समीप कोपरे आणि त्यांचे गुणधर्म काय आहेत. कोणत्या कोनाला समीप म्हणतात? दोन जवळील कोनांची बेरीज किती आहे

भूमिती हे एक बहुमुखी विज्ञान आहे. ती तर्कशास्त्र, कल्पनाशक्ती आणि बुद्धिमत्ता विकसित करते. अर्थातच, त्याच्या जटिलतेमुळे आणि मोठ्या संख्येने प्रमेय आणि गोंधळ्यांमुळे, शालेय मुलांना नेहमीच हे आवडत नाही. याव्यतिरिक्त, सामान्यत: स्वीकारलेली मानके आणि नियम वापरून आपले निष्कर्ष सतत सिद्ध करण्याची आवश्यकता आहे.

समीप आणि अनुलंब कोन भूमितीसाठी अविभाज्य आहेत. खरोखरच बरेच शाळेतील मुले त्यांच्या गुणधर्म स्पष्ट आणि सिद्ध करण्यास सुलभ आहेत या कारणास्तव सहजपणे त्यांची पूजा करतात.

कोपरा तयार करीत आहे

कोणताही कोन दोन सरळ रेषांच्या प्रतिच्छेदन किंवा एका बिंदूतून दोन किरण रेखाटून तयार होतो. त्यांना एकतर एक अक्षर किंवा तीन म्हटले जाऊ शकते, जे कोपर्याच्या बांधकामांचे बिंदू सलग नियुक्त करतात.

कोन अंशांमध्ये मोजले जातात आणि (त्यांच्या मूल्यानुसार) भिन्न म्हटले जाऊ शकतात. तर, तेथे एक योग्य कोन, तीव्र, ओब्ट्यूज आणि उलगडलेला आहे. प्रत्येक नावे विशिष्ट पदवी किंवा त्याच्या अंतराशी संबंधित आहेत.

जर त्याचे मापन 90 अंशांपेक्षा जास्त नसेल तर कोनास तीव्र म्हणतात.

एक ओब्ट्यूज कोन 90 अंशांपेक्षा जास्त असतो.

कोनात जेव्हा त्याचा डिग्री मापन 90 असेल तेव्हा त्याला एक कोन म्हणतात.

जेव्हा ते एका घन रेषाने तयार होते आणि त्याचे डिग्री मापन 180 असते तेव्हा त्यास विस्तारित असे म्हणतात.

कोन ज्यास सामान्य बाजू असते, ज्याची दुसरी बाजू एकमेकांना चालू राहते, त्यांना समीप म्हणतात. ते एकतर तीक्ष्ण किंवा बोथट असू शकतात. रेषाचे छेदनबिंदू कोप forms्यालगतचे कोन बनतात. त्यांचे गुणधर्म खालीलप्रमाणे आहेत:

1. या कोनांची बेरीज 180 अंश असेल (हे सिद्ध करण्याचा एक प्रमेय आहे). म्हणूनच, त्यापैकी एकाची गणना दुसरीकडे माहिती असल्यास सहजपणे केली जाऊ शकते.
2. पहिल्या बिंदूपासून हे पुढे आहे की समीप कोप दोन ओब्ट्यूज किंवा दोन तीव्र कोनांनी बनू शकत नाहीत.

या गुणधर्मांबद्दल धन्यवाद, दुसर्या कोनात मूल्य असल्यास किंवा कमीतकमी त्यातील गुणोत्तर असलेल्या कोनचे डिग्री मापन आपण नेहमीच मोजू शकता.

अनुलंब कोप

कोन ज्याच्या बाजू एकमेकांचे निरंतर असतात त्यांना अनुलंब असे म्हणतात. त्यांचा कोणताही प्रकार अशी जोडी म्हणून काम करू शकतो. अनुलंब कोन नेहमीच एकमेकांसारखे असतात.

जेव्हा सरळ रेषा छेदतात तेव्हा ते तयार होतात. जवळील कोपरे त्यांच्याबरोबर नेहमीच उपस्थित असतात. कोन एकाच वेळी एकास समीप आणि दुसर्\u200dयास अनुलंब असू शकतो.

एखादी अनियंत्रित रेषा ओलांडताना, इतर अनेक प्रकारच्या कोनातही विचार केला जातो. अशा रेषाला सेन्ट म्हणतात, आणि त्यास संबंधित, एकतर्फी आणि क्रॉस-फेलिंग कोन बनतात. ते एकमेकांच्या बरोबरीचे आहेत. अनुलंब आणि समीप कोन असलेल्या गुणधर्मांच्या प्रकाशात ते पाहिले जाऊ शकतात.

अशाप्रकारे, कोनांचा विषय अगदी सोपा आणि सरळसरळ वाटतो. त्यांचे सर्व गुणधर्म लक्षात ठेवणे आणि सिद्ध करणे सोपे आहे. कोन संख्यात्मक मूल्यांशी संबंधित असल्याशिवाय समस्यांचे निराकरण करणे कठीण नाही. आधीच पाप आणि कॉसचा अभ्यास सुरू झाल्यावर आपल्याला बर्\u200dयाच जटिल सूत्रे, त्यांचे निष्कर्ष आणि परिणाम लक्षात ठेवावे लागतील. तोपर्यंत, आपण फक्त सोप्या कार्यांचा आनंद घेऊ शकता ज्यात आपल्याला जवळील कोपरे शोधण्याची आवश्यकता आहे.

दोन कोपांना एक बाजू समांतर असल्यास समीप म्हणतात आणि या कोप of्यांच्या इतर बाजूस अतिरिक्त किरण आहेत. आकृती 20 मध्ये, एओबी आणि बीओसी कोन समीप आहेत.

समीप कोनांची बेरीज 180 ° आहे

प्रमेय 1. समीप कोनांची बेरीज 180 ° आहे.

पुरावा. ओबी बीम (चित्र 1 पहा) उलगडलेल्या कोप of्याच्या बाजूने जातो. म्हणून ∠ एओबी + ∠ बीओएस \u003d 180 °.

प्रमेय 1 वरून असे आढळले आहे की जर दोन कोन समान असतील तर त्यांना जवळील कोन समान आहेत.

अनुलंब कोन समान आहेत

एका कोप of्याच्या बाजूस दुसर्\u200dया बाजूच्या पूरक किरण असल्यास दोन कोपांना अनुलंब असे म्हणतात. दोन सरळ रेषांच्या छेदनबिंदूवर तयार केलेले एओबी आणि सीओडी, बीओडी आणि एओसी कोन उभे आहेत (चित्र 2).

प्रमेय 2. अनुलंब कोन समान आहेत.

पुरावा. एओबी आणि सीओडीच्या उभ्या कोनातून विचार करा (चित्र 2 पहा) बीओडी कोपरा प्रत्येक एओबी आणि सीओडी कोप adj्यास लागून आहे. प्रमेय 1 नुसार, ∠ एओबी + ∠ बीओडी \u003d 180 °, ∠ कॉड + ∠ बीओडी \u003d 180 °.

म्हणूनच आम्ही असा निष्कर्ष काढला की ∠ एओबी \u003d ∠ सीओडी.

कोरोलरी 1. योग्य कोनाला लागून एक कोन एक योग्य कोन आहे.

दोन छेदणार्\u200dया सरळ रेषांचा एसी आणि बीडीचा विचार करा (चित्र 3) ते चार कोपरे बनवतात. जर त्यापैकी एक सरळ असेल (अंजीर 3 मधील कोन 1), तर इतर कोन देखील योग्य आहेत (1 आणि 2, 1 आणि 4 कोन समीप आहेत, 1 आणि 3 कोनात अनुलंब आहेत). या प्रकरणात ते म्हणतात की या रेषा उजव्या कोनात काटतात आणि त्यांना लंब (किंवा परस्पर लंब) म्हणतात. सरळ रेषांच्या एसी आणि बीडीचे लंब खालीलप्रमाणे ठेवले आहेत: एसी ⊥ बीडी.

सेगमेंटला मध्यबिंदू लंब या भागाची सरळ रेष लंब आहे आणि त्याच्या मध्यबिंदूमधून जात आहे.

एएच - सरळ रेषेवरील लंबवत

सरळ रेषा अ आणि बिंदू अ याचा विचार करा जो त्यावर पडत नाही (चित्र 4). बिंदू 'A' बिंदूला H बिंदूने सरळ रेषेवरील A वर जोडू. सेगमेंट एएचला बिंदू ए पासून रेखा अ ते रेषा एए आणि ए लंब असल्यास लंबदुभाष म्हणतात. पॉईंट एचला लंबचा आधार म्हणतात.

रेखाचित्र चौरस

खालील प्रमेय खरे आहेत.

प्रमेय 3.. कोणत्याही ओळीवर न पडता कोणत्याही व्यक्ती या ओळीवर लंब काढू शकते आणि त्याशिवाय फक्त एक.

रेखांकनात एका बिंदूपासून सरळ रेषांपर्यंत लंब काढण्यासाठी ड्रॉईंग स्क्वेअर वापरा (चित्र 5).

टिप्पणी. प्रमेय च्या विधान सहसा दोन भाग असतात. एक भाग काय दिले आहे याबद्दल बोलतो. या भागास प्रमेयची स्थिती म्हणतात. दुसरा भाग काय सिद्ध करावा लागेल याबद्दल बोलतो. या भागास प्रमेयचा निष्कर्ष म्हणतात. उदाहरणार्थ, प्रमेय 2 ची अट अशी आहे की कोन अनुलंब आहेत; निष्कर्ष - हे कोन समान आहेत.

कोणताही प्रमेय विस्तृतपणे शब्दांमध्ये व्यक्त केला जाऊ शकतो जेणेकरून त्याची स्थिती "if" शब्दापासून सुरू होईल आणि "नंतर" शब्दासह निष्कर्ष होईल. उदाहरणार्थ, प्रमेय 2 खालील प्रमाणे तपशीलवार सांगितले जाऊ शकते: "जर दोन कोन उभे असतील तर ते समान असतील."

उदाहरण १. समीप कोनातून एक 44 ° आहे. दुसरे काय बरोबर आहे?

निर्णय. X च्या सहाय्याने इतर कोनाचे पदवी मापदंड दर्शवू, नंतर प्रमेय 1 नुसार.
44 ° + x \u003d 180 °.
परिणामी समीकरण सोडवित असताना आम्हाला ते x \u003d 136 ° आढळले. म्हणून, दुसरा कोन 136 ° आहे.

उदाहरण 2. आकृती 21 मधील सीओडी कोन 45 Let असू द्या. एओबी आणि एओसी कोन काय आहेत?

निर्णय. सीओडी आणि एओबी कोन उभ्या आहेत, म्हणून, प्रमेय 1.2 द्वारे ते समान आहेत, म्हणजे, ∠ एओबी \u003d 45 °. कोन एओसी कोन सीओडीला लागूनच आहे, म्हणून, प्रमेय 1 द्वारे.
∠ एओसी \u003d 180 ° - ∠ कॉड \u003d 180 ° - 45 ° \u003d 135 °.

उदाहरण 3. जर एखादा दुसरा 3 पट असेल तर लगतचे कोपरे शोधा.

निर्णय. X च्या माध्यमाने लहान कोनात पदवी मापन दर्शवू. नंतर मोठ्या कोनात पदवी मापन झेक्सएक्स असेल. समीप कोनांची बेरीज 180 ° (प्रमेय 1) असल्याने x + 3x \u003d 180 °, कोठून x \u003d 45 whe.
याचा अर्थ समीप कोन 45 ° आणि 135 ° आहेत.

उदाहरण 4. दोन उभ्या कोनांची बेरीज 100 ° आहे. चारही कोनातून प्रत्येकाची परिमाण शोधा.

निर्णय. आकृती 2 समस्येच्या स्थितीशी सुसंगत होऊया सीओडी ते एओबीचे अनुलंब कोन समान आहेत (प्रमेय 2), म्हणूनच त्यांचे पदवी उपाय देखील समान आहेत. म्हणून, ∠ सीओडी \u003d ∠ एओबी \u003d 50 ° (त्यांची अट अट 100% आहे). बीओडी कोन (एओसी अँगल देखील) सीओडी कोनालगत आहे, आणि म्हणून, प्रमेय 1 द्वारे
OD बीओडी \u003d ∠ एओसी \u003d 180 ° - 50 ° \u003d 130 °.

कोनासह प्रारंभ करणे

आम्हाला दोन अनियंत्रित किरण द्या. चला त्यांना एकमेकांच्या वर ठेवूया. मग

व्याख्या 1

कोनास दोन किरण असे म्हणतात ज्यांचे मूळ समान आहे.

व्याख्या 2

परिभाषा 3 मधील किरणांचे मूळ असलेले बिंदू त्या कोनाचे शिखर असे म्हणतात.

कोन खालील तीन मुद्द्यांद्वारे दर्शविला जाईल: एक शिरोबिंदू, किरणांपैकी एकावरील बिंदू आणि दुसर्\u200dया किरणांवरील बिंदू आणि कोनाचे शिखर त्याच्या पदनामांच्या मध्यभागी लिहिलेले आहे (चित्र 1).

आता कोनाचे मूल्य काय आहे ते ठरवू.

हे करण्यासाठी, आपल्याला काही प्रकारचे "संदर्भ" कोन निवडण्याची आवश्यकता आहे, ज्यास आपण एकक म्हणून घेऊ. बहुतेकदा, हा कोन एक कोन असतो जो चापटीच्या कोनच्या $ \\ frac (1) (180) $ च्या भागाच्या समान असतो. या मूल्याला डिग्री म्हणतात. असा कोन निवडल्यानंतर आम्ही त्याच्याशी कोनांची तुलना करतो, ज्याचे मूल्य शोधणे आवश्यक आहे.

येथे 4 प्रकारचे कोन आहेत:

व्याख्या 3

Angle 90 ^ 0 than पेक्षा कमी असल्यास कोनास तीव्र म्हणतात.

व्याख्या 4

Angle 90 ^ 0 than पेक्षा मोठे असल्यास कोनास ओबट्यूज असे म्हणतात.

व्याख्या 5

कोनास $ 180 ^ 0 equal च्या बरोबरीने उलगडणे म्हणतात.

व्याख्या 6

कोनात $ 90 ^ 0 to बरोबर असल्यास त्याला एक कोन असे म्हणतात.

वर वर्णन केलेल्या कोनांच्या प्रकारांव्यतिरिक्त, आपण एकमेकांच्या संबंधात कोनचे प्रकार निवडू शकता, म्हणजे, अनुलंब आणि समीप कोप.

समीप कोप

उलगडलेल्या $ सीओबी $ कोपराचा विचार करा. त्याच्या शीर्षस्थानावर रे ra OA w काढा. हा किरण मूळ दोन कोनात विभाजित करेल. मग

व्याख्या 7

जर त्यांच्या एका बाजूची जोडी विकसित कोन असेल तर दोन कोप्यांना समीप म्हटले जाईल आणि दुसरी जोड एकत्र केली (चित्र 2).

या प्रकरणात, कोपरे $ सीओए $ आणि $ बीओए adj समीप आहेत.

प्रमेय 1

समीप कोनांची बेरीज $ 180 ^ 0 $ आहे.

पुरावा.

आकृती 2 चा विचार करा.

व्याख्या 7 द्वारे, त्यातील $ सीओबी $ कोन $ 180 ^ 0 $ असेल. समीप कोप of्यांच्या बाजूंची दुसरी जोडी जुळत असल्याने, $ OA $ किरण विस्तारित कोनात 2 ने विभाजित करेल, म्हणून

$ ∠COA + OBOA \u003d 180 ^ 0 $

प्रमेय सिद्ध झाले आहे.

ही संकल्पना वापरुन समस्या सोडवण्याचा विचार करा.

उदाहरण १

खालील चित्रातून कोन $ C Find शोधा

व्याख्या 7 द्वारे, आम्ही पाहतो की $ बीडीए $ आणि $ एडीसी the कोन समीप आहेत. म्हणून, प्रमेय 1 द्वारे, आपण प्राप्त करतो

$ DAबीडीए + ∠एडीसी \u003d 180 ^ 0 $

∠ ∠एडीसी \u003d 180 ^ 0-∠बीडीए \u003d 180〗 0-59 ^ 0 \u003d 121 ^ 0 $

त्रिकोणातील कोनाच्या बेरीजवरील प्रमेयद्वारे, आपल्याकडे आहे

∠ ∠A + ∠ADC + ∠C \u003d 180 ^ 0 $

$ ∠C \u003d 180 ^ 0--A-∠ADC \u003d 180 ^ 0-19 ^ 0-121 ^ 0 \u003d 40 ^ 0 $

उत्तरः $ 40 ^ 0 $.

अनुलंब कोप

उलगडलेल्या कोप Consider्यांचा $ एओबी $ आणि $ एमओसी Consider विचार करा. चला त्यांचे शिरोबिंदू एकमेकांशी संरेखित करू (म्हणजेच आम्ही बिंदू $ O "put बिंदू $ O $ वर ठेवतो) जेणेकरून या कोनांच्या दोन्ही बाजू एकसारख्या नसतात.

व्याख्या 8

जर त्यांच्या बाजूंच्या जोड्या उलगडल्या गेलेल्या कोनात, आणि त्यांची मूल्ये जुळली तर दोन कोनांना अनुलंब म्हटले जाईल (चित्र 3).

या प्रकरणात, कोन $ एमओए. आणि $ बीओसी $ अनुलंब आहेत आणि कोन $ एमओबी $ आणि $ एओसी also देखील अनुलंब आहेत.

प्रमेय 2

अनुलंब कोन एकमेकांना समान आहेत.

पुरावा.

आकृती Consider पहा. उदाहरणार्थ, हे सिद्ध करूया की $ एमओए $ $ बीओसी to च्या बरोबरीचे आहे.

एका सरळ रेषेवरील दोन कोप्यांना आणि एक शिरोबिंदू असला त्यांना समीप म्हणतात.

अन्यथा, जर एका सरळ रेषेवरील दोन कोनांची बेरीज 180 डिग्री असेल आणि त्यास एक बाजू समान असेल तर हे समीप कोन आहेत.

1 समीप कोन + 1 समीप कोन \u003d 180 अंश.

समीप कोप दोन कोप आहेत ज्यात एक बाजू सामान्य आहे आणि इतर दोन बाजू सामान्यत: सरळ रेषा बनवतात.

दोन जवळील कोनांची बेरीज नेहमी 180 अंश असते. उदाहरणार्थ, जर एक कोन 60 डिग्री असेल तर दुसरा आवश्यकपणे 120 डिग्री (180-60) इतका असेल.

एओसी आणि बीओसी कोन हे समीप कोन आहेत, कारण समीप कोनांच्या वैशिष्ट्यांसाठी सर्व अटी पूर्ण केल्या आहेत:

1.OS ही दोन कोपers्यांची सामान्य बाजू आहे

2.एओ कोन एओसीची बाजू आहे, ओव्ही कोन बीओसीची बाजू आहे. एकत्रितपणे, या बाजू सरळ रेषा एओबी तयार करतात.

3. कोन दोन आहे आणि त्यांची बेरीज 180 अंश आहे.

शालेय भूमिती कोर्स आठवत असताना, समीपच्या कोनांबद्दल आपण असे म्हणू शकतो:

समीप कोप one्यांची एक बाजू समान आहे आणि इतर दोन बाजू समान सरळ रेषेशी संबंधित आहेत, म्हणजेच ते समान सरळ रेषेत आहेत. जर आकृतीनुसार, तर सीओबी आणि बीओएचे कोन समीप कोन आहेत, ज्याची बेरीज नेहमी 180 असते, कारण ते विस्तारित कोन सामायिक करतात आणि विस्तारित कोन नेहमी 180 असते.



समीप कोन ही भूमितीमध्ये एक सोपी संकल्पना आहे. समीप कोन, कोन अधिक कोन 180 अंशांपर्यंत जोडा.

दोन समीप कोप - हा एक उलगडलेला कोपरा असेल.

आणखी बरीच प्रॉपर्टीज आहेत. जवळील कोप with्यांसह समस्या आणि प्रमेय सोडविणे सोपे आहे.

सरळ रेषेवरील एखाद्या अनियंत्रित बिंदूतून किरण काढल्यास समीप कोन तयार होतात. मग हा अनियंत्रित बिंदू कोनाचा शिखर असल्याचे दिसून येते, किरण समीप कोप of्यांची सामान्य बाजू आहे आणि ज्या रेषेतून रेषा काढली जाते ती सरळ रेष समीप कोप corn्यांच्या उर्वरित दोन बाजू आहेत. लंबांच्या बाबतीत समीप कोन एकतर समान किंवा तिरकस तुळईच्या बाबतीत भिन्न असू शकतात. हे समजणे सोपे आहे की समीप कोनची बेरीज 180 अंश किंवा सरळ रेषा आहे. दुसर्\u200dया मार्गाने, हा कोन एका सोप्या उदाहरणाद्वारे स्पष्ट केला जाऊ शकतो - आपण प्रथम एका दिशेने सरळ रेषेत चाला, नंतर आपला विचार बदलला, परत जाण्याचा निर्णय घेतला आणि 180 डिग्री बदलल्यानंतर त्याच सरळ रेषेतून पुढे सरकले. विरुद्ध दिशा.



तर जवळील कोपरा म्हणजे काय? व्याख्या:

समीप दोन सामान्य कोपरे आणि एक सामान्य बाजू असलेले कोपरे आहेत आणि या कोप of्यांच्या इतर दोन बाजू एका सरळ रेषेत आहेत.



आणि एक लहान व्हिडिओ धडा, जेथे हे समीप कोन, अनुलंब कोन आणि अधिक लंब सरळ रेषांबद्दल संवेदनशीलतेने दर्शविले गेले आहे, जे समीप आणि अनुलंब कोनांचे एक विशेष प्रकरण आहे

जवळील कोपरे कोपरे आहेत जेथे एक बाजू सामान्य आहे आणि दुसरी एक ओळ आहे.

समीप कोन एकमेकांवर अवलंबून असणारे कोन आहेत. म्हणजेच, जर सामान्य बाजू थोडी फिरविली गेली तर एक कोन काही अंशांनी कमी होईल आणि आपोआप दुसरा कोन त्याच डिग्रीने वाढेल. समीप कोन असलेली ही मालमत्ता विविध समस्या सोडविण्यास आणि भूमितीमधील विविध प्रमेय सिद्ध करण्यासाठी परवानगी देते.

समीप कोनांची एकूण बेरीज नेहमी 180 अंश असते.



भूमिती कोर्सपासून (जेथेपर्यंत मला ग्रेड in मध्ये आठवते) दोन कोन समीप असे म्हणतात, ज्यामध्ये एक बाजू सामान्य आहे आणि इतर बाजू अतिरिक्त किरण आहेत, जवळच्या कोनांची बेरीज १ 180० आहे. दोन जवळील प्रत्येक कोन विकसित कोनातून इतर पूर्ण करतात. लगतच्या कोप of्यांचे उदाहरणः



समीप कोन दोन कोपरे आहेत ज्यात एक सामान्य शिरोबिंदू आहे, त्यातील एक बाजू सामान्य आहे आणि उर्वरित बाजू एका सरळ रेषेत (एकसंध नसतात) असतात. समीप कोनांची बेरीज एकशे ऐंशी अंश आहे. सर्वसाधारणपणे, हे सर्व Google किंवा भूमिती पाठ्यपुस्तकात शोधणे खूप सोपे आहे.

1. समीप कोपरे.

जर आपण कोणत्याही कोप of्याची बाजू त्याच्या शिरोबिंदूच्या पलीकडे वाढवितो तर आपल्याला दोन कोन मिळतात (अंजीर 72): ∠एबीएस आणि डीडी, ज्यामध्ये एक बाजू बीसी सामान्य आहे आणि इतर दोन, एबी आणि बीडी एक सरळ रेषा तयार करतात.

दोन कोप ज्यामध्ये एक बाजू सामान्य आहे आणि इतर दोन सरळ रेष बनतात त्यांना समीप कोपरे म्हणतात.

अशा प्रकारे कोनही मिळू शकते: जर आपण एखाद्या बिंदूपासून सरळ रेषेत (या सरळ रेषेत न पडता) काही रेष काढत राहिलो तर आपल्याला जवळील कोन मिळतात.

उदाहरणार्थ, एएडीएफ आणि ∠FDB समीप कोन आहेत (चित्र 73).

समीप कोप्यात विविध प्रकारचे स्थान असू शकतात (अंजीर 74).

समीप कोन सपाट कोनात जोडून, \u200b\u200bतसे दोन समीप कोनांची बेरीज 180 ° आहे

येथून, एक कोन त्याच्या समीप कोनच्या बरोबरीचा कोन म्हणून परिभाषित केला जाऊ शकतो.

समीप असलेल्या कोनांपैकी एकाचे मूल्य जाणून घेतल्यास आपल्याला इतर लगतच्या कोनाचे मूल्य सापडेल.

उदाहरणार्थ, जवळील कोनातून एक 54 is असेल तर दुसरा कोन असेल:

180 ° - 54 ° \u003d l26 °.

2. अनुलंब कोन.

जर आम्ही कोप of्याच्या बाजू त्याच्या शिरोबिंदूच्या पलीकडे वाढवितो तर आपल्याला अनुलंब कोन मिळतात. आकृती 75 मध्ये, ईओएफ आणि एओसी कोन उभ्या आहेत; एओई आणि सीओएफ कोन देखील अनुलंब आहेत.

एका कोप of्याच्या बाजूस दुसर्\u200dया कोप of्याच्या बाजूचे विस्तार असल्यास दोन कोपांना अनुलंब असे म्हणतात.

चला ∠1 \u003d \\ (\\ frac (7) (8) \\) ⋅ 90 ° (चित्र. 76). समीप ∠2 180 ° - \\ (\\ frac (7) (8) \\) ⋅ 90 ° म्हणजेच 1 \\ (rac frac (1) (8) \\) ⋅ 90 ° असेल.

त्याच प्रकारे, आपण गणना करू शकता की ∠3 आणि ∠4 समान आहेत.

∠3 \u003d 180 ° - 1 \\ (rac frac (1) (8) \\) ⋅ 90 ° \u003d \\ (rac frac (7) (8) \\) ⋅ 90 °;

∠4 \u003d 180 ° - \\ (rac frac (7) (8) \\) ⋅ 90 ° \u003d 1 \\ (\\ frac (1) (8) \\) ⋅ 90 ° (अंजीर 77).

आम्ही ते पाहतो की ∠1 \u003d ∠3 आणि ∠2 \u003d ∠4.

आपण समान समस्यांबरोबरच बर्\u200dयाच इतर समस्यांचे निराकरण करू शकता आणि प्रत्येक वेळी आपल्याला समान परिणाम मिळेल: अनुलंब कोन एकमेकांसारखे असतात.

तथापि, अनुलंब कोन नेहमीच एकमेकांसारखे असतात याची खात्री करण्यासाठी, वैयक्तिक संख्यात्मक उदाहरणांवर विचार करणे पुरेसे नाही, कारण विशिष्ट उदाहरणांवरून काढलेले निष्कर्ष कधीकधी चुकीचे असू शकतात.

पुराव्यांद्वारे अनुलंब कोनांच्या मालमत्तेची वैधता सत्यापित करणे आवश्यक आहे.

पुरावा पुढीलप्रमाणे करता येतो (अंजीर 78):

∠एक +∠सी \u003d 180 °;

∠बी +∠सी \u003d 180 °;

(समीप कोनांची बेरीज 180 is असल्याने).

∠एक +∠सी = ∠बी +∠सी

(या समानतेची डावी बाजू 180 is असून तिची उजवी बाजूही 180. आहे).

या समानतेत समान कोनात समावेश आहे पासून.

जर आपण समान मूल्यांमधून समान वजा केले तर ते तितकेच राहील. याचा निकाल असाः ∠अ = ∠बी, म्हणजे उभे उभे कोन एकमेकांच्या बरोबरीने आहेत.

3. सामान्य कोन असलेल्या कोनांची बेरीज.

रेखांकनात 79 ∠1, ∠2, ∠3 आणि ∠4 सरळ रेषेच्या एका बाजूला स्थित आहेत आणि या सरळ रेषेत एक सामान्य शिरोबिंदू आहे. एकत्रितपणे, हे कोन उपयोजित कोन बनवतात, म्हणजे.

∠1 + ∠2 + ∠3 + ∠4 \u003d 180 °.

रेखांकनात, 80 1, ∠2, ∠3, ∠4 आणि ∠5 मध्ये सामान्य शिरोबिंदू आहेत. हे कोन पूर्ण कोनात जोडतात, म्हणजे т1 + ∠2 + ∠3 + ∠4 + ∠5 \u003d 360 °.