ത്രികോണമിതി കോടാൻജെൻ്റ് സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നു. ത്രികോണമിതി സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിനുള്ള അടിസ്ഥാന രീതികൾ

ത്രികോണമിതിയുടെ അടിസ്ഥാന സൂത്രവാക്യങ്ങളെക്കുറിച്ചുള്ള അറിവ് ആവശ്യമാണ് - സൈൻ, കോസൈൻ എന്നിവയുടെ സ്ക്വയറുകളുടെ ആകെത്തുക, സൈൻ, കോസൈൻ എന്നിവയിലൂടെയുള്ള സ്പർശനത്തിൻ്റെ പ്രകടനവും മറ്റുള്ളവയും. അവരെ മറന്നതോ അറിയാത്തതോ ആയവർക്ക്, "" എന്ന ലേഖനം വായിക്കാൻ ഞങ്ങൾ ശുപാർശ ചെയ്യുന്നു.
അതിനാൽ, അടിസ്ഥാന ത്രികോണമിതി സൂത്രവാക്യങ്ങൾ ഞങ്ങൾക്കറിയാം, അവ പ്രായോഗികമായി ഉപയോഗിക്കേണ്ട സമയമാണിത്. ത്രികോണമിതി സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നുശരിയായ സമീപനത്തിലൂടെ, ഇത് വളരെ ആവേശകരമായ ഒരു പ്രവർത്തനമാണ്, ഉദാഹരണത്തിന്, ഒരു റൂബിക്സ് ക്യൂബ് പരിഹരിക്കുന്നത്.

പേരിനെ അടിസ്ഥാനമാക്കി, ത്രികോണമിതി സമവാക്യം ഒരു സമവാക്യമാണ്, അതിൽ അജ്ഞാതമായത് ത്രികോണമിതി പ്രവർത്തനത്തിൻ്റെ ചിഹ്നത്തിന് കീഴിലാണ്.
ലളിതമായ ത്രികോണമിതി സമവാക്യങ്ങൾ എന്ന് വിളിക്കപ്പെടുന്നവയുണ്ട്. അവ എങ്ങനെ കാണപ്പെടുന്നുവെന്നത് ഇതാ: sinx = a, cos x = a, tan x = a. നമുക്ക് പരിഗണിക്കാം അത്തരം ത്രികോണമിതി സമവാക്യങ്ങൾ എങ്ങനെ പരിഹരിക്കാംവ്യക്തതയ്ക്കായി, ഞങ്ങൾ ഇതിനകം പരിചിതമായ ത്രികോണമിതി സർക്കിൾ ഉപയോഗിക്കും.

sinx = a

cos x = a

ടാൻ x = എ

കട്ടിൽ x = a

ഏതൊരു ത്രികോണമിതി സമവാക്യവും രണ്ട് ഘട്ടങ്ങളിലായാണ് പരിഹരിക്കപ്പെടുന്നത്: ഞങ്ങൾ സമവാക്യത്തെ അതിൻ്റെ ഏറ്റവും ലളിതമായ രൂപത്തിലേക്ക് ചുരുക്കുകയും തുടർന്ന് അതിനെ ഒരു ലളിതമായ ത്രികോണമിതി സമവാക്യമായി പരിഹരിക്കുകയും ചെയ്യുന്നു.
ത്രികോണമിതി സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്ന 7 പ്രധാന രീതികളുണ്ട്.

1. വേരിയബിൾ സബ്സ്റ്റിറ്റ്യൂഷൻ ആൻഡ് സബ്സ്റ്റിറ്റ്യൂഷൻ രീതി

2cos 2 (x + /6) – 3sin(/3 – x) +1 = 0 എന്ന സമവാക്യം പരിഹരിക്കുക

റിഡക്ഷൻ ഫോർമുലകൾ ഉപയോഗിച്ച് നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നത്:

2cos 2 (x + /6) – 3cos(x + /6) +1 = 0

ലളിതമാക്കാനും സാധാരണ ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യം നേടാനും cos(x + /6) y ഉപയോഗിച്ച് മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുക:

2y 2 - 3y + 1 + 0

y 1 = 1, y 2 = 1/2 എന്നിവയാണ് ഇതിൻ്റെ വേരുകൾ

ഇനി നമുക്ക് വിപരീത ക്രമത്തിൽ പോകാം

y യുടെ കണ്ടെത്തിയ മൂല്യങ്ങൾ ഞങ്ങൾ മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുകയും രണ്ട് ഉത്തര ഓപ്ഷനുകൾ നേടുകയും ചെയ്യുന്നു:

2. ഘടകവൽക്കരണത്തിലൂടെ ത്രികോണമിതി സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നു

sin x + cos x = 1 എന്ന സമവാക്യം എങ്ങനെ പരിഹരിക്കാം?

നമുക്ക് എല്ലാം ഇടത്തേക്ക് നീക്കാം, അങ്ങനെ 0 വലതുവശത്ത് നിലനിൽക്കും:

sin x + cos x – 1 = 0

സമവാക്യം ലളിതമാക്കാൻ മുകളിൽ ചർച്ച ചെയ്ത ഐഡൻ്റിറ്റികൾ നമുക്ക് ഉപയോഗിക്കാം:

sin x - 2 sin 2 (x/2) = 0

നമുക്ക് ഫാക്‌ടറൈസ് ചെയ്യാം:

2sin(x/2) * cos(x/2) - 2 sin 2 (x/2) = 0

2sin(x/2) * = 0

നമുക്ക് രണ്ട് സമവാക്യങ്ങൾ ലഭിക്കും

3. ഒരു ഏകീകൃത സമവാക്യത്തിലേക്കുള്ള കുറയ്ക്കൽ

ഒരു സമവാക്യം സൈൻ, കോസൈൻ എന്നിവയുമായി ബന്ധപ്പെട്ട് ഏകതാനമാണ്, അതിൻ്റെ എല്ലാ നിബന്ധനകളും ഒരേ കോണിൻ്റെ ഒരേ അളവിലുള്ള സൈനും കോസൈനും ആപേക്ഷികമാണെങ്കിൽ. ഒരു ഏകീകൃത സമവാക്യം പരിഹരിക്കുന്നതിന്, ഇനിപ്പറയുന്ന രീതിയിൽ തുടരുക:

a) അതിൻ്റെ എല്ലാ അംഗങ്ങളും ഇടതുവശത്തേക്ക് മാറ്റുക;

b) ബ്രാക്കറ്റിൽ നിന്ന് എല്ലാ പൊതു ഘടകങ്ങളും എടുക്കുക;

സി) എല്ലാ ഘടകങ്ങളും ബ്രാക്കറ്റുകളും 0 ലേക്ക് തുല്യമാക്കുക;

d) താഴ്ന്ന ഡിഗ്രിയുടെ ഒരു ഏകീകൃത സമവാക്യം ബ്രാക്കറ്റുകളിൽ ലഭിക്കുന്നു, അത് ഉയർന്ന ഡിഗ്രിയുടെ ഒരു സൈൻ അല്ലെങ്കിൽ കോസൈൻ ആയി തിരിച്ചിരിക്കുന്നു;

e) tg യുടെ ഫലമായുണ്ടാകുന്ന സമവാക്യം പരിഹരിക്കുക.

3sin 2 x + 4 sin x cos x + 5 cos 2 x = 2 എന്ന സമവാക്യം പരിഹരിക്കുക

നമുക്ക് sin 2 x + cos 2 x = 1 എന്ന ഫോർമുല ഉപയോഗിക്കുകയും വലതുവശത്തുള്ള തുറന്ന രണ്ട് ഒഴിവാക്കുകയും ചെയ്യാം:

3sin 2 x + 4 sin x cos x + 5 cos x = 2sin 2 x + 2cos 2 x

sin 2 x + 4 sin x cos x + 3 cos 2 x = 0

cos x കൊണ്ട് ഹരിക്കുക:

tg 2 x + 4 tg x + 3 = 0

tan x മാറ്റി y ഉപയോഗിച്ച് ഒരു ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യം നേടുക:

y 2 + 4y +3 = 0, അതിൻ്റെ വേരുകൾ y 1 =1, y 2 = 3

ഇവിടെ നിന്ന് നമ്മൾ യഥാർത്ഥ സമവാക്യത്തിന് രണ്ട് പരിഹാരങ്ങൾ കണ്ടെത്തുന്നു:

x 2 = ആർക്റ്റാൻ 3 + കെ

4. പകുതി കോണിലേക്കുള്ള പരിവർത്തനത്തിലൂടെ സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നു

3sin x – 5cos x = 7 എന്ന സമവാക്യം പരിഹരിക്കുക

നമുക്ക് x/2 ലേക്ക് പോകാം:

6sin(x/2) * cos(x/2) – 5cos 2 (x/2) + 5sin 2 (x/2) = 7sin 2 (x/2) + 7cos 2 (x/2)

നമുക്ക് എല്ലാം ഇടത്തേക്ക് നീക്കാം:

2sin 2 (x/2) – 6sin(x/2) * cos(x/2) + 12cos 2 (x/2) = 0

cos(x/2) കൊണ്ട് ഹരിക്കുക:

tg 2 (x/2) - 3tg(x/2) + 6 = 0

5. സഹായ കോണിൻ്റെ ആമുഖം

പരിഗണനയ്ക്കായി, ഫോമിൻ്റെ ഒരു സമവാക്യം എടുക്കാം: a sin x + b cos x = c,

ഇവിടെ a, b, c എന്നിവ ചില അനിയന്ത്രിതമായ ഗുണകങ്ങളാണ്, x എന്നത് ഒരു അജ്ഞാതമാണ്.

സമവാക്യത്തിൻ്റെ രണ്ട് വശങ്ങളും നമുക്ക് വിഭജിക്കാം:



ഇപ്പോൾ സമവാക്യത്തിൻ്റെ ഗുണകങ്ങൾക്ക്, ത്രികോണമിതി സൂത്രവാക്യങ്ങൾ അനുസരിച്ച്, sin, cos എന്നീ ഗുണങ്ങളുണ്ട്, അതായത്: അവയുടെ മോഡുലസ് 1-ൽ കൂടുതലല്ല, സമചതുരങ്ങളുടെ ആകെത്തുക = 1. നമുക്ക് അവയെ യഥാക്രമം cos, sin എന്നിങ്ങനെ സൂചിപ്പിക്കാം, എവിടെയാണ് - ഇത് ഓക്സിലറി ആംഗിൾ എന്ന് വിളിക്കപ്പെടുന്നവ. അപ്പോൾ സമവാക്യം ഫോം എടുക്കും:

cos * sin x + sin * cos x = C

അല്ലെങ്കിൽ sin(x + ) = C

ഈ ലളിതമായ ത്രികോണമിതി സമവാക്യത്തിനുള്ള പരിഹാരം ഇതാണ്

x = (-1) k * arcsin C - + k, എവിടെ



കോസ്, സിൻ എന്നീ നൊട്ടേഷനുകൾ പരസ്പരം മാറ്റാവുന്നതാണെന്ന കാര്യം ശ്രദ്ധിക്കേണ്ടതാണ്.

sin 3x – cos 3x = 1 എന്ന സമവാക്യം പരിഹരിക്കുക

ഈ സമവാക്യത്തിലെ ഗുണകങ്ങൾ ഇവയാണ്:

a = , b = -1, അതിനാൽ ഇരുവശങ്ങളെയും = 2 കൊണ്ട് ഹരിക്കുക

ത്രികോണമിതി സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിനുള്ള പ്രധാന രീതികൾ ഇവയാണ്: സമവാക്യങ്ങളെ ഏറ്റവും ലളിതമായി കുറയ്ക്കുക (ത്രികോണമിതി സൂത്രവാക്യങ്ങൾ ഉപയോഗിച്ച്), പുതിയ വേരിയബിളുകൾ അവതരിപ്പിക്കുക, ഫാക്‌ടറിംഗ്. ഉദാഹരണങ്ങൾ ഉപയോഗിച്ച് അവയുടെ ഉപയോഗം നോക്കാം. ത്രികോണമിതി സമവാക്യങ്ങൾക്കുള്ള പരിഹാരങ്ങൾ എഴുതുന്നതിൻ്റെ ഫോർമാറ്റ് ശ്രദ്ധിക്കുക.

ത്രികോണമിതി സമവാക്യങ്ങൾ വിജയകരമായി പരിഹരിക്കുന്നതിന് ആവശ്യമായ ഒരു വ്യവസ്ഥ ത്രികോണമിതി സൂത്രവാക്യങ്ങളെക്കുറിച്ചുള്ള അറിവാണ് (ജോലി 6 ൻ്റെ വിഷയം 13).

ഉദാഹരണങ്ങൾ.

1. സമവാക്യങ്ങൾ ഏറ്റവും ലളിതമായി ചുരുക്കി.

1) സമവാക്യം പരിഹരിക്കുക

പരിഹാരം:

ഉത്തരം:

2) സമവാക്യത്തിൻ്റെ വേരുകൾ കണ്ടെത്തുക

(sinx + cosx) 2 = 1 - sinxcosx, സെഗ്‌മെൻ്റിൽ പെടുന്നു.

പരിഹാരം:

ഉത്തരം:

2. ക്വാഡ്രാറ്റിക് ആയി കുറയ്ക്കുന്ന സമവാക്യങ്ങൾ.

1) 2 sin 2 x – cosx –1 = 0 എന്ന സമവാക്യം പരിഹരിക്കുക.

പരിഹാരം: sin 2 x = 1 – cos 2 x എന്ന ഫോർമുല ഉപയോഗിച്ച് നമുക്ക് ലഭിക്കും

ഉത്തരം:

2) cos 2x = 1 + 4 cosx എന്ന സമവാക്യം പരിഹരിക്കുക.

പരിഹാരം: cos 2x = 2 cos 2 x – 1 എന്ന ഫോർമുല ഉപയോഗിച്ച് നമുക്ക് ലഭിക്കും

ഉത്തരം:

3) tgx – 2ctgx + 1 = 0 എന്ന സമവാക്യം പരിഹരിക്കുക

പരിഹാരം:

ഉത്തരം:

3. ഏകതാനമായ സമവാക്യങ്ങൾ

1) 2sinx – 3cosx = 0 എന്ന സമവാക്യം പരിഹരിക്കുക

പരിഹാരം: cosx = 0, പിന്നെ 2sinx = 0, sinx = 0 - sin 2 x + cos 2 x = 1 എന്ന വസ്തുതയുമായി ഒരു വൈരുദ്ധ്യം. ഇതിനർത്ഥം cosx ≠ 0 ആണ്, നമുക്ക് സമവാക്യത്തെ cosx കൊണ്ട് ഹരിക്കാം. നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നു

ഉത്തരം:

2) 1 + 7 cos 2 x = 3 sin 2x എന്ന സമവാക്യം പരിഹരിക്കുക

പരിഹാരം:

ഞങ്ങൾ 1 = sin 2 x + cos 2 x, sin 2x = 2 sinxcosx എന്നീ സൂത്രവാക്യങ്ങൾ ഉപയോഗിക്കുന്നു, നമുക്ക് ലഭിക്കും

sin 2 x + cos 2 x + 7cos 2 x = 6sinxcosx
sin 2 x – 6sinxcosx+ 8cos 2 x = 0

cosx = 0, പിന്നെ sin 2 x = 0, sinx = 0 - sin 2 x + cos 2 x = 1 എന്ന വസ്തുതയുമായി വൈരുദ്ധ്യം.
ഇതിനർത്ഥം cosx ≠ 0 ആണ്, നമുക്ക് സമവാക്യത്തെ cos 2 x കൊണ്ട് ഹരിക്കാം . നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നു

tg 2 x – 6 tgx + 8 = 0
നമുക്ക് tgx = y സൂചിപ്പിക്കാം
y 2 – 6 y + 8 = 0
y 1 = 4; y2 = 2
a) tgx = 4, x= arctan4 + 2 കെ, കെ
b) tgx = 2, x= arctan2 + 2 കെ, കെ .

ഉത്തരം: arctg4 + 2 കെ, arctan2 + 2 കെ,കെ

4. ഫോമിൻ്റെ സമവാക്യങ്ങൾ എ sinx + ബി cosx = s, s≠ 0.

1) സമവാക്യം പരിഹരിക്കുക.

പരിഹാരം:

ഉത്തരം:

5. ഫാക്ടറൈസേഷൻ വഴി പരിഹരിച്ച സമവാക്യങ്ങൾ.

1) sin2x – sinx = 0 എന്ന സമവാക്യം പരിഹരിക്കുക.

സമവാക്യത്തിൻ്റെ റൂട്ട് എഫ് (എക്സ്) = φ ( എക്സ്) നമ്പർ 0 ആയി മാത്രമേ പ്രവർത്തിക്കൂ. നമുക്ക് ഇത് പരിശോധിക്കാം:

cos 0 = 0 + 1 - തുല്യത ശരിയാണ്.

ഈ സമവാക്യത്തിൻ്റെ ഏക റൂട്ട് സംഖ്യയാണ്.

ഉത്തരം: 0.

നിങ്ങളുടെ സ്വകാര്യത നിലനിർത്തുന്നത് ഞങ്ങൾക്ക് പ്രധാനമാണ്. ഇക്കാരണത്താൽ, നിങ്ങളുടെ വിവരങ്ങൾ ഞങ്ങൾ എങ്ങനെ ഉപയോഗിക്കുന്നുവെന്നും സംഭരിക്കുന്നുവെന്നും വിവരിക്കുന്ന ഒരു സ്വകാര്യതാ നയം ഞങ്ങൾ വികസിപ്പിച്ചിട്ടുണ്ട്. ഞങ്ങളുടെ സ്വകാര്യതാ രീതികൾ അവലോകനം ചെയ്‌ത് നിങ്ങൾക്ക് എന്തെങ്കിലും ചോദ്യങ്ങളുണ്ടെങ്കിൽ ഞങ്ങളെ അറിയിക്കുക.

വ്യക്തിഗത വിവരങ്ങളുടെ ശേഖരണവും ഉപയോഗവും

ഒരു പ്രത്യേക വ്യക്തിയെ തിരിച്ചറിയുന്നതിനോ ബന്ധപ്പെടുന്നതിനോ ഉപയോഗിക്കുന്ന ഡാറ്റയെയാണ് വ്യക്തിഗത വിവരങ്ങൾ സൂചിപ്പിക്കുന്നത്.

നിങ്ങൾ ഞങ്ങളെ ബന്ധപ്പെടുമ്പോൾ ഏത് സമയത്തും നിങ്ങളുടെ സ്വകാര്യ വിവരങ്ങൾ നൽകാൻ നിങ്ങളോട് ആവശ്യപ്പെട്ടേക്കാം.

ഞങ്ങൾ ശേഖരിക്കാനിടയുള്ള വ്യക്തിഗത വിവരങ്ങളുടെ തരങ്ങളുടെയും അത്തരം വിവരങ്ങൾ ഞങ്ങൾ എങ്ങനെ ഉപയോഗിക്കാം എന്നതിൻ്റെയും ചില ഉദാഹരണങ്ങൾ ചുവടെയുണ്ട്.

എന്ത് വ്യക്തിഗത വിവരങ്ങളാണ് ഞങ്ങൾ ശേഖരിക്കുന്നത്:

• നിങ്ങൾ സൈറ്റിൽ ഒരു അപേക്ഷ സമർപ്പിക്കുമ്പോൾ, നിങ്ങളുടെ പേര്, ടെലിഫോൺ നമ്പർ, ഇമെയിൽ വിലാസം മുതലായവ ഉൾപ്പെടെ വിവിധ വിവരങ്ങൾ ഞങ്ങൾ ശേഖരിച്ചേക്കാം.

നിങ്ങളുടെ സ്വകാര്യ വിവരങ്ങൾ ഞങ്ങൾ എങ്ങനെ ഉപയോഗിക്കുന്നു:

• ഞങ്ങൾ ശേഖരിക്കുന്ന വ്യക്തിഗത വിവരങ്ങൾ, അതുല്യമായ ഓഫറുകൾ, പ്രമോഷനുകൾ, മറ്റ് ഇവൻ്റുകൾ, വരാനിരിക്കുന്ന ഇവൻ്റുകൾ എന്നിവയുമായി നിങ്ങളെ ബന്ധപ്പെടാൻ ഞങ്ങളെ അനുവദിക്കുന്നു.
• കാലാകാലങ്ങളിൽ, പ്രധാനപ്പെട്ട അറിയിപ്പുകളും ആശയവിനിമയങ്ങളും അയയ്‌ക്കാൻ ഞങ്ങൾ നിങ്ങളുടെ സ്വകാര്യ വിവരങ്ങൾ ഉപയോഗിച്ചേക്കാം.
• ഞങ്ങൾ നൽകുന്ന സേവനങ്ങൾ മെച്ചപ്പെടുത്തുന്നതിനും ഞങ്ങളുടെ സേവനങ്ങളെക്കുറിച്ചുള്ള ശുപാർശകൾ നിങ്ങൾക്ക് നൽകുന്നതിനും ഓഡിറ്റുകൾ, ഡാറ്റ വിശകലനം, വിവിധ ഗവേഷണങ്ങൾ എന്നിവ പോലുള്ള ആന്തരിക ആവശ്യങ്ങൾക്കായി ഞങ്ങൾ വ്യക്തിഗത വിവരങ്ങളും ഉപയോഗിച്ചേക്കാം.
• നിങ്ങൾ ഒരു സമ്മാന നറുക്കെടുപ്പിലോ മത്സരത്തിലോ സമാനമായ പ്രമോഷനിലോ പങ്കെടുക്കുകയാണെങ്കിൽ, അത്തരം പ്രോഗ്രാമുകൾ നിയന്ത്രിക്കുന്നതിന് നിങ്ങൾ നൽകുന്ന വിവരങ്ങൾ ഞങ്ങൾ ഉപയോഗിച്ചേക്കാം.

മൂന്നാം കക്ഷികൾക്ക് വിവരങ്ങൾ വെളിപ്പെടുത്തൽ

നിങ്ങളിൽ നിന്ന് ലഭിച്ച വിവരങ്ങൾ മൂന്നാം കക്ഷികൾക്ക് ഞങ്ങൾ വെളിപ്പെടുത്തുന്നില്ല.

ഒഴിവാക്കലുകൾ:

• ആവശ്യമെങ്കിൽ - നിയമം, ജുഡീഷ്യൽ നടപടിക്രമം, നിയമ നടപടികളിൽ, കൂടാതെ/അല്ലെങ്കിൽ റഷ്യൻ ഫെഡറേഷൻ്റെ പ്രദേശത്തെ സർക്കാർ അധികാരികളുടെ പൊതു അഭ്യർത്ഥനകളുടെയോ അഭ്യർത്ഥനകളുടെയോ അടിസ്ഥാനത്തിൽ - നിങ്ങളുടെ സ്വകാര്യ വിവരങ്ങൾ വെളിപ്പെടുത്താൻ. സുരക്ഷ, നിയമപാലനം അല്ലെങ്കിൽ മറ്റ് പൊതു പ്രാധാന്യമുള്ള ആവശ്യങ്ങൾക്ക് അത്തരം വെളിപ്പെടുത്തൽ ആവശ്യമോ ഉചിതമോ ആണെന്ന് ഞങ്ങൾ നിർണ്ണയിക്കുകയാണെങ്കിൽ നിങ്ങളെക്കുറിച്ചുള്ള വിവരങ്ങളും ഞങ്ങൾ വെളിപ്പെടുത്തിയേക്കാം.
• ഒരു പുനഃസംഘടനയോ ലയനമോ വിൽപ്പനയോ സംഭവിക്കുകയാണെങ്കിൽ, ഞങ്ങൾ ശേഖരിക്കുന്ന വ്യക്തിഗത വിവരങ്ങൾ ബാധകമായ പിൻഗാമിക്ക് മൂന്നാം കക്ഷിക്ക് കൈമാറാം.

വ്യക്തിഗത വിവരങ്ങളുടെ സംരക്ഷണം

നിങ്ങളുടെ സ്വകാര്യ വിവരങ്ങൾ നഷ്ടപ്പെടൽ, മോഷണം, ദുരുപയോഗം എന്നിവയിൽ നിന്നും അനധികൃത ആക്‌സസ്, വെളിപ്പെടുത്തൽ, മാറ്റം വരുത്തൽ, നശിപ്പിക്കൽ എന്നിവയിൽ നിന്നും പരിരക്ഷിക്കുന്നതിന് ഞങ്ങൾ മുൻകരുതലുകൾ എടുക്കുന്നു - അഡ്മിനിസ്ട്രേറ്റീവ്, ടെക്നിക്കൽ, ഫിസിക്കൽ ഉൾപ്പെടെ.

കമ്പനി തലത്തിൽ നിങ്ങളുടെ സ്വകാര്യതയെ മാനിക്കുന്നു

നിങ്ങളുടെ സ്വകാര്യ വിവരങ്ങൾ സുരക്ഷിതമാണെന്ന് ഉറപ്പാക്കാൻ, ഞങ്ങൾ ഞങ്ങളുടെ ജീവനക്കാരോട് സ്വകാര്യതയും സുരക്ഷാ മാനദണ്ഡങ്ങളും ആശയവിനിമയം നടത്തുകയും സ്വകാര്യതാ സമ്പ്രദായങ്ങൾ കർശനമായി നടപ്പിലാക്കുകയും ചെയ്യുന്നു.

നിങ്ങളുടെ പ്രശ്നത്തിന് വിശദമായ ഒരു പരിഹാരം നിങ്ങൾക്ക് ഓർഡർ ചെയ്യാം!!!

ഒരു ത്രികോണമിതി ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ (`sin x, cos x, tan x` അല്ലെങ്കിൽ `ctg x`) ചിഹ്നത്തിന് കീഴിൽ അജ്ഞാതമായ ഒരു സമത്വത്തെ ഒരു ത്രികോണമിതി സമവാക്യം എന്ന് വിളിക്കുന്നു, അവയുടെ സൂത്രവാക്യങ്ങളാണ് ഞങ്ങൾ കൂടുതൽ പരിഗണിക്കുന്നത്.

`sin x=a, cos x=a, tg x=a, ctg x=a` എന്നിവയാണ് ഏറ്റവും ലളിതമായ സമവാക്യങ്ങൾ, ഇവിടെ `x` എന്നത് കണ്ടെത്തേണ്ട കോണാണ്, `a` എന്നത് ഏതെങ്കിലും സംഖ്യയാണ്. അവയിൽ ഓരോന്നിൻ്റെയും റൂട്ട് ഫോർമുലകൾ നമുക്ക് എഴുതാം.

1. സമവാക്യം `sin x=a`.

`|a|>1` എന്നതിന് പരിഹാരങ്ങളൊന്നുമില്ല.

എപ്പോൾ `|എ| \leq 1` ന് അനന്തമായ പരിഹാരങ്ങളുണ്ട്.

റൂട്ട് ഫോർമുല: `x=(-1)^n arcsin a + \pi n, n \in Z`

2. സമവാക്യം `cos x=a`

`|a|>1`-ന് - സൈനിൻ്റെ കാര്യത്തിലെന്നപോലെ, ഇതിന് യഥാർത്ഥ സംഖ്യകൾക്കിടയിൽ പരിഹാരങ്ങളൊന്നുമില്ല.

എപ്പോൾ `|എ| \leq 1` ന് അനന്തമായ പരിഹാരങ്ങളുണ്ട്.

റൂട്ട് ഫോർമുല: `x=\pm arccos a + 2\pi n, n \in Z`

ഗ്രാഫുകളിൽ സൈൻ, കോസൈൻ എന്നിവയ്ക്കുള്ള പ്രത്യേക കേസുകൾ.

3. സമവാക്യം `tg x=a`

`a` യുടെ ഏതെങ്കിലും മൂല്യങ്ങൾക്കായി അനന്തമായ പരിഹാരങ്ങൾ ഉണ്ട്.

റൂട്ട് ഫോർമുല: `x=arctg a + \pi n, n \in Z`

4. സമവാക്യം `ctg x=a`

`a` ൻ്റെ ഏതെങ്കിലും മൂല്യങ്ങൾക്കായി അനന്തമായ പരിഹാരങ്ങളും ഉണ്ട്.

റൂട്ട് ഫോർമുല: `x=arcctg a + \pi n, n \in Z`

പട്ടികയിലെ ത്രികോണമിതി സമവാക്യങ്ങളുടെ വേരുകൾക്കായുള്ള സൂത്രവാക്യങ്ങൾ

സൈനിനായി:
കോസൈനിനായി:
ടാൻജെൻ്റിനും കോട്ടാൻജെൻ്റിനും:
വിപരീത ത്രികോണമിതി പ്രവർത്തനങ്ങൾ അടങ്ങിയ സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിനുള്ള സൂത്രവാക്യങ്ങൾ:

ത്രികോണമിതി സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിനുള്ള രീതികൾ

ഏതെങ്കിലും ത്രികോണമിതി സമവാക്യം പരിഹരിക്കുന്നത് രണ്ട് ഘട്ടങ്ങൾ ഉൾക്കൊള്ളുന്നു:

• ഏറ്റവും ലളിതമായി രൂപാന്തരപ്പെടുത്തുന്നതിൻ്റെ സഹായത്തോടെ;
• മുകളിൽ എഴുതിയ റൂട്ട് ഫോർമുലകളും പട്ടികകളും ഉപയോഗിച്ച് ലഭിച്ച ഏറ്റവും ലളിതമായ സമവാക്യം പരിഹരിക്കുക.

ഉദാഹരണങ്ങൾ ഉപയോഗിച്ച് പ്രധാന പരിഹാര രീതികൾ നോക്കാം.

ബീജഗണിത രീതി.

ഈ രീതി ഒരു വേരിയബിളിനെ മാറ്റി പകരം സമത്വത്തിലേക്ക് മാറ്റുന്നത് ഉൾപ്പെടുന്നു.

ഉദാഹരണം. സമവാക്യം പരിഹരിക്കുക: `2cos^2(x+\frac \pi 6)-3sin(\frac \pi 3 - x)+1=0`

`2cos^2(x+\frac \pi 6)-3cos(x+\frac \pi 6)+1=0`,

ഒരു പകരം വെക്കുക: `cos(x+\frac \pi 6)=y`, തുടർന്ന് `2y^2-3y+1=0`,

ഞങ്ങൾ റൂട്ടുകൾ കണ്ടെത്തുന്നു: `y_1=1, y_2=1/2`, അതിൽ നിന്ന് രണ്ട് കേസുകൾ പിന്തുടരുന്നു:

1. `cos(x+\frac \pi 6)=1`, `x+\frac \pi 6=2\pi n`, `x_1=-\frac \pi 6+2\pi n`.

2. `cos(x+\frac \pi 6)=1/2`, `x+\frac \pi 6=\pm ആർക്കോസ് 1/2+2\pi n`, `x_2=\pm \frac \pi 3- \frac \pi 6+2\pi n`.

ഉത്തരം: `x_1=-\frac \pi 6+2\pi n`, `x_2=\pm \frac \pi 3-\frac \pi 6+2\pi n`.

ഫാക്‌ടറൈസേഷൻ.

ഉദാഹരണം. സമവാക്യം പരിഹരിക്കുക: `sin x+cos x=1`.

പരിഹാരം. സമത്വത്തിൻ്റെ എല്ലാ നിബന്ധനകളും ഇടത്തേക്ക് നീക്കാം: `sin x+cos x-1=0`. ഉപയോഗിച്ച്, ഞങ്ങൾ ഇടത് വശം രൂപാന്തരപ്പെടുത്തുകയും ഫാക്‌ടറൈസ് ചെയ്യുകയും ചെയ്യുന്നു:

`sin x — 2sin^2 x/2=0`,

`2sin x/2 cos x/2-2sin^2 x/2=0`,

`2sin x/2 (cos x/2-sin x/2)=0`,

1. `sin x/2 =0`, `x/2 =\pi n`, `x_1=2\pi n`.
2. `cos x/2-sin x/2=0`, `tg x/2=1`, `x/2=arctg 1+ \pi n`, `x/2=\pi/4+ \pi n` , `x_2=\pi/2+ 2\pi n`.

ഉത്തരം: `x_1=2\pi n`, `x_2=\pi/2+ 2\pi n`.

ഒരു ഏകീകൃത സമവാക്യത്തിലേക്കുള്ള കുറയ്ക്കൽ

ആദ്യം, നിങ്ങൾ ഈ ത്രികോണമിതി സമവാക്യം രണ്ട് രൂപങ്ങളിൽ ഒന്നായി കുറയ്ക്കേണ്ടതുണ്ട്:

`a sin x+b cos x=0` (ആദ്യ ഡിഗ്രിയുടെ ഏകതാനമായ സമവാക്യം) അല്ലെങ്കിൽ `a sin^2 x + b sin x cos x +c cos^2 x=0` (രണ്ടാം ഡിഗ്രിയുടെ ഏകതാനമായ സമവാക്യം).

തുടർന്ന് രണ്ട് ഭാഗങ്ങളെയും ആദ്യ കേസിന് `cos x \ne 0` കൊണ്ടും രണ്ടാമത്തേതിന് `cos^2 x \ne 0` കൊണ്ടും ഹരിക്കുക. `tg x` എന്നതിനായുള്ള സമവാക്യങ്ങൾ നമുക്ക് ലഭിക്കും: `a tg x+b=0`, `a tg^2 x + b tg x +c =0`, അവ അറിയപ്പെടുന്ന രീതികൾ ഉപയോഗിച്ച് പരിഹരിക്കേണ്ടതുണ്ട്.

ഉദാഹരണം. സമവാക്യം പരിഹരിക്കുക: `2 sin^2 x+sin x cos x - cos^2 x=1`.

പരിഹാരം. വലതുവശത്ത് `1=sin^2 x+cos^2 x` എന്ന് എഴുതാം:

`2 sin^2 x+sin x cos x — cos^2 x=` `sin^2 x+cos^2 x`,

`2 sin^2 x+sin x cos x — cos^2 x -` ` sin^2 x — cos^2 x=0`

`sin^2 x+sin x cos x — 2 cos^2 x=0`.

ഇത് രണ്ടാം ഡിഗ്രിയുടെ ഒരു ഏകീകൃത ത്രികോണമിതി സമവാക്യമാണ്, നമ്മൾ അതിൻ്റെ ഇടത്, വലത് വശങ്ങളെ `cos^2 x \ne 0` കൊണ്ട് ഹരിച്ചാൽ നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നത്:

`\frac (sin^2 x)(cos^2 x)+\frac(sin x cos x)(cos^2 x) — \frac(2 cos^2 x)(cos^2 x)=0`

`tg^2 x+tg x — 2=0`. പകരം `tg x=t` അവതരിപ്പിക്കാം, അതിൻ്റെ ഫലമായി `t^2 + t - 2=0`. ഈ സമവാക്യത്തിൻ്റെ വേരുകൾ `t_1=-2`, `t_2=1` എന്നിവയാണ്. അപ്പോൾ:

1. `tg x=-2`, `x_1=arctg (-2)+\pi n`, `n \in Z`
2. `tg x=1`, `x=arctg 1+\pi n`, `x_2=\pi/4+\pi n`, ` n \in Z`.

ഉത്തരം. `x_1=arctg (-2)+\pi n`, `n \in Z`, `x_2=\pi/4+\pi n`, `n \in Z`.

ഹാഫ് ആംഗിളിലേക്ക് നീങ്ങുന്നു

ഉദാഹരണം. സമവാക്യം പരിഹരിക്കുക: `11 sin x - 2 cos x = 10`.

പരിഹാരം. നമുക്ക് ഇരട്ട ആംഗിൾ ഫോർമുലകൾ പ്രയോഗിക്കാം, ഫലമായി: `22 sin (x/2) cos (x/2) -` `2 cos^2 x/2 + 2 sin^2 x/2=` `10 sin^2 x /2 +10 കോസ്^2 x/2`

`4 tg^2 x/2 — 11 tg x/2 +6=0`

മുകളിൽ വിവരിച്ച ബീജഗണിത രീതി പ്രയോഗിക്കുമ്പോൾ, നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നത്:

1. `tg x/2=2`, `x_1=2 arctg 2+2\pi n`, `n \in Z`,
2. `tg x/2=3/4`, `x_2=arctg 3/4+2\pi n`, `n \in Z`.

ഉത്തരം. `x_1=2 arctg 2+2\pi n, n \in Z`, `x_2=arctg 3/4+2\pi n`, `n \in Z`.

സഹായ കോണിൻ്റെ ആമുഖം

ത്രികോണമിതി സമവാക്യത്തിൽ `a sin x + b cos x =c`, ഇവിടെ a,b,c ഗുണകങ്ങളും x ഒരു വേരിയബിളും ആണ്, ഇരുവശങ്ങളെയും `sqrt (a^2+b^2)` കൊണ്ട് ഹരിക്കുക:

`\frac a(sqrt (a^2+b^2)) sin x +` `\frac b(sqrt (a^2+b^2)) cos x =` `\frac c(sqrt (a^2) ) +b^2))`.

ഇടതുവശത്തുള്ള ഗുണകങ്ങൾക്ക് സൈൻ, കോസൈൻ എന്നിവയുടെ ഗുണങ്ങളുണ്ട്, അതായത് അവയുടെ ചതുരങ്ങളുടെ ആകെത്തുക 1 ന് തുല്യമാണ്, അവയുടെ മൊഡ്യൂളുകൾ 1-ൽ കൂടുതലല്ല. നമുക്ക് അവയെ ഇനിപ്പറയുന്ന രീതിയിൽ സൂചിപ്പിക്കാം: `\frac a(sqrt (a^2 +b^2))=cos \varphi` , ` \frac b(sqrt (a^2+b^2)) =sin \varphi`, `\frac c(sqrt (a^2+b^2)) =C`, തുടർന്ന്:

`cos \varphi sin x + sin \varphi cos x =C`.

ഇനിപ്പറയുന്ന ഉദാഹരണം നമുക്ക് സൂക്ഷ്മമായി പരിശോധിക്കാം:

ഉദാഹരണം. സമവാക്യം പരിഹരിക്കുക: `3 sin x+4 cos x=2`.

പരിഹാരം. തുല്യതയുടെ ഇരുവശങ്ങളെയും `sqrt (3^2+4^2)` ​​കൊണ്ട് ഹരിക്കുക, നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നത്:

`\frac (3 sin x) (sqrt (3^2+4^2))+``\frac(4 cos x)(sqrt (3^2+4^2))=` `\frac 2(sqrt (3^2+4^2))`

`3/5 sin x+4/5 cos x=2/5`.

`3/5 = cos \varphi` , `4/5= sin \varphi` സൂചിപ്പിക്കാം. `sin \varphi>0`, `cos \varphi>0` എന്നതിനാൽ, ഞങ്ങൾ `\varphi=arcsin 4/5` ഒരു സഹായ കോണായി എടുക്കുന്നു. തുടർന്ന് ഞങ്ങൾ നമ്മുടെ സമത്വം രൂപത്തിൽ എഴുതുന്നു:

`cos \varphi sin x+sin \varphi cos x=2/5`

സൈനിൻ്റെ കോണുകളുടെ ആകെത്തുകയ്ക്കുള്ള സൂത്രവാക്യം പ്രയോഗിച്ച്, ഇനിപ്പറയുന്ന രൂപത്തിൽ ഞങ്ങൾ സമത്വം എഴുതുന്നു:

`sin (x+\varphi)=2/5`,

`x+\varphi=(-1)^n arcsin 2/5+ \pi n`, `n \in Z`,

`x=(-1)^n arcsin 2/5-` `arcsin 4/5+ \pi n`, `n \in Z`.

ഉത്തരം. `x=(-1)^n arcsin 2/5-` `arcsin 4/5+ \pi n`, `n \in Z`.

ഫ്രാക്ഷണൽ റേഷണൽ ത്രികോണമിതി സമവാക്യങ്ങൾ

ന്യൂമറേറ്ററുകളും ഡിനോമിനേറ്ററുകളും ത്രികോണമിതി പ്രവർത്തനങ്ങൾ ഉൾക്കൊള്ളുന്ന ഭിന്നസംഖ്യകളുമായുള്ള തുല്യതകളാണ് ഇവ.

ഉദാഹരണം. സമവാക്യം പരിഹരിക്കുക. `\frac (sin x)(1+cos x)=1-cos x`.

പരിഹാരം. തുല്യതയുടെ വലതുഭാഗത്തെ `(1+cos x)` കൊണ്ട് ഗുണിച്ച് ഹരിക്കുക. ഫലമായി നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നത്:

`\frac (sin x)(1+cos x)=``\frac ((1-cos x)(1+cos x))(1+cos x)`

`\frac (sin x)(1+cos x)=``\frac (1-cos^2 x)(1+cos x)`

`\frac (sin x)(1+cos x)=``\frac (sin^2 x)(1+cos x)`

`\frac (sin x)(1+cos x)-``\frac (sin^2 x)(1+cos x)=0`

`\frac (sin x-sin^2 x)(1+cos x)=0`

ഡിനോമിനേറ്റർ പൂജ്യത്തിന് തുല്യമാകാൻ കഴിയില്ല എന്നത് കണക്കിലെടുക്കുമ്പോൾ, നമുക്ക് `1+cos x \ne 0`, `cos x \ne -1`, ` x \ne \pi+2\pi n, n \in Z` എന്നിവ ലഭിക്കും.

ഭിന്നസംഖ്യയുടെ ന്യൂമറേറ്ററിനെ നമുക്ക് പൂജ്യമായി കണക്കാക്കാം: `sin x-sin^2 x=0`, `sin x(1-sin x)=0`. തുടർന്ന് `sin x=0` അല്ലെങ്കിൽ `1-sin x=0`.

1. `sin x=0`, `x=\pi n`, `n \in Z`
2. `1-sin x=0`, `sin x=-1`, `x=\pi /2+2\pi n, n \in Z`.

` x \ne \pi+2\pi n, n \in Z` എന്നത് നൽകിയാൽ, പരിഹാരങ്ങൾ `x=2\pi n, n \in Z`, `x=\pi /2+2\pi n` എന്നിവയാണ്. , `n \in Z`.

ഉത്തരം. `x=2\pi n`, `n \in Z`, `x=\pi /2+2\pi n`, `n \in Z`.

ത്രികോണമിതിയും പ്രത്യേകിച്ച് ത്രികോണമിതി സമവാക്യങ്ങളും ജ്യാമിതി, ഭൗതികശാസ്ത്രം, എഞ്ചിനീയറിംഗ് എന്നിവയുടെ മിക്കവാറും എല്ലാ മേഖലകളിലും ഉപയോഗിക്കുന്നു. പത്താം ക്ലാസ്സിൽ പഠനം ആരംഭിക്കുന്നു, ഏകീകൃത സംസ്ഥാന പരീക്ഷയ്ക്ക് എല്ലായ്പ്പോഴും ജോലികൾ ഉണ്ട്, അതിനാൽ ത്രികോണമിതി സമവാക്യങ്ങളുടെ എല്ലാ സൂത്രവാക്യങ്ങളും ഓർമ്മിക്കാൻ ശ്രമിക്കുക - അവ തീർച്ചയായും നിങ്ങൾക്ക് ഉപയോഗപ്രദമാകും!

എന്നിരുന്നാലും, നിങ്ങൾ അവ മനഃപാഠമാക്കേണ്ട ആവശ്യമില്ല, പ്രധാന കാര്യം സാരാംശം മനസിലാക്കുകയും അത് ഉരുത്തിരിഞ്ഞ് നേടുകയും ചെയ്യുക എന്നതാണ്. അത് തോന്നുന്നത്ര ബുദ്ധിമുട്ടുള്ള കാര്യമല്ല. വീഡിയോ കണ്ടുകൊണ്ട് സ്വയം കാണുക.

അടിസ്ഥാന ത്രികോണമിതി പ്രവർത്തനങ്ങൾ തമ്മിലുള്ള ബന്ധങ്ങൾ - സൈൻ, കോസൈൻ, ടാൻജെൻ്റ്, കോട്ടാൻജെൻ്റ് - നൽകിയിരിക്കുന്നു ത്രികോണമിതി സൂത്രവാക്യങ്ങൾ. ത്രികോണമിതി ഫംഗ്‌ഷനുകൾക്കിടയിൽ ധാരാളം കണക്ഷനുകൾ ഉള്ളതിനാൽ, ഇത് ത്രികോണമിതി സൂത്രവാക്യങ്ങളുടെ സമൃദ്ധിയെ വിശദീകരിക്കുന്നു. ചില സൂത്രവാക്യങ്ങൾ ഒരേ കോണിൻ്റെ ത്രികോണമിതി ഫംഗ്ഷനുകളെ ബന്ധിപ്പിക്കുന്നു, മറ്റുള്ളവ - ഒന്നിലധികം കോണിൻ്റെ പ്രവർത്തനങ്ങൾ, മറ്റുള്ളവ - ഡിഗ്രി കുറയ്ക്കാൻ നിങ്ങളെ അനുവദിക്കുന്നു, നാലാമത് - എല്ലാ ഫംഗ്ഷനുകളും പകുതി കോണിൻ്റെ സ്പർശനത്തിലൂടെ പ്രകടിപ്പിക്കുക മുതലായവ.

ഈ ലേഖനത്തിൽ ഭൂരിഭാഗം ത്രികോണമിതി പ്രശ്നങ്ങളും പരിഹരിക്കാൻ പര്യാപ്തമായ എല്ലാ അടിസ്ഥാന ത്രികോണമിതി സൂത്രവാക്യങ്ങളും ഞങ്ങൾ ക്രമത്തിൽ പട്ടികപ്പെടുത്തും. മനപ്പാഠമാക്കുന്നതിനും ഉപയോഗിക്കുന്നതിനുമുള്ള എളുപ്പത്തിനായി, ഞങ്ങൾ അവയെ ഉദ്ദേശ്യമനുസരിച്ച് തരംതിരിക്കുകയും പട്ടികകളിലേക്ക് നൽകുകയും ചെയ്യും.

പേജ് നാവിഗേഷൻ.

അടിസ്ഥാന ത്രികോണമിതി ഐഡൻ്റിറ്റികൾ

അടിസ്ഥാന ത്രികോണമിതി ഐഡൻ്റിറ്റികൾഒരു കോണിൻ്റെ സൈൻ, കോസൈൻ, ടാൻജെൻ്റ്, കോട്ടാൻജെൻ്റ് എന്നിവ തമ്മിലുള്ള ബന്ധം നിർവചിക്കുക. സൈൻ, കോസൈൻ, ടാൻജെൻ്റ്, കോട്ടാൻജെൻ്റ് എന്നിവയുടെ നിർവചനത്തിൽ നിന്നും യൂണിറ്റ് സർക്കിൾ എന്ന ആശയത്തിൽ നിന്നും അവ പിന്തുടരുന്നു. ഒരു ത്രികോണമിതി ഫംഗ്‌ഷൻ മറ്റേതിൻ്റെ അടിസ്ഥാനത്തിൽ പ്രകടിപ്പിക്കാൻ അവ നിങ്ങളെ അനുവദിക്കുന്നു.

ഈ ത്രികോണമിതി സൂത്രവാക്യങ്ങളുടെ വിശദമായ വിവരണത്തിനും അവയുടെ ഉത്ഭവത്തിനും പ്രയോഗത്തിൻ്റെ ഉദാഹരണങ്ങൾക്കും ലേഖനം കാണുക.

റിഡക്ഷൻ ഫോർമുലകൾ

റിഡക്ഷൻ ഫോർമുലകൾസൈൻ, കോസൈൻ, ടാൻജെൻ്റ്, കോട്ടാൻജെൻ്റ് എന്നിവയുടെ ഗുണങ്ങളിൽ നിന്ന് പിന്തുടരുക, അതായത്, അവ ത്രികോണമിതി പ്രവർത്തനങ്ങളുടെ ആനുകാലികതയുടെ സ്വത്ത്, സമമിതിയുടെ സ്വത്ത്, അതുപോലെ തന്നിരിക്കുന്ന കോണിലൂടെ ഷിഫ്റ്റിൻ്റെ സ്വത്ത് എന്നിവ പ്രതിഫലിപ്പിക്കുന്നു. ഈ ത്രികോണമിതി സൂത്രവാക്യങ്ങൾ, അനിയന്ത്രിതമായ കോണുകളിൽ നിന്ന് പൂജ്യം മുതൽ 90 ഡിഗ്രി വരെയുള്ള കോണുകളിൽ പ്രവർത്തിക്കാൻ നിങ്ങളെ അനുവദിക്കുന്നു.

ഈ സൂത്രവാക്യങ്ങളുടെ യുക്തി, അവ മനഃപാഠമാക്കുന്നതിനുള്ള ഒരു ഓർമ്മപ്പെടുത്തൽ നിയമവും അവയുടെ പ്രയോഗത്തിൻ്റെ ഉദാഹരണങ്ങളും ലേഖനത്തിൽ പഠിക്കാം.

കൂട്ടിച്ചേർക്കൽ സൂത്രവാക്യങ്ങൾ

ത്രികോണമിതി കൂട്ടിച്ചേർക്കൽ സൂത്രവാക്യങ്ങൾരണ്ട് കോണുകളുടെ ആകെത്തുക അല്ലെങ്കിൽ വ്യത്യാസത്തിൻ്റെ ത്രികോണമിതി പ്രവർത്തനങ്ങൾ ആ കോണുകളുടെ ത്രികോണമിതി പ്രവർത്തനങ്ങളുടെ അടിസ്ഥാനത്തിൽ എങ്ങനെ പ്രകടിപ്പിക്കുന്നുവെന്ന് കാണിക്കുക. ഈ സൂത്രവാക്യങ്ങൾ ഇനിപ്പറയുന്ന ത്രികോണമിതി സൂത്രവാക്യങ്ങൾ രൂപപ്പെടുത്തുന്നതിനുള്ള അടിസ്ഥാനമായി പ്രവർത്തിക്കുന്നു.

ഇരട്ട, ട്രിപ്പിൾ മുതലായവയ്ക്കുള്ള സൂത്രവാക്യങ്ങൾ. കോൺ

ഇരട്ട, ട്രിപ്പിൾ മുതലായവയ്ക്കുള്ള സൂത്രവാക്യങ്ങൾ. ആംഗിൾ (അവയെ ഒന്നിലധികം ആംഗിൾ ഫോർമുലകൾ എന്നും വിളിക്കുന്നു) ഇരട്ട, ട്രിപ്പിൾ മുതലായവയുടെ ത്രികോണമിതി പ്രവർത്തനങ്ങൾ എങ്ങനെയെന്ന് കാണിക്കുന്നു. കോണുകൾ () ഒരു കോണിൻ്റെ ത്രികോണമിതി പ്രവർത്തനങ്ങളുടെ അടിസ്ഥാനത്തിൽ പ്രകടിപ്പിക്കുന്നു. അവയുടെ വ്യുൽപ്പന്നം സങ്കലന സൂത്രവാക്യങ്ങളെ അടിസ്ഥാനമാക്കിയുള്ളതാണ്.

ഇരട്ട, ട്രിപ്പിൾ മുതലായവയ്ക്കുള്ള ലേഖന സൂത്രവാക്യങ്ങളിൽ കൂടുതൽ വിശദമായ വിവരങ്ങൾ ശേഖരിക്കുന്നു. കോൺ

ഹാഫ് ആംഗിൾ ഫോർമുലകൾ

ഹാഫ് ആംഗിൾ ഫോർമുലകൾഒരു അർദ്ധകോണിൻ്റെ ത്രികോണമിതി പ്രവർത്തനങ്ങൾ ഒരു മുഴുവൻ കോണിൻ്റെ കോസൈനിൻ്റെ അടിസ്ഥാനത്തിൽ എങ്ങനെ പ്രകടിപ്പിക്കുന്നുവെന്ന് കാണിക്കുക. ഈ ത്രികോണമിതി സൂത്രവാക്യങ്ങൾ ഇരട്ട ആംഗിൾ ഫോർമുലകളിൽ നിന്ന് പിന്തുടരുന്നു.

അവരുടെ നിഗമനവും പ്രയോഗത്തിൻ്റെ ഉദാഹരണങ്ങളും ലേഖനത്തിൽ കാണാം.

ഡിഗ്രി റിഡക്ഷൻ ഫോർമുലകൾ

ഡിഗ്രികൾ കുറയ്ക്കുന്നതിനുള്ള ത്രികോണമിതി സൂത്രവാക്യങ്ങൾത്രികോണമിതി പ്രവർത്തനങ്ങളുടെ സ്വാഭാവിക ശക്തികളിൽ നിന്ന് സൈനുകളിലേക്കും കോസൈനുകളിലേക്കും ഫസ്റ്റ് ഡിഗ്രിയിൽ, എന്നാൽ ഒന്നിലധികം കോണുകളിലേക്കുള്ള പരിവർത്തനം സുഗമമാക്കുന്നതിനാണ് രൂപകൽപ്പന ചെയ്തിരിക്കുന്നത്. മറ്റൊരു വിധത്തിൽ പറഞ്ഞാൽ, ത്രികോണമിതി പ്രവർത്തനങ്ങളുടെ ശക്തികൾ ആദ്യത്തേതിലേക്ക് കുറയ്ക്കാൻ അവ നിങ്ങളെ അനുവദിക്കുന്നു.

ത്രികോണമിതി പ്രവർത്തനങ്ങളുടെ ആകെത്തുകയ്ക്കും വ്യത്യാസത്തിനുമുള്ള സൂത്രവാക്യങ്ങൾ

പ്രധാന ഉദ്ദേശം ത്രികോണമിതി പ്രവർത്തനങ്ങളുടെ ആകെത്തുകയ്ക്കും വ്യത്യാസത്തിനുമുള്ള സൂത്രവാക്യങ്ങൾഫംഗ്ഷനുകളുടെ ഉൽപ്പന്നത്തിലേക്ക് പോകുക എന്നതാണ്, ത്രികോണമിതി പദപ്രയോഗങ്ങൾ ലളിതമാക്കുമ്പോൾ ഇത് വളരെ ഉപയോഗപ്രദമാണ്. ത്രികോണമിതി സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിലും ഈ സൂത്രവാക്യങ്ങൾ വ്യാപകമായി ഉപയോഗിക്കപ്പെടുന്നു, കാരണം അവ സൈനുകളുടെയും കോസൈനുകളുടെയും തുകയും വ്യത്യാസവും കണക്കാക്കാൻ നിങ്ങളെ അനുവദിക്കുന്നു.

സൈനുകൾ, കോസൈനുകൾ, സൈൻ ബൈ കോസൈൻ എന്നിവയുടെ ഉൽപ്പന്നത്തിനായുള്ള ഫോർമുലകൾ

ത്രികോണമിതി ഫംഗ്‌ഷനുകളുടെ ഗുണനത്തിൽ നിന്ന് ഒരു തുകയിലേക്കോ വ്യത്യാസത്തിലേക്കോ ഉള്ള മാറ്റം സൈനുകൾ, കോസൈനുകൾ, സൈൻ ബൈ കോസൈൻ എന്നിവയുടെ സൂത്രവാക്യങ്ങൾ ഉപയോഗിച്ചാണ് നടത്തുന്നത്.

യൂണിവേഴ്സൽ ട്രൈഗണോമെട്രിക് സബ്സ്റ്റിറ്റ്യൂഷൻ

ത്രികോണമിതിയുടെ അടിസ്ഥാന സൂത്രവാക്യങ്ങളുടെ അവലോകനം ഞങ്ങൾ പൂർത്തിയാക്കുന്നു. ഈ പകരക്കാരനെ വിളിച്ചു സാർവത്രിക ത്രികോണമിതി പകരം വയ്ക്കൽ. എല്ലാ ത്രികോണമിതി പ്രവർത്തനങ്ങളും വേരുകളില്ലാതെ യുക്തിസഹമായി ഒരു പകുതി കോണിൻ്റെ സ്പർശനത്തിൻ്റെ അടിസ്ഥാനത്തിൽ പ്രകടിപ്പിക്കുന്നു എന്നതാണ് ഇതിൻ്റെ സൗകര്യം.

ഗ്രന്ഥസൂചിക.

• ബീജഗണിതം:പാഠപുസ്തകം 9-ാം ക്ലാസിന്. ശരാശരി സ്കൂൾ/യു. എൻ.മകാരിചേവ്, എൻ.ജി.മിൻഡ്യൂക്ക്, കെ.ഐ.നെഷ്കോവ്, എസ്.ബി.സുവോറോവ; എഡ്. S. A. Telyakovsky - M.: Education, 1990. - 272 pp.: ill - ISBN 5-09-002727-7
• ബാഷ്മാകോവ് എം.ഐ.ബീജഗണിതവും വിശകലനത്തിൻ്റെ തുടക്കവും: പാഠപുസ്തകം. 10-11 ഗ്രേഡുകൾക്ക്. ശരാശരി സ്കൂൾ - മൂന്നാം പതിപ്പ്. - എം.: വിദ്യാഭ്യാസം, 1993. - 351 പേ.: അസുഖം. - ISBN 5-09-004617-4.
• ബീജഗണിതംവിശകലനത്തിൻ്റെ തുടക്കവും: Proc. 10-11 ഗ്രേഡുകൾക്ക്. പൊതു വിദ്യാഭ്യാസം സ്ഥാപനങ്ങൾ / A. N. Kolmogorov, A. M. Abramov, Yu P. Dudnitsyn മറ്റുള്ളവരും; എഡ്. A. N. Kolmogorov - 14th ed. - 384 pp.: ill - ISBN
• ഗുസെവ് വി.എ., മൊർഡ്കോവിച്ച് എ.ജി.ഗണിതശാസ്ത്രം (സാങ്കേതികവിദ്യാലയങ്ങളിൽ പ്രവേശിക്കുന്നവർക്കുള്ള ഒരു മാനുവൽ): Proc. അലവൻസ്.- എം.; ഉയർന്നത് സ്കൂൾ, 1984.-351 പി., അസുഖം.

മിടുക്കരായ വിദ്യാർത്ഥികളുടെ പകർപ്പവകാശം

എല്ലാ അവകാശങ്ങളും നിക്ഷിപ്തം.
പകർപ്പവകാശ നിയമത്താൽ പരിരക്ഷിക്കപ്പെട്ടിരിക്കുന്നു. പകർപ്പവകാശ ഉടമയുടെ മുൻകൂർ രേഖാമൂലമുള്ള അനുമതിയില്ലാതെ, ആന്തരിക മെറ്റീരിയലുകളും രൂപഭാവവും ഉൾപ്പെടെ സൈറ്റിൻ്റെ ഒരു ഭാഗവും ഏതെങ്കിലും രൂപത്തിൽ പുനർനിർമ്മിക്കാൻ പാടില്ല.