ഒരു മൈനസ് ചിഹ്നം ഒരു മൈനസ് ചിഹ്നം നൽകുന്നു. മൈനസ് പ്രവർത്തനങ്ങൾ

പ്രധാനപ്പെട്ട / സ്നേഹം

1) മൈനസ് ഒന്നിനെ മൈനസ് ഒന്ന് കൊണ്ട് ഗുണിച്ചാൽ എന്തുകൊണ്ട് പ്ലസ് വണ്ണിന് തുല്യമാണ്?
2) മൈനസ് ഒന്നിനെ പ്ലസ് വൺ കൊണ്ട് ഗുണിച്ചാൽ എന്തുകൊണ്ട് മൈനസ് ഒന്നിന് തുല്യമാണ്?

"എന്റെ ശത്രുവിന്റെ ശത്രു എന്റെ സുഹൃത്താണ്."

ഏറ്റവും ലളിതമായ ഉത്തരം: "കാരണം നെഗറ്റീവ് നമ്പറുകൾ കൈകാര്യം ചെയ്യുന്നതിനുള്ള നിയമങ്ങളാണിവ." ഞങ്ങൾ\u200c സ്കൂളിൽ\u200c പഠിപ്പിക്കുകയും ജീവിതത്തിലുടനീളം ബാധകമാക്കുകയും ചെയ്യുന്ന നിയമങ്ങൾ\u200c. എന്നിരുന്നാലും, നിയമങ്ങൾ കൃത്യമായി എന്തുകൊണ്ടാണ് ഇതെന്ന് പാഠപുസ്തകങ്ങൾ വിശദീകരിക്കുന്നില്ല. ഗണിത വികാസത്തിന്റെ ചരിത്രത്തെ അടിസ്ഥാനമാക്കി ഞങ്ങൾ ആദ്യം ഇത് മനസിലാക്കാൻ ശ്രമിക്കും, തുടർന്ന് ആധുനിക ഗണിതശാസ്ത്രത്തിന്റെ വീക്ഷണകോണിൽ നിന്ന് ഈ ചോദ്യത്തിന് ഞങ്ങൾ ഉത്തരം നൽകും.

വളരെക്കാലം മുമ്പ്, ആളുകൾക്ക് സ്വാഭാവിക സംഖ്യകൾ മാത്രമേ അറിയൂ: 1, 2, 3, ... പാത്രങ്ങൾ, ഇര, ശത്രുക്കൾ മുതലായവ എണ്ണാൻ അവ ഉപയോഗിച്ചിരുന്നു. എന്നാൽ അക്കങ്ങൾ സ്വയം ഉപയോഗശൂന്യമാണ് - എങ്ങനെ കൈകാര്യം ചെയ്യണമെന്ന് നിങ്ങൾ അറിയേണ്ടതുണ്ട് അവ. സങ്കലനം വ്യക്തവും മനസ്സിലാക്കാവുന്നതുമാണ്, കൂടാതെ, രണ്ട് സ്വാഭാവിക സംഖ്യകളുടെ ആകെത്തുക ഒരു സ്വാഭാവിക സംഖ്യയുമാണ് (സങ്കലന പ്രവർത്തനവുമായി ബന്ധപ്പെട്ട് സ്വാഭാവിക സംഖ്യകളുടെ ഗണം അടച്ചിട്ടുണ്ടെന്ന് ഒരു ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞൻ പറയും). സ്വാഭാവിക സംഖ്യകളെക്കുറിച്ചാണ് നമ്മൾ സംസാരിക്കുന്നതെങ്കിൽ ഗുണനം പ്രധാനമായും ഒരേ കൂട്ടിച്ചേർക്കലാണ്. ജീവിതത്തിൽ\u200c, ഞങ്ങൾ\u200c പലപ്പോഴും ഈ രണ്ട് പ്രവർ\u200cത്തനങ്ങളുമായി ബന്ധപ്പെട്ട പ്രവർ\u200cത്തനങ്ങൾ\u200c നടത്തുന്നു (ഉദാഹരണത്തിന്, ഷോപ്പിംഗ് നടത്തുമ്പോൾ\u200c, ഞങ്ങൾ\u200c ചേർ\u200cക്കുകയും ഗുണിക്കുകയും ചെയ്യുന്നു), മാത്രമല്ല നമ്മുടെ പൂർ\u200cവ്വികർ\u200c അവരെ കുറച്ചുകാലം നേരിട്ടുവെന്ന് കരുതുന്നത് വിചിത്രമാണ് - സങ്കലനവും ഗുണനവും മനുഷ്യവർ\u200cഗ്ഗം വളരെക്കാലം മാസ്റ്റേഴ്സ് ചെയ്തു മുമ്പ്. മിക്കപ്പോഴും ചില അളവുകൾ മറ്റുള്ളവർ വിഭജിക്കേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്, എന്നാൽ ഇവിടെ ഫലം എല്ലായ്പ്പോഴും ഒരു സ്വാഭാവിക സംഖ്യയായി പ്രകടിപ്പിക്കപ്പെടുന്നില്ല - ഇങ്ങനെയാണ് ഭിന്നസംഖ്യകൾ പ്രത്യക്ഷപ്പെട്ടത്.

ഇന്ത്യൻ രേഖകളിൽ, എ ഡി ഏഴാം നൂറ്റാണ്ട് മുതൽ നെഗറ്റീവ് സംഖ്യകൾ പ്രത്യക്ഷപ്പെടുന്നു; ചൈനക്കാർ കുറച്ച് മുമ്പ് അവ ഉപയോഗിക്കാൻ തുടങ്ങി. കടങ്ങളുടെ അക്ക ing ണ്ടിംഗിനോ സമവാക്യങ്ങളുടെ പരിഹാരം ലളിതമാക്കുന്നതിന് ഇന്റർമീഡിയറ്റ് കണക്കുകൂട്ടലുകളിലോ അവ ഉപയോഗിച്ചു - ഇത് ഒരു നല്ല ഉത്തരം നേടുന്നതിനുള്ള ഒരു ഉപകരണം മാത്രമായിരുന്നു. പോസിറ്റീവ് സംഖ്യകളിൽ നിന്ന് വ്യത്യസ്തമായി നെഗറ്റീവ് സംഖ്യകൾ ഏതെങ്കിലും എന്റിറ്റിയുടെ സാന്നിധ്യം പ്രകടിപ്പിക്കുന്നില്ല എന്നത് ശക്തമായ അവിശ്വാസം ജനിപ്പിച്ചു. വാക്കിന്റെ അക്ഷരാർത്ഥത്തിലുള്ള ആളുകൾ നെഗറ്റീവ് സംഖ്യകൾ ഒഴിവാക്കി: ഒരു പ്രശ്\u200cനത്തിന് നെഗറ്റീവ് ഉത്തരം ലഭിക്കുകയാണെങ്കിൽ, ഉത്തരമൊന്നുമില്ലെന്ന് അവർ വിശ്വസിച്ചു. ഈ അവിശ്വാസം വളരെക്കാലം തുടർന്നു, ആധുനിക ഗണിതശാസ്ത്രത്തിന്റെ "സ്ഥാപകരിൽ" ഒരാളായ ഡെസ്കാർട്ട് പോലും അവരെ "തെറ്റ്" (പതിനേഴാം നൂറ്റാണ്ടിൽ!) എന്ന് വിളിച്ചു.

ഉദാഹരണത്തിന്, സമവാക്യം പരിഗണിക്കുക 7x - 17 \u003d 2x - 2 ... ഇത് ഇനിപ്പറയുന്ന രീതിയിൽ പരിഹരിക്കാൻ കഴിയും: അംഗങ്ങളെ അജ്ഞാതമായ ഇടത്തേക്ക് നീക്കുക, ബാക്കിയുള്ളവ വലത്തേക്ക് നീക്കുക, അത് മാറും 7x - 2x \u003d 17 - 2 , 5x \u003d 15 , x \u003d 3 ... ഈ പരിഹാരത്തിലൂടെ, നെഗറ്റീവ് നമ്പറുകൾ പോലും ഞങ്ങൾ കണ്ടില്ല.

എന്നാൽ ഒരാൾക്ക് അബദ്ധവശാൽ മറ്റൊരു രീതിയിൽ ഇത് ചെയ്യാൻ കഴിയും: അജ്ഞാതവുമായ പദങ്ങൾ വലതുവശത്തേക്ക് മാറ്റി നേടുക 2 - 17 \u003d 2x - 7x , (-15) \u003d (-5) x ... അജ്ഞാതം കണ്ടെത്തുന്നതിന്, നിങ്ങൾ ഒരു നെഗറ്റീവ് സംഖ്യയെ മറ്റൊന്നാൽ ഹരിക്കേണ്ടതുണ്ട്: x \u003d (-15) / (- - 5) ... എന്നാൽ ശരിയായ ഉത്തരം അറിയാം, അത് അവസാനിപ്പിക്കാൻ അവശേഷിക്കുന്നു (-15)/(-5) = 3 .

ഈ ലളിതമായ ഉദാഹരണം എന്താണ് കാണിക്കുന്നത്? ആദ്യം, നെഗറ്റീവ് നമ്പറുകളിലെ പ്രവർത്തനങ്ങളുടെ നിയമങ്ങൾ നിർവചിച്ച യുക്തി വ്യക്തമാകും: ഈ പ്രവർത്തനങ്ങളുടെ ഫലങ്ങൾ നെഗറ്റീവ് അക്കങ്ങളില്ലാതെ മറ്റൊരു രീതിയിൽ ലഭിച്ച ഉത്തരങ്ങളുമായി പൊരുത്തപ്പെടണം... രണ്ടാമതായി, നെഗറ്റീവ് സംഖ്യകളുടെ ഉപയോഗം അനുവദിക്കുന്നതിലൂടെ, ഞങ്ങൾ മടുപ്പിക്കുന്നു (സമവാക്യം കൂടുതൽ സങ്കീർണ്ണമാണെങ്കിൽ, ധാരാളം പദങ്ങൾ ഉപയോഗിച്ച്) ഒരു പരിഹാര പാതയ്ക്കായി തിരയുന്നു, അതിൽ എല്ലാ പ്രവർത്തനങ്ങളും സ്വാഭാവിക സംഖ്യകളിൽ മാത്രം നടക്കുന്നു. മാത്രമല്ല, പരിവർത്തനം ചെയ്ത മൂല്യങ്ങളുടെ അർത്ഥവത്തായ കാര്യത്തെക്കുറിച്ച് നമുക്ക് ഇപ്പോൾ ചിന്തിക്കാനാകില്ല - ഇത് ഇതിനകം തന്നെ ഗണിതശാസ്ത്രത്തെ ഒരു അമൂർത്ത ശാസ്ത്രമാക്കി മാറ്റുന്നതിനുള്ള ഒരു പടിയാണ്.

നെഗറ്റീവ് നമ്പറുകളിലെ പ്രവർത്തനങ്ങളുടെ നിയമങ്ങൾ\u200c ഉടനടി രൂപപ്പെട്ടില്ല, പക്ഷേ പ്രായോഗിക പ്രശ്\u200cനങ്ങൾ\u200c പരിഹരിക്കുമ്പോൾ\u200c ഉണ്ടാകുന്ന നിരവധി ഉദാഹരണങ്ങളുടെ പൊതുവൽക്കരണമായി ഇത് മാറി. പൊതുവേ, ഗണിതശാസ്ത്രത്തിന്റെ വികാസത്തെ സോപാധികമായി ഘട്ടങ്ങളായി വിഭജിക്കാം: ഓരോ അടുത്ത ഘട്ടവും മുമ്പത്തേതിൽ നിന്ന് വ്യത്യസ്തമാണ് വസ്തുക്കളുടെ പഠനത്തിലെ ഒരു പുതിയ തലത്തിലുള്ള സംഗ്രഹം. അതിനാൽ, പത്തൊൻപതാം നൂറ്റാണ്ടിൽ, ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞർ മനസ്സിലാക്കി, സംഖ്യകൾക്കും പോളിനോമിയലുകൾക്കും അവയുടെ എല്ലാ ബാഹ്യ സമാനതകൾക്കും ഒരുപാട് സാമ്യമുണ്ട്: രണ്ടും ചേർക്കാനും കുറയ്ക്കാനും ഗുണിക്കാനും കഴിയും. ഈ പ്രവർത്തനങ്ങൾ ഒരേ നിയമങ്ങൾ അനുസരിക്കുന്നു - അക്കങ്ങളുടെ കാര്യത്തിലും പോളിനോമിയലുകളുടെ കാര്യത്തിലും. എന്നാൽ പൂർണ്ണസംഖ്യകളെ പരസ്പരം വിഭജിക്കുന്നതിലൂടെ ഫലം വീണ്ടും പൂർണ്ണസംഖ്യകളായിത്തീരും, ഒരുപക്ഷേ എല്ലായ്പ്പോഴും അല്ല. പോളിനോമിയലുകളുടെ കാര്യവും ഇതുതന്നെ.

ഗണിത വസ്\u200cതുക്കളുടെ മറ്റ് സെറ്റുകൾ കണ്ടെത്തി, അതിൽ അത്തരം പ്രവർത്തനങ്ങൾ നടത്താൻ കഴിയും: formal പചാരിക പവർ സീരീസ്, തുടർച്ചയായ പ്രവർത്തനങ്ങൾ ... അവസാനമായി, പ്രവർത്തനങ്ങളുടെ സവിശേഷതകൾ ഞങ്ങൾ സ്വയം പഠിച്ചാൽ ഫലങ്ങൾ പ്രയോഗിക്കാമെന്ന് വ്യക്തമായി. ഈ ഒബ്ജക്റ്റുകളെല്ലാം (ഈ സമീപനം എല്ലാ ആധുനിക ഗണിതശാസ്ത്രത്തിനും സാധാരണമാണ്).

തൽഫലമായി, ഒരു പുതിയ ആശയം പ്രത്യക്ഷപ്പെട്ടു: റിംഗ്... ഇത് ഒരു കൂട്ടം ഘടകങ്ങളും അവയിൽ നടപ്പിലാക്കാൻ കഴിയുന്ന പ്രവർത്തനങ്ങളും മാത്രമാണ്. നിയമങ്ങൾ ഇവിടെ അടിസ്ഥാനപരമാണ് (അവയെ വിളിക്കുന്നു പ്രപഞ്ചങ്ങൾ), ഇത് പ്രവർത്തനങ്ങളെ അനുസരിക്കുന്നു, അല്ലാതെ സെറ്റിന്റെ ഘടകങ്ങളുടെ സ്വഭാവമല്ല (ഇവിടെ ഇത് ഒരു പുതിയ തലത്തിലുള്ള അമൂർത്തമാണ്!). പ്രപഞ്ചങ്ങളുടെ ആമുഖത്തിനുശേഷം ഉണ്ടാകുന്ന ഘടനയാണ് പ്രധാനമെന്ന് to ന്നിപ്പറയാൻ ആഗ്രഹിക്കുന്നു, ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞർ പറയുന്നു: പൂർണ്ണസംഖ്യകളുടെ മോതിരം, പോളിനോമിയലുകളുടെ മോതിരം മുതലായവ. പ്രപഞ്ചങ്ങളിൽ നിന്ന് ആരംഭിച്ച് ഒരാൾക്ക് വളയങ്ങളുടെ മറ്റ് ഗുണങ്ങളെ കുറിക്കാൻ കഴിയും.

ഞങ്ങൾ റിങ്ങിന്റെ പ്രപഞ്ചങ്ങൾ രൂപപ്പെടുത്തും (തീർച്ചയായും ഇത് പൂർണ്ണസംഖ്യകളുമായി ഇടപഴകുന്നതിനുള്ള നിയമങ്ങൾക്ക് സമാനമാണ്), തുടർന്ന് ഏത് റിംഗിലും മൈനസ് കൊണ്ട് മൈനസ് കൊണ്ട് ഗുണിച്ചാൽ ഒരു പ്ലസ് ഉണ്ടാകുമെന്ന് ഞങ്ങൾ തെളിയിക്കും.

റിംഗ് രണ്ട് ബൈനറി പ്രവർത്തനങ്ങളുള്ള ഒരു സെറ്റ് എന്ന് വിളിക്കുന്നു (അതായത്, ഓരോ പ്രവർത്തനത്തിലും റിങ്ങിന്റെ രണ്ട് ഘടകങ്ങൾ ഉൾപ്പെടുന്നു), അവയെ പരമ്പരാഗതമായി സങ്കലനം, ഗുണനം എന്ന് വിളിക്കുന്നു, ഇനിപ്പറയുന്ന പ്രപഞ്ചങ്ങൾ:

റിംഗ് മൂലകങ്ങളുടെ കൂട്ടിച്ചേർക്കൽ സ്ഥാനചലനം അനുസരിക്കുന്നു ( A + B \u003d B + A. ഏതെങ്കിലും ഘടകങ്ങൾക്ക് എ ഒപ്പം ജി) സംയോജനവും ( A + (B + C) \u003d (A + B) + C.) നിയമങ്ങൾ; റിംഗിൽ ഒരു പ്രത്യേക ഘടകം 0 (കൂട്ടിച്ചേർക്കലിനുള്ള ന്യൂട്രൽ എലമെന്റ്) ഉണ്ട് A + 0 \u003d A. , ഏത് ഘടകത്തിനും എ വിപരീത ഘടകമാണ് (സൂചിപ്പിച്ചിരിക്കുന്നു (-എ)), എന്ത് A + (-A) \u003d 0 ;
ഗുണനം കോമ്പിനേഷൻ നിയമം അനുസരിക്കുന്നു: A (B C) \u003d (A B) C. ;
സങ്കലനവും ഗുണനവും ഇനിപ്പറയുന്ന പരാൻതീസിസ് വിപുലീകരണ നിയമങ്ങളുമായി ബന്ധപ്പെട്ടിരിക്കുന്നു: (A + B) C \u003d A C + B C. ഒപ്പം A (B + C) \u003d A B + A C. .

വളയങ്ങൾക്ക് അവയുടെ പൊതുവായ നിർമ്മാണത്തിൽ, ഗുണനത്തിന്റെ ക്രമമാറ്റമോ അതിന്റെ വിപരീതക്ഷമതയോ (അതായത്, എല്ലായ്പ്പോഴും വിഭജിക്കാൻ സാധ്യമല്ല), അല്ലെങ്കിൽ ഒരു യൂണിറ്റിന്റെ നിലനിൽപ്പും ആവശ്യമില്ല - ഗുണനത്തിന്റെ ഒരു നിഷ്പക്ഷ ഘടകം. ഞങ്ങൾ\u200c ഈ പ്രപഞ്ചങ്ങൾ\u200c അവതരിപ്പിക്കുകയാണെങ്കിൽ\u200c, നമുക്ക് മറ്റ് ബീജഗണിത ഘടനകൾ\u200c ലഭിക്കുന്നു, പക്ഷേ അവയിൽ\u200c വളയങ്ങൾ\u200cക്കായി തെളിയിക്കപ്പെട്ട എല്ലാ സിദ്ധാന്തങ്ങളും ശരിയാകും.

ഏതെങ്കിലും ഘടകങ്ങൾക്കായി അത് തെളിയിക്കാം എ ഒപ്പം ജി അനിയന്ത്രിതമായ മോതിരം ശരിയാണ്, ആദ്യം, (-A) B \u003d - (A B) , രണ്ടാമതായി (- (- എ)) \u003d എ ... യൂണിറ്റുകളെക്കുറിച്ചുള്ള പ്രസ്താവനകൾ ഇതിൽ നിന്ന് എളുപ്പത്തിൽ പിന്തുടരുന്നു: (-1) 1 \u003d - (1 1) \u003d -1 ഒപ്പം (-1) (-1) \u003d - ((- 1) 1) \u003d - (- 1) \u003d 1 .

ഇതിനായി ഞങ്ങൾ ചില വസ്തുതകൾ സ്ഥാപിക്കേണ്ടതുണ്ട്. ആദ്യം, ഓരോ ഘടകത്തിനും ഒരു വിപരീതം മാത്രമേ ഉണ്ടാകൂ എന്ന് നമുക്ക് തെളിയിക്കാം. തീർച്ചയായും, മൂലകം അനുവദിക്കുക എ രണ്ട് വിപരീതങ്ങളുണ്ട്: ജി ഒപ്പം FROM... അതായത് A + B \u003d 0 \u003d A + C. ... തുക പരിഗണിക്കുക A + B + C. ... കോമ്പിനേഷൻ, ഡിസ്\u200cപ്ലേസ്\u200cമെന്റ് നിയമങ്ങളും സീറോ പ്രോപ്പർട്ടിയും ഉപയോഗിച്ച്, ഒരു വശത്ത്, തുക തുല്യമാണെന്ന് ഞങ്ങൾ കണ്ടെത്തുന്നു ജി: B \u003d B + 0 \u003d B + (A + C) \u003d A + B + C. , മറുവശത്ത് സി: A + B + C \u003d (A + B) + C \u003d 0 + C \u003d C. ... അർത്ഥം, ബി \u003d സി .

അത് ഇപ്പോൾ ശ്രദ്ധിക്കുക എ, ഒപ്പം (- (- എ)) ഒരേ ഘടകത്തിന് വിപരീതമാണ് (-എ) അതിനാൽ അവർ തുല്യരായിരിക്കണം.

ആദ്യ വസ്തുത ഇതുപോലെ മാറുന്നു: 0 \u003d 0 B \u003d (A + (-A)) B \u003d A B + (-A) B. , അതായത് (-എ) ബി വിപരീതം ഒരു ബിഅതിനാൽ ഇത് തുല്യമാണ് - (എ ബി) .

ഗണിതശാസ്ത്രപരമായി കർശനമായിരിക്കാൻ, എന്തുകൊണ്ടെന്ന് വിശദീകരിക്കാം 0 ബി \u003d 0 ഏത് ഘടകത്തിനും ജി... തീർച്ചയായും, 0 ബി \u003d (0 + 0) ബി \u003d 0 ബി + 0 ബി ... അതായത്, സങ്കലനം 0 ബി തുക മാറ്റില്ല. അതിനാൽ, ഈ ഉൽപ്പന്നം പൂജ്യത്തിന് തുല്യമാണ്.

വളയത്തിൽ കൃത്യമായി ഒരു പൂജ്യം ഉണ്ടെന്ന വസ്തുത (എല്ലാത്തിനുമുപരി, അത്തരമൊരു മൂലകം നിലവിലുണ്ടെന്ന് പ്രപഞ്ചങ്ങൾ പറയുന്നു, പക്ഷേ അതിന്റെ പ്രത്യേകതയെക്കുറിച്ച് ഒന്നും പറയുന്നില്ല!), ലളിതമായ ഒരു വ്യായാമമായി ഞങ്ങൾ വായനക്കാരന് വിട്ടുകൊടുക്കുന്നു.

എവ്ജെനി എപ്പിഫാനോവ്, എർത്ത് (സോൾ III).

ഗണിതത്തിലെ നെഗറ്റീവ്, പോസിറ്റീവ് സംഖ്യകളുടെ അടയാളങ്ങളാണ് മൈനസും പ്ലസും. അവർ വ്യത്യസ്ത രീതികളിൽ സ്വയം സംവദിക്കുന്നു, അതിനാൽ അക്കങ്ങൾ ഉപയോഗിച്ച് ഏതെങ്കിലും പ്രവർത്തനങ്ങൾ നടത്തുമ്പോൾ, ഉദാഹരണത്തിന്, വിഭജനം, ഗുണനം, കുറയ്ക്കൽ, സങ്കലനം മുതലായവ നിങ്ങൾ കണക്കിലെടുക്കണം അടയാളങ്ങളുടെ നിയമങ്ങൾ... ഈ നിയമങ്ങളില്ലാതെ, നിങ്ങൾക്ക് ലളിതമായ ബീജഗണിത അല്ലെങ്കിൽ ജ്യാമിതീയ പ്രശ്\u200cനം പോലും പരിഹരിക്കാൻ കഴിയില്ല. ഈ നിയമങ്ങൾ അറിയാതെ നിങ്ങൾക്ക് ഗണിതശാസ്ത്രം മാത്രമല്ല, ഭൗതികശാസ്ത്രം, രസതന്ത്രം, ജീവശാസ്ത്രം, ഭൂമിശാസ്ത്രം എന്നിവ പഠിക്കാനും കഴിയില്ല.

അടയാളങ്ങളുടെ അടിസ്ഥാന നിയമങ്ങളെ അടുത്തറിയാം.

ഡിവിഷൻ.

"പ്ലസ്" നെ "മൈനസ്" കൊണ്ട് ഹരിച്ചാൽ, നമുക്ക് എല്ലായ്പ്പോഴും "മൈനസ്" ലഭിക്കും. "മൈനസ്" നെ "പ്ലസ്" കൊണ്ട് ഹരിക്കുകയാണെങ്കിൽ, നമുക്ക് എല്ലായ്പ്പോഴും "മൈനസ്" ലഭിക്കും. പ്ലസ് അനുസരിച്ച് പ്ലസ് വിഭജിച്ചാൽ നമുക്ക് പ്ലസ് ലഭിക്കും. "മൈനസ്" നെ "മൈനസ്" കൊണ്ട് ഹരിച്ചാൽ, നമുക്ക് വിചിത്രവും മതിയായതും "പ്ലസ്" ലഭിക്കുന്നു.

ഗുണനം.

പ്ലസ് കൊണ്ട് മൈനസ് ഗുണിച്ചാൽ, ഞങ്ങൾക്ക് എല്ലായ്പ്പോഴും മൈനസ് ലഭിക്കും. "പ്ലസ്" നെ "മൈനസ്" കൊണ്ട് ഗുണിച്ചാൽ, നമുക്ക് എല്ലായ്പ്പോഴും "മൈനസ്" ലഭിക്കും. "പ്ലസ്" കൊണ്ട് "പ്ലസ്" കൊണ്ട് ഗുണിച്ചാൽ നമുക്ക് ഒരു പോസിറ്റീവ് നമ്പർ ലഭിക്കും, അതായത് "പ്ലസ്". രണ്ട് നെഗറ്റീവ് സംഖ്യകൾക്കും ഇത് ബാധകമാണ്. മൈനസ് മൈനസ് കൊണ്ട് ഗുണിച്ചാൽ നമുക്ക് പ്ലസ് ലഭിക്കും.

കുറയ്ക്കലും സങ്കലനവും.

അവ ഇതിനകം തന്നെ മറ്റ് തത്വങ്ങളെ അടിസ്ഥാനമാക്കിയുള്ളതാണ്. നെഗറ്റീവ് സംഖ്യ നമ്മുടെ പോസിറ്റീവിനേക്കാൾ കേവല മൂല്യത്തിൽ വലുതാണെങ്കിൽ, ഫലം തീർച്ചയായും നെഗറ്റീവ് ആയിരിക്കും. തീർച്ചയായും, ഒരു മൊഡ്യൂൾ എന്താണെന്നും എന്തുകൊണ്ടാണ് ഇത് ഇവിടെയെന്നും നിങ്ങൾ ആശ്ചര്യപ്പെടുന്നു. എല്ലാം വളരെ ലളിതമാണ്. മൊഡ്യൂളുകൾ ഒരു സംഖ്യയുടെ മൂല്യമാണ്, പക്ഷേ ഒപ്പിടുന്നില്ല. ഉദാഹരണത്തിന് -7, 3. മൊഡ്യൂളോ -7 വെറും 7 ആയിരിക്കും, 3 എണ്ണം 3 ആയി തുടരും. തൽഫലമായി, 7 വലുതാണെന്ന് ഞങ്ങൾ കാണുന്നു, അതായത്, നമ്മുടെ നെഗറ്റീവ് സംഖ്യ വലുതാണെന്ന് ഇത് മാറുന്നു. അതിനാൽ ഇത് -7 + 3 \u003d -4 പുറത്തുവരും. ഇത് കൂടുതൽ എളുപ്പമാക്കാം. ആദ്യം ഒരു പോസിറ്റീവ് നമ്പർ ഇടുക, അത് 3-7 \u003d -4 പുറത്തുവരും, ഒരുപക്ഷേ ഇത് മറ്റൊരാൾക്ക് കൂടുതൽ മനസ്സിലാക്കാവുന്നതേയുള്ളൂ. കുറയ്ക്കൽ പൂർണ്ണമായും ഒരേ തത്ത്വത്തിൽ പ്രവർത്തിക്കുന്നു.

രണ്ട് നിർദേശങ്ങൾ ഒരു സ്ഥിരീകരണം നൽകുന്നു- ഇത് ഞങ്ങൾ\u200c സ്കൂളിൽ\u200c പഠിച്ചതും ഞങ്ങളുടെ ജീവിതകാലം മുഴുവൻ പ്രയോഗിക്കുന്നതുമായ ഒരു നിയമമാണ്. ഞങ്ങളിൽ ആരാണ് ചിന്തിച്ചത്? തീർച്ചയായും, ഈ പ്രസ്താവന അനാവശ്യ ചോദ്യങ്ങളില്ലാതെ ഓർമിക്കുന്നതും പ്രശ്നത്തിന്റെ സാരാംശം ആഴത്തിൽ പരിശോധിക്കാതിരിക്കുന്നതും എളുപ്പമാണ്. ഇപ്പോൾ, അതില്ലാതെ, "ആഗിരണം" ചെയ്യേണ്ട മതിയായ വിവരങ്ങൾ ഉണ്ട്. എന്നാൽ ഈ ചോദ്യത്തിൽ ഇപ്പോഴും താൽപ്പര്യമുള്ളവർക്കായി, ഈ ഗണിത പ്രതിഭാസത്തെക്കുറിച്ച് ഒരു വിശദീകരണം നൽകാൻ ഞങ്ങൾ ശ്രമിക്കും.

പുരാതന കാലം മുതൽ ആളുകൾ പോസിറ്റീവ് സ്വാഭാവിക സംഖ്യകൾ ഉപയോഗിക്കുന്നു: 1, 2, 3, 4, 5, ... കന്നുകാലികൾ, വിളകൾ, ശത്രുക്കൾ മുതലായവ എണ്ണാൻ അക്കങ്ങൾ ഉപയോഗിച്ചു. രണ്ട് പോസിറ്റീവ് സംഖ്യകൾ ചേർക്കുകയും ഗുണിക്കുകയും ചെയ്യുമ്പോൾ, ഒരു പോസിറ്റീവ് സംഖ്യ എല്ലായ്പ്പോഴും ലഭിക്കുന്നു, ചില മൂല്യങ്ങൾ മറ്റുള്ളവർ വിഭജിക്കുമ്പോൾ, സ്വാഭാവിക സംഖ്യകൾ എല്ലായ്പ്പോഴും ലഭിച്ചില്ല - ഇങ്ങനെയാണ് ഭിന്നസംഖ്യകൾ പ്രത്യക്ഷപ്പെട്ടത്. കുറയ്ക്കുന്നതിനെക്കുറിച്ച്? കുട്ടിക്കാലം മുതൽ, വലിയതിലേക്ക് കുറച്ച് ചേർക്കുന്നതും ചെറുതിൽ നിന്ന് വലിയതിൽ നിന്ന് കുറയ്ക്കുന്നതും നല്ലതാണെന്ന് നമുക്കറിയാം, അതേസമയം ഞങ്ങൾ നെഗറ്റീവ് നമ്പറുകൾ ഉപയോഗിക്കില്ല. എനിക്ക് 10 ആപ്പിൾ ഉണ്ടെങ്കിൽ, എനിക്ക് 10 അല്ലെങ്കിൽ 10 ൽ താഴെയുള്ള ഒരാൾ മാത്രമേ നൽകാൻ കഴിയൂ എന്ന് എനിക്ക് തോന്നുന്നു. എനിക്ക് 13 ആപ്പിൾ നൽകാൻ കഴിയില്ല കാരണം എനിക്ക് അവ ഇല്ല. വളരെക്കാലമായി നെഗറ്റീവ് നമ്പറുകളുടെ ആവശ്യമില്ല.

ഏഴാം നൂറ്റാണ്ടിൽ നിന്ന് മാത്രം A.D. ചില കൗണ്ടിംഗ് സിസ്റ്റങ്ങളിൽ നെഗറ്റീവ് നമ്പറുകൾ സഹായ മൂല്യങ്ങളായി ഉപയോഗിച്ചു, അത് ഉത്തരത്തിൽ ഒരു പോസിറ്റീവ് നമ്പർ നേടാൻ നിങ്ങളെ അനുവദിച്ചു.

ഒരു ഉദാഹരണം നോക്കാം, 6x - 30 \u003d 3x - 9. ഉത്തരം കണ്ടെത്തുന്നതിന്, പദങ്ങൾ അജ്ഞാതരുമായി ഇടത് വശത്ത് ഉപേക്ഷിക്കേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്, ബാക്കി - വലതുവശത്ത്: 6x - 3x \u003d 30 - 9, 3x \u003d 21, x \u003d 7. ഈ സമവാക്യം പരിഹരിക്കുമ്പോൾ, ഞങ്ങൾക്ക് നെഗറ്റീവ് സംഖ്യകൾ പോലും നേരിട്ടിട്ടില്ല. നമുക്ക് അജ്ഞാതരുമായി നിബന്ധനകൾ വലതുവശത്തേക്കും അജ്ഞാതർ ഇല്ലാതെ - ഇടത്തേയ്ക്കും നീക്കാൻ കഴിയും: 9 - 30 \u003d 3x - 6x, (-21) \u003d (-3x). ഒരു നെഗറ്റീവ് സംഖ്യയെ നെഗറ്റീവ് കൊണ്ട് ഹരിക്കുമ്പോൾ, നമുക്ക് ഒരു പോസിറ്റീവ് ഉത്തരം ലഭിക്കും: x \u003d 7.

നമ്മൾ എന്താണ് കാണുന്നത്?

നെഗറ്റീവ് നമ്പറുകൾ ഉപയോഗിക്കുന്ന പ്രവർത്തനങ്ങൾ പോസിറ്റീവ് നമ്പറുകൾ മാത്രം ഉപയോഗിക്കുന്ന പ്രവർത്തനങ്ങളുടെ അതേ ഉത്തരത്തിലേക്ക് ഞങ്ങളെ നയിക്കും. പ്രവർത്തനങ്ങളുടെ പ്രായോഗിക ഉപയോഗമില്ലായ്മയെക്കുറിച്ചും അർത്ഥവത്തായതിനെക്കുറിച്ചും നമുക്ക് മേലിൽ ചിന്തിക്കാൻ കഴിയില്ല - പോസിറ്റീവ് സംഖ്യകളുള്ള ഒരു ഫോമിലേക്ക് സമവാക്യം കുറയ്ക്കാതെ, പ്രശ്നം വളരെ വേഗത്തിൽ പരിഹരിക്കാൻ അവ ഞങ്ങളെ സഹായിക്കുന്നു. ഞങ്ങളുടെ ഉദാഹരണത്തിൽ\u200c, ഞങ്ങൾ\u200c സങ്കീർ\u200cണ്ണമായ കണക്കുകൂട്ടലുകൾ\u200c ഉപയോഗിച്ചില്ല, പക്ഷേ ധാരാളം പദങ്ങൾ\u200c ഉപയോഗിച്ച്, നെഗറ്റീവ് അക്കങ്ങളുള്ള കണക്കുകൂട്ടലുകൾ\u200c ഞങ്ങളുടെ പ്രവർ\u200cത്തനം എളുപ്പമാക്കുന്നു.

കാലക്രമേണ, ദീർഘകാല പരീക്ഷണങ്ങൾക്കും കണക്കുകൂട്ടലുകൾക്കും ശേഷം, അവയിലെ എല്ലാ അക്കങ്ങളും പ്രവർത്തനങ്ങളും അനുസരിക്കുന്ന നിയമങ്ങൾ തിരിച്ചറിയാൻ കഴിഞ്ഞു (ഗണിതശാസ്ത്രത്തിൽ അവയെ പ്രപഞ്ചങ്ങൾ എന്ന് വിളിക്കുന്നു). ഇവിടെ നിന്ന് വന്നു രണ്ട് നെഗറ്റീവ് സംഖ്യകൾ ഗുണിച്ചാൽ നമുക്ക് പോസിറ്റീവ് ലഭിക്കുന്നു എന്ന് പറയുന്ന ഒരു പ്രപഞ്ചം.

www.site, മെറ്റീരിയലിന്റെ പൂർണ്ണമായോ ഭാഗികമായോ പകർത്തുന്നതിലൂടെ, ഉറവിടത്തിലേക്ക് ഒരു ലിങ്ക് ആവശ്യമാണ്.

ഒരു ഗണിത അധ്യാപകനെ ശ്രദ്ധിക്കുമ്പോൾ, മിക്ക വിദ്യാർത്ഥികളും മെറ്റീരിയൽ ഒരു പ്രപഞ്ചമായി എടുക്കുന്നു. അതേസമയം, കുറച്ച് ആളുകൾ അതിന്റെ അടിയിൽ എത്തി "പ്ലസ്" പ്രകാരം "മൈനസ്" ഒരു "മൈനസ്" ചിഹ്നം നൽകുന്നത് എന്തുകൊണ്ടാണെന്ന് മനസിലാക്കാൻ ശ്രമിക്കുന്നു, കൂടാതെ രണ്ട് നെഗറ്റീവ് സംഖ്യകൾ ഗുണിതമാകുമ്പോൾ അത് പോസിറ്റീവ് ആയി മാറുന്നു.

ഗണിതശാസ്ത്ര നിയമങ്ങൾ

എന്തുകൊണ്ടാണ് ഇത് സംഭവിക്കുന്നതെന്ന് മിക്ക മുതിർന്നവർക്കും സ്വയം അല്ലെങ്കിൽ കുട്ടികളോട് വിശദീകരിക്കാൻ കഴിയില്ല. അവർ സ്കൂളിൽ ഈ മെറ്റീരിയൽ ഉറച്ചു പഠിച്ചു, പക്ഷേ ഈ നിയമങ്ങൾ എവിടെ നിന്ന് വന്നുവെന്ന് കണ്ടെത്താൻ പോലും ശ്രമിച്ചില്ല. എന്നാൽ വെറുതെ. മിക്കപ്പോഴും, ആധുനിക കുട്ടികൾ അത്ര വിശ്വാസയോഗ്യരല്ല, അവർ കാര്യത്തിന്റെ അടിത്തട്ടിൽ എത്തി മനസിലാക്കേണ്ടതുണ്ട്, “മൈനസ്” എന്നതിനായുള്ള “പ്ലസ്” എന്തുകൊണ്ട് “മൈനസ്” നൽകുന്നു. മുതിർന്നവർക്ക് ബുദ്ധിപരമായ ഉത്തരം നൽകാൻ കഴിയാത്ത നിമിഷം ആസ്വദിക്കാൻ ചിലപ്പോൾ ടോംബോയികൾ തന്ത്രപരമായ ചോദ്യങ്ങൾ ചോദിക്കുന്നു. ഒരു യുവ അധ്യാപകൻ കുഴപ്പത്തിലായാൽ ഇത് ശരിക്കും ഒരു ദുരന്തമാണ് ...

വഴിയിൽ, മേൽപ്പറഞ്ഞ നിയമം ഗുണനത്തിനും വിഭജനത്തിനും സാധുതയുള്ളതാണെന്ന് ശ്രദ്ധിക്കേണ്ടതാണ്. നെഗറ്റീവ്, പോസിറ്റീവ് സംഖ്യകളുടെ ഉൽപ്പന്നം “മൈനസ്” മാത്രമേ നൽകൂ. "-" ചിഹ്നമുള്ള രണ്ട് അക്കങ്ങളെക്കുറിച്ച് നമ്മൾ സംസാരിക്കുകയാണെങ്കിൽ, ഫലം ഒരു പോസിറ്റീവ് സംഖ്യയായിരിക്കും. വിഭജനത്തിനും ഇത് ബാധകമാണ്. അക്കങ്ങളിലൊന്ന് നെഗറ്റീവ് ആണെങ്കിൽ, ഘടകഭാഗം ഒരു "-" ചിഹ്നത്തോടൊപ്പമുണ്ടാകും.

ഗണിതശാസ്ത്രത്തിന്റെ ഈ നിയമത്തിന്റെ കൃത്യത വിശദീകരിക്കുന്നതിന്, റിങ്ങിന്റെ പ്രപഞ്ചങ്ങൾ രൂപപ്പെടുത്തേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്. എന്നാൽ ആദ്യം അത് എന്താണെന്ന് നിങ്ങൾ മനസ്സിലാക്കേണ്ടതുണ്ട്. ഗണിതശാസ്ത്രത്തിൽ, സാധാരണയായി ഒരു റിംഗിനെ ഒരു സെറ്റ് എന്ന് വിളിക്കുന്നു, അതിൽ രണ്ട് ഘടകങ്ങളുള്ള രണ്ട് പ്രവർത്തനങ്ങൾ ഉൾപ്പെടുന്നു. എന്നാൽ ഇത് ഒരു ഉദാഹരണം ഉപയോഗിച്ച് കൈകാര്യം ചെയ്യുന്നതാണ് നല്ലത്.

റിംഗ് പ്രപഞ്ചം

നിരവധി ഗണിത നിയമങ്ങളുണ്ട്.

അവയിൽ ആദ്യത്തേത് സ്ഥാനചലനം ചെയ്യാവുന്നതാണ്, അദ്ദേഹത്തിന്റെ അഭിപ്രായത്തിൽ C + V \u003d V + C.
രണ്ടാമത്തേതിനെ കോമ്പിനേഷൻ (V + C) + D \u003d V + (C + D) എന്ന് വിളിക്കുന്നു.

അവ ഗുണനത്തിനും (V x C) x D \u003d V x (C x D) വിധേയമാണ്.

ബ്രാക്കറ്റുകൾ തുറക്കുന്ന നിയമങ്ങൾ ആരും റദ്ദാക്കിയിട്ടില്ല (V + C) x D \u003d V x D + C x D, C x (V + D) \u003d C x V + C x D എന്നതും ശരിയാണ്.

കൂടാതെ, റിംഗിലേക്ക് ഒരു പ്രത്യേക, സങ്കലന-നിഷ്പക്ഷ മൂലകം അവതരിപ്പിക്കാമെന്ന് സ്ഥാപിക്കപ്പെട്ടു, അത് ഉപയോഗിച്ച് ഇനിപ്പറയുന്നവ ശരിയായിരിക്കും: C + 0 \u003d C. കൂടാതെ, ഓരോ സി യ്ക്കും വിപരീത ഘടകമുണ്ട്, അത് ആകാം (-C) എന്ന് സൂചിപ്പിച്ചിരിക്കുന്നു. ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, C + (-C) \u003d 0.

നെഗറ്റീവ് സംഖ്യകൾക്കായുള്ള പ്രപഞ്ചങ്ങളുടെ ഉത്ഭവം

മുകളിലുള്ള പ്രസ്താവനകൾ സ്വീകരിച്ച ശേഷം ഒരാൾക്ക് ചോദ്യത്തിന് ഉത്തരം നൽകാൻ കഴിയും: "മൈനസ്" എന്നതിനായുള്ള "പ്ലസ്" എന്നതിന്റെ അടയാളം എന്താണ്? " നെഗറ്റീവ് സംഖ്യകളുടെ ഗുണനത്തെക്കുറിച്ചുള്ള തത്ത്വം അറിയുന്നത്, തീർച്ചയായും (-C) x V \u003d - (C x V) ആണെന്ന് സ്ഥിരീകരിക്കേണ്ടതുണ്ട്. ഇനിപ്പറയുന്ന സമത്വം ശരിയാണെന്നും: (- (- സി)) \u003d സി.

ഇത് ചെയ്യുന്നതിന്, ഓരോ ഘടകങ്ങൾക്കും വിപരീത “സഹോദരൻ” മാത്രമേ ഉള്ളൂവെന്ന് നിങ്ങൾ ആദ്യം തെളിയിക്കേണ്ടതുണ്ട്. തെളിവുകളുടെ ഇനിപ്പറയുന്ന ഉദാഹരണം പരിഗണിക്കുക. സി യ്ക്ക് രണ്ട് അക്കങ്ങൾ വിപരീതമാണെന്ന് സങ്കൽപ്പിക്കാൻ ശ്രമിക്കാം - വി, ഡി. ഇത് സി + വി \u003d 0, സി + ഡി \u003d 0, അതായത് സി + വി \u003d 0 \u003d സി + ഡി എന്നിവ പിന്തുടരുന്നു. 0, സംഖ്യയുടെ ഗുണവിശേഷതകൾ, സി, വി, ഡി എന്നീ മൂന്ന് സംഖ്യകളുടെയും ആകെത്തുക നമുക്ക് പരിഗണിക്കാം. വി യുടെ മൂല്യം മനസിലാക്കാൻ ശ്രമിക്കാം. വി \u003d വി + 0 \u003d വി + (സി + ഡി) \u003d V + C + D, കാരണം മുകളിൽ അംഗീകരിച്ചതുപോലെ C + D യുടെ മൂല്യം 0 ന് തുല്യമാണ്. അതിനാൽ, V \u003d V + C + D.

ഡിയുടെ മൂല്യം അതേ രീതിയിൽ പ്രദർശിപ്പിക്കും: D \u003d V + C + D \u003d (V + C) + D \u003d 0 + D \u003d D. ഇതിനെ അടിസ്ഥാനമാക്കി, V \u003d D എന്ന് വ്യക്തമാകും.

എന്തുകൊണ്ടാണെന്ന് മനസിലാക്കാൻ, എന്നിരുന്നാലും, “മൈനസ്” എന്നതിനായുള്ള “പ്ലസ്” “മൈനസ്” നൽകുന്നു, ഇനിപ്പറയുന്നവ മനസിലാക്കേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്. അതിനാൽ, (-C) എന്ന മൂലകത്തിന് C, (- (- C)) വിപരീതമാണ്, അതായത് അവ പരസ്പരം തുല്യമാണ്.

0 x V \u003d (C + (-C)) x V \u003d C x V + (-C) x V. എന്നത് വ്യക്തമാണ് C x V (-) C x V ന് വിപരീതമാണെന്ന് ഇത് സൂചിപ്പിക്കുന്നു, അതിനാൽ (- സി) x വി \u003d - (സി x വി).

സമ്പൂർണ്ണ ഗണിതശാസ്ത്ര കാഠിന്യത്തിന്, ഏതെങ്കിലും മൂലകത്തിന് 0 x V \u003d 0 എന്ന് സ്ഥിരീകരിക്കേണ്ടതുണ്ട്. നിങ്ങൾ യുക്തി പിന്തുടരുകയാണെങ്കിൽ, 0 x V \u003d (0 + 0) x V \u003d 0 x V + 0 x V. ഉൽ\u200cപ്പന്നം 0 x V ന്റെ കൂട്ടിച്ചേർക്കൽ ഒരു തരത്തിലും സെറ്റ് തുകയെ മാറ്റില്ല എന്നാണ് ഇതിനർത്ഥം. എല്ലാത്തിനുമുപരി, ഈ ഉൽപ്പന്നം പൂജ്യമാണ്.

ഈ പ്രപഞ്ചങ്ങളെല്ലാം അറിയുന്നതിലൂടെ, ഒരാൾക്ക് "മൈനസ്" ൽ എത്ര "പ്ലസ്" നൽകുന്നുവെന്നത് മാത്രമല്ല, നെഗറ്റീവ് സംഖ്യകളെ ഗുണിച്ചാൽ ലഭിക്കുന്നവയും നിർണ്ണയിക്കാനാകും.

"-" ഉപയോഗിച്ച് രണ്ട് അക്കങ്ങളുടെ ഗുണനവും വിഭജനവും

നിങ്ങൾ ഗണിതശാസ്ത്ര സൂക്ഷ്മതലങ്ങൾ പരിശോധിക്കുന്നില്ലെങ്കിൽ, നെഗറ്റീവ് നമ്പറുകൾ ഉപയോഗിച്ച് പ്രവർത്തന നിയമങ്ങൾ വിശദീകരിക്കാൻ നിങ്ങൾക്ക് ലളിതമായ രീതിയിൽ ശ്രമിക്കാം.

സി - (-വി) \u003d ഡി, ഇതിനെ അടിസ്ഥാനമാക്കി, സി \u003d ഡി + (-വി), അതായത് സി \u003d ഡി - വി. ഞങ്ങൾ വി കൈമാറ്റം ചെയ്യുന്നു, നമുക്ക് സി + വി \u003d ഡി ലഭിക്കുന്നു, അതായത് സി + V \u003d C - (-V). തുടർച്ചയായി രണ്ട് "മൈനസുകൾ" ഉള്ള ഒരു പദപ്രയോഗത്തിൽ, സൂചിപ്പിച്ച ചിഹ്നങ്ങൾ "പ്ലസ്" ആയി മാറ്റേണ്ടതിന്റെ കാരണം ഈ ഉദാഹരണം വിശദീകരിക്കുന്നു. ഇനി നമുക്ക് ഗുണനം കൈകാര്യം ചെയ്യാം.

(-C) x (-V) \u003d D, എക്\u200cസ്\u200cപ്രഷനിൽ നിങ്ങൾക്ക് സമാനമായ രണ്ട് ഉൽപ്പന്നങ്ങൾ ചേർക്കാനും കുറയ്ക്കാനും കഴിയും, അത് അതിന്റെ മൂല്യത്തെ മാറ്റില്ല: (-C) x (-V) + (C x V) - (C x വി) \u003d ഡി.

ബ്രാക്കറ്റുകളിൽ പ്രവർത്തിക്കാനുള്ള നിയമങ്ങൾ ഓർമ്മിക്കുന്നത്, ഞങ്ങൾക്ക് ലഭിക്കുന്നത്:

1) (-C) x (-V) + (C x V) + (-C) x V \u003d D;

2) (-C) x ((-V) + V) + C x V \u003d D;

3) (-സി) x 0 + C x V \u003d D;

ഇതിൽ നിന്ന് C x V \u003d (-C) x (-V).

അതുപോലെ, രണ്ട് നെഗറ്റീവ് സംഖ്യകളെ വിഭജിക്കുന്നത് പോസിറ്റീവ് ഒന്നിന് കാരണമാകുമെന്ന് നിങ്ങൾക്ക് തെളിയിക്കാനാകും.

പൊതു ഗണിത നിയമങ്ങൾ

തീർച്ചയായും, അമൂർത്ത നെഗറ്റീവ് നമ്പറുകൾ പഠിക്കാൻ തുടങ്ങുന്ന പ്രാഥമിക സ്കൂൾ വിദ്യാർത്ഥികൾക്ക് അത്തരമൊരു വിശദീകരണം പ്രവർത്തിക്കില്ല. ദൃശ്യമാകുന്ന വസ്\u200cതുക്കളെക്കുറിച്ച് വിശദീകരിക്കുന്നതും പരിചിതമായ പദം ലുക്കിംഗ് ഗ്ലാസിലൂടെ കൈകാര്യം ചെയ്യുന്നതും അവർക്ക് നല്ലതാണ്. ഉദാഹരണത്തിന്, കണ്ടുപിടിച്ച, പക്ഷേ നിലവിലുള്ള കളിപ്പാട്ടങ്ങൾ അവിടെയില്ല. അവ "-" ചിഹ്നം ഉപയോഗിച്ച് പ്രദർശിപ്പിക്കാൻ കഴിയും. കണ്ണാടി പോലുള്ള രണ്ട് വസ്തുക്കളുടെ ഗുണനം അവയെ മറ്റൊരു ലോകത്തേക്ക് മാറ്റുന്നു, അത് വർത്തമാനകാലത്തിന് തുല്യമാണ്, അതായത് അതിന്റെ ഫലമായി നമുക്ക് പോസിറ്റീവ് സംഖ്യകളുണ്ട്. എന്നാൽ ഒരു അമൂർത്ത നെഗറ്റീവ് സംഖ്യയെ പോസിറ്റീവ് കൊണ്ട് ഗുണിച്ചാൽ ഫലം എല്ലാവർക്കും പരിചിതമാണ്. എല്ലാ "പ്ലസും" "മൈനസ്" കൊണ്ട് ഗുണിച്ചാൽ "മൈനസ്" നൽകുന്നു. എല്ലാ ഗണിതശാസ്ത്ര സൂക്ഷ്മതകളും മനസിലാക്കാൻ കുട്ടികൾ വളരെയധികം ശ്രമിക്കുന്നില്ലെന്നത് ശരിയാണ്.

എന്നിരുന്നാലും, നിങ്ങൾ സത്യത്തെ അഭിമുഖീകരിക്കുകയാണെങ്കിൽ, പലർക്കും, ഉന്നത വിദ്യാഭ്യാസം പോലും, പല നിയമങ്ങളും ഒരു രഹസ്യമായി തുടരുന്നു. ഗണിതശാസ്ത്രം നിറഞ്ഞിരിക്കുന്ന എല്ലാ ബുദ്ധിമുട്ടുകളും പരിശോധിക്കാൻ മടിക്കാതെ അധ്യാപകർ പഠിപ്പിക്കുന്ന കാര്യങ്ങൾ എല്ലാവരും നിസ്സാരമായി കാണുന്നു. “മൈനസ്” എന്നതിനായുള്ള “മൈനസ്” “പ്ലസ്” നൽകുന്നു - ഒഴിവാക്കലില്ലാതെ എല്ലാവർക്കും ഇതിനെക്കുറിച്ച് അറിയാം. പൂർണ്ണവും ഭിന്നവുമായ സംഖ്യകൾക്ക് ഇത് ശരിയാണ്.

ഗണിതശാസ്ത്ര നിയമങ്ങൾ

റിംഗ് പ്രപഞ്ചം

നിരവധി ഗണിത നിയമങ്ങളുണ്ട്.

അവയിൽ ആദ്യത്തേത് സ്ഥാനചലനം ചെയ്യാവുന്നതാണ്, അദ്ദേഹത്തിന്റെ അഭിപ്രായത്തിൽ C + V \u003d V + C.
രണ്ടാമത്തേതിനെ കോമ്പിനേഷൻ (V + C) + D \u003d V + (C + D) എന്ന് വിളിക്കുന്നു.

അവ ഗുണനത്തിനും (V x C) x D \u003d V x (C x D) വിധേയമാണ്.

നെഗറ്റീവ് സംഖ്യകൾക്കായുള്ള പ്രപഞ്ചങ്ങളുടെ ഉത്ഭവം

"-" ഉപയോഗിച്ച് രണ്ട് അക്കങ്ങളുടെ ഗുണനവും വിഭജനവും

1) (-C) x (-V) + (C x V) + (-C) x V \u003d D;

2) (-C) x ((-V) + V) + C x V \u003d D;

3) (-സി) x 0 + C x V \u003d D;

ഇതിൽ നിന്ന് C x V \u003d (-C) x (-V).

പൊതു ഗണിത നിയമങ്ങൾ

തീർച്ചയായും, അമൂർത്ത നെഗറ്റീവ് നമ്പറുകൾ പഠിക്കാൻ തുടങ്ങുന്ന പ്രാഥമിക സ്കൂൾ വിദ്യാർത്ഥികൾക്ക് അത്തരമൊരു വിശദീകരണം പ്രവർത്തിക്കില്ല. ദൃശ്യമാകുന്ന വസ്\u200cതുക്കളെക്കുറിച്ച് വിശദീകരിക്കുന്നതും പരിചിതമായ പദം ലുക്കിംഗ് ഗ്ലാസിലൂടെ കൈകാര്യം ചെയ്യുന്നതും അവർക്ക് നല്ലതാണ്. ഉദാഹരണത്തിന്, കണ്ടുപിടിച്ച, പക്ഷേ നിലവിലുള്ള കളിപ്പാട്ടങ്ങൾ അവിടെയില്ല. അവ "-" ചിഹ്നം ഉപയോഗിച്ച് പ്രദർശിപ്പിക്കാൻ കഴിയും. രണ്ട് ലുക്കിംഗ്-ഗ്ലാസ് വസ്തുക്കളുടെ ഗുണനം അവയെ മറ്റൊരു ലോകത്തേക്ക് മാറ്റുന്നു, അത് വർത്തമാനകാലത്തിന് തുല്യമാണ്, അതായത്, നമുക്ക് പോസിറ്റീവ് സംഖ്യകളുണ്ട്. എന്നാൽ ഒരു അമൂർത്ത നെഗറ്റീവ് സംഖ്യയെ പോസിറ്റീവ് കൊണ്ട് ഗുണിച്ചാൽ ഫലം എല്ലാവർക്കും പരിചിതമാണ്. എല്ലാ "പ്ലസും" "മൈനസ്" കൊണ്ട് ഗുണിച്ചാൽ "മൈനസ്" നൽകുന്നു. എല്ലാ ഗണിതശാസ്ത്ര സൂക്ഷ്മതകളും മനസിലാക്കാൻ കുട്ടികൾ വളരെയധികം ശ്രമിക്കുന്നില്ലെന്നത് ശരിയാണ്.

ഗുണനം ശരിയായി മനസ്സിലായോ?

"- എ, ബി എന്നിവ പൈപ്പിൽ ഇരുന്നു. ഒരു വീണു, ബി അപ്രത്യക്ഷമായി, പൈപ്പിൽ എന്താണ് അവശേഷിച്ചത്?"
- നിങ്ങളുടെ കത്ത് ഞാൻ തുടർന്നു.

("കൗമാരത്തിലെ പ്രപഞ്ചം" എന്ന സിനിമയിൽ നിന്ന്)

ഒരു സംഖ്യയെ പൂജ്യമായി ഗുണിക്കുമ്പോൾ ഇത് പൂജ്യമായിരിക്കുന്നത് എന്തുകൊണ്ട്?

7 * 0 = 0

രണ്ട് നെഗറ്റീവ് സംഖ്യകളെ ഗുണിക്കുമ്പോൾ ഇത് പോസിറ്റീവ് ആയിരിക്കുന്നത് എന്തുകൊണ്ട്?

7 * (-3) = + 21

ഈ രണ്ട് ചോദ്യങ്ങൾക്ക് ഉത്തരം നൽകാൻ അധ്യാപകർ എന്തൊക്കെയാണ് മുന്നോട്ട് വരാത്തത്.

എന്നാൽ ഗുണനത്തിന്റെ രൂപീകരണത്തിൽ മൂന്ന് അർത്ഥപരമായ തെറ്റുകൾ ഉണ്ടെന്ന് അംഗീകരിക്കാൻ ആർക്കും ധൈര്യമില്ല!

അടിസ്ഥാന ഗണിതത്തിലെ പിശകുകൾ സാധ്യമാണോ? എല്ലാത്തിനുമുപരി, ഗണിതശാസ്ത്രം ഒരു കൃത്യമായ ശാസ്ത്രമായി നിലകൊള്ളുന്നു ...

സ്കൂൾ മാത്തമാറ്റിക്സ് പാഠപുസ്തകങ്ങൾ ഈ ചോദ്യങ്ങൾക്ക് ഉത്തരം നൽകുന്നില്ല, വിശദീകരണങ്ങൾക്ക് പകരം ഒരു കൂട്ടം നിയമങ്ങൾ ഓർത്തിരിക്കേണ്ടതാണ്. മിഡിൽ സ്കൂളിൽ ഈ വിഷയം വിശദീകരിക്കാൻ അവർക്ക് ബുദ്ധിമുട്ടായിരിക്കാം? ഈ പ്രശ്നങ്ങൾ മനസിലാക്കാൻ ശ്രമിക്കാം.

7 - ഗുണിതം. 3 ഒരു ഘടകമാണ്. 21- ജോലി.

Words ദ്യോഗിക പദപ്രകാരം:

ഒരു സംഖ്യയെ മറ്റൊരു സംഖ്യ കൊണ്ട് ഗുണിക്കുക എന്നതിനർത്ഥം ഗുണിതം നിർദ്ദേശിക്കുന്നത്ര ഗുണിതങ്ങൾ ചേർക്കുക എന്നാണ്.

സ്വീകാര്യമായ ഫോർമുലേഷൻ അനുസരിച്ച്, തുല്യതയുടെ വലതുവശത്ത് മൂന്ന് സെവൻസ് ഉണ്ടായിരിക്കണമെന്ന് ഘടകം 3 പറയുന്നു.

7 * 3 = 7 + 7 + 7 = 21

എന്നാൽ ഗുണനത്തിന്റെ ഈ രൂപീകരണത്തിന് മുകളിലുള്ള ചോദ്യങ്ങൾ\u200c വിശദീകരിക്കാൻ\u200c കഴിയില്ല.

ഗുണനത്തിന്റെ വാക്ക് ശരിയാക്കുക

സാധാരണയായി ഗണിതശാസ്ത്രത്തിൽ അവ വളരെയധികം അർത്ഥമാക്കുന്നു, പക്ഷേ അവർ അതിനെക്കുറിച്ച് സംസാരിക്കുകയോ എഴുതുകയോ ചെയ്യുന്നില്ല.

ഇത് സമത്വത്തിന്റെ വലതുവശത്തുള്ള ആദ്യത്തെ ഏഴ് പേരുടെ മുന്നിലുള്ള പ്ലസ് ചിഹ്നത്തെ സൂചിപ്പിക്കുന്നു. ഈ പ്ലസ് എഴുതാം.

7 * 3 = + 7 + 7 + 7 = 21

എന്നാൽ ആദ്യത്തെ ഏഴ് ചേർക്കുന്നു. ഇതിനർത്ഥം പൂജ്യത്തിലേക്ക്, തീർച്ചയായും. നമുക്ക് എഴുതാം, പൂജ്യം.

7 * 3 = 0 + 7 + 7 + 7 = 21

മൂന്ന് മൈനസ് ഏഴ് കൊണ്ട് ഗുണിച്ചാലോ?

7 * 3 = 0 + (-7) + (-7) + (-7) = - 21

-7 ന്റെ ഗുണിതത്തിന്റെ കൂട്ടിച്ചേർക്കലാണ് ഞങ്ങൾ എഴുതുന്നത്, വാസ്തവത്തിൽ ഞങ്ങൾ പൂജ്യത്തിൽ നിന്ന് ഒന്നിലധികം കുറവുകൾ ചെയ്യുന്നു. നമുക്ക് ബ്രാക്കറ്റുകൾ വിപുലീകരിക്കാം.

7 * 3 = 0 - 7 - 7 - 7 = - 21

ഇപ്പോൾ നമുക്ക് ഗുണനത്തിന്റെ കൂടുതൽ കൃത്യമായ രൂപീകരണം നൽകാം.

ഗുണിതത്തിന്റെ (-7) പൂജ്യത്തിന്റെ (-7) പൂജ്യത്തിന്റെ ഒന്നിലധികം കൂട്ടിച്ചേർക്കലാണ് ഗുണനം സൂചിപ്പിക്കുന്നത്. ഫാക്ടർ (3) ഉം അതിന്റെ ചിഹ്നവും (+ അല്ലെങ്കിൽ -) സൂചിപ്പിക്കുന്നത് പൂജ്യത്തിലേക്കുള്ള കൂട്ടിച്ചേർക്കലുകളുടെ എണ്ണം അല്ലെങ്കിൽ പൂജ്യത്തിൽ നിന്ന് കുറയ്ക്കൽ.

ഗുണിതത്തിന്റെ പരിഷ്കൃതവും പരിഷ്കരിച്ചതുമായ ഈ ഗുണനം ഗുണിതം നെഗറ്റീവ് ആയിരിക്കുമ്പോൾ ഗുണനത്തിലെ "അടയാളങ്ങളുടെ നിയമങ്ങൾ" എളുപ്പത്തിൽ വിശദീകരിക്കുന്നു.

7 * (-3) - പൂജ്യത്തിന് ശേഷം മൂന്ന് മൈനസ് ചിഹ്നങ്ങൾ ഉണ്ടായിരിക്കണം - (+7) - (+7) - (+7) \u003d - 21

7 * (-3) - പൂജ്യത്തിന് ശേഷം വീണ്ടും മൂന്ന് മൈനസ് ചിഹ്നങ്ങൾ ഉണ്ടായിരിക്കണം

0 - (-7) - (-7) - (-7) = 0 + 7 + 7 + 7 = + 21

പൂജ്യം കൊണ്ട് ഗുണനം

7 * 0 \u003d 0 + ... പൂജ്യം സങ്കലന പ്രവർത്തനങ്ങളൊന്നുമില്ല.

ഗുണനം പൂജ്യത്തിലേക്ക് ചേർക്കുകയും ഗുണിതം പൂജ്യത്തിലേക്ക് ചേർക്കേണ്ട പ്രവർത്തനങ്ങളുടെ എണ്ണം സൂചിപ്പിക്കുകയും ചെയ്യുന്നുവെങ്കിൽ, ഗുണിത പൂജ്യം സൂചിപ്പിക്കുന്നത് പൂജ്യത്തിലേക്ക് ഒന്നും ചേർത്തിട്ടില്ല എന്നാണ്. അതിനാൽ, പൂജ്യം അവശേഷിക്കുന്നു.

അതിനാൽ, നിലവിലുള്ള ഗുണനത്തിന്റെ രൂപവത്കരണത്തിൽ, രണ്ട് "ചിഹ്നങ്ങളുടെ നിയമങ്ങൾ" (ഘടകം നെഗറ്റീവ് ആയിരിക്കുമ്പോൾ) മനസ്സിലാക്കുന്നതിനെ തടയുന്ന മൂന്ന് സെമാന്റിക് പിശകുകളും പൂജ്യത്തിന്റെ ഒരു സംഖ്യയുടെ ഗുണനവും ഞങ്ങൾ കണ്ടെത്തി.

നിങ്ങൾ ഗുണിതം ചേർക്കേണ്ടതില്ല, പക്ഷേ പൂജ്യത്തിലേക്ക് ചേർക്കുക.
ഗുണനം പൂജ്യത്തിലേക്ക് ചേർക്കുക മാത്രമല്ല, പൂജ്യത്തിൽ നിന്ന് കുറയ്ക്കുകയും ചെയ്യുന്നു.
ഘടകവും അതിന്റെ ചിഹ്നവും പദങ്ങളുടെ എണ്ണം കാണിക്കുന്നില്ല, പക്ഷേ ഗുണനത്തെ പദങ്ങളായി വികസിപ്പിക്കുന്നതിലെ പ്ലസ് അല്ലെങ്കിൽ മൈനസ് ചിഹ്നങ്ങളുടെ എണ്ണം (അല്ലെങ്കിൽ കുറയ്ക്കുക).

ഫോർമുലേഷനെ കുറച്ചുകൂടി വ്യക്തമാക്കിയ ശേഷം, ഗുണനത്തിന്റെ സ്ഥാനചലന നിയമത്തിന്റെ സഹായമില്ലാതെ, വിതരണ നിയമമില്ലാതെ, സംഖ്യ രേഖയുമായി സാമ്യത വരയ്ക്കാതെ, സമവാക്യങ്ങളില്ലാതെ, ഒരു സംഖ്യയുടെ ഗുണനത്തിനും ഗുണനത്തിനുമുള്ള അടയാളങ്ങളുടെ നിയമങ്ങൾ വിശദീകരിക്കാൻ ഞങ്ങൾക്ക് കഴിഞ്ഞു. വിപരീതഫലങ്ങളിൽ നിന്ന് തെളിവില്ലാതെ.

ഗുണനത്തിന്റെ പരിഷ്കരിച്ച രൂപീകരണത്തിനുള്ള ചിഹ്ന നിയമങ്ങൾ ഉരുത്തിരിഞ്ഞത് വളരെ ലളിതമാണ്.

7 * (+3) = 0 + (+7) + (+7) + (+7) = +21 (++ = +)

7 * (+3) = 0 + (-7) + (-7) + (-7) = 0 - 7 - 7 - 7 = -21 (- + = -)

7 * (-3) = 0 - (+7) - (+7) - (+7) = 0 - 7 - 7 - 7 = -21 (+ - = -)

7 * (-3) = 0 - (-7) - (-7) - (-7) = 0 + 7 + 7 + 7 = +21 (- - = +)

ഗുണിതവും അതിന്റെ ചിഹ്നവും (+3 അല്ലെങ്കിൽ -3) സമത്വത്തിന്റെ വലതുവശത്തുള്ള "+" അല്ലെങ്കിൽ "-" ചിഹ്നങ്ങളുടെ എണ്ണത്തെ സൂചിപ്പിക്കുന്നു.

ഗുണനത്തിന്റെ പരിഷ്കരിച്ച ഫോർമുലേഷൻ ഒരു സംഖ്യയെ ഒരു പവറായി ഉയർത്തുന്ന പ്രവർത്തനവുമായി യോജിക്കുന്നു.

2^3 = 1*2*2*2 = 8

2 ^ 0 \u003d 1 (1 എന്നത് ഒന്നിനാൽ ഗുണിക്കുകയോ വിഭജിക്കുകയോ ചെയ്യുന്നില്ല, അതിനാൽ ഇത് 1 ആയി തുടരുന്നു)

2^-1 = 1: 2 = 1/2

2^-2 = 1: 2: 2 = 1/4

2^-3 = 1: 2: 2: 2 = 1/8

ഒരു പോസിറ്റീവ് പവറിലേക്ക് ഒരു സംഖ്യ ഉയർത്തുന്നത് ഒന്നൊന്നായി വർദ്ധിക്കുന്നതായി ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞർ സമ്മതിക്കുന്നു. ഒരു നെഗറ്റീവ് പവറിലേക്ക് ഒരു സംഖ്യ ഉയർത്തുന്നത് ഒന്നിന്റെ ഒന്നിലധികം വിഭജനമാണ്.

ഗുണന പ്രവർത്തനം എക്\u200cസ്\u200cപോണൻസേഷൻ പ്രവർത്തനത്തിന് സമാനമായിരിക്കണം.

2*3 = 0 + 2 + 2 + 2 = 6

2*2 = 0 + 2 + 2 = 4

2 * 0 \u003d 0 (പൂജ്യത്തിലേക്ക് ഒന്നും ചേർത്തിട്ടില്ല, പൂജ്യത്തിൽ നിന്ന് ഒന്നും കുറയ്ക്കില്ല)

2*-1 = 0 - 2 = -2

2*-2 = 0 - 2 - 2 = -4

2*-3 = 0 - 2 - 2 - 2 = -6

ഗുണനത്തിന്റെ പരിഷ്\u200cക്കരിച്ച ഫോർമുലേഷൻ ഗണിതശാസ്ത്രത്തിൽ യാതൊന്നും മാറ്റില്ല, പക്ഷേ ഗുണന പ്രവർത്തനത്തിന്റെ യഥാർത്ഥ അർത്ഥം നൽകുന്നു, "ചിഹ്നങ്ങളുടെ നിയമങ്ങൾ" വിശദീകരിക്കുന്നു, ഒരു സംഖ്യയെ പൂജ്യമായി ഗുണിക്കുന്നു, ഗുണനത്തെ എക്\u200cസ്\u200cപോണൻസേഷനുമായി ഏകോപിപ്പിക്കുന്നു.

ഞങ്ങളുടെ ഗുണന രൂപീകരണം ഡിവിഷൻ പ്രവർത്തനവുമായി പൊരുത്തപ്പെടുന്നുണ്ടോയെന്ന് പരിശോധിക്കാം.

15: 5 \u003d 3 (വിപരീത ഗുണനം 5 * 3 \u003d 15)

ഗുണനം (3) ഗുണനത്തിലെ പൂജ്യത്തിലേക്ക് (+3) കൂട്ടിച്ചേർക്കൽ പ്രവർത്തനങ്ങളുടെ എണ്ണവുമായി യോജിക്കുന്നു.

15 കൊണ്ട് 5 കൊണ്ട് ഹരിക്കുക എന്നത് 15 ൽ 5 എണ്ണം എത്ര തവണ കുറയ്ക്കണമെന്ന് കണ്ടെത്തുക എന്നതാണ്. പൂജ്യം ഫലം ലഭിക്കുന്നതുവരെ തുടർച്ചയായി കുറയ്ക്കുന്നതിലൂടെയാണ് ഇത് ചെയ്യുന്നത്.

ഡിവിഷന്റെ ഫലം കണ്ടെത്താൻ, നിങ്ങൾ മൈനസ് ചിഹ്നങ്ങളുടെ എണ്ണം കണക്കാക്കേണ്ടതുണ്ട്. അവയിൽ മൂന്നെണ്ണം ഉണ്ട്.

15: 5 \u003d 3 പൂജ്യം ലഭിക്കുന്നതിന് 15 ൽ നിന്ന് അഞ്ച് കുറയ്ക്കുന്നതിനുള്ള പ്രവർത്തനങ്ങൾ.

15 - 5 - 5 - 5 \u003d 0 (ഡിവിഷൻ 15: 5)

0 + 5 + 5 + 5 \u003d 15 (ഗുണനം 5 * 3)

ബാക്കിയുള്ള വിഭജനം.

17 - 5 - 5 - 5 - 2 = 0

17: 5 \u003d 3, 2 ശേഷിക്കുന്നു

ബാക്കിയുള്ളവയുമായി വിഭജനം ഉണ്ടെങ്കിൽ, എന്തുകൊണ്ട് ഒരു അനുബന്ധം ഉപയോഗിച്ച് ഗുണനം ചെയ്യരുത്?

2 + 5 * 3 = 0 + 2 + 5 + 5 + 5 = 17

കാൽക്കുലേറ്ററിലെ പദത്തിലെ വ്യത്യാസം കാണുക

ഗുണനത്തിന്റെ നിലവിലുള്ള രൂപീകരണം (മൂന്ന് പദങ്ങൾ).

10 + 10 + 10 = 30

ഗുണനത്തിന്റെ ശരിയാക്കിയ പദങ്ങൾ (പൂജ്യത്തിലേക്ക് ചേർക്കുന്നതിനുള്ള മൂന്ന് പ്രവർത്തനങ്ങൾ).

0 + 10 = = = 30

("സമം" മൂന്ന് തവണ അമർത്തുക.)

10 * 3 = 0 + 10 + 10 + 10 = 30

3 ന്റെ ഗുണിതം സൂചിപ്പിക്കുന്നത് ഗുണിത 10 പൂജ്യത്തിലേക്ക് മൂന്ന് തവണ ചേർക്കേണ്ടതാണ്.

(-10) മൈനസ് എന്ന പദം മൂന്ന് തവണ ചേർത്തുകൊണ്ട് ഗുണനം (-10) * (-3) പരീക്ഷിക്കുക!

(-10) * (-3) = (-10) + (-10) + (-10) = -10 - 10 - 10 = -30 ?

മൂന്നിന് മൈനസ് ചിഹ്നം എന്താണ് അർത്ഥമാക്കുന്നത്? ചിലപ്പോൾ അങ്ങനെ?

(-10) * (-3) = (-10) - (-10) - (-10) = - 10 + 10 + 10 = 10?

ഓപ്\u200cസ് ... ഉൽപ്പന്നത്തിന്റെ (-10) പദങ്ങളുടെ ആകെത്തുക (അല്ലെങ്കിൽ വ്യത്യാസം) ആയി എനിക്ക് വിഘടിപ്പിക്കാൻ കഴിയില്ല.

പുതുക്കിയ പദാവലി ഉപയോഗിച്ച് ഇത് ശരിയായി ചെയ്യുന്നു.

0 - (-10) = = = +30

(-10) * (-3) = 0 - (-10) - (-10) - (-10) = 0 + 10 + 10 + 10 = 30

ഗുണിതം (-3) സൂചിപ്പിക്കുന്നത് ഗുണിതം (-10) പൂജ്യത്തിൽ നിന്ന് മൂന്ന് തവണ കുറയ്ക്കണം.

കൂട്ടിച്ചേർക്കലിനും കുറയ്ക്കലിനുമുള്ള നിയമങ്ങൾ ഒപ്പിടുക

ഗുണന സൂത്രവാക്യത്തിന്റെ അർത്ഥം മാറ്റിക്കൊണ്ട് ഗുണനത്തിലെ ചിഹ്നങ്ങളുടെ നിയമങ്ങൾ രൂപപ്പെടുത്തുന്നതിനുള്ള ലളിതമായ മാർഗ്ഗം മുകളിൽ കാണിച്ചിരിക്കുന്നു.

എന്നാൽ ഡെറിവേറ്റേഷനായി, സങ്കലന നിയമങ്ങൾ കൂട്ടിച്ചേർക്കലിനും കുറയ്ക്കലിനും ഞങ്ങൾ ഉപയോഗിച്ചു. അവ ഗുണനത്തിന് തുല്യമാണ്. കൂട്ടിച്ചേർക്കലിനും കുറയ്ക്കലിനുമുള്ള ചിഹ്നങ്ങളുടെ നിയമങ്ങളുടെ ദൃശ്യവൽക്കരണം നമുക്ക് സൃഷ്ടിക്കാം, അതുവഴി ഒന്നാം ക്ലാസ്സുകാരന് അത് മനസ്സിലാക്കാൻ കഴിയും.

എന്താണ് "മൈനസ്", "നെഗറ്റീവ്"?

പ്രകൃതിയിൽ നെഗറ്റീവ് ഒന്നും ഇല്ല. നെഗറ്റീവ് താപനിലയോ നെഗറ്റീവ് ദിശയോ നെഗറ്റീവ് പിണ്ഡമോ നെഗറ്റീവ് ചാർജുകളോ ഇല്ല ... ഒരു സൈന് പോലും അതിന്റെ സ്വഭാവമനുസരിച്ച് പോസിറ്റീവ് ആകാം.

എന്നാൽ ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞർ നെഗറ്റീവ് സംഖ്യകളുമായി എത്തിയിട്ടുണ്ട്. എന്തിനുവേണ്ടി? "മൈനസ്" എന്താണ് അർത്ഥമാക്കുന്നത്?

മൈനസ് എന്നാൽ വിപരീത ദിശയാണ്. ഇടത് വലത്. മുകളിൽ താഴെ. ഘടികാരദിശയിൽ - എതിർ ഘടികാരദിശയിൽ. പിറകോട്ടും മുന്നോട്ടും. തണുപ്പ് - ചൂട്. നേരിയ ഭാരം. പതുക്കെ - വേഗത. നിങ്ങൾ ഇതിനെക്കുറിച്ച് ചിന്തിക്കുകയാണെങ്കിൽ, നെഗറ്റീവ് മൂല്യങ്ങൾ സൗകര്യപ്രദമാകുന്ന മറ്റ് നിരവധി ഉദാഹരണങ്ങളുണ്ട്.

നമുക്കറിയാവുന്ന ലോകത്ത്, അനന്തത പൂജ്യത്തിൽ നിന്ന് ആരംഭിച്ച് പ്ലസ് അനന്തതയിലേക്ക് പോകുന്നു.

"മൈനസ് അനന്തത" യഥാർത്ഥ ലോകത്ത് നിലവിലില്ല. "മൈനസ്" എന്ന ആശയത്തിന്റെ അതേ ഗണിതശാസ്ത്ര കൺവെൻഷനാണ് ഇത്.

അതിനാൽ, "മൈനസ്" എന്നാൽ വിപരീത ദിശയാണ്: ചലനം, ഭ്രമണം, പ്രക്രിയ, ഗുണനം, സങ്കലനം. പോസിറ്റീവ്, നെഗറ്റീവ് (മറ്റൊരു ദിശയിൽ വർദ്ധിക്കുന്നത്) സംഖ്യകൾ ചേർക്കുകയും കുറയ്ക്കുകയും ചെയ്യുമ്പോൾ വ്യത്യസ്ത ദിശകൾ വിശകലനം ചെയ്യാം.

കൂട്ടിച്ചേർക്കലിനും കുറയ്ക്കലിനുമുള്ള ചിഹ്നങ്ങളുടെ നിയമങ്ങൾ മനസിലാക്കുന്നതിന്റെ സങ്കീർണ്ണതയാണ് സാധാരണയായി അവർ ഈ നിയമങ്ങൾ നമ്പർ ലൈനിൽ വിശദീകരിക്കാൻ ശ്രമിക്കുന്നത്. നമ്പർ ലൈനിൽ, മൂന്ന് വ്യത്യസ്ത ഘടകങ്ങൾ മിശ്രിതമാണ്, അതിൽ നിന്ന് നിയമങ്ങൾ ഉരുത്തിരിഞ്ഞു. മിശ്രിതം കാരണം, വ്യത്യസ്ത സങ്കൽപ്പങ്ങൾ ഒരു കൂമ്പാരമായി കൂട്ടുന്നതിനാൽ, മനസ്സിലാക്കാനുള്ള ബുദ്ധിമുട്ടുകൾ സൃഷ്ടിക്കപ്പെടുന്നു.

നിയമങ്ങൾ മനസിലാക്കാൻ, ഞങ്ങൾ വേർതിരിക്കേണ്ടതുണ്ട്:

ആദ്യ പദവും സംഖ്യയും (അവ തിരശ്ചീന അക്ഷത്തിൽ ആയിരിക്കും);
രണ്ടാമത്തെ പദം (അത് ലംബ അക്ഷത്തിൽ ആയിരിക്കും);
സങ്കലനം, കുറയ്ക്കൽ പ്രവർത്തനങ്ങൾ എന്നിവയുടെ ദിശ.

ഈ വിഭജനം ചിത്രത്തിൽ വ്യക്തമായി കാണിച്ചിരിക്കുന്നു. തിരശ്ചീന അക്ഷത്തിൽ ലംബ അക്ഷത്തിന് ഓവർലാപ്പുചെയ്യാൻ കഴിയുമെന്ന് സങ്കൽപ്പിക്കുക.

ലംബ അക്ഷം ഘടികാരദിശയിൽ (പ്ലസ് ചിഹ്നം) തിരിക്കുന്നതിലൂടെ സങ്കലന പ്രവർത്തനം എല്ലായ്പ്പോഴും നടത്തുന്നു. ലംബ അക്ഷം എതിർ ഘടികാരദിശയിൽ (മൈനസ് ചിഹ്നം) തിരിക്കുന്നതിലൂടെ കുറയ്ക്കൽ എല്ലായ്പ്പോഴും നടത്തുന്നു.

ഉദാഹരണം. ചുവടെ വലത് കോണിലുള്ള ഡയഗ്രം.

അടുത്തുള്ള രണ്ട് മൈനസ് ചിഹ്നങ്ങൾക്കും (കുറയ്ക്കൽ പ്രവർത്തനത്തിന്റെ അടയാളവും 3 എന്ന സംഖ്യയും) വ്യത്യസ്ത അർത്ഥങ്ങളുണ്ടെന്ന് കാണാം. ആദ്യത്തെ മൈനസ് കുറയ്ക്കുന്നതിന്റെ ദിശയെ സൂചിപ്പിക്കുന്നു. രണ്ടാമത്തെ മൈനസ് ലംബ അക്ഷത്തിലെ സംഖ്യയുടെ ചിഹ്നമാണ്.

തിരശ്ചീന അക്ഷത്തിൽ ആദ്യത്തെ പദം (-2) കണ്ടെത്തുക. ലംബ അക്ഷത്തിൽ രണ്ടാമത്തെ പദം (-3) കണ്ടെത്തുക. തിരശ്ചീന അക്ഷത്തിൽ (+1) സംഖ്യയുമായി (-3) വിന്യസിക്കുന്നതുവരെ ലംബ അക്ഷം എതിർ ഘടികാരദിശയിൽ മാനസികമായി തിരിക്കുക. സംഖ്യയുടെ (+1) സങ്കലനത്തിന്റെ ഫലമാണ്.

കുറയ്ക്കൽ പ്രവർത്തനം

മുകളിൽ വലത് കോണിലുള്ള ഡയഗ്രാമിലെ സങ്കലന പ്രവർത്തനത്തിന്റെ അതേ ഫലം നൽകുന്നു.

അതിനാൽ, അടുത്തുള്ള രണ്ട് മൈനസ് ചിഹ്നങ്ങൾ ഒരു പ്ലസ് ചിഹ്നം ഉപയോഗിച്ച് മാറ്റിസ്ഥാപിക്കാം.

ഗണിതത്തിന്റെ റെഡിമെയ്ഡ് നിയമങ്ങൾ അവയുടെ അർത്ഥത്തെക്കുറിച്ച് ചിന്തിക്കാതെ ഉപയോഗിക്കുന്നതിന് നാമെല്ലാവരും പതിവാണ്. അതിനാൽ, സങ്കലനത്തിനുള്ള (കുറയ്ക്കൽ) ചിഹ്നങ്ങളുടെ നിയമങ്ങൾ ഗുണനത്തിനായുള്ള (വിഭജനം) അടയാളങ്ങളുടെ നിയമങ്ങളിൽ നിന്ന് എങ്ങനെ വ്യത്യാസപ്പെട്ടിരിക്കുന്നു എന്ന് ഞങ്ങൾ പലപ്പോഴും ശ്രദ്ധിക്കുന്നില്ല. അവ സമാനമാണെന്ന് തോന്നുന്നുണ്ടോ? മിക്കവാറും ... ഇനിപ്പറയുന്ന ചിത്രീകരണത്തിൽ ഒരു ചെറിയ വ്യത്യാസം കാണാൻ കഴിയും.

ഗുണനത്തിനായുള്ള ചിഹ്ന നിയമങ്ങൾ\u200c നിർ\u200cണ്ണയിക്കാൻ\u200c ആവശ്യമായതെല്ലാം ഇപ്പോൾ\u200c ഞങ്ങളുടെ പക്കലുണ്ട്. Sequ ട്ട്\u200cപുട്ട് ശ്രേണി ഇപ്രകാരമാണ്.

സങ്കലനത്തിനും കുറയ്ക്കലിനുമുള്ള അടയാളങ്ങളുടെ നിയമങ്ങൾ എങ്ങനെ നേടാമെന്ന് ഞങ്ങൾ വ്യക്തമായി കാണിക്കുന്നു.
നിലവിലുള്ള ഗുണനത്തിന്റെ രൂപവത്കരണത്തിൽ ഞങ്ങൾ അർത്ഥപരമായ മാറ്റങ്ങൾ വരുത്തുന്നു.
ഗുണനത്തിന്റെ പരിഷ്കരിച്ച രൂപീകരണത്തെയും കൂട്ടിച്ചേർക്കലിനുള്ള ചിഹ്നങ്ങളുടെ നിയമങ്ങളെയും അടിസ്ഥാനമാക്കി, ഗുണനത്തിനുള്ള അടയാളങ്ങളുടെ നിയമങ്ങൾ ഞങ്ങൾ ഉരുത്തിരിഞ്ഞു.

കുറിപ്പ്.

ചുവടെ എഴുതിയിരിക്കുന്നത് n കൂട്ടിച്ചേർക്കലിനും കുറയ്ക്കലിനുമുള്ള നിയമങ്ങൾ ഒപ്പിടുകവിഷ്വലൈസേഷനിൽ നിന്ന് നേടിയത്. ചുവപ്പ് നിറത്തിൽ, താരതമ്യത്തിനായി, ഒരു ഗണിത പാഠപുസ്തകത്തിൽ നിന്നുള്ള ചിഹ്നങ്ങളുടെ അതേ നിയമങ്ങൾ. ബ്രാക്കറ്റുകളിലെ ഗ്രേ പ്ലസ് അദൃശ്യമായ പ്ലസ് ആണ്, ഇത് പോസിറ്റീവ് നമ്പറിനായി എഴുതിയിട്ടില്ല.

നിബന്ധനകൾക്കിടയിൽ എല്ലായ്പ്പോഴും രണ്ട് അടയാളങ്ങളുണ്ട്: പ്രവർത്തനത്തിന്റെ ചിഹ്നവും സംഖ്യയുടെ ചിഹ്നവും (ഞങ്ങൾ പ്ലസ് എഴുതുന്നില്ല, എന്നാൽ ഞങ്ങൾ അർത്ഥമാക്കുന്നത്). കൂട്ടിച്ചേർക്കലിന്റെ ഫലം (കുറയ്ക്കൽ) മാറ്റാതെ മറ്റൊരു ജോഡിക്ക് ഒരു ജോഡി ചിഹ്നങ്ങൾ മാറ്റിസ്ഥാപിക്കാൻ ചിഹ്ന നിയമങ്ങൾ നിർദ്ദേശിക്കുന്നു. വാസ്തവത്തിൽ, രണ്ട് നിയമങ്ങൾ മാത്രമേയുള്ളൂ.

റൂളുകൾ 1, 3 (വിഷ്വലൈസേഷൻ പ്രകാരം) - തനിപ്പകർപ്പ് നിയമങ്ങൾ 4 ഉം 2 ഉം .. സ്കൂൾ വ്യാഖ്യാനത്തിലെ 1, 3 നിയമങ്ങൾ വിഷ്വൽ സ്കീമുമായി പൊരുത്തപ്പെടുന്നില്ല, അതിനാൽ, ചേർക്കുമ്പോൾ അടയാളങ്ങളുടെ നിയമങ്ങൾക്ക് അവ ബാധകമല്ല. ഇവ മറ്റ് ചില നിയമങ്ങളാണ് ...

1. +(+) = -- ......... + (+) = + ???

2. +- = -(+).......... + - \u003d - (+) ശരി

3. -(+) = +- ......... - (+) = - ???

4. -- = +(+) ......... - - \u003d + (+) ശരി

സ്കൂൾ റൂൾ 1 (ചുവപ്പ്) തുടർച്ചയായി രണ്ട് പ്ലസുകൾ ഒരു പ്ലസ് ഉപയോഗിച്ച് മാറ്റിസ്ഥാപിക്കാൻ അനുവദിക്കുന്നു. കൂട്ടിച്ചേർക്കലിനും കുറയ്ക്കലിനുമൊപ്പം അടയാളങ്ങളുടെ പകരക്കാരനായി നിയമം ബാധകമല്ല.

കുറയ്ക്കൽ പ്രവർത്തനത്തിന് ശേഷം പോസിറ്റീവ് നമ്പറിൽ പ്ലസ് ചിഹ്നം എഴുതാതിരിക്കാൻ സ്കൂൾ റൂൾ 3. (ചുവപ്പ്) അനുവദിക്കുന്നു. കൂട്ടിച്ചേർക്കലിനും കുറയ്ക്കലിനുമൊപ്പം അടയാളങ്ങളുടെ പകരക്കാരനായി നിയമം ബാധകമല്ല.

സങ്കലനസമയത്ത് ചിഹ്നങ്ങളുടെ നിയമങ്ങളുടെ അർത്ഥം, സങ്കലനത്തിന്റെ ഫലം മാറ്റാതെ ഒരു PAIR ചിഹ്നങ്ങളെ മറ്റൊരു PAIR ചിഹ്നങ്ങളുമായി മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുക എന്നതാണ്.

സ്കൂൾ രീതിശാസ്ത്രജ്ഞർ ഒരു നിയമത്തിൽ രണ്ട് നിയമങ്ങൾ ചേർത്തു:

പോസിറ്റീവ്, നെഗറ്റീവ് സംഖ്യകൾ ചേർക്കുകയും കുറയ്ക്കുകയും ചെയ്യുമ്പോൾ അടയാളങ്ങളുടെ രണ്ട് നിയമങ്ങൾ (ഒരു ജോഡി പ്രതീകങ്ങൾ മറ്റൊരു ജോഡി പ്രതീകങ്ങൾ ഉപയോഗിച്ച് മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുന്നു);

പോസിറ്റീവ് നമ്പറിനായി നിങ്ങൾക്ക് പ്ലസ് ചിഹ്നം എഴുതാൻ കഴിയാത്ത രണ്ട് നിയമങ്ങൾ.

ഒന്നിൽ കൂടിച്ചേർന്ന രണ്ട് വ്യത്യസ്ത നിയമങ്ങൾ ഗുണനത്തിലെ ചിഹ്നങ്ങളുടെ നിയമങ്ങൾ പോലെയാണ്, അവിടെ രണ്ട് ചിഹ്നങ്ങൾ മൂന്നാമത്തേതും പിന്തുടരുന്നു. ഒന്നിന് സമാനമാണ്.

വളരെയധികം ആശയക്കുഴപ്പം! മികച്ചത് അനാവരണം ചെയ്യുന്നതിന് വീണ്ടും അതേ കാര്യം. പ്രവർത്തനങ്ങളുടെ അടയാളങ്ങളെ അക്കങ്ങളുടെ ചിഹ്നങ്ങളിൽ നിന്ന് വേർതിരിച്ചറിയാൻ ചുവപ്പ് നിറത്തിൽ ഹൈലൈറ്റ് ചെയ്യാം.

1. കൂട്ടിച്ചേർക്കലും കുറയ്ക്കലും. ചിഹ്നങ്ങളുടെ രണ്ട് നിയമങ്ങൾ, അതിനനുസരിച്ച് പദങ്ങൾ തമ്മിലുള്ള ജോഡി ചിഹ്നങ്ങൾ പരസ്പരം കൈമാറ്റം ചെയ്യപ്പെടുന്നു. പ്രവർത്തന ചിഹ്നവും നമ്പർ ചിഹ്നവും.

+ + = - - |||||||||| 2 + (+2) = 2 - (-2)

+ - = - + |||||||||| 2 + (-2) = 2 - (+2)

2. പോസിറ്റീവ് നമ്പറിനുള്ള പ്ലസ് ചിഹ്നം എഴുതാൻ അനുവദിക്കാത്ത രണ്ട് നിയമങ്ങൾ. എൻട്രി ഫോമിന്റെ നിയമങ്ങൾ ഇവയാണ്. കൂട്ടിച്ചേർക്കൽ ബാധകമല്ല. ഒരു പോസിറ്റീവ് നമ്പറിനായി, പ്രവർത്തനത്തിന്റെ അടയാളം മാത്രമേ രേഖപ്പെടുത്തൂ.

- + = - |||||||||| - (+2) = - 2

+ + = + |||||||||| + (+2) = + 2

3. ഗുണനത്തിനുള്ള അടയാളങ്ങളുടെ നാല് നിയമങ്ങൾ. ഗുണിതങ്ങളുടെ രണ്ട് ചിഹ്നങ്ങളിൽ നിന്ന് ഉൽപ്പന്നത്തിന്റെ മൂന്നാമത്തെ ചിഹ്നം പിന്തുടരുമ്പോൾ. ഗുണനത്തിനുള്ള അടയാളങ്ങളുടെ നിയമങ്ങളിൽ, അക്കങ്ങളുടെ അടയാളങ്ങൾ മാത്രം.

+ * + = + |||||||||| 2 * 2 = 2

+ * - = - |||||||||| 2 * (-2) = -2

- * + = - |||||||||| -2 * 2 = - 2

- * - = + |||||||||| -2 * -2 = 2

ഇപ്പോൾ ഞങ്ങൾ\u200c നൊട്ടേഷൻ\u200c റൂളുകൾ\u200c വേർ\u200cതിരിച്ചിരിക്കുന്നു, സങ്കലനത്തിനും കുറയ്ക്കലിനുമുള്ള ചിഹ്ന നിയമങ്ങൾ\u200c ഗുണനത്തിനുള്ള ചിഹ്ന നിയമങ്ങൾ\u200c പോലെയല്ലെന്ന്\u200c വ്യക്തമായിരിക്കണം.

വി.കോസറെങ്കോ

തീർച്ചയായും, എന്തുകൊണ്ട്? ഏറ്റവും ലളിതമായ ഉത്തരം: "കാരണം നെഗറ്റീവ് നമ്പറുകൾ കൈകാര്യം ചെയ്യുന്നതിനുള്ള നിയമങ്ങളാണിവ." ഞങ്ങൾ\u200c സ്കൂളിൽ\u200c പഠിപ്പിക്കുകയും ജീവിതത്തിലുടനീളം ബാധകമാക്കുകയും ചെയ്യുന്ന നിയമങ്ങൾ\u200c. എന്നിരുന്നാലും, നിയമങ്ങൾ കൃത്യമായി എന്തുകൊണ്ടാണ് ഇതെന്ന് പാഠപുസ്തകങ്ങൾ വിശദീകരിക്കുന്നില്ല. ഇങ്ങനെയാണ് നമ്മൾ സ്വയം ഒരു ചോദ്യം ചോദിക്കാത്തതെന്ന് ഞങ്ങൾ ഓർമ്മിച്ചു.

നമുക്ക് സ്വയം ചോദിക്കാം ...

കുറയ്ക്കൽ തീർച്ചയായും ഒഴിച്ചുകൂടാനാവാത്തതാണ്. എന്നാൽ പ്രായോഗികമായി, ചെറിയ സംഖ്യയെ വലിയ സംഖ്യയിൽ നിന്ന് കുറയ്ക്കാൻ ഞങ്ങൾ പ്രവണത കാണിക്കുന്നു, കൂടാതെ നെഗറ്റീവ് സംഖ്യകൾ ഉപയോഗിക്കേണ്ട ആവശ്യമില്ല. . നീണ്ട കാലം.

ഇന്ത്യൻ രേഖകളിൽ, എ ഡി ഏഴാം നൂറ്റാണ്ട് മുതൽ നെഗറ്റീവ് സംഖ്യകൾ പ്രത്യക്ഷപ്പെടുന്നു; ചൈനക്കാർ കുറച്ച് മുമ്പ് അവ ഉപയോഗിക്കാൻ തുടങ്ങി. കടങ്ങളുടെ അക്ക ing ണ്ടിംഗിനോ സമവാക്യങ്ങളുടെ പരിഹാരം ലളിതമാക്കുന്നതിന് ഇന്റർമീഡിയറ്റ് കണക്കുകൂട്ടലുകളിലോ അവ ഉപയോഗിച്ചു - ഇത് ഒരു നല്ല ഉത്തരം നേടുന്നതിനുള്ള ഒരു ഉപകരണം മാത്രമായിരുന്നു. പോസിറ്റീവ് സംഖ്യകളിൽ നിന്ന് വ്യത്യസ്തമായി നെഗറ്റീവ് സംഖ്യകൾ ഏതെങ്കിലും എന്റിറ്റിയുടെ സാന്നിധ്യം പ്രകടിപ്പിക്കുന്നില്ല എന്നത് ശക്തമായ അവിശ്വാസം ജനിപ്പിച്ചു. വാക്കിന്റെ അക്ഷരാർത്ഥത്തിലുള്ള ആളുകൾ നെഗറ്റീവ് സംഖ്യകൾ ഒഴിവാക്കി: ഒരു പ്രശ്\u200cനത്തിന് നെഗറ്റീവ് ഉത്തരം ലഭിക്കുകയാണെങ്കിൽ, ഉത്തരമൊന്നുമില്ലെന്ന് അവർ വിശ്വസിച്ചു. ഈ അവിശ്വാസം വളരെക്കാലം തുടർന്നു, ആധുനിക ഗണിതശാസ്ത്രത്തിന്റെ "സ്ഥാപകരിൽ" ഒരാളായ ഡെസ്കാർട്ട് പോലും അവരെ "തെറ്റ്" (പതിനേഴാം നൂറ്റാണ്ടിൽ!) എന്ന് വിളിച്ചു.

ഉദാഹരണത്തിന്, 7x - 17 \u003d 2x - 2 എന്ന സമവാക്യം പരിഗണിക്കുക: ഇത് ഇനിപ്പറയുന്ന രീതിയിൽ പരിഹരിക്കാനാകും: അജ്ഞാതമായ പദങ്ങൾ ഇടത് വശത്തേക്കും ബാക്കി വലതുവശത്തേക്കും നീക്കുക, നിങ്ങൾക്ക് 7x - 2x \u003d 17 - 2, 5x ലഭിക്കും \u003d 15, x \u003d 3. ഈ പരിഹാരത്തിലൂടെ ഞങ്ങൾ നെഗറ്റീവ് സംഖ്യകൾ പോലും കണ്ടില്ല.

എന്നാൽ ആകസ്മികമായി ഇത് വ്യത്യസ്തമായി ചെയ്യാൻ സാധിച്ചു: അജ്ഞാതമായ പദങ്ങൾ വലതുവശത്തേക്ക് മാറ്റി 2 - 17 \u003d 2x - 7x, (-15) \u003d (-5) x നേടുക. അജ്ഞാതം കണ്ടെത്തുന്നതിന്, നിങ്ങൾ ഒരു നെഗറ്റീവ് സംഖ്യയെ മറ്റൊന്നായി വിഭജിക്കേണ്ടതുണ്ട്: x \u003d (-15) / (- 5). എന്നാൽ ശരിയായ ഉത്തരം അറിയാം, (-15) / (- 5) \u003d 3 എന്ന നിഗമനത്തിൽ അവശേഷിക്കുന്നു.

ഈ ലളിതമായ ഉദാഹരണം എന്താണ് കാണിക്കുന്നത്? ആദ്യം, നെഗറ്റീവ് സംഖ്യകളുള്ള പ്രവർത്തനങ്ങളുടെ നിയമങ്ങൾ നിർവചിച്ച യുക്തി വ്യക്തമാകും: ഈ പ്രവർത്തനങ്ങളുടെ ഫലങ്ങൾ നെഗറ്റീവ് സംഖ്യകളില്ലാതെ മറ്റൊരു രീതിയിൽ ലഭിച്ച ഉത്തരങ്ങളുമായി പൊരുത്തപ്പെടണം. രണ്ടാമതായി, നെഗറ്റീവ് സംഖ്യകളുടെ ഉപയോഗം അനുവദിക്കുന്നതിലൂടെ, ഞങ്ങൾ മടുപ്പിക്കുന്നു (സമവാക്യം കൂടുതൽ സങ്കീർണ്ണമാണെങ്കിൽ, ധാരാളം പദങ്ങൾ ഉപയോഗിച്ച്) ഒരു പരിഹാര പാതയ്ക്കായി തിരയുന്നു, അതിൽ എല്ലാ പ്രവർത്തനങ്ങളും സ്വാഭാവിക സംഖ്യകളിൽ മാത്രം നടക്കുന്നു. മാത്രമല്ല, പരിവർത്തനം ചെയ്ത മൂല്യങ്ങളുടെ അർത്ഥവത്തായ കാര്യത്തെക്കുറിച്ച് നമുക്ക് ഇപ്പോൾ ചിന്തിക്കാനാകില്ല - ഇത് ഇതിനകം തന്നെ ഗണിതശാസ്ത്രത്തെ ഒരു അമൂർത്ത ശാസ്ത്രമാക്കി മാറ്റുന്നതിനുള്ള ഒരു പടിയാണ്.

തൽഫലമായി, ഒരു പുതിയ ആശയം പ്രത്യക്ഷപ്പെട്ടു: ഒരു മോതിരം. ഇത് ഒരു കൂട്ടം ഘടകങ്ങളും അവയിൽ നടപ്പിലാക്കാൻ കഴിയുന്ന പ്രവർത്തനങ്ങളും മാത്രമാണ്. ഇവിടെ അടിസ്ഥാനപരമായത് നിയമങ്ങൾ മാത്രമാണ് (അവയെ പ്രപഞ്ചങ്ങൾ എന്ന് വിളിക്കുന്നു), അത് പ്രവൃത്തികളെ അനുസരിക്കുന്നു, അല്ലാതെ സെറ്റിന്റെ ഘടകങ്ങളുടെ സ്വഭാവമല്ല (ഇവിടെ ഇത് ഒരു പുതിയ തലത്തിലുള്ള അമൂർത്തമാണ്!). പ്രപഞ്ചങ്ങളുടെ ആമുഖത്തിനുശേഷം ഉണ്ടാകുന്ന ഘടനയാണ് പ്രധാനമെന്ന് to ന്നിപ്പറയാൻ ആഗ്രഹിക്കുന്നു, ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞർ പറയുന്നു: പൂർണ്ണസംഖ്യകളുടെ മോതിരം, പോളിനോമിയലുകളുടെ മോതിരം മുതലായവ. പ്രപഞ്ചങ്ങളിൽ നിന്ന് ആരംഭിച്ച് ഒരാൾക്ക് വളയങ്ങളുടെ മറ്റ് ഗുണങ്ങളെ കുറിക്കാൻ കഴിയും.

രണ്ട് ബൈനറി പ്രവർത്തനങ്ങളുള്ള ഒരു സെറ്റാണ് റിംഗ് (അതായത്, ഓരോ പ്രവർത്തനത്തിലും റിങ്ങിന്റെ രണ്ട് ഘടകങ്ങൾ ഉൾപ്പെടുന്നു), അവയെ പരമ്പരാഗതമായി സങ്കലനം, ഗുണനം എന്ന് വിളിക്കുന്നു, ഇനിപ്പറയുന്ന പ്രപഞ്ചങ്ങൾ:

റിംഗ് മൂലകങ്ങളുടെ കൂട്ടിച്ചേർക്കൽ സ്ഥാനചലനം (എ, ബി ഏതെങ്കിലും മൂലകങ്ങൾക്ക് എ + ബി \u003d ബി + എ), കോമ്പിനേഷൻ (എ + (ബി + സി) \u003d (എ + ബി) + സി) നിയമങ്ങൾ അനുസരിക്കുന്നു; റിംഗിന് A + 0 \u003d A പോലുള്ള ഒരു പ്രത്യേക ഘടകം 0 (കൂട്ടിച്ചേർക്കലിനുള്ള ഒരു ന്യൂട്രൽ മൂലകം) ഉണ്ട്, കൂടാതെ ഏതെങ്കിലും മൂലകത്തിന് A + (-A) \u003d 0 പോലുള്ള വിപരീത ഘടകമുണ്ട് ((-A) സൂചിപ്പിക്കുന്നത്) ;
- ഗുണനം കോമ്പിനേഷൻ നിയമത്തെ അനുസരിക്കുന്നു: A · (B · C) \u003d (A · B); C;
സങ്കലനവും ഗുണനവും ഇനിപ്പറയുന്ന പരാൻതീസിസ് വിപുലീകരണ നിയമങ്ങളുമായി ബന്ധപ്പെട്ടിരിക്കുന്നു: (A + B) C \u003d A C + B C, A (B + C) \u003d A B + A C.

അനിയന്ത്രിതമായ വലയത്തിന്റെ എ, ബി എന്നീ മൂലകങ്ങൾക്ക് ആദ്യം, (-എ) ബി \u003d - (എ ബി), രണ്ടാമതായി, (- (- എ)) \u003d എ. ഇത് യൂണിറ്റുകളെക്കുറിച്ചുള്ള പ്രസ്താവനകളെ എളുപ്പത്തിൽ സൂചിപ്പിക്കുന്നു: ( -1) 1 \u003d - (1 1) \u003d -1, (-1) (-1) \u003d - ((- 1) 1) \u003d - (- 1) \u003d 1.

ഇതിനായി ഞങ്ങൾ ചില വസ്തുതകൾ സ്ഥാപിക്കേണ്ടതുണ്ട്. ആദ്യം, ഓരോ ഘടകത്തിനും ഒരു വിപരീതം മാത്രമേ ഉണ്ടാകൂ എന്ന് നമുക്ക് തെളിയിക്കാം. വാസ്തവത്തിൽ, A എന്ന മൂലകത്തിന് രണ്ട് വിപരീതങ്ങളുണ്ടാകട്ടെ: B, C. അതായത്, A + B \u003d 0 \u003d A + C. A + B + C എന്ന തുക പരിഗണിക്കുക. ഒരു വശത്ത്, തുക B ന് തുല്യമാണ്: B \u003d B + 0 \u003d B + (A + C) \u003d A + B + C, മറുവശത്ത് ഇത് C: A + B ന് തുല്യമാണ് + C \u003d (A + B) + C \u003d 0 + C \u003d C. അതിനാൽ B \u003d C.

എ, (- (- എ)) രണ്ടും ഒരേ മൂലകത്തിന് (-എ) വിപരീതമാണെന്നത് ശ്രദ്ധിക്കുക, അതിനാൽ അവ തുല്യമായിരിക്കണം.

ആദ്യ വസ്തുത ഇതുപോലെ മാറുന്നു: 0 \u003d 0 B \u003d (A + (-A)) B \u003d A B + (-A) B, അതായത്, (-A) B A B ന് വിപരീതമാണ്, അതിനാൽ ഇത് തുല്യമാണ് - (എ ബി).

ഗണിതശാസ്ത്രപരമായി കർശനമായിരിക്കാൻ, ഏതെങ്കിലും മൂലകത്തിന് 0 · B \u003d 0 എന്തുകൊണ്ടെന്ന് വിശദീകരിക്കാം. വാസ്തവത്തിൽ, 0 · B \u003d (0 + 0) B \u003d 0 · B + 0 · B. അതായത്, 0 · B ചേർക്കുന്നത് തുകയെ മാറ്റില്ല. അതിനാൽ, ഈ ഉൽപ്പന്നം പൂജ്യത്തിന് തുല്യമാണ്.

എവ്ജെനി എപ്പിഫാനോവ്

ഡിവിഷൻ.

ഗുണനം.

കുറയ്ക്കലും സങ്കലനവും.

ഗണിതശാസ്ത്ര നിയമങ്ങൾ

റിംഗ് പ്രപഞ്ചം

നെഗറ്റീവ് സംഖ്യകൾക്കായുള്ള പ്രപഞ്ചങ്ങളുടെ ഉത്ഭവം

"-" ഉപയോഗിച്ച് രണ്ട് അക്കങ്ങളുടെ ഗുണനവും വിഭജനവും

പൊതു ഗണിത നിയമങ്ങൾ

ഗണിതശാസ്ത്ര നിയമങ്ങൾ

റിംഗ് പ്രപഞ്ചം

നെഗറ്റീവ് സംഖ്യകൾക്കായുള്ള പ്രപഞ്ചങ്ങളുടെ ഉത്ഭവം

"-" ഉപയോഗിച്ച് രണ്ട് അക്കങ്ങളുടെ ഗുണനവും വിഭജനവും

പൊതു ഗണിത നിയമങ്ങൾ

എഡിറ്റർ\u200c ചോയ്\u200cസ്