- हा एक पॉलीहेड्रॉन आहे, जो पिरॅमिडच्या पाया आणि त्याच्या समांतर विभागाद्वारे तयार होतो. आपण असे म्हणू शकतो की कापलेला पिरॅमिड हा एक कापलेला शीर्ष असलेला पिरॅमिड आहे. या आकारात अनेक अद्वितीय गुणधर्म आहेत:

• पिरॅमिडच्या बाजूचे चेहरे ट्रॅपेझियम आहेत;
• नियमित कापलेल्या पिरॅमिडच्या बाजूकडील फासळ्या समान लांबीच्या असतात आणि त्याच कोनात पायाकडे झुकलेल्या असतात;
• पाया बहुभुज सारखे आहेत;
• नियमित कापलेल्या पिरॅमिडमध्ये, चेहरे एकसारखे समद्विभुज ट्रॅपेझॉइड असतात, ज्याचे क्षेत्रफळ समान असते. ते त्याच कोनात पायाकडे झुकलेले देखील आहेत.

कापलेल्या पिरॅमिडच्या पार्श्व पृष्ठभागाच्या क्षेत्राचे सूत्र त्याच्या बाजूंच्या क्षेत्रांची बेरीज आहे:

कापलेल्या पिरॅमिडच्या बाजू ट्रॅपेझॉइड असल्याने, तुम्हाला पॅरामीटर्सची गणना करण्यासाठी सूत्र वापरावे लागेल ट्रॅपेझॉइडचे क्षेत्र... योग्य कापलेल्या पिरॅमिडसाठी, तुम्ही वेगळे क्षेत्र सूत्र लागू करू शकता. त्याच्या सर्व बाजू, चेहरे आणि पायथ्यावरील कोन समान असल्याने, तुम्ही बेस आणि एपोथेमचे परिमिती लागू करू शकता आणि पायावरील कोनातून क्षेत्रफळ देखील काढू शकता.

जर, नियमित कापलेल्या पिरॅमिडमधील परिस्थितीनुसार, एपोथेम (पार्श्व बाजूची उंची) आणि पायाच्या बाजूंची लांबी दिली असेल, तर क्षेत्रफळाच्या बेरजेच्या अर्ध्या-उत्पादनाद्वारे मोजले जाऊ शकते. तळ आणि अपोथेमचे परिमिती:

कापलेल्या पिरॅमिडच्या पार्श्व पृष्ठभागाच्या क्षेत्रफळाची गणना करण्याचे उदाहरण पाहू.
नियमित पंचकोनी पिरॅमिड दिलेला आहे. अपोथेम l= 5 सेमी, मोठ्या पायामध्ये चेहऱ्याची लांबी आहे a= 6 सेमी, आणि लहान बेस मध्ये धार b= 4 सेमी. कापलेल्या पिरॅमिडच्या क्षेत्रफळाची गणना करा.

प्रथम, पायाचे परिमिती शोधू. आम्हाला पंचकोनी पिरॅमिड दिलेला असल्याने, आम्ही समजतो की तळ पंचकोन आहेत. याचा अर्थ असा की पायावर पाच समान बाजू असलेली आकृती आहे. मोठ्या पायाची परिमिती शोधा:

त्याच प्रकारे, आम्हाला लहान बेसची परिमिती सापडते:

आता आपण योग्य कापलेल्या पिरॅमिडचे क्षेत्रफळ काढू शकतो. आम्ही डेटाला सूत्रामध्ये बदलतो:

अशा प्रकारे, आम्ही परिमिती आणि अपोथेमद्वारे नियमित कापलेल्या पिरॅमिडचे क्षेत्रफळ मोजले.

नियमित पिरॅमिडच्या पार्श्व पृष्ठभागाच्या क्षेत्रफळाची गणना करण्याचा आणखी एक मार्ग म्हणजे सूत्र पायथ्यावरील कोपऱ्यांमधून आणि या अगदी तळांचे क्षेत्रफळ.

चला मोजणीचे उदाहरण पाहू या. लक्षात ठेवा की हे सूत्र फक्त नियमित कापलेल्या पिरॅमिडला लागू होते.

नियमित चतुर्भुज पिरॅमिड द्या. खालच्या पायाची धार a = 6 सेमी आहे, आणि वरच्या पायाची धार b = 4 सेमी आहे. पायथ्यावरील डायहेड्रल कोन β = 60 ° आहे. नियमित कापलेल्या पिरॅमिडचे पार्श्व पृष्ठभाग शोधा.

प्रथम, बेसचे क्षेत्रफळ काढू. पिरॅमिड बरोबर असल्याने, तळांचे सर्व चेहरे एकमेकांना समान आहेत. पायावर एक चतुर्भुज आहे हे लक्षात घेऊन, आम्ही समजतो की गणना करणे आवश्यक आहे चौरस क्षेत्र... हे रुंदी आणि लांबीचे उत्पादन आहे, परंतु ही मूल्ये समान वर्ग आहेत. मोठ्या बेसचे क्षेत्र शोधा:


आता आपण पार्श्व पृष्ठभागाच्या क्षेत्रफळाची गणना करण्यासाठी सापडलेली मूल्ये वापरतो.

काही सोपी सूत्रे जाणून घेतल्याने, आम्ही विविध मूल्यांद्वारे कापलेल्या पिरॅमिडच्या पार्श्व ट्रॅपेझियमचे क्षेत्रफळ सहजपणे मोजले.

पिरॅमिड. कापलेला पिरॅमिड

पिरॅमिडयाला पॉलिहेड्रॉन म्हणतात, ज्याचा एक चेहरा बहुभुज आहे ( पाया ), आणि इतर सर्व चेहरे एक सामान्य शिरोबिंदू असलेले त्रिकोण आहेत ( बाजूचे चेहरे ) (अंजीर 15). पिरॅमिड म्हणतात योग्य , जर त्याचा पाया नियमित बहुभुज असेल आणि पिरॅमिडचा वरचा भाग बेसच्या मध्यभागी प्रक्षेपित असेल (चित्र 16). त्रिकोणी पिरॅमिड ज्यामध्ये सर्व कडा समान असतात त्याला म्हणतात टेट्राहेड्रॉन .

बाजूची बरगडीपिरॅमिड ही बाजूच्या चेहऱ्याची बाजू आहे जी बेसशी संबंधित नाही उंची पिरॅमिडला त्याच्या वरपासून बेसच्या समतल अंतर म्हणतात. नियमित पिरॅमिडच्या सर्व बाजूकडील कडा एकमेकांच्या समान असतात, सर्व बाजूकडील कडा समद्विभुज त्रिकोण असतात. वरून काढलेल्या नियमित पिरॅमिडच्या बाजूच्या चेहऱ्याच्या उंचीला म्हणतात apothem . कर्ण विभाग पिरॅमिडच्या भागाला एका चेहऱ्याशी संबंधित नसलेल्या दोन बाजूच्या कडांमधून जाणारे विमान असे म्हणतात.

बाजूकडील पृष्ठभागाचे क्षेत्रफळपिरॅमिडला सर्व बाजूंच्या चेहऱ्यांच्या क्षेत्रांची बेरीज म्हणतात. संपूर्ण पृष्ठभागाचे क्षेत्रफळ सर्व बाजूचे चेहरे आणि पाया यांच्या क्षेत्रांची बेरीज म्हणतात.

प्रमेये

1. जर पिरॅमिडमध्ये सर्व बाजूकडील कडा बेसच्या समतलाकडे सारख्याच झुकलेल्या असतील, तर पिरॅमिडचा वरचा भाग पायाभोवती परिक्रमा केलेल्या वर्तुळाच्या मध्यभागी प्रक्षेपित केला जातो.

2. जर पिरॅमिडमध्ये सर्व बाजूंच्या कडांची लांबी समान असेल, तर पिरॅमिडचा वरचा भाग पायाभोवती परिक्रमा केलेल्या वर्तुळाच्या मध्यभागी प्रक्षेपित केला जातो.

3. जर पिरॅमिडमध्ये सर्व चेहरे बेसच्या समतलाकडे सारखेच झुकलेले असतील, तर पिरॅमिडचा वरचा भाग बेसमध्ये कोरलेल्या वर्तुळाच्या मध्यभागी प्रक्षेपित केला जातो.

अनियंत्रित पिरॅमिडच्या व्हॉल्यूमची गणना करण्यासाठी, खालील सूत्र योग्य आहे:

कुठे व्ही- खंड;

एस मुख्य- बेस क्षेत्र;

एच- पिरॅमिडची उंची.

योग्य पिरॅमिडसाठी, सूत्रे बरोबर आहेत:

कुठे p- बेस परिमिती;

h a- अपोथेम;

एच- उंची;

एस पूर्ण

एस बाजू

एस मुख्य- बेस क्षेत्र;

व्ही- योग्य पिरॅमिडची मात्रा.

कापलेला पिरॅमिडपिरॅमिडचा भाग म्हणतात, जो पिरॅमिडच्या पायथ्याशी समांतर असलेल्या पायथ्याशी आणि सेकंट प्लेनमध्ये बंद आहे (चित्र 17). नियमित कापलेला पिरॅमिड याला नियमित पिरॅमिडचा भाग म्हणतात, जो पिरॅमिडच्या पायथ्याशी समांतर तळ आणि सेकंट प्लेनमध्ये बंद असतो.

पायाकापलेले पिरॅमिड - समान बहुभुज. बाजूचे चेहरे - ट्रॅपेझॉइड. उंची एक कापलेला पिरॅमिड म्हणजे त्याच्या तळांमधील अंतर. कर्णरेषा कापलेल्या पिरॅमिडला त्याच्या शिरोबिंदूंना जोडणारा भाग असे म्हणतात जे एकाच चेहऱ्यावर नसतात. कर्ण विभाग कापलेल्या पिरॅमिडच्या एका भागाला एका चेहऱ्याशी संबंधित नसलेल्या दोन बाजूच्या कडांमधून जाणारे विमान असे म्हणतात.

कापलेल्या पिरॅमिडसाठी, खालील सूत्रे वैध आहेत:

(4)

कुठे एस 1 , एस 2 - वरच्या आणि खालच्या तळांचे क्षेत्र;

एस पूर्ण- एकूण पृष्ठभाग क्षेत्र;

एस बाजू- बाजूकडील पृष्ठभाग क्षेत्र;

एच- उंची;

व्ही- कापलेल्या पिरॅमिडची मात्रा.

योग्य कापलेल्या पिरॅमिडसाठी, सूत्र योग्य आहे:

कुठे p 1 , p 2 - तळांच्या परिमिती;

h a- नियमित कापलेल्या पिरॅमिडचे अपोथेम.

उदाहरण १.नियमित त्रिकोणी पिरॅमिडमध्ये, पायथ्यावरील डायहेड्रल कोन 60º असतो. पायाच्या समतल बाजूच्या काठाच्या झुकाव कोनाची स्पर्शिका शोधा.

उपाय.चला एक रेखाचित्र बनवूया (अंजीर 18).

पिरॅमिड नियमित आहे, म्हणून पायावर एक समभुज त्रिकोण आहे आणि सर्व बाजूचे चेहरे समान समद्विभुज त्रिकोण आहेत. पायथ्यावरील डायहेड्रल कोन म्हणजे पिरॅमिडच्या बाजूच्या चेहऱ्याचा पायाच्या समतलतेकडे झुकण्याचा कोन. रेखीय कोन हा कोन आहे aदोन लंबांमधील: आणि i.e. पिरॅमिडचा वरचा भाग त्रिकोणाच्या मध्यभागी प्रक्षेपित केला जातो (परिमंडलाचे केंद्र आणि त्रिकोणामध्ये कोरलेले वर्तुळ ABC). पार्श्व बरगडीच्या कलतेचा कोन (उदाहरणार्थ एस.बी) हा किनारा आणि पायाच्या समतल प्रक्षेपणातील कोन आहे. बरगडी साठी एस.बीहा कोन हा कोन असेल SBD... स्पर्शिका शोधण्यासाठी, आपल्याला पाय माहित असणे आवश्यक आहे SOआणि ओबी... खंडाची लांबी द्या बी.डी 3 च्या बरोबरीचे आहे a... डॉट ओविभाग बी.डीभागांमध्ये विभागलेले आहे: आणि आम्ही शोधू SO: आम्ही शोधून काढतो:

उत्तर:

उदाहरण २.नियमित कापलेल्या चतुर्भुज पिरॅमिडचे आकारमान शोधा जर त्याच्या पायाचे कर्ण सेमी आणि सेमी असतील आणि उंची 4 सेमी असेल.

उपाय.कापलेल्या पिरॅमिडची मात्रा शोधण्यासाठी, आम्ही सूत्र (4) वापरतो. बेसचे क्षेत्रफळ शोधण्यासाठी, तुम्हाला बेस स्क्वेअरच्या बाजू शोधणे आवश्यक आहे, त्यांचे कर्ण जाणून घेणे आवश्यक आहे. पायाच्या बाजू अनुक्रमे 2 सेमी आणि 8 सेमी आहेत. त्यामुळे पायथ्याचे क्षेत्रफळ आणि सूत्रामध्ये सर्व डेटा बदलून, आम्ही कापलेल्या पिरॅमिडच्या आकारमानाची गणना करतो:

उत्तर: 112 सेमी 3.

उदाहरण ३.नियमित त्रिकोणी कापलेल्या पिरॅमिडच्या बाजूच्या चेहऱ्याचे क्षेत्रफळ शोधा, ज्याच्या पायाच्या बाजू 10 सेमी आणि 4 सेमी आहेत आणि पिरॅमिडची उंची 2 सेमी आहे.

उपाय.चला एक रेखाचित्र बनवूया (अंजीर 19).

या पिरॅमिडचा बाजूचा चेहरा समद्विभुज समलंब आहे. ट्रॅपेझॉइडच्या क्षेत्राची गणना करण्यासाठी, आपल्याला पाया आणि उंची माहित असणे आवश्यक आहे. बेस अटीनुसार दिलेले आहेत, फक्त उंची अज्ञात आहे. आम्ही ते कोठून शोधू ए 1 इबिंदू पासून लंब एखालच्या तळाच्या विमानावर 1, ए 1 डी- पासून लंब ए 1 वर ए.एस. ए 1 इ= 2 सेमी, कारण ही पिरॅमिडची उंची आहे. शोधण्यासाठी DEचला एक अतिरिक्त रेखाचित्र बनवू, जे शीर्ष दृश्य दर्शवेल (अंजीर 20). डॉट ओ- वरच्या आणि खालच्या तळांच्या केंद्रांचे प्रक्षेपण. पासून (अंजीर पाहा. 20) आणि दुसरीकडे ठीक आहेअंकित वर्तुळाची त्रिज्या आहे आणि ओएम- कोरलेल्या वर्तुळाची त्रिज्या:

MK = DE.

पासून पायथागोरियन प्रमेय करून

बाजूचा चेहरा क्षेत्र:

उत्तर:

उदाहरण ४.पिरॅमिडच्या पायथ्याशी एक समद्विभुज ट्रॅपेझॉइड आहे, ज्याचे तळ आहेत aआणि b (a> b). प्रत्येक बाजूचा चेहरा पिरॅमिडच्या बेस प्लेनसह एक कोन बनवतो j... पिरॅमिडचे एकूण पृष्ठभागाचे क्षेत्रफळ शोधा.

उपाय.चला एक रेखाचित्र बनवूया (अंजीर 21). पिरॅमिडचे एकूण पृष्ठभाग क्षेत्र SABCDट्रॅपेझॉइडचे क्षेत्र आणि क्षेत्रफळ यांच्या बेरजेइतके अ ब क ड.

आपण हे विधान वापरू या की जर पिरॅमिडचे सर्व चेहरे तळाच्या समतलाकडे सारखेच झुकलेले असतील, तर शिखर पायामध्ये कोरलेल्या वर्तुळाच्या मध्यभागी प्रक्षेपित केले जाईल. डॉट ओ- शिरोबिंदू प्रक्षेपण एसपिरॅमिडच्या पायथ्याशी. त्रिकोण SODत्रिकोणाचे ऑर्थोगोनल प्रोजेक्शन आहे CSDबेस च्या विमानात. समतल आकृतीच्या ऑर्थोगोनल प्रोजेक्शनच्या क्षेत्रावरील प्रमेयानुसार, आम्हाला मिळते:

त्याचप्रमाणे, याचा अर्थ अशा प्रकारे, ट्रॅपेझॉइडचे क्षेत्र शोधण्याचे कार्य कमी केले गेले अ ब क ड... ट्रॅपेझॉइड काढा अ ब क डस्वतंत्रपणे (अंजीर 22). डॉट ओ- ट्रॅपेझॉइडमध्ये कोरलेले वर्तुळाचे केंद्र.

पायथागोरियन प्रमेयाद्वारे, समलंबामध्ये वर्तुळ कोरले जाऊ शकते म्हणून, आपल्याकडे आहे

या धड्यात, आपण कापलेले पिरॅमिड पाहू, योग्य कापलेल्या पिरॅमिडशी परिचित होऊ आणि त्यांच्या गुणधर्मांचा अभ्यास करू.

त्रिकोणी पिरॅमिडचे उदाहरण वापरून एन-साइड पिरॅमिडची संकल्पना आठवू या. त्रिकोण ABC सेट आहे. त्रिकोणाच्या समतल बाहेर, बिंदू P घेतला आहे, त्रिकोणाच्या शिरोबिंदूंशी जोडलेला आहे. परिणामी पॉलिहेड्रल पृष्ठभागाला पिरॅमिड म्हणतात (चित्र 1).

तांदूळ. 1. त्रिकोणी पिरॅमिड

पिरॅमिड बेसच्या समतल विमानाने पिरॅमिडचे विच्छेदन करूया. या विमानांदरम्यान मिळणाऱ्या आकृतीला ट्रंकेटेड पिरॅमिड (चित्र 2) म्हणतात.

तांदूळ. 2. कापलेला पिरॅमिड

आवश्यक घटक:

वरचा पाया;

लोअर बेस एबीसी;

बाजूला धार;

जर PH ही मूळ पिरॅमिडची उंची असेल, तर कापलेल्या पिरॅमिडची उंची असेल.

कापलेल्या पिरॅमिडचे गुणधर्म त्याच्या बांधणीच्या पद्धतीवरून, म्हणजे बेस प्लेन्सच्या समांतरतेपासून अनुसरतात:

कापलेल्या पिरॅमिडचे सर्व बाजूचे चेहरे ट्रॅपेझियम आहेत. उदाहरणार्थ, एक पैलू विचारात घ्या. समांतर विमानांच्या गुणधर्मानुसार (विमान समांतर असल्याने, ते मूळ एबीपी पिरॅमिडचा पार्श्व चेहरा समांतर सरळ रेषांसह कापतात), त्याच वेळी ते समांतर नसतात. स्पष्टपणे, चतुर्भुज एक ट्रॅपेझॉइड आहे, जसे की कापलेल्या पिरॅमिडच्या सर्व बाजूच्या चेहऱ्यांप्रमाणे.

सर्व ट्रॅपेझॉइड्ससाठी आधार गुणोत्तर समान आहे:

आपल्याकडे समानतेच्या समान गुणांकासह समान त्रिकोणाच्या अनेक जोड्या आहेत. उदाहरणार्थ, विमानांच्या समांतरतेमुळे आणि समानता गुणांकामुळे त्रिकोण आणि RAV समान आहेत:

त्याच वेळी, त्रिकोण आणि RBC समानता गुणांकासह समान आहेत:

साहजिकच, समान त्रिकोणाच्या तिन्ही जोड्यांसाठी समानतेचे गुणांक समान आहेत, म्हणून पायाचे गुणोत्तर सर्व ट्रॅपेझॉइड्ससाठी समान आहे.

नियमित कापलेला पिरॅमिड हा एक कापलेला पिरॅमिड आहे जो पायथ्याशी समांतर असलेल्या विमानासह नियमित पिरॅमिड कापून प्राप्त केला जातो (चित्र 3).

तांदूळ. 3. योग्य कापलेला पिरॅमिड

व्याख्या.

पिरॅमिडला नियमित पिरॅमिड म्हणतात, ज्याच्या पायथ्याशी एक नियमित एन-गॉन असतो आणि शिरोबिंदू या एन-गॉनच्या मध्यभागी प्रक्षेपित केला जातो (शिलालेखित आणि गोलाकार वर्तुळाचे केंद्र).

या प्रकरणात, पिरॅमिडच्या पायथ्याशी एक चौरस असतो आणि शीर्ष त्याच्या कर्णांच्या छेदनबिंदूपर्यंत प्रक्षेपित केला जातो. प्राप्त नियमित आयताकृती कापलेल्या पिरॅमिड ABCD ला खालचा पाया आणि वरचा पाया आहे. मूळ पिरॅमिडची उंची - RO, कापलेला पिरॅमिड - (Fig. 4).

तांदूळ. 4. नियमित चतुर्भुज कापलेला पिरॅमिड

व्याख्या.

फ्रस्टमची उंची म्हणजे एका पायावरील कोणत्याही बिंदूपासून दुसऱ्या तळाच्या समतलापर्यंत काढलेला लंब.

मूळ पिरॅमिडचे एपोथेम पीएम आहे (एम हे एबीच्या मध्यभागी आहे), कापलेल्या पिरॅमिडचे एपोथेम (चित्र 4) आहे.

व्याख्या.

छाटलेल्या पिरॅमिडचे एपोथेम कोणत्याही बाजूच्या चेहऱ्याची उंची आहे.

हे स्पष्ट आहे की कापलेल्या पिरॅमिडच्या सर्व बाजूकडील कडा एकमेकांच्या समान आहेत, म्हणजेच, पार्श्व कडा समान समद्विभुज ट्रॅपेझॉइड आहेत.

नियमित कापलेल्या पिरॅमिडचे पार्श्व पृष्ठभागाचे क्षेत्रफळ हे मूळ परिमिती आणि अपोथेमच्या अर्ध्या बेरीजच्या गुणाकाराच्या समान असते.

पुरावा (नियमित आयताकृती कापलेल्या पिरॅमिडसाठी - अंजीर 4):

म्हणून, हे सिद्ध करणे आवश्यक आहे:

येथे पार्श्व पृष्ठभागाच्या क्षेत्रामध्ये पार्श्व चेहऱ्याच्या क्षेत्रांच्या बेरजेचा समावेश असेल - ट्रॅपेझॉइड्स. ट्रॅपेझॉइड समान असल्याने, आमच्याकडे आहे:

समद्विभुज ट्रॅपेझॉइडचे क्षेत्रफळ हे बेस आणि उंचीच्या अर्ध्या बेरीजचे उत्पादन आहे, एपोथेम ही ट्रॅपेझॉइडची उंची आहे. आमच्याकडे आहे:

Q.E.D.

एन-साइड पिरॅमिडसाठी:

जेथे n ही पिरॅमिडच्या बाजूच्या चेहऱ्यांची संख्या आहे, a आणि b हे ट्रॅपेझॉइडचा पाया आहेत, ते एपोथेम आहे.

नियमित छाटलेल्या चौकोनी पिरॅमिडच्या पायाच्या बाजू 3 सेमी आणि 9 सेमी, उंची - 4 सेमी समान आहेत. बाजूकडील पृष्ठभागाचे क्षेत्रफळ शोधा.

तांदूळ. 5. समस्येचे उदाहरण 1

उपाय. चला स्थिती स्पष्ट करूया:

दिले:,,

O बिंदूद्वारे आपण खालच्या पायाच्या दोन बाजूंना समांतर अशी सरळ रेषा MN काढतो, त्याचप्रमाणे एका बिंदूद्वारे आपण सरळ रेषा काढतो (चित्र 6). कापलेल्या पिरॅमिडच्या पायथ्याशी चौरस आणि बांधकामे समांतर असल्याने, आम्हाला बाजूच्या चेहऱ्यांप्रमाणे समलंब आकार मिळतो. शिवाय, त्याची बाजूकडील बाजू बाजूच्या चेहऱ्याच्या वरच्या आणि खालच्या फास्यांच्या मध्यभागी जाईल आणि छाटलेल्या पिरॅमिडचे प्रतीक असेल.

तांदूळ. 6. अतिरिक्त बांधकामे

परिणामी ट्रॅपेझॉइड (Fig. 6) विचारात घ्या. या ट्रॅपेझॉइडमध्ये, वरचा पाया, खालचा पाया आणि उंची ओळखली जाते. पार्श्व बाजू शोधणे आवश्यक आहे, जे दिलेल्या कापलेल्या पिरॅमिडचे अपोथेम आहे. चला MN ला लंब काढू. बिंदूपासून लंब NQ सोडू. आम्हाला समजले की मोठा आधार तीन सेंटीमीटर () च्या विभागांमध्ये विभागलेला आहे. काटकोन त्रिकोणाचा विचार करा, त्यातील पाय ज्ञात आहेत, हा इजिप्शियन त्रिकोण आहे, पायथागोरियन प्रमेयानुसार, आम्ही कर्णाची लांबी निर्धारित करतो: 5 सेमी.

आता पिरॅमिडच्या बाजूच्या पृष्ठभागाचे क्षेत्रफळ निश्चित करण्यासाठी सर्व घटक आहेत:

पिरॅमिड पायथ्याशी समांतर असलेल्या विमानाने ओलांडला जातो. त्रिकोणी पिरॅमिडचे उदाहरण वापरून सिद्ध करा की बाजूच्या कडा आणि पिरॅमिडची उंची या समतलाने आनुपातिक भागांमध्ये विभागली आहे.

पुरावा. चला उदाहरण देऊ:

तांदूळ. 7. समस्येचे चित्रण 2

RAVS पिरॅमिड सेट आहे. RO ही पिरॅमिडची उंची आहे. पिरॅमिडचे विमानाने विच्छेदन केले जाते, एक कापलेला पिरॅमिड प्राप्त होतो, शिवाय. बिंदू - कापलेल्या पिरॅमिडच्या पायाच्या विमानासह RO उंचीच्या छेदनबिंदूचा बिंदू. हे सिद्ध करणे आवश्यक आहे:

समाधानाची गुरुकिल्ली समांतर समतल गुणधर्म आहे. दोन समांतर विमाने कोणतेही तिसरे विमान कापतात जेणेकरून छेदनबिंदूच्या रेषा समांतर असतील. म्हणून:. संबंधित सरळ रेषांची समांतरता समान त्रिकोणाच्या चार जोड्यांची उपस्थिती दर्शवते:

त्रिकोणांच्या समानतेवरून संबंधित बाजूंचे आनुपातिकता येते. एक महत्त्वाचे वैशिष्ट्य म्हणजे या त्रिकोणांसाठी समानता गुणांक समान आहेत:

Q.E.D.

एबीसीच्या पायाशी समांतर असलेल्या RN उंचीच्या मधोमध जाणार्‍या विमानाद्वारे उंची आणि पायाची बाजू असलेला नियमित त्रिकोणी पिरॅमिड RAVS चे विच्छेदन केले जाते. परिणामी कापलेल्या पिरॅमिडचे पार्श्व पृष्ठभाग शोधा.

उपाय. चला उदाहरण देऊ:

तांदूळ. 8. समस्येचे चित्रण 3

ASB हा काटकोन त्रिकोण आहे, H हा या त्रिकोणाचा केंद्र आहे (शिलालेखित आणि परिक्रमा केलेल्या वर्तुळांचे केंद्र). RM हे दिलेल्या पिरॅमिडचे प्रतीक आहे. - कापलेल्या पिरॅमिडचे अपोथेम. समांतर समतलांच्या गुणधर्मानुसार (दोन समांतर विमाने कोणतेही तिसरे समतल कापतात जेणेकरून छेदनबिंदू समांतर असतील), आपल्याकडे समानतेच्या समान गुणांकासह समान त्रिकोणाच्या अनेक जोड्या आहेत. विशेषतः, आम्हाला संबंधांमध्ये स्वारस्य आहे:

चला NM शोधूया. हे बेसमध्ये कोरलेल्या वर्तुळाची त्रिज्या आहे, आम्हाला संबंधित सूत्र माहित आहे:

आता, पायथागोरियन प्रमेयानुसार काटकोन त्रिकोण РНМ वरून, आम्हाला РМ - मूळ पिरॅमिडचे प्रतीक आढळते:

प्रारंभिक गुणोत्तर पासून:

आता आपल्याला कापलेल्या पिरॅमिडच्या बाजूच्या पृष्ठभागाचे क्षेत्रफळ शोधण्यासाठी सर्व घटक माहित आहेत:

म्हणून, आम्ही कापलेला पिरॅमिड आणि नियमित कापलेला पिरॅमिड या संकल्पनांशी परिचित झालो, मूलभूत व्याख्या दिल्या, गुणधर्मांचा विचार केला आणि बाजूच्या पृष्ठभागावरील प्रमेय सिद्ध केला. पुढील धडा समस्या सोडवण्याबद्दल असेल.

संदर्भग्रंथ

1. I. M. Smirnova, V. A. Smirnov. भूमिती. ग्रेड 10-11: शैक्षणिक संस्थांच्या विद्यार्थ्यांसाठी पाठ्यपुस्तक (मूलभूत आणि प्रोफाइल स्तर) / I. M. Smirnova, V. A. Smirnov. - 5वी आवृत्ती, रेव्ह. आणि जोडा. - एम.: म्नेमोसिना, 2008 .-- 288 पी.: आजारी.
2. शारीगिन आयएफ भूमिती. ग्रेड 10-11: सामान्य शैक्षणिक संस्थांसाठी पाठ्यपुस्तक / Sharygin I.F. - M.: Bustard, 1999. - 208 p.: Ill.
3. ई.व्ही. पोटोस्कुएव, एल.आय. झ्वालिच. भूमिती. ग्रेड 10: गणिताचा सखोल आणि विशेष अभ्यास असलेल्या शैक्षणिक संस्थांसाठी पाठ्यपुस्तक / ई. व्ही. पोटोस्कुएव, एल. आय. झ्वालिच. - 6 वी आवृत्ती., स्टिरिओटाइप. - एम.: बस्टर्ड, 2008.-- 233 पी.: आजारी.

1. Uztest.ru ().
2. Fmclass.ru ().
3. Webmath.exponenta.ru ().

गृहपाठ