ ಓರ್ಟ್‌ನ ವರ್ಗವು ಒಂದಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ:

ವಾಹಕಗಳಿಂದ

ಜೋಡಿಯಾಗಿ ಲಂಬವಾಗಿರುತ್ತವೆ, ನಂತರ ಯುನಿಟ್ ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳ ಜೋಡಿಯಾಗಿ ಉತ್ಪನ್ನಗಳು ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ:

ಈಗ ನಾವು ವೆಕ್ಟರ್ ಬಹುಪದಗಳ ಗುಣಾಕಾರವನ್ನು ಮಾಡೋಣ:

ಯುನಿಟ್ ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳ ಅನುಗುಣವಾದ ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಉತ್ಪನ್ನಗಳ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಸಮಾನತೆಯ ಬಲಭಾಗದಲ್ಲಿ ನಾವು ಬದಲಿಸುತ್ತೇವೆ:

ನಾವು ಎರಡು ವಾಹಕಗಳ ನಡುವಿನ ಕೋನದ ಕೊಸೈನ್ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:

ಉದಾಹರಣೆ 8.ಮೂರು ಅಂಕಗಳನ್ನು ನೀಡಲಾಗಿದೆ ಎ(1;1;1), ಬಿ(2;2;1), ಸಿ(2;1;2).

ಮೂಲೆಯನ್ನು ಹುಡುಕಿ.

ಪರಿಹಾರ. ವಾಹಕಗಳ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ಹುಡುಕಿ:

,

.

ಕೋನದ ಕೊಸೈನ್ ಸೂತ್ರದ ಪ್ರಕಾರ, ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:

ಆದ್ದರಿಂದ, .

ಸ್ವಯಂ ಪರೀಕ್ಷೆಗಾಗಿ, ನೀವು ಬಳಸಬಹುದು ಆನ್‌ಲೈನ್ ಕ್ಯಾಲ್ಕುಲೇಟರ್ ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳ ಡಾಟ್ ಉತ್ಪನ್ನ ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ನಡುವಿನ ಕೋನದ ಕೊಸೈನ್ .

ಉದಾಹರಣೆ 9.ಎರಡು ವಾಹಕಗಳನ್ನು ನೀಡಲಾಗಿದೆ

ಅವುಗಳ ನಡುವಿನ ಮೊತ್ತ, ವ್ಯತ್ಯಾಸ, ಉದ್ದ, ಡಾಟ್ ಉತ್ಪನ್ನ ಮತ್ತು ಕೋನವನ್ನು ಹುಡುಕಿ.

2. ವ್ಯತ್ಯಾಸ

ವೆಕ್ಟರ್ ಮತ್ತು ಡಾಟ್ ಉತ್ಪನ್ನವು ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳ ನಡುವಿನ ಕೋನವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಲು ಸುಲಭಗೊಳಿಸುತ್ತದೆ. $ \ ಓವರ್‌ಲೈನ್ (a) $ ಮತ್ತು $ \ ಓವರ್‌ಲೈನ್ (b) $ ಎಂಬ ಎರಡು ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳನ್ನು ನೀಡೋಣ, ಇದರ ನಡುವಿನ ಆಧಾರಿತ ಕೋನವು $ \ varphi $ ಆಗಿದೆ. ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಲೆಕ್ಕಹಾಕಿ $ x = (\ ಓವರ್‌ಲೈನ್ (ಎ), \ ಓವರ್‌ಲೈನ್ (ಬಿ)) $ ಮತ್ತು $ y = [\ ಓವರ್‌ಲೈನ್ (ಎ), \ ಓವರ್‌ಲೈನ್ (ಬಿ)] $. ನಂತರ $ x = r \ cos \ varphi $, $ y = r \ sin \ varphi $, ಅಲ್ಲಿ $ r = | \ ಓವರ್ಲೈನ್ ​​(a) | \ cdot | \ ಓವರ್ಲೈನ್ ​​(b) | $, ಮತ್ತು $ \ varphi $ ಆಗಿದೆ ಅಗತ್ಯವಿರುವ ಕೋನ, ಅಂದರೆ, ಬಿಂದು $ (x, y) $ ಧ್ರುವೀಯ ಕೋನವನ್ನು $ \ varphi $ ಗೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ $ \ varphi $ ಅನ್ನು atan2 (y, x) ಎಂದು ಕಾಣಬಹುದು.

ತ್ರಿಕೋನದ ಪ್ರದೇಶ

ಅಡ್ಡ ಉತ್ಪನ್ನವು ಅವುಗಳ ನಡುವಿನ ಕೋನದ ಕೊಸೈನ್‌ನಿಂದ ಎರಡು ವೆಕ್ಟರ್ ಉದ್ದಗಳ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವುದರಿಂದ, ತ್ರಿಕೋನ ಎಬಿಸಿಯ ಪ್ರದೇಶವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಹಾಕಲು ಅಡ್ಡ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಬಳಸಬಹುದು:

$ S_ (ABC) = \ frac (1) (2) | [\ ಓವರ್‌ಲೈನ್ (AB), \ ಓವರ್‌ಲೈನ್ (AC)] | $.

ಸರಳ ರೇಖೆಗೆ ಸೇರಿದ ಬಿಂದು

ಬಿಂದು $ P $ ಮತ್ತು ಸರಳ ರೇಖೆ $ AB $ (ಎರಡು ಅಂಕಗಳಿಂದ $ A $ ಮತ್ತು $ B $ ನೀಡಲಾಗಿದೆ) ನೀಡಲಿ. ಪಾಯಿಂಟ್ $ AB $ ಗೆ ಸೇರಿದೆಯೇ ಎಂದು ಪರಿಶೀಲಿಸುವುದು ಅವಶ್ಯಕ.

$ AP $ ಮತ್ತು $ AB $ ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳು ಕಾಲಿನಿಯರ್ ಆಗಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು $ [\ ಓವರ್‌ಲೈನ್ (AP), \ ಓವರ್‌ಲೈನ್ (AB)] = 0 $ ಆಗಿದ್ದರೆ ಮಾತ್ರ ಬಿಂದುವು $ AB $ ನೇರ ರೇಖೆಗೆ ಸೇರಿದೆ.

ಕಿರಣಕ್ಕೆ ಒಂದು ಬಿಂದು ಸೇರಿದೆ

ಒಂದು ಬಿಂದು $ P $ ಮತ್ತು ಒಂದು ಕಿರಣ $ AB $ (ಎರಡು ಬಿಂದುಗಳಿಂದ ನೀಡಲಾಗಿದೆ - ಕಿರಣ $ A $ ನ ಪ್ರಾರಂಭ ಮತ್ತು $ B $ ಮೇಲೆ ಒಂದು ಬಿಂದು) ನೀಡಲಿ. ಪಾಯಿಂಟ್ ಕಿರಣ $ AB $ ಗೆ ಸೇರಿದೆಯೇ ಎಂದು ಪರಿಶೀಲಿಸುವುದು ಅವಶ್ಯಕ.

ಪಾಯಿಂಟ್ $ P $ $ AB $ ಗೆ ಸೇರಿದೆ ಎಂಬ ಷರತ್ತಿಗೆ, ಹೆಚ್ಚುವರಿ ಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ಸೇರಿಸುವುದು ಅವಶ್ಯಕ - ವೆಕ್ಟರ್ $ AP $ ಮತ್ತು $ AB $ ಸಹ-ದಿಕ್ಕಿನ, ಅಂದರೆ, ಅವು ಕಾಲಿನಿಯರ್ ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಉತ್ಪನ್ನ ಋಣಾತ್ಮಕವಲ್ಲ, ಅಂದರೆ, $ (\ ಓವರ್‌ಲೈನ್ (AB), \ ಓವರ್‌ಲೈನ್ (AP )) \ ge 0 $.

ಒಂದು ಬಿಂದುವು ಒಂದು ಸಾಲಿನ ವಿಭಾಗಕ್ಕೆ ಸೇರಿದೆ

ಒಂದು ಬಿಂದು $ P $ ಮತ್ತು ಒಂದು ವಿಭಾಗ $ AB $ ನೀಡಲಿ. ಪಾಯಿಂಟ್ $ AB $ ಗೆ ಸೇರಿದೆಯೇ ಎಂದು ಪರಿಶೀಲಿಸುವುದು ಅವಶ್ಯಕ.

ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಪಾಯಿಂಟ್ ರೇ $ ಎಬಿ $ ಮತ್ತು ರೇ $ ಬಿಎ $ ಎರಡಕ್ಕೂ ಸೇರಿರಬೇಕು, ಆದ್ದರಿಂದ ಈ ಕೆಳಗಿನ ಷರತ್ತುಗಳನ್ನು ಪರಿಶೀಲಿಸಬೇಕು:

$ [\ ಓವರ್‌ಲೈನ್ (AP), \ ಓವರ್‌ಲೈನ್ (AB)] = 0 $,

$ (\ ಓವರ್‌ಲೈನ್ (AB), \ ಓವರ್‌ಲೈನ್ (AP)) \ ಗೆ 0 $,

$ (\ ಓವರ್‌ಲೈನ್ (ಬಿಎ), \ ಓವರ್‌ಲೈನ್ (ಬಿಪಿ)) \ ಗೆ 0 $.

ಬಿಂದುವಿನಿಂದ ಸಾಲಿಗೆ ಅಂತರ

ಬಿಂದು $ P $ ಮತ್ತು ಸರಳ ರೇಖೆ $ AB $ (ಎರಡು ಅಂಕಗಳಿಂದ $ A $ ಮತ್ತು $ B $ ನೀಡಲಾಗಿದೆ) ನೀಡಲಿ. $ AB $ ನೇರ ರೇಖೆಯ ಬಿಂದುವಿನಿಂದ ದೂರವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು ಅವಶ್ಯಕ.

ABP ತ್ರಿಕೋನವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ. ಒಂದೆಡೆ, ಅದರ ಪ್ರದೇಶವು $ S_ (ABP) = \ frac (1) (2) | [\ overline (AB), \ overline (AP)] | $.

ಮತ್ತೊಂದೆಡೆ, ಅದರ ಪ್ರದೇಶವು $ S_ (ABP) = \ frac (1) (2) h | AB | $, ಇಲ್ಲಿ $ h $ ಎಂಬುದು $ P $ ಬಿಂದುವಿನಿಂದ ಕೆಳಗಿಳಿದ ಎತ್ತರ, ಅಂದರೆ $ ನಿಂದ ದೂರ P $ ನಿಂದ $ AB $. ಎಲ್ಲಿಂದ $ h = | [\ ಓವರ್‌ಲೈನ್ (AB), \ ಓವರ್‌ಲೈನ್ (AP)] | / | AB | $.

ಕಿರಣದ ಅಂತರಕ್ಕೆ ಪಾಯಿಂಟ್

ಒಂದು ಬಿಂದು $ P $ ಮತ್ತು ಒಂದು ಕಿರಣ $ AB $ (ಎರಡು ಬಿಂದುಗಳಿಂದ ನೀಡಲಾಗಿದೆ - ಕಿರಣ $ A $ ನ ಪ್ರಾರಂಭ ಮತ್ತು $ B $ ಮೇಲೆ ಒಂದು ಬಿಂದು) ನೀಡಲಿ. ಬಿಂದುವಿನಿಂದ ಕಿರಣಕ್ಕೆ ಇರುವ ಅಂತರವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು ಅವಶ್ಯಕ, ಅಂದರೆ, $ P $ ಬಿಂದುವಿನಿಂದ ಕಿರಣದ ಯಾವುದೇ ಬಿಂದುವಿಗೆ ಕಡಿಮೆ ವಿಭಾಗದ ಉದ್ದ.

ಈ ಅಂತರವು $ AP $ ಉದ್ದಕ್ಕೆ ಅಥವಾ $ P $ ನಿಂದ $ AB $ ಗೆ ಇರುವ ಅಂತರಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಕಿರಣ ಮತ್ತು ಬಿಂದುವಿನ ಸಾಪೇಕ್ಷ ಸ್ಥಾನದಿಂದ ಯಾವ ಪ್ರಕರಣಗಳು ನಡೆಯುತ್ತವೆ ಎಂಬುದನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಲು ಸುಲಭವಾಗಿದೆ. PAB ಕೋನವು ತೀವ್ರವಾಗಿದ್ದರೆ, ಅಂದರೆ, $ (\ ಓವರ್‌ಲೈನ್ (AB), \ ಓವರ್‌ಲೈನ್ (AP))> 0 $, ಆಗ ಉತ್ತರವು $ P $ ಬಿಂದುವಿನಿಂದ $ AB $ ಗೆ ಇರುವ ಅಂತರವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಇಲ್ಲದಿದ್ದರೆ ಉತ್ತರವು $ AB $ ವಿಭಾಗದ ಉದ್ದವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಬಿಂದುವಿನಿಂದ ಸಾಲಿಗೆ ಅಂತರ

ಒಂದು ಬಿಂದು $ P $ ಮತ್ತು ಒಂದು ವಿಭಾಗ $ AB $ ನೀಡಲಿ. $ P $ ನಿಂದ ವಿಭಾಗಕ್ಕೆ $ AB $ ಗೆ ದೂರವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು ಅವಶ್ಯಕ.

$ P $ ನಿಂದ $ AB $ ಗೆ ಬೀಳುವ ಲಂಬವಾದ ತಳವು $ AB $ ವಿಭಾಗದಲ್ಲಿ ಬಿದ್ದರೆ, ಅದನ್ನು ಷರತ್ತುಗಳಿಂದ ಪರಿಶೀಲಿಸಬಹುದು

$ (\ ಓವರ್‌ಲೈನ್ (AP), \ ಓವರ್‌ಲೈನ್ (AB)) \ ಗೆ 0 $,

$ (\ ಓವರ್‌ಲೈನ್ (ಬಿಪಿ), \ ಓವರ್‌ಲೈನ್ (ಬಿಎ)) \ ಗೆ 0 $,

ನಂತರ ಉತ್ತರವು ಪಾಯಿಂಟ್ $ P $ ನಿಂದ $ AB $ ಗೆ ಇರುವ ಅಂತರವಾಗಿದೆ. ಇಲ್ಲದಿದ್ದರೆ, ದೂರವು $ \ ನಿಮಿಷ (AP, BP) $ ಗೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ವಾಹಕಗಳ ಡಾಟ್ ಉತ್ಪನ್ನ

ನಾವು ವಾಹಕಗಳೊಂದಿಗೆ ವ್ಯವಹರಿಸುವುದನ್ನು ಮುಂದುವರಿಸುತ್ತೇವೆ. ಮೊದಲ ಪಾಠದಲ್ಲಿ ಡಮ್ಮೀಸ್‌ಗಾಗಿ ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳುನಾವು ವೆಕ್ಟರ್ ಪರಿಕಲ್ಪನೆ, ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳೊಂದಿಗಿನ ಕ್ರಿಯೆಗಳು, ವೆಕ್ಟರ್‌ನ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳು ಮತ್ತು ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳೊಂದಿಗೆ ಸರಳವಾದ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಪರಿಶೀಲಿಸಿದ್ದೇವೆ. ನೀವು ಹುಡುಕಾಟ ಎಂಜಿನ್‌ನಿಂದ ಮೊದಲ ಬಾರಿಗೆ ಈ ಪುಟಕ್ಕೆ ಬಂದಿದ್ದರೆ, ಮೇಲಿನ ಪರಿಚಯಾತ್ಮಕ ಲೇಖನವನ್ನು ಓದುವುದನ್ನು ನಾನು ಬಲವಾಗಿ ಶಿಫಾರಸು ಮಾಡುತ್ತೇವೆ, ಏಕೆಂದರೆ ವಸ್ತುವನ್ನು ಕರಗತ ಮಾಡಿಕೊಳ್ಳಲು, ನಾನು ಬಳಸುವ ನಿಯಮಗಳು ಮತ್ತು ಸಂಕೇತಗಳಲ್ಲಿ ನೀವು ನ್ಯಾವಿಗೇಟ್ ಮಾಡಬೇಕಾಗುತ್ತದೆ, ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳ ಮೂಲಭೂತ ಜ್ಞಾನವನ್ನು ಹೊಂದಿರಬೇಕು ಮತ್ತು ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಾಗುತ್ತದೆ. ಈ ಪಾಠವು ವಿಷಯದ ತಾರ್ಕಿಕ ಮುಂದುವರಿಕೆಯಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಅದರಲ್ಲಿ ವೆಕ್ಟರ್ಗಳ ಡಾಟ್ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಬಳಸುವ ವಿಶಿಷ್ಟ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ನಾನು ವಿವರವಾಗಿ ವಿಶ್ಲೇಷಿಸುತ್ತೇನೆ. ಇದು ಬಹಳ ಮುಖ್ಯವಾದ ಚಟುವಟಿಕೆಯಾಗಿದೆ.... ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ಬಿಟ್ಟುಬಿಡದಿರಲು ಪ್ರಯತ್ನಿಸಿ, ಅವುಗಳು ಉಪಯುಕ್ತವಾದ ಬೋನಸ್ನೊಂದಿಗೆ ಇರುತ್ತವೆ - ಅಭ್ಯಾಸವು ನೀವು ಆವರಿಸಿರುವ ವಸ್ತುಗಳನ್ನು ಕ್ರೋಢೀಕರಿಸಲು ಮತ್ತು ವಿಶ್ಲೇಷಣಾತ್ಮಕ ಜ್ಯಾಮಿತಿಯಲ್ಲಿ ಸಾಮಾನ್ಯ ಸಮಸ್ಯೆಗಳಿಗೆ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಪಡೆಯಲು ಸಹಾಯ ಮಾಡುತ್ತದೆ.

ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳ ಸೇರ್ಪಡೆ, ಸಂಖ್ಯೆಯಿಂದ ವೆಕ್ಟರ್‌ನ ಗುಣಾಕಾರ.... ಗಣಿತಜ್ಞರು ಬೇರೆ ಯಾವುದನ್ನೂ ಕಂಡುಕೊಂಡಿಲ್ಲ ಎಂದು ಯೋಚಿಸುವುದು ನಿಷ್ಕಪಟವಾಗಿದೆ. ಈಗಾಗಲೇ ಪರಿಗಣಿಸಲಾದ ಕ್ರಿಯೆಗಳ ಜೊತೆಗೆ, ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳೊಂದಿಗೆ ಹಲವಾರು ಇತರ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳಿವೆ, ಅವುಗಳೆಂದರೆ: ವಾಹಕಗಳ ಡಾಟ್ ಉತ್ಪನ್ನ, ವಾಹಕಗಳ ವೆಕ್ಟರ್ ಉತ್ಪನ್ನಮತ್ತು ವಾಹಕಗಳ ಮಿಶ್ರ ಉತ್ಪನ್ನ... ವಾಹಕಗಳ ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಉತ್ಪನ್ನವು ಶಾಲೆಯಿಂದ ನಮಗೆ ಪರಿಚಿತವಾಗಿದೆ, ಇತರ ಎರಡು ಉತ್ಪನ್ನಗಳು ಸಾಂಪ್ರದಾಯಿಕವಾಗಿ ಉನ್ನತ ಗಣಿತದ ಕೋರ್ಸ್‌ಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿವೆ. ವಿಷಯಗಳು ಸರಳವಾಗಿದೆ, ಅನೇಕ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ ಸ್ಟೀರಿಯೊಟೈಪ್ ಮತ್ತು ಅರ್ಥವಾಗುವಂತಹದ್ದಾಗಿದೆ. ಒಂದೇ ವಿಷಯ. ಯೋಗ್ಯ ಪ್ರಮಾಣದ ಮಾಹಿತಿ ಇದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಸದುಪಯೋಗಪಡಿಸಿಕೊಳ್ಳಲು ಪ್ರಯತ್ನಿಸುವುದು ಅನಪೇಕ್ಷಿತವಾಗಿದೆ, ಎಲ್ಲವನ್ನೂ ಒಮ್ಮೆಗೆ ಪರಿಹರಿಸಿ. ಟೀಪಾಟ್‌ಗಳಿಗೆ ಇದು ವಿಶೇಷವಾಗಿ ಸತ್ಯವಾಗಿದೆ, ನನ್ನನ್ನು ನಂಬಿರಿ, ಲೇಖಕರು ಗಣಿತದಿಂದ ಚಿಕಟಿಲೋ ಎಂದು ಭಾವಿಸಲು ಬಯಸುವುದಿಲ್ಲ. ಸರಿ, ಮತ್ತು ಗಣಿತದಿಂದ ಅಲ್ಲ, ಸಹಜವಾಗಿ, ತುಂಬಾ =) ಹೆಚ್ಚು ಸಿದ್ಧಪಡಿಸಿದ ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳು ವಸ್ತುಗಳನ್ನು ಆಯ್ದವಾಗಿ ಬಳಸಬಹುದು, ಒಂದು ಅರ್ಥದಲ್ಲಿ, ಕಾಣೆಯಾದ ಜ್ಞಾನವನ್ನು "ಪಡೆಯಬಹುದು", ನಿಮಗಾಗಿ ನಾನು ನಿರುಪದ್ರವ ಕೌಂಟ್ ಡ್ರಾಕುಲಾ =)

ಅಂತಿಮವಾಗಿ, ನಾವು ಬಾಗಿಲನ್ನು ಸ್ವಲ್ಪ ತೆರೆಯೋಣ ಮತ್ತು ಎರಡು ವಾಹಕಗಳು ಪರಸ್ಪರ ಭೇಟಿಯಾದಾಗ ಏನಾಗುತ್ತದೆ ಎಂದು ಉತ್ಸಾಹದಿಂದ ನೋಡೋಣ….

ವಾಹಕಗಳ ಡಾಟ್ ಉತ್ಪನ್ನದ ನಿರ್ಣಯ.
ಡಾಟ್ ಉತ್ಪನ್ನ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು. ವಿಶಿಷ್ಟ ಕಾರ್ಯಗಳು

ಡಾಟ್ ಉತ್ಪನ್ನ ಪರಿಕಲ್ಪನೆ

ಮೊದಲು ಸುಮಾರು ವಾಹಕಗಳ ನಡುವಿನ ಕೋನ... ವಾಹಕಗಳ ನಡುವಿನ ಕೋನ ಏನೆಂದು ಪ್ರತಿಯೊಬ್ಬರೂ ಅಂತರ್ಬೋಧೆಯಿಂದ ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳುತ್ತಾರೆ ಎಂದು ನಾನು ಭಾವಿಸುತ್ತೇನೆ, ಆದರೆ ಒಂದು ವೇಳೆ, ಸ್ವಲ್ಪ ಹೆಚ್ಚು ವಿವರವಾಗಿ. ಉಚಿತ ಶೂನ್ಯ ವಾಹಕಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ ಮತ್ತು. ನೀವು ಈ ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳನ್ನು ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಹಂತದಿಂದ ಮುಂದೂಡಿದರೆ, ಅನೇಕರು ಈಗಾಗಲೇ ತಮ್ಮ ಮನಸ್ಸಿನಲ್ಲಿ ಕಲ್ಪಿಸಿಕೊಂಡಿರುವ ಚಿತ್ರವನ್ನು ನೀವು ಪಡೆಯುತ್ತೀರಿ:

ಇಲ್ಲಿ ನಾನು ಪರಿಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ತಿಳುವಳಿಕೆಯ ಮಟ್ಟದಲ್ಲಿ ಮಾತ್ರ ವಿವರಿಸಿದ್ದೇನೆ ಎಂದು ನಾನು ಒಪ್ಪಿಕೊಳ್ಳುತ್ತೇನೆ. ನಿಮಗೆ ವಾಹಕಗಳ ನಡುವಿನ ಕೋನದ ಕಟ್ಟುನಿಟ್ಟಾದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ ಅಗತ್ಯವಿದ್ದರೆ, ದಯವಿಟ್ಟು ಪಠ್ಯಪುಸ್ತಕವನ್ನು ಉಲ್ಲೇಖಿಸಿ, ಆದರೆ ಪ್ರಾಯೋಗಿಕ ಸಮಸ್ಯೆಗಳಿಗೆ ನಾವು, ತಾತ್ವಿಕವಾಗಿ, ಇದು ಅಗತ್ಯವಿಲ್ಲ. ಇಲ್ಲಿ ಮತ್ತು ಮುಂದೆ ನಾನು ಸ್ಥಳಗಳಲ್ಲಿ ಶೂನ್ಯ ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳನ್ನು ಅವುಗಳ ಕಡಿಮೆ ಪ್ರಾಯೋಗಿಕ ಪ್ರಾಮುಖ್ಯತೆಯಿಂದಾಗಿ ನಿರ್ಲಕ್ಷಿಸುತ್ತೇನೆ. ಈ ಕೆಳಗಿನ ಕೆಲವು ಹೇಳಿಕೆಗಳ ಸೈದ್ಧಾಂತಿಕ ಅಪೂರ್ಣತೆಗಾಗಿ ನನ್ನನ್ನು ನಿಂದಿಸುವ ಸುಧಾರಿತ ಸೈಟ್ ಸಂದರ್ಶಕರಿಗೆ ನಾನು ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ ಕಾಯ್ದಿರಿಸಿದ್ದೇನೆ.

ಸಾಹಿತ್ಯದಲ್ಲಿ, ಕೋನ ಐಕಾನ್ ಅನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಕಡೆಗಣಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಸರಳವಾಗಿ ಬರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ:ಎರಡು ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳ ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಉತ್ಪನ್ನವು ಅವುಗಳ ನಡುವಿನ ಕೋನದ ಕೊಸೈನ್‌ನಿಂದ ಈ ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳ ಉದ್ದಗಳ ಉತ್ಪನ್ನಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾದ NUMBER ಆಗಿದೆ:

ಇದು ಈಗಾಗಲೇ ಸಾಕಷ್ಟು ಕಟ್ಟುನಿಟ್ಟಾದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವಾಗಿದೆ.

ನಾವು ಅಗತ್ಯ ಮಾಹಿತಿಯ ಮೇಲೆ ಕೇಂದ್ರೀಕರಿಸುತ್ತೇವೆ:

ಹುದ್ದೆ:ಡಾಟ್ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಅಥವಾ ಸರಳವಾಗಿ ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಯ ಫಲಿತಾಂಶವು NUMBER ಆಗಿದೆ: ವೆಕ್ಟರ್ ಅನ್ನು ವೆಕ್ಟರ್‌ನಿಂದ ಗುಣಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಫಲಿತಾಂಶವು ಒಂದು ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿದೆ. ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳ ಉದ್ದಗಳು ಸಂಖ್ಯೆಗಳಾಗಿದ್ದರೆ, ಕೋನದ ಕೊಸೈನ್ ಒಂದು ಸಂಖ್ಯೆ, ನಂತರ ಅವುಗಳ ಉತ್ಪನ್ನ ಒಂದು ಸಂಖ್ಯೆಯೂ ಆಗಿರುತ್ತದೆ.

ಕೇವಲ ಒಂದೆರಡು ಅಭ್ಯಾಸ ಉದಾಹರಣೆಗಳು:

ಉದಾಹರಣೆ 1

ಪರಿಹಾರ:ನಾವು ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸುತ್ತೇವೆ ... ಈ ವಿಷಯದಲ್ಲಿ:

ಉತ್ತರ:

ಕೊಸೈನ್ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಕಾಣಬಹುದು ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ಕೋಷ್ಟಕ... ಅದನ್ನು ಮುದ್ರಿಸಲು ನಾನು ಶಿಫಾರಸು ಮಾಡುತ್ತೇವೆ - ಇದು ಗೋಪುರದ ಬಹುತೇಕ ಎಲ್ಲಾ ವಿಭಾಗಗಳಲ್ಲಿ ಅಗತ್ಯವಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಹಲವು ಬಾರಿ ಅಗತ್ಯವಿರುತ್ತದೆ.

ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಗಣಿತದ ದೃಷ್ಟಿಕೋನದಿಂದ, ಡಾಟ್ ಉತ್ಪನ್ನವು ಆಯಾಮರಹಿತವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ, ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಫಲಿತಾಂಶವು ಕೇವಲ ಒಂದು ಸಂಖ್ಯೆ ಮತ್ತು ಅದು ಅಷ್ಟೆ. ಭೌತಶಾಸ್ತ್ರದ ಸಮಸ್ಯೆಗಳ ದೃಷ್ಟಿಕೋನದಿಂದ, ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಉತ್ಪನ್ನವು ಯಾವಾಗಲೂ ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಭೌತಿಕ ಅರ್ಥವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ, ಫಲಿತಾಂಶದ ನಂತರ, ಒಂದು ಅಥವಾ ಇನ್ನೊಂದು ಭೌತಿಕ ಘಟಕವನ್ನು ಸೂಚಿಸಬೇಕು. ಬಲದ ಕೆಲಸವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುವ ಅಂಗೀಕೃತ ಉದಾಹರಣೆಯನ್ನು ಯಾವುದೇ ಪಠ್ಯಪುಸ್ತಕದಲ್ಲಿ ಕಾಣಬಹುದು (ಸೂತ್ರವು ನಿಖರವಾಗಿ ಡಾಟ್ ಉತ್ಪನ್ನವಾಗಿದೆ). ಬಲದ ಕೆಲಸವನ್ನು ಜೌಲ್ಸ್‌ನಲ್ಲಿ ಅಳೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ಉತ್ತರವನ್ನು ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ ಬರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ.

ಉದಾಹರಣೆ 2

ಇದ್ದರೆ ಹುಡುಕಿ , ಮತ್ತು ವಾಹಕಗಳ ನಡುವಿನ ಕೋನವು.

ಮಾಡು-ನೀವೇ ಪರಿಹಾರಕ್ಕಾಗಿ ಇದು ಒಂದು ಉದಾಹರಣೆಯಾಗಿದೆ, ಉತ್ತರವು ಟ್ಯುಟೋರಿಯಲ್ ಅಂತ್ಯದಲ್ಲಿದೆ.

ವೆಕ್ಟರ್ ಮತ್ತು ಡಾಟ್ ಉತ್ಪನ್ನ ಮೌಲ್ಯದ ನಡುವಿನ ಕೋನ

ಉದಾಹರಣೆ 1 ರಲ್ಲಿ, ಡಾಟ್ ಉತ್ಪನ್ನವು ಧನಾತ್ಮಕವಾಗಿ ಹೊರಹೊಮ್ಮಿತು ಮತ್ತು ಉದಾಹರಣೆ 2 ರಲ್ಲಿ ಅದು ಋಣಾತ್ಮಕವಾಗಿದೆ. ಡಾಟ್ ಉತ್ಪನ್ನದ ಚಿಹ್ನೆ ಏನು ಅವಲಂಬಿಸಿರುತ್ತದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ನಾವು ಕಂಡುಹಿಡಿಯೋಣ. ನಾವು ನಮ್ಮ ಸೂತ್ರವನ್ನು ನೋಡುತ್ತೇವೆ: ... ಶೂನ್ಯ ವಾಹಕಗಳ ಉದ್ದವು ಯಾವಾಗಲೂ ಧನಾತ್ಮಕವಾಗಿರುತ್ತದೆ :, ಆದ್ದರಿಂದ ಚಿಹ್ನೆಯು ಕೊಸೈನ್‌ನ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಮಾತ್ರ ಅವಲಂಬಿಸಿರುತ್ತದೆ.

ಸೂಚನೆ: ಕೆಳಗಿನ ಮಾಹಿತಿಯ ಉತ್ತಮ ತಿಳುವಳಿಕೆಗಾಗಿ, ಕೈಪಿಡಿಯಲ್ಲಿ ಕೊಸೈನ್ ಗ್ರಾಫ್ ಅನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡುವುದು ಉತ್ತಮ ಕಾರ್ಯ ಗ್ರಾಫ್ಗಳು ಮತ್ತು ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು... ಒಂದು ವಿಭಾಗದಲ್ಲಿ ಕೊಸೈನ್ ಹೇಗೆ ವರ್ತಿಸುತ್ತದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ನೋಡಿ.

ಈಗಾಗಲೇ ಗಮನಿಸಿದಂತೆ, ವಾಹಕಗಳ ನಡುವಿನ ಕೋನವು ಒಳಗೆ ಬದಲಾಗಬಹುದು , ಮತ್ತು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಪ್ರಕರಣಗಳು ಸಾಧ್ಯ:

1) ವೇಳೆ ಇಂಜೆಕ್ಷನ್ವಾಹಕಗಳ ನಡುವೆ ಮಸಾಲೆಯುಕ್ತ: (0 ರಿಂದ 90 ಡಿಗ್ರಿಗಳವರೆಗೆ), ನಂತರ , ಮತ್ತು ಡಾಟ್ ಉತ್ಪನ್ನವು ಧನಾತ್ಮಕವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಸಹ ನಿರ್ದೇಶನ ಮಾಡಿದ್ದಾರೆ, ನಂತರ ಅವುಗಳ ನಡುವಿನ ಕೋನವನ್ನು ಶೂನ್ಯವೆಂದು ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಡಾಟ್ ಉತ್ಪನ್ನವು ಸಹ ಧನಾತ್ಮಕವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ರಿಂದ, ಸೂತ್ರವನ್ನು ಸರಳೀಕರಿಸಲಾಗಿದೆ :.

2) ವೇಳೆ ಇಂಜೆಕ್ಷನ್ವಾಹಕಗಳ ನಡುವೆ ಮೊಂಡಾದ: (90 ರಿಂದ 180 ಡಿಗ್ರಿಗಳವರೆಗೆ), ನಂತರ , ಮತ್ತು ಅದಕ್ಕೆ ಅನುಗುಣವಾಗಿ, ಡಾಟ್ ಉತ್ಪನ್ನವು ಋಣಾತ್ಮಕವಾಗಿದೆ:. ವಿಶೇಷ ಪ್ರಕರಣ: ವೆಕ್ಟರ್ ಆಗಿದ್ದರೆ ವಿರುದ್ಧ ದಿಕ್ಕಿನಲ್ಲಿ, ನಂತರ ಅವುಗಳ ನಡುವಿನ ಕೋನವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ನಿಯೋಜಿಸಲಾಗಿದೆ: (180 ಡಿಗ್ರಿ). ಡಾಟ್ ಉತ್ಪನ್ನವು ಸಹ ಋಣಾತ್ಮಕವಾಗಿದೆ, ರಿಂದ

ಸಂವಾದ ಹೇಳಿಕೆಗಳು ಸಹ ನಿಜ:

1) ಒಂದು ವೇಳೆ, ಈ ವಾಹಕಗಳ ನಡುವಿನ ಕೋನವು ತೀವ್ರವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಪರ್ಯಾಯವಾಗಿ, ವಾಹಕಗಳು ಕೋಡರೆಕ್ಷನಲ್ ಆಗಿರುತ್ತವೆ.

2) ಒಂದು ವೇಳೆ, ಕೊಟ್ಟಿರುವ ವಾಹಕಗಳ ನಡುವಿನ ಕೋನವು ಮಂದವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಪರ್ಯಾಯವಾಗಿ, ವಾಹಕಗಳು ವಿರುದ್ಧವಾಗಿ ನಿರ್ದೇಶಿಸಲ್ಪಡುತ್ತವೆ.

ಆದರೆ ಮೂರನೇ ಪ್ರಕರಣವು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಆಸಕ್ತಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ:

3) ವೇಳೆ ಇಂಜೆಕ್ಷನ್ವಾಹಕಗಳ ನಡುವೆ ನೇರ: (90 ಡಿಗ್ರಿ), ನಂತರ ಡಾಟ್ ಉತ್ಪನ್ನವು ಶೂನ್ಯವಾಗಿರುತ್ತದೆ:. ಸಂಭಾಷಣೆಯು ಸಹ ನಿಜವಾಗಿದೆ: ವೇಳೆ, ನಂತರ. ಹೇಳಿಕೆಯನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ಸಂಕ್ಷಿಪ್ತವಾಗಿ ರೂಪಿಸಲಾಗಿದೆ: ಎರಡು ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳ ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಉತ್ಪನ್ನವು ಶೂನ್ಯವಾಗಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು ಈ ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳು ಆರ್ಥೋಗೋನಲ್ ಆಗಿದ್ದರೆ ಮಾತ್ರ... ಸಣ್ಣ ಗಣಿತ ಸಂಕೇತ:

! ಸೂಚನೆ : ಪುನರಾವರ್ತಿಸಿ ಗಣಿತದ ತರ್ಕದ ಅಡಿಪಾಯ: ಎರಡು ಬದಿಯ ತಾರ್ಕಿಕ ಪರಿಣಾಮದ ಐಕಾನ್ ಅನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ "ನಂತರ ಮತ್ತು ನಂತರ", "ಒಂದು ವೇಳೆ ಮತ್ತು ಮಾತ್ರ ವೇಳೆ" ಎಂದು ಓದಲಾಗುತ್ತದೆ. ನೀವು ನೋಡುವಂತೆ, ಬಾಣಗಳನ್ನು ಎರಡೂ ದಿಕ್ಕುಗಳಲ್ಲಿ ನಿರ್ದೇಶಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ - "ಇದರಿಂದ ಇದನ್ನು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ಪ್ರತಿಯಾಗಿ - ಇದರಿಂದ ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ." ಅಂದಹಾಗೆ, ಒನ್-ವೇ ಫಾಲೋ ಐಕಾನ್‌ನಿಂದ ವ್ಯತ್ಯಾಸವೇನು? ಐಕಾನ್ ಹೇಳಿಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ ಅದು ಮಾತ್ರ"ಇದು ಇದರಿಂದ ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ", ಮತ್ತು ಇದಕ್ಕೆ ವಿರುದ್ಧವಾದದ್ದು ನಿಜವಲ್ಲ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ: ಆದರೆ ಪ್ರತಿ ಪ್ರಾಣಿಯು ಪ್ಯಾಂಥರ್ ಅಲ್ಲ, ಆದ್ದರಿಂದ ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಐಕಾನ್ ಅನ್ನು ಬಳಸಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ. ಅದೇ ಸಮಯದಲ್ಲಿ, ಐಕಾನ್ ಬದಲಿಗೆ ಮಾಡಬಹುದುಏಕಮುಖ ಐಕಾನ್ ಬಳಸಿ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವಾಗ, ವಾಹಕಗಳು ಆರ್ಥೋಗೋನಲ್ ಎಂದು ನಾವು ತೀರ್ಮಾನಿಸಿದ್ದೇವೆ ಎಂದು ನಾವು ಕಂಡುಕೊಂಡಿದ್ದೇವೆ: - ಅಂತಹ ನಮೂದು ಸರಿಯಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಅದಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚು ಸೂಕ್ತವಾಗಿದೆ .

ಮೂರನೆಯ ಪ್ರಕರಣವು ಹೆಚ್ಚಿನ ಪ್ರಾಯೋಗಿಕ ಪ್ರಾಮುಖ್ಯತೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ.ವಾಹಕಗಳು ಆರ್ಥೋಗೋನಲ್ ಅಥವಾ ಇಲ್ಲವೇ ಎಂಬುದನ್ನು ಪರಿಶೀಲಿಸಲು ಇದು ನಿಮ್ಮನ್ನು ಅನುಮತಿಸುತ್ತದೆ. ಪಾಠದ ಎರಡನೇ ವಿಭಾಗದಲ್ಲಿ ನಾವು ಈ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುತ್ತೇವೆ.

ಡಾಟ್ ಉತ್ಪನ್ನ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು

ಎರಡು ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳು ಇದ್ದಾಗ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗೆ ಹಿಂತಿರುಗೋಣ ಸಹ ನಿರ್ದೇಶನ ಮಾಡಿದ್ದಾರೆ... ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಅವುಗಳ ನಡುವಿನ ಕೋನವು ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಡಾಟ್ ಉತ್ಪನ್ನ ಸೂತ್ರವು ರೂಪವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ :.

ವೆಕ್ಟರ್ ಸ್ವತಃ ಗುಣಿಸಿದರೆ ಏನಾಗುತ್ತದೆ? ವೆಕ್ಟರ್ ಸ್ವತಃ ಸಹ ದಿಕ್ಕಿನದು ಎಂಬುದು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ನಾವು ಮೇಲಿನ ಸರಳೀಕೃತ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸುತ್ತೇವೆ:

ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಚೌಕವೆಕ್ಟರ್, ಮತ್ತು ಎಂದು ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಈ ಮಾರ್ಗದಲ್ಲಿ, ವೆಕ್ಟರ್‌ನ ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಚೌಕವು ನೀಡಿದ ವೆಕ್ಟರ್‌ನ ಉದ್ದದ ವರ್ಗಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ:

ಈ ಸಮಾನತೆಯಿಂದ, ವೆಕ್ಟರ್ನ ಉದ್ದವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಲು ನೀವು ಸೂತ್ರವನ್ನು ಪಡೆಯಬಹುದು:

ಇದು ಅಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿ ತೋರುತ್ತದೆಯಾದರೂ, ಪಾಠದ ಕಾರ್ಯಗಳು ಎಲ್ಲವನ್ನೂ ಅದರ ಸ್ಥಳದಲ್ಲಿ ಇರಿಸುತ್ತದೆ. ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು, ನಮಗೂ ಬೇಕು ಡಾಟ್ ಉತ್ಪನ್ನ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು.

ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳು ಮತ್ತು ಯಾವುದೇ ಸಂಖ್ಯೆಗೆ, ಈ ಕೆಳಗಿನ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು ಮಾನ್ಯವಾಗಿರುತ್ತವೆ:

1) - ಸ್ಥಳಾಂತರಿಸಬಹುದಾದ ಅಥವಾ ಪರಿವರ್ತಕಸ್ಕೇಲಾರ್ ಉತ್ಪನ್ನ ಕಾನೂನು.

2) - ವಿತರಣೆ ಅಥವಾ ವಿತರಕಸ್ಕೇಲಾರ್ ಉತ್ಪನ್ನ ಕಾನೂನು. ಸರಳವಾಗಿ, ನೀವು ಆವರಣವನ್ನು ವಿಸ್ತರಿಸಬಹುದು.

3) - ಸಂಯೋಜನೆ ಅಥವಾ ಸಹಾಯಕಸ್ಕೇಲಾರ್ ಉತ್ಪನ್ನ ಕಾನೂನು. ಡಾಟ್ ಉತ್ಪನ್ನದಿಂದ ಸ್ಥಿರವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಬಹುದು.

ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ, ಎಲ್ಲಾ ರೀತಿಯ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು (ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಬೇಕಾದ ಅಗತ್ಯವೂ ಇದೆ!) ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳು ಅನಗತ್ಯ ಕಸ ಎಂದು ಗ್ರಹಿಸುತ್ತಾರೆ, ಪರೀಕ್ಷೆಯ ನಂತರ ಅದನ್ನು ನೆನಪಿಟ್ಟುಕೊಳ್ಳಬೇಕು ಮತ್ತು ಸುರಕ್ಷಿತವಾಗಿ ಮರೆತುಬಿಡಬೇಕು. ಇಲ್ಲಿ ಮುಖ್ಯವಾದುದು ಎಂದು ತೋರುತ್ತದೆ, ಅಂಶಗಳ ಮರುಜೋಡಣೆಯಿಂದ ಉತ್ಪನ್ನವು ಬದಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ ಎಂದು ಎಲ್ಲರಿಗೂ ಮೊದಲ ದರ್ಜೆಯಿಂದ ತಿಳಿದಿದೆ :. ನಾನು ನಿಮಗೆ ಎಚ್ಚರಿಕೆ ನೀಡಬೇಕು, ಈ ವಿಧಾನದೊಂದಿಗೆ ಉನ್ನತ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ, ಮರವನ್ನು ಮುರಿಯುವುದು ಸುಲಭ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಸ್ಥಳಾಂತರ ಆಸ್ತಿ ಮಾನ್ಯವಾಗಿಲ್ಲ ಬೀಜಗಣಿತದ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಸಸ್... ಇದು ಕೂಡ ನಿಜವಲ್ಲ ವಾಹಕಗಳ ವೆಕ್ಟರ್ ಉತ್ಪನ್ನ... ಆದ್ದರಿಂದ, ಏನು ಮಾಡಬಹುದು ಮತ್ತು ಏನು ಮಾಡಬಾರದು ಎಂಬುದನ್ನು ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳಲು ಉನ್ನತ ಗಣಿತದ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ನೀವು ಕಾಣುವ ಯಾವುದೇ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಪರಿಶೀಲಿಸುವುದು ಉತ್ತಮ.

ಉದಾಹರಣೆ 3

.

ಪರಿಹಾರ:ಮೊದಲಿಗೆ, ವೆಕ್ಟರ್ನೊಂದಿಗೆ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ಸ್ಪಷ್ಟಪಡಿಸೋಣ. ಹೇಗಾದರೂ ಇದು ಏನು? ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳ ಮೊತ್ತ ಮತ್ತು ಇದು ಉತ್ತಮವಾಗಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ ವೆಕ್ಟರ್ ಆಗಿದೆ, ಇದನ್ನು ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ವಾಹಕಗಳೊಂದಿಗಿನ ಕ್ರಿಯೆಗಳ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ಲೇಖನದಲ್ಲಿ ಕಾಣಬಹುದು ಡಮ್ಮೀಸ್‌ಗಾಗಿ ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳು... ವೆಕ್ಟರ್ನೊಂದಿಗೆ ಅದೇ ಪಾರ್ಸ್ಲಿ ವೆಕ್ಟರ್ಗಳ ಮೊತ್ತ ಮತ್ತು.

ಆದ್ದರಿಂದ, ಷರತ್ತಿನ ಪ್ರಕಾರ ಡಾಟ್ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು ಅವಶ್ಯಕ. ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ, ನೀವು ಕೆಲಸದ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸಬೇಕಾಗಿದೆ , ಆದರೆ ತೊಂದರೆಯೆಂದರೆ ವಾಹಕಗಳ ಉದ್ದಗಳು ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ನಡುವಿನ ಕೋನವು ನಮಗೆ ತಿಳಿದಿಲ್ಲ. ಆದರೆ ಸ್ಥಿತಿಯು ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳಿಗೆ ಇದೇ ರೀತಿಯ ನಿಯತಾಂಕಗಳನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ನಾವು ಬೇರೆ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಹೋಗುತ್ತೇವೆ:

(1) ಪರ್ಯಾಯ ವೆಕ್ಟರ್ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳು.

(2) ಬಹುಪದಗಳ ಗುಣಾಕಾರದ ನಿಯಮದ ಪ್ರಕಾರ ನಾವು ಬ್ರಾಕೆಟ್ಗಳನ್ನು ವಿಸ್ತರಿಸುತ್ತೇವೆ, ಲೇಖನದಲ್ಲಿ ಅಸಭ್ಯವಾದ ನಾಲಿಗೆ ಟ್ವಿಸ್ಟರ್ ಅನ್ನು ಕಾಣಬಹುದು ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳುಅಥವಾ ಭಾಗಶಃ ಭಾಗಲಬ್ಧ ಕ್ರಿಯೆಯ ಏಕೀಕರಣ... ನಾನು ಪುನರಾವರ್ತಿಸುವುದಿಲ್ಲ =) ಮೂಲಕ, ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಉತ್ಪನ್ನದ ವಿತರಣಾ ಆಸ್ತಿಯು ಬ್ರಾಕೆಟ್ಗಳನ್ನು ವಿಸ್ತರಿಸಲು ನಮಗೆ ಅನುಮತಿಸುತ್ತದೆ. ನಮಗೆ ಹಕ್ಕಿದೆ.

(3) ಮೊದಲ ಮತ್ತು ಕೊನೆಯ ಪದಗಳಲ್ಲಿ, ನಾವು ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳ ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಚೌಕಗಳನ್ನು ಸಂಕ್ಷಿಪ್ತವಾಗಿ ಬರೆಯುತ್ತೇವೆ: ... ಎರಡನೇ ಅವಧಿಯಲ್ಲಿ, ನಾವು ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಉತ್ಪನ್ನದ ಕ್ರಮಪಲ್ಲಟನೆಯನ್ನು ಬಳಸುತ್ತೇವೆ :.

(4) ನಾವು ಇದೇ ರೀತಿಯ ಪದಗಳನ್ನು ನೀಡುತ್ತೇವೆ:

(5) ಮೊದಲ ಪದದಲ್ಲಿ, ನಾವು ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಸ್ಕ್ವೇರ್ ಫಾರ್ಮುಲಾವನ್ನು ಬಳಸುತ್ತೇವೆ, ಅದನ್ನು ಬಹಳ ಹಿಂದೆಯೇ ಉಲ್ಲೇಖಿಸಲಾಗಿಲ್ಲ. ಕೊನೆಯ ಅವಧಿಯಲ್ಲಿ, ಕ್ರಮವಾಗಿ, ಅದೇ ಕೆಲಸ ಮಾಡುತ್ತದೆ :. ಪ್ರಮಾಣಿತ ಸೂತ್ರದ ಪ್ರಕಾರ ನಾವು ಎರಡನೇ ಪದವನ್ನು ವಿಸ್ತರಿಸುತ್ತೇವೆ .

(6) ನಾವು ಈ ಷರತ್ತುಗಳನ್ನು ಬದಲಿಸುತ್ತೇವೆ , ಮತ್ತು ಎಚ್ಚರಿಕೆಯಿಂದ ಅಂತಿಮ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳನ್ನು ಮಾಡಿ.

ಉತ್ತರ:

ಡಾಟ್ ಉತ್ಪನ್ನದ ಋಣಾತ್ಮಕ ಮೌಲ್ಯವು ವಾಹಕಗಳ ನಡುವಿನ ಕೋನವು ಚೂಪಾದವಾಗಿದೆ ಎಂಬ ಅಂಶವನ್ನು ಹೇಳುತ್ತದೆ.

ಕಾರ್ಯವು ವಿಶಿಷ್ಟವಾಗಿದೆ, ಸ್ವತಂತ್ರ ಪರಿಹಾರಕ್ಕಾಗಿ ಇಲ್ಲಿ ಒಂದು ಉದಾಹರಣೆಯಾಗಿದೆ:

ಉದಾಹರಣೆ 4

ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳ ಡಾಟ್ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಹುಡುಕಿ ಮತ್ತು ಅದು ತಿಳಿದಿದ್ದರೆ .

ಈಗ ಮತ್ತೊಂದು ಸಾಮಾನ್ಯ ಕಾರ್ಯ, ವೆಕ್ಟರ್ ಉದ್ದದ ಹೊಸ ಸೂತ್ರಕ್ಕಾಗಿ. ಇಲ್ಲಿರುವ ಪದನಾಮಗಳು ಸ್ವಲ್ಪ ಅತಿಕ್ರಮಿಸುತ್ತವೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಸ್ಪಷ್ಟತೆಗಾಗಿ, ನಾನು ಅದನ್ನು ಬೇರೆ ಅಕ್ಷರದೊಂದಿಗೆ ಪುನಃ ಬರೆಯುತ್ತೇನೆ:

ಉದಾಹರಣೆ 5

ವೇಳೆ ವೆಕ್ಟರ್‌ನ ಉದ್ದವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ .

ಪರಿಹಾರಈ ಕೆಳಗಿನಂತಿರುತ್ತದೆ:

(1) ವೆಕ್ಟರ್ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ಒದಗಿಸಿ.

(2) ನಾವು ಉದ್ದದ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸುತ್ತೇವೆ:, ಇಡೀ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯು ವೆಕ್ಟರ್ "ve" ಆಗಿ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತದೆ.

(3) ಮೊತ್ತದ ವರ್ಗಕ್ಕೆ ನಾವು ಶಾಲೆಯ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸುತ್ತೇವೆ. ಇದು ಇಲ್ಲಿ ಹೇಗೆ ಕುತೂಹಲದಿಂದ ಕೆಲಸ ಮಾಡುತ್ತದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ: - ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ಇದು ವ್ಯತ್ಯಾಸದ ವರ್ಗವಾಗಿದೆ, ಮತ್ತು, ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ಅದು. ಆಸಕ್ತರು ಸ್ಥಳಗಳಲ್ಲಿ ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳನ್ನು ಮರುಹೊಂದಿಸಬಹುದು: - ಇದು ನಿಯಮಗಳ ಮರುಜೋಡಣೆಯವರೆಗೆ ಒಂದೇ ಆಗಿರುತ್ತದೆ.

(4) ಉಳಿದವುಗಳು ಹಿಂದಿನ ಎರಡು ಸಮಸ್ಯೆಗಳಿಂದ ಈಗಾಗಲೇ ಪರಿಚಿತವಾಗಿವೆ.

ಉತ್ತರ:

ನಾವು ಉದ್ದದ ಬಗ್ಗೆ ಮಾತನಾಡುತ್ತಿರುವುದರಿಂದ, ಆಯಾಮವನ್ನು ಸೂಚಿಸಲು ಮರೆಯಬೇಡಿ - "ಘಟಕಗಳು".

ಉದಾಹರಣೆ 6

ವೇಳೆ ವೆಕ್ಟರ್‌ನ ಉದ್ದವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ .

ಮಾಡು-ನೀವೇ ಪರಿಹಾರಕ್ಕಾಗಿ ಇದು ಒಂದು ಉದಾಹರಣೆಯಾಗಿದೆ. ಟ್ಯುಟೋರಿಯಲ್ ಕೊನೆಯಲ್ಲಿ ಸಂಪೂರ್ಣ ಪರಿಹಾರ ಮತ್ತು ಉತ್ತರ.

ನಾವು ಡಾಟ್ ಉತ್ಪನ್ನದಿಂದ ಉಪಯುಕ್ತ ವಿಷಯಗಳನ್ನು ಹಿಂಡುವುದನ್ನು ಮುಂದುವರಿಸುತ್ತೇವೆ. ನಮ್ಮ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಮತ್ತೊಮ್ಮೆ ನೋಡೋಣ ... ಅನುಪಾತದ ನಿಯಮದ ಪ್ರಕಾರ, ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳ ಉದ್ದವನ್ನು ಎಡಭಾಗದ ಛೇದಕ್ಕೆ ಮರುಹೊಂದಿಸೋಣ:

ಮತ್ತು ನಾವು ಭಾಗಗಳನ್ನು ಬದಲಾಯಿಸುತ್ತೇವೆ:

ಈ ಸೂತ್ರದ ಅರ್ಥವೇನು? ಎರಡು ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳ ಉದ್ದಗಳು ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ಡಾಟ್ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ನೀವು ತಿಳಿದಿದ್ದರೆ, ಈ ವಾಹಕಗಳ ನಡುವಿನ ಕೋನದ ಕೊಸೈನ್ ಅನ್ನು ನೀವು ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕಬಹುದು ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ, ಕೋನವು ಸ್ವತಃ.

ಡಾಟ್ ಉತ್ಪನ್ನವು ಸಂಖ್ಯೆಯೇ? ಸಂಖ್ಯೆ. ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳ ಉದ್ದಗಳು ಸಂಖ್ಯೆಗಳೇ? ಸಂಖ್ಯೆಗಳು. ಆದ್ದರಿಂದ, ಭಾಗವು ಸಹ ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿದೆ. ಮತ್ತು ಕೋನದ ಕೊಸೈನ್ ತಿಳಿದಿದ್ದರೆ: , ನಂತರ ವಿಲೋಮ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಕೋನವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು ಸುಲಭ: .

ಉದಾಹರಣೆ 7

ವಾಹಕಗಳ ನಡುವಿನ ಕೋನವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ ಮತ್ತು ಅದು ತಿಳಿದಿದ್ದರೆ.

ಪರಿಹಾರ:ನಾವು ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸುತ್ತೇವೆ:

ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳ ಅಂತಿಮ ಹಂತದಲ್ಲಿ, ಒಂದು ತಂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಲಾಯಿತು - ಛೇದದಲ್ಲಿನ ಅಭಾಗಲಬ್ಧತೆಯ ನಿರ್ಮೂಲನೆ. ಅತಾರ್ಕಿಕತೆಯನ್ನು ತೊಡೆದುಹಾಕಲು, ನಾನು ಅಂಶ ಮತ್ತು ಛೇದವನ್ನು ಗುಣಿಸಿದೆ.

ಆದ್ದರಿಂದ ವೇಳೆ , ನಂತರ:

ವಿಲೋಮ ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ಕಾರ್ಯಗಳ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬಹುದು ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ಕೋಷ್ಟಕ... ಇದು ವಿರಳವಾಗಿ ಸಂಭವಿಸಿದರೂ. ವಿಶ್ಲೇಷಣಾತ್ಮಕ ರೇಖಾಗಣಿತದ ಸಮಸ್ಯೆಗಳಲ್ಲಿ, ಕೆಲವು ವಿಧದ ಬೃಹದಾಕಾರದ ಕರಡಿಗಳು ಹೆಚ್ಚಾಗಿ ಕಾಣಿಸಿಕೊಳ್ಳುತ್ತವೆ ಮತ್ತು ಕೋನದ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಅಂದಾಜು ಕ್ಯಾಲ್ಕುಲೇಟರ್ ಬಳಸಿ ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬೇಕು. ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ನಾವು ಅಂತಹ ಚಿತ್ರವನ್ನು ಒಂದಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚು ಬಾರಿ ನೋಡುತ್ತೇವೆ.

ಉತ್ತರ:

ಮತ್ತೊಮ್ಮೆ, ಆಯಾಮವನ್ನು ಸೂಚಿಸಲು ಮರೆಯಬೇಡಿ - ರೇಡಿಯನ್ಸ್ ಮತ್ತು ಡಿಗ್ರಿ. ವೈಯಕ್ತಿಕವಾಗಿ, ಉದ್ದೇಶಪೂರ್ವಕವಾಗಿ "ಎಲ್ಲಾ ಪ್ರಶ್ನೆಗಳನ್ನು ತೆರವುಗೊಳಿಸಲು", ಅದು ಮತ್ತು ಅದು ಎರಡನ್ನೂ ಸೂಚಿಸಲು ನಾನು ಬಯಸುತ್ತೇನೆ (ಸಹಜವಾಗಿ, ಷರತ್ತಿನ ಮೂಲಕ, ಉತ್ತರವನ್ನು ರೇಡಿಯನ್‌ಗಳಲ್ಲಿ ಅಥವಾ ಡಿಗ್ರಿಗಳಲ್ಲಿ ಮಾತ್ರ ಪ್ರಸ್ತುತಪಡಿಸುವ ಅಗತ್ಯವಿದೆ).

ಈಗ ನೀವು ನಿಮ್ಮದೇ ಆದ ಹೆಚ್ಚು ಕಷ್ಟಕರವಾದ ಕೆಲಸವನ್ನು ನಿಭಾಯಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಾಗುತ್ತದೆ:

ಉದಾಹರಣೆ 7 *

ವಾಹಕಗಳ ಉದ್ದಗಳು ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ನಡುವಿನ ಕೋನವನ್ನು ನೀಡಲಾಗಿದೆ. ವಾಹಕಗಳ ನಡುವಿನ ಕೋನವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.

ಕಾರ್ಯವು ಬಹು-ಹಂತದಷ್ಟು ಕಷ್ಟಕರವಲ್ಲ.
ಪರಿಹಾರ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ ಅನ್ನು ವಿಶ್ಲೇಷಿಸೋಣ:

1) ಷರತ್ತಿನ ಪ್ರಕಾರ, ವಾಹಕಗಳ ನಡುವಿನ ಕೋನವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು ಅಗತ್ಯವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ, ನೀವು ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಬೇಕಾಗುತ್ತದೆ .

2) ಡಾಟ್ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಹುಡುಕಿ (ಉದಾಹರಣೆ ಸಂಖ್ಯೆ 3, 4 ನೋಡಿ).

3) ವೆಕ್ಟರ್ನ ಉದ್ದ ಮತ್ತು ವೆಕ್ಟರ್ನ ಉದ್ದವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ (ಉದಾಹರಣೆಗಳು ಸಂಖ್ಯೆ 5, 6 ನೋಡಿ).

4) ಪರಿಹಾರದ ಅಂತ್ಯವು ಉದಾಹರಣೆ ಸಂಖ್ಯೆ 7 ರೊಂದಿಗೆ ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗುತ್ತದೆ - ನಮಗೆ ಸಂಖ್ಯೆ ತಿಳಿದಿದೆ, ಅಂದರೆ ಕೋನವನ್ನು ಸ್ವತಃ ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು ಸುಲಭ:

ಟ್ಯುಟೋರಿಯಲ್ ಕೊನೆಯಲ್ಲಿ ಒಂದು ಸಣ್ಣ ಪರಿಹಾರ ಮತ್ತು ಉತ್ತರ.

ಪಾಠದ ಎರಡನೇ ವಿಭಾಗವು ಅದೇ ಡಾಟ್ ಉತ್ಪನ್ನದ ಮೇಲೆ ಕೇಂದ್ರೀಕರಿಸುತ್ತದೆ. ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳು. ಇದು ಮೊದಲ ಭಾಗಕ್ಕಿಂತಲೂ ಸುಲಭವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ವಾಹಕಗಳ ಡಾಟ್ ಉತ್ಪನ್ನ,
ಆರ್ಥೋನಾರ್ಮಲ್ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳಿಂದ ನೀಡಲಾಗಿದೆ

ಉತ್ತರ:

ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳೊಂದಿಗೆ ವ್ಯವಹರಿಸುವುದು ಹೆಚ್ಚು ಆಹ್ಲಾದಕರವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಎಂದು ಹೇಳಬೇಕಾಗಿಲ್ಲ.

ಉದಾಹರಣೆ 14

ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳ ಡಾಟ್ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಹುಡುಕಿ ಮತ್ತು, ವೇಳೆ

ಮಾಡು-ನೀವೇ ಪರಿಹಾರಕ್ಕಾಗಿ ಇದು ಒಂದು ಉದಾಹರಣೆಯಾಗಿದೆ. ಇಲ್ಲಿ ನೀವು ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಯ ಸಹಭಾಗಿತ್ವವನ್ನು ಬಳಸಬಹುದು, ಅಂದರೆ, ಎಣಿಸಬೇಡಿ, ಆದರೆ ತಕ್ಷಣವೇ ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಉತ್ಪನ್ನದಿಂದ ಟ್ರಿಪಲ್ ಅನ್ನು ಸರಿಸಿ ಮತ್ತು ಅದರ ಮೂಲಕ ಕೊನೆಯದಾಗಿ ಗುಣಿಸಿ. ಪಾಠದ ಕೊನೆಯಲ್ಲಿ ಪರಿಹಾರ ಮತ್ತು ಉತ್ತರ.

ಪ್ಯಾರಾಗ್ರಾಫ್ನ ಕೊನೆಯಲ್ಲಿ, ವೆಕ್ಟರ್ನ ಉದ್ದವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುವ ಪ್ರಚೋದನಕಾರಿ ಉದಾಹರಣೆ:

ಉದಾಹರಣೆ 15

ವಾಹಕಗಳ ಉದ್ದವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ , ವೇಳೆ

ಪರಿಹಾರ:ಮತ್ತೆ ಹಿಂದಿನ ವಿಭಾಗದ ಮಾರ್ಗವು ಸ್ವತಃ ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ :, ಆದರೆ ಇನ್ನೊಂದು ಮಾರ್ಗವಿದೆ:

ವೆಕ್ಟರ್ ಅನ್ನು ಹುಡುಕಿ:

ಮತ್ತು ಕ್ಷುಲ್ಲಕ ಸೂತ್ರದ ಪ್ರಕಾರ ಅದರ ಉದ್ದ :

ಡಾಟ್ ಉತ್ಪನ್ನವು ಇಲ್ಲಿ ಪ್ರಶ್ನೆಯಿಂದ ಹೊರಗಿದೆ!

ವೆಕ್ಟರ್‌ನ ಉದ್ದವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುವಾಗ ಇದು ವ್ಯವಹಾರದಿಂದ ಹೊರಗಿದೆ:
ನಿಲ್ಲಿಸು. ವೆಕ್ಟರ್ ಉದ್ದದ ಸ್ಪಷ್ಟ ಆಸ್ತಿಯ ಲಾಭವನ್ನು ಏಕೆ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಬಾರದು? ವೆಕ್ಟರ್ನ ಉದ್ದದ ಬಗ್ಗೆ ಏನು? ಈ ವೆಕ್ಟರ್ ವೆಕ್ಟರ್ಗಿಂತ 5 ಪಟ್ಟು ಹೆಚ್ಚು ಉದ್ದವಾಗಿದೆ. ದಿಕ್ಕು ವ್ಯತಿರಿಕ್ತವಾಗಿದೆ, ಆದರೆ ಪರವಾಗಿಲ್ಲ, ಏಕೆಂದರೆ ಮಾತುಕತೆ ಉದ್ದದ ಬಗ್ಗೆ. ನಿಸ್ಸಂಶಯವಾಗಿ, ವೆಕ್ಟರ್ನ ಉದ್ದವು ಉತ್ಪನ್ನಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಘಟಕಪ್ರತಿ ವೆಕ್ಟರ್ ಉದ್ದಕ್ಕೆ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು:
- ಮಾಡ್ಯೂಲ್ನ ಚಿಹ್ನೆಯು ಸಂಖ್ಯೆಯ ಸಂಭವನೀಯ ಮೈನಸ್ ಅನ್ನು "ತಿನ್ನುತ್ತದೆ".

ಈ ಮಾರ್ಗದಲ್ಲಿ:

ಉತ್ತರ:

ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳಿಂದ ನೀಡಲಾದ ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳ ನಡುವಿನ ಕೋನದ ಕೊಸೈನ್‌ನ ಸೂತ್ರ

ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳ ವಿಷಯದಲ್ಲಿ ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳ ನಡುವಿನ ಕೋನದ ಕೊಸೈನ್‌ಗಾಗಿ ಹಿಂದೆ ಪಡೆದ ಸೂತ್ರವನ್ನು ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಲು ಈಗ ನಾವು ಸಂಪೂರ್ಣ ಮಾಹಿತಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ:

ಸಮತಲದ ವಾಹಕಗಳ ನಡುವಿನ ಕೋನದ ಕೊಸೈನ್ಮತ್ತು ಸಾಂಪ್ರದಾಯಿಕ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ ನೀಡಲಾಗಿದೆ, ಸೂತ್ರದಿಂದ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಲಾಗಿದೆ:
.

ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶ ವಾಹಕಗಳ ನಡುವಿನ ಕೋನದ ಕೊಸೈನ್ಸಾಂಪ್ರದಾಯಿಕ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ ನೀಡಲಾಗಿದೆ, ಸೂತ್ರದಿಂದ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಲಾಗಿದೆ:

ಉದಾಹರಣೆ 16

ತ್ರಿಕೋನದ ಮೂರು ಶೃಂಗಗಳನ್ನು ನೀಡಲಾಗಿದೆ. ಹುಡುಕಿ (ಶೃಂಗದ ಕೋನ).

ಪರಿಹಾರ:ಷರತ್ತಿನ ಪ್ರಕಾರ, ಡ್ರಾಯಿಂಗ್ ಅನ್ನು ನಿರ್ವಹಿಸುವ ಅಗತ್ಯವಿಲ್ಲ, ಆದರೆ ಇನ್ನೂ:

ಅಗತ್ಯವಿರುವ ಕೋನವನ್ನು ಹಸಿರು ಚಾಪದಿಂದ ಗುರುತಿಸಲಾಗಿದೆ. ಕೋನದ ಶಾಲೆಯ ಹೆಸರನ್ನು ನಾವು ತಕ್ಷಣ ನೆನಪಿಸಿಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ: - ವಿಶೇಷ ಗಮನ ಸರಾಸರಿಪತ್ರ - ಇದು ನಮಗೆ ಅಗತ್ಯವಿರುವ ಮೂಲೆಯ ಶೃಂಗವಾಗಿದೆ. ಸಂಕ್ಷಿಪ್ತತೆಗಾಗಿ, ಇದನ್ನು ಸರಳವಾಗಿ ಬರೆಯಬಹುದು.

ರೇಖಾಚಿತ್ರದಿಂದ ತ್ರಿಕೋನದ ಕೋನವು ವಾಹಕಗಳ ನಡುವಿನ ಕೋನದೊಂದಿಗೆ ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಬೇರೆ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ: .

ಮಾನಸಿಕವಾಗಿ ನಡೆಸಿದ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯನ್ನು ಹೇಗೆ ನಡೆಸಬೇಕೆಂದು ಕಲಿಯುವುದು ಅಪೇಕ್ಷಣೀಯವಾಗಿದೆ.

ವಾಹಕಗಳನ್ನು ಹುಡುಕಿ:

ಡಾಟ್ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡೋಣ:

ಮತ್ತು ವಾಹಕಗಳ ಉದ್ದಗಳು:

ಕೋನದ ಕೊಸೈನ್:

ನಾನು ಟೀಪಾಟ್‌ಗಳಿಗೆ ಶಿಫಾರಸು ಮಾಡುವ ಕೆಲಸವನ್ನು ಪೂರ್ಣಗೊಳಿಸುವ ಕ್ರಮವಾಗಿದೆ. ಹೆಚ್ಚು ಮುಂದುವರಿದ ಓದುಗರು "ಒಂದು ಸಾಲಿನಲ್ಲಿ" ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳನ್ನು ಬರೆಯಬಹುದು:

"ಕೆಟ್ಟ" ಕೊಸೈನ್ ಮೌಲ್ಯದ ಉದಾಹರಣೆ ಇಲ್ಲಿದೆ. ಫಲಿತಾಂಶದ ಮೌಲ್ಯವು ಅಂತಿಮವಲ್ಲ, ಆದ್ದರಿಂದ ಛೇದದಲ್ಲಿ ಅಭಾಗಲಬ್ಧತೆಯನ್ನು ತೊಡೆದುಹಾಕಲು ಸ್ವಲ್ಪ ಅರ್ಥವಿಲ್ಲ.

ಮೂಲೆಯನ್ನು ಸ್ವತಃ ಕಂಡುಹಿಡಿಯೋಣ:

ನೀವು ರೇಖಾಚಿತ್ರವನ್ನು ನೋಡಿದರೆ, ಫಲಿತಾಂಶವು ಸಾಕಷ್ಟು ತೋರಿಕೆಯಾಗಿರುತ್ತದೆ. ತಪಾಸಣೆಗಾಗಿ, ಕೋನವನ್ನು ಪ್ರೋಟ್ರಾಕ್ಟರ್ನೊಂದಿಗೆ ಅಳೆಯಬಹುದು. ಮಾನಿಟರ್ನ ಕವರ್ ಅನ್ನು ಹಾನಿ ಮಾಡಬೇಡಿ =)

ಉತ್ತರ:

ಉತ್ತರದಲ್ಲಿ, ಅದನ್ನು ಮರೆಯಬೇಡಿ ತ್ರಿಕೋನದ ಕೋನದ ಬಗ್ಗೆ ಕೇಳಿದರು(ಮತ್ತು ವಾಹಕಗಳ ನಡುವಿನ ಕೋನದ ಬಗ್ಗೆ ಅಲ್ಲ), ನಿಖರವಾದ ಉತ್ತರವನ್ನು ಸೂಚಿಸಲು ಮರೆಯಬೇಡಿ: ಮತ್ತು ಕೋನದ ಅಂದಾಜು ಮೌಲ್ಯ: ಕ್ಯಾಲ್ಕುಲೇಟರ್‌ನೊಂದಿಗೆ ಕಂಡುಬಂದಿದೆ.

ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯನ್ನು ಆನಂದಿಸಿದವರು ಕೋನಗಳನ್ನು ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕಬಹುದು ಮತ್ತು ಅಂಗೀಕೃತ ಸಮಾನತೆ ನಿಜವಾಗಿದೆ ಎಂದು ಖಚಿತಪಡಿಸಿಕೊಳ್ಳಬಹುದು

ಉದಾಹರಣೆ 17

ತ್ರಿಕೋನವನ್ನು ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶದಲ್ಲಿ ಅದರ ಶೃಂಗಗಳ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳಿಂದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ. ಬದಿಗಳ ನಡುವಿನ ಕೋನವನ್ನು ಹುಡುಕಿ ಮತ್ತು

ಮಾಡು-ನೀವೇ ಪರಿಹಾರಕ್ಕಾಗಿ ಇದು ಒಂದು ಉದಾಹರಣೆಯಾಗಿದೆ. ಟ್ಯುಟೋರಿಯಲ್ ಕೊನೆಯಲ್ಲಿ ಸಂಪೂರ್ಣ ಪರಿಹಾರ ಮತ್ತು ಉತ್ತರ

ಸಣ್ಣ ಅಂತಿಮ ವಿಭಾಗವನ್ನು ಪ್ರಕ್ಷೇಪಗಳಿಗೆ ಮೀಸಲಿಡಲಾಗುತ್ತದೆ, ಇದರಲ್ಲಿ ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಉತ್ಪನ್ನವು "ಮಿಶ್ರಣ" ಆಗಿದೆ:

ವೆಕ್ಟರ್-ಟು-ವೆಕ್ಟರ್ ಪ್ರೊಜೆಕ್ಷನ್. ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ಅಕ್ಷಗಳಿಗೆ ವೆಕ್ಟರ್ನ ಪ್ರೊಜೆಕ್ಷನ್.
ವೆಕ್ಟರ್‌ನ ದಿಕ್ಕಿನ ಕೊಸೈನ್‌ಗಳು

ವಾಹಕಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ ಮತ್ತು:

ನಾವು ವೆಕ್ಟರ್ ಅನ್ನು ವೆಕ್ಟರ್ ಮೇಲೆ ಪ್ರಕ್ಷೇಪಿಸುತ್ತೇವೆ, ಇದಕ್ಕಾಗಿ ನಾವು ವೆಕ್ಟರ್ನ ಪ್ರಾರಂಭ ಮತ್ತು ಅಂತ್ಯದಿಂದ ಬಿಟ್ಟುಬಿಡುತ್ತೇವೆ ಲಂಬವಾಗಿಪ್ರತಿ ವೆಕ್ಟರ್ (ಹಸಿರು ಚುಕ್ಕೆಗಳ ರೇಖೆಗಳು). ವೆಕ್ಟರ್ಗೆ ಲಂಬವಾಗಿ ಬೀಳುವ ಬೆಳಕಿನ ಕಿರಣಗಳನ್ನು ಕಲ್ಪಿಸಿಕೊಳ್ಳಿ. ನಂತರ ವಿಭಾಗ (ಕೆಂಪು ರೇಖೆ) ವೆಕ್ಟರ್ನ "ನೆರಳು" ಆಗಿರುತ್ತದೆ. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ವೆಕ್ಟರ್‌ನ ಮೇಲೆ ವೆಕ್ಟರ್‌ನ ಪ್ರಕ್ಷೇಪಣವು ವಿಭಾಗದ LENGTH ಆಗಿದೆ. ಅಂದರೆ, ಪ್ರೊಜೆಕ್ಷನ್ ಒಂದು ಸಂಖ್ಯೆ.

ಈ NUMBER ಅನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ:, "ದೊಡ್ಡ ವೆಕ್ಟರ್" ವೆಕ್ಟರ್ ಅನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ ಯಾವುದುಯೋಜನೆ, "ಸಣ್ಣ ಸಬ್‌ಸ್ಕ್ರಿಪ್ಟ್ ವೆಕ್ಟರ್" ವೆಕ್ಟರ್ ಅನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ ಮೇಲೆಏನನ್ನು ಯೋಜಿಸಲಾಗುತ್ತಿದೆ.

ದಾಖಲೆಯು ಈ ರೀತಿ ಓದುತ್ತದೆ: "ವೆಕ್ಟರ್‌ನ ಪ್ರೊಜೆಕ್ಷನ್" a "ವೆಕ್ಟರ್ ಮೇಲೆ" bh "".

ವೆಕ್ಟರ್ "ಬಿಎಸ್" "ತುಂಬಾ ಚಿಕ್ಕದಾಗಿದ್ದರೆ" ಏನಾಗುತ್ತದೆ? ನಾವು ವೆಕ್ಟರ್ "ಬಿ" ಅನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ನೇರ ರೇಖೆಯನ್ನು ಸೆಳೆಯುತ್ತೇವೆ. ಮತ್ತು ವೆಕ್ಟರ್ "a" ಅನ್ನು ಈಗಾಗಲೇ ಯೋಜಿಸಲಾಗಿದೆ ವೆಕ್ಟರ್ "bh" ನ ದಿಕ್ಕಿನಲ್ಲಿ, ಸರಳವಾಗಿ - ವೆಕ್ಟರ್ "ಬಿ" ಹೊಂದಿರುವ ನೇರ ಸಾಲಿನಲ್ಲಿ. ಮೂವತ್ತನೇ ಸಾಮ್ರಾಜ್ಯದಲ್ಲಿ ವೆಕ್ಟರ್ "a" ಅನ್ನು ಮುಂದೂಡಿದರೆ ಅದೇ ಸಂಭವಿಸುತ್ತದೆ - ಇದು ಇನ್ನೂ ಸುಲಭವಾಗಿ ವೆಕ್ಟರ್ "bh" ಅನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ನೇರ ರೇಖೆಯ ಮೇಲೆ ಪ್ರಕ್ಷೇಪಿಸಲ್ಪಡುತ್ತದೆ.

ಕೋನ ವೇಳೆವಾಹಕಗಳ ನಡುವೆ ಮಸಾಲೆಯುಕ್ತ(ಚಿತ್ರದಲ್ಲಿರುವಂತೆ), ನಂತರ

ವಾಹಕಗಳಾಗಿದ್ದರೆ ಆರ್ಥೋಗೋನಲ್, ನಂತರ (ಪ್ರೊಜೆಕ್ಷನ್ ಒಂದು ಬಿಂದುವಾಗಿದ್ದು, ಅದರ ಆಯಾಮಗಳು ಶೂನ್ಯವೆಂದು ಭಾವಿಸಲಾಗಿದೆ).

ಕೋನ ವೇಳೆವಾಹಕಗಳ ನಡುವೆ ಮೊಂಡಾದ(ಚಿತ್ರದಲ್ಲಿ, ವೆಕ್ಟರ್ನ ಬಾಣವನ್ನು ಮಾನಸಿಕವಾಗಿ ಮರುಹೊಂದಿಸಿ), ನಂತರ (ಅದೇ ಉದ್ದ, ಆದರೆ ಮೈನಸ್ ಚಿಹ್ನೆಯೊಂದಿಗೆ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಲಾಗಿದೆ).

ಈ ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳನ್ನು ಒಂದು ಹಂತದಿಂದ ಮುಂದೂಡೋಣ:

ನಿಸ್ಸಂಶಯವಾಗಿ, ವೆಕ್ಟರ್ ಚಲಿಸಿದಾಗ, ಅದರ ಪ್ರೊಜೆಕ್ಷನ್ ಬದಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ.