ഫ്രാക്റ്റലുകൾ. ഫ്രാക്റ്റൽ സെറ്റുകൾ ലഭിക്കുന്നതിനുള്ള കോച്ച് കർവ് നടപടിക്രമങ്ങൾ

ഒരു സാധാരണ ത്രികോണത്തിന്റെ വശങ്ങളിൽ നിർമ്മിച്ച (അവയുടെ പോയിന്റുകൾ പുറത്തേക്ക്) കോച്ച് വക്രത്തിന്റെ മൂന്ന് പകർപ്പുകൾ, അനന്തമായ നീളമുള്ള ഒരു അടഞ്ഞ വക്രം ഉണ്ടാക്കുന്നു കൊച്ചിന്റെ സ്നോഫ്ലെക്ക്.

ശാസ്ത്രജ്ഞർ പഠിച്ച ആദ്യത്തെ ഫ്രാക്റ്റലുകളിൽ ഒന്നാണ് ഈ കണക്ക്. ഇത് മൂന്ന് കോപ്പികളിൽ നിന്നാണ് വരുന്നത് കൊച്ച് വളവ് 1904-ൽ സ്വീഡിഷ് ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞനായ ഹെൽജ് വോൺ കോച്ചിന്റെ ഒരു പേപ്പറിൽ ഇത് ആദ്യമായി പ്രത്യക്ഷപ്പെട്ടു. ഒരു ബിന്ദുവിലേക്കും സ്പർശിക്കാൻ കഴിയാത്ത തുടർച്ചയായ വരയുടെ ഉദാഹരണമായാണ് ഈ വക്രം കണ്ടുപിടിച്ചത്. ഈ പ്രോപ്പർട്ടി ഉള്ള ലൈനുകൾ മുമ്പ് അറിയപ്പെട്ടിരുന്നു (കാൾ വെയർസ്ട്രാസ് 1872-ൽ തന്റെ ഉദാഹരണം നിർമ്മിച്ചു), എന്നാൽ കോച്ച് കർവ് അതിന്റെ രൂപകൽപ്പനയുടെ ലാളിത്യം കൊണ്ട് ശ്രദ്ധേയമാണ്. അദ്ദേഹത്തിന്റെ ലേഖനം "എലിമെന്ററി ജ്യാമിതിയിൽ നിന്ന് ഉത്ഭവിക്കുന്ന സ്പർശനങ്ങളില്ലാത്ത തുടർച്ചയായ വക്രത്തിൽ" എന്ന് വിളിക്കുന്നത് യാദൃശ്ചികമല്ല.

ഡ്രോയിംഗും ആനിമേഷനും കോച്ച് കർവ് ഘട്ടം ഘട്ടമായി എങ്ങനെ നിർമ്മിക്കപ്പെടുന്നുവെന്ന് കൃത്യമായി കാണിക്കുന്നു. ആദ്യത്തെ ആവർത്തനം പ്രാരംഭ വിഭാഗമാണ്. തുടർന്ന് അതിനെ മൂന്ന് തുല്യ ഭാഗങ്ങളായി തിരിച്ചിരിക്കുന്നു, മധ്യഭാഗം പൂർത്തിയാക്കി ഒരു സാധാരണ ത്രികോണം രൂപപ്പെടുത്തുകയും പിന്നീട് പുറത്തേക്ക് എറിയുകയും ചെയ്യുന്നു. ഫലം രണ്ടാമത്തെ ആവർത്തനമാണ് - നാല് സെഗ്മെന്റുകൾ അടങ്ങുന്ന ഒരു തകർന്ന ലൈൻ. അവയിൽ ഓരോന്നിനും ഒരേ പ്രവർത്തനം പ്രയോഗിക്കുന്നു, നിർമ്മാണത്തിന്റെ നാലാമത്തെ ഘട്ടം ലഭിക്കും. ഇതേ സ്പിരിറ്റിൽ തുടർന്നാൽ നിങ്ങൾക്ക് കൂടുതൽ കൂടുതൽ പുതിയ വരികൾ ലഭിക്കും (എല്ലാം തകർന്ന വരകളായിരിക്കും). പരിധിയിൽ സംഭവിക്കുന്നതിനെ (ഇത് ഇതിനകം ഒരു സാങ്കൽപ്പിക വസ്തുവായിരിക്കും) കോച്ച് കർവ് എന്ന് വിളിക്കുന്നു.

1. ഇത് തുടർച്ചയാണ്, പക്ഷേ ഒരിടത്തും വ്യത്യാസമില്ല. ഏകദേശം പറഞ്ഞാൽ, അതുകൊണ്ടാണ് ഇത് കണ്ടുപിടിച്ചത് - ഇത്തരത്തിലുള്ള ഗണിതശാസ്ത്ര "ഫ്രീക്കുകളുടെ" ഉദാഹരണമായി.

2. അനന്തമായ നീളമുണ്ട്. ഒറിജിനൽ സെഗ്‌മെന്റിന്റെ ദൈർഘ്യം 1-ന് തുല്യമായിരിക്കട്ടെ. ഓരോ നിർമ്മാണ ഘട്ടത്തിലും, 4/3 മടങ്ങ് നീളമുള്ള ഒരു തകർന്ന ലൈൻ ഉപയോഗിച്ച് ലൈൻ നിർമ്മിക്കുന്ന ഓരോ സെഗ്‌മെന്റുകളും ഞങ്ങൾ മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുന്നു. ഇതിനർത്ഥം, തകർന്ന മുഴുവൻ വരിയുടെയും നീളം ഓരോ ഘട്ടത്തിലും 4/3 കൊണ്ട് ഗുണിക്കപ്പെടുന്നു എന്നാണ്: സംഖ്യയോടുകൂടിയ വരിയുടെ നീളം എൻതുല്യം (4/3) എൻ-1. അതിനാൽ, പരിധി രേഖയ്ക്ക് അനന്തമായി നീളമല്ലാതെ മറ്റൊരു മാർഗവുമില്ല.

3. കോച്ചിന്റെ സ്നോഫ്ലെക്ക് പരിമിതമായ പ്രദേശത്തെ പരിമിതപ്പെടുത്തുന്നു. അതിന്റെ ചുറ്റളവ് അനന്തമാണെങ്കിലും ഇത്. ഈ പ്രോപ്പർട്ടി വിരോധാഭാസമായി തോന്നിയേക്കാം, പക്ഷേ അത് വ്യക്തമാണ് - ഒരു സ്നോഫ്ലെക്ക് പൂർണ്ണമായും ഒരു സർക്കിളിലേക്ക് യോജിക്കുന്നു, അതിനാൽ അതിന്റെ പ്രദേശം വ്യക്തമായും പരിമിതമാണ്. പ്രദേശം കണക്കാക്കാം, ഇതിനായി നിങ്ങൾക്ക് പ്രത്യേക അറിവ് പോലും ആവശ്യമില്ല - ഒരു ത്രികോണത്തിന്റെ വിസ്തീർണ്ണവും ജ്യാമിതീയ പുരോഗതിയുടെ ആകെത്തുകയുമുള്ള സൂത്രവാക്യങ്ങൾ സ്കൂളിൽ പഠിപ്പിക്കുന്നു. താൽപ്പര്യമുള്ളവർക്കായി, കണക്കുകൂട്ടൽ മികച്ച പ്രിന്റിൽ ചുവടെ പട്ടികപ്പെടുത്തിയിരിക്കുന്നു.

യഥാർത്ഥ സാധാരണ ത്രികോണത്തിന്റെ വശം തുല്യമായിരിക്കട്ടെ എ. അപ്പോൾ അതിന്റെ വിസ്തീർണ്ണം. ആദ്യം വശം 1 ആണ്, ഏരിയ ഇതാണ്: . ആവർത്തനം വർദ്ധിക്കുമ്പോൾ എന്ത് സംഭവിക്കും? നിലവിലുള്ള ഒരു ബഹുഭുജത്തിൽ ചെറിയ സമഭുജ ത്രികോണങ്ങൾ ഘടിപ്പിച്ചിട്ടുണ്ടെന്ന് നമുക്ക് അനുമാനിക്കാം. ആദ്യമായി അവയിൽ 3 എണ്ണം മാത്രമേയുള്ളൂ, ഓരോ അടുത്ത തവണയും മുമ്പത്തേതിനേക്കാൾ 4 മടങ്ങ് കൂടുതലാണ്. അതായത്, ഓൺ എൻമത്തെ ഘട്ടം പൂർത്തിയാകും Tn= 3 4 എൻ-1 ത്രികോണങ്ങൾ. അവയിൽ ഓരോന്നിന്റെയും വശത്തിന്റെ നീളം മുൻ ഘട്ടത്തിൽ പൂർത്തിയാക്കിയ ത്രികോണത്തിന്റെ മൂന്നിലൊന്ന് ഭാഗമാണ്. അതിനാൽ ഇത് (1/3) ന് തുല്യമാണ് എൻ. പ്രദേശങ്ങൾ വശങ്ങളിലെ ചതുരങ്ങൾക്ക് ആനുപാതികമാണ്, അതിനാൽ ഓരോ ത്രികോണത്തിന്റെയും വിസ്തീർണ്ണം . വലിയ മൂല്യങ്ങൾക്ക് എൻവഴിയിൽ, ഇത് വളരെ കുറവാണ്. സ്നോഫ്ലേക്കിന്റെ വിസ്തൃതിയിൽ ഈ ത്രികോണങ്ങളുടെ ആകെ സംഭാവന Tn · എസ് എൻ= 3/4 · (4/9) എൻ · എസ് 0 . അതുകൊണ്ട് ശേഷം എൻ-ഘട്ടം, ചിത്രത്തിന്റെ വിസ്തീർണ്ണം തുകയ്ക്ക് തുല്യമായിരിക്കും എസ് 0 + ടി 1 · എസ് 1 + ടി 2 · എസ് 2 + ... +Tnഎസ് എൻ = . അനന്തമായ ഘട്ടങ്ങൾക്ക് ശേഷം ഒരു സ്നോഫ്ലെക്ക് ലഭിക്കും, അത് യോജിക്കുന്നു എൻ→ ∞. ഫലം അനന്തമായ ഒരു തുകയാണ്, എന്നാൽ ഇത് കുറയുന്ന ജ്യാമിതീയ പുരോഗതിയുടെ ആകെത്തുകയാണ്; ഇതിന് ഒരു ഫോർമുലയുണ്ട്: . സ്നോഫ്ലേക്കിന്റെ വിസ്തീർണ്ണം.

4. ഫ്രാക്റ്റൽ അളവ് log4/log3 = ലോഗ് 3 4 ≈ 1.261859... ന് തുല്യമാണ്. കൃത്യമായ കണക്കുകൂട്ടലിന് ഗണ്യമായ പരിശ്രമവും വിശദമായ വിശദീകരണങ്ങളും ആവശ്യമാണ്, അതിനാൽ ഫ്രാക്റ്റൽ ഡൈമൻഷന്റെ നിർവചനത്തിന്റെ ഒരു ചിത്രീകരണം ഇവിടെയുണ്ട്. അധികാര നിയമ ഫോർമുലയിൽ നിന്ന് എൻ(δ ) ~ (1/δ )ഡി, എവിടെ എൻ- വിഭജിക്കുന്ന ചതുരങ്ങളുടെ എണ്ണം, δ - അവയുടെ വലിപ്പം, കൂടാതെ ഡിഅളവാണ്, നമുക്ക് അത് ലഭിക്കുന്നു ഡി= ലോഗ് 1/ δ എൻ. ഒരു സ്ഥിരാങ്കം ചേർക്കുന്നത് വരെ ഈ സമത്വം സത്യമാണ് (എല്ലാവർക്കും ഒരുപോലെ δ ). കോച്ച് കർവ് നിർമ്മിക്കുന്നതിന്റെ അഞ്ചാമത്തെ ആവർത്തനമാണ് കണക്കുകൾ കാണിക്കുന്നത്; അതുമായി വിഭജിക്കുന്ന ഗ്രിഡ് സ്ക്വയറുകൾ പച്ച നിറത്തിലാണ്. യഥാർത്ഥ സെഗ്‌മെന്റിന്റെ നീളം 1 ആണ്, അതിനാൽ മുകളിലെ ചിത്രത്തിൽ ചതുരങ്ങളുടെ വശത്തിന്റെ നീളം 1/9 ആണ്. 12 ചതുരങ്ങൾ ഷേഡുള്ളതാണ്, ലോഗ് 9 12 ≈ 1.130929... . ഇതുവരെ 1.261859 ന് സാമ്യമില്ല... . നമുക്ക് കൂടുതൽ നോക്കാം. നടുവിലെ ചിത്രത്തിൽ, ചതുരങ്ങൾ പകുതി വലിപ്പമുള്ളവയാണ്, അവയുടെ വലുപ്പം 1/18, ഷേഡുള്ള 30. ലോഗ് 18 30 ≈ 1.176733... . ഇതിനകം മികച്ചത്. ചുവടെ, ചതുരങ്ങൾ ഇപ്പോഴും പകുതി വലുതാണ്; 72 കഷണങ്ങൾ ഇതിനകം പെയിന്റ് ചെയ്തിട്ടുണ്ട്. ലോഗ് 72 30 ≈ 1.193426... . അതിലും അടുത്ത്. അപ്പോൾ നിങ്ങൾ ആവർത്തന സംഖ്യ വർദ്ധിപ്പിക്കുകയും അതേ സമയം സ്ക്വയറുകൾ കുറയ്ക്കുകയും വേണം, തുടർന്ന് കോച്ച് കർവിന്റെ അളവിന്റെ "അനുഭവാത്മക" മൂല്യം സ്ഥിരമായി ലോഗ് 3 4-നെ സമീപിക്കും, പരിധിയിൽ അത് പൂർണ്ണമായും യോജിക്കും.

യഥാർത്ഥ സമഭുജ ത്രികോണത്തിനുള്ളിൽ കോച്ച് കർവുകൾ നിർമ്മിച്ചാൽ കോച്ച് സ്നോഫ്ലെക്ക് "മറിച്ച്" ലഭിക്കും.

സെസാറോ ലൈനുകൾ. സമഭുജ ത്രികോണങ്ങൾക്ക് പകരം, 60° മുതൽ 90° വരെ അടിസ്ഥാന കോണുള്ള ഐസോസിലിസ് ത്രികോണങ്ങളാണ് ഉപയോഗിക്കുന്നത്. ചിത്രത്തിൽ, കോൺ 88° ആണ്.

സ്ക്വയർ ഓപ്ഷൻ. ഇവിടെ സമചതുരങ്ങൾ പൂർത്തിയായി.

സ്നോഫ്ലെക്ക് കോച്ച്

ക്യാൻവാസ്(
ബോർഡർ: 1px ഡാഷ് ചെയ്ത കറുപ്പ്;
}

var cos = 0.5,
പാപം = Math.sqrt(3) / 2,
ഡിഗ്രി = Math.PI / 180;
canv, ctx;

ഫംഗ്ഷൻ rebro(n, len) (
ctx.save(); // നിലവിലെ പരിവർത്തനം സംരക്ഷിക്കുക
എങ്കിൽ (n == 0) ( // നോൺ-ആവർത്തന കേസ് - ഒരു വര വരയ്ക്കുക
ctx.lineTo(len, 0);
}
വേറെ (
ctx.scale(1 / 3, 1 / 3); // 3 തവണ സൂം ഔട്ട് ചെയ്യുക
റിബ്രോ (n-1, ലെൻ); //റിക്യൂർഷൻ അരികിൽ
ctx.rotate(60 * deg);
റിബ്രോ (n-1, ലെൻ);
ctx.rotate(-120 * deg);
റിബ്രോ (n-1, ലെൻ);
ctx.rotate(60 * deg);
റിബ്രോ (n-1, ലെൻ);
}
ctx.restore(); // പരിവർത്തനം പുനഃസ്ഥാപിക്കുക
ctx.translate(len, 0); // അരികിന്റെ അറ്റത്തേക്ക് പോകുക
}

ഫംഗ്‌ഷൻ ഡ്രോകോച്ച് സ്‌നോഫ്ലേക്ക്(x, y, len, n) (
x = x - ലെൻ / 2;
y = y + len / 2 * Math.sqrt(3)/3;
ctx.save();
ctx.beginPath();
ctx.translate(x, y);
ctx.moveTo(0, 0);
rebro (n, len); ctx.rotate(-120 * deg); //RECUUUURSION ഇതിനകം ഒരു ത്രികോണമാണ്
rebro (n, len); ctx.rotate(-120 * deg);
rebro (n, len); ctx.closePath();
ctx.strokeStyle = "#000";
ctx.stroke();
ctx.restore();
}

ഫംഗ്‌ഷൻ clearcanvas())( //കാൻവാസ് മായ്‌ക്കുക
ctx.save();
ctx.beginPath();

// ക്യാൻവാസ് ക്ലിയർ ചെയ്യുമ്പോൾ ഐഡന്റിറ്റി മെട്രിക്സ് ഉപയോഗിക്കുക
ctx.setTransform(1, 0, 0, 1, 0, 0);
ctx.clearRect(0, 0, canvas1.width, canvas1.height);

// പരിവർത്തനം പുനഃസ്ഥാപിക്കുക
ctx.restore();
}

ഫംഗ്ഷൻ റൺ() (
canv = document.getElementById("canvas1");
ctx = canv.getContext("2d");
var numberiter = document.getElementById("qty").value;
drawKochSnowflake(canv.width/2, canv.height/2, 380, numberiter);

Ctx.stroke(); //റെൻഡറിംഗ്
}

കോച്ചിന്റെ സ്നോഫ്ലെക്ക് - ഉദാഹരണം

ബോസ്റ്റണിൽ അസാധാരണമായ ചൂടുള്ള ശൈത്യകാലമായിരുന്നു, പക്ഷേ ഞങ്ങൾ ഇപ്പോഴും ആദ്യത്തെ മഞ്ഞുവീഴ്ചയ്ക്കായി കാത്തിരുന്നു. ജാലകത്തിലൂടെ മഞ്ഞ് വീഴുന്നത് കാണുമ്പോൾ, സ്നോഫ്ലേക്കുകളെക്കുറിച്ചും അവയുടെ ഘടന ഗണിതശാസ്ത്രപരമായി വിവരിക്കാൻ എളുപ്പമല്ലാത്തതെങ്ങനെയെന്നും ഞാൻ ചിന്തിച്ചു. എന്നിരുന്നാലും, താരതമ്യേന ലളിതമായി വിവരിക്കാവുന്ന ഒരു പ്രത്യേക തരം സ്നോഫ്ലെക്ക് ഉണ്ട്, കോച്ച് സ്നോഫ്ലെക്ക് എന്നറിയപ്പെടുന്നു. COMSOL മൾട്ടിഫിസിക്സ് ആപ്ലിക്കേഷൻ ബിൽഡർ ഉപയോഗിച്ച് അതിന്റെ ആകൃതി എങ്ങനെ നിർമ്മിക്കാമെന്ന് ഇന്ന് നമുക്ക് നോക്കാം.

ഞങ്ങളുടെ ബ്ലോഗിൽ ഞങ്ങൾ ഇതിനകം സൂചിപ്പിച്ചതുപോലെ, ഫ്രാക്റ്റലുകൾ ഉപയോഗിക്കാവുന്നതാണ്. സ്നോഫ്ലെക്ക് കോച്ച്ഒരു ഫ്രാക്റ്റൽ ആണ്, അത് നിർമ്മിക്കുന്നതിന് വളരെ ലളിതമായ ഒരു ആവർത്തന പ്രക്രിയയുണ്ട് എന്നത് ശ്രദ്ധേയമാണ്:

ഒരു സ്നോഫ്ലെക്ക് വരയ്ക്കുന്നതിന്റെ ആദ്യ നാല് ആവർത്തനങ്ങൾക്കായി ചുവടെയുള്ള ചിത്രത്തിൽ ഈ നടപടിക്രമം ചിത്രീകരിച്ചിരിക്കുന്നു.

കോച്ച് സ്നോഫ്ലേക്കിന്റെ ആദ്യ നാല് ആവർത്തനങ്ങൾ. Wxs-ന്റെ ചിത്രം - സ്വന്തം സൃഷ്ടി. വിക്കിമീഡിയ കോമൺസ് വഴി CC BY-SA 3.0 പ്രകാരം ലൈസൻസ് ചെയ്‌തിരിക്കുന്നു.

ഏത് അൽഗോരിതം ഉപയോഗിക്കണമെന്ന് ഇപ്പോൾ ഞങ്ങൾക്ക് അറിയാവുന്നതിനാൽ, COMSOL മൾട്ടിഫിസിക്സ് ആപ്ലിക്കേഷൻ ബിൽഡർ ഉപയോഗിച്ച് അത്തരമൊരു ഘടന എങ്ങനെ സൃഷ്ടിക്കാമെന്ന് നോക്കാം. ഞങ്ങൾ ഒരു പുതിയ ഫയൽ തുറന്ന് ഒരു 2D ഒബ്ജക്റ്റ് സൃഷ്ടിക്കും ജ്യാമിതി ഭാഗംനോഡിൽ ആഗോള നിർവചനങ്ങൾ. ഈ ഒബ്ജക്റ്റിനായി, ഞങ്ങൾ അഞ്ച് ഇൻപുട്ട് പാരാമീറ്ററുകൾ സജ്ജമാക്കും: ഒരു സമഭുജ ത്രികോണത്തിന്റെ വശത്തിന്റെ നീളം; എക്സ്- ഒപ്പം വൈ- അടിത്തറയുടെ മധ്യഭാഗത്തിന്റെ കോർഡിനേറ്റുകൾ; താഴെയുള്ള ചിത്രങ്ങളിൽ കാണിച്ചിരിക്കുന്നതുപോലെ, അടിത്തറയുടെ മധ്യത്തിൽ നിന്ന് വിപരീത ശീർഷത്തിലേക്ക് നയിക്കുന്ന സാധാരണ വെക്റ്ററിന്റെ ഘടകങ്ങളും.

ഒരു സമഭുജ ത്രികോണത്തിന്റെ വലുപ്പം, സ്ഥാനം, ഓറിയന്റേഷൻ എന്നിവ സജ്ജീകരിക്കാൻ ഉപയോഗിക്കുന്ന അഞ്ച് പാരാമീറ്ററുകൾ.

ജ്യാമിതീയ ഭാഗത്തിന്റെ ഇൻപുട്ട് പാരാമീറ്ററുകൾ സജ്ജമാക്കുന്നു.
ഒരു സമഭുജ ത്രികോണം നിർമ്മിക്കാൻ ഒരു ബഹുഭുജ പ്രാകൃതം ഉപയോഗിക്കുന്നു.

ഒബ്ജക്റ്റിന് താഴത്തെ അറ്റത്തിന്റെ മധ്യഭാഗത്ത് കറങ്ങാൻ കഴിയും.

ഒരു വസ്തുവിനെ ഉത്ഭവവുമായി ആപേക്ഷികമായി നീക്കാൻ കഴിയും.

ഇപ്പോൾ നമ്മൾ ജ്യാമിതീയ ഭാഗം നിർവചിച്ചിരിക്കുന്നു, ഞങ്ങൾ അത് വിഭാഗത്തിൽ ഒരിക്കൽ ഉപയോഗിക്കുന്നു ജ്യാമിതി. ഈ ഒറ്റ ത്രികോണം കോച്ച് സ്നോഫ്ലേക്കിന്റെ പൂജ്യം ആവർത്തനത്തിന് തുല്യമാണ്, ഇപ്പോൾ കൂടുതൽ സങ്കീർണ്ണമായ സ്നോഫ്ലേക്കുകൾ സൃഷ്ടിക്കാൻ നമുക്ക് ആപ്ലിക്കേഷൻ ബിൽഡർ ഉപയോഗിക്കാം.

ആപ്ലിക്കേഷന് വളരെ ലളിതമായ ഒരു ഉപയോക്തൃ ഇന്റർഫേസ് ഉണ്ട്. ഉപയോക്താവിന് സംവദിക്കാൻ കഴിയുന്ന രണ്ട് ഘടകങ്ങൾ മാത്രമേ ഇതിൽ അടങ്ങിയിട്ടുള്ളൂ: സ്ലൈഡർ (സ്ലൈഡർ)(ചുവടെയുള്ള ചിത്രത്തിൽ 1 എന്ന് അടയാളപ്പെടുത്തിയിരിക്കുന്നു), അതുപയോഗിച്ച് നിങ്ങൾക്ക് ഒരു സ്നോഫ്ലെക്ക് സൃഷ്ടിക്കാൻ ആവശ്യമായ ആവർത്തനങ്ങളുടെ എണ്ണം സജ്ജീകരിക്കാം, കൂടാതെ ബട്ടൺ(ലേബൽ 2), ഫലമായുണ്ടാകുന്ന ജ്യാമിതി സൃഷ്‌ടിക്കുകയും പ്രദർശിപ്പിക്കുകയും ചെയ്യുന്ന ക്ലിക്കുചെയ്യുന്നതിലൂടെ. അത് കൂടാതെ വാചക ലിഖിതം(ലേബൽ 3) കൂടാതെ ഡാറ്റയുടെ ഡിസ്പ്ലേ (പ്രദർശനം).(ലേബൽ 4), ഇത് നിർദ്ദിഷ്ട ആവർത്തനങ്ങളുടെ എണ്ണവും വിൻഡോയും കാണിക്കുന്നു ചാർട്ടുകൾ(ലേബൽ 5), ഇത് അന്തിമ ജ്യാമിതി പ്രദർശിപ്പിക്കുന്നു.

ആപ്ലിക്കേഷന് അഞ്ച് ഘടകങ്ങളുള്ള ഒരൊറ്റ ഫോം ഉണ്ട്.

ആപ്ലിക്കേഷനിൽ രണ്ടെണ്ണം ഉണ്ട് നിർവചനങ്ങൾ, അതിലൊന്ന് ആവർത്തനങ്ങൾ എന്ന് വിളിക്കുന്ന ഒരു പൂർണ്ണസംഖ്യ മൂല്യം നിർവചിക്കുന്നു, അത് പൂജ്യത്തിലേക്ക് സ്ഥിരസ്ഥിതിയായി മാറുകയും ഉപയോക്താവിന് മാറ്റുകയും ചെയ്യാം. സെന്റർ എന്ന് വിളിക്കപ്പെടുന്ന ഇരട്ടകളുടെ ഒരു 1D ശ്രേണിയും നിർവചിക്കപ്പെട്ടിട്ടുണ്ട്. അറേയിലെ സിംഗിൾ എലമെന്റിന് 0.5 മൂല്യമുണ്ട്, ഇത് ഓരോ എഡ്ജിന്റെയും മധ്യഭാഗം കണ്ടെത്താൻ ഉപയോഗിക്കുന്നു. ഈ മൂല്യം ഒരിക്കലും മാറില്ല.

രണ്ട് നിർവചനങ്ങൾക്കുള്ള ക്രമീകരണങ്ങൾ.

യുഐയിലെ സ്ലൈഡർ ഘടകം പൂർണ്ണസംഖ്യയുടെ മൂല്യം, ആവർത്തന പാരാമീറ്റർ നിയന്ത്രിക്കുന്നു. താഴെയുള്ള സ്ക്രീൻഷോട്ട് "സ്ലൈഡർ" എന്നതിനായുള്ള ക്രമീകരണങ്ങളും മൂല്യങ്ങളും കാണിക്കുന്നു, അവ 0 നും 5 നും ഇടയിലുള്ള ശ്രേണിയിൽ പൂർണ്ണസംഖ്യകളായി സജ്ജീകരിച്ചിരിക്കുന്നു. അതേ ഉറവിടം (സ്ലൈഡറിനായി) ഘടകത്തിനും തിരഞ്ഞെടുത്തിരിക്കുന്നു ഡാറ്റ ഡിസ്പ്ലേആപ്ലിക്കേഷൻ സ്ക്രീനിൽ നിർദ്ദിഷ്ട ആവർത്തനങ്ങളുടെ എണ്ണം പ്രദർശിപ്പിക്കുന്നതിന്. ഉപയോഗിച്ചിരിക്കുന്ന അൽഗോരിതം ഉപോൽപ്പന്നവും വളരെ കാര്യക്ഷമവുമല്ല, എന്നാൽ നടപ്പിലാക്കാനും പ്രകടമാക്കാനും പര്യാപ്തമായതിനാൽ, സാധ്യതയുള്ള ഉപയോക്താവിനെ ഞങ്ങൾ അഞ്ച് ആവർത്തനങ്ങളിലേക്ക് പരിമിതപ്പെടുത്തുന്നു.

"സ്ലൈഡർ" ഘടകത്തിനായുള്ള ക്രമീകരണങ്ങൾ.

അടുത്തതായി, ചുവടെയുള്ള സ്ക്രീൻഷോട്ടിൽ കാണിച്ചിരിക്കുന്ന ഞങ്ങളുടെ ബട്ടണിനായുള്ള ക്രമീകരണങ്ങൾ നോക്കാം. ബട്ടൺ അമർത്തുമ്പോൾ, രണ്ട് കമാൻഡുകൾ എക്സിക്യൂട്ട് ചെയ്യുന്നു. ആദ്യം, CreateSnowFlake രീതി വിളിക്കുന്നു. തത്ഫലമായുണ്ടാകുന്ന ജ്യാമിതി പിന്നീട് ഗ്രാഫിക്സ് വിൻഡോയിൽ പ്രദർശിപ്പിക്കും.

ബട്ടൺ ക്രമീകരണങ്ങൾ.

ഞങ്ങൾ ഇപ്പോൾ ഞങ്ങളുടെ ആപ്ലിക്കേഷന്റെ ഉപയോക്തൃ ഇന്റർഫേസ് പരിശോധിച്ചു, കൂടാതെ ഏതെങ്കിലും സ്നോഫ്ലെക്ക് ജ്യാമിതിയുടെ നിർമ്മാണം ഒരു രീതിയിലൂടെ സംഭവിക്കണമെന്ന് നമുക്ക് കാണാൻ കഴിയും. ഈ രീതിയുടെ കോഡ് നോക്കാം, ഇടതുവശത്ത് ലൈൻ നമ്പറിംഗ് ചേർക്കുകയും സ്ട്രിംഗ് സ്ഥിരാങ്കങ്ങൾ ചുവപ്പിൽ ഹൈലൈറ്റ് ചെയ്യുകയും ചെയ്യുന്നു:

1 model.geom("geom1" ).feature().clear(); 2 model.geom("geom1" ).create("pi1" , "PartInstance" ); 3 model.geom("geom1" ).run("fin" ); 4 എന്നതിന് (int iter = 1; iter "geom1" ).getNEdges()+1; 6 UnionList = "pi" + iter; 7 എന്നതിന് (int എഡ്ജ് = 1; എഡ്ജ് "ജിയോം1" ).getNEdges(); എഡ്ജ്++) ( 8 String newPartInstance = "pi" + iter + edge; 9 model.geom("geom1" ).create(newPartInstance, "PartInstance" ).set("part" , "part1" );10 with(model. geom("geom1" ).feature(newPartInstance)); 11 setEntry("inputexpr" , "Length" , toString(Math.pow(1.0/3.0, iter))); 12 setEntry("inputexpr" , "px" , model.geom("geom1" ).edgeX(edge, Center)); 13 setEntry("inputexpr" , "py" , model.geom("geom1" ).edgeX(edge, Center)); 14 setEntry("inputexpr " , "nx" , model.geom("geom1" ).edgeNormal(edge, Center)); 15 setEntry("inputexpr" , "ny" , model.geom("geom1" ).edgeNormal(എഡ്ജ്, സെന്റർ)) ; 16 endwith(); 17 UnionList = newPartInstance; 18 ) 19 model.geom("geom1" ).create("pi" +(iter+1), "Union" ).selection("input" ).set(UnionList ); 20 model.geom("geom1" ).feature("pi" +(iter+1)).set("intbnd" , "off" ); 21 model.geom("geom1" ).run("fin" ); 22)

ഓരോ വരിയും എന്ത് ഫംഗ്‌ഷനാണ് നിർവ്വഹിക്കുന്നതെന്ന് മനസിലാക്കാൻ കോഡ് ലൈനിലൂടെ നമുക്ക് പോകാം:

അങ്ങനെ, ഞങ്ങളുടെ ആപ്ലിക്കേഷന്റെ എല്ലാ വശങ്ങളും ഘടകങ്ങളും ഞങ്ങൾ ഉൾപ്പെടുത്തിയിട്ടുണ്ട്. ഫലങ്ങൾ നോക്കാം!

കോച്ച് സ്നോഫ്ലെക്ക് നിർമ്മിക്കുന്നതിനുള്ള ഞങ്ങളുടെ ലളിതമായ ആപ്ലിക്കേഷൻ.

ഒരു ഫയലിലേക്ക് ജ്യാമിതി എഴുതുന്നതിനോ അധിക വിശകലനങ്ങൾ നേരിട്ട് നടത്തുന്നതിനോ ഞങ്ങളുടെ അപേക്ഷ വിപുലീകരിക്കാം. ഉദാഹരണത്തിന്, നമുക്ക് ഒരു ഫ്രാക്റ്റൽ ആന്റിന രൂപകൽപ്പന ചെയ്യാം. ആന്റിനയുടെ രൂപകൽപ്പനയിൽ നിങ്ങൾക്ക് താൽപ്പര്യമുണ്ടെങ്കിൽ, ഞങ്ങളുടെ ഉദാഹരണം പരിശോധിക്കുക, അല്ലെങ്കിൽ ആദ്യം മുതൽ അതിന്റെ ലേഔട്ട് ഉണ്ടാക്കുക.

ഈ ആപ്ലിക്കേഷൻ സ്വയം നിർമ്മിക്കാൻ നിങ്ങൾ ആഗ്രഹിക്കുന്നുവെങ്കിലും ആപ്ലിക്കേഷൻ ബിൽഡർ ഇതുവരെ പൂർത്തിയാക്കിയിട്ടില്ലെങ്കിൽ, ഇനിപ്പറയുന്ന ഉറവിടങ്ങൾ നിങ്ങൾക്ക് സഹായകമായേക്കാം:

• ഗൈഡ് ഡൗൺലോഡ് ചെയ്യുക ഇംഗ്ലീഷിൽ ആപ്ലിക്കേഷൻ ഡവലപ്മെന്റ് എൻവയോൺമെന്റിന്റെ ആമുഖം
• ഈ വീഡിയോകൾ കാണുക, എങ്ങനെ ഉപയോഗിക്കാമെന്ന് മനസിലാക്കുക
• സിമുലേഷൻ ആപ്ലിക്കേഷനുകൾ എങ്ങനെയാണ് ഉപയോഗിക്കുന്നതെന്ന് അറിയാൻ ഈ വിഷയങ്ങൾ വായിക്കുക

നിങ്ങൾ ഈ മെറ്റീരിയൽ കവർ ചെയ്‌തുകഴിഞ്ഞാൽ, സ്നോഫ്‌ലേക്കിന്റെ വലുപ്പം മാറ്റാനും സൃഷ്‌ടിച്ച ജ്യാമിതി കയറ്റുമതി ചെയ്യാനും വിസ്തീർണ്ണവും ചുറ്റളവും കണക്കാക്കാനും മറ്റും ആപ്പിന്റെ പ്രവർത്തനം എങ്ങനെ വിപുലീകരിക്കാമെന്ന് നിങ്ങൾ കാണും.

COMSOL മൾട്ടിഫിസിക്സിൽ ഏത് തരത്തിലുള്ള ആപ്ലിക്കേഷനാണ് നിങ്ങൾ സൃഷ്ടിക്കാൻ ആഗ്രഹിക്കുന്നത്? സഹായത്തിനായി.

ഏറ്റവും പ്രശസ്തവും നിഗൂഢവുമായ ജ്യാമിതീയ വസ്തുക്കളിൽ ഒന്നായ ഫ്രാക്റ്റൽ സ്നോഫ്ലെക്ക് നമ്മുടെ നൂറ്റാണ്ടിന്റെ തുടക്കത്തിൽ ഹെൽഗ വോൺ കോച്ച് വിവരിച്ചു. പാരമ്പര്യമനുസരിച്ച്, നമ്മുടെ സാഹിത്യത്തിൽ ഇതിനെ കോച്ചിന്റെ സ്നോഫ്ലെക്ക് എന്ന് വിളിക്കുന്നു. ഇത് വളരെ “സ്പൈക്കി” ജ്യാമിതീയ രൂപമാണ്, ഇത് ഡേവിഡിന്റെ നക്ഷത്രം സ്വയം ആവർത്തിച്ച് “ഗുണിപ്പിക്കുന്ന” ഫലമായി രൂപകമായി കാണാൻ കഴിയും. അതിന്റെ ആറ് പ്രധാന കിരണങ്ങൾ വലുതും ചെറുതുമായ "സൂചികൾ" അനന്തമായ എണ്ണം കൊണ്ട് മൂടിയിരിക്കുന്നു. ഒരു സ്നോഫ്ലേക്കിന്റെ കോണ്ടൂരിന്റെ ഓരോ സൂക്ഷ്മ ശകലവും ഒരു പോഡിലെ രണ്ട് പീസ് പോലെയാണ്, വലിയ ബീമിൽ അതേ സൂക്ഷ്മ ശകലങ്ങളുടെ അനന്തമായ എണ്ണം അടങ്ങിയിരിക്കുന്നു.

1994-ൽ വർണയിൽ ഗണിത മോഡലിങ്ങിന്റെ രീതിശാസ്ത്രത്തെക്കുറിച്ചുള്ള ഒരു അന്താരാഷ്ട്ര സിമ്പോസിയത്തിൽ, ബൾഗേറിയൻ എഴുത്തുകാരുടെ കൃതികൾ ഞാൻ കണ്ടു, അവർ ഹൈസ്കൂൾ പാഠങ്ങളിൽ കോച്ചിന്റെ സ്നോഫ്ലേക്കുകളും മറ്റ് സമാന വസ്തുക്കളും ഉപയോഗിച്ച അനുഭവം വിവരിച്ചു. സെനോയുടെ ദാർശനിക അപ്പോറിയകൾ. കൂടാതെ, ഒരു വിദ്യാഭ്യാസ വീക്ഷണകോണിൽ നിന്ന്, എന്റെ അഭിപ്രായത്തിൽ, സാധാരണ ഫ്രാക്റ്റൽ ജ്യാമിതീയ ഘടനകൾ നിർമ്മിക്കുന്നതിനുള്ള തത്വം വളരെ രസകരമാണ് - അടിസ്ഥാന മൂലകത്തിന്റെ ആവർത്തന ഗുണനത്തിന്റെ തത്വം. പ്രകൃതി ഫ്രാക്റ്റൽ രൂപങ്ങളെ "സ്നേഹിക്കുന്നത്" വെറുതെയല്ല. ലളിതമായ പുനരുൽപാദനത്തിലൂടെയും ഒരു നിശ്ചിത എലിമെന്ററി ബിൽഡിംഗ് ബ്ലോക്കിന്റെ വലുപ്പം മാറ്റുന്നതിലൂടെയും അവ ലഭിക്കുന്നു എന്ന വസ്തുത ഇത് കൃത്യമായി വിശദീകരിക്കുന്നു. നിങ്ങൾക്കറിയാവുന്നതുപോലെ, പ്രകൃതി വിവിധ കാരണങ്ങളാൽ കവിഞ്ഞൊഴുകുന്നില്ല, സാധ്യമെങ്കിൽ, ഏറ്റവും ലളിതമായ അൽഗോരിതം പരിഹാരങ്ങൾ ഉപയോഗിച്ച് പ്രവർത്തിക്കുന്നു. ഇലകളുടെ രൂപരേഖകൾ സൂക്ഷ്മമായി നോക്കുക, പല കേസുകളിലും നിങ്ങൾ ഒരു കോച്ച് സ്നോഫ്ലേക്കിന്റെ രൂപരേഖയുമായി വ്യക്തമായ ബന്ധം കണ്ടെത്തും.

ഫ്രാക്റ്റൽ ജ്യാമിതീയ ഘടനകളുടെ ദൃശ്യവൽക്കരണം ഒരു കമ്പ്യൂട്ടറിന്റെ സഹായത്തോടെ മാത്രമേ സാധ്യമാകൂ. മൂന്നാമത്തെ ഓർഡറിന് മുകളിൽ ഒരു കോച്ച് സ്നോഫ്ലെക്ക് സ്വമേധയാ നിർമ്മിക്കുന്നത് ഇതിനകം വളരെ ബുദ്ധിമുട്ടാണ്, പക്ഷേ നിങ്ങൾ ശരിക്കും അനന്തതയിലേക്ക് നോക്കാൻ ആഗ്രഹിക്കുന്നു! അതിനാൽ, അനുയോജ്യമായ ഒരു കമ്പ്യൂട്ടർ പ്രോഗ്രാം വികസിപ്പിക്കാൻ എന്തുകൊണ്ട് ശ്രമിക്കരുത്. ത്രികോണങ്ങളിൽ നിന്ന് ഒരു കോച്ച് സ്നോഫ്ലെക്ക് നിർമ്മിക്കുന്നതിനുള്ള ശുപാർശകൾ RuNet-ൽ നിങ്ങൾക്ക് കണ്ടെത്താം. ഈ അൽഗോരിതത്തിന്റെ ഫലം വിഭജിക്കുന്ന വരകളുടെ ഒരു കൂട്ടം പോലെ കാണപ്പെടുന്നു. "കഷണങ്ങളിൽ" നിന്ന് ഈ കണക്ക് കൂട്ടിച്ചേർക്കുന്നത് കൂടുതൽ രസകരമാണ്. ഒരു കോച്ച് സ്നോഫ്ലേക്കിന്റെ കോണ്ടൂർ, തിരശ്ചീനമായ x-അക്ഷവുമായി ബന്ധപ്പെട്ട് 0°, 60°, 120° എന്നിവയിൽ ചെരിഞ്ഞ തുല്യ നീളമുള്ള ഭാഗങ്ങൾ ഉൾക്കൊള്ളുന്നു. നമ്മൾ അവയെ യഥാക്രമം 1, 2, 3 എന്നിവ സൂചിപ്പിക്കുന്നുവെങ്കിൽ, ഏത് ഓർഡറിന്റെയും സ്നോഫ്ലേക്കിൽ തുടർച്ചയായ ട്രിപ്പിറ്റുകൾ അടങ്ങിയിരിക്കും - 1, 2, 3, 1, 2, 3, 1, 2, 3... എന്നിങ്ങനെ. ഈ മൂന്ന് തരങ്ങളിൽ ഓരോന്നും സെഗ്‌മെന്റുകളുടെ ഒന്നോ അല്ലെങ്കിൽ മറ്റേ അറ്റത്തോ മുമ്പത്തേതിൽ അറ്റാച്ചുചെയ്യാം. ഈ സാഹചര്യം കണക്കിലെടുക്കുമ്പോൾ, ഒരു സ്നോഫ്ലേക്കിന്റെ രൂപരേഖ ആറ് തരം സെഗ്മെന്റുകൾ ഉൾക്കൊള്ളുന്നുവെന്ന് നമുക്ക് അനുമാനിക്കാം. നമുക്ക് അവയെ 0, 1, 2, 3, 4, 5 എന്ന് സൂചിപ്പിക്കാം. അങ്ങനെ, 6 അക്കങ്ങൾ ഉപയോഗിച്ച് ഏത് ഓർഡറിന്റെയും ഒരു കോണ്ടൂർ എൻകോഡ് ചെയ്യാനുള്ള അവസരം നമുക്ക് ലഭിക്കും (ചിത്രം കാണുക).

മടക്കിയ കൈപ്പത്തികൾ പോലെ (_/\_) ബന്ധിപ്പിച്ചിരിക്കുന്ന, ഓരോ അരികും നാല് ഉപയോഗിച്ച് മാറ്റി ഒരു ലോവർ-ഓർഡർ മുൻഗാമിയിൽ നിന്ന് ഉയർന്ന-ഓർഡർ സ്നോഫ്ലെക്ക് ലഭിക്കും. എഡ്ജ് ടൈപ്പ് 0 ന് പകരം നാല് അരികുകൾ 0, 5, 1, 0 എന്നിങ്ങനെ പട്ടിക അനുസരിച്ച്:

ഒരു ലളിതമായ സമഭുജ ത്രികോണത്തെ ഒരു പൂജ്യം-ഓർഡർ കോച്ച് സ്നോഫ്ലേക്ക് ആയി കണക്കാക്കാം. വിവരിച്ച എൻകോഡിംഗ് സിസ്റ്റത്തിൽ, ഇത് എൻട്രി 0, 4, 2 എന്നിവയുമായി യോജിക്കുന്നു. വിവരിച്ച മാറ്റിസ്ഥാപിക്കലിലൂടെ മറ്റെല്ലാം ലഭിക്കും. ഞാൻ ഇവിടെ നടപടിക്രമ കോഡ് നൽകില്ല, അതുവഴി നിങ്ങളുടെ സ്വന്തം പ്രോഗ്രാം വികസിപ്പിച്ചെടുക്കുന്നതിന്റെ സന്തോഷം നഷ്‌ടപ്പെടുത്തും. ഇത് എഴുതുമ്പോൾ, വ്യക്തമായ ആവർത്തന കോൾ ഉപയോഗിക്കേണ്ട ആവശ്യമില്ല. ഇത് ഒരു സാധാരണ സൈക്കിൾ ഉപയോഗിച്ച് മാറ്റിസ്ഥാപിക്കാം. ജോലിയുടെ പ്രക്രിയയിൽ, ആവർത്തനത്തെക്കുറിച്ചും നമുക്ക് ചുറ്റുമുള്ള ലോകത്തിന്റെ അർദ്ധ-ഫ്രാക്റ്റൽ രൂപങ്ങളുടെ രൂപീകരണത്തിലും അതിന്റെ പങ്കിനെക്കുറിച്ചും ചിന്തിക്കാൻ നിങ്ങൾക്ക് മറ്റൊരു കാരണമുണ്ട്, കൂടാതെ പാതയുടെ അവസാനത്തിലും (തീർച്ചയായും, നിങ്ങൾ മടിയനല്ലെങ്കിൽ. അതിലൂടെ അവസാനം വരെ പോകാൻ) നിങ്ങൾക്ക് ഒരു ഫ്രാക്റ്റൽ സ്നോഫ്ലേക്കിന്റെ രൂപരേഖകളുടെ സങ്കീർണ്ണമായ പാറ്റേണിനെ അഭിനന്ദിക്കാനും ഒടുവിൽ അനന്തതയുടെ മുഖത്തേക്ക് നോക്കാനും കഴിയും.

വിഷയം: ഫ്രാക്റ്റലുകൾ.

1. ആമുഖം. ഫ്രാക്റ്റലുകളെക്കുറിച്ചുള്ള ഹ്രസ്വ ചരിത്ര പശ്ചാത്തലം. 2. ഫ്രാക്റ്റലുകൾ പ്രകൃതിയിലെ ജ്യാമിതിയുടെ മൂലകങ്ങളാണ്.

3. പ്രകൃതിയിൽ ഫ്രാക്റ്റൽ ഗുണങ്ങളുള്ള വസ്തുക്കൾ. 4. "ഫ്രാക്റ്റലുകൾ" എന്ന പദാവലിയുടെ നിർവ്വചനം.

5. ഫ്രാക്റ്റലുകളുടെ ക്ലാസുകൾ.

6. ഫ്രാക്റ്റൽ പ്രക്രിയകളുടെ വിവരണം. 7. ഫ്രാക്റ്റൽ സെറ്റുകൾ ലഭിക്കുന്നതിനുള്ള നടപടിക്രമങ്ങൾ.

8.1 ബ്രോക്കൺ കോഖ (നടപടി സ്വീകരിക്കൽ).

8.2 കോച്ച് സ്നോഫ്ലെക്ക് (കൊച്ച് ഫ്രാക്റ്റൽ).

8.3 മെംഗർ സ്പോഞ്ചുകൾ.

9. ഫ്രാക്റ്റലുകൾ ഉപയോഗിക്കുന്നതിനുള്ള ഉദാഹരണങ്ങൾ.

വ്യതിരിക്ത ഗണിതശാസ്ത്രത്തിന്റെ ഒരു യുവ ശാഖയാണ് ഫ്രാക്റ്റലുകൾ.

1904-ൽ, സ്വീഡൻ കോച്ച് എവിടെയും സ്പർശനമില്ലാത്ത ഒരു തുടർച്ചയായ വക്രവുമായി വന്നു - കോച്ച് കർവ്.

1918-ൽ ഫ്രാക്റ്റലുകളുടെ മുഴുവൻ കുടുംബത്തെയും ഫ്രഞ്ചുകാരനായ ജൂലിയ വിവരിച്ചു.

1938-ൽ, പിയറി ലെവി "തലം, സ്പേഷ്യൽ കർവുകൾ, ഉപരിതലങ്ങൾ എന്നിവയ്ക്ക് സമാനമായ ഭാഗങ്ങൾ ഉൾക്കൊള്ളുന്നു" എന്ന ലേഖനം പ്രസിദ്ധീകരിച്ചു.

1982-ൽ ബെനോയിറ്റ് മണ്ടൽബ്രോട്ട് "ദി ഫ്രാക്റ്റൽ ജ്യാമിതി ഓഫ് നേച്ചർ" എന്ന പുസ്തകം പ്രസിദ്ധീകരിച്ചു.

ലളിതമായ നിർമ്മാണങ്ങളും സൂത്രവാക്യങ്ങളും ഉപയോഗിച്ച് ചിത്രങ്ങൾ സൃഷ്ടിക്കുന്നു. "ഫ്രാക്റ്റൽ പെയിന്റിംഗ്" പ്രത്യക്ഷപ്പെട്ടു.

1993 മുതൽ, വേൾഡ് സയന്റിഫിക് ജേണൽ "ഫ്രാക്റ്റൽസ്" പ്രസിദ്ധീകരിച്ചു.

പർവതനിരകളുടെ മാതൃകകൾ, ദുർഘടമായ തീരപ്രദേശങ്ങൾ, നിരവധി കാപ്പിലറികളുടെയും പാത്രങ്ങളുടെയും രക്തചംക്രമണ സംവിധാനങ്ങൾ, വൃക്ഷ കിരീടങ്ങൾ, കാസ്കേഡിംഗ് വെള്ളച്ചാട്ടങ്ങൾ, സ്ഫടികത്തിലെ തണുത്ത പാറ്റേണുകൾ തുടങ്ങിയ വസ്തുക്കളെ വിവരിക്കുന്നതിനുള്ള ഒരു മാർഗമാണ് ഫ്രാക്റ്റലുകൾ.

അല്ലെങ്കിൽ ഇവ: ഫേൺ ഇല, മേഘങ്ങൾ, ബ്ലോട്ട്.

ഫ്രാക്റ്റൽ ഗ്രാഫിക്സ് ഉപയോഗിച്ച് അത്തരം വസ്തുക്കളുടെ ചിത്രങ്ങൾ പ്രതിനിധീകരിക്കാം.

പവിഴങ്ങൾ സ്റ്റാർഫിഷ്, ഉർച്ചിൻസ് കടൽ ഷെല്ലുകൾ

പൂക്കളും ചെടികളും (ബ്രോക്കോളി, കാബേജ്) പഴങ്ങൾ (പൈനാപ്പിൾ)

മരങ്ങളുടെയും ചെടികളുടെ ഇലകളുടെയും കിരീടങ്ങൾ രക്തചംക്രമണ സംവിധാനവും മനുഷ്യരുടെയും മൃഗങ്ങളുടെയും ബ്രോങ്കി നിർജീവ സ്വഭാവത്തിൽ:

ഭൂമിശാസ്ത്രപരമായ വസ്തുക്കളുടെ അതിരുകൾ (രാജ്യങ്ങൾ, പ്രദേശങ്ങൾ, നഗരങ്ങൾ) തീരപ്രദേശങ്ങൾ പർവതനിരകൾ മഞ്ഞുതുള്ളികൾ മേഘങ്ങൾ മിന്നൽ

ഗ്ലാസ് ക്രിസ്റ്റലുകൾ സ്റ്റാലാക്റ്റൈറ്റുകൾ, സ്റ്റാലാഗ്മിറ്റുകൾ, ഹെലിക്റ്റൈറ്റുകൾ എന്നിവയിൽ രൂപപ്പെട്ട പാറ്റേണുകൾ.

ഫ്രാക്റ്റലുകൾ ഇനിപ്പറയുന്ന ഒന്നോ അതിലധികമോ ഗുണങ്ങളെ തൃപ്തിപ്പെടുത്തുന്ന ജ്യാമിതീയ രൂപങ്ങളാണ്:

ഏത് മാഗ്‌നിഫിക്കേഷനിലും (എല്ലാ സ്കെയിലുകളിലും) ഇതിന് സങ്കീർണ്ണമല്ലാത്ത നിസ്സാര ഘടനയുണ്ട്; ഇത് (ഏകദേശം) സ്വയം സമാനമാണ്.

ഇതിന് ഫ്രാക്ഷണൽ ഹൗസ്‌ഡോർഫ് (ഫ്രാക്റ്റൽ) അളവ് ഉണ്ട് അല്ലെങ്കിൽ ടോപ്പോളജിക്കൽ ഒന്നിനെ കവിയുന്നു; ആവർത്തന നടപടിക്രമങ്ങൾ വഴി നിർമ്മിക്കാൻ കഴിയും.

ഒരു വൃത്തം, ദീർഘവൃത്തം അല്ലെങ്കിൽ സുഗമമായ പ്രവർത്തനത്തിന്റെ ഗ്രാഫ് പോലുള്ള സാധാരണ രൂപങ്ങൾക്ക്, വളരെ വലിയ തോതിലുള്ള ഒരു ചെറിയ ശകലം ഒരു നേർരേഖയുടെ ഒരു ശകലത്തിന് സമാനമാണ്. ഒരു ഫ്രാക്റ്റലിനെ സംബന്ധിച്ചിടത്തോളം, സ്കെയിൽ വർദ്ധിപ്പിക്കുന്നത് ഘടനയുടെ ലഘൂകരണത്തിലേക്ക് നയിക്കില്ല; എല്ലാ സ്കെയിലുകൾക്കും നമ്മൾ തുല്യ സങ്കീർണ്ണമായ ചിത്രങ്ങൾ കാണും.

മൊത്തത്തിലുള്ളതിന് സമാനമായ ഭാഗങ്ങൾ (ഉപഘടനകൾ) അടങ്ങിയ ഒരു ഘടനയാണ് ഫ്രാക്റ്റൽ.

പ്രകൃതിയുടെ മൂലകങ്ങൾ എന്ന നിലയിൽ ചില ഫ്രാക്റ്റലുകളെ ജ്യാമിതീയ (നിർമ്മിത) ഫ്രാക്റ്റലുകളായി തരം തിരിക്കാം.

ബാക്കിയുള്ളവ ഡൈനാമിക് ഫ്രാക്റ്റലുകൾ (ബീജഗണിതം) ആയി തരം തിരിക്കാം.

ഫ്രാക്റ്റൽ കർവുകൾ നേടുന്നതിനുള്ള ഒരു ലളിതമായ ആവർത്തന നടപടിക്രമമാണിത്: പരിമിതമായ എണ്ണം ലിങ്കുകളുള്ള ഒരു ഏകപക്ഷീയമായ തകർന്ന ലൈൻ വ്യക്തമാക്കുക - ഒരു ജനറേറ്റർ. അടുത്തതായി, ജനറേറ്ററിന്റെ ഓരോ സെഗ്മെന്റും അതിൽ മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുന്നു. അപ്പോൾ അതിലെ ഓരോ സെഗ്‌മെന്റും വീണ്ടും ഒരു ജനറേറ്റർ ഉപയോഗിച്ച് മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുന്നു, അങ്ങനെ ആഡ് ഇൻഫിനിറ്റം.

കാണിച്ചിരിക്കുന്നത്: ഒരു യൂണിറ്റ് സെഗ്‌മെന്റിനെ 3 ഭാഗങ്ങളായി (a), ഒരു യൂണിറ്റ് സ്ക്വയർ ഏരിയയെ 9 ഭാഗങ്ങളായി (b), ഒരു യൂണിറ്റ് ക്യൂബ് 27 ഭാഗങ്ങളായും (c) 64 ഭാഗങ്ങളായും (d) വിഭജിക്കുക. ഭാഗങ്ങളുടെ എണ്ണം n ആണ്, സ്കെയിലിംഗ് ഘടകം k ആണ്, സ്ഥലത്തിന്റെ അളവ് d ആണ്. ഞങ്ങൾക്ക് ഇനിപ്പറയുന്ന ബന്ധങ്ങളുണ്ട്: n = kd,

n = 3, k = 3 എങ്കിൽ d = 1; n = 9, k = 3 എങ്കിൽ d = 2; n = 27, k = 3 എങ്കിൽ d = 3.

n = 4, k = 4 എങ്കിൽ d = 1; n = 16, k = 4 എങ്കിൽ d = 2; n = 64, k = 4 ആണെങ്കിൽ, d = 3. സ്ഥലത്തിന്റെ അളവ് പൂർണ്ണസംഖ്യകളിൽ പ്രകടിപ്പിക്കുന്നു: d = 1, 2, 3; n = 64 ന്, d യുടെ മൂല്യം

ഒരു കോച്ച് പോളിലൈൻ നിർമ്മിക്കുന്നതിനുള്ള അഞ്ച് ഘട്ടങ്ങൾ കാണിച്ചിരിക്കുന്നു: യൂണിറ്റ് ദൈർഘ്യം (എ), മൂന്ന് ഭാഗങ്ങളായി (k = 3) തിരിച്ചിരിക്കുന്നു, നാല് ഭാഗങ്ങളിൽ നിന്ന് (n = 4) - ഒരു തകർന്ന ലൈൻ (ബി); ഓരോ നേരായ സെഗ്മെന്റും മൂന്ന് ഭാഗങ്ങളായി തിരിച്ചിരിക്കുന്നു (k2 = 9), 16 ഭാഗങ്ങൾ (n2 = 16) - ഒരു തകർന്ന ലൈൻ (സി); നടപടിക്രമം k3 = 27, n3 = 64 എന്നിവയ്ക്കായി ആവർത്തിക്കുന്നു - തകർന്ന ലൈൻ (g); k5 = 243, n5 = 1024 എന്നിവയ്ക്ക് - തകർന്ന ലൈൻ (ഇ).

അളവ്

ഇതൊരു ഫ്രാക്ഷണൽ അല്ലെങ്കിൽ ഫ്രാക്റ്റൽ അളവാണ്.

1904-ൽ ഹെൽഗ് വോൺ കോച്ച് നിർദ്ദേശിച്ച കോച്ച് പോളിലൈൻ, തീരപ്രദേശത്തിന്റെ പരുക്കൻതയെ മാതൃകയാക്കാൻ അനുയോജ്യമായ ഒരു ഫ്രാക്റ്റലായി പ്രവർത്തിക്കുന്നു. മണ്ടൽബ്രോട്ട് തീരപ്രദേശ നിർമ്മാണ അൽഗോരിതത്തിൽ ക്രമരഹിതമായ ഒരു ഘടകം അവതരിപ്പിച്ചു, എന്നിരുന്നാലും, തീരപ്രദേശത്തിന്റെ ദൈർഘ്യം സംബന്ധിച്ച പ്രധാന നിഗമനത്തെ ഇത് ബാധിച്ചില്ല. കാരണം പരിധി

തീരത്തിന്റെ അനന്തമായ പരുഷത കാരണം തീരപ്രദേശത്തിന്റെ നീളം അനന്തതയിലേക്കാണ് നീങ്ങുന്നത്.

കൂടുതൽ വിശദമായ സ്കെയിലിൽ നിന്ന് കുറച്ച് വിശദമായ ഒന്നിലേക്ക് നീങ്ങുമ്പോൾ തീരപ്രദേശം സുഗമമാക്കുന്നതിനുള്ള നടപടിക്രമം, അതായത്.

നിർമ്മാണത്തിനുള്ള അടിസ്ഥാനമെന്ന നിലയിൽ, നിങ്ങൾക്ക് യൂണിറ്റ് നീളത്തിന്റെ സെഗ്മെന്റുകളല്ല, മറിച്ച് ഒരു സമഭുജ ത്രികോണം എടുക്കാം, അതിന്റെ ഓരോ വശത്തേക്കും ക്രമക്കേടുകൾ വർദ്ധിപ്പിക്കുന്നതിനുള്ള നടപടിക്രമം നിങ്ങൾക്ക് വിപുലീകരിക്കാൻ കഴിയും. ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, നമുക്ക് ഒരു കോച്ച് സ്നോഫ്ലെക്ക് (ചിത്രം) ലഭിക്കുന്നു, കൂടാതെ മൂന്ന് തരം: പുതുതായി രൂപംകൊണ്ട ത്രികോണങ്ങൾ മുമ്പത്തെ ത്രികോണത്തിൽ നിന്ന് (എ) കൂടാതെ (ബി) പുറത്തേക്ക് മാത്രം നയിക്കപ്പെടുന്നു; ഉള്ളിൽ മാത്രം (ഇൻ); ക്രമരഹിതമായി ഒന്നുകിൽ പുറത്തേക്കോ അകത്തേക്കോ (d) ഒപ്പം (ഇ). ഒരു കോച്ച് ഫ്രാക്റ്റൽ നിർമ്മിക്കുന്നതിനുള്ള നടപടിക്രമം നിങ്ങൾക്ക് എങ്ങനെ ക്രമീകരിക്കാം.

അരി. സ്നോഫ്ലെക്ക് കോച്ച്

ചിത്രത്തിൽ. രണ്ട് വെക്റ്റർ ഡയഗ്രമുകൾ കാണിച്ചിരിക്കുന്നു; അമ്പടയാളങ്ങൾക്ക് മുകളിലുള്ള അക്കങ്ങൾ ഒരുപക്ഷേ ചോദ്യം ഉയർത്തും: അവ എന്താണ് അർത്ഥമാക്കുന്നത്? വെക്റ്റർ 0, abscissa അക്ഷത്തിന്റെ പോസിറ്റീവ് ദിശയുമായി പൊരുത്തപ്പെടുന്നു, കാരണം l = 0-ൽ അതിന്റെ ഫേസ് ഫാക്ടർ എക്സ് (i2πl/6) അതിന്റെ ദിശ നിലനിർത്തുന്നു. വെക്‌ടർ 1 നെ വെക്‌ടർ 0 നെ അപേക്ഷിച്ച് 2π/6 എന്ന കോണിൽ തിരിക്കുന്നു, അപ്പോൾ l= 1. വെക്‌റ്റർ 5-ന് ഒരു ഫേസ് ഫാക്‌ടർ എക്‌സ് (i2π5/6), l = 5 ഉണ്ട്. അവസാന വെക്‌ടറിന് ആദ്യ ഘട്ടത്തിന്റെ അതേ ഫേസ് ഫാക്ടർ ഉണ്ട് ( l = 0). പൂർണ്ണസംഖ്യകൾ l യൂണിറ്റ് വെക്റ്ററിന്റെ ഘട്ടം ഘടകത്തിന്റെ കോണിനെ ചിത്രീകരിക്കുന്നു.

ആദ്യ ഘട്ടം (ചിത്രം.) തുടർന്നുള്ള എല്ലാ ഘട്ടങ്ങൾക്കും പ്രത്യേകിച്ച്, രണ്ടാം ഘട്ടത്തിനും (ചിത്രം) ഒരു ആവർത്തന നടപടിക്രമം വ്യക്തമാക്കുന്നു. സംഖ്യകളുടെ ഒരു കൂട്ടം φ1 = (0 1 5 0) മുതൽ φ2 = (0 1 5 0 1 2 0 1 5 0 4 5 0 1 5 0) ലേക്ക് എങ്ങനെ പോകാം? ഉത്തരം: ഡയറക്ട് മാട്രിക്സ് ഗുണനത്തിലൂടെ, ഒരു മെട്രിക്സിന്റെ ഓരോ മൂലകവും യഥാർത്ഥ മാട്രിക്സ് കൊണ്ട് ഗുണിക്കുമ്പോൾ. ഈ സാഹചര്യത്തിൽ ഞങ്ങൾ ഒരു ഏകമാന അറേയാണ് കൈകാര്യം ചെയ്യുന്നത്, അതായത്. മെട്രിക്സ് വെക്റ്ററായതിനാൽ, ഒരു മാട്രിക്സ്-വെക്റ്ററിന്റെ ഓരോ മൂലകവും മറ്റൊരു മാട്രിക്സ്-വെക്റ്ററിന്റെ എല്ലാ ഘടകങ്ങളാലും ഗുണിക്കപ്പെടുന്നു. കൂടാതെ, മാട്രിക്സ്-വെക്റ്റർ φ1 ന്റെ മൂലകങ്ങൾ എക്സ്പോണൻഷ്യൽ ഫംഗ്ഷനുകൾ എക്സ്പോണൻഷ്യൽ ഫംഗ്ഷനുകൾ ഉൾക്കൊള്ളുന്നു (i2πl/6), അതിനാൽ, 10 എന്ന സംഖ്യയെ ഗുണിക്കുമ്പോൾ, മോഡ് (6) അനുസരിച്ച് ചേർക്കേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്, ഗുണിക്കുകയല്ല.

കോച്ച് സ്നോഫ്ലേക്കിന്റെ ജ്യാമിതീയ രൂപം ഇതുപോലെയാണ്



ഒരു കോച്ച് സ്നോഫ്ലെക്ക് എങ്ങനെ വരയ്ക്കാം



കൂടാതെ കോച്ച് പിരമിഡുമുണ്ട്



ചുവടെയുള്ള വീഡിയോയിൽ നിന്ന് ഒരു കോച്ച് സ്നോഫ്ലെക്ക് എങ്ങനെ വരയ്ക്കാമെന്ന് നിങ്ങൾക്ക് കൂടുതൽ വിശദമായി കണ്ടെത്താനാകും. ആരെങ്കിലും മനസ്സിലാക്കിയേക്കാം, ഞാൻ ഉപേക്ഷിച്ചു.

ആദ്യം, ഈ കൊച്ച് സ്നോഫ്ലെക്ക് നോക്കാം. ചുവടെയുള്ള ഡയഗ്രം ഞങ്ങളെ നന്നായി കാണിക്കും.



അതായത്, തന്നിരിക്കുന്ന സ്നോഫ്ലെക്ക് വരയ്ക്കുന്നതിന്, നിങ്ങൾ ഈ ജ്യാമിതീയ ഫ്രാക്റ്റൽ നിർമ്മിക്കുന്ന വ്യക്തിഗത ജ്യാമിതീയ രൂപങ്ങൾ ഉപയോഗിക്കേണ്ടതുണ്ട്.



ഞങ്ങളുടെ ഡ്രോയിംഗിന്റെ അടിസ്ഥാനം ഒരു സമഭുജ ത്രികോണമാണ്. ഓരോ വശവും മൂന്ന് ഭാഗങ്ങളായി തിരിച്ചിരിക്കുന്നു, അതിൽ നിന്ന് അടുത്ത, ചെറിയ, സമഭുജ ത്രികോണങ്ങൾ നിർമ്മിക്കപ്പെടുന്നു. തത്ഫലമായുണ്ടാകുന്ന ത്രികോണങ്ങൾ ഉപയോഗിച്ച് ഒരേ പ്രവർത്തനം നിരവധി തവണ നടത്തുന്നു.

ശാസ്ത്രജ്ഞർ പഠിച്ച ആദ്യത്തെ ഫ്രാക്റ്റലുകളിൽ ഒന്നാണ് കോച്ചിന്റെ സ്നോഫ്ലെക്ക്. കോച്ച് കർവിന്റെ മൂന്ന് പകർപ്പുകളിൽ നിന്ന് ഒരു സ്നോഫ്ലെക്ക് ലഭിക്കുന്നു, ഈ കണ്ടെത്തലിനെക്കുറിച്ചുള്ള വിവരങ്ങൾ 1904 ൽ സ്വീഡിഷ് ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞനായ ഹെൽജ് വോൺ കോച്ചിന്റെ ഒരു ലേഖനത്തിൽ പ്രത്യക്ഷപ്പെട്ടു. അടിസ്ഥാനപരമായി, ഒരു തുടർരേഖയുടെ ഒരു ഉദാഹരണമായി ഒരു വക്രം കണ്ടുപിടിച്ചു, ഒരു ഘട്ടത്തിലും ഒരു ടാൻജെന്റ് ലൈൻ വരയ്ക്കാൻ കഴിയില്ല. കോച്ച് കർവ് അതിന്റെ രൂപകൽപ്പനയിൽ ലളിതമാണ്.

ഒരു ഉദാഹരണം, ഘട്ടം ഘട്ടമായുള്ള ഡ്രോയിംഗ് ഉള്ള ഒരു കോച്ച് സ്നോഫ്ലേക്കിന്റെ ഒരു ഫോട്ടോ-ഡ്രോയിംഗ്.



ഈ ഡയഗ്രാമിൽ നിങ്ങൾക്ക് പിന്നീട് ഒരു കോച്ച് സ്നോഫ്ലെക്ക് ഉണ്ടാക്കുന്ന വരികൾ വിശദമായി പരിശോധിക്കാം.

കോച്ചിന്റെ സ്നോഫ്ലേക്കിനെ അടിസ്ഥാനമാക്കിയുള്ള ഒരു പുതിയ സ്നോഫ്ലേക്കിന്റെ വ്യാഖ്യാനമാണിത്.



ഒരു കോച്ച് സ്നോഫ്ലേക്ക് എങ്ങനെ വരയ്ക്കാമെന്ന് മനസിലാക്കുന്നതിനുമുമ്പ്, അത് എന്താണെന്ന് നിങ്ങൾ നിർണ്ണയിക്കേണ്ടതുണ്ട്.

അതിനാൽ, ഒരു കോച്ച് സ്നോഫ്ലെക്ക് ഒരു ജ്യാമിതീയ ചിത്രമാണ് - ഒരു ഫ്രാക്റ്റൽ.

കോച്ചിന്റെ സ്നോഫ്ലേക്കിന്റെ പൂർണ്ണമായ നിർവചനം ചുവടെയുള്ള ചിത്രത്തിൽ നൽകിയിരിക്കുന്നു.