ഈ ലേഖനം ഒരു വിമാനത്തിലെ ഒരു നേർരേഖയുടെ സമവാക്യത്തിന്റെ തീം തുടരുന്നു: ഇത്തരത്തിലുള്ള സമവാക്യത്തെ ഒരു നേർരേഖയുടെ പൊതു സമവാക്യമായി പരിഗണിക്കുക. നമുക്ക് ഒരു സിദ്ധാന്തം നിർവചിച്ച് അതിന്റെ തെളിവ് നൽകാം; ഒരു നേർരേഖയുടെ അപൂർണ്ണമായ പൊതു സമവാക്യം എന്താണെന്നും ഒരു പൊതു സമവാക്യത്തിൽ നിന്ന് ഒരു നേർരേഖയുടെ മറ്റ് തരത്തിലുള്ള സമവാക്യങ്ങളിലേക്ക് എങ്ങനെ പരിവർത്തനം ചെയ്യാമെന്നും നമുക്ക് നോക്കാം. മുഴുവൻ സിദ്ധാന്തത്തെയും ചിത്രീകരണങ്ങളിലൂടെയും പ്രായോഗിക പ്രശ്\u200cനങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിലൂടെയും ഞങ്ങൾ ഏകീകരിക്കും.

Yandex.RTB R-A-339285-1

വിമാനത്തിൽ ഒരു ചതുരാകൃതിയിലുള്ള കോർഡിനേറ്റ് സിസ്റ്റം O x y നൽകട്ടെ.

സിദ്ധാന്തം 1

ആദ്യത്തെ ഡിഗ്രിയുടെ ഏത് സമവാക്യവും, A x + B y + C \u003d 0 എന്ന രൂപമുള്ള A, B, C ചില യഥാർത്ഥ സംഖ്യകളാണ് (A, B എന്നിവ ഒരേ സമയം പൂജ്യത്തിന് തുല്യമല്ല) a ലെ ഒരു നേർരേഖയെ നിർവചിക്കുന്നു ഒരു വിമാനത്തിൽ ചതുരാകൃതിയിലുള്ള കോർഡിനേറ്റ് സിസ്റ്റം. ഒരു വിമാനത്തിലെ ചതുരാകൃതിയിലുള്ള കോർഡിനേറ്റ് സിസ്റ്റത്തിലെ ഏത് നേർരേഖയും നിർണ്ണയിക്കുന്നത് ഒരു നിശ്ചിത മൂല്യങ്ങളായ A, B, C ന് A x + B y + C \u003d 0 എന്ന രൂപമുള്ള ഒരു സമവാക്യമാണ്.

തെളിവ്

ഈ പ്രമേയം രണ്ട് പോയിന്റുകൾ ഉൾക്കൊള്ളുന്നു, അവ ഓരോന്നും ഞങ്ങൾ തെളിയിക്കും.

1. A x + B y + C \u003d 0 എന്ന സമവാക്യം വിമാനത്തിലെ ഒരു നേർരേഖയെ നിർവചിക്കുന്നുവെന്ന് നമുക്ക് തെളിയിക്കാം.

Point 0 (x 0, y 0) എന്ന ഒരു പോയിന്റ് നിലവിലുണ്ടെങ്കിൽ, അതിന്റെ കോർഡിനേറ്റുകൾ A x + B y + C \u003d 0 എന്ന സമവാക്യവുമായി യോജിക്കുന്നു. ഇപ്രകാരം: A x 0 + B y 0 + C \u003d 0. സമവാക്യങ്ങളുടെ ഇടത്, വലത് വശങ്ങളിൽ നിന്ന് കുറയ്ക്കുക A x + B y + C \u003d 0 സമവാക്യത്തിന്റെ ഇടത്, വലത് വശങ്ങൾ A x 0 + B y 0 + C \u003d 0, നമുക്ക് A (x) ഫോമിന്റെ പുതിയ സമവാക്യം ലഭിക്കും - x 0) + B (y - y 0) \u003d 0. ഇത് A x + B y + C \u003d 0 ന് തുല്യമാണ്.

തത്ഫലമായുണ്ടാകുന്ന സമവാക്യം A (x - x 0) + B (y - y 0) \u003d 0 വെക്റ്ററുകൾക്ക് ആവശ്യമായതും മതിയായതുമായ അവസ്ഥയാണ് n → \u003d (A, B), M 0 M → \u003d (x - x 0, y - y 0). അതിനാൽ, വെക്റ്ററിന്റെ n → \u003d (A, B) ദിശയ്ക്ക് ലംബമായി ചതുരാകൃതിയിലുള്ള കോർഡിനേറ്റ് സിസ്റ്റത്തിലെ ഒരു നേർരേഖയെ M (x, y) പോയിന്റുകളുടെ ഗണം നിർവചിക്കുന്നു. ഇത് അങ്ങനെയല്ലെന്ന് നമുക്ക് അനുമാനിക്കാം, പക്ഷേ വെക്റ്ററുകൾ n → \u003d (A, B), M 0 M → \u003d (x - x 0, y - y 0) ലംബമാകില്ല, ഒപ്പം തുല്യത A (x - x 0) + B (y - y 0) \u003d 0 ശരിയാകില്ല.

അതിനാൽ, A (x - x 0) + B (y - y 0) \u003d 0 എന്ന സമവാക്യം വിമാനത്തിലെ ചതുരാകൃതിയിലുള്ള കോർഡിനേറ്റ് സിസ്റ്റത്തിലെ ചില നേർരേഖയെ നിർവചിക്കുന്നു, അതിനാൽ തുല്യ സമവാക്യം A x + B y + C \u003d 0 നിർവചിക്കുന്നു ഒരേ നേർരേഖ. പ്രമേയത്തിന്റെ ആദ്യ ഭാഗം ഞങ്ങൾ തെളിയിച്ചത് ഇങ്ങനെയാണ്.

1. ഒരു വിമാനത്തിലെ ചതുരാകൃതിയിലുള്ള കോർഡിനേറ്റ് സിസ്റ്റത്തിലെ ഏത് നേർരേഖയും ആദ്യത്തെ ഡിഗ്രി A x + B y + C \u003d 0 എന്ന സമവാക്യത്തിലൂടെ നിർവചിക്കാമെന്നതിന് ഒരു തെളിവ് നൽകാം.

വിമാനത്തിൽ ഒരു ചതുരാകൃതിയിലുള്ള കോർഡിനേറ്റ് സിസ്റ്റത്തിൽ നമുക്ക് നേർരേഖ a സജ്ജമാക്കാം; പോയിന്റ് M 0 (x 0, y 0), അതിലൂടെ ഈ വരി കടന്നുപോകുന്നു, അതുപോലെ തന്നെ ഈ വരിയുടെ സാധാരണ വെക്റ്ററും n → \u003d (A, B).

ചില പോയിന്റുകളും M (x, y) ഉണ്ടായിരിക്കട്ടെ - ഒരു നേർരേഖയുടെ ഫ്ലോട്ടിംഗ് പോയിൻറ്. ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, വെക്റ്ററുകൾ n → \u003d (A, B), M 0 M → \u003d (x - x 0, y - y 0) പരസ്പരം ലംബമാണ്, അവയുടെ സ്കെയിലർ ഉൽപ്പന്നം പൂജ്യമാണ്:

n →, M 0 M → \u003d A (x - x 0) + B (y - y 0) \u003d 0

A x + B y - A x 0 - B y 0 \u003d 0 എന്ന സമവാക്യം മാറ്റിയെഴുതുക, C: C \u003d - A x 0 - B y 0 എന്ന് നിർവചിക്കുക, അവസാനം നമുക്ക് A x + B y + C \u003d 0 എന്ന സമവാക്യം ലഭിക്കും.

അങ്ങനെ, പ്രമേയത്തിന്റെ രണ്ടാം ഭാഗം ഞങ്ങൾ തെളിയിച്ചു, മുഴുവൻ പ്രമേയവും ഞങ്ങൾ തെളിയിച്ചു.

നിർവചനം 1

ഫോമിന്റെ ഒരു സമവാക്യം ഒരു x + B y + C \u003d 0 - ഇതാണ് വരിയുടെ പൊതു സമവാക്യം ഒരു ചതുരാകൃതിയിലുള്ള കോർഡിനേറ്റ് സിസ്റ്റത്തിലെ ഒരു വിമാനത്തിൽ O x y.

തെളിയിക്കപ്പെട്ട പ്രമേയത്തെ അടിസ്ഥാനമാക്കി, ഒരു നിശ്ചിത ചതുരാകൃതിയിലുള്ള കോർഡിനേറ്റ് സിസ്റ്റത്തിൽ ഒരു വിമാനത്തിൽ നൽകിയിരിക്കുന്ന ഒരു നേർരേഖയും അതിന്റെ പൊതു സമവാക്യവും അഭേദ്യമായി ബന്ധപ്പെട്ടിരിക്കുന്നുവെന്ന് നമുക്ക് നിഗമനം ചെയ്യാം. മറ്റൊരു വിധത്തിൽ പറഞ്ഞാൽ, പ്രാരംഭ നേർരേഖ അതിന്റെ പൊതു സമവാക്യവുമായി യോജിക്കുന്നു; ഒരു നേർരേഖയുടെ പൊതു സമവാക്യം തന്നിരിക്കുന്ന നേർരേഖയുമായി യോജിക്കുന്നു.

X, y എന്നീ വേരിയബിളുകളുടെ A, B എന്നീ ഗുണകങ്ങൾ നേർരേഖയുടെ സാധാരണ വെക്റ്ററിന്റെ കോർഡിനേറ്റുകളാണെന്ന സിദ്ധാന്തത്തിന്റെ തെളിവിൽ നിന്നും ഇത് പിന്തുടരുന്നു, ഇത് A x + B y + എന്ന നേർരേഖയുടെ പൊതു സമവാക്യം നൽകുന്നു. സി \u003d 0.

ഒരു നേർരേഖയുടെ പൊതു സമവാക്യത്തിന്റെ ഒരു പ്രത്യേക ഉദാഹരണം പരിഗണിക്കുക.

2 x + 3 y - 2 \u003d 0 എന്ന സമവാക്യം നൽകട്ടെ, ഇത് ഒരു നിശ്ചിത ചതുരാകൃതിയിലുള്ള കോർഡിനേറ്റ് സിസ്റ്റത്തിലെ ഒരു നേർരേഖയുമായി യോജിക്കുന്നു. ഈ വരിയുടെ സാധാരണ വെക്റ്റർ വെക്റ്ററാണ് n → \u003d (2, 3). ഡ്രോയിംഗിൽ നൽകിയ ഒരു നേർരേഖ വരയ്ക്കുക.

ഇനിപ്പറയുന്നവ er ന്നിപ്പറയാനും കഴിയും: ഡ്രോയിംഗിൽ നമ്മൾ കാണുന്ന നേർരേഖ നിർണ്ണയിക്കുന്നത് 2 x + 3 y - 2 \u003d 0 എന്ന പൊതു സമവാക്യമാണ്, കാരണം ഒരു നിശ്ചിത നേർരേഖയിലെ എല്ലാ പോയിന്റുകളുടെയും കോർഡിനേറ്റുകൾ ഈ സമവാക്യവുമായി യോജിക്കുന്നു.

വരിയുടെ പൊതു സമവാക്യത്തിന്റെ ഇരുവശങ്ങളും പൂജ്യത്തിന് തുല്യമല്ലാത്ത ഒരു സംഖ്യ കൊണ്ട് ഗുണിച്ചാൽ നമുക്ക് · · A x + λ · B y + · · C \u003d 0 എന്ന സമവാക്യം ലഭിക്കും. തത്ഫലമായുണ്ടാകുന്ന സമവാക്യം യഥാർത്ഥ പൊതു സമവാക്യത്തിന് തുല്യമാണ്, അതിനാൽ വിമാനത്തിലെ അതേ നേർരേഖയെ വിവരിക്കും.

വരിയുടെ പൊതുവായ സമവാക്യം - A x + B y + C \u003d 0 എന്ന നേർരേഖയുടെ അത്തരമൊരു പൊതു സമവാക്യം, അതിൽ A, B, C അക്കങ്ങൾ പൂജ്യത്തിൽ നിന്ന് വ്യത്യസ്തമാണ്. അല്ലെങ്കിൽ സമവാക്യം അപൂർണ്ണമാണ്.

വരിയുടെ അപൂർണ്ണമായ പൊതു സമവാക്യത്തിന്റെ എല്ലാ വ്യതിയാനങ്ങളും നമുക്ക് പരിശോധിക്കാം.

1. A \u003d 0, B ≠ 0, C ≠ 0 ആകുമ്പോൾ, പൊതു സമവാക്യം B y + C \u003d 0 ആയി മാറുന്നു. അത്തരമൊരു അപൂർണ്ണമായ പൊതു സമവാക്യം ഒരു ചതുരാകൃതിയിലുള്ള കോർഡിനേറ്റ് സിസ്റ്റത്തിൽ നിർവചിക്കുന്നു O x y ഒരു നേർരേഖ O x അക്ഷത്തിന് സമാന്തരമാണ്, കാരണം x ന്റെ ഏതെങ്കിലും യഥാർത്ഥ മൂല്യത്തിന് വേരിയബിൾ y മൂല്യം എടുക്കും - സി ബി. മറ്റൊരു വിധത്തിൽ പറഞ്ഞാൽ, A x + B y + C \u003d 0 എന്ന നേർരേഖയുടെ പൊതു സമവാക്യം, A \u003d 0, B ≠ 0, പോയിന്റുകളുടെ (x, y) ലോക്കസ് വ്യക്തമാക്കുമ്പോൾ, അതിന്റെ കോർഡിനേറ്റുകൾ ഒരേ സംഖ്യയ്ക്ക് തുല്യമാണ് - സി ബി.
2. A \u003d 0, B ≠ 0, C \u003d 0 ആണെങ്കിൽ, പൊതു സമവാക്യം y \u003d 0 എന്ന ഫോം എടുക്കുന്നു. ഈ അപൂർണ്ണമായ സമവാക്യം അബ്സിസ്സ അക്ഷം O x നിർവചിക്കുന്നു.
3. A ≠ 0, B \u003d 0, C ≠ 0 ആയിരിക്കുമ്പോൾ, ഓർഡിനേറ്റ് അക്ഷത്തിന് സമാന്തരമായി ഒരു നേർരേഖയെ നിർവചിക്കുന്ന A x + C \u003d 0 എന്ന അപൂർണ്ണമായ പൊതു സമവാക്യം ഞങ്ങൾ നേടുന്നു.
4. A ≠ 0, B \u003d 0, C \u003d 0 അനുവദിക്കുക, അപ്പോൾ അപൂർണ്ണമായ പൊതു സമവാക്യം x \u003d 0 എന്ന ഫോം എടുക്കും, ഇത് O y എന്ന കോർഡിനേറ്റ് ലൈനിന്റെ സമവാക്യമാണ്.
5. അവസാനമായി, A ≠ 0, B ≠ 0, C \u003d 0 ന്, അപൂർണ്ണമായ പൊതു സമവാക്യം A x + B y \u003d 0 എന്ന രൂപം എടുക്കുന്നു. ഈ സമവാക്യം ഉത്ഭവത്തിലൂടെ കടന്നുപോകുന്ന ഒരു നേർരേഖയെ വിവരിക്കുന്നു. വാസ്തവത്തിൽ, A · 0 + B · 0 \u003d 0 മുതൽ അക്കങ്ങളുടെ ജോഡി (0, 0) A x + B y \u003d 0 എന്ന തുല്യതയുമായി യോജിക്കുന്നു.

ഒരു നേർരേഖയുടെ അപൂർണ്ണമായ പൊതു സമവാക്യത്തിന്റെ മുകളിലുള്ള എല്ലാ തരങ്ങളും ഗ്രാഫിക്കായി നമുക്ക് ചിത്രീകരിക്കാം.

ഉദാഹരണം 1

തന്നിരിക്കുന്ന നേർരേഖ ഓർഡിനേറ്റ് അക്ഷത്തിന് സമാന്തരമാണെന്നും 2 7, - 11 പോയിന്റിലൂടെ കടന്നുപോകുന്നുവെന്നും അറിയാം. തന്നിരിക്കുന്ന നേർരേഖയുടെ പൊതു സമവാക്യം എഴുതേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്.

തീരുമാനം

ഓർഡിനേറ്റ് അക്ഷത്തിന് സമാന്തരമായി ഒരു നേർരേഖ നൽകുന്നത് A x + C \u003d 0 എന്ന ഫോമിന്റെ സമവാക്യമാണ്, അതിൽ A ≠ 0. കൂടാതെ, നിബന്ധന കടന്നുപോകുന്ന ബിന്ദുവിന്റെ കോർഡിനേറ്റുകളെ വ്യവസ്ഥ വ്യക്തമാക്കുന്നു, കൂടാതെ ഈ പോയിന്റിലെ കോർഡിനേറ്റുകൾ A x + C \u003d 0 എന്ന അപൂർണ്ണമായ പൊതു സമവാക്യത്തിന്റെ വ്യവസ്ഥകൾ പാലിക്കുന്നു, അതായത്. സമത്വം ശരിയാണ്:

A · 2 7 + C \u003d 0

ഒരു പൂജ്യമല്ലാത്ത മൂല്യം നൽകിക്കൊണ്ട് അതിൽ നിന്ന് സി നിർണ്ണയിക്കാൻ കഴിയും, ഉദാഹരണത്തിന്, A \u003d 7. ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, ഞങ്ങൾക്ക് ലഭിക്കുന്നത്: 7 · 2 7 + C \u003d 0 ⇔ C \u003d - 2. A, C എന്നീ ഗുണകങ്ങളെ നമുക്കറിയാം, അവയെ A x + C \u003d 0 എന്ന സമവാക്യത്തിലേക്ക് മാറ്റി പകരം വരയുടെ ആവശ്യമായ സമവാക്യം നേടുക: 7 x - 2 \u003d 0

ഉത്തരം: 7 x - 2 \u003d 0

ഉദാഹരണം 2

ഡ്രോയിംഗ് ഒരു നേർരേഖ കാണിക്കുന്നു, അതിന്റെ സമവാക്യം എഴുതേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്.

തീരുമാനം

മുകളിലുള്ള ഡ്രോയിംഗ് പ്രശ്നം പരിഹരിക്കുന്നതിനുള്ള പ്രാരംഭ ഡാറ്റ എളുപ്പത്തിൽ എടുക്കാൻ ഞങ്ങളെ അനുവദിക്കുന്നു. തന്നിരിക്കുന്ന വരി O x അക്ഷത്തിന് സമാന്തരമാണെന്നും പോയിന്റിലൂടെ (0, 3) കടന്നുപോകുന്നുവെന്നും ഡ്രോയിംഗിൽ ഞങ്ങൾ കാണുന്നു.

അബ്സിസ്സയുടെ കണ്ണുകൾക്ക് സമാന്തരമായിട്ടുള്ള നേർരേഖ നിർണ്ണയിക്കുന്നത് അപൂർണ്ണമായ പൊതു സമവാക്യം B y + C \u003d 0 ആണ്. ബി, സി എന്നിവയുടെ മൂല്യങ്ങൾ കണ്ടെത്താം. പോയിന്റിലെ കോർഡിനേറ്റുകൾ (0, 3), ഒരു നിശ്ചിത നേർരേഖ അതിലൂടെ കടന്നുപോകുന്നതിനാൽ, B y + C \u003d 0 എന്ന നേർരേഖയുടെ സമവാക്യം തൃപ്തിപ്പെടുത്തും, തുടർന്ന് തുല്യത സാധുവാണ്: B · 3 + C \u003d 0. B- യ്ക്ക് പൂജ്യമല്ലാതെ ചില മൂല്യം സജ്ജമാക്കാം. B \u003d 1, ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, B 3 + C \u003d 0 എന്ന സമത്വത്തിൽ നിന്ന് നമുക്ക് C: C \u003d - 3 കണ്ടെത്താം. B, C എന്നിവയുടെ അറിയപ്പെടുന്ന മൂല്യങ്ങൾ ഞങ്ങൾ ഉപയോഗിക്കുന്നു, നേർരേഖയുടെ ആവശ്യമായ സമവാക്യം ഞങ്ങൾ നേടുന്നു: y - 3 \u003d 0.

ഉത്തരം: y - 3 \u003d 0.

വിമാനത്തിന്റെ ഒരു നിശ്ചിത പോയിന്റിലൂടെ കടന്നുപോകുന്ന ഒരു നേർരേഖയുടെ പൊതു സമവാക്യം

തന്നിരിക്കുന്ന വരി point 0 (x 0, y 0) പോയിന്റിലൂടെ കടന്നുപോകട്ടെ, തുടർന്ന് അതിന്റെ കോർഡിനേറ്റുകൾ വരിയുടെ പൊതു സമവാക്യവുമായി യോജിക്കുന്നു, അതായത്. സമത്വം ശരിയാണ്: A x 0 + B y 0 + C \u003d 0. ഈ സമവാക്യത്തിന്റെ ഇടത്, വലത് വശങ്ങൾ വരിയുടെ പൊതുവായ പൂർണ്ണ സമവാക്യത്തിന്റെ ഇടത്, വലത് വശങ്ങളിൽ നിന്ന് ഞങ്ങൾ കുറയ്ക്കുന്നു. നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നു: A (x - x 0) + B (y - y 0) + C \u003d 0, ഈ സമവാക്യം യഥാർത്ഥ ജനറലിന് തുല്യമാണ്, point 0 (x 0, y 0) പോയിന്റിലൂടെ കടന്നുപോകുന്നു, കൂടാതെ ഒരു സാധാരണ വെക്റ്ററും ഉണ്ട് n → \u003d (എ, ബി).

ഞങ്ങൾ നേടിയ ഫലം, നേർരേഖയുടെ സാധാരണ വെക്റ്ററിന്റെ അറിയപ്പെടുന്ന കോർഡിനേറ്റുകളും ഈ നേർരേഖയുടെ ഒരു നിശ്ചിത പോയിന്റിലെ കോർഡിനേറ്റുകളും ഉപയോഗിച്ച് ഒരു നേർരേഖയുടെ പൊതു സമവാക്യം എഴുതുന്നത് സാധ്യമാക്കുന്നു.

ഉദാഹരണം 3

ഒരു പോയിന്റ് given 0 (- 3, 4) നൽകി, അതിലൂടെ ഒരു നേർരേഖ കടന്നുപോകുന്നു, ഈ നേർരേഖയുടെ സാധാരണ വെക്റ്ററും n → \u003d (1, - 2). തന്നിരിക്കുന്ന നേർരേഖയുടെ സമവാക്യം എഴുതേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്.

തീരുമാനം

സമവാക്യം വരയ്ക്കുന്നതിന് ആവശ്യമായ ഡാറ്റ നേടാൻ പ്രാരംഭ വ്യവസ്ഥകൾ ഞങ്ങളെ അനുവദിക്കുന്നു: A \u003d 1, B \u003d - 2, x 0 \u003d - 3, y 0 \u003d 4. തുടർന്ന്:

A (x - x 0) + B (y - y 0) \u003d 0 ⇔ 1 (x - (- 3)) - 2 y (y - 4) \u003d 0 ⇔ ⇔ x - 2 y + 22 \u003d 0

പ്രശ്നം വ്യത്യസ്തമായി പരിഹരിക്കാമായിരുന്നു. വരിയുടെ പൊതു സമവാക്യം A x + B y + C \u003d 0 ആണ്. തന്നിരിക്കുന്ന സാധാരണ വെക്റ്റർ എ, ബി എന്നീ ഗുണകങ്ങളുടെ മൂല്യങ്ങൾ നേടാൻ നിങ്ങളെ അനുവദിക്കുന്നു, തുടർന്ന്:

ഒരു x + B y + C \u003d 0 ⇔ 1 x - 2 y + C \u003d 0 ⇔ x - 2 y + C \u003d 0

പ്രശ്നത്തിന്റെ അവസ്ഥ വ്യക്തമാക്കിയ M 0 (- 3, 4) പോയിന്റ് ഉപയോഗിച്ച് സി യുടെ മൂല്യം ഇപ്പോൾ കണ്ടെത്തുന്നു, അതിലൂടെ നേർരേഖ കടന്നുപോകുന്നു. ഈ പോയിന്റിലെ കോർഡിനേറ്റുകൾ x - 2 y + C \u003d 0 എന്ന സമവാക്യവുമായി യോജിക്കുന്നു, അതായത്. - 3 - 2 4 + സി \u003d 0. അതിനാൽ സി \u003d 11. നേർരേഖയുടെ ആവശ്യമായ സമവാക്യം ഫോം എടുക്കുന്നു: x - 2 y + 11 \u003d 0.

ഉത്തരം: x - 2 y + 11 \u003d 0.

ഉദാഹരണം 4

ഒരു നേർരേഖ 2 3 x - y - 1 2 \u003d 0, ഈ നേർരേഖയിൽ കിടക്കുന്ന point 0 പോയിന്റ് എന്നിവ നൽകിയിരിക്കുന്നു. ഈ പോയിന്റിലെ അബ്സിസ്സ മാത്രമേ അറിയൂ, അത് തുല്യമാണ് - 3. തന്നിരിക്കുന്ന പോയിന്റിന്റെ ഓർഡിനേറ്റ് നിർണ്ണയിക്കേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്.

തീരുമാനം

0 പോയിന്റിന്റെ കോർഡിനേറ്റുകളുടെ സ്ഥാനം x 0, y 0 എന്നിങ്ങനെ സജ്ജമാക്കാം. പ്രാരംഭ ഡാറ്റ x 0 \u003d - 3 എന്ന് സൂചിപ്പിക്കുന്നു. ഒരു പോയിന്റ് ഒരു നിശ്ചിത രേഖയുടെ വകയായതിനാൽ, അതിന്റെ കോർഡിനേറ്റുകൾ ഈ നേർരേഖയുടെ പൊതു സമവാക്യവുമായി യോജിക്കുന്നു. അപ്പോൾ തുല്യത ശരിയാകും:

2 3 x 0 - y 0 - 1 2 \u003d 0

Y 0: 2 3 (- 3) നിർണ്ണയിക്കുക - y 0 - 1 2 \u003d 0 ⇔ - 5 2 - y 0 \u003d 0 ⇔ y 0 \u003d - 5 2

ഉത്തരം: - 5 2

ഒരു നേർരേഖയുടെ പൊതു സമവാക്യത്തിൽ നിന്ന് ഒരു നേർരേഖയിലേക്കും പിന്നിലേക്കും മറ്റ് തരത്തിലുള്ള സമവാക്യങ്ങളിലേക്കുള്ള മാറ്റം

നമുക്കറിയാവുന്നതുപോലെ, വിമാനത്തിൽ ഒരേ നേർരേഖയ്ക്കായി നിരവധി തരം സമവാക്യങ്ങൾ ഉണ്ട്. സമവാക്യത്തിന്റെ തിരഞ്ഞെടുപ്പ് പ്രശ്നത്തിന്റെ അവസ്ഥയെ ആശ്രയിച്ചിരിക്കുന്നു; അത് പരിഹരിക്കുന്നതിന് കൂടുതൽ സൗകര്യപ്രദമായ ഒന്ന് തിരഞ്ഞെടുക്കാൻ കഴിയും. ഇവിടെയാണ് ഒരു തരത്തിലുള്ള ഒരു സമവാക്യത്തെ മറ്റൊരു തരത്തിലുള്ള സമവാക്യമാക്കി മാറ്റുന്നതിനുള്ള വൈദഗ്ദ്ധ്യം പ്രയോജനപ്പെടുന്നത്.

ആരംഭിക്കുന്നതിന്, A x + B y + C \u003d 0 എന്ന ഫോമിന്റെ പൊതു സമവാക്യത്തിൽ നിന്ന് x - x 1 a x \u003d y - y 1 a y എന്ന കാനോനിക്കൽ സമവാക്യത്തിലേക്ക് പരിവർത്തനം പരിഗണിക്കുക.

Y ≠ 0 ആണെങ്കിൽ, ഞങ്ങൾ B y എന്ന പദം പൊതു സമവാക്യത്തിന്റെ വലതുവശത്തേക്ക് മാറ്റുന്നു. ഇടതുവശത്ത്, ബ്രാക്കറ്റുകൾക്ക് പുറത്ത് A സ്ഥാപിക്കുക. ഫലമായി, നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നു: A x + C A \u003d - B y.

ഈ സമത്വം ഒരു അനുപാതമായി എഴുതാം: x + C A - B \u003d y A.

В ≠ 0 ആണെങ്കിൽ, ഞങ്ങൾ പൊതു സമവാക്യത്തിന്റെ ഇടതുവശത്ത് A x എന്ന പദം മാത്രം അവശേഷിക്കുന്നു, മറ്റുള്ളവ വലതുവശത്തേക്ക് മാറ്റുക, നമുക്ക് ലഭിക്കും: A x \u003d - B y - C. ഞങ്ങൾ പുറത്തെടുക്കുന്നു - B ബ്രാക്കറ്റുകൾക്ക് പുറത്ത്, തുടർന്ന്: A x \u003d - B y + C B.

സമത്വം ഒരു അനുപാതമായി മാറ്റിയെഴുതാം: x - B \u003d y + C B A.

തത്ഫലമായുണ്ടാകുന്ന സൂത്രവാക്യങ്ങൾ മന or പാഠമാക്കേണ്ട ആവശ്യമില്ല. പൊതുവായ സമവാക്യത്തിൽ നിന്ന് കാനോനിക്കലിലേക്കുള്ള പരിവർത്തനത്തിലെ പ്രവർത്തനങ്ങളുടെ അൽഗോരിതം അറിയാൻ ഇത് മതിയാകും.

ഉദാഹരണം 5

നേർരേഖയുടെ പൊതു സമവാക്യം നൽകിയിരിക്കുന്നു: 3 y - 4 \u003d 0. ഇത് ഒരു കാനോനിക്കൽ സമവാക്യമാക്കി മാറ്റേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്.

തീരുമാനം

യഥാർത്ഥ സമവാക്യം 3 y - 4 \u003d 0 എന്ന് മാറ്റിയെഴുതുക. അടുത്തതായി, ഞങ്ങൾ അൽഗോരിതം അനുസരിച്ച് പ്രവർത്തിക്കുന്നു: 0 x എന്ന പദം ഇടതുവശത്ത് അവശേഷിക്കുന്നു; വലതുവശത്ത് ഞങ്ങൾ പുറത്തെടുക്കുന്നു - 3 ബ്രാക്കറ്റുകൾക്ക് പുറത്ത്; നമുക്ക് ലഭിക്കും: 0 x \u003d - 3 y - 4 3.

തത്ഫലമായുണ്ടാകുന്ന സമത്വം ഒരു അനുപാതമായി എഴുതാം: x - 3 \u003d y - 4 3 0. അതിനാൽ, കാനോനിക്കൽ രൂപത്തിന്റെ ഒരു സമവാക്യം ഞങ്ങൾക്ക് ലഭിച്ചു.

ഉത്തരം: x - 3 \u003d y - 4 3 0.

നേർരേഖയുടെ പൊതു സമവാക്യത്തെ പാരാമെട്രിക് രൂപങ്ങളാക്കി മാറ്റുന്നതിന്, ഒരാൾ ആദ്യം കാനോനിക്കൽ രൂപത്തിലേക്കും പിന്നീട് നേർരേഖയുടെ കാനോനിക്കൽ സമവാക്യത്തിൽ നിന്ന് പാരാമെട്രിക് സമവാക്യങ്ങളിലേക്കും പരിവർത്തനം ചെയ്യുന്നു.

ഉദാഹരണം 6

2 x - 5 y - 1 \u003d 0 എന്ന സമവാക്യമാണ് നേർരേഖ നൽകുന്നത്. ഈ നേർരേഖയുടെ പാരാമെട്രിക് സമവാക്യങ്ങൾ എഴുതുക.

തീരുമാനം

പൊതുവായ സമവാക്യത്തിൽ നിന്ന് കാനോനിക്കലിലേക്ക് പരിവർത്തനം ചെയ്യാം:

2 x - 5 y - 1 \u003d 0 ⇔ 2 x \u003d 5 y + 1 ⇔ 2 x \u003d 5 y + 1 5 ⇔ x 5 \u003d y + 1 5 2

തത്ഫലമായുണ്ടാകുന്ന കാനോനിക്കൽ സമവാക്യത്തിന്റെ ഇരുവശങ്ങളും to ന് തുല്യമായി എടുക്കുന്നു, തുടർന്ന്:

x 5 \u003d λ y + 1 5 2 \u003d λ ⇔ x \u003d 5 λ y \u003d - 1 5 + 2 λ, λ ∈ R

ഉത്തരം: x \u003d 5 λ y \u003d - 1 5 + 2, λ. R.

പൊതുവായ സമവാക്യം y \u003d k x + b ചരിവുള്ള ഒരു നേർരേഖയുടെ സമവാക്യമാക്കി മാറ്റാം, പക്ഷേ B ≠ 0 ആണെങ്കിൽ മാത്രം. ഇടതുവശത്തുള്ള പരിവർത്തനത്തിനായി, ഞങ്ങൾ B y എന്ന പദം ഉപേക്ഷിക്കുന്നു, ബാക്കിയുള്ളവ വലതുവശത്തേക്ക് മാറ്റുന്നു. നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നു: B y \u003d - A x - C. തത്ഫലമായുണ്ടാകുന്ന സമത്വത്തിന്റെ ഇരുവശങ്ങളും പൂജ്യത്തിൽ നിന്ന് വ്യത്യസ്തമായി വിഭജിക്കുക: y \u003d - A B x - C B.

ഉദാഹരണം 7

നേർരേഖയുടെ പൊതു സമവാക്യം നൽകിയിരിക്കുന്നു: 2 x + 7 y \u003d 0. നിങ്ങൾ ആ സമവാക്യത്തെ ഒരു ചരിവ് സമവാക്യത്തിലേക്ക് പരിവർത്തനം ചെയ്യണം.

തീരുമാനം

അൽഗോരിതം അനുസരിച്ച് ആവശ്യമായ പ്രവർത്തനങ്ങൾ നടത്താം:

2 x + 7 y \u003d 0 ⇔ 7 y - 2 x ⇔ y \u003d - 2 7 x

ഉത്തരം: y \u003d - 2 7 x.

ഒരു നേർരേഖയുടെ പൊതു സമവാക്യത്തിൽ നിന്ന്, x a + y b \u003d 1 എന്ന രൂപത്തിന്റെ ഭാഗങ്ങളിൽ ഒരു സമവാക്യം നേടിയാൽ മാത്രം മതി. അത്തരമൊരു പരിവർത്തനം നടത്താൻ, ഞങ്ങൾ സി സംഖ്യയെ തുല്യതയുടെ വലതുവശത്തേക്ക് മാറ്റുന്നു, തത്ഫലമായുണ്ടാകുന്ന സമത്വത്തിന്റെ ഇരുവശങ്ങളും - by കൊണ്ട് ഹരിക്കുന്നു, ഒടുവിൽ, x, y എന്നീ വേരിയബിളുകളുടെ ഗുണകങ്ങളെ ഡിനോമിനേറ്ററുകളിലേക്ക് മാറ്റുന്നു:

A x + B y + C \u003d 0 ⇔ A x + B y \u003d - C ⇔ ⇔ A - C x + B - C y \u003d 1 ⇔ x - C A + y - C B \u003d 1

ഉദാഹരണം 8

X - 7 y + 1 2 \u003d 0 എന്ന വരിയുടെ പൊതു സമവാക്യത്തെ സെഗ്\u200cമെന്റുകളിലെ വരിയുടെ സമവാക്യമാക്കി മാറ്റേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്.

തീരുമാനം

1 2 വലതുവശത്തേക്ക് നീക്കുക: x - 7 y + 1 2 \u003d 0 ⇔ x - 7 y \u003d - 1 2.

സമത്വത്തിന്റെ ഇരുവശങ്ങളും -1/2 കൊണ്ട് വിഭജിക്കുക: x - 7 y \u003d - 1 2 ⇔ 1 - 1 2 x - 7 - 1 2 y \u003d 1.

ഉത്തരം: x - 1 2 + y 1 14 \u003d 1.

പൊതുവേ, വിപരീത സംക്രമണവും എളുപ്പമാണ്: മറ്റ് തരത്തിലുള്ള സമവാക്യങ്ങളിൽ നിന്ന് പൊതുവായതിലേക്ക്.

സെഗ്\u200cമെന്റുകളിലെ ഒരു നേർരേഖയുടെ സമവാക്യവും ചരിവുള്ള ഒരു സമവാക്യവും പൊതുവായ ഒന്നായി പരിവർത്തനം ചെയ്യുന്നത് എളുപ്പമാണ്, സമത്വത്തിന്റെ ഇടതുവശത്തുള്ള എല്ലാ പദങ്ങളും ശേഖരിക്കുന്നതിലൂടെ:

x a + y b ⇔ 1 a x + 1 b y - 1 \u003d 0 ⇔ A x + B y + C \u003d 0 y \u003d k x + b ⇔ y - k x - b \u003d 0 ⇔ A x + B y + C \u003d 0

ഇനിപ്പറയുന്ന സ്കീം അനുസരിച്ച് കാനോനിക്കൽ സമവാക്യം പൊതുവായതിലേക്ക് പരിവർത്തനം ചെയ്യപ്പെടുന്നു:

x - x 1 ax \u003d y - y 1 ay ⇔ ay (x - x 1) \u003d ax (y - y 1) ⇔ y ayx - axy - ayx 1 + axy 1 \u003d 0 ⇔ A x + B y + C \u003d 0

പാരാമെട്രിക്കിൽ നിന്ന് നീങ്ങുന്നതിന്, ആദ്യം, കാനോനിക്കലിലേക്കുള്ള മാറ്റം നടത്തുന്നു, തുടർന്ന് പൊതുവായവ:

x \u003d x 1 + a x y \u003d y 1 + a y λ ⇔ x - x 1 a x \u003d y - y 1 a y ⇔ A x + B y + C \u003d 0

ഉദാഹരണം 9

X \u003d - 1 + 2 · λ y \u003d 4 എന്ന നേർരേഖയുടെ പാരാമെട്രിക് സമവാക്യങ്ങൾ നൽകിയിരിക്കുന്നു. ഈ നേർരേഖയുടെ പൊതു സമവാക്യം എഴുതേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്.

തീരുമാനം

പാരാമെട്രിക് സമവാക്യങ്ങളിൽ നിന്ന് കാനോനിക്കലിലേക്ക് പരിവർത്തനം ചെയ്യാം:

x \u003d - 1 + 2 λ y \u003d 4 ⇔ x \u003d - 1 + 2 λ y \u003d 4 + 0 λ x x \u003d x + 1 2 λ \u003d y - 4 0 ⇔ x + 1 2 \u003d y - 4 0

നമുക്ക് കാനോനിക്കലിൽ നിന്ന് പൊതുവായതിലേക്ക് പോകാം:

x + 1 2 \u003d y - 4 0 ⇔ 0 (x + 1) \u003d 2 (y - 4) ⇔ y - 4 \u003d 0

ഉത്തരം: y - 4 \u003d 0

ഉദാഹരണം 10

X 3 + y 1 2 \u003d 1 സെഗ്\u200cമെന്റുകളിലെ ഒരു നേർരേഖയുടെ സമവാക്യം നൽകിയിരിക്കുന്നു. സമവാക്യത്തിന്റെ പൊതുരൂപത്തിലേക്ക് ഒരു മാറ്റം വരുത്തേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്.

തീരുമാനം:

ആവശ്യാനുസരണം സമവാക്യം മാറ്റിയെഴുതാം:

x 3 + y 1 2 \u003d 1 1 3 x + 2 y - 1 \u003d 0

ഉത്തരം: 1 3 x + 2 y - 1 \u003d 0.

ഒരു നേർരേഖയുടെ പൊതു സമവാക്യം വരയ്ക്കുന്നു

മുകളിൽ, സാധാരണ സമവാക്യം സാധാരണ വെക്റ്ററിന്റെ അറിയപ്പെടുന്ന കോർഡിനേറ്റുകളും നേർരേഖ കടന്നുപോകുന്ന പോയിന്റിലെ കോർഡിനേറ്റുകളും ഉപയോഗിച്ച് എഴുതാമെന്ന് ഞങ്ങൾ പറഞ്ഞു. അത്തരമൊരു നേർരേഖ നിർണ്ണയിക്കുന്നത് A (x - x 0) + B (y - y 0) \u003d 0 എന്ന സമവാക്യത്തിലൂടെയാണ്. അനുബന്ധ ഉദാഹരണവും ഞങ്ങൾ അവിടെ വിശകലനം ചെയ്തു.

ഇപ്പോൾ കൂടുതൽ സങ്കീർണ്ണമായ ഉദാഹരണങ്ങൾ നോക്കാം, അതിൽ നിങ്ങൾ ആദ്യം സാധാരണ വെക്റ്ററിന്റെ കോർഡിനേറ്റുകൾ നിർണ്ണയിക്കേണ്ടതുണ്ട്.

ഉദാഹരണം 11

2 x - 3 y + 3 3 \u003d 0 എന്ന നേർരേഖയ്ക്ക് സമാന്തരമായി ഒരു നേർരേഖ നൽകിയിരിക്കുന്നു. നൽകിയിരിക്കുന്ന വരി കടന്നുപോകുന്ന പോയിന്റ് M 0 (4, 1) എന്നും അറിയപ്പെടുന്നു. തന്നിരിക്കുന്ന നേർരേഖയുടെ സമവാക്യം എഴുതേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്.

തീരുമാനം

പ്രാരംഭ നിബന്ധനകൾ നേർരേഖകൾ സമാന്തരമാണെന്ന് പറയുന്നു, അപ്പോൾ, നേർരേഖയുടെ സാധാരണ വെക്റ്റർ എന്ന നിലയിൽ, എഴുതേണ്ട സമവാക്യം പോലെ, നേർരേഖയുടെ ഡയറക്റ്റർ വെക്റ്റർ n take \u003d (2, - 3) : 2 x - 3 y + 3 3 \u003d 0. വരിയുടെ പൊതുവായ സമവാക്യം രചിക്കുന്നതിന് ആവശ്യമായ എല്ലാ ഡാറ്റയും ഇപ്പോൾ നമുക്കറിയാം:

A (x - x 0) + B (y - y 0) \u003d 0 ⇔ 2 (x - 4) - 3 (y - 1) \u003d 0 ⇔ 2 x - 3 y - 5 \u003d 0

ഉത്തരം: 2 x - 3 y - 5 \u003d 0.

ഉദാഹരണം 12

നിർദ്ദിഷ്ട വരി x - 2 3 \u003d y + 4 5 എന്ന വരിയിലേക്ക് ലംബമായി ഉത്ഭവത്തിലൂടെ കടന്നുപോകുന്നു. തന്നിരിക്കുന്ന നേർരേഖയ്ക്ക് ഒരു പൊതു സമവാക്യം വരയ്\u200cക്കേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്.

തീരുമാനം

തന്നിരിക്കുന്ന വരിയുടെ സാധാരണ വെക്റ്റർ x - 2 3 \u003d y + 4 5 എന്ന വരിയുടെ ദിശ വെക്റ്റർ ആയിരിക്കും.

അപ്പോൾ n → \u003d (3, 5). നേർരേഖ ഉത്ഭവത്തിലൂടെ കടന്നുപോകുന്നു, അതായത്. O പോയിന്റിലൂടെ (0, 0). തന്നിരിക്കുന്ന നേർരേഖയുടെ പൊതു സമവാക്യം നമുക്ക് രചിക്കാം:

A (x - x 0) + B (y - y 0) \u003d 0 ⇔ 3 (x - 0) + 5 (y - 0) \u003d 0 ⇔ 3 x + 5 y \u003d 0

ഉത്തരം: 3 x + 5 y \u003d 0.

വാചകത്തിൽ ഒരു പിശക് നിങ്ങൾ ശ്രദ്ധയിൽപ്പെട്ടാൽ, അത് തിരഞ്ഞെടുത്ത് Ctrl + Enter അമർത്തുക

K (x 0; y 0) പോയിന്റിലൂടെ കടന്നുപോകുന്ന നേർരേഖയും y \u003d kx + a എന്ന നേർരേഖയ്ക്ക് സമാന്തരവും സമവാക്യം കണ്ടെത്തുന്നു:

y - y 0 \u003d k (x - x 0) (1)

ഇവിടെ k എന്നത് നേർരേഖയുടെ ചരിവാണ്.

ഇതര സൂത്രവാക്യം:
M 1 (x 1; y 1) പോയിന്റിലൂടെ കടന്നുപോകുന്ന നേർരേഖയും നേർരേഖയ്ക്ക് സമാന്തരമായി Ax + By + C \u003d 0 എന്ന സമവാക്യത്തെ പ്രതിനിധീകരിക്കുന്നു

A (x-x 1) + B (y-y 1) \u003d 0. (2)

ഉദാഹരണം # 2. 2x + 5y \u003d 0 എന്ന നേർരേഖയ്ക്ക് സമാന്തരമായി ഒരു നേർരേഖയുടെ സമവാക്യം എഴുതുക, കോർഡിനേറ്റ് അക്ഷങ്ങൾക്കൊപ്പം ഒരു ത്രികോണം, അതിന്റെ വിസ്തീർണ്ണം 5 ആണ്.
തീരുമാനം ... നേർരേഖകൾ സമാന്തരമായതിനാൽ, ആവശ്യമുള്ള നേർരേഖയുടെ സമവാക്യം 2x + 5y + C \u003d 0. ഒരു വലത് കോണാകൃതിയിലുള്ള ത്രികോണത്തിന്റെ വിസ്തീർണ്ണം, ഇവിടെ a, b എന്നിവ അതിന്റെ കാലുകളാണ്. കോർഡിനേറ്റ് അക്ഷങ്ങൾ ഉപയോഗിച്ച് ആവശ്യമുള്ള നേർരേഖയുടെ വിഭജന പോയിന്റുകൾ കണ്ടെത്തുക:
;
.
അതിനാൽ A (-C / 2.0), B (0, -C / 5). പ്രദേശത്തിനായുള്ള സൂത്രവാക്യത്തിൽ നമുക്ക് പകരമാവാം: ... ഞങ്ങൾക്ക് രണ്ട് പരിഹാരങ്ങൾ ലഭിക്കുന്നു: 2x + 5y + 10 \u003d 0, 2x + 5y - 10 \u003d 0.

ഉദാഹരണം നമ്പർ 3. പോയിന്റിലൂടെ (-2; 5) കടന്നുപോകുന്ന നേർരേഖയുടെ സമവാക്യം 5x-7y-4 \u003d 0 എന്ന നേർരേഖയ്ക്ക് സമാന്തരമാക്കുക.
തീരുമാനം. ഈ വരിയെ y \u003d 5/7 x - 4/7 (ഇവിടെ a \u003d 5/7) എന്ന സമവാക്യം പ്രതിനിധീകരിക്കാം. ആവശ്യമുള്ള നേർരേഖയുടെ സമവാക്യം y - 5 \u003d 5/7 (x - (-2)), അതായത്. 7 (y-5) \u003d 5 (x + 2) അല്ലെങ്കിൽ 5x-7y + 45 \u003d 0.

ഉദാഹരണം നമ്പർ 4. ഫോർമുല (2) ഉപയോഗിച്ച് ഉദാഹരണം 3 (എ \u003d 5, ബി \u003d -7) പരിഹരിക്കുമ്പോൾ, ഞങ്ങൾ 5 (x + 2) -7 (y-5) \u003d 0 കണ്ടെത്തുന്നു.

ഉദാഹരണം നമ്പർ 5. പോയിന്റിലൂടെ (-2; 5) കടന്നുപോകുന്ന നേർരേഖയുടെ സമവാക്യം 7x + 10 \u003d 0 എന്ന നേർരേഖയ്ക്ക് സമാന്തരമാക്കുക.
തീരുമാനം. ഇവിടെ A \u003d 7, B \u003d 0. ഫോർമുല (2) 7 (x + 2) \u003d 0 നൽകുന്നു, അതായത്. x + 2 \u003d 0. ഫോർമുല (1) ബാധകമല്ല, കാരണം ഈ സമവാക്യം y യുമായി പരിഹരിക്കാൻ കഴിയില്ല (ഈ വരി ഓർഡിനേറ്റ് അക്ഷത്തിന് സമാന്തരമാണ്).

"ജ്യാമിതീയ അൽ\u200cഗോരിതംസ്" എന്ന ശ്രേണിയിലെ പാഠം

ഹലോ പ്രിയ വായനക്കാരാ!

ഇന്ന് ജ്യാമിതിയുമായി ബന്ധപ്പെട്ട അൽഗോരിതങ്ങൾ പര്യവേക്ഷണം ചെയ്യാൻ ഞങ്ങൾ ആരംഭിക്കും. കമ്പ്യൂട്ടേഷണൽ ജ്യാമിതിയുമായി ബന്ധപ്പെട്ട കമ്പ്യൂട്ടർ സയൻസിൽ ധാരാളം ഒളിമ്പ്യാഡ് പ്രശ്നങ്ങൾ ഉണ്ട് എന്നതാണ് വസ്തുത, അത്തരം പ്രശ്നങ്ങളുടെ പരിഹാരം പലപ്പോഴും ബുദ്ധിമുട്ടുകൾ സൃഷ്ടിക്കുന്നു.

കുറച്ച് പാഠങ്ങളിൽ, കമ്പ്യൂട്ടേഷണൽ ജ്യാമിതിയിലെ മിക്ക പ്രശ്\u200cനങ്ങളും പരിഹരിക്കുന്നതിനുള്ള അടിസ്ഥാനമായ നിരവധി പ്രാഥമിക ഉപപ്രശ്നങ്ങൾ ഞങ്ങൾ പരിശോധിക്കും.

ഈ പാഠത്തിൽ, ഞങ്ങൾ ഇതിനായി ഒരു പ്രോഗ്രാം സൃഷ്ടിക്കും നേർരേഖയുടെ സമവാക്യം കണ്ടെത്തുന്നുനൽകിയതിലൂടെ കടന്നുപോകുന്നു രണ്ട് പോയിന്റുകൾ... ജ്യാമിതീയ പ്രശ്നങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിന്, ഞങ്ങൾക്ക് കമ്പ്യൂട്ടേഷണൽ ജ്യാമിതിയെക്കുറിച്ച് കുറച്ച് അറിവ് ആവശ്യമാണ്. പാഠത്തിന്റെ ഒരു ഭാഗം അവരെ അറിയുന്നതിന് ഞങ്ങൾ നീക്കിവയ്ക്കും.

കമ്പ്യൂട്ടേഷണൽ ജ്യാമിതി വിവരങ്ങൾ

ജ്യാമിതീയ പ്രശ്നങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിനുള്ള അൽഗോരിതം പഠിക്കുന്ന കമ്പ്യൂട്ടർ സയൻസിന്റെ ഒരു ശാഖയാണ് കമ്പ്യൂട്ടേഷണൽ ജ്യാമിതി.

അത്തരം ടാസ്\u200cക്കുകളുടെ പ്രാരംഭ ഡാറ്റ ഒരു വിമാനത്തിലെ ഒരു കൂട്ടം പോയിന്റുകൾ, ഒരു കൂട്ടം സെഗ്\u200cമെന്റുകൾ, ഒരു പോളിഗോൺ (വ്യക്തമാക്കിയത്, ഉദാഹരണത്തിന്, ഘടികാരദിശയിൽ അതിന്റെ ലംബങ്ങളുടെ പട്ടിക പ്രകാരം) മുതലായവ ആകാം.

ഫലം ഒന്നുകിൽ ഒരു ചോദ്യത്തിനുള്ള ഉത്തരമായിരിക്കാം (ഒരു പോയിന്റ് ഒരു സെഗ്\u200cമെന്റിന്റെ ഭാഗമാണോ, രണ്ട് സെഗ്\u200cമെന്റുകൾ തമ്മിൽ വിഭജിക്കുന്നുണ്ടോ, ...), അല്ലെങ്കിൽ ചില ജ്യാമിതീയ വസ്\u200cതു (ഉദാഹരണത്തിന്, നൽകിയ പോയിന്റുകളെ ബന്ധിപ്പിക്കുന്ന ഏറ്റവും ചെറിയ കോൺവെക്സ് പോളിഗോൺ, വിസ്തീർണ്ണം ഒരു പോളിഗോൺ മുതലായവ) ...

ഒരു വിമാനത്തിൽ മാത്രം, ഒരു കാർട്ടീഷ്യൻ കോർഡിനേറ്റ് സിസ്റ്റത്തിൽ മാത്രം കമ്പ്യൂട്ടേഷണൽ ജ്യാമിതിയുടെ പ്രശ്നങ്ങൾ ഞങ്ങൾ പരിഗണിക്കും.

വെക്ടറുകളും കോർഡിനേറ്റുകളും

കമ്പ്യൂട്ടേഷണൽ ജ്യാമിതി രീതികൾ പ്രയോഗിക്കുന്നതിന്, ജ്യാമിതീയ ചിത്രങ്ങൾ അക്കങ്ങളുടെ ഭാഷയിലേക്ക് വിവർത്തനം ചെയ്യേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്. വിമാനത്തിൽ ഒരു കാർട്ടീഷ്യൻ കോർഡിനേറ്റ് സിസ്റ്റം വ്യക്തമാക്കിയിട്ടുണ്ടെന്ന് ഞങ്ങൾ അനുമാനിക്കും, അതിൽ എതിർ ഘടികാരദിശയിൽ കറങ്ങുന്ന ദിശയെ പോസിറ്റീവ് എന്ന് വിളിക്കുന്നു.

ജ്യാമിതീയ വസ്തുക്കൾ ഇപ്പോൾ വിശകലനപരമായി പ്രകടിപ്പിക്കുന്നു. അതിനാൽ, ഒരു പോയിന്റ് സജ്ജീകരിക്കുന്നതിന്, അതിന്റെ കോർഡിനേറ്റുകളെ സൂചിപ്പിക്കാൻ ഇത് മതിയാകും: ഒരു ജോഡി സംഖ്യകൾ (x; y). ഒരു സെഗ്\u200cമെന്റിന്റെ അറ്റങ്ങളുടെ കോർഡിനേറ്റുകൾ വ്യക്തമാക്കുന്നതിലൂടെ വ്യക്തമാക്കാനാകും, ഒരു ജോഡി പോയിന്റുകളുടെ കോർഡിനേറ്റുകൾ വ്യക്തമാക്കുന്നതിലൂടെ ഒരു നേർരേഖ വ്യക്തമാക്കാനാകും.

എന്നാൽ പ്രശ്നങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിനുള്ള പ്രധാന ഉപകരണം വെക്റ്ററുകളായിരിക്കും. അതിനാൽ, അവയെക്കുറിച്ചുള്ള ചില വിവരങ്ങൾ ഞാൻ നിങ്ങളെ ഓർമ്മപ്പെടുത്തട്ടെ.

വിഭാഗം എ.ബി., ഏത് ഘട്ടത്തിൽ ഒപ്പം ആരംഭം (പ്രയോഗത്തിന്റെ പോയിന്റ്), പോയിന്റ് എന്നിവ കണക്കാക്കുന്നു IN - അവസാനം, ഒരു വെക്റ്റർ എന്ന് വിളിക്കുന്നു എ.ബി. ഒന്നുകിൽ അല്ലെങ്കിൽ ബോൾഡ് ചെറിയക്ഷരം സൂചിപ്പിക്കുന്നു ഒപ്പം .

ഒരു വെക്റ്ററിന്റെ നീളം സൂചിപ്പിക്കാൻ (അതായത്, അനുബന്ധ സെഗ്\u200cമെന്റിന്റെ നീളം), ഞങ്ങൾ മോഡുലസ് ചിഹ്നം ഉപയോഗിക്കും (ഉദാഹരണത്തിന്,).

അനിയന്ത്രിതമായ വെക്റ്ററിന് അതിന്റെ അവസാനത്തിന്റെയും ആരംഭത്തിന്റെയും അനുബന്ധ കോർഡിനേറ്റുകൾ തമ്മിലുള്ള വ്യത്യാസത്തിന് തുല്യമായ കോർഡിനേറ്റുകൾ ഉണ്ടാകും:

,

ഇവിടെ പോയിന്റുകൾ എ ഒപ്പം ജി കോർഡിനേറ്റുകൾ ഉണ്ട് യഥാക്രമം.

കണക്കുകൂട്ടലുകൾക്കായി, ഞങ്ങൾ ആശയം ഉപയോഗിക്കും ഓറിയന്റഡ് കോൺഅതായത്, വെക്റ്ററുകളുടെ ആപേക്ഷിക സ്ഥാനം കണക്കിലെടുക്കുന്ന കോൺ.

വെക്റ്ററുകൾക്കിടയിലുള്ള ഓറിയന്റഡ് കോൺ a ഒപ്പം b വെക്റ്ററിൽ നിന്ന് കറങ്ങുകയാണെങ്കിൽ പോസിറ്റീവ് a വെക്റ്ററിലേക്ക് b പോസിറ്റീവ് ദിശയിലും (എതിർ ഘടികാരദിശയിൽ) നെഗറ്റീവ് അല്ലാതെയും ചെയ്യുന്നു. Fig.1a, fig.1b കാണുക. ഒരു ജോടി വെക്റ്ററുകളും അവർ പറയുന്നു a ഒപ്പം b പോസിറ്റീവ് (നെഗറ്റീവ്) ഓറിയന്റഡ്.

അതിനാൽ, ഓറിയന്റഡ് കോണിന്റെ മൂല്യം വെക്റ്ററുകൾ ലിസ്റ്റുചെയ്തിരിക്കുന്ന ക്രമത്തെ ആശ്രയിച്ചിരിക്കുന്നു, ഒപ്പം ശ്രേണിയിൽ മൂല്യങ്ങൾ എടുക്കാനും കഴിയും.

പല കമ്പ്യൂട്ടേഷണൽ ജ്യാമിതി പ്രശ്നങ്ങളും വെക്റ്ററുകളുടെ വെക്റ്റർ (സ്കീവ് അല്ലെങ്കിൽ സ്യൂഡോസ്കലാർ) ഉൽപ്പന്നങ്ങളുടെ ആശയം ഉപയോഗിക്കുന്നു.

A, b എന്നീ വെക്റ്ററുകളുടെ വെക്റ്റർ ഉൽ\u200cപന്നമാണ് ഈ വെക്റ്ററുകളുടെ ദൈർ\u200cഘ്യത്തിന്റെ കോണുകളുടെ സൈനിന്റെ ഉൽ\u200cപ്പന്നം:

.

കോർഡിനേറ്റുകളിലെ വെക്റ്ററുകളുടെ വെക്റ്റർ ഉൽപ്പന്നം:

വലതുവശത്തുള്ള എക്\u200cസ്\u200cപ്രഷൻ രണ്ടാമത്തെ ഓർഡർ ഡിറ്റർമിനന്റാണ്:

അനലിറ്റിക് ജ്യാമിതിയിൽ നൽകിയിരിക്കുന്ന നിർവചനത്തിൽ നിന്ന് വ്യത്യസ്തമായി, ഇത് ഒരു സ്കെയിലറാണ്.

ക്രോസ് പ്രൊഡക്റ്റ് ചിഹ്നം പരസ്പരം ആപേക്ഷികമായി വെക്റ്ററുകളുടെ സ്ഥാനം നിർണ്ണയിക്കുന്നു:

a ഒപ്പം b പോസിറ്റീവ് ഓറിയന്റഡ്.

ഒരു മൂല്യമാണെങ്കിൽ, ഒരു ജോഡി വെക്റ്ററുകൾ a ഒപ്പം b നെഗറ്റീവ് ഓറിയന്റഡ്.

നോൺ\u200cജെറോ വെക്റ്ററുകളുടെ വെക്റ്റർ ഉൽ\u200cപ്പന്നം പൂജ്യമാണ്, അവ കോളിനിയർ ആണെങ്കിൽ മാത്രം ( ). ഇതിനർത്ഥം അവ ഒരു നേർരേഖയിലോ സമാന്തര വരികളിലോ കിടക്കുന്നു എന്നാണ്.

കൂടുതൽ സങ്കീർണ്ണമായവ പരിഹരിക്കുന്നതിന് ആവശ്യമായ ലളിതമായ ചില ജോലികൾ നമുക്ക് പരിഗണിക്കാം.

രണ്ട് പോയിന്റുകളുടെ കോർഡിനേറ്റുകൾ ഉപയോഗിച്ച് ഒരു നേർരേഖയുടെ സമവാക്യം നിർവചിക്കാം.

അവയുടെ കോർഡിനേറ്റുകൾ നൽകിയ രണ്ട് വ്യത്യസ്ത പോയിന്റുകളിലൂടെ കടന്നുപോകുന്ന ഒരു നേർരേഖയുടെ സമവാക്യം.

യോജിക്കാത്ത രണ്ട് പോയിന്റുകൾ ഒരു നേർരേഖയിൽ നൽകട്ടെ: കോർഡിനേറ്റുകൾക്കൊപ്പം (x1; y1) കോർഡിനേറ്റുകൾക്കൊപ്പം (x2; y2). അതനുസരിച്ച്, ഒരു പോയിന്റിൽ ആരംഭവും ഒരു പോയിന്റിൽ അവസാനവുമുള്ള വെക്റ്ററിന് കോർഡിനേറ്റുകളുണ്ട് (x2-x1, y2-y1). P (x, y) നമ്മുടെ വരിയിലെ ഏകപക്ഷീയമായ പോയിന്റാണെങ്കിൽ, വെക്റ്റർ കോർഡിനേറ്റുകൾ (x-x1, y - y1).

വെക്റ്റർ ഉൽ\u200cപ്പന്നം ഉപയോഗിച്ച്, വെക്റ്ററുകൾ\u200cക്കായുള്ള കോളിനാരിറ്റി അവസ്ഥയും ഇനിപ്പറയുന്ന രീതിയിൽ എഴുതാനും കഴിയും:

ആ. (x-x1) (y2-y1) - (y-y1) (x2-x1) \u003d 0

(y2-y1) x + (x1-x2) y + x1 (y1-y2) + y1 (x2-x1) \u003d 0

അവസാന സമവാക്യം ഞങ്ങൾ ഇനിപ്പറയുന്ന രീതിയിൽ മാറ്റിയെഴുതുന്നു:

കോടാലി + by + c \u003d 0, (1)

c \u003d x1 (y1-y2) + y1 (x2-x1)

അതിനാൽ, (1) ഫോമിന്റെ ഒരു സമവാക്യം ഉപയോഗിച്ച് ഒരു നേർരേഖ സജ്ജമാക്കാൻ കഴിയും.

ടാസ്ക് 1. രണ്ട് പോയിന്റുകളുടെ കോർഡിനേറ്റുകൾ നൽകിയിരിക്കുന്നു. + C \u003d 0 പ്രകാരം അതിന്റെ പ്രാതിനിധ്യം കോടാലി + ആയി കണ്ടെത്തുക.

ഈ പാഠത്തിൽ, ചില കമ്പ്യൂട്ടേഷണൽ ജ്യാമിതി വിവരങ്ങളെക്കുറിച്ച് ഞങ്ങൾ പഠിച്ചു. രണ്ട് പോയിന്റുകളുടെ കോർഡിനേറ്റുകൾ ഉപയോഗിച്ച് വരിയുടെ സമവാക്യം കണ്ടെത്തുന്നതിനുള്ള പ്രശ്നം ഞങ്ങൾ പരിഹരിച്ചു.

അടുത്ത പാഠത്തിൽ, ഞങ്ങളുടെ സമവാക്യങ്ങൾ നൽകിയ രണ്ട് വരികളുടെ വിഭജന പോയിന്റ് കണ്ടെത്തുന്നതിനായി ഞങ്ങൾ ഒരു പ്രോഗ്രാം രചിക്കും.

രണ്ട് പോയിന്റുകൾ നൽകട്ടെ എം(എക്സ്1 ,ഉണ്ട്1) ഒപ്പം എൻ(എക്സ്2, y2). ഈ പോയിന്റുകളിലൂടെ കടന്നുപോകുന്ന നേർരേഖയുടെ സമവാക്യം നമുക്ക് കണ്ടെത്താം.

ഈ വരി പോയിന്റിലൂടെ കടന്നുപോകുന്നതിനാൽ എം, തുടർന്ന് ഫോർമുല (1.13) അനുസരിച്ച് അതിന്റെ സമവാക്യത്തിന് ഒരു രൂപമുണ്ട്

ഉണ്ട് – വൈ1 = കെ(X - x1),

എവിടെ കെ - അജ്ഞാത ചരിവ്.

ആവശ്യമുള്ള നേർരേഖ പോയിന്റിലൂടെ കടന്നുപോകുന്ന അവസ്ഥയിൽ നിന്നാണ് ഈ ഗുണകത്തിന്റെ മൂല്യം നിർണ്ണയിക്കുന്നത് എൻഅതിനാൽ, അതിന്റെ കോർഡിനേറ്റുകൾ സമവാക്യത്തെ തൃപ്തിപ്പെടുത്തുന്നു (1.13)

വൈ2 – വൈ1 = കെ(എക്സ്2 – എക്സ്1),

ഇവിടെ നിന്ന് നിങ്ങൾക്ക് ഈ നേർരേഖയുടെ ചരിവ് കണ്ടെത്താം:

,

അല്ലെങ്കിൽ പരിവർത്തനത്തിന് ശേഷം

(1.14)

ഫോർമുല (1.14) നിർണ്ണയിക്കുന്നു രണ്ട് പോയിന്റുകളിലൂടെ കടന്നുപോകുന്ന ഒരു നേർരേഖയുടെ സമവാക്യം എം(എക്സ്1, വൈ1) ഒപ്പം എൻ(എക്സ്2, വൈ2).

പോയിന്റുകൾ ഉള്ളപ്പോൾ പ്രത്യേക കേസിൽ എം(എ, 0), എൻ(0, ജി), ഒപ്പം ¹ 0, ജി ¹ 0, കോർഡിനേറ്റ് അക്ഷങ്ങളിൽ കിടക്കുക, സമവാക്യം (1.14) ലളിതമായ രൂപമെടുക്കുന്നു

സമവാക്യം (1.15) വിളിച്ചു സെഗ്\u200cമെന്റുകളിലെ ഒരു നേർരേഖയുടെ സമവാക്യത്തിലൂടെ, ഇവിടെ ഒപ്പം ഒപ്പം ജി അക്ഷങ്ങളിൽ ഒരു നേർരേഖ ഉപയോഗിച്ച് മുറിച്ച സെഗ്\u200cമെന്റുകളെ സൂചിപ്പിക്കുക (ചിത്രം 1.6).

ചിത്രം 1.6

ഉദാഹരണം 1.10. പോയിന്റുകളിലൂടെ ഒരു നേർരേഖയെ തുല്യമാക്കുക എം(1, 2) ഒപ്പം ജി(3, –1).

. (1.14) അനുസരിച്ച്, അന്വേഷിച്ച വരിയുടെ സമവാക്യത്തിന് ഒരു രൂപമുണ്ട്

2(വൈ – 2) = -3(എക്സ് – 1).

എല്ലാ നിബന്ധനകളും ഇടതുവശത്തേക്ക് മാറ്റുന്നതിലൂടെ, ഞങ്ങൾ ആവശ്യമുള്ള സമവാക്യം നേടുന്നു

3എക്സ് + 2വൈ – 7 = 0.

ഉദാഹരണം 1.11. ഒരു പോയിന്റിലൂടെ ഒരു നേർരേഖയെ തുല്യമാക്കുക എം(2, 1) വരികളുടെ വിഭജന പോയിന്റും എക്സ്+ Y -1 = 0, X - y+ 2 = 0.

. തന്നിരിക്കുന്ന സമവാക്യങ്ങൾ ഒരുമിച്ച് പരിഹരിക്കുന്നതിലൂടെ നേർരേഖകളുടെ വിഭജനത്തിന്റെ പോയിന്റിന്റെ കോർഡിനേറ്റുകൾ ഞങ്ങൾ കണ്ടെത്തുന്നു

ഈ സമവാക്യങ്ങൾ ടേം അനുസരിച്ച് ചേർത്താൽ, നമുക്ക് 2 ലഭിക്കും എക്സ് + 1 \u003d 0, എവിടെ നിന്ന്. കണ്ടെത്തിയ മൂല്യം ഏതെങ്കിലും സമവാക്യത്തിലേക്ക് മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുമ്പോൾ, ഓർഡിനേറ്റിന്റെ മൂല്യം ഞങ്ങൾ കണ്ടെത്തുന്നു ഉണ്ട്:

പോയിന്റുകളിലൂടെ കടന്നുപോകുന്ന നേർരേഖയുടെ സമവാക്യം (2, 1) ഇനി എഴുതുന്നു:

അഥവാ .

അതിനാൽ, അല്ലെങ്കിൽ –5 ( വൈ – 1) = എക്സ് – 2.

അവസാനമായി, രൂപത്തിൽ ആവശ്യമുള്ള നേർരേഖയുടെ സമവാക്യം ഞങ്ങൾ നേടുന്നു എക്സ് + 5വൈ – 7 = 0.

ഉദാഹരണം 1.12. പോയിന്റുകളിലൂടെ കടന്നുപോകുന്ന നേർരേഖയുടെ സമവാക്യം കണ്ടെത്തുക എം(2,1) ഒപ്പം എൻ(2,3).

സമവാക്യം (1.14) ഉപയോഗിച്ച് ഞങ്ങൾ സമവാക്യം നേടുന്നു

രണ്ടാമത്തെ ഡിനോമിനേറ്റർ പൂജ്യമായതിനാൽ ഇത് അർത്ഥമാക്കുന്നില്ല. രണ്ട് പോയിന്റുകളുടെയും അബ്സിസ്സകൾക്ക് ഒരേ മൂല്യമുണ്ടെന്ന് പ്രശ്ന പ്രസ്താവനയിൽ നിന്ന് കാണാൻ കഴിയും. അതിനാൽ, അന്വേഷിച്ച രേഖ അക്ഷത്തിന് സമാന്തരമാണ് OY അതിന്റെ സമവാക്യം ഇതാണ്: x = 2.

അഭിപ്രായം . ഫോർമുല (1.14) അനുസരിച്ച് ഒരു നേർരേഖയുടെ സമവാക്യം എഴുതുമ്പോൾ, ഒരു ഡിനോമിനേറ്ററുകൾ പൂജ്യത്തിന് തുല്യമായി മാറുകയാണെങ്കിൽ, അനുബന്ധ ന്യൂമറേറ്ററിനെ പൂജ്യത്തിന് തുല്യമാക്കി ആവശ്യമുള്ള സമവാക്യം ലഭിക്കും.

ഒരു വിമാനത്തിൽ ഒരു നേർരേഖ നിർവചിക്കാനുള്ള മറ്റ് വഴികൾ പരിഗണിക്കുക.

1. തന്നിരിക്കുന്ന ലൈനിന് ലംബമായി ഒരു നോൺ\u200cജെറോ വെക്റ്റർ അനുവദിക്കുക എൽപോയിന്റ് എം0(എക്സ്0, വൈ0) ഈ നേർരേഖയിൽ കിടക്കുന്നു (ചിത്രം 1.7).

ചിത്രം 1.7

ഞങ്ങൾ സൂചിപ്പിക്കുന്നു എം(എക്സ്, വൈ) വരിയിലെ ഏകപക്ഷീയമായ പോയിന്റ് എൽ... വെക്ടറുകളും ഓർത്തോഗണൽ. ഈ വെക്റ്ററുകളുടെ ഓർത്തോഗണാലിറ്റി അവസ്ഥകൾ ഉപയോഗിച്ച്, ഞങ്ങൾ ഒന്നുകിൽ നേടുന്നു ഒപ്പം(എക്സ് – എക്സ്0) + ജി(വൈ – വൈ0) = 0.

ഒരു പോയിന്റിലൂടെ കടന്നുപോകുന്ന ഒരു നേർരേഖയുടെ സമവാക്യം ഞങ്ങൾക്ക് ലഭിച്ചു എം0 വെക്റ്ററിന് ലംബമായി. ഈ വെക്ടറിനെ വിളിക്കുന്നു സാധാരണ വെക്റ്റർ നേരെ എൽ... തത്ഫലമായുണ്ടാകുന്ന സമവാക്യം ഇതുപോലെ മാറ്റിയെഴുതാം

ഓ + വൂ + FROM \u003d 0, എവിടെ FROM = –(ഒപ്പംഎക്സ്0 + എഴുതിയത്0), (1.16),

എവിടെ ഒപ്പം ഒപ്പം IN- സാധാരണ വെക്റ്ററിന്റെ കോർഡിനേറ്റുകൾ.

നേർരേഖയുടെ പൊതു സമവാക്യം ഞങ്ങൾ പാരാമെട്രിക് രൂപത്തിൽ നേടുന്നു.

2. ഒരു വിമാനത്തിലെ ഒരു നേർരേഖ ഇനിപ്പറയുന്ന രീതിയിൽ വ്യക്തമാക്കാം: തന്നിരിക്കുന്ന നേർരേഖയ്ക്ക് സമാന്തരമായി ഒരു നോൺ\u200cജെറോ വെക്റ്റർ അനുവദിക്കുക എൽ പോയിന്റ് എം0(എക്സ്0, വൈ0) ഈ നേർരേഖയിൽ കിടക്കുന്നു. നമുക്ക് വീണ്ടും അനിയന്ത്രിതമായ ഒരു പോയിന്റ് എടുക്കാം എം(എക്സ്, y) ഒരു നേർരേഖയിൽ (ചിത്രം 1.8).

ചിത്രം 1.8

വെക്ടറുകളും കോളിനിയർ.

ഈ വെക്റ്ററുകളുടെ കോളിനാരിറ്റി അവസ്ഥ നമുക്ക് എഴുതാം :, എവിടെ ടി - ഒരു പാരാമീറ്റർ എന്ന് വിളിക്കുന്ന അനിയന്ത്രിതമായ നമ്പർ. ഈ സമത്വം കോർഡിനേറ്റുകളിൽ എഴുതാം:

ഈ സമവാക്യങ്ങളെ വിളിക്കുന്നു പാരാമെട്രിക് സമവാക്യങ്ങൾ ഋജുവായത്... ഈ സമവാക്യങ്ങളിൽ നിന്ന് ഞങ്ങൾ പരാമീറ്ററിനെ ഒഴിവാക്കുന്നു ടി:

ഈ സമവാക്യങ്ങൾ രൂപത്തിൽ എഴുതാം

. (1.18)

തത്ഫലമായുണ്ടാകുന്ന സമവാക്യം വിളിക്കുന്നു നേർരേഖയുടെ കാനോനിക്കൽ സമവാക്യം... വെക്റ്റർ എന്ന് വിളിക്കുന്നു നേർരേഖയുടെ ദിശ വെക്റ്റർ .

അഭിപ്രായം . വരിയുടെ സാധാരണ വെക്റ്റർ ആണെങ്കിൽ അത് കാണാൻ എളുപ്പമാണ് എൽ, അതിനുശേഷം അതിന്റെ ദിശ വെക്റ്റർ ഒരു വെക്റ്റർ ആകാം, കാരണം, അതായത്.

ഉദാഹരണം 1.13. പോയിന്റിലൂടെ കടന്നുപോകുന്ന നേർരേഖയുടെ സമവാക്യം എഴുതുക എം0 (1, 1) നേർരേഖ 3 ന് സമാന്തരമായി എക്സ് + 2ഉണ്ട്– 8 = 0.

തീരുമാനം . തന്നിരിക്കുന്നതും ആവശ്യമുള്ളതുമായ നേർരേഖകളിലേക്കുള്ള സാധാരണ വെക്റ്ററാണ് വെക്റ്റർ. പോയിന്റിലൂടെ കടന്നുപോകുന്ന നേർരേഖയുടെ സമവാക്യം ഞങ്ങൾ ഉപയോഗിക്കും എംനൽകിയ സാധാരണ വെക്റ്റർ 3 ഉപയോഗിച്ച് 0 ( എക്സ് –1) + 2(ഉണ്ട് - 1) \u003d 0 അല്ലെങ്കിൽ 3 എക്സ് + 2y - 5 \u003d 0. ആവശ്യമുള്ള നേർരേഖയുടെ സമവാക്യം ലഭിച്ചു.

ഒരു നിശ്ചിത ദിശയിലൂടെ ഒരു നിശ്ചിത പോയിന്റിലൂടെ കടന്നുപോകുന്ന ഒരു നേർരേഖയുടെ സമവാക്യം. തന്നിരിക്കുന്ന രണ്ട് പോയിന്റുകളിലൂടെ കടന്നുപോകുന്ന ഒരു നേർരേഖയുടെ സമവാക്യം. രണ്ട് നേർരേഖകൾക്കിടയിലുള്ള കോൺ. രണ്ട് വരികളുടെ സമാന്തരതയുടെയും ലംബതയുടെയും അവസ്ഥ. രണ്ട് വരികളുടെ വിഭജന പോയിന്റിന്റെ നിർണ്ണയം

1. ഒരു നിശ്ചിത പോയിന്റിലൂടെ കടന്നുപോകുന്ന ഒരു നേർരേഖയുടെ സമവാക്യം എ(x 1 , y 1) ചരിവ് നിർണ്ണയിച്ച നിർദ്ദിഷ്ട ദിശയിൽ കെ,

y - y 1 = കെ(x - x 1). (1)

ഈ സമവാക്യം പോയിന്റിലൂടെ കടന്നുപോകുന്ന നേർരേഖകളുടെ ഒരു ബണ്ടിൽ നിർവചിക്കുന്നു എ(x 1 , y 1), ഇതിനെ ബീം കേന്ദ്രം എന്ന് വിളിക്കുന്നു.

2. രണ്ട് പോയിന്റുകളിലൂടെ കടന്നുപോകുന്ന ഒരു നേർരേഖയുടെ സമവാക്യം: എ(x 1 , y 1) ഒപ്പം ജി(x 2 , y 2) ഇനിപ്പറയുന്ന രീതിയിൽ എഴുതിയിരിക്കുന്നു:

തന്നിരിക്കുന്ന രണ്ട് പോയിന്റുകളിലൂടെ കടന്നുപോകുന്ന ഒരു നേർരേഖയുടെ ചരിവ് സൂത്രവാക്യം നിർണ്ണയിക്കുന്നു

3. നേർരേഖകൾക്കിടയിലുള്ള ആംഗിൾ എ ഒപ്പം ജി ആദ്യത്തെ നേർരേഖ തിരിക്കേണ്ട കോണിനെ വിളിക്കുന്നു എ ഈ വരികൾ എതിർ ഘടികാരദിശയിൽ രണ്ടാമത്തെ വരിയുമായി പൊരുത്തപ്പെടുന്നതുവരെ ജി... ഒരു ചരിവുള്ള സമവാക്യങ്ങളാൽ രണ്ട് നേർരേഖകൾ നൽകിയാൽ

y = കെ 1 x + ജി 1 ,