അടുത്തുള്ള കോണുകളും അവയുടെ ഗുണങ്ങളും എന്തൊക്കെയാണ്. ഏത് കോണുകളെയാണ് തൊട്ടടുത്തായി വിളിക്കുന്നത്? അടുത്തുള്ള രണ്ട് കോണുകളുടെ ആകെത്തുക എന്താണ്

ജ്യാമിതി വളരെ ബഹുമുഖ ശാസ്ത്രമാണ്. അവൾ യുക്തി, ഭാവന, ബുദ്ധി എന്നിവ വികസിപ്പിക്കുന്നു. തീർച്ചയായും, അതിന്റെ സങ്കീർണ്ണതയും ധാരാളം സിദ്ധാന്തങ്ങളും പ്രപഞ്ചങ്ങളും കാരണം, സ്കൂൾ കുട്ടികൾ എല്ലായ്പ്പോഴും ഇത് ഇഷ്ടപ്പെടുന്നില്ല. കൂടാതെ, പൊതുവായി അംഗീകരിച്ച മാനദണ്ഡങ്ങളും നിയമങ്ങളും ഉപയോഗിച്ച് നിങ്ങളുടെ നിഗമനങ്ങളിൽ നിരന്തരം തെളിയിക്കേണ്ടതുണ്ട്.

അടുത്തുള്ളതും ലംബവുമായ കോണുകൾ ജ്യാമിതിക്ക് അവിഭാജ്യമാണ്. അവരുടെ സ്വത്തുക്കൾ വ്യക്തവും തെളിയിക്കാൻ എളുപ്പവുമാണെന്ന കാരണത്താൽ തീർച്ചയായും പല സ്കൂൾ കുട്ടികളും അവരെ ആരാധിക്കുന്നു.

കോണുകൾ രൂപപ്പെടുത്തുന്നു

രണ്ട് നേർരേഖകളുടെ വിഭജനത്തിലൂടെയോ ഒരു പോയിന്റിൽ നിന്ന് രണ്ട് കിരണങ്ങൾ വരച്ചോ ഏത് കോണും രൂപം കൊള്ളുന്നു. അവയെ ഒരു അക്ഷരം അല്ലെങ്കിൽ മൂന്ന് എന്ന് വിളിക്കാം, അത് മൂലയുടെ നിർമ്മാണ പോയിന്റുകൾ തുടർച്ചയായി നിർണ്ണയിക്കുന്നു.

കോണുകളെ ഡിഗ്രിയിൽ അളക്കുന്നു (അവയുടെ മൂല്യത്തെ ആശ്രയിച്ച്) വ്യത്യസ്തമായി വിളിക്കാം. അതിനാൽ, ഒരു വലത് കോണും നിശിതവും വൃത്തികെട്ടതും ചുരുട്ടുന്നതുമാണ്. ഓരോ പേരുകളും ഒരു പരിധി വരെ അല്ലെങ്കിൽ അതിന്റെ ഇടവേളയുമായി യോജിക്കുന്നു.

ഒരു കോണിന്റെ അളവ് 90 ഡിഗ്രി കവിയുന്നില്ലെങ്കിൽ അക്യൂട്ട് എന്ന് വിളിക്കുന്നു.

ഒരു ചരിഞ്ഞ കോൺ 90 ഡിഗ്രിയിൽ കൂടുതലാണ്.

ഡിഗ്രി അളവ് 90 ആകുമ്പോൾ ഒരു കോണിനെ വലത് കോൺ എന്ന് വിളിക്കുന്നു.

ഒരു ഖരരേഖയാൽ രൂപപ്പെടുകയും അതിന്റെ ഡിഗ്രി അളവ് 180 ആകുകയും ചെയ്യുമ്പോൾ, അതിനെ വിപുലീകൃതമെന്ന് വിളിക്കുന്നു.

ഒരു പൊതു വശമുള്ള കോണുകളെ, മറുവശത്ത് പരസ്പരം തുടരുന്നതിനെ അടുത്തുള്ളവ എന്ന് വിളിക്കുന്നു. അവ മൂർച്ചയുള്ളതോ മൂർച്ചയുള്ളതോ ആകാം. വരിയുടെ വിഭജനം അടുത്തുള്ള കോണുകളായി മാറുന്നു. അവയുടെ സവിശേഷതകൾ ഇപ്രകാരമാണ്:

1. ഈ കോണുകളുടെ ആകെത്തുക 180 ഡിഗ്രി ആയിരിക്കും (ഇത് തെളിയിക്കുന്ന ഒരു സിദ്ധാന്തമുണ്ട്). അതിനാൽ, അതിലൊന്ന് മറ്റൊന്ന് അറിയാമെങ്കിൽ എളുപ്പത്തിൽ കണക്കാക്കാം.
2. ആദ്യ പോയിന്റിൽ നിന്ന്, അടുത്തുള്ള കോണുകൾ രണ്ട് വൃത്താകൃതിയിലോ രണ്ട് നിശിത കോണുകളിലോ രൂപീകരിക്കാൻ കഴിയില്ല.

ഈ സവിശേഷതകൾക്ക് നന്ദി, നിങ്ങൾക്ക് എല്ലായ്പ്പോഴും ഒരു കോണിന്റെ ഡിഗ്രി അളവ് കണക്കാക്കാം, മറ്റൊരു കോണിന്റെ മൂല്യം ഉണ്ട്, അല്ലെങ്കിൽ കുറഞ്ഞത് അവ തമ്മിലുള്ള അനുപാതമെങ്കിലും.

ലംബ കോണുകൾ

പരസ്പരം തുടരുന്ന കോണുകളെ ലംബമെന്ന് വിളിക്കുന്നു. അവരുടെ ഏത് ഇനത്തിനും അത്തരമൊരു ജോഡിയായി പ്രവർത്തിക്കാൻ കഴിയും. ലംബ കോണുകൾ എല്ലായ്പ്പോഴും പരസ്പരം തുല്യമാണ്.

നേർരേഖകൾ വിഭജിക്കുമ്പോൾ അവ രൂപം കൊള്ളുന്നു. തൊട്ടടുത്ത കോണുകൾ എല്ലായ്പ്പോഴും അവയ്\u200cക്കൊപ്പം ഉണ്ടായിരിക്കും. ഒരു ആംഗിൾ ഒരേസമയം ഒന്നിനോട് ചേർന്നും മറ്റൊന്നിലേക്ക് ലംബമായും ആകാം.

അനിയന്ത്രിതമായ രേഖ മുറിച്ചുകടക്കുമ്പോൾ, നിരവധി തരം കോണുകളും പരിഗണിക്കപ്പെടുന്നു. അത്തരമൊരു വരിയെ ഒരു സെക്കന്റ് എന്ന് വിളിക്കുന്നു, അത് അനുബന്ധവും ഏകപക്ഷീയവും ക്രോസ്-ലെയിംഗ് കോണുകളും സൃഷ്ടിക്കുന്നു. അവർ പരസ്പരം തുല്യരാണ്. ലംബവും സമീപത്തുള്ള കോണുകളും ഉള്ള ഗുണങ്ങളുടെ വെളിച്ചത്തിൽ അവ കാണാൻ കഴിയും.

അതിനാൽ, കോണുകളുടെ വിഷയം വളരെ ലളിതവും നേരായതുമാണെന്ന് തോന്നുന്നു. അവരുടെ എല്ലാ ഗുണങ്ങളും ഓർമ്മിക്കാനും തെളിയിക്കാനും എളുപ്പമാണ്. കോണുകൾ ഒരു സംഖ്യാ മൂല്യവുമായി പൊരുത്തപ്പെടുന്നിടത്തോളം കാലം പ്രശ്\u200cനങ്ങൾ പരിഹരിക്കുക പ്രയാസകരമല്ല. ഇതിനകം തന്നെ, പാപത്തെയും കോസിനെയും കുറിച്ചുള്ള പഠനം ആരംഭിക്കുമ്പോൾ, നിങ്ങൾ സങ്കീർണ്ണമായ നിരവധി സൂത്രവാക്യങ്ങളും അവയുടെ നിഗമനങ്ങളും അനന്തരഫലങ്ങളും മന or പാഠമാക്കേണ്ടതുണ്ട്. ആ സമയം വരെ, നിങ്ങൾക്ക് അടുത്തുള്ള കോണുകൾ കണ്ടെത്തേണ്ട എളുപ്പമുള്ള ജോലികൾ ആസ്വദിക്കാൻ കഴിയും.

ഒരു വശത്ത് പൊതുവായി ഉണ്ടെങ്കിൽ രണ്ട് കോണുകളെ തൊട്ടടുത്തായി വിളിക്കുന്നു, ഈ കോണുകളുടെ മറുവശം അധിക രശ്മികളാണ്. ചിത്രം 20 ൽ, AOB, BOC എന്നീ കോണുകൾ തൊട്ടടുത്താണ്.

അടുത്തുള്ള കോണുകളുടെ ആകെത്തുക 180 is ആണ്

സിദ്ധാന്തം 1. അടുത്തുള്ള കോണുകളുടെ ആകെത്തുക 180 is ആണ്.

തെളിവ്. OB ബീം (ചിത്രം 1 കാണുക) ചുരുട്ടിയ മൂലയുടെ വശങ്ങൾക്കിടയിലൂടെ കടന്നുപോകുന്നു. അതുകൊണ്ടു AOB + ∠ BOS \u003d 180 °.

സിദ്ധാന്തം 1 ൽ നിന്ന് രണ്ട് കോണുകൾ തുല്യമാണെങ്കിൽ അവയോട് ചേർന്നുള്ള കോണുകൾ തുല്യമാണെന്ന് ഇത് പിന്തുടരുന്നു.

ലംബ കോണുകൾ തുല്യമാണ്

ഒരു കോണിന്റെ വശങ്ങൾ മറ്റേതിന്റെ വശങ്ങളുടെ പൂരക കിരണങ്ങളാണെങ്കിൽ രണ്ട് കോണുകളെ ലംബമായി വിളിക്കുന്നു. രണ്ട് നേർരേഖകളുടെ കവലയിൽ രൂപംകൊണ്ട AOB, COD, BOD, AOC എന്നീ കോണുകൾ ലംബമാണ് (ചിത്രം 2).

സിദ്ധാന്തം 2. ലംബ കോണുകൾ തുല്യമാണ്.

തെളിവ്. AOB, COD എന്നീ ലംബ കോണുകൾ പരിഗണിക്കുക (ചിത്രം 2 കാണുക). ഓരോ AOB, COD കോണുകൾക്കും സമീപമാണ് BOD കോർണർ. സിദ്ധാന്തം 1 അനുസരിച്ച്, ∠ AOB + BOD \u003d 180 °, ∠ COD + BOD \u003d 180 °.

അതിനാൽ ∠ AOB \u003d ∠ COD എന്ന് ഞങ്ങൾ നിഗമനം ചെയ്യുന്നു.

കൊറോളറി 1. ഒരു വലത് കോണിനോട് ചേർന്നുള്ള ഒരു കോൺ ഒരു വലത് കോണാണ്.

എസി, ബിഡി എന്നിവ തമ്മിൽ വിഭജിക്കുന്ന രണ്ട് നേർരേഖകൾ പരിഗണിക്കുക (ചിത്രം 3). അവ നാല് കോണുകളായി മാറുന്നു. അവയിലൊന്ന് നേരെയാണെങ്കിൽ (ചിത്രം 3 ലെ ആംഗിൾ 1), മറ്റ് കോണുകളും ശരിയാണ് (1, 2, 1, 4 കോണുകൾ തൊട്ടടുത്താണ്, 1, 3 കോണുകൾ ലംബമാണ്). ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, ഈ വരികൾ ലംബകോണുകളിൽ വിഭജിക്കുന്നുവെന്നും അവയെ ലംബമായി (അല്ലെങ്കിൽ പരസ്പരം ലംബമായി) വിളിക്കുന്നുവെന്നും അവർ പറയുന്നു. എസി, ബിഡി എന്നീ നേർരേഖകളുടെ ലംബത ഇനിപ്പറയുന്ന രീതിയിൽ നിയുക്തമാക്കിയിരിക്കുന്നു: എസി ⊥ ബിഡി.

ഒരു സെഗ്\u200cമെന്റിന് ലംബമായി മിഡ്\u200cപോയിന്റ് ഈ സെഗ്\u200cമെന്റിന് ലംബമായി അതിന്റെ മധ്യ പോയിന്റിലൂടെ കടന്നുപോകുന്നു.

AH - ഒരു നേർരേഖയ്ക്ക് ലംബമായി

ഒരു നേർരേഖയും അതിൽ കിടക്കാത്ത ഒരു പോയിന്റും പരിഗണിക്കുക (ചിത്രം 4). ഒരു നേർരേഖയിൽ പോയിന്റ് എച്ച് ഉള്ള ഒരു സെഗ്\u200cമെന്റുമായി പോയിന്റ് എയെ ബന്ധിപ്പിക്കാം a. AH, a എന്നീ വരികൾ ലംബമാണെങ്കിൽ ഒരു വരിയെ വരയ്ക്കുന്നതിന് പോയിന്റ് A ൽ നിന്ന് വരച്ച ലംബമായി AH സെഗ്\u200cമെന്റിനെ വിളിക്കുന്നു. പോയിന്റ് എച്ച് ലംബത്തിന്റെ അടിസ്ഥാനം എന്ന് വിളിക്കുന്നു.

സമചതുരം വരയ്ക്കുന്നു

ഇനിപ്പറയുന്ന സിദ്ധാന്തം ശരിയാണ്.

സിദ്ധാന്തം 3. ഒരു വരിയിൽ കിടക്കാത്ത ഏത് പോയിന്റിൽ നിന്നും ഒരാൾക്ക് ഈ വരിയിലേക്ക് ലംബമായി വരയ്ക്കാൻ കഴിയും, മാത്രമല്ല ഒരെണ്ണം മാത്രം.

ഡ്രോയിംഗിലെ ഒരു പോയിന്റിൽ നിന്ന് ഒരു നേർരേഖയിലേക്ക് ലംബമായി വരയ്ക്കാൻ, ഒരു ഡ്രോയിംഗ് സ്ക്വയർ ഉപയോഗിക്കുക (ചിത്രം 5).

അഭിപ്രായം. പ്രമേയത്തിന്റെ പ്രസ്താവന സാധാരണയായി രണ്ട് ഭാഗങ്ങൾ ഉൾക്കൊള്ളുന്നു. ഒരു ഭാഗം നൽകിയതിനെക്കുറിച്ച് സംസാരിക്കുന്നു. ഈ ഭാഗത്തെ പ്രമേയത്തിന്റെ അവസ്ഥ എന്ന് വിളിക്കുന്നു. തെളിയിക്കപ്പെടേണ്ട കാര്യങ്ങളെക്കുറിച്ച് മറ്റൊരു ഭാഗം സംസാരിക്കുന്നു. ഈ ഭാഗത്തെ പ്രമേയത്തിന്റെ സമാപനം എന്ന് വിളിക്കുന്നു. ഉദാഹരണത്തിന്, സിദ്ധാന്തം 2 ന്റെ അവസ്ഥ കോണുകൾ ലംബമാണ്; ഉപസംഹാരം - ഈ കോണുകൾ തുല്യമാണ്.

ഏതൊരു പ്രമേയവും വിശദമായി വാക്കുകളിൽ\u200c പ്രകടിപ്പിക്കാൻ\u200c കഴിയും, അങ്ങനെ അതിന്റെ അവസ്ഥ "if" എന്ന വാക്കിൽ\u200c നിന്നും ആരംഭിക്കുന്നു, കൂടാതെ "പിന്നെ" ഉദാഹരണത്തിന്, സിദ്ധാന്തം 2 വിശദമായി ഇനിപ്പറയുന്ന രീതിയിൽ പ്രസ്താവിക്കാം: "രണ്ട് കോണുകൾ ലംബമാണെങ്കിൽ അവ തുല്യമാണ്."

ഉദാഹരണം 1. തൊട്ടടുത്ത കോണുകളിലൊന്ന് 44 is ആണ്. മറ്റൊന്ന് തുല്യമായത് എന്താണ്?

തീരുമാനം. മറ്റൊരു കോണിന്റെ ഡിഗ്രി അളവ് x കൊണ്ട് സൂചിപ്പിക്കാം, തുടർന്ന് സിദ്ധാന്തം 1 അനുസരിച്ച്.
44 ° + x \u003d 180 °.
തത്ഫലമായുണ്ടാകുന്ന സമവാക്യം പരിഹരിക്കുമ്പോൾ, x \u003d 136 that എന്ന് ഞങ്ങൾ കണ്ടെത്തുന്നു. അതിനാൽ, മറ്റ് കോൺ 136 is ആണ്.

ഉദാഹരണം 2. ചിത്രം 21 ലെ COD ആംഗിൾ 45 be ആയിരിക്കട്ടെ. AOB, AOC എന്നീ കോണുകൾ ഏതാണ്?

തീരുമാനം. COD, AOB എന്നീ കോണുകൾ ലംബമാണ്, അതിനാൽ സിദ്ധാന്തം 1.2 അനുസരിച്ച് അവ തുല്യമാണ്, അതായത്, ∠ AOB \u003d 45 °. AOC ആംഗിൾ COD എന്ന കോണിനോട് ചേർന്നാണ്, അതിനാൽ സിദ്ധാന്തം 1.
AOC \u003d 180 ° - COD \u003d 180 ° - 45 ° \u003d 135 °.

ഉദാഹരണം 3. ഒരെണ്ണം 3 മടങ്ങ് ആണെങ്കിൽ അടുത്തുള്ള കോണുകൾ കണ്ടെത്തുക.

തീരുമാനം. X- ലൂടെ ചെറിയ കോണിന്റെ ഡിഗ്രി അളവ് സൂചിപ്പിക്കാം. അപ്പോൾ വലിയ കോണിന്റെ ഡിഗ്രി അളവ് Zx ആയിരിക്കും. അടുത്തുള്ള കോണുകളുടെ ആകെത്തുക 180 ° (സിദ്ധാന്തം 1) ആയതിനാൽ, x + 3x \u003d 180 °, എവിടെ നിന്ന് x \u003d 45 °.
ഇതിനർത്ഥം തൊട്ടടുത്ത കോണുകൾ 45 ° ഉം 135 are ഉം ആണ്.

ഉദാഹരണം 4. രണ്ട് ലംബ കോണുകളുടെ ആകെത്തുക 100 is ആണ്. ഓരോ നാല് കോണുകളുടെയും വ്യാപ്തി കണ്ടെത്തുക.

തീരുമാനം. ചിത്രം 2 പ്രശ്നത്തിന്റെ അവസ്ഥയുമായി പൊരുത്തപ്പെടട്ടെ. COD മുതൽ AOB വരെയുള്ള ലംബ കോണുകൾ തുല്യമാണ് (സിദ്ധാന്തം 2), അതിനാൽ അവയുടെ ഡിഗ്രി അളവുകളും തുല്യമാണ്. അതിനാൽ, ∠ COD \u003d ∠ AOB \u003d 50 ° (വ്യവസ്ഥ അനുസരിച്ച് അവയുടെ ആകെത്തുക 100 is ആണ്). BOD ആംഗിൾ (AOC ആംഗിളും) COD കോണിനോട് ചേർന്നാണ്, അതിനാൽ സിദ്ധാന്തം 1
BOD \u003d ∠ AOC \u003d 180 ° - 50 ° \u003d 130 °.

ആംഗിളുകൾ ഉപയോഗിച്ച് ആരംഭിക്കുക

നമുക്ക് രണ്ട് ഏകപക്ഷീയമായ കിരണങ്ങൾ നൽകാം. നമുക്ക് അവയെ പരസ്പരം മുകളിൽ വയ്ക്കാം. പിന്നെ

നിർവചനം 1

ഒരേ ഉത്ഭവമുള്ള രണ്ട് രശ്മികളെ കോണിനെ വിളിക്കും.

നിർവചനം 2

നിർവചനം 3 ലെ കിരണങ്ങളുടെ ഉത്ഭവസ്ഥാനമായ പോയിന്റിനെ ആ കോണിന്റെ അഗ്രം എന്ന് വിളിക്കുന്നു.

കോണിനെ ഇനിപ്പറയുന്ന മൂന്ന് പോയിന്റുകൾ സൂചിപ്പിക്കും: ഒരു ശീർഷകം, ഒരു കിരണത്തിൽ ഒരു പോയിന്റും മറ്റൊരു കിരണത്തിൽ ഒരു പോയിന്റും, കോണിന്റെ അഗ്രം അതിന്റെ സ്ഥാനത്തിന്റെ മധ്യത്തിൽ എഴുതിയിരിക്കുന്നു (ചിത്രം 1).

കോണിന്റെ മൂല്യം എന്താണെന്ന് ഇപ്പോൾ നമുക്ക് നിർണ്ണയിക്കാം.

ഇത് ചെയ്യുന്നതിന്, നിങ്ങൾ ഒരുതരം "റഫറൻസ്" ആംഗിൾ തിരഞ്ഞെടുക്കേണ്ടതുണ്ട്, അത് ഞങ്ങൾ ഒരു യൂണിറ്റായി എടുക്കും. മിക്കപ്പോഴും, ഈ കോൺ പരന്ന കോണിന്റെ $ \\ frac (1) (180) to ന് തുല്യമായ ഒരു കോണാണ്. ഈ മൂല്യത്തെ ഒരു ഡിഗ്രി എന്ന് വിളിക്കുന്നു. അത്തരമൊരു ആംഗിൾ തിരഞ്ഞെടുത്ത ശേഷം, ഞങ്ങൾ അതിനെ കോണുകളുമായി താരതമ്യം ചെയ്യുന്നു, അതിന്റെ മൂല്യം കണ്ടെത്തേണ്ടതുണ്ട്.

4 തരം കോണുകളുണ്ട്:

നിർവചനം 3

ഒരു കോണിനെ $ 90 ^ 0 than ൽ കുറവാണെങ്കിൽ അക്യൂട്ട് എന്ന് വിളിക്കുന്നു.

നിർവചനം 4

ഒരു കോണിനെ t 90 ^ 0 than നേക്കാൾ വലുതാണെങ്കിൽ അതിനെ obtuse എന്ന് വിളിക്കുന്നു.

നിർവചനം 5

ഒരു കോണിനെ $ 180 ^ 0 to ന് തുല്യമാണെങ്കിൽ അതിനെ ചുരുട്ടുന്നു.

നിർവചനം 6

ഒരു കോണിനെ $ 90 ^ 0 to ന് തുല്യമാണെങ്കിൽ അതിനെ ഒരു വലത് കോൺ എന്ന് വിളിക്കുന്നു.

മുകളിൽ വിവരിച്ച കോണുകളുടെ തരങ്ങൾക്ക് പുറമേ, നിങ്ങൾക്ക് പരസ്പരം ബന്ധപ്പെട്ട് കോണുകളുടെ തരങ്ങൾ തിരഞ്ഞെടുക്കാം, അതായത്, ലംബവും സമീപത്തുള്ള കോണുകളും.

തൊട്ടടുത്ത കോണുകൾ

ചുരുട്ടിയ $ COB $ മൂല പരിഗണിക്കുക. റേയുടെ ശീർഷകത്തിൽ നിന്ന് $ OA draw വരയ്ക്കുക. ഈ കിരണം ഒറിജിനലിനെ രണ്ട് കോണുകളായി വിഭജിക്കും. പിന്നെ

നിർവചനം 7

ഒരു ജോഡി വശങ്ങളുടെ വികസിത കോണാണെങ്കിൽ രണ്ട് കോണുകളെ അടുത്തുള്ളതായി വിളിക്കും, മറ്റ് ജോഡി യോജിക്കുന്നു (ചിത്രം 2).

ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, കോണുകൾ $ COA $, $ BOA $ എന്നിവ അടുത്താണ്.

സിദ്ധാന്തം 1

അടുത്തുള്ള കോണുകളുടെ ആകെത്തുക $ 180 ^ 0 is ആണ്.

തെളിവ്.

ചിത്രം 2 പരിഗണിക്കുക.

നിർവചനം 7 അനുസരിച്ച്, അതിലെ $ COB $ ആംഗിൾ $ 180 ^ 0 be ആയിരിക്കും. അടുത്തുള്ള കോണുകളുടെ രണ്ടാമത്തെ ജോഡി വശങ്ങൾ ചേരുന്നതിനാൽ, $ OA $ റേ വികസിപ്പിച്ച കോണിനെ 2 കൊണ്ട് ഹരിക്കും.

$ ∠COA + ∠BOA \u003d 180 ^ 0 $

പ്രമേയം തെളിയിക്കപ്പെട്ടു.

ഈ ആശയം ഉപയോഗിച്ച് ഒരു പ്രശ്നം പരിഹരിക്കുന്നത് പരിഗണിക്കുക.

ഉദാഹരണം 1

ചുവടെയുള്ള ചിത്രത്തിൽ നിന്ന് $ C angle ആംഗിൾ കണ്ടെത്തുക

നിർവചനം 7 അനുസരിച്ച്, $ BDA $, $ ADC the കോണുകൾ തൊട്ടടുത്തായിരിക്കുന്നതായി ഞങ്ങൾ കാണുന്നു. അതിനാൽ, സിദ്ധാന്തം 1 പ്രകാരം, ഞങ്ങൾ നേടുന്നു

$ ∠BDA + ∠ADC \u003d 180 ^ 0 $

$ ∠ADC \u003d 180 ^ 0-∠BDA \u003d 180〗 0-59 ^ 0 \u003d 121 ^ 0 $

ഒരു ത്രികോണത്തിലെ കോണുകളുടെ ആകെത്തുകയെക്കുറിച്ചുള്ള സിദ്ധാന്തം അനുസരിച്ച്, നമുക്ക് ഉണ്ട്

$ ∠A + ∠ADC + ∠C \u003d 180 ^ 0 $

$ ∠C \u003d 180 ^ 0-∠A-∠ADC \u003d 180 ^ 0-19 ^ 0-121 ^ 0 \u003d 40 ^ 0 $

ഉത്തരം: $ 40 ^ 0 $.

ലംബ കോണുകൾ

ചുരുട്ടിയ കോണുകൾ $ AOB $, $ MOC $ എന്നിവ പരിഗണിക്കുക. നമുക്ക് അവയുടെ വെർട്ടീസുകൾ പരസ്പരം വിന്യസിക്കാം (അതായത്, $ O "പോയിന്റ് $ O the പോയിന്റിൽ ഇടുന്നു) അതിനാൽ ഈ കോണുകളുടെ ഒരു വശവും യോജിക്കുന്നില്ല.

നിർവചനം 8

വശങ്ങളുടെ ജോഡി ചുരുട്ടിയ കോണുകളാണെങ്കിൽ രണ്ട് കോണുകളെ ലംബമായി വിളിക്കും, അവയുടെ മൂല്യങ്ങൾ യോജിക്കുന്നു (ചിത്രം 3).

ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, കോണുകൾ $ MOA $, $ BOC vert എന്നിവ ലംബവും കോണുകൾ $ MOB $, $ AOC $ എന്നിവയും ലംബമാണ്.

സിദ്ധാന്തം 2

ലംബ കോണുകൾ പരസ്പരം തുല്യമാണ്.

തെളിവ്.

ചിത്രം 3. പരിഗണിക്കുക, ഉദാഹരണത്തിന്, $ MOA $ BOC to ന് തുല്യമാണെന്ന് തെളിയിക്കാം.

ഒരു നേർരേഖയിൽ സ്ഥിതിചെയ്യുന്ന രണ്ട് കോണുകളും ഒരു ശീർഷകവും അടുത്തുള്ളതായി വിളിക്കുന്നു.

അല്ലെങ്കിൽ, ഒരു നേർരേഖയിലെ രണ്ട് കോണുകളുടെ ആകെത്തുക 180 ഡിഗ്രിയും അവയ്ക്ക് ഒരു വശവും പൊതുവാണെങ്കിൽ, ഇവ അടുത്തുള്ള കോണുകളാണ്.

1 അടുത്തുള്ള ആംഗിൾ + 1 അടുത്തുള്ള ആംഗിൾ \u003d 180 ഡിഗ്രി.

തൊട്ടടുത്ത കോണുകൾ രണ്ട് കോണുകളാണ്, അതിൽ ഒരു വശം സാധാരണമാണ്, മറ്റ് രണ്ട് വശങ്ങളും സാധാരണയായി ഒരു നേർരേഖയായി മാറുന്നു.

അടുത്തുള്ള രണ്ട് കോണുകളുടെ ആകെത്തുക എല്ലായ്പ്പോഴും 180 ഡിഗ്രിയാണ്. ഉദാഹരണത്തിന്, ഒരു കോൺ 60 ഡിഗ്രി ആണെങ്കിൽ, രണ്ടാമത്തേത് 120 ഡിഗ്രിക്ക് (180-60) തുല്യമായിരിക്കും.

AOC, BOC എന്നീ കോണുകൾ അടുത്തുള്ള കോണുകളാണ്, കാരണം അടുത്തുള്ള കോണുകളുടെ സവിശേഷതകൾക്കുള്ള എല്ലാ വ്യവസ്ഥകളും പാലിക്കുന്നു:

1.OS എന്നത് രണ്ട് കോണുകളുടെ പൊതുവായ വശമാണ്

2.AO എന്നത് AOC ആംഗിളിന്റെ വശമാണ്, OV എന്നത് BOC ആംഗിളിന്റെ വശമാണ്. ഒരുമിച്ച്, ഈ വശങ്ങൾ ഒരു നേർരേഖ AOB ആയി മാറുന്നു.

3. കോൺ രണ്ട്, അവയുടെ ആകെത്തുക 180 ഡിഗ്രി.

സ്കൂൾ ജ്യാമിതി കോഴ്\u200cസ് ഓർമിക്കുമ്പോൾ, അടുത്തുള്ള കോണുകളെക്കുറിച്ച് നമുക്ക് ഇനിപ്പറയുന്നവ പറയാൻ കഴിയും:

തൊട്ടടുത്ത കോണുകൾക്ക് ഒരു വശമുണ്ട്, മറ്റ് രണ്ട് വശങ്ങളും ഒരേ നേർരേഖയിലാണ്, അതായത് അവ ഒരേ നേർരേഖയിലാണ്. കണക്കനുസരിച്ച്, COB, BOA എന്നിവയുടെ കോണുകൾ അടുത്തുള്ള കോണുകളാണ്, അവയുടെ ആകെത്തുക എല്ലായ്പ്പോഴും 180 ആണ്, കാരണം അവ വികസിപ്പിച്ച കോണും പങ്കിടുന്നു, വികസിപ്പിച്ച കോണും എല്ലായ്പ്പോഴും 180 ആണ്.



അടുത്തുള്ള കോണുകൾ ജ്യാമിതിയിലെ ഒരു എളുപ്പ ആശയമാണ്. അടുത്തുള്ള കോണുകൾ, ആംഗിൾ പ്ലസ് ആംഗിൾ 180 ഡിഗ്രി വരെ ചേർക്കുന്നു.

അടുത്തുള്ള രണ്ട് കോണുകൾ - ഇത് ചുരുട്ടിയ ഒരു കോണായിരിക്കും.

ഇനിയും നിരവധി പ്രോപ്പർട്ടികൾ ഉണ്ട്. അടുത്തുള്ള കോണുകളിലുള്ള പ്രശ്നങ്ങളും പ്രമേയങ്ങളും പരിഹരിക്കുന്നത് എളുപ്പമാണ്.

ഒരു നേർരേഖയിൽ അനിയന്ത്രിതമായ പോയിന്റിൽ നിന്ന് ഒരു കിരണം വരയ്ക്കുമ്പോൾ അടുത്തുള്ള കോണുകൾ രൂപം കൊള്ളുന്നു. ഈ അനിയന്ത്രിതമായ പോയിന്റ് കോണിന്റെ അഗ്രമായി മാറുന്നു, കിരണങ്ങൾ തൊട്ടടുത്ത കോണുകളുടെ പൊതുവായ ഭാഗമാണ്, കിരണങ്ങൾ വരയ്ക്കുന്ന നേർരേഖ അടുത്തുള്ള കോണുകളുടെ ശേഷിക്കുന്ന രണ്ട് വശങ്ങളാണ്. അടുത്തുള്ള കോണുകൾ ലംബത്തിന്റെ കാര്യത്തിൽ ഒരുപോലെയാകാം അല്ലെങ്കിൽ ചരിഞ്ഞ ബീം കാര്യത്തിൽ വ്യത്യസ്തമായിരിക്കും. അടുത്തുള്ള കോണുകളുടെ ആകെത്തുക 180 ഡിഗ്രി അല്ലെങ്കിൽ ഒരു നേർരേഖയാണെന്ന് മനസ്സിലാക്കാൻ എളുപ്പമാണ്. മറ്റൊരു തരത്തിൽ, ഈ കോണിനെ ഒരു ലളിതമായ ഉദാഹരണത്തിലൂടെ വിശദീകരിക്കാം - നിങ്ങൾ ആദ്യം ഒരു ദിശയിൽ ഒരു നേർരേഖയിൽ നടന്നു, എന്നിട്ട് മനസ്സ് മാറ്റി, തിരികെ പോകാൻ തീരുമാനിച്ചു, 180 ഡിഗ്രി തിരിഞ്ഞ്, അതേ നേർരേഖയിലൂടെ പുറപ്പെടുക വിപരീത ദിശയിൽ.



അപ്പോൾ അടുത്തുള്ള ഒരു കോണിൽ എന്താണ്? നിർവചനം:

തൊട്ടടുത്തായി ഒരു സാധാരണ ശീർഷകവും ഒരു പൊതു വശവുമുള്ള രണ്ട് കോണുകളുണ്ട്, ഈ രണ്ട് കോണുകളും ഒരു നേർരേഖയിൽ കിടക്കുന്നു.



ഒരു ചെറിയ വീഡിയോ പാഠം, അവിടെ അടുത്തുള്ള കോണുകളെക്കുറിച്ചും ലംബ കോണുകളെക്കുറിച്ചും ലംബമായ നേർരേഖകളെക്കുറിച്ചും വിവേകപൂർവ്വം കാണിക്കുന്നു, അവ അടുത്തുള്ളതും ലംബവുമായ കോണുകളുടെ ഒരു പ്രത്യേക കേസാണ്

തൊട്ടടുത്ത കോണുകൾ ഒരു വശത്ത് സാധാരണവും മറ്റൊന്ന് ഒരൊറ്റ വരിയുമാണ്.

പരസ്പരം ആശ്രയിക്കുന്ന കോണുകളാണ് അടുത്തുള്ള കോണുകൾ. അതായത്, പൊതുവായ വശം ചെറുതായി തിരിക്കുകയാണെങ്കിൽ, ഒരു കോൺ കുറച്ച് ഡിഗ്രി കുറയുകയും യാന്ത്രികമായി രണ്ടാമത്തെ ആംഗിൾ അതേ അളവിൽ വർദ്ധിക്കുകയും ചെയ്യും. അടുത്തുള്ള കോണുകളുടെ ഈ സ്വത്ത് വിവിധ പ്രശ്നങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിനും ജ്യാമിതിയിലെ വിവിധ സിദ്ധാന്തങ്ങൾ തെളിയിക്കുന്നതിനും അനുവദിക്കുന്നു.

അടുത്തുള്ള കോണുകളുടെ ആകെ തുക എല്ലായ്പ്പോഴും 180 ഡിഗ്രിയാണ്.



ജ്യാമിതി കോഴ്\u200cസിൽ നിന്ന്, (ആറാം ഗ്രേഡിൽ ഞാൻ ഓർക്കുന്നിടത്തോളം), രണ്ട് കോണുകളെ സമീപം എന്ന് വിളിക്കുന്നു, അതിൽ ഒരു വശം സാധാരണമാണ്, മറ്റേ വശങ്ങൾ അധിക രശ്മികളാണ്, അടുത്തുള്ള കോണുകളുടെ ആകെത്തുക 180 ആണ്. വികസിത കോണിലേക്ക് കോണുകൾ മറ്റൊന്നിനെ പൂരിപ്പിക്കുന്നു. അടുത്തുള്ള കോണുകളുടെ ഉദാഹരണം:



അടുത്തുള്ള കോണുകൾ ഒരു പൊതു ശീർഷകമുള്ള രണ്ട് കോണുകളാണ്, അവയിലൊന്ന് സാധാരണമാണ്, ശേഷിക്കുന്ന വശങ്ങൾ ഒരു നേർരേഖയിൽ കിടക്കുന്നു (യാദൃശ്ചികമല്ല). അടുത്തുള്ള കോണുകളുടെ ആകെത്തുക നൂറ്റി എൺപത് ഡിഗ്രിയാണ്. പൊതുവേ, ഇതെല്ലാം Google അല്ലെങ്കിൽ ഒരു ജ്യാമിതി പാഠപുസ്തകത്തിൽ കണ്ടെത്താൻ വളരെ എളുപ്പമാണ്.

1. തൊട്ടടുത്ത കോണുകൾ.

ഏതെങ്കിലും മൂലയുടെ വശം അതിന്റെ അഗ്രത്തിനപ്പുറത്തേക്ക് നീട്ടുകയാണെങ്കിൽ, നമുക്ക് രണ്ട് കോണുകൾ ലഭിക്കും (ചിത്രം 72): ∠ABS, ∠СВD, അതിൽ ഒരു വശത്ത് ബിസി സാധാരണമാണ്, മറ്റ് രണ്ട് എബി, ബിഡി എന്നിവ ഒരു നേർരേഖയായി മാറുന്നു.

ഒരു വശത്ത് സാധാരണമായ രണ്ട് കോണുകളും മറ്റ് രണ്ട് നേർരേഖകളും അടുത്തുള്ള കോണുകൾ എന്ന് വിളിക്കുന്നു.

തൊട്ടടുത്തുള്ള കോണുകളും ഈ രീതിയിൽ ലഭിക്കും: ചില പോയിന്റുകളിൽ നിന്ന് ഒരു നേർരേഖയിൽ (ഈ നേർരേഖയിൽ കിടക്കുന്നില്ല) ഒരു കിരണം വരച്ചാൽ, നമുക്ക് അടുത്തുള്ള കോണുകൾ ലഭിക്കും.

ഉദാഹരണത്തിന്, ∠ADF, ∠FDB എന്നിവ അടുത്തുള്ള കോണുകളാണ് (ചിത്രം 73).

അടുത്തുള്ള കോണുകളിൽ വൈവിധ്യമാർന്ന സ്ഥാനങ്ങൾ ഉണ്ടാകാം (ചിത്രം 74).

അടുത്തുള്ള കോണുകൾ ഒരു പരന്ന കോണിലേക്ക് ചേർക്കുന്നു, അതിനാൽ അടുത്തുള്ള രണ്ട് കോണുകളുടെ ആകെത്തുക 180 is ആണ്

ഇവിടെ നിന്ന്, ഒരു വലത് കോണിനെ അതിന്റെ അടുത്തുള്ള കോണിന് തുല്യമായ ഒരു കോണായി നിർവചിക്കാം.

അടുത്തുള്ള ഒരു കോണിന്റെ മൂല്യം അറിയുന്നതിലൂടെ, അടുത്തുള്ള മറ്റൊരു കോണിന്റെ മൂല്യം നമുക്ക് കണ്ടെത്താൻ കഴിയും.

ഉദാഹരണത്തിന്, അടുത്തുള്ള കോണുകളിലൊന്ന് 54 is ആണെങ്കിൽ, രണ്ടാമത്തെ കോൺ ഇതായിരിക്കും:

180 ° - 54 ° \u003d l26 °.

2. ലംബ കോണുകൾ.

മൂലയുടെ വശങ്ങൾ അതിന്റെ അഗ്രത്തിനപ്പുറത്തേക്ക് നീട്ടുകയാണെങ്കിൽ, നമുക്ക് ലംബമായ കോണുകൾ ലഭിക്കും. ചിത്രം 75 ൽ, EOF, AOC കോണുകൾ ലംബമാണ്; AOE, COF എന്നീ കോണുകളും ലംബമാണ്.

ഒരു കോണിന്റെ വശങ്ങൾ മറ്റേ മൂലയുടെ വശങ്ങളുടെ വിപുലീകരണങ്ങളാണെങ്കിൽ രണ്ട് കോണുകളെ ലംബമായി വിളിക്കുന്നു.

∠1 \u003d \\ (\\ frac (7) (8) \\) ⋅ 90 ° (ചിത്രം 76) അനുവദിക്കുക. അടുത്തുള്ള ∠2 180 ° - \\ (\\ frac (7) (8) \\) ⋅ 90 to, അതായത് 1 \\ (\\ frac (1) (8) \\) ⋅ 90 to ന് തുല്യമായിരിക്കും.

അതുപോലെ, ∠3, ∠4 എന്നിവ തുല്യമാണെന്ന് നിങ്ങൾക്ക് കണക്കാക്കാം.

3 \u003d 180 ° - 1 \\ (\\ frac (1) (8) \\) ⋅ 90 ° \u003d \\ (\\ frac (7) (8) \\) ⋅ 90 °;

4 \u003d 180 ° - \\ (\\ frac (7) (8) \\) ⋅ 90 ° \u003d 1 \\ (\\ frac (1) (8) \\) ⋅ 90 ° (ചിത്രം 77).

∠1 \u003d ∠3, ∠2 \u003d ∠4 എന്നിവ ഞങ്ങൾ കാണുന്നു.

നിങ്ങൾക്ക് സമാനമായ നിരവധി പ്രശ്\u200cനങ്ങൾ പരിഹരിക്കാൻ കഴിയും, ഓരോ തവണയും നിങ്ങൾക്ക് ഒരേ ഫലം ലഭിക്കും: ലംബ കോണുകൾ പരസ്പരം തുല്യമാണ്.

എന്നിരുന്നാലും, ലംബ കോണുകൾ എല്ലായ്പ്പോഴും പരസ്പരം തുല്യമാണെന്ന് ഉറപ്പാക്കുന്നതിന്, വ്യക്തിഗത സംഖ്യാ ഉദാഹരണങ്ങൾ പരിഗണിക്കുന്നത് പര്യാപ്തമല്ല, കാരണം പ്രത്യേക ഉദാഹരണങ്ങളിൽ നിന്ന് എടുത്ത നിഗമനങ്ങളിൽ ചിലപ്പോൾ തെറ്റായിരിക്കാം.

തെളിവ് ഉപയോഗിച്ച് ലംബ കോണുകളുടെ സ്വത്തിന്റെ സാധുത പരിശോധിക്കേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്.

തെളിവ് ഇനിപ്പറയുന്ന രീതിയിൽ നടപ്പിലാക്കാം (ചിത്രം 78):

∠a +∠സി \u003d 180 °;

∠b +∠സി \u003d 180 °;

(അടുത്തുള്ള കോണുകളുടെ ആകെത്തുക 180 is ആയതിനാൽ).

∠a +∠സി = ∠b +∠സി

(ഈ സമത്വത്തിന്റെ ഇടതുവശത്ത് 180 is ഉം അതിന്റെ വലതുവശവും 180 is ആയതിനാൽ).

ഈ സമത്വത്തിൽ ഒരേ കോണും ഉൾപ്പെടുന്നു മുതൽ.

തുല്യ മൂല്യങ്ങളിൽ നിന്ന് തുല്യമായി കുറച്ചാൽ, അത് തുല്യമായി തുടരും. ഫലം ഇതായിരിക്കും: ∠a = ∠bഅതായത്, ലംബ കോണുകൾ പരസ്പരം തുല്യമാണ്.

3. ഒരു പൊതു ശീർഷകമുള്ള കോണുകളുടെ ആകെത്തുക.

ഡ്രോയിംഗിൽ 79 ∠1, ∠2, ∠3, ∠4 എന്നിവ ഒരു നേർരേഖയുടെ ഒരു വശത്ത് സ്ഥിതിചെയ്യുന്നു, ഒപ്പം ഈ നേർരേഖയിൽ ഒരു പൊതു ശീർഷകവുമുണ്ട്. ഒരുമിച്ച്, ഈ കോണുകൾ വിന്യസിച്ച കോണാണ്, അതായത്.

1 + ∠2 + ∠3 + ∠4 \u003d 180 °.

ഡ്രോയിംഗിൽ, 80 1, ∠2, ∠3, ∠4, ∠5 എന്നിവയ്\u200cക്ക് ഒരു പൊതു ശീർഷകം ഉണ്ട്. ഈ കോണുകൾ പൂർണ്ണ കോണിലേക്ക് ചേർക്കുന്നു, അതായത് т1 + ∠2 + ∠3 + ∠4 + ∠5 \u003d 360 °.