अंकगणित म्हणजे सूत्र. दोनसाठी अंकगणित माध्य कसे शोधायचे आणि गणना करायची
) आणि नमुना माध्य (नमुने).
कॉलेजियट यूट्यूब
-
1 / 5
चला डेटा संच दर्शवूया X = (x 1 , x 2 , …, x n), नंतर नमुना सरासरी सहसा व्हेरिएबलच्या वरील क्षैतिज पट्टीने दर्शविला जातो (उच्चारित “ xएका ओळीसह ").
ग्रीक अक्षर μ संपूर्ण लोकसंख्येचा अंकगणित अर्थ दर्शविण्यासाठी वापरला जातो. यादृच्छिक व्हेरिएबलसाठी ज्याचे सरासरी मूल्य निश्चित केले जाते, μ आहे संभाव्य अर्थकिंवा यादृच्छिक व्हेरिएबलची गणिती अपेक्षा. जर सेट Xसंभाव्य माध्य random सह यादृच्छिक संख्यांचा संग्रह आहे, नंतर कोणत्याही नमुन्यासाठी x मीया संग्रहातून μ = E ( x मी) या नमुन्याची गणिती अपेक्षा आहे.
सराव मध्ये, आणि मध्ये फरक x ¯ (\ displaystyle (\ bar (x)))ते μ एक वैशिष्ट्यपूर्ण व्हेरिएबल आहे कारण आपण संपूर्ण लोकसंख्येऐवजी नमुना पाहू शकता. म्हणून, जर नमुना यादृच्छिक पद्धतीने (संभाव्यता सिद्धांताच्या दृष्टीने) सादर केला असेल तर x ¯ (\ displaystyle (\ bar (x)))(पण not नाही) नमुना वर संभाव्यता वितरणासह यादृच्छिक व्हेरिएबल म्हणून मानले जाऊ शकते (सरासरी संभाव्यता वितरण).
या दोन्ही प्रमाणांची गणना त्याच प्रकारे केली जाते:
x ¯ = 1 n ∑ i = 1 n x i = 1 n (x 1 + ⋯ + x n). (\ displaystyle (\ bar (x)) = (\ frac (1) (n)) \ sum _ (i = 1) ^ (n) x_ (i) = (\ frac (1) (n)) (x_ (1) + \ cdots + x_ (n)).)ची उदाहरणे
- तीन संख्यांसाठी, त्यांना जोडा आणि 3 ने विभाजित करा:
- चार संख्यांसाठी, त्यांना जोडा आणि 4 ने विभाजित करा:
किंवा अधिक फक्त 5 + 5 = 10, 10: 2. कारण आम्ही 2 संख्या जोडली, याचा अर्थ, आम्ही किती संख्या जोडतो, आम्ही तेवढे भाग करतो.
सतत यादृच्छिक चल
f (x) ¯ [a; b] = 1 b - a ∫ abf (x) dx (\ displaystyle (\ overline (f (x))) _ () = (\ frac (1) (ba)) \ int _ (a) ^ (b) f (x) dx)माध्य वापरण्याच्या काही समस्या
मजबुतीचा अभाव
जरी अंकगणित माध्यमाचा वापर सरासरी किंवा मध्यवर्ती ट्रेंड म्हणून केला जात असला तरी तो एक मजबूत आकडेवारी नाही, ज्याचा अर्थ असा की अंकगणित माध्य "मोठ्या विचलनां" द्वारे जोरदारपणे प्रभावित आहे. हे लक्षात घेण्यासारखे आहे की मोठ्या तिरकस गुणांक असलेल्या वितरणासाठी, अंकगणित माध्य "माध्य" च्या संकल्पनेशी जुळत नाही आणि मजबूत आकडेवारीतील सरासरी मूल्ये (उदाहरणार्थ, मध्य) मध्यवर्ती प्रवृत्तीचे अधिक चांगले वर्णन करू शकतात.
एक उत्कृष्ट उदाहरण म्हणजे सरासरी उत्पन्नाची गणना करणे. अंकगणित माध्यचा माध्यकाचा चुकीचा अर्थ लावला जाऊ शकतो, ज्यामुळे असा निष्कर्ष काढला जाऊ शकतो की प्रत्यक्षात जास्त उत्पन्न असलेले लोक आहेत. "सरासरी" उत्पन्नाचा अर्थ अशा प्रकारे केला जातो की बहुतेक लोकांचे उत्पन्न या संख्येच्या जवळ आहे. हे "क्षुद्र" (अंकगणित माध्यमाच्या अर्थाने) उत्पन्न बहुतेक लोकांच्या उत्पन्नापेक्षा जास्त आहे, कारण सरासरीपासून मोठ्या विचलनासह उच्च उत्पन्न अंकगणिताचा अर्थ जोरदारपणे तिरकस बनवते (याउलट, मध्यम उत्पन्न "प्रतिकार करते" पूर्वाग्रह). तथापि, हे "सरासरी" उत्पन्न सरासरी उत्पन्नाजवळ असलेल्या लोकांच्या संख्येबद्दल काहीही सांगत नाही (आणि मध्यम उत्पन्नाजवळ असलेल्या लोकांच्या संख्येबद्दल काहीही सांगत नाही). तरीसुद्धा, जर तुम्ही "सरासरी" आणि "बहुसंख्य लोकांच्या" संकल्पना हलके घेत असाल, तर तुम्ही चुकीचा निष्कर्ष काढू शकता की बहुतेक लोकांचे उत्पन्न त्यांच्यापेक्षा जास्त आहे. उदाहरणार्थ, मदिना, वॉशिंग्टनमधील "सरासरी" निव्वळ उत्पन्नावरील अहवाल, सर्व रहिवाशांच्या वार्षिक निव्वळ उत्पन्नाचे अंकगणित सरासरी म्हणून मोजले गेले, बिल गेट्समुळे आश्चर्यकारकपणे मोठी संख्या मिळेल. नमुना विचारात घ्या (1, 2, 2, 2, 3, 9). अंकगणित सरासरी 3.17 आहे, परंतु सहा पैकी पाच मूल्ये या सरासरीपेक्षा कमी आहेत.
चक्रवाढ व्याज
जर संख्या गुणाकार, पण नाही पट, आपल्याला भौमितिक माध्यमाचा वापर करणे आवश्यक आहे, अंकगणित माध्यमाचा नाही. बर्याचदा, ही घटना वित्त क्षेत्रातील गुंतवणूकीवरील परताव्याची गणना करताना उद्भवते.
उदाहरणार्थ, जर पहिल्या वर्षी साठा 10% ने कमी झाला आणि दुसऱ्या वर्षी 30% ने वाढला, तर या दोन वर्षात "सरासरी" वाढ अंकगणित माध्य म्हणून (-10% + 30%) मोजणे चुकीचे आहे. / 2 = 10%; या प्रकरणात योग्य सरासरी एकत्रित वार्षिक वाढ दराद्वारे दिली जाते, ज्यावर वार्षिक वाढ फक्त 8.16653826392% ≈ 8.2% आहे.
याचे कारण असे आहे की प्रत्येक वेळी टक्केवारीला नवीन प्रारंभ बिंदू असतो: 30% म्हणजे 30%. पहिल्या वर्षाच्या सुरुवातीला किंमतीपेक्षा कमी संख्येने:जर स्टॉक सुरुवातीला $ 30 वर होता आणि 10%घसरला तर तो दुसऱ्या वर्षाच्या सुरुवातीला $ 27 वर आहे. जर स्टॉक 30%वर असेल तर दुसऱ्या वर्षाच्या अखेरीस त्याची किंमत $ 35.1 आहे. या वाढीची अंकगणित सरासरी 10% आहे, परंतु स्टॉक 2 वर्षात फक्त $ 5.1 असल्याने, सरासरी 8.2% वाढ $ 35.1 चा अंतिम परिणाम देते:
[$ 30 (1 - 0.1) (1 + 0.3) = $ 30 (1 + 0.082) (1 + 0.082) = $ 35.1]. जर आपण 10% च्या अंकगणित माध्यमाचा वापर त्याच प्रकारे केला तर आपल्याला वास्तविक मूल्य मिळणार नाही: [$ 30 (1 + 0.1) (1 + 0.1) = $ 36.3].
वर्ष 2 च्या शेवटी चक्रवाढ व्याज: 90% * 130% = 117%, म्हणजे एकूण 17% वाढ आणि सरासरी वार्षिक चक्रवाढ व्याज 117% 8 108.2% (\ displaystyle (\ sqrt (117 \%)) \ अंदाजे 108.2 \%), म्हणजे 8.2% ची सरासरी वार्षिक वाढ .. ही संख्या दोन कारणांसाठी चुकीची आहे.
उपरोक्त सूत्राचा वापर करून गणना केलेल्या चक्रीय व्हेरिएबलचे सरासरी मूल्य कृत्रिमरित्या वास्तविक सरासरीपासून अंकीय श्रेणीच्या मध्यभागी हलवले जाईल. यामुळे, सरासरीची गणना वेगळ्या पद्धतीने केली जाते, म्हणजे, कमीतकमी भिन्नता (मध्य बिंदू) असलेली संख्या माध्य म्हणून निवडली जाते. तसेच, वजा करण्याऐवजी, मॉड्यूलर अंतर (म्हणजेच परिघीय अंतर) वापरले जाते. उदाहरणार्थ, 1 ° आणि 359 मधील मॉड्यूलर अंतर 2 ° आहे, 358 not नाही (359 ° आणि 360 ° == 0 ° दरम्यान एक वर्तुळावर, 0 ° आणि 1 ° दरम्यान - 1 डिग्री देखील, एकूण 1 - 2 °).
एक्सेलमध्ये सरासरी मूल्य शोधण्यासाठी (संख्यात्मक, मजकूर, टक्केवारी किंवा इतर मूल्य फरक पडत नाही) अनेक कार्ये आहेत. आणि त्या प्रत्येकाची स्वतःची वैशिष्ट्ये आणि फायदे आहेत. खरंच, या कार्यात काही अटी सेट केल्या जाऊ शकतात.
उदाहरणार्थ, एक्सेलमधील संख्यांच्या मालिकेची सरासरी मूल्ये सांख्यिकीय कार्ये वापरून मोजली जातात. आपण स्वतःचे स्वतःचे सूत्र देखील प्रविष्ट करू शकता. चला विविध पर्यायांचा विचार करूया.
संख्यांचे अंकगणित माध्य कसे शोधायचे?
अंकगणित माध्य शोधण्यासाठी, संचातील सर्व संख्या जोडा आणि बेरीज संख्येने विभाजित करा. उदाहरणार्थ, संगणक शास्त्रातील विद्यार्थ्यांचे ग्रेड: 3, 4, 3, 5, 5. एक चतुर्थांश पलीकडे काय जाते: 4. आम्हाला सूत्रानुसार अंकगणित अर्थ सापडला: = (3 + 4 + 3 + 5 + 5) / 5.
एक्सेल फंक्शन्ससह ते लवकर कसे करावे? उदाहरणार्थ, स्ट्रिंगमध्ये यादृच्छिक संख्यांची मालिका घ्या:
किंवा: सेल सक्रिय करूया आणि फक्त व्यक्तिचलितपणे सूत्र प्रविष्ट करा: = AVERAGE (A1: A8).
आता AVERAGE फंक्शन आणखी काय करू शकते ते पाहू.
पहिल्या दोन आणि शेवटच्या तीन संख्यांचे अंकगणित माध्य शोधा. सूत्र: = सरासरी (A1: B1; F1: H1). परिणाम:
अटीनुसार सरासरी
अंकगणित माध्य शोधण्याची अट संख्यात्मक निकष किंवा मजकूर असू शकते. आम्ही फंक्शन वापरू: = AVERAGEIF ().
10 पेक्षा जास्त किंवा समान संख्येचे अंकगणित माध्य शोधा.
कार्य: = सरासरी (A1: A8, "> = 10")
"> = 10" स्थितीनुसार AVERAGEIF फंक्शन वापरण्याचा परिणाम: तिसरा युक्तिवाद - "सरासरी श्रेणी" - वगळण्यात आला आहे. प्रथम, ते पर्यायी आहे. दुसरे म्हणजे, प्रोग्रामद्वारे विश्लेषण केलेल्या श्रेणीमध्ये केवळ संख्यात्मक मूल्ये असतात. पहिल्या युक्तिवादात निर्दिष्ट केलेल्या पेशी दुसऱ्या युक्तिवादात निर्दिष्ट केलेल्या स्थितीनुसार शोधल्या जातील.
लक्ष! शोध निकष सेलमध्ये निर्दिष्ट केला जाऊ शकतो. आणि सूत्रात त्याचा दुवा बनवा.
चला मजकुराच्या निकषानुसार संख्यांचे सरासरी मूल्य शोधूया. उदाहरणार्थ, "टेबल" उत्पादनाची सरासरी विक्री.
फंक्शन असे दिसेल: = AVERAGEIF ($ A $ 2: $ A $ 12; A7; $ B $ 2: $ B $ 12). श्रेणी - उत्पादनाच्या नावांसह एक स्तंभ. शोध निकष हा "टेबल" शब्दासह सेलचा दुवा आहे (आपण दुवा A7 ऐवजी "टेबल" शब्द स्वतः घालू शकता). सरासरी श्रेणी - त्या पेशी ज्यातून सरासरी काढण्यासाठी डेटा घेतला जाईल.
फंक्शनची गणना केल्याच्या परिणामी, आम्हाला खालील मूल्य मिळते:
लक्ष! मजकूर निकष (स्थिती) साठी, सरासरी श्रेणी निर्दिष्ट करणे आवश्यक आहे.
एक्सेलमध्ये भारित सरासरी किंमत कशी मोजावी?
भारित सरासरी किंमत आम्हाला कशी कळली?
सूत्र: = SUMPRODUCT (C2: C12; B2: B12) / SUM (C2: C12).
SUMPRODUCT सूत्र वापरून, संपूर्ण मालाच्या विक्रीनंतर आम्हाला एकूण महसूल मिळतो. आणि SUM फंक्शन मालाचे प्रमाण सांगते. उत्पादनाच्या एकूण युनिट्सच्या संख्येद्वारे उत्पादनाच्या विक्रीतून एकूण महसूल विभागून, आम्हाला भारित सरासरी किंमत सापडली. हे सूचक प्रत्येक किंमतीचे "वजन" विचारात घेते. मूल्यांच्या एकूण वस्तुमानात त्याचा वाटा.
मानक विचलन: एक्सेल मधील सूत्र
सामान्य लोकसंख्येसाठी आणि नमुन्यासाठी मानक विचलनामध्ये फरक करा. पहिल्या प्रकरणात, हे सामान्य भिन्नतेचे मूळ आहे. दुसऱ्या मध्ये, नमुना विचरण पासून.
या आकडेवारीची गणना करण्यासाठी, एक भिन्नता सूत्र संकलित केले आहे. त्यातून मूळ काढले जाते. परंतु मानक विचलन शोधण्यासाठी एक्सेलमध्ये रेडीमेड फंक्शन आहे.
मानक विचलन मूळ डेटाच्या स्केलशी जोडलेले आहे. विश्लेषण केलेल्या श्रेणीच्या भिन्नतेचे लाक्षणिक प्रतिनिधित्व करण्यासाठी हे पुरेसे नाही. भिन्नतेचा गुणांक डेटा भिन्नतेचा सापेक्ष स्तर प्राप्त करण्यासाठी मोजला जातो:
मानक विचलन / अंकगणित माध्य
एक्सेल मधील सूत्र असे दिसते:
STDEVP (मूल्य श्रेणी) / सरासरी (मूल्य श्रेणी).
भिन्नतेचा गुणांक टक्केवारी म्हणून मोजला जातो. म्हणून, आम्ही सेलमध्ये टक्केवारीचे स्वरूप सेट केले.
गणितात, संख्यांचे अंकगणित माध्य (किंवा फक्त सरासरी) म्हणजे दिलेल्या संचातील सर्व संख्यांची बेरीज, त्यांच्या संख्येने विभागली जाते. ही सरासरीची सर्वात सामान्य आणि व्यापक संकल्पना आहे. जसे आपण आधीच समजले आहे, शोधण्यासाठी आपल्याला दिलेल्या सर्व संख्यांची बेरीज करणे आवश्यक आहे आणि निकालांना अटींच्या संख्येने विभाजित करणे आवश्यक आहे.
अंकगणित म्हणजे काय?
एक उदाहरण घेऊ.
उदाहरण 1... दिलेल्या संख्या: 6, 7, 11. आपल्याला त्यांचे सरासरी मूल्य शोधणे आवश्यक आहे.
उपाय.
प्रथम, या सर्व संख्यांची बेरीज शोधूया.
आता परिणामी बेरीज अटींच्या संख्येने विभाजित करू. आमच्याकडे अनुक्रमे तीन संज्ञा असल्याने, आम्ही तीन ने भागू.
म्हणून, 6, 7 आणि 11 या संख्यांची सरासरी 8. नक्की 8 का? कारण 6, 7 आणि 11 ची बेरीज तीन अष्टांसारखीच असेल. हे चित्रात स्पष्टपणे दिसून येते.
सरासरी काही प्रमाणात संख्यांच्या मालिकेच्या "संरेखन" सारखीच असते. जसे आपण पाहू शकता, पेन्सिलचे ढीग एक स्तर बनले आहेत.
मिळवलेले ज्ञान एकत्रित करण्यासाठी आणखी एका उदाहरणाचा विचार करूया.
उदाहरण 2.दिलेल्या संख्या: 3, 7, 5, 13, 20, 23, 39, 23, 40, 23, 14, 12, 56, 23, 29. तुम्हाला त्यांचा अंकगणित माध्य शोधणे आवश्यक आहे.
उपाय.
आम्हाला रक्कम सापडते.
3 + 7 + 5 + 13 + 20 + 23 + 39 + 23 + 40 + 23 + 14 + 12 + 56 + 23 + 29 = 330
अटींच्या संख्येने विभाजित करा (या प्रकरणात - 15).
म्हणून, संख्यांच्या या मालिकेचे सरासरी मूल्य 22 आहे.
आता नकारात्मक संख्या पाहू. त्यांचा सारांश कसा द्यावा हे लक्षात ठेवूया. उदाहरणार्थ, आपल्याकडे दोन संख्या 1 आणि -4 आहेत. चला त्यांची बेरीज शोधूया.
1 + (-4) = 1 - 4 = -3
हे लक्षात घेऊन, आणखी एक उदाहरण विचारात घ्या.
उदाहरण 3.संख्यांच्या मालिकेचे सरासरी मूल्य शोधा: 3, -7, 5, 13, -2.
उपाय.
संख्यांची बेरीज शोधा.
3 + (-7) + 5 + 13 + (-2) = 12
5 अटी असल्याने, आम्ही परिणामी बेरीज 5 ने विभाजित करतो.
म्हणून, 3, -7, 5, 13, -2 संख्यांचे अंकगणित माध्य 2.4 आहे.
आमच्या तांत्रिक प्रगतीच्या काळात, सरासरी मूल्य शोधण्यासाठी संगणक प्रोग्राम वापरणे अधिक सोयीचे आहे. मायक्रोसॉफ्ट ऑफिस एक्सेल त्यापैकी एक आहे. एक्सेलमध्ये सरासरी शोधणे जलद आणि सोपे आहे. शिवाय, हा प्रोग्राम मायक्रोसॉफ्ट ऑफिस सॉफ्टवेअर पॅकेजमध्ये समाविष्ट आहे. एक संक्षिप्त सूचना विचारात घ्या, याचा अर्थ हा प्रोग्राम वापरणे.
संख्यांच्या मालिकेच्या सरासरी मूल्याची गणना करण्यासाठी, आपण AVERAGE फंक्शन वापरणे आवश्यक आहे. या कार्यासाठी वाक्यरचना आहे:
= सरासरी (तर्क 1, तर्क 2, ... तर्क 255)
जेथे तर्क 1, वितर्क 2, ... तर्क 255 एकतर संख्या किंवा सेल संदर्भ आहेत (पेशी म्हणजे श्रेणी आणि अॅरे).ते अधिक स्पष्ट करण्यासाठी, मिळवलेले ज्ञान वापरून पाहू.
- C1 - C6 सेलमध्ये 11, 12, 13, 14, 15, 16 संख्या प्रविष्ट करा.
- त्यावर क्लिक करून सेल C7 निवडा. या सेलमध्ये, आम्ही सरासरी मूल्य प्रदर्शित करू.
- फॉर्म्युला टॅबवर क्लिक करा.
- अधिक कार्ये> उघडण्यासाठी सांख्यिकी निवडा
- सरासरी निवडा. त्यानंतर, एक संवाद बॉक्स उघडला पाहिजे.
- डायलॉग बॉक्समध्ये रेंज सेट करण्यासाठी C1-C6 सेल निवडा आणि ड्रॅग करा.
- "ओके" की सह आपल्या कृतींची पुष्टी करा.
- जर आपण सर्वकाही योग्यरित्या केले असेल तर, सेल C7 मध्ये आपल्याकडे उत्तर असावे - 13.7. जेव्हा आपण सेल C7 वर क्लिक करता, तेव्हा फंक्शन (= सरासरी (C1: C6)) फॉर्म्युला बारमध्ये प्रदर्शित होईल.
हे फंक्शन अकाउंटिंग, इन्व्हॉइसिंगसाठी किंवा जेव्हा आपल्याला फक्त संख्यांच्या खूप लांब मालिकेची सरासरी शोधण्याची आवश्यकता असते तेव्हा वापरणे खूप सोयीचे आहे. म्हणून, हे सहसा कार्यालये आणि मोठ्या कंपन्यांमध्ये वापरले जाते. हे आपल्याला रेकॉर्ड व्यवस्थित ठेवण्याची परवानगी देते आणि एखाद्या गोष्टीची त्वरीत गणना करणे शक्य करते (उदाहरणार्थ, दरमहा सरासरी उत्पन्न). तसेच, एक्सेल वापरून, आपण फंक्शनचे सरासरी मूल्य शोधू शकता.
तीन मुले बेरीसाठी जंगलात गेली. मोठ्या मुलीला 18 बेरी, मधली एक - 15, आणि लहान भाऊ - 3 बेरी सापडली (चित्र 1 पहा). त्यांनी बेरी माझ्या आईकडे आणल्या, ज्याने बेरी समान प्रमाणात विभागण्याचा निर्णय घेतला. प्रत्येक मुलाला किती बेरी मिळाल्या?
भात. 1. समस्येचे उदाहरण
उपाय
(yag.) - मुलांनी सर्व काही गोळा केले
2) एकूण बेरींची संख्या मुलांच्या संख्येने विभाजित करा:
(yag.) प्रत्येक मूल मिळाले
उत्तर: प्रत्येक मुलाला 12 बेरी मिळतील.
समस्या 1 मध्ये, उत्तरामध्ये मिळालेली संख्या अंकगणित माध्य आहे.
अंकगणित माध्यअनेक संख्यांना या संख्यांच्या बेरजेला त्यांच्या संख्येने विभाजित करण्याचे भाग म्हणतात.
उदाहरण 1
आपल्याकडे दोन संख्या आहेत: 10 आणि 12. त्यांचे अंकगणित माध्य शोधा.
उपाय
1) या संख्यांची बेरीज निश्चित करा:.
2) या संख्यांची संख्या 2 आहे, म्हणून, या संख्यांचा अंकगणित अर्थ आहे:.
उत्तर: 10 आणि 12 चे अंकगणित सरासरी 11 आहे.
उदाहरण 2
आपल्याकडे पाच संख्या आहेत: 1, 2, 3, 4 आणि 5. त्यांचे अंकगणित माध्य शोधा.
उपाय
1) या संख्यांची बेरीज आहे:.
2) व्याख्येनुसार, अंकगणित माध्य म्हणजे संख्यांची बेरीज त्यांच्या संख्येने विभाजित करण्याचा भाग आहे. आमच्याकडे पाच संख्या आहेत, म्हणून अंकगणित म्हणजे:
उत्तर: संख्यांच्या स्थितीतील डेटाचे अंकगणित माध्य 3 आहे.
वर्गात सतत शोधणे सुचवले जाते या व्यतिरिक्त, अंकगणित माध्य शोधणे रोजच्या जीवनात खूप उपयुक्त आहे. उदाहरणार्थ, समजा आम्हाला सुट्टीत ग्रीसला जायचे आहे. योग्य कपडे निवडण्यासाठी, आम्ही या देशातील सध्याचे तापमान पाहतो. तथापि, आम्हाला हवामानाचे सामान्य चित्र माहित नाही. म्हणून, ग्रीसमधील हवेचे तापमान शोधणे आवश्यक आहे, उदाहरणार्थ, एका आठवड्यासाठी आणि या तापमानांचे अंकगणित माध्य शोधणे.
उदाहरण 3
आठवड्यासाठी ग्रीसमधील तापमान: सोमवार -; मंगळवार -; बुधवार -; गुरुवार -; शुक्रवार -; शनिवार -; रविवार -. आठवड्याच्या सरासरी तापमानाची गणना करा.
उपाय
1) तापमानाची बेरीज करूया:.
2) मिळालेल्या रकमेला दिवसांच्या संख्येने विभाजित करा:.
उत्तर: सरासरी साप्ताहिक तापमान अंदाजे.
फुटबॉल संघातील खेळाडूंचे सरासरी वय निश्चित करण्यासाठी अंकगणित माध्य शोधण्याची क्षमता देखील आवश्यक असू शकते, म्हणजे संघ अनुभवी आहे की नाही हे स्थापित करण्यासाठी. सर्व खेळाडूंच्या वयाची बेरीज करणे आणि त्यांच्या संख्येने भाग करणे आवश्यक आहे.
समस्या 2
व्यापारी सफरचंद विकत होता. सुरुवातीला, त्याने त्यांना प्रति 1 किलो 85 रूबलच्या किंमतीत विकले. त्यामुळे त्याने 12 किलो विकले. मग त्याने किंमत 65 रूबल पर्यंत कमी केली आणि उर्वरित 4 किलो सफरचंद विकले. सफरचंदांची सरासरी किंमत किती होती?
उपाय
1) व्यापाऱ्याने एकूण किती पैसे कमावले याची गणना करूया. त्याने 12 किलोग्राम प्रति 1 किलो 85 रूबलच्या किंमतीवर विकले:
(घासणे.).त्याने प्रति 1 किलो 65 रूबलच्या किंमतीवर 4 किलोग्राम विकले: (रूबल).
म्हणून, कमावलेल्या पैशांची एकूण रक्कम समान आहे: (रूबल).
2) विकल्या गेलेल्या सफरचंदांचे एकूण वजन:.
3) मिळालेल्या रकमेची विक्री केलेल्या सफरचंदांच्या एकूण वजनाद्वारे विभाजन करा आणि सरासरी किंमत 1 किलो सफरचंद मिळवा: (रूबल).
उत्तर: 1 किलो सफरचंदांची सरासरी किंमत 80 रूबल आहे.
अंकगणित माध्यमामुळे प्रत्येक मूल्य स्वतंत्रपणे न घेता संपूर्ण डेटाचे मूल्यमापन करण्यास मदत होते.
तथापि, अंकगणित माध्यमाची संकल्पना वापरणे नेहमीच शक्य नसते.
उदाहरण 4
नेमबाजाने लक्ष्यवर दोन गोळ्या झाडल्या (चित्र 2 पहा): पहिल्यांदा त्याने लक्ष्यापेक्षा एक मीटर उंच, आणि दुसरा एक - एक मीटर कमी मारला. अंकगणित अर्थ दर्शवेल की त्याने अचूक केंद्रावर दाबा, जरी तो दोन्ही वेळा चुकला.
भात. 2. उदाहरणासाठी उदाहरण
या धड्यात आपण अंकगणित माध्य या संकल्पनेशी परिचित झालो. आम्ही या संकल्पनेची व्याख्या शिकलो, अनेक संख्यांसाठी अंकगणित माध्य कसे काढायचे ते शिकलो. आम्ही या संकल्पनेचा व्यावहारिक उपयोग देखील शिकलो.
- एन. विलेन्किन. गणित: पाठ्यपुस्तक. 5 सीएल साठी सामान्य uchr - एड. 17 वा. - एम .: मनेमोसिना, 2005. )
- इगोरकडे 45 रूबल होते, आंद्रे - 28, आणि डेनिस - 17.
- त्यांच्या सर्व पैशांनी, त्यांनी 3 सिनेमाची तिकिटे खरेदी केली. एका तिकिटाची किंमत किती होती?
जेव्हा स्थिर यादृच्छिक प्रक्रियेच्या संख्यांच्या घटकांची संख्या अनंततेकडे जाते, तेव्हा अंकगणित माध्य यादृच्छिक चलनाच्या गणिती अपेक्षेकडे झुकते.
प्रस्तावना
आम्ही संख्यांचा संच दर्शवतो X = (x 1 , x 2 , …, x n), नंतर नमुना सरासरी सहसा व्हेरिएबलच्या वरील क्षैतिज पट्टीने दर्शविला जातो (उच्चारित “ xएका ओळीसह ").
ग्रीक अक्षर usually सहसा संख्यांच्या संपूर्ण संचाचे अंकगणित माध्य दर्शविण्यासाठी वापरले जाते. यादृच्छिक व्हेरिएबलसाठी ज्याचे सरासरी मूल्य निश्चित केले जाते, μ आहे संभाव्य अर्थकिंवा यादृच्छिक व्हेरिएबलची गणिती अपेक्षा. जर सेट Xसंभाव्य माध्य random सह यादृच्छिक संख्यांचा संग्रह आहे, नंतर कोणत्याही नमुन्यासाठी x मीया संग्रहातून μ = E ( x मी) या नमुन्याची गणिती अपेक्षा आहे.
सराव मध्ये, आणि मध्ये फरक x ¯ (\ displaystyle (\ bar (x)))ते μ एक वैशिष्ट्यपूर्ण व्हेरिएबल आहे कारण आपण संपूर्ण लोकसंख्येऐवजी नमुना पाहू शकता. म्हणून, जर नमुना यादृच्छिकपणे (संभाव्यता सिद्धांताच्या दृष्टीने) सादर केला असेल तर x ¯ (\ displaystyle (\ bar (x)))(पण not नाही) नमुना वर संभाव्यता वितरणासह यादृच्छिक व्हेरिएबल म्हणून मानले जाऊ शकते (सरासरी संभाव्यता वितरण).
या दोन्ही प्रमाणांची गणना त्याच प्रकारे केली जाते:
x ¯ = 1 n ∑ i = 1 n x i = 1 n (x 1 + ⋯ + x n). (\ displaystyle (\ bar (x)) = (\ frac (1) (n)) \ sum _ (i = 1) ^ (n) x_ (i) = (\ frac (1) (n)) (x_ (1) + \ cdots + x_ (n)).)ची उदाहरणे
- तीन संख्यांसाठी, त्यांना जोडा आणि 3 ने विभाजित करा:
- चार संख्यांसाठी, त्यांना जोडा आणि 4 ने विभाजित करा:
सतत यादृच्छिक चल
जर काही फंक्शनचा अविभाज्य भाग असेल f (x) (\ displaystyle f (x))एक व्हेरिएबल, नंतर मध्यांतर या फंक्शनचे अंकगणित माध्य [अ; ब] (\ प्रदर्शन शैली)निश्चित अविभाज्य दृष्टीने परिभाषित:
f (x) ¯ [a; b] = 1 b - a ∫ a b f (x) d x. (\ displaystyle (\ overline (f (x))) _ () = (\ frac (1) (b-a)) \ int _ (a) ^ (b) f (x) dx.)याचा अर्थ असा होतो b> अ. (\ displaystyle b> a.)
माध्य वापरण्याच्या काही समस्या
मजबुतीचा अभाव
जरी अंकगणित अर्थ सहसा सरासरी किंवा मध्यवर्ती ट्रेंड म्हणून वापरला जात असला तरी, तो एक मजबूत आकडेवारी नाही, याचा अर्थ असा की अंकगणित माध्य "मोठ्या विचलना" द्वारे जोरदारपणे प्रभावित आहे. हे लक्षात घेण्यासारखे आहे की मोठ्या तिरकस गुणांक असलेल्या वितरणासाठी, अंकगणित माध्य "माध्य" च्या संकल्पनेशी जुळत नाही आणि मजबूत आकडेवारीतील सरासरी मूल्ये (उदाहरणार्थ, मध्य) मध्यवर्ती प्रवृत्तीचे अधिक चांगले वर्णन करू शकतात.
एक उत्कृष्ट उदाहरण म्हणजे सरासरी उत्पन्नाची गणना करणे. अंकगणित माध्यचा माध्यकाचा चुकीचा अर्थ लावला जाऊ शकतो, ज्यामुळे असा निष्कर्ष काढला जाऊ शकतो की प्रत्यक्षात जास्त उत्पन्न असलेले लोक आहेत. "सरासरी" उत्पन्नाचा अर्थ अशा प्रकारे केला जातो की बहुतेक लोकांचे उत्पन्न या संख्येच्या जवळ आहे. हे "क्षुद्र" (अंकगणित माध्यमाच्या अर्थाने) उत्पन्न बहुतेक लोकांच्या उत्पन्नापेक्षा जास्त आहे, कारण सरासरीपासून मोठ्या विचलनासह उच्च उत्पन्न अंकगणिताचा अर्थ जोरदारपणे तिरकस बनवते (याउलट, मध्यम उत्पन्न "प्रतिकार करते" पूर्वाग्रह). तथापि, हे "सरासरी" उत्पन्न सरासरी उत्पन्नाजवळ असलेल्या लोकांच्या संख्येबद्दल काहीही सांगत नाही (आणि मध्यम उत्पन्नाजवळ असलेल्या लोकांच्या संख्येबद्दल काहीही सांगत नाही). तरीसुद्धा, जर तुम्ही "सरासरी" आणि "बहुसंख्य लोकांच्या" संकल्पना हलके घेत असाल, तर तुम्ही चुकीचा निष्कर्ष काढू शकता की बहुतेक लोकांचे उत्पन्न त्यांच्यापेक्षा जास्त आहे. उदाहरणार्थ, मदिना, वॉशिंग्टनमधील "सरासरी" निव्वळ उत्पन्नावरील अहवाल, सर्व रहिवाशांच्या वार्षिक निव्वळ उत्पन्नाचे अंकगणित सरासरी म्हणून मोजले गेले, बिल गेट्समुळे आश्चर्यकारकपणे मोठी संख्या मिळेल. नमुना विचारात घ्या (1, 2, 2, 2, 3, 9). अंकगणित सरासरी 3.17 आहे, परंतु सहा पैकी पाच मूल्ये या सरासरीपेक्षा कमी आहेत.
चक्रवाढ व्याज
जर संख्या गुणाकार, पण नाही पट, आपल्याला भौमितिक माध्यमाचा वापर करणे आवश्यक आहे, अंकगणित माध्यमाचा नाही. बर्याचदा, ही घटना वित्त क्षेत्रातील गुंतवणूकीवरील परताव्याची गणना करताना उद्भवते.
उदाहरणार्थ, जर पहिल्या वर्षी साठा 10% ने कमी झाला आणि दुसऱ्या वर्षी 30% ने वाढला, तर या दोन वर्षात "सरासरी" वाढ अंकगणित माध्य म्हणून (-10% + 30%) मोजणे चुकीचे आहे. / 2 = 10%; या प्रकरणात योग्य सरासरी एकत्रित वार्षिक वाढ दराद्वारे दिली जाते, ज्यावर वार्षिक वाढ फक्त 8.16653826392% ≈ 8.2% आहे.
याचे कारण असे आहे की प्रत्येक वेळी टक्केवारीला नवीन प्रारंभ बिंदू असतो: 30% म्हणजे 30%. पहिल्या वर्षाच्या सुरुवातीला किंमतीपेक्षा कमी संख्येने:जर स्टॉक सुरुवातीला $ 30 वर होता आणि 10%घसरला तर तो दुसऱ्या वर्षाच्या सुरुवातीला $ 27 वर आहे. जर स्टॉक 30%वर असेल तर दुसऱ्या वर्षाच्या अखेरीस त्याची किंमत $ 35.1 आहे. या वाढीची अंकगणित सरासरी 10% आहे, परंतु स्टॉक 2 वर्षात फक्त $ 5.1 असल्याने, सरासरी 8.2% वाढ $ 35.1 चा अंतिम परिणाम देते:
[$ 30 (1 - 0.1) (1 + 0.3) = $ 30 (1 + 0.082) (1 + 0.082) = $ 35.1]. जर आपण 10% च्या अंकगणित माध्यमाचा वापर त्याच प्रकारे केला तर आपल्याला वास्तविक मूल्य मिळणार नाही: [$ 30 (1 + 0.1) (1 + 0.1) = $ 36.3].
वर्ष 2 च्या शेवटी चक्रवाढ व्याज: 90% * 130% = 117%, म्हणजे एकूण 17% वाढ आणि सरासरी वार्षिक चक्रवाढ व्याज 117% 8 108.2% (\ displaystyle (\ sqrt (117 \%)) \ अंदाजे 108.2 \%), म्हणजे, सरासरी वार्षिक वाढ 8.2%.
दिशानिर्देश
मुख्य लेख: गंतव्य आकडेवारी
काही व्हेरिएबलच्या अंकगणित माध्यची गणना करताना विशेष काळजी घेतली पाहिजे जी चक्रीय बदलते (उदाहरणार्थ, टप्पा किंवा कोन). उदाहरणार्थ, संख्या 1 आणि 359 ची सरासरी असेल 1 ∘ + 359 ∘ 2 = (\ displaystyle (\ frac (1 ^ (\ circ) +359 ^ (\ circ)) (2)) =) 180. ही संख्या दोन कारणांसाठी चुकीची आहे.
उपरोक्त सूत्राचा वापर करून गणना केलेल्या चक्रीय व्हेरिएबलचे सरासरी मूल्य कृत्रिमरित्या वास्तविक सरासरीपासून अंकीय श्रेणीच्या मध्यभागी हलवले जाईल. यामुळे, सरासरीची गणना वेगळ्या पद्धतीने केली जाते, म्हणजे, कमीतकमी भिन्नता (मध्य बिंदू) असलेली संख्या माध्य म्हणून निवडली जाते. तसेच, वजा करण्याऐवजी, मॉड्यूलर अंतर (म्हणजेच परिघीय अंतर) वापरले जाते. उदाहरणार्थ, 1 ° आणि 359 मधील मॉड्यूलर अंतर 2 ° आहे, 358 not नाही (359 ° आणि 360 ° == 0 ° दरम्यान एक वर्तुळावर, 0 ° आणि 1 ° दरम्यान - 1 डिग्री देखील, एकूण 1 - 2 °).
