ത്രികോണമിതി സൂത്രവാക്യങ്ങൾ പ്രത്യേക കേസുകളാണ്. ത്രികോണമിതി സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നു

വിഷയത്തെക്കുറിച്ചുള്ള പാഠവും അവതരണവും: "ലളിതമായ ത്രികോണമിതി സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നു"

അധിക മെറ്റീരിയലുകൾ
പ്രിയ ഉപയോക്താക്കളേ, നിങ്ങളുടെ അഭിപ്രായങ്ങളും അവലോകനങ്ങളും ആശംസകളും നൽകാൻ മറക്കരുത്! എല്ലാ മെറ്റീരിയലുകളും ഒരു ആൻ്റി വൈറസ് പ്രോഗ്രാം പരിശോധിച്ചു.

1C മുതൽ ഗ്രേഡ് 10-ന് ഇൻ്റഗ്രൽ ഓൺലൈൻ സ്റ്റോറിലെ മാനുവലുകളും സിമുലേറ്ററുകളും
ജ്യാമിതിയിൽ ഞങ്ങൾ പ്രശ്നങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നു. ബഹിരാകാശത്ത് നിർമ്മിക്കുന്നതിനുള്ള ഇൻ്ററാക്ടീവ് ജോലികൾ
സോഫ്റ്റ്‌വെയർ എൻവയോൺമെൻ്റ് "1C: മാത്തമാറ്റിക്കൽ കൺസ്ട്രക്റ്റർ 6.1"

ഞങ്ങൾ എന്ത് പഠിക്കും:
1. ത്രികോണമിതി സമവാക്യങ്ങൾ എന്തൊക്കെയാണ്?

3. ത്രികോണമിതി സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിനുള്ള രണ്ട് പ്രധാന രീതികൾ.
4. ഏകതാനമായ ത്രികോണമിതി സമവാക്യങ്ങൾ.
5. ഉദാഹരണങ്ങൾ.

ത്രികോണമിതി സമവാക്യങ്ങൾ എന്തൊക്കെയാണ്?

സുഹൃത്തുക്കളേ, ഞങ്ങൾ ഇതിനകം ആർക്സൈൻ, ആർക്കോസിൻ, ആർക്റ്റാൻജെൻ്റ്, ആർക്കോടാൻജെൻ്റ് എന്നിവ പഠിച്ചിട്ടുണ്ട്. ഇനി നമുക്ക് പൊതുവായ ത്രികോണമിതി സമവാക്യങ്ങൾ നോക്കാം.

ത്രികോണമിതി സമവാക്യങ്ങൾ ഒരു ത്രികോണമിതി ഫംഗ്ഷൻ്റെ ചിഹ്നത്തിന് കീഴിൽ ഒരു വേരിയബിൾ അടങ്ങിയിരിക്കുന്ന സമവാക്യങ്ങളാണ്.

ഏറ്റവും ലളിതമായ ത്രികോണമിതി സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിനുള്ള രൂപം നമുക്ക് ആവർത്തിക്കാം:

1) |a|≤ 1 ആണെങ്കിൽ, cos(x) = a എന്ന സമവാക്യത്തിന് ഒരു പരിഹാരമുണ്ട്:

X= ± ആർക്കോസ്(എ) + 2πk

2) |a|≤ 1 ആണെങ്കിൽ, sin(x) = a എന്ന സമവാക്യത്തിന് ഒരു പരിഹാരമുണ്ട്:

3) എങ്കിൽ |a| > 1, അപ്പോൾ sin(x) = a, cos(x) = a എന്നീ സമവാക്യങ്ങൾക്ക് പരിഹാരമില്ല 4) tg(x)=a എന്ന സമവാക്യത്തിന് ഒരു പരിഹാരമുണ്ട്: x=arctg(a)+ πk

5) ctg(x)=a എന്ന സമവാക്യത്തിന് ഒരു പരിഹാരമുണ്ട്: x=arcctg(a)+ πk

എല്ലാ ഫോർമുലകൾക്കും k ഒരു പൂർണ്ണസംഖ്യയാണ്

ഏറ്റവും ലളിതമായ ത്രികോണമിതി സമവാക്യങ്ങൾക്ക് രൂപമുണ്ട്: T(kx+m)=a, T എന്നത് ചില ത്രികോണമിതി ഫംഗ്‌ഷനാണ്.

സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കുക: a) sin(3x)= √3/2

പരിഹാരം:

എ) നമുക്ക് 3x=t സൂചിപ്പിക്കാം, തുടർന്ന് നമ്മുടെ സമവാക്യം ഈ രൂപത്തിൽ വീണ്ടും എഴുതാം:

ഈ സമവാക്യത്തിൻ്റെ പരിഹാരം ഇതായിരിക്കും: t=((-1)^n)arcsin(√3 /2)+ πn.

മൂല്യങ്ങളുടെ പട്ടികയിൽ നിന്ന് നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നത്: t=((-1)^n)×π/3+ πn.

നമുക്ക് നമ്മുടെ വേരിയബിളിലേക്ക് മടങ്ങാം: 3x =((-1)^n)×π/3+ πn,

അപ്പോൾ x= ((-1)^n)×π/9+ πn/3

ഉത്തരം: x= ((-1)^n)×π/9+ πn/3, ഇവിടെ n ഒരു പൂർണ്ണസംഖ്യയാണ്. (-1)^n – n ൻ്റെ ശക്തിയിൽ നിന്ന് ഒന്ന് മൈനസ് ചെയ്യുക.

ത്രികോണമിതി സമവാക്യങ്ങളുടെ കൂടുതൽ ഉദാഹരണങ്ങൾ.

പരിഹാരം:

എ) ഈ സമയം നമുക്ക് സമവാക്യത്തിൻ്റെ വേരുകൾ ഉടൻ കണക്കാക്കുന്നതിലേക്ക് നേരിട്ട് പോകാം:

X/5= ± ആർക്കോസ്(1) + 2πk. അപ്പോൾ x/5= πk => x=5πk

ഉത്തരം: x=5πk, ഇവിടെ k എന്നത് ഒരു പൂർണ്ണസംഖ്യയാണ്.

ബി) ഞങ്ങൾ ഇത് ഫോമിൽ എഴുതുന്നു: 3x- π/3=arctg(√3)+ πk. നമുക്കറിയാം: ആർക്റ്റാൻ(√3)= π/3

3x- π/3= π/3+ πk => 3x=2π/3 + πk => x=2π/9 + πk/3

ഉത്തരം: x=2π/9 + πk/3, ഇവിടെ k എന്നത് ഒരു പൂർണ്ണസംഖ്യയാണ്.

സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കുക: cos(4x)= √2/2. സെഗ്‌മെൻ്റിലെ എല്ലാ വേരുകളും കണ്ടെത്തുക.

പരിഹാരം:

നമുക്ക് നമ്മുടെ സമവാക്യം പൊതുവായ രൂപത്തിൽ പരിഹരിക്കാം: 4x= ± ആർക്കോസ്(√2/2) + 2πk

4x= ± π/4 + 2πk;

X= ± π/16+ πk/2;

നമ്മുടെ സെഗ്‌മെൻ്റിൽ ഏതൊക്കെ വേരുകളാണ് വീഴുന്നതെന്ന് നോക്കാം. k-ൽ k=0, x= π/16, നമ്മൾ നൽകിയിരിക്കുന്ന സെഗ്‌മെൻ്റിലാണ്.
k=1, x= π/16+ π/2=9π/16 ഉപയോഗിച്ച് ഞങ്ങൾ വീണ്ടും അമർത്തുന്നു.
k=2-ന്, x= π/16+ π=17π/16, എന്നാൽ ഇവിടെ ഞങ്ങൾ അടിച്ചില്ല, അതായത് വലിയ k ന് ഞങ്ങളും അടിക്കില്ല എന്നാണ്.

ഉത്തരം: x= π/16, x= 9π/16

രണ്ട് പ്രധാന പരിഹാര രീതികൾ.

നമുക്ക് സമവാക്യം പരിഹരിക്കാം:

പരിഹാരം:
ഞങ്ങളുടെ സമവാക്യം പരിഹരിക്കുന്നതിന്, ഞങ്ങൾ ഒരു പുതിയ വേരിയബിൾ അവതരിപ്പിക്കുന്ന രീതി ഉപയോഗിക്കും, ഇത് സൂചിപ്പിക്കുന്നത്: t=tg(x).

മാറ്റിസ്ഥാപിച്ചതിൻ്റെ ഫലമായി നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നു: t 2 + 2t -1 = 0

ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യത്തിൻ്റെ വേരുകൾ കണ്ടെത്താം: t=-1, t=1/3

അപ്പോൾ tg(x)=-1, tg(x)=1/3, നമുക്ക് ഏറ്റവും ലളിതമായ ത്രികോണമിതി സമവാക്യം ലഭിക്കും, നമുക്ക് അതിൻ്റെ വേരുകൾ കണ്ടെത്താം.

X=arctg(-1) +πk= -π/4+πk; x=arctg(1/3) + πk.

ഉത്തരം: x= -π/4+πk; x=arctg(1/3) + πk.

ഒരു സമവാക്യം പരിഹരിക്കുന്നതിനുള്ള ഒരു ഉദാഹരണം

സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കുക: 2sin 2 (x) + 3 cos(x) = 0

പരിഹാരം:

നമുക്ക് ഐഡൻ്റിറ്റി ഉപയോഗിക്കാം: sin 2 (x) + cos 2 (x)=1

ഞങ്ങളുടെ സമവാക്യം ഫോം എടുക്കും: 2-2cos 2 (x) + 3 cos (x) = 0

2 cos 2 (x) - 3 cos(x) -2 = 0

t=cos(x): 2t 2 -3t - 2 = 0 മാറ്റിസ്ഥാപിക്കാം.

നമ്മുടെ ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യത്തിനുള്ള പരിഹാരം വേരുകളാണ്: t=2, t=-1/2

അപ്പോൾ cos(x)=2, cos(x)=-1/2.

കാരണം cosine ന് ഒന്നിൽ കൂടുതൽ മൂല്യങ്ങൾ എടുക്കാൻ കഴിയില്ല, അപ്പോൾ cos(x)=2 ന് വേരുകളില്ല.

cos(x)=-1/2: x= ± ആർക്കോസ്(-1/2) + 2πk; x= ±2π/3 + 2πk

ഉത്തരം: x= ±2π/3 + 2πk

ഏകതാനമായ ത്രികോണമിതി സമവാക്യങ്ങൾ.

ഫോമിൻ്റെ സമവാക്യങ്ങൾ

രണ്ടാം ഡിഗ്രിയുടെ ഏകതാനമായ ത്രികോണമിതി സമവാക്യങ്ങൾ.

ഒന്നാം ഡിഗ്രിയുടെ ഒരു ഏകതാനമായ ത്രികോണമിതി സമവാക്യം പരിഹരിക്കുന്നതിന്, അതിനെ cos(x) കൊണ്ട് ഹരിക്കുക: പൂജ്യത്തിന് തുല്യമാണെങ്കിൽ നിങ്ങൾക്ക് കോസൈൻ കൊണ്ട് ഹരിക്കാൻ കഴിയില്ല, ഇത് അങ്ങനെയല്ലെന്ന് ഉറപ്പാക്കാം:
cos(x)=0 എന്നിരിക്കട്ടെ, പിന്നെ asin(x)+0=0 => sin(x)=0, എന്നാൽ സൈനും കോസൈനും ഒരേ സമയം പൂജ്യത്തിന് തുല്യമല്ല, നമുക്ക് ഒരു വൈരുദ്ധ്യം ലഭിക്കും, അതിനാൽ നമുക്ക് സുരക്ഷിതമായി വിഭജിക്കാം പൂജ്യം വഴി.

സമവാക്യം പരിഹരിക്കുക:
ഉദാഹരണം: cos 2 (x) + sin(x) cos(x) = 0

പരിഹാരം:

നമുക്ക് പൊതുവായ ഘടകം എടുക്കാം: cos(x)(c0s(x) + sin (x)) = 0

അപ്പോൾ നമുക്ക് രണ്ട് സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കേണ്ടതുണ്ട്:

Cos(x)=0, cos(x)+sin(x)=0

Cos(x)=0 at x= π/2 + πk;

cos(x)+sin(x)=0 എന്ന സമവാക്യം പരിഗണിക്കുക, നമ്മുടെ സമവാക്യത്തെ cos(x) കൊണ്ട് ഹരിക്കുക:

1+tg(x)=0 => tg(x)=-1 => x=arctg(-1) +πk= -π/4+πk

ഉത്തരം: x= π/2 + πk, x= -π/4+πk

രണ്ടാം ഡിഗ്രിയിലെ ഏകതാനമായ ത്രികോണമിതി സമവാക്യങ്ങൾ എങ്ങനെ പരിഹരിക്കാം?
സുഹൃത്തുക്കളേ, എല്ലായ്പ്പോഴും ഈ നിയമങ്ങൾ പാലിക്കുക!

1. കോ എഫിഷ്യൻ്റ് എ ന് തുല്യമാണെന്ന് കാണുക, a=0 ആണെങ്കിൽ, നമ്മുടെ സമവാക്യം cos(x)(bsin(x)+ccos(x)) എന്ന ഫോം എടുക്കും, അതിൻ്റെ പരിഹാരത്തിൻ്റെ ഒരു ഉദാഹരണം മുമ്പത്തെ സ്ലൈഡിലാണ്.

2. a≠0 ആണെങ്കിൽ, നിങ്ങൾ സമവാക്യത്തിൻ്റെ ഇരുവശങ്ങളെയും കോസൈൻ സ്ക്വയർ കൊണ്ട് ഹരിക്കേണ്ടതുണ്ട്, നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നത്:

ഞങ്ങൾ t=tg(x) വേരിയബിൾ മാറ്റി സമവാക്യം നേടുന്നു:

ഉദാഹരണം നമ്പർ:3 പരിഹരിക്കുക

സമവാക്യത്തിൻ്റെ ഇരുവശങ്ങളും കോസൈൻ ചതുരം കൊണ്ട് ഹരിക്കാം:

ഞങ്ങൾ t=tg(x) വേരിയബിൾ മാറ്റുന്നു: t 2 + 2 t - 3 = 0

ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യത്തിൻ്റെ വേരുകൾ കണ്ടെത്താം: t=-3, t=1

തുടർന്ന്: tg(x)=-3 => x=arctg(-3) + πk=-arctg(3) + πk

Tg(x)=1 => x= π/4+ πk

ഉത്തരം: x=-arctg(3) + πk, x= π/4+ πk

ഉദാഹരണം നമ്പർ:4 പരിഹരിക്കുക

പരിഹാരം:
നമുക്ക് നമ്മുടെ പദപ്രയോഗം രൂപാന്തരപ്പെടുത്താം:

നമുക്ക് അത്തരം സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കാൻ കഴിയും: x= - π/4 + 2πk, x=5π/4 + 2πk

ഉത്തരം: x= - π/4 + 2πk, x=5π/4 + 2πk

ഉദാഹരണം നമ്പർ:5 പരിഹരിക്കുക

പരിഹാരം:
നമുക്ക് നമ്മുടെ പദപ്രയോഗം രൂപാന്തരപ്പെടുത്താം:

നമുക്ക് പകരം tg(2x)=t:2 2 - 5t + 2 = 0 അവതരിപ്പിക്കാം

നമ്മുടെ ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യത്തിനുള്ള പരിഹാരം വേരുകളായിരിക്കും: t=-2, t=1/2

അപ്പോൾ നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നത്: tg(2x)=-2, tg(2x)=1/2
2x=-arctg(2)+ πk => x=-arctg(2)/2 + πk/2

2x= arctg(1/2) + πk => x=arctg(1/2)/2+ πk/2

ഉത്തരം: x=-arctg(2)/2 + πk/2, x=arctg(1/2)/2+ πk/2

സ്വതന്ത്ര പരിഹാരത്തിനുള്ള പ്രശ്നങ്ങൾ.

A) sin(7x)= 1/2 b) cos(3x)= √3/2 c) cos(-x) = -1 d) tg(4x) = √3 d) ctg(0.5x) = -1.7

2) സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കുക: sin(3x)= √3/2. സെഗ്‌മെൻ്റിലെ എല്ലാ വേരുകളും കണ്ടെത്തുക [π/2; π].

3) സമവാക്യം പരിഹരിക്കുക: cot 2 (x) + 2 cot (x) + 1 =0

4) സമവാക്യം പരിഹരിക്കുക: 3 sin 2 (x) + √3sin (x) cos(x) = 0

5) സമവാക്യം പരിഹരിക്കുക: 3sin 2 (3x) + 10 sin(3x)cos(3x) + 3 cos 2 (3x) =0

6) സമവാക്യം പരിഹരിക്കുക: cos 2 (2x) -1 - cos(x) =√3/2 -sin 2 (2x)

നിങ്ങളുടെ പ്രശ്നത്തിന് വിശദമായ ഒരു പരിഹാരം നിങ്ങൾക്ക് ഓർഡർ ചെയ്യാം!!!

ഒരു ത്രികോണമിതി ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ (`sin x, cos x, tan x` അല്ലെങ്കിൽ `ctg x`) ചിഹ്നത്തിന് കീഴിൽ അജ്ഞാതമായ ഒരു സമത്വത്തെ ഒരു ത്രികോണമിതി സമവാക്യം എന്ന് വിളിക്കുന്നു, അവയുടെ സൂത്രവാക്യങ്ങളാണ് ഞങ്ങൾ കൂടുതൽ പരിഗണിക്കുന്നത്.

`sin x=a, cos x=a, tg x=a, ctg x=a` എന്നിവയാണ് ഏറ്റവും ലളിതമായ സമവാക്യങ്ങൾ, ഇവിടെ `x` എന്നത് കണ്ടെത്തേണ്ട കോണാണ്, `a` എന്നത് ഏതെങ്കിലും സംഖ്യയാണ്. അവയിൽ ഓരോന്നിൻ്റെയും റൂട്ട് ഫോർമുലകൾ നമുക്ക് എഴുതാം.

1. സമവാക്യം `sin x=a`.

`|a|>1` എന്നതിന് പരിഹാരങ്ങളൊന്നുമില്ല.

എപ്പോൾ `|എ| \leq 1` ന് അനന്തമായ പരിഹാരങ്ങളുണ്ട്.

റൂട്ട് ഫോർമുല: `x=(-1)^n arcsin a + \pi n, n \in Z`

2. സമവാക്യം `cos x=a`

`|a|>1`-ന് - സൈനിൻ്റെ കാര്യത്തിലെന്നപോലെ, ഇതിന് യഥാർത്ഥ സംഖ്യകൾക്കിടയിൽ പരിഹാരങ്ങളൊന്നുമില്ല.

എപ്പോൾ `|എ| \leq 1` ന് അനന്തമായ പരിഹാരങ്ങളുണ്ട്.

റൂട്ട് ഫോർമുല: `x=\pm ആർക്കോസ് a + 2\pi n, n \in Z`

ഗ്രാഫുകളിൽ സൈൻ, കോസൈൻ എന്നിവയ്ക്കുള്ള പ്രത്യേക കേസുകൾ.

3. സമവാക്യം `tg x=a`

`a` യുടെ ഏതെങ്കിലും മൂല്യങ്ങൾക്കായി അനന്തമായ പരിഹാരങ്ങൾ ഉണ്ട്.

റൂട്ട് ഫോർമുല: `x=arctg a + \pi n, n \in Z`

4. സമവാക്യം `ctg x=a`

`a` ൻ്റെ ഏതെങ്കിലും മൂല്യങ്ങൾക്കായി അനന്തമായ പരിഹാരങ്ങളും ഉണ്ട്.

റൂട്ട് ഫോർമുല: `x=arcctg a + \pi n, n \in Z`

പട്ടികയിലെ ത്രികോണമിതി സമവാക്യങ്ങളുടെ വേരുകൾക്കായുള്ള സൂത്രവാക്യങ്ങൾ

സൈനിനായി:
കോസൈനിനായി:
ടാൻജെൻ്റിനും കോട്ടാൻജെൻ്റിനും:
വിപരീത ത്രികോണമിതി പ്രവർത്തനങ്ങൾ അടങ്ങിയ സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിനുള്ള സൂത്രവാക്യങ്ങൾ:

ത്രികോണമിതി സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിനുള്ള രീതികൾ

ഏതെങ്കിലും ത്രികോണമിതി സമവാക്യം പരിഹരിക്കുന്നത് രണ്ട് ഘട്ടങ്ങൾ ഉൾക്കൊള്ളുന്നു:

• ഏറ്റവും ലളിതമായി രൂപാന്തരപ്പെടുത്തുന്നതിൻ്റെ സഹായത്തോടെ;
• മുകളിൽ എഴുതിയ റൂട്ട് ഫോർമുലകളും പട്ടികകളും ഉപയോഗിച്ച് ലഭിച്ച ഏറ്റവും ലളിതമായ സമവാക്യം പരിഹരിക്കുക.

ഉദാഹരണങ്ങൾ ഉപയോഗിച്ച് പ്രധാന പരിഹാര രീതികൾ നോക്കാം.

ബീജഗണിത രീതി.

ഈ രീതി ഒരു വേരിയബിളിനെ മാറ്റി പകരം സമത്വത്തിലേക്ക് മാറ്റുന്നത് ഉൾപ്പെടുന്നു.

ഉദാഹരണം. സമവാക്യം പരിഹരിക്കുക: `2cos^2(x+\frac \pi 6)-3sin(\frac \pi 3 - x)+1=0`

`2cos^2(x+\frac \pi 6)-3cos(x+\frac \pi 6)+1=0`,

ഒരു പകരം വെക്കുക: `cos(x+\frac \pi 6)=y`, തുടർന്ന് `2y^2-3y+1=0`,

ഞങ്ങൾ വേരുകൾ കണ്ടെത്തുന്നു: `y_1=1, y_2=1/2`, അതിൽ നിന്ന് രണ്ട് കേസുകൾ പിന്തുടരുന്നു:

1. `cos(x+\frac \pi 6)=1`, `x+\frac \pi 6=2\pi n`, `x_1=-\frac \pi 6+2\pi n`.

2. `cos(x+\frac \pi 6)=1/2`, `x+\frac \pi 6=\pm ആർക്കോസ് 1/2+2\pi n`, `x_2=\pm \frac \pi 3- \frac \pi 6+2\pi n`.

ഉത്തരം: `x_1=-\frac \pi 6+2\pi n`, `x_2=\pm \frac \pi 3-\frac \pi 6+2\pi n`.

ഫാക്‌ടറൈസേഷൻ.

ഉദാഹരണം. സമവാക്യം പരിഹരിക്കുക: `sin x+cos x=1`.

പരിഹാരം. സമത്വത്തിൻ്റെ എല്ലാ നിബന്ധനകളും ഇടത്തേക്ക് നീക്കാം: `sin x+cos x-1=0`. ഉപയോഗിച്ച്, ഞങ്ങൾ ഇടത് വശം രൂപാന്തരപ്പെടുത്തുകയും ഫാക്‌ടറൈസ് ചെയ്യുകയും ചെയ്യുന്നു:

`sin x — 2sin^2 x/2=0`,

`2sin x/2 cos x/2-2sin^2 x/2=0`,

`2sin x/2 (cos x/2-sin x/2)=0`,

1. `sin x/2 =0`, `x/2 =\pi n`, `x_1=2\pi n`.
2. `cos x/2-sin x/2=0`, `tg x/2=1`, `x/2=arctg 1+ \pi n`, `x/2=\pi/4+ \pi n` , `x_2=\pi/2+ 2\pi n`.

ഉത്തരം: `x_1=2\pi n`, `x_2=\pi/2+ 2\pi n`.

ഒരു ഏകീകൃത സമവാക്യത്തിലേക്കുള്ള കുറയ്ക്കൽ

ആദ്യം, നിങ്ങൾ ഈ ത്രികോണമിതി സമവാക്യം രണ്ട് രൂപങ്ങളിൽ ഒന്നായി കുറയ്ക്കേണ്ടതുണ്ട്:

`a sin x+b cos x=0` (ഒന്നാം ഡിഗ്രിയുടെ ഏകതാനമായ സമവാക്യം) അല്ലെങ്കിൽ `a sin^2 x + b sin x cos x +c cos^2 x=0` (രണ്ടാം ഡിഗ്രിയുടെ ഏകതാനമായ സമവാക്യം).

തുടർന്ന് രണ്ട് ഭാഗങ്ങളെയും ആദ്യ കേസിന് `cos x \ne 0` കൊണ്ടും രണ്ടാമത്തേതിന് `cos^2 x \ne 0` കൊണ്ടും ഹരിക്കുക. `tg x` എന്നതിനായുള്ള സമവാക്യങ്ങൾ നമുക്ക് ലഭിക്കും: `a tg x+b=0`, `a tg^2 x + b tg x +c =0`, അവ അറിയപ്പെടുന്ന രീതികൾ ഉപയോഗിച്ച് പരിഹരിക്കേണ്ടതുണ്ട്.

ഉദാഹരണം. സമവാക്യം പരിഹരിക്കുക: `2 sin^2 x+sin x cos x - cos^2 x=1`.

പരിഹാരം. വലതുവശത്ത് `1=sin^2 x+cos^2 x` എന്ന് എഴുതാം:

`2 sin^2 x+sin x cos x — cos^2 x=` `sin^2 x+cos^2 x`,

`2 sin^2 x+sin x cos x — cos^2 x -` ` sin^2 x — cos^2 x=0`

`sin^2 x+sin x cos x — 2 cos^2 x=0`.

ഇത് രണ്ടാം ഡിഗ്രിയുടെ ഒരു ഏകീകൃത ത്രികോണമിതി സമവാക്യമാണ്, നമ്മൾ അതിൻ്റെ ഇടത്, വലത് വശങ്ങളെ `cos^2 x \ne 0` കൊണ്ട് ഹരിച്ചാൽ നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നത്:

`\frac (sin^2 x)(cos^2 x)+\frac(sin x cos x)(cos^2 x) — \frac(2 cos^2 x)(cos^2 x)=0`

`tg^2 x+tg x — 2=0`. പകരം `tg x=t` അവതരിപ്പിക്കാം, അതിൻ്റെ ഫലമായി `t^2 + t - 2=0`. ഈ സമവാക്യത്തിൻ്റെ വേരുകൾ `t_1=-2`, `t_2=1` എന്നിവയാണ്. അപ്പോൾ:

1. `tg x=-2`, `x_1=arctg (-2)+\pi n`, `n \in Z`
2. `tg x=1`, `x=arctg 1+\pi n`, `x_2=\pi/4+\pi n`, ` n \in Z`.

ഉത്തരം. `x_1=arctg (-2)+\pi n`, `n \in Z`, `x_2=\pi/4+\pi n`, `n \in Z`.

ഹാഫ് ആംഗിളിലേക്ക് നീങ്ങുന്നു

ഉദാഹരണം. സമവാക്യം പരിഹരിക്കുക: `11 sin x - 2 cos x = 10`.

പരിഹാരം. നമുക്ക് ഇരട്ട ആംഗിൾ ഫോർമുലകൾ പ്രയോഗിക്കാം, ഫലമായി: `22 sin (x/2) cos (x/2) -` `2 cos^2 x/2 + 2 sin^2 x/2=` `10 sin^2 x /2 +10 കോസ്^2 x/2`

`4 tg^2 x/2 — 11 tg x/2 +6=0`

മുകളിൽ വിവരിച്ച ബീജഗണിത രീതി പ്രയോഗിക്കുമ്പോൾ, നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നത്:

1. `tg x/2=2`, `x_1=2 arctg 2+2\pi n`, `n \in Z`,
2. `tg x/2=3/4`, `x_2=arctg 3/4+2\pi n`, `n \in Z`.

ഉത്തരം. `x_1=2 arctg 2+2\pi n, n \in Z`, `x_2=arctg 3/4+2\pi n`, `n \in Z`.

സഹായ കോണിൻ്റെ ആമുഖം

ത്രികോണമിതി സമവാക്യത്തിൽ `a sin x + b cos x =c`, ഇവിടെ a,b,c ഗുണകങ്ങളും x ഒരു വേരിയബിളും ആണ്, ഇരുവശങ്ങളെയും `sqrt (a^2+b^2)` കൊണ്ട് ഹരിക്കുക:

`\frac a(sqrt (a^2+b^2)) sin x +` `\frac b(sqrt (a^2+b^2)) cos x =` `\frac c(sqrt (a^2) ) +b^2))`.

ഇടതുവശത്തുള്ള ഗുണകങ്ങൾക്ക് സൈൻ, കോസൈൻ എന്നിവയുടെ ഗുണങ്ങളുണ്ട്, അതായത് അവയുടെ ചതുരങ്ങളുടെ ആകെത്തുക 1 ന് തുല്യമാണ്, അവയുടെ മൊഡ്യൂളുകൾ 1-ൽ കൂടുതലല്ല. നമുക്ക് അവയെ ഇനിപ്പറയുന്ന രീതിയിൽ സൂചിപ്പിക്കാം: `\frac a(sqrt (a^2 +b^2))=cos \varphi` , ` \frac b(sqrt (a^2+b^2)) =sin \varphi`, `\frac c(sqrt (a^2+b^2)) =C`, തുടർന്ന്:

`cos \varphi sin x + sin \varphi cos x =C`.

ഇനിപ്പറയുന്ന ഉദാഹരണം നമുക്ക് സൂക്ഷ്മമായി പരിശോധിക്കാം:

ഉദാഹരണം. സമവാക്യം പരിഹരിക്കുക: `3 sin x+4 cos x=2`.

പരിഹാരം. തുല്യതയുടെ ഇരുവശങ്ങളെയും `sqrt (3^2+4^2)` ​​കൊണ്ട് ഹരിക്കുക, നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നത്:

`\frac (3 sin x) (sqrt (3^2+4^2))+``\frac(4 cos x)(sqrt (3^2+4^2))=` `\frac 2(sqrt (3^2+4^2))`

`3/5 sin x+4/5 cos x=2/5`.

`3/5 = cos \varphi` , `4/5= sin \varphi` സൂചിപ്പിക്കാം. `sin \varphi>0`, `cos \varphi>0` എന്നതിനാൽ, ഞങ്ങൾ `\varphi=arcsin 4/5` ഒരു സഹായ കോണായി എടുക്കുന്നു. തുടർന്ന് ഞങ്ങൾ നമ്മുടെ സമത്വം രൂപത്തിൽ എഴുതുന്നു:

`cos \varphi sin x+sin \varphi cos x=2/5`

സൈനിൻ്റെ കോണുകളുടെ ആകെത്തുകയ്ക്കുള്ള സൂത്രവാക്യം പ്രയോഗിച്ച്, ഇനിപ്പറയുന്ന രൂപത്തിൽ ഞങ്ങൾ സമത്വം എഴുതുന്നു:

`sin (x+\varphi)=2/5`,

`x+\varphi=(-1)^n arcsin 2/5+ \pi n`, `n \in Z`,

`x=(-1)^n arcsin 2/5-` `arcsin 4/5+ \pi n`, `n \in Z`.

ഉത്തരം. `x=(-1)^n arcsin 2/5-` `arcsin 4/5+ \pi n`, `n \in Z`.

ഫ്രാക്ഷണൽ റേഷണൽ ത്രികോണമിതി സമവാക്യങ്ങൾ

ന്യൂമറേറ്ററുകളും ഡിനോമിനേറ്ററുകളും ത്രികോണമിതി പ്രവർത്തനങ്ങൾ ഉൾക്കൊള്ളുന്ന ഭിന്നസംഖ്യകളുമായുള്ള തുല്യതകളാണ് ഇവ.

ഉദാഹരണം. സമവാക്യം പരിഹരിക്കുക. `\frac (sin x)(1+cos x)=1-cos x`.

പരിഹാരം. തുല്യതയുടെ വലതുഭാഗത്തെ `(1+cos x)` കൊണ്ട് ഗുണിച്ച് ഹരിക്കുക. ഫലമായി നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നത്:

`\frac (sin x)(1+cos x)=``\frac ((1-cos x)(1+cos x))(1+cos x)`

`\frac (sin x)(1+cos x)=``\frac (1-cos^2 x)(1+cos x)`

`\frac (sin x)(1+cos x)=``\frac (sin^2 x)(1+cos x)`

`\frac (sin x)(1+cos x)-``\frac (sin^2 x)(1+cos x)=0`

`\frac (sin x-sin^2 x)(1+cos x)=0`

ഡിനോമിനേറ്റർ പൂജ്യത്തിന് തുല്യമാകാൻ കഴിയില്ല എന്നത് കണക്കിലെടുക്കുമ്പോൾ, നമുക്ക് `1+cos x \ne 0`, `cos x \ne -1`, ` x \ne \pi+2\pi n, n \in Z` എന്നിവ ലഭിക്കും.

ഭിന്നസംഖ്യയുടെ ന്യൂമറേറ്ററിനെ നമുക്ക് പൂജ്യമായി കണക്കാക്കാം: `sin x-sin^2 x=0`, `sin x(1-sin x)=0`. തുടർന്ന് `sin x=0` അല്ലെങ്കിൽ `1-sin x=0`.

1. `sin x=0`, `x=\pi n`, `n \in Z`
2. `1-sin x=0`, `sin x=-1`, `x=\pi /2+2\pi n, n \in Z`.

` x \ne \pi+2\pi n, n \in Z` എന്നത് നൽകിയാൽ, പരിഹാരങ്ങൾ `x=2\pi n, n \in Z`, `x=\pi /2+2\pi n` എന്നിവയാണ്. , `n \in Z`.

ഉത്തരം. `x=2\pi n`, `n \in Z`, `x=\pi /2+2\pi n`, `n \in Z`.

ത്രികോണമിതിയും പ്രത്യേകിച്ച് ത്രികോണമിതി സമവാക്യങ്ങളും ജ്യാമിതി, ഭൗതികശാസ്ത്രം, എഞ്ചിനീയറിംഗ് എന്നിവയുടെ മിക്കവാറും എല്ലാ മേഖലകളിലും ഉപയോഗിക്കുന്നു. പത്താം ക്ലാസ്സിൽ പഠനം ആരംഭിക്കുന്നു, ഏകീകൃത സംസ്ഥാന പരീക്ഷയ്ക്ക് എല്ലായ്പ്പോഴും ജോലികൾ ഉണ്ട്, അതിനാൽ ത്രികോണമിതി സമവാക്യങ്ങളുടെ എല്ലാ സൂത്രവാക്യങ്ങളും ഓർമ്മിക്കാൻ ശ്രമിക്കുക - അവ തീർച്ചയായും നിങ്ങൾക്ക് ഉപയോഗപ്രദമാകും!

എന്നിരുന്നാലും, നിങ്ങൾ അവ മനഃപാഠമാക്കേണ്ട ആവശ്യമില്ല, പ്രധാന കാര്യം സാരാംശം മനസിലാക്കുകയും അത് ഉരുത്തിരിഞ്ഞ് നേടുകയും ചെയ്യുക എന്നതാണ്. അത് തോന്നുന്നത്ര ബുദ്ധിമുട്ടുള്ള കാര്യമല്ല. വീഡിയോ കണ്ടുകൊണ്ട് സ്വയം കാണുക.

ത്രികോണമിതിയുടെ അടിസ്ഥാന സൂത്രവാക്യങ്ങളെക്കുറിച്ചുള്ള അറിവ് ആവശ്യമാണ് - സൈൻ, കോസൈൻ എന്നിവയുടെ സ്ക്വയറുകളുടെ ആകെത്തുക, സൈൻ, കോസൈൻ എന്നിവയിലൂടെയുള്ള സ്പർശനത്തിൻ്റെ പ്രകടനവും മറ്റുള്ളവയും. അവരെ മറന്നുപോയവർ അല്ലെങ്കിൽ അവരെ അറിയാത്തവർക്കായി, "" എന്ന ലേഖനം വായിക്കാൻ ഞങ്ങൾ ശുപാർശ ചെയ്യുന്നു.
അതിനാൽ, അടിസ്ഥാന ത്രികോണമിതി സൂത്രവാക്യങ്ങൾ ഞങ്ങൾക്കറിയാം, അവ പ്രായോഗികമായി ഉപയോഗിക്കേണ്ട സമയമാണിത്. ത്രികോണമിതി സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നുശരിയായ സമീപനത്തിലൂടെ, ഇത് വളരെ ആവേശകരമായ ഒരു പ്രവർത്തനമാണ്, ഉദാഹരണത്തിന്, ഒരു റൂബിക്സ് ക്യൂബ് പരിഹരിക്കുന്നത്.

പേരിനെ അടിസ്ഥാനമാക്കി, ത്രികോണമിതി സമവാക്യം ഒരു സമവാക്യമാണ്, അതിൽ അജ്ഞാതമായത് ത്രികോണമിതി പ്രവർത്തനത്തിൻ്റെ ചിഹ്നത്തിന് കീഴിലാണ്.
ഏറ്റവും ലളിതമായ ത്രികോണമിതി സമവാക്യങ്ങൾ എന്ന് വിളിക്കപ്പെടുന്നു. അവ എങ്ങനെ കാണപ്പെടുന്നുവെന്നത് ഇതാ: sinx = a, cos x = a, tan x = a. നമുക്ക് പരിഗണിക്കാം അത്തരം ത്രികോണമിതി സമവാക്യങ്ങൾ എങ്ങനെ പരിഹരിക്കാംവ്യക്തതയ്ക്കായി ഞങ്ങൾ ഇതിനകം പരിചിതമായ ത്രികോണമിതി സർക്കിൾ ഉപയോഗിക്കും.

sinx = a

cos x = a

ടാൻ x = എ

കട്ടിൽ x = a

ഏതൊരു ത്രികോണമിതി സമവാക്യവും രണ്ട് ഘട്ടങ്ങളിലായാണ് പരിഹരിക്കപ്പെടുന്നത്: ഞങ്ങൾ സമവാക്യത്തെ അതിൻ്റെ ഏറ്റവും ലളിതമായ രൂപത്തിലേക്ക് ചുരുക്കുകയും തുടർന്ന് അതിനെ ഒരു ലളിതമായ ത്രികോണമിതി സമവാക്യമായി പരിഹരിക്കുകയും ചെയ്യുന്നു.
ത്രികോണമിതി സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്ന 7 പ്രധാന രീതികളുണ്ട്.

1. വേരിയബിൾ സബ്സ്റ്റിറ്റ്യൂഷൻ ആൻഡ് സബ്സ്റ്റിറ്റ്യൂഷൻ രീതി

2cos 2 (x + /6) – 3sin(/3 – x) +1 = 0 എന്ന സമവാക്യം പരിഹരിക്കുക

റിഡക്ഷൻ ഫോർമുലകൾ ഉപയോഗിച്ച് നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നത്:

2cos 2 (x + /6) – 3cos(x + /6) +1 = 0

ലളിതമാക്കാനും സാധാരണ ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യം നേടാനും cos(x + /6) y ഉപയോഗിച്ച് മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുക:

2y 2 - 3y + 1 + 0

y 1 = 1, y 2 = 1/2 എന്നിവയാണ് ഇതിൻ്റെ വേരുകൾ

ഇനി നമുക്ക് വിപരീത ക്രമത്തിൽ പോകാം

y യുടെ കണ്ടെത്തിയ മൂല്യങ്ങൾ ഞങ്ങൾ മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുകയും രണ്ട് ഉത്തര ഓപ്ഷനുകൾ നേടുകയും ചെയ്യുന്നു:

2. ഘടകവൽക്കരണത്തിലൂടെ ത്രികോണമിതി സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നു

sin x + cos x = 1 എന്ന സമവാക്യം എങ്ങനെ പരിഹരിക്കാം?

നമുക്ക് എല്ലാം ഇടത്തേക്ക് നീക്കാം, അങ്ങനെ 0 വലതുവശത്ത് നിലനിൽക്കും:

sin x + cos x – 1 = 0

സമവാക്യം ലളിതമാക്കാൻ മുകളിൽ ചർച്ച ചെയ്ത ഐഡൻ്റിറ്റികൾ നമുക്ക് ഉപയോഗിക്കാം:

sin x - 2 sin 2 (x/2) = 0

നമുക്ക് ഫാക്‌ടറൈസ് ചെയ്യാം:

2sin(x/2) * cos(x/2) - 2 sin 2 (x/2) = 0

2sin(x/2) * = 0

നമുക്ക് രണ്ട് സമവാക്യങ്ങൾ ലഭിക്കും

3. ഒരു ഏകീകൃത സമവാക്യത്തിലേക്കുള്ള കുറയ്ക്കൽ

ഒരു സമവാക്യം സൈൻ, കോസൈൻ എന്നിവയുമായി ബന്ധപ്പെട്ട് ഏകതാനമാണ്, അതിൻ്റെ എല്ലാ നിബന്ധനകളും ഒരേ കോണിൻ്റെ ഒരേ ശക്തിയുടെ സൈനും കോസൈനും ആപേക്ഷികമാണെങ്കിൽ. ഒരു ഏകീകൃത സമവാക്യം പരിഹരിക്കുന്നതിന്, ഇനിപ്പറയുന്ന രീതിയിൽ തുടരുക:

a) അതിൻ്റെ എല്ലാ അംഗങ്ങളും ഇടതുവശത്തേക്ക് മാറ്റുക;

b) ബ്രാക്കറ്റിൽ നിന്ന് എല്ലാ പൊതു ഘടകങ്ങളും എടുക്കുക;

സി) എല്ലാ ഘടകങ്ങളും ബ്രാക്കറ്റുകളും 0 ലേക്ക് തുല്യമാക്കുക;

d) താഴ്ന്ന ഡിഗ്രിയുടെ ഒരു ഏകീകൃത സമവാക്യം ബ്രാക്കറ്റുകളിൽ ലഭിക്കും, അത് ഉയർന്ന ഡിഗ്രിയുടെ ഒരു സൈൻ അല്ലെങ്കിൽ കോസൈൻ ആയി തിരിച്ചിരിക്കുന്നു;

e) tg യുടെ ഫലമായുണ്ടാകുന്ന സമവാക്യം പരിഹരിക്കുക.

3sin 2 x + 4 sin x cos x + 5 cos 2 x = 2 എന്ന സമവാക്യം പരിഹരിക്കുക

നമുക്ക് sin 2 x + cos 2 x = 1 എന്ന ഫോർമുല ഉപയോഗിക്കുകയും വലതുവശത്തുള്ള തുറന്ന രണ്ട് ഒഴിവാക്കുകയും ചെയ്യാം:

3sin 2 x + 4 sin x cos x + 5 cos x = 2sin 2 x + 2cos 2 x

sin 2 x + 4 sin x cos x + 3 cos 2 x = 0

cos x കൊണ്ട് ഹരിക്കുക:

tg 2 x + 4 tg x + 3 = 0

tan x മാറ്റി y ഉപയോഗിച്ച് ഒരു ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യം നേടുക:

y 2 + 4y +3 = 0, അതിൻ്റെ വേരുകൾ y 1 =1, y 2 = 3

ഇവിടെ നിന്ന് നമ്മൾ യഥാർത്ഥ സമവാക്യത്തിന് രണ്ട് പരിഹാരങ്ങൾ കണ്ടെത്തുന്നു:

x 2 = ആർക്റ്റാൻ 3 + കെ

4. പകുതി കോണിലേക്കുള്ള പരിവർത്തനത്തിലൂടെ സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നു

3sin x – 5cos x = 7 എന്ന സമവാക്യം പരിഹരിക്കുക

നമുക്ക് x/2 ലേക്ക് പോകാം:

6sin(x/2) * cos(x/2) – 5cos 2 (x/2) + 5sin 2 (x/2) = 7sin 2 (x/2) + 7cos 2 (x/2)

നമുക്ക് എല്ലാം ഇടത്തേക്ക് നീക്കാം:

2sin 2 (x/2) – 6sin(x/2) * cos(x/2) + 12cos 2 (x/2) = 0

cos(x/2) കൊണ്ട് ഹരിക്കുക:

tg 2 (x/2) - 3tg(x/2) + 6 = 0

5. സഹായ കോണിൻ്റെ ആമുഖം

പരിഗണനയ്ക്കായി, ഫോമിൻ്റെ ഒരു സമവാക്യം എടുക്കാം: a sin x + b cos x = c,

ഇവിടെ a, b, c എന്നിവ ചില അനിയന്ത്രിതമായ ഗുണകങ്ങളാണ്, x എന്നത് ഒരു അജ്ഞാതമാണ്.

സമവാക്യത്തിൻ്റെ രണ്ട് വശങ്ങളും നമുക്ക് വിഭജിക്കാം:



ഇപ്പോൾ സമവാക്യത്തിൻ്റെ ഗുണകങ്ങൾക്ക്, ത്രികോണമിതി സൂത്രവാക്യങ്ങൾ അനുസരിച്ച്, sin, cos എന്നീ ഗുണങ്ങളുണ്ട്, അതായത്: അവയുടെ മോഡുലസ് 1-ൽ കൂടുതലല്ല, സമചതുരങ്ങളുടെ ആകെത്തുക = 1. നമുക്ക് അവയെ യഥാക്രമം cos, sin എന്നിങ്ങനെ സൂചിപ്പിക്കാം, എവിടെയാണ് - ഇത് ഓക്സിലറി ആംഗിൾ എന്ന് വിളിക്കപ്പെടുന്നവ. അപ്പോൾ സമവാക്യം ഫോം എടുക്കും:

cos * sin x + sin * cos x = C

അല്ലെങ്കിൽ sin(x + ) = C

ഈ ലളിതമായ ത്രികോണമിതി സമവാക്യത്തിനുള്ള പരിഹാരം ഇതാണ്

x = (-1) k * arcsin C - + k, എവിടെ



കോസ്, സിൻ എന്നീ നൊട്ടേഷനുകൾ പരസ്പരം മാറ്റാവുന്നതാണെന്ന കാര്യം ശ്രദ്ധിക്കേണ്ടതാണ്.

sin 3x – cos 3x = 1 എന്ന സമവാക്യം പരിഹരിക്കുക

ഈ സമവാക്യത്തിലെ ഗുണകങ്ങൾ ഇവയാണ്:

a = , b = -1, അതിനാൽ ഇരുവശങ്ങളെയും = 2 കൊണ്ട് ഹരിക്കുക

പലതും പരിഹരിക്കുമ്പോൾ ഗണിത പ്രശ്നങ്ങൾ, പ്രത്യേകിച്ച് ഗ്രേഡ് 10 ന് മുമ്പ് സംഭവിക്കുന്നവ, ലക്ഷ്യത്തിലേക്ക് നയിക്കുന്ന പ്രവർത്തനങ്ങളുടെ ക്രമം വ്യക്തമായി നിർവചിച്ചിരിക്കുന്നു. ഉദാഹരണത്തിന്, ലീനിയർ, ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യങ്ങൾ, ലീനിയർ, ക്വാഡ്രാറ്റിക് അസമത്വങ്ങൾ, ഫ്രാക്ഷണൽ സമവാക്യങ്ങൾ, ചതുരാകൃതിയിലുള്ളവയിലേക്ക് കുറയ്ക്കുന്ന സമവാക്യങ്ങൾ എന്നിവ അത്തരം പ്രശ്നങ്ങളിൽ ഉൾപ്പെടുന്നു. സൂചിപ്പിച്ച ഓരോ പ്രശ്നങ്ങളും വിജയകരമായി പരിഹരിക്കുന്നതിനുള്ള തത്വം ഇപ്രകാരമാണ്: നിങ്ങൾ ഏത് തരത്തിലുള്ള പ്രശ്നമാണ് പരിഹരിക്കുന്നതെന്ന് സ്ഥാപിക്കേണ്ടതുണ്ട്, ആവശ്യമുള്ള ഫലത്തിലേക്ക് നയിക്കുന്ന പ്രവർത്തനങ്ങളുടെ ആവശ്യമായ ക്രമം ഓർക്കുക, അതായത്. ഉത്തരം നൽകി ഈ ഘട്ടങ്ങൾ പാലിക്കുക.

ഒരു പ്രത്യേക പ്രശ്നം പരിഹരിക്കുന്നതിലെ വിജയവും പരാജയവും പ്രധാനമായും പരിഹരിക്കപ്പെടുന്ന സമവാക്യത്തിൻ്റെ തരം എത്ര കൃത്യമായി നിർണ്ണയിക്കപ്പെടുന്നു, അതിൻ്റെ പരിഹാരത്തിൻ്റെ എല്ലാ ഘട്ടങ്ങളുടെയും ക്രമം എത്ര കൃത്യമായി പുനർനിർമ്മിക്കുന്നു എന്നതിനെ ആശ്രയിച്ചിരിക്കുന്നു എന്നത് വ്യക്തമാണ്. തീർച്ചയായും, ഈ സാഹചര്യത്തിൽ സമാനമായ പരിവർത്തനങ്ങളും കണക്കുകൂട്ടലുകളും നടത്താനുള്ള കഴിവുകൾ ഉണ്ടായിരിക്കേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്.

കൂടെ സ്ഥിതി വ്യത്യസ്തമാണ് ത്രികോണമിതി സമവാക്യങ്ങൾ.സമവാക്യം ത്രികോണമിതിയാണെന്ന വസ്തുത സ്ഥാപിക്കുന്നത് ഒട്ടും ബുദ്ധിമുട്ടുള്ള കാര്യമല്ല. ശരിയായ ഉത്തരത്തിലേക്ക് നയിക്കുന്ന പ്രവർത്തനങ്ങളുടെ ക്രമം നിർണ്ണയിക്കുമ്പോൾ ബുദ്ധിമുട്ടുകൾ ഉണ്ടാകുന്നു.

ഒരു സമവാക്യത്തിൻ്റെ രൂപത്തെ അടിസ്ഥാനമാക്കി അതിൻ്റെ തരം നിർണ്ണയിക്കാൻ ചിലപ്പോൾ ബുദ്ധിമുട്ടാണ്. സമവാക്യത്തിൻ്റെ തരം അറിയാതെ, നിരവധി ഡസൻ ത്രികോണമിതി സൂത്രവാക്യങ്ങളിൽ നിന്ന് ശരിയായത് തിരഞ്ഞെടുക്കുന്നത് മിക്കവാറും അസാധ്യമാണ്.

ഒരു ത്രികോണമിതി സമവാക്യം പരിഹരിക്കുന്നതിന്, നിങ്ങൾ ശ്രമിക്കേണ്ടതുണ്ട്:

1. സമവാക്യത്തിൽ ഉൾപ്പെടുത്തിയിരിക്കുന്ന എല്ലാ പ്രവർത്തനങ്ങളും "ഒരേ കോണുകളിലേക്ക്" കൊണ്ടുവരിക;
2. സമവാക്യം "സമാനമായ ഫംഗ്ഷനുകളിലേക്ക്" കൊണ്ടുവരിക;
3. സമവാക്യത്തിൻ്റെ ഇടതുവശത്തെ ഘടകം, മുതലായവ.

നമുക്ക് പരിഗണിക്കാം ത്രികോണമിതി സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിനുള്ള അടിസ്ഥാന രീതികൾ.

I. ഏറ്റവും ലളിതമായ ത്രികോണമിതി സമവാക്യങ്ങളിലേക്കുള്ള കുറവ്

പരിഹാര ഡയഗ്രം

ഘട്ടം 1.അറിയപ്പെടുന്ന ഘടകങ്ങളുടെ അടിസ്ഥാനത്തിൽ ഒരു ത്രികോണമിതി പ്രവർത്തനം പ്രകടിപ്പിക്കുക.

ഘട്ടം 2.സൂത്രവാക്യങ്ങൾ ഉപയോഗിച്ച് ഫംഗ്ഷൻ ആർഗ്യുമെൻ്റ് കണ്ടെത്തുക:

cos x = a; x = ± arccos a + 2πn, n ЄZ.

sin x = a; x = (-1) n arcsin a + πn, n Є Z.

ടാൻ x = a; x = ആർക്റ്റാൻ a + πn, n Є Z.

ctg x = a; x = arcctg a + πn, n Є Z.

ഘട്ടം 3.അജ്ഞാത വേരിയബിൾ കണ്ടെത്തുക.

ഉദാഹരണം.

2 cos(3x – π/4) = -√2.

പരിഹാരം.

1) cos(3x – π/4) = -√2/2.

2) 3x - π/4 = ±(π - π/4) + 2πn, n Є Z;

3x – π/4 = ±3π/4 + 2πn, n Є Z.

3) 3x = ±3π/4 + π/4 + 2πn, n Є Z;

x = ±3π/12 + π/12 + 2πn/3, n Є Z;

x = ±π/4 + π/12 + 2πn/3, n Є Z.

ഉത്തരം: ±π/4 + π/12 + 2πn/3, n Є Z.

II. വേരിയബിൾ മാറ്റിസ്ഥാപിക്കൽ

പരിഹാര ഡയഗ്രം

ഘട്ടം 1.ഒരു ത്രികോണമിതി ഫംഗ്ഷനുമായി ബന്ധപ്പെട്ട് സമവാക്യം ബീജഗണിത രൂപത്തിലേക്ക് കുറയ്ക്കുക.

ഘട്ടം 2.തത്ഫലമായുണ്ടാകുന്ന ഫംഗ്‌ഷൻ t എന്ന വേരിയബിൾ ഉപയോഗിച്ച് സൂചിപ്പിക്കുക (ആവശ്യമെങ്കിൽ, t-യിൽ നിയന്ത്രണങ്ങൾ അവതരിപ്പിക്കുക).

ഘട്ടം 3.തത്ഫലമായുണ്ടാകുന്ന ബീജഗണിത സമവാക്യം എഴുതി പരിഹരിക്കുക.

ഘട്ടം 4.ഒരു റിവേഴ്സ് റീപ്ലേസ്മെൻ്റ് ഉണ്ടാക്കുക.

ഘട്ടം 5.ഏറ്റവും ലളിതമായ ത്രികോണമിതി സമവാക്യം പരിഹരിക്കുക.

ഉദാഹരണം.

2cos 2 (x/2) – 5sin (x/2) – 5 = 0.

പരിഹാരം.

1) 2(1 – sin 2 (x/2)) – 5sin (x/2) – 5 = 0;

2sin 2 (x/2) + 5sin (x/2) + 3 = 0.

2) പാപം (x/2) = t, എവിടെ |t| ≤ 1.

3) 2t 2 + 5t + 3 = 0;

t = 1 അല്ലെങ്കിൽ e = -3/2, |t| വ്യവസ്ഥയെ തൃപ്തിപ്പെടുത്തുന്നില്ല ≤ 1.

4) sin(x/2) = 1.

5) x/2 = π/2 + 2πn, n Є Z;

x = π + 4πn, n Є Z.

ഉത്തരം: x = π + 4πn, n Є Z.

III. സമവാക്യ ക്രമം കുറയ്ക്കൽ രീതി

പരിഹാര ഡയഗ്രം

ഘട്ടം 1.ഡിഗ്രി കുറയ്ക്കുന്നതിനുള്ള ഫോർമുല ഉപയോഗിച്ച് ഈ സമവാക്യം ഒരു ലീനിയർ ഒന്ന് ഉപയോഗിച്ച് മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുക:

sin 2 x = 1/2 · (1 - cos 2x);

cos 2 x = 1/2 · (1 + cos 2x);

tg 2 x = (1 – cos 2x) / (1 + cos 2x).

ഘട്ടം 2. I, II രീതികൾ ഉപയോഗിച്ച് ഫലമായുണ്ടാകുന്ന സമവാക്യം പരിഹരിക്കുക.

ഉദാഹരണം.

cos 2x + cos 2 x = 5/4.

പരിഹാരം.

1) cos 2x + 1/2 · (1 + cos 2x) = 5/4.

2) cos 2x + 1/2 + 1/2 · cos 2x = 5/4;

3/2 cos 2x = 3/4;

2x = ±π/3 + 2πn, n Є Z;

x = ±π/6 + πn, n Є Z.

ഉത്തരം: x = ±π/6 + πn, n Є Z.

IV. ഏകതാനമായ സമവാക്യങ്ങൾ

പരിഹാര ഡയഗ്രം

ഘട്ടം 1.ഈ സമവാക്യം ഫോമിലേക്ക് ചുരുക്കുക

a) a sin x + b cos x = 0 (ആദ്യ ഡിഗ്രിയുടെ ഏകതാനമായ സമവാക്യം)

അല്ലെങ്കിൽ കാഴ്ചയിലേക്ക്

b) a sin 2 x + b sin x · cos x + c cos 2 x = 0 (രണ്ടാം ഡിഗ്രിയുടെ ഏകതാനമായ സമവാക്യം).

ഘട്ടം 2.സമവാക്യത്തിൻ്റെ ഇരുവശങ്ങളും വിഭജിക്കുക

a) cos x ≠ 0;

b) കോസ് 2 x ≠ 0;

ഒപ്പം tan x ൻ്റെ സമവാക്യം നേടുക:

a) a tan x + b = 0;

b) a tan 2 x + b ആർക്റ്റാൻ x + c = 0.

ഘട്ടം 3.അറിയപ്പെടുന്ന രീതികൾ ഉപയോഗിച്ച് സമവാക്യം പരിഹരിക്കുക.

ഉദാഹരണം.

5sin 2 x + 3sin x cos x – 4 = 0.

പരിഹാരം.

1) 5sin 2 x + 3sin x · cos x – 4(sin 2 x + cos 2 x) = 0;

5sin 2 x + 3sin x · cos x – 4sin² x – 4cos 2 x = 0;

sin 2 x + 3sin x · cos x – 4cos 2 x = 0/cos 2 x ≠ 0.

2) tg 2 x + 3tg x – 4 = 0.

3) അപ്പോൾ tg x = t എന്ന് അനുവദിക്കുക

t 2 + 3t - 4 = 0;

t = 1 അല്ലെങ്കിൽ t = -4, അതായത്

tg x = 1 അല്ലെങ്കിൽ tg x = -4.

ആദ്യ സമവാക്യത്തിൽ നിന്ന് x = π/4 + πn, n Є Z; രണ്ടാമത്തെ സമവാക്യത്തിൽ നിന്ന് x = -arctg 4 + πk, k Є Z.

ഉത്തരം: x = π/4 + πn, n Є Z; x = -arctg 4 + πk, k Є Z.

V. ത്രികോണമിതി സൂത്രവാക്യങ്ങൾ ഉപയോഗിച്ച് ഒരു സമവാക്യം രൂപാന്തരപ്പെടുത്തുന്ന രീതി

പരിഹാര ഡയഗ്രം

ഘട്ടം 1.സാധ്യമായ എല്ലാ ത്രികോണമിതി സൂത്രവാക്യങ്ങളും ഉപയോഗിച്ച്, ഈ സമവാക്യം I, II, III, IV രീതികൾ വഴി പരിഹരിക്കുന്ന ഒരു സമവാക്യത്തിലേക്ക് ചുരുക്കുക.

ഘട്ടം 2.അറിയപ്പെടുന്ന രീതികൾ ഉപയോഗിച്ച് ഫലമായുണ്ടാകുന്ന സമവാക്യം പരിഹരിക്കുക.

ഉദാഹരണം.

sin x + sin 2x + sin 3x = 0.

പരിഹാരം.

1) (sin x + sin 3x) + sin 2x = 0;

2sin 2x cos x + sin 2x = 0.

2) sin 2x (2cos x + 1) = 0;

sin 2x = 0 അല്ലെങ്കിൽ 2cos x + 1 = 0;

ആദ്യ സമവാക്യത്തിൽ നിന്ന് 2x = π/2 + πn, n Є Z; രണ്ടാമത്തെ സമവാക്യത്തിൽ നിന്ന് cos x = -1/2.

നമുക്ക് x = π/4 + πn/2, n Є Z; രണ്ടാമത്തെ സമവാക്യത്തിൽ നിന്ന് x = ±(π – π/3) + 2πk, k Є Z.

ഫലമായി, x = π/4 + πn/2, n Є Z; x = ±2π/3 + 2πk, k Є Z.

ഉത്തരം: x = π/4 + πn/2, n Є Z; x = ±2π/3 + 2πk, k Є Z.

ത്രികോണമിതി സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കാനുള്ള കഴിവും വൈദഗ്ധ്യവും വളരെ വലുതാണ് പ്രധാനമായി, അവരുടെ വികസനത്തിന് വിദ്യാർത്ഥിയുടെ ഭാഗത്തുനിന്നും അധ്യാപകൻ്റെ ഭാഗത്തുനിന്നും കാര്യമായ പരിശ്രമം ആവശ്യമാണ്.

സ്റ്റീരിയോമെട്രി, ഫിസിക്സ് മുതലായവയുടെ പല പ്രശ്നങ്ങളും ത്രികോണമിതി സമവാക്യങ്ങളുടെ പരിഹാരവുമായി ബന്ധപ്പെട്ടിരിക്കുന്നു, അത്തരം പ്രശ്നങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്ന പ്രക്രിയ ത്രികോണമിതിയുടെ മൂലകങ്ങൾ പഠിക്കുന്നതിലൂടെ നേടിയെടുക്കുന്ന നിരവധി അറിവുകളും കഴിവുകളും ഉൾക്കൊള്ളുന്നു.

ഗണിതശാസ്ത്ര പഠന പ്രക്രിയയിലും പൊതുവായി വ്യക്തിഗത വികസനത്തിലും ത്രികോണമിതി സമവാക്യങ്ങൾ ഒരു പ്രധാന സ്ഥാനം വഹിക്കുന്നു.

ഇപ്പോഴും ചോദ്യങ്ങളുണ്ടോ? ത്രികോണമിതി സമവാക്യങ്ങൾ എങ്ങനെ പരിഹരിക്കണമെന്ന് അറിയില്ലേ?
ഒരു അധ്യാപകനിൽ നിന്ന് സഹായം ലഭിക്കാൻ, രജിസ്റ്റർ ചെയ്യുക.
ആദ്യ പാഠം സൗജന്യമാണ്!

വെബ്‌സൈറ്റ്, മെറ്റീരിയൽ പൂർണ്ണമായോ ഭാഗികമായോ പകർത്തുമ്പോൾ, ഉറവിടത്തിലേക്കുള്ള ഒരു ലിങ്ക് ആവശ്യമാണ്.

"ഒരു എ നേടുക" എന്ന വീഡിയോ കോഴ്‌സിൽ 60-65 പോയിൻ്റുകളുള്ള ഗണിതശാസ്ത്രത്തിലെ ഏകീകൃത സംസ്ഥാന പരീക്ഷ വിജയകരമായി വിജയിക്കാൻ ആവശ്യമായ എല്ലാ വിഷയങ്ങളും ഉൾപ്പെടുന്നു. ഗണിതശാസ്ത്രത്തിലെ പ്രൊഫൈൽ ഏകീകൃത സംസ്ഥാന പരീക്ഷയുടെ 1-13 വരെയുള്ള എല്ലാ ജോലികളും. ഗണിതശാസ്ത്രത്തിലെ അടിസ്ഥാന ഏകീകൃത സംസ്ഥാന പരീക്ഷയിൽ വിജയിക്കുന്നതിനും അനുയോജ്യമാണ്. നിങ്ങൾക്ക് 90-100 പോയിൻ്റുകളോടെ ഏകീകൃത സംസ്ഥാന പരീക്ഷയിൽ വിജയിക്കണമെങ്കിൽ, നിങ്ങൾ 30 മിനിറ്റിനുള്ളിൽ ഭാഗം 1 തെറ്റുകൾ കൂടാതെ പരിഹരിക്കേണ്ടതുണ്ട്!

10-11 ഗ്രേഡുകൾക്കും അധ്യാപകർക്കും വേണ്ടിയുള്ള ഏകീകൃത സംസ്ഥാന പരീക്ഷയ്ക്കുള്ള തയ്യാറെടുപ്പ് കോഴ്സ്. ഗണിതശാസ്ത്രത്തിലെ ഏകീകൃത സംസ്ഥാന പരീക്ഷയുടെ ഭാഗം 1 (ആദ്യത്തെ 12 പ്രശ്നങ്ങൾ), പ്രശ്നം 13 (ത്രികോണമിതി) എന്നിവ പരിഹരിക്കാൻ നിങ്ങൾക്ക് ആവശ്യമുള്ളതെല്ലാം. ഇത് ഏകീകൃത സംസ്ഥാന പരീക്ഷയിൽ 70 പോയിൻ്റിൽ കൂടുതലാണ്, കൂടാതെ 100-പോയിൻ്റ് വിദ്യാർത്ഥിക്കോ ഹ്യുമാനിറ്റീസ് വിദ്യാർത്ഥിക്കോ അവയില്ലാതെ ചെയ്യാൻ കഴിയില്ല.

ആവശ്യമായ എല്ലാ സിദ്ധാന്തങ്ങളും. ഏകീകൃത സംസ്ഥാന പരീക്ഷയുടെ ദ്രുത പരിഹാരങ്ങളും അപകടങ്ങളും രഹസ്യങ്ങളും. FIPI ടാസ്‌ക് ബാങ്കിൽ നിന്നുള്ള ഭാഗം 1-ൻ്റെ നിലവിലുള്ള എല്ലാ ജോലികളും വിശകലനം ചെയ്തു. കോഴ്‌സ് 2018 ലെ ഏകീകൃത സംസ്ഥാന പരീക്ഷയുടെ ആവശ്യകതകൾ പൂർണ്ണമായും പാലിക്കുന്നു.

കോഴ്‌സിൽ 5 വലിയ വിഷയങ്ങൾ അടങ്ങിയിരിക്കുന്നു, ഓരോന്നിനും 2.5 മണിക്കൂർ. ഓരോ വിഷയവും ആദ്യം മുതൽ ലളിതമായും വ്യക്തമായും നൽകിയിരിക്കുന്നു.

നൂറുകണക്കിന് ഏകീകൃത സംസ്ഥാന പരീക്ഷാ ജോലികൾ. പദപ്രശ്നങ്ങളും പ്രോബബിലിറ്റി സിദ്ധാന്തവും. പ്രശ്‌നങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിനുള്ള ലളിതവും ഓർമ്മിക്കാൻ എളുപ്പമുള്ളതുമായ അൽഗോരിതങ്ങൾ. ജ്യാമിതി. സിദ്ധാന്തം, റഫറൻസ് മെറ്റീരിയൽ, എല്ലാത്തരം ഏകീകൃത സംസ്ഥാന പരീക്ഷാ ജോലികളുടെയും വിശകലനം. സ്റ്റീരിയോമെട്രി. തന്ത്രപരമായ പരിഹാരങ്ങൾ, ഉപയോഗപ്രദമായ ചീറ്റ് ഷീറ്റുകൾ, സ്പേഷ്യൽ ഭാവനയുടെ വികസനം. സ്ക്രാച്ച് മുതൽ പ്രശ്നം വരെ ത്രികോണമിതി 13. ക്രാമിംഗിന് പകരം മനസ്സിലാക്കൽ. സങ്കീർണ്ണമായ ആശയങ്ങളുടെ വ്യക്തമായ വിശദീകരണങ്ങൾ. ബീജഗണിതം. വേരുകൾ, ശക്തികൾ, ലോഗരിതം, ഫംഗ്ഷൻ, ഡെറിവേറ്റീവ്. ഏകീകൃത സംസ്ഥാന പരീക്ഷയുടെ രണ്ടാം ഭാഗം സങ്കീർണ്ണമായ പ്രശ്നങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിനുള്ള അടിസ്ഥാനം.