ab आणि bc रेषा समांतर, छेदणाऱ्या आणि ओलांडणाऱ्या आहेत. व्याख्या

प्रमेय. जर एक रेषा दिलेल्या समतलात असेल आणि दुसरी रेषा पहिल्या रेषेशी संबंधित नसलेल्या बिंदूवर या समतलाला छेदत असेल, तर या दोन रेषा एकमेकांना छेदतात. क्रॉसिंग लाईन्सचे चिन्ह पुरावा. रेषेला समतल मध्ये पडू द्या आणि रेषा ब बिंदू B वर समतलाला छेदू द्या, जी रेषा a शी संबंधित नाही. जर a आणि b रेषा एकाच समतलात असतील, तर बिंदू B देखील या समतलात असेल. या रेषेतून एकच विमान जात असल्याने आणि या रेषेच्या बाहेर एक बिंदू असल्याने, हे समतल समतल असणे आवश्यक आहे. पण नंतर सरळ रेषा b विमानात पडेल, जी स्थितीला विरोध करते. परिणामी, सरळ रेषा a आणि b एकाच समतलात नसतात, म्हणजे. आंतरप्रजनन

नियमित त्रिकोणी प्रिझमच्या कडा असलेल्या स्क्यू रेषांच्या किती जोड्या आहेत? ऊत्तराची: पायाच्या प्रत्येक काठाला तीन कडा आहेत जे त्यास छेदतात. प्रत्येक पार्श्व काठाला दोन बरगड्या असतात ज्या एकमेकांना छेदतात. म्हणून, स्क्यू लाईन्सच्या जोड्यांची आवश्यक संख्या म्हणजे व्यायाम 5

नियमित षटकोनी प्रिझमच्या कडा असलेल्या स्क्यू रेषांच्या किती जोड्या आहेत? ऊत्तराची: बेसची प्रत्येक धार क्रॉसिंग लाइनच्या 8 जोड्यांमध्ये भाग घेते. प्रत्येक पार्श्व किनारी क्रॉसिंग लाइनच्या 8 जोड्यांमध्ये भाग घेते. म्हणून, स्क्यू लाइनच्या जोड्यांची आवश्यक संख्या म्हणजे व्यायाम 6

जर अवकाशातील दोन रेषांचा समान बिंदू असेल तर या दोन रेषा एकमेकांना छेदतात असे म्हणतात. खालील आकृतीत, रेषा a आणि b बिंदू A वर छेदतात. रेषा a आणि c एकमेकांना छेदत नाहीत.

कोणत्याही दोन सरळ रेषांमध्ये एकतर फक्त एक समान बिंदू असतो किंवा कोणतेही समान बिंदू नसतात.

समांतर रेषा

अंतराळातील दोन रेषा एकाच समतलात असतील आणि एकमेकांना छेदत नसतील तर त्यांना समांतर म्हणतात. समांतर रेषा दर्शविण्यासाठी, एक विशेष चिन्ह वापरा - ||.

नोटेशन a||b म्हणजे रेषा a रेषा b ला समांतर आहे. वर सादर केलेल्या आकृतीत, रेषा a आणि c समांतर आहेत.

समांतर रेषा प्रमेय

दिलेल्या रेषेवर नसलेल्या अंतराळातील कोणत्याही बिंदूमधून, दिलेल्या रेषेच्या समांतर एक रेषा जाते आणि त्याशिवाय, फक्त एक.

ओळी ओलांडणे

एकाच समतलात असलेल्या दोन रेषा एकतर छेदू शकतात किंवा समांतर असू शकतात. पण अवकाशात दोन सरळ रेषा या विमानाच्या असतीलच असे नाही. ते दोन वेगवेगळ्या विमानांमध्ये स्थित असू शकतात.

हे स्पष्ट आहे की वेगवेगळ्या विमानांमध्ये असलेल्या रेषा एकमेकांना छेदत नाहीत आणि समांतर रेषा नाहीत. एकाच विमानात नसलेल्या दोन रेषा म्हणतात सरळ रेषा ओलांडणे.

खालील आकृती a आणि b यांना छेदणाऱ्या दोन सरळ रेषा दाखवते, ज्या वेगवेगळ्या समतलांमध्ये असतात.

स्क्यू रेषांवर चाचणी आणि प्रमेय

जर दोन ओळींपैकी एक ठराविक समतलात असेल आणि दुसरी रेषा पहिल्या ओळीवर नसलेल्या बिंदूवर या समतलाला छेदते, तर या रेषा एकमेकांना छेदतात.

तिरकस रेषांवर प्रमेय: दोन छेदणाऱ्या रेषांपैकी प्रत्येक रेषेतून दुसऱ्या रेषेला समांतर एक विमान जाते आणि शिवाय, फक्त एक.

अशा प्रकारे, आम्ही अंतराळातील रेषांच्या सापेक्ष स्थितीच्या सर्व संभाव्य प्रकरणांचा विचार केला आहे. त्यापैकी फक्त तीन आहेत.

1. रेषा एकमेकांना छेदतात. (म्हणजे, त्यांच्याकडे फक्त एक समान मुद्दा आहे.)

2. रेषा समांतर आहेत. (म्हणजे, त्यांच्याकडे समान बिंदू नाहीत आणि ते एकाच विमानात आहेत.)

3. सरळ रेषा क्रॉस. (म्हणजे, ते वेगवेगळ्या विमानांमध्ये स्थित आहेत.)

मी एक नवीन Verdov फाईल तयार करण्यापूर्वी आणि इतका आकर्षक विषय चालू ठेवण्यापूर्वी एक मिनिटही गेला नव्हता. आपल्याला कार्यरत मूडचे क्षण कॅप्चर करणे आवश्यक आहे, म्हणून तेथे कोणतेही गीतात्मक परिचय होणार नाही. एक विचित्र स्पँकिंग असेल =)

दोन सरळ जागा हे करू शकतात:

1) आंतरप्रजनन;

2) बिंदूवर छेदतात;

3) समांतर असणे;

4) जुळणी.

केस क्रमांक 1 इतर प्रकरणांपेक्षा मूलभूतपणे भिन्न आहे. दोन सरळ रेषा एकाच समतलात नसतील तर एकमेकांना छेदतात. एक हात वर करा आणि दुसरा हात पुढे वाढवा - येथे ओळी ओलांडण्याचे उदाहरण आहे. बिंदू क्रमांक 2-4 मध्ये सरळ रेषा असायला हव्यात एका विमानात.

अंतराळातील रेषांची सापेक्ष स्थिती कशी शोधायची?

दोन थेट जागा विचारात घ्या:

- बिंदू आणि दिशा वेक्टरद्वारे परिभाषित केलेली सरळ रेषा;
- बिंदू आणि दिशा वेक्टरद्वारे परिभाषित केलेली सरळ रेषा.

अधिक चांगल्या प्रकारे समजून घेण्यासाठी, एक योजनाबद्ध रेखाचित्र बनवूया:

रेखाचित्र उदाहरण म्हणून सरळ रेषांना छेदणारे दाखवते.

या सरळ रेषांना कसे सामोरे जावे?

बिंदू ज्ञात असल्याने, सदिश शोधणे सोपे आहे.

सरळ असल्यास आंतरप्रजनन, नंतर वेक्टर coplanar नाही(धडा पहा वेक्टर्सचे रेखीय (गैर) अवलंबित्व. वेक्टरचा आधार), आणि, म्हणून, त्यांच्या निर्देशांकांचा बनलेला निर्धारक शून्य नसलेला असतो. किंवा, जी प्रत्यक्षात समान आहे, ती शून्य नसलेली असेल: .

प्रकरण क्रमांक 2-4 मध्ये, आपली रचना एका विमानात आणि वेक्टरमध्ये "पडते". coplanar, आणि रेखीय अवलंबित सदिशांचे मिश्रित उत्पादन शून्याच्या बरोबरीचे आहे: .

चला अल्गोरिदम आणखी विस्तृत करूया. चला ते ढोंग करूया म्हणून, रेषा एकतर एकमेकांना छेदतात, समांतर असतात किंवा एकरूप होतात.

दिशा वेक्टर असल्यास समरेख, नंतर रेषा एकतर समांतर किंवा योगायोग आहेत. अंतिम खिळ्यासाठी, मी खालील तंत्राचा प्रस्ताव देतो: एका ओळीवर कोणताही बिंदू घ्या आणि त्याचे निर्देशांक दुसऱ्या ओळीच्या समीकरणात बदला; जर कोऑर्डिनेट्स "फिट" असतील तर रेषा एकरूप होतात; जर ते "फिट होत नाहीत", तर रेषा समांतर असतात.

अल्गोरिदम सोपे आहे, परंतु व्यावहारिक उदाहरणे अद्याप मदत करतील:

उदाहरण 11

दोन ओळींची सापेक्ष स्थिती शोधा

उपाय: भूमितीच्या अनेक समस्यांप्रमाणे, बिंदूनुसार समाधान बिंदू तयार करणे सोयीचे आहे:

1) आम्ही समीकरणांमधून बिंदू आणि दिशा वेक्टर काढतो:

2) सदिश शोधा:

अशाप्रकारे, व्हेक्टर कॉप्लॅनर आहेत, ज्याचा अर्थ असा आहे की रेषा एकाच समतलात आहेत आणि एकमेकांना छेदू शकतात, समांतर असू शकतात किंवा एकरूप होऊ शकतात.

4) समरेखतेसाठी दिशा वेक्टर तपासू.

चला या वेक्टर्सच्या संबंधित निर्देशांकांमधून एक प्रणाली तयार करूया:

पासून प्रत्येकजणसमीकरणे हे अनुसरण करतात की, म्हणून, प्रणाली सुसंगत आहे, व्हेक्टरचे संबंधित निर्देशांक आनुपातिक आहेत आणि वेक्टर समरेखीय आहेत.

निष्कर्ष: रेषा समांतर किंवा एकरूप आहेत.

5) रेषांमध्ये समान बिंदू आहेत का ते शोधा. पहिल्या ओळीशी संबंधित एक बिंदू घेऊ आणि त्याचे समन्वय रेषेच्या समीकरणांमध्ये बदलू:

अशा प्रकारे, रेषांना कोणतेही समान बिंदू नाहीत आणि त्यांना समांतर असण्याशिवाय पर्याय नाही.

उत्तर द्या:

आपल्या स्वत: च्या निराकरणासाठी एक मनोरंजक उदाहरणः

उदाहरण 12

रेषांची सापेक्ष स्थिती शोधा

हे तुमच्यासाठी स्वतःहून सोडवण्याचे उदाहरण आहे. कृपया लक्षात घ्या की दुसऱ्या ओळीत पॅरामीटर म्हणून अक्षर आहे. तार्किक. सर्वसाधारणपणे, या दोन भिन्न रेषा आहेत, म्हणून प्रत्येक ओळीचे स्वतःचे मापदंड आहे.

आणि पुन्हा मी तुम्हाला विनंती करतो की उदाहरणे वगळू नका, मी प्रस्तावित केलेली कार्ये यादृच्छिक नाहीत ;-)

अंतराळातील रेषेसह समस्या

धड्याच्या शेवटच्या भागात, मी अवकाशीय रेषांसह विविध समस्यांची जास्तीत जास्त संख्या विचारात घेण्याचा प्रयत्न करेन. या प्रकरणात, कथेचा मूळ क्रम लक्षात येईल: प्रथम आपण ओलांडलेल्या रेषा, नंतर छेदनबिंदू असलेल्या समस्यांचा विचार करू आणि शेवटी आपण अंतराळातील समांतर रेषांबद्दल बोलू. तथापि, मला असे म्हणायचे आहे की या धड्याची काही कार्ये एकाच वेळी ओळींच्या स्थानाच्या अनेक प्रकरणांसाठी तयार केली जाऊ शकतात आणि या संदर्भात, परिच्छेदांमध्ये विभागाचे विभाजन काहीसे अनियंत्रित आहे. तेथे सोपी उदाहरणे आहेत, आणखी जटिल उदाहरणे आहेत आणि आशा आहे की प्रत्येकाला त्यांना आवश्यक ते सापडेल.

ओळी ओलांडणे

मी तुम्हाला आठवण करून देतो की सरळ रेषा एकमेकांना छेदतात जर असे कोणतेही विमान नसेल ज्यामध्ये ते दोघे खोटे बोलत असतील. जेव्हा मी सरावाचा विचार करत होतो, तेव्हा एक अक्राळविक्राळ समस्या मनात आली आणि आता मला चार डोकी असलेला ड्रॅगन तुमच्या लक्षात आणून देण्यात आनंद होत आहे:

उदाहरण 13

सरळ रेषा दिल्या. आवश्यक:

अ) रेषा एकमेकांना छेदतात हे सिद्ध करा;

b) दिलेल्या रेषांना लंब असलेल्या बिंदूमधून जाणाऱ्या रेषेची समीकरणे शोधा;

c) एका सरळ रेषेची समीकरणे तयार करा ज्यामध्ये आहे सामान्य लंबओलांडणे;

d) रेषांमधील अंतर शोधा.

उपाय: जो चालतो तो रस्ता पार पाडतो:

a) रेषा एकमेकांना छेदतात हे सिद्ध करू. चला या रेषांचे बिंदू आणि दिशा वेक्टर शोधूया:

चला वेक्टर शोधूया:

चला गणना करूया वेक्टरचे मिश्रित उत्पादन:

अशा प्रकारे, वेक्टर coplanar नाही, याचा अर्थ रेषा एकमेकांना छेदतात, जे सिद्ध करणे आवश्यक आहे.

बहुधा प्रत्येकाच्या लक्षात आले असेल की ओळी ओलांडण्यासाठी सत्यापन अल्गोरिदम सर्वात लहान आहे.

b) बिंदूमधून जाणाऱ्या आणि रेषांना लंब असणाऱ्या रेषेची समीकरणे शोधा. चला एक योजनाबद्ध रेखाचित्र बनवूया:

बदलासाठी मी थेट पोस्ट केले मागेसरळ, क्रॉसिंग पॉइंट्सवर ते कसे थोडेसे मिटवले जाते ते पहा. क्रॉस ब्रीडिंग? होय, सर्वसाधारणपणे, सरळ रेषा “de” मूळ सरळ रेषांसह ओलांडली जाईल. आम्हाला या क्षणात स्वारस्य नसले तरी, आम्हाला फक्त एक लंब रेषा तयार करायची आहे आणि तेच आहे.

थेट "डी" बद्दल काय माहिती आहे? त्याच्याशी संबंधित मुद्दा ज्ञात आहे. पुरेसा मार्गदर्शक वेक्टर नाही.

स्थितीनुसार, सरळ रेषा सरळ रेषांना लंब असणे आवश्यक आहे, याचा अर्थ तिचा दिशा वेक्टर दिशा वेक्टरसाठी ऑर्थोगोनल असेल. उदाहरण क्रमांक 9 वरून आधीच परिचित, चला वेक्टर उत्पादन शोधूया:

बिंदू आणि दिशा वेक्टर वापरून सरळ रेषेची "de" समीकरणे तयार करू.

तयार. तत्वतः, तुम्ही भाजकांमधील चिन्हे बदलू शकता आणि फॉर्ममध्ये उत्तर लिहू शकता , परंतु याची गरज नाही.

तपासण्यासाठी, तुम्हाला बिंदूचे निर्देशांक परिणामी सरळ रेषेच्या समीकरणांमध्ये बदलणे आवश्यक आहे, नंतर वापरा वेक्टरचे स्केलर उत्पादनवेक्टर “pe one” आणि “pe two” या दिशेच्या वेक्टरसाठी खरोखरच ऑर्थोगोनल आहे याची खात्री करा.

सामान्य लंब असलेल्या रेषेची समीकरणे कशी शोधायची?

c) ही समस्या अधिक कठीण होईल. मी शिफारस करतो की डमींनी हा मुद्दा वगळावा, मला तुमची विश्लेषणात्मक भूमितीबद्दलची प्रामाणिक सहानुभूती थंड करायची नाही =) तसे, अधिक तयार वाचकांसाठी ते थांबवणे चांगले असू शकते, वस्तुस्थिती अशी आहे की जटिलतेच्या दृष्टीने उदाहरण लेखात सर्वात शेवटी ठेवले पाहिजे, परंतु सादरीकरणाच्या तर्कानुसार ते येथे असले पाहिजे.

तर, तुम्हाला एका रेषेची समीकरणे शोधणे आवश्यक आहे ज्यात तिरका रेषांचा सामान्य लंब आहे.

- हा या रेषांना जोडणारा आणि या रेषांना लंब असलेला विभाग आहे:

हा आमचा देखणा माणूस आहे: - छेदणाऱ्या रेषांचा सामान्य लंब. तो एकटाच आहे. त्याच्यासारखा दुसरा कोणी नाही. हा विभाग असलेल्या रेषेसाठी आपल्याला समीकरणे तयार करायची आहेत.

थेट "उम" बद्दल काय माहिती आहे? त्याची दिशा वेक्टर ज्ञात आहे, मागील परिच्छेदामध्ये आढळते. परंतु, दुर्दैवाने, आपल्याला “em” या सरळ रेषेशी संबंधित एकही बिंदू माहित नाही किंवा लंब-बिंदूचे टोकही आपल्याला माहीत नाहीत. ही लंब रेषा दोन मूळ रेषांना कुठे छेदते? आफ्रिकेत, अंटार्क्टिकामध्ये? स्थितीचे प्रारंभिक पुनरावलोकन आणि विश्लेषणावरून, समस्येचे निराकरण कसे करावे हे अजिबात स्पष्ट नाही ... परंतु सरळ रेषेच्या पॅरामेट्रिक समीकरणांच्या वापराशी संबंधित एक अवघड युक्ती आहे.

आम्ही बिंदूनुसार निर्णय बिंदू तयार करू:

१) पहिल्या ओळीची समीकरणे पॅरामेट्रिक स्वरूपात पुन्हा लिहू:

चला मुद्दा विचारात घेऊया. आम्हाला निर्देशांक माहित नाहीत. परंतु. जर एखादा बिंदू दिलेल्या रेषेचा असेल, तर त्याचे निर्देशांक , द्वारे दर्शवूया. मग बिंदूचे निर्देशांक फॉर्ममध्ये लिहिले जातील:

जीवन चांगले होत आहे, एक अज्ञात अद्याप तीन अज्ञात नाही.

२) तोच आक्रोश दुसऱ्या मुद्द्यावर केला पाहिजे. दुसऱ्या ओळीची समीकरणे पॅरामेट्रिक स्वरूपात पुन्हा लिहू:

जर बिंदू दिलेल्या रेषेचा असेल तर अतिशय विशिष्ट अर्थासहत्याच्या निर्देशांकांनी पॅरामीट्रिक समीकरणे पूर्ण करणे आवश्यक आहे:

किंवा:

3) वेक्टर, पूर्वी आढळलेल्या वेक्टरप्रमाणे, सरळ रेषेचा डायरेक्टिंग वेक्टर असेल. दोन बिंदूंमधून सदिश कसे बनवायचे यावर वर्गात अनादी काळापासून चर्चा झाली डमीसाठी वेक्टर. आता फरक असा आहे की व्हेक्टरचे निर्देशांक अज्ञात पॅरामीटर मूल्यांसह लिहिलेले आहेत. तर काय? वेक्टरच्या शेवटच्या निर्देशांकांमधून वेक्टरच्या सुरुवातीचे संबंधित निर्देशांक वजा करण्यास कोणीही मनाई करत नाही.

दोन मुद्दे आहेत: .

वेक्टर शोधणे:

4) दिशा वेक्टर समरेखीय असल्याने, एक वेक्टर एका विशिष्ट आनुपातिक गुणांक "लॅम्बडा" सह दुसऱ्याद्वारे रेखीयपणे व्यक्त केला जातो:

किंवा समन्वय-दर-समन्वय:

तो सर्वात सामान्य असल्याचे बाहेर वळले रेखीय समीकरणांची प्रणालीतीन अज्ञातांसह, जे प्रमाणितपणे सोडवण्यायोग्य आहे, उदाहरणार्थ, क्रेमरची पद्धत. परंतु येथे थोडे नुकसान करून उतरणे शक्य आहे; तिसऱ्या समीकरणातून आपण "लॅम्बडा" व्यक्त करू आणि त्यास पहिल्या आणि दुसऱ्या समीकरणात बदलू:

अशा प्रकारे: , आणि आम्हाला "लॅम्बडा" ची गरज नाही. पॅरामीटर व्हॅल्यूज सारखेच निघाले ही वस्तुस्थिती निव्वळ एक अपघात आहे.

5) आकाश पूर्णपणे मोकळे झाले आहे, चला सापडलेल्या मूल्यांची जागा घेऊ आमच्या मुद्द्यांसाठी:

दिशा वेक्टरची विशेष गरज नाही, कारण त्याचा प्रतिरूप आधीच सापडला आहे.

लांबच्या प्रवासानंतर तपासणे नेहमीच मनोरंजक असते.

:

योग्य समानता प्राप्त होते.

बिंदूचे समन्वय समीकरणांमध्ये बदलू :

योग्य समानता प्राप्त होते.

6) अंतिम जीवा: बिंदू (तुम्ही ते घेऊ शकता) आणि दिशा वेक्टर वापरून सरळ रेषेची समीकरणे बनवू:

तत्वतः, आपण अखंड निर्देशांकांसह "चांगला" बिंदू निवडू शकता, परंतु हे कॉस्मेटिक आहे.

छेदणाऱ्या रेषांमधील अंतर कसे शोधायचे?

ड) आम्ही ड्रॅगनचे चौथे डोके कापले.

पद्धत एक. अगदी एक पद्धत नाही, पण एक लहान विशेष केस. ओलांडणाऱ्या रेषांमधील अंतर त्यांच्या सामान्य लंबाच्या लांबीइतके आहे: .

सामान्य लंबाचे अत्यंत बिंदू मागील परिच्छेदात आढळले आणि कार्य प्राथमिक आहे:

पद्धत दोन. सराव मध्ये, बहुतेक वेळा सामान्य लंबाचे टोक अज्ञात असतात, म्हणून भिन्न दृष्टीकोन वापरला जातो. दोन छेदणाऱ्या सरळ रेषांमधून समांतर विमाने काढता येतात आणि या विमानांमधील अंतर या सरळ रेषांमधील अंतराएवढे असते. विशेषतः, या विमानांमध्ये एक सामान्य लंब चिकटून राहतो.

विश्लेषणात्मक भूमितीच्या ओघात, वरील विचारांवरून, सरळ रेषांना छेदणाऱ्यांमधील अंतर शोधण्यासाठी एक सूत्र तयार केले आहे:
(आमच्या बिंदूंऐवजी “उम एक, दोन” तुम्ही अनियंत्रित रेषांचे बिंदू घेऊ शकता).

वेक्टरचे मिश्रित उत्पादनबिंदू "a" मध्ये आधीच आढळले आहे: .

वेक्टरचे वेक्टर उत्पादनपरिच्छेद "be" मध्ये आढळले: , त्याची लांबी मोजूया:

अशा प्रकारे:

चला अभिमानाने ट्रॉफी एकाच ओळीत प्रदर्शित करूया:

उत्तर द्या:
अ) , म्हणजे सरळ रेषा एकमेकांना छेदतात, जे सिद्ध करणे आवश्यक होते;
ब) ;
V) ;
जी)

ओलांडण्याबद्दल आपण आणखी काय सांगू शकता? त्यांच्यामध्ये एक परिभाषित कोन आहे. परंतु आपण पुढील परिच्छेदामध्ये सार्वत्रिक कोन सूत्राचा विचार करू:

एकमेकांना छेदणारी सरळ जागा एकाच विमानात असणे आवश्यक आहे:

पहिला विचार म्हणजे सर्व शक्तीनिशी छेदनबिंदूवर झुकण्याचा. आणि मी लगेच विचार केला, स्वतःला योग्य इच्छा का नाकारायच्या ?! चला आत्ता तिच्या वर जाऊया!

अवकाशीय रेषांच्या छेदनबिंदूचा बिंदू कसा शोधायचा?

उदाहरण 14

रेषांच्या छेदनबिंदूचा बिंदू शोधा

उपाय: रेषांची समीकरणे पॅरामेट्रिक स्वरूपात पुन्हा लिहू:

या धड्याच्या उदाहरण क्रमांक 7 मध्ये या कार्याची तपशीलवार चर्चा केली आहे (पहा. अंतराळातील रेषेची समीकरणे). आणि तसे, मी उदाहरण क्रमांक १२ मधून सरळ रेषा स्वतःच घेतल्या आहेत. मी खोटे बोलणार नाही, नवीन घेऊन येण्यास मी खूप आळशी आहे.

सोल्यूशन मानक आहे आणि जेव्हा आम्ही छेदन करणाऱ्या रेषांच्या सामान्य लंबासाठी समीकरणे काढण्याचा प्रयत्न करत होतो तेव्हा ते आधीच समोर आले आहे.

रेषांच्या छेदनबिंदूचा बिंदू रेषेचा आहे, म्हणून त्याचे निर्देशांक या रेषेची पॅरामेट्रिक समीकरणे पूर्ण करतात आणि त्यांच्याशी संबंधित असतात एक अतिशय विशिष्ट पॅरामीटर मूल्य:

परंतु हाच मुद्दा दुसऱ्या ओळीचा आहे, म्हणून:

आम्ही संबंधित समीकरणे समान करतो आणि सरलीकरण करतो:

दोन अज्ञातांसह तीन रेखीय समीकरणांची प्रणाली प्राप्त होते. जर रेषा एकमेकांना छेदत असतील (जे उदाहरण क्रमांक १२ मध्ये सिद्ध झाले आहे), तर प्रणाली आवश्यकपणे सुसंगत आहे आणि एक अद्वितीय समाधान आहे. ते सोडवता येईल गॉसियन पद्धत, परंतु आम्ही अशा बालवाडी फेटिसिझमसह पाप करणार नाही, आम्ही ते सोपे करू: पहिल्या समीकरणापासून आम्ही "ते शून्य" व्यक्त करतो आणि त्यास दुसऱ्या आणि तिसऱ्या समीकरणामध्ये बदलतो:

शेवटची दोन समीकरणे मूलत: सारखीच निघाली आणि त्यातूनच पुढे येते. मग:

पॅरामीटरचे सापडलेले मूल्य समीकरणांमध्ये बदलू.

उत्तर द्या:

तपासण्यासाठी, आम्ही पॅरामीटरचे सापडलेले मूल्य समीकरणांमध्ये बदलतो:
समान निर्देशांक प्राप्त झाले जे तपासणे आवश्यक आहे. सूक्ष्म वाचक बिंदूच्या निर्देशांकांना ओळींच्या मूळ प्रमाणिक समीकरणांमध्ये बदलू शकतात.

तसे, उलट करणे शक्य होते: “es zero” द्वारे बिंदू शोधा आणि “te zero” द्वारे तपासा.

एक सुप्रसिद्ध गणितीय अंधश्रद्धा म्हणते: जिथे रेषांच्या छेदनबिंदूवर चर्चा केली जाते, तिथे नेहमी लंबांचा वास येतो.

दिलेल्या जागेला लंब असलेल्या जागेची रेषा कशी तयार करावी?

(रेषा एकमेकांना छेदतात)

उदाहरण 15

a) रेषेच्या लंब बिंदूमधून जाणाऱ्या रेषेची समीकरणे लिहा (रेषा एकमेकांना छेदतात).

b) बिंदूपासून रेषेपर्यंतचे अंतर शोधा.

नोंद : खंड "रेषा एकमेकांना छेदतात" - लक्षणीय. बिंदू माध्यमातून
सरळ रेषेला “el” ला छेदतील अशा असंख्य लंब रेषा तुम्ही काढू शकता. जेव्हा दिलेल्या बिंदूला लंब असलेली सरळ रेषा काढली जाते तेव्हाच एकमेव उपाय उद्भवतो दोनसरळ रेषेने दिलेले (उदाहरण क्र. १३, बिंदू “ब” पहा).

अ) उपाय: आम्ही अज्ञात रेषा द्वारे दर्शवतो. चला एक योजनाबद्ध रेखाचित्र बनवूया:

सरळ रेषेबद्दल काय माहिती आहे? अटीनुसार एक पॉइंट दिला जातो. सरळ रेषेची समीकरणे तयार करण्यासाठी, दिशा वेक्टर शोधणे आवश्यक आहे. वेक्टर अशा वेक्टर म्हणून अगदी योग्य आहे, म्हणून आम्ही त्यास सामोरे जाऊ. अधिक तंतोतंत, मानेच्या स्क्रफने वेक्टरचा अज्ञात टोक घेऊ.

1) सरळ रेषेच्या "el" च्या समीकरणांमधून त्याचा दिशा वेक्टर काढू आणि समीकरणे स्वतःच पॅरामेट्रिक स्वरूपात पुन्हा लिहू:

बऱ्याच जणांनी असा अंदाज लावला की आता धड्याच्या वेळी तिसऱ्यांदा जादूगार त्याच्या टोपीतून पांढरा हंस काढेल. अज्ञात निर्देशांकांसह एक बिंदू विचारात घ्या. बिंदू असल्याने, त्याचे निर्देशांक सरळ रेषेचे पॅरामेट्रिक समीकरणे "el" पूर्ण करतात आणि ते एका विशिष्ट पॅरामीटर मूल्याशी संबंधित आहेत:

किंवा एका ओळीत:

2) स्थितीनुसार, रेषा लंब असल्या पाहिजेत, म्हणून, त्यांच्या दिशा वेक्टर ऑर्थोगोनल आहेत. आणि जर वेक्टर ऑर्थोगोनल असतील तर त्यांचे स्केलर उत्पादनशून्य बरोबरी:

काय झालं? अज्ञात असलेले सर्वात सोपे रेखीय समीकरण:

3) पॅरामीटरचे मूल्य ज्ञात आहे, चला बिंदू शोधूया:

आणि दिशा वेक्टर:
.

४) बिंदू आणि दिशा वेक्टर वापरून सरळ रेषेची समीकरणे तयार करू.

प्रमाणाचे भाजक अपूर्णांक असल्याचे दिसून आले आणि जेव्हा अपूर्णांकांपासून मुक्त होणे योग्य असते तेव्हा हेच घडते. मी त्यांना फक्त -2 ने गुणाकार करेन:

उत्तर द्या:

नोंद : सोल्यूशनचा अधिक कठोर शेवट खालीलप्रमाणे औपचारिक केला जातो: बिंदू आणि दिशा वेक्टर वापरून सरळ रेषेची समीकरणे बनवू. खरंच, जर सदिश सरळ रेषेचा मार्गदर्शक सदिश असेल, तर समरेखीय सदिश, स्वाभाविकपणे, या सरळ रेषेचा मार्गदर्शक सदिशही असेल.

सत्यापनामध्ये दोन टप्प्यांचा समावेश आहे:

1) ऑर्थोगोनॅलिटीसाठी रेषांच्या दिशा वेक्टर तपासा;

2) आम्ही प्रत्येक ओळीच्या समीकरणांमध्ये बिंदूचे निर्देशांक बदलतो, ते तेथे आणि तेथे दोन्ही "फिट" असले पाहिजेत.

टिपिकल कृतींबद्दल बरीच चर्चा होती, म्हणून मी मसुदा तपासला.

तसे, मी आणखी एक मुद्दा विसरलो - सरळ रेषा “el” च्या सापेक्ष “zyu” बिंदू “en” ला सममितीय बिंदू तयार करणे. तथापि, एक चांगला "फ्लॅट ॲनालॉग" आहे, जो लेखात आढळू शकतो विमानात सरळ रेषेसह सर्वात सोपी समस्या. येथे फक्त फरक अतिरिक्त "Z" समन्वयामध्ये असेल.

अंतराळातील एका बिंदूपासून रेषेपर्यंतचे अंतर कसे शोधायचे?

ब) उपाय: एका बिंदूपासून रेषेपर्यंतचे अंतर शोधू.

पद्धत एक. हे अंतर लंबाच्या लांबीच्या अगदी समान आहे: . उपाय स्पष्ट आहे: जर मुद्दे माहित असतील तर , ते:

पद्धत दोन. व्यावहारिक समस्यांमध्ये, लंबाचा पाया बहुतेक वेळा सीलबंद गुप्त असतो, म्हणून तयार-तयार सूत्र वापरणे अधिक तर्कसंगत आहे.

बिंदूपासून रेषेपर्यंतचे अंतर सूत्राद्वारे व्यक्त केले जाते:
, सरळ रेषेचा डायरेक्टिंग वेक्टर कुठे आहे “el”, आणि – फुकटदिलेल्या ओळीशी संबंधित एक बिंदू.

1) रेषेच्या समीकरणांमधून आम्ही दिशा वेक्टर आणि सर्वात प्रवेशयोग्य बिंदू काढतो.

2) स्थितीवरून बिंदू ओळखला जातो, वेक्टरला तीक्ष्ण करा:

3) चला शोधूया वेक्टर उत्पादनआणि त्याची लांबी मोजा:

4) मार्गदर्शक वेक्टरच्या लांबीची गणना करा:

5) अशा प्रकारे, एका बिंदूपासून रेषेपर्यंतचे अंतर:

रेषा l1 आणि l2 जर एकाच समतलात नसतील तर त्यांना स्क्यू म्हणतात. a आणि b हे या रेषांचे दिशा वेक्टर असू द्या आणि M1 आणि M2 हे बिंदू अनुक्रमे l1 आणि l2 या रेषांचे आहेत.

मग व्हेक्टर a, b, M1M2> coplanar नाहीत, आणि म्हणून त्यांचे मिश्रित उत्पादन शून्याच्या बरोबरीचे नाही, म्हणजे (a, b, M1M2>) =/= 0. संभाषण विधान देखील सत्य आहे: जर (a, b , M1M2> ) =/= 0, तर सदिश a, b, M1M2> समतल नसतात, आणि म्हणून, रेषा l1 आणि l2 एकाच समतलात नसतात, म्हणजेच त्या एकमेकांना छेदतात. अशा प्रकारे, दोन रेषा एकमेकांना छेदतात जर आणि फक्त जर कंडिशन(a, b, M1M2>) =/= 0, जेथे a आणि b हे रेषांचे दिशा वेक्टर आहेत आणि M1 आणि M2 हे अनुक्रमे या रेषांचे बिंदू आहेत. अट (a, b, M1M2>) = 0 ही एक आवश्यक आणि पुरेशी अट आहे की रेषा एकाच समतलात आहेत. जर रेषा त्यांच्या प्रमाणिक समीकरणांनी दिल्या असतील

नंतर a = (a1; a2; a3), b = (b1; b2; b3), M1 (x1; y1; z1), M2(x2; y2; z2) आणि स्थिती (2) खालीलप्रमाणे लिहिली आहे:

क्रॉसिंग ओळींमधील अंतर

हे अंतर आहे एक छेदणाऱ्या रेषेतील एक आणि त्याच्या समांतर समांतर, दुसऱ्या रेषेतून जाणारे. ओळ

26.एलिप्सची व्याख्या, प्रमाणिक समीकरण. विहित समीकरणाची व्युत्पत्ती. गुणधर्म.

लंबवर्तुळ हे विमानावरील बिंदूंचे भौमितीय स्थान आहे ज्यासाठी या समतलातील दोन केंद्रित बिंदू F1 आणि F2 च्या अंतरांची बेरीज, ज्याला foci म्हणतात, एक स्थिर मूल्य आहे. या प्रकरणात, लंबवर्तुळाच्या केंद्रस्थानाचा योगायोग आहे वगळलेले नाही. जर फ्लेवर्स एकसारखे असतील तर लंबवर्तुळ हे वर्तुळ आहे. कोणत्याही लंबवर्तुळासाठी तुम्ही कार्टेशियन एक समन्वय प्रणाली शोधू शकता जसे की लंबवर्तुळ समीकरणाने वर्णन केले जाईल (लंबवर्तुळाचे प्रमाणिक समीकरण):

हे उत्पत्तीच्या केंद्रस्थानी असलेल्या लंबवर्तुळाचे वर्णन करते, ज्याचे अक्ष समन्वय अक्षांशी जुळतात.

जर उजव्या बाजूला वजा चिन्ह असलेले एकक असेल, तर परिणामी समीकरण आहे:

एक काल्पनिक लंबवर्तुळ वर्णन करते. अशा लंबवर्तुळाचे वास्तविक समतल चित्रण करणे अशक्य आहे. आपण F1 आणि F2 द्वारे केंद्रबिंदू दर्शवू आणि त्यांच्यातील अंतर 2c ने, आणि लंबवर्तुळाच्या अनियंत्रित बिंदूपासून केंद्रबिंदूपर्यंतच्या अंतरांची बेरीज 2a ने दर्शवू.

लंबवर्तुळाचे समीकरण काढण्यासाठी, आम्ही समन्वय प्रणाली Oxy निवडतो जेणेकरून foci F1 आणि F2 ऑक्स अक्षावर असतील आणि मूळ F1F2 खंडाच्या मध्यभागी एकरूप होईल. नंतर foci मध्ये खालील निर्देशांक असतील: आणि M(x;y) हा लंबवर्तुळाचा अनियंत्रित बिंदू असू द्या. नंतर, लंबवर्तुळाच्या व्याख्येनुसार, i.e.

हे, थोडक्यात, लंबवृत्ताचे समीकरण आहे.

27. हायपरबोला, कॅनोनिकल समीकरणाची व्याख्या. विहित समीकरणाची व्युत्पत्ती. गुणधर्म

हायपरबोला हे विमानावरील बिंदूंचे एक भौमितिक स्थान आहे ज्यासाठी या समतलातील दोन निश्चित बिंदू F1 आणि F2 च्या अंतरातील फरकाचे परिपूर्ण मूल्य, ज्याला foci म्हणतात, हे स्थिर मूल्य आहे. M(x;y) हे अनियंत्रित असू द्या हायपरबोलाचा बिंदू. नंतर, हायपरबोलाच्या व्याख्येनुसार |MF 1 – MF 2 |=2a किंवा MF 1 – MF 2 =±2a,

28. पॅराबोलाची व्याख्या, प्रामाणिक समीकरण. विहित समीकरणाची व्युत्पत्ती. गुणधर्म. पॅराबोला हा विमानाचा एचएमटी आहे ज्यासाठी या विमानाच्या काही निश्चित बिंदू F चे अंतर काही स्थिर सरळ रेषेच्या अंतराएवढे आहे, तसेच विचाराधीन विमानात स्थित आहे. एफ - पॅराबोलाचे फोकस; स्थिर रेषा ही पॅराबोलाची डायरेक्ट्रिक्स आहे. r=d,

आर =; d=x+p/2; (x-p/2) 2 +y 2 =(x+p/2) 2 ; x 2 -xp+p 2 /4+y 2 =x 2 +px+p 2 /4; y 2 =2px;

गुणधर्म: 1. पॅराबोलामध्ये सममितीचा अक्ष असतो (पॅराबोला अक्ष); 2.सर्व

पॅराबोला ऑक्सी प्लेनच्या उजव्या अर्ध्या विमानात p>0 आणि डावीकडे स्थित आहे

जर p<0. 3.Директриса параболы, определяемая каноническим уравнением, имеет уравнение x= -p/2.